人教版高中不等式复习讲义(含答案,超经典)
人教版高中数学必修二讲义专题03 不等关系与不等式(解析版)
目录不等关系与不等式 ................................................................................................. 错误!未定义书签。
考点1:不等关系与不等式 (2)考点2:等式性质与不等式性质 (7)专题03 不等关系与不等式 考点1:不等关系与不等式知识点一 基本事实两个实数a ,b ,其大小关系有三种可能,即a >b ,a ＝b ,a <b .思考 x 2＋1与2x 两式都随x 的变化而变化,其大小关系并不显而易见．你能想个办法,比较x 2＋1与2x 的大小吗?正确答案 作差:x 2＋1－2x ＝( x －1)2≥0,所以x 2＋1≥2x . 知识点二 重要不等式∀a ,b ∈R ,有a 2＋b 2≥2ab ,当且仅当a ＝b 时,等号成立．题型1:用不等式( 组)表示不等关系例1 《铁路旅行常识》规定:一、随同成人旅行,身高在1.2～1.5米的儿童享受半价客票( 以下称儿童票),超过1.5米的应买全价票,每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童,超过一名时,超过的人数应买儿童票． ……十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米,杆状物品不得超过200厘米,重量不得超过20千克……设身高为h ( 米),物品外部长、宽、高尺寸之和为P ( 厘米),请用不等式表示下表中的不等关系.解 由题意可获取以下主要信息:( 1)身高用h ( 米)表示,物体长、宽、高尺寸之和为P ( 厘米);( 2)题中要求用不等式表示不等关系．参考解答本题应先理解题中所提供的不等关系,再用不等式表示．身高在1.2～1.5米可表示为1.2≤h ≤1.5, 身高超过1.5米可表示为h >1.5, 身高不足1.2米可表示为h <1.2,物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为P ≤160.如下表所示:变式 某套试卷原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本．据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后试卷的定价设为x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢?解 提价后销售的总收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x 万元,那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x ≥20( 2.5≤x <6.5)．题型2:作差法比较大小例2 已知a ,b 均为正实数．试利用作差法比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小． 解 ∵a 3＋b 3－( a 2b ＋ab 2)＝( a 3－a 2b )＋( b 3－ab 2) ＝a 2( a －b )＋b 2( b －a )＝( a －b )( a 2－b 2)＝( a －b )2( a ＋b )． 当a ＝b 时,a －b ＝0,a 3＋b 3＝a 2b ＋ab 2; 当a ≠b 时,( a －b )2>0,a ＋b >0,a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 综上所述,a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2.变式 已知x <1,试比较x 3－1与2x 2－2x 的大小． 解 ∵( x 3－1)－( 2x 2－2x )＝x 3－2x 2＋2x －1 ＝( x 3－x 2)－( x 2－2x ＋1)＝x 2( x －1)－( x －1)2 ＝( x －1)( x 2－x ＋1)＝( x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34, 又∵⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0,x －1<0, ∴( x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34<0,∴x 3－1<2x 2－2x .考点1:练习题1．下列说法正确的是( )A ．某人月收入x 元不高于2 000元可表示为“x <2 000”B ．小明的身高为x ,小华的身高为y ,则小明比小华矮可表示为“x >y ”C ．变量x 不小于a 可表示为“x ≥a ”D ．变量y 不超过a 可表示为“y ≥a ” 正确答案 C详细解析 对于A,x 应满足x ≤2 000,故A 错误;对于B,x ,y 应满足x <y ,故B 错误;C 正确;对于D,y 与a 的关系可表示为“y ≤a ”,故D 错误．2．在开山工程爆破时,已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm,人跑开的速度为每秒4 m,为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m 以外的安全区,导火索的长度x ( cm)应满足的不等式为( ) A ．4×x0.5≥100B ．4×x0.5≤100 C ．4×x0.5>100D ．4×x0.5<100正确答案 C详细解析 导火索燃烧的时间x 0.5秒,人在此时间内跑的路程为4×x0.5m ．由题意可得4×x0.5>100. 3．设M ＝x 2,N ＝－x －1,则M 与N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M ＝N C ．M <N D ．与x 有关正确答案 A详细解析 ∵M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0, ∴M >N .4．若y 1＝2x 2－2x ＋1,y 2＝x 2－4x －1,则y 1与y 2的大小关系是( ) A ．y 1>y 2 B ．y 1＝y 2C ．y 1<y 2D ．随x 值变化而变化 正确答案 A5．如图,在一个面积为200 m 2的矩形地基上建造一个仓库,四周是绿地,仓库的长a 大于宽b 的4倍,则表示上述的不等关系正确的是( )A ．a >4bB ．( a ＋4)( b ＋4)＝200C.⎩⎪⎨⎪⎧a >4b ，(a ＋4)(b ＋4)＝200 D.⎩⎪⎨⎪⎧a >4b ，4ab ＝200 正确答案 C详细解析 由题意知a >4b ,根据面积公式可以得到( a ＋4)( b ＋4)＝200,故选C.6．某次数学智力测验,共有20道题,答对一题得5分,答错一题得－2分,不答得零分．某同学有一道题未答,设这个学生至少答对x 题,成绩才能不低于80分,列出其中的不等关系:________.( 不用化简)正确答案 5x －2( 19－x )≥80,x ∈N *详细解析 这个学生至少答对x 题,成绩才能不低于80分,即5x －2( 19－x )≥80,x ∈N *. 7．某商品包装上标有重量500±1克,若用x 表示商品的重量,则可用含绝对值的不等式表示该商品的重量的不等式为________． 正确答案 |x －500|≤1详细解析 ∵某商品包装上标有重量500±1克, 若用x 表示商品的重量, 则－1≤x －500≤1, ∴|x －500|≤1.8．若x ∈R ,则x 1＋x 2与12的大小关系为________． 正确答案x 1＋x 2≤12详细解析 ∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2)≤0.∴x 1＋x 2≤12. 9．已知a ,b ∈R ,x ＝a 3－b ,y ＝a 2b －a ,试比较x 与y 的大小． 解 因为x －y ＝a 3－b －a 2b ＋a ＝a 2( a －b )＋a －b ＝( a －b )( a 2＋1), 所以当a >b 时,x －y >0,所以x >y ; 当a ＝b 时,x －y ＝0,所以x ＝y ; 当a <b 时,x －y <0,所以x <y .10．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A,B 含量及成本如下表:若用甲、乙、丙三种食物各x kg 、y kg 、z kg 配成100 kg 的混合食物,并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A 和63 000单位维生素B.试用x ,y 表示混合食物成本c 元,并写出x ,y 所满足的不等关系． 解 依题意得c ＝11x ＋9y ＋4z , 又x ＋y ＋z ＝100,∴c ＝400＋7x ＋5y ,由⎩⎪⎨⎪⎧600x ＋700y ＋400z ≥56 000，800x ＋400y ＋500z ≥63 000及z ＝100－x －y ,得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥160，3x －y ≥130.∴x ,y 所满足的不等关系为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥160，3x －y ≥130，x ≥0，y ≥0.11．已知0<a 1<1,0<a 2<1,记M ＝a 1a 2,N ＝a 1＋a 2－1,则M 与N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．无法确定正确答案 B详细解析 ∵0<a 1<1,0<a 2<1,∴－1<a 1－1<0,－1<a 2－1<0,∴M －N ＝a 1a 2－( a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1( a 2－1)－( a 2－1)＝( a 1－1)( a 2－1)>0, ∴M >N ,故选B.12．若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2,且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1,则下列代数式中值最大的是( ) A ．a 1b 1＋a 2b 2 B ．a 1a 2＋b 1b 2 C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.12正确答案 A详细解析 令a 1＝0.1,a 2＝0.9;b 1＝0.2,b 2＝0.8.则A 项a 1b 1＋a 2b 2＝0.74;B 项,a 1a 2＋b 1b 2＝0.25;C 项,a 1b 2＋a 2b 1＝0.26,故最大值为A.13．一个盒子中红、白、黑三种球分别为x 个、y 个、z 个,黑球个数至少是白球个数的一半,至多是红球个数的13,白球与黑球的个数之和至少为55,则用不等式( 组)将题中的不等关系表示为________．正确答案 ⎩⎪⎨⎪⎧y 2≤z ≤x 3，y ＋z ≥55( x ,y ,z ∈N *)详细解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧y 2≤z ≤x 3，y ＋z ≥55( x ,y ,z ∈N *)．14．若a 1<a 2,b 1<b 2,则a 1b 1＋a 2b 2________a 1b 2＋a 2b 1.( 填“>”“<”“＝”) 正确答案 >详细解析 a 1b 1＋a 2b 2－( a 1b 2＋a 2b 1) ＝a 1( b 1－b 2)＋a 2( b 2－b 1) ＝( b 1－b 2)( a 1－a 2), ∵a 1<a 2,b 1<b 2, ∴b 1－b 2<0,a 1－a 2<0, 即( b 1－b 2)( a 1－a 2)>0, ∴a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.考点2:等式性质与不等式性质知识点一 等式的基本性质 ( 1)如果a ＝b ,那么b ＝a . ( 2)如果a ＝b ,b ＝c ,那么a ＝c . ( 3)如果a ＝b ,那么a ±c ＝b ±c . ( 4)如果a ＝b ,那么ac ＝bc . ( 5)如果a ＝b ,c ≠0,那么a c ＝bc .知识点二 不等式的性质题型1:利用不等式的性质判断或证明例1 ( 1)给出下列命题: ①若ab >0,a >b ,则1a <1b ;②若a >b ,c >d ,则a －c >b －d ;③对于正数a ,b ,m ,若a <b ,则a b <a ＋mb ＋m .其中真命题的序号是________．正确答案 ①③详细解析 对于①,若ab >0,则1ab >0,又a >b ,所以a ab >b ab ,所以1a <1b ,所以①正确;对于②,若a ＝7,b ＝6,c ＝0,d ＝－10, 则7－0<6－( －10),②错误; 对于③,对于正数a ,b ,m , 若a <b ,则am <bm , 所以am ＋ab <bm ＋ab , 所以0<a ( b ＋m )<b ( a ＋m ), 又1b (b ＋m )>0,所以a b <a ＋m b ＋m ,③正确．综上,真命题的序号是①③.( 2)已知a >b >0,c <d <0.求证:3ad<3b c. 证明 因为c <d <0,所以－c >－d >0. 所以0<－1c <－1d.又因为a >b >0,所以－a d >－bc>0.所以3－a d>3－bc,即－3a d>－3b c, 两边同乘－1,得3a d<3b c.变式 若1a <1b <0,有下面四个不等式:①|a |>|b |,②a <b ,③a ＋b <ab ,④a 3>b 3. 则不正确的不等式的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 正确答案 C详细解析 由1a <1b <0可得b <a <0,从而|a |<|b |,①②均不正确;a ＋b <0,ab >0,则a ＋b <ab 成立,③正确;a 3>b 3,④正确．故不正确的不等式的个数为2.题型2:利用性质比较大小例2 若P ＝a ＋6＋a ＋7,Q ＝a ＋5＋a ＋8( a >－5),则P ,Q 的大小关系为( ) A ．P <Q B ．P ＝Q C ．P >Q D ．不能确定正确答案 C详细解析 P 2＝2a ＋13＋2(a ＋6)(a ＋7),Q 2＝2a ＋13＋2(a ＋5)(a ＋8),因为( a ＋6)( a ＋7)－( a ＋5)( a ＋8)＝a 2＋13a ＋42－( a 2＋13a ＋40)＝2>0, 所以(a ＋6)(a ＋7)>(a ＋5)(a ＋8),所以P 2>Q 2,所以P >Q .变式 下列命题中一定正确的是( ) A ．若a >b ,且1a >1b,则a >0,b <0B ．若a >b ,b ≠0,则a b>1 C ．若a >b ,且a ＋c >b ＋d ,则c >dD ．若a >b ,且ac >bd ,则c >d正确答案 A详细解析 对于A,∵1a >1b ,∴b －a ab>0, 又a >b ,∴b －a <0,∴ab <0,∴a >0,b <0,故A 正确;对于B,当a >0,b <0时,有a b<1,故B 错; 对于C,当a ＝10,b ＝2时,有10＋1>2＋3,但1<3,故C 错;对于D,当a ＝－1,b ＝－2时,有( －1)×( －1)>( －2)×3,但－1<3,故D 错．题型3:利用性质比较大小例3 已知12<a <60,15<b <36.求a －b 和a b的取值范围． 解 ∵15<b <36,∴－36<－b <－15,∴12－36<a －b <60－15,即－24<a －b <45.又136<1b <115,∴1236<a b <6015,即13<a b<4. 故－24<a －b <45,13<a b<4.变式 已知0<a ＋b <2,－1<b －a <1,则2a －b 的取值范围是____________．正确答案 －32<2a －b <52详细解析 因为0<a ＋b <2,－1<－a ＋b <1,且2a －b ＝12( a ＋b )－32( －a ＋b ), 结合不等式的性质可得,－32<2a －b <52.考点2:练习题1．如果a <0,b >0,那么下列不等式中正确的是( )A.1a <1bB.－a <bC ．a 2<b 2D ．|a |>|b |正确答案 A详细解析 ∵a <0,b >0,∴1a <0,1b >0,∴1a <1b ,故选A.2．若a ,b ,c ∈R ,且a >b ,则下列不等式一定成立的是() A ．a ＋c ≥b －c B ．ac >bcC.c 2a －b >0 D ．( a －b )c 2≥0正确答案 D详细解析 ∵a >b ,∴a －b >0,∴( a －b )c 2≥0,故选D.3．已知a >b >c ,则1b －c ＋1c －a 的值是( )A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数正确答案 A详细解析 1b －c ＋1c －a ＝c －a ＋b －c (b －c )(c －a )＝b －a (b －c )(c －a ), ∵a >b >c ,∴b －c >0,c －a <0,b －a <0,∴1b －c ＋1c －a>0,故选A. 4．若x >1>y ,下列不等式不一定成立的是( )A ．x －y >1－yB ．x －1>y －1C ．x －1>1－yD ．1－x >y －x 正确答案 C详细解析 利用性质可得A,B,D 均正确,故选C.5．已知a <0,b <－1,则下列不等式成立的是( )A ．a >a b >a b 2 B.a b 2>a b >a C.a b >a >a b 2 D.a b >a b 2>a 正确答案 D详细解析 ∵a <0,b <－1,∴a b>0,b 2>1, ∴0<1b 2<1,∴0>a b 2>a 1, ∴a b >a b 2>a . 6．不等式a >b 和1a >1b同时成立的条件是________． 正确答案 a >0>b详细解析 若a ,b 同号,则a >b ⇒1a <1b. 7．给出下列命题:①a >b ⇒ac 2>bc 2;②a >|b |⇒a 2>b 2;③a >b ⇒a 3>b 3;④|a |>b ⇒a 2>b 2.其中正确命题的序号是________．正确答案 ②③详细解析 ①当c 2＝0时不成立;②一定成立;③当a >b 时,a 3－b 3＝( a －b )( a 2＋ab ＋b 2)＝( a －b )·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋34b 2>0成立; ④当b <0时,不一定成立．如:|2|>－3,但22<( －3)2.8．设a >b >c >0,x ＝a 2＋(b ＋c )2,y ＝b 2＋(c ＋a )2,z ＝c 2＋(a ＋b )2,则x ,y ,z 的大小顺序是________．正确答案 z >y >x详细解析 ∵a >b >c >0,y 2－x 2＝b 2＋( c ＋a )2－a 2－( b ＋c )2＝2ac －2bc＝2c ( a －b )>0,∴y 2>x 2,即y >x .同理可得z >y ,故z >y >x .9．判断下列各命题的真假,并说明理由．( 1)若a <b ,c <0,则c a <c b; ( 2)a c 3<b c 3,则a >b ; ( 3)若a >b ,且k ∈N *,则a k >b k ;( 4)若a >b ,b >c ,则a －b >b －c .解 ( 1)假命题．∵a <b ,不一定有ab >0,∴1a >1b不一定成立, ∴推不出c a <c b,∴是假命题． ( 2)假命题．当c >0时,c －3>0,则a <b ,∴是假命题．( 3)假命题．当a ＝1,b ＝－2,k ＝2时,显然命题不成立,∴是假命题．( 4)假命题．当a ＝2,b ＝0,c ＝－3时,满足a >b ,b >c 这两个条件,但是a －b ＝2<b －c ＝3,∴是假命题．10．若－1<a ＋b <3,2<a －b <4,求2a ＋3b 的取值范围．解 设2a ＋3b ＝x ( a ＋b )＋y ( a －b ),则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎨⎧ x ＝52，y ＝－12.因为－52<52( a ＋b )<152,－2<－12( a －b )<－1,所以－92<52( a ＋b )－12( a －b )<132, 所以－92<2a ＋3b <132. 11．下列命题正确的是( )A ．若ac >bc ,则a >bB ．若a 2>b 2,则a >bC ．若1a >1b,则a <b D ．若a <b ,则a <b正确答案 D详细解析 对于A,若c <0,其不成立;对于B,若a ,b 均小于0或a <0,其不成立;对于C,若a >0,b <0,其不成立;对于D,其中a ≥0,b >0,平方后显然有a <b .12．已知x >y >z ,x ＋y ＋z ＝0,则下列不等式中一定成立的是( )A ．xy >yzB ．xz >yzC ．xy >xzD ．x |y |>z |y | 正确答案 C详细解析 因为x >y >z ,x ＋y ＋z ＝0,所以3x >x ＋y ＋z ＝0,3z <x ＋y ＋z ＝0,所以x >0,z <0. 所以由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >z ，可得xy >xz . 13．若a ,b ,c ∈R ,a >b ,则下列不等式成立的是( )A.1a <1bB ．a 2>b 2 C.a c 2＋1>b c 2＋1D ．a |c |>b |c | 正确答案 C详细解析 对于A,若a >0>b ,则1a >0,1b<0, 此时1a >1b,∴A 不成立; 对于B,若a ＝1,b ＝－2,则a 2<b 2,∴B 不成立;对于C,∵c 2＋1≥1,且a >b ,∴a c 2＋1>b c 2＋1恒成立,∴C 成立;对于D,当c＝0时,a|c|＝b|c|,∴D不成立．14．有外表一样,重量不同的四个小球,它们的重量分别是a,b,c,d,已知a＋b＝c＋d,a＋d>b＋c,a＋c<b,则这四个小球由重到轻的排列顺序是( )A．d>b>a>c B．b>c>d>aC．d>b>c>a D．c>a>d>b正确答案A详细解析∵a＋b＝c＋d,a＋d>b＋c,∴a＋d＋( a＋b)>b＋c＋( c＋d),即a>c.∴b<d.又a＋c<b,∴a<b.综上可得,d>b>a>c.。
人教版高中数学必修一精品讲义2.2 基本不等式(精炼)(解析版)
2.2 基本不等式【题组一 公式直接运用】1．（2020·全国高一课时练习）已知3x <,求()43f x x x =+-的最大值 . 【正确答案】1- 【详细解析】3x <,则30x ->,由基本不等式可得()()4433333133f x x x x x ⎡⎤=+-+=-+-+≤-=-⎢⎥--⎣⎦, 当且仅当433x x=--时,即当1x =时,等号成立, 因此,当3x <时,求()43f x x x =+-的最大值为1-. 2．（2020·广西兴宁.南宁三中高一期末）已知0a >,0b >,1ab =,且1m b a =+,1n a b=+,则m n +的最小值是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【正确答案】B【详细解析】由1ab =知,12m b b a =+=,12n a a b=+=,∴()24m n a b +=+≥=, 当且仅当1a b ==时取等号.故m n +的最小值为4故选:B4．（2020·浙江省平阳中学高三一模）若0a b +≠,则()2221a b a b +++的最小值为________.【详细解析】由题意,222222222()()2()222≥a b a b a b ab a b a b +++++++==,当且仅当a b =时等号成立,所以222221()1()2()≥≥a b a b a b a b ++++=++当且仅当22()12()a b a b +=+时取等号,所以当342a b -==时,2221()a b a b +++5．（2020·全国高一课时练习）（1）已知0x >,求()123f x x x=+的最小值;（2）已知3x <,求()43f x x x =+-的最大值. 【正确答案】（1）12;（2）1-. 【详细解析】（1）0x ,()12312f x x x ∴=+≥=, 当且仅当1232x x x=⇒=时取等号; 所以()f x 的最小值为12; （2）330x x <⇒->,()4433333133f x x x x x ⎛⎫=+-+=-+-+≤-=- ⎪--⎝⎭, 当且仅当4313x x x=-⇒=-时取等号,所以()f x 的最大值为1-. 5．（2020·全国高三课时练习（理））设0,0,25x y x y >>+=,______.【正确答案】【详细解析】(1)(2xxy +=0,0,25,0,x y x y xy >>+=>∴≥=当且仅当3xy =,即3,1x y ==时成立,故所求的最小值为 【题组二 条件型】1．（2019·云南弥勒市一中高一期末）若0,0a b >>,且1a b +=,则11a b+的最小值为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5【正确答案】C【详细解析】因为1a b +=,所以()11112b aa b a b a b a b⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭.因为0,0a b >>,所以0b a >,0ab>. 所以2b a b aa b a b +=≥,当且仅当b a a b =,即12a b ==时等号成立. 所以11222=4b a a b a b +=+++≥,即11a b+的最小值为4. 2．（2020·上海高一开学考试）正实数,x y 满足:21x y +=,则21x y+的最小值为_____. 【正确答案】9【详细解析】()21212225559y x x y x y x y x y +=++=++⎛⎫≥++ ⎝⎭=⎪,当且仅当13x y == 时取等号．故正确答案为:9．3．（2020·全国高一）已知不等式(x +my)(1x +1y )≥9对任意正实数x ,y 恒成立,则正实数m 的最小值是( ) A ．2B ．4C ．6D ．8【正确答案】B【详细解析】不等式(x +my)(1x +1y )≥9对任意的正实数x ,y 恒成立, 则xy +my x +1+m ≥9对任意的正实数x ,y 恒成立,又x y +my x≥2√m ,∴2√m +1+m ≥9,解得√m ≥2或√m ≤−4(不合题意,舍去),∴m ≥4,即正实数m 的最小值是4．故选:B ． 4．（2020·全国高三课时练习（理））已知0,0a b >>,且1ab =,则11822a b a b+++的最小值为_________． 【正确答案】4 【详细解析】0,0,0a b a b >>∴+>,1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b∴++=++++842a b a b +=+≥=+,当且仅当a b +=4时取等号,结合1ab =,解得22a b ==+,或22a b =+=-,等号成立. 故正确答案为:45．（2020·甘肃城关.兰州一中高三二模（文））设m ,n 为正数,且2m n +=,则1312n m n ++++的最小值为__________. 【正确答案】95【详细解析】令1,2a m b n =+=+,则5a b +=,且13a <<,24b <<, 又1311112n m n a b++=++++, 而()()114222551151115b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++≥+= ⎪⎛⎫+=⨯+⎝⨯ ⎪⎝⎭⎭, 当且仅当52a b ==时等号成立, 故1312n m n ++++的最小值为95. 故正确答案为:95.【题组三 配凑型】1．（2019·湖南高新技术产业园区 衡阳市一中高二开学考试）已知x≥52,则f （x ）＝24524x x x -+-有（ ）A ．最小值1B ．最大值54C ．最小值54D ．最大值1【正确答案】A【详细解析】()()()2221451111212422222x x x f x x x x x -+-+⎡⎤==⨯=-+≥⨯=⎢⎥---⎣⎦,当且仅当122x x -=-即3x =时等号成立 2．（2020·天津和平.高三三模（理））已知0x >,1y >-,且1x y +=,则2231x y x y +++最小值为__________．【正确答案】2+【详细解析】22331111x y x y x y x y ⎛⎫+⎛⎫+=++-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭, 结合1x y +=可知原式311x y =++,且()()13131311411221x y y x x y x y x y +++⎡⎤⎛⎫+=+⨯=++⎢⎥ ⎪+++⎝⎭⎣⎦1422⎡≥+=⎢⎢⎣当且仅当32x y ==-+.即2231x y xy +++最小值为2+. 3．（2020·上海高一开学考试）函数()2436x x f x x ++=-的值域为__________．【正确答案】(),161667,⎡-∞-++∞⎣【详细解析】设21663636,6,()16t t x t x t g t t t t++-==+==++,当0t >时,()16g t ≥,当且仅当6t x ==时等号成立;同理当0t <时,()16gt ≤-,当且仅当6t x =-=-时等号成立; 所以函数的值域为(),161667,⎡-∞-++∞⎣.故正确答案为: (),161667,⎡-∞-++∞⎣. 4（2019·江苏东海.高二期中）函数()()2411x x f x x x -+=>-的最小值为______.【正确答案】5【详细解析】()()()()221144411111x x x x f x x x x x -+-+-+===-++---. 1x >,10x ∴->,()4141x x ∴-+≥=-（当且仅当411x x -=-,即3x =时取等号）,()min 415f x ∴=+=.故正确答案为:5. 【题组四 换元法】1．（2020·荆州市北门中学高一期末）若实数,x y 满足0xy >,则的最大值为（ ）A．2B．2+C．4+D．4-【正确答案】D【详细解析】由实数,x y 满足0xy >,,设{2m x y n x y=+=+,解得2{x m ny n m =-=-,则2222224()424222x y m n n m n m n mx y x y m n m n m n--+=+=-+≤-⋅=-++,当且仅当2n m m n =,及2n m =时等号成立,所以的最大值为422-,故选D.2．（2020·浙江高三月考）已知x 、y 为正实数,满足427x y xy ++=,则2x y +的最小值为______. 【正确答案】3【详细解析】由427x y xy ++=可得出()92217492212121x x y x x x -+-===-+++, 由于x 、y 为正实数,则074021x xy x >⎧⎪-⎨=>⎪+⎩,可得704x <<, ()99222213332121x y x x x x ∴+=+-=++-≥=++, 当且仅当92121x x +=+时,即当1x =时,等号成立, 因此,2x y +的最小值为3. 故正确答案为:3.3．（2019·浙江衢州.高二期中）若正实数x ,y 满足2210y xy +-=,则2x y +的最小值为______.【详细解析】由2210y xy +-=可得212y x y-=21111322222222y y y y y y y y x y -+=-+=+≥==+当且仅当3y =时,等号成立.则2x y +故正确答案为【题组五 求参数】1．（2019·山东济宁.高一月考）设()11,,x y R x y a x y +⎛⎫∈++≥⎪⎝⎭恒成立,则实数a 的最大值为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．16【正确答案】B【详细解析】由于()11224x y x y x y y x ⎛⎫++=++≥+=⎪⎝⎭,当且仅当1x y ==时等号成立,而()11,,x y R x y a x y +⎛⎫∈++≥ ⎪⎝⎭恒成立,故4a ≤,也即a 的最大值为4.故选B.2．（2020·全国高一）已知0,0a b >>,若不等式212na b a b+≥+恒成立,则n 的最大值为（ ）A ．9B ．12C ．16D ．20【正确答案】A 【详细解析】因为0,0a b >>,所以20a b +>,22121((2))a b n n a b a b a b+≥⇒++≥+,2212()552)(9b a b b a a a b +=++≥+=+（当且仅当a b =时,取等号）,要想不等式212n a b a b+≥+恒成立,只需9n ≤,即n 的最大值为9,故本题选A. 3（2020·黑龙江建华.齐齐哈尔市实验中学高一期中）若两个正实数,x y 满足211x y+=,且222x y m m +>+恒成立,则实数m 的取值范围是（ ） A ．()[),24,-∞-+∞ B ．()[),42,-∞-+∞ C ．()2,4- D ．()4,2-【正确答案】D【详细解析】由基本不等式得()21422448y x x y x y x y x y⎛⎫+=++=++≥=⎪⎝⎭,当且仅当4y xx y=,由于0x >,0y >,即当2x y =时,等号成立, 所以,2x y +的最小值为8,由题意可得228m m +<,即2280m m +-<, 解得42m -<<,因此,实数m 的取值范围是()4,2-,故选D. 4．（2020·全国高三课时练习（理））已知关于x 的不等式227x x a+≥-在(,)x a ∈+∞上恒成立,则实数a 的最小值为 （ ） A ．1B ．52C ．2D ．32【正确答案】D【详细解析】设2()2f x x x a=+-,,0x a x a >∴->,227x x a+≥-在(,)x a ∈+∞上恒成立,需min ()7f x ≥, 22()22()222242f x x x a a a a x a x a=+=-++≥⨯+=+--,当且仅当11x a x a -==-,即1x a =+时等号成立, 3427,2a a ∴+≥≥.故选:D.5．（2020·全国高三课时练习（理））设a 、b 、c 都是正实数,且a 、b 满足191a b+=,则使a b c +≥恒成立的c 的范围是（ ） A ．( 0,8] B ．( 0,10] C ．( 0,12] D ．( 0,16]【正确答案】D【详细解析】∵a 、b 为正实数,191a b+=,∴199()1010b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++≥+ ⎪+⎭=⎝+,当且仅当9b aa b=,即4,12a b ==时等号成立, ∴min 6()1a b =+,要使c a b ≤+恒成立, ∵c 为正实数, ∴016c <≤ . 故选:D.【题组六 实际应用题】1．（2020·全国高一课时练习）（1）用篱笆围一个面积为2100m 的矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时,所用篱笆最短?最短篱笆的长度是多少?（2）用一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时,菜园的面积最大?最大面积是多少?【正确答案】（1）当这个矩形菜园是边长为10m 的正方形时,最短篱笆的长度为40m ;（2）当这个矩形菜园是边长为9m 的正方形时,最大面积是281m .【详细解析】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm 、ym ,篱笆的长度为()2x y m +.（1）由已知得100xy =,由2x y+≥可得20x y +≥=,所以()240x y +≥, 当且仅当10x y ==时,上式等号成立.因此,当这个矩形菜园是边长为10m 的正方形时,所用篱笆最短,最短篱笆的长度为40m ;（2）由已知得()236x y +=,则18x y +=,矩形菜园的面积为2xym .18922x y +≤==,可得81xy ≤, 当且仅当9x y ==时,上式等号成立.因此,当这个矩形菜园是边长为9m 的正方形时,菜园的面积最大,最大面积是281m .2．（2019·南昌.江西师大附中高一期中）为响应国家扩大内需的政策,某厂家拟在2019年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量( 即该厂的年产量)x 万件与年促销费用t( t≥0)万元满足421kx t =-+( k 为常数)．如果不搞促销活动,则该产品的年销量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为6万元,每生产1万件该产品需要再投入12万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍( 产品成本包括固定投入和再投入两部分)．( 1)将该厂家2019年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数; ( 2)该厂家2019年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大?【正确答案】（1）()1827021y t t =-≥+;（2）2019年的年促销费用投入2.5万元时,该厂家利润最大 【详细解析】（1）由题意有141k=-,得3k =故34.21x t =-+∴18912727.5[()]27.521.512122y t t t t =--=-++≤-=++()1827021t t t =--≥+（2）由（1）知:18912727527521512122y t t t t ⎡⎤⎢⎥⎛⎫=--=⋅-++≤⋅-⋅⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥+⎣⎦当且仅当91,122t t =++即25t =⋅时,y 有最大值. 答: 2019年的年促销费用投入2.5万元时,该厂家利润最大.3．（2020·淄博市临淄中学高二期末（文））某工厂修建一个长方体无盖蓄水池,其容积为6400立方米,深度为4米．池底每平方米的造价为120元,池壁每平方米的造价为100元．设池底长方形的长为x 米． （Ⅰ）求底面积,并用含x 的表达式表示池壁面积; （Ⅰ）怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少?【正确答案】（Ⅰ）见详细解析;（Ⅰ）池底设计为边长40米的正方形时,总造价最低,其值为256000元. 【详细解析】（Ⅰ）设水池的底面积为S 1,池壁面积为S 2, 则有S 1=64004=1600 ( 平方米)．池底长方形宽为1600x米,则S 2＝8x ＋8×1600x＝8( x ＋1600x)．（Ⅰ）设总造价为y ,则 y ＝120×1 600＋100×8(x ＋1600x)≥192000＋64000＝256000．当且仅当x ＝1600x,即x ＝40时取等号．所以x ＝40时,总造价最低为256000元．答:当池底设计为边长40米的正方形时,总造价最低,其值为256000元．4．（2020·全国高一课时练习）用篱笆围一个面积为2100m 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短,最短的篱笆是多少?【正确答案】矩形的长、宽都为10m 时,所用篱笆最短,最短篱笆为40m .【详细解析】设矩形菜园的长为m x ,宽为m y ,则100xy =,篱笆的长为()2x y m +.由基本不等式可得()2240x y +≥⨯=,当且仅当10x y ==时,等号成立,因此,这个矩形的长、宽都为10m 时,所用篱笆最短,最短篱笆为40m .5．（2020·山东济宁.高一月考）经观测,某公路段在某时段内的车流量y ( 千辆/小时)与汽车的平均速度v ( 千米/小时)之间有函数关系:()2920031600=>++v y v v v ． ( 1)在该时段内,当汽车的平均速度v 为多少时车流量y 最大?最大车流量为多少?( 精确到0.01) ( 2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时,则汽车的平均速度应控制在什么范围内?【正确答案】（1）平均速度40v =时,y 最大为11.08; （2）平均速度应控制在25/km h 到64/km h 范围内.【详细解析】（1）292031600v y v v =++92016003v v=++,160080v v +≥=,92092011.0816008033y v v∴=≤≈+++ 当且仅当1600v v=,即40v =时,等号成立, ∴平均速度40v =时,y 最大,最大为11.08．（2）由29201031600v v v ≥++,28916000v v ∴-+≤,()()64250v v ∴--≤． 2564v ∴≤≤,∴平均速度应控制在25/km h 到64/km h 范围内．。
高考数学压轴专题人教版备战高考《不等式》知识点总复习附答案
高中数学《不等式》知识点归纳(1)一、选择题1．已知点()2,1A ，O 是坐标原点，点(), P x y 的坐标满足：202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，设z OP OA =⋅u u u r u u u r，则z 的最大值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，转化目标函数的解析式，利用目标函数的最大值，判断最优解，代入约束条件求解即可. 【详解】解：由不等式组202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩可知它的可行域如下图：Q ()2,1A ，(), P x y∴2z OP OA x y =⋅=+u u u r u u u r，可图知当目标函数图象经过点()1,2B 时，z 取最大值，即24z x y =+=.故选：C. 【点睛】本题考查线性规划的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用，属于中档题.2．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（ ） A ．[1,)-+∞ B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-【答案】A 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a 的范围即可． 【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y =+的最大值为26a +，所以z ax y =+在点(2,6)A 处取得最大值，则1a -≤，即1a ≥-.故选：A【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．3．若，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】 【分析】 【详解】试题分析：用特殊值法，令，，得，选项A 错误，，选项B 错误，，选项D 错误，因为选项C 正确，故选C ． 【考点】指数函数与对数函数的性质 【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.4．若实数x ，y 满足40,30,0,x y x y y --≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则2x y y +=的最大值为（ ）A ．512B ．8C ．256D ．64【答案】C 【解析】 【分析】作出可行域，如下图阴影部分所示，令x y m +=，可知要使2m z =取到最大值，只需m 取到最大值即可，根据图像平移得到答案. 【详解】作出可行域，如下图阴影部分所示，令x y m +=，可知要使2m z =取到最大值，只需m 取到最大值即可， 观察图像可知，当直线x y m +=过点()6,2A 时m 取到最大值8， 故2x yy +=的最大值为256.故选：C ．【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.5．已知实数x 、y 满足约束条件103300x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．1-B ．2C ．7D ．8【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点C 时，z 取得最大值.【详解】解：作出约束条件表示的可行域是以(1,0),(1,0),(2,3)-为顶点的三角形及其内部，如下图表示：当目标函数经过点()2,3C 时，z 取得最大值，最大值为7.故选：C. 【点睛】本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属于中档题.6．已知函数24,0()(2)1,0x x f x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+-≤⎩，若方程()20f x m -=恰有三个不同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(2,)+∞B ．(4,)+∞C ．(2,4)D ．(3,4)【答案】A 【解析】 【分析】画出函数()f x 的图象,再根据基本不等式求解4y x x=+的最小值,数形结合求解即可. 【详解】画出函数()f x 的图象,如图所示.当0x >时,4()4f x x x=+….设()2g x m =,则方程()20f x m -=恰有三个不同的实数根,即()f x 和()2g x m =的图象有三个交点.由图象可知,24m >,即2m >,故实数m 的取值范围是(2,)+∞.故选：A 【点睛】本题考查分段函数的性质和图象以及函数的零点,考查数形结合以及化归转化思想.7．已知直线22+=mx ny ()0,0m n >>过圆()()22125x y -+-=的圆心，则11m n+的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D 【解析】 【分析】圆心坐标为(1,2)，代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值． 【详解】圆22(1)(2)5x y -+-=的圆心为(1,2)，由题意可得222m n +=，即1m n +=，m ，0n >，则1111()()24n m m n m n m n m n +=++=++…，当且仅当n mm n =且1m n +=即12m n ==时取等号， 故选：D ． 【点睛】本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，考查运算能力，属于基础题．8．已知ABC V 外接圆的半径2R =，且223sin 2AA =.则ABC V 周长的取值范围为（ ） A ．(23,4]B ．(4,43]C ．(43,423]+D ．(423,63]+【答案】C 【解析】 【分析】由223cossin 2A A =及倍角公式可得23A π=，2sin 23a R A ==，再由余弦定理可得2212b c bc =++，再利用基本不等式及三角形两边之和大于第三边求出b c +的取值范围即可得到答案. 【详解】 由题意，232cos 1sin 12A A -=-，即3cos sin 1A A -=-，可化为 23sin 33A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即3sin 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0A π<<，所以33A ππ-=， 即23A π=，2sin 23a R A ==，设ABC V 的内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，由余弦定理得，2212b c bc =++，因为222b c bc +≥（当且仅当b c =时取“=”），所以22123b c bc bc =++≥，即4bc ≤，又因为22212()b c bc b c bc =++=+-，所以2()124bc b c =+-≤，故4b c +≤，则423a b c ++≤+，又因为b c a +>，所以 243a b c a ++>=，即43423a b c <+++≤.故ABC V 周长的取值范围为 (43,423]+.故选：C 【点睛】本题考查利用余弦定理求三角形周长的取值范围，涉及到辅助角公式、基本不等式求最值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.9．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点， 则的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出3a =，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值. 详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：则(,),(,)A a a B a a -，所以平面区域的面积1292S a a =⋅⋅=， 解得3a =，此时(3,3),(3,3)A B -，由图可得当2z x y =+过点(3,3)A 时，2z x y =+取得最大值9，故选C.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.10．在区间[]0,1内随机取两个数m ､n ，则关于x 的方程20x nx m +=有实数根的概率为（ ） A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】A 【解析】 【分析】根据方程有实根可得到约束条件，根据不等式组表示的平面区域和几何概型概率公式可求得结果. 【详解】若方程20x nx m +=有实数根，则40n m ∆=-≥.如图，400101n m m n -≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域与正方形0101m n ≤≤⎧⎨≤≤⎩的面积之比即为所求的概率，即111124118S P S ⨯⨯===⨯阴影正方形.故选：A . 【点睛】本题考查几何概型中面积型概率问题的求解，涉及到线性规划表示的平面区域面积的求解，关键是能够根据方程有实根确定约束条件.11．函数log (3)1a y x =-+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny +-=上，其中·0m n >，则41m n+的最小值为（） A ．16 B ．24C ．50D ．25【答案】D 【解析】 【分析】由题A （4，1），点A 在直线上得4m+n ＝1，用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值． 【详解】令x ﹣3＝1，解得x ＝4，y ＝1，则函数y ＝log a （x ﹣3）+1（a ＞0且a≠1）的图象恒过定点A （4，1）， ∴4m+n ＝1， ∴41m n +=（41m n +）（4m+n ）＝16+14n 4m m n++ 4n 4mm n⋅=17+8＝25，当且仅当m ＝n 15=时取等号，故则41m n +的最小值为25， 故选D ． 【点睛】本题考查均值不等式，在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握．12．已知M 、N 是不等式组1,1,10,6x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+≤⎩所表示的平面区域内的两个不同的点，则||MN 的最大值是（ ）A ．17B ．342C ．32D ．172【答案】A 【解析】 【分析】先作可行域，再根据图象确定MN 的最大值取法，并求结果. 【详解】作可行域，为图中四边形ABCD 及其内部，由图象得A(1,1),B(2,1),C(3.5,2.5),D(1,5)四点共圆，BD 为直径，所以MN 的最大值为BD=21417+=,选A.【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.13．已知直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（ ）A ．12k >B ．16k <-或12k > C ．62k -<< D ．1162k -<< 【答案】D 【解析】【分析】联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，可解得交点坐标(,)x y ，由于直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，可得00x y >⎧⎨>⎩，解得即可． 【详解】解：联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得24216121k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， Q 直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限， ∴2402161021kk k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩，解得：1162k -<<．故选：D ． 【点睛】本题考查两直线的交点和分式不等式的解法，以及点所在象限的特征．14．若函数()sin 2x x f x e e x -=-+，则满足2(21)()0f x f x -+>的x 的取值范围为（ ） A ．1(1,)2- B ．1(,1)(,)2-∞-+∞U C ．1(,1)2-D ．1(,)(1,)2-∞-⋃+∞【答案】B 【解析】 【分析】判断函数()f x 为定义域R 上的奇函数，且为增函数，再把()()2210f x f x -+>化为221x x ->-，求出解集即可．【详解】解：函数()sin2xxf x e ex -=-+，定义域为R ，且满足()()sin 2xx f x ee x --=-+- ()()sin2x x e e xf x -=--+=-，∴()f x 为R 上的奇函数；又()'2cos222cos20x x f x e e x x x -=++≥+≥恒成立，∴()f x 为R 上的单调增函数；又()()2210f x f x -+>， 得()()()221f x f x f x ->-=-，∴221x x ->-，即2210x x +->，解得1x <-或12x >， 所以x 的取值范围是()1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭． 故选B ．【点睛】本题考查了利用定义判断函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性问题，考查了基本不等式，是中档题．15．已知实数x y ，满足1030350x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则()22(4)2z x y =-+-的最小值为（ ） AB ．5C ．3D ．52【答案】D【解析】【分析】由题意作出其平面区域，22(4)(2)z x y =-+-可看成阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方，求阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方最小值即可．【详解】 解：由题意作出实数x ，y 满足1030350x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩……„平面区域， 22(4)(2)z x y =-+-可看成阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方，则22(4)(2)z x y =-+-的最小值为P 到350x y --=的距离的平方，解得，2252d ⎛⎫==； 所以min 52z =【点睛】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，用到了表达式的几何意义的转化，属于中档题．16．已知函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =，则22a b a b+-的最小值等于（ ）． A 5B ．3C ．23 D ．22【答案】D【解析】 试题分析：因为函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =所以lg lg a b =- 所以1a b=，即1ab =，0a b >> 22a b a b+-22()2()22()a b ab a b a b a b a b a b -+-+===-+---2()22a b a b ≥-⨯=- 当且仅当2a b a b-=-，即2a b -=时等号成立 所以22a b a b+-的最下值为2故答案选D考点：基本不等式．17．设集合{}20,201x M xN x x x x ⎧⎫=≤=-<⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂为（ ） A ．{}01x x ≤< B ．{}01x x << C ．{}02x x ≤< D ．{}02x x <<【解析】【分析】 根据分式不等式和一元二次不等式的解法，求得集合{01},{|02}M x x N x x =≤<=<<，再结合集合交集的运算，即可求解.【详解】 由题意，集合{}20{01},20{|02}1x M x x x N x x x x x x ⎧⎫=≤=≤<=-<=<<⎨⎬-⎩⎭， 所以{}01M N x x ⋂=<<.故选：B .【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中结合分式不等式和一元二次不等式的解法，准确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了计算能力.18．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是A ．3B ．4C ．92D ．112 【答案】B【解析】【详解】 解析：考察均值不等式2228(2)82x y x y x y +⎛⎫+=-⋅≥- ⎪⎝⎭，整理得2(2)4(2)320x y x y +++-≥即(24)(28)0x y x y +-++≥，又x+2 y>0，24x y ∴+≥19．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3C π<”，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项.【详解】充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-，所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-， 整理得，2212cos a b C ab++>，由基本不等式，222a b ab +≥=， 当且仅当a b =时等号成立，此时，12cos 2C +>，即1cos 2C >，解得3C π<， 充分性得证；必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291cos 247562C +-==>⨯⨯， 故3C π<，但228ab c =<，故3C π<推不出2ab c >.故必要性不成立；故p 是q 的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.20．已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断.【详解】22x y +≥Q 且224x y +≤ ，422x y ∴≤≤⇒+≤ ，等号成立的条件是x y =，又x y +≥Q ，0,0x y >>21xy ∴≤⇒≤ ，等号成立的条件是x y =,2241x y xy ∴+≤⇒≤， 反过来，当12,3x y ==时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立，xy≤”的充分不必要条件.∴“224x y+≤”是“1故选:C【点睛】本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型.。
人教版高中数学必修一精品讲义2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(精炼)(解析版)
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式【题组一 解无参数的一元二次不等式】 解下列不等式:（1）2340x x -->; （2）2 120x x --≤; （3）2340x x +->; （4）2 1680x x -+≤． （5）12-x 2＋3x －5＞0 （6）－2x 2＋3x －2＜0; （7）－2＜x 2－3x ≤10．【正确答案】（1）{|1x x <-或4}3x >;（2）{|34}x x -≤≤;（3）{|4x x <-或1}x >; （4）{|4}x x =.( 5)∅( 6)R( 7)[－2,1)∪( 2,5]【详细解析】（1）由题意,不等式234(1)(34)0x x x x --=+->,则不等式的解集为{|1x x <-或4}3x >;（2）由题意,不等式212(4)(3)0x x x x --=-+≤,则不等式的解集为{|34}x x -≤≤; （3）由题意,不等式234(4)(1)0x x x x +-=+->,则不等式的解集为{|4x x <-或1}x >; （4）由题意,不等式22(468) 10x x x =--+≤,则不等式的解集为{|4}x x =;（5）原不等式可化为x 2－6x ＋10＜0,Δ＝( －6)2－40＝－4＜0,所以方程x 2－6x ＋10＝0无实根,又二次函数y ＝x 2－6x ＋10的图象开口向上,所以原不等式的解集为∅（6）原不等式可化为2x 2－3x ＋2＞0,因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0,所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根,又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图象开口向上,所以原不等式的解集为R（7）原不等式等价于2232310x x x x ⎧->-⎪⎨-≤⎪⎩①②,①可化为x 2－3x ＋2＞0,解得x ＞2或x ＜1 ②可化为x 2－3x －10≤0,解得－2≤x ≤5．故原不等式的解集为[－2,1)∪( 2,5] 【题组二 解有参数的一元二次不等式】1．（2020·安徽金安 六安一中高一期中（理））设函数2()(1)1f x mx m x =-++．（1）若对任意的x ∈R ,均有()0f x m +≥成立,求实数m 的取值范围; （2）若0m >,解关于x 的不等式()0f x <． 【正确答案】（1）13m ≥;（2）正确答案见详细解析． 【详细解析】（1）由题意得,()0f x m +≥对任意的x ∈R 成立,即2(1)10mx m x m -+++≥对任意的x ∈R 成立, ①当0m =时,10x -+≥,显然不符合题意;②当0m ≠时,只需00m >⎧⎨∆≤⎩,即()()21410m m m m >⎧⎪⎨+-+≤⎪⎩, 化简得()()03110m m m >⎧⎨-+≥⎩,解得13m ≥, 综上所述,13m ≥. （2）由()0f x <得2(1)10mx m x -++<,即(1)(1)0x mx --<,①当1m =时,2(10)x -<,解集为∅;②当1m 时,11m <,解集为1,1m ⎛⎫ ⎪⎝⎭; ③当01m <<时,11m >,解集为11,m ⎛⎫⎪⎝⎭． 2．（2020·宁夏兴庆.银川一中高一期末）解关于x 的不等式:()2220ax x ax a -≥-<. 【正确答案】正确答案不唯一,具体见详细解析【详细解析】原不等式移项得()2220ax a x +--≥,即()()120x ax +-≥.∵0a <,∴()210x x a ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭当20a -<<时,21x a≤≤- 当2a =-时,1x =- 当2a <-时,21x a-≤≤ 综上所述:当20a -<<时,解集为21xx a ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭当2a =-时,解集为{}1x x =-当2a <-时,解集为21x x a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭3．（2019·四川仁寿一中高一月考）设m R ∈,解关于x 的不等式22230m x mx +-<． 【正确答案】详见详细解析 【详细解析】①时,恒成立．②0m >时,不等式可化为()()310mx mx +-<,即310x x m m ⎛⎫⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭而31m m -<,此时不等式的解集为31|x x m m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭;③当0m <时,不等式可化为()()310mx mx +-<,即310x x m m ⎛⎫⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭而31m m ->,此时不等式的解集为13|x x mm ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭;4．（2020·上海高三专题练习）解关于x 的不等式:()()2220mx m x m R +-->∈. 【正确答案】见详细解析【详细解析】（1）当0m =时,(),1x ∈-∞-; （2）当0m ≠时,原不等式化为()()210mx x -+>. ①当0m >时,原不等式化为()210x x m ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭.()2,1,x m ⎛⎫∴∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭.②当0m <时,原不等式化为()210x x m ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭. a.当20m -<<时,2,1x m ⎛⎫∈-⎪⎝⎭;b .当2m =-时,x ∈∅;c .当2m <-时,21,x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.综上所述:①当2m <-时,21,x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭; ②当2m =-时,x ∈∅; ③当20m -<<时,2,1x m ⎛⎫∈-⎪⎝⎭;④当0m =时,(),1x ∈-∞-; ⑤当0m >时,.()2,1,x m ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭. 5．（2020·上海高一课时练习）解关于x 的不等式:()2230x a a x a-++>．【正确答案】见详细解析 【详细解析】将不等式()2230x a ax a-++>变形为()()20x a x a -->.当a <0或1a >时,有a < a 2,所以不等式的解集为{|x x a <或2}x a >; 当a =0或1a =时,a = a 2=0,所以不等式的解集为{|,x x R ∈且}x a ≠; 当0< a <1时,有a > a 2,所以不等式的解集为2{|x x a <或}x a >; 6（2020·浙江高一课时练习）解关于x 的不等式:10ax x a->-． 【正确答案】正确答案见详细解析. 【详细解析】当0a =时,不等式化为10x->,解得0x <; 若0a >,则原不等式可化为10a x a x a⎛⎫- ⎪⎝⎭>-,1()()0x a x a-->, 当01a <<时,1a a <,解得x a <或1x a>, 当1a =时,不等式化为2(1)0x ->,解得x ∈R 且1x ≠,当1a >时,1a a>,解得1x a <或x a >;若0a <,则不等式可化为1(0)()x a x a--<当1a <-时,1a a <,解得1a x a<<,当1a =-时,不等式可化为2(1)0x +<,其解集为∅, 当10a -<<时,1a a >,解得1x a a<<． 综上,当1a <-时,不等式的解集为1xa x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣;当1a =-时,不等式的解集为∅;当10a -<<时,不等式的解集为1xx a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣; 当0a =时,不等式的解集为{0}xx <∣; 当01a <<时,不等式的解集为{xx a <∣或1}x a>; 当1a =时,不等式的解集为{xx R ∈∣且1}x ≠; 当1a >时,不等式的解集为{1xx a<∣或}x a >． 7．（2020·上海高一课时练习）解下列含参数的不等式: （1）2220x ax a --<; （2）()2110ax a x -++≤;（3）230x mx m --≤．【正确答案】（1）见详细解析（2）见详细解析（3）见详细解析 【详细解析】（1）原不等式等价于()()20x a x a -+<, 对应方程两根为212,x a x a ==-, 比较两根的大小情况,可得当0a >时,不等式的解集为(),2a a -; 当0a =时,不等式的解集为∅; 当0a <时,不等式的解集为()2,a a -．（2）当0a =时,不等式化为10x -+≤．解得[)1,x ∈+∞．当0a ≠时,方程()2110ax a x -++=的两根为11x =,21x a=． ①0a >时,分情况讨论:01a <<时,11,x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦;1a =时,{}1x ∈;1a >时,1,1x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．②0a <时,[)1,1,x a⎛⎤∈-∞+∞ ⎥⎝⎦．综上,当1a >时,不等式的解集为1,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦; 当1a =时,不等式的解集为{}1; 当01a <<时,不等式的解集为11,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦;当0a =时,不等式的解集为[)1,+∞;当0a <时,不等式的解集为[)1,1,a⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦．（3）()21212m m m m ∆=+=+．①>0∆,即0m >或12m <-时,不等式的解集为⎢⎥⎣⎦;②0∆=,即0m =或12=-m 时, 不等式的解集为6m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭; ③∆<0,即120m -<<时,不等式的解集为∅. 【题组三 三个一元二次的关系】1．（2020·全国高一开学考试）关于x 的不等式230x ax +-<,解集为3,1-（）,则不等式230ax x +-<的解集为（ ）A ．1,2（）B ．1,2-（）C ．1(,1)2-D ．()3,12-【正确答案】D【详细解析】由题,3,1x x =-=是方程230x ax +-=的两根,可得31a -+=-,即2a =, 所以不等式为2230x x +-<,即()()2310x x +-<,所以312x -<<,故选:D2．（2020·全国高一课时练习）若方程()2250x m x m ++++=只有正根,则m 的取值范围是（ ）A ．4m ≤-或4m ≥B ．54m -<≤-C ．54m -≤≤-D ．52m -<<-【正确答案】B【详细解析】方程()2250x m x m ++++=只有正根,则1（）当()()22450m m ∆=+-+=,即4m =±时,当4m =-时,方程为()210x -=时,1x =,符合题意; 当4m =时,方程为()230x +=时,3x =-不符合题意. 故4m =-成立;2（）当()()22450m m ∆=+-+>,解得4m <-或4m >, 则()()()224502050m m m m ⎧∆=+-+>⎪-+>⎨⎪+>⎩,解得54m -<<-. 综上得54m -<≤-. 故选B.3．（2020·全国高一课时练习）已知一元二次不等式20x px q ++<的解集为11|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭,求不等式210qx px ++>的解集 .【正确答案】{|23}x x -<<.【详细解析】由题意,不等式20x px q ++<的解集为11|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭, 所以112x =-与213x =是方程20x px q ++=的两个实数根, 由根与系数的关系得112311()23p q⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩ 解得11,66p q ==- 所以不等式210qx px ++>,即为2111066x x -++>,整理得260x x --<,解得23x -<<即不等式210qx px ++>的解集为{|23}x x -<<.4．（2020·上海高一开学考试）关于x 的方程()2210mx m x m +++=有两个不等的实根,则m 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C ．1,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦D ．()1,00,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【正确答案】D【详细解析】因为关于x 的方程()2210mx m x m +++=有两个不等的实根0m ≠且>0∆,即:()22214410m m m +-=+>且0m ≠,解得14m >-且0m ≠.故选:D. 5．（2019·山东济宁.高一月考）已知0a <,关于x 的一元二次不等式()2220ax a x -++>的解集为（ ） A ．{2|x x a<,或}1x > B ．2|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C ．{|1x x <,或2x a ⎫>⎬⎭D ．2|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【正确答案】B【详细解析】依题意()2220ax a x -++>可化为()()210ax x -->,由于0a <,故不等式的解集为2|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.故选B. 6．（2020·哈尔滨德强学校高一期末）关于x 的不等式220ax bx ++>的解集为{}12x x -<<. （1）求,a b 的值;（2）求关于x 的不等式220bx ax -->的解集． 【正确答案】（1）1,1a b =-=;（2）{}21x x x -或.【详细解析】（1）关于x 的不等式220ax bx ++>的解集为{}12x x -<<, ∴0a <,且﹣1和2是方程220ax bx ++=的两实数根,由根与系数的关系知,12212b aa ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩,解得1,1a b =-=; （2）由（1）知,1,1a b =-=时,不等式220bx ax -->为220(2)(1)012x x x x x x +-=⇒+->⇒><-或, ∴不等式220bx ax -->的解集是{}21x x x -或.7．（2020·荆州市北门中学高一期末）已知关于x 的不等式2260,(0)kx x k k -+<≠（1）若不等式的解集是{}|32x x x <->-或,求k 的值; （2）若不等式的解集是R ,求k 的取值范围; （3）若不等式的解集为∅,求k 的取值范围． 【正确答案】（1）25k =-（2）6k <-（3）6k ≥【详细解析】( 1)∵不等式2260,(0)kx x k k -+<≠的解集是{}|32x x x <->-或,∴k 0<且-3和-2是方程2260kx x k -+=的实数根, 由根与系数的关系,得2(3)(2)k -+-=,所以25k =-; ( 2)不等式的解集是R ,所以24240,0k k ∆=-<<,解得k < ( 3)不等式的解集为∅,得24240,0k k ∆=-≤>,解得6k ≥-8．（2020·全国高一课时练习）已知关于x 的一元二次方程()222110x k x k --+-=有两个不相等的实数根.（1）求k 的取值范围;（2）若该方程的两根分别为12,x x ,且满足12122x x x x +=,求k 的值. 【正确答案】（1）(,1)-∞;（2）0k =.【详细解析】（1）由题意方程()222110x k x k --+-=有两个不相等的实数根,则满足()()2222[21]4148444880k k k k k k ∆=----=-+-+=-+>,解得1k <,即实数k 的取值范围是(,1)-∞; （2）由（1）可知1k <,又由一元二次方程中根与系数的关系,可得()21212211x x k x x k +=-=-,,因为12122x x x x +=,所以()22122k k -=-,整理得2k k =,解得1k =（舍去）或0k =,所以0k =.9（2020·浙江高一课时练习）已知关于x 的不等式2260(0)kx x k k -+<≠． （1）若不等式的解集是{|3x x <-或2}x >-,求k 的值．（2）若不等式的解集是1xx k ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭∣,求k 的值． （3）若不等式的解集是R ,求k 的取值范围． （4）若不等式的解集是∅,求k 的取值范围．【正确答案】（1）25k =-;（2）k =（3）k <;（4）k ≥． 【详细解析】（1）由不等式的解集为{3xx <-∣或2}x >-可知k 0<, 且3x =-与2x =-是方程2260kx x k -+=的两根,2(3)(2)k∴-+-=,解得25k =-．（2）由不等式的解集为1xx k ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭∣可知204240k k <⎧⎨∆=-=⎩,解得k =（3）依题意知20,4240,k k <⎧⎨∆=-<⎩解得6k <-．（4）依题意知20,4240,k k >⎧⎨∆=-≤⎩解得k ≥． 【题组四 一元二次恒成立问题】1．（2020·全国高一课时练习）当()1,3x ∈时,不等式240x mx -+>恒成立,则实数m 的取值范围是_____________． 【正确答案】4m <【详细解析】240x mx -+>,且()1,3x ∈,所以原不等式等价于24x m x+<,不等式恒成立,则24min x m x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭,由2444x x x x +=+≥=,当且仅当()21,3x =∈时,24 4minx x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,所以正确正确答案为4m <．2．（2020·全国高一课时练习）对任意x ∈R ,函数f ( x )＝x 2＋( m －4)x ＋4－2m 的值总为非负,则m 的取值范围为________. 【正确答案】{0}【详细解析】由题意知∆＝( m －4)2－4( 4－2m )= m 2≤0,得m ＝0.故正确答案为:{}0.3．（2020·江西高一期末）对任意实数x ,不等式()22130x k x k ++++>恒成立,则k 的取值范围是______．【正确答案】21k -<<【详细解析】∵()22130x k x k ++++>对任意实数x 恒成立,2x 的系数10>∴()()241430k k ∆=+-+<,解得:21k -<<,∴k 的取值范围是:21k -<<． 故正确答案为:21k -<<．4．（2020·安徽金安.六安一中高一期中（文））若不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立,则k 的取值范围为__________________. 【正确答案】(3,0]- 【详细解析】当0k =时,308-<,满足题意; 当0k ≠时,则00k <⎧⎨∆<⎩,即2034?2?08k k k <⎧⎪⎨+<⎪⎩解得:30k -<<, 综上:30k -<≤. 故正确答案为:(3,0]-.5．（2019·天津河西 高二期中）已知函数()f x =22,x ax a R ++∈.（1）若不等式()0f x ≤的解集为[]1,2,求不等式()21f x x ≥-的解集;（2）若对于任意的[]1,1x ∈-,不等式()()214f x a x ≤-+恒成立,求实数a 的取值范围;（3）已知2()(2)1g x ax a x =+++,若方程()()f x g x =在1,32⎛⎤ ⎥⎝⎦有解,求实数a 的取值范围.【正确答案】（1）{|1x x ≥或1}2x ≤;（2）1|3a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭;（3）{}|01a a ≤<.【详细解析】（1）由220x ax ++≤的解集是[]12，,可得220x ax ++=有2个不等的实根1和2, 由韦达定理1212bx x a a+=-=-=+,可得3a =- 此时()21f x x ≥-等价于22321x x x -+≥-, 即22310x x -+≥,解得1x ≥或12x ≤所以不等式()21f x x ≥-的解集是{|1x x ≥或1}2x ≤; （2）对于任意的[]1,1x ∈-,不等式()()214f x a x ≤-+恒成立, 也即2220x ax a -+-≤ 对任意的[]1,1x ∈-恒成立,因为222y x ax a =-+-二次函数开口向上,最大值在1x =或1x =-处取得,所以只需满足12201220a a a a -+-≤⎧⎨++-≤⎩,解得:113a a ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩,据此可得13a ≤; 综上可得,实数a 的取值范围是:1|3a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭.（3）若方程()()f x g x =在1,32⎛⎤ ⎥⎝⎦有解,可得到()21210a x x -+-=在1,32⎛⎤ ⎥⎝⎦有实数根.参数分离得21211,,32a x x x ⎛⎤-=-∈ ⎥⎝⎦,则11,23x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭, 结合二次函数的性质可得[)2121,0x x-∈-, 所以[)11,0a -∈-,也即01a ≤<.综上可得,实数a 的取值范围是:{}|01a a ≤<.6．（2020·浙江宁波.高一期末）已知集合(){}(][)22310,15,x R x k x k ∈-+-+≥=-∞-⋃+∞．（Ⅰ）求实数k 的值;（Ⅰ）已知(),2t ∈-∞,若不等式()22234150x k x k m m -+--++≥在4t x ≤≤上恒成立,求实数m 的取值范围．【正确答案】（Ⅰ）2;（Ⅰ）[]1,5-. 【详细解析】（Ⅰ）由题意可知,1-和5是方程()22310x k x k -+-+=的两个根,所以由韦达定理得152531k k -+=+⎧⎨-=-+⎩,故实数2k =.（Ⅰ）由2k =,原不等式可化为224940x x m m -+-+≥, 所以22449x x m m -≥--在()42t x t ≤≤<上恒成立, 令()22424y x x x =-=--, 因为()42t x t ≤≤<, 所以min 4y =-,所以不等式恒成立等价于2494m m --≤-,故由2450m m --≤,解得:15m -≤≤,故实数m 的取值范围为:[]1,5-. 【题组五 实际运用题】1．（2019·全国高一课时练习）某小型服装厂生产一种风衣,日销售量x （件）与单价P （元）之间的关系为1602P x =-,生产x 件所需成本为C （元）,其中()50030C x =+元,若要求每天获利不少于1300元,则日销售量x 的取值范围是（ ）. A ．{}2030,N x x x +≤≤∈ B ．{}2045,N x x x +≤≤∈ C ．{}1530,N x x x +≤≤∈ D ．{}1545,N x x x +≤≤∈【正确答案】B【详细解析】设该厂每天获得的利润为y 元,则()()21602500302130500y x x x x x =-⋅-+=-+-,080x <<,N x +∈,根据题意,可得221305001300x x -+-≥,解得2045x ≤≤,故当2045x ≤≤,且N x +∈时,每天获得的利润不利于1300元.故选B.2．（2019·辽宁沙河口 辽师大附中高三月考（文））某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润,已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为( ) A ．12元 B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间【正确答案】C【详细解析】设销售价定为每件x 元,利润为y 则(8)[10010(10)]y x x =---依题意,得(8)[10010(10)]320x x ---> 即2281920x x -+<,解得1216x << 所以每件销售价应定为12元到16元之间 故选:C3．（2020·沙坪坝 重庆八中高一期中）经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量y （千辆/小时）与汽车的平均速度v （千米/小时）之间的函数关系为:27002900vy v v =++（0v >）.（1）在该时段内,当汽车的平均速度为多少时,车流量最大?最大车流量为多少?（保留分数形式）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时,则汽车的平均速度应在什么范用内? 【正确答案】（1）当30km /h v =时,车流量最大,最大车流量约为35031千辆/时;（2）汽车的平均速度应大于18km /h 且小于50km /h .【详细解析】（1）依题得2700700700350900290062312vy v v v v ==≤==++⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 当且仅当900v v=,即30v =时,上时等号成立, max 35031y ∴=（千辆/时）. ∴当30km /h v =时,车流量最大,最大车流量约为35031千辆/时; （2）由条件得2700102900vv v >++,因为229000v v ++>, 所以整理得2689000v v -+<,即()()18500v v --<,解得1850v <<.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时,则汽车的平均速度应大于18km /h 且小于50km /h .4．（2020·江西省崇义中学高一开学考试（文））某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为12万元/辆,年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为（01x <<）,则出厂价相应地提高比例为,同时预计年销售量增加的比例为,已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量． （1）写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式;（2）为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比应在什么范围内?【正确答案】（1）26000200020000y x x =-++,(01)x <<;（2）1(0,)3．【详细解析】（1）由题意得:[12(10.75)10(1)]10000(10.6)y x x x =+-+⨯⨯+,(01)x <<,整理得:26000200020000y x x =-++,(01)x <<（2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加,必须(1210)100000y --⨯>,(01)x << 即2600020000x x -+>,(01)x <<． 解得103x <<,所以投入成本增加的比例应在1(0,)3范围内．。
高考理科数学(人教版)一轮复习讲义：第七章 第三节 基本不等式 Word版含答案
第三节基本不等式1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)． 注：(1)此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.(2)连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)当a ≥0，b ≥0时，a ＋b2≥ab .( ) (2)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的．( ) (3)x ＞0且y ＞0是x y ＋yx ≥2的充要条件．( ) (4)函数f (x )＝cos x ＋4cos x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值等于4.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×二、选填题1．设x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82答案：C2．设0＜a ＜b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b2 B ．a ＜ab ＜a ＋b2＜b C ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b2D.ab ＜a ＜a ＋b2＜b 解析：选B 因为0＜a ＜b ，所以a －ab ＝a (a －b )＜0，故a ＜ab ；b －a ＋b 2＝b －a2＞0，故b ＞a ＋b 2；由基本不等式知a ＋b 2＞ab ，综上所述，a ＜ab ＜a ＋b2＜b ，故选B. 3．函数f (x )＝x ＋1x 的值域为( )A ．[－2,2]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．R 解析：选C 当x ＞0时，x ＋1x ≥2 x ·1x ＝2.当x ＜0时，－x ＞0. －x ＋1－x ≥2(－x )·1(－x )＝2.所以x ＋1x≤－2.所以f (x )＝x ＋1x 的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．4．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________． 答案：2 2 5．若x ＞1，则x ＋4x －1的最小值为________． 解析：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5. 当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立． 答案：5考点一 利用基本不等式求最值[全析考法过关](一) 拼凑法——利用基本不等式求最值[例1] (1)已知0＜x ＜1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． (2)已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．(3)函数y ＝x 2＋2x －1(x ＞1)的最小值为________．[解析] (1)x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎡⎦⎤3x ＋(4－3x )22＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．故所求x 的值为23.(2)因为x ＜54，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x，即x＝1时，取等号．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. (3)y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，取等号． [答案] (1)23 (2)1 (3)23＋2[解题技法]通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．(二) 常数代换法——利用基本不等式求最值[例2] 已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为________． [解析] 因为a ＋b ＝1，所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥2＋2 b a ·a b ＝2＋2＝4.当且仅当a ＝b ＝12时，取等号．[答案] 4 [变式发散]1．(变条件)将条件“a ＋b ＝1”改为“a ＋2b ＝3”，则1a ＋1b 的最小值为________．解析：因为a ＋2b ＝3，所以13a ＋23b ＝1.所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ⎝⎛⎭⎫13a ＋23b ＝13＋23＋a 3b ＋2b3a≥1＋2 a 3b ·2b 3a＝1＋223.当且仅当a ＝2b 时，取等号．答案：1＋2232．(变设问)保持本例条件不变，则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________． 解析：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1＋a ＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋a ＋b b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当a ＝b ＝12时，取等号． 答案：9[解题技法]通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； (4)利用基本不等式求解最值． (三) 消元法——利用基本不等式求最值[例3] 已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． [解析] 法一(换元消元法)：由已知得x ＋3y ＝9－xy ， 因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0.令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6. 法二(代入消元法)：由x ＋3y ＋xy ＝9，得x ＝9－3y 1＋y，所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝9－3y ＋3y (1＋y )1＋y＝9＋3y 21＋y ＝3(1＋y )2－6(1＋y )＋121＋y ＝3(1＋y )＋121＋y－6≥23(1＋y )·121＋y－6＝12－6＝6.即x ＋3y 的最小值为6. [答案] 6 [解题技法]通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．(四) 利用两次基本不等式求最值 [例4] 已知a ＞b ＞0，那么a 2＋1b (a －b )的最小值为________．[解析] 由a ＞b ＞0，得a －b ＞0， ∴b (a －b )≤⎝⎛⎭⎫b ＋a －b 22＝a24. ∴a 2＋1b (a －b )≥a 2＋4a 2≥2a 2·4a2＝4， 当且仅当b ＝a －b 且a 2＝4a 2，即a ＝2，b ＝22时取等号．∴a 2＋1b (a －b )的最小值为4.[答案] 4 [解题技法]两次利用基本不等式求最值的注意点当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性．[过关训练]1．(2019·常州调研)若实数x 满足x ＞－4，则函数f (x )＝x ＋9x ＋4的最小值为________．解析：∵x ＞－4，∴x ＋4＞0， ∴f (x )＝x ＋9x ＋4＝x ＋4＋9x ＋4－4≥2(x ＋4)·9x ＋4－4＝2，当且仅当x ＋4＝9x ＋4，即x ＝－1时取等号． 故函数f (x )＝x ＋9x ＋4的最小值为2. 答案：22．若正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，则x ＋2y 的最小值是________． 解析：因为正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0， 所以y ＝1－x 26x.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，1－x 26x＞0解得0＜x ＜1.所以x ＋2y ＝x ＋1－x 23x ＝2x 3＋13x≥22x 3·13x ＝223， 当且仅当2x 3＝13x ，即x ＝22，y ＝212时取等号．故x ＋2y 的最小值为223.答案：223考点二 利用基本不等式解决实际问题[师生共研过关][典例精析]某厂家拟定在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2019年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？ [解] (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)， 所以1＝3－k ⇒k ＝2，所以x ＝3－2m ＋1，每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx (元)， 所以2019年的利润y ＝1.5x ×8＋16xx －8－16x －m＝－⎣⎡⎦⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0)．(2)因为m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， 所以y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)．故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．[解题技法]利用基本不等式解决实际问题的3个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．[过关训练]1．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2. 解析：设一边长为x m ，则另一边长可表示为(10－x )m ，由题知0＜x ＜10，则面积S ＝x (10－x )≤⎝⎛⎭⎫x ＋10－x 22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时等号成立，故当矩形的长与宽相等，且都为5 m 时面积取到最大值25 m 2.答案：252．(2019·孝感模拟)经测算，某型号汽车在匀速行驶的过程中每小时耗油量y (L)与速度x (km/h)(50≤x ≤120)的关系可近似表示为y ＝⎩⎨⎧175(x 2－130x ＋4 900)，x ∈[50，80)，12－x60，x ∈[80，120].(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？(2)已知A ，B 两地相距120 km ，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？解：(1)当x ∈[50,80)时，y ＝175(x 2－130x ＋4 900)＝175[(x －65)2＋675]，当x ＝65时，y 有最小值，为175×675＝9，当x ∈[80,120]时，函数y ＝12－x 60单调递减，故当x ＝120时，y 有最小值，为10，因为9＜10，所以该型号汽车的速度为65 km/h 时，每小时耗油量最低．(2)设总耗油量为l ，由题意可知l ＝y ·120x ，当x ∈[50,80)时，l ＝y ·120x ＝85⎝⎛⎭⎫x ＋4 900x －130≥85⎝⎛⎭⎫2x ×4 900x －130＝16，当且仅当x ＝4 900x ，即x ＝70时，l 取得最小值，最小值为16.当x ∈[80,120]时，l ＝y ·120x ＝1 440x －2为减函数，故当x ＝120时，l 取得最小值，最小值为10，因为10＜16，所以当速度为120 km/h 时，总耗油量最少．考点三 基本不等式的综合应用[师生共研过关][典例精析](1)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ＞0，c ＞0)经过圆C ：x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．2(2)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是________．[解析] (1)把圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程为x 2＋(y －1)2＝6，所以圆心为C (0,1)． 因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1.又b ＞0，c ＞0， 因此4b ＋1c ＝(b ＋c )⎝⎛⎭⎫4b ＋1c ＝4c b ＋b c ＋5≥2 4c b ·b c ＋5＝9.当且仅当b ＝2c ，且b ＋c ＝1， 即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c 取得最小值9.(2)由题意a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n (1＋n )2， 所以S n ＋8a n ＝n (1＋n )2＋8n ＝12⎝⎛⎭⎫n ＋16n ＋1≥12⎝⎛⎭⎫2 n ·16n ＋1＝92， 当且仅当n ＝4时取等号． 所以S n ＋8a n 的最小值是92.[答案] (1)A (2)92[解题技法]利用基本不等式解题的策略(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．[过关训练]1．已知函数f (x )＝x ＋ax ＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是( )A.12 B.32 C ．1D ．2解析：选C 由题意可得a ＞0， ①当x ＞0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≥2a ＋2， 当且仅当x ＝a 时取等号；②当x ＜0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≤－2a ＋2， 当且仅当x ＝－a 时取等号，所以⎩⎨⎧2－2a ＝0，2a ＋2＝4，解得a ＝1，故选C.2．已知向量a ＝(m,1)，b ＝(4－n,2)，m ＞0，n ＞0，若a ∥b ，则1m ＋8n 的最小值为________．解析：∵a ∥b ，∴4－n －2m ＝0，即2m ＋n ＝4.∵m ＞0，n ＞0，∴1m ＋8n ＝14(n ＋2m )⎝⎛⎭⎫1m ＋8n ＝14×⎝⎛⎭⎫10＋n m ＋16m n ≥14×⎝⎛⎭⎫10＋2 n m ·16m n ＝92，当且仅当4m ＝n ＝83时取等号．∴1m ＋8n 的最小值是92.答案：92。
不等式讲义知识点详解+例题+习题(含详细答案)(最新整理)
不等式讲义最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|a ＋b |≤|a |＋|b |(a ，b ∈R )．(2)|a －b |≤|a －c |＋|c －b |(a ，b ∈R ).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c ，|x －c |＋|x －b |≥a .3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．1．含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ；(2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.问题探究：不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |中，“＝”成立的条件分别是什么？提示：不等式|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，右侧“＝”成立的条件是ab ≥0，左侧“＝”成立的条件是ab ≤0且|a |≥|b |；不等式|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |，右侧“＝”成立的条件是ab ≤0，左侧“＝”成立的条件是ab ≥0且|a |≥|b |.3．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a 、b 为正数，则≥，当且仅当a ＝b 时，等号成立．a ＋b 2ab 定理3：如果a 、b 、c 为正数，则≥，当且仅当a ＝b ＝c 时，a ＋b ＋c 33abc 等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则≥，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．a 1＋a 2＋…＋a nn n a 1a 2…a n 4．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则()()≥(i b i )2，当且仅当b i ＝0(i ＝n ∑i ＝1a 2i n ∑i ＝1b 2i n ∑i ＝1a 1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a >b >0时等号成立．( )(2)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．( )(3)|ax ＋b |≤c (c >0)的解等价于－c ≤ax ＋b ≤c .( )(4)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为Ø.( )(5)若实数x 、y 适合不等式xy >1，x ＋y >－2，则x >0，y >0.( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√2．不等式|2x －1|－x <1的解集是( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |1<x <2}C ．{x |0<x <1}D ．{x |1<x <3}[解析] 解法一：x ＝1时，满足不等关系，排除C 、D 、B ，故选A.解法二：令f (x )＝Error!则f (x )<1的解集为{x |0<x <2}．[答案] A3．设|a |<1，|b |<1，则|a ＋b |＋|a －b |与2的大小关系是( )A ．|a ＋b |＋|a －b |>2B ．|a ＋b |＋|a －b |<2C ．|a ＋b |＋|a －b |＝2D ．不能比较大小[解析] |a ＋b |＋|a －b |≤|2a |<2.[答案] B4．若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，则＋＋的最大值为( )a b c A ．1 B ． 2C. D ．23[解析] (＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2≤ (12＋12＋12)(a ＋b ＋c )a b c a b c ＝3.当且仅当a ＝b ＝c ＝时，等号成立．13∴(＋＋)2≤3.a b c ＋＋的最大值为.故应选C.a b c 3[答案] C5．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．[解析] 利用数轴及不等式的几何意义可得x 到a 与到1的距离和小于3，所以a 的取值范围为－2≤a ≤4.[答案] －2≤a ≤4考点一 含绝对值的不等式的解法解|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )型不等式，其一般步骤是：(1)令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根．(2)把这些根由小到大排序，它们把定义域分为若干个区间．(3)在所分区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集．(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集．解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号．(1)(2015·山东卷)不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，1)C ．(1,4)D ．(1,5)(2)(2014·湖南卷)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为Error!，则a ＝________.[解题指导] 切入点：“脱掉”绝对值符号；关键点：利用绝对值的性质进行分类讨论．[解析] (1)当x <1时，不等式可化为－(x －1)＋(x －5)<2，即－4<2，显然成立，所以此时不等式的解集为(－∞，1)；当1≤x ≤5时，不等式可化为x －1＋(x －5)<2，即2x －6<2，解得x <4，又1≤x ≤5，所以此时不等式的解集为[1,4)；当x >5时，不等式可化为(x －1)－(x －5)<2，即4<2，显然不成立，所以此时不等式无解．综上，不等式的解集为(－∞，4)．故选A.(2)∵|ax －2|<3，∴－1<ax <5.当a >0时，－<x <，与已知条件不符；1a 5a当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符；当a <0时，<x <－，又不等式的解集为Error!，故a ＝－3.5a 1a[答案] (1)A (2)－3用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．对点训练已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝－3时，f (x )＝Error!当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4；所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．考点二 利用绝对值的几何意义或图象解不等式对于形如|x －a |＋|x －b |>c 或|x －a |＋|x －b |<c 的不等式，利用绝对值的几何意义或者画出左、右两边函数的图象去解不等式，更为直观、简捷，它体现了数形结合思想方法的优越性．|x －a |＋|x －b |的几何意义是数轴上表示x 的点与点a 和点b 的距离之和，应注意x 的系数为1.(1)(2014·重庆卷)若不等式|x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋a ＋2对任意实数x 恒成立，12则实数a 的取值范围是________．(2)不等式|x ＋1|－|x －2|>k 的解集为R ，则实数k 的取值范围是__________．[解题指导] 切入点：绝对值的几何意义；关键点：把恒成立问题转化为最值问题．[解析] (1)∵|x －1|＋|x ＋2|≥|(x －1)－(x －2)|＝3，∴a 2＋a ＋2≤3，解得≤a ≤.12－1174－1＋174即实数a 的取值范围是.[－1－174，－1＋174](2)解法一：根据绝对值的几何意义，设数x ，－1,2在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，则原不等式等价于PA －PB >k 恒成立．∵AB ＝3，即|x ＋1|－|x －2|≥－3.故当k <－3时，原不等式恒成立．解法二：令y ＝|x ＋1|－|x －2|，则y＝Error!要使|x＋1|－|x－2|>k恒成立，从图象中可以看出，只要k<－3即可．故k<－3满足题意．[答案] (1) (2)(－∞，－3)[－1－174，－1＋174]解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的x即可；不等式的恒成立问题，可转化为最值问题，即f(x)<a恒成立⇔a>f(x)max，f(x)>a恒成立⇔a<f(x)min.对点训练(2015·唐山一模)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a，a∈R，g(x)＝|2x－1|.(1)若当g(x)≤5时，恒有f(x)≤6，求a的最大值；(2)若当x∈R时，恒有f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．[解] (1)g(x)≤5⇔|2x－1|≤5⇔－5≤2x－1≤5⇔－2≤x≤3；f(x)≤6⇔|2x－a|≤6－a⇔a－6≤2x－a≤6－a⇔a－3≤x≤3.依题意有，a－3≤－2，a≤1.故a的最大值为1.(2)f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋|2x－1|＋a≥|2x－a－2x＋1|＋a＝|a－1|＋a，当且仅当(2x－a)(2x－1)≤0时等号成立．解不等式|a－1|＋a≥3，得a的取值范围是[2，＋∞)．考点三 不等式的证明与应用不等式的证明方法很多，解题时既要充分利用已知条件，又要时刻瞄准解题目标，既不仅要搞清是什么，还要搞清干什么，只有兼顾条件与结论，才能找到正确的解题途径．应用基本不等式时要注意不等式中等号成立的条件．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：(1)若ab >cd ，则＋>＋；a b c d (2)＋>＋是|a －b |<|c －d |的充要条件．a b c d [解题指导] 切入点：不等式的性质；关键点：不等式的恒等变形．[证明] (1)因为(＋)2＝a ＋b ＋2，(＋)2＝c ＋d ＋2，a b ab c d cd 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd 得(＋)2>(＋)2.a b c d ＋>＋.a b c d (2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .由(1)得＋>＋.a b c d ＋>＋，则(＋)2>(＋)2，即a b c d a b c d a ＋b ＋>c ＋d ＋2.ab cd 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2.因此|a －b |<|c －d |.＋>＋是|a －b |<|c －d |的充要条件．a b c d分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．对点训练(2014·新课标全国卷Ⅱ)设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤；13(2)＋＋≥1.a 2b b 2c c 2a[证明] (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤.13(2)因为＋b ≥2a ，＋c ≥2b ，＋a ≥2c ，a 2b b 2c c 2a故＋＋＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，a 2b b 2c c 2a即＋＋≥a ＋b ＋c .a 2b b 2c c 2a所以＋＋≥1.a 2b b 2c c 2a———————方法规律总结————————[方法技巧]1．绝对值不等式求解的根本方向是去除绝对值符号．2．绝对值不等式在求与绝对值运算有关的最值问题时需灵活运用，同时还要注意等号成立的条件．3．在证明不等式时，应根据命题提供的信息选择合适的方法与技巧．如在使用柯西不等式时，要注意右边为常数．[易错点睛]1．对含有参数的不等式求解时，分类要完整．2．应用基本不等式和柯西不等式证明时要注意等号成立的条件．课时跟踪训练(七十)一、填空题1．不等式|2x －1|<3的解集为__________．[解析] |2x －1|<3⇔－3<2x －1<3⇔－1<x <2.[答案] (－1,2)2．若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝__________.[解析] ∵|kx －4|≤2，∴－2≤kx －4≤2，∴2≤kx ≤6.∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2.[答案] 23．不等式|2x ＋1|＋|x －1|<2的解集为________．[解析] 当x ≤－时，原不等式等价为－(2x ＋1)－(x －1)<2，即－3x <2，x >－12，此时－<x ≤－.当－<x <1时，原不等式等价为(2x ＋1)－(x －1)<2，即x <0，23231212此时－<x <0.当x ≥1时，原不等式等价为(2x ＋1)＋(x －1)<2，即3x <2，x <，此1223时不等式无解，综上，原不等式的解为－<x <0，即原不等式的解集为.23(－23，0)[答案] (－23，0)4．已知关于x 的不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，则实数k 的取值范围是__________．[解析] ∵|x －1|＋|x |≥|x －1－x |＝1，∴当k <1时，不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，故k <1.[答案] (－∞，1)5．(2015·西安统考)若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则实数a 的取值范围是________．[解析] |x －5|＋|x ＋3|≥|(x －5)－(x ＋3)|＝8，故a ≤8.[答案] (－∞，8]6．(2015·重庆卷)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝__________.[解析] 当a ＝－1时，f (x )＝3|x ＋1|≥0，不满足题意；当a <－1时，f (x )＝Error!f (x )min ＝f (a )＝－3a －1＋2a ＝5，解得a ＝－6；当a >－1时，f (x )＝Error!f (x )min ＝f (a )＝－a ＋1＋2a ＝5，解得a ＝4.[答案] －6或47．若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是__________．[解析] ∵f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＝Error!∴f (x )≥3.要使|a |≥|x ＋1|＋|x －2|有解，∴|a |≥3，即a ≤－3或a ≥3.[答案] (－∞，－3]∪[3，＋∞)8．已知关于x 的不等式|x －a |＋1－x >0的解集为R ，则实数a 的取值范围是__________．[解析] 若x －1<0，则a ∈R ；若x －1≥0，则(x －a )2>(x －1)2对任意的x ∈[1，＋∞)恒成立，即(a －1)[(a ＋1)－2x ]>0对任意的x ∈[1，＋∞)恒成立，所以Error!(舍去)或Error!对任意的x ∈[1，＋∞]恒成立，解得a <1.综上，a <1.[答案] (－∞，1)9．设a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，则＋＋的最小值为__________．2a 2b 2c[解析] ∵(a ＋b ＋c )(2a ＋2b ＋2c )＝[()2＋()2＋()2]a b c [(2a )2＋(2b )2＋(2c )2]≥2＝18，(a ·2a ＋b ·2b ＋c ·2c )∴＋＋≥2，∴＋＋的最小值为2.2a 2b 2c 2a 2b 2c[答案] 210．(2014·陕西卷)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则 m 2＋n 2的最小值为________．[解析] 由柯西不等式，得(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)≥(am ＋bn )2，即5(m 2＋n 2)≥25，∴m 2＋n 2≥5，当且仅当an ＝bm 时，等号成立．∴的最小值为.m 2＋n 25[答案] 511．对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为__________．[解析] ∵|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|＝(|1－x |＋|x |)＋(|1－y |＋|1＋y |)≥|(1－x )＋x |＋|(1－y )＋(1＋y )|＝1＋2＝3，当且仅当(1－x )·x ≥0，(1－y )·(1＋y )≥0，即0≤x ≤1，－1≤y ≤1时等号成立，∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3.[答案] 312．若不等式|x ＋1|－|x －4|≥a ＋，对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取4a值范围是________．[解析] 只要函数f (x )＝|x ＋1|－|x －4|的最小值不小于a ＋即可．由于||x ＋1|4a－|x －4||≤|(x ＋1)－(x －4)|＝5，所以－5≤|x ＋1|－|x －4|≤5，故只要－5≥a ＋即4a可．当a >0时，将不等式－5≥a ＋整理，得a 2＋5a ＋4≤0，无解；当a <0时，4a将不等式－5≥a ＋整理，得a 2＋5a ＋4≥0，则有a ≤－4或－1≤a <0.综上可知，4a实数a 的取值范围是(－∞，－4]∪[－1,0)．[答案] (－∞，－4]∪[－1,0)二、解答题13．已知不等式2|x －3|＋|x －4|<2a .(1)若a ＝1，求不等式的解集；(2)若已知不等式的解集不是空集，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时，不等式即为2|x －3|＋|x －4|<2，若x ≥4，则3x －10<2，x <4，∴舍去；若3<x <4，则x －2<2，∴3<x <4；若x ≤3，则10－3x <2，∴<x ≤3.83综上，不等式的解集为Error!.(2)设f (x )＝2|x －3|＋|x －4|，则f (x )＝Error!作出函数f (x )的图象，如图所示．由图象可知，f (x )≥1，∴2a >1，a >，即a 的取值范围为.12(12，＋∞)14．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得<x <1；23当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为Error!.(2)由题设可得，f (x )＝Error!所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为(a ＋1)2.(2a －13，0)23由题设得(a ＋1)2>6，故a >2.23所以a 的取值范围为(2，＋∞)．15．设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |.(1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，f (x )＝Error!作出函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的图象．由图象可知，不等式f (x )≥3的解集为Error!.(2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件；若a <1，f (x )＝Error!f (x )的最小值为1－a ；若a >1，f (x )＝Error!f (x )的最小值为a －1.∴对于∀x ∈R ，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2，∴a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．16．(2015·福建卷)已知a >0，b >0，c >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4.(1)求a ＋b ＋c 的值；(2)求a 2＋b 2＋c 2的最小值．1419[解] (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ，当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立．又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ，所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c .又已知f (x )的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4.(2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式得(4＋9＋1)≥(14a 2＋19b 2＋c 2)2＝(a ＋b ＋c )2＝16，(a 2×2＋b 3×3＋c ×1)即a 2＋b 2＋c 2≥.141987当且仅当＝＝，12a 213b 3c 1即a ＝，b ＝，c ＝时等号成立．8718727故a 2＋b 2＋c 2的最小值为.141987。
人教版高中数学精讲精练必修一2.1 等式与不等式的性质(精讲)(解析版)
2.1等式与不等式的性质（精讲）一．关于实数a ，b 大小比较的基本事实1.两个实数a ，b ，其大小关系有三种可能，即a >b ，a ＝b ，a <b .2.依据：a >b ⇔a －b >0；a ＝b ⇔a －b ＝0；a <b ⇔a －b <03.结论：要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小二.等式的性质性质1如果a ＝b ，那么b ＝a ；性质2如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ；性质3如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ；性质4如果a ＝b ，那么ac ＝bc ；性质5如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝bc.三.不等式的性质性质1如果a >b ，那么b <a ；如果b <a ，那么a >b .即a >b ⇔b <a .性质2如果a >b ，b >c ，那么a >c ，即a >b ，b >c ⇒a >c .性质3如果a >b ，那么a ＋c >b ＋c .性质4如果a >b ，c >0，那么ac >bc ；如果a >b ，c <0，那么ac <bc .性质5如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.性质6如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.性质7如果a>b>0，那么a n>b n(n∈N，n≥2).一.将不等关系表示成不等式(组)1.读懂题意，找准不等式所联系的量.2.用适当的不等号连接.3.多个不等关系用不等式组表示.二.常见的文字语言与符号语言之间的转换文字语言大于，高于，超过小于，低于，少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不超过符号语言><≥≤三．作差法比较两个实数(代数式)大小（“三步一结论”）1.作差：对要比较大小的两个实数(或式子)作差；2.变形：对差进行变形①将差式进行因式分解转化为几个因式相乘.②将差式通过配方转化为几个非负数之和，然后判断.3.判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；4.作出结论．四．利用不等式的性质求取值范围1.建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．2.同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．3.求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围．考点一用不等式（组）表示不等关系【例1】（2023·四川眉山）将一根长为5m 的绳子截成两段，已知其中一段的长度为x m ，若两段绳子长度之差不小于1m ，则x 所满足的不等关系为（）A ．25005x x ->⎧⎨<<⎩B ．251x -≥或521x -≥C ．52105x x -≥⎧⎨<<⎩D ．25105x x ⎧-≥⎨<<⎩【答案】D【解析】由题意,可知另一段绳子的长度为()5m x -.因为两段绳子长度之差不小于1m ，所以()5105x x x ⎧--≥⎪⎨<<⎪⎩，化简得：25105x x ⎧-≥⎨<<⎩.故选：D 【一隅三反】1．（2022秋·西藏林芝·高一校考期中）下列说法正确的是（）A ．某人月收入x 不高于2000元可表示为“x <2000”B ．某变量y 不超过a 可表示为“y ≤a ”C ．某变量x 至少为a 可表示为“x >a ”D ．小明的身高x cm ，小华的身高y cm ，则小明比小华矮表示为“x >y ”【答案】B【解析】对于A ，某人收入x 不高于2000元可表示为2000x ≤，A 错误；对于B ，变量y 不超过a 可表示为y a ≤，B 正确；对于C ，变量x 至少为a 可表示为x a ≥，C 错误；对于D ，小明身高cm x ，小华身高cm y ，小明比小华矮表示为x y <，D 错误.故选：B.2．（2023·黑龙江双鸭山）完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x 人，瓦工y 人，则请工人满足的关系式是（）A ．54200x y +<B ．54200x y +≥C ．54200x y +=D ．54200x y +≤【答案】D【解析】依题意，请工人满足的关系式是50402000x y +≤，即54200x y +≤.故选：D3.（2022秋·甘肃庆阳·高一校考阶段练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x （单位：厘米）应满足的不等式为（）A ．41500.5x⨯<B ．41500.5x⨯≥C ．41500.5x⨯≤D ．41500.5x⨯>【答案】B【解析】由题意知导火索的长度x （单位：厘米），故导火索燃烧的时间为0.5x秒，人在此时间内跑的路程为40.5x ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭米，由题意可得41500.5x ⨯≥.故选：B.4．（2022秋·内蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考阶段练习）我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大､小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大､小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（）A ．6钱B ．7钱C ．8钱D ．9钱【答案】C【解析】依题意可设买大竹子x ，每根单价为m ，购买小竹子78x -，每根单价为1m -，所以()()576781mx x m =+--，即78654m x +=，即()610913x m =-，因为078x ≤≤，所以()10910913013610913789613m m m m⎧≤⎪-≥⎧⎪⇒⎨⎨-≤⎩⎪≤⎪⎩961091313m ⇒≤≤，根据选项8m =，30x =，所以买大竹子30根，每根8元.故选：C考点二实数（式）的比较大小【例2-1】（2023·江苏·高一假期作业）已知1a ≥，试比较M =和N =.【答案】M N<【解析】（方法1）因为1a ≥，所以0,0M N =>=>.所以M N ==0>>，所以1MN<，即M N <；（方法2）所以0,0M N =>=>，又11,M N =，所以110M N>>,所以M N <.【一隅三反】1．（2023·全国·高一假期作业）已知c ＞1，且x y ，则x ，y 之间的大小关系是（）A ．x ＞yB ．x ＝yC ．x ＜yD ．x ，y 的关系随c 而定【答案】C【解析】由题设，易知x ，y ＞0，又1x y ==<，∴x ＜y .故选：C.2．（2023·北京）设()227M a a =-+，()()23N a a =--，则有（）A ．M N >B ．M N ≥C ．M N <D ．M N≤【答案】A【解析】()()222213247561024M N a a a a a a a ⎛⎫-=-+--+=++=++> ⎪⎝⎭，∴M N >.故选：A.3．（2023·全国·高三对口高考）设实数a ，b ，c 满足①2643b c a a +=-+，②244c b a a -=-+，试确定a ，b ，c 的大小关系．【答案】c b a ≥>，当且仅当2a =时c b =．【解析】因()224420c b a a a -=-+=-≥，所以c b ≥，当且仅当2a =时，b c =，()()()()22222643442b b c c b a a a a a =+--=-+-+=+-，所以21b a =+，22131024b a a a a ⎛⎫-=-+=-+> ⎪⎝⎭，所以b a >，综上可知：c b a ≥>，当且仅当2a =时c b =．考点三利用不等式的性质判断命题的真假【例3】（2023秋·河南省直辖县级单位）下列命题中正确的是（）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若a b >，c d <，则a bc d>C ．若a b >，c d >，则a c b d ->-D ．若0ab >，a b >，则11a b<【答案】D【解析】A 选项，当0c =时，22ac bc =，故A 错误；B 选项，当1a =，0b =，2c =-，1d =-时，1,02a b c d =-=，a bc d<，故B 错误；C 选项，当1a =，0b =，1c =，0d =时，a c b d -=-，故C 错误；D 选项，若0ab >，a b >，则110b a a b ab--=<，即11a b <，故D 正确．故选：D.【一隅三反】1．（2023春·江苏扬州·高一统考开学考试）对于实数a ，b ，c ，下列命题正确的是（）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若a b >，则22a b >C ．若a b >，则||||a a b b >D ．若0a b c >>>，则b ca b a c<--．【答案】C【解析】A 选项，()2220ac bc a b c -=-≥，故A 错误；B 选项，()()22a b a b a b -=-+，因不清楚a b +的正负情况，故B 错误；C 选项，当0a b >>时，()()22||||0a a b b a b a b a b -=-=-+>；当0a b >>时，22||||0a a b b a b -=+>，当0a b >>时，()()22||||0a a b b a b b a a b -=-+=-+>，综上||||a a b b >，故C 正确；D 选项，()()()0a b c b ca b a c a b a c --=>----，故D 错误.故选：C 2．（2023春·上海宝山）下列命题中正确的是（）A ．若a b >，则22a b >B ．若a b >，则22a b >C ．若a b >，则22a b >D ．若22a b >，则a b>【答案】B【解析】取2,2a b ==-，则a b >，但是22a b =，A 错误，a b >，但是22a b =，C 错误，取3,2a b =-=，则22a b >，但是a b <，D 错误，由a b >，可得0a b >≥，所以()220a b >≥，故22a b >，B 正确，故选：B.3．（2023·全国·高一假期作业）下列命题为真命题的是（）A ．若0a b <<，则22ac bc <B ．若0a b <<，则22a ab b <<C ．若a b >，c d >，则ac bd >D ．若0a b c >>>，则c ca b<【答案】D【解析】对于A ：当0c =时，220ac bc ==，A 错误；对于B ：当0a b <<时，22a ab b >>，B 错误；对于C ：取2,1,2,3a b c d ===-=-满足a b >，c d >，而4,3ac bd =-=-，此时ac bd <，C 错误；对于D ：当0a b >>时，则0ab >，所以1a b ab ab 1⋅>⋅，即11a b <，又0c >，所以c ca b<，D 正确.故选：D.考点四利用不等式的性质证明不等式【例4】（2023·云南）（1）已知a b c <<，且0a b c ++=，证明：a a a c b c<--．（2<．(3)a ≥【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】证明：（1）由a b c <<，且0a b c ++=，所以0a <，且0,a c b c -<-<所以()()0a c b c -->，所以()()a c a c b c -<--()()b ca cbc ---，即1b c -<1a c -；所以a b c ->a a c -，即a a c -<ab c-．（2<，(3)a ≥+<，即证(3)(1)(2)a a a a +-+<-+-+；<即证(3)(1)(2)a a a a -<--；即证02<，显然成立；<【一隅三反】1．（2023·内蒙古呼和浩特）证明不等式．(1)0bc ad -≥，bd ＞0，求证：a b c db d++≤；(2)已知a ＞b ＞c ＞0，求证：b b c a b a c a c>>---．【答案】(1)见详解(2)见详解【解析】（1）证明：()()a b d b c d a b c d ad bcb d bd bd+-+++--==，因为，0bc ad -≥，所以，0ad bc -≤，又bd ＞0，所以，0ad bc bd -≤，即a b c db d++≤.（2）证明：因为a ＞b ＞c ＞0，所以有，b c -<-，0a b a c <-<-，0b c ->，则，()()()()()()()0b a c b a b b b c b b a b a c a c a b a c a b -----==>------，即有，b ba b a c>--成立；因为，0a c ->，所以，10a c >-，又b c >，所以，b c a c a c >--成立.所以，有b b ca b a c a c>>---.2．（2022·高一课时练习）设a ，b ，c ∈R ，0a b c ++=，<0abc ，证明：1110a b c++>．【答案】证明见解析【解析】证明：因为0a b c ++=，所以2222220a b c ab ac bc +++++=．又0abc ≠，所以2220a b c ++>，所以0ab bc ca ++<．因为111ab bc caa b c abc++++=，<0abc ，0ab bc ca ++<，所以1110a b c++>．考点五利用不等式的性质求范围【例5】（2023·海南）已知11,11a b a b -≤+≤-≤-≤，求23a b +的取值范围__________．【答案】[3,3]-【解析】设23()()a b a b a b λμ+=++-,则2,3,λμλμ+=⎧⎨-=⎩解得5,21.2λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故5123()()22a b a b a b +=+--，由11a b -≤+≤,故555()222a b -≤+≤，由1a b -≤-1≤,故111()222a b -≤--≤，所以23[3,3]a b +∈-.故答案为：[3,3]-.【一隅三反】1．（2022秋·贵州贵阳·高一校联考期中）已知13a <<，21b -<<，则2+a b 的取值范围是______.【答案】()3,5-【解析】∵21b -<<，∴422b -<<，∵13a <<，∴325a b -<+<.故答案为：()3,5-.2．（2022秋·湖北荆州·高一沙市中学校考阶段练习）已知14a b -≤+≤，23a b ≤-≤，则32a b -的取值范围为_________【答案】919[,]22【解析】令()()32m a b n a b a b ++-=-，则()()32m n a m n b a b ++-=-，所以32m n m n +=⎧⎨-=-⎩，可得1252m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故1532()()22a b a b a b -=++-，而11515()[,2],()[5,]2222a b a b +∈--∈，故91932[,]22a b -∈.故答案为：919[,]223．（2023·福建）若13a b -<+<，24a b <-<，23t a b =+，则t 的取值范围为______．【答案】91322t -<<【解析】设()()()()t x a b y a b x y a x y b =++-=++-，则23x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．因为()5515222a b -<+<，()1212a b -<--<-，所以()()951132222a b a b -<+--<，即91322t -<<．故答案为：91322t -<<.。
高考数学压轴专题人教版备战高考《不等式》知识点总复习有答案
【高中数学】数学《不等式》复习知识点一、选择题1．若、a b 均为实数，则“()0->ab a b ”是“0a b >>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】通过列举，和推理证明可以推出充要性. 【详解】若()0ab a b -＞中，取12a b --＝，＝，则推不出0a b ＞＞； 若0a b ＞＞，则0a b -＞，则可得出()0ab a b -＞； 故“()0ab a b -＞”是“0a b ＞＞”的必要不充分条件， 故选：B. 【点睛】本题考查充分必要不条件的定义以及不等式的性质，可通过代入特殊值解决．2．若直线过点，则的最小值等于（ ）A ．5B ．C ．6D ．【答案】C 【解析】∵直线过点，∴，∴，∵，∴，，，当且仅当时，等号成立，故选C.点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．3．在平面直角坐标系中，不等式组20{200x y x y y +-≤-+≥≥，表示的平面区域的面积是（ ）A ．42B ．4C ．22D ．2【答案】B 【解析】试题分析：不等式组表示的平面区域如图所示的三角形ABC 及其内部．可得，A （2，0），B （0，2），C （-2，0），显然三角形ABC 的面积为．故选B ．考点：求不等式组表示的平面区域的面积．4．在下列函数中，最小值是2的函数是（ ） A ．()1f x x x=+ B ．1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭C ．()223f x x =+D ．()42xx f x e e=+- 【答案】D 【解析】 【分析】根据均值不等式和双勾函数依次计算每个选项的最小值得到答案. 【详解】 A. ()1f x x x=+，()122f -=-<，A 错误； B. 1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，故()cos 0,1x ∈，2y >，B 错误； C. ()2222333f x x x x ==+++233x +，故()33f x ≥，C 错误； D. ()422422xx f x e e =+-≥=，当4xxe e =，即ln 2x =时等号成立，D 正确. 故选：D . 【点睛】本题考查了均值不等式，双勾函数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.5．关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是（ ） A ．(,1)(3,)-∞-+∞U B ．(1,3)- C ．(1,3) D ．(,1)(3,)-∞+∞U【答案】A 【解析】 【分析】由0ax b ->的解集，可知0a >及1ba=，进而可求出方程()()30ax b x +-=的解，从而可求出()()30ax b x +->的解集. 【详解】由0ax b ->的解集为()1,+?，可知0a >且1ba=， 令()()30ax b x +-=，解得11x =-，23x =，因为0a >，所以()()30ax b x +->的解集为()(),13,-∞-+∞U ， 故选：A. 【点睛】本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于基础题.6．若实数,,a b c ，满足222a b a b ++=，2222a b c a b c ++++=，，则c 的最大值是（ ） A ．43B ．2log 3C ．25D ．24log 3【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求出2a b +的最小值后可得221a b a b ++-的最大值，从而可得2c 的最大值，故可得c 的最大值. 【详解】因为222a b a b ++=，故222a b a b ++=≥= 整理得到24a b +≥，当且仅当1a b ==时等号成立.又因为2222a b c a b c ++++=，故2114211212133a b ca b a b +++==+≤+=--，当且仅当1a b ==时等号成立，故max 24log 3c =.故选：D.【点睛】本题考查基本不等式的应用以及指数不等式的解，应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果多变量等式中有和式和积式的关系，则可利用基本不等式构造关于和式或积式的不等式，通过解不等式来求最值，求最值时要关注取等条件的验证.7．若,x y满足4,20,24,x yx yx y+≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩则4yx-的最大值为（）A．72-B．52-C．32-D．1-【答案】D【解析】【分析】画出平面区域，结合目标函数的几何意义，求解即可.【详解】该不等式组表示的平面区域，如下图所示4yx-表示该平面区域中的点(),x y与(0,4)A确定直线的斜率由斜率的性质得出，当区域内的点为线段AB上任意一点时，取得最大值.不妨取84(,)33B时，4yx-取最大值443183-=-故选：D【点睛】本题主要考查了求分式型目标函数的最值，属于中档题.8．已知不等式240x ax-+≥对于任意的[1,3]x∈恒成立，则实数a的取值范围是（）A．(,5]-∞B．[5,)+∞C．(,4]-∞D．[4,)+∞【答案】C【解析】若不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立，则4a x x≤+对于任意的[1,3]x ∈恒成立，∵当[1,3]x ∈时，4[4,5]x x+∈，∴4a ≤，即实数a 的取值范围是(,4]-∞，故选C ．【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数. 本题是利用方法 ① 求得a 的取值范围的.9．设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（ ） A ．a b c +> B ．2ab c >C ．a b2c +> D ．112a b c+> 【答案】C 【解析】 【分析】取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误，根据不等式性质知C 正确，得到答案. 【详解】,a c b c >>，故2a b c +>，2a bc +>，故C 正确； 取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误； 故选：C . 【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.10．已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断. 【详解】22x y +≥Q 且224x y+≤ ，422x y ∴≤≤⇒+≤ ， 等号成立的条件是x y =，又2x y xy +≥Q ，0,0x y >>221xy xy ∴≤⇒≤ ， 等号成立的条件是x y =,2241x y xy ∴+≤⇒≤，反过来，当12,3x y ==时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件. 故选:C 【点睛】本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型.11．设x ，y 满足约束条件则的最大值与最小值的比值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，观察直线在轴上取得最大值和最小值时相应的最优解，再将最优解代入目标函数可得出最大值和最小值，于此可得出答案。
高考数学压轴专题人教版备战高考《不等式选讲》知识点总复习含答案解析
《不等式选讲》考试知识点一、141．设x ∈R ，则“2x <”是4<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】首先求解绝对值不等式和根式不等式，然后分别考查充分性和必要性是否成立即可. 【详解】由2x <可得22x -<<4<可得016x ≤<，22x -<<是016x ≤<的既不充分也不必要条件，“2x <”是4<”的既不充分也不必要条件. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，充分条件和必要条件的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．已知点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，点(,)M a b 为平面上一点，O 为坐标原点，则当OM 取最小值时，椭圆的离心率为（ ）A B ．13C D 【答案】D 【解析】 【分析】点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b 为平面上一点，||OM =a ，b 关系，代入即可．【详解】解：点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b 为平面上一点，||OM =所以||4OM ==，当且仅当223a b =时，取等号，222213b e a =-=，6e =． 故选D ． 【点睛】考查椭圆的性质，柯西不等式的应用，求椭圆的离心率，中档题．3．已知f (x )＝|x ＋2|＋|x －4|的最小值为n ，则二项式1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中x 2项的系数为( ) A ．11 B ．20 C ．15 D ．16 【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用绝对值三角不等式求得n=6，在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得展开式中x 2项的系数． 【详解】∵f （x ）=|x+2|+|x ﹣4|≥|（x+2）﹣（x ﹣4）|=6，故函数的最小值为6， 再根据函数的最小值为n ，∴n=6． 则二项式（x ﹣1x ）n =（x ﹣1x）6 展开式中的通项公式为 T r+1=6r C •（﹣1）r •x 6﹣2r ， 令6﹣2r=2，求得r=2，∴展开式中x 2项的系为26C =15， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数，属于中档题．4．已知，，则使不等式一定成立的条件是A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】因为若，则，已知不等式不成立，所以，应选答案D 。
高考数学压轴专题人教版备战高考《不等式选讲》知识点总复习附答案
【高中数学】《不等式选讲》知识点汇总一、141．已知集合{|||2}A x x =≥，2{|30}B x x x =->，则A B =I ( ) A ．∅B ．{|3x x >或2}x ?C ．{|3x x >或0}x <D ．{|3x x >或0}x <【答案】B 【解析】 【分析】可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】∵A ＝{x |x ≤﹣2，或x ≥2}，B ＝{x |x ＜0，或x ＞3}， ∴A ∩B ＝{x |x ≤﹣2，或x ＞3}． 故选：B ． 【点睛】考查描述法的定义，绝对值不等式和一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2．已知()23f x x x =+，若1x a -≤，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．()()33f x f a a -≤+B ．()()5f x f a a -≤+C ．()()24f x f a a -≤+D ．()()()231f x f a a -≤+【答案】C 【解析】 【分析】先表示出()()f x f a -，利用绝对值三角不等式a b a b ±≤+即可求解. 【详解】由()23f x x x =+，得()()()(3)f x f a x a x a -=-++，因为1x a -≤，所以()(3)323x a x a x a x a a -++≤++=-++，由绝对值三角不等式得232324x a a x a a a -++≤-++≤+，故()()24f x f a a -≤+一定成立.故选：C. 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的灵活应用，在求最值时要注意等号成立的条件，考查逻辑推理能力，属基础题.3．若不等式23x a x -≤+对任意[]0,2x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3-B ．[]1,3-C ．()1,3D ．[]1,3【解析】 【分析】将不等式去掉绝对值符号，然后变量分离转为求函数的最值问题. 【详解】不等式23x a x -≤+去掉绝对值符号得323x x a x --≤-≤+，即3223x x a x a x --≤-⎧⎨-≤+⎩对任意[]0,2x ∈恒成立，变量分离得333a x a x ≤+⎧⎨≥-⎩，只需min max (33)(3)a x a x ≤+⎧⎨≥-⎩，即31a a ≤⎧⎨≥-⎩所以a 的取值范围是[]1,3- 故选：B 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和恒成立问题的处理方法，属于基础题.4．已知命题p ：不等式11x m ->-的解集为R ，命题q ：()(52)x f x m =--是减函数，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1≤m≤2 B ．1≤m<2C ．1<m≤2D ．1<m<2【答案】B 【解析】 【分析】若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题,可知p 真q 假或p 假q 真，化简p,q 为真时，对应m 的取值范围，然后按p 真q 假或p 假q 真求解即可. 【详解】若p 为真时，10m -<，即1m < ，若q 为真时，521m ->，即2m <，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题,可知p 真q 假或p 假q 真，当p 真q 假时，12m m <⎧⎨≥⎩ ，无解，若p 假q 真时，12m m ≥⎧⎨<⎩，即 12m ≤<，故选B.【点睛】本题主要考查了含且、或命题的真假，及含绝对值不等式恒成立，指数型函数的增减性，属于中档题.5．325x -≥不等式的解集是（ ） A ．{|1}x x ≤- B ．{|14}x x -≤≤C ．{|14}x x x ≤-≥或D ．{|4}x x ≥【答案】C【分析】根据绝对值定义化简不等式，求得解集. 【详解】因为325x -≥，所以325x -≥或325x -≤-，即14x x ≤-≥或，选C. 【点睛】本题考查含绝对值不等式解法，考查基本求解能力.6．已知集合{}|11A x x =-<，1|10B x x ⎧⎫=-≥⎨⎬⎩⎭，则A B =∩（ ） A ．{}|12x x ≤< B ．{}|02x x << C ．{}|01x x <≤ D ．{}|01x x <<【答案】A 【解析】1111102x x x -<⇔-<-<⇔<<，()1011100{0x x x x x x -≥--≥⇒≥⇒≠，解得0,1x x <≥，故[)1,2A B ⋂=.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，考查分式不等式的解法，考查集合交集等知识.解含有一个绝对值不等式，只需要按照口诀“大于在两边，小于在中间”来解即可.解分式不等式主要方法就是通过通分后，转化为整式不等式来求解，在转化的过程中要注意分母不为零这个特殊情况.7．已知a ＋b ＋c ＝1，且a ， b ， c ＞0，则 222a b b c a c +++++ 的最小值为( ) A ．1 B ．3C ．6D ．9【答案】D 【解析】2221,a b c a b b c c a ++=∴+++++Q ()1112++a b c a b b c c a ⎛⎫=⋅++ ⎪+++⎝⎭()()()()21111119a b b c c a a b b c c a ⎛⎫⎡⎤=+++++⋅++≥++= ⎪⎣⎦+++⎝⎭，当且仅当13a b c ===时等号成立，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.8．2018年9月24日，英国数学家M.F 阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和.记无穷数列21n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的各项的和222111123S n L L =+++++，那么下列结论正确的是（ ） A ．413S << B ．5443S << C ．322S << D ．2S >【答案】C 【解析】 【分析】由2n ≥时，()2111111n n n n n<=---，由裂项相消求和以及不等式的性质可得2S <,排除D ，再由前3项的和排除A ，B ，从而可得到结论. 【详解】由2n ≥时，()2111111n n n n n<=---， 可得222111111111...11...232231n S n n n =++++<+-+-++--12n=-， n →+∞时，2S →，可得2S <,排除D ，由22111341123363++=+>，可排除,A B ,故选C. 【点睛】本题主要考查裂项相消法求数列的和，以及放缩法和排除法的应用,属于中档题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.9．设集合{}1,R A x x a x =-<∈，{}15,R B x x x =<<∈．若A B =∅I ，则实数a 的取值范围是（）A ．{}06a a ≤≤B ．{}64a a a ≤≥或C ．{}06a a a ≤≥或D ．{}24a a ≤≤【答案】C 【解析】 【分析】根据公式()0x a a a x a <>⇔-<<解出集合A ，再根据交集的运算即可列出关系式，求解即可。
高考数学压轴专题人教版备战高考《不等式》知识点总复习附答案解析
《不等式》知识点汇总一、选择题1．已知直线22+=mx ny ()0,0m n >>过圆()()22125x y -+-=的圆心，则11m n+的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D 【解析】 【分析】圆心坐标为(1,2)，代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值． 【详解】圆22(1)(2)5x y -+-=的圆心为(1,2)，由题意可得222m n +=，即1m n +=，m ，0n >，则1111()()24n m m n m n m n m n +=++=++…，当且仅当n mm n =且1m n +=即12m n ==时取等号， 故选：D ． 【点睛】本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，考查运算能力，属于基础题．2．若,x y 满足约束条件360,60,1,x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则z x y =-的最小值为（ ）A ．4B ．0C ．2-D ．4-【答案】D 【解析】 【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解． 【详解】由题意，画出约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域，如图所示，目标函数z x y =-，可化为直线y x z =-当直线y x z =-经过A 时，z 取得最小值，又由3601x y y -+=⎧⎨=⎩，解得(3,1)A -，所以目标函数的最小值为min 314z =--=-. 故选：D ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．3．某企业生产甲、乙两种产品需用到A,B 两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用总量如下表所示.若生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得的最大利润为( )甲 乙 每天原料的可用总量 A(吨) 3 2 12 B(吨)128A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元【答案】D 【解析】 【分析】根据条件列可行域与目标函数，结合图象确定最大值取法，即得结果. 【详解】设每天甲、乙产品的产量分别为x 吨、y 吨由已知可得3212,28,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩目标函数34z x y =+，作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，可得目标函数在点P 处取得最大值，由28,3212,x y x y +=⎧⎨+=⎩得()2,3P ，则max 324318z =⨯+⨯=（万元）.选D.【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.4．关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是（ ） A ．(,1)(3,)-∞-+∞U B ．(1,3)- C ．(1,3) D ．(,1)(3,)-∞+∞U【答案】A 【解析】 【分析】由0ax b ->的解集，可知0a >及1ba=，进而可求出方程()()30ax b x +-=的解，从而可求出()()30ax b x +->的解集. 【详解】由0ax b ->的解集为()1,+?，可知0a >且1ba=， 令()()30ax b x +-=，解得11x =-，23x =，因为0a >，所以()()30ax b x +->的解集为()(),13,-∞-+∞U ， 故选：A. 【点睛】本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于基础题.5．已知x，y满足约束条件1,22,326,x yx yx y+≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，若22x y z+≥恒成立，则实数z的最大值为（）A．22B．25 C．12D．2【答案】C【解析】【分析】画出约束条件所表示的平面区域，根据22x y+的几何意义，结合平面区域求得原点到直线10x y+-=的距离的平方最小，即可求解．【详解】由题意，画出约束条件122326x yx yx y+≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域，如图所示，要使得22x y z+≥恒成立，只需()22minz x y≥+，因为22x y+表示原点到可行域内点的距离的平方，结合平面区域，可得原点到直线10x y+-=的距离的平方最小，其中最小值距离为221211d-==+，则212d=，即12z≤所以数z的最大值12．故选：C．【点睛】本题主要考查了简单的线性规划的应用，其中解答中正确作出约束条件所表示的平面区域，结合22x y+的几何意义求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算能力．6．若，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】 【分析】 【详解】试题分析：用特殊值法，令，，得，选项A 错误，，选项B 错误，，选项D 错误，因为选项C 正确，故选C ． 【考点】指数函数与对数函数的性质 【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.7．对于函数()f x ，若12,x x 满足()()()1212f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点”．若实数a 与b 和+a b 与c 为函数()3xf x =的两对“线性对称点”，则c的最大值为（ ） A ．3log 4 B ．3log 41+C ．43D ．3log 41-【答案】D 【解析】 【分析】根据已知有333b c a b c a ++++=，可得13131ca b+=+-，只需求出3a b +的最小值，根据333a b a b +=+，利用基本不等式，得到3a b +的最小值，即可得出结论.【详解】依题意知，a 与b 为函数()3xf x =的“线性对称点”，所以33323323a b a b a b a b ++=+=≥⋅ 故34a b +≥（当且仅当a b =时取等号）.又+a b 与c 为函数()3x f x =的“线性对称点， 所以333b c a b c a ++++=，所以3143131313a b ca b a b +++==+≤--，从而c 的最大值为3log 41-. 故选:D. 【点睛】本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出c 的表达式是解题的关键，属于中档题.8．以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直，且该三棱锥外接球的表面积为8π，则以A 为顶点，以面BCD 为下底面的三棱锥的侧面积之和的最大值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．7 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意补全几何图形为长方体，设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ，即可由外接球的表面积求得对角线长，结合侧面积公式即可由不等式求得面积的最大值. 【详解】将以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直的三棱锥补形成为一个长方体，如下图所示：长方体的体对角线即为三棱锥A BCD -外接球的直径， 设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ， 因为三棱锥外接球的表面积为8π， 则284R π=π， 解得2R =，所以体对角线为2，所以2228x y z ++=，111222S yz xy xz =++侧面积 由于()()()()222222240x y zS x y y x x z ++-=-+-+-≥，所以416S ≤，故4S ≤，即三棱锥的侧面积之和的最大值为4， 故选：B. 【点睛】本题考查了空间几何体的综合应用，三棱锥的外接球性质及应用，属于中档题.9．变量,x y 满足约束条件1{2314y x y x y ≥--≥+≤，若使z ax y =+取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的取值集合是（ ） A ．{3,0}- B ．{3,1}-C ．{0,1}D ．{3,0,1}-【答案】B 【解析】若0a =，结合图形可知不合题设，故排除答案A ，C ，D ，应选答案B ．10．已知函数24,0()(2)1,0x x f x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+-≤⎩，若方程()20f x m -=恰有三个不同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(2,)+∞B ．(4,)+∞C ．(2,4)D ．(3,4)【答案】A 【解析】 【分析】画出函数()f x 的图象,再根据基本不等式求解4y x x=+的最小值,数形结合求解即可. 【详解】画出函数()f x 的图象,如图所示.当0x >时,4()4f x x x=+….设()2g x m =,则方程()20f x m -=恰有三个不同的实数根,即()f x 和()2g x m =的图象有三个交点.由图象可知,24m >,即2m >,故实数m 的取值范围是(2,)+∞.故选：A 【点睛】本题考查分段函数的性质和图象以及函数的零点,考查数形结合以及化归转化思想.11．设m ，n 为正数，且2m n +=，则1312n m n ++++的最小值为（ ） A ．32B ．53 C ．74D ．95【答案】D 【解析】 【分析】根据2m n +=，化简135112(1)(2)n m n m n ++=++++⋅+，根据均值不等式，即可求得答案； 【详解】 当2m n +=时，Q131111212n m n m n ++=++++++ 3511(1)(2)(1)(2)m n m n m n ++=+=++⋅++⋅+Q 21225(1)(2)24m n m n +++⎛⎫+⋅+≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12m n +=+时，即3122m n ==，取等号， ∴139125n m n ++≥++. 故选：D 【点睛】本题主要考查了根据均值不等式求最值，解题关键是灵活使用均值不等式，注意要验证等号的是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.12．设x ，y 满足102024x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m的最小值为（ ） A ．125B ．125-C ．32D ．32-【答案】B 【解析】 【分析】先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可． 【详解】解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r，由a b ⊥r r得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，由242x y x y +=⎧⎨=⎩，得8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴84,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴416122555m y x =-=-=-， 故选：B.【点睛】本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．13．已知ABC V 外接圆的半径2R =，且223sin 2AA =.则ABC V 周长的取值范围为（ ） A ．(23,4]B ．(4,43]C ．(43,423]+D ．(423,63]+【答案】C【解析】 【分析】由2sin 2A A =及倍角公式可得23A π=，2sin a R A ==得2212b c bc =++，再利用基本不等式及三角形两边之和大于第三边求出b c +的取值范围即可得到答案. 【详解】由题意，22cos 112A A -=-，即cos 1A A =-，可化为33A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即sin 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0A π<<，所以33A ππ-=，即23A π=，2sin a R A ==ABC V 的内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，由余弦定理得，2212b c bc =++，因为222b c bc +≥（当且仅当b c =时取“=”），所以22123b c bc bc =++≥，即4bc ≤，又因为22212()b c bc b c bc =++=+-，所以2()124bc b c =+-≤，故4b c +≤，则4a b c ++≤+b c a +>，所以2a b c a ++>=4a b c +++≤.故ABC V 周长的取值范围为4+.故选：C 【点睛】本题考查利用余弦定理求三角形周长的取值范围，涉及到辅助角公式、基本不等式求最值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.14．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若s 满足不等式()()222323f s s f s s -+--+„，则s 的取值范围是（ ）A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．[3,2]--C ．[2,3)-D ．[3,2]-【答案】D 【解析】 【分析】由已知可分析出()f x 在R 上为减函数且()y f x =关于原点对称，所以不等式等价于()()222323f s s f s s -+-+-„，结合单调性可得222323s s s s -+≥-+-，从而可求出s 的取值范围. 【详解】解：因为对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，所以()f x 在R 上为减函数； 又(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =关于原点对称， 则()()()222232323f s s f s s f s s -+--+=-+-…，所以222323s s s s -+≥-+-，整理得260s s +-≤，解得32s -≤≤. 故选：D. 【点睛】本题考查了函数的单调性，考查了函数的对称性，考查了一元二次不等式的求解.本题的关键是由已知得到函数的单调性和对称性，从而将不等式化简.15．若变量x ，y 满足2,{239,0,x y x y x +≤-≤≥则x 2+y 2的最大值是A ．4B ．9C ．10D ．12【答案】C 【解析】试题分析：画出可行域如图所示，点A （3，-1）到原点距离最大，所以22max ()10x y +=，选C.【考点】简单线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间的距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学知识解决实际问题的能力.16．已知函数1()cos 2(2)sin 2f x m x m x =+-，其中12m ≤≤，若函数()f x 的最大值记为()g m ，则()g m 的最小值为（ ） A ．14-B ．1 C．D1【答案】D 【解析】 【分析】2()sin (2)sin 2mf x m x m x =-+-+，令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2my mt m t =-+-+，结合12m ≤≤可得()221122(2)31144t m m m g m y m m m=-+-===+-，再利用基本不等式即可得到答案.【详解】 由已知，221()(12sin )(2)sin sin (2)sin 22m f x m x m x m x m x =-+-=-+-+， 令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2my mt m t =-+-+，因为12m ≤≤， 所以对称轴为2111[0,]222m t m m -==-∈，所以 ()221122(2)3111144t m m m g m y m m m =-+-===+-≥=，当且仅当3m =时，等号成立. 故选：D 【点睛】本题考查换元法求正弦型函数的最值问题，涉及到二次函数的最值、基本不等式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.17．已知离散型随机变量X 服从二项分布~(,)X B n p ，且()4E X =，()D X q =，则11p q+的最小值为（ ） A ．2 B ．52C ．94D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据二项分布()~X B n p ，的性质可得()E X ，()D X ，化简即44p q +=，结合基本不等式即可得到11p q+的最小值. 【详解】离散型随机变量X 服从二项分布()X B n p :，， 所以有()4E X np ==，()()1D X q np p ==-（，所以44p q +=，即14qp +=，（0p >，0q >） 所以11114q p p q p q ⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 5592144444q p q p p q p q ⎛⎫++≥⨯=+= ⎪⎝⎭， 当且仅当423q p ==时取得等号．故选C ． 【点睛】本题主要考查了二项分布的期望与方差，考查了基本不等式，属于中档题．18．在ABC ∆中，222sin a b c C ++=，则ABC ∆的形状是 ( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，与已知条件相加，得到cos 3C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的表达式，利用基本不等式得到范围，结合其本身范围，得到cos 13C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而得到C 的大小，判断出ABC ∆的形状，得到答案. 【详解】由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，222sin a b c C ++=两式相加，得到()22cos 2cos 3a b ab C C ab C π⎛⎫+=+=-⎪⎝⎭所以222cos 1322a b ab C ab ab π+⎛⎫-== ⎪⎝⎭≥，当且仅当a b =时，等号成立， 而[]cos 1,13C π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以cos 13C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为()0,C π∈，所以2,333C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以03C π-=，即3C π=，又a b =，所以ABC ∆是等边三角形， 故选D 项. 【点睛】本题考查余弦定理解三角形，基本不等式，余弦型函数的性质，判断三角形的形状，属于中档题.19．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则263n n S a ++的最小值为（ ）A ．4B ．3C．2D ．2【答案】D 【解析】 【分析】由题意得2(12)112d d +=+，求出公差d 的值，得到数列{}n a 的通项公式，前n 项和，从而可得263n n S a ++，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【详解】解：11a =Q ，1a 、3a 、13a 成等比数列，2(12)112d d ∴+=+． 得2d =或0d =（舍去），21n a n ∴=-，2(121)2n n n S n +-∴==， ∴()()22211426263322112n n n n S n n a n n n ++++++===+-+++． 令1t n =+，则2642223n n S t a t +=+-≥=+ 当且仅当2t =，即1n =时，∴263n n S a ++的最小值为2．故选：D ．【点睛】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．20．已知0a >，0b >，且()122y a b x =+为幂函数，则ab 的最大值为（ ） A ．18B ．14C ．12D ．34【答案】A 【解析】 【分析】根据()122y a b x =+为幂函数，得到21a b +=，再将ab 变形为ab 122a b =⋅利用基本不等式求解. 【详解】因为()122y a b x =+为幂函数， 所以21a b +=， 又因为0a >，0b >，所以ab 2112122228a b a b +⎛⎫=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当21a b +=，2a b =即11,24a b ==取等号. 所以ab 的最大值为 18. 故选：A 【点睛】本题主要考查幂函数的定义和基本不等式的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.。
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第三章 §3.6 利用导数证明不等式
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第三章§3.6 利用导数证明不等式导数中的不等式证明是高考的常考题型，常与函数的性质、函数的零点与极值、数列等相结合，虽然题目难度较大，但是解题方法多种多样，如构造函数法、放缩法等，针对不同的题目，灵活采用不同的解题方法，可以达到事半功倍的效果.题型一 将不等式转化为函数的最值问题例1 (12分)(2023·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝a(e x＋a)－x.(1)讨论f(x)的单调性；[切入点：求导，讨论a的正负](2)证明：当a>0时，f(x)>2ln a＋ .[方法二 关键点：利用不等式e x≥x＋1把函数f(x)中的指数换成一次函数][思路分析](1)求f′(x)→分a>0，a≤0判断f′(x) 的符号→f(x) 的单调性答题模板 规范答题不丢分(1)解 因为f(x)＝a(e x＋a)－x，定义域为R，所以f′(x)＝a e x－1，(1分)当a≤0时，由于e x>0，则a e x≤0，故①处判断f′(x)的符号f′(x)＝a e x－1<0恒成立，所以f(x)是减函数；(2分)当a>0时，令f′(x)＝a e x－1＝0，解得x＝－ln a，综上，当a≤0时，f(x)是减函数；当a>0时，f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增.(5分)②处判断f′(x)的符号当x<－ln a时，f′(x)<0，则f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减；当x>－ln a时，f′(x)>0，则f(x)在(－ln a，＋∞)上单调递增.(4分)(2)证明 方法一 由(1)得，当a >0时，③处利用单调性求f (x )min f (x )min ＝f (－ln a )＝a (e －ln a ＋a )＋ln a ＝1＋a 2＋ln a ，(7分)④处构造函数g (a)＝f(x )min －(9分)⑤处求g(a)min并判断其符号则g(a)>0恒成立，方法二 令h(x)＝e x－x－1，⑥处构造函数证明e x≥x＋1则h′(x)＝e x－1，由于y＝e x是增函数，所以h′(x)＝e x－1是增函数，又h′(0)＝e0－1＝0，所以当x<0时，h′(x)<0；当x>0时，h′(x)>0，所以h(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故h(x)≥h(0)＝0，则e x≥x＋1，当且仅当x＝0时，等号成立，(6分)因为f(x)＝a(e x＋a)－x＝a e x＋a2－x＝e x＋ln a＋a2－x≥x＋ln a＋1＋a2－x，⑦处通过不等式e x≥x＋1放缩函数f(x)当且仅当x＋ln a＝0，即x＝－ln a时，等号成立，(9分)⑧处构造函数g(a)⑨处求g(a)min并判断其符号思维升华待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证.(1)求f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程；所以所求切线方程为x－y＝0.(2)求证：当x∈[0，π]时，f(x)≤x.f(x)≤x(x∈[0，π])，令g(x)＝x e x－sin x，x∈[0，π]，则g′(x)＝e x＋x e x－cos x，令h(x)＝e x＋x e x－cos x，x∈[0，π]，则h′(x)＝2e x＋x e x＋sin x>0在[0，π]上恒成立，所以h(x)在[0，π]上单调递增，则h(x)≥h(0)＝0，所以g′(x)≥0在[0，π]上恒成立，即g(x)在[0，π]上单调递增，所以g(x)≥g(0)＝0，即x e x－sin x≥0(x∈[0，π])，综上，当x∈[0，π]时，f(x)≤x.题型二 将不等式转化为两个函数的最值进行比较例2 已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性；①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；(2)当a＝e时，证明：xf(x)－e x＋2e x≤0.当a＝e时，由(1)知，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝－e.所以当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝－e.综上，当x>0时，f(x)≤g(x)，即xf(x)－e x＋2e x≤0得证.思维升华若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标.本例中同时含ln x与e x，不能直接构造函数，把指数与对数分离两边，分别计算它们的最值，借助最值进行证明.跟踪训练2 (2023·合肥模拟)已知函数f(x)＝e x＋x2－x－1.(1)求f(x)的最小值；由题意可得f′(x)＝e x＋2x－1，则函数f′(x)在R上单调递增，且f′(0)＝0.由f′(x)>0，得x>0；由f′(x)<0，得x<0.则f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)min＝f(0)＝0.(2)证明：e x＋x ln x＋x2－2x>0.要证e x＋x ln x＋x2－2x>0，即证e x＋x2－x－1>－x ln x＋x－1.由(1)可知当x>0时，f(x)>0恒成立.设g(x)＝－x ln x＋x－1，x>0，则g′(x)＝－ln x.由g′(x)>0，得0<x<1；由g′(x)<0，得x>1.则g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而g(x)≤g(1)＝0，当且仅当x＝1时，等号成立.故f(x)>g(x)，即e x＋x ln x＋x2－2x>0.题型三 双变量不等式的证明例3 已知函数f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1.(1)讨论函数f(x)的单调性；f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a≥0时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≤－1时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；(2)设a≤－2，证明：对任意x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|.不妨设x1≥x2，由于a≤－2，由(1)可得f(x)在(0，＋∞)上单调递减.所以|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|等价于f(x2)－f(x1)≥4(x1－x2)，即f(x2)＋4x2≥f(x1)＋4x1.令g(x)＝f(x)＋4x，从而g(x)在(0，＋∞)上单调递减，故g(x1)≤g(x2)，即f(x1)＋4x1≤f(x2)＋4x2，故对任意x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|.思维升华将两个变量分离，根据式子的特点构造新函数，利用导数研究新函数的单调性及最值，从而得到所证不等式，或者要求证的不等式等价变形，然后利用整体思想换元，再构造函数，结合函数的单调性可证得不等式.所以F(x)在(0，＋∞)上单调递增，且F(1)＝0.综上，当x＝1时，F(x)＝0，f(x)＝g(x)，当x∈(0,1)时，F(x)<0，f(x)<g(x)；当x∈(1，＋∞)时，F(x)>0，f(x)>g(x).由(1)知，当x∈(1，＋∞)时，F(x)>0成立，故不等式成立，知识过关1.(2023·新乡模拟)已知函数f(x)＝x2ln x.(1)求f(x)的单调区间；因为f (x )＝x 2ln x ，x >0，所以f ′(x )＝2x ln x ＋x ＝x (2ln x ＋1)，由f ′(x )＝0，得x ＝ .12e -当x ∈时，f ′(x )<0；12(0,e )-当x ∈时，f ′(x )>0.12(e ,)-+∞故f (x )的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .12(0,e )-12(e ,)-+∞(2)证明：f(x)≥x－1.当x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增.故g(x)≥g(1)＝0，即f(x)≥x－1.(1)若f(x)在x＝1处取得极小值，求a的值；由f′(1)＝a－1＝0，得a＝1，经检验，a＝1满足题意.当0<x<2时，g′(x)<0，此时函数g(x)单调递减；当x>2时，g′(x)>0，此时函数g(x)单调递增.故原不等式得证.。
高考数学压轴专题人教版备战高考《不等式》全集汇编附解析
数学《不等式》复习知识点一、选择题1．抛物线的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB 的最大值是（ ）A 3B 3C 3D 3【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：设,A B 在直线l 上的投影分别是11,A B ，则1AF AA =，1BF BB =，又M是AB 中点，所以111()2MN AA BB =+，则1112MN AA BB AB AB +=⋅2AF BF AB +=，在ABF ∆中222AB AF BF =+22cos3AF BF π-22AF BF AF BF =++2()AF BF AF BF =+-2()AF BF ≥+2()2AF BF +-23()4AF BF =+，所以22()43AF BF AB+≤，即233AF BF AB +≤，所以33MN AB ≤，故选B ．考点：抛物线的性质． 【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化．象本题弦AB 的中点M 到准线的距离首先等于,A B 两点到准线距离之和的一半，然后转化为,A B 两点到焦点F 的距离，从而与弦长AB 之间可通过余弦定理建立关系．2．若33log (2)1log a b ab +=+42a b +的最小值为（ ）A ．6B ．83C ．163D ．173【答案】C 【解析】 【分析】由33log (2)1loga b ab +=+213b a+=，且0,0a b >>，又由12142(42)3a b a b b a ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开之后利用基本不等式，即可得到本题答案.【详解】因为33log (2)1loga b ab +=+，即()()3333log 2log 3log log 3a b ab ab +=+=，所以，23a b ab +=，等式两边同时除以ab 得213b a+=，且0,0a b >>， 所以12118211642(42)()(8)(8216)3333a b a b a b b a b a +=++=++≥+=， 当且仅当82a b b a=，即2b a =时取等号，所以42a b +的最小值为163.故选：C. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，其中涉及对数的运算，考查计算能力，属于中等题.3．在平面直角坐标系中，不等式组20{200x y x y y +-≤-+≥≥，表示的平面区域的面积是（ ）A ．42B ．4C ．22D ．2【答案】B 【解析】试题分析：不等式组表示的平面区域如图所示的三角形ABC 及其内部．可得，A （2，0），B （0，2），C （-2，0），显然三角形ABC 的面积为．故选B ．考点：求不等式组表示的平面区域的面积．4．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，若32z x y =-+的最大值为n ，则2nx x ⎛ ⎝的展开式中2x项的系数为( )A．60 B．80 C．90 D．120【答案】B【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到5n=，再利用二项式定理计算得到答案.【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，32z x y=-+，即322z yx=+，故z表示直线与y截距的2倍，根据图像知：当1,1x y=-=时，32z x y=-+的最大值为5，故5n=.52xx⎛-⎪⎝⎭展开式的通项为：()()35552155221rrr rr r rrT C x C xx---+⎛=⋅-=⋅⋅-⋅⎪⎝⎭，取2r=得到2x项的系数为：()225252180C-⋅⋅-=.故选：B.【点睛】本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 5．若,x y满足约束条件360601x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则122yx⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的最小值为( )A．116B．18C．1 D．2【答案】A【解析】【分析】画出约束条件所表示的可行域，结合指数幂的运算和图象确定出目标函数的最优解，代入即可求解． 【详解】由题意，画出约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域，如图所示，其中可得(3,1)A -，(5,1)B ，(3,3)C ，因为1222yxx y -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，令z x y =-，当直线y x z =-经过A 时，z 取得最小值， 所以z 的最小值为min 314z =--=-，则1222yx x y -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭的最小值为41216-=. 故选：A ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．6．已知实数x ，y 满足不等式||2x y +≥，则22x y +最小值为（ ）A ．2B ．4C ．22D ．8【答案】B 【解析】 【分析】先去掉绝对值，画出不等式所表示的范围，再根据22x y +表示圆心在原点的圆求解其最小圆的半径的平方，即可求解. 【详解】 由题意，可得当0y ≥时，2x y +≥ （2）当0y <时，2x y -≥如图所示，画出的图形，可得不等式表示的就是阴影部分的图形，又由22xy +最小值即为原点到直线的垂线段的长度的平方，又由2222211d -==+，所以24d =，即22xy +最小值为4.故选：B .【点睛】本题主要考查了线性规划的知识，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查了数形结合思想，以及计算能力.7．已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()R A B =I ð（ ）A ．{}13x x -≤<B ．{}19x x -≤≤C ．{}13x x -<≤D ．{}19x x -<<【答案】C 【解析】 【分析】解出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义得出集合()R A B ⋂ð. 【详解】解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >；解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤.{}13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤ð，因此，(){}13R A B x x ⋂=-<≤ð，故选：C. 【点睛】本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.8．在锐角ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222cos 3a ab C b +=，则tan 6tan tan tan A B C A+⋅的最小值为（ ）A．3B．2C．2D ．32【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理得到4cos c b A =，再根据正弦定理得到sin cos 3sin cos A B B A =，故tan 3tan A B =，3t 53tan 4an 6ta 3ta tan tan n n B A B C AB ⎛⎫=+ ⎪⎝+⎭⋅，计算得到答案. 【详解】由余弦定理及222cos 3a ab C b +=可得222223a a b c b ++-=，即22222a b b c -=+，得22222cos a b a bc A -=+，整理得22 2cos a b bc A =+.2222cos a b c bc A =+-Q ，2222cos 2cos b bc A b c bc A ∴+=+-，得4cos c b A =.由正弦定理得sin 4sin cos C B A =，又()sin sin C A B =+，()sin 4sin cos A B B A ∴+=， 整理得sin cos 3sin cos A B B A =.易知在锐角三角形ABC 中cos 0A ≠， cos 0B ≠，tan 3tan A B ∴=， 且tan 0B >.πA B C ++=Q ， ()tan tan C A B =-+tan tan 1tan tan A B A B +=--⋅24tan 3tan 1BB =-，tan 6tan tan tan A B C A ∴+⋅()233tan 124tan tan B B B-=+353tan 43tan B B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭34≥⨯当且仅当tan B 时等号成立. 故选：B . 【点睛】本题考查了正余弦定理，三角恒等变换，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.9．若,x y 满足约束条件360,60,1,x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则z x y =-的最小值为（ ）A ．4B ．0C ．2-D ．4-【答案】D 【解析】 【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解．【详解】由题意，画出约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域，如图所示，目标函数z x y =-，可化为直线y x z =-当直线y x z =-经过A 时，z 取得最小值，又由3601x y y -+=⎧⎨=⎩，解得(3,1)A -，所以目标函数的最小值为min 314z =--=-. 故选：D ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．10．已知函数()2f x ax bx =+，满足()()241f f -≥≥，()12f -≤，则()2f 的最大值为（ ） A ．12 B ．13C ．14D ．15【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件可得,a b 满足的不等式2242a b a b a b -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，作出不等式组所表示的平面区域，又()242f a b =+，利用线性规划即可求出()2f 的最大值．【详解】由已知得2242a b a b a b -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，可得(),P a b 的表示的平面区域如图：可求出()3,1A ，()2,2B ，()0,2C -， 目标函数()242z f a b ==+，可化为122b a z =-+，当直线过点A 时，max 14z =. 故选：C. 【点睛】本题主要考查求线性约束条件下的最值计算，关键是根据,a b 满足的不等式作出可行域，并将目标函数()242z f a b ==+变形为122b a z =-+进行平移，找到截距的最大值．11．若0a >，0b >，23a b +=，则36a b+的最小值为（ ） A ．5 B ．6C ．8D ．9【答案】D 【解析】 【分析】把36a b +看成（36a b +）×1的形式，把“1”换成()123a b +，整理后积为定值，然后用基本不等式求最小值． 【详解】∵3613a b +=（36a b +）（a +2b ） ＝13(366b aa b+++12)≥1 3×(15+266b aa b⋅=）9等号成立的条件为66b aa b=，即a=b=1时取等所以36a b+的最小值为9．故选：D．【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，解决本题的关键是“1”的代换，是基础题12．已知x，y满足约束条件234x yx yy-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y=+的最大值为4，则a=（）A．2 B．12C．-2 D．12-【答案】A【解析】【分析】由约束条件可得到可行域，根据图象可知最优解为()2,0A，代入可构造方程求得结果.【详解】由约束条件可知可行域如下图阴影部分所示：当直线:l y ax z=-+经AOBV区域时，当l过点()2,0A时，在y轴上的截距最大，即()2,0A为最优解，42a∴=，解得：2a=.故选：A.【点睛】本题考查线性规划中的根据目标函数的最值求解参数值的问题，关键是能够通过约束条件准确得到可行域，根据数形结合的方式确定最优解.13．在区间[]0,1内随机取两个数m､n，则关于x的方程20x nx m+=有实数根的概率为（）A．18B．17C．16D．15【答案】A【解析】 【分析】根据方程有实根可得到约束条件，根据不等式组表示的平面区域和几何概型概率公式可求得结果. 【详解】若方程20xnx m -+=有实数根，则40n m ∆=-≥.如图，400101n m m n -≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域与正方形0101m n ≤≤⎧⎨≤≤⎩的面积之比即为所求的概率，即111124118S P S ⨯⨯===⨯阴影正方形.故选：A . 【点睛】本题考查几何概型中面积型概率问题的求解，涉及到线性规划表示的平面区域面积的求解，关键是能够根据方程有实根确定约束条件.14．若、a b 均为实数，则“()0->ab a b ”是“0a b >>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】通过列举，和推理证明可以推出充要性. 【详解】若()0ab a b -＞中，取12a b --＝，＝，则推不出0a b ＞＞； 若0a b ＞＞，则0a b -＞，则可得出()0ab a b -＞； 故“()0ab a b -＞”是“0a b ＞＞”的必要不充分条件， 故选：B. 【点睛】本题考查充分必要不条件的定义以及不等式的性质，可通过代入特殊值解决．15．若集合()(){}130M x x x =+-<，集合{}1N x x =<，则M N ⋂等于（ ） A ．()1,3B ．(),1-∞-C ．()1,1-D ．()3,1- 【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式求得M ，然后求两个集合的交集.【详解】由()()130x x +-<解得13x -<<，故()1,1M N ⋂=-，故选C.【点睛】本小题主要考查集合交集的概念以及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.16．已知函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =，则22a b a b+-的最小值等于（ ）．A B ．C ．2 D ．【答案】D【解析】 试题分析：因为函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =所以lg lg a b =- 所以1a b=，即1ab =，0a b >>22a ba b+-22()2()22()a b ab a b a b a b a b a b -+-+===-+---≥=当且仅当2a b a b-=-，即a b -=时等号成立所以22a b a b+-的最下值为故答案选D考点：基本不等式．17．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是A ．3B ．4C ．92D ．112【答案】B【解析】【详解】解析：考察均值不等式2 228(2)82x yx y x y+⎛⎫+=-⋅≥- ⎪⎝⎭，整理得2(2)4(2)320x y x y+++-≥即(24)(28)0x y x y+-++≥，又x+2 y>0，24x y∴+≥18．若x、y满足约束条件420x yx yy+≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，目标函数z ax y=+取得最大值时的最优解仅为(1,3)，则a的取值范围为（）A．(1,1)-B．(0,1)C．(,1)(1,)-∞⋃+∞D．(1,0]-【答案】A【解析】【分析】结合不等式组，绘制可行域，判定目标函数可能的位置，计算参数范围，即可．【详解】结合不等式组，绘制可行域，得到：目标函数转化为y ax z=-+，当0a-≥时，则<1a-，此时a的范围为(]1,0-当0a-<时，则1a->-，此时a的范围为()0,1，综上所述，a的范围为()1,1-，故选A．【点睛】本道题考查了线性规划问题，根据最值计算参数，关键明白目标函数在坐标轴上可能的位置，难度偏难．19．设m，n为正数，且2m n+=，则1312nm n++++的最小值为（）A ．32B ．53C ．74D ．95【答案】D【解析】【分析】根据2m n +=，化简135112(1)(2)n m n m n ++=++++⋅+，根据均值不等式，即可求得答案；【详解】当2m n +=时， Q 131111212n m n m n ++=++++++ 3511(1)(2)(1)(2)m n m n m n ++=+=++⋅++⋅+ Q 21225(1)(2)24m n m n +++⎛⎫+⋅+≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当12m n +=+时，即3122m n ==，取等号， ∴139125n m n ++≥++. 故选：D【点睛】本题主要考查了根据均值不等式求最值，解题关键是灵活使用均值不等式，注意要验证等号的是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.20．已知107700,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，表示的平面区域为D ，若“(,),2x y x y a ∃+>”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[5,)+∞B ．[2,)+∞C ．[1,)+∞D ．[0,)+∞ 【答案】A【解析】【分析】作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得目标函数最大值，再根据特称命题和全称命题的真假关系得出“(,),2x y x y a ∀+≤”为真命题，由恒等式的思想可得实数a 的取值范围.【详解】绘制不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，令2Z x y =+得2y x Z =-+，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程10770x y x y -+=⎧⎨--=⎩得点47,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2Z x y =+的最大值为5， 因为“(,),2x y R x y a ∃∈+>”为假命题，所以“(,),2x y x y a ∀+≤”为真命题，所以实数a 的取值范围是5a ≤，故选：A.【点睛】本题考查线性规划问题的最值，以及特称命题与全称命题的关系和不等式的恒成立思想，属于中档题.。
高考数学压轴专题人教版备战高考《不等式》全集汇编及解析
数学《不等式》复习知识点一、选择题1．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若s 满足不等式()()222323f s s f s s -+--+„，则s 的取值范围是（ ）A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．[3,2]--C ．[2,3)-D ．[3,2]-【答案】D 【解析】 【分析】由已知可分析出()f x 在R 上为减函数且()y f x =关于原点对称，所以不等式等价于()()222323f s s f s s -+-+-„，结合单调性可得222323s s s s -+≥-+-，从而可求出s 的取值范围. 【详解】解：因为对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，所以()f x 在R 上为减函数；又(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =关于原点对称， 则()()()222232323f s s f s s f s s -+--+=-+-„，所以222323s s s s -+≥-+-，整理得260s s +-≤，解得32s -≤≤. 故选：D. 【点睛】本题考查了函数的单调性，考查了函数的对称性，考查了一元二次不等式的求解.本题的关键是由已知得到函数的单调性和对称性，从而将不等式化简.2．已知,x y 满足约束条件23023400x y x y y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩，若目标函数2z mx ny =+-的最大值为1（其中0,0m n >>），则112m n+的最小值为（ ） A ．3 B ．1C ．2D ．32【答案】D 【解析】【分析】画出可行域，根据目标函数z 的最大值求得,m n 的关系式23m n +=，再利用基本不等式求得112m n +的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，由于0,0m n >>，所以基准直线0mx ny +=的斜率为负数，故目标函数在点()1,2A 处取得最大值，即221m n +-=，所以23m n +=.()111111515193222323232322n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯++≥⨯+⋅=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当,1n m m n m n ===时等号成立，所以112m n +的最小值为32. 故选：D【点睛】本小题主要考查根据目标函数的最值求参数，考查基本不等式求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.3．已知点P ，Q 分别是抛物线28x y =和圆22(2)1x y +-=上的动点，点(0,4)A ，则2||||PA PQ 的最小值为( ) A ．10 B ．4C ．232D ．421【答案】B 【解析】 【分析】设出点P 的坐标()00,x y ，用0y 表示出PA ；根据圆上一点到定点距离的范围，求得PQ 的最大值，再利用均值不等式求得目标式的最值. 【详解】设点()00,P x y ，因为点P 在抛物线上，所以()200080x y y =≥，因为点(0,4)A ，则()()2222200000||48416PA x y y y y =+-=+-=+.又知点Q 在圆22(2)1x y +-=上，圆心为抛物线的焦点(0,2)F ，要使2||||PA PQ 的值最小，则||PQ 的值应最大，即0max 13PQ PF y =+=+.所以()()222000003632516||||33y y y PA PQ y y +-+++==++ ()002536643y y =++-≥=+ 当且仅当02y =时等号成立.所以2||||PA PQ 的最小值为4.故选：B. 【点睛】本题考查抛物线上一点到定点距离的求解，以及圆上一点到定点距离的最值，利用均值不等式求最值，属综合中档题.4．在ABC V 中，,,a b c 分别为A ∠，B Ð，C ∠所对的边，函数2232()13a c f x x bx x +-=+++的导函数为()f x '，当函数[]()ln ()g x f x '=的定义域为R 时，B Ð的取值范围为( )A ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．0,6π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】首先求出函数的导数，依题意即222()3203a c f x x bx +-'=++>恒成立，所以()222(2)40b a c ∆=-+-<，再结合余弦定理即可求出B 的取值范围；【详解】解：因为2232()13a c f x x bx x +-=+++，所以222()323a c f x x bx +-'=++，若()g x 的定义域为R ，则有()222(2)40b a c ∆=-+-<，即222a c b +->，结合余弦定理，222cos 2a c b B ac +-=>，故0,6B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：D. 【点睛】本题考查导数的计算，对数函数的定义域以及不等式恒成立问题，属于中档题.5．已知x ，y 满足约束条件1,22,326,x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，若22x y z +≥恒成立，则实数z 的最大值为（ ） A．2B ．25C ．12D ．2【答案】C 【解析】 【分析】画出约束条件所表示的平面区域，根据22xy +的几何意义，结合平面区域求得原点到直线10x y +-=的距离的平方最小，即可求解．【详解】由题意，画出约束条件122326x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域，如图所示，要使得22x y z +≥恒成立，只需()22minz x y≥+，因为22xy +表示原点到可行域内点的距离的平方，结合平面区域，可得原点到直线10x y +-=的距离的平方最小，其中最小值距离为d ==212d =，即12z ≤所以数z 的最大值12． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了简单的线性规划的应用，其中解答中正确作出约束条件所表示的平面区域，结合22x y+的几何意义求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算能力．6．已知x、y满足约束条件122326x yx yx y+≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，若22z x y=+，则实数z的最小值为（）A．22B．25C．12D．2【答案】C【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，利用目标函数的几何意义求出22x y+的最小值，进而可得出实数z的最小值.【详解】作出不等式组122326x yx yx y+≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩所表示的可行域如下图所示，22z x y =+表示原点到可行域内的点(),x y 的距离的平方，原点到直线10x y +-=的距离的平方最小，()222min212x y+==⎝⎭. 由于22z x y =+，所以，min 12z =. 因此，实数z 的最小值为12. 故选：C. 【点睛】本题考查线性规划中非线性目标函数最值的求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.7．已知,x y 满足33025010x y x y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则36y z x -=-的最小值为（ ）A ．157B ．913C ．17D ．313【答案】D 【解析】 【分析】画出可行域，目标函数36y z x -=-的几何意义是可行域内的点与定点(6,3)P 连接的斜率，根据图像得到答案. 【详解】画出可行域如图中阴影部分所示， 目标函数36y z x -=-的几何意义是可行域内的点与定点(6,3)P 连接的斜率.直线330x y -+=与直线10x y +-=交于点13(,)22A -，由图可知，当可行域内的点为A 时，PA k 最小，故min 333211362z -==--. 故选：D .【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.8．已知直线22+=mx ny ()0,0m n >>过圆()()22125x y -+-=的圆心，则11m n+的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D 【解析】 【分析】圆心坐标为(1,2)，代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值． 【详解】圆22(1)(2)5x y -+-=的圆心为(1,2)，由题意可得222m n +=，即1m n +=，m ，0n >，则1111()()24n m m n m n m n m n +=++=++…，当且仅当n mm n =且1m n +=即12m n ==时取等号， 故选：D ． 【点睛】本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，考查运算能力，属于基础题．9．若直线过点，则的最小值等于（ ）A ．5B ．C ．6D ．【答案】C 【解析】∵直线过点，∴，∴，∵，∴，，，当且仅当时，等号成立，故选C.点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．10．已知函数()2222,2{log ,2x x x f x x x -+≤=> ，若0R x ∃∈，使得()2054f x m m ≤- 成立，则实数m 的取值范围为 （ ） A ．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】由函数的解析式可得函数的最小值为：()11f =,则要考查的不等式转化为：2154m m ≤-，解得：114m ≤≤，即实数m 的取值范围为 1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦.本题选择B 选项.点睛： (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．11．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3C π<”，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项. 【详解】充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-， 所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-，整理得，2212cos a b C ab++>，由基本不等式，222a b ab +≥=，当且仅当a b =时等号成立， 此时，12cos 2C +>，即1cos 2C >，解得3C π<， 充分性得证；必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291cos 247562C +-==>⨯⨯，故3C π<，但228ab c =<，故3C π<推不出2ab c >.故必要性不成立； 故p 是q 的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.12．已知变量,x y 满足约束条件121x y x +⎧⎨-⎩剟„，则x y y +的取值范围是( )A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,3⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】 作出不等式121x y x +⎧⎨-⎩剟„表示的平面区域，整理得：x y y +1x y =+，利用yx 表示点(),x y 与原点的连线斜率，即可求得113x y -<-„，问题得解．将题中可行域表示如下图，整理得：x y y+1xy =+ 易知yk x=表示点(),x y 与原点的连线斜率， 当点(),x y 在()1.3A -处时，yk x=取得最小值-3. 且斜率k 小于直线1x y +=的斜率-1， 故31k -≤<-，则113x y -<-„， 故203x y y +<„. 故选B 【点睛】本题主要考查了利用线性规划知识求分式型目标函数的取值范围，考查转化能力，属于中档题．13．已知直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（ ）A ．12k >B ．16k <-或12k > C ．62k -<< D ．1162k -<< 【答案】D 【解析】 【分析】联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，可解得交点坐标(,)x y ，由于直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，可得00x y >⎧⎨>⎩，解得即可．【详解】 解：联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得24216121k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， Q 直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限， ∴2402161021k k k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩，解得：1162k -<<． 故选：D ．【点睛】本题考查两直线的交点和分式不等式的解法，以及点所在象限的特征．14．已知2(0,0)x y xy x y +=>>，则2x y +的最小值为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．7 【答案】B【解析】【分析】 由已知等式得到211x y +=，利用()2122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭可配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值.【详解】由2x y xy +=得：211x y+= ()212222559x y x y x y x y y x ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭（当且仅当22x y y x =，即x y =时取等号）2x y ∴+的最小值为9故选：B【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活对等于1的式子进行应用，配凑成符合基本不等式的形式.15．某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是( )A．169πB．89πC．1627πD．827π【答案】A【解析】【分析】根据条件求出圆柱的体积，利用基本不等式研究函数的最值即可．【详解】解：设圆柱的半径为r，高为x，体积为V，则由题意可得323r x-=，332x r∴=-，∴圆柱的体积为23()(3)(02)2V r r r rπ=-<<，则33333163331616442()(3)()9442939r r rV r r r rπππ++-=-=g g g g…．当且仅当33342r r=-，即43r=时等号成立．∴圆柱的最大体积为169π，故选：A．【点睛】本题考查圆柱的体积和基本不等式的实际应用，利用条件建立体积函数是解决本题的关键，是中档题．16．已知正数x，y满足144x y+=，则x y+的最小值是（）A．9 B．6 C．94D．52【答案】C【解析】【分析】先把x y +转化成114()4x y x y ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭，展开后利用均值不等式即可求解. 【详解】Q 正数x ，y 满足144x y+=，1141419()1454444y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫∴+=+⋅+=++++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝…， 当且仅当4144y x x y x y⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即34x =，32y =时，取等号. 故选：C【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，基本不等式一定要把握好“一正，二定，三相等”的原则，属于基础题.17．实数,x y 满足020360x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2x y -的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到答案.【详解】如图所示，画出可行域和目标函数， 2z x y =-，则2y x z =-，z 表示直线与y 轴截距的相反数，根据平移知：当3,3x y ==时，2z x y =-有最大值为3.故选：C .【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.18．已知实数x y ，满足1030350x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则()22(4)2z x y =-+-的最小值为（ ） A 5B ．5 C ．3 D ．52【答案】D【解析】【分析】由题意作出其平面区域，22(4)(2)z x y =-+-可看成阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方，求阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方最小值即可．【详解】 解：由题意作出实数x ，y 满足1030350x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩……„平面区域， 22(4)(2)z x y =-+-可看成阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方，则22(4)(2)z x y =-+-的最小值为P 到350x y --=的距离的平方， 解得，2222523(1)d -⎛⎫+==； 所以min 52z =故选：D ．【点睛】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，用到了表达式的几何意义的转化，属于中档题．19．若x 、y 满足约束条件4200x y x y y +≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，目标函数z ax y =+取得最大值时的最优解仅为(1,3)，则a 的取值范围为（ ）A ．(1,1)-B ．(0,1)C ．(,1)(1,)-∞⋃+∞D ．(1,0]-【答案】A【解析】【分析】结合不等式组，绘制可行域，判定目标函数可能的位置，计算参数范围，即可．【详解】结合不等式组，绘制可行域，得到：目标函数转化为y ax z =-+，当0a -≥时，则<1a -，此时a 的范围为(]1,0-当0a -<时，则1a ->-，此时a 的范围为()0,1，综上所述，a 的范围为()1,1-，故选A ．【点睛】本道题考查了线性规划问题，根据最值计算参数，关键明白目标函数在坐标轴上可能的位置，难度偏难．20．已知实数,x y 满足线性约束条件1020x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则1yx +的取值范围为（ ） A ．(-2,-1］B ．(-1,4］C ．[-2,4)D ．[0,4] 【答案】B【解析】【分析】作出可行域，1y x +表示可行域内点(,)P x y 与定点(0,1)Q -连线斜率，观察可行域可得最小值．【详解】作出可行域，如图阴影部分（含边界），1y x +表示可行域内点(,)P x y 与定点(0,1)Q -连线斜率，(1,3)A ，3(1)410QA k --==-，过Q 与直线0x y +=平行的直线斜率为－1，∴14PQ k -<≤．故选：B ．【点睛】本题考查简单的非线性规划．解题关键是理解非线性目标函数的几何意义，本题1y x+表示动点(,)P x y 与定点(0,1)Q -连线斜率，由直线与可行域的关系可得结论．。
高二下学期数学期末复习大串讲(新人教版必修5)专题03不等式Word版含解析
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(2021·重庆)在区间0 ,5]上随机地选择一个数p ,那么方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．【答案】233．(2021·重庆卷)关于x 的不等式x 2－2a x －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1 ,x 2) ,且x 2－x 1＝15 ,那么a ＝( )A .52B .72C .154 D.152【答案】A【解析】由条件知x 1 ,x 2为方程x 2－2a x －8a 2＝0的两根 ,那么x 1＋x 2＝2a ,x 1x 2＝－8a 2 ,由(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152 ,解得a ＝52(负值舍去) ,应选A .4.(2021·全国卷Ⅰ)假设函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞ ,＋∞)单调递增 ,那么a 的取值范围是( )A ．－1 ,1]B ．－1 ,13]C ．－13 ,13 ]D ．－1 ,－13]【答案】C【解析】方法一：对函数f (x )求导得f ′(x )＝1－23c os 2x ＋ac os x ＝－43c os 2x ＋ac os x ＋53 ,因为函数f (x )在R 上单调递增 ,所以f ′(x )≥0 ,即－43c os 2x ＋ac os x ＋53≥0恒成立．设t ＝c os x ∈－1 ,1] ,那么g (t )＝4t 2－3at －5≤0在－1 ,1]上恒成立 ,所以有⎩⎪⎨⎪⎧g (－1 )＝4×(－1 )2－3a × (－1 )－5≤0 g (1 )＝4×12－3a ×1－5≤0 解得－13≤a ≤13.方法二：取a ＝－1 ,那么f (x )＝x －13sin 2x －sin x ,f ′(x )＝1－23c os 2x －c os x ,但f ′(0)＝1－23－1＝－23<0 ,不满足f (x )在(－∞ ,＋∞)单调递增 ,排除A ,B ,D ,应选C .专题二：简单的线性规划问题【典例1】假设变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0 x －y ≤0x －2y ＋2≥0 那么z ＝2x －y 的最||小值等于( )A ．－52 B ．－2 C ．－32 D ．2【答案】 A【解析】 作可行域如图 ,由图可知 ,当直线z ＝2x －y 过点A 时 ,z 值最||小．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0x ＋2y ＝0得点A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1 12 ,z min ＝2×(－1)－12＝－52.【举一反三】1.如图 ,△ABC 及其内部的点组成的集合记为D ,P (x ,y )为D 中任意一点 , 那么z ＝2x ＋3y 的最||大值为________．【答案】 72. x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0 x ＋y ≤2y ≥0.假设z ＝ax ＋y 的最||大值为4 ,那么a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3【答案】 B【解析】画出不等式组表示的平面区域如图阴影局部所示 ,假设z ＝ax ＋y的最||大值为4 ,那么最||优解为x ＝1 ,y ＝1或x ＝2 ,y ＝0 ,经检验知x ＝2 ,y ＝0符合题意 ,∴2a ＋0＝4 ,此时a ＝2 ,应选B .3．实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋7≥0 4x －3y －12≤0x ＋2y －3≥0 那么目标函数z ＝x 2＋y 2的最||小值为________．【答案】 954. 假设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0 x －y ≤0x ＋y －4≤0 那么yx 的最||大值为________．【答案】 3 【解析】画出可行域如图阴影所示 ,∵yx 表示过点(x ,y )与原点(0,0)的直线的斜率 , ∴点(x ,y )在点A 处时y x 最||大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1 x ＋y －4＝0 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1 y ＝3.∴A (1,3)．∴y x 的最||大值为3. 【解题反思】1．利用可行域求线性目标函数最||值的方法;首||先利用约束条件作出可行域 ,根据目标函数找到最||优解时的点 ,解得点的坐标代入求解即可．2．利用可行域及最||优解求参数及其范围的方法;利用约束条件作出可行域 ,通过分析可行域及目标函数确定最||优解的点 ,再利用可解参数的值或范围． 3．利用可行域求非线性目标函数最||值的方法;画出可行域 ,分析目标函数的几何意义是斜率问题还是距离问题 ,依据几何意义可求得最||值． 【高|考链接】1.【2021高|考新课标3理数】假设,x y 满足约束条件1020220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩那么z x y =+的最||大值为_____________. 【答案】322．(2021·福建高|考)变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0 x －2y ＋2≥0mx －y ≤0.假设z ＝2x －y 的最||大值为2 ,那么实数m 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 【答案】 C【解析】 对于选项A ,当m ＝－2时 ,可行域如图(1) ,直线y ＝2x －z 的截距可以无限小 ,z 不存在最||大值 ,不符合题意 ,故A 不正确；对于选项B ,当m ＝－1时 ,mx －y ≤0等同于x ＋y ≥0 ,可行域如图(2) ,直线y ＝2x －z 的截距可以无限小 ,z 不存在最||大值 ,不符合题意 ,故B 不正确；对于选项C ,当m ＝1时可行域如图(3) ,当直线y ＝2x －z 过点A (2,2)时截距最||小 ,z 最||大为2 ,满足题意 ,故C 正确；对于选项D ,当m ＝2时 ,可行域如图 (4) ,直线y ＝2x －z 与直线OB 平行 ,截距最||小值为0 ,z 最||大为0 ,不符合题意 ,故D 不正确．应选C .3.(2021年高|考四川理数)设p ：实数x ,y 满足22(1)(1)2x y -+-≤ ,q ：实数x ,y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩那么p 是q 的( ) (A )必要不充分条件 (B )充分不必要条件 (C )充要条件 (D )既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】画出可行域 (如下列图 ) ,可知命题q 中不等式组表示的平面区域ABC ∆在命题p 中不等式表示的圆盘内 ,应选A .4.(2021高|考浙江理数)在平面上 ,过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域200340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中的点在直线x +y -2 =0上的投影构成的线段记为AB ,那么│AB │ = ( ) A ．22 B ．4 C ．32D ．6 【答案】C5. (2021·陕西卷) 某企业生产甲、乙两种产品均需用A ,B 两种原料．生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元 ,那么该企业每天可获得最||大利润为( )甲乙原料限额 A (吨) 3 212B (吨)1 2 8A .12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元【答案】D【解析】设该企业每天生产甲种产品x 吨、乙种产品y 吨 ,那么x ,y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12x ＋2y ≤8 x ≥0y ≥0可获利润z ＝3x ＋4y .约束条件表示的平面区域是以(0 ,0) ,(4 ,0) ,(2 ,3) ,(0 ,4)为顶点的四边形及其内部 ,把各顶点坐标代入检验可知 ,目标函数在点(2 ,3)处取得最||大值3×2＋4×3＝18 ,即该企业每天可获得最||大利润为18万元．专题三：根本不等式【典例1】正实数x ,y 满足x ＋2y －xy ＝0 ,那么x ＋2y 的最||小值为________． 【答案】 8【举一反三】 x >0 ,那么xx 2＋4的最||大值为________． 【答案】 14 【解析】x x 2＋4＝1x ＋4x ,∵x >0 ,∴4x >0 ,∴x x 2＋4＝1x ＋4x ≤12x ·4x＝14 ,当且仅当x ＝4x (x >0) ,即x ＝2时等号成立 ,∴x x 2＋4的最||大值为14. 2.各项为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5 ,假设存在两项a m ,a n ,使得a m ·a n ＝22a 1 ,那么1m ＋4n 的最||小值为________． 【答案】95【解析】设公比为q (q >0) ,由a 7＝a 6＋2a 5得a 5q 2＝a 5q ＋2a 5 ,∴q 2－q －2＝0(q >0) ,∴q ＝2.由a m ·a n ＝22a 1 ,得a 1·2m －1·a 1·2n －1＝8a 21 ,∴2m ＋n －2＝8 ,即m ＋n －2＝3.∴m ＋n ＝5.那么1m ＋4n ＝15×⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n (m ＋n )＝15⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋4m n ≥15(5＋4)＝95 ,当且仅当n ＝2m ＝103时 ,等号成立．x ,y 满足x ＋y ＝1 ,那么z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y 的最||小值为________．【答案】 254【解题反思】利用根本不等式求最||值的常用技巧1．假设直接满足根本不等式条件 ,那么直接应用根本不等式．2．假设不直接满足根本不等式条件 ,那么需要创造条件对式子进行恒等变形 ,如构成 "1〞的代换等．3．假设一次应用根本不等式不能到达要求 ,需屡次应用根本不等式 ,要注意等号成立的条件必须要一致． 【高|考链接】1．(2021·陕西高|考)设f (x )＝ln x,0<a <b ,假设p ＝f (ab ) ,q ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 ,r ＝12(f (a )＋f (b )) ,那么以下关系式中正确的选项是( ) A ．q ＝r <p B ．p ＝r <q C ．q ＝r >p D ．p ＝r >q【答案】 B【解析】 因为b >a >0 ,故a ＋b 2>ab .又f (x )＝ln x (x >0)为增函数 ,所以f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2>f (ab ) ,即q >p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p .2．(2021·福建高|考)要制作一个容积为4 m 3 ,高为1 m 的无盖长方体容器．该容器的底面造价是每平方米20元 ,侧面造价是每平方米10元 ,那么该容器的最||低总造价是( ) A ．80元 B ．120元 C ．160元 D ．240元【答案】 C【解析】由题意知 ,体积V ＝4 m 3 ,高h ＝1 m ,所以底面积S ＝4 m 2 ,设底面矩形的一条边长是x m ,那么另一条边长是4x m ,又设总造价是y 元 ,那么y ＝20×4＋10×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8x ≥80＋202x ·8x ＝160 ,当且仅当2x ＝8x,即x ＝2时取得等号． 3． (2021·四川卷) 设实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤10 x ＋2y ≤14 x ＋y ≥6那么xy 的最||大值为()A .252B .492 C ．12 D ．16 【答案】 A【解析】画出可行域如下列图．可知当曲线z ＝xy 与线段AC 相切时xy 取得最||大值．此时2x ＋y ＝10 ,故xy ＝12·2x ·y ≤12⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22＝252 ,当且仅当x ＝52 ,y ＝5时取等号 ,对应点落在线段AC 上 ,故xy 的最||大值为252 ,选A .4.(2021·上海卷)设a >0 ,bx ,y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋y ＝1x ＋by ＝1无解 ,那么a ＋b 的取值范围是________． 【答案】(2 ,＋∞)5.(2021·江苏卷)在锐角三角形ABC中,假设sin A＝2sin B sin C ,那么t a n A t a n B t a n C 的最||小值是________．【答案】8【解析】方法一：∵sin A＝2sin B sin C ,sin A＝sin(B＋C)＝sin Bc os C＋c os B sin C , ∴sin Bc os C＋c os B sin C＝2sin B sin C ,两边同除以c os Bc os C ,可得t a n B＋t a n C＝2t a n B t a n C ,t a n A t a n B t a n C＝－t a n(B＋C)t a n B t a n C＝－tan B＋tan C1－tan B tan C·t a n B t a n C＝2 (tan B tan C )2 tan B tan C－1,由三角形为锐角三角形得t a n B>0 ,t a n C>0 ,t a n A＝tan B＋tan Ctan B tan C－1>0 ,即t a n B t a nC－1>0.令t a n B t a n C－1＝t(t>0) ,那么t a n A t a n B t a n C＝2 (t＋1 )2t＝2t＋1t＋2≥8 ,当t＝1 ,即t a n B t a n C＝2时取等号．方法二：同方法一可得t a n B＋t a n C＝2t a n B t a n C ,又t a n A＋t a n B＋t a n C＝t a n A ＋(1－t a n B t a n C)·t a n(B＋C)＝t a n A－t a n A＋t a n A t a n B t a n C＝t a n A t a n B t a nC ,所以t a n A t a n B t a n C＝t a n A＋t a n B＋t a n C＝t a n A＋2t a n B t a nC≥22tan A tan B tan C⇒t a n A t a n B t a n C≥8 ,当且仅当t a n A＝2t a n B t a n C＝4时取等号．【数学文化】浅谈线性规划问题线性规划(Line a r progr a mming ,简称LP )是运筹学中研究较早、开展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法.英文缩写LP .它是运筹学的一个重要分支,广泛应用于军|事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面.为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最||优决策,提供科学的依据.一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最||大值或最||小值的问题,统称为线性规划问题.决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素.一、简单的线性规划应用题举例1．某家具厂有方木料90m 3 m 3 m 3、五合板1㎡ ,出售一张书桌可获得利润80元 ,出售一个书橱可获得利润120元．如果只安排生产书桌 ,可获利润多少 ?如果只安排生产书橱 ,可获利润多少 ?怎样安排生产可使所得利润最||大 ? 【解析】将数据列成下表:方木料 (m 3 ) 五合板 (㎡ ) 利润 (元 ) 书桌 (个 ) 2 80 书橱 (个 ) 1 120 限额90600⑴只生产书桌 因为90÷0.1 =900 ,600÷2 =300.所以 ,可产生书桌300张 ,用完五合板 ,此时获利润为80×300 =24000 (元 )；⑵只生产书橱 因为90÷0.2 =450 ,600÷1 =600 ,所以 ,可产生450个书橱 ,用完方木料.此时获利润为120×450 =54000 (元 )；⑶假设既安排生产书桌 ,也安排生产书橱 设安排生产书桌x 张 ,安排生产书橱y 个,可获利润z 元 ,那么0.10.290260000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ 产品资源消耗量答：由上面⑴⑵⑶知：只安排生产书桌 ,可获利润24000元；只生产书橱 ,可获利润为54000元；当生产书桌100张 ,书橱400个时 ,刚好用完方木料和五合板 ,且此时获得最||大利润 ,为56000元. 解法归纳总结；线性规划问题的难点表现在三个方面：一是将实际问题抽象为线性规划模型；二是线性约束条件和线性目标函数的几何表征；三是线性规划最||优解的探求． 二、常见线性规划问题解题策略 (1 )线性目标函数问题当目标函数是线性关系式如z ax by c =++ (0b ≠ )时 ,可把目标函数变形为a z c y xb b -=-+ ,那么z c b-可看作在y 在轴上的截距 ,然后平移直线法是解决此类问题的常用方法 ,通过比较目标函数与线性约束条件直线的斜率来寻找最||优解.一般步骤如下：1.做出可行域;2.平移目标函数的直线系,根据斜率和截距,求出最||优解.例1.设x ,y 满足约束条件x y y x y +≤≤≥⎧⎨⎪⎩⎪10,,,求z x y =+2的最||大值、最||小值 .(2 )非线性目标函数问题的解法当目标函数时非线性函数时 ,一般要借助目标函数的几何意义 ,然后根据其几何意义 ,数形结合 ,来求其最||优解 .近年来 ,在高|考中出现了求目标函数是非线性函数的范围问题.这些问题主要考察的是等价转化思想和数形结合思想,出题形式越来越灵活,对考生的能力要求越来越高.常见的有以下几种：1． 比值问题；当目标函数形如y az x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率 ,这样目标函数的最||值就转化为PQ 连线斜率的最||值 .x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0 x ≥1 x ＋y －7≤0那么 yx的取值范围是 ( ).(A )95 ,6] (B ) (－∞ ,95]∪6 ,＋∞ )(C ) (－∞ ,3]∪6 ,＋∞ ) (D )3 ,6]【解析】 yx是可行域内的点M (x ,y )与原点O (0 ,0 )连线的斜率 ,当直线OM 过点 (52 ,92 )时 ,y x 取得最||小值95；当直线OM 过点 (1 ,6 )时 ,yx 取得最||大值6. 答案A2．距离问题；当目标函数形如22()()z x a y b =-+-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q a b 距离的平方 ,这样目标函数的最||值就转化为PQ 距离平方的最||值 .⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0 x －2y ＋4≥0 3x －y －3≤0 求x 2＋y 2的最||大值与最||小值.z 取得最||小值 ,从而z 取得最||小值.设切点坐标为 (x 0 ,y 0 ) ,那么⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＋y 0－2＝0 y 0x 0· (－2 )＝－1.解得x 0＝45 ,y 0＝25.因此 ,z min ＝(45 )2＋(25 )2＝45.故 ,当x ＝2 ,y ＝3时 ,x 2＋y 2取得最||大值13；当x ＝45 ,y ＝25时 ,x 2＋y 2取得最||小值45.3． 截距问题x+y 00x y x a ≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域面积为81 ,那么2x y +的最||小值为_____ 【解析】令2z x y =+ ,那么此式变形为2y x z =-+ ,z 可看作是动抛物线2y x z =-+在y 轴上的截距 ,当此抛物线与y x =-相切时 ,z 最||小 ,故答案为14-4．向量问题P 的坐标 (x ,y )满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+≤+-.01,2553,034x y x y x 及A (2 ,0 ) ,那么OP OA OA ⋅的最||大值是 .(3 )线性变换问题x O y 中 ,平面区域A ＝{ (x ,y )|x ＋y ≤1 ,且x ≥0 ,y ≥0} ,那么平面区域B ＝{ (x ＋y ,x －y )| (x ,y )∈A }的面积为 .【解析】令x ＋y ＝u ,x －y ＝v ,那么x ＝u ＋v 2 ,y ＝u －v 2.由x ＋y ≤1 ,x ≥0 ,y ≥0得 u ≤1 ,u ＋v ≥0 ,u －v ≥0.因此 ,平面区域BS ＝12×2×1＝1.(4 )与线性规划有关的综合问题x>003y y nx n ⎧⎪>⎨⎪≤-+⎩所表示的平面区域面积为n D ,记n D 内整点的个数为()n a n N *∈ Ⅰ,求{}n a 的通项；Ⅱ ,记{}n a 的前项和为n S ,且132n n n S T -=⋅ ,假设对一切n N *∈ ,总有,n T m ≤求m 的取值范围(5 )线性规划的逆向问题x ＝23 ,y ＝45时 ,目标函数z ＝ax －y 取最||小值 ,那么实数a 的取值范围是 .【解析】当直线y ＝ax －z (a ＜0 )过点 (23 , 45) ,且不与直线AC ,BC 重合时,－z 取得最||大值 ,从而z取得最||小值.k AC＝4 523－1＝－125,k BC＝45－123＝－310.所以,实数a的取值范围是(－125,－310).精品"正版〞资料系列,由本公司独创 .旨在将"人教版〞、〞苏教版"、〞北师大版"、〞华师大版"等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和检测题分享给需要的朋友 .本资源创作于2021年8月,是当前最||新版本的教材资源 .包含本课对应内容,是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最||正确选择 .。
高考数学压轴专题人教版备战高考《不等式选讲》全集汇编含答案
【高中数学】《不等式选讲》知识点汇总一、141．已知()()31f x x x R =+∈，若()4f x a -<的充分条件是()1,0x b a b -<>，则a 、b 之间的关系是（ ）A ．3b a ≤B ．3a b ≤C ．3a b >D ．3b a >【答案】B 【解析】 【分析】解出不等式()4f x a -<和1x b -<，根据题中充分条件关系得出两解集之间的包含关系，然后得出不等式组，即可得出a 、b 之间的关系. 【详解】()31f x x =+Q ，且0a >，0b >，解不等式()4f x a -<，即33x a -<，解得1133a a x -<<+， 解不等式1xb -<，得11b x b -<<+.由于()4f x a -<的充分条件是1x b -<，则()1,11,133a a b b ⎛⎫-+⊆-+ ⎪⎝⎭， 113113a b ab ⎧-≥-⎪⎪∴⎨⎪+≤+⎪⎩，可得3a b ≤.故选：B. 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用充分条件关系求参数之间的关系，一般转化为集合的包含关系来处理，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.2．325x -≥不等式的解集是（ ） A ．{|1}x x ≤- B ．{|14}x x -≤≤C ．{|14}x x x ≤-≥或D ．{|4}x x ≥【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值定义化简不等式，求得解集. 【详解】因为325x -≥，所以325x -≥或325x -≤-，即14x x ≤-≥或，选C. 【点睛】本题考查含绝对值不等式解法，考查基本求解能力.3．2018年9月24日, 英国数学家M.F 阿蒂亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程,引起数学界震动. 黎曼猜想来源于一些特殊数列求和, 记2221111.........,23S n 则（）=+++++A ．413S << B ．4332S << C ．322S << D ．2S > 【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用不等式放缩后裂项确定S 的范围即可. 【详解】由题意可知：222111123S n =+++++L L()111123341n n >+++++⨯⨯+L L 111111123341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 13122>+=， 且222111123S n=+++++L L ()111112231n n <+++++⨯⨯-⨯L L 11111112231n n L L ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭122n L =-+<，综上可得：322S <<. 本题选择C 选项. 【点睛】本题的核心是考查裂项求和的方法，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．4．2018年9月24日，英国数学家M.F 阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和.记无穷数列21n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的各项的和222111123S n L L =+++++，那么下列结论正确的是（ ） A ．413S << B ．5443S << C ．322S << D ．2S >【答案】C 【解析】 【分析】由2n ≥时，()2111111n n n n n<=---，由裂项相消求和以及不等式的性质可得2S <,排除D ，再由前3项的和排除A ，B ，从而可得到结论. 【详解】由2n ≥时，()2111111n n n n n<=---， 可得222111111111...11...232231n S n n n =++++<+-+-++--12n=-， n →+∞时，2S →，可得2S <,排除D ，由22111341123363++=+>，可排除,A B ,故选C. 【点睛】本题主要考查裂项相消法求数列的和，以及放缩法和排除法的应用,属于中档题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.5．在平面内，已知向量(1,0)a =v ，(0,1)b =v ，(1,1)c =v，若非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，且23p xa yb zc =++v v v v，则（ ）A ．p vB ．p v的最大值为C ．p vD ．p v的最大值为【答案】A 【解析】 【分析】求出p v 的坐标，表示p v ，即：p v柯西不等式即可求得其最小值，问题得解． 【详解】因为()1,0a =v ，()0,1b =v ，()1,1c =v，所以23p xa yb zc =++v v v v=()3,23x z y z ++，又非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，所以01z ≤≤，所以p v ==≥==≥= 当且仅当()()31232,0x z y z z +⨯=+⨯=时，等号成立． 即：当且仅当41,,055x y z ===时，等号成立．所以p v， 故选A. 【点睛】本题主要考查了柯西不等式的应用，还考查了向量的模及坐标运算，考查构造能力，属于中档题．6．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*21221n n a a S n n N +==++∈，，若对任意的*n N ∈，1211120nn a n a n a λ++⋯+-≥+++恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．(]2∞-，B ．(]1∞-，C ．14∞⎛⎤- ⎥⎝⎦， D ．12，∞⎛⎤- ⎥⎝⎦ 【答案】C 【解析】 【分析】2212,21n n a a S n +==++ ()*n N ∈，可得2n ≥时，()221121210n n n n n n a a S S a a +--=-+=+>，．可得11n n a a +=+时，212224a a +==，解得1a ．利用等差数列的通项公式可得n a ．通过放缩即可得出实数λ的取值范围． 【详解】2212,21n n a a S n +==++Q ()*n N ∈，2n ∴≥时，()22112121n n n n n a a S S a +--=-+=+，化为：222121(1)n n n n a a a a +=++=+，0n a >．11n n a a +∴=+，即11n n a a +-=，1n =时，212224a a +==，解得11a =．∴数列{}n a 为等差数列，首项为1，公差为1．11n a n n ∴=+-=． 1211111112n n a n a n a n n n n∴++⋯+=++⋯+++++++. 记11112n b n n n n =++⋯++++，1111111211n b n n n n +=++⋯++++++++. ()()11111022*******n n b b n n n n n +-=+-=>+++++. 所以{}n b 为增数列，112n b b ≥=,即121111111122n n a n a n a n n n n ++⋯+=++⋯+≥++++++. Q 对任意的*n N ∈，1211120nn a n a n a λ++⋯+-≥+++恒成立， 122λ∴≤，解得14λ≤ ∴实数λ的取值范围为14∞⎛⎤- ⎥⎝⎦，．故选C ． 【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．设0x 为函数()sin f x x π=的零点，且满足001()112x f x ++<，则这样的零点有（ ） A ．18个 B ．19个C ．20个D ．21个【答案】D 【解析】从题设可得00()x k x k k Z ππ=⇒=∈，又001()sin()sin()(1)222k f x x k ππππ+=+=+=-，故(1)11k k +-<，当k 取奇数时，12k <，则1,3,5,7,9,11k =±±±±±±，共12个数；当k 取偶数时，10k <，则0,2,4,6,8k =±±±±，共9个数，所以这样的零点的个数共有21个，应选答案D 。
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不等式的基本知识（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,； bc ac c b a <⇒<>0,bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(同向同正可乘)(5)倒数法则：ba ab b a 110,<⇒>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且(7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n且2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表： 0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=22、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。
解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。
()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩3、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <（三）线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）3、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数； （2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）依据线性目标函数作参照直线a x +b y ＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解（四）基本不等式2a bab +≤1．若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号. 2．如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 变形： 有:a+b ≥ab 2；ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ,当且仅当a=b 时取等号.3．如果a,b ∈R+,a ·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P 2;如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值42S .注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4.常用不等式有：（12211a b a b+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）；（3）若0,0a b m >>>，则b b ma a m+<+（糖水的浓度问题）。
不等式主要题型讲解（一） 不等式与不等关系 题型一：不等式的性质1. 对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若； ④ba b a 11,0<<<则若； ⑤baa b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。
其中正确的命题是______题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）2. 设2a >，12p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小3. 比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小4. 若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1ba Rb a Q b a P b a +=+=⋅=>>，则R Q P ,,的大小关系是 .（二） 解不等式 题型三：解不等式5. 解不等式6. 解不等式2(1)(2)0x x -+≥。
7. 解不等式25123xx x -<---8. 不等式2120ax bx ++>的解集为{x|-1＜x ＜2}，则a =_____, b=_______9. 关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式02>-+x bax 的解集为10. 解关于x 的不等式2(1)10ax a x -++<题型四：恒成立问题11. 关于x 的不等式a x 2+ a x +1＞0 恒成立，则a 的取值范围是_____________12. 若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围.13. 已知0,0x y >>且191x y+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。
2a b+≤题型五：求最值14. （直接用）求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x15. （配凑项与系数）（1）已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
（2）当时，求(82)y x x =-的最大值。
16. （耐克函数型）求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x=+的单调性。
17. （用耐克函数单调性）求函数224y x =+的值域。
18. （条件不等式）（1） 若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 .（2） 已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。
（3） 已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2 的最大值.（4） 已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab 的最小值.题型六：利用基本不等式证明不等式19. 已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++22220. 正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc21. 已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=。
求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭题型七：均值定理实际应用问题：22. 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m 2的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。
（四）线性规划题型八：目标函数求最值23. 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+≤-+0,087032y x y x y x ，求目标函数y x k +=3的最大值24.已知实系数一元二次方程2(1)10x a x a b +++++=的两个实根为1x 、2x ,并且102x <<,22x >．则1ba -的取值范围是25. 已知,x y 满足约束条件：03440x x y y ≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩ ,则222x y x ++的最小值是26. 已知变量230,330.10x y x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩满足约束条件若目标函数z ax y =+（其中a>0）仅在点（3，0）处取得最大值，则a 的取值范围为 。
27. 已知实数x y ，满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，，．如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于（ ）题型九：实际问题28.某饼店制作的豆沙月饼每个成本35元，售价50元；凤梨月饼每个成本20元，售价30元。
现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过10个，售价不超过350元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大？又利润最大为多少？复习――不等式的基本知识参考答案高中数学必修内容练习---不等式1.②③⑥⑦⑧； 2.p q >； 3. 当01x <<或43x >时，1+3log x ＞2log 2x ；当413x <<时，1+3log x ＜2log 2x ；当43x =时，1+3log x ＝2log 2x 4. ∵1>>b a ∴0lg ,0lg >>b a 21=Q （p b a b a =⋅>+lg lg )lg lg Q ab ab b a R ==>+=lg 21lg )2lg( ∴R >Q >P 。