最新人教版高中数学选修4-1《弦切角的性质》课堂探究

课堂探究
知能点一：弦切角定理
在使用弦切角定理时，关键是要弄清哪个角是弦切角，及弦切角所夹角，
才能正确解决问题．
【例1】如图，AD 是⊙O 的切线，AC 是⊙O 的弦，过C 作AD 的垂线，垂足为B ，CB 与⊙O 相交于点E ，AE 平分∠CAB ，且AE ＝2，求△ABC 各边的长．
∠BAE 为弦切角，于是∠BAE ＝∠C ，再由AE 平分∠CAB 和△ABC 是直角三角形可求得∠C 的度数，进而解直角三角形即可．
解：∵AD 为⊙O 的切线，∴∠BAE ＝∠C ．
∵AE 平分∠CAB ，∴∠BAC ＝2∠BAE .
又∵∠C ＋∠BAC ＝90°，∴∠BAE ＝∠C ＝30°.
则有BE ＝1，AB ＝3，BC ＝3，AC ＝2 3.
如图，已知MN 是⊙O 的切线，A 为切点，MN 平行于弦CD ，弦AB 交CD 于E .求证：AC 2＝AE ·AB ．
证明：连接BC ．
⎭
⎪⎬⎪⎫MN ∥CD ⇒∠MAC ＝∠ACD MN 切⊙O 于A ⇒∠MAC ＝∠B ⎭
⎪⎬⎪⎫⇒∠ACD ＝∠B ∠CAE ＝∠CAB ⇒△ACE ∽△ABC ⇒AC AB ＝AE AC
⇒AC 2＝AB ·AE . 知能点二：弦切角定理的应用
在证明与圆有关的命题时，弦切角定理与圆周角定理等经常要综合应用，
正确找出符合定理条件的角是应用定理的前提．
【例2】已知△ABC 内接于⊙O ，∠A 的平分线交⊙O 于D ，CD 的延长线交过B 点的切线于E .
求证：CD 2BC 2＝DE CE .
直接证明此等式有一定的难度，可以考虑把它分解成两个比例式的形式，然后
借助相似三角形的性质得出结论．
证明：连接BD ，因为BE 为⊙O 的切线，AD 为∠A 的平分线，
∴∠EBD ＝∠ECB ＝∠BAD ＝∠DAC ＝∠DBC ．
∴BD ＝CD ．
在△BED 和△CEB 中，∠EBD ＝∠ECB ，∠BED ＝∠CEB ，
∴△BED ∽△CEB ．
∴BE CE ＝BD BC
，① DE BE ＝BD BC
.② ①×②，得BD 2BC 2＝DE CE ，即CD 2BC 2＝DE CE .
如图，已知AB 为⊙O 的弦，CD 切⊙O 于P ，AC ⊥CD 于C ，BD ⊥DC 于D ，
PQ ⊥AB 于Q .
求证：PQ 2＝AC ·BD ．
分析：欲证PQ 2＝AC ·BD ，只需证AC ∶PQ ＝PQ ∶BD ，图中没有产生比例中项的条件，需要通过中间比来解决．连接P A 、PB ，如图，利用弦切角定理，得到不相邻的两对直角三角形分别相似．
证明：连接P A、PB，如图，
因为CD切⊙O于P，
所以∠1＝∠2.
因为AC⊥CD于C，PQ⊥AB于Q，
所以∠ACP＝∠PQB＝90°.
所以△ACP∽△PQB．
所以AC∶PQ＝AP∶PB．
同理，△BDP∽△PQA．
所以PQ∶BD＝AP∶PB．
所以AC∶PQ＝PQ∶BD，即PQ2＝AC·BD．。