高中数学二分法
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正的近似解.(精确到0.1)
解：设f (x) x2 2x 1
10
8
6
4 y=x^2-2x-1
2
0
-3
-2
-1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
1
2
3
4
5
-2
-4 7
例1.不解方程，求方程X2-2X-1=0的一个正近似解
分析：设 f (x) x2 2x 1 先画出函数图象的简图， y y=x2-2x-1
如何进一步有效缩小根所在的区间？ 第一步：得到初始区间（2，3） 第二步：取2与3的平均数2.5
x
-10 1 2 3
第三步：再取2与2.5的平均数2.25
如此继续取下去：
2.25
2 2.5 3
若要求结果精确到0.1，则何时停 止操作？
2 2.5
8
二、方法探究
-
+
2
3
-
+
2
2.5
3
-+
2 2.25 2.5
3
-+
2
2.375 2.5
3
f(2)<0，f(3)>0 2<x1<3 f(2)<0，f(2.5)>0 2<x1<2.5 f(2.25)<0，f(2.5)>0 2.25<x1<2.5 f(2.375)<0，f(2.5)>0 2.375<x1<2.5
同理可得， x0∈（1.375，1.5），x0∈ （1.375，1.4375），由于
|1.375-1.4375|=0.0625〈 0.1
所以，原方程的近似解可取为1.4
16
用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
1、 确定区间[a,b]，验证f(a).f(b)<0,给定精确度ε ；
2、求区间（a,b）的中点x1， 3、计算f(x1)
18
三、例题
利用计算器，求方程
的近似解(精确到0.1)
解:(法一) 画出 f (x) 2x x 4 的图象，观察图象得，
方程 f (x) 2x x 4 有惟一解，记为x1 ，且这个解在
若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；
若f(a).f(x1)<0，则此时零点x0∈(a, x1) 若f(x1).f(b)<0，则此时零点x0∈( x1,,b)
4、判断是否达到精确度ε ，即若|a-b|< ε
则得到零点近似值a(或b),否则重复2~4
17
二分法步骤速记口诀
定区间，找中点， 中值计算两边看. 同号去，异号算， 零点落在异号间. 周而复始怎么办? 精确度上来判断.
-+
f(2.375)<0，f(2.4375)>0 2.375<x1<2.4375
2 2.375 2.4375 3
∵ | 2.375-2.4375 | 0.1
∴此方程的近似解为 x1 2 . 4 若要求结果精确到0.01，则何时停止操作？
9
思想方法：
y
a
0
b
x
对于在区间[a,b]上连续不断且f(a) ·f(b)＜０ 的函数 y=f(x) ，通过不断地把函数f(x)的零 点所在的区间一分为二，使区间的两个端点 逼近零点，进而得到零点近似值。
断地把函数f(x)的零点所在的区间一分
为二，使区间的两个端点逼近零点，进
而得到零点近似值。
12
思想方法：
y
a
0
b
x
前提
对于在①区间[a,b]上连续不断且
f(a) ·f(b)＜０的函数 y=精f(x髓) ，通过②不
断地把函数f(x)的零点所在的区间一分
为二，使区间的两个端点逼近零点，进
而③得到零点近似值。
10
思想方法：
y
a
0
b
x
前提
对于在①区间[a,b]上连续不断且
f(a) ·f(b)＜０的函数 y=f(x) ，通过不断
地把函数f(x)的零点所在的区间一分为
二，使区间的两个端点逼近零点，进而
得到零点近似值。
11
思想方法：
y
a
0
b
x
前提
对于在①区间[a,b]上连续不断且
f(a) ·f(b)＜０的函数 y=f(x精) ，髓通过②不
解：原方程即2x+3x=7，令f(x)= 2x+3x-7， 用计算器作出函数f(x)= 2x+3x-7的对应值表 和图象如下：
x 0 123 4 5 6 7 8 f(x) -6 -2 3 10 21 40 75 142 273
15
因为f(1)·f(2)<0所以 f(x)= 2x+3x-7 在
（1，2）内有零点x0,取（1，2）的中点 xf(11=)1·f.(51，.5)f<(10.所5)以= 0x.03∈3，（因1，为1.5） 取（1，1.5）的中点x2=1.25 ,f(1.25)= -0.87， 因为f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈（1.25，1.5）
2
回顾：
２、零点的判定定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是 连续不断的一条曲线，并且有f(a) ·f(b)＜０， 那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点， 即存在c ∈（a,b），使得f(c)=0，这个 c 也就是方程f(x)=0的根。
3
忆一忆
下列区间有函数 f ( x) x3 x 1 零点 的是( B )
求函数零点近似解的一种计算方法 ---------二分法
1
Abel
在十六世纪,人们已经找到了三次和 四次方程的求根公式,但对高于四次的代 数方程,类似的努力却一直没有成功.
到了十九世纪,根据阿贝尔(Abel) 和伽罗瓦(Galois)的研究,人们认识到 高于四次的代数方程不存在求根公式.
Galois
A.(1,0) B.(1,2) C.(0,1) D.(2,3)
x
-1
0
1
2
3
f ( x) -1
-1
-1
5 23
4
知识探究（一）:二分法的概念
引例:从某水库闸房到防洪指挥部的 某一处电话线路发生了故障。这是一 条10km长的线路，如何迅速查出故障 所在？
5
如图,设闸门和指挥部的所在处为点A,B,
结果
13
※二分法定义 对于在区间[a,b]上连续不断且f(a) f(b)<0
的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点
所在的区间一分为二,使区间的两个端点 逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法
叫做二分法。
14
例2 借助计算器或计算机用二分法求方 程2x+3x=7的近似解（精确度0.1）
1.首先从中点C查 2.用随身带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定
故障在BC段 3.再到BC段中点D 4.这次发现BD段正常,可见故障在CD段 5.再到CD中点E来看 6.这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半
A
C ED
B
6
二、方法探究
(1)不解方程,如何求方程 x2 2x 1 0 的一个
解：设f (x) x2 2x 1
10
8
6
4 y=x^2-2x-1
2
0
-3
-2
-1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
1
2
3
4
5
-2
-4 7
例1.不解方程，求方程X2-2X-1=0的一个正近似解
分析：设 f (x) x2 2x 1 先画出函数图象的简图， y y=x2-2x-1
如何进一步有效缩小根所在的区间？ 第一步：得到初始区间（2，3） 第二步：取2与3的平均数2.5
x
-10 1 2 3
第三步：再取2与2.5的平均数2.25
如此继续取下去：
2.25
2 2.5 3
若要求结果精确到0.1，则何时停 止操作？
2 2.5
8
二、方法探究
-
+
2
3
-
+
2
2.5
3
-+
2 2.25 2.5
3
-+
2
2.375 2.5
3
f(2)<0，f(3)>0 2<x1<3 f(2)<0，f(2.5)>0 2<x1<2.5 f(2.25)<0，f(2.5)>0 2.25<x1<2.5 f(2.375)<0，f(2.5)>0 2.375<x1<2.5
同理可得， x0∈（1.375，1.5），x0∈ （1.375，1.4375），由于
|1.375-1.4375|=0.0625〈 0.1
所以，原方程的近似解可取为1.4
16
用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
1、 确定区间[a,b]，验证f(a).f(b)<0,给定精确度ε ；
2、求区间（a,b）的中点x1， 3、计算f(x1)
18
三、例题
利用计算器，求方程
的近似解(精确到0.1)
解:(法一) 画出 f (x) 2x x 4 的图象，观察图象得，
方程 f (x) 2x x 4 有惟一解，记为x1 ，且这个解在
若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；
若f(a).f(x1)<0，则此时零点x0∈(a, x1) 若f(x1).f(b)<0，则此时零点x0∈( x1,,b)
4、判断是否达到精确度ε ，即若|a-b|< ε
则得到零点近似值a(或b),否则重复2~4
17
二分法步骤速记口诀
定区间，找中点， 中值计算两边看. 同号去，异号算， 零点落在异号间. 周而复始怎么办? 精确度上来判断.
-+
f(2.375)<0，f(2.4375)>0 2.375<x1<2.4375
2 2.375 2.4375 3
∵ | 2.375-2.4375 | 0.1
∴此方程的近似解为 x1 2 . 4 若要求结果精确到0.01，则何时停止操作？
9
思想方法：
y
a
0
b
x
对于在区间[a,b]上连续不断且f(a) ·f(b)＜０ 的函数 y=f(x) ，通过不断地把函数f(x)的零 点所在的区间一分为二，使区间的两个端点 逼近零点，进而得到零点近似值。
断地把函数f(x)的零点所在的区间一分
为二，使区间的两个端点逼近零点，进
而得到零点近似值。
12
思想方法：
y
a
0
b
x
前提
对于在①区间[a,b]上连续不断且
f(a) ·f(b)＜０的函数 y=精f(x髓) ，通过②不
断地把函数f(x)的零点所在的区间一分
为二，使区间的两个端点逼近零点，进
而③得到零点近似值。
10
思想方法：
y
a
0
b
x
前提
对于在①区间[a,b]上连续不断且
f(a) ·f(b)＜０的函数 y=f(x) ，通过不断
地把函数f(x)的零点所在的区间一分为
二，使区间的两个端点逼近零点，进而
得到零点近似值。
11
思想方法：
y
a
0
b
x
前提
对于在①区间[a,b]上连续不断且
f(a) ·f(b)＜０的函数 y=f(x精) ，髓通过②不
解：原方程即2x+3x=7，令f(x)= 2x+3x-7， 用计算器作出函数f(x)= 2x+3x-7的对应值表 和图象如下：
x 0 123 4 5 6 7 8 f(x) -6 -2 3 10 21 40 75 142 273
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因为f(1)·f(2)<0所以 f(x)= 2x+3x-7 在
（1，2）内有零点x0,取（1，2）的中点 xf(11=)1·f.(51，.5)f<(10.所5)以= 0x.03∈3，（因1，为1.5） 取（1，1.5）的中点x2=1.25 ,f(1.25)= -0.87， 因为f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈（1.25，1.5）
2
回顾：
２、零点的判定定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是 连续不断的一条曲线，并且有f(a) ·f(b)＜０， 那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点， 即存在c ∈（a,b），使得f(c)=0，这个 c 也就是方程f(x)=0的根。
3
忆一忆
下列区间有函数 f ( x) x3 x 1 零点 的是( B )
求函数零点近似解的一种计算方法 ---------二分法
1
Abel
在十六世纪,人们已经找到了三次和 四次方程的求根公式,但对高于四次的代 数方程,类似的努力却一直没有成功.
到了十九世纪,根据阿贝尔(Abel) 和伽罗瓦(Galois)的研究,人们认识到 高于四次的代数方程不存在求根公式.
Galois
A.(1,0) B.(1,2) C.(0,1) D.(2,3)
x
-1
0
1
2
3
f ( x) -1
-1
-1
5 23
4
知识探究（一）:二分法的概念
引例:从某水库闸房到防洪指挥部的 某一处电话线路发生了故障。这是一 条10km长的线路，如何迅速查出故障 所在？
5
如图,设闸门和指挥部的所在处为点A,B,
结果
13
※二分法定义 对于在区间[a,b]上连续不断且f(a) f(b)<0
的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点
所在的区间一分为二,使区间的两个端点 逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法
叫做二分法。
14
例2 借助计算器或计算机用二分法求方 程2x+3x=7的近似解（精确度0.1）
1.首先从中点C查 2.用随身带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定
故障在BC段 3.再到BC段中点D 4.这次发现BD段正常,可见故障在CD段 5.再到CD中点E来看 6.这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半
A
C ED
B
6
二、方法探究
(1)不解方程,如何求方程 x2 2x 1 0 的一个