4连续时间信号的傅里叶变换
实验四非周期信号频域分析
实验四 非周期信号频域分析1 实验目的(1) 掌握傅里叶变换的分析方法及其物理意义。
(2) 掌握各种典型的连续时间非周期信号的频谱特征以及傅里叶变换的主要性质。
(3) 学习掌握利用MA TLAB 语言编写计算CTFT 的仿真程序，并能利用这些程序对一些典型信号进行频谱分析，验证CTFT 的若干重要性质。
2 实验原理及方法2.1连续时间信号傅里叶变换——CTFT傅里叶变换在信号分析中具有非常重要的意义，它主要是用来进行信号的频谱分析的。
傅里叶变换和其逆变换定义如下：⎰∞∞--=dt e t x j X t j ωω)()( 4-1 ⎰∞∞-=ωωπωd e j X t x t j )(21)( 4-2连续时间傅里叶变换主要用来描述连续时间非周期信号的频谱。
任意非周期信号，如果满足狄里克利条件，它可以被看作是由无穷多个不同频率(这些频率都是非常的接近)的周期复指数信号e j ωt 的线性组合构成的，每个频率所对应的周期复指数信号e j ωt 称为频率分量，其相对幅度为对应频率的|X(j ω)|之值，其相位为对应频率的X(j ω)的相位。
X(j ω)通常为关于ω的复函数，可以按照复数的极坐标表示方法表示为：X(j ω)=| X(j ω)|e j ∠ X(j ω)其中，| X(j ω)|称为x(t)的幅度谱， ∠X(j ω)称为x(t)的相位谱。
给定一个连续时间非周期信号x(t)，它的频谱是连续且非周期的。
对于连续时间周期信号，也可以用傅里叶变换来表示其频谱，其特点是，连续时间周期信号的傅里叶变换是由冲激序列构成的，是离散的——这是连续时间周期信号的傅里叶变换的基本特征。
2.2 用MA TLAB 实现CTFT 及其逆变换2.2.1 用MATLAB 实现CTFT 的计算MA TLAB 进行傅里叶变换有两种方法，一种利用符号运算的方法计算，另一种是数值计算，本实验采用数值计算的方法。
严格来说，用数值计算的方法计算连续时间信号的傅里叶变换需要有个限定条件，即信号是时限信号，也就是当时间|t|大于某个给定时间时其值衰减为零或接近于零，这个条件与前面提到的为什么不能用无限多个谐波分量来合成周期信号的道理是一样的。
傅里叶变换及其性质
αt
1
单边指数函数e-αt; (b) e-αt
的幅度谱
o
(b)
F(j) f(t)ejtdt etejtdt
01 02 e(j)t (j)
01j
1
ja rcta n
ea
a22
其振幅频谱及相位频谱分
解
别为
F ( ) 1
2 2
( ) arctan
例 2.4-3 求图 2.43(a)所示 双边指数 函数的频 谱函数。
02 或
2
B
2(rad/s)
1
Bf
(Hz)
周期信号的能量是无限的，而其平均功率是有界的， 因而周期信号是功率信号。为了方便，往往将周期信 号在1Ω电阻上消耗的平均功率定义为周期信号的功率。 显然，对于周期信号f(t)， 无论它是电压信号还是电
流信号，其平均功率均为 T
12 2
P f (t)dt 2.3.3 周期信号的功率T T2
( )
02
－
4
－
2
o
门函数； (b) 门函数的频谱；－ 4(c)－幅2 度谱； (d) 相位谱
o 2 4
2 4
－
(c)
(d )
f
(t)
e at
0
f (t)
例 2.4-2 求指数函数f(t)
的1频 谱 函 数 。 e－t (＞0)
o
t
(a)
t 0 ( 0)
t 0
图 2.4-2 单边指F(数)函数e-
性。
2.2 周期信号的连续时间傅里叶级数
f (t) Fnejnt
2.2.1 指数形式的傅里叶级数 n
满足Dirichlet条件的周期函数可以展成复指数形式的傅里叶级数:
信号与系统王明泉第三章习题解答
（4）频域分析法分析系统；
（5）系统的无失真传输；
（6）理想低通滤波器；
（7）系统的物理可实现性；
3.3本章的内容摘要
3.3.1信号的正交分解
两个矢量 和 正交的条件是这两个矢量的点乘为零，即：
如果 和 为相互正交的单位矢量，则 和 就构成了一个二维矢量集，而且是二维空间的完备正交矢量集。也就是说，再也找不到另一个矢量 能满足 。在二维矢量空间中的任一矢量 可以精确地用两个正交矢量 和 的线性组合来表示，有
条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。
条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。
条件3:在一周期内，信号绝对可积，即
（5）周期信号频谱的特点
第一：离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此谱称为不连续谱或离散谱。
第二：谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率 的整数倍频率上。
(a)周期、连续频谱； (b)周期、离散频谱；
(c)连续、非周期频谱； (d)离散、非周期频谱。
答案：(d)
题7、 的傅里叶变换为
答案：
分析：该题为典型信号的调制形式
题8、 的傅里叶变换为
答案：
分析：根据时移和频移性质即可获得
题9、已知信号 如图所示，且其傅里叶变换为
试确定：
(1)
(2)
(3)
解：
(1)将 向左平移一个单位得到
对于奇谐函数，满足 ，当 为偶数时， ， ；当 为奇数时， ， ，即半波像对称函数的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波而不含偶次谐波项。
（4）周期信号傅里叶级数的近似与傅里叶级数的收敛性
一般来说，任意周期函数表示为傅里叶级数时需要无限多项才能完全逼近原函数。但在实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。无穷项与有限项误差平方的平均值定义为均方误差，即 。式中， ， 。研究表明， 越大， 越小，当 时， 。
连续时间信号与系统的频域分析报告
连续时间信号与系统的频域分析报告1. 引言连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中的重要分支，通过将信号和系统转换到频域，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
本报告将对连续时间信号与系统的频域分析进行详细介绍，并通过实例进行说明。
2. 连续时间信号的频域表示连续时间信号可以通过傅里叶变换将其转换到频域。
傅里叶变换将信号分解成一系列不同频率的正弦和余弦波的和。
具体来说，对于连续时间信号x(t)，其傅里叶变换表示为X(ω)，其中ω表示频率。
3. 连续时间系统的频域表示连续时间系统可以通过频域中的频率响应来描述。
频率响应是系统对不同频率输入信号的响应情况。
通过系统函数H(ω)可以计算系统的频率响应。
系统函数是频域中系统输出与输入之比的函数，也可以通过傅里叶变换来表示。
4. 连续时间信号的频域分析频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性。
通过频域分析，我们可以获取信号的频率成分、频谱特性以及信号与系统之间的关系。
常用的频域分析方法包括功率谱密度估计、谱线估计等。
5. 连续时间系统的频域分析频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计。
通过分析系统的频响特性，我们可以了解系统在不同频率下的增益和相位变化情况，进而可以对系统进行优化和设计。
6. 实例分析以音频信号的频域分析为例，我们可以通过对音频信号进行傅里叶变换，将其转换到频域。
通过频域分析，我们可以获取音频信号的频谱图，从而了解音频信号的频率成分和频率能量分布情况。
进一步，我们可以对音频信号进行系统设计和处理，比如对音乐进行均衡、滤波等操作。
7. 结论连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中重要的内容，通过对信号和系统进行频域分析，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计，对于音频信号的处理和优化具有重要意义。
总结：通过本报告，我们了解了连续时间信号与系统的频域分析的基本原理和方法。
频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性和系统的频响特性，对系统设计和信号处理具有重要意义。
第3章 连续信号的频谱——傅里叶变换
• 直到19世纪末，制造出电容器。20世纪初，谐振电路、滤波
器、正弦振荡器等一系列问题的解决为正弦函数与傅里叶分 析的在通信系统中的应用开辟了广阔的前景。 • 从此，在通信与控制系统的理论研究和实际应用之中，采用 频率域（频域）的分析方法比经典的时间域（时域）方法有 许多突出的优点。 • 当今，傅里叶分析方法已成为信号分析与系统设计不可缺少 的重要工具。 • 20世纪70年代，出现的各种二值正交函数（沃尔什函数）， 它对通信、数字信号处理等技术领域的研究提供了多种途径 和手段。使人们认识到傅里叶分析不是信息科学与技术领域 中唯一的变换域方法。
nw1 nw1
0
w
nw1
w1 0 w1
nw1
w
正、负频率相应项成对合并，才是实际频谱函数。
4.周期信号的功率特性
—时域和频域能量守恒定理
周期信号的平均功率P：在一个周期内求平方再求积分。
1 t0 T1 2 f (t )dt P f (t ) t T1 0 1 1 2 2 2 2 2 a0 ( an bn ) c0 cn 2 n 1 2 n 1
其傅里叶级数三角展开式中 仅含基波和奇次谐波
例子
例如：奇谐函数
f (t )
E 2
T1 2
f (t )
E 2
T 1 2
0
E 2
T1 2
t
0
E 2
T1 2
t
sin( w1t )
E 2
f (t )
E 2
T1 2 T 1 2 T1 2
f (t )
0
E 2
t
0
E 2
T1 2
傅里叶变换公式
连续时间周期信号傅里叶级数：⎰=T dt t x Ta )(1⎰⎰--==T tTjkT tjk k dt et x Tdt et x Ta πω2)(1)(1离散时间周期信号傅里叶级数：[][]()∑∑=-=-==Nn nN jk Nn njkwk e n x Ne n x Na /2110π连续时间非周期信号的傅里叶变换：()⎰∞∞--=dt e t x jw Xjwt )(连续时间非周期信号的傅里叶反变换：()dw e jw X t x jwt ⎰∞∞-=π21)(连续时间周期信号傅里叶变换：∑+∞-∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=k k kw a jw X T 22)(πδπ连续时间周期信号傅里叶反变换：()dw e w w t x jwt ⎰∞∞--=0221)(πδπ离散时间非周期信号傅里叶变换：∑∞-∞=-=nnj e n x eX ωωj ][)(离散时间非周期信号傅里叶反变换：⎰=π2d e )(e π21][ωωωn j j X n x离散时间周期信号傅里叶变换：∑+∞-∞=-=kk k a X )(π2)e (0j ωωδω离散时间周期信号傅里叶反变换：[]ωωωδωd e n n j ⎰--=π20πl)2(π2π21][x拉普拉斯变换：()dt e t s Xst -∞∞-⎰=)(x拉普拉斯反变换：()()s j21t x j j d e s X st ⎰∞+∞-=σσπZ 变换：∑∞-∞=-=nnz n x X ][)z (Z 反变换： ⎰⎰-==z z z X r z X n x n nd )(πj21d )e ()(π21][1j π2ωω。
连续时间系统傅里叶变换的性质
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
FT [ x (t ) cos 0t ]
FT [ x( t )] X ( )
X ( )
1 j 0t j 0 t x (t )[e e ] 2
频 移 特 性
1 2
0
1 2
X ( 0 )
X ( )
X ( 0 )
0
0
1 [ X ( 0 ) X ( 0 )] 2
1
2 X ( w ) F { xe ( )} F { xo ( )} j
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
3、时移特性
若 则
x( t ) X ( )
x(t t0 ) X ( )e
j t 0
例4 11 : 求移位冲激函数的频谱 函数
(t ) 1
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
例4 13 : 已知x(t)为三角形调幅信号，试 求其频谱
T 1 2
x1 ( t )
T1 2
T 1 2
x( t )
T1 2
x(t ) x1 (t ) cos0t
T1 2 T1 X 1 ( ) Sa ( ) 2 4
P147
T1 2 ( 0 )T1 2 ( 0 )T1 X ( ) [ Sa Sa ] 4 4 4
( j )
(t t0 ) e
(t t0 ) e
jt 0
jt 0
t 0
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
思考:下列信号的傅立叶变换
x( t )
1
t
2
X ( w) 2e
jw
sinc( w)
《信号与系统(第2版》【附录+习题答案】
附 录 A 常 用 数 学 公 式A.1 三角函数公式j e cos jsin t t t ωωω=+ j e e (cos jsin )t t t σωσωω+=+j j 1cos (e e )2t t t ωωω-=+j j 1sin (e e )2jt t t ωωω-=-sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=± cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=sin22sin cos ααα=2222cos2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=--+1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=-++1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=-++双曲正弦：e e sh 2x xx --=双曲余弦：e e ch 2x xx -+=A.2 微积分公式d()d Cu C u =，C 为常数（下同）d()d d u v u v ±=±，u 、v 为t 的函数（下同） d()d d uv v u u v =+ 2d d d u v u u v v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭d d Cu t C u t =⎰⎰()d d d u v t u t v t ±=±⎰⎰⎰信号与系统288d d u v uv v u =-⎰⎰()d ()()()()d ()bb baaau t v t u t v t v t u t =-⎰⎰A.3 数列求和公式（1）等比数列123,,,,N a a a a 的通项为11n n a a q -=，q 为公比，前n 项的和为 111(1)11NN N N n n a a q a q S a q q =--===--∑（2）等差数列123,,,,N a a a a 的通项为1(1)n a a n d =+-，d 为公差，前n 项的和为111()(1)22NN N n n N a a N N dS a Na =+-===+∑附 录 B 常 用 信 号 与 系 统 公 式B.1 连续时间信号的卷积121221()()()()d ()()d x t x t x x t x x t ττττττ∞∞-∞-∞*=-=-⎰⎰B.2 离散时间信号的卷积121221()()()()()()m m x n x n x m x n m x m x n m ∞∞=-∞=-∞*=-=-∑∑B.3 连续时间三角形式的傅里叶级数0000011()[cos()sin()]cos()kk kkk k x t a ak t b k t A A k t ωωωϕ∞∞===++=++∑∑0000001()d t T t a A x t t T +==⎰000002()cos()d 1,2,t T k t a x t k t t k T ω+==⎰， 000002()sin()d 1,2,t T k t b x t k t t k T ω+==⎰，1,2,k A k = arctan 1,2,k k k b k a ϕ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，B.4 连续时间指数形式的傅里叶级数FS000j 01()e d t T k t k t X x t t T ω+-=⎰0j 0()()ek tk x t X k ωω∞=-∞=∑信号与系统290B.5 连续时间傅里叶变换FTj (j )()e d t X x t t ωω∞--∞=⎰j 1()(j )e d 2πt x t X ωωω∞-∞=⎰B.6 双边拉普拉斯变换()()e d st X s x t t ∞--∞=⎰j j 1()()e d 2πjst x t X s s σσ+∞-∞=⎰B.7 单边拉普拉斯变换0()()e d st X s x t t ∞--=⎰j j 1()()e d 2πjst x t X s s σσ+∞-∞=⎰，0t ≥B.8 离散时间傅里叶级数DFS2πj 1()()ekn NN N n N X k x n N -=<>=∑，0,1,2,k =±±2πj()()ekn NN N k N x n X k =<>=∑，0,1,2,n =±±B.9 离散时间傅里叶变换DTFTj j (e )()enn X x n ΩΩ∞-=-∞=∑j j 2π1()(e )e d 2πn x n X ΩΩΩ=⎰B.10 离散傅里叶变换DFT1()()01N knNn X k x n Wk N -==-∑≤≤，附 录 B 常 用 信 号 与 系 统 公 式29111()()01N kn Nk x n X k Wn N N--==-∑≤≤，B.11 双边Z 变换b ()()nn X z x n z∞-=-∞=∑11()()2n cx n X z z dzj π-=⎰B.12 单边Z 变换s 0()()nn X z x n z∞-==∑11()()2n cx n X z z dzj π-=⎰习题参考答案第1章1.1（a）确定信号、连续时间信号、非周期信号、能量信号、非因果信号。
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第 4 章 连续时间傅里叶变换 基本题 4.1 利用傅里叶变换分析式，求下列信号的傅里叶变换： （a） （b） 概略画出每一个傅里叶变换的模特性并给以标注。 解：（a）
（b）
|Xa（jω）|，|Xb（jω）|分别如图 4-1（a）、（b）所示。
来表示。列于表 4.1 中的各傅里叶变换性质对解此题是有用的。
（a）
（b）
（c）
解：（a）设
，则
，
故 （b）
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（c）
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4.7 对于下列各傅里叶变换，根据傅里叶变换性质（见表 4-1）确定对应于时域信号，
是否为（i）实，虚，戒都丌是；（ii）偶、奇，戒都丌是。应该丌通过求出逆变换来解此题。ห้องสมุดไป่ตู้
（a）
（b）
（c）
，其中
且
（d）
解：（a）根据共轭对称性可知，若 x1（t）为实函数，则应有
，由
于 X（jω）丌满足共轭对称性，所以 x1（t）丌是实信号。同样，由于 X（jω）丌是偶函数，
所以 x1（t）也丌是偶信号。
（b）由于实的奇信号的傅里叶变换是一个纯虚的奇函数，由此可断定：一个纯虚的奇
信号的傅里叶变换是一个实的奇函数。由于 X1（jω）是一个实的奇函数，因此，x2（t）是
信号。
（b）设
，
，
可见，y（t）是周期的，它的周期是 2π/5。 （c）根据（a）和（b）的结果可知，两个非周期信号的卷积有可能是周期的。
4.14 考虑一个信号 x（t），其傅里叶变换为 X（jω），假设给出下列条件：
信号与系统实验报告—连续时间信号
信号与系统实验报告—连续时间信号实验名称：连续时间信号一、实验目的1、熟悉Matlab编程工具的应用；2、掌握利用Matlab进行连续时间信号的绘制、分析和处理。
二、实验原理连续时间信号是指在时间轴上连续存在的信号。
连续时间信号可以用数学函数来描述，并且它们是时间变量t的函数，其幅度可以是任意实数或复数。
连续时间信号可以由物理系统中的物理量得到，比如声音信号、图像信号等。
对于一个连续时间信号x(t)，可以对它进行各种变换，如平移、伸缩、反转等，这些操作可以用函数来表示。
其中，平移信号可以用x(t - a)表示，伸缩信号可以用x(at)表示，反转信号可以用x(-t)表示。
另外，通过利用傅里叶变换可以分析连续时间信号的频率构成，了解信号的频域特性，其傅里叶变换公式为：F(jω) = ∫[ -∞ , ∞ ] f(t) · e^(-jωt) · dt其中，F(jω)为信号在频域上的变换值，因此，我们可以通过傅里叶变换来分析信号在频域上的性质。
三、实验内容2、使用Matlab对信号进行平移、伸缩、反转等处理；3、使用Matlab对信号进行傅里叶变换，分析信号的频域特性。
四、实验步骤1、绘制信号首先，我们需要确定信号的形式和表示方法，根据实验要求选择不同的信号进行绘制。
在此以正弦信号为例，使用Matlab中的plot函数绘制正弦函数图形：t = 0: 0.01: 10;x = sin (2* pi* t);plot(t, x);xlabel('Time / s');title('Continuous sinusoidal signal');对信号进行平移、伸缩、反转处理也是十分简单的，只需要在信号函数上添加对应的变换操作即可。
以下是对信号进行平移、伸缩、反转处理的Matlab代码：3、进行傅里叶变换及频域分析Y = fft (x);P2 = abs (Y/L);P1(2:end-1) = 2* P1(2:end-1);title ('Single-Sided Amplitude Spectrum of x(t)');ylabel ('|P1(f)|');根据得到的频域分析结果，我们可以得出连续时间信号的功率、频率等特性。
信号与系统傅里叶变换对总结
| z | 1
| z | 1
[r cos 0 n]u[n]
n
| z | r
[r sin 0 n]u[ n]
n
| z | r
te at u(t ), Re{a} 0
t n 1 e at u (t ), Re{a} 0 (n 1)!
减幅余弦
e at cos(0t )u (t )
减幅正弦
e at sin(0t )u (t )
0 (a j ) 2 +0 2
1 a t2
2
a
e
a
j
)
[n]
u[n]
单位阶跃序列
单边指数序列
nu[n], | | 1
1 1 e j
复指数序列
e
j0 n
l
2 (
0
2 l )
2 l ) ( 0 2 l )
余弦序列
cos 0 n
sin 0 n
l
sin(0t )
1
2 ( )
jk0t
周期波
k
ce
k
2
k
c ( k )
k 0
周期矩形脉冲
t T1 / 2 A, 0, T1 / 2 t T1 / 2
2 A sin(k0T1 / T0 ) ( k0 ) k k
1
单位冲激 延迟冲激
(t )
(t t0 )
sgn(t )
e jt0
2 j
正负号函数
单位阶跃
u(t )
1 ( ) j
j ( ) 1
傅里叶变换及反变换
物理意义：时域平移，对应频域相移，而幅频特性不变。
例： 求 (t - t 0 ) 的频谱。 (t t0 ) e jt0
(t-t0)
(1)
0 t0 t
|F(j)
1
0
φ()
0
7 时移特性： f (t t0 ) F ( j ) e j t0
时域平移，对应频域相移，幅频特性不变。
8 频移特性：
7 时移特性： f (t) F ( j ) 平移 f (t t0 ) F ( j ) e j t0
f (t) F ( j ) F ( j ) e j ( )
f (t t0 ) F ( j ) e jt0 F ( j ) e j ( )e jt0 F ( j ) e j ( )t0
F ( j ) Re[F ( j )] j Im[F ( j )] F *( j ) Re[F ( j )] j Im[F ( j )] 或者说，频谱的实部为偶函数，虚部为奇函数； 或者说，|F(j)|为偶函数，()为奇函数。
4 共轭特性
f (t) F ( j )，则 f * (t) F * ( j )
关于t
关于
证：若f (t)为偶函数，则 f (t) f (t)
F ( j ) f (t )e jtdt
F ( j ) f (t)e jtdt 令t
f ( )e j d f ( )e j d F ( j )
4 共轭特性
f (t) F ( j )，则 f * (t) F * ( j )
②：发生在一切频率上，是连续变化的；
③：各频率分量的系数 1 F ( j )d ，本身是无穷小量，
2
但F(jw)描述了各频率分量的相对关系，即描述了f(t)的频率特性；
4.5非周期信号的连续时间傅里叶变换
R( ) R( ) X ( ) X ( )
是ω的偶函数 是ω的奇函数
F ( j) F ( j) e j ( )
| F ( j) |= R2 () + X 2 ()
R( ) = F ( j ) cos ( ) X ( ) = F ( j ) sin ( )
f (t) 为偶函数， 相位频谱为：
F ( j ) 为
且为
的实函数，
( ) 0
的偶函数。
4.4 连续时间信号傅里叶变换 例：利用双边指数信号求直流信号的傅立叶变换
f (t ) e
1 lim e
0
t
(a>0)
t
FT [1] lim F ( j )
0
2 lim 2 0 2
0
0 0
lim
2[
2 ( )
2 d( )
2
2 lim d 0 2 2
0
1 ( )2
( 2 )]
lim 2 arctan( ) 0
dt
e e
t
0
j t
dt e
0
t
e
j t
dt
1 j
1 j
2 2 2
4.4 连续时间信号傅里叶变换 双边指数信号一
f (t ) e
t
(a>0)
2 F ( j ) 2 2
其振幅频谱为：
2 F ( j ) 2 2
t0 t0
t0 t0
f (t ) sgn(t )
信号与系统四种重要变换的联系和区别
知识文库 第20期238信号与系统四种重要变换的联系和区别林晓伟1 四种重要变换的概念联系信号的主要作用为传播信息，因此人们对信号的关注重点为该信号所携带的信息。
而信号所携带的信息存在于其各个频率分量中。
所以我们在第三章中讨论了周期信号的傅里叶级数分析，以傅里叶级数的方式分析了周期信号各频率分量所占的比重。
然而，在自然界中，我们所遇到的信号不可能是理想的周期信号，而是有限能量的信号。
因此，我们将周期信号的傅里叶级数推广到了非周期的有限能量信号的傅里叶变换。
随着时代的发展，我们对信号的需求由连续时间的模拟信号转移到了离散时间的数字信号中（模拟信号刚干扰能力较差，取样频率大于二倍的奈奎斯特频率信号就不会失真）。
所以我们的研究方向从连续时间信号（模拟信号）傅里叶变换转移到了离散时间信号（数字信号）傅里叶变换中。
傅里叶分析可以解决信号分析中的许多问题，然而傅里叶分析也有其局限之处。
例如，傅里叶分析并不能适用于不稳定信号的分析。
因此我们需要将傅里叶分析进一步推广。
相应的，连续时间傅里叶分析推广到了拉普拉斯变换；离散时间傅里叶变换推广到了z 变换。
这两种变换与傅里叶变换共有的代数性质组合在一起，就形成了一整套重要的系统分析工具。
以上是DTFT、CTFT、LT 与ZT 的简要概述及其概念上的联系。
可以简述为：将CTFT 推广可得到LT，将DTFT 推广可得到ZT，而将CTFT 离散化可得到DTFT，将LT 离散化可得到ZT。
2 四种重要变换的具体联系四种变换都具有相似的性质，具体为线性、时移、频移、共轭、时间反转、时间尺度变换、时域微分，积分（离散形式为差分）、频域微分，积分等。
以综合等式及分析等式为基础，运用这些性质可以获得一系列基本变换对，并由这些基本变换对得到一系列变换对从而对信号进行高效的分析。
可以简要的说明：拉普拉斯变换将频域从实数推广到了复数，频域也从实轴推广到了复平面，因此连续时间傅里叶变换成为了拉普拉斯变换的一种特例。
周期信号的连续时间傅里叶级数
傅里叶级数的收敛性取决于信号的形状和频率范围。对于具有快速衰减特性的信号，其傅里叶级数可 能具有良好的收敛性；而对于具有缓慢衰减特性的信号，其傅里叶级数可能具有较差的收敛性。在实 际应用中，通常需要对信号进行截断或加窗处理，以提高傅里叶级数的收敛性。
傅里叶级数的重要性和应用价值
信号分析
傅里叶级数提供了将周期信号 分解为正弦和余弦波的方法，
是信号分析中的重要工具。
通信系统
在通信系统中，傅里叶级数用 于信号调制和解调，实现信号 的传输和接收。
控制系统
在控制系统中，傅里叶级数用 于频域分析和系统稳定性分析 。
物理和工程领域
在物理、化学、生物和工程领 域，傅里叶级数用于分析各种
DTFS的主要应用包括信号分析和数字信号处理中的频谱分析。
快速傅里叶变换（FFT）
1
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算离散 傅里叶变换（DFT）和其逆变换的算法。
2
FFT的主要思想是将长度为$N$的DFT分解为多 个较短的DFT，然后利用旋转因子的周期性和对 称性来减少计算的复杂度。
3
FFT的出现极大地促进了数字信号处理领域的发 展，使得实时信号处理成为可能。
滤波器设计
滤波器是信号处理中的重要元件，用于提取或抑制特定频率范围的信号。通过傅 里叶级数，可以设计出各种类型的滤波器，如低通、高通、带通和带阻滤波器等 。
滤波器设计在音频处理、图像处理、雷达和通信等领域有广泛应用，例如在音频 处理中可以通过滤波器来消除噪音或增强特定音色。
连续时间信号的傅里叶变换的对称
连续时间信号的傅里叶变换的对称傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具。
在信号处理和通信系统中，傅里叶变换广泛应用于信号的分析与处理。
对于连续时间信号而言，傅里叶变换可以用于将信号从时域表示转换到频域表示，并且在频域中可以观察到信号的频谱特性。
连续时间信号的傅里叶变换的对称性是指在频域中存在一些特殊的对称关系。
具体来说，连续时间信号的傅里叶变换具有以下几种对称性：偶对称、奇对称和周期性对称。
偶对称性是指当信号在时域中关于原点对称时，在频域中的傅里叶变换具有偶对称性。
换句话说，如果一个信号在时域中满足x(t) = x(-t)，那么它的傅里叶变换X(jω)具有偶对称性，即X(jω) = X(-jω)。
具体来说，对于偶对称信号，其频谱在负频率部分与正频率部分是镜像对称的。
奇对称性是指当信号在时域中关于原点对称时，在频域中的傅里叶变换具有奇对称性。
换句话说，如果一个信号在时域中满足x(t) = -x(-t)，那么它的傅里叶变换X(jω)具有奇对称性，即X(jω) = -X(-jω)。
具体来说，对于奇对称信号，其频谱在负频率部分与正频率部分是关于坐标轴对称的。
周期性对称性是指当信号在时域中具有周期性时，在频域中的傅里叶变换也具有周期性。
具体来说，如果一个信号在时域中具有周期性，那么它的傅里叶变换在频域中也具有相应的周期性。
周期性对称性在信号处理中有着重要的应用，可以用于分析周期性信号的频谱特性。
这些对称性的存在使得我们可以通过观察傅里叶变换的对称性来判断信号在时域中的对称性或周期性。
通过对信号的傅里叶变换进行分析，我们可以得到信号的频谱信息，进而了解信号的频率成分和特征。
而傅里叶变换的对称性则为我们提供了一种便捷的方法来判断信号的对称性或周期性，从而更好地理解信号的特性。
总结起来，连续时间信号的傅里叶变换具有偶对称性、奇对称性和周期性对称性。
这些对称性的存在使得我们可以通过观察傅里叶变换的对称性来判断信号在时域中的对称性或周期性。
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若
，则
存在
这表明所有能量有限的信号其傅里叶变换一定存在。 第二组条件即为满足狄利赫里条件。
四、常用信号的傅里叶变换：
1、 ，
2、
，
我们看到：实偶信号的傅里叶变换是实偶函数，此时可以用 一幅图表示信号的频谱。对此例
3、
这表明 中包括了所有的频率成分，所有频率分量的幅度、 相位都相同。因此单位冲激响应 才能完全描述一个LTI系统 的特性， 才在信号与系统分析中具有如此重要的意义。
4.1 非周期信号的表示—连续时间傅里叶变换
一、从傅里叶级数到傅里叶变换 首先让我们考察一下周期矩形脉冲信号，其时域与频域波形 如这里动画4-1所示 。 当 增大的时候，频谱的幅度随 的增大而下降；谱线间隔 随 增大而减小；而频谱的包络不变。当 时，周期性 矩形脉冲信号将演变成为非周期的单个矩形脉冲信号。 当 由于 时， ， 也随 增大而减小并最终趋于0。
4.4 卷积性质
一、 若 则 由于卷积特性的存在，使对LTI系统在频域进行分析成为 可能。本质上，卷积特性成立正是因为复指数信号是LTI 系统的特征函数。由
将 分解成复指数分量的线性组合，每个 统时都要受到系统频响 的加权，其中 即是系统与 对应的特征值，故有
通过LTI系
所以： 由于 的傅氏变换 就是频率为 的复指数信号 通过LTI系统时，系统对输入信号在幅度上产生的影响，所以 称为系统的频率响应。
1、已知
，求
的傅里叶变换 ；
2、求信号
的傅里叶变换；
1、
2、因为
，所以由对偶性可得
所以
考查
的变化，它在
时应该是有限的。
于是，我们推断出：当 的频谱。 由
如果令
时，离散的频谱将演变为连续
，则有 ；
与周期信号的傅里叶级数相比较有：
这表明：周期信号的频谱就是与它相对应的非周期信号频谱的样本。
根据傅里叶级数表示：
当
时，
，
，
，
Hale Waihona Puke 于是有：此式表明，非周期信号可以分解成无数多个频率连续分布的 振幅为 的复指数信号之和。 由于 而称 具有频谱随频率分布的物理含义，因 为频谱密度函数。
4、
；
4.5 相乘性质：（调制性质）
若
则 利用对偶性可以从卷积性质得出相乘性质。
两个信号在时域相乘，可以看成是由一个信号控制另一个 信号的幅度，这就是幅度调制。其中一个信号称为载波， 另一个是调制信号。
例1： ∴ 例2：正弦幅度调制 （移频性质）
正弦幅度调制等效于在频域将调制信号的频谱搬移到载频位置。
4、
(具有此频率特性的系统 称为理想低通滤波器)
同时可以看到，信号在时域和频域之间有一种相反的关系，即 信号在时域脉冲越窄，则其频谱主瓣越宽，反之亦然。 6、若
因为：
，则有
，
所以：
五、信号的带宽 信号的主要能量集中于低频分量, 传输信号的系统具有自己的 频率特性。工程中在传输信号时，也没有必要一定要把信号 的所有频率分量都有效传输，而只要保证将占据信号能量主 要部分的频率分量有效传输即可。因此，需要对信号定义带 宽。通常有如下定义带宽的方法：
鉴于 与 是一一对应的，因而LTI系统可以由其频率响 应完全表征。由于并非任何系统的 都存在，因此用频率 响应表征系统时，一般都限于对稳定系统。
二、系统互联时的频率响应： 级联
并联
三、LTI系统的频域分析法： 根据卷积特性，可以对LTI系统进行频域分析，其过程为： 1、 ；
2、根据系统的描述，求出 3、
尺度变换特性表明：信号如果在时域扩展a倍，则其带宽相应压 缩a倍，反之亦然。从理论上证明了时域与频域的相反关系，也 证明了信号的脉宽带宽积等于常数的结论。 如动画所示。
6. 对偶性 若 证明： 则
利用对偶性可以方便地将时域的某些特性对偶到频域。
例如： 由 利用时移特性有 再次对偶有
，有对偶关系
根据 得
第四章 连续时间傅里叶变换
通过上一章的学习我们知道，时域的周期信号可以由成谐 波关系的复指数信号来线性表示。时域的波形与频域的频谱是 一一对应的。从而LTI系统对周期信号的响应变得极其简便。 在工程应用中有相当广泛的信号是非周期信号，对非周期信号 应该如何进行分解，如何建立是非周期信号的频谱表示，就是 这一章要解决的问题。 在时域可以看到，如果一个周期信号的周期趋于无穷， 则周期信号将演变成一个非周期信号；反过来，任何非周期信 号如果进行周期性延拓，就一定能形成一个周期信号。 我 们把非周期信号看成是周期信号在周期趋于无穷时的极限，从 而考查连续时间傅里叶级数在T趋于无穷时的变化，就应该能 够得到对非周期信号的频域表示方法.这正是我们开展对非周 期信号进行频域分析的基本出发点。
考查
所对应的信号
这表明周期性复指数信号的频谱是一个冲激。
若 ，则
于是，当周期信号表示为傅里叶级数时
，就有
这表明，周期信号的傅里叶变换由一系列冲激组成，每一个冲 激分别位于信号各次谐波的频率处，其强度正比于傅里叶级数 系数 。
例：
例、
注意：周期信号不满足绝对可积条件；引入冲激信号后，周期 信号的傅立叶变换是存在的；周期信号的频谱是离散的，其频 谱密度， 即傅立叶变换是一系列冲激。 4.3 连续时间傅里叶变换的性质 讨论连续时间傅里叶变换的性质，旨在通过这些性质揭示信号 时域特性与频域特性之间的关系，同时掌握和运用这些性质可 以简化傅里叶变换对的求取。 1、线性: 若
则
2、时移: 若 ： 则： 这表明：信号的时移只影响它的相频特性,其相频特性会增加一个 线性相移。 3、共轭对称性 若 则
由
所以
若 是实信号,则
,即
。
于是有： 4. 时域微分与积分 若 则 (可将运算转变为代数运算) (时域积分特性) 由时域积分特性从 也可得到：
5. 时域和频域的尺度变换 若 当 ，则 时，有
频域微分特性：
，这就是移频特性
由
，得
所以 该特性也可由对偶性从时域微分特性得出:
对 利用时域微分特性有
再次对偶得
由
，有 及频域微分特性
由时域积分特性,可对偶出频域积分特性
再次对偶 由 ，有
频域积分特性
7. Parseval定理 若 ，则
这表明：信号的能量既可以在时域求得，也可以在频域 求得。由于 表示了信号能量在频域的分布，因而 称其为“能量谱密度”函数。
与
就构成了一对傅里叶变换式。
二、从物理意义来讨论FT
是一个密度函数的概念； 是一个连续谱； 包含了f(t)的所有频率分量； 傅里叶变换一般为复数。 三、傅里叶变换的收敛 既然傅里叶变换的引出是从周期信号的傅里叶级数表示，讨论 周期趋于无穷时的极限得来的，傅里叶变换的收敛问题就应该 和傅里叶级数的收敛相一致。也有相应的两组条件：
下降到最大值的 分量占有信号总能量的
时对应的频率范围，此时带内信号 。
4.2 周期信号的傅里叶变换
到此为止，周期信号用傅里叶级数表示，非周期信号用傅里 叶变换表示。在涉及周期信号通过LTI系统时，会给分析带来 不便。由于周期信号不满足Dirichlet 条件，因而不能直接从定 义出发，建立其傅里叶变换表示。