第十六章 初等几何变换

F
E
G
D C
第 3 题图
4. 已知 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上任一点，PE⊥BC
于 E，PF⊥CD 于 F，求证 AP⊥EF.
D
F
C
证明：由题意知 PF=DF PE=BE 将△EPF 绕 P 点顺时针旋转 90°到△E´PF´
P F´ E
∴ PF=PF´ ∴ DF=AE´=PF=PF´ ∴PF´∥= AE´ ∴ 四边形 AE´F´P 为平行四边形
是中心对称图形（如图所示），在△AHG 与△CFE 中
∵ GH∥EF AH∥CF AG∥CE
∴ ∠AGH=∠CEF ∠AHG=∠CFE
D
∴△AGH≌△CEF
G
∴ CF=AH CE=AG
O
∴ H 与 F G 与 E 是对应的对称
AH
第 15 题图 点，所以 HF 与 GE 都通过平行四边形 ABCD 的中心.
BD²+CD²=2AD² 证明：以 A 为中心将△ABD 旋转π/2
A D´
角到△ACD´ ∴△ABD≌△ACD´ ∴ AD=AD´，BD=CD´ ∴ AD⊥AD´ CD´⊥CD
B
D
C
第 6 题图
∴ BD²+CD²=CD´²+CD²=DD´²=AD²+AD´²=2AD²
即 BD²+CD²=2AD² 7. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，
∵ 整个图形关于 AC 对称，由对称性可知 CH=HF=CG=EG=(2－ 2)AB
F
DH
C
G
A
BE
第 16 题图
17. 由正方形 ABCD 分别向外（或向内）侧作等边三角形 ABK、
BCL、CDM、DAN，证明：四线段 KL、LM、MN、NF 的中点及八
线段 AK、BK、BL、CL、CM、DM、DN、AN 的中点是 N
OA₁=OB₁=OC₁
又由已知条件易证 △CA₁B₁≌△AB₁C₁≌△BC₁A₁
∴ A₁B₁=B₁C₁=C₁A₁ △A₁B₁C₁是正三角形
因此，O 点是△A₁B₁C₁的外心，也是它的重心。
另一方面，旋转 120°以后，BB₁和 CC₁，落在 CC₁和 AA₁原先
的位置。因此，BB₁和 CC₁的交点 A₂将落在 CC₁和 AA₁的交点 B₂
△CAE 重合 ∴CE⊥BG ∴四边形 PQRS 是正方形。
11. 设 O 为△ABC 内一点，AB=AC，∠AOB＞∠AOC，求证：
OC＞OB.
证明：把△ABO 绕 A 点 旋转到△ACO′位置，使 AB 落在
AC 位置，O′在△ABC 外。连接 OO′
∵ AO=AO′
A
∴ ∠1=∠2
但
∠AO′C=∠AOB＞∠AOC
即
AO＞½(AB+AC－BC)
14. 设 AM 为△ABC 的中线，MD 平分∠AMB，ME 平分∠AMC，
D∈AB，E∈AC ME 平
A
分∠AMC ∴ EM⊥MD
D
E
延长 EM 到 E′使 ME′=ME(以 M 为中心，
对△ECM 作中心反射变换)。连接 BE′
上，又 AH⊥EF 于 H，求证：AH=AB. D
证明：将△AFD 绕 A 点旋转 90°，使△AFD
FC
与△ABF′重合. ∴ C、E、B、F′在一直线上.
H
∵ ∠EAF==45° ∴∠BAE+∠FAD=45°
E
∴ ∠F′AB+∠BAE=45°
A
B
∴ △AF′E≌△AEF ∴ AH=AB
F′ 第 8 题图
角三角形也可能出现 AH 平分∠PHQ 的外角.
S，求证：PQRS 为正方形.
F
证明：连接 CE、BG ∴ RS∥=½BG PQ∥=½BG
C R
∴ RS∥=PQ
G
S
RQ∥=½CE∥=PS ∴ RQ∥=PS ∴ 四边形 PQRS 是平行四边形
A Q
B P
∵ △GAB≌△CAE ∴ CE=BG
∴ 将△GAB 绕 A 点旋转 90°后与
E
D
第 10 题图
为 O，则以 O 为旋转中心，绕 O 旋转 AB A
就能与 AB 重合.
A´ B´
证明：由作法知 OA=OA´，OB=OB´， AB=A´B´ △OAB≌△OA´B´
B 第 5 题图
∴ ∠AOB=∠AOB ∴ ∠AOA´=∠BOB´
6. 设 D 为等腰直角三角形 ABC 斜边 BC 上任一点，求证：
∠4=∠C ∴ ∠2=∠4
2
A´
6C
第 18 题图
设
∠AC′B=∠BA′C=∠CB′A=α
∴ ∠C′A′C=∠CB′C′=360°－(∠2－α)=360°－∠4
－α
∠5=α－∠1－∠3=α－∠A－∠B=α－(∠A+∠B)
∠6=∠C－2(90°－½α)= α－(180°－∠C)= α－(∠A+
∠B)
∴ S△ABC: S△A´B´C´=4：3 同理 S△A´B´C´：S△A″B″C″=4：3
3. 试证：三角形的大边上的中线比小边上的中线短. A
证明：设 AB＞BC＞CA,
由△BCF 与△CAF，得∠BFC＞∠AFC
由△BGF 与△AGF，得 BG＞AG B
∴BE＞AD
用旋转变换解下列各题（4～12）
A E´
B
第 4 题图
∴ AP∥E´F´ E´F´⊥EF ∴ AP⊥EF
5. 平面上给定相等但不平行的两条线段 AB 和 A´B´,求一个
旋转中心 O,使绕它旋转 AB 能与 A´B´重合。
解：连接 AA´、BB´，分别作 AA´、 O
BB´的垂足平分线，因为 AB 与 A´B´不平
行，所以上两垂直平分线必相交，设交点
FC
E B
用轴对称变换解下列各题（16～17）
16. 在正方形 ABCD的边 AB和 AD的延长线上各有一点 E、F，
且 AE=AF=AC，若 EF 分别交 CB、CD 于 G、H，则有 EG=GC=CH=HF.
证明： 连接 AC ∵ AF=AE=AC= 2A B
∴ BE=( 2－1)AB=BG ∴ EG= 2BE=(2－ 2)AB=CG
P3
K
一个正十二边形的顶点.
P2 P1
A
P4
证明：设 P1、P2、P3、P4„P12 分别是
P12 D
B
DN、AN、NK、AK„MN 的中点. C
M
L
第 17 题图
∵∥=½AK=½AB=½DA
又 P1P2∥=½DA ∴ P1P2 =P2P3 同理 P2P3=P3P4=P4P5=„=P11P12=P12P1
和与第三边一半的差.
B
O
C
证明：延长 AO 到 A′使
A´ 第 13 题图
AO=OA′，连接 BA′，CA′
则 AA′=2AO BA′=AC
BO=CO
在△ABA′中
AA′＜AB+BA′
即
2AO＜AB+BA′ ∴ AO＜½(AB+AC)
∵ AB－BO＜AO ①
AC－OC＜AO ② ∴AB+AC－(BO+OC) ＜2AO
A
G
以 AB 为边作正方形 ABDE，以 AC E
为边作正方形 ACFG，它们都包含
F
Rt△ABC，求证：CE⊥BG.
F´
C
B
H
证明：将△ABG 以 A 为中心旋 转 90°到△AEC
D 第 7 题图
∵ AG⊥AC AB⊥AE ∴ CE⊥BG.
8. 在正方形 ABCD 内，∠EAF=45°，E 在 BC 上，F 在 CD
A
D 为 BC 边的中点，将 GD 延长一倍到 E
（即将 BG 平移到 CE），那么△CGE 的
G
三边等于△ABC 各中线的 2/3，
B
D
C
即 △CGE∽△A´B´C´ 且相似比是 2:3，
E
由于△CGE 的中线 CD=BC/2，
第 2 题图
可见△A´B´C´的一条中线长等于 3 1 BC 3 BC. 这就是说 22 4
B
M
C
则 △BE′M≌△ECM ∴BE′=CE
E´
∵DM⊥EE′且平分 EE′
第 14 题图
∴ DE′=DE
∴DE′＜BE′+BD 即 DE＜BD+CE
15. 设平行四边形 EFGH 内接于平行四边形 ABCD，则四条对
角线 EG、HF、AC、BD 共点.
证明：∵ 四边形 ABCD 与 EFGH 都是平行四边形，因此也都
18. 以△ABC 的三边为底作三个转向相同的相似等腰三角形 C
´AB、A´CB、B´AC，求证：A´CB´C´是平行四边形. A
证明：∵△C′AB∽△A′CB∽△B′AC
BC AB AB AC AB BC AC AB
C´ 3
15
4 B´
∴ △ABC∽△C′B A′∽△C′AB′ ∴ ∠1=∠A ∠2=∠C ∠3=∠B B
第十六章 初等几何变换
习题十六
用平移变换，解下列各题（1～3）。
1. 证明：对角线相等的梯形是等腰梯形.
证明：过 D 作 AC 的平行线 DE 交 BC 的延长线于 E
∴ 四边形 ACED 为平行四边形 ∴ AC=DE AD=CE ∴ BD=AC=DE
A
D
B
CE
第 1 题图
∴ ∠DBE=∠DEB 而∠ADB=∠DBE
B
M
C
于是 Q₁B∥=CQ ∵ QC⊥AB