平行线和图形的相似
相似三角形及平行线截相似三角形PPT课件
知1－练
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB.
由(1)知， AD = AE DE . AB AC BC
又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC.
感悟新知
知1－练
例2 如图，已知△OAC∽△OBD，且OA＝4，AC＝ 2，OB＝2，∠C＝∠D.求： (1)△OAC与△OBD的相似比； (2)BD的长．
感悟新知
知识点 1 相似三角形及相关概念
知1－导
1.定义：如果两个三角形中，三个角分别相等，三条边 成比例，那么这两个三角形相似，
A A,B B,C C,
AB BC AC k, AB BC AC
⇔△ABC∽△A′B′C′.
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要点精析： (1)判定两个三角形相似的必备条件：三个角分别相 知1－导
AD∥BP⇒△BMP∽△DMA⇒ MP BM .
MA DM
再将比例式化为等积式即可得证．
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证明：∵AB∥DN， ∴△AMB∽△NMD， ∴ AM BM ,
NM DM
又∵AD∥BP， ∴△BMP∽△DMA，∴ MP BM ,
AM DM
∴ AM MP , ∴AM2＝MN·MP.
MN AM
先算：40 －30 ＝
10 15
2．30＋25＝ 55 78－40＝38 68＋20＝88 67－50＝ 17
10＋48＝ 5981－50＝ 4410＋27＝ 6574－20＝ 34
77
57
76
38
37＋40＝ 87－30＝ 26＋50＝ 98－60＝
小青蛙比大青蛙少吃了多少只虫子？
你能提出哪些数学问题？
北师大版数学九年级上册第四章 《图形的相似》重点题型归纳
阶段强化专题训练专题一：平行线分线段成比例常见应用技巧 类型一 证比例式技巧1 中间比代换法证比例式1.如图，已知在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB. (1)求证：BCDEAB AD =； (2)若AD:DB=3:5，求CF:CB 的值.技巧2 等积代换法证比例式2.如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，E 是△ABC 内一点，DE ∥BC ，过D 作AC 的平行线交CE 的延长线于F ，CF 与AB 交于P.求证：PBPAPF PE =.技巧3 等比代换法证比例式3.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，求证：ADAFAB AD =.类型2 证线段相等技巧 4 等比过渡证线段相等(等比例过渡法)4.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B ＞∠A ，点D 为边AB 的中点，DE ∥BC 交AC 于点E ，CF ∥BA 交DE 的延长线于点F.(1)求证：DE=EF ；(2)连结CD ，过点D 作DC 的垂线交CF 的延长线于点G ，求证：∠B=∠A+∠DGC ．类型3 证比例和为1技巧5 同分母的中间比代换法5.如图，已知AC ∥FE ∥BD.求证：1=+BCBEAD AE专题二：证明相似三角形的方法名师点金要找三角形相似的条件，关键抓住以下几点：(1)已知角相等时，找两对对应角相等，若只能找到一对对应角相等，判断夹相等的角的两边是否对应成比例；(2)无法找到角相等时，判断三边是否对应成比例；(3)除此之外，也可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性．．．”.方法1 利用边或角的关系判定两直角三角形相似1.下面关于直角三角形相似叙述错误的是( )A.有一锐角对应相等的两个直角三角形相似B.两直角边对应成比例的两个直角三角形相似C.有一条直角边相等的两个直角三角形相似D.两个等腰直角三角形相似2.如图，BC⊥AD，垂足为C，AD=6.4，CD=1.6，BC=9.3，CE=3.1.求证：△ABC∽△DEC.方法2 利用角判定两三角形相似3.如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长，与CE 交于点 E. (1)求证：△ABD∽△CED； (2)若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．方法3 利用边角判定两三角形相似4.如图，AB＝3AC，BD＝3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．求证：△ABD∽△CAE. 方法4 利用三边判定两三角形相似5.如图，AD是△ABC的高，E，F分别是AB，AC的中点．求证：△DEF∽△ABC.专训三巧作平行线构造相似三角形名师点金：解题时，往往会遇到要证的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，添加辅助线构造相似三角形是这类几何证明题的一种重要方法．常作的辅助线有以下几种：(1)由比例式作平行线；(2)有中点时，作中位线；(3)根据比例式，构造相似三角形．训练角度1 巧连线段的中点构造相似三角形1.如图，在△ABC中，E，F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE，AF于点P，Q，求BP:PQ:QD.训练角度 2 过顶点作平行线构造相似三角形2.如图，在△ABC中，AC＝BC，F为底边AB 上一点，BF:AF＝3:2，取CF的中点D，连接AD并延长交BC于点E，求BE:EC的值．3.如图，过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和点E.求证：AE:ED＝2AF:FB.训练角度 3 过一边上的点作平行线构造相似三角形4.如图，在△ABC中，AB＞AC，在边AB上取一点D，在AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P.求证: BP:CP=BD:EC.训练角度 4 过一点作平行线构造相似三角形5.如图，在△ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AE=41AB，连接EM并延长交BC的延长线于点D.求证：BC＝2CD. 作辅助线的方法一：作辅助线的方法二：作辅助线的方法三：作辅助线的方法四：全章整合提升密码专训一：证比例式或等积式的技巧 名师点金证比例式或等积式，若遇问题中无平行线或相似三角形时，则需构造平行线或相似三角形，得到等比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形或不在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它们转化到两个三角形中再证两三角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换．技巧1 构造平行线法1.如图，在△ABC 中，D 为AB 的中点，DF 交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ， 求证：AE ·CF ＝BF ·EC.2.如图，已知△ABC 的边AB 上有一点D ，边BC 的延长线上有一点E ，且AD ＝CE ，DE 交AC 于点F ，试证明：AB ·DF ＝BC ·EF.技巧2 三点找三角形相似法3.如图，在▱ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F. 求证：DC AE ＝CF AD.4.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，M 为BC 的中点，DM ⊥BC 交CA 的延长线于D ，交AB于E.求证：AM 2＝MD ·ME.技巧3 构造相似三角形法5.如图，在等边三角形ABC 中，点P 是BC 边上任意一点，AP 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点M ，N. 求证：BP ·CP ＝BM ·CN.技巧4 等比过渡法6.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，DE ∥BC ，点F 在边AC 上，DF 与BE 相交于点G ，且∠EDF ＝∠ABE. 求证：(1)△DEF ∽△BDE ；(2)DG ·DF ＝DB ·EF.7.如图，CE 是Rt △ABC 斜边上的高，在EC 的延长线上任取一点P ，连接AP ，作BG ⊥AP于点G ，交CE 于点D. 求证：CE 2＝DE ·PE.技巧5 两次相似法8.如图，在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，∠ABC 的平分线BE 交AC 于E ，交AD 于F. 求证：BF BE ＝ABBC.9.如图，在▱ABCD 中，AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，垂足分别为M ，N.求证：(1)△AMB ∽△AND ；(2)AM AB ＝MNAC.技巧6 等积代换法10.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.求证：AE AF ＝ACAB.技巧7 等线段代换法11.如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点P 是AD 上一点，CF ∥AB ，延长BP 交AC 于点E ，交CF 于点F ，求证：BP 2＝PE ·PF.12.已知：如图，AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线EP 交BC 的延长线于点P.求证：PD 2＝PB ·PC.专训二 巧用“基本图形”探索相似条件 名师点金：几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法．相似三角形的四类结构图： 1.平行线型2.相交线型3.子母型4.旋转型训练角度1 平行线型1.如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作ED ∥BC 交AB 于点D.(1)求证：AE ·BC ＝BD ·AC ； (2)如果S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，DE ＝6，求BC 的长．训练角度2 相交线型2.如图，点D ，E 分别为△ABC 的边AC ，AB 上的点，BD ，CE 交于点O ，且EO BO ＝DOCO ，试问△ADE 与△ABC 相似吗？请说明理由．训练角度3 子母型3.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于点F.求证：AB AC ＝DFAF.训练角度4 旋转型 4.如图，已知∠DAB ＝∠EAC ，∠ADE ＝∠ABC.求证：(1)△ADE ∽△ABC ；(2)AD AE ＝BD CE.专训三 利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系 名师点金：判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一．由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法．训练角度1 证明两线段的数量关系 类型1： 证明两线段的相等关系1.如图，已知在△ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 交于点O ，直线AO 与BC 边交于点M ，与DE 交于点N. 求证：BM ＝MC.2.如图，一直线和△ABC 的边AB ，AC 分别交于点D ，E ，和BC 的延长线交于点F ，且AE:CE ＝BF:CF. 求证：AD ＝DB.类型2 证明两线段的倍分关系3.如图，在△ABC 中，BD ⊥AC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，∠A ＝60°，求证：DE ＝12BC.4.如图，AM 为△ABC 的角平分线，D 为AB 的中点，CE ∥AB ，CE 交DM 的延长线于E. 求证：AC ＝2CE.训练角度2 证明两线段的位置关系 类型1：证明两线段平行 5.如图，已知点D 为等腰直角三角形ABC 的斜边AB 上一点，连接CD ，DE ⊥CD ，DE ＝CD ，连接CE ，AE.求证：AE ∥BC.6.在△ABC 中，D ，E ，F 分别为BC ，AB ，AC 上的点，EF ∥BC ，DF ∥AB ，连接CE 和AD ，分别交DF ，EF 于点N ，M.(1)如图①，若E 为AB 的中点，图中与MN 平行的直线有哪几条？请证明你的结论； (2)如图②，若E 不为AB 的中点，写出与MN 平行的直线，并证明．类型2 证明两线垂直7.如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，且AC2＝AB ·AD ，BC 2＝BA ·BD ，求证：CD ⊥AB.8.如图，已知矩形ABCD ，AD ＝13AB ，点E ，F把AB 三等分，DF 交AC 于点G ，求证：EG ⊥DF.专训四巧用位似解三角形中的内接多边形问题名师点金位似图形是特殊位置的相似图形，它具有相似图形的所有性质，位似图形必须具备三个条件：(1)两个图形相似；(2)对应点的连线相交于一点；(3)对应边互相平行或在同一直线上.类型1 三角形的内接正三角形问题1.如图,用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形,阅读后证明相应问题.画法:①在△AOB内画等边三角形CDE,使点C在OA上,点D在OB上；②连接OE并延长,交AB于点E′,过点E′作E′C′∥EC,交OA于点C′,作E′D′∥ED,交OB于点D′；③连接C′D′,则△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形.求证:△C′D′E′是等边三角形.类型2 三角形的内接矩形问题2.求作:内接于已知△ABC的矩形DEFG,使它的边EF在BC上,顶点D,G分别在AB,AC上,并且有DE∶EF=1∶2.类型 3 三角形的内接正形问题(方程思想)3.如图,△ABC 是一块锐角三角形余料,边BC=120mm ,高AD=80mm ,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边QM 在BC上,其余两个顶点P ,N 分别在AB,AC上,则这个正方形零件的边长是多少?4.(1)如图①,在△ABC 中,点D ,E ,Q 分别在AB ,AC ,BC 上,且DE ∥BC ,AQ交DE 于点P.求证:DP：BQ=PE：QC.(2)在△ABC 中,∠BAC =90°,正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上,连接AG ,AF ,分别交DE 于M ,N 两点.①如图②,若AB=AC=1,直接写出MN的长；②如图③,求证:MN²=DM·EN.专训五： 图形的相似中的五种热门考点 名师点金：相似是初中数学的重要内容，也是中考重点考查内容之一，而对于成比例线段、相似三角形的判定与性质、位似图形等都是命题的热点．考点一： 比例线段及性质1.下列各组长度的线段，成比例线段的是( )A. 2 cm ，4 cm ，4 cm ，8 cmB. 2 cm ，4 cm ，6 cm ，8 cmC. 1 cm ，2 cm ，3 cm ，4 cmD. 2.1 cm ，3.1 cm ，4.3 cm ，5.2 cm2．若a 2＝b 3＝c 4＝d 7≠0，则a ＋b ＋c ＋d c ＝________.3．如图，乐器上的一根弦AB ＝80 cm ，两个端点A ，B 固定在乐器板面上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点，则支撑点C 到端点A 的距离约为________．(5≈2.236，结果精确到0.01)考点二： 平行线分线段成比例4.如图，若AB ∥CD ∥EF ，则下列结论中，与AD AF 相等的是( ) A.AB EF B.CD EF C.BO OE D.BC BE5.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，以AC 为边向三角形外作正方形ACDE ，连接BE 交AC 于F ，若BF ＝ 3 cm ，则EF ＝________.6.如图，在△ABC 中，AM ∶MD ＝4∶1，BD ∶DC ＝2∶3，求AE ∶EC 的值．考点三 相似三角形的性质与判定7.已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为3∶4，则△ABC 与△DEF 的面积之比为( ) A.4:3 B.3:4 C.16:9 D.9:168.在平行四边形ABCD 中，点E 在AD 上，且AE ∶ED ＝3∶1，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ，则S △AEF ∶S 四边形ABCE 为( ) A.3∶4 B.4∶3 C.7∶9 D.9∶79.若两个相似多边形的面积之比为1∶4，周长之差为6，则这两个相似多边形的周长分别是________．10.如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，ED 的延长线与CB 的延长线交于点F.(1)求证：FD 2＝FB ·FC ； (2)若FB ＝5，BC ＝4，求FD 的长．11.如图，四边形ABCD 是正方形，BD 是对角线，BE 平分∠DBC 交DC 于点E ，点F 是BC 的延长线上一点，且CE ＝CF ，BE 的延长线交DF 于点M.(1)求证：BM ⊥DF ； (2)若正方形ABCD 的边长为2，求ME ·MB.考点四相似三角形的应用12.一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯的高度CD.如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM 与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25 m，已知李明直立时的身高为1.75 m，求路灯的高度CD.(结果精确到0.1 m)13.某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA＝CD，BC＝20 cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm，8 cm.为使板凳两腿底端A，D之间的距离为50 cm，那么横梁EF的长应为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计)考点五图形的位似14.如图，已知正方形ABCD，以点A为位似中心，把正方形ABCD的各边缩小为原来的一半，得正方形A′B′C′D′，则点C′的坐标为________．15.如图，在6×8的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点O和△ABC的顶点均在小正方形的顶点上．(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且相似比为1∶2；(2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C 的周长．(结果保留根号)专训六全章热门考点整合应用名师点金：本章主要内容为：平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，位似图形及其画法等，涉及考点、考法较多，是中考的高频考点．其主要考点可概括为：3个概念、2个性质、1个判定、2个应用、1个作图、1个技巧．考点一：3个概念概念1：成比例线段1.下列各组线段，是成比例线段的是( )A.3cm，6cm，7cm，9cmB.2cm，5cm，0.6dm，8cmC.3cm，9cm，1.8dm，6cmD.1cm，2cm，3cm，4cm2.有一块三角形的草地，它的一条边长为25m，在图纸上，这条边的长为5cm，其他两条边的长都为4cm，则其他两边的实际长度都是________m.概念2：相似多边形3.如图，已知∠1′＝∠1，∠2′＝∠2，∠3′＝∠3，∠4′＝∠4，∠D′＝∠D，试判断四边形A′B′C′D′与四边形ABCD是否相似，并说明理由．概念3：位似图形4.如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C.设点B的对应点B′的坐标是(a，b)，求点B的坐标．考点二： 2个性质性质1：平行线分线段成比例的性质5.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6.若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y.(1)求出y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，△BDE的面积有最大值，最大值为多少？性质2：相似三角形的性质6.如图，已知D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与BA相交于点E，EC 与AD相交于点F.(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．考点三： 1个判定——相似三角形的判定7.如图，△ACB为等腰直角三角形，点D为斜边AB上一点，连接CD，DE⊥CD，DE＝CD，连接AE，过C作CO⊥AB于O.求证：△ACE ∽△OCD.8.如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过点C作AB的垂线l交⊙O 于另一点D，垂足为点E.设P是上异于点A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC 与PD，PD交AB于点G. (1)求证：△PAC∽△PDF； (2)若AB＝5，弧AP＝弧BP，求PD 的长．考点四： 2个应用应用1：测高的应用9.如图，在离某建筑物CE 4 m处有一棵树AB，在某时刻，1.2 m的竹竿FG垂直地面放置，影子GH长为2 m，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD高为2 m，那么这棵树的高度是多少？应用2：测宽的应用10.如图，一条小河的两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔6 m有一棵树，在河的对岸每隔60 m有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30 m处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度．考点五： 1个作图——作一个图形的位似图形11.如图，在方格纸中(每个小方格的边长都是1个单位长度)有一点O和△ABC.请以点O 为位似中心，把△ABC缩小为原来的一半(不改变方向)，画出△ABC的位似图形．考点六： 1个技巧——证明四条线段成比例的技巧12.如图，已知△ABC，∠BAC的平分线与∠DAC的平分线分别交BC及BC的延长线于点P，Q. (1)求∠PAQ的度数； (2)若点M为PQ的中点，求证：PM2＝CM·BM.。
平行线的性质与应用
平行线的性质与应用平行线是几何学中的重要概念，它们相互之间永远不会相交，具有一些独特的性质和应用。
在本文中，我们将探讨平行线的性质以及它们在几何学和实际生活中的应用。
一、平行线的定义和性质平行线是在同一平面内且方向相同的两条直线，它们之间的距离始终相等，永不相交。
具体而言，我们可以通过以下几个性质来定义和描述平行线的特征：1. 平行线定义：如果两条直线在同一平面内，且它们之间的距离始终相等，那么这两条直线就是平行线。
2. 平行线性质一：平行线上的任意两点与一个点连线所得的角都是等于180度的。
这说明平行线之间不存在交叉角。
3. 平行线性质二：过直线外一点，可以且只能有一条与这条直线平行的直线。
这表明平行线只能有一条通过给定点的平行线。
4. 平行线性质三：如果一条直线与一组平行线相交，那么它与这组平行线的其他直线的交角都相等。
通过以上这些性质，我们可以准确地判断和应用平行线的特性。
二、平行线的应用1. 平行线在几何学中的应用平行线以其独特的性质在几何学中得到广泛应用。
以下是几个例子：a. 四边形性质：在四边形中，如果对角线两两平行，那么这个四边形是平行四边形。
平行四边形具有一些重要的性质，例如对角线等长、内角和等于180度等。
通过判断对角线是否平行，我们可以在解决相关问题时应用这些性质。
b. 平行线分割三角形：如果一条直线与两边另一边平行地相交，那么它所分割的三角形与原始三角形的比例相同。
这个性质在解决图形比例和相似性的问题时非常有用。
c. 平行线的证明：平行线的性质可以用来证明其他几何性质。
例如，通过证明两条线相交形成的内角和为180度，我们可以推断这两条线是平行线。
2. 平行线在实际生活中的应用平行线的概念和性质不仅存在于几何学中，也有着广泛的实际应用。
以下是一些实际生活中使用平行线的例子：a. 道路设计：在道路设计中，平行线被广泛用于规划车道之间的距离和方向。
相互平行的车道可以有效地管理交通流量，并提高道路的通行效率。
小学数学点知识归纳相似形的概念与性质
小学数学点知识归纳相似形的概念与性质相似形是小学数学中重要的概念之一，它与几何图形的形状有关。
在学习相似形的过程中，我们不仅需要掌握其定义和性质，还要了解一些相关的知识点。
本文将对小学数学中与相似形相关的概念和性质进行归纳，以帮助学生更好地理解和应用这一知识。
一、相似形的定义相似形是指形状相似的两个或多个几何图形。
在相似形中，两个图形的形状相同，但大小可能不同。
当两个图形形状相同，并且对应边的比值相等时，我们可以称这两个图形为相似形。
例如，两个三角形的对应角相等，并且对应边的长度比相等，那么这两个三角形就是相似形。
二、相似形的性质1. 相似三角形的对应边比值相等。
当两个三角形相似时，它们的对应边的长度比值相等。
例如，如果一个三角形的边长分别为2cm、3cm、4cm，而另一个相似三角形的对应边与之成比例，则可以得到边长分别为4cm、6cm、8cm。
2.相似形的对应角相等。
如果两个图形相似，它们的对应角度相等。
这是相似形的一个重要性质，在判断两个图形是否相似时，我们可以通过比较它们的对应角度来进行判断。
3.相似形的对应边平行。
在相似形中，两个图形的对应边是平行的。
由于相似形的定义要求对应边的比值相等，而平行线之间的对应线段的比值是相等的，因此对应边也必然是平行的。
4. 相似形的面积比例是边长比例的平方。
当两个图形相似时，它们的面积比例等于对应边的长度比例的平方。
例如，如果两个相似三角形的对应边长度比为2∶3，那么它们的面积比就是4∶9。
三、相似形的应用相似形在解题中有着广泛的应用。
我们可以通过相似形的性质来求解未知图形的边长、角度和面积等问题。
以下是一些常见的相似形应用实例：1. 求未知边长：如果已知两个相似三角形的某个边长和对应边的比值，我们可以通过比例关系求解另一个三角形的边长。
例如，已知一个三角形的边长为4cm、6cm、8cm，并且与另一个相似三角形的对应边成比例，求另一个三角形的边长。
2. 求未知角度：在相似形中，对应角度相等。
平行线与垂直线的性质与判定
平行线与垂直线的性质与判定平行线和垂直线是几何学中常见的两种特殊线型。
它们具有不同的性质和判定方法，在解决几何问题和证明几何命题时起到重要作用。
本文将介绍平行线和垂直线的性质以及判定方法。
一、平行线的性质与判定1. 平行线的性质平行线是指不相交且位于同一平面内的两条直线，它们具有以下性质：（1）平行线上的任意一对对应角相等；（2）平行线与横截线之间，对应角相等；（3）平行线与平行线之间，内角和等于180度；（4）平行线的任意两条线段之间的比例相等。
2. 平行线的判定方法平行线可以通过以下几种方法进行判定：（1）同位角判定法：若两条直线被一组平行线截断，或者两条直线被一组平行线所包围，那么这两条直线就是平行线。
（2）转角判定法：若两条直线之间的内角和等于180度，则这两条直线是平行线。
（3）斜率判定法：若两条直线的斜率相等并且不相交，那么这两条直线是平行线。
（4）平行线的性质判定法：若两条直线具有平行线的性质，如对应角相等、内角和等于180度等，则这两条直线是平行线。
二、垂直线的性质与判定1. 垂直线的性质垂直线是指两条直线相交，交角等于90度的情况。
垂直线具有以下性质：（1）垂直线构成的交角等于90度；（2）垂直线的斜率之积等于-1。
2. 垂直线的判定方法垂直线可以通过以下几种方法进行判定：（1）直角判定法：若两条直线的交角等于90度，则这两条直线是垂直线。
（2）斜率判定法：若两条直线的斜率之积等于-1，则这两条直线是垂直线。
（3）垂直线的性质判定法：若两条直线具有垂直线的性质，如交角等于90度等，则这两条直线是垂直线。
三、平行线与垂直线的应用平行线和垂直线在几何学中有广泛的应用。
它们能够帮助我们解决与角度、比例和图形相似性等相关的问题。
1. 平行线的应用平行线的性质和判定方法可以应用于以下几个方面：（1）证明两幅图形相似：如果两条直线与另外一组平行线相交，并且相交处的对应角相等，那么这两幅图形是相似的。
北师大版九年级数学上册《图形的相似——平行线分线段成比例》教学PPT课件(2篇)
B. 2
C. 2
D. 3
2. 如图，已知 AD∥BE∥CF，若 AB＝3，AC＝7，EF 9
＝6，则 DE 的长为 2 ．
3. 如图，AD 是△ ABC 的中线，E 是 AD 上一点，且 AE∶ED＝1∶2，BE 的延长线交 AC 于点 F，则 AF∶FC＝ 11∶∶4 ．
4. 如图，在△ ABC 中，D，E 分别在 AB，AC 上，DE∥BC， DF∥AC，若 AC＝10，CE＝6，BC＝12，求 FC 的长．
【思路点拨】由 DE∥BC 得 AD∶AB＝AE∶AC，由 AB∥EF 得 BF∶BC＝AE∶AC，即得 AD∶AB＝BF∶BC.
由 AD∶DB＝2∶3，得到 AD∶AB＝2∶5, 将 BC＝20 cm 代入求出 BF 的长即可．
解：∵DE∥BC，∴AD∶AB＝AE∶AC. ∵AB∥EF, ∴BF∶BC＝AE∶AC. ∴BF∶BC＝AD∶AB. ∵AD∶DB＝2∶3， ∴AD∶AB＝2∶5.∴BF∶BC＝2∶5. ∵BC＝20 cm , ∴BF∶20＝2∶5，∴BF＝8 cm.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
例题精讲 知识点 1 平行线分线段成比例
例1 如图，已知直线 l1，l2，l3 分别截直线 l4 于点 A，B， C，截直线 l5 于点 D，E，F，且 l1∥l2∥l3.
(1)如果 AB＝4，BC＝8，EF＝12，求 DE 的长；
【思路点拨】(1)由平行线分线段成比例定理得出比例 式，即可得出 DE 的长；
【分析】分别在△ABC及△ADC中利用平行线
分线段成比例定理的推论 证明 在ABC中, DE//BC , AB AC
AD AE
在ADC中, EF//CD, AD AC AF AE
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似4.2平行线分线段成比例(教案)
（2）逆向思维的培养：在解决逆向问题，即已知线段比例求平行线问题时，学生往往感到困难。
举例：已知在三角形ABC中，AB/AC = 2/3，点D在BC上，使得AD//BC，求BD/DC的比例。
其次，在新课讲授环节，我采用了理论介绍、案例分析、重点难点解析的方式，逐步引导学生掌握平行线分线段成比例定理。在这个过程中，我发现图示和实际案例的分析对于学生理解这一概念非常有帮助。但在讲解过程中，我应该更加注意语言的简洁明了，避免让学生产生混淆。
在实践活动环节，我安排了分组讨论、实验操作和成果展示。通过这个环节，学生们的动手能力和团队合作能力得到了锻炼。但我也注意到，部分学生在操作过程中还存在一些问题，如对尺度的把握不准确等。因此，在以后的教学中，我可以增加一些关于几何作图的技巧讲解，提高学生们的实践能力。
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似4.2平行线分线段成比例（教案）
一、教学内容
本节课选自北师大版九年级数学上册第四章“图形的相似”中的4.2节“平行线分线段成比例”。教学内容主要包括以下两点：
1.探索并掌握平行线分线段成比例定理，即：如果两条直线平行，那么它们所分得的对应线段成比例。
2.学会运用平行线分线段成比例定理解决相关问题，如：求线段比例、相似三角形等。通过对该定理的理解和应用，培养学生空间想象能力和解决问题的能力。
在学生小组讨论环节，我鼓励学生们提出自己的观点和想法，并进行交流。这个环节的效果还不错，学生们积极参与讨论，课堂氛围活跃。但我也注意到，部分学生过于依赖教材，缺乏独立思考的能力。为了培养学生的创新思维，我可以在今后的教学中多设置一些开放性的问题，引导学生进行深度思考。
平行线的性质知识点总结
平行线的性质知识点总结平行线是我们在几何学中经常遇到的概念，它具有一些独特的性质和特点。
本文将对平行线的性质进行总结，帮助读者更好地理解和运用这些知识点。
一、定义和标记方式平行线是在同一个平面上，永不相交的两条直线。
我们通常用符号"//"来表示两条平行线，例如AB//CD。
二、判断平行线的方法平行线的判断方法有以下几种：1. 同位角相等法则：如果两条直线被一条横截线所截，且同位角相等，则这两条直线平行。
2. 内错角相等法则：如果两条直线被一条横截线所截，且内错角相等，则这两条直线平行。
3. 外错角相等法则：如果两条直线被一条横截线所截，且外错角相等，则这两条直线平行。
4. 平行线特性法则：如果两条直线的斜率相等或两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行。
三、平行线的性质1. 平行线与转角线的夹角关系：当两条直线被一条横截线所截，且转角线与一个平行线垂直，那么它与另一条平行线也垂直。
2. 平行线与同位角的关系：同位角是指两条直线被一条横截线所截，且位于同一侧的内角。
对于平行线来说，同位角相等。
3. 平行线与内错角的关系：内错角是指两条直线被一条横截线所截，且位于同一侧的相对角。
对于平行线来说，内错角相等。
4. 平行线与外错角的关系：外错角是指两条直线被一条横截线所截，且位于不同侧的相对角。
对于平行线来说，外错角相等。
5. 平行线向平面的投影：如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线在这个平面上的投影与原直线平行。
6. 平行线间的距离关系：平行线间的距离是沿垂直于这两条平行线的线段的长度。
四、平行线的应用平行线的性质在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决角度、线段关系和图形相似性等问题时。
以下是一些典型的应用场景：1. 平行线用于证明两条线段相等或不相等。
2. 平行线用于证明某个角是直角或等角。
3. 平行线用于证明图形的相似性。
4. 平行线用于推导和证明其他几何性质和定理。
总结起来，平行线是在同一个平面上永不相交的两条直线，具有一系列独特的性质。
平行线及角平分线类相似
平行线及角平分线类相似中考要求重难点1．相似定义，性质，判定，应用和位似2．相似的判定和证明3．相似比的转化课前预习上一节课我们知道了相似三角形的由来，那你是否知道其他跟金子塔有关的不可思议的事实呢？不仅建造金字搭的技术中，表现了古埃及人的非凡的数学天才；而且，它本身的许多数据，也说明了古埃及人的数学才华，巧夺天工，比如，胡夫金字塔底面周长365米，恰好是一年的天娄；周长乘以2，正是赤道的时分度；搭高乘以10九次方，正是地球到太阳的距离；周长除以塔塔高的2倍，正是圆周率3．1415926……；塔的自重乘以10的15次方，正好是地球的重量；塔里放置的棺材內部尺寸，正好是几千年后希腊数学家华连哥拉斯发现华连哥拉斯数——345：：．数学的趣味是无法言语的，同学们可以从身边的点滴去发现其中的奥秘．例题精讲模块一 平行线类相似平行线类相似的基本模型有【例1】 如图，在ABCD 中，点E 在线段DC 上，若12DE EC =∶∶，则BF BE =∶ ．EAD BCF【难度】1星【解析】过E 点作AD 的平行线交AC 于H ，可求出结果．HFCBD AE【答案】35∶【巩固】如图，在ABC △中，,,DE BC DG AC CF AB ∥∥∥，则图中与ABC △相似的三角形（ABC △除外）有哪些？GFA BCDE【难度】1星【解析】根据三角形相似的判定定理，可知道ABC ADE DBG FCG △∽△∽△∽△ 【答案】ABC ADE DBG FCG △∽△∽△∽△【拓展】如图，点1234,,,A A A A 在射线OA 上，点123,,B B B 射线OB 上，且112233A B A B A B ∥∥，21A B ∥32A B43A B ∥．若212323,A B B A B B △△的面积分别为1,4，则图中三个阴影三角形面积之和为 ．4321【难度】3星【解析】由平行得到相似的三角形．已知212A B B △△A 2B 1B 2，323A B B △的面积分别为1,4，且两三角形相似，因此可得出223312A B A B =，由于223A B A △与233B A B △是等高不等底的三角形，所以面积之比即为底之边比，因此这两个三角形的面积比为1:2，根据323A B B △的面积为4，可求出223A B A △的面积，同理可求出334A B A △和112A B A △的面积．即可求出阴影部分的面积．【答案】10.5∵212A B B △，323A B B △的面积分别为1,4 又∵22332132,A B A B A B A B ∥∥∴2233212323,OB A OB A A B B A B B ∠=∠∠=∠ ∴122233B B A B B A △∽△ ∴1222233312B B A B B B A B == ∴233412A A A A = ∵22323322323331,4A B A B A B S A B A B B S A B ==△△△的面积是4 ∴223323122A B A A B B S S ==△△（等高的三角形的面积的比等于底边的比）同理可得：3343232248A B A A B B S S ==⨯=△△，1122121110.522A B A A B B S S ==⨯=△△∴三个阴影面积之和为0.52810.5++=．【例2】 如图，已知DE AB ∥，2OA OC OE =⋅，求证：AD BC ∥．DOECB A【难度】2星【解析】由一个平行得到比例线段OE ODOA OB=，再根据已知条件2OA OC OE =⋅，以及线段间的等量代换得到OD OAOB OC=，得到证明AOD COB ∆∆∽，得到相等的角DAO BCO ∠=∠，最后得到证明AD BC ∥． 【答案】∵DE AB ∥∴AOB EOD ∆∆∽，OE ODOA OB=， 又∵2OA OC OE =⋅， ∴OE OAOA OC =， ∴OD OAOB OC=， ∵AOD COB ∠=∠， ∴AOD COB ∆∆∽， ∴DAO BCO ∠=∠， ∴AD BC ∥【巩固】在平行四边形ABCD 中，点E 为AD 的中点，连接BE ，交AC 于点F ，则AF CF ∶=（ ）FED CBA【难度】2星【解析】根据四边形ABCD 是平行四边形，求证AFE BCF △∽△，然后利用其对应边成比例即可求得答案．【答案】12∶∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AFE BCF △∽△， ∴AE AFBC CF=，∵点E 为AD 的中点， ∴12AE AF BC CF ==，【巩固】如图，在ABC ∆的边AB 上取一点D ，在AC 取一点E ，使AD AE =，直线DE 和BC 的延长线相交于P ，求证：BP BDCP CE=． PEDCBA【难度】2星【解析】根据所要证明的结论，由三点定形法可初步判定需要证明PCE PDB △∽△，但根据所给的已知条件无法找到有利的条件得到证明，于是回到题中看看怎么样能利用到已知条件AD AE =，于是尝试着过C 作平行线得到证明．4321MPE D CBA【答案】过C 作CM AB ∥交DP 于M ，∵CM AB ∥， ∴PCM PBD ∆∆∽， ∴BP BDCP CM=， ∵CM AB ∥， ∴14∠=∠， 又∵AD AE =，∴12∠=∠，∴24∠=∠， ∵23∠=∠， ∴34∠=∠， ∴CM CE = ∴BP BDCP CE=【拓展】如图，在ABC △中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=____ ___． MECBA【难度】3星【解析】先介绍常规的解法：BCFE DMA BCFED M A如图，过点C 作DE 或AB 的平行线均可，不妨以左图为例来说明． 过点C 作//CF DE ，交AB 于点F ． ∵AM MC =，//CF DE ∴AE EF = ∵14AE AB =∴2BF EF= ∵//CF DE ∴2BC BFCD EF== 当然，过点M 、点E 作适当的平行线，均可作出此题，这里不再给出． 以上这些解法均属于常规解法，下面介绍特殊的解法： 看ABC ∆为直线EM D 所截，由梅涅劳斯定理可知，1AE BD CM EB DC MA⋅⋅= 又14AE AB =，AM CM =，故32BD BC DC CD=⇒= 上述图形是一个经典的梅氏定理的基本图形，解类似的题时，梅氏定理的运用能够带来立竿见影的效果，很快得出答案，梅氏定理的证明见变式1，先讲变式1再介绍本解法．【答案】2【拓展】如图，AD 是ABC △的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点．（1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由．AB CDEF【难度】3星【解析】1（）过点D 、E 、F 作平行线均可构造出平行线的基本图形，然后利用 这些基本图形的性质来解题.以下给出6种辅助线（还有几种没给 出），解题过程不再给出．HAB C DEF ABCD EF HHAB CDEFHAB CD EFHAB CDEFHABCD EF当然，本题也可由梅氏定理直接得出结果． 看ADC ∆被直线BEF 所截，由梅氏定理可得1AF CB DEFC BD EA⋅⋅= 又AE DE =，BD CD =，故12AF FC =． 2（）结论依然成立，解法同上（包括用梅氏来解题），不再给出． 【答案】1（）见解析；2（）结论依然成立模块二 角平分线类相似问题角平分线类的相似模型如下：方法点播：角平分线类得相似问题基本就这样的两种模型，辅助线的做法也如图中虚线所示，学生在学这部分知识时，不管是平时测验和期中、期末考试，只要涉及到角平分线和证明相似问题就可以试着做这样的辅助线，基本都可以解决．【例1】 如图，AD 是ABC △的角平分线，求证：AB BDAC CD=D CB A【难度】3星【解析】由角平分线类的相似模型可作出辅助线：过点C 作CE AD ∥交直线AB 于E ，再根据平行得到相似的比例线段，最后题目得证．321EDCBA【答案】过C 作CE AD ∥交直线AB 于E ．∵CE AD ∥， ∴1E ∠=∠，23∠=∠ 又∵AD 平分BAC ∠， ∴12∠=∠， ∴3E ∠=∠， ∴AE AC =，由CE AD ∥可得：AB BDAE CD=， ∴AB BDAC CD=【巩固】 已知ABC △中，BAC ∠的外角平分线交对边BC 的延长线于D ，求证：AB BDAC CD=DCBA【难度】4星【解析】由外角平分线证明相似的模型可作辅助线：过C 作CE AD ∥交直线AB 于E ，根据平行得到成比例线段AB BD AE CD =，再根据角与角相等的等量代换证明AE AC =，结论得证AB BDAC CD=． F 4321E DCBA【答案】过C 作CE AD ∥交直线AB 于E∵CE AD ∥， ∴13∠=∠，24∠=∠ 又∵AD 平分CAF ∠， ∴12∠=∠， ∴34∠=∠， ∴AE AC =， 由CE AD ∥可得：AB BDAE CD=， ∴AB BDAC CD=【巩固】在Rt ABC △中，线段CE 平分ACB ∠交AB 于点E ，交斜边上的高AD 于点O ，过O 引BC 的平行线交于F ．求证：AE BF =．321OF E DCBA【难度】3星【解析】在相似问题中遇到证明线段相等的问题时一定要能想到：这个证明可能是由两组成比例线段进行等量代换得到．本题由角平分线得到角相等再由都是直角三角形，可证明一组相似三角形得到一组成比例线段CD AC OD AE =，再根据平行线分三角形两边成比例得到比例线段ADABOD BF =，最后再根据一组相似三角形得到成比例线段AD AB CD AC =，等量代换得到ODBFOD AE =，题目得证AE BF =．【答案】∵CE 平分ACB ∠∴23∠=∠∴Rt CAE Rt CDO △∽△ ∴CDACOD AE =又∵OF BC ∥ ∴ADABOD BF =又∵Rt ABD Rt CAD △∽△ ∴AD AB CD AC =，即ODBFOD AE =∴AE BF =注意：应用比例线段证明两直线平行或两线段相等时，（1）要注意如果相关的比例式较多，一时难以作出选择，应将所有相关的比例式都写出来，然后再仔细对比、分析选出有用的。
17初中数学“利用平行线判定相似”知识点全解析
初中数学“利用平行线判定相似”知识点全解析一、引言在初中数学中，相似图形是一个非常重要的概念，而利用平行线判定相似是相似图形判定的一种重要方法。
掌握这种方法，可以帮助学生更好地理解相似图形的性质，提高解题能力。
本文将详细解析利用平行线判定相似的概念、方法、应用以及解题技巧，帮助学生更好地掌握这一知识点。
二、平行线与相似图形的关系1.平行线的性质：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
平行线间距离相等，且同位角相等，内错角相等。
2.相似图形的定义：如果两个图形对应角相等，对应边成比例，那么这两个图形叫做相似图形。
3.平行线与相似图形的关系：在几何图形中，如果两条直线平行于第三条直线，那么它们之间的对应角相等。
这个性质为我们利用平行线判定相似提供了依据。
三、利用平行线判定相似的方法1.基本方法：如果两个三角形中，有两组对应角分别相等，那么这两个三角形相似。
在这种情况下，我们可以通过证明两条直线平行来判定两个三角形相似。
2.具体步骤：1.首先，确定需要证明的两条直线是否平行。
这可以通过观察图形或根据题目条件来判断。
2.其次，利用平行线的性质来证明对应角相等。
例如，如果两条直线平行于第三条直线，那么它们之间的同位角或内错角相等。
3.最后，根据相似图形的定义，如果两个三角形中有两组对应角相等，则这两个三角形相似。
四、利用平行线判定相似的应用1.几何证明：在几何证明题中，利用平行线判定相似是解决问题的一种常用方法。
通过证明两条直线平行，我们可以得出对应角相等，从而证明两个三角形相似。
2.实际问题解决：在实际生活中，很多问题可以通过建立数学模型并运用利用平行线判定相似的知识进行解决。
例如，在建筑设计中，可以利用这种方法计算建筑物的高度或距离；在地理学中，可以利用这种方法计算地球表面两点之间的距离等。
3.数学竞赛：在数学竞赛中，利用平行线判定相似也是一个常见的考点。
掌握这一方法可以帮助学生在竞赛中取得更好的成绩。
平行线与相似三角形的性质
平行线与相似三角形的性质平行线与相似三角形的性质是几何学中的重要概念，对于研究平行线与相似三角形的关系以及在解决相关问题中起到了重要的作用。
本文将探讨平行线与相似三角形的性质及其在几何学中的应用。
一、平行线的性质1. 如果两条直线与一条平行线交叉，那么它们的对应角相等。
这被称为同位角性质。
2. 平行线上的转角（内角和外角）相等。
3. 平行线可以划分平面为平行线系统，每一对平行线都有一个共同的垂直线。
二、相似三角形的性质1. 如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似的。
这被称为AAA相似性质。
2. 如果两个三角形的对应边成比例，那么它们是相似的。
这被称为AA相似性质。
3. 如果两个三角形的一个角相等，并且对应边成比例，那么它们是相似的。
这被称为SAS相似性质。
4. 相似三角形的边长比例等于相应角度的边长比例。
三、平行线与相似三角形的关系1. 在平行线系统中，平行线与横截线所形成的三角形是相似三角形。
这是因为它们有对应角相等的性质。
2. 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且一对边平行，那么这两个三角形是相似三角形。
这是因为它们同时满足对应边成比例和AA相似性质。
3. 平行线可以帮助我们解决一些与相似三角形相关的问题，如计算三角形的边长比例，求解未知边长等。
四、平行线与相似三角形的应用1. 测量高度：利用平行线与相似三角形的性质，可以通过测量一个物体及其阴影的长度以及测量某个固定点到物体的距离来计算物体的高度。
2. 图像缩放：在计算机图形学中，平行线与相似三角形的性质被广泛应用于图像缩放和变形处理中。
3. 空间测绘：测量不可达的高度和远处物体的大小时，可以利用平行线与相似三角形的性质进行测绘。
总结：平行线与相似三角形的性质是几何学中重要的概念。
通过了解平行线的性质和相似三角形的性质，我们可以更好地理解它们之间的关系，并在实际问题中应用它们。
在解决与图像缩放、空间测绘等相关问题时，平行线与相似三角形的性质可以为我们提供有力的工具与方法。
小学生数学习题认识几何形状的平行和相似
小学生数学习题认识几何形状的平行和相似几何形状是小学数学中的重要内容，它的研究可以帮助学生提升空间想象力和逻辑思维能力。
在认识几何形状的过程中，平行和相似是两个重要概念。
本文将通过数学习题的方式，帮助小学生更好地理解几何形状中的平行和相似的概念。
一、平行线1. 习题一在纸上画一个矩形，并在矩形内画两条线段，问这两条线段是否平行？为什么？解析：两条线段只要在同一平面内，且永远不相交，就可以被认为是平行的。
通过观察我们可以发现，在矩形中，两条线段没有相交，因此它们是平行的。
2. 习题二在纸上画一个直角三角形，通过尺子测量两条直角边的长度，求这两条边是否平行？解析：直角三角形的直角边永远与斜边垂直，两条直角边不可能平行。
二、相似形状1. 习题一在纸上画一个长方形ABC，边长分别为3cm和6cm，再画一个长方形DEF，边长分别为6cm和12cm。
问这两个长方形是否相似？解析：相似的形状是指形状的各边对应成比例，且对应的角度也相等。
在这个例子中，长方形ABC的边长和长方形DEF的边长成比例，于是我们可以得出它们是相似形状。
2. 习题二在纸上画一个等边三角形PQR，边长为4cm，再画一个等边三角形XYZ，边长为8cm，问这两个等边三角形是否相似？解析：相似的等边三角形边长成比例，角度相等。
在这个例子中，等边三角形PQR和等边三角形XYZ的边长虽然不成比例，但是它们的角度都为60度，因此它们是相似的。
结语：通过这些习题，我们可以帮助小学生更好地认识几何形状中的平行和相似的概念。
平行线是指在同一平面内永不相交的线段，而相似形状是指形状的各边对应成比例，且对应的角度相等。
在解题过程中，我们需要观察图形的特征，运用相关的几何知识进行分析。
通过不断练习和思考，相信小学生们一定可以很好地掌握几何形状中平行和相似的概念，并能够灵活运用于实际问题中。
希望本文所提供的习题对你们的学习有所帮助。
平行线与垂直线的性质
平行线与垂直线的性质在几何学中，平行线和垂直线是非常重要的概念。
它们具有许多独特的性质和特点，对于解决几何问题和应用数学中的情境非常有帮助。
接下来，我们将探讨平行线和垂直线的性质，并了解它们在几何中的作用。
一、平行线的性质平行线是指在同一个平面上永远不会相交的两条直线。
平行线具有以下性质：1. 平行线上的任意两条线段之间的距离是相等的。
这意味着，如果两条线段分别与平行线相交，则它们和平行线的距离相等。
2. 平行线上的任意两个角，与平行线相交的两边都平行。
这被称为同位角性质。
同位角分为对顶角和内错角。
- 对顶角：同位角中两个角位于平行线的同侧，且其两条边分别与其他一条平行线相交。
对顶角互为补角，即其和为180度。
- 内错角：同位角中，其中一个角在两条平行线之间，另一个角在这两条平行线的同侧。
内错角互为补角。
3. 平行线可以通过平行线定理进行证明。
平行线定理有三个重要的定理：- 一：若直线与两条平行线相交，则这两条直线的对应角相等。
- 二：若两条直线与一条平行线分别相交，则这两条直线的对应角相等。
- 三：若两条直线分别与一条平行线相交，那么同位角的对应角相等。
二、垂直线的性质垂直线是指两条线段或两个平面相交，且相交角为90度。
垂直线具有以下性质：1. 垂直线上的任意两个角互为垂角，也称为直角。
垂角的度数为90度。
2. 垂直线与平行线的关系：若两条直线相交，并且相交的角为直角，则这两条直线一定是垂直线。
3. 垂直平分线：垂直平分线是指一个线段的中垂线。
对于任意线段，在其中点处画一条与该线段垂直且相等的线段，这条线段就是该线段的垂直平分线。
三、平行线和垂直线的应用平行线和垂直线在几何学中起着重要的作用，它们帮助我们解决各种几何问题和应用数学中的情境。
下面是一些常见的应用：1. 作图：利用平行线和垂直线的性质，我们可以准确地作出各种图形。
例如，可以利用平行线作为辅助线来构造平行四边形、菱形等。
2. 测量：平行线和垂直线的性质也被广泛用于实际测量中。
平行线相似三角形性质和判定
A
D
DA
B
E
BE
C
F
C
F
2019/7/14
推 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两 论 边的延长线)所得的线段对应成比例.
2019/7/14
平行线等分线段定理
P
G. F. E.
A
D
C
B
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他
直线上截得的线段也相等。
推论1
小结 拓展
图形的相似
1.形状相同的图形 ①表象：大小不等，形状相同. ②实质：各对应角相等、各对应边成比例.
三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形, 叫做相似 三角形.
△ABC与△DEF相似,就记作:△ABC∽△DEF. 注意:要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上！
性质：相似三角形的各对应角相等,各对应边对应成比例.
性质定理
判定定理
平行于三角形一边的直线截其他两
边所在的直线，截得的对应线 段成比例.
平行于三角形的一边的直线， 截其它两边所在的直线，截得 的三角形的三边与原三角形的 三边对应成比例.
如果一条直线截三角形的两边的延 长线(这两边的延长线在第三边 的 同侧),所得的对应线段成比例，那 么这条直线平行于三角形的第三边.
相似三角形
1. 相似图形三角形的判定方法：
通过定义 （三边对应成比例，三角相等） 平行于三角形一边的直线（预备定理） 三边对应成比例（SSS） 两边对应成比例且夹角相等（SAS） 两角对应相等（AA） 两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例
（HL）
相似三角形的性质：
对应角相等。 对应边成比例。 对应高的比等于相似比。 对应中线的比等于相似比。 对应角平分线的比等于相似比。
第二讲 平行线分线段成比例型相似.尖子班
一、相似图形1．定义：我们把形状相同的图形叫做相似图形．2．相似比：相似多边形对应边的比．3．相似多边形的特征：对应角相等，对应边的比相等．二、比例线段1．比例性质：（1）基本性质：a cad bcb d =⇔=（2）反比性质：ac b db d ac =⇔=（3）更比性质：a c a b b d c d =⇔=或d cb a =（4）合比性质：a c a b c db d b d ++=⇔=（5）分比性质：a c a b c db d b d --=⇔=（6）合分比性质：()a c abc dc d a b b d a b c d++=⇔=≠≠--（7）等比性质：312123k k a a a ab b b b ==== 121121k k a a a a b b b b +++⇒=+++ (其中k 为正整数，且b 1＋b 2＋b 3＋…＋b k ≠0)2．比例线段及相关概念（1）成比例线段：如果线段a 和b 的比等于线段c 和d 的比，那么线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，记作a cb d=或a ∶b ＝c ∶d 。
其中a，c 叫做比的前项，b ，d 叫做比的后项，b ，c 叫做比例内项，a ，d 叫做比例外项，d 叫做a ，b ，c 的第四比例项。
（2）比例中项：若a bb c=，则称b 是a ，c 的比例中项。
3．黄金分割点如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC (AC ＞BC )，若AC BCAB AC =，则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，即512AC AB -=。
知识点睛模块一相似概念和比例线段相似——平行线分线段成比例【例1】（1）已知23a c b d ==，且b d ≠，则a c b d --=（）A ．23B ．25C ．35D ．15（2）设14a c e b d f ===，0b d f +-≠,则a c eb d f+-=+-_______（3）已知a b ck b c a c a b===+++，则直线2y kx k =+一定经过（）A ．1第，2象限B ．2第，3象限C ．3第，4象限D ．1第，4象限【巩固】（1）已知一张地图的比例尺是14000∶，若A 、B 两地的实际距离为200 m ，则画在地图上的距离是__________．（2）若k cb a dd b a c d c a b d c b a =++=++=++=++求k 的值.【例2】（1）已知：线段a ＝3，b ＝2，c ＝4，则b 、a 、c 的第四比例项d ＝；则a 、b 、(a －b)的第四比例项是；3a 、(2a －b)的比例中项是。
平行度的计算方法及公式
平行度的计算方法及公式平行度是指两个对象（例如直线、相机轨迹等）之间的相似程度或者关联程度的度量。
在计算机视觉、几何学和图形学等领域中，平行度的概念被广泛应用于各种任务，如图像对齐、立体视觉、姿态估计等。
1.直线平行度计算方法：-直线的夹角：直线之间的角度差越小，平行度越高。
直线的夹角可以通过计算两个向量的夹角来获得。
- Hough变换：Hough变换可以用于检测直线，从而计算直线之间的平行度。
-最小二乘拟合：通过最小二乘拟合来拟合直线，并计算直线之间的平行程度。
2.图像平行度计算方法：-SIFT特征匹配：使用SIFT算法检测图像的特征点，并通过匹配特征点的位置关系来计算图像之间的平行度。
-标定矩阵：对于摄像机图像，可以使用标定矩阵来计算图像之间的平行度。
-透视变换：通过对图像进行透视变换，将平行线变换为直线，从而计算图像之间的平行度。
3.相机轨迹平行度计算方法：-四元数：使用四元数表示相机的旋转矩阵，可以计算相机轨迹之间的平行度。
-视觉惯性里程计：利用视觉和惯性传感器数据来估计相机轨迹，并计算轨迹之间的平行度。
-RANSAC算法：使用RANSAC算法拟合相机轨迹，从而计算轨迹之间的平行度。
需要注意的是，以上方法仅代表了一小部分平行度计算的方法，实际上在不同的应用场景中还存在着更多的方法和定制的计算公式。
在实际应用中，根据具体的任务需求和对象类型，可以选择合适的计算方法和公式，或者进行适当的改进和调整。
总结起来，平行度的计算方法和公式是根据具体的应用场景和对象类型而确定的。
选取合适的计算方法和公式可以帮助我们评估和量化对象之间的平行程度，从而为后续的任务提供有价值的信息。
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3.2 平行线分线段成比例
要点感知1 两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也 .
预习练习1-1 如图，a ∥b ∥c ，且有AB=BC ，则DE= .
要点感知2 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段 ，简称为平行线分线段成比例.
预习练习2-1 如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是( )
A.AF BC DF CE =
B.BC DF CE AD =
C.CD BC EF BE =
D.CD AD EF AF
=
要点感知3 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段 .
预习练习3-1 (2013·温州)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC.已知AE=6，
AD DB =34
，则EC 的长是( )
A.4.5
B.8
C.10.5
D.14
知识点1 平行线分线段成比例
1.如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论中，正确的是( )
A.CD AC EF AE =
B.AC BD AE DF =
C.AC CE BD DF =
D.AC DF BD CE
=
2.如图，若l 1∥l 2，那么以下正确的是(D)
A.MR RP NR RQ =
B.MR NR NP MQ =
C.MR RP MQ NP =
D.MR NR RQ RP
=
3.如图，已知AD ∥BE ∥CF ，BC=3，DE ∶EF=2∶1，则AC= .
4.如图，在△ABC 中，点D 是AB 的中点，DE ∥BC ，AC=10，则AE= .
5.如图，如果l 1∥l 2∥l 3，AC=12，DE=3，EF=5，那么BC= .
知识点2 平行于三角形一边的直线截其他两边所得的对应线段成比例
6.如图，在△ABC 中，DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，下列不能成立的比例式一定是( )
A.AD DB =AE EC
B.AB AD =AC AE
C.AC AB =EC DB
D.AD DB =DE BC
7.如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC ，若AD DB =23
，则AEEC= .
8.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，且AD=DB=3，则
AE EC 的值为( ) A.1 B.2 C.13 D.23
9.(2011·肇庆)如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A ，C ，E ，B ，D ，F ，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=( )
A.7
B.7.5
C.8
D.8.5
10.如图，已知BD ∥CE ，则下列等式不成立的是( )
A.AB BC =AD AE
B.AB AC =AD AE
C.AB BC =AD DE
D.AC BC =AE DE
11.(2011·湘潭)如图，已知：△ABC 中，DE ∥BC ，AD=3，DB=6，AE=2，则EC= .
12.(2013·徐汇模拟)如图，已知AB ∥CD ∥EF ，AC ∶CE=2∶3，BF=15，那么BD= .
13.如图，直线CD ∥EF ，若OC=3，CE=4，则OD OF
的值是 .
14.已知，如图，l 1∥l 2∥l 3，AB=3，BC=5，DF=16，求DE 和EF 的长.
15.如图，已知AB ∥MN ，BC ∥NG ，求证：OA OC OM OG
=.
挑战自我 16.已知：如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，试判断AD BF DB FC
=成立吗？并说明理由.
3.3 相似的图形
要点感知1 直观上，把一个图形 (或 )得到的图形与原图形是相似的.
预习练习1-1 下面所给四组图形中，不相似的是( )
要点感知2 三个角对应 ，且三条边对应 的两个三角形相似.相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.记两
个三角形相似时，把表示对应顶点的字母写在 的位置，以便于找到相似三角形的对应边和对应角.
要点感知3 相似三角形 的比叫作相似比.如果△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为k ，则△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为 .相似三角形的对应角 ，对应边 .
预习练习3-1 已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为3∶2，若A ′B ′=10 cm ，则AB 等于( )
A.203
cm B.15 cm C.30 cm D.20 cm 要点感知4 对应角 ，对应边 的两个多边形叫作相似多边形.相似多边形 的比叫作相似比.相似多边形的对应角 ，对应边 .
预习练习4-1 (2013·莆田)下列四组图形中，一定相似的是( )
A.正方形与矩形
B.正方形与菱形
C.菱形与菱形
D.正五边形与正五边形
知识点1 相似的图形
1.观察如图所示的四组图形，不相似的图形是( )
知识点2 相似三角形的定义、相似比及性质
2.如图所示，若△ABC ∽△DEF ，则∠E 的度数为( )
A.28°
B.32°
C.42°
D.52°
3.已知△ABC ∽△DEF ，∠A=30°，∠B=70°，AB=3 cm ，DE=6 cm ，EF=9 cm ，求∠F 的度数及BC 的长.
4.(2012·柳州)小张用手机拍摄得到图1，经放大后得到图2，图1中的线段AB 在图2中的对应线段是(
) A.FG B.FH C.EH D.EF
5.已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，且AB=2，A ′B ′=8，下列说法不正确的是( )
A.AB
A B ''=''BC
B C =''AC
A C B.△ABC 和△A 1
B 1
C 1的各对对应角相等
C.△ABC 与△A 1B 1C 1的相似比为1
4 D.△ABC 与△A 1B 1C 1的相似比为4
知识点3 相似多边形及其性质
6.下列图形中，是相似形的是( )
A.所有平行四边形
B.所有矩形
C.所有菱形
D.所有正方形
7.如图，下列两个四边形若相似，则下列结论不正确的是( )
A.∠α=100°
B.x=32
5 C.y=24
5 D.x=7
8.如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，BC=3，B ′C ′=1.8，那么△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为( )
A.5∶3
B.3∶2
C.2∶3
D.3∶5
9.(2013·宁德)如图，△ABC ∽△AED ，∠ADE=80°，∠A=60°，则∠C 等于( )
A.40°
B.60°
C.80°
D.100°
10.如图，Rt △ABC ∽Rt △DEF ，∠A=35°，则∠E 的度数为( )
A.35°
B.45°
C.55°
D.65°
11.若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是( )
A.60°
B.75°
C.87°
D.120°
12.如图所示，△ABC ∽△ADE ，且∠ADE=∠B ，则下列比例式正确的是( )
A.AE BE =AC DC
B.AE AD AB AC =
C.AD DE AC BC =
D.AE DE AC BC =
13.已知△ABC 与△A ′B ′C ′相似，相似比为2∶3；△A ′B ′C ′与△A ″B ″C ″相似，相似比为5∶4，那么△ABC 与△A ″B ″C ″的相似比为( )
A.5∶6
B.6∶5
C.15∶8
D.8∶15
14.如图，有两个相似的星星图案，则x 的值是( )
A.15
B.12
C.10
D.8
15.如图，△ADE ∽△ABC ，若AD=1，AB=3，则△ADE 与△ABC 的相似比是 .
16.△ABC 中，BC=6，AC=8，AB=10，另一个与它相似的三角形的最短边是3，则其最长边一定是 .
17.如图，已知△ABC ∽△ADE ，AE=5 cm ，EC=3 cm ，BC=7 cm ，∠BAC=45°，∠C=40°.
(1)求∠AED 和∠ADE 的大小；
(2)求DE 的长.
18.如图，已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求∠A的度数及x的值.
挑战自我
19.如图所示，有一块矩形草地，其外围有等宽的小路，其中草地长100 m，宽60 m，小路宽2 m，内外两个矩形相似吗？。