2014年高考高三理科第七章常用逻辑用语、推理证明 (2)7.2

题型三 全(特)称命题的否定 例 3 写出下列命题的“否定”，并判断其真假． 1 2 (1)p：∀x∈R，x －x＋4≥0； (2)q：所有的正方形都是矩形； (3)r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0； (4)s：至少有一个实数 x，使 x3＋1＝0.
1 解析：(1)綈 p：∃x∈R，x －x＋ ＜0，这是假命题， 4
答案： ①“且”“或”“非” ②p∧q ③“p 且 q” ④ p∨q ⑤綈 p ⑥假 ⑦真 ⑧真 ⑨假 ⑩真 ⑪假 ⑫真 ⑬真 ⑭假 ⑮真 ⑯假 ⑰假 ⑱全称量词 ⑲存在量词 23 ○全称 ⑳∃x∈M，綈 p(x) 21 22 ○特称 ○∀x∈M，綈 p(x)
考点自测 1.全称命题“∀x∈Z,2x＋1 是整数”的逆命题是( A．若 2x＋1 是整数，则 x∈Z B．若 2x＋1 是奇数，则 x∈Z C．若 2x＋1 是偶数，则 x∈Z D．若 2x＋1 能被 3 整除，则 x∈Z
5．命题“ ∀ x∈ R， ∃m∈ Z，m2 －m＜x2 ＋x＋1”是 __________命题．(填“真”或“假”)
12 3 3 ＋x＋1＝x＋2 ＋ ≥ ＞0，因为只 4 4
解析：由于∀x∈R，x
2
需 m2－m≤0， 0≤m≤1， 即 所以当 m＝0 或 m＝1 时， ∀x∈R， m2－m＜x2＋x＋1 成立，因此命题是真命题． 答案：真
变式探究 1
若命题 p：不等式 ax＋b＞0 的解集是{x|x＞
b －a}，命题 q：关于 x 的不等式(x－a)(x－b)＜0 的解集是{x|a ＜x＜b}，则在命题：“p 且 q”、“p 或 q”、“非 p”、“非 q”中，是假命题的有__________．
解析： 依题意可知命题 p 和 q 都是假命题， 所以“p 且 q” 为假、“p 或 q”为假、“非 p”为真、“非 q”为真． 答案：“p 且 q”、“p 或 q”
解析：p 且 q 是假命题⇒p 和 q 中至少有一个假，则綈 p 和綈 q 至少有一个是真命题． p 或 q 是假命题⇒p 和 q 都是假命题． 则綈 p 和綈 q 都是真命题． 答案：D
3． 已知 p： 2＋2＝5； 3＞2， q： 则下列判断错误的是( A．“p∨q”为真，“綈 q”为假 B．“p∧q”为假，“綈 p”为真 C．“p∧q”为假，“綈 p”为假 D．“p∧q”为假，“p∨q”为真
2．正确区别：命题的否定与否命题 “否命题”是对原命题“若 p，则 q”的条件和结论分别 加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命 题的否定”即“非 p”，只是否定命题 p 的结论． 命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只 有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系.
题型探究 题型一 含有逻辑联结词的命题真假判定 例 1 已知命题 p：∃x∈R，使 tanx＝1，命题 q：x2－3x＋2＜0 的解集 是{x|1＜x＜2}，给出下列结论： ①命题“p∧q”是真命题； ②命题“p∧綈 q”是假命题； ③命题“綈 p∨q”是真命题； ④命题“綈 p∨綈 q”是假命题．其中正确的是( A．②③ C．①③④ B．①②④ D．①②③④ )
)
解析：∵2＋2＝5 是错误的，∴命题 p 为假命题．∵q 为 真命题，綈 q 为假，∴p∨q 为真，p∧q 为假，綈 p 为真． 答案：C
4．下列全称命题中假命题的个数是__________． ①2x＋1 是整数(x∈R) ②∀x∈R，x＞3 ③∀x∈Z,2x2＋1 为奇数
解析：①、②是假命题． 答案：2
点评：解决这类问题时，应先根据题目条件，即复合命题 的真假情况，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情 况)，然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围，最后 根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．
变式探究 4 已知 c＞0，命题 p：函数 y＝cx 在 R 上单调 递减，q：不等式 x＋|x－2c|＞1 的解集为 R，p∧q 为假，p∨q 为真，求 c 的取值范围．
解析：函数 y＝cx 在 R 上单调递减⇔0＜c＜1. 不等式 x＋|x－2c|＞1 的解集为 R ⇔函数 y＝x＋|x－2c|在 R 上恒大于 1. 2x－2c， x≥2c， ∵x＋|x－2c|＝ 2c， x＜2c， ∴函数 y＝x＋|x－2c|在 R 上的最小值为 2c. 1 不等式 x＋|x－2c|＞1 的解集为 R⇔2c＞1⇔c＞ . 2 1 如果 p 正确，且 q 不正确，则 0＜c≤2； 如果 p 不正确，且 q 正确，则 c≥1. 1 0， ∪[1，＋∞). ∴c 的取值范围为 2
解析：(1)綈 p：存在一个末位数字是 0 的整数不能被 5 整 除，假命题． (2)綈 q：∃x≥0，x2≤0，真命题． (3)綈 r：所有三角形的内角和都小于等于 180° ，真命题． (4)綈 t：每一个梯形的对角线都不互相平分，真命题.
题型四 由命题真假求参数的取值范围 例 4 已知 p：方程 x2＋mx＋1＝0 有两个不等的负根，q： 方程 4x2＋4(m－2)x＋1＝0 无实根．若 p 或 q 为真，p 且 q 为 假，求 m 的取值范围．
2.量词 (1)短语“所有的、任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词；常见的全 称量词还有“一切、每一个、任给、所有的”等． (2)含有⑱__________的命题叫做全称命题． (3)短语“存在一个、至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词；常见 的存在量词还有“有些、有一个、某个”等． (4)含有⑲__________的命题叫做特称命题． (5)全称命题 p：∀x∈M，p(x)的否定綈 p：⑳_________；全称命题的 21 否定是○______命题． 22 (6)特称命题 p：∃x∈M，p(x)的否定綈 p：○__________；特称命题的 23 否定是○______命题．
2
1 12 因为∀x∈R，x －x＋ ＝(x－ ) ≥0 恒成立． 4 2
2
(2)綈 q：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题． (3)綈 r：∀x∈R，x2＋2x＋2＞0，是真命题，这是由于∀x∈R， x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1＞0 成立． (4)綈 s：∀x∈R，x3＋1≠0，是假命题，这是由于 x＝－1 时， x3＋1＝0.
说考点
拓展延伸串知识
பைடு நூலகம்
疑点清源 1.逻辑联结词“或”的含义有三种 逻辑联结词中的“或”的含义，与并集概念中的“或”的 含义相同．如“x∈A 或 x∈B”，是指：x∈A 且 x∉B；x∉A 且 x ∈B；x∈A 且 x∈B 三种情况．再如“p 真或 q 真”是指：p 真 且 q 假；p 假且 q 真；p 真且 q 真三种情况．因此，在遇到逻 辑联结词“或”时，要注意分析三种情况．
题型二 判断全称命题与特称命题的真假 例 2 判断下列命题是否是全称命题或特称命题，若是，用 符号表示，并判断其真假． (1)有一个实数 α，sin2α＋cos2α≠1； (2)任何一条直线都存在斜率； (3)所有的实数 a，b，方程 ax＋b＝0 恰有唯一解； 1 (4)存在实数 x，使得 2 ＝2. x －x＋1
点评：这四个命题中，p，q 是全称命题，r，s 是特称命题． 全称命题 p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈 p：∃x∈M，綈 p(x)． 特称命题 q：∃x∈M，q(x)，它的否定綈 q：∀x∈M，綈 q(x)．
变式探究 3 写出下列命题的否定并判断真假． (1)p：所有末位数字是 0 的整数都能被 5 整除； (2)q：∀x≥0，x2＞0； (3)r：存在一个三角形，它的内角和大于 180° ； (4)t：某些梯形的对角线互相平分．
7．2 简单的逻辑联结词、 全称量词与存在量词
考纲点击 1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义． 2．理解全称量词与存在量词的意义. 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
说基础
课前预习读教材
考点梳理 1.简单的逻辑联结词 (1)①______________叫做逻辑联结词． (2)用联结词“且”联结命题 p 和命题 q，记作②______， 读作③__________. (3)用联结词“或”联结命题 p 和命题 q，记作④______， 读作“p 或 q”． (4)对一个命题 p 全盘否定记作⑤______，读作“非 p”或 “p 的否定”．
解析：(1)指数函数的形式为 y＝ax(其中 a＞0 且 a≠1)，定 义域{x|x∈R}， 对每一个符合题意的 a， 函数 y＝ax 都是单调的， 当 a＞1 时，函数 y＝ax 在 R 上为增函数．当 0＜a＜1 时，函 数 y＝ax 在 R 上为减函数，所以，全称命题“每个指数函数都 是单调函数”是真命题． (2)－1 是实数，但 x2＝－1 无解，也就是 －1无意义，所 以，全称命题“任何实数都有算术平方根”是假命题． (3) 3是无理数， 但( 3)2＝3 是有理数， 所以， 全称命题“∀ x∈{x|x 是无理数}，x2 是无理数”是假命题． (4)由于－1∈R， x＝－1 时， 3≤0， 当 x 所以， 特称命题“∃ x∈R，x3≤0”是真命题.
解析：命题 p：∃x∈R，使 tanx＝1 是真命题， 命题 q：x2－3x＋2＜0 的解集是{x|1＜x＜2}也是真命题， ∴①命题“p∧q”是真命题； ②命题“p∧綈 q”是假命题； ③命题“綈 p∨q”是真命题； ④命题“綈 p∨綈 q”是假命题，故应选 D. 答案：D
点评：正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含 义是关键，解题时应根据组成各个复合命题的语句中所出现的 逻辑联结词进行命题结构与真假的判断．其步骤为：①确定复 合命题的构成形式；②判断其中简单命题的真假；③根据其真 值表判断复合命题的真假．
解析：本题考查全称命题以及特称命题的含义以及符号表 示，可以按照定义进行求解． (1)是一个特称命题，用符号表示为：∃α∈R，sin2α＋ cos2α≠1，是一个假命题． (2)是一个全称命题， 用符号表示为： ∀直线 l， 存在斜率， l 是一个假命题． (3)是一个全称命题，用符号表示为：∀a，b∈R，方程 ax ＋b＝0 恰有唯一解，是一个假命题． 1 (4)是一个特称命题，用符号表示为：∃x∈R， 2 ＝ x －x＋1 2，是一个假命题．