高中数学二分法
人教B版高中数学必修一第二章求函数零点近似解的一种计算方法——二分法课件
2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法 六、二分法的Excel实验
只 有 一 个 天 平 ， 请 你 设 计 一 个 实 验 方 案 我们把这种不断取中点来
六、二分法的Excel实验 我们把这种不断取中点来
， 要 求 用 尽 可 能 少 的 步 骤 找 出 这 枚 假 币 六、二分法的Excel实验
现在有16枚硬币，其中有一枚是假币，已知假币的质量比真币的质量轻，现在只有一个天平，请你设计一个实验方案，要求用尽可能 少的步骤找出这枚假币。
。 请 问至 少 需要 多 少次 称 量能 确 保找 出 2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法 我们把这种不断取中点来
思考： 我们把这种不断取中点来
我们把这种不断取中点来 问题1：CCTV2的一档娱乐节目，要求选手在有限的时间内猜出某一物品的售价。 六、二分法的Excel实验 解决问题的方法称为——二分法
现在有16枚硬币，其中有一枚是假币 ， 我们把这种不断取中点来
六、二分法的Excel实验 我们把这种不断取中点来
解决问题的方法称为——二分法 现在有16枚硬币，其中有一枚是假币，已知假币的质量比真币的质量轻，现在只有一个天平，请你设计一个实验方案，要求用尽可能
少的步骤找出这枚假币。 六、二分法的Excel实验 六、二分法的Excel实验 六、二分法的Excel实验 现在有16枚硬币，其中有一枚是假币，已知假币的质量比真币的质量轻，现在只有一个天平，请你设计一个实验方案，要求用尽可能 少的步骤找出这枚假币。 六、二分法的Excel实验 现在有16枚硬币，其中有一枚是假币，已知假币的质量比真币的质量轻，现在只有一个天平，请你设计一个实验方案，要求用尽可能 少的步骤找出这枚假币。 现在有这样一个信封，里面装着0元至100元，只给大家七次机会，猜这个信封里究竟有多少元？ 六、二分法的Excel实验
用二分法求方程的近似解(高中数学)
[解] 因为 f(－1)>0，f(－2)<0，且函数 f(x)＝x3－3x2－9x＋1 的图象 是连续的曲线，根据函数零点的存在性定理可知，它在区间[－2，－1]内 有零点，用二分法逐步计算，列表如下：
22
端点(中点)
________．
11
合作探究 提素养
12
二分法的概念 【例 1】 已知函数 f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用 二分法求解的个数分别为( )
A．4,4
B．3,4
C．5,4
D．4,3
D [图象与 x 轴有 4 个交点，所以零点的个数为 4；左右函数值异号
的零点有 3 个，所以用二分法求解的个数为 3，故选 D.]
内的唯一零点时，精确度为 0.001， 长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束
则结束计算的条件是( )
计算．]
A．|a－b|<0.1
B．|a－b|<0.001
C．|a－b|>0.001
D．|a－b|＝0.001
3．已知函数 y ＝f(x)的图象如图所 示，则不能利用二分 法求解的零点是 ________．
由于|1.75－1.687 5|＝0.062 5<0.1，所以函数的正数
零点的近似值可取为1.687 5.
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利用二分法求方程近似解的过程图示
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1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点 逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度， 用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足： (1)在区间[a，b]上连续不断； (2)f(a)·f(b)<0， 上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值．
高中数学二章函数2.4函数与方程2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法二分法
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法—二分法整体设计教学分析求方程的解是常见的数学问题，这之前我们学过解一元一次、一元二次方程，但有些方程求精确解较难．本节从另一个角度来求方程的近似解，这是一种崭新的思维方式，在现实生活中也有着广泛的应用．用二分法求方程近似解的特点是：运算量大，且重复相同的步骤，因此适合用计算器或计算机进行运算．在教学过程中要让学生体会到人类在方程求解中的不断进步．三维目标1．让学生学会用二分法求方程的近似解，知道二分法是科学的数学方法．2．了解用二分法求方程的近似解特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步了解算法思想．3．回忆解方程的历史，了解人类解方程的进步历程，激发学习的热情和学习的兴趣．重点难点教学重点：用二分法求方程的近似解．教学难点：二分法．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)师：(手拿一款手机)如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？生1：先初步估算一个价格，如果高了再每隔10元降低报价．生2：这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了每隔100元降低报价．如果低了，每隔50元上升报价；如果再高了，每隔20元降低报价；如果低了，每隔10元上升报价……生3：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价……师：在现实生活中我们也常常利用这种方法．譬如，一天，我们华庄校区与锡南校区的线路出了故障(相距大约3 500米)．电工是怎样检测的呢？是按照生1那样每隔10米或者按照生2那样每隔100米来检测，还是按照生3那样来检测呢？生：(齐答)按照生3那样来检测．师：生3的回答，我们可以用一个动态过程来展示一下(展示多媒体课件，区间逼近法)．思路2.(事例导入)有12个小球，质量均匀，只有一个球是比别的球重，你用天平称几次可以找出这个球，要求次数越少越好．(让同学们自由发言，找出最好的办法)解：第一次，两端各放六个球，低的那一端一定有重球．第二次，两端各放三个球，低的那一端一定有重球．第三次，两端各放一个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球．其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？推进新课新知探究 提出问题①解方程2x －16＝0.②解方程x 2－x －2＝0.③解方程x 3－2x 2－x ＋2＝0.④解方程x 2－2x 2－3x ＋2＝0.⑤我们知道，函数f x ＝lnx ＋2x －6在区间2，3内有零点.进一步的问题是，如何找出这个零点的近似值？⑥“取中点”后，怎样判断所在零点的区间？ ⑦什么叫二分法？⑧试求函数f x ＝lnx ＋2x －6在区间2，3内零点的近似值.⑨总结用二分法求函数零点近似值的步骤.,⑩思考用二分法求函数零点近似值的特点. 讨论结果： ①x＝8.②x＝－1，x ＝2.③x＝－1，x ＝1，x ＝2 ④x＝－2，x ＝2，x ＝1，x ＝2.⑤如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值．为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围．〔“取中点”，一般地，我们把x ＝a ＋b 2称为区间(a ，b)的中点〕⑥比如取区间(2,3)的中点2.5，用计算器算得f(2.5)＜0，因为f(2.5)·f(3)＜0，所以零点在区间(2.5,3)内．⑦对于在区间[a ，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y ＝f(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值．像这样每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．⑧因为函数f(x)＝lnx ＋2x －6，用计算器或计算机作出函数f(x)＝lnx ＋2x －6的对应值表． x 1 2 3 4 5 6 789f(x)－4－1.306 91.098 63.386 35.609 47.791 89.945 9 12.079 4 14.197 2由表可知，f(2)＜0，f(3)＞0，则f(2)·f(3)＜0，这说明f(x)在区间(2,3)内有零点x 0，取区间(2,3)的中点x 1＝2.5，用计算器算得f(2.5)≈－0.084，因为f(2.5)·f(3)＜0，所以x 0∈(2.5,3)．同理，可得表(下表)与图象(如下图)．区间 中点的值 中点函数近似值(2,3) 2.5 －0.084 (2.5,3) 2.75 0.512 (2.5,2.75) 2.625 0.215 (2.5,2.625) 2.562 5 0.066 (2.5,2.562 5) 2.531 25 －0.009 (2.531 25,2.562 5)2.546 8750.029(2.531 25,2.546 875) 2.539 062 5 0.010 (2.531 25,2.539 062 5)2.535 156 250.001由于(2,3) (2.5,3) (2.5,2.75)，所以零点所在的范围确实越来越小了．如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小(见上表)．这样，在一定的精确度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值．特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值．例如，当精确度为0.01时，由于|2.539 062 5－2.531 25|＝0.007 812 5＜0.01，所以，我们可以将x ＝2.531 25作为函数f(x)＝lnx ＋2x －6零点的近似值．⑨用二分法求函数零点的一般步骤如下：第一步 在D 内取一个闭区间[a 0，b 0] D ，使f(a 0)与f(b 0)异号，即f(a 0)·f(b 0)＜0.零点位于区间[a 0，b 0]中．第二步 取区间[a 0，b 0]的中点(如下图)，则此中点对应的坐标为x 0＝a 0＋12(b 0－a 0)＝12(a 0＋b 0)．计算f(x 0)和f(a 0)，并判断：(1)如果f(x 0)＝0，则x 0就是f(x)的零点，计算终止；(2)如果f(a 0)·f(x 0)＜0，则零点位于区间[a 0，x 0]中，令a 1＝a 0，b 1＝x 0； (3)如果f(a 0)·f(x 0)＞0，则零点位于区间[x 0，b 0]中，令a 1＝x 0，b 1＝b 0. 第三步 取区间[a 1，b 1]的中点，则此中点对应的坐标为x 1＝a 1＋12(b 1－a 1)＝12(a 1＋b 1)．计算f(x 1)和f(a 1)，并判断：(1)如果f(x 1)＝0，则x 1就是f(x)的零点，计算终止；(2)如果f(a 1)·f(x 1)＜0，则零点位于区间[a 1，x 1]上，令a 2＝a 1，b 2＝x 1； (3)如果f(a 1)·f(x 1)＞0，则零点位于区间[x 1，b 1]上，令a 2＝x 1，b 2＝b 1. ……继续实施上述步骤，直到区间[a n ，b n ]，函数的零点总位于区间[a n ，b n ]上，当a n 和b n按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y ＝f(x)的近似零点，计算终止．这时函数y ＝f(x)的近似零点满足给定的精确度．⑩由函数的零点与相应方程的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算．应用示例思路1例1求函数f(x)＝x 3＋x 2－2x －2的一个正实数零点(精确到0.1)．解：由于f(1)＝－2＜0，f(2)＝6＞0，可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间．用二法逐步计算，列表如下：端点或中点横坐标 计算端点或中点的函数值 定区间 a 0＝1，b 0＝2 f(1)＝－2，f(2)＝6 [1,2] x 0＝(1＋2)/2＝1.5 f(x 0)＝0.625＞0 [1,1.5] x 1＝(1＋1.5)/2＝1.25 f(x 1)＝－0.984＜0 [1.25,1.5] x 2＝(1.25＋1.5)/2＝1.375 f(x 2)＝－0.260＜0 [1.375,1.5] x 3＝(1.375＋1.5)/2＝1.437f(x 3)＝0.162＞0[1.375,1.437 5]1.4，因此1.4就是所求函数的一个正实数零点的近似值．函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的图象如下图．实际上还可用二分法继续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值．点评：以上求函数零点的二分法，对函数图象是连续不间断的一类函数的零点都有效．如果一种计算方法对某一类问题(不是个别问题)都有效，计算可以一步一步地进行，每一步都能得到唯一的结果，我们常把这一类问题的求解过程叫做解决这一类问题的一种算法．算法是刻板的、机械的，有时要进行大量的重复计算，算法的优点是一种通法，只要按部就班地去做，总会算出结果．算法更大的优点是，它可以让计算机来实现．例如，我们可以编写程序，快速地求出一个函数的零点．有兴趣的同学，可以在“Scilab”界面上调用二分法程序，对上例进行计算，求出精确度更高的近似值．本套书的一个重要特点是，引导同学们认识算法思想的重要性，并希望同学们在学习前人算法的基础上，去寻求解决各类问题的算法．在思路2例1求方程2x3＋3x－3＝0的一个实数解(精确到0.01)．解：考察函数f(x)＝2x3＋3x－3，从一个两端函数值反号的区间开始，应用二分法逐步缩小方程实数解所在区间．经试算，f(0)＝－3＜0，f(2)＝19＞0，所以函数f(x)＝2x3＋3x－3在[0,2]内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在[0,2]内有解．取[0,2]的中点1，经计算，f(1)＝2＞0，又f(0)＜0，所以方程2x3＋3x－3＝0在[0,1]内有解．3至此，可以看出，区间[0.742 187 5,0.744 140 625]内的所有值，若精确到0.01，都是0.74.所以0.74是方程2x3＋3x－3＝0精确到0.01的实数解．点评：利用二分法求方程近似解的步骤：①确定函数f(x)的零点所在区间(a，b)，通常令b－a＝1；②利用二分法求近似解.，发现x1∈(2,2.5)(如上图)，这样可以进一步缩小，先画出函数图象的简图，如上图．＝2＞0，x2－2x－1＝0有一解，记为x1.，因为f(2.5)＝0.25＞0，所以2＜x＜2.5.知能训练1．函数f(x)＝x3－2x2－x＋2的零点个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3答案：D2．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真币完全相同的假币(重量轻一点)，现在只有一台天平，请问：应用二分法的思想，最多称__________次就可以发现这枚假币？解析：将26枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币在轻的那13枚金币里面；将这13枚金币拿出1枚，将剩下的12枚平均分成两份，放在天平上，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在轻的那6枚金币里面；将这6枚平均分成两份，放在天平上，则假币一定在轻的那3枚金币里面；将这3枚金币任拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚就是假币，若不平衡，则轻的那一枚就是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．答案：43．求方程x 3－3x －1＝0的一个正的近似解(精确到0.1)．解：设f(x)＝x 3－3x －1，设x 1为函数的零点，即方程x 3－3x －1＝0的解．作出函数f(x)＝x 3－3x －1的图象如下图．因为f(1)＝－3＜0，f(2)＝1＞0，所以在区间(1,2)内方程x 3－3x －1＝0有一个解，记为x 1.取1与2的平均数1.5，因为f(1.5)＝－2.125＜0，所以1.5＜x 1＜2.再取2与1.5的平均数1.75，因为f(1.75)＝－0.890 625＜0，所以1.75＜x 1＜2. 如此继续下去，得f(1)＜0，f(2)＞0 ⇒x 1∈(1,2)， f(1.5)＜0，f(2)＞0 ⇒x 1∈(1.5,2)， f(1.75)＜0，f(2)＞0 ⇒x 1∈(1.75,2)， f(1.875)＜0，f(2)＞0 ⇒x 1∈(1.875,2)，f(1.875)＜0，f(1.937 5)＞0 ⇒x 1∈(1.875,1.937 5)，因为区间[1.875,1.937 5]内的所有值，如精确到0.1都是1.9，所以1.9是方程x 3－3x －1的实数解． 拓展提升从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为多少？(此例既体现了二分法的应用价值，也有利于发展学生的应用意识) 答案：至少需要检查接点的个数为4. 课堂小结①掌握用二分法求方程的近似解，及二分法的其他应用． ②思想方法：函数方程思想、数形结合思想． 作业课本习题2—4 A 7.设计感想 “猜价格”的游戏深受人们的喜欢，它是二分法的具体应用，用它引入拉近了数学与生活的距离．二分法是科学的数学方法，它在求方程的近似解和现实生活中都有着广泛的应用．本节设计紧紧围绕这两个中心展开，充分借助现代教学手段，用多种角度处理问题，使学生充分体会数学思想方法的科学性与完美性．备课资料基本初等函数的零点个数 结合基本初等函数的图象得：①正比例函数y ＝kx(k≠0)仅有一个零点0； ②反比例函数y ＝kx (k≠0)没有零点；③一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)仅有一个零点；④二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，当Δ＞0时，二次函数有两个零点－b ±Δ2a ；当Δ＝0时，二次函数仅有一个零点－b2a；当Δ＜0时，二次函数无零点．。
高中数学：2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
2．4．2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法1．了解变号零点与不变号零点的概念．2．理解函数零点的性质．3．会用二分法求近似值．1．函数零点的性质如果函数y＝f(x) 在区间[a，b]上的图象是不间断的曲线，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)·f(b)<0，那么这个函数在这个区间上至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0，若函数图象通过零点时穿过x轴，这样的零点称为变号零点，如果没有穿过x轴，则称为不变号零点．2．二分法对于在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法．3．用二分法求函数 f (x ) 零点近似值的步骤 给定精确度(1)确定区间[a ，b ]，验证f (a )·f (b )<0； (2)求区间(a ，b )的中点 x 1；(3)计算 f (x 1)；①若f (x 1)＝0，则 x 1 就是函数的零点；②若f (a )·f (x 1)<0，则令 b ＝x 1 (此时零点 x 0∈(a ，x 1))；③若f (x 1)·f (b )<0，则令a ＝x 1(此时零点 x 0∈(x 1，b ))．(4)判断是否达到精确度，即若|a －b |<，则得到零点近似值 a (或 b )；否则重复 (2)～(4)．1．函数f (x )＝x 3－2x 2＋3x －6在区间[－2，4]上的零点必属于区间( ) A ．[－2，1] B ．⎣⎡⎦⎤52，4 C ．⎣⎡⎦⎤1，74 D ．⎣⎡⎦⎤74，52解析：选D ．由于f (－2)<0， f (4)>0，f (－2＋42)＝f (1)<0，f (1＋42)＝f (52)>0， f (1＋522)＝f (74)<0， 所以零点在区间⎣⎡⎦⎤74，52内．2．用二分法研究函数f (x )＝x 2＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0．5)>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次计算________．以上横线应填的内容分别是( )A ．(0，0．5) f (0．25)B ．(0，1) f (0．25)C ．(0．5，1) f (0．75)D ．(0，0．5) f (0．125)解析：选A ．因为f (0)<0，f (0．5)>0， 所以函数f (x )的一个零点x 0∈(0，0．5)， 第二次计算f ⎝⎛⎭⎫0＋0.52＝f (0．25)．3．函数的零点都能用“二分法”求吗？解：不一定．例如：函数y ＝x 2的零点为x ＝0，但不能用二分法求解．判断函数在某个区间内是否有零点(1)指出方程 x 5－x －1＝0 的根所在的大致区间；(2)求证：方程x3－3x＋1＝0 的根一个在区间(－2，－1)内，一个在区间(0，1)内，另一个在区间(1，2)内．【解】(1)方程x5－x－1＝0，即x5＝x＋1，令F(x)＝x5－x－1，y＝f(x)＝x5，y＝g(x)＝x＋1．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)与g(x)的图象如图，显然它们只有1 个交点．两函数图象交点的横坐标就是方程的解．又F(1)＝－1<0，F(2)＝29>0，所以方程x5－x－1＝0 的根在区间(1，2)内．(2)证明：令F(x)＝x3－3x＋1，它的图象一定是不间断的，又F(－2)＝－8＋6＋1＝－1<0，F(－1)＝－1＋3＋1＝3>0，所以方程x3－3x＋1＝0 的一根在区间(－2，－1)内．同理可以验证F(0)·F(1)＝1×(－1)＝－1<0，F(1)·F(2)＝(－1)×3＝－3<0，所以方程的另两根分别在区间(0，1)和(1，2)内．本题考查的是如何判断方程的根所在的大致区间问题，它是用二分法求方程近似解的前提．对于连续的函数可以多次验证某些点处的函数值的符号是否异号；若异号，则方程的解在以这两数为端点的区间内，这种方法需多次尝试，比较麻烦．另外在这个区间内也不一定只有一个解．已知f(x) 为偶函数，且当x≥0 时，f(x)＝(x－1)2－1，求函数f(x)的零点，并判断哪些零点是变号零点，哪些零点是不变号零点．解：因为x≥0 时，f(x)＝(x－1)2－1，而当x<0 时，－x>0，所以f(－x)＝(－x－1)2－1，而f(x) 为偶函数，则f(－x)＝f(x)，所以 f (x ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）2－1（x ≥0），（x ＋1）2－1（x <0）.解方程 (x －1)2－1＝0， 得 x 1＝0，x 2＝2． 解方程 (x ＋1)2－1＝0， 得 x 1＝0，x 2＝－2，故函数 f (x ) 共有 3 个零点为 －2，0，2，如图所示，可知函数 f (x )的变号零点为 －2，2，不变号零点为 0．用二分法求方程近似解用二分法求函数f(x)＝x3－x－2的一个正实数零点(精确到0．1)．【解】由f(1)＝－2<0，f(2)＝4>0，可以确定区间[1，2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，具体如表．1．5，所以1．5可作为所求函数的一个正实数零点的近似值．用二分法求函数零点的近似值，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要使其长度尽量小，其次要依据条件给定的精确度及时检验计算所得到的区间是否满足这一精确度，以决定是停止计算还是继续计算．借助计算器，用二分法求方程(x＋1)(x －2)(x－3)＝1在区间(－1，0)内的近似解(精确到0．1)．解：令f(x)＝(x＋1)(x－2)(x－3)－1，由于f(－1)＝－1<0，f(0)＝5>0，可取区间[－1，0]作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：5－0．9即为区间(－1，0)内的近似解．1．函数零点判定定理的应用判断一个函数是否有零点，首先看函数f(x) 在区间[a，b]上的图象是否连续，并且是否存在f(a)·f(b)<0，若存在，那么函数y＝f(x) 在区间(a，b)内必有零点．对于函数f(x)，若满足f(a)·f(b)<0，则f(x) 在区间[a，b]内不一定有零点，反之，f(x) 在区间[a，b]内有零点也不一定有f(a)·f(b)<0，如图所示．即此方法只适合变号零点的判断，不适合不变号零点．2．二分法的使用条件和范围(1)二分法的理论依据：如果函数y＝f(x)是连续的，且f(a)与f(b)的符号相反(a<b)，那么方程f(x)＝0至少存在一个根在(a，b)之间．(2)用二分法求函数零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合．(3)每一次二分有根区间(a，b)为两个小区间，区间的长度都是原来区间长度的一半．用零点存在性定理判断函数的零点时，两个条件是缺一不可的．因此，在判断已知函数在区间上的零点是否存在时，应首先确定图象是不间断的．1．下列函数中能用二分法求零点的是()解析：选C．由二分法的定义知．2．设f(x)在区间[a，b]上是单调函数，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在闭区间[a，b]内() A．至少有一实根B．至多有一实根C．没有实根D．必有唯一实根答案：D3．下面关于二分法的叙述，正确的是________．①用二分法可求所有函数零点的近似值；②用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位；③二分法无规律可循，无法在计算机上完成；④只有在求函数零点时才用二分法． 答案：②4．设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不间断曲线，且f (a )·f (b )<0，取x 0＝a ＋b2，若f (a )·f (x 0)<0，则利用二分法求方程根时取有根区间为________．解析：利用二分法求方程根时，根据求方程的近似解的一般步骤，由于f (a )·f (x 0)<0， 则[a ，x 0]为新的区间． 答案：[a ，x 0][A 基础达标]1．函数f (x )＝x 3－3x －3有零点的区间是( ) A ．(－1，0) B ．(0，1) C ．(1，2)D ．(2，3)解析：选D ．因为f (2)·f (3)＝(8－6－3)·(27－9－3)＝－15<0， 所以f (x )有零点的区间是(2，3)．2．如图是函数f (x )的图象，它与x 轴有4个不同的公共点，给出下列四个区间中，存在不能用二分法求出的零点，则该零点所在的区间是( )A ．[－2．1，－1]B ．[1．9，2．3]C ．[4．1，5]D ．[5，6．1]解析：选B ．由不变号零点的特征易判断该零点在[1．9，2．3]内． 3．方程2x 3－4x 2＋7x －9＝0在区间[－2，4]上的根必定属于区间( ) A ．(－2，1) B ．(52，4)C ．(π4，1)D ．(1，74)解析：选D ．设f (x )＝2x 3－4x 2＋7x －9， 由f (1)·f (74)<0知选D ．4．已知函数f (x )与g (x )满足的关系为f (x )－g (x )＝－x －3，根据所给数表，判断f (x )的一个零点所在的区间为( )A ．(－1，0) C ．(1，2)D ．(2，3)解析：选C ．由列表可知f (1)＝g (1)－1－3＝2．72－4＝－1．28，f (2)＝g (2)－2－3＝7．39－5＝2．39，所以f (1)·f (2)<0．所以f (x )的一个零点所在的区间为(1，2)．5．若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正整零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：A ．1．2B ．1．3C ．1．4D ．1．5解析：选C ．由零点的定义知，方程的根所在区间为[1．406 25，1．437 5]，故精确到0．1的近似根为1．4．6．函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 有零点，但不能用二分法求出，则a ，b 的关系是________． 解析：因为函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 有零点，但不能用二分法，所以函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象与x 轴相切，所以Δ＝a 2－4b ＝0，所以a 2＝4b ． 答案：a 2＝4b7．方程x 3＝2x 精确到0．1的一个近似解是________． 解析：令f (x )＝x 3－2x ，f (1)＝－1<0，f (2)＝4>0，所以在区间[1，2]上求函数f (x )的零点，即为方程x 3＝2x 的一个根，依照二分法求解得x ＝1．4．答案：1．48．某方程有一无理根在区间D ＝(1，3)内，若用二分法求此根的近似值，则将D 至少等分________次后，所得近似值的精确度为0．1．解析：由3－12n ≤0．1，得2n ≥20，n >4，故至少等分5次． 答案：59．分别求出下列函数的零点，并指出是变号零点还是不变号零点． (1)f (x )＝3x －6； (2)f (x )＝x 2－x －12； (3)f (x )＝x 2－2x ＋1； (4)f (x )＝(x －2)2(x ＋1)x ． 解：(1)零点是2，是变号零点． (2)零点是－3和4，都是变号零点． (3)零点是1，是不变号零点．(4)零点是－1，0和2，其中变号零点是0和－1，不变号零点是2． 10．已知函数f (x )＝13x 3－x 2＋1(1)证明方程f (x )＝0在区间(0，2)内有实数解；(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f (x )＝0(x ∈[0，2])的实数解x 0在哪个较小的区间内．解：(1)证明：因为f (0)＝1>0，f (2)＝－13<0，所以f (0)·f (2)<0，由函数的零点存在性定理可得方程 f (x )＝0在区间(0，2)内有实数解． (2)取x 1＝12(0＋2)＝1，得f (1)＝13>0，由此可得f (1)·f (2)<0，下一个有解区间为(1，2)． 再取x 2＝12(1＋2)＝32，得f ⎝⎛⎭⎫32＝－18<0， 所以f (1)·f ⎝⎛⎭⎫32<0，下一个有解区间为⎝⎛⎭⎫1，32． 再取x 3＝12⎝⎛⎭⎫1＋32＝54，得f ⎝⎛⎭⎫54＝17192>0， 所以f ⎝⎛⎭⎫54·f ⎝⎛⎭⎫32<0，下一个有解区间为⎝⎛⎭⎫54，32． 综上所述，得所求的实数解x 0在区间⎝⎛⎭⎫54，32内．[B 能力提升]11．若函数f (x )的图象在R 上连续不断，且满足f (0)<0，f (1)>0，f (2)>0，则下列说法正确的是()A．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点B．f(x)在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点C．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点D．f(x)在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点解析：选C．根据零点存在性定理，由于f(0)·f(1)<0，f(1)·f(2)>0，所以f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上无法确定，可能有，也可能没有，如图所示：12．已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表：则f(x解析：由于f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，所以f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，故f(x)的零点个数至少有3个．答案：313．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长，大约有200多根电线杆子．则：(1)维修线路的工人师傅怎样工作最合理？(2)算一算要把故障可能发生的范围缩小到50 m～100 m 左右，即一两根电线杆附近，要查多少次？解：(1)如图，他首先从中点C查．用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D查，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查．(2)每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，因此只要7 次就够了．14．(选做题)求方程3x2－4x－1＝0的根的近似值．解：令f(x)＝3x2－4x－1，列出x，f(x)的一些对应值如下表：00若x0∈[－1，0]，取区间[－1，0]的中点x1＝－0．5，则f(－0．5)＝1．75，因为f(－0．5)·f(0)<0，所以x0∈[－0．5，0]．再取区间[－0．5，0]的中点x2＝－0．25，则f(－0．25)＝0．187 5，因为f(－0．25)·f(0)<0，所以x0∈[－0．25，0]．同理，可得x0∈[－0．25，－0．125]，x0∈[－0．25，－0．187 5]，x0∈[－0．218 75，－0．187 5]，区间[－0．218 75，－0．187 5]的左、右端点精确到0．1所取的近似值都是－0．2．所以把x0＝－0．2作为方程3x2－4x－1＝0的一个根的近似值．同理，若x0∈[1，2]时，方程的根的近似值为1．5．2±7综上，方程3x2－4x－1＝0的根的精确值为x1，2＝3，近似值为－0．2或1．5．。
【高中数学必修一】3.1.2二分法求方程的近似解
知识探究(一)：二分法的概念
小结：
(1)用天平称 3 次就可以找出这个稍重的球.
(2)要找出稍重的球， 尽量将稍重的球所在的范围 尽量的缩小， 我们通过不断地 “平分球” 、 “锁定” 、 “淘汰”的方法逐步缩小稍重的球所在的范围， 直到满意为止.
(3)这种“平分球”的方法，就是“二分法”的体现.
新知展现
1.二分法的定义
新知展现
1.二分法的定义
对于区间[a，b]上连续不断且 f (a)· f (b)＜0 的函数 y = f (x)，通过不断地把函数 f (x)的 零点所在的区间一分为二，使区间的两个端 点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方 法叫做二分法.
新知展现
1.二分法的定义
对于区间[a，b]上连续不断且 f (a)· f (b)＜0 的函数 y = f (x)，通过不断地把函数 f (x)的 零点所在的区间一分为二，使区间的两个端 点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方 法叫做二分法.
通过“取区间中点”的方法逐步缩小零点所 在的范围(区间).
知识探究(一)：二分法的概念
思考3：通过阅读教材，你知道是用什么办 法将零点所在范围(区间)缩小的?
通过“取区间中点”的方法逐步缩小零点所 在的范围(区间).
ab 一般地，我们把 x 称 2
为区间(a,b)的中点.
知识探究(一)：二分法的概念
另 种 情 况 为
一样重
知识探究(一)：二分法的概念
一分为二(3)
另 种 情 况 为
一样重
被选出的球为最重的球.
知识探究(一)：二分法的概念
小结：
(1)用天平称 3 次就可以找出这个稍重的球.
知识探究(一)：二分法的概念
高中数学二分法
高中数学二分法二分法：1、定义：二分法，是一种从曲线上求解函数极值、积分和解方程等不确定解的有效方法，它是利用一个给定的区间，先假设其取值范围，然后把这个区间分成两部分，根据函数的性质得到函数的最大值和最小值，最终把有限的区间越缩越小，趋近于极限，把某种特征的问题求解出来。
2、特点：二分法具备简单、有效率和可取得近似精确结果的特点，其完成求解的有效步骤是：先将需求解的范围把重点放在中间部分，然后判断函数在两个部分哪个更接近局部最优解，根据这种判断，把不满足要求的部分清除，继续通过重复偏心格把结果的范围缩小，最终当剩余段小于给定的一个误差范围时，得到比较接近真实解的一个近似解。
3、应用场景：二分法在高中数学中有广泛的应用，主要用于求定积分和平面几何中曲线，椭圆等函数最大值、最小值等问题的求解，在十字交叉法中，利用十字构图，根据不等式的约束条件，将最优解的区域以二分的方式划分，把区域的最优解计算出来，而在统计学中，也可以用来找出自变量和因变量的最佳拟合函数，这可通过对拟合函数的在自变量取值的山谷值的搜索，帮助研究者快速找到正确的回归模型。
4、具体实现：二分法是一种迭代算法，算法的迭代重点是：给定一个准确的区间，计算区间的中点，根据函数的增减性质来选取最优解，把不满足要求的部分清除掉，通过迭代的方式，重复这个过程，直到得到的某种特征的结果满足要求。
5、优点：二分法比较简单、有效率，而且可取得近似精确结果，也很容易理解，还可以获得较高的精度，并且在实际有效应用中具有良好的鲁棒性及快速类容错能力，适用于大规模数值计算，提高计算效率。
6、缺点：二分法所限制的误差范围可能过大，得到的结果往往不够精确，而且可能出现陷入局部最优的情况，从而影响最终的结果，易受到初值的影响，同时由于迭代容易受到干扰，有可能出现闭塞的情况。
综上所述，二分法是一种有效的有限迭代的方法，是高中数学中必不可少的重要的求解手段，它可以用来求解函数在某一区间最大值、最小值等问题，可以获得近似精确的结果，但同时也有一些缺点需要注意，所以才能在快速有效精确的基础上找到最佳解。
高中数学如何求解二分法和牛顿迭代法方程
高中数学如何求解二分法和牛顿迭代法方程在高中数学中，求解方程是一个重要的内容，而二分法和牛顿迭代法是两种常用的求解方程的方法。
本文将介绍这两种方法的原理、应用以及解题技巧，并通过具体的例题来说明其考点和解题思路。
一、二分法的原理和应用二分法是一种通过不断缩小搜索范围来逼近方程根的方法。
其基本原理是将待求解的区间不断二分，判断根是否在左半区间还是右半区间，并将搜索范围缩小至根的附近。
具体步骤如下：1. 确定初始区间[a, b]，使得f(a)与f(b)异号；2. 计算区间中点c=(a+b)/2；3. 判断f(c)与0的关系，若f(c)=0，则c为方程的根；若f(c)与f(a)异号，则根在区间[a, c]内，否则根在区间[c, b]内；4. 重复步骤2和步骤3，直到满足精度要求或找到根。
二分法的应用非常广泛，例如在求解函数的零点、解方程、求解最优化问题等方面都有应用。
下面通过一个具体的例题来说明二分法的应用和解题技巧。
例题1：求方程x^3-2x-5=0的根。
解题思路：1. 首先我们需要确定初始区间[a, b]，使得f(a)与f(b)异号。
根据题目中的方程，可以取a=1，b=2，计算f(1)=-6和f(2)=1，满足条件；2. 计算区间中点c=(a+b)/2=1.5；3. 计算f(c)=f(1.5)=-1.375，与0的关系异号，说明根在区间[1, 1.5]内；4. 重复步骤2和步骤3，不断缩小搜索范围，直到满足精度要求或找到根。
通过不断迭代，我们可以得到方程的根为x=1.709。
这个例题展示了二分法的基本思路和解题技巧，通过不断缩小搜索范围，我们可以逼近方程的根。
二、牛顿迭代法的原理和应用牛顿迭代法是一种通过不断迭代逼近方程根的方法，其基本原理是利用函数的切线来逼近根的位置。
具体步骤如下：1. 确定初始点x0；2. 计算函数f(x)在x0处的导数f'(x0)；3. 计算切线的方程y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；4. 求切线与x轴的交点x1，即x1=x0-f(x0)/f'(x0)；5. 重复步骤2到步骤4，直到满足精度要求或找到根。
第8章-8.1-二分法与求方程近似解高中数学必修第一册苏教版
的个数即函数 = 2 − 2与函数 = −lg 在区间 1,10
上的图象的交点个数，作出函数 = 2 − 2与函数
= −lg 的图象如图D 8.1-1所示，两函数图象的交点个
数为1，所以方程解的个数为1.
A.0
B.1
C.2
)
D.3
【解析】在同一平面直角坐标系中作出函数 = log 2 + 4 与
= 3 的大致图象，如图8.1-3.由图象可观察出两个函数图象共
有两个不同的交点，故方程log 2 + 4 = 3 有两个根．
图8.1-3
子题1 函数 = log 2 + 1 − 2 的零点个数为( C
1
在
2
C. 2,3
)
D. 3,4
0, +∞ 上单调递减，函数 = −log 2 在 0, +∞ 上单调递
1
2
3
2
减，所以 在 0, +∞ 上单调递减. 1 = − log 2 1 + 1 = > 0，当 ∈ 0,1 时，
> 1 > 0， 2 =
3 =
1
23
− log 2 3 + 1 =
因此2 < 3 < 1 .
【学会了吗丨变式题】
+ 2, ≤ −1,
1.［多选题］(2024·江苏省苏州市期末)已知 = ቐ 2 , −1 < < 2,则函数
2, ≥ 2,
= − 1的零点为(
A.− 3
BD
)
1
C.
2024春新教材高中数学4.5.2用二分法求方程的近似解教学设计新人教A版必修第一册
（六）课堂小结（预计用时：2分钟）
简要回顾本节课学习的“用二分法求方程的近似解”内容，强调重点和难点。
肯定学生的表现，鼓励他们继续努力。
布置作业：
根据本节课学习的“用二分法求方程的近似解”内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。
九．课后作业
1. 请用二分法求解方程f(x) = x^2 - 4 = 0的近似解，精度要求为0.01。
2. 请用二分法求解方程f(x) = sin(x) = 0的近似解，精度要求为0.01。
3. 请用二分法求解方程f(x) = x^3 - 3x - 1 = 0的近似解，精度要求为0.01。
4. 请用二分法求解方程f(x) = e^x - 1 = 0的近似解，精度要求为0.01。
再次，我在教学中使用了一些教学媒体和资源，如PPT、视频和在线工具等，以提高教学效果。这些教学媒体和资源的使用，使学生能够更直观地了解二分法的应用过程，提高他们的学习兴趣和学习动力。
最后，我在教学中注重培养学生的数据分析、数学建模等能力，通过实际例子的分析和操作，使学生能够将理论知识应用到实际问题中。同时，我也加强对学生的个别辅导，关注他们的学习进度，及时解答他们在学习过程中遇到的困惑。
提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。
六、知识点梳理
本节课的主要教学内容是高中数学4.5.2节中的“用二分法求方程的近似解”。具体内容包括：
1. 二分法的概念及其原理
- 二分法的定义：二分法是一种求解方程近似解的迭代方法，通过不断将方程的解的范围缩小，最终得到方程的近似解。
- 二分法的原理：二分法基于函数的连续性和介值定理，通过判断函数在区间两端取值的正负性，不断将解的范围缩小，直至满足精度要求。
优选高中数学人教A版必修用二分法求方程的近似解完整版课件
A．4，4 C．5，4 【答案】 D
B．3，4 D．4，3
题型二 二分法求函数零点的方法步骤
例 2 在用二分法求函数 f(x)零点近似值时，第一次取的区
间是(－2，4)，则第三次所取的区间可能是( )
A．(1，4)
B．(－2，1)
C．(－2，2.5)
D．(－0.5，1)
【答案】 D
思考题 2 用二分法求方程 ex＋x－3＝0 在 x∈[0，1]上的
要点 1 二分法的概念 对于在区间[a，b]上连续不断且__f(_a_)·_f(_b_)<_0__的函数 y＝f(x)， 通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间____一_分__为_二____，使区间 的两个端点___逐_步__逼_近__零__点___，进而得到零点近似值的方法叫做二 分法．
要点 2 如何理解“二分法” 顾名思义，二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断 地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足 够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地 表示真正的零点．
[1.25，1.375]
x3＝1.312 5
f(x3)＝0.163 330 078>0 [1.25，1.312 5]
由上表的计算可知，区间[1.25，1.312 5]的左、右端点保留
两位有效数字所取的近似值都是 1.3，因此 1.3 就是所求函数的一
个精确到 0.1 的正实数零点的近似值．
探究 2 由于用二分法求函数零点的近似值步骤比较繁琐， 因此用列表法往往能比较清晰地表达．事实上，还可用二分法继 续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值．
将①代入上述不等式中，解得 2≤a<52.
方法三(运用求根公式)： 方程 x2－2ax＋4＝0 的两根为 x1，x2＝2a± 42a2－16＝a± a2－4， 且 Δ≥0，得 a≥2 或 a≤－2. 要使两根均大于 1，只需小根 a－ a2－4>1 即可，即 a－ 1> a2－4的两边平方，解得 2≤a<52.
高一数学2分法的知识点
高一数学2分法的知识点2分法是高中数学中的一个重要知识点，它在数学分析和数值计算中起到了至关重要的作用。
本文将详细介绍2分法的概念、原理和应用，以帮助读者更好地理解和运用这一数学方法。
一、概念2分法，又称二分法或折半法，是一种常用的数值逼近方法。
它的基本思想是将计算区间二等分，通过逐步缩小区间范围来逼近函数的根或极值。
二、原理2分法的原理基于介值定理和收敛定理。
当函数在某一区间上连续且函数值在区间两端的符号不同，根据介值定理，可以推断该区间内存在根。
通过将区间一分为二，根据符号变化确定目标区间，不断缩小区间范围，就能逐步逼近函数的根或极值点。
三、步骤使用2分法求解函数根的一般步骤如下：1. 选择一个初始的区间[a, b]，确保函数在该区间上连续且函数值在区间两端的符号不同。
2. 计算区间的中点c，即c = (a + b) / 2。
3. 计算函数在中点处的函数值f(c)。
4. 如果f(c)为0，则c为函数的根，算法结束。
5. 如果f(c)不为0，根据中点的函数值与区间两端的函数值的符号关系，确定目标区间。
6. 将目标区间重新定义为[a, c]或[c, b]，重复步骤2至步骤5，直到满足收敛条件。
7. 根据需要，可以设置最大迭代次数或精度条件，以控制算法的收敛速度和结果精度。
四、应用案例2分法在实际问题中有广泛的应用，比如求方程的根、函数的零点、函数的极值点等。
以下是一个应用于求方程根的例子：假设要求方程f(x) = x^3 - 2x - 5 = 0在区间[1, 2]内的根，可以使用2分法进行逼近计算：1. 初始区间为[1, 2]，可以验证f(1) = -6，f(2) = 1，符号不同，满足条件。
2. 计算区间中点c = (1 + 2) / 2 = 1.5。
3. 计算f(1.5)，得到f(1.5) = -2.375。
4. 由于f(1.5)与f(1)的符号相同，目标区间为[1.5, 2]。
5. 将区间重新定义为[1.5, 2]，重复步骤2至步骤5。
人教版高中数学课件-二分法
求函数y= 2x+3x-7的零点的近似解
用计算机演示
小结
通过本节课的学习，你有哪些收获呢？学到 了哪些知识？
1.什么是二分法？
2.有哪些特点的函数适合用二分法求其零点的近似解？
3.如何利用二分法求方程的近似解？
1.下列函数图像中，不能用二分法求其零点的近似值的有
y
y
y
y
x
x
x
x
0
0
0
0
A
Bபைடு நூலகம்
C
D
2.课本P92习题3.1第2题
ab) 2
;
若
f
(ab) 2
f
(b) 0
，则零点
x0
(
ab 2
,b)
;
4.判断是否达到精确度ε，即若|a-b|<ε,则零点值为a（或b）, 否则重复步骤2—4.
例2：求方程 2x+3x-7=0 的近似解（精确到0.001）
转化成求函数y= 2x+3x-7的零点的近似值 探求函数y= 2x+3x-7的零点的个数 确定函数y= 2x+3x-7的零点所在的大致区间
4 1.687 0.1804 （1.625 ,1.687） 0.063
何时终止计 算呢？
<0.1
问题：精确度ε=0.001时，借助计算器或计算机
用二分法求方程x3+2x-8=0的近似解.
用EXCEL计算
二分法 ：
对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0 的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点 所在的区间一分为二，使区间的两个端点 逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方 法叫做二分法(bisection).
二分法的定义与应用-高中数学知识点讲解
二分法的定义与应用4．二分法的定义与应用【二分法的定义】二分法即一分为二的方法．设函数f（x）在[a，b]上连续，且满足f（a）•f（b）＜0，我们假设f（a）＜0，f （b）＞0，那么当x1 =푎+푏时，若f（x1）＝0，这说x1 为零点；若不为 0，假设大于 0，那么继续在[x1，b]区间2取中点验证它的函数值为 0，一直重复下去，直到找到满足要求的点为止．这就是二分法的基本概念．【二分法的应用】我们以具体的例子来说说二分法应用的一个基本条件：例题：下列函数图象均与x 轴有交点，其中能用二分法求函数零点的是解：能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，有图象可得，只有③能满足此条件，故答案为③．在这个例题当中，所要求的能力其实就是对概念的理解，这也是二分法它惯用的考查形式，通过这个例题，希望同学们能清楚二分法的概念和常考题型．【二分法求方程的近似解】二分法在高中主要属于了解性的内容，拿二分法求近似解思路也比较固定，这里我们主要以例题来做讲解．例：用二分法求方程푙푛푥=1在[1，2]上的近似解，取中点c＝1.5，则下一个有根区间是[1.5，2]．푥解：令函数f（x）＝lnx ―1，由于f（1.5）＝ln（1.5）―푥11.5=11（ln1.52﹣2）＜（lne2﹣2）＝0，即f（1.5）33＜0，而f（2）＝ln2 ―12=ln2﹣ln 푒=ln2푒=1412ln푒＞2ln1＝0，即f（2）＞0，1/ 2故函数f（x）在[1.5 2]上存在零点，故方程푙푛푥=1在[1.5，2]上有根，푥故答案为[1.5，2]．通过这个例题，我们可以发现二分法的步奏，第一先确定f（a）•f（b）＜0 的a，b 点；第二，寻找区间（a，b）的中点，并判断它的函数值是否为 0；第三，若不为 0，转第一步．2/ 2。
湘教版高中数学《计算函数零点的二分法》同步课件
CONTENTS
目
1
计算函数零点的二分法
录
2
习题4.4
3
数学实验
一 计算函数零点的二分法
一 计算函数零点的二分法
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了 故障.这是一条10km长的线路，在这条线路上有200多根电线杆.想一想：维修 工人应怎样最合理地迅速查出故障所在地呢？
似值(误差不超过0.01)．
二 习题4.4
温故而知新
5.若a<b<c，则函数f(x)=(x－a)(x－b)+(x－b)(x－c)+(x－c)(x－a)的两个零
点分别位
(B) (－∞，a)和(a，b)内
(C) (b，c)和(c，+∞)内 (D) (－∞，a)和(c，+∞)内
(4)计算f(m)，如果f(m)＝0，则m就是f(x)的零点，计算终止； (5) f(m)与f(a)同号则令a =m，否则令b=m，再执行(2).
一 计算函数零点的二分法
想一想：步骤(5)的根据是什么？计算一定会终止吗？要取多少次中点？ 参考上述操作步骤，可以画出程序框图（图4.4-5）：
开始
定义f(x)
的一个零点x0的近似值x，使它与零点的误差不超过给定的正数ε，即使得|x－x0 |≤ε.
(1)在D内取一个闭区间［a，b］⊆D，使f(a)与f(b)异号，即f(a)·f(b)＜0；
(2)取区间［a，b］的中点 m 1 a b ；
2
(3)如果|m－a|＜ε，则取m为f(x)的零点近似值，计算终止；
如图4.4-4，工人首先从线路的中点C查起，如果CB段正常，就选择CA的 中点D测试；如果DA段正常，就选择DC的中点E继续测试……像检修线路所 用的这种方法称作二分法.
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1
Abel
在十六世纪,人们已经找到了三次和 四次方程的求根公式,但对高于四次的代 数方程,类似的努力却一直没有成功.
到了十九世纪,根据阿贝尔(Abel) 和伽罗瓦(Galois)的研究,人们认识到 高于四次的代数方程不存在求根公式.
Galois
10
思想方法：
y
a
0
b
x
前提
对于在①区间[a,b]上连续不断且
f(a) ·f(b)＜０的函数 y=f(x) ，通过不断
地把函数f(x)的零点所在的区间一分为
二，使区间的两个端点逼近零点，进而
得到零点近似值。
11
思想方法：
y
a
0
b
x
前提
对于在①区间[a,b]上连续不断且
f(a) ·f(b)＜０的函数 y=f(x精) ，髓通过②不
若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；
若f(a).f(x1)<0，则此时零点x0∈(a, x1) 若f(x1).f(b)<0，则此时零点x0∈( x1,,b)
4、判断是否达到精确度ε ，即若|a-b|< ε
则得到零点近似值a(或b),否则重复2~4
17
二分法步骤速记口诀
定区间，找中点， 中值计算两边看. 同号去，异号算， 零点落在异号间. 周而复始怎么办? 精确度上来判断.
2
回顾：
２、零点的判定定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是 连续不断的一条曲线，并且有f(a) ·f(b)＜０， 那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点， 即存在c ∈（a,b），使得f(c)=0，这个 c 也就是方程f(x)=0的根。
3
忆一忆
下列区间有函数 f ( x) x3 x 1 零点 的是( B )
结果
13
※二分法定义 对于在区间[a,b]上连续不断且f(a) f(b)<0
的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点
所在的区间一分为二,使区间的两个端点 逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法
叫做二分法。
14
例2 借助计算器或计算机用二分法求方 程2x+3x=7的近似解（精确度0.1）
同理可得， x0∈（1.375，1.5），x0∈ （1.375，1.4375），由于
|1.375-1.4375|=0.0625〈 0.1
所以，原方程的近似解可取为1.4
16
用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
1、 确定区间[a,b]，验证f(a).f(b)<0,给定精确度ε ；
2、求区间（a,b）的中点x1， 3、计算f(x1)
解：原方程即2x+3x=7，令f(x)= 2x+3x-7， 用计算器作出函数f(x)= 2x+3x-7的对应值表 和图象如下：
x 0 123 4 5 6 7 8 f(x) -6 -2 3 10 21 40 75 142 273
15
因为f(1)·f(2)<0所以 f(x)= 2x+3x-7 在
（1，2）内有零点x0,取（1，2）的中点 xf(11=)1·f.(51，.5)f<(10.所5)以= 0x.03∈3，（因1，为1.5） 取（1，1.5）的中点x2=1.25 ,f(1.25)= -0.87， 因为f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈（1.25，1.5）
1.首先从中点C查 2.用随身带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定
故障在BC段 3.再到BC段中点D 4.这次发现BD段正常,可见故障在CD段 5.再到CD中点E来看 6.这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半
A
C ED
B
6
二、方法探究
(1)不解方程,如何求方程 x2 2x 1 0 的一个
断地把函数f(x)的零点所在的区间一分
为二，使区间的两个端点逼近零点，进
而得到零点近似值。
12
思想方法：
y
a
0
b
x
前提
对于在①区间[a,b]上连续不断且
f(a) ·f(b)＜０的函数 y=精f(x髓) ，通过②不
断地把函数f(x)的零点所在的区间一分
为二，使区间的两个端点逼近零点，进
而③得到零点近似值。
正的近似解.(精确到0.1)
解：设f (x) x2 2x 1
10
8
6
4 y=x^2-2x-1
2
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-2
-4 7
例1.不解方程，求方程X2-2X-1=0的一个正近似解
分析：设 f (x) x2 2x 1 先画出函数图象的简图， y y=x2-2x-1
如何进一步有效缩小根所在的区间？ 第一步：得到初始区间（2，3） 第二步：取2与3的平均数2.5
18
三、例题
利用计算器，求方程
的近似解(精确到0.1)
解:(法一) 画出 f (x) 2x x 4 的图象，观察图象得，
方程 f (x) 2x x 4 有惟一解，记为x1 ，且这个解在
A.(1,0) B.(1,2) C.(0,1) D.(2,3)
x
-1
0
1
2
3
f ( x) -1
-1
-1
5 23
4
知识探究（一）:二分法的概念
引例:从某水库闸房到防洪指挥部的 某一处电话线路发生了故障。这是一 条10km长的线路，如何迅速查出故障 所在？
5
如图,设闸门和指挥部的所在处为点A,B,
-+
f(2.375)<0，f(2.4375)>0 2.375<x1<2.4375
2 2.375 2.4375 3
∵ | 2.375-2.4375 | 0.1
∴此方程的近似解为 x1 2 . 4 若要求结果
y
a
0
b
x
对于在区间[a,b]上连续不断且f(a) ·f(b)＜０ 的函数 y=f(x) ，通过不断地把函数f(x)的零 点所在的区间一分为二，使区间的两个端点 逼近零点，进而得到零点近似值。
x
-10 1 2 3
第三步：再取2与2.5的平均数2.25
如此继续取下去：
2.25
2 2.5 3
若要求结果精确到0.1，则何时停 止操作？
2 2.5
8
二、方法探究
-
+
2
3
-
+
2
2.5
3
-+
2 2.25 2.5
3
-+
2
2.375 2.5
3
f(2)<0，f(3)>0 2<x1<3 f(2)<0，f(2.5)>0 2<x1<2.5 f(2.25)<0，f(2.5)>0 2.25<x1<2.5 f(2.375)<0，f(2.5)>0 2.375<x1<2.5