2020年6月2020届江苏省姜堰、如东县2017级高三高考考前适应性考试数学试卷及答案

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江苏省普通高等学校2017年高三招生考试20套模拟测试数学试题二含解析精品

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(二)数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：1. 样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n ∑i ＝1n (x i －x －)2，其中x －＝1n ∑i ＝1nx i ；2. 锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 是锥体的底面面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 已知集合A ＝{x|－1≤x ≤1}，则A ∩Z ＝______________．2. 若复数z ＝(1－i)(m ＋2i)(i 为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为____________．3. 数据10，6，8，5，6的方差s 2＝____________．4. 抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，记落在桌面的底面上的数字分别为x ，y ，则xy为整数的概率是________．(第6题)5. 已知双曲线x 2－y 2m2＝1(m ＞0)的一条渐近线方程为x ＋3y ＝0，则m ＝______________．6. 执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是__________．7. 底面边长为2，侧棱长为3的正四棱锥的体积为____________．8. 在等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 7＝__________．9. 已知|a|＝1，|b|＝2，a ＋b ＝(1，2)，则向量a ，b 的夹角为____________． 10. 直线ax ＋y ＋1＝0被圆x 2＋y 2－2ax ＋a ＝0截得的弦长为2，则实数a 的值是____________．11. 已知函数f(x)＝－x 2＋2x ，则不等式f(log 2x)＜f(2)的解集为__________．12. 将函数y ＝sin2x 的图象向左平移φ(φ＞0)个单位，若所得的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，则φ的最小值为____________．13. 在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ，若AO →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的值为____________．14. 已知函数f(x)＝e x －1＋x －2(e 为自然对数的底数)，g(x)＝x 2－ax －a ＋3，若存在实数x 1，x 2，使得f(x 1)＝g(x 2)＝0，且|x 1－x 2|≤1，则实数a 的取值范围是____________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b ＝4，c ＝6，且asinB ＝2 3. (1) 求角A 的大小；(2) 若D 为BC 的中点，求线段AD 的长．16.(本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，AC 与BD 交于点O ，且平面PAC ⊥底面ABCD ，E 为棱PA 上一点．(1) 求证：BD ⊥OE ；(2) 若AB ＝2CD ，AE ＝2EP ，求证：EO ∥平面PBC.已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2＋k(n ∈N *，k ∈R )，且a 1＝2，a 3＋a 5＝－4. (1) 若k ＝0，求数列{a n }的前n 项和S n ； (2) 若a 4＝－1，求数列{a n }的通项公式a n .18. (本小题满分16分)如图，墙上有一壁画，最高点A 离地面4 m ，最低点B 离地面2 m ，观察者从距离墙x m(x ＞1)，离地面高a m(1≤a ≤2)的C 处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB ＝θ.(1) 若a ＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？ (2) 若tan θ＝12，当a 变化时，求x 的取值范围．如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上、下顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，且OP ⊥AF.(1) 若点P 坐标为(3，1)，求椭圆C 的方程；(2) 延长AF 交椭圆C 于点Q ，若直线OP 的斜率是直线BQ 的斜率的2倍，求椭圆C 的离心率；(3) 求证：存在椭圆C ，使直线AF 平分线段OP.20. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝cosx ＋ax 2－1，a ∈R . (1) 求证：函数f(x)是偶函数；(2) 当a ＝1时，求函数f(x)在[－π，π]上的最值； (3) 若对于任意的实数x 恒有f(x)≥0，求实数a 的取值范围.(二)1. {－1，0，1} 解析：本题主要考查集合的运算．本题属于容易题．2. －2 解析：z ＝(1－i)(m ＋2i)＝ m ＋2＋(2－m)i 是纯虚数，则m ＝－2.本题主要考查纯虚数的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题．3. 165 解析：平均数为7，由方差公式得方差s 2＝165.本题考查了平均数及方差的概念及计算公式．本题属于容易题．4. 12 解析：本题的基本事件数为16，x y 为整数的的基本事件数为8，则所求的概率是12.本题考查古典概型，属于容易题．5. 33 解析：双曲线x 2－y 2m 2＝1(m ＞0)的一条渐近线方程为x ＋y m＝0，与x ＋3y ＝0是同一条直线，则m ＝33.本题考查了双曲线方程与其渐近线的方程之间的关系．本题属于容易题．6. －1 解析：由流程图知循环体执行8次，第1次循环S ＝12，n ＝2；第2次循环S＝－1，n ＝3；第3次循环S ＝2，n ＝4，…，第8次循环S ＝－1，n ＝9.本题考查了算法及流程图的基本内容．本题属于容易题．7. 43 解析：底面边长为2，侧棱长为3的正四棱锥的高为1，底面积为4，则体积为43.本题考查了正四棱锥的体积公式．本题属于容易题．8. 4 解析：由a 1＝1，a 3a 5＝4(a 4－1)，得q 3＝2，则a 7 ＝a 1(q 3)2＝4.本题考查了等比数列通项公式，以及项与项之间的关系．本题属于容易题．9. 23π 解析：由a ＋b ＝(1，2)，得(a ＋b )2＝3，则1＋4＋2a·b ＝3，a ·b ＝－1＝|a||b|cos θ，cos θ＝－12，则θ＝23π.本题考查了向量数量积的定义，模与坐标之间的关系．本题属于容易题．10. －2 解析：由圆x 2＋y 2－2ax ＋a ＝0的圆心(a ，0)，半径的平方为a 2－a ，圆心到直线ax ＋y ＋1＝0的距离的平方为a 2＋1，由勾股定理得a ＝－2.本题考查了点到直线的距离公式，以及利用垂径定理、勾股定理处理弦长问题．本题属于容易题．11. (0，1)∪(4，＋∞) 解析：∵ 二次函数f(x)＝－x 2＋2x 的对称轴为x ＝1，∴ f(0)＝f(2)，结合二次函数的图象可得log 2x<0或log 2x>2，解得0<x<1或x>4，∴ 解集为(0，1)∪(4，＋∞)．本题考查了二次函数的图象与性质，以及基本的对数不等式的解法．本题属于中等题．12. π6 解析：易知y ＝sin2(x ＋φ)，即y ＝sin(2x ＋2φ)，∵ 图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，∴sin ⎝⎛⎭⎫π3＋2φ＝32，∴ π3＋2φ＝π3＋2k π或π3＋2φ＝2π3＋2k π，k ∈Z ，即φ＝k π或φ＝π6＋k π，k ∈Z .∵ φ>0，∴ φ的最小值为π6.本题考查了三角函数的图象变换与性质．本题属于中等题．13. 58 解析：∵ AO 为△ABC 的角平分线，∴ 存在实数λ(λ≠0)使AO →＝λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB →||AB→＋AC →||AC →，即AO →＝12λAB →＋13λAC →，∴ ⎩⎨⎧12λ＝x ，13λ＝y ①.若AB 边上的中线与AB 交于点D ，则AO →＝2xAD→＋yAC →.∵ C 、O 、D 三点共线，∴ 2x ＋y ＝1 ②，由①②得x ＝38，y ＝14，∴ x ＋y ＝58.本题考查了平面向量的线性表示以及向量的共线定理．本题属于难题．14. [2，3] 解析：易知函数f(x)＝e x －1＋x －2在R 上为单调增函数且f(1)＝0，∴ x 1＝1，则|1－x 2|≤1解得0≤x ≤2，∴ x 2－ax －a ＋3＝0在x ∈[0，2]上有解，∴ a ＝x 2＋3x ＋1在x ∈[0，2]上有解．令t ＝x ＋1∈[1，3]，则x ＝t －1，a ＝（t －1）2＋3t ，即a ＝t ＋4t－2 在[1，2]上递减，在[2，3]上递增，则当t ＝2时a 的最小值为2，当t ＝1时a 的最大值为3，∴ a 的取值范围为[2，3]．本题考查了函数的单调性，分离参数构造新函数，对数函数的性质以及换元的应用．本题属于难题．15. 解：(1) 由正弦定理，得asinB ＝bsinA ，(2分)因为b ＝4，asinB ＝23，所以sinA ＝32.(4分)又0＜A ＜π2，所以A ＝π3.(6分)(2) 若b ＝4，c ＝6，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝16＋36－2×24×12＝28，所以a ＝27.(8分)因为asinB ＝23，所以sinB ＝217，从而cosB ＝277.(10分)因为D 为BC 的中点，所以BD ＝DC ＝7.在△ABD 中，由余弦定理得AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB·BD ·cosB ，即AD 2＝36＋7－2×6×7×277＝19，所以AD ＝19.(14分)16. 证明：(1) 因为平面PAC ⊥底面ABCD ，平面PAC ∩底面ABCD ＝AC ，BD ⊥AC ，BD 平面ABCD ，所以BD ⊥平面PAC.因为OE ⊂ 平面PAC ，所以BD ⊥OE.(6分)(2) 因为AB ∥CD ，AB ＝2CD ，AC 与BD 交于O ，所以CO ∶OA ＝CD ∶AB ＝1∶2.因为AE ＝2EP ，所以CO ∶OA ＝PE ∶EA ，所以EO ∥PC. 因为PC ⊂平面PBC ，EO ⊄ 平面PBC ，所以EO ∥平面PBC.(14分)17. 解：(1) 当k ＝0时，2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，所以数列{a n }是等差数列．(2分)设数列{a n }公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，2a 1＋6d ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－43.(4分)所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝2n ＋n （n －1）2×⎝⎛⎭⎫－43＝－23n 2＋83n.(6分)(2) 由题意，2a 4＝a 3＋a 5＋k ，即－2＝－4＋k ，所以k ＝2.(8分) 又a 4＝2a 3－a 2－2＝3a 2－2a 1－6，所以a 2＝3.由2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2＋2，得(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝－2，所以，数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝1为首项，－2为公差的等差数列．所以a n ＋1－a n ＝－2n ＋3.(10分)当n ≥2时，有a n －a n －1＝－2(n －1)＋3，于是a n －1－a n －2＝－2(n －2)＋3，a n －2－a n －3＝－2(n －3)＋3，…，a 3－a 2＝－2×2＋3，a 2－a 1＝－2×1＋3，叠加，得a n －a 1＝－2[1＋2＋…＋(n －1)]＋3(n －1)(n ≥2)，所以a n ＝－2×n （n －1）2＋3(n －1)＋2＝－n 2＋4n －1(n ≥2)．(13分)又当n ＝1时，a 1＝2也适合．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋4n －1，n ∈N *.(14分)18. 解：(1) 当a ＝1.5时，过C 作AB 的垂线，垂足为D ，则BD ＝0.5 m ，且θ＝∠ACD－∠BCD ，由已知观察者离墙x m ，且x ＞1，则tan ∠BCD ＝0.5x ，tan ∠ACD ＝2.5x，(2分)所以tan θ＝tan(∠ACD －∠BCD)＝ 2.5x －0.5x 1＋2.5×0.5x 2＝2x1＋1.25x 2＝2x ＋1.25x ≤2254＝255，当且仅当x ＝52＞1时，取“＝”．(6分) 又tan θ在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调增，所以，当观察者离墙52m 时，视角θ最大．(8分)(2) 由题意，得tan ∠BCD ＝2－a x ，tan ∠ACD ＝4－a x ，又tan θ＝12，所以tan θ＝tan(∠ACD－∠BCD)＝2x x 2＋（a －2）·（a －4）＝12，(10分)所以a 2－6a ＋8＝－x 2＋4x ，当1≤a ≤2时，0≤a 2－6a ＋8≤3，所以0≤－x 2＋4x ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ≤0x 2－4x ＋3≥0，解得0≤x ≤1或3≤x ≤4.(14分) 因为x ＞1，所以3≤x ≤4，所以x 的取值范围为[3，4]．(16分)19. (1) 解：因为点P(3，1)，所以k OP ＝13.因为AF ⊥OP ，－b c ×13＝－1，所以3c ＝b ，所以3a 2＝4b 2.(2分) 又点P(3，1)在椭圆上，所以3a 2＋1b 2＝1，解之得a 2＝133，b 2＝134.故椭圆C 的方程为x 2133＋y2134＝1.(4分)(2) 解：由题意，直线AF 的方程为x c ＋y b ＝1，与椭圆C 的方程x 2a 2＋y 2b2＝1联立消去y ，得a 2＋c 2a 2c 2x 2－2x c ＝0，解得x ＝0或x ＝2a 2c a 2＋c 2，所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b （c 2－a 2）a 2＋c 2，(7分)所以直线BQ 的斜率为k BQ ＝b （c 2－a 2）a 2＋c 2＋b2a 2c a 2＋c2＝bca 2. 由题意得cb ＝2bca2，所以a 2＝2b 2，(9分)所以椭圆的离心率e ＝c a ＝1－b 2a 2＝22.(10分)(3) 证明：因为线段OP 垂直AF ，则直线OP 的方程为y ＝cx b ，与直线AF 的方程x c ＋yb＝1联立，解得两直线交点的坐标⎝⎛⎭⎫b 2c a 2，bc 2a 2.因为线段OP 被直线AF 平分，所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫2b 2c a 2，2bc 2a 2.(12分)由点P 在椭圆上，得4b 4c 2a 6＋4b 2c 4a 4b 2＝1，又b 2＝a 2－c 2，设c2a 2＝t ，得4[(1－t)2·t ＋t 2]＝1. (*)(14分)令f(t)＝4[(1－t)2·t ＋t 2]－1＝4(t 3－t 2＋t)－1，因为f′(t)＝4(3t 2－2t ＋1)＞0，所以函数f(t)单调增．又f(0)＝－1＜0，f(1)＝3＞0，所以f(t)＝0在区间(0，1)上有解，即(*)式方程有解，故存在椭圆C ，使线段OP 被直线AF 垂直平分．(16分) 20. (1) 证明：函数f(x)的定义域为R ，因为f(－x)＝cos(－x)＋a(－x)2－1＝cosx ＋ax 2－1＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．(3分)(2) 解：当a ＝1时，f(x)＝cosx ＋x 2－1，则f′(x)＝－sinx ＋2x ，令g(x)＝f′(x)＝－sinx ＋2x ，则g′(x)＝－cosx ＋2＞0，所以f′(x)是增函数．又f′(0)＝0，所以f′(x)≥0，所以f(x)在[0，π]上是增函数．又函数f(x)是偶函数，故函数f(x)在[－π，π]上的最大值是π2－2，最小值为0.(8分) (3) 解：f′(x)＝－sinx ＋2ax ，令g(x)＝f′(x)＝－sinx ＋2ax ，则g′(x)＝－cosx ＋2a ，① 当a ≥12时，g ′(x)＝－cosx ＋2a ≥0，所以f′(x)是增函数．又f′(0)＝0，所以f′(x)≥0，所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数．而f(0)＝0，f(x)是偶函数，故f(x)≥0恒成立．(12分)② 当a ≤－12时，g ′(x)＝－cosx ＋2a ≤0，所以f′(x)是减函数．又f′(0)＝0，所以f′(x)≤0，所以f(x)在(0，＋∞)上是减函数．而f(0)＝0，f(x)是偶函数，所以f(x)＜0，与f(x)≥0矛盾，故舍去．(14分)③ 当－12＜a ＜12时，必存在唯一x 0∈(0，π)，使得g′(x 0)＝0，因为g′(x)＝－cosx ＋2a在[0，π]上是增函数，所以当x ∈(0，x 0)时，g ′(x)＜0，即f′(x)在(0，x 0)上是减函数．又f ′(0)＝0，所以当x ∈(0，x 0)时，f ′(x)＜0，即f(x)在(0，x 0)上是减函数．而f(0)＝0，所以当x ∈(0，x 0)时，f(x)＜0，与f(x)≥0矛盾，故舍去．综上，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞.(16分)。

2020届江苏省泰州市姜堰区、南通市如东县高三下学期适应性考试数学试题(解析版)

【点睛】
本题考查了导数与函数单调性、极值与最值的综合应用，零点存在定理的应用，由不等式有解求参数的值，属于中档题.
二、解答题
15．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，过的平面分别与，交于点，．
（1）求证：平面平面；
（2）求证： ∥ ．
【答案】(1)见证明；(2)见证明
【解析】（1）推导出BC⊥CD，PD⊥BC，由此能证明BC⊥平面PCD,进而证明平面平面（2）由AD∥BC，得AD∥平面PBC，由此能证明AD∥EF．
【答案】
【解析】根据复数求法运算，即可求得答案．
【详解】
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了复数除法运算，解题关键是掌握复数除法的运算方法，考查了分析计算能力，属于基础题．
3．某次数学测验五位同学的成绩分布茎叶图如图，则这五位同学数学成绩的方差为________.
【答案】10；
【解析】根据茎叶图，先求得这五位同学成绩的平均数，再由方差公式即可得解.
直线，的斜率之积为定值 .
证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为 .
当直线的斜率存在时，设直线，设，
由，解得，
因为直线l与椭圆有且只有一个公共点，
所以，
所以
由得，
所以
所以
要使为定值（与无关），则，即 .
所以当圆的方程为，圆与直线相交于两点，
直线，的斜率之积为定值 .
【详解】
由茎叶图可知，这五位同学的成绩分别为122,128,129,130,131.
所以这五位同学成绩的平均值为，
由方差公式可知这五位同学成绩的方差为
故答案为：10.
【点睛】

江苏省普通高等学校2017年高三招生考试20套模拟测试数

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(二十)数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：1. 锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面积，h 为高．2. 样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n ∑i ＝1n (x i －x －)2，标准差为s 2，其中x －＝1n i ＝1n x i .一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{1，3，5，7，9}，C ＝A ∩B ，则集合C 的子集的个数为________．2. 若复数z 满足(2－i)z ＝4＋3i(i 为虚数单位)，则|z|＝__________．3. 甲、乙两盒中各有除颜色外完全相同的2个红球和1个白球，现从两盒中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为__________．4. 已知一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的方差是2，则数据2x 1，2x 2，2x 3，2x 4，2x 5的标准差为__________．5. 如图所示，该伪代码运行的结果为__________． S ←0 i ←1 While S ≤20 S ←S ＋i i ←i ＋2 End While Print i (第5题)6. 以双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为__________．7. 设M ，N 分别为三棱锥PABC 的棱AB ，PC 的中点，三棱锥PABC 的体积记为V 1，三棱锥PAMN 的体积记为V 2，则V 2V 1＝__________．8. 已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤5，x －y ≤－2，则2y －12x ＋3的最大值为__________．9. 若f(x)＝3sin(x ＋θ)－cos(x ＋θ)⎝⎛⎭⎫－π2≤θ≤π2是定义在R 上的偶函数，则θ＝__________．10. 已知向量a ，b 满足a ＝(4，－3)，|b|＝1，|a －b|＝21，则向量a ，b 的夹角为__________．11. 已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA →²CB →＝λ(λ为常数)，且点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则实数λ的最大值是__________．12. 若函数f(x)＝e x ＋x 3－12x －1的图象上有且只有两点P 1，P 2，使得函数g(x)＝x 3＋mx 的图象上存在两点Q 1，Q 2，且P 1与Q 1、P 2与Q 2分别关于坐标原点对称，则实数m 的取值集合是__________．13. 若数列{a n }满足：对任意的n ∈N *，只有有限个正整数m 使得a m ＜n 成立，记这样的m 的个数为b n ，则得到一个新数列{b n }．例如，若数列{a n }是1，2，3，…，n ，…，则数列{b n }是0，1，2，…，n －1，….现已知数列{a n }是等比数列，且a 2＝2，a 5＝16，则数列{b n }中满足b i ＝2 016的正整数i 的个数为__________．14. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 为锐角三角形，且满足b 2－a 2＝ac ，则1tanA －1tanB的取值范围是__________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，a ＋c ＝4. (1) 当a ，b ，c 成等差数列时，求△ABC 的面积； (2) 设D 为AC 边的中点，求线段BD 长的最小值．16. (本小题满分14分)如图，四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是矩形，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为棱AB ，PC 的中点．求证：(1) EF ∥平面PAD ；(2) 平面PDE⊥平面PEC.一位创业青年租用了一块边长为1百米的正方形田地ABCD 来养蜂、产蜜与售蜜，他在正方形的边BC ，CD 上分别取点E ，F(不与正方形的顶点重合)，连结AE ，EF ，FA ，使得∠EAF ＝45°.现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区，△AEF 部分规划为蜂巢区，△CEF 部分规划为蜂蜜交易区．若蜂源植物生长区的投入约为2³105元/百米2，蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为105元/百米2，则这三个区域的总投入最少需要多少元？18. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左顶点为A ，右焦点为F ，P ，Q为椭圆C 上两点，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)．(1) 若PF ⊥x 轴，且满足直线AP 与圆O 相切，求圆O 的方程；(2) 若圆O 的半径为3，点P ，Q 满足k OP ²k OQ ＝－34，求直线PQ 被圆O 截得弦长的最大值．已知函数f(x)＝mlnx(m ∈R )．(1) 若函数y ＝f(x)＋x 的最小值为0，求m 的值；(2) 设函数g(x)＝f(x)＋mx 2＋(m 2＋2)x ，试求g(x)的单调区间；(3) 试给出一个实数m 的值，使得函数y ＝f(x)与h(x)＝x －12x (x ＞0)的图象有且只有一条公切线，并说明此时两函数图象有且只有一条公切线的理由．20. (本小题满分16分)已知数列{a n }满足a 1＝m ，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，n ＝2k －1，a n ＋r ，n ＝2k(k ∈N *，r ∈R )，其前n 项和为S n .(1) 当m 与r 满足什么关系时，对任意的n ∈N *，数列{a n }都满足a n ＋2＝a n?(2) 对任意实数m ，r ，是否存在实数p 与q ，使得{a 2n ＋1＋p}与{a 2n ＋q}是同一个等比数列？若存在，请求出p ，q 满足的条件；若不存在，请说明理由；(3) 当m ＝r ＝1时，若对任意的n ∈N *，都有S n ≥λa n ，求实数λ的最大值.(二十)1. 8 解析：C ＝{1，3，5}，则集合C 的子集的个数为8. 本题主要考查集合的概念与运算等基础知识．本题属于容易题．2. 5 解析：z ＝4＋3i 2－i ＝（4＋3i ）（2＋i ）（2＋i ）（2－i ）＝1＋2i ，则|z|＝ 5.本题主要考查复数的模的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题．3. 89解析：从两盒中各取一个球的基本事件数为9，没有红球的基本事件数为1，则至少有一个红球的概率＝1－没有红球的概率＝1－19＝89.本题主要考查对立事件概率的求法．本题属于容易题．4. 22 解析：由s 2＝1n ∑i ＝1n (x i －x －)2＝2，则数据2x 1，2x 2，2x 3，2x 4，2x 5的方差是8，标准差为2 2.本题主要考查方差、标准差公式．本题属于容易题．5. 11 解析：满足循环S 与i ：S ＝1，i ＝3；S ＝4，i ＝5；S ＝9，i ＝7；S ＝16，i ＝9；S ＝25，i ＝11.本题关键把握每一次循环体执行情况．本题属于容易题．6. 2 解析：设F(c ，0)到双曲线的渐近线bx －ay ＝0的距离为b ，则a ＝b ，c ＝2a ，则该双曲线的离心率为 2.本题主要考查双曲线的渐近线方程，焦点坐标，直线与圆相切条件．本题属于容易题．7. 14 解析：设△AMN 面积为S ，点P 到平面AMN 的距离为h ，则V 2＝13Sh ，而V 1＝2³13³2S ³h ，则V 2V 1＝14.本题主要考查等高锥体体积的求法．本题属于容易题．8. 75 解析：2y －12x ＋3＝y －12x －－32，它表示可行域内的点与⎝⎛⎭⎫－32，12连线的斜率，作出可行域，发现可行域内的点(1，4)为最优解，代入可得2y －12x ＋3＝75.本题主要考查线性规划的运用，目标函数为斜率模型．本题属于容易题．9. －π3 解析：f(x)＝3sin(x ＋θ)－cos(x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎫x ＋θ－π6，由已知条件⎝⎛⎭⎫－π2≤θ≤π2知θ－π6＝±π2，则θ＝－π3.本题主要考查函数的奇偶性，三角函数的和差角公式．本题属于容易题．10. π3解析：|b|＝1，|a|＝5，对|a －b|＝21两边平方，得2a ²b ＝5，2|a||b|cos θ＝5，cos θ＝12，则向量a ，b 的夹角为π3.本题主要考查平方法求向量的模问题，以及数量积定义的运用．本题属于容易题．11. －34 解析：建立平面直角坐标系，B(0，0)，A(2，0)，设C(x ，y)，则CA →²CB →＝x(x －2)＋y 2＝λ，则(x －1)2＋y 2＝λ＋1，得（x －1）2＋y 2＝λ＋1，点C 的轨迹是以(1，0)为圆心λ＋1为半径的圆且与x 2＋y 2＝14外离或相切．所以λ＋1≤12，λ的最大值为－34.本题主要考查圆与圆的位置关系，以及解析法的运用．本题属于中等题．12. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫e －12e 解析：设 P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则Q 1(－x 1，－y 1) ，Q 2(－x 2，－y 2), 有y 1＝ex 1＋x 31－12x 1－1，y 2＝ex 2＋x 32－12x 2－1，y 1＝x 31＋m x 1 ，y 2＝x 32＋m x 2，∴ f(x)＝g(x)有且仅有两个根，即m ＝xe x －12x 2－x 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有且仅有两个根．令h(x)＝xe x －12x 2－x, h ′(x)＝(x ＋1)(e x－1)，∴ h(x)在(－∞，－1)和(0，＋∞)上单调递增，在 (－1，0)上单调递减，当 x →－∞时，h(x)→－∞；当 x →＋∞时，h(x)→＋∞，∴ m ＝h(－1)＝e －12e，∴ m ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫e －12e .本题主要考查方程的思想，函数的思想，以及导数的运用. 本题属于难题． 13. 22 015解析：因为{a n }是等比数列，且a 2＝2，a 5＝16，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝2，a 1q 4＝16 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，∴ a n ＝2n －1，要使b i ＝2 016，所以必须有满足a m ＜n 的m 有2 016个，即a 1，a 2，a 3，…，a 2 016，所以22 015＜n ≤22 016(当22 016<n 时，b i >2 016)，所以n 可以取22 015＋1，22 015＋2，…，22 016，共22 016－22 015＝22 015个，正整数i 的个数即为n 的个数．本题主要考查等比数列通项公式，以及新定义的运用. 本题属于难题．14. ⎝⎛⎭⎫1，233 解析：由b 2＝a 2＋ac ＝a 2＋c 2－2accosB ，得c 2＝ac(1＋2cosB)，所以cosB＝sinB tanA －1＝12⎝⎛⎭⎫c a －1，所以1tanA －1tanB ＝1tanA －sinBtanA －1sinB ＝1sinB.因为△ABC 为锐角三角形，所以a 2＋b 2>c 2，则2a 2＋ac>c 2，所以2＋c a >⎝⎛⎭⎫c a 2，则－1<c a <2.因为c a >0，所以0<c a<2，而cosB＝12⎝⎛⎭⎫c a －1∈⎝⎛⎭⎫0，12，所以1sinB ∈⎝⎛⎭⎫1，233，所以1tanA －1tanB ∈⎝⎛⎭⎫1，233.本题主要考查解三角形的运用，以及一元二次不等式解法，同角三角函数关系的运用．本题属于难题．15. 解：(1) 因为a ，b ，c 成等差数列，所以b ＝a ＋c2＝2.(2分)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2accosB ＝(a ＋c)2－3ac ＝16－3ac ＝4，解得ac ＝4，(6分)从而S △ABC ＝12acsinB ＝2³32＝ 3.(8分)(2) (解法1)因为D 为AC 边的中点，所以BD →＝12(BA →＋BC →)，(10分)则BD → 2＝14(BA →＋BC →)2＝14(BA → 2＋2BA →²BC →＋BC →2)＝14(c 2＋2accosB ＋a 2)＝14[(a ＋c)2－ac]＝4－14ac(12分) ≥4－14⎝⎛⎭⎫a ＋c 22＝3，当且仅当a ＝c 时取等号，所以线段BD 长的最小值为 3.(14分)(解法2)因为D 为AC 边的中点，所以可设AD ＝CD ＝d. 由cos ∠ADB ＋cos ∠CDB ＝0，得 BD 2＋d 2－c 22d ²BD ＋BD 2＋d 2－a 22d ²BD＝0，即BD 2＝a 2＋c 22－d 2＝8－ac －d 2.(10分)因为b 2＝a 2＋c 2－2accosB ＝(a ＋c)2－3ac ＝16－3ac ，即4d 2＝16－3ac ，所以d 2＝4－34ac ，(12分)故BD 2＝4－14ac ≥4－14⎝⎛⎭⎫a ＋c 22＝3，当且仅当a ＝c 时取等号，所以线段BD 长的最小值为 3.(14分)16. 证明：(1) 取PD 的中点G ，连结AG ，FG .(2分)因为F ，G 分别是PC ，PD 的中点，所以GF ∥DC ，且GF ＝12DC.又E 是AB 的中点，所以AE ∥DC ，且AE ＝12DC ，所以GF ∥AE ，且GF ＝AE ，所以AEFG 是平行四边形，故EF ∥AG .(4分) 又AG ⊂ 平面PAD ，EF ⊄ 平面PAD ，所以EF ∥平面PAD.(6分)(说明：也可以取DC 中点，用面面平行来证线面平行) (2) 因为PD ⊥底面ABCD ，EC ⊂ 底面ABCD ，所以CE ⊥PD.(8分)取DC 中点H ，连结EH.因为ABCD 是矩形，且AB ＝2AD ，所以ADHE ，BCHE 都是正方形，所以∠DEH ＝∠CEH ＝45°，即CE ⊥DE.(10分) 又PD ，DE 是平面PDE 内的两条相交直线，所以CE ⊥平面PDE.(12分)而CE ⊂平面PEC ，所以平面PDE ⊥平面PEC.(14分)17. 解：(解法1)设阴影部分面积为S ，三个区域的总投入为T.则T ＝2³105²S ＋105²(1－S)＝105²(S ＋1)，从而只要求S 的最小值．(2分)设∠EAB ＝α(0°＜α＜45°)，在△ABE 中，因为AB ＝1，∠B ＝90°，所以BE ＝tan α，则S △ABE ＝12AB ²BE ＝12tan α；(4分)又∠DAF ＝45°－α，所以S △ADF ＝12tan(45°－α)，(6分)所以S ＝12[tan α＋tan(45°－α)]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α＋1－tan α1＋tan α.(8分)令x ＝tan α∈(0，1)，则S ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 1＋x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x －1x ＋1＝12⎝⎛⎭⎫x ＋2x ＋1－1(10分) ＝12⎣⎡⎦⎤（x ＋1）＋2x ＋1－2≥12(22－2)＝2－1，当且仅当x ＋1＝2x ＋1，即x ＝2－1时取等号．(12分)从而三个区域的总投入T 的最小值约为(2－1)³105元．(14分) (说明：这里S 的最小值也可以用导数来求解：因为S′＝[x ＋（2＋1）][x －（2－1）]2（1＋x ）2，则由S′＝0，得x ＝2－1.当x ∈(0，2－1)时，S ′＜0，S 递减；当x ∈(2－1，1)时，S ′＞0，S 递增．所以当x ＝2－1时，S 取得最小值为2－1)(解法2)设阴影部分面积为S ，三个区域的总投入为T.则T ＝2³105²S ＋105²(1－S)＝105²(S ＋1)，从而只要求S 的最小值．(2分) 如图，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设直线AE 的方程为y ＝kx(0＜k ＜1)，即k ＝tan ∠EAB ，因为∠EAF ＝45°，所以直线AF 的斜率为tan(∠EAB ＋45°)＝1＋k1－k，从而直线AF 的方程为y ＝1＋k1－kx.(6分)在方程y ＝kx 中，令x ＝1，得E(1，k)，所以S △EAB ＝12AB ²BE ＝12k ；在方程y ＝1＋k 1－k x 中，令y ＝1，得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 1＋k ，1，所以S△ADF ＝12AD ²DF ＝12²1－k 1＋k ；从而S ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1－k 1＋k ，k ∈(0，1)．(10分)以下同解法1.(14分)(解法3)设阴影部分面积为S ，三个区域的总投入为T.则T ＝2³105²S ＋105²(1－S)＝105²(S ＋1)，从而只要求S 的最小值．(2分)设∠DAF ＝α，∠BAE ＝β(0°＜α，β＜45°)，则S ＝12(tan α＋tan β)，(4分)因为α＋β＝90°－∠EAF ＝45°，所以tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，(8分)所以tan α＋tan β＝1－tan αtan β≥1－⎝⎛⎭⎫tan α＋tan β22，(10分)即2S ≥1－S 2，解得S ≥2－1，即S 取得最小值为2－1，从而三个区域的总投入T 的最小值为(2－1)³105元．(14分)18. 解：(1) 因为椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，所以A(－2，0)，F(1，0)．(2分)因为PF ⊥x 轴，所以P ⎝⎛⎭⎫1，±32. 而直线AP 与圆O 相切，根据对称性，可取P ⎝⎛⎭⎫1，32，(4分)则直线AP 的方程为y ＝12(x ＋2)，即x －2y ＋2＝0.(6分)由圆O 与直线AP 相切，得r ＝25，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝45.(8分)(2) 易知，圆O 的方程为x 2＋y 2＝3.① 当PQ ⊥x 轴时，k OP ²k OQ ＝－k 2OP ＝－34，所以k OP ＝±32，此时得直线PQ 被圆O 截得的弦长为677.(10分)② 当PQ 与x 轴不垂直时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b ，P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)(x 1x 2≠0)，首先由k OP ²k OQ ＝－34，得3x 1x 2＋4y 1y 2＝0，即3x 1x 2＋4(kx 1＋b)(kx 2＋b)＝0，所以(3＋4k 2)x 1x 2＋4kb(x 1＋x 2)＋4b 2＝0 (*)．(12分)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 24＋y 23＝1，消去x ，得(3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0，将x 1＋x 2＝－8kb 3＋4k 2，x 1x 2＝4b 2－123＋4k2代入(*)式，得2b 2＝4k 2＋3.(14分) 由于圆心O 到直线PQ 的距离为d ＝|b|k 2＋1，所以直线PQ 被圆O 截得的弦长为l ＝23－d 2＝4＋2k 2＋1，故当k ＝0时，l 有最大值为 6.综上，因为6＞677，所以直线PQ 被圆O 截得的弦长的最大值为 6.(16分)19. 解：(1) 由题意，得函数y ＝mlnx ＋x ，所以y′＝mx ＋1＝x ＋m x.① 当m ≥0时，函数y 在(0，＋∞)上单调递增，此时无最小值，舍去；(2分) ② 当m ＜0时，由y′＝0，得x ＝－m.当x ∈(0，－m)，y ′＜0，原函数单调递减；x ∈(－m ，＋∞)，y ′＞0，原函数单调递增．所以x ＝－m 时，函数y 取最小值，即mln(－m)－m ＝0，解得m ＝－e.(4分) (2) 由题意，得g(x)＝mlnx ＋mx 2＋(m 2＋2)x ，则g′(x)＝2mx 2＋（m 2＋2）x ＋m x ＝（2x ＋m ）（mx ＋1）x，(6分)① 当m ≥0时，g ′(x)≥0，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增；② 当m ＜0时，由g′(x)＝0，得x ＝－m 2或x ＝－1m.若m ＝－2，则－m 2＝－1m，此时g′(x)≤0，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减；若－2＜m ＜0，则－m 2＜－1m，由g′(x)＞0，解得x ∈⎝⎛⎭⎫－m 2，－1m ，由g′(x)＜0，解得x ∈⎝⎛⎭⎫0，－m 2∪⎝⎛⎭⎫－1m ，＋∞，所以函数g(x)在⎝⎛⎭⎫－m 2，－1m 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，－m 2与⎝⎛⎭⎫－1m ，＋∞上单调递减；若m ＜－2，则－m 2＞－1m，同理可得，函数g(x)在⎝⎛⎭⎫－1m ，－m 2上单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，－1m 与⎝⎛⎭⎫－m 2，＋∞上单调递减．综上所述，g(x)的单调区间如下：当m ≥0时，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增；当m ＝－2时，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－2＜m ＜0时，函数g(x)的增区间为⎝⎛⎭⎫－m 2，－1m ，减区间为(0，－m 2)与⎝⎛⎭⎫－1m ，＋∞；当m ＜－2时，函数g(x)的增区间为⎝⎛⎭⎫－1m ，－m 2，减区间为⎝⎛⎭⎫0，－1m 与(－m 2，＋∞)．(10分)(3) m ＝12符合题意．理由如下：(12分) 此时f(x)＝12lnx. 设函数f(x)与h(x)上各有一点A ⎝⎛⎭⎫x 1，12lnx 1，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 2－12x 2，则f(x)以点A 为切点的切线方程为y ＝12x 1x ＋12lnx 1－12， h(x)以点B 为切点的切线方程为y ＝12x 22x ＋x 2－22x 2，由两条切线重合，得⎩⎨⎧12x 1＝12x 22，12lnx 1－12＝x 2－22x 2， (*)(14分) 消去x 1，整理得lnx 2＝1－1x 2，即lnx 2－1＋1x 2＝0. 令φ(x)＝lnx －1＋1x ，得φ′(x)＝1x －1x 2＝x －1x 2，所以函数φ(x)在(0，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增．又φ(1)＝0，所以函数φ(x)有唯一零点x ＝1，从而方程组(*)有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝1，即此时函数f(x)与h(x)的图象有且只有一条公切线．故m ＝12符合题意．(16分) 20. 解：(1) 由题意，得a 1＝m ，a 2＝2a 1＝2m ，a 3＝a 2＋r ＝2m ＋r ，首先由a 3＝a 1，得m ＋r ＝0.(2分)当m ＋r ＝0时，因为a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，n ＝2k －1，a n －m ，n ＝2k(k ∈N *)，所以a 1＝a 3＝…＝m ，a 2＝a 4＝…＝2m ，故对任意的n ∈N *，数列{a n }都满足a n ＋2＝a n . 即当实数m ，r 满足m ＋r ＝0时，题意成立．(4分)(2) 依题意，a 2n ＋1＝a 2n ＋r ＝2a 2n －1＋r ，则a 2n ＋1＋r ＝2(a 2n －1＋r)，因为a 1＋r ＝m ＋r ，所以当m ＋r ≠0时，{a 2n ＋1＋r}是等比数列，且a 2n ＋1＋r ＝(a 1＋r)2n ＝(m ＋r)2n . 为使{a 2n ＋1＋p}是等比数列，则p ＝r.同理，当m ＋r ≠0时，a 2n ＋2r ＝(m ＋r)2n ，则欲使{a 2n ＋q}是等比数列，则q ＝2r.(8分) 综上所述：① 若m ＋r ＝0，则不存在实数p ，q ，使得{a 2n ＋1＋p}与{a 2n ＋q}是等比数列； ② 若m ＋r ≠0，则当p ，q 满足q ＝2p ＝2r 时，{a 2n ＋1＋p}与{a 2n ＋q}是同一个等比数列．(10分)(3) 当m ＝r ＝1时，由(2)可得a 2n －1＝2n －1，a 2n ＝2n ＋1－2，当n ＝2k 时，a n ＝a 2k ＝2k ＋1－2，S n ＝S 2k ＝(21＋22＋…＋2k )＋(22＋23＋…＋2k ＋1)－3k＝3(2k ＋1－k －2)，所以S n a n ＝3⎝⎛⎭⎫1－k 2k ＋1－2. 令c k ＝k 2k ＋1－2，则c k ＋1－c k ＝k ＋12k ＋2－2－k 2k ＋1－2＝（1－k ）2k ＋1－2（2k ＋2－2）（2k ＋1－2）＜0，所以S n a n ≥32，λ≤32.(13分) 当n ＝2k －1时，a n ＝a 2k －1＝2k －1，S n ＝S 2k －a 2k ＝3(2k ＋1－k －2)－(2k ＋1－2)＝2k ＋2－3k －4，所以S n a n ＝4－3k 2k －1，同理可得S n a n ≥1，λ≤1. 综上所述，实数λ的最大值为1.(16分)。

2020最新高考适应性考试数学（理科）含答案

2020最新⾼考适应性考试数学（理科）含答案数学（理科）⼀、选择题1、设集合E={}||x-2|>3x ，F={}|x 1x ≥-，则()x E x F x E F ∈∈∈I 或是的( ) A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 不充分不必要条件2、f(x)是定义在R 上的奇函数，它的最⼩正周期是T ，则()2T f 的值是（）A 0B 2T - C2TD ⽆法确定3、设函数212x y x -=-，则下列命题正确的是（）①图象上⼀定存在两点它们的连线平⾏于x 轴。

②图象上任意两点的连线都不平⾏于y 轴。

③图象关于直线y=x 对称。

④图象关于原点对称。

A ①③B ②③C ②④D ③4、曲线23-+=x x y 的⼀条切线平⾏于直线14-=x y ，则切点p 的坐标为（）（A ）（0，－2）或（1，0）（B ）（1，0）或（2，8）（C ）（－1，－4）或（0，－2）（D ）（1，0）或（－1，－4）5、如果消息A 发⽣的概率为P （A ），那么消息A 所含的信息量为21()log ()I A P A =。

若某⼈在⼀个有4排、8列的⼩型报告厅⾥听报告，则发布的以下4条消息中信息量最⼤的是（）A 在某⼈在第4排B 某⼈在第5列C 某⼈在4排5列D 某⼈在任意⼀排6、若函数f 322,1()15,131x x a x x ax x ?-+≤?=?>?+?44-或 7、已知正四棱锥S －ABCD 侧棱长为2,底⾯边长为3,E 是SA 的中点,则异⾯直线BE 与SC 所成⾓的⼤⼩( )A ．ο90B ．ο60C ．ο45D ．ο30 8、若sin tan cot θθθ>>,(22ππθ-<<),则θ的取值范围是（）A (,)24ππ-- B (,0)4π- C (0,)4πD (,)42ππ9、等差数列{a n }中，a 1 > 0,S 3 = S 11,则S n 中的最⼤值为（）A S 7B S 11C S 7和S 8D ⽆最⼤值10、关于函数f(x)=lg 21(0,)||x x x R x +≠∈,有下列命题：①函数y=f(x)的图象关于y 轴对称。

2020届江苏省淮阴中学、姜堰中学、如东中学等五校2017级高三12月联考文科综合地理参考答案

2020届江苏省淮阴中学、姜堰中学、如东中学等五校2017级高三12月联考地理答案一、选择题(共60分)(一)单项选择题：本大题共18小题，每小题2分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

题号12345678910答案C B A B D B D D D B题号1112131415161718答案A D C B A B A B（二）双项选择题：本大题共8小题，每小题3分，共计24分。

在每小题给出的四个选项中，有两项是符合题目要求的。

每小题选两项且全选对者得3分，选错、少选或不选均不得分。

题号1920212223242526答案AD BC AB BD CD BC CD CD二、综合题：本大题共5小题，共计60分。

27.（共12分）（1）苏门答腊岛夏季，直射点位于北半球，东南信风越过赤道向右偏转形成西南风，新加坡等国的烟霾最有可能来自南部附近岛屿。

（3分）（2）该岛地处欧亚板块和印度洋板块的消亡边界，火山遍布全岛；大量火山灰沉积于岛屿四周导致土壤深厚、土质肥沃；农业发达，粮食产量高；广泛栽种水稻，精耕细作，需要丰富劳动力；所以人口密度较大。

（3分）（3）雅加达降水丰富，但径流（河流）长度短；蒸发旺盛；加之水污染严重导致大量淡水需从地下抽取；城市化使得地表径流的下渗受到阻拦；地下水水位快速下降，导致地面沉降。

（3分）（4）新首都远离板块边界，较少发生火山、地震等自然灾害；拥有广袤林地，森林资源丰富，生态环境优良，环境承载力强；周边矿产丰富，资源优势突出；人口密度低，土地储备充裕；能够更好带动落后岛屿发展，缩小区域差距，符合国家政策（3分）28.（共10分）（1）卡塔尔位于北半球;低纬度地区;位于亚洲西部(或阿拉伯半岛东部);(北、东、南三面)临波斯湾;与沙特阿拉伯、阿拉伯联合酋长国接壤。

(答出其中3点即可)（2）举办世界杯选择在11-12月的原因:卡塔尔纬度低，此时正午太阳高度角较小，太阳辐射较弱；(或:11-12月处于北半球的冬季)，气温较低，有利于足球赛开展。

江苏省普通高等学校2017年高三招生考试20套模拟测试数学试题十九含解析精品

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十九)数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：锥体的体积公式V ＝13Sh ，其中S 是锥体的底面面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x|x ＝2k ＋1，k ∈Z }，B ＝{x|0＜x ＜5}，则A ∩B ＝__________．2. 已知复数z 满足(3＋i)z ＝10i(其中i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数是__________．3. 一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91分，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x 应该是__________．(第5题)4. 甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戏：甲、乙、丙三人每次都随机出“手心(白)”、“手背(黑)”中的某一个手势，当其中一个人出示的手势与另外两人都不一样时，这个人胜出；其他情况，不分胜负．则一次游戏中甲胜出的概率是__________．5. 执行如图所示的算法流程图，则输出k 的值为________．6. 已知点F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A 到其准线的距离为5，则直线AF 的斜率为__________．7. 已知公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 5S 3＝3，则a 5a 3的值为________．8. 已知圆锥的母线长为10 cm ，侧面积为60π cm 2，则此圆锥的体积为________ cm 3.9. 若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，3x －y ≥0，y ≥0，则|3x －4y －10|的最大值为________．10. 已知函数f(x)＝sinx(x ∈[0，π])和函数g(x)＝12tanx 的图象交于A ，B ，C 三点，则△ABC 的面积为__________．11. 若点P ，Q 分别是曲线y ＝x ＋4x与直线4x ＋y ＝0上的动点，则线段PQ 长的最小值为__________．12. 已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ，b 是互相垂直的单位向量，且(a －c )·(3b －c )＝1，则|c|的最大值为__________．13. 已知对满足x ＋y ＋4＝2xy 的任意正实数x ，y ，都有x 2＋2xy ＋y 2－ax －ay ＋1≥0，则实数a 的取值范围为__________．14. 已知经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32的两个圆C 1，C 2都与直线l 1：y ＝12x ，l 2：y ＝2x 相切，则这两圆的圆心距C 1C 2等于__________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AD ＝1，BD ＝210，∠CAD ＝π4，tan ∠ADC＝－2.求：(1) CD 的长； (2) △BCD 的面积．16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，已知AB ＝AC ，M ，N ，P 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点．求证：(1) 平面AMP ⊥平面BB 1C 1C ；(2) A1N∥平面AMP.在平面直角坐标系xOy 中，已知点P ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，P 到椭圆C 的两个焦点的距离之和为4.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若点M ，N 是椭圆C 上的两点，且四边形POMN 是平行四边形，求点M ，N 的坐标．18. (本小题满分16分)经市场调查，某商品每吨的价格为x(1＜x ＜14)百元时，该商品的月供给量为y 1万吨，y 1＝ax ＋72a 2－a(a ＞0)；月需求量为y 2万吨，y 2＝－1224x 2－1112x ＋1.当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量．该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积．(1) 若a ＝17，问商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？(2) 记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格．若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数a 的取值范围．已知函数f(x)＝exe x ，g(x)＝ax －2lnx －a(a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1) 求f(x)的极值；(2) 在区间(0，e]上，对于任意的x 0，总存在两个不同的x 1，x 2，使得g(x 1)＝g(x 2)＝f(x 0)，求a 的取值范围．20. (本小题满分16分)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋2，n ＝2k －1，3a n ，n ＝2k (k ∈N *)．(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 求满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2的正整数n 的值；(3) 设数列{a n }的前n 项和为S n ，问是否存在正整数m ，n ，使得S 2n ＝mS 2n －1？若存在，求出所有的正整数对(m ，n)；若不存在，请说明理由.(十九)1. {1，3} 解析：本题主要考查集合的概念与运算等基础知识．本题属于容易题．2. 1－3i 解析：z ＝10i3＋i＝1＋3i ，z 的共轭复数是1－3i.本题主要考查复数的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题．3. 1 解析：最低分为86，若最高分为9x ，此时平均分不是91，说明最高分为94，去掉86和94，89＋92＋91＋92＋90＋x ＝91×5，则x ＝1.本题主要考查平均分的基础知识．本题属于容易题．4. 14 解析：基本事件数为8种，一次游戏中甲胜出的基本事件数为2种，则所求的概率为14.本题考查用列举法解决古典概型问题．本题属于容易题．5. 3 解析：由题设流程图的循环体执行如下：第1次循环n ＝6，k ＝1；第2次循环n ＝3，k ＝2；第3次循环n ＝1，k ＝3.本题关键是把握每一次循环体执行情况．本题属于容易题．6. 43解析：F(1，0)，准线方程x ＝－1，由第一象限的点A 到其准线的距离为5，则A(4，4)，则直线AF 的斜率为43.本题考查抛物线方程的特征，直线斜率公式．本题属于容易题．7. 179 解析：S 5S 3＝a 1×5＋12×5×4da 1×3＋12×3×2d＝5a 1＋10d 3a 1＋3d＝3，则d ＝4a 1，则a 5a 3＝a 1＋4d a 1＋2d ＝17a 19a 1＝179.本题考查了等差数列的通项与前n 项和的公式的应用．本题属于容易题．8. 96π 解析：设圆锥的底面半径为r ，侧面积＝12×母线长×底面圆周长＝60π，得r＝6，此圆锥的高为8，则此圆锥的体积为13×36π×8＝96π.本题考查了圆锥的侧面展开图以及体积求法．本题属于容易题．9. 494 解析：设z ＝3x －4y －10，画出可行域，利用线性规划求出－494≤z ≤－7，则|z|的最大值为494.本题考查了线性规划的内容和绝对值的意义．本题属于容易题．10. 34π 解析：sinx ＝12tanx ＝12·sinx cosx 得2cosxsinx ＝sinx ，(2cosx －1)sinx ＝0，x ∈[0，π]，x ＝π3或0或π，则△ABC 的面积为12×π×sin π3＝34π.本题考查了三角函数的图象和性质，以及同角三角函数的关系．本题属于容易题．11. 71717 解析：设曲线上任意一点P ⎝⎛⎭⎫x 0，1＋4x 0，则d ＝⎪⎪⎪⎪4x 0＋1＋4x 017，当x 0>0时，d ＝4x 0＋1＋4x 017≥917，当x 0<0时，d ＝－4x 0－1－4x 017≥717.综上所述，d min ＝71717.本题考查点到直线的距离公式和基本不等式的运用．本题属于中等题．12. 6＋22解析：建立平面直角坐标系，a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，令c ＝(x ，y)，则a－c ＝(1－x ，－y)，b －c ＝(－x ，1－y)．∵ (a －c )·(b －c )＝1，∴ x 2＋y 2－x －y ＝1，x ＋y ＝x 2＋y 2－1，(x ＋y)2＝(x 2＋y 2－1)2＝x 2＋y 2＋2xy ≤2(x 2＋y 2)，2－3≤x 2＋y 2≤2＋3，6－22≤|c|≤6＋22，|c|max ＝6＋22.本题考查了用解析法解决向量数量积的问题，并利用重要不等式求解或者利用距离模型求解．本题属于中等题．[试题更正：原题中“(a －c )(3b －c )＝1”更正为“(a －c )(b －c )＝1”．]13. ⎝⎛⎦⎤－∞，174 解析：x ＋y ＋4＝2xy ≤2×⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，x ＋y ≥4，当且仅当x ＝y ＝2时取＝.∵ (x ＋y)2－a(x ＋y)＋1≥0，∴ (x ＋y)＋1x ＋y≥a.∵ (x ＋y)＋1x ＋y ≥174，则a ≤174.本题考查对数函数的性质和基本不等式的运用．本题属于中等题．14. 459 解析：假设圆心所在直线为y ＝kx ，则k －121＋12k ＝2－k 1＋2k，k ＝1.故假设圆C 1：(a－1)2＋⎝⎛⎭⎫a －322＝a 25，圆C 2：(b －1)2＋⎝⎛⎭⎫b －322＝b 25，圆C 1：36a 2－100a ＋65＝0，圆C 2：36b 2－100b ＋65＝0.∴ a ＋b ＝10036，a ×b ＝6536，∴ C 1C 2＝（a －b ）2＋（a －b ）2＝459.本题考查了正切的差角公式、圆的对称性、两点间的距离公式和韦达定理的运用．本题综合性强，属于难题．15. 解：(1) 因为tan ∠ADC ＝－2，所以sin ∠ADC ＝255，cos ∠ADC ＝－55.(2分)所以sin ∠ACD ＝sin (π－∠ADC －π4)＝sin(∠ADC ＋π4)＝sin ∠ADC ·cos π4＋cos ∠ADC ·sin π4＝1010.(6分)在△ADC 中，由正弦定理得CD ＝AD·sin ∠DACsin ∠ACD＝ 5.(8分)(2) 因为AD ∥BC, 所以cos ∠BCD ＝－cos ∠ADC ＝55.(10分)在△BDC 中，由余弦定理得 BD 2＝BC 2＋CD 2－2·BC·CD·cos ∠BCD ，得BC 2－2BC －35＝0，解得BC ＝7，(12分)所以S △BCD ＝12×7×5×sin ∠BCD ＝12×7×5×255＝7.(14分)16. 证明：(1) 因为直三棱柱ABCA 1B 1C 1，所以BB 1⊥底面ABC. 因为AM ⊂底面ABC ，所以BB 1⊥AM.(2分)因为M 为BC 中点，且AB ＝AC ，所以AM ⊥BC.又BB 1∩BC ＝B ，BB 1⊂平面BB 1C 1C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ，所以AM ⊥平面BB 1C 1C.(4分)因为AM ⊂平面APM ，所以平面APM ⊥平面BB 1C 1C.(6分)(2) 取C 1B 1中点D ，连结A 1D ，DN ，DM ，B 1C.由于D ，M 分别为C 1B 1，CB 的中点，所以DM ∥CC 1且DM ＝CC 1，故DM ∥AA 1且DM ＝AA 1.则四边形A 1AMD 为平行四边形，所以A 1D ∥AM.又A 1D 平面APM ，AM ⊂平面APM ，所以A 1D ∥平面APM.(9分)由于D ，N 分别为C 1B 1，CC 1的中点，所以DN ∥B 1C. 又P ，M 分别为BB 1，CB 的中点，所以MP ∥B 1C. 则DN ∥MP.又DN ⊄ 平面APM ，MP ⊂平面APM ，所以DN ∥平面APM.(12分) 由于A 1D ∩DN ＝D ，所以平面A 1DN ∥平面APM. 由于A 1N ⊂平面A 1DN ，所以A 1N ∥平面APM.(14分)17. 解：(1) 由题意知，1a 2＋94b2＝1，2a ＝4.(2分)解得a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(2) 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则ON 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 22，y 22，PM 的中点坐标为(1＋x 12，32＋y 12)．因为四边形POMN 是平行四边形，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 12＝x 22，32＋y 12＝y 22.即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 2－1，y 1＝y 2－32.(6分)因为点M ，N 是椭圆C 的两点，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x 22＋4y 22＝12，3（x 2－1）2＋4⎝⎛⎭⎫y 2－322＝12.(8分) 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－1，y 2＝32.(12分) 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝－32.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－1，y 2＝32，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2，y 1＝0. 所以，点M ⎝⎛⎭⎫1，－32，N(2，0)；或M(－2，0)，N ⎝⎛⎭⎫－1，32.(14分) 18. 解：(1) 若a ＝17，由y 2＞y 1，得－1224x 2－1112x ＋1>17x ＋72⎝⎛⎭⎫172－17.解得－40<x<6.(3分)因为1<x<14，所以1<x<6.设该商品的月销售额为g(x)，则g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧y 1·x ，1<x<6，y 2·x ，6≤x ＜14.(5分)当1<x<6时，g(x)＝17⎝⎛⎭⎫x －12x<g(6)＝337.(7分) 当6≤x<14时，g(x)＝⎝⎛⎭⎫－1224x 2－1112x ＋1x ，则g′(x)＝－1224(3x 2＋4x －224)＝－1224(x －8)(3x ＋28)，由g′(x)>0，得x<8，所以g(x)在[6，8)上是增函数，在(8，14)上是减函数，当x ＝8时，g(x)有最大值g(8)＝367.(10分)(2) 设f(x)＝y 1－y 2＝1224x 2＋⎝⎛⎭⎫1112＋a x ＋72a 2－1－a ，因为a>0，所以f(x)在区间(1，14)上是增函数．若该商品的均衡价格不低于6百元，即函数f(x)在区间[6，14)上有零点，(12分)所以⎩⎪⎨⎪⎧f （6）≤0，f （14）>0，即⎩⎨⎧7a 2＋10a －117≤0，72a 2＋13a>0，解得0＜a ≤17.(15分)答：(1) 若a ＝17，商品的每吨价格定为8百元时，月销售额最大；(2) 若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，17.(16分) 19. 解：(1) 因为f(x)＝exe x ，所以f′(x)＝（1－x ）e e x.(2分)令f′(x)＝0，得x ＝1.(3分)当x ∈(－∞，1)时，f ′(x)>0，f(x)是增函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x)<0，f(x)是减函数．所以f(x)在x ＝1时取得极大值f(1)＝1，无极小值．(5分)(2) 由(1)知，当x ∈(0，1)时，f(x)单调递增；当x ∈(1，e]时，f(x)单调递减．因为f(0)＝0，f(1)＝1，f(e)＝e ·e 1－e ＞0，所以当x ∈(0，e]时，函数f(x)的值域为(0，1]．(7分)当a ＝0时，g(x)＝－2lnx 在(0，e]上单调，不合题意；(8分)当a ≠0时，g ′(x)＝a －2x ＝ax －2x ＝a ⎝⎛⎭⎫x －2a x，x ∈(0，e]，故必须满足0<2a <e ，所以a>2e.(10分)此时，当x 变化时，g ′(x)，g(x)的变化情况如下：所以x →0，g(x)→＋∞，g ⎝⎛⎭⎫2a ＝2－a －2ln 2a，g(e)＝a(e －1)－2. 所以对任意给定的x 0∈(0，e]，在区间(0，e]上总存在两个不同的x 1，x 2，使得g(x 1)＝g(x 2)＝f(x 0)，当且仅当a 满足下列条件⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝⎛⎭⎫2a ≤0，g （e ）≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a －2ln 2a ≤0，a （e －1）－2≥1.(13分)令m(a)＝2－a －2ln 2a ，a ∈⎝⎛⎭⎫2e ，＋∞，m ′(a)＝－a －2a，由m′(a)＝0，得a ＝2. 当a ∈(2，＋∞)时，m ′(a)<0，函数m(a)单调递减；当a ∈⎝⎛⎭⎫2e ，2时，m ′(a)>0，函数m(a)单调递增．所以，对任意a ∈⎝⎛⎭⎫2e ，＋∞有m(a)≤m(2)＝0，即2－a －2ln 2a≤0对任意a ∈⎝⎛⎭⎫2e ，＋∞恒成立．由a(e －1)－2≥1，解得a ≥3e －1.综上所述，当a ∈⎣⎡⎭⎫3e －1，＋∞时，对于任意给定的x 0∈(0，e]，在区间(0，e]上总存在两个不同的x 1，x 2，使得g(x 1)＝g(x 2)＝f(x 0)．(16分)20. 解：(1) 由题意，数列{a n }的奇数项是以a 1＝1为首项，公差为2的等差数列；偶数项是以a 2＝2为首项，公比为3的等比数列． (1分)所以对任意正整数k ，a 2k －1＝2k －1，a 2k ＝2×3k －1.所以数列{a n }的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n ＝2k －1，2·3n2－1，n ＝2k(k ∈N *)．(3分) (2) ① 当n 为奇数时，由2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，得2×2×3n ＋12－1＝n ＋n ＋2，所以2×3n －12＝n ＋1.令f(x)＝2×3x －12－x －1(x ≥1)，由f′(x)＝23×(3)x ×ln 3－1≥23×3×ln 3－1＝ln3－1>0，可知f(x)在[1，＋∞)上是增函数，所以f(x)≥f(1)＝0，所以当且仅当n ＝1时，满足2×3n －12＝n ＋1，即2a 2＝a 1＋a 3.(6分)② 当n 为偶数时，由2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，得2(n ＋1)＝2×3n2－1＋2×3n ＋22－1，即n ＋1＝3n2－1＋3n2，上式左边为奇数，右边为偶数，因此不成立．综上，满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2的正整数n 的值只有1.(8分) (3) S 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝n （1＋2n －1）2＋2（1－3n ）1－3＝3n ＋n 2－1，n ∈N *.S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3n －1＋n 2－1.(10分)假设存在正整数m ，n ，使得S 2n ＝mS 2n －1，则3n ＋n 2－1＝m(3n －1＋n 2－1)，所以3n －1(3－m)＝(m －1)(n 2－1)，(*) 从而3－m ≥0，所以m ≤3.又m ∈N *，所以m ＝1，2，3.(12分)① 当m ＝1时，(*)式左边大于0，右边等于0，不成立．② 当m ＝3时，(*)式左边等于0，所以2(n 2－1)＝0，n ＝1，所以S 2＝3S 1.(14分)③ 当m ＝2时，(*)式可化为3n －1＝n 2－1＝(n ＋1)(n －1)，则存在k 1，k 2∈N *，k 1＜k 2，使得n －1＝3k 1，n ＋1＝3k 2 且k 1＋k 2＝n －1，从而3k 2－3k 1＝3k 1(3k 2－k 1－1)＝2，所以3k 1＝1，3k 2－k 1－1＝2，所以k 1＝0，k 2－k 1＝1，于是n ＝2，S 4＝2S 3.综上可知，符合条件的正整数对(m ，n)只有两对：(2，2)，(3，1)．(16分)。

2020届江苏省南通市2017级高三三模考试数学试卷参考答案

【答案】 1 3
解析一：f(x)＝cosx(sin x＋cosx)－12＝sin xcosx＋cos2x－12＝12sin 2x＋1＋c2os 2x－12＝12sin 2x＋12
cos 2x＝ 22sin2x＋π4，因为 f ()
2 ，所以 sin(2 ) 1 ，所以
6
43
cos(
4
2)
cos
2
(2
4
)
sin(2
) 4
1 3
。
解析二：f(x)＝cosx(sin x＋cosx)－12＝sin xcosx＋cos2x－12＝12sin 2x＋1＋c2os 2x－12＝12sin 2x＋12
cos 2x，
因为 f ()
2 6
，所以
sin
2α＋cos
2α＝
32，
cos( 2) cos cos 2 sin sin 2 2 cos 2 sin 2 2 2 1
bc cos A 35k, 所以 ac cos B 21k,
ab cosC 15k,
a2 b2 c2 35k, 即 b2 c2 a2 21k,
c2 a2 b2 15k,
a2 36k,
所以 b2 50k, c2 56k,
所以 cosC a2 b2 c2 36 50 56
又由 f (x) 的图象经过点 M ( ,1) ，可得 f () 1 ， sin( ) 1 ，
3
3
3
2
所以 2k 或 2k ，
3
6
3
6
又 0 ，所以， 2
故 f (x) 2sin(x ) ，即 f (x) 2cos x ． 2
（2）由（1）知 f (x) 2cos x ，又 f ( ) 8 ， f ( ) 24 ，

2020年江苏省南通市如东高中高考数学考前热身试卷(6月份)(含答案解析)

2020年江苏省南通市如东高中高考数学考前热身试卷（6月份）题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={x|-1＜x≤2}，B={x|x＜0}，则A∪B=______．2.若复数z=a+2i（i为虚数单位，a∈R）满足|z|=3，则a的值为______．3.为了了解居民家庭网上购物消费情况，某地区调查了10000户家庭的月消费金额（单位：元），所有数据均在区间[0，4500]上，其频率分布直方图如图所示，则被调查的10000户家庭中，有______户月消费额在1000元以下4.如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为______．5.袋中有若干只红、黄、蓝三种颜色的球，这些球除颜色外完全相同．现从中随机摸出1只球，若摸出的球不是红球的概率为0.8，不是黄球的概率为0.5，则摸出的球为蓝球的概率为______．6.在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1与抛物线y2=-12x有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为______．7.若函数（a，b∈R）为奇函数，则a+b的值为______．8.已知一个空间几何体的所有棱长均为1cm，其表面展开图如图所示，则该空间几何体的体积V=______cm3．9.已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF，若•=1，则λ的值为______．10.已知实数x，y满足（x+y-2）（x-2y+3）≥0，则x2+y2的最小值为______．11.已知f（x）是定义在R上且周期为的周期函数，当x∈（0，]时，f（x）=1-|2x-1|．若函数y=f（x）-log a x（a＞1）在（0，+∞）上恰有4个互不相同的零点，则实数a的值为______．12.已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n．若S9=S3+2S6，则取得最小值时，S9的值为______．13.在平面直角坐标系xOy中，过点P（-5，a）作圆x2+y2-2ax+2y-1=0的两条切线，切点分别为M（x1，y1），N（x2，y2）且，则实数a的值为______．14.在锐角三角形ABC，AD是边BC上的中线，且AD=AB，则的最小值为______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）（其中A，ω，φ为常数，且A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（α）=，求sin（2α+）的值．16.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AC=AA1，D是棱AB的中点．（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）求证：BC1⊥A1C．17.在某城市街道上一侧路边边缘l1某处安装路灯，路宽OD为米，灯杆AB长4米，且与灯柱OA成120°角，路灯采用可旋转灯口方向的锥形灯罩，灯罩轴线BC与灯的边缘光线（如图BM，BN）都成30°角，当灯罩轴线BC与灯杆AB垂直时，灯罩轴线正好通过OD的中点．（1）求灯柱OA的高h为多少米；（2）设∠ABC=θ，且，求灯所照射路面宽度MN的最小值．18.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）经过点（0，），点F是椭圆的右焦点，点F到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F的直线l交椭圆于M，N 两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）当MF=2FN时，求直线l的方程；（3）若直线l上存在点P满足PM•PN=PF2，且点P在椭圆外，证明：点P在定直线上．19.已知函数f（x）=ax-ln x-a，a∈R．（1）若a=1，求方程f（x）=0的根；（2）已知函数g（x）=-x•f（x）+ax2-2ax+a在区间（1，+∞）上存在唯一的零点，求实数a的取值范围；（3）当a=0时，是否存在实数m，使不等式在（1，+∞）上恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，说明理由．20.对于数列{a n}，若存在正数k，使得对任意m，n∈N*，m≠n，都满足|a m-a n|≤k|m-n|，则称数列{a n}符合“L（k）条件”．（1）试判断公差为2的等差数列{a n}是否符合“L（2）条件”？（2）若首项为l，公比为q的正项等比数列{a n}符合“L（）条件”．①求q的取值范围；②记数列{a n}的前n项和为S n，证明：存在正数k0，使得数列{S n}符合“L（k0）条件”．-------- 答案与解析 --------1.答案：（-∞，2]解析：解：∵A={x|-1＜x≤2}，B={x|x＜0}；∴A∪B=（-∞，2]．故答案为：（-∞，2]．进行并集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，以及并集的运算．2.答案：±解析：解：若复数z=a+2i（i为虚数单位，a∈R）满足|z|=3，即a2+4=9，解得：a=±，故答案为：±．根据复数的运算性质得到a2+4=9，解出即可．本题考查了复数求模问题，是一道基础题．3.答案：750解析：解：由直方图可得1000元以下共有10000×（0.00005+0.0001）×500=750户，故答案为：750．直方图中小矩形的面积表示频率，即可求出答案．本题考查频率分布直方图，解题的关键是从直方图中求得相应收入段的频率，属于基础题．4.答案：5解析：解：当n=1，a=1时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=5，n=3；满足进行循环的条件，执行循环后，a=17，n=5；满足进行循环的条件，退出循环故输出n值为5故答案为：5．由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a值，并输出满足a＜16的最大n值，模拟程序的运行过程可得答案．本题考查的知识点是程序框图，由于循环的次数不多，故可采用模拟程序运行的方法进行．5.答案：0.3解析：解：设事件A表示“摸出红球”，B表示“摸出黄球”，C表示“摸出蓝球”，由已知得P（A）=1-P（）=1-0.8=0.2，P（B）=1-P（）=1-0.5=0.5，∴摸出的球为蓝球的概率为P（C）=1-P（A）+P（B）=1-0.2-0.5=0.3．故答案为：0.3．设事件A表示“摸出红球”，B表示“摸出黄球”，C表示“摸出蓝球”，由已知得P（A）=1-0.8=0.2，P（B）=1-0.5=0.5，由此能求出摸出的球为蓝球的概率．本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6.答案：解析：【分析】本题主要考查双曲线渐近线的方程的求解，抛物线和双曲线的焦点，属于简单题．求出抛物线的焦点坐标，即双曲线的半焦距c=3，根据双曲线中a，b，c的关系求出a的值即可得到结论．【解答】解：设双曲线的半焦距为c,抛物线的焦点坐标为（-3，0），则c=3，即a2+1=c2=9，即a2=9-1=8，则a==2，即双曲线的渐近线为y=±x=x=±x，故答案为：.7.答案：1解析：解：∵为奇函数，∵设x＜0，则-x＞0，∵x≥0时，f（x）=x（x-b），∴f（-x）=-x（-x-b）=x（x+b）=-f（x），∴f（x）=-x（x+b）=ax（x+2），∴a=-1，b=2，∴a+b=1，故答案为：1．先设x＜0，则-x＞0，根据已知求解出f（x），然后对比x＜0时的f（x），进而可求a，b．本题主要考查了利用奇函数的对称性求解函数解析式，解题的关键对称性的灵活应用．8.答案：解析：解：由三视图可知，该几何体下面是一个边长为1的正方体，其体积为1，上面是一个棱长为1的正四棱锥，其体积为=，故答案为：．三视图复原几何体分两部分，下面是一个边长为1的正方体、上面是一个棱长为1的正四棱锥，分别计算出边长为1的正方体及棱长为1的正四棱锥的体积即可．本题考查三视图与几何体的关系，考查空间想象能力、逻辑思维能力，注意解题方法的积累，属于基础题．9.答案：2解析：解：∵BC=3BE，DC=λDF，∴=，=，=+=+=+，=+=+=+，∵菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，∴||=||=2，•=2×2×cos120°=-2，∵•=1，∴（+）•（+）=++（1+）•=1，即×4+×4-2（1+）=1，整理得，解得λ=2，故答案为：2．根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．本题主要考查向量的基本定理的应用，以及数量积的计算，要求熟练掌握相应的计算公式．10.答案：解析：解：实数x，y满足（x+y-2）（x-2y+3）≥0，如图所示可行域，由z=x2+y2．结合图象，z可看作原点到直线x+y-2=0的距离d的平方，根据点到直线的距离可得d==，故z=x2+y2=d2=2．点（0，0）到x-2y+3=0的距离为：，故z=x2+y2=d2=．x2+y2的最小值为：故答案为：．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解即可．本题考查线性规划的简单性质，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力．11.答案：解析：解：f（x）是定义在R上且周期为的周期函数，当x∈（0，]时，f（x）=1-|2x-1|．可得函数f（x）的图象如下：根据图象可得x=时，）log a x=1，∴．故答案为：．根据周期画出函数y=f（x），y=log a x（a＞1）在（0，+∞）的图象，根据图象可得答案．本题考查了函数的图象及性质，考查了数形结合思想，属于中档题．12.答案：解析：解：依题意，因为S9=S3+2S6，所以q≠1，所以+2，即（q3-2）（q3-1）（q3+1）=0，因为数列{a n}为正项数列，所以q3=2．当取得最小值时，S6•S3=1，即=1，所以=-，所以S9==-=．故填：．因为S9=S3+2S6，所以q≠1，所以+2，即（q3-2）（q3-1）（q3+1）=0，因为数列{a n}为正项数列，所以q3=2．当取得最小值时，S6•S3=1，即=1，所以=-，即可得到S9．本题考查了等比数列的前n项和，通项公式和前n项和公式的灵活运用，基本不等式等．属于中档题．13.答案：-2或3解析：【分析】本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．，即两斜率乘积为-1，设MN中点为Q（x0，y0），T（1，0），圆心R（a，-1），可得P，Q，R，T共线，由向量相等列式即可求出实数a的值．【解答】解：由x2+y2-2ax+2y-1=0，得（x-a）2+（y+1）2=a2+2．设MN中点为Q（x0，y0），T（1，0），圆心R（a，-1），根据对称性，MN⊥PR，==k TQ，∵k MN=，且，∴k MN•k TQ=-1，即MN⊥TQ，∴P，Q，R，T共线，∴k PT=k RT，即，得a2-a-6=0，解得a=-2或3．故答案为：-2或3．14.答案：解析：解：不妨设BD=DC=1，BC边上的高为h，则tan B=2h，tan C=h，从而tan A=-tan（B+C）==，所以++=+≥2=，（当且仅当=，即h=时，取等）故答案为：．不妨设BD=DC=1，BC边上的高为h，则tan B=2h，tan C=h，再根据正切值求出tan A，然后用基本不等式可求得．本题考查了三角形中的几何计算，属中档题．15.答案：解：（1）由图可知，A=2，…2分由T=2[]=2π，故ω==1，所以，f（x）=2sin（x+φ）．…4分又，且，故．于是，f（x）=．…7分（2）由，得．…9分所以，…12分=．…14分．解析：（1）由图可知A的值，由T=2[]=2π，可求ω==1，又，且，即可求得φ的值，从而可求函数f（x）的解析式．（2）由，得．从而由再根据二倍角公式即可求值．本题主要考查了由y=A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的恒等变换及化简求值，属于基本知识的考查．16.答案：证明：（1）连接AC1，设AC1∩A1C=O，连接OD，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ACC1A1是平行四边形，所以：O为AC1的中点，又因为：D是棱AB的中点，所以：OD∥BC1，又因为：BC1⊄平面A1CD，OD⊂平面A1CD，所以：BC1∥平面A1CD．（2）由（1）可知：侧面ACC1A1是平行四边形，因为：AC=AA1，所以：平行四边形ACC1A1是棱形，所以：AC1⊥A1C，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，因为：AB⊂平面ABC，所以：AB⊥AA1，又因为：AB⊥AC，AC∩AA1=A，AC⊂平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，所以：AB⊥平面ACC1A1，因为：A1C⊂平面ACC1A1，所以：AB⊥A1C，又因为：AC1⊥A1C，AB∩AC1=A，AB⊂平面ABC1，AC1⊂平面ABC1，所以：A1C⊥平面ABC1，因为：BC1⊂平面ABC1，所以：BC1⊥A1C．解析：本题主要考查了线面平行的判定，线面垂直的性质，线面垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．（1）连接AC1，设AC1∩A1C=O，连接OD，可求O为AC1的中点，D是棱AB的中点，利用中位线的性质可证OD∥BC1，根据线面平行的判断定理即可证明BC1∥平面A1CD．（2）由（1）可证平行四边形ACC1A1是棱形，由其性质可得AC1⊥A1C，利用线面垂直的性质可证AB⊥AA1，根据AB⊥AC，利用线面垂直的判断定理可证AB⊥平面ACC1A1，利用线面垂直的性质可证AB⊥A1C，又AC1⊥A1C，根据线面垂直的判断定理可证A1C⊥平面ABC1，利用线面垂直的性质即可证明BC1⊥A1C．17.答案：解：（1）连接AC，设∠ACO=α，则∠ACB=60°-α，在直角△ACO中，，在直角△ACB中，，…（2分）则有，解得，…（4分）在直角△ACO中，AO=OC•tanα=6•=10．…（6分）（2）以O为坐标原点，ON，OA分别为x，y轴，建立直角坐标系，则，又①若，由（1）知，②若，则直线BM的方程为，则；直线BN的方程为，则；所以==…（12分）又，所以当且仅当时，MN取最小值；…（14分）综合①②知，当时，MN取最小值．…（16分）解析：（1）分别在△AOC和△ABC中计算AC，列方程得出∠ACO，再计算AO；（2）建立坐标系求出直线BM，BN的方程，得出M，N的坐标，从而可得MN关于θ的表达式，进而求出MN的最小值．本题考查了解三角形的应用，属于中档题．18.答案：（1）解：设椭圆的截距为2c，由题意，b=，由点F到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a+c=，又a2=b2+c2，联立解得a=2，c=1．∴椭圆C的标准方程为；（2）解：当直线l与x轴重合时，M（-2，0），N（2，0），此时MF=3NF，不合题意；当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x=my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，得（3m2+4）y2+6my-9=0．△=36m2+36（m2+4）＞0．①，②，由MF=2FN，得y1=-2y2③，联立①③得，，，代入②得，，解得．∴直线方程为；（3）证明：当直线l的斜率为0时，则M（2，0），N（-2，0），设P（x0，y0），则PM•PN=|（x0-2）（x0+2）|，∵点P在椭圆外，∴x0-2，x0+2同号，又，∴，解得．当直线l的斜率不为0时，由（2）知，，，PM=，PN=，PF=．∵点P在椭圆外，∴y1-y0，y2-y0同号，∴PM•PN=（1+m2）（y1-y0）（y2-y0）==，整理得，代入直线方程得．∴点P在定直线x=上．解析：（1）由题意，b=，再由点F到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a+c=，结合隐含条件解得a=2，c=1，则椭圆方程可求；（2）当直线l与x轴重合时，求得MF=3NF，不合题意；当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x=my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，由根与系数的关系及MF=2FN求得m值，则直线方程可求；（3）当直线l的斜率为0时，设P（x0，y0），由PM•PN=PF2，求得，当直线l的斜率不为0时，由（2）中的根与系数的关系及PM•PN=PF2，求得，代入直线方程得，由此可得点P在定直线x=上．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．19.答案：解：（1）当a=1时，f（x）=0即为，x-ln x-1=0，令t（x）=x-ln x-1，所以t′（x）=1-=，当x∈（0，1）时，t′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，t′（x）＞0，（x）单调递增，所以，t（x）min=t（1）=0，故方程f（x）=0的根为：x=1；（2）函数g（x）=-x•f（x）+ax2-2ax+a=x lnx-a（x-1）．所以g′（x）=ln x+1-a，当a≤1时，由x＞1，知g′（x）＞0，所以g（x）在（1，+∞）是增函数，且图象不间断；又g（1）=0，所以：x＞1时，g（x）＞g（1）=0，即函数g（x）在（1，+∞）上没有零点，不合题意；当a＞1时，由g′（x）=0，解得：x=＞1，当1＜x＜时，g′（x）＜0，故g（x）在（1，）上是减函数；当x＞时，g′（x）＞0，故g（x）在（，+∞）上是增函数；所以1＜x＜时，g（x）＜g（1）=0，因为，g（e a）=ae a-a（e a-1）=a＞0且函数g（x）的图象在（1，+∞）上不间断，所以函数g（x）在（1，+∞）上有一个零点，符合题意；综上所述，实数a的取值范围为：a∈（1，+∞）．（3）存在吗，使不等式在（1，+∞）上恒成立；设h（x）=-=，令t（x）=e x-1-x，则t′（x）=）=e x-1-1，当x＞1时，t′（x）＞0，t（x）在（1，+∞）单调增，又t（1）=0，故t（x）＞0恒成立，所以当x＞1时，h（x）＞0；当a=0时，φ（x）=f（x）+m（x2-1）=-ln x+m（x2-1），①当m≤0，x＞1时，φ（x）=f（x）+m（x2-1）=-ln x+m（x2-1）＜0恒成立；所以不等式在（1，+∞）上不恒成立；②当m＞0时，由φ′（x）=-+mx==0，得：x=；当x∈（0，）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（0，J）单调减，当x∈（，+∞时，φ′（x）＞0，φ（x）在（，+∞）单调增，故φ（x）在x=；处取得极小值；（i）当0＜m＜1时，＞1；φ（）＜φ（1）=0，而h（）＞0．故不等式在（1，+∞）上不恒成立；（ii）当m≥1时，构造函数F（x）=φ（x）-h（x）=-ln x+m（x2-1）-，F′（x）=-+mx-+；当m≥1，x＞1时，mx≥x，＜1，-＞-1，F′（x）=-+mx-+＞）=-+x+-1=＞0；所以F（x）在（1，+∞）单调增，又F（1）=0；所以当x∈（1，+∞时，F（x）＞0恒成立，即φ（x）-h（x）＞0恒成立，故存在m≥1，使得在（1，+∞）上恒成立；综上所述，m的最小值为1；故答案为：（1）：x=1；（2）：a∈（1，+∞）；（3）：m的最小值为1．解析：（1）若a=1时求方程f（x）=0的根转换成令t（x）=x-ln x-1求极值可得；（2）利用函数g（x）=-x•f（x）+ax2-2ax+a求导，讨论a利用函数的性质判断增减性讨论零点可得实数a的取值范围；（3）当a=0时，假设存在实数m，使不等式在（1，+∞）上恒成立，证明假设，转化成新函数h（x）=-=，令t（x）=e x-1-x，则t′（x）=）=e x-1-1，讨论单调性集m可判断是否存在m．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.答案：解：（1）因为{a n}是等差数列且公差为2，所以a n=a1+2（n-1），所以对任意m，n∈N*，m≠n，|a m-a n|=|[a1+2（m-1）]-[a1+2（n-1）]|=|2（m-n）|≤2（m-n）恒成立，所以数列{a n}符合“L（2）条件”．（2）①因为a n＞0，所以q＞0．若q=1，则|a m-a n|=0，数列{a n}符合“L（）条件”；若q＞1，因为数列{a n}递增，不妨设m＜n，则，即，（*）设，由（*）式中的m，n任意性可知，数列{b n}不递增，所以=，n∈N*，则当时，，矛盾．若0＜q＜1，则数列{a n}单调递减，不妨设m＜n，则a n-a m，即，（**）设c n=，由（**）式中的m，n任意性可知，数列{a n}不递减，所以=≥0，n∈N*．因为0＜q＜1时，f（n）=单调递增，所以f max（n）=f（1）=（q-1）+≥0，因为0＜q＜1，所以．综上得，公比q的取值范围为[，1]．②由①知，，，当q=1时，s n=n，要存在k0使得|s n-s m|≤k0|n-m|，只要k0≥1即可．当时，要证数列{s n}符合“L（k0）条件”，只要证存在k0＞0，使得||≤k0|n-m|，n∈N*，不妨设m＜n，则只要证q m-q n≤k0（1-q）（n-m），只要证．设g（n）=，由m，n的任意性可知，只要证g（n+1）-g（n）=q n（q-1）+k0（1-q）=，只要证，n∈N*，因为，所以存在k0≥q，上式对n∈N*成立．所以，存在正数k0，使得数列{s n}符合“L（k0）条件”．解析：（1）因为{a n}是等差数列且公差为2，所以a n=a1+2（n-1），带入不等式验证条件即可；（2）①分情况验证符合“L（）条件”时q的取值情况，最后汇总，②由①算出s n，对q分情况验证结论．此题考查了等差数列和等比数列的应用，分类讨论较多，属于开放性试题，难度较大．。

2020年江苏省姜堰区、如东县高考数学模拟试卷(6月份) (解析版)

2020年姜堰区、如东县高考数学模拟试卷（6月份）一、填空题（共14小题）.1．已知集合A＝{1，3，a}，B＝{4，5}．若A∩B＝{4}，则实数a的值为．2．设复数z满足（2﹣i）z＝1+i（i为虚数单位），则复数z＝．3．某次数学测验五位同学的成绩分布茎叶图如图，则这五位同学数学成绩的方差为．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，则最后输出的S的值是．5．一张方桌有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个位置上，则A与B相对而坐的概率为．6．在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣＝1的顶点到其渐近线的距离为．7．若函数f（x）＝sin（ωx+）（0＜ω＜6）图象的一个对称中心为（，0），则函数f（x）的最小正周期为．8．某品牌冰淇淋由圆锥蛋筒和半个冰淇淋小球组成，其中冰淇淋小球的半径与圆锥底面半径相同．已知圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为π，弧长为6πcm的扇形，则该冰淇淋的体积是cm3．9．已知函数f（x）＝对任意的x1，x2∈R，x1≠x2，有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＜0，则实数k的取值范围是．10．已知园C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，若直线l：（2m﹣1）x+（2m+2）y﹣4m﹣1＝0与圆C交于A，B两点，当弦AB的长度最小时，则正实数为m＝．11．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，，，…，．①；第二步：将数列①的各项乘以，得到一个新的数列a1，a2，a3，…a n．则根据以上两步可得a1a2+a2a3+a3a4+…+a n+1a n＝（n≥2，n∈N*）．12．如图，在△ABC中，A＝，过点A作AC的垂直线交BC于点D．若在△ABC的面积为4，则AD的最大值是．13．已知C是以AB为直径的半圆上一点，且C是线段PQ的中点，若AB＝5，PQ＝1，与的夹角为120°，则•＝．14．已知函数f（x）＝xln（x+3）﹣2，若不等式f（x）﹣2a≤0有解，则整数a的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，过AD的平面分别与PB，PC交于点E，F．（1）求证：平面PBC⊥平面PCD；（2）求证：AD∥EF．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（sin B+sin C）（sin B﹣sin C）＝sin A（sin B﹣sin A）．（1）求△ABC面积为，求ab的值；（2）若c+b＝2a，求cos A．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2，直线l与椭圆有且只有一个公共点．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在以原点O为圆心的圆满足：此圆与直线l相交于P，Q两点（两点均不在坐标轴上），且OP，OQ的斜率之积为定值，若存在，求出此定值和圆的方程；若不存在，请说明理由．18．（16分）如图所示，某地区打算在一块矩形地块上修建一个牧场（ABCDEF围成的封闭区域）用来养殖牛和羊其中AF＝1，AB＝10，BC＝4，CD＝7（单位：百米），DEF 是一段曲线形马路．该牧场的核心区为等腰直角三角形MPQ所示区域，该区域用来养殖羊，其余区域养殖牛，且MP＝PQ，牧场大门位于马路DEF上的M处，一个观察点P位于AB的中点处，为了能够更好的观察动物的生活情况，现决定修建一条观察通道，起点位于距离观察点P处1百米的O点所示位置，终点位于Q处如图2所示，建立平面直角坐标系，若M（x，f（x））满足f（x）＝．（1）求f（x）的解析式：（2）求观察通道OQ长度的最小值．19．（16分）设数列{a n}的前n项和为S n，且满足（n﹣2）S n﹣nS n﹣1+n＝0，n∈N*，n≥2，a2＝2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，．①求T n；②求证：T n+1lnT n＜lnT n+1．20．（16分）已知f（x）＝xe x，g（x）＝a（x+lnx）（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x），g（x）在其公共点P（x0，y0）处切线相同，求实数a的值；（3）记F（x）＝f（x）﹣g（x），若函数F（x）存在两个零点，求实数a的取值范围．参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．已知集合A＝{1，3，a}，B＝{4，5}．若A∩B＝{4}，则实数a的值为4．【分析】利用交集的定义直接求解．解：∵集合A＝{1，3，a}，B＝{4，5}．A∩B＝{4}，∴由交集宝定义得实数a的值为4．故答案为：4．2．设复数z满足（2﹣i）z＝1+i（i为虚数单位），则复数z＝i．【分析】把等式两边同时除以2﹣i，然后把左边分子分母同时乘以2+i即可．解：由（2﹣i）z＝1+i，得：．故答案为．3．某次数学测验五位同学的成绩分布茎叶图如图，则这五位同学数学成绩的方差为10．【分析】已知茎叶图，读出数据122，128，129，130，131，代入方差计算公式，可得答案．解：由图可得这五位同学考试成绩分别为122，128，129，130，131；则这五位同学数学成绩的平均数为：（122+128+129+130+131）＝128，方差＝[（122﹣128）2+（128﹣128）2+（129﹣128）2+（130﹣128）2+（131﹣128）2]＝10．故答案为：10．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，则最后输出的S的值是17．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得I＝1，满足条件I＜6，执行循环体，I＝3，S＝9满足条件I＜6，执行循环体，I＝5，S＝13满足条件I＜6，执行循环体，I＝7，S＝17此时，不满足条件I＜6，退出循环，输出S的值为17．故答案为：17．5．一张方桌有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个位置上，则A与B相对而坐的概率为．【分析】C，D三人随机坐到其他三个位置上的所有可能情况有＝6种情况，而A与B相对而坐的情况有＝2种情况，然后根据等可能事件的概率公式即可求解．解：B，C，D三人随机坐到其他三个位置上的所有可能情况有＝6种情况，而A与B相对而坐的情况有＝2种情况，故概率P＝＝．故答案为：．6．在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣＝1的顶点到其渐近线的距离为．【分析】由双曲线的方程可得右顶点及渐近线的方程，再由点到直线的距离公式求出顶点到其渐近线的距离．解：由双曲线的方程可得右顶点A的坐标（4，0），一三象限的渐近线的方程为：y＝x，即3x﹣4y＝0，由点到直线的距离公式可得d＝，由双曲线及渐近线的对称性可得顶点到其渐近线的距离为，故答案为：．7．若函数f（x）＝sin（ωx+）（0＜ω＜6）图象的一个对称中心为（，0），则函数f（x）的最小正周期为．【分析】由题意利用正弦函数的周期性和对称性，求得函数f（x）的最小正周期．解：∵函数f（x）＝sin（ωx+）（0＜ω＜6）图象的一个对称中心为（，0），∴•ω+＝kπ，k∈Z，∴ω＝4，则函数f（x）的最小正周期为＝，故答案为：．8．某品牌冰淇淋由圆锥蛋筒和半个冰淇淋小球组成，其中冰淇淋小球的半径与圆锥底面半径相同．已知圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为π，弧长为6πcm的扇形，则该冰淇淋的体积是30πcm3．【分析】由已知结合弧长公式求出圆锥底面半径为r与圆锥母线长l，进一步求出圆锥的高，再由圆锥体积公式及球的体积公式求解．解：∵圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为π，弧长为6πcm的扇形，∴圆锥底面半径为r＝＝3，圆锥母线长l＝＝5，圆锥的高为h＝，∴半球的半径R＝3，∴该冰淇淋的体积是：V＝cm3．故答案为：30π．9．已知函数f（x）＝对任意的x1，x2∈R，x1≠x2，有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＜0，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣]．【分析】根据题意，分析可得f（x）在R上为减函数，结合函数的单调性可得，解可得k的取值范围，即可得答案．解：根据题意，对任意的x1，x2∈R，x1≠x2，有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＜0，则函数f（x）在R上为减函数，又由函数f（x）＝，则有，解可得：k≤﹣，即k的取值范围为（﹣∞，﹣]；故答案为：（﹣∞，﹣]．10．已知园C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，若直线l：（2m﹣1）x+（2m+2）y﹣4m﹣1＝0与圆C交于A，B两点，当弦AB的长度最小时，则正实数为m＝．【分析】由已知圆的方程可得圆心坐标，由直线系方程可得直线l过定点P（1，1），弦AB的长度最小时，直线l⊥PC，可得直线l平行于x轴，则2m﹣1＝0，由此求得m 值．解：圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4的圆心坐标为C（1，2），半径r＝2．直线l：（2m﹣1）x+（2m+2）y﹣4m﹣1＝0化为m（2x+2y﹣4）﹣x+2y﹣1＝0，联立，解得，∴直线l过定点P（1，1）．要使弦AB的长度最小，则直线l⊥PC，可知直线l平行于x轴，则2m﹣1＝0，即m＝．故答案为：．11．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，，，…，．①；第二步：将数列①的各项乘以，得到一个新的数列a1，a2，a3，…a n．则根据以上两步可得a1a2+a2a3+a3a4+…+a n+1a n＝n（n﹣1）（n≥2，n∈N*）．【分析】利用“裂项求和”方法即可得出．解：∵a k＝．n≥2时，a k﹣1a k＝＝n2（﹣）．∴a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n＝n2[（1﹣）+（）+…+（﹣）]＝n2（1﹣）＝n （n﹣1）．故答案为：n（n﹣1）12．如图，在△ABC中，A＝，过点A作AC的垂直线交BC于点D．若在△ABC的面积为4，则AD的最大值是．【分析】由三角形ABC的面积可得AD的表达式，再由S△ABC＝AC•AB•sin∠A＝AC•AD+AD•AB•sin，求出AC•AB的值，由均值不等式进而可得AD的最大值．解：△ABC中，A＝，过点A作AC的垂直线交BC于点D．因为在△ABC的面积为4，所以4＝AC•AD+AD•AB•sin，所以AD＝，由S△ABC＝AC•AB•sin∠A，所以AC•AB＝16，所以AD＝≤＝＝，故答案为：．13．已知C是以AB为直径的半圆上一点，且C是线段PQ的中点，若AB＝5，PQ＝1，与的夹角为120°，则•＝．【分析】直接利用向量的线性运算和数量积，求出•．解：，，＝＝0+＝＝．故答案为：﹣14．已知函数f（x）＝xln（x+3）﹣2，若不等式f（x）﹣2a≤0有解，则整数a的最小值为﹣1．【分析】不等式f（x）﹣2a≤0有解⇒可转化为f（x）≤2a有解⇒只需（f（x））min≤2a即可；f（x）＝xln（x+3）﹣2，定义域{x|x＞﹣3}，求导数，分析单调性，求出最小值，即可得出结论．解：f（x）＝xln（x+3）﹣2，定义域{x|x＞﹣3}，f′（x）＝ln（x+3）+，令g（x）＝ln（x+3）+g′（x）＝+＝，所以在（﹣3，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，g（﹣2）＝ln1+＝﹣2＜0，g（﹣1）＝ln2+＝ln2+＝ln2+lne＝ln＞0，所以∃x0∈（﹣2，﹣1），使得g（x0）＝0，即ln（x0+3）+＝0，①在（﹣3，x0）上，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（x0，+∞）上，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）min＝f（x0）＝x0ln（x0+3）﹣2，把①代入得，f（x）min＝f（x0）＝x0ln（x0+3）﹣2＝x0（﹣）﹣2＝﹣﹣2＝﹣（x0+3）+6﹣﹣2＝﹣[（x0+3）+]+4，x0∈（﹣2，﹣1），所以x0+3∈（1，2），（x0+3）+∈（，10），﹣[（x0+3）+]+4∈（﹣6，﹣），所以2a≥﹣，所以a≥﹣，所以整数a的最小值为﹣1．故答案为：﹣1．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，过AD的平面分别与PB，PC交于点E，F．（1）求证：平面PBC⊥平面PCD；（2）求证：AD∥EF．【分析】（1）根据BC⊥CD，BC⊥PD可得BC⊥平面PCD，故而平面PBC⊥平面PCD；（2）证明AD∥平面PBC，再根据线面平行的性质得出AD∥EF．【解答】证明：（1）因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC，因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD．因为CD⊂平面PCD，PD⊂平面PCD，CD∩PD＝D，所以BC⊥平面PCD．因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PCD．（2）底面ABCD是矩形，所以AD∥BC，因为BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，所以AD∥平面PBC．因为AD⊂平面ADFE，平面ADFE∩平面PBC＝EF，所以AD∥EF．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（sin B+sin C）（sin B﹣sin C）＝sin A（sin B﹣sin A）．（1）求△ABC面积为，求ab的值；（2）若c+b＝2a，求cos A．【分析】（1）由正弦定理化简已知可得a2+b2﹣c2＝ab，由余弦定理可求cos C＝，结合C为三角形的内角，可求C＝，利用三角形的面积公式可求ab的值．（2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可求sin（A﹣）＝，结合范围A﹣∈（﹣，），可求cos（A﹣）的值，进而根据两角和的余弦函数公式即可求解cos A的值．解：（1）因为（sin B+sin C）（sin B﹣sin C）＝sin A（sin B﹣sin A），由正弦定理可得，b2﹣c2＝ab﹣a2，即a2+b2﹣c2＝ab，由余弦定理，cos C＝＝，因为C为三角形的内角，故C＝，所以S△ABC＝＝＝，所以ab＝4，（2）∵c+b＝2a，C＝，∴由正弦定理可得sin C+sin B＝2sin A，可得+sin（A+C）＝2sin A，∴+sin A cos C+cos A sin C＝2sin A，可得+sin A+cos A＝2sin A，∴整理可得sin A﹣cos A＝，∴可得sin（A﹣）＝，∵A∈（0，），A﹣∈（﹣，），∴cos（A﹣）＝＝，∴cos A＝cos[（A﹣）+]＝cos（A﹣）cos﹣sin（A﹣）sin＝×﹣＝﹣．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2，直线l与椭圆有且只有一个公共点．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在以原点O为圆心的圆满足：此圆与直线l相交于P，Q两点（两点均不在坐标轴上），且OP，OQ的斜率之积为定值，若存在，求出此定值和圆的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（1）运用离心率公式列出方程，通过点在椭圆上列出方程，求得a，b，可得椭圆方程；（2）当直线l的斜率不存在时，验证直线OP1，OP2的斜率之积；当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx+m与与椭圆联立，运用直线l与椭圆C有且只有一个公共点，推得1+4k2＝m2，通过直线与圆的方程的方程组，设P1（x1，y1），P2（x2，y2），结合韦达定理，求解直线的斜率之积，推得k1k2为定值即可．解：（1）由离心率为，可得e＝＝，由短轴长为2，可得b＝1，又a2﹣c2＝b2＝1，解得a＝2，c＝，则椭圆的方程为+y2＝1；（2）存在符合条件的圆，此圆的方程为x2+y2＝5．证明如下：假设存在符合条件的圆，设此圆的方程为x2+y2＝r2（r＞0），当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx+m，由可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，因为直线l与椭圆C有且只有一个交点，所以△1＝（8km）2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＝0，即m2＝1+4k2，由方程组可得（1+k2）x2+2kmx+m2﹣r2＝0，则△2＝（2km）2﹣4（1+4k2）（m2﹣r2）＞0，设P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x1+x2＝﹣，x1x2＝，设直线OP1，OP2的斜率为k1，k2，所以k1k2＝＝＝＝＝，将m2＝1+4k2代入上式，可得k1k2＝＝，要使k1k2为定值，则＝，即r2＝5，验证符合题意．所以当圆的方程为x2+y2＝5时，圆与l的交点P1，P2满足k1k2为定值﹣，当直线l的斜率不存在时，由题意可得l的方程为x＝±2，此时圆x2+y2＝5与l的交点为P1，P2也满足k1k2＝﹣，综上可得当圆的方程为x2+y2＝5时，直线l与圆的交点P1，P2满足斜率之积k1k2为定值﹣．18．（16分）如图所示，某地区打算在一块矩形地块上修建一个牧场（ABCDEF围成的封闭区域）用来养殖牛和羊其中AF＝1，AB＝10，BC＝4，CD＝7（单位：百米），DEF 是一段曲线形马路．该牧场的核心区为等腰直角三角形MPQ所示区域，该区域用来养殖羊，其余区域养殖牛，且MP＝PQ，牧场大门位于马路DEF上的M处，一个观察点P位于AB的中点处，为了能够更好的观察动物的生活情况，现决定修建一条观察通道，起点位于距离观察点P处1百米的O点所示位置，终点位于Q处如图2所示，建立平面直角坐标系，若M（x，f（x））满足f（x）＝．（1）求f（x）的解析式：（2）求观察通道OQ长度的最小值．【分析】（1）根据D点坐标求出k，计算E点坐标，利用待定系数法求出a，b；（2）用x表示出OQ的长，讨论x的范围，根据函数单调性求出函数最小值即可．解：（1）由题意可知D（﹣1，4），F（﹣4，1），把D（﹣1，4）代入f（x）＝可得k＝﹣4，∴E（﹣2，2），又f（x）＝ax+b经过点E（﹣2，2），F（﹣4，1），∴，解得a＝，b＝3．∴f（x）＝．（2）过M，Q分别作x轴的垂线，垂足分别为M′，Q′，则Rt△MM′P≌Rt△PQ′Q，∵M（x，f（x）），∴PM′＝1﹣x，MM′＝f（x），∴Q（1+f（x），1﹣x），∴OQ＝，①若﹣2＜x≤﹣1，则OQ＝＝，令x+＝t，则OQ＝，令g（x）＝x+（﹣2＜x≤﹣1），则g′（x）＝1﹣＝＜0，∴g（x）在（﹣2，﹣1]上单调递减，故﹣5≤g（x）＜﹣4，即﹣5≤t＜﹣4，∴18＜（t﹣1）2﹣7≤29，∴3＜OQ≤．②若﹣4≤x≤﹣2，则OQ＝＝，∴当x＝﹣2时，OQ取得最小值＝3．综上，观察通道OQ的最小值为3百米．19．（16分）设数列{a n}的前n项和为S n，且满足（n﹣2）S n﹣nS n﹣1+n＝0，n∈N*，n≥2，a2＝2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，．①求T n；②求证：T n+1lnT n＜lnT n+1．【分析】（1）利用（n﹣2）S n﹣nS n﹣1+n＝0，求出首项，推出2S n＝na n+n．然后转化为（n﹣1）a n+1﹣na n+1＝0，推出数列{a n}为等差数列．然后求解通项公式．（2）①利用a n＝n，化简，利用裂项消项法求解T n；②要证T n+1lnT n＜lnT n+1，只要证，转化为证明，设，x＞1，令，利用函数的导数，判断函数的单调性，转化证明即可．解：（1）因为（n﹣2）S n﹣nS n﹣1+n＝0，所以n＝2时，S1＝1，即a1＝1．因为n≥2时，（n﹣2）S n﹣nS n﹣1+n＝0，即2S n＝na n+n．n＝1时也适合该式．所以n≥2时，2S n＝na n+n，2S n﹣1＝（n﹣1）a n﹣1+n﹣1，两式相减得（n﹣2）a n﹣（n﹣1）a n﹣1+1＝0，则（n﹣1）a n+1﹣na n+1＝0，两式相减得2（n﹣1）a n﹣（n﹣1）a n﹣1﹣（n﹣1）a n+1＝0，n≥2．所以2a n﹣a n﹣1﹣a n+1＝0，n≥2，所以a n+1﹣a n＝a n﹣a n﹣1．所以数列{a n}为等差数列．因为a1＝1，a2＝2，所以公差d＝1，所以a n＝1+（n﹣1）×1＝n．（2）①因为a n＝n，所以＝，所以，②要证T n+1lnT n＜lnT n+1，只要证，只要证，即证．设，x＞1，令，则，易证x﹣1﹣lnx＞0，故f'（x）＞0在（1，+∞）上恒成立．所以f（x）在（1，+∞）上单调递增，因为，所以．所以所证不等式成立．20．（16分）已知f（x）＝xe x，g（x）＝a（x+lnx）（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x），g（x）在其公共点P（x0，y0）处切线相同，求实数a的值；（3）记F（x）＝f（x）﹣g（x），若函数F（x）存在两个零点，求实数a的取值范围．【分析】（1）求导得f′（x）＝（x+1）e x，令f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可接触f （x）单调递增，递减区间．（2）求导数g′（x）＝a（+1），根据题意可得，且x0＞0，由①②可得a（lnx0+x0﹣1）＝0，若a＝0，则x0e＝0无解，若a≠0，则lnx0+x0＝1，令y＝lnx+x在（0，+∞）上是增函数，且ln1+1＝1，可得x0＝1，进而可得实数a 的值．（3）设函数F（x）＝f（x）﹣g（x），求导数得F′（x），当a≤0时，分析F（x）单调性，可知F（x）至多一个零点，舍去．当a＞0时，由f（x）＝xe x单调性，可得方程xe x＝a在（0，+∞）上有唯一解，记为x1，即F′（x）＝0的根为x1，可得F′（x）的正负，进而可得F（x）单调性，只需F（x）min＝F（x1）＜0，函数F（x）存在两个零点，进而得a＞e，最后验证a＞e时，函数F（x）存在两个零点的充分性即可．解：（1）f′（x）＝e x+xe x＝（x+1）e x，在（﹣1，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（﹣∞，﹣1）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，综上函数f（x）单调递增区间为（﹣1，+∞），单调递减区间（﹣∞，﹣1）．（2）因为g（x）＝a（lnx+x），定义域为（0，+∞），所以g′（x）＝a（+1），因为点P（x0，y0）为函数f（x），g（x）的公共点，且在此点有相同的切线，所以，且x0＞0，由②得x0e＝a，代入①，得：a（lnx0+x0﹣1）＝0，若a＝0，则x0e＝0，且（x0+1）e＝0，即e＝0，不可能，所以a≠0，故lnx0+x0＝1，令y＝lnx+x在（0，+∞）上是增函数，且ln1+1＝1，所以x0＝1，从而a＝1×e1＝e，综上，实数a的值为e．（3）设函数F（x）＝f（x）﹣g（x）＝xe x﹣a（lnx+x），x＞0，则F′（x）＝e x+xe x﹣a（+x）＝，令F′（x）＝0得，xe x﹣a＝0，即xe x＝a，当a≤0时，F′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以F（x）在（0，+∞）上恒成立，所以F（x）在（0，+∞）上单调递增，至多一个零点，与题意不符，故舍去．当a＞0时，由上题知：f（x）＝xe x在（﹣1，+∞）上单调递增，故方程xe x＝a在（0，+∞）上有唯一解，记为x1，即F′（x）＝0的根为x1，且当x∈（0，x1）时，F′（x）＜0，当x∈（x1，+∞）时，F′（x）＞0，所以F（x）在区间（0，x1）上单调递增，在区间（x1，+∞）单调递增，因为函数F（x）＝f（x）﹣g（x）的零点个数为2，所以F（x）min＝q（x1）＜0，即x1e﹣a（lnx1+x1）＜0，有因为x1e＝a，所以a﹣a（lnx1+x1）＜0，又a＞0，所以lnx1+x1﹣1＞0，因为函数y＝lnx+x﹣1在（0，+∞）上单调递增，且有一个零点x＝1，所以x1＞1，从而a＝x1e＞e，下面证明：当a＞e时，函数Fx）＝f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上零点个数为2，因为F（x）min＝q（x1）＜0，F（）＝e+a（1﹣）＞e+e（1﹣）＝e+（e﹣1）＞0，F（2a）＝2ae2a﹣a（ln2a+2a）＝a（e2a﹣ln2a+e2a﹣2a）＞0，根据函数F（x）的单调性结合零点存在性定理得，函数F（x）在（，x1）上存在一个零点，在（x1，2a）上存在一个零点，所以函数F（x）＝f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上零点个数为2，综上，实数a的取值范围为（e，+∞）．。

2020届江苏省南通市2017级高三适应性考试英语试卷参考答案及听力原文

2020届江苏省南通市2017级高三适应性考试英语参考答案及听力原文听力 (20分) 1—5 BCCBC 6—10 ACCBA 11—15 ABCCA 16—20 BCCAA单项填空 (15分) 21—25 BDDAC 26—30 ADBCC 31—35 BACDB完形填空 (20分) 36—40 CBBAD 41—45 CABDC 46—50 ABCCA 51—55 DDADB阅读理解 (30分) 56—60CCBDB 61—65 ACDAA 66—70 BCBDB任务型阅读 (10分)71. differs 72. performance73. Reasons 74. necessarily75. miss/lack 76. happier77. flexible 78. associated/ linked/ connected/ concerned 79. focus 80. born81.书面表达 (25分)One possible version:Li Jiang and Su Hua hold different opinions on whether museums should be free for the public. Li believes that museums shouldn’t charge visitors for admission while Su thinks otherwise.On a personal note, museums should be available to all visitors for free. First and foremost, museums house many precious artworks, antiques and relics, and free access will attract more lovers to explore their history and culture, which may add to a feeling of national identity. Besides, given that museums are always a crucial source of inspiration and education, free access is a rewarding investment in the future andis of great benefit to securing prosperity of the whole society. What’s more, free access can also boost the number of visitors, thus expanding cultural power to its fullest.In conclusion, to help build up national pride and promote cultural1。

2020届江苏省南通市2017级高三适应性考试英语试卷及答案

2020届江苏省南通市2017级高三适应性考试英语试卷★祝考试顺利★第一部分听力 (共两节,满分20分)做题时,先将答案标在试卷上。

录音内容结束后,你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节 (共5小题；每小题1分,满分5分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题,从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后,你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. Where does the woman suggest the key might be?A. Under the mat.B. Above the door.C. Under the flower pot.2. What makes the girl study harder?A. To get a toyB. To work as a designer.C. To earn money for a car.3. What did the notice say about Tom?A. He has finished his research.B. He has been promoted to manager.C. He is going to work in the research center.4. What will the speakers probably do next?A. Use a flashlight.B. Light a candle.C. Buy a book.5. What are the speakers mainly talking about?A. The man’s job.B. The m an’s marriage.C. The man’s relationship with his assistant.第二节 (共15小题；每小题1分,满分15分)听下面5段对话或独白。

高考数学母题解密专题01 集合及其运算附解析(江苏专版)

专题01 集合及其运算【母题来源一】【2020年高考江苏】已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则AB =__▲___.【答案】{}0,2【解析】根据集合的交集即可计算.∵{}1,0,1,2A =-,{}0,2,3B =∴{}0,2A B =，故答案为：{}0,2.【名师点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型．【母题来源二】【2019年高考江苏】已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则 A B = ▲ .【答案】{1,6}【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可.由题意知，{1,6}A B =.【名师点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.【母题来源三】【2018年高考江苏】已知集合{}0,1,2,8A =，{}1,1,6,8B =-，那么A B = ▲ ．【答案】{1，8}【解析】由题设和交集的定义可知：{}1,8A B =.【名师点睛】本题考查交集及其运算，考查基础知识，难度较小.（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,A B A B =∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．【命题意图】（1）了解集合的含义.（2）理解两个集合的交集的含义，会求两个简单集合的交集.（3）能够正确处理含有字母的讨论问题，掌握集合的交集运算和性质.【命题规律】这类试题在考查题型上主要以填空题的形式出现，主要考查集合的基本运算，其中集合以描述法呈现．试题难度不大，多为低档题，从近几年江苏的高考试题来看，主要的命题角度有：（1）离散型或连续型数集间的交集运算；（2）已知集合的交集运算结果求参数．【答题模板】解答此类题目，一般考虑如下三步：第一步：看元素构成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键，即辨清是数集、点集还是图形集等；第二步：对集合化简，有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决；第三步：应用数形结合进行交、并、补等运算，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(Venn).【方法总结】（一）集合的基本运算及其表示：（1）交集：由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，即{|}A B x x A x B =∈∈且.（2）并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，即|}{A B x x A x B =∈∈或.（3）补集：由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，即{|}U A x x U x A =∈∉且.（二）与集合元素有关问题的解题方略：（1）确定集合的代表元素；（2）看代表元素满足的条件；（3）根据条件列式求参数的值或确定集合元素的个数.但要注意检验集合中的元素是否满足互异性.（三）集合间的基本关系问题的解题方略：（1）判断集合间基本关系的方法有三种：①列举观察；②集合中元素特征法，首先确定集合中的元素是什么，弄清楚集合中元素的特征，再判断集合间的关系；③数形结合法，利用数轴或韦恩图求解.（2）求集合的子集：若集合A 中含有n 个元素，则其子集个数为2n 个，真子集个数为21n -个，非空真子集个数为22n -个.（3）根据两集合关系求参数：已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论．注意区间端点的取舍．注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.（四）求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件．（1）离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn 图或交、并、补的定义求解；（2）点集的运算常利用数形结合的思想或联立方程组进行求解；（3）连续型数集的运算，常借助数轴求解；（4）已知集合的运算结果求集合，常借助数轴或Venn 图求解；（5）根据集合运算结果求参数，先把符号语言转化成文字语言，然后适时应用数形结合求解.1．（2020届江苏省苏州市吴江区高三下学期五月统考数学试题）已知集合{}1,2,3,4A =，集合{}4,5B =，则AB =______.【答案】{}4【解析】因为集合{}1,2,3,4A =，集合{}4,5B =，所以{}4A B ⋂=.故答案为：{}4.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记概念即可，属于基础题型.2．（江苏省无锡市、常州市2019-2020学年高三下学期5月联考数学试题）已知集合{}012M =,,，集合{}0,2,4N =，则M N ⋃=__________．【答案】{}0,1,2,4 【解析】集合{}012M =,,，集合{}0,2,4N =， ∴{}0,1,2,4M N ⋃=.故答案为：{}0,1,2,4.【点睛】本题考查并集及其运算，属于基础题.3．（江苏省盐城中学2020届高三下学期第一次模拟数学试题）已知集合{}13A x =-<<，{}|2=≤B x x ，则A B =_________ .【答案】(-1,2]【解析】由题意{|12}A B x x =-<≤故答案为：(1,2]-．【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握交集概念是解题关键．4．（2020届江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁)高三下学期第二次调研考试数学试题）已知集合{}1,4A =，{}5,7B a =-.若{}4A B ⋂=，则实数a 的值是______.【答案】9 【解析】集合{}1,4A =，{}5,7B a =-，{}4A B ⋂=，∴54a -=，则a 的值是9.故答案为：9【点睛】本题考查集合的交集，是基础题.5．（江苏省南京市金陵中学、南通市海安高级中学、南京市外国语学校2020届高三下学期第四次模拟数学试题）已知集合{}{}02,1,0,1,2M x x N =≤<=-，则MN =__________．【答案】{}0,1 【解析】因为{}{}02,1,0,1,2M x x N =≤<=-，所以{}0,1M N ⋂=. 6．（2020届江苏省高三高考全真模拟(六)数学试题）已知集合{1,0,2}A =-，{}0,1,2,3B =，则A B =______.【答案】{1,0,1,2,3}-【解析】由题意1,0,1{,2,}3A B =-．故答案为：{1,0,1,2,3}-．【点睛】本题考查集合的并集运算，属于简单题．7．（江苏省泰州市姜堰区、南通市如东县2020届高三下学期适应性考试数学试题）已知集合{1,3,}A a =，{4,5}B =.若{4}A B ⋂=，则实数a 的值为______.【答案】4【解析】{}4A B ⋂=4A ∴∈且4B ∈4a ∴=【点睛】本题考查了交集的定义，意在考查学生对交集定义的理解，属于基础题.8．（江苏省扬州中学2020届高三下学期6月模拟考试数学试题）集合{}0,3x A =，{}2,0,1B =-，若A B B ⋃=，则x =_________________．【答案】0【解析】∵A B B ⋃=，∴A B ⊆，又{}0,3x A =，{}2,0,1B =-，∴31x =，∴0x =，故答案为：0．【点睛】本题主要考查集合的并集运算的应用，属于基础题．9．（江苏省泰州中学2019-2020学年高三下学期4月质量检测数学试题）已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则A B =______【答案】{|12}x x <<【解析】因为集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，所以{|12}A B x x =<<.故答案为：{|12}x x <<【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属基础题.10．（江苏省扬州市2020届高三下学期6月最后一卷数学试题）已知集合2{1,0,}A a =-，{1,1}B =-，则A B B =，则实数a 的值是_______．【答案】±1【解析】因为AB B =，所以B A ⊆，又2{1,0,}A a =-，{1,1}B =-，所以21a =，解得1a =±.故答案为：±1【点睛】本题主要考查集合间的基本关系，属于基础题.11．（2020届江苏省苏州市三校高三下学期5月联考数学试题）设集合{2,0,1,2}=-A ，{}|10B x x =-<，则A B =___________.【答案】{}2,0-【解析】由已知，{}|1B x x =<，所以AB ={}2,0-. 故答案为：{}2,0-【点睛】本题考查集合的交集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.12．（江苏省盐城市2020届高三下学期第四次模拟数学试题）若集合{}A x x m =≤，{}1B x x =≥-，且{}A B m =，则实数m 的值为_______.【答案】1- 【解析】∵{}A x x m =≤，{}1B x x =≥-，且{}AB m =，∴1m =-，故答案为：1-．【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题．13．（江苏省苏州市2019-2020学年高三上学期期中数学试题）已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{|0}B x x =>，则A B =__________.【答案】{1,2} 【解析】集合{2,1,0,1,2}A =--，{|0}B x x =>，{1,2}A B ∴=，故答案为：{1,2}．【点睛】本题考查集合交集的运算，是基础题．14．（江苏省淮安市清浦中学2019-2020学年高三下学期5月阶段性检测数学试题）已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若A B={1}⋂则实数a 的值为________ 【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．【点睛】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,A B A B ⋂=∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．15．（江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期第一次调研考试数学试题）设全集{}0,1,2U =，集合{}0,1A =，则U C A =________．【答案】{}2【解析】{}{}0,1,2,0,1U A =={}2U C A ∴=故答案为：{}2【点睛】本题考查了补集的运算，属于基础题.16．（2020届江苏省苏州市常熟市高三阶段性抽测三数学试题）已知集合{}2A x x =≤，(){}40B x x x =-≤，则()A B =R ________.【答案】(]2,4 【解析】集合(){}{}4004B x x x x x =-≤=≤≤ 因为集合{}2A x x =≤ 所以{}2R A x x => 所以(){}(]242,4R A B x x ⋂=<≤=.故答案为：(]2,4.【点睛】本题考查解一元二次不等式，集合的补集、交集运算，属于简单题.17．（2020届江苏省南通市高三下学期5月模拟考试数学试题）已知集合{}1,2,3,4A =，{}2|log (1)2B x x =-<，则A B =____．【答案】{}2,3,4【解析】由题意可得：{}{}|014|15B x x x x =<-<=<< ，则{}2,3,4A B⋂=.如何学好数学做选择题时注意各种方法的运用，比较简单的自己会的题正常做就可以了，遇到比较复杂的题时，看看能否用做选择题的技巧进行求解（主要有排除法、特殊值代入法、特例求解法、选项一一带入验证法、数形结合法、逻辑推理验证法等等），一般可以综合运用各种方法，达到快速做出选择的效果。

2020届江苏省南通市2017级高三下学期高考考前一模考试数学试卷及解析

2020届江苏省南通市2017级高三下学期高考考前一模考试数学试卷★祝考试顺利★(含答案)一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．.1. 已知集合{}*2,N A x x x =<∈∣,{0,1,2,3,4}B =,则A B ________.【答案】{1,2,3}【解析】解不等式确定集合A ,然后由交集定义计算．【详解】2202)00204x x x <⇒<⇒<⇒≤<⇒≤<,又*x N ∈,∴{1,2,3}A =,∴{1,2,3}A B ⋂=．故答案为：{1,2,3}．2. 设为虚数单位,(12)|34|i z i -=+,则复数z 的虚部为________.【答案】2【解析】首先将题中所给的式子进行化简,求得12z i =+,从而得到其虚部的值.【详解】根据(12)|34|i z i -=+,可得(12)5i z -==, 所以2255(12)12121(2)i z i i +===+-+-,所以复数z 的虚部为2,故答案为：2.3. 若某程序框图如图所示,则运行结果为________.【答案】9【解析】模拟程序运行,观察变量值,判断循环条件可得结论．【详解】程序运行时,变量值变化如下：0,1S n ==,不满足5S ≥；0,3S n ==,不满足5S ≥；2log 3,5S n ==,不满足5S ≥；2log 15,7S n ==,不满足5S ≥；2log 105,9S n ==,满足5S ≥,退出循环,输出9n =．故答案为：9．4. 某校从3名男生和2名女生中随机选出3人参加植树活动,则选出的学生中男生比女生人数多的概率为________. 【答案】710【解析】依据题意男生选3人或男生2人女生1人,依次计算概率,最后可得结果.【详解】由题可知：男生选3人或男生选2人女生选1人若男生选3人,则概率为33135110==C P C 若男生选2人女生选1人,则概率为2132235610==C C P C。

江苏省姜堰、如东县2020届高三考前适应练习试题

x≤2 x>2
对任意的 x1,x2∈R，x1≠x2，有[f(x1)－f(x2)] (x1－x2)<0，
则实数 k 的取值范围是 ▲ ．
10. 已知园 C:(x－1)2＋(y－2)2=4，若直线 l:(2m－1)x+(2m＋2)y－4m－1=0 与圆 C 交于 A，B 两点当弦 AB 的长度最小时，则正实数为 m＝ ▲ ．
学数学成绩的方差为 ▲ ．
12 2 8 9 13 0 1
（第 3 题）
4. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，则最后输出的 S 的值是 ▲ ．
5. 一张桌子有四个座位，A 先坐在如图所示的座位上，B，C，D 三人随机坐到其他三个位置上，则 A 与 B 相对而坐的概率为 ▲ ．
I←1 While I < 6
14. 已知函数 f(x)=xln(x＋3)－2，若不等式 f(x)－2a≤0 有解，则整数 a 的最小值为 ▲ ．
姜堰 • 如东高三数学（综合测试卷 6 月）第 2 页（共 4 页）
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
满足 f(x)＝
k x
，
－2＜x≤－1
.
ax＋b，－4≤x≤－2
19．（本小题满分 16 分）数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足(n－2)Sn-1+n=0， n∈N*，n≥2，a2=2. (1)求数列{an}的通项公式;
(2)记 bi =
1 + 12＋
1
2
a i a i+1
n
, T n=
（n≥2，n∈N*）
C

江苏省2020届高三数学模拟试题理.doc

江苏省2020届高三数学教学质量调研试题理一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{}(3)0x x x -<，B ＝{﹣1，0，1，2，3}，则A B ＝．答案：{1，2} 考点：集合的运算解析：因为集合A ＝{}(3)0x x x -<，所以A ＝(0，3)，又B ＝{﹣1，0，1，2，3}，所以A B ＝{1，2}．2．已知x ，y ∈R ，则“a ＝1”是“直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行”的条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选择恰当的一个填空）．答案：充分必要考点：常用的逻辑用语，充要条件解析：当a ＝1时，两直线平行；当两直线平行时，a ＝1，故“a ＝1”是“直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行”的充要条件． 3．函数y =的定义域为．答案：(1，2]考点：函数的定义域解析：由题意得：12log (1)010x x -≥⎧⎪⎨⎪->⎩，则21x x ≤⎧⎨>⎩，故原函数的定义域为(1，2]．4．若不等式210ax ax ++>的解集为R ，则实数a 的取值范围为．答案：[0，4)考点：一元二次不等式解析：当a ＝0时，1＞0符合题意；当2040a a a >⎧⎨-<⎩，解得04a <<，综上所述，则实数a 的取值范围为[0，4)．5．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22143x y -=的焦点到渐近线的距离是．考点：双曲线的标准方程及性质解析：因为双曲线22221x y a b -=的焦点到渐近线的距离是b ，故双曲线22143x y -=的焦点到渐6．设变量x 、y 满足约束条件2211x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩，则23z x y =+的最大值为．答案：18考点：线性规划解析：由题意，图中阴影部分即为可行域，设图中的两条直线的交点为A(4，3)，显然，当位于可行域中A 点时，23z x y =+的值最大，即z max ＝2×3＋3×4＝18．7．若5cos 26sin()04παα++=，α∈(2π，π)，则sin2α＝．答案：﹣1考点：三角恒等变换解析：∵5cos 26sin()04παα++=∴225(cos sin )6cos )02αααα-+⨯+=化简得：(sin cos )[5(cos sin )0αααα+-+= 当34πα=时，sin2α＝﹣1；当5(cos sin )αα-+0，即cos sin αα-=则181sin 225α-=，所以7sin 225α= 而α∈(2π，π)，2α∈(π，2π)，所以sin 2α＜0，可得7sin 225α=（舍）综上所述，sin2α＝﹣1． 8．将函数()sin(2)()2f x x πϕϕ=+<的图象向右平移56π个单位长度后关于原点对称，则ϕ＝．答案：3π-考点：三角函数的图像与性质解析：因为函数()sin(2)()2f x x πϕϕ=+<的图象向右平移56π个单位长度后关于原点对称即函数55sin[2()]sin(2)63y x x ππϕϕ=-+=-+是奇函数所以53k πϕπ-+=，k Z ∈ 则53k πϕπ=+，k Z ∈ 因为2πϕ<，求得ϕ＝3π-． 9．已知点F 是椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左焦点，A 为右顶点，点P 是椭圆上一点，PF ⊥x轴，若PF ＝1AF 4，则该椭圆的离心率为．答案：34考点：椭圆的离心率解析：∵点P 是椭圆上一点，PF ⊥x 轴，∴PF ＝2b a∵PF ＝1AF 4∴2b a ＝1()4a c +将222b ac =-代入上式，并化简得：22430c ac a +-= 等式两边同时÷2a 得：2430e e +-=，解得34e =（负值已舍去）综上所述，该椭圆的离心率为34．10．设函数()2x xf x e e x -=--，则不等式2(21)()0f x f x -+≤的解集为．答案：[﹣1，12] 考点：函数的奇偶性与单调性解析：∵()2()xx f x ee xf x --=-+=-，∴()f x 是奇函数又∵()20x xf x e e -'=+-≥，∴()f x 是单调增函数∵2(21)()0f x f x -+≤，则2(21)()()f x f x f x -≤-=- ∴221x x -≤-，解得﹣1≤x ≤12，故不等式的解集为[﹣1，12]． 11．在平面直角坐标系xOy 中，AB 是圆C ：22(2)(2)4x y -+-=的弦，且AB＝存在线段AB 的中点P ，使得点P 关于x 轴对称的点Q 在直线30kx y ++=上，则实数k 的取值范围是．答案：[43-，0] 考点：直线与圆解析：根据AB 是圆C ：22(2)(2)4x y -+-=的弦，且AB＝AB 的中点P 满足CP ＝1，即点P 在以C(2，2)为圆心，1为半径为圆上，由于点P 关于x 轴对称的点为Q ，则动点Q 在以(2，﹣2)为圆心，1为半径的圆上运动，又点Q 在直线30kx y ++=上，则(2，﹣2)到该直线的距离小于等于11≤，求得403k -≤≤，故实数k 的取值范围是[43-，0]． 12．已知a ，b R +∈，且(2)7a b b ++=，则32ab a b ++的最小值为．答案：10考点：基本不等式解析：因为(2)7a b b ++=，则729211a b a a -==-++，所以93272327141ab a b a b a b a b a a ++=--++=++=++++410≥= 当且仅当2a =，1b =时取“＝”．故32ab a b ++的最小值为10．13．已知直线l 与曲线()sin f x x =切于点A(α，sin α)(0＜α＜2π)，且直线l 与函数()y f x =的图象交于点B(β，sin β)，若α﹣β＝π，则tan α的值为．答案：2π 考点：利用导数研究函数的切线，诱导公式，同角三角函数关系式解析：因为()sin f x x =，所以()cos f x x '=，所以在点A 处切线斜率为cos α，由题意可得：sin sin cos αβααβ-=-，又α﹣β＝π，则β＝α﹣π所以sin sin()cos ααπαπ--=，化简得：2sin cos ααπ=，故tan α＝2π． 14．若函数()1xx af x e-=-在x ∈[﹣2，+∞)有三个零点，则实数a 的取值范围是．答案：[212e -，﹣1) 考点：函数与方程解析：要使函数()1xx af x e -=-在x ∈[﹣2，+∞)有三个零点则方程1xx ae--＝0在x ∈[﹣2，+∞)有三个不相等的实数根即函数y x a =-与函数xy e =在x ∈[﹣2，+∞)有三个不同的交点当y x a =-与函数xy e =相切时，求得a ＝﹣1，则要使数y x a =-与函数xy e =在x ∈[﹣2，+∞)有三个不同的交点，需满足：2(2)1a e a -⎧--≥⎨<-⎩，解得2121a e -≤<-．故实数a 的取值范围是[212e -，﹣1)．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ﹣b )sinA ＝(b ＋c )(sinC ﹣sinB)．（1）求角C 的值；（2）若cos(B ＋6π)＝13，求sinA ．16．（本题满分14分）已知函数22164()2()f x x a x x x=+--，x ∈[1，2]．（1）求函数()f x 的最小值()g a ；（2）对于（1）中的()g a ，若不等式2()212g a a at <++对于任意a ∈(﹣3，0)恒成立，求实数t 的取值范围．17．（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一条准线方程为3x =右焦点0)，圆O ：222x y b +=，直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P 且与椭圆相交于A 、B 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若△OAB 的面积为7，求直线l 的斜率．18．（本题满分16分）在直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>经过点(0，)，右焦点F 到右准线和左顶点的距离相等，经过点F 的直线l 交椭圆于点M ，N ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 是直线l 上在椭圆外的一点，且PM ·PN ＝PF 2，证明：点P 在定直线上．19．（本题满分16分）某市在精准扶贫和生态文明建设的专项工作中，为改善农村生态环境，建设美丽乡村，开展农村生活用水排污管道“村村通”．已知排污管道外径为1米，当两条管道并行经过一块农田时，如图，要求两根管道最近距离不小于0.25米，埋设的最小覆土厚度（路面至管顶）不低于0.5米．埋设管道前先挖一条横截面为等腰梯形的沟渠，且管道所在的两圆分别与两腰相切．设∠BAD＝α．（1）为了减少对农田的损毁，则当α为何值时，挖掘的土方量最少？（2）水管用吊车放入渠底前需了解吊绳的长度，在（1）的条件下计算O1B长度．20．（本题满分16分）已知：函数()1ln f x x bx =+-，21()1g x x=-．（1）求函数()g x 在点(1，0)处的切线方程；（2）求函数()f x 在(0，1]上的最大值；（3）当b ＝0时，试讨论函数()()()1h x f x a g x =-⋅-的零点个数．附加题（每题10分，共40分）21(A)．已知线性变换T 1是按逆时针方向旋转90°的旋转变换，其对应的矩阵为M ，线性变换T 2：3x xy y'=⎧⎨'=⎩对应的矩阵为N ．（1）写出矩阵M 、N ；（2）若直线210x y +-=先经过T 1变换，再经过T 2变换后的曲线方程．21(B)．已知曲线C 的参数方程为sin 2cos x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)，直线l 过点P(0，1)．（1）求曲线C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆交于A 、B 两点，求PA PB ⋅的取值范围．22．为迎接国庆汇演，学校拟对参演的班级进行奖励性加分表彰，每选中一个节目，其班级量化考核积分加3分．某班级准备了三个文娱节目，这三个节目被选中的概率分别为12，13，14，且每个节目是否被选中是相互独立的．（1）求该班级被加分的概率；（2）求该班级获得奖励性积分ξ的分布列与数学期望．23．已知抛物线E ：24y x ，过点Q(2，0)作直线与抛物线E 交于A ，B 两点，点P 是抛物线上异于A ，B 两点的一动点，直线PA ，PB 与直线x ＝﹣2交于M ，N 两点．（1）证明：M ，N 两点的纵坐标之积为定值；（2）求△MNQ 面积的最小值．。

江苏省普通高等学校2017年高三招生考试20套模拟测试数学试题五含解析精品

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(五)数学(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 设复数z 满足(z ＋i)(2＋i)＝5(i 为虚数单位)，则z ＝____________．2. 设全集U ＝{1，2，3，4}，集合A ＝{1，3}，B ＝{2，3}，则B ∩∁U A ＝____________．3. 某地区有高中学校10所、初中学校30所、小学学校60所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取20所学校对学生进行体质健康检查，则应抽取初中学校________所．4. 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线经过点P(1，－2)，则该双曲线的离心率为____________．(第7题)5. 函数f(x)＝log 2(－x 2＋22)的值域为____________．6. 某校从2名男生和3名女生中随机选出3名学生做义工，则选出的学生中男女生都有的概率为____________．7. 如图所示的流程图中，输出S 的值是____________．8. 已知四棱锥PABCD 的底面ABCD 是边长为2，锐角为60°的菱形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA ＝3.若点M 是BC 的中点，则三棱锥MPAD 的体积为__________．9. 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，4x ＋3y ≤20，x ≥0，y ≥0，则2x ＋y 的最大值为____________．10. 已知平面向量a ＝(4x，2x)，b ＝⎝⎛⎭⎫1，2x－22x ，x ∈R .若a ⊥b ，则|a －b|＝__________．11. 已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1＋a 2＝49，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝40，则a 7＋a 8＋a 99的值为__________．(第12题)12. 如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD →(m ，n 均为正实数)，则1m ＋1n 的最小值为____________．13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝1，O 1：(x －4)2＋y 2＝4，动点P 在直线x ＋3y －b ＝0上，过P 分别作圆O ，O 1的切线，切点分别为A ，B ，若满足PB ＝2PA 的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是____________．14. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－3x ，x ≤0，e x ＋e 2，x ＞0.若不等式f(x)≥kx 对x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是____________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos(B －C)＝1－cosA ，且b ，a ，c 成等比数列．求：(1) sinB ·sinC 的值； (2) A 的值；(3) tanB ＋tanC 的值．16.(本小题满分14分)如图，在正三棱柱A 1B 1C 1ABC 中，点D ，E 分别是A 1C ，AB 的中点． (1) 求证：ED ∥平面BB 1C 1C ；(2) 若AB ＝2BB 1，求证：A 1B ⊥平面B 1CE.已知等差数列{a n}的公差d为整数，且a k＝k2＋2，a2k＝(k＋2)2，其中k为常数且k∈N*.(1) 求k及a n；(2) 设a1＞1，{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的首项为1，公比为q(q＞0)，前n项和为T n.若存在正整数m，使得S2S m＝T3，求q.18. (本小题满分16分)如图，直线l是湖岸线，O是l上一点，弧AB是以O为圆心的半圆形栈桥，C为湖岸线l上一观景亭．现规划在湖中建一小岛D，同时沿线段CD和DP(点P在半圆形栈桥上且不与点A，B重合)建栈桥．考虑到美观需要，设计方案为DP＝DC，∠CDP＝60°且圆弧栈桥BP在∠CDP的内部．已知BC＝2OB＝2(km)．设湖岸BC与直线栈桥CD，DP及圆弧栈桥BP围成的区域(图中阴影部分)的面积为S(km2)，∠BOP＝θ.(1) 求S关于θ的函数关系式；(2) 试判断S是否存在最大值，若存在，求出对应的cosθ的值；若不存在，说明理由．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是e ，定义直线y ＝±be 为椭圆的“类准线”．已知椭圆C 的“类准线”方程为y ＝±23，长轴长为4.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 点P 在椭圆C 的“类准线”上(但不在y 轴上)，过点P 作圆O ：x 2＋y 2＝3的切线l ，过点O 且垂直于OP 的直线与l 交于点A ，问点A 是否在椭圆C 上？证明你的结论．20. (本小题满分16分)已知a ，b 为实数，函数f(x)＝ax 3－bx. (1) 当a ＝1且b ∈[1，3]时，求函数F(x)＝⎪⎪⎪⎪f （x ）x －lnx ＋2b ＋1⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤12，2的最大值M(b)；(2) 当a ＝0，b ＝－1时，记h(x)＝lnxf （x ）.① 函数h(x)的图象上一点P(x 0，y 0)处的切线方程为y ＝y(x)，记g(x)＝h(x)－y(x)．问：是否存在x 0，使得对于任意x 1∈(0，x 0)，任意x 2∈(x 0，＋∞)，都有g(x 1)g(x 2)＜0恒成立？若存在，求出所有可能的x 0组成的集合；若不存在，说明理由；② 令函数H(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2e ，x ≥s ，h （x ），0＜x ＜s ，若对任意实数k ，总存在实数x 0，使得H(x 0)＝k成立，求实数s 的取值集合．(五)1. 2－2i 解析：z ＝52＋i－i ＝2－2i.本题主要考查复数的概念及四则运算等基础知识，属于容易题．2. {2} 解析：∁U A ＝{2，4}，B ＝{2，3}，则B ∩∁U A ＝{2}．本题考查集合相等的概念及集合中元素互异性，属于容易题．3. 6 解析：20100×30＝6.本题主要考查分层抽样的概念，属于容易题．4. 5 解析：双曲线x 2a 2－y 2b2＝1过点P(1，－2) 的渐近线方程为bx ＋ay ＝0，得b ＝2a ，则c ＝b 2＋a 2＝5a ，则离心率为 5.本题主要考查双曲线的渐近线方程，离心率等概念．本题属于容易题．5. ⎝⎛⎦⎤－∞，32 解析：由－x 2＋22≤22，即f(x)≤log 222＝32，函数f(x)的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，32.本题主要考查二次函数的最值，对数的化简．本题属于容易题．6. 910解析：从5名学生中随机选出3名学生共有10种选法，男女生都有共9种(即去掉选的是3名女生的情况)，则所求的概率为910.本题考查用列举法解决古典概型问题，属于容易题．7. 23 解析：k ＝1时，S ＝－12；k ＝2时，S ＝23；k ＝3时，S ＝3，恢复工厂到初始值；可以发现周期为3，2015中共有671个周期，还余2个数，则输出S 的值是23.本题考查流程图基础知识，关键把握好每一次循环体的执行情况．本题属于容易题．8. 3 解析：三棱锥MPAD 的底面MAD 的面积为3，高PA ＝3，则体积为3，本题主要考查锥体的体积公式，属于容易题．9. 7.5 解析：作出可行域发现最优解为⎝⎛⎭⎫54，5，则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为2.5＋5＝7.5.本题考查线性规划解决最值问题，属于容易题．10. 2 解析：由4x ＋2x －2＝0，得2x ＝1，所以x ＝0，则a －b ＝(0，2)，|a －b|＝2.本题考查了指数方程，向量数量积的坐标运算及模的求法．本题属于容易题．11. 117 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＋a 2＝49，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝40，则49q 2＋49q 4＝40，则q ＝3，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝49＋40，a 1＋a 2＋a 3＋(a 1＋a 2＋a 3)q 3＝49＋40，得a 1＋a 2＋a 3＝139，则a 7＋a 8＋a 99＝19(a 1＋a 2＋a 3)q 6＝19×139×93＝117.本题考查了等比数列中的整体思想求和，属于中等题．12. 7＋434 解析：(解法1)设AB →＝a ，AD →＝b ，则BC →＝－34a ＋b ，设BP →＝λBC →，则AP →＝AB →＋BP →＝⎝⎛⎭⎫1－34λa ＋λb .因为AP →＝m a ＋n b ，所以有 1－34λ＝m ，λ＝n ，消去λ得m ＋34n ＝1，1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫m ＋34n ⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝1＋3n 4m ＋m n ＋34≥74＋23n 4m ·m n ＝7＋434.(解法2)以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建系，则A(0，0)，B(4，0)，C(1，4)，设BP →＝λBC →＝(－3λ，4λ)，则AP →＝AB →＋BP →＝(4－3λ，4λ)．因为AP →＝mAB →＋nAD →＝(4m ，4n), 所以有 4－3λ＝4m ，4λ＝4n ，消去λ得m ＋34n ＝1(下同解法1)．本题考查了平面向量的线性表示或坐标运算，利用基本不等式，运用“1”的代换求最值．本题属于中等题．13. ⎝⎛⎭⎫－203，4 解析：设P 点坐标为(x ，y)，∵ PB ＝2PA ，∴ PB 2＝4PA 2，即(x －4)2＋y 2－4＝4(x 2＋y 2－1)，整理得3x 2＋3y 2＋8x －16＝0.(方法1)该方程表示一个圆，圆心⎝⎛⎭⎫－43，0，r ＝83.因为P 点有且只有两个，所以直线和圆相交，故⎪⎪⎪⎪－43－b 2<83，解得b ∈⎝⎛⎭⎫－203，4.(方法2)因为P 在直线x ＋3y －b ＝0上，所以3y ＝－x ＋b ，代入3x 2＋3y 2＋8x －16＝0，得4x 2＋(8－2b)x ＋b 2－16＝0.因为P 点有且只有两个，所以方程有两个不相等的根，即Δ>0，整理得3b 2＋8b －80<0，所以b ∈⎝⎛⎭⎫－203，4.本题考查了直线与圆的位置关系，以及一元二次不等式的解法，突出了方程思想和解析法，其中方法1是利用方程对应的几何图形解决问题；方法2用代数方法算方程根的个数．本题属于难题．14. [－3，e 2] 解析：① 当x ＝0时，0≥0，所以k ∈R .② 当x<0时，2x 2－3x ≥kx ，同除以x ，即k ≥2x －3恒成立，所以k ≥－3.③ 当x>0时，e x ＋e 2≥kx ，同除以x ，即k ≤e x ＋e 2x恒成立，令g(x)＝e x ＋e 2x ，下面只需求出g(x)的最小值．g′(x)＝（x －1）e x －e 2x 2，令g′(x)＝0，即(x －1)e x －e 2＝0.令h(x)＝(x －1)e x －e 2，h ′(x)＝xe x >0，所以h(x)在x ∈(0，＋∞)上是单调递增函数．显然x ＝2是方程(x －1)e x －e 2＝0的根，由单调性可知x ＝2是唯一实数根．当x ∈(0，2)时g(x)单调递减，当x ∈(2，＋∞)时，g(x)单调递增，所以g(2)是函数g(x)的最小值，且g(2)＝e 2，所以k ≤e 2.综上，实数k 的取值范围是[－3，e 2]．本题突出了函数思想和分类讨思想，考查了利用导数求最值和恒成立问题．本题属于难题．15. 解：(1) 因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C)．由cos(B －C)＝1－cosA ，得cos(B －C)＝1＋cos(B ＋C)，展开，整理得sinB ·sinC ＝12.(2分)(2) 因为b ，a ，c 成等比数列，所以a 2＝bc.由正弦定理，得sin 2A ＝sinBsinC ，从而sin 2A ＝12.(6分)因为A ∈(0，π)，所以sinA ＝22.因为a 边不是最大边，所以A ＝π4.(8分)(3) 因为B ＋C ＝π－A ＝3π4，所以cos(B ＋C)＝cosBcosC －sinBsinC ＝－22，从而cosBcosC ＝1－22.(10分)所以tanB ＋tanC ＝sinB cosB ＋sinC cosC ＝sin （B ＋C ）cosBcosC(12分)＝221－22＝－2－ 2.(14分) 16. 证明：(1) 连结AC 1，BC 1，因为AA 1C 1C 是矩形，D 是A 1C 的中点，所以D 是AC 1的中点．(2分)在△ABC 1中，因为D ，E 分别是AC 1，AB 的中点，所以DE ∥BC 1.(4分)因为DE ⊄ 平面BB 1C 1C ，BC 1⊂平面BB 1C 1C ，所以ED ∥平面BB 1C 1C.(6分)(2) 因为△ABC 是正三角形，E 是AB 的中点，所以CE ⊥AB.因为正三棱柱A 1B 1C 1ABC 中，平面ABC ⊥平面ABB 1A 1，交线为AB ，所以CE ⊥平面ABB 1A 1.从而CE ⊥A 1B.(9分)在矩形ABB 1A 1中，因为A 1B 1B 1B ＝2＝B 1BBE，所以Rt △A 1B 1B ∽Rt △B 1BE ，从而∠B 1A 1B ＝∠BB 1E. 因此∠B 1A 1B ＋∠A 1B 1E ＝∠BB 1E ＋∠A 1B 1E ＝90°，所以A 1B ⊥B 1E.(12分)因为CE ，B 1E ⊂平面B 1CE ，CE ∩B 1E ＝E ，所以A 1B ⊥平面B 1CE.(14分)17. 解：(1) 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧dk ＋a 1－d ＝k 2＋2， ①2dk ＋a 1－d ＝（k ＋2）2， ②(2分) ②－①，得d ＝4＋2k.因为d ，k ∈N *，所以k ＝1，或k ＝2.(4分)当k ＝1时，d ＝6，代入①，解得a 1＝3，所以a n ＝6n －3.当k ＝2时，d ＝5，代入①，解得a 1＝1，所以a n ＝5n －4.(6分) (2) 因为a 1＞1，所以a n ＝6n －3，从而S n ＝3n 2.(7分) 由S 2S m ＝T 3，得123m 2＝1＋q ＋q 2，整理，得q 2＋q ＋1－4m2＝0.(9分) 因为Δ＝1－4⎝⎛⎭⎫1－4m 2≥0，所以m 2≤163. 因为m ∈N *，所以m ＝1或m ＝2.(11分)当m ＝1时，q ＝－13－12(舍)，q ＝13－12.当m ＝2时，q ＝0或q ＝－1(均舍去)．综上所述，q ＝13－12.(14分)18. 解：(1) 在△COP 中，CP 2＝CO 2＋OP 2－2CO·OPcos θ＝10－6cos θ，从而△CDP 的面积S △CDP ＝34CP 2＝32(5－3cos θ)．因为△COP 的面积S △COP ＝12OC ·OPsin θ＝32sin θ，(6分)所以S ＝S △CDP ＋S △COP －S 扇形OBP＝12(3sin θ－33cos θ－θ)＋532，0＜θ≤θ0＜π，cos θ0＝1－10512.(9分) (注：定义域2分．当DP 所在直线与半圆相切时，设θ取得最大值θ0，此时在△COP 中，OP ＝1，OC ＝3，∠CPO ＝30°，CP ＝10－6cos θ0，由正弦定理得10－6cos θ0＝6sinθ0，cos θ0＝1±10512.)(2) 存在．S ′＝12(3cos θ＋33sin θ－1)，令S′＝0，得sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝16.(12分)当0＜θ＜θ0时，S ′＞0，所以当θ＝θ0时，S 取得最大值．(14分)(或者：因为0＜θ＜π，所以存在唯一θ0∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使得sin ⎝⎛⎭⎫θ0＋π6＝16.当0＜θ＜θ0＜π时，S ′＞0，所以当θ＝θ0时，S 取得最大值．)此时cos ⎝⎛⎭⎫θ0＋π6＝－356，cos θ0＝cos [(θ0＋π6)－π6]＝1－10512.(16分)19. 解：(1) 由题意⎩⎪⎨⎪⎧ab c ＝23，a ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝3，c ＝1，(4分) 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(5分)(2) 点A 在椭圆C 上．证明如下：设切点为Q(x 0，y 0)，x 0≠0，则x 20＋y 20＝3，切线l 的方程为x 0x ＋y 0y －3＝0，当y P ＝23时，x P ＝3－23y 0x 0，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－23y 0x 0，23，则k OP ＝233－23y 0x 0＝2x 03－2y 0，(7分)所以k OA ＝2y 0－32x 0，直线OA 的方程为y ＝2y 0－32x 0x.(9分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2y 0－32x 0x ，x 0x ＋y 0y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6x 06－3y 0，y ＝3（2y 0－3）6－3y 0，即A(6x 06－3y 0，3（2y 0－3）6－3y 0)．(11分)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫6x 06－3y 024＋（3（2y 0－3）6－3y 0）23＝9（3－y 20）＋3（4y 20－43y 0＋3）3y 20－123y 0＋36＝3y 20－123y 0＋363y 20－123y 0＋36＝1，所以点A 的坐标满足椭圆C 的方程．(14分)当y P ＝－23时，同理可得点A 的坐标满足椭圆C 的方程，所以点A 在椭圆C 上．(16分)20. 解：(1) F(x)＝|x 2－lnx －b|＋2b ＋1，记t(x)＝x 2－lnx ，x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，则t′(x)＝2x －1x ，令t′(x)＝0，得x ＝22.(1分)当12＜x ＜22时，t ′(x)＜0，t(x)在⎝⎛⎭⎫12，22上为单调减函数；当22＜x ＜2，t ′(x)＞0，t(x)在⎝⎛⎭⎫22，2上为单调增函数，又t ⎝⎛⎭⎫12＝14＋ln2，t(2)＝4－ln2，t ⎝⎛⎭⎫22＝1＋ln22，且t(2)－t ⎝⎛⎭⎫12＝154－2ln2＞0，所以t(x)的取值范围为⎣⎡⎦⎤1＋ln22，4－ln2.(3分)当b ∈[1，3]时，记v(t)＝|t －b|＋2b ＋1，则v(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧－t ＋3b ＋1，1＋ln22≤t ≤b ，t ＋b ＋1，b ＜t ≤4－ln2.因为函数v(t)在⎣⎡⎦⎤1＋ln22，b 上单调递减，在(b ，4－ln2]上单调递增，且v ⎝⎛⎭⎫1＋ln22＝3b ＋1－ln22，v(4－ln2)＝b ＋5－ln2，v ⎝⎛⎭⎫1＋ln22－v(4－ln2)＝2b ＋ln2－92，所以当b ≤9－ln24时，最大值M(b)＝v(4－ln2)＝b ＋5－ln2，当b ＞9－ln24时，最大值M(b)＝v ⎝⎛⎭⎫1＋ln22＝3b ＋1－ln22，所以M(b)＝⎩⎨⎧b ＋5－ln2，1≤b ≤9－ln24，3b ＋1－ln22，9－ln24＜b ≤3.(5分)(2) h(x)＝lnxx，① h ′(x)＝1－lnx x 2，h ′(x 0)＝1－lnx 0x 20，所以y(x)＝1－lnx 0x 20(x －x 0)＋y 0，g(x)＝lnxx －y 0－1－lnx 0x 20(x －x 0)，g(x 0)＝0.(7分)g ′(x)＝1－lnx x 2－1－lnx 0x 20，g ′(x 0)＝0.令G(x)＝g′(x)＝1－lnx x 2－1－lnx 0x 20，G ′(x)＝－3＋2lnxx 3，所以g′(x)在()0，e 32上单调递减，在()e 32，＋∞上单调递增，若x 0＜e 32，则x ∈(0，x 0)时，g ′(x)＞0，g(x)单调递增，g(x)＜g(x 0)＝0；x ∈(x 0，e 32)时，g ′(x)＜0，g(x)单调递减，g(x)＜g(x 0)＝0，不符合题意．若x 0＞e 32，则x ∈()e 32，x 0时，g ′(x)＜0，g(x)单调递减，g(x)＞g(x 0)＝0； x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x)＞0，g(x)单调递增，g(x)＞g(x 0)＝0，不符合题意．若x 0＝e 32，则x ∈()0，e 32时g(x)＜0，x ∈()e 32，＋∞时g(x)＞0，符合题意．综上，存在x 0满足要求，且x 0的取值集合为{e 32}．(10分)② 因为对任意实数k ，总存在实数x 0，使得H(x 0)＝k 成立，所以函数y ＝H(x)的值域为一切实数．y ＝12ex 在[s ，＋∞)上是增函数，其值域为⎣⎡⎭⎫s 2e ，＋∞.(11分) 对于函数y ＝lnxx ，y ′＝1－lnx x2，当x ＝e 时，y ′＝0，当x ＞e 时，y ′＜0，在(e ，＋∞)上为单调减函数，当0＜x ＜e 时，y ′＞0，在(0，e)上为单调增函数．若s ＞e ，则函数y ＝lnxx在(0，e]上是增函数，在[e ，s)上是减函数，其值域为⎝⎛⎦⎤－∞，1e ，又1e ＜s2e，不符合题意，舍去；(13分) 若0＜s ≤e ，则函数y ＝lnxx在(0，s)上是增函数，值域为⎝⎛⎭⎫－∞，lns s ，由题意得s 2e ≤lns s，即s 2－2elns ≤0. ① 记u(s)＝s 2－2elns ，u ′(s)＝2s －2e s ＝2（s 2－e ）s. 当0＜s ＜e 时，u ′(s)＜0，u(s)在(0，e)上为单调减函数．当s ＞e 时，u ′(s)＞0，u(s)在(e ，e)上为单调增函数，所以，当s ＝e 时，u(s)有最小值u(e)＝0，从而u(s)≥0恒成立(当且仅当s ＝e 时，u(s)＝0.) ②(15分)由①②得，u(s)＝0，所以s ＝ e.综上所述，实数s 的取值集合为{e}．(16分)。

江苏省普通高等学校2017年高三招生考试20套模拟测试数学试题(十六)

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十六)数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n ∑i ＝1n (x i －x －)2，其中x －＝1n i ＝1n x i .一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知全集U ＝{－1，2，3，a}，集合M ＝{－1，3}．若∁U M ＝{2，5}，则实数a 的值为________．2. 设复数z 满足z(1＋i)＝2＋4i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数为__________．3. 甲、乙两位选手参加射击选拔赛，其中连续5轮比赛的成绩(单位：环)如下表：4. 从2个白球，2个红球，1个黄球这5个球中随机取出两个球，则取出的两球中恰有一个红球的概率是__________．5. 执行如图所示的伪代码，输出的结果是________． S ←1 I ←2 While S ≤100 I ←I ＋2 S ←S ×I End While Print I (第5题)6. 已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同直线，l ⊥α，m ⊂β，给出下列命题：① α∥β⇒l ⊥m ；② α⊥β⇒l ∥m ；③ m ∥α⇒l ⊥β；④ l ⊥β⇒m ∥α.其中正确的命题是__________．(填序号)7. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －2，则a 8a 6＝__________．(第9题)8. 设F 是双曲线的一个焦点，点P 在双曲线上，且线段PF 的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为__________．9. 如图，已知A ，B 分别是函数f(x)＝3sin ωx (ω＞0)在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB ＝π2，则该函数的周期是__________．10. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f(x)＝2x －2，则不等式f(x －1)≤2的解集是__________．(第11题)11. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2，AM →＝2MD →.若AC →·BM →＝－3，则AB →·AD →＝__________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x －a)2＋(y ＋a －3)2＝1(a ＞0)，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为__________．13. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1e x ，x ≥a ，－x －1，x ＜a ，g(x)＝f(x)－b.若存在实数b ，使得函数g(x)恰有3个零点，则实数a 的取值范围为__________．14. 若实数x ，y 满足2x 2＋xy －y 2＝1，则x －2y5x 2－2xy ＋2y 2的最大值为__________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．若向量m ＝(a ，cosA)，向量n ＝(cosC ，c)，且m·n ＝3bcosB.(1) 求cosB 的值；(2) 若a，b，c成等比数列，求1tanA＋1tanC的值．16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D为棱BC上一点．(1) 若AB＝AC，D为棱BC的中点，求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；(2) 若A1B∥平面ADC1，求BDDC的值．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点(2，1)在椭圆C 上．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝2相切，与椭圆C 相交于P ，Q 两点． ① 若直线l 过椭圆C 的右焦点F ，求△OPQ 的面积； ② 求证：OP ⊥OQ.18. (本小题满分16分)如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD ，其四条边均为道路，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AB ＝5千米，BC ＝8千米，CD ＝3千米．现甲、乙两管理员同时从A 地出发匀速前往D 地，甲的路线是AD ，速度为6千米/小时，乙的路线是ABCD ，速度为v 千米/小时．(1) 若甲、乙两管理员到达D 的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v 的取值范围； (2) 已知对讲机有效通话的最大距离是5千米．若乙先到达D ，且乙从A 到D 的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v 的取值范围．设函数f(x)＝－x3＋mx2－m(m＞0)．(1) 当m＝1时，求函数f(x)的单调减区间；(2) 设g(x)＝|f(x)|，求函数g(x)在区间[0，m]上的最大值；(3) 若存在t≤0，使得函数f(x)图象上有且仅有两个不同的点，且函数f(x)的图象在这两点处的两条切线都经过点(2，t)，试求m的取值范围．20. (本小题满分16分)已知数列{a n}的前n项和为S n，记b n＝S n＋1 n.(1) 若{a n}是首项为a，公差为d的等差数列，其中a，d均为正数．①当3b1，2b2，b3成等差数列时，求ad的值；②求证：存在唯一的正整数n，使得a n＋1≤b n＜a n＋2.(2) 设数列{a n}是公比为q(q＞2)的等比数列，若存在r，t(r，t∈N*，r＜t)使得b tb r＝t＋2r＋2，求q的值(十六)1. 5 解析：M ∪(∁U M)＝U ，则a ＝5.本题主要考查集合的运算．本题属于容易题．2. 3－i 解析：z ＝2＋4i 1＋i ＝（2＋4i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝3＋i ，z 的共轭复数是3－i. 本题主要考查复数的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题．3. 0.02 解析：由数据可知：甲选手成绩最稳定．甲选手的平均成绩为10，则它的方差为0.02.本题考查了平均数及方差的概念及计算公式．本题属于容易题．4. 35解析：从5个球中随机取出两个球的基本事件数为10，取出的两球中恰有一个红球的基本事件数为6，则取出的两球中恰有一个红球的概率是35.本题考查古典概型，属于容易题．5. 8 解析：由流程图知执行第一次循环体时I ＝4，S ＝4，执行第二次循环体I ＝6，S ＝24，执行第三次循环体I ＝8，S ＝192，此时退出循环．本题考查流程图基本知识．本题属于容易题．6. ①④ 解析：① 是面面平行的性质(课本上例题)的应用．α∥β，l ⊥α l ⊥β l ⊥m ，命题正确；② α⊥β，l ⊥α l 、m 可平行，可相交，可异面，命题错误；③ m ∥α，l ⊥α l ⊥m l 与β可平行，l 可在β内，l 可与β相交，命题错误；④ l ⊥β、l ⊥αβ∥αm ∥α，命题正确．本题考查面面平行，线面平行，面面垂直，线面垂直的性质．本题属于容易题．7. 4 解析：由S n ＝2a n －2，S n －1＝2a n －1－2(n ≥2)，相减，化简得a n ＝2a n －1，则数列{a n }为公比是2的等比数列．则a 8a 6＝4.本题考查S n 与a n 的关系，等比数列的定义以及项之间的关系．本题属于容易题．8. 5 解析：由题意知F(－c ，0)，线段PF 的中点坐标为(0，b)，则P(c ，2b)，代入双曲线方程并整理得c 2a 2－4b 2b2＝1，即e ＝ 5.本题考查双曲线的焦点，中点公式、虚轴等概念．本题属于容易题．9. 4 解析：由题意知T ＝2πω，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω，3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2ω，－3，而OA ⊥OB ，则π2ω×3π2ω－3＝0，即π＝2ω，得T ＝2πω＝4ωω＝4.本题考查三角函数的图象与性质，向量数量积的坐标运算等内容．本题属于容易题．10. [－1，3] 解析：当x ≥0时，f(x)＝2x －2，当x ＜0时，f(x)＝2－x －2，不等式f(x)≤2得－2≤x ≤2，则不等式f(x －1)≤2得－2≤x －1≤2，得－1≤x ≤3.本题考查了函数的图象与性质，以及整体思想的运用．本题属于容易题．11. 32 解析：因为AC →·BM →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋12AB →·(－AB →＋23AD →)＝－2－23AB →·AD →＝－3，所以AB →·AD →＝32.本题考查向量的线性表示，以及向量数量积的运算法则．本题属于容易题．12. 3 解析：根据题意，圆M 与以N 为圆心的圆的位置关系是内切或内含．则d MN ≤d ON －1，即1≤d ON －1.所以d ON ≥2恒成立．因为N 在圆M 上运动，所以d ON 的最小值为d OM －1，即d OM －1≥2，所以a 2＋（3－a ）2≥3，解得a ≥3，所以a 的最小值为3.本题考查了圆与圆的位置关系，一元二次不等式解法，以及数形结合思想的运用．本题属于中等题．13. ⎝⎛⎭⎫－1－1e 2，2 解析：该题利用数形结合的方法去解决，y ＝x －1ex 的图象利用导数画出草图，该函数在x ＝2处取到最大值1e2，结合f(x)的草图分析，对于y ＝－x －1的函数值为1e2时，得到x ＝－⎝⎛⎭⎫1＋1e 2，所以－⎝⎛⎭⎫1＋1e 2<a<2.本题考查了分段函数，利用导数求最值等内容，以及数形结合思想处理函数问题．本题属于难题．14.24 解析：把2x 2＋xy －y 2＝1变为(x ＋y)(2x －y)＝1，令2x －y ＝t ，x ＋y ＝1t，由此解得x ＝13⎝⎛⎫t ＋1t ，y ＝13⎝⎛⎭⎫2t －t ，把x ，y 代入得：原式＝t －1t t 2＋1t 2＝t －1t ⎝⎛⎭⎫t －1t 2＋2＝1⎝⎛⎭⎫t －1t ＋2t －1t，⎝⎛⎭⎫t －1t ＋2t －1t ≥22或⎝⎛⎫t －1t ＋2t －1t≤－22，所以原式的最大值为24.本题考查了代数式的变形，利用基本不等式求最值．本题属于难题．15. 解：(1) 因为m·n ＝3bcosB ，所以acosC ＋ccosA ＝3bcosB. 由正弦定理，得sinAcosC ＋sinCcosA ＝3sinBcosB ，(3分) 所以sin(A ＋C)＝3sinBcosB ，所以sinB ＝3sinBcosB.因为B 是△ABC 的内角，所以sinB ≠0，所以cosB ＝13.(7分)(2) 因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac. 由正弦定理，得sin 2B ＝sinA ·sinC.(9分)因为cosB ＝13，B 是△ABC 的内角，所以sinB ＝223.(11分)又1tanA ＋1tanC ＝cosA sinA ＋cosC sinC ＝cosAsinC ＋sinAcosC sinAsinC ＝sin （A ＋C ）sinAsinC ＝sinB sinAsinC ＝sinB sin 2B ＝1sinB ＝324.(14分) 16. (1) 证明：因为AB ＝AC ，点D 为BC 中点，所以AD ⊥BC.(2分) 因为ABCA 1B 1C 1是直三棱柱，所以BB 1⊥平面ABC. 因为AD ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥AD.(4分)因为BC ∩BB 1＝B ，BC ⊂平面BCC 1B 1，BB 1⊂平面BCC 1B 1，所以AD ⊥平面BCC 1B 1. 因为AD ⊂平面ADC 1，所以平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1.(6分)(2) 解：连结A 1C ，交AC 1于O ，连结OD ，所以O 为AC 1中点．(8分) 因为A 1B ∥平面ADC 1，A 1B ⊂平面A 1BC ，平面ADC 1∩平面A 1BC ＝OD ，所以A 1B ∥OD.(12分)因为O 为AC 1中点，所以D 为BC 中点，所以BDDC＝1.(14分)17. (1) 解：由题意，得c a ＝22，4a 2＋1b2＝1，解得a 2＝6，b 2＝3.所以椭圆的方程为x 26＋y 23＝1.(2分)(2) ① 解：(解法1)椭圆C 的右焦点F(3，0)．设切线方程为y ＝k(x －3)，即kx －y －3k ＝0，所以|－3k|k 2＋1＝2，解得k ＝±2，所以切线方程为y ＝±2(x －3)．(4分)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2（x －3），x 26＋y 23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43＋325，y ＝－6＋65，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43－325，y ＝－6－65.所以点P ，Q 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋325，－6＋65，⎝ ⎛⎭⎪⎫43－325，－6－65，所以PQ ＝665.(6分)因为O 到直线PQ 的距离为2，所以△OPQ 的面积为635.因为椭圆的对称性，当切线方程为y ＝－2(x －3)时，△OPQ 的面积也为635.综上所述，△OPQ 的面积为635.(8分)(解法2)椭圆C 的右焦点F(3，0)．设切线方程为y ＝k(x －3)，即kx －y －3k ＝0，所以|－3k|k 2＋1＝2，解得k ＝±2，所以切线方程为y ＝±2(x －3)．(4分)把切线方程y ＝2(x －3)代入椭圆C 的方程，消去y 得5x 2－83x ＋6＝0.设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝835.由椭圆定义可得，PQ ＝PF ＋FQ ＝2a －e(x 1＋x 2)＝2×6－22×835＝665.(6分)因为O 到直线PQ 的距离为2，所以△OPQ 的面积为635.因为椭圆的对称性，当切线方程为y ＝－2(x －3)时，△OPQ 的面积也为635.综上所述，△OPQ 的面积为635.(8分)② 证明：(证法1)(ⅰ) 若直线PQ 的斜率不存在，则直线PQ 的方程为x ＝2或x ＝－ 2. 当x ＝2时，P(2，2)，Q(2，－2)．因为OP →·OQ →＝0，所以OP ⊥OQ.当x ＝－2时，同理可得OP ⊥OQ.(10分)(ⅱ) 若直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋m ，即kx －y ＋m ＝0.因为直线与圆相切，所以|m|1＋k2＝2，即m 2＝2k 2＋2. 将直线PQ 方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0. 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2.(12分)因为OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m)(kx 2＋m)＝(1＋k 2)x 1x 2＋km(x 1＋x 2)＋m 2＝(1＋k 2)×2m 2－61＋2k 2＋km ×⎝⎛⎭⎫－4km 1＋2k 2＋m 2. 将m 2＝2k 2＋2代入上式可得OP →·OQ →＝0，所以OP ⊥OQ. 综上所述，OP ⊥OQ.(14分)(证法2)设切点T(x 0，y 0)，则其切线方程为x 0x ＋y 0y －2＝0，且x 20＋y 20＝2. (ⅰ) 当y 0＝0时，则直线PQ 的方程为x ＝2或x ＝－ 2.当x ＝2时，P(2，2)，Q(2，－2)．因为OP →·OQ →＝0，所以OP ⊥OQ.当x ＝－2时，同理可得OP ⊥OQ.(10分)(ⅱ) 当y 0≠0时，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 0x ＋y 0y －2＝0，x 26＋y 23＝1，消去y 得(2x 20＋y 20)x 2－8x 0x ＋8－6y 20＝0. 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝8x 02x 20＋y 20，x 1x 2＝8－6y 202x 20＋y 20.(12分)所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋（2－x 0x 1）（2－x 0x 2）y 20＝－8（x 20＋y 20）＋16y 20（2x 20＋y 20）. 因为x 20＋y 20＝2，代入上式可得OP →·OQ →＝0，所以OP ⊥OQ. 综上所述，OP ⊥OQ.(14分)18. 解：(1) 由题意，可得AD ＝12千米．由题可知|126－16v |≤14，(2分)解得649≤v ≤647.(4分)(2) (解法1)经过t 小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t)．由于先乙到达D 地，故16v ＜2，即v ＞8.(6分)① 当0＜vt ≤5，即0＜t ≤5v时，f(t)＝(6t)2＋(vt)2－2×6t ×vt ×cos ∠DAB＝⎝⎛⎭⎫v 2－485v ＋36t 2. 因为v 2－485v ＋36＞0，所以当t ＝5v时，f(t)取最大值，所以⎝⎛⎭⎫v 2－485v ＋36×⎝⎛⎭⎫5v 2≤25，解得v ≥154.(9分) ② 当5＜vt ≤13，即5v ＜t ≤13v时，f(t)＝(vt －1－6t)2＋9＝(v －6) 2⎝⎛⎭⎫t －1v －62＋9.因为v ＞8，所以1v －6＜5v ，(v －6)2＞0，所以当t ＝13v时，f(t)取最大值，所以(v －6) 2⎝⎛⎭⎫13v －1v －62＋9≤25，解得398≤v ≤394.(13分)③ 当13≤vt ≤16, 13v ≤t ≤16v时，f(t)＝(12－6t)2＋(16－vt)2，因为12－6t ＞0，16－vt ＞0，所以当f(t)在⎝⎛⎭⎫13v ，16v 上递减，所以当t ＝13v时，f(t)取最大值，⎝⎛⎭⎫12－6×13v 2＋⎝⎛⎭⎫16－v ×13v 2≤25，解得398≤v ≤394.因为v ＞8，所以 8＜v ≤394.(16分)(解法2)设经过t 小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t)．由于先乙到达D 地，故16v＜2，即v ＞8.(6分)以A 点为原点，AD 为x 轴建立直角坐标系，① 当0＜vt ≤5时，f(t)＝⎝⎛⎭⎫45vt －6t 2＋⎝⎛⎭⎫35vt 2.由于⎝⎛⎭⎫45vt －6t 2＋⎝⎛⎭⎫35vt 2≤25，所以⎝⎛⎭⎫45v －62＋⎝⎛⎭⎫35v 2≤25t 2对任意0＜t ≤5v都成立，所以⎝⎛⎭⎫45v －62＋⎝⎛⎭⎫35v 2≤v 2，解得v ≥154.(9分)② 当5＜vt ＜13时，f(t)＝(vt －1－6t)2＋32.由于(vt －1－6t)2＋32≤25，所以－4≤vt －1－6t ≤4对任意5v ＜t ＜13v都成立，即⎩⎨⎧v －6≤5t ，－3t≤v －6，对任意5v ≤t ≤13v 都成立，所以⎩⎨⎧v －6≤5v 13，－3v13≤v －6，解得398≤v ≤394.(13分)③ 当13≤vt ≤16即13v ≤t ≤16v ，此时f (t)＝(12－6t)2＋(16－vt)2.由①及②知8＜v ≤394，于是0＜12－6t ≤12－78v ≤12－78394＝4，又0≤16－vt ≤3，所以f (t)＝(12－6t)2＋(16－vt)2≤42＋32＝25恒成立．综上①②③可知8＜v ≤394.(16分)19. 解：(1) 当m ＝1时，f(x)＝－x 3＋x 2－1，f ′(x)＝－3x 2＋2x ＝－x(3x －2)．由f′(x)＜0，解得x ＜0或x ＞23.所以函数f(x)的减区间是(－∞，0)和⎝⎛⎭⎫23，＋∞.(2分) (2) 依题意m ＞0.因为f(x)＝－x 3＋mx 2－m ，所以f′(x)＝－3x 2＋2mx ＝－x(3x －2m)．由f′(x)＝0，得x ＝2m3或x ＝0.当0＜x ＜2m3时，f ′(x)＞0，所以f(x)在⎝⎛⎫0，2m 3上为增函数；当2m3＜x ＜m 时，f ′(x)＜0，所以f(x)在⎝⎛⎭⎫2m 3，m 上为减函数；所以f(x)极大值＝f ⎝⎛⎭⎫2m 3＝427m 3－m.(4分)① 当427m 3－m ≥m ，即m ≥362，y max ＝427m 3－m ；(6分)② 当427m 3－m ＜m ，即0＜m ＜362时，y max ＝m.综上，y max ＝⎩⎨⎧427m 3－m ⎝⎛⎭⎫m ≥362，m ⎝⎛⎭⎫0＜m ＜362.(8分) (3) 设两切点的横坐标分别是x 1，x 2.则函数f(x)在这两点的切线的方程分别为y －(－x 31＋mx 21－m)＝(－3x 21＋2mx 1)(x －x 1)，y －(－x 32＋mx 22－m)＝(－3x 22＋2mx 2)(x －x 2)．(10分)将(2，t)代入两条切线方程，得t －(－x 31＋mx 21－m)＝(－3x 21＋2mx 1)(2－x 1)，t －(－x 32＋mx 22－m)＝(－3x 22＋2mx 2)(2－x 2)．因为函数f(x)图象上有且仅有两个不同的切点，所以方程t －(－x 3＋mx 2－m)＝(－3x 2＋2mx)(2－x)有且仅有不相等的两个实根．(12分)整理得t ＝2x 3－(6＋m)x 2＋4mx －m.设h(x)＝2x 3－(6＋m)x 2＋4mx －m ，则h′(x)＝6x 2－2(6＋m)x ＋4m ＝2(3x －m)(x －2)．① 当m ＝6时，h ′(x)＝6(x －2)2≥0，所以h(x)单调递增，显然不成立；② 当m ≠6时，h′(x)＝0，解得x ＝2或x ＝m 3. 列表可判断单调性，可得当x ＝2或x ＝m 3时， h(x)取得极值分别为h(2)＝3m －8，或h ⎝⎛⎭⎫m 3＝－127m 3＋23m 2－m. 要使得关于x 的方程t ＝2x 3－(6＋m)x 2＋4mx －m 有且仅有两个不相等的实根，则t ＝3m －8，或t ＝－127m 3＋23m 2－m.(14分) 因为t ≤0，所以3m －8≤0 (*)，或－127m 3＋23m 2－m ≤0 (**)．解(*)得m ≤83，解(**)得m ≤9－36或m ≥9＋3 6. 因为m ＞0，所以m 的范围为⎝⎛⎦⎤0，83∪[9＋36，＋∞)．(16分) 20. (1) ① 解：因为3b 1，2b 2，b 3成等差数列，所以4b 2＝3b 1＋b 3，即4×3a ＋3d 2＝3(2a ＋d)＋4a ＋6d 3，解得a d ＝34.(4分) ② 证明：由a n ＋1≤b n ＜a n ＋2，得a ＋nd ≤（n ＋1）a ＋（n ＋1）nd 2n＜a ＋(n ＋1)d ，整理得⎩⎨⎧n 2－n －2a d ≤0，n 2＋n －2a d＞0，(6分) 解得－1＋1＋8a d 2＜n ≤1＋1＋8a d 2.(8分) 由于1＋1＋8a d 2－－1＋1＋8a d 2＝1且－1＋1＋8a d 2＞0. 因此存在唯一的正整数n ，使得a n ＋1≤b n ＜a n ＋2.(10分)(2) 解：因为b t b r ＝a 1（1－q t ＋1）t （1－q ）a 1（1－q r ＋1）r （1－q ）＝t ＋2r ＋2，所以q t ＋1－1t （t ＋2）＝q r ＋1－1r （r ＋2）. 设f(n)＝q n ＋1－1n （n ＋2），n ≥2，n ∈N *. 则f(n ＋1)－f(n)＝q n ＋2－1（n ＋1）（n ＋3）－q n ＋1－1n （n ＋2）＝q n ＋1[（q －1）n 2＋2（q －2）n －3]＋2n ＋3n （n ＋1）（n ＋2）（n ＋3）. 因为q ＞2，n ≥2，所以(q －1)n 2＋2(q －2)n －3＞n 2－3≥1＞0，所以f(n ＋1)－f(n)＞0，即f(n ＋1)＞f(n)，即f(n)单调递增． (12分) 所以当r ≥2时，t ＞r ≥2，则f(t)＞f(r)，即q t ＋1－1t （t ＋2）＞q r ＋1－1r （r ＋2），这与q t ＋1－1t （t ＋2）＝q r ＋1－1r （r ＋2）互相矛盾．所以r ＝1，即q t ＋1－1t （t ＋2）＝q 2－13.(14分) 若t ≥3，则f(t)≥f(3)＝q 4－115＝q 2－13·q 2＋15＞q 2－13，即q t ＋1－1t （t ＋2）＞q 2－13，与q t ＋1－1t （t ＋2）＝q 2－13相矛盾．于是t ＝2，所以q 3－18＝q 2－13，即3q 2－5q －5＝0. 又q ＞2，所以q ＝5＋856.(16分)。

2020届江苏省南通市2017级高三高考考前模拟考试数学试卷(十)及答案(含附加题)

2020届江苏省南通市2017级高三高考考前模拟考试数学试卷（十）★祝考试顺利★数学Ⅰ（南通数学学科基地命题）一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1．若集合{|24},{|}A x x B x x a =<=>≤,若{|34}A B x x =<<,则实数a = ▲ . 2．设复数z ＋1z －1＝－i ,其中i 为虚数单位,则||z = ▲. 3. 根据如图所示的伪代码,当输出y 的值为1时,则输入的x 的值为 ▲ .4. 在等比数列{a n }中,a 1＋a 2=1,a 5＋a 6=16,则a 9＋a 10= ▲ .5. 已知双曲线x 2－y 2=1,则其两条渐近线的夹角为 ▲ .6．设实数x ,y 满足条件01,02,21,x y y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≤≤≤≤≥则|343|x y ++的最大值为 ▲ .7．若函数sin()(0)y x ωϕω=+>的部分图象如图所示,则ω的值为 ▲ .8. 设集合B 是集合A =(1,2,3,4}的子集,若记事件M 为:“集合B 中的元素之和为5”,则事件M 发生的概率为 ▲ . 9. 若函数f (x )=2cos(x +2θ)+ cos2x (0<θ<π2)的图象过点M (0,1),则f (x )的值城为 ▲ . 10. 设函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c 的三个零点x 1,x 2,x 3是公差为1的等差数列,则f (x )的极小值为 ▲ .（第3题图）11. 在△ABC 中,AB =8,AC =6,A =60°,M 为△ABC 的外心,若AM →=λAB →+μAC →,λ、μ∈R,则4λ＋3μ＝ ▲ .12. 已知△ABC 的面积等于1,若BC =1,当三边之积取得最小值时,则sin A = ▲ .13. 已知F 是椭圆C : x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个集点,P 是椭圆C 上的任意一点,则PF 称为椭圆C 的焦半径.设椭圆C 的左顶点与上顶点分别为A ,B ,若存在以A 为圆心,PF 长为半径的圆经过点B ,则椭圆C 的离心率的最小值为 ▲ .14. 已知f (x ) = a cos x －4cos 3x ,若对任意的x ∈R ,都有|f (x )|≤1,则a = ▲ .二、解答题：本大题共6小题,共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）已知函数f (x ) = sin(ωx +φ) (ω>0,|φ|＜π2)的图象关于直线x ＝π6对称,两个相邻的最高点之间的距离为2π． (1) 求函数f (x )的解析式;(2) 在△ABC 中,若f (A )=一35,求sin A 的值．16.（本小题满分14分）如图在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 为菱形,E 为CC 1的中点, 平面AA 1C 1C ⊥平面A 1B 1C 1D 1, 证明: (1) A 1C ∥平面B 1D 1E ;(2) 平面AA 1C 1C ⊥平面B 1D 1E(第16题图)A CA 1B 1C 1D 1DEB。

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▲ cm3．
（第 8 题）
9.
已知函数
－x＋1， f(x)=kx2＋x－1，
x≤2 x>2
对任意的 x1,x2∈R，x1≠x2，有[f(x1)－f(x2)] (x1－x2)<0，
则实数 k 的取值范围是 ▲ ．
10. 已知园 C:(x－1)2＋(y－2)2=4，若直线 l:(2m－1)x+(2m＋2)y－4m－1=0 与圆 C 交于 A，B 两点当弦 AB 的长度最小时，则正实数为 m＝ ▲ ．
I ← I +2 S ←2I +3 End While Print S
（第 4 题）
（第 5 题）
22
6. 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线1x6－y9 ＝1 的顶点到其渐近线的距离为 ▲ ．
7. 若函数 f(x)=sin(ωx+6) (0＜ω＜6)图像的一个对称中心为(π6，0)，则函数 f(x)的最小周期为▲．
请说明理由. y
O
x
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2020年6月2020届江苏省姜堰、如东县2017级高三高考考前适应性考试数学试卷
18．（本小题满分 16 分）如图所示，某地区打算在一块矩形地块上修建一个牧场( ABCDEF 围成的封闭区域)用来养殖牛和羊其中 AF=1，AB=10，BC=4，CD=7(单位:百米)，DEF 是一段曲线形马路. 该牧场的核心区为等腰直角三角形 MPQ 所示区域，该区域用来养殖羊，其余区域养殖牛，且 MP=PQ，牧场大门位于马路 DEF 上的 M 处，一个观察点 P 位于 AB 的中点处，为了能够更好的观察动物的生活情况，现决定修建一条观察通道，起点位于距离观察点 P 处 1 百米的 O 点所示位置，终点位于 Q 处如图 2 所示，建立平面直角坐标系，若 M(x，f(x) )
11. 我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为；第一步: 构造数列 1，12，13，14…，1n.①; 第二步: 将数列①的各项乘以n2，得到一个新的数列 a1，a2，a3，…an.则根据以上两步可得 a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋an+1an = ▲ ．
（n≥2，n∈N*）
C
12. 如图，在△ABC 中，A=23π，过点 A 作 AC 的垂直线交
D
BC 于点 D. 若在△ABC 的面积为 4 3，则 AD 的最大值
A
B
是▲．
（第 6 题）
13. 已知 C 是以 AB 为直径的半圆上一点，且 C 是线段 PQ 的中点，若 AB=5，PQ=1，P→Q 与 A→B 的夹角为 120°，则A→P ·B→Q = ▲ ．
学数学成绩的方差为 ▲ ．
12 2 8 9 13 0 1
（第 3 题）
4. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，则最后输出的 S 的值是 ▲ ．
5. 一张桌子有四个座位，A 先坐在如图所示的座位上，B，C，D 三人随机坐到其他三个位置上，则 A 与 B 相对而坐的概率为 ▲ ．
I←1 While I < 6
江苏省姜堰、如东县 2020 届高三考前适应练习试题
数学Ⅰ
2020.06
参考公式：
锥体的体积公式：V=13Sh，其中 S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．球的体积公式:V=34πr2，其中 r 表示球的半径．样本数据: x1，x2，…，xn 的方差 S2＝1n|mn| (xi－－x )2，其中－x ＝1n|mn| xi.
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8. 某品牌冰淇淋由圆锥蛋筒和半个冰淇淋小球组成，已知圆锥形蛋筒的侧面展开
图是圆心角为65π，弧长为 6π cm 的扇形，则该冰淇淋的体积是
15．（本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PD⊥平面 ABCD，过 AD 的平面分别与 PB，PC 交于 E、F. .
(1) 求证: 平面 PBC⊥平面 PCD；
(2) 求证: AD∥EF.
16．（本小题满分 14 分）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足(sinB＋sinC) (sinB－sinC) = sinA(sinB－sinA). (1) 求△ABC 面积为 3，求 ab 的值; (2) 若23c＋b=2a，求 cosA.
满足 f(x)＝
k x
，
－2＜x≤－1
.
ax＋b，－4≤x≤－2
19．（本小题满分 16 分）数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足(n－2)Sn-1+n=0， n∈N*，n≥2，a2=2. (1)求数列{an}的通项公式;
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答．题．卡．相．应．位．置．上．．
1. 已知集合 A={1，3，a }，B={4，5}，若 A∩B={4}，则实数 a 的值为 ▲ ．
2. 设复数 z 满足(2－i)z=1+i (i 为虚数单位)，则复数 z= ▲ ． 3. 某次数学测验无谓同学的成绩分布茎叶图如图，则这五位同
17．（本小题满分 14 分）
22
如图，在平面直角坐标系
xOy
中，已知椭圆x a
2＋y b
2＝1
(a>b>0)的离心率为
23，短轴长为
2，直线 l 与椭圆有且只有一个公共点.
(1) 求椭圆的方程；
(2) 是否存在以原点 O 为圆心的圆满足:此圆与直线 l 相交于 P，Q 两点(两点均不在坐标
轴上)，且 OP，OQ 的斜率之积为定值，若存在，求出此定值和圆的方程；若不存在，
14. 已知函数 f(x)=xln(x＋3)－2，若不等式 f(x)－2a≤0 有解，则整数 a 的最小值为 ▲ ．
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二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．