数学建模方法及其应用医院排队论模型

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医院排队论模型

医院排队系统中等待接受服务的患者的平均数量。
03
02
平均逗留时间
患者从到达医院到离开医院所花费的平均时间。
患者满意度
患者对医院排队系统和服务质量的满意度。
04
医院排队系统的优化目标
提高服务效率
通过优化医院排队系统，提高医生的服务效率，缩短患者的等待时间和逗留时间。
提高患者满意度
通过改进医院排队系统，提高患者满意度，减少患者因等待时间过长而产生的不满情绪。
需要接受服务的对象，可以是人员或事物。
服务台
排队规则
提供服务的设施或人员，可以同时为多个顾客提供服务。
顾客到达后，按照一定的规则选择队列，常见的排队规则有先到先服务、后到先服务、随机服务和优先服务等。
排队系统的主要指标
平均队长
系统中平均的顾客数量，包括正在接受服务和等待服务的顾客。
平均等待时间
排队论模型在医院中的具体应用和优化策略；
研究内容：首先梳理排队论模型的相关理论，然后结合医院实际情况建立排队论模型，最后通过实证研究验证模型的可行性和有效性。具体包括以下几个方面医院排队现象的特性和影响因素；
实证研究的设计和数据分析方法。
02
排队论基础
排队论基本概念
排队
顾客
指等待某种服务的过程，包括顾客到达、排队等待和接受服务三个阶段。
顾客到达服从泊松分布，服务时间服从指数分布，c个服务台的系统。
M/G/1模型
顾客到达服从泊松分布，服务时间服从一般分布，一个服务台的系统。
G/G/1模型
顾客到达和服务时间都服从一般分布，一个服务台的系统。
03
医院排队系统分析
医院排队系统的特点

排队论模型及其应用

排队论模型及其应用摘要：排队论是研究系统随机服务系统和随机聚散现象匸作过程中的的数学理论和方法，乂叫随机服务的系统理论，而且为运筹学的一个分支。

乂主要称为服务系统，是排队系统模型的基本组成部分。

而且在日常生活中，排队论主要解决存在大量无形和有形的排队或是一些的拥挤现象。

比如：学校超市的排队现象或岀行车辆等现象，。

排队论的这个基本的思想是在1910年丹麦电话工程师埃尔朗在解决自动电话设计问题时开始逐渐形成的。

后来，他在热力学统计的平衡理论的启发下，成功地建立了电话的统讣平衡模型，并山此得到了一组呈现递推状态方程，从而也导出著名的埃尔朗电话损失率公式。

关键词：出行车辆；停放；排队论；随机运筹学引言：排队论既被广泛的应用于服务排队中，乂被广泛的应用于交通物流领域。

在服务的排队中到达的时间和服务的时间都存在模糊性，例如青岛农业大学歌斐木的人平均付款的每小时100人，收款员一小时服务30人，因此，对于模糊排队论的研究更具有一些现实的意义。

然而有基于扩展原理乂对模糊排队进行了一定的分析。

然而在交通领域，可以非常好的模拟一些交通、货运、物流等现象。

对于一个货运站建立排队模型，要想研究货物的一个到达形成的是一个复合泊松过程，每辆货车的数量为陷而且不允许货物的超载，也不允许不满载就发车，必须刚刚好，这个还是一个具有一般分布装车时间的一个基本的物流模型。

一.排队模型排队论是运筹学的一个分支，乂称随机服务系统理论或等待线理论，是研究要求获得某种服务的对象所产生的随机性聚散现象的理论。

它起源于A.K.Er-lang的著名论文《概率与电话通话理论》。

一般排队系统有三个基本部分组成⑴:（1）输入过程：输入过程是对顾客到达系统的一种描述。

顾客是有限的还是无限的、顾客相继到达的间隔时间是确定型的也可能是随机型的、顾客到达是相互独立的还是有关联的、输入过程可能是平稳的还是不平稳的。

（2）排队规则：排队规则是服务窗对顾客允许排队及对排队测序和方式的一种约定。

数学建模排队论

数学建模排队论
排队论是一种数学理论，它研究的是人们排队等待服务或交通等系统的行为模式。

在排队论中，数学建模被广泛应用于分析和优化这些系统的性能和效率。

排队系统的基本构成包括到达过程、服务过程和队列规则。

到达过程指的是顾客或流量进入系统的过程，它可以用概率分布来描述。

服务过程指的是系统为每个顾客提供服务的时间，同样也可以用概率分布来描述。

队列规则则规定了顾客在等待队列中的顺序以及他们被服务的顺序。

在排队系统中，我们通常关注两个主要的性能指标：平均等待时间和平均队列长度。

平均等待时间指的是顾客在进入系统后需要等待多长时间才能接受服务的时间平均值，而平均队列长度则指的是在某个时间点等待服务的顾客数量的平均值。

为了分析和优化排队系统的性能，我们可以使用数学模型进行建模。

其中最常用的模型包括M/M/1模型、M/M/c模型、M/G/1模型等。

这些模型分别描述了不同的到达过程、服务过程和队列规则，并且可以计算出各种性能指标。

例如，M/M/1模型表示到达过程和服务过程都是泊松分布，并且只有一个服务窗口。

在这种情况下，我们可以使用该模型计算出平均等待时间和平均队列长度，并比较不同服务率下的性能指标。

M/M/c模型则表示到达过程和服务过程都是泊松分布，但是有c个服
务窗口。

在这种情况下，我们可以研究如何合理分配服务窗口的数量以优化系统的性能。

数学建模排队论是一种非常有用的工具，它可以用来分析和优化人们排队等待服务或交通等系统的行为模式。

通过建立数学模型，我们可以更好地理解这些系统的性能和效率，从而为实际应用提供指导。

排队论医院应用

医院排队论模型医院排队论模型医院就医排队是一种经常遇见的非常熟悉的现象.它每天以这样或那样的形式出现在我们面前. 例如,患者到医院就医,患者到药房配药、患者到输液室输液等,往往需要排队等待接受某种服务.这里,护士台、收费窗口、输液护士台及其服务人员都是服务机构或服务设备.而患者与商店的患者一样, 统称为患者.以上排队都是有形的,还有些排队是无形的.由于患者到达的随机性,所以排队现象是不可避免的.排队系统模拟所谓排队系统模拟,就是利用计算机对一个客观复杂的排队系统的结构和行为进行动态模拟,以获得反映其系统本质特征的数量指标结果,进而预测、分析或评价该系统的行为效果,为决策者提供决策依据.如果医院增添服务人员和设备,就要增加投资或发生空闲浪费;如果减少服务设备,排队等待时间太长,对患者和社会都会带来不良影响.因此,医院管理人员要考虑如何在这两者之间取得平衡,以便提高服务质量,降低服务费用.医院排队论,就是为了解决上述问题而发展起来的一门科学.它是运筹学的重要分支之一.在排队论中,患者和提供各种形式服务的服务机构组成一个排队系统,称为随机服务系统.这些系统可以是具体的,也可以是抽象的.排队系统模型已广泛应用于各种管理系统.如手术管理、输液管理、医疗服务、医技业务、分诊服务,等等.医院排队系统的组成排队系统的基本结构由四个部分构成：来到过程（输入）、服务时间、服务窗口和排队规则.1、来到过程（输入）是指不同类型的患者按照各种规律来到医院.2、服务时间是指患者接收服务的时间规律.3、服务窗口则表明可开放多少服务窗口来接纳患者.4、排队规则确定到达的患者按照某种一定的次序接受服务.⑴来到过程常见的来到过程有定长输入、泊松(Poisson)输入、埃尔朗(A. K. Erlang)输入等,其中泊松输入在排队系统中的应用最为广泛.所谓泊松输入即满足以下4个条件的输入：①平稳性：在某一时间区间内到达的患者数的概率只与这段时间的长度和患者数有关；②无后效性：不相交的时间区间内到达的患者数是相互独立的；③普通性：在同时间点上就诊或手术最多到达1个患者, 不存在同时到达2个以上患者的情况；④有限性：在有限的时间区间内只能到达有限个患者, 不可能有无限个患者到达.患者的总体可以是无限的也可以是有限的；患者到来方式可以是单个的，也可以是成批的；相继到达的间隔时间可以是确定的，也可是随机的；患者的到达可以是相互独立的，也可以是关联；到来的过程可以是平稳的，也可是非平稳的；⑵服务时间患者接受服务的时间规律往往也是通过概率分布描述的. 常见的服务时间分布有定长分布、负指数分布和埃尔朗分布.一般来说, 简单的排队系统的服务时间往往服从负指数分布, 即每位患者接受服务的时间是独立同分布的, 其分布函数为t (tμB ( t ) = 1- e - ≥0).其中μ＞0为一常数, 代表单位时间的平均服务率. 而μ1/ 则是平均服务时间.⑶服务窗口服务窗口的主要属性是服务台的个数. 其类型有：单服务台、多服务台.多服务台又分并联、串联和混合型三种. 最基本的类型为多服务台并联.⑷排队规则分为三类：损失制、等待制、混合制.损失制：患者到达时,如果所有服务台都没有空闲,该患者不愿等待，就随即从系统消失.等待制：患者到达时,如果所有服务台都没有空闲,他们就排队等待. 等待服务的次序又有各种不同的规则：①先到先服务,如就诊、排队取药等；②后到先服务,如医院处理急症病人；③随机服务, 服务台空闲时,随机挑选等待的患者进行服务；④优先权服务,如照顾号.混合制：既有等待又有损失的情况,如患者等待时考虑排队的队长、等待时间的长短等因素而决定去留.队列的数目可是单列，也可是多列的；容量可能是有限的，也可能是无限的排队系统的分类排队系统模型主要可以由输入过程(患者到达时间间隔分布)、服务时间分布、服务台个数特征来描述.根据这些特征,可用符号进行分类, 用以表示不同的模型. 例如,利用一定的符号规则将上述特征按顺序用符号列出,并用竖线隔开,即输入过程| 服务分布| 服务台个数例如, M|M|S表示输入过程为泊松输入、服务时间服从负指数分布、S个服务台的排队系统模型; M|G|1则表示泊松输入、一般服务分布、单个服务台的排队系统.排队系统的主要数量指标评价和优化排队系统,需要通过一定的数量指标来反映.建立排队系统模型的主要数量指标有三个：等待时间、忙期与队长.⑴等待时间指患者从到达系统时起到开始接受服务时止这一段时间. 显然患者希望等待时间越短越好.用Wq 表示患者在系统中的平均等待时间.若考虑到服务时间,则用Ws 表示患者在系统中的平均逗留时间(包括等待时间和服务时间).⑵忙期指服务台连续繁忙的时间长度.该指标反映服务台的工作强度和利用程度.用B表示忙期的平均长度.与忙期相应的是闲期,闲期是指服务台一直空闲的时间长度.用I 表示闲期的平均长度.⑶队长指系统中的患者数(包括排队等候的和正在接受服务的所有患者).用Ls表示平均队长.若不考虑接受服务的患者, 则将系统中排队等候的患者数称为队列长.用Lq表示平均队列长.此外, 用ρ表示服务强度,其值为有效的平均到达率λ与平均服务率μ之比,即 .μ/λ =ρM | M | 1 模型M|M|1模型是输入过程为泊松输入,服务时间为负指数分布并具有单服务台的等待制排队系统模型,这是最简单的排队系统模型.假定系统的患者源和容量都是无限的,患者单队排列,排队规则是先到先服务.设在任意时刻t系统中有n个患者的概率Pn(t). 当系统达到稳定状态后,Pn(t)趋于平衡Pn且与t无关. 此时,称系统处于统计平衡状态,并称Pn为统计平衡状态下的稳态概率.n, n = 0, 1, 2, … .ρ )ρPn=(1-其中μ/λ =ρ表示有效的平均到达率λ与平均服务率μ之比(0＜ρ＜1).M | M | 1 模型的几个主要指标⑴在系统中的平均患者数(平均队长)Ls⑵在队列中等待的平均患者数(平均队列长)Lq⑶患者在系统中平均逗留时间Ws⑷患者在队列中平均等待时间Wq⑸闲期的平均长度I⑹忙期的平均长度B例某MRI室配有一位专业医师,负责核磁共振拍摄工作.已知每天平均有6名患者前来, 每人平均时间为1小时,前来的患者按泊松分布到达,服务时间服从负指数分布,每天按8小时计. 试求：①医师工作空闲的概率；②MRI室有两台患者同时到达的概率；③MRI室至少有1人来的概率；④MRI室逗留的患者的平均人数；⑤患者在MRI室的平均逗留时间；⑥MRI室等待患者的平均人数；⑦待拍摄的患者平均等待时间；⑧MRI室忙期的平均长度.解平均到达率= 6/8 = 0.75λ人/小时,平均服务率= 1μ人/小时,服务强度=0.75/1 = 0.75.ρ①MRI室没有拍摄患者的概率为= 1 - 0.75 = 0.25.ρP0 = 1 -即工作人员有25%的时间空闲.②MRI室有2名等候患者的概率为2 = 0.14.ρ ) ρP2 = (1 -③MRI室至少有1等候患者的概率为P = P (n≥1) = 1 - P0 ) = 0.75 .ρ= 1 - (1 -即有75%的时间, MRI室至少有1名等候患者.④MRI室逗留的患者的平均人数为M | M | C模型M|M| C(C≥2)是多服务台的等待制排队系统,它的各种特征的规定和假设与M|M|1模型基本相同.并假定C 个服务台并联排列,各服务台独立工作,其平均服务率相同,即 .μ C = μ1 = … = μ 1 = μ因此,该系统的平均服务率为 .μCM | M | C模型主要指标为：⑴平均队列长Lq⑵平均队长Ls.ρLs = Lq + C⑶患者在系统中平均逗留时间Ws⑷患者在队列中平均等待时间Wq。

数学建模排队论讲解

简介
排队论(Queuing Theory)，又称随机服务系统理论 (Random Service System Theory),是一门研究拥挤现象(排队、等待)的科学。具体地说，它是在研究各种排队系统概率规律性的基础上，解决相应排队系统的最优设计和最优控制问题。
目录
§1 排队系统综述及常用分布 §2 单服务台 M / M /1排队模型 §3 多服务台 M / M / C 排队模型 §4 排队系统的优化问题
负指数分布的概率密度为： fT (t) ? ? e? ? t (t ? 0)
间隔时间 T 的期望值：
E (T ) ? 1
?
1.5 排队系统的常用分布
同样，对顾客服务时间常用的概率分布也是负指数分布，
概率密度为： f (t) ? ? e?? t (t ? 0)
其中? 表示单位时间内完成服务的顾客数，也称平均服务率．
1）顾客源 ——可以是有限的，也可以是无限的.
2）顾客到达的方式——描述顾客是怎样来到系统的，是单个到达还是成批到达.
3）顾客流的概率分布——或称相继顾客到达的时间间隔的分布，相继到达的时间间隔可以是确定的也可以是随机的，常见的分布有定长分布、二项分布和负指数分布等.
1.2 排队系统的组成
排队规则：指从队列中挑选顾客进行服务的规律.
多有一个顾客到达系统．即在时间 ?
t
?
?
t内有2个或2个以上顾客
? 到达的概率极小，有 lim Pn ?t ? ? t ?? 0 ?t? 0
n? 2
可以证明，在长为t的时间内到达个顾客的概率为：
Pn ?t ??
(? t) n e? ?t
n!
?t ? 0 ? n ? 0,1,2,?

排队论模型在医院管理中的应用论文

排队论模型在医院管理中的应用论文【关键词】应用,模型,排队,患者,服务,系统,时间,诊室,等待,门诊,医院门诊的特点是患者流量不稳定,由于患者到达时间和诊治患者所需时间的随机性,可控性小,因此,在合理安排诊室和医生等方面存在一定的困难。

当诊室不足时,常出现患者等待时间延长,患者满意度下降,造成工作过于忙乱,易引起医患纠纷,对社会带来不良影响。

通过对诊室排队系统的研究,科学、量化、准确地描述排队系统的概率规律性,同时对诊室和医生安排进行最优设计和最优运营提出科学有效的整改意见,为门诊工作的安排提供量化、科学的依据,以增加预见性,减少盲目性,从而最大限度地满足患者及家属的需要,同时有效地避免资源浪费,从源头上解决目前“看病贵、看病难”的社会问题。

1研究对象选取医院门诊患者为研究对象,建立排队系统。

以患者到达诊室登记等待为标志,进入诊室排队系统;排队等待的患者数及空间在理论上无限制;患者按照先到先服务的原则,排成一队,依次进入诊室治疗;患者离开诊室表示服务完成,离开排队系统。

2医院门诊排队系统的组成与一般的排队系统相同,医院的门诊排队系统的基本结构由四个部分构成:来到过程(输入)、服务时间、服务窗口和排队规则。

2.1来到过程(输入)是指不同类型的患者按照各种规律来到医院患者的总体可以是无限的也可以是有限的;可以单个或成批到来;相继到达的间隔时间可以是确定的(预约门诊)或随机的;患者的到来可以是相互独立或有关联的;到来的过程可以是平稳的,也可是非平稳的。

2.2服务时间是指患者接收服务的时间规律患者接受服务的时间是随机的,其规律是通过概率分布描述,由于一般排队系统的服务时间往往服从负指数分布:即每位患者接受服务的时间是独立同分布的,其分布函数为:B(t)=1-e-μt(t≥0)其中μ>0为一常数,代表单位时间的平均服务率,而1/μ则是平均服务时间。

2.3服务窗口即可开放多少诊室和医生来接纳患者服务窗口的主要属性是服务台的个数,门诊系统明显是多服务台且属于多服务台并联型2.4排队规则确定到达的患者按照某种一定的次序接受医疗服务一般分为三类:损失制、等待制、混合制。

数学建模之排队论模型

第五讲排队论模型
【修理工录用问题】工厂平均每天有一台机器发生故障而需要修理，机器的故障数服从泊松分布。修理一台机器平均花费 20 元。现有技术水平不同的修理工人 A 和 B， A 种修理工平均每天能修理 1.2 台机器，每天工资 3 元； B 种修理工平均每天能修理 1.5 台机器，每天工资 5 元，两种修理工修理机器的时间为负指数分布。问工厂录用哪种工人较合算？
Ls = ∑ np n = ∑ n(1 − ρ )ρ n = ρ /(1 − ρ ) = λ /( µ Nhomakorabea− λ ).
n =0 n =1
∞
∞
(2) 排队长：（等待的平均顾客数）
4
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Lq = ∑ (n − 1) p n = ∑ (n − 1) ρ n (1 − ρ )
本讲主要内容
1. 2. 3. 4. 5. 排队论的基本概念单服务台的排队模型多服务台的排队模型排队系统的最优化问题数学建模实例：校园网的设计和调节收费问题
5.1 排队论的基本概念
5.1.1 什么是排队系统
排队论也称随机服务系统理论，它是 20 世纪初由丹麦数学家 Erlang 应用数学方法在研究电话话务理论过程中而发展起来的一门学科，在实际中有广泛的应用。它涉及的是建立一些数学模型，藉以对随机发生的需求提供服务的系统预测其行为。现实世界中排队的现象比比皆是，如到商店购货、轮船进港、病人就诊、机器等待修理等等。排队的内容虽然不同，但有如下共同特征：（1）有请求服务的人或物，如候诊的病人、请求着陆的飞机等，我们将此称为 “顾客” 。（2）有为顾客提供服务的人或物，如医生、飞机跑道等，我们称此为“服务员” 。由顾客和服务员就组成服务系统。（3）顾客随机地一个一个（或者一批一批）来到服务系统，每位顾客需要服务的时间不一定是确定的，服务过程的这种随机性造成某个阶段顾客排长队，而某些时候服务员又空闲无事。为了叙述一个给定的排队系统，必须规定系统的下列组成部分： 1.输入过程即顾客来到服务台的概率分布。排队问题首先要根据原始资料，由顾客到达的规律、作出经验分布，然后按照统计学的方法（如卡方检验法）确定服从哪种理论分布，并估计它的参数值。我们主要讨论顾客来到服务台的概率分布服从泊松分布，且顾客的达到是相互独立的、平稳的输入过程。所谓“平稳”是指分布的期望值和方差参数都不受时间的影响。 2.排队规则即顾客排队和等待的规则。排队规则一般有即时制和等待制两种。所谓即时制就是服务台被占用时顾客便随即离去；等待制就是服务台被占用时，顾客便排队等候服务。等待制服务的次序规则有先到先服务、随机服务、有优先权的先服务等，我们主要讨论先到先服务的系统。 3.服务机构服务机构可以是没有服务员的，也可以是一个或多个服务员的；可以对单

医院门诊系统的排队过程模型

医院门诊系统的排队过程模型一、引言医院是一个人们在生命关键时刻病情诊治的关键地点，门诊部分是人们的首选治疗方式。

但由于门诊人数庞大，导致不同时间、不同科室间的取号、等待和诊疗过程中人员分配不合理、效率低下、资源浪费等问题，也给医疗机构带来了许多的管理困难。

二、研究目标通过一些操作分解和建立排队模型的局限来发掘今后的改进空间，进一步提出一些合理的措施，从而对现有医院门诊系统进行优化措施，以减少门诊排队的时间、提升门诊服务的质量。

三、基本内容1、医院门诊排队场景首先，我们来考虑在门诊大厅内，存在着各种科室等待排队的情况，而每个科室的服务窗口数量以及就诊时间受医生的决策。

对于医院来讲，如何合理的安排科室服务窗口数量、分配医生资源成为一项关键的任务。

2、排队结构为了解决现有医院排队问题，我们考虑引入排队模型，使用排队论的理论框架来对医院门诊的排队行为进行建模和分析。

排队模型可以根据排队结构的合理性保障医生医疗时间的消耗，以及提高科室的效率。

3、客户行为第三，对身处排队过程中的客户行为也进行了研究。

由于媒体宣传的加强，许多病人去医院排队并等待治疗，最终导致医院的排队时间和数量增加。

因此，作为客户我们需要合理的利用医院资源，有组织的安排时间，并遵守医院法规和操作规程，从而赢得良好的服务效果。

四、排队过程模型在对医院门诊排队过程的基本分析之后，本报告将研究设计门诊排队模型，以解决现有医院门诊排队过程中的诸多缺陷。

关于排队过程模型的设计，我们首先考虑对医院门诊整个过程进行流程分析和建模，具体过程如下：1、客户到达医院门诊处取号。

2、选择指定科室及服务窗口，进入排队室等待。

3、窗口医生对客户进行诊断、检查和开药等。

4、客户付费离开医院。

五、算法优化在上述过程的模型中，我们将线性加权模型作为我们的队列策略优化方法。

这种算法结构是一个将预测和决策耦合在一起的程序，可以显著地改善医院的门诊排队过程。

另外，我们还可以使用数据挖掘技术，收集并分析客户排队过程中的数据，从而发现一些规律和机制，提高模型的效率和准确性。

( 数学建模)排队论模型

(1)流具有平衡性
对任何 a和0 0t1t,2 tn x ( a t i) x ( a ) ( 1 i n )
的分布只取决于 t1,t2, 而,t与n 无关a。
(2)流具有无后效性
对互不交接的时间区间序列 a i,b i ( 1 i， n )
x(bi)是x(a一i)组相互独立的随机变量。
(3)流具有普通性 liP m xr (a t)x(a ) 1 0
(2)逗留时间
逗留时间是指一顾客从进入系统起一直到接受服务后离开系统为止所花费的时间；等待时间是指一顾客从进入系统起到接受服务时所花费的时间。显然，一个顾客的逗留时间等于其等待时间与接受服务的时间之和。逗留时间与等待时间对顾客来说是最关心的，因为每个顾客都希望自己用于排队等待的时间愈短愈好。
P T t 1 r T t 0 P T t 1 r t 0
上式可改写为：对任何 t0 ，0都有
P T t 0 r x T t 0 P T x r
如果把T解释为寿命，上式表明：如果已知年龄大
排队论模型
排队论模型
一、排队论的基本概念二、单通道等待制排队问题
（M／M／1排队系统）三、多通道等待制排队问题
（M／M／c排队系统）
一、排队论的基本概念
（一）排队过程 1.排队系统
“排队”是指在服务机构处要求服务对象的一个等待队列，而“排队论”则是研究各种排队现象的理论。
到来顾客源
排队机构
常用的记号：M——负指数分布；D——确定型； Ek——k阶爱尔朗（Erlang）分布；GI——一般相互独立的随机分布，G——一般随机分布。这里主要讨论M／M／1，M／M／C。
2.排队模型的数量指标
(1)队长

数学建模讲座排队论模型

(2)
μ—— 排队系统的输出率
C自动扶梯——自动扶梯的通过能力
d自动扶梯——自动扶梯的净宽度
C楼梯——楼梯的通过能力
d楼梯——楼梯的净宽度
输出时间 t1表达式为：
t1

w
n
(3)
通过上面的假设和分析，每一组楼梯和自动扶梯所组成的服务系统是一个定长输入、定长输出的单通道排队系统，由n组楼梯和自动扶梯布置在站台形成的乘客排队系统则是一个定长输入、定长输出、多通道的排队系统即：d/d/n排队系统。
load);L_q=R*W_q; W_s=W_q+T;L_s=W_s*R; End
例2： Model: S=3;R=15;T=10/60;load=R*T; Pwait=@peb(load,S); W_q=Pwait*T/(S-load); L_q=R*W_q; W_s=W_q+T;L_s=W_s*R; END
q w n
l
输入的时间 t0 2 n v
其输入率λ的具体表达式为：
2wv
(1)
l
λ——排队系统的输入率 W——列车到站后下车或换乘的人数 v——下车乘客在站台上的行走速度 l——站台的有效长度 n——站台上楼梯和自动扶梯的组数
排队规则：乘客到达楼梯和自动扶梯口处，若楼梯和自动扶梯没被占用时，乘客立即使用楼梯和自动扶梯，若楼梯和自动扶梯被占用，不能为乘客提供服务时，乘客就会在此等候楼梯和自动扶梯的服务，而且服务次序为先到先服务。
3.@pfs(load,S,K)
该函数的返回值是当到达负荷为load ，顾客数为K,平行服务台数量为S时，有限源的Poisson服务系统等待或返修顾客数的期望值

数学建模-排队论及其应用)

ρ ——服务强度，即每个服务台单位时间内的平均服务时间，—般有ρ =λ ／(sμ )，这是衡量排队系统繁忙程度的重要尺度，当ρ 趋近于0时，表明对期望服务的数量来说，服务能力相对地说是很大的。这时，等待时间一定很短，服务台有大量的空闲时间；如服务强度ρ 趋近于1，那么服务台空闲时间较少而顾客等待时间较多。我们一般都假定平均服务率μ 大于平均到达率 λ ，即λ /μ <1,否则排队的人数会越来越多，以后总是保持这个假设而不再声明。
Wq W 1 0.75h 0.75h 45min
（4）为使病人平均逗留时间不超过半小时，那么平均服务时间应减少多少？由于
1 1 W 2
代入λ =3，解得μ ≥5，平均服务时间为：

1

1
5
h 12 min
15－12＝3min 即平均服务时间至少应减少3min
例1 某医院急诊室同时只能诊治一个病人，诊
故服务强度为：
60 3人 / h, 人 / h 4人 / h 15
3 0.75 4
（2）计算稳态概率：
P0 1 1 0.75 0.25
这就是急诊室空闲的概率，也是病人不必等待立即就能就诊的概率。而病人需要等待的概率则为：
(5)若医院希望候诊的病人90% 以上都能有座位,则候诊室至少应安置多少座位? 设应该安置χ 个座位,加上急诊室的一个座位,共有χ +1个。要使90% 以上的候诊病人有座位，相当于使“来诊的病人数不多于χ +1个”的概率不少于90%，即
P( N x 1) 1 P( N x 1) 0.9
(3)混合制
3．服务台

一个医院资源优化的数学模型及应用

一个医院资源优化的数学模型及应用作者：毕英杰来源：《神州·上旬刊》2020年第05期摘要：本文首先进行分类排序，再利用固定周期的简化特性，建立一个优化数学模型。

这一模型可直接利用给出的条件对应求出优化结果。

本文将该模型应用到某眼科医院手术排队。

关键词：分类;排队;优化;数学模型1 模型和方法1.1问题特征：（1）有N件事情同时解决，用Si表示，;（2）需消耗资源，受h的条件限制;（3）资源z1人为不可控制，z2有最大上限M，z3的限制为C;（4）为了优化排队次序，提高解决问题的效率.1.2模型基本假设：（1）每件事情獨立发生，独立解决;（2）可将问题解决分周期进行，一个周期为T，每个单位为ti，;（3）每个周期的工作量一定或方差不大，用 ;1.3一般模型：（1）把N件事情分类排列;（2）把对z2的消耗转化为对z1的消耗，;（3）把对z3的消耗转化为对z1的消耗，;（4）设每天每类事情的进度为xij，;;得矩阵（5）在限制条件h的影响下，每天的每类工作对于消耗资源z1都是不一样的，所以得到矩阵 ;（6）在z3的限制作用下每天的工作量不可以太多，转化为对z1的消耗之后得到，同时表示事情综合以上几点得到模型：;用LINGO 编程解得结果：。

检验：将解出的结果转化为对z2的消耗，，若，则模型结果可行，且令，则d越大模型效率越高。

2 眼科病床合理安排问题2.1问题特征：此题是2009年数学建模竞赛的题目，该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。

该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤.白内障手术较简单，而且没有急症。

目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。

外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。

其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。

这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。

数学建模在医疗资源分配中的应用研究

数学建模在医疗资源分配中的应用研究随着人口的增长和医疗需求的增加，有效的医疗资源分配成为一个重要的议题。

如何在有限的资源下，使得医疗服务能够公平、合理地分配给需要的人，成为一个亟待解决的问题。

在这方面，数学建模技术能够为决策者提供一种强大的工具，帮助他们做出科学、合理的决策。

一、问题描述在医疗资源分配中，我们面临的首要问题是如何满足人们对卫生服务的需求。

医疗资源有限，无法满足每个人的需求，因此需要一种方法来进行分配。

为了达到公平合理的目标，我们可以使用数学建模的技术来解决这个问题。

二、数学建模方法1. 线性规划线性规划是一种常用的数学建模方法，可以被广泛应用于医疗资源分配问题。

在此方法中，我们将资源的分配问题转化为一组线性约束条件下的最优化问题。

通过设定合适的目标函数和约束条件，可以求解出一个最优的资源分配方案。

2. 整数规划整数规划是线性规划的扩展，可以解决一些线性规划无法解决的问题。

在医疗资源分配中，我们常常需要考虑资源的整数性质，比如一台设备只能在一个医院使用，无法分割。

整数规划可以帮助我们解决这类问题。

3. 图论图论是一种用于解决网络相关问题的数学工具。

在医疗资源分配中，我们可以将医院、患者和资源看作是一个网络图，通过建立合适的图模型，可以分析资源的分配路径和效率。

图论在优化医疗资源分配中具有重要的应用价值。

三、数学建模在医疗资源分配中的案例1. 医院选址问题在某个地区规划新的医院时，如何确定合适的选址成为一个关键问题。

数学建模可以通过考虑人口密度、交通状况等因素，帮助我们找到最佳的医院选址方案。

2. 高效就医路径为了提高医疗资源的利用效率，我们可以使用数学建模方法来分析患者到医院的路径。

通过考虑交通状况、就医时间等因素，可以为患者提供最佳的就医路径，减少就医时间和资源浪费。

3. 卫生服务需求预测通过分析历史数据和人口变化趋势，我们可以使用数学建模方法预测未来的卫生服务需求。

这将有助于决策者合理安排医疗资源，并及时调整资源分配方案。

数学建模与优化算法在医疗诊断与预测中的应用

数学建模与优化算法在医疗诊断与预测中的应用数学建模和优化算法在医疗诊断和预测中的应用已经成为了一个热门话题。

随着技术的不断发展，人们对医疗诊断和预测的需求也越来越高。

数学建模和优化算法的应用为医疗领域带来了很多好处。

本文将从数学建模和优化算法在医疗领域中的应用入手，介绍其优势和挑战。

一、数学建模在医疗诊断和预测中的应用数学建模是将现实问题抽象成数学模型，通过数学方法求解问题的过程。

在医疗领域中，数学建模可以用于疾病的诊断和预测。

例如，通过对病人的数据进行分析，可以建立一个数学模型来预测病人是否会患上某种疾病。

这种方法可以帮助医生更准确地进行诊断和治疗。

另外，数学建模还可以用于药物的研发和临床试验。

通过建立药物作用的数学模型，可以预测药物的作用机理和剂量，从而提高药物的疗效和减少副作用。

此外，数学建模还可以用于分析医院的运营效率和资源利用率，从而提高医院的管理水平。

二、优化算法在医疗诊断和预测中的应用优化算法是一种用于求解最优解的算法。

在医疗领域中，优化算法可以用于优化医疗资源的分配和病人的治疗方案。

例如，在急诊科中，优化算法可以根据患者的病情和治疗需求，合理地分配医护人员和设备资源，从而提高救治效率。

另外，优化算法还可以用于制定个性化治疗方案。

通过分析患者的基因信息、病史和生理指标等数据，可以建立一个个性化治疗模型，通过优化算法求解最佳治疗方案。

这种方法可以提高治疗效果，减少副作用，并降低医疗成本。

三、数学建模与优化算法的挑战虽然数学建模和优化算法在医疗领域中有很多应用，但是也面临着一些挑战。

首先，医学数据的质量和数量是一个问题。

医学数据通常非常复杂，需要很高的技术水平才能进行分析和处理。

其次，医学数据涉及到隐私问题，需要保护患者的隐私权。

再次，医学数据的更新速度非常快，需要及时更新数据，并且保证数据的准确性和完整性。

另外，数学建模和优化算法需要很高的技术水平和专业知识。

医生通常不具备这些技能，需要与专业人员合作才能进行应用。

排队问题-数学建模

第九届“新秀杯”校园数学建模竞赛摘要医院有一位医生值班，经长期观察，每小时平均有4个病人，医生每小时可诊断5人，病人的到来服从Poisson流，诊断时间服从负指数分布。

根据题目所给信息，可以很明显看出本题是单服务台的排队模型，因此需要用到排队理论来求解这些问题。

本题需要用到排队理论中最简单的M/M/1/∞/∞模型，通过对病人到来及诊断时间的统计研究，得出这些数量指标的统计规律。

针对问题一，通过分析任意时刻t内到达的病人数为n的概率，使用数学期望的方法，，可以得出平均病人数及等待的平均病人数。

由题目给出条件病人的到来服从参数为λ的泊松分布，诊断时间服从参数为μ负指数分布，可以得出病人的平均看病所需时间及病人平均排队等待时间。

以及分析该医院的服务强度，可以粗略的分析该科室的工作状况。

针对问题二，在问题一的条件基础下，要求99%的病人有座位。

可以先假设出座位个数，由于每个时刻病人到来的个数是随机且独立，不可能同时到达两批病人，考虑到来病人的个数与座位之间的关系，考虑病人数不同时，有座位的概率不同。

所以用独立事件概率的加法可以得出概率需要大于等于0.99，从而反推出所需座位数。

针对问题三，分析问题可得，需要求出单位平均损失可以通过题目每小时病人到来数可以得出平均每天医院到来数。

根据问题一结论，可以得出平均看病所花时间，从而求出每天的平均损失。

针对问题四，只需要利用问题一，问题二，问题三的结论并改变医生每小时诊断时间，嵌套进来就能求解。

关键字：排队理论M/M/1/∞/∞模型数学期望Poisson流负指数分布一、问题提出某单位医院的一个科室有一位医生值班，经长期观察，每小时平均有4个病人，医生每小时可诊断5人，病人的到来服从Poisson流，诊断时间服从负指数分布。

(1)试分析该科室的工作状况：(2)如要求99%以上的病人有座，该科室至少设多少座位？(3)如果该单位每天24小时上班，病人因看病1小时而耽误工作单位要损失30元，这样单位平均损失多少元？(4)如果该科室提高看病速度，每小时平均可诊断6人，单位每天可减少损失多少？可减少多少座位？二、模型的准备根据题目所给信息，可以很明显看出本题是单服务台的排队模型，日常生活中存在大量有形和无形的排队或拥挤现象，如旅客购票排队，市内电话占线等现象。