1.1菱形的性质与判定(2)
七中 张光华 菱形的性质与判定(第2课时)
三、说教学方法
1、教学方法 本节课主要采用：讲授法、谈话法、
演示法、实验学导法、学案导学法。 2、学法指导 本节课学生主要采用的学习方法有：
自主探索法、实验法，小组合作式学 习法。
四、说教学过程
活动一、温故知新 活动二、发现新知 活动三、证明新知 活动四、再探新知 活动五、巩固新知 活动六、内化新知 活动七、升华新知
理 对角线互相垂直
性，不要过份强调推理的
的平等四边形是菱
形式。
形.
对已角知线：在互相A垂BC直D 中的，A平C行⊥ B四D 边形是菱A形.
求证： ABCD 是菱形
O
证明：
B
D
∵四边形ABCD是平行四边形
C
∴OA=OC
又∵ AC ⊥ BD;
∴BA=BC
(线段垂直平分线上的点到线段两 个端点的距离相等)
学生小组讨论， 每组6人，在组 长的组织下进行 充分交流、讨论 ，并在学案上写 出完整的证明过 程，展示学习成 果，并对展示的 成果进行充分评 议，提出自己的 看法。
推理的有机结合；交流与 展示能够地有效反馈学生 的证明情况，更是对学生 不同方法的认可，为学生 互相学习借鉴提供的平台 。
《课程标准》要求： 推理就贯穿数学教学的始 终，推理能力的形成和提 高需要一个长期的、循序 渐进的过程，义务教育阶 段要注重学生思考的条理
A
E
D 运用刚刚证明的两个判
定定理解决问题，进一步发
O
展学生的推理能力，同时，
B
F
C 通过对教材P7随堂练习的解
决，让学生找寻不同的解题
方法，培养学生的分析能力，
学生分组学习， 深刻体会数学思想的多样性
展示学习成果， 和灵活性。在一题多解的过
1.1 菱形的判定(2)
试一试2：
四条边相等的四边形是菱形 已知:如图1-5,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA. 求证: 四边形ABCD是菱形 证明:∵AB=CD,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 又∵AB=BC
∴四边形ABCD是菱形(菱形定义)
定理四条边相等的四边形是菱形
在四边形ABCD中
∵AB=BC=CD=DA
1.1
菱形的性质与判定
第2课时 菱形的判定
一.温故知新
1.菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.菱形的特征 菱形是一个轴对称图形 3.菱形的性质 （Ａ）菱形的四条边相等 （Ｂ）菱形的对角线互相垂直 问题：我们可以根据定义来判定一个四边形是菱 形．除此之外，还能找到其他的判定方法吗？
Ａ. AC⊥BD ，AC与BD互相平分
Ｂ. AB=BC=CD=DA
Ｃ. AB=BC，AD=CD，且AC ⊥BD
Ｄ. AB=CD，AD=BC，AC ⊥BD A
O
D
B
C
定理
对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵四边形ABCD是平行四边形
又∵AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形 ( )
证明:在△AOB中, ∵ AB= √5,OA=2,OB=1 ∴AB2=OA2+OB2 ∴△AOB是直角三角形,∠AOB是直角 . ∴AC⊥BD ∴□ABCD是菱形 (对角线垂直的平行四边形是菱形)
二.思考:
平行四边形的不少性质定理与判 定定理都是互逆命题.受此启发,我 猜想:四边相等的四边形是菱形, 对角线垂直的平行四边形是菱形.
试一试1：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗? 已知:如图1-3,在□ABCD中,对角线AC与 BD交于点O,AC⊥BD. 求证: □ABCD是菱形
1.1菱形的性质与判定第2课时菱形的判定(教案)2022秋九年级上册初三数学北师大版(安徽)
1.讨论主题：学生将围绕“菱形在实际生活中的应用”这一主员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了菱形的定义、性质与判定方法，以及它在实际生活中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对菱形知识的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
今天的教学过程中，我注意到同学们对菱形的性质与判定方法表现出较高的兴趣。在导入新课环节，通过提问日常生活中的菱形实例，成功引发了学生的好奇心。但在讲授理论部分，我意识到需要进一步简化语言，用更直观的方式解释菱形的定义和判定条件，以确保所有同学都能跟上教学节奏。
1.1菱形的性质与判定第2课时菱形的判定（教案）2022秋九年级上册初三数学北师大版（安徽）
一、教学内容
本节课选自2022秋九年级上册初三数学北师大版（安徽）第1章第1节“菱形的性质与判定”第2课时，主要教学内容包括：
1.菱形的定义及性质复习；
2.菱形的判定方法：
a.有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与菱形相关的实际问题，如如何判断一个四边形是否为菱形。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用尺规作图画出菱形，并验证其对角线垂直平分的性质。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
北师大版九年级数学上册 菱形的性质与判定 第2课时 课件
看上去是菱形.
B
C D 图6
你是怎么做的？你认为小刚的做法正确吗？与同伴交流.
探究新知
探究2 四条边相等的四边形是菱形吗？
已知：如图7，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵ AB=CD，AD=BC，
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
图7
又∵AB=BC，
∴ 四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.
O
∴四边形ABCD是菱形（如图4）. A
D 图4
探究新知
议一议
如图5，已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个 菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？
A
C
图5
探究新知
以下是小刚的做法：
如图6，分别以A，C为圆心，以大于
1 2
A
AC的长度为半径作弧，两弧分别交于点B，
D，依次连接 A，B，C，D，四边形ABCD
∴ □ABCD是菱形
图9
（对角线垂直的平行四边形是菱形）.
课堂小结
1. 本节课重点学习了什么知识，应用了哪些数学方法？ 2. 判定一个四边形是菱形有哪些方法? 3. 通过本节课的学习你有哪些收获？在今后的学习过
程中应该怎么做？
20 cm.
图2
探究新知
根据菱形的定义，邻边相等的平行四边形是菱形. 除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四 边形菱形？先想一想，再与同伴交流.
探究新知
小明的想法 平行四边形的不少性质定理与判定定理都是互逆命题. 受此启 发，我猜想：四边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的平行 四边形是菱形.
AC⊥BD.
求证：□ABCD是菱形.
图3
北师大版九年级数学上册1.1菱形的性质与判定第2课时菱形的判定课件
变式： 如图,已知 ABCD，点E，F分别是边AD、BC上的
点，且DE=BF，EF⊥AC，四边形AFCE是菱形吗？为什么？
回顾判定 小结提升
定义法
有一组邻边相等的平行四边 形是菱形.
菱形的 判定
判定 定理
对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 四边相等的四边形是菱形.
运用定理进行计算和证明
应用： 如图,两条等宽的长方形纸条交叉放在一起，重合的 部分构成的四边形是菱形吗？为什么？
应用练习 巩固判定
练习： 如图， 若使 ABCD是菱形，则需要添加的
条件是________________.
例题精析 深化理解
例1 如图， ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O， AB=5，AO=4，BO=3.
求证：四边形ABCD是菱形.
D
A
O
C
B
例2 如图, ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、 BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形．
BD⊥AD
□ABCD 定义 菱形ABCD AB=AD
菱形的判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
A
D
AC⊥BD
B
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
□ABCD
A
D
B
C
菱形ABCD
几何语言描述：
∵□ABCD，AC⊥BD,
∴ □ABCD是菱形.
猜想证明 得出判定
猜想2：四条边都相等的四边形是菱形.
已知：如图，在四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD. 求证：四边形ABCD是菱形.
第一章 特殊平行四边形
1.1 菱形的性质与判定
第2课时 菱形的判定
复习回顾 猜想判定
1.1菱形的性质与判定2
E
3
12
F D C
1、四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的 交点，已知AB=5cm，AO=4cm，求对角 线BD的长。 D
解：∵四边形ABCD是菱形 A 4 O C
∴AC⊥BD
2 2 2 2
5
2
3
∴ OB AB OA 5 4 9B ∴OB=3 ∴ BD=2OB=6 cm
有关菱形问题可转化为直角三角 形或等腰三角形的问题来解决
思考:
请你动脑筋
把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断 重叠部分ABCD的形状吗？
ห้องสมุดไป่ตู้
A
F
D
B
E
∟
C
思考题:
如图，AD∥BC，BD垂直平分AC， 四边形ABCD一定是菱形吗？若是， 请说明理由。
D
A
┐
O
B
C
提示:
△AOD≌△COB（角边角）
AD=BC
判定 对角线互相垂直 的平行四边形是 法二 菱形
D
B
A B
C
D C ∵AB=BC=CD=DA
判定 法三
四边相等的四边 形是菱形
∴四边形ABCD是菱形
8、已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC 交AB于E，DF∥AB交AC于F． A 求证：四边形AEDF是菱形．
证明：∵DE∥AC DF∥AB ∴四边形AEDF是平行四边形 ∵ DE∥AC B ∴∠2=∠3 ∵ AD是△ABC的角平分线 ∴ ∠1=∠2 ∴ ∠1=∠3 ∴AE=DE ∴ □AEDF是菱形
O B
C
4、已知：如图,□ ABCD的对角线AC的 垂直平分线与边AD，BC分别交于E，F． 求证：四边形AFCE是菱形 A E 证明：
菱形的性质与判定
1.1 菱形的判定和性质
一、菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
二、菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，菱形具有平行四边形的所有性质。
1、边——四条边都相等；
2、角——对角相等,邻角互补；
3、对角线———对角线互相垂直且平分；
4、对角线与对角——每条对角线平分一组对角．
5、对称性：菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线，也是中心对称图形。
6、在60°的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的√3倍。
三、菱形的判定：
1、一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2、对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
3、四边相等的四边形是菱形。
4、关于两条对角线都成轴对称的四边形是菱形。
四、菱形面积：
1.对角线乘积的一半（只要是对角线互相垂直的四边形都可用）
2.底乘高。
北师大版九年级数学上册：菱形的性质与判定(2) 课件
第一章 特殊平行四边形 1.1 菱形的性质与判定（2）
相信你能回忆
1.菱形有哪些性质？
●具有平行四边形的一切性质
●菱形的四条边相等 ●两条对角线互相垂直平分 ●每一条对角线平分一组对角
菱形的对边平行且相等， 对角相等，邻角互补， 对角线互相平分。 中心对称图形。
A
D
O
B
C
●菱形的两条对角线所在的直线为它的两条对称轴
根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
A
D
数学语言：
O
∵在平行四边形ABCD中 AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
B
C
还有其他么方法吗?
相信你能理解
用一长一短两根细木条,在它们的中点处 固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周 围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这 个四边形什么时候变成菱形?
AOB是直角三角形，AOB是直角.
AC BD.
图1-5
ABCD是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）.
4. 已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC 交AB于E，
DF∥AB交AC于F．求证：四边形AEDF是菱形．A
证明：∵DE∥AC DF∥AB ∴四边形AEDF是平行四边形
E 12
3
F
∵ DE∥AC ∴如图∠2=∠3
∴ EO＝FO
图 20.3.4
∴ 四边形AFCE是平行四边形
又∵∠AOE＝∠COF＝90° 又∵EF⊥AC
∴△AOE≌△COF（ASA)
∴ 四边形AFCE是菱形
例3 如图1-6，四边形ABCD是边长为 13cm的菱形，其中对角线BD长10cm。求：
菱形的性质与判定(2)
情境1：
小明同学提出：用一长一短的两根细木 条，在它们的中点处固定一个小钉；做成一 个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋（如 下图），做成一个四边形，转动木条，这个 四边形什么时候变成菱形？
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
命题1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
已知： ABCD,对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD
5cm
5cm
（1）
答案（1） 是，因为AC⊥BD
（2）
判定1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
答案（2） 是，因为 A B = A D 定义 ：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
3. 在菱形ABCD中，不一定成立的（ C ）
A 、 四边形ABCD是平行四边形 B 、 AC⊥BD
C、 △ABD是等边三角形
文字语言
一组邻边相 等的平行四 边形是菱形
判定 对角线互相垂直
法二
的平行四边形是 菱形
判定
四边相等的四边 形是菱形
法三
图形语言
A
D
B
C
符号语言
∵在□ABCD中
AB=AD ∴四边形ABCD是菱形
பைடு நூலகம்
A
D
O
B
C
∵在□ABCD中
AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形
A
D ∵AB=BC=CD=DA
B
C
∴四边形ABCD是菱形
五四制鲁教版八年级下册
1菱形的性质与判定 (2)
回顾反思 类比猜想
菱形的定义与性质如下表．你认为可以从哪些角度 思考菱形的判定条件？
菱形的
D
定义 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
具有平行四边形的所有性质 菱形的 对角线互相垂直且平分每一组对角 A O C 性质 菱形的四条边都相等
1.1.2第2节 菱形的性质与判定
点点对接
例1：将一张三角形纸片ABC（如图）按照如下的折叠步 骤进行折叠.（1）将三角形纸片ABC沿过点B的某条直线 折叠，使BC与BA重合，得到折痕与AC的交点为点D;（2 ）再将三角形纸片ABC沿某条直线折叠，使点B与点D重 合，得到折痕与BA，BC的交点分别为点E、F.则四边形 EBFD是菱形.请你说出其中的道理.
中点，得到四边形EFGH，要使四边形EFGH是菱形，还
需添加条件（ C ）
A.AB=CD
B.AC⊥BD
C.AC=BD
D.AD=BC
知识点一
3.下列图形中，不一定为菱形的是（ A ） A.两条对角线互相垂直且一条对角线平分一组对角的四边 形 B.四条边都相等的四边形 C.有一条对角线平分一个内角的平行四边形 D.用两个全等的等边三角形拼成的图形
新识探究
A
D
已知：在 ABCD 中，AC ⊥ BD O
求证： ABCD 是菱形
B
C
证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC 又∵ AC ⊥ BD; ∴BA=BC
∴ □ ABCD是菱形
新识探究
想一想
把一个一般的四边形作怎样的变化，得到 的四边形是菱形吗？
新识探究
菱形的判定三： 四条边都相等的四边形是菱形.
点点对接
例2：已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，BE平分 ∠ABC，CD⊥AB于D，EH⊥AB于H，CD交BE于F.求证 ：四边形CEHF为菱形.
解： 由已知可得：CF∥EH，CE=EH， 在Rt△BCE中，∠CBE+∠CEB=90°，
在Rt△BDF中，∠DBF+∠DFB=90°， 因为∠CBE=∠DBF，∠CFE=∠DFB， 所以∠CEB=∠CFE， 所以CE=CF. 所以，CF=CE=EH，CF∥EH， 所以四边形CEHF为菱形.
1.1 菱形的性质与判定 第2课时 菱形的判定 学案 2024-2025北师大版九年级数学上册
1菱形的性质与判定第2课时菱形的判定1.理解并掌握菱形的判定方法.2.会用这些判定方法进行有关的论证和计算.（重点）3.经历探索菱形判定条件的过程，领会菱形的概念以及判定方法，体会说理的基本方法.（难点）一、复习导入菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形的性质：1.四条边都相等；2.两条对角线互相垂直；3.菱形是轴对称图形.二、探索新知活动一除了运用菱形的定义，你能找出判定菱形的其他方法吗？猜想1如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是菱形.已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD.求证：▱ABCD是菱形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC.又∵AC⊥BD，∴BD是线段AC的垂直平分线.∴BA＝BC.∴▱ABCD是菱形（菱形的定义）.判定定理1对角线互相垂直的平行四边形是菱形.设计意图：教材提出的问题具有一定的开放性.由于要判定的图形是平行四边形，因此若考虑边，则容易想到满足的条件是一组邻边相等，这就是定义；若考虑对角线，则可能受性质的启发，想到满足的条件是对角线互相垂直.教学时应鼓励学生积极探索，大胆猜想，在此基础上再进行严格的证明.活动二除了运用对角线，你还有其他判定菱形的方法吗？猜想2四边相等的四边形是菱形.已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA.求证：四边形ABCD是菱形.证明：∵AB＝CD，BC＝AD，∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.思考：这里的条件能否再减少一些呢？能否像类似对矩形的讨论那样，有三条边相等的四边形就是菱形了呢？猜一猜，并试着画一画，你就会知道，这个结论是不成立的.判定定理2四边相等的四边形是菱形.证明思路：先证明四边形是平行四边形，再证明它是菱形.教学时应鼓励学生先独立完成，再进行展示交流.活动三如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？有同学是这样做的：先将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，将纸展开，就得到了一个菱形.你知道其中的道理吗？设计意图：鼓励学生利用菱形的判定方法，设计制作菱形的方案，并说明已知制作菱形方案的正确性.三、掌握新知例已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝√5，OA＝2，OB＝1.求证：▱ABCD是菱形.证明：在△AOB中，∵AB＝√5，OA＝2，OB＝1，∴AB2＝OA2＋OB2.∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角.∴AC⊥BD.∴▱ABCD是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）.设计意图：这是菱形判定定理的直接应用，教学时关注证明思路的探寻与分析：已知四边形ABCD是平行四边形，再具备什么条件就可以成为菱形呢？由已知条件可以证明邻边相等吗？可以证明对角线垂直吗？四、巩固练习1.已知：如图，在▱ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线分别与AD ，AC ，BC 相交于点E ，O ，F .求证：四边形AFCE 是菱形.证明：∵EF 垂直平分AC ，∴AO ＝CO ，∠AOE ＝∠COF ＝90°.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，即AE ∥FC .∴∠AEO ＝∠CFO .∴△AEO ≌△CFO .∴OE ＝OF .又∵AO ＝CO ，∴四边形AFCE 是平行四边形.又∵EF ⊥AC ，∴四边形AFCE 是菱形.2.已知：如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，OC ，OD 的中点.求证：四边形EFGH 是菱形.证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA ＝OC ，OB ＝OD .又∵点E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，OC ，OD 的中点，∴OE ＝12OA ，OG ＝12OC ，OF ＝12OB ，OH ＝12OD .∴OE ＝OG ，OF ＝OH .∴四边形EFGH 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）. 又∵AC ⊥BD ，即EG ⊥HF ，∴四边形EFGH 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.五、归纳小结。
1.1.2 菱形的性质与判定(二)
AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形
(
)
议一议
已知线段AC,你能用尺规作图的方法做一 个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗?
A
C
议一议
以下是小刚的作法
你是怎么做的?你认为小刚的作法正确吗?与 同伴交流.
请尝试证明下面的定理
四条边相等的四边形是菱形
已知:如图1-5,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA. 求证: 四边形ABCD是菱形 证明:∵AB=CD,AD=BC
已知:如图1-3,在□ABCD中,对角线AC与
BD交于点O,AC⊥BD.
求证: □ABCD是菱形
证明:∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC
又∵AC⊥BD ∴BD是线段AC的垂直平分线 ∴BA=BC ∴四边形ABCD是菱形(菱形定义)
定理
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
∵四边形ABCD是平行四边形
第一章 特殊平行四边形
第1节 菱形的性质与判定(二）
温故知新
1.菱形的定义?
2.如图,已知四边形ABCD是一个平行四边
形,则只需补充
就可以判定它是
一个菱形.
3.如图,已知菱形ABCD的对角线AC、BD相 交于点O,并且AC=6cm,BD=8cm,则菱形 ABCD的周长为 cm.
试一试
对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗?
∴四边形ABCD是平行四边形 又∵AB=BC
∴四边形ABCD是菱形(菱形定义)
定理 四条边相等的四边形是菱形
∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
(
)
证明:在△AOB中, ∵ AB;OB2
∴△AOB是直角三角形,∠AOB是直角.
1.1菱形的性质与判定第2课时课件2
运用稳固
1.课本P7随堂练习 2.课本P8习题1.2 知识技能 1
第十五页，编辑于星期三：八点 二十七分。
又∵AB=BC ∴四边形ABCD是菱形(菱形定义)
第十一页，编辑于星期三：八点 二十七分。
定理 四条边相等的四边形是菱形
∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
(
)
第十二页，编辑于星期三：八点 二十七分。
做一做
你能用折纸等方法得到一个菱形吗?动手试一试.
先将一张长方形的纸对折,再对折,然后沿图中的虚 线剪下,将纸展开,就得到了一个菱形.
议一议
以下是小刚的作法
你是怎么做的?你认为小刚的作法正确吗?与同 伴交流.
第十页，编辑于星期三：八点 二十七分。
请尝试证明下面的定理
四条边相等的四边形是菱形
:如图1-5,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA. 求证: 四边形ABCD是菱形
证明:∵AB=CD,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形
第四页，编辑于星期三：八点 二十七分。
小明的想法
平行四边形的不少性质定理与判定定 理都是互逆命题.受此启发,我猜测:四边相 等的四边形是菱形,对角线垂直的平行四边 形是菱形.
第五页，编辑于星期三：八点 二十七分。
小颖的想法
我觉得,对角线互相垂直的平行四边 形有可能是菱形.但“四边相等的平行四 边形是菱形〞嘛……实际上与“邻边相 等的平行四边形是菱形〞一样.
温故知新
1.菱形的定义?
2.如图,四边形ABCD是一个平行四边形,那么只
需补充
就可以判定它是一个菱形.
3.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O, 并且AC=6cm,BD=8cm,那么菱形ABCD的周长 为 cm.
(2)1.1菱形的性质与判定(2)
北师大版九年级上数学科导学案（2）课题：1.1 菱形的性质与判定（2）（P5-7） 主备： 审核：初三备课组班级姓名学号家长签名___________一、 知识回顾（课堂完成，小测）1. 有一组邻边______的平行四边形是菱形.2.菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）A 、对角相等B 、两组对边分别平行且相等C 、对角线互相垂直D 、对角线互相平分 3、如图，菱形ABCD 的对角线AC = 24cm ，BD= 10 cm ，则菱形的面积是_____，周长是_____ 二． 预习交流（课前完成）阅读第5—8页，完成： 1、证明：对角线相互垂直的平行四边形是菱形。
已知： 求证： 证明：2、证明：四边相等的四边形是菱形。
已知： 求证： 证明：3.、已知线段AC ，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD ，使AC 为菱形的一条对角线。
▲菱形的判定方法：1：2： 3. 三． 互助探究（先各自独立完成，再师友互助）1.阅读课文：P 。
6 做一做，动手操作，并说明其中的道理。
2.如图，在□ABCD 中，对角线AC 与BD 相较于点O.已知AB=13AO=3，BO=2，求证：□ABCD 是菱形。
四．分层提高ABC2E1、 画一个菱形，使得它的两条对角线的长分别为4cm 和6cm.（说明其中的道理）2、 已知：口ABCD 中对角线AC 的垂直平分线分别与AD ，AC ，BC 相交于点F ，O ，E 。
求证：四边形AECF 是菱形。
3、如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ,F,G,H 分别是OA ，OB ，OC ，OD 的中点。
求证：四边形EFGH4.已知：如图，在四边形纸片ABCD 中，AD ∥BC ，AD>CD ，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C′处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C′E．求证：四边形CDC′E 是菱形．课后作业1：1．菱形的周长为32cm ，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是 2．如图所示，已知平行四边形ABCD ，AC ，BD 相交于点O ， 添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为________． （只写出符合要求的一个即可）3．如图所示，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=CD=BC ，四边形ABCD 是菱形吗？说明理由．4．如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，且OC=OD,PD ∥AC ，PC ∥BD ，PD ，PC 相交于点P ，四边形PCOD 是菱形吗？试说明理由．CA。
菱形的性质和判定(二)
局二中2014——2015学年第一学期九年级数学导学案 主备: 赵秋娥 组长赵秋娥 班级 姓名课题: 1.1菱形的性质与判定（二）我的疑问 探究2：学生操作：用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？由此得出:对角线互相垂直的 是菱形 我们用下图解释一下：已知： 求证：四边形ABCD 是菱形分析：已知条件已给四边形ABCD 是平行四边形，只需证出它有一组邻边相等，再根据菱形定义即可说明四边形ABCD 是菱形。
大家思考如何证明一组邻边相等呢？请在下面写出证明过程：于是，得到菱形的另一种识别方法：【合作探究】（组长组织对学、群学、组内小展示，做好大展示准备。
）一、归纳菱形的判定方法二、学以致用：1． 如图，在ΔABC 中，AD 是ΔABC 的平分线。
DE ∥AC,交AB 于点E ；DF ∥AB ，交AC 于点F 。
试说明四边形AEDF 是菱形。
证明：∵ ∴四边形AEDF 是 形 ∵DE ∥AC ∴∠ADE=∠ （两直线平行，内错角相等） ∵AD 是ΔABC 的平分线∴∠ = ∠ ∴∠ = ∠∴ （等角对等边）∴AEDF 是菱形【学习目标】1、理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算；2、经历探索菱形判定思想的过程，领会菱形的概念以及应用方法，发展学生主动探究的思想和说理的基本方法。
【重点难点】重点：菱形的两个判定方法． 难点：判定方法的证明方法及运用．【使用说明与学法指导】通过操作活动，让学生自主学习，观察、归纳菱形的性质，最后小组合作交流证明菱形的有关性质。
【知识回顾】1、菱形的定义：当 形 时，它就成了菱形。
2、用几何语言展示下面菱形ABCD 的所有性质：【自主学习】探究1：我们已经知道菱形的四条边都相等，这是菱形的性质。
那么四条边都相等的四边形是菱形吗？我们用下图解释一下：已知：四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA求证：四边形ABCD 是菱形 证明：∵AB=CD ，DA=BC∴四边形ABCD 是 形（ ）又∵AB=BC ∴ABCD 是菱形（ ）于是，得到菱形的识别方法：abO D CBAABCDOD CBAB ACD EF2．如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于E、F. 求证：四边形AFCE是菱形.【训练案】1．下列条件不能够判定平行四边形ABCD是菱形的是( )A．AB=BC B．AC⊥BD C．AD=CD D．AC=BD2．两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起，重叠部分的四边形是形。
1.1菱形的性质与判定(2)
A
D
根据定义得：
一组邻边相等的平行四边形是菱形.
B
C ∵在□ABCD中，
∴AB□=AABDCD是菱形
还有什么方法吗?
探索一
用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成 一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形. 转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?
B
C
O
猜 定想 理：对角A线互相垂直的D平行四边形是菱形.
已知:在□ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AC⊥BD
求证: □ABCD是菱形
证明:∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC
又∵AC⊥BD ∴BD是线段AC的垂直平分线
∴BA=BC
∴四边形ABCD是菱形(菱形定义)
探索二
已知线段AC,你能用尺规作图的方法做一个菱形ABCD, 使AC为菱形的一条对角线吗?
菱形的性质与判定
温故知新
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
平行四边形 一组邻边相等
菱形
菱形的两组对边平行
菱
边
菱形的四条边相等
形
菱形的两组对角分别相等
的
角
性
菱形的邻角互补
质
对
菱形的两条对角线互相平分
角
线
菱形的两条对角线互相垂直,
每一条对角线平分一组对角。
探索知
同学们想一想，我们在学习平行四边形的判定时，我们首先想 到的第一种方法是什么？那么类比着它们，菱形的第一种判定 方法是什么？
∴□ABCD是菱形
变式1.
变式2：
练习
1.
2、如图，△ABC中，AC的垂直 平分线MN交AB于点D，交AC于 点O，CE∥AB交MN于点E，连 M 接AE、CD. 求证：四边形ADCE是菱形
1.1菱形的判定(二)
9、如图，矩形ABCD的对角线相交于点O,DE∥AC,CE∥BD.
求证：四边形OCED是菱形。
课
后
反
思
银星学校学案教学设计页
初三年级____数学___学科主备人：__王光辉_______审核人：_初三数学组________第___2__课时总第_____节_____月____日
学习内容
1.1菱形的性质与判定（2）
个性设计
教
学
环
节
设
计
三：课堂练习
1、 ABCD，对角线AC、BD交于点O，
AO=2 OB=1 , 平行四边形ABCD是
重点
掌握并会应用菱形的判定方法
难点
菱形判定方法的应用
教
学
环
节
设
计
一：知识回顾：菱形的定义和性质
二：合作探究：
1、由菱形定义可知判定菱形的一种方法：
。
2、你能用菱形定义证明吗？
已知： ABCD，对角线AC、BD互相垂直。
求证： ABCD是菱形．
号语言∵
∴
判定方法1：对角线的平行四边形是菱形
已知：四边形ABCD，AB=BC=CD=DA,
D
C
B
A
5、如图，用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是一个菱形吗？为什么？
6、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，与AB相交于点E，DF∥AB，与AC相交于点F，试说明四边形AEDF是菱形。
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第1节 菱形的判定
温故知新
平行四边形有哪些判定？
1.菱形的定义? 2.如图,已知四边形ABCD是一个平行四边 形,则只需补充 就可以判定它是 一个菱形. 3.如图,已知菱形ABCD的对角线AC、BD相 交于点O,并且AC=6cm,BD=8cm,则菱形 ABCD的周长为 cm.
你能说说这样做的道理吗?
课堂小结
1.本节课重点学习了什么知识,应用了哪 些数学方法？ 2.判定一个四边形是菱形有哪些方法? 3.通过本节课的学习你有哪些收获？在 今后的学习过程中应该怎么做？
布置作业
1.课本P7 知识技能 2 数学理解 3
2.预习课本P8-9内容
做一做
你能用折纸等办法得到一个菱形吗?动手试一试.
先将一张长方形的纸对折,再对折,然后沿图中 的虚线剪下,将纸展开,就得到了一个菱形.
已知:如图1-5,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA. 求证: 四边形ABCD是菱形
证明:∵AB=CD,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 又∵AB=BC
∴四边形ABCD是菱形(菱形定义)
定理
四条边相等的四边形是菱形
∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形 ( )
议一议
已知线段AC,你能用尺规作图的方法做一 个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗?
探索新知
根据菱形的定义,一组邻边 相等的平行四边形是菱形.除此 之外,你认为还有什么条件可以 判断一个平行四边形是菱形?先 想一想,再与同伴交流.
小明的想法
平行四边形的不少性质定理 与判定定理都是互逆命题.受此 启发,我猜想:四边相等的四边 形是菱形,对角线垂直的平行四 边形是菱形.
试一试
对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗? 已知:如图1-3,在□ABCD中,对角线AC与 BD交于点O,AC⊥BD. 求证: □ABCD是菱形
A
C
议一议
以下是小刚的作法
你是怎么做的?你认为小刚的作法正确吗?与 同伴交流.
证明:在△AOB中, ∵ AB= √5,OA=2,OB=1 ∴AB2=OA2+OB2 ∴△AOB是直角三角形,∠AOB是直角. ∴AC⊥BD ∴□ABCD是菱形 (对角线垂直的平行四边形是菱形)
运用巩固
1.课本P7随堂练习 2.课本P8习题1.2 知识技能 1
证明:∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC 又∵AC⊥BD ∴BD是线段AC的垂直平分线 ∴BA=BC ∴四边形ABCD是菱形(菱形定义)
定理
对角线互相垂直的平行四边形∴四边形ABCD是菱形
请尝试证明下面的定理
P6
四条边相等的四边形是菱形