关于Sylvester与Frobenius不等式等号条件的研究
Sylrester不等式的多种证明方法
ｔ－’
≥“＾）＋“＾）＋…＋，（＾．）一（Ｐ—Ｉ如
，
所以“＾）＋，（＾２）＋…＋ｒ（＾）ｓ（ｐ—ｌ撕
’但，（：：）ｚ，（＾）＋，（肿所以¨ｒ（＾研２，（＾）＋ｒ（聊即ｒ（＾１＋ｒ（研－ｎｓ，（＾所
方法２：［：苫］第一列右乘一Ｂ加到第二列．然后第二列再乘
参考文献 ｆ１】张禾瑞．郜炳新著．高等代款．人民教育出版社 【２Ｊ毛键耀著．高代２讲义 【３】钱吉林著．高等代敷题●ｆ精粹．中央民族大季出】眩社
（４）没Ａ是秩为ｒ的小ｘｎ矩阵，从Ａ中任取ｓ行，作成—个５×＾
矩阵Ｂ，邪么，ｒ（８）２，＋ｊ一艉
．
２ ＳｙＩ怕砒ｅｒ不等式证明
设Ａ为ｍ×ｎ矩阵，Ｂ为ｓ×万矩阵，那么ｒ（＾）＋“矗）一ｎ§ｒ（＾Ｂ）≤
ｍｉｎ（，（＾）．ｒ（Ｂ）） 证明：先证，（＾口）ｓｍｉｌ．（ｒ（＾）。一口））
方法ｌ：ｊ殳ｋ，凡。．“＾）＝ｒ．，（口）＝ｊ，因为，（＾）＝，。由预备知识
ＳｙＩ ｒｅｓｔｅ ｒ不等式的多种证明方法
熊霄
ｔ郑州电力高等专科学校）
擅耍ｓｙｈ．６１ｗ不等式是高等敷荦中非常重要的不等式，本文总结了ｓｙｌｒ瓢Ｈ不等式的多种证明方法：
关键词Ｓｖｌｒ嘶ｒ不等式矩阵矩阵的秩
１预备知识
ｎ）设Ａ为ｍ×徘， ｒ（＾）＝ｒ’那么存君Ｅｍ阶可逆阵Ｐ与ｎ阶可
ｆｊ
．．
由于初等变换不改变分块矩阵的秩．故删＋柏｝‘Ｃ：］＝Ｇ苫）＝
２ｎ０１．２ｌ；７
【４】武小雪．谈话篇分析阅读教学Ｏ】．教学与蕾理．２ｎ０３．ｆ １２ ｌ
Ｉｓ】彭全定．大学英语教学论【ＭＪ．长沙：湖南人民出版社。２州．１２０
作者简介徐晓芳（１９８卜）。★．硕士在读．研完方向：应用；Ｉ
言擘、英语教学。
Frobenius不等式的临界条件
充要 条件 ， 同时文献 ［ ６ ］ 利用 广义 逆矩 阵得 出了 Ｆ ｒ ｏ ｂ ｅ ｎ ｉ ｕ ｓ 不 等 式等 号成 立 的充要 条 件 ， 然 而文 献 ［ ７ ］ 在 讨 论若 干 矩 阵乘 积 的秩 的下 界之 后却 提到 ： “ 但 用到 了广义 逆 矩阵 的概念 ， 比较复 杂 ， 能否 得 出等号 成立
坐 标组 也是 惟一 的 。
定理 １ 设 厶 、 Ｌ ２ 分别表示矩阵 的行空间和矩阵 Ｃ的列空间 ， 在空间 Ｌ 中存在 ２ 个子空间 厶 、
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３ — ０ １ — ２ ２
作者简 介： 周儒省（ １ ９ ８ ６ 一 ） ， 男， 广东茂名人 ， 湖南师范大学硕士研究生 。
此 不等 式 ， 这 ２个 不 等 式 在矩 阵秩 的不 等 式 中 占有 重 要 地 位 ， 然 而此 后 对 矩 阵秩 的等 式 研 究 并 不 多 。
ｆ 日＼
Ｇ ｒ ｏ Ｂ Ｉ Ｓ ］ 给出了ｒ ａ ｎ ｋ Ｉ ＼ 乙 … ／ １ ＝ ｒ ａ ｎ ｋ （ Ａ ） 有解的充要条件及其解的表达式， 史及民［ ｔ ］ 给出了三幂等阵等
Ｖｏ １ ． ３１ Ｎｏ． ４ ຫໍສະໝຸດ Ｊ ｕ １ ．２ ０ １ ３
文章缩号 ： １ ０ ０ ８ — ０ １ ７ １ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ４ — ０ ０ ５ ４ — ０ ５
Ｆ ｒ ｏ ｂ ｅ ｎ ｉ ｕ ｓ 不等 式 的 临界 条件
周 儒 省
（ 湖 南师 范大 学 数 学与 计 算机 科 学 学 院 ， 湖 南 长沙 ４ １ ０ ０ ８ １ ）
线性方程组与矩阵秩的若干问题
引理4 对任意 ( AB)、( BC )，有
0 r BC AB B
r ( AB) r ( BC r (( I ( BC )( BC ) ) B( I ( AB) ( AB))) r ( B) r ( ABC )
定理2 在Frobenius不等式中，对任意 ( AB) 、
( BC )，有
r ( ABC ) r ( AB) r ( BC ) r ( B) ( I ( BC )( BC ) ) B( I ( AB) ( AB)) 0
参考文献
[1] 陈志杰. 高等代数与解析几何[M]. 北京: 高等教育出 版社, 2000. [2] 丘维声. 高等代数(第二版) [M]. 北京: 高等教育出版 社, 2002. [3] 胡付高. 关于一类矩阵秩的恒等式注记[J]. 武汉科技 大学学报, 2004, 27(3): 322-323. [4] 吕登峰, 刘 琼等. 矩阵秩的Sylvester与Frobenius 等式问题[J]. 孝感学院学报, 2006, 26(6): 62-65.
Sylvester不等式：
r ( A) r ( B) n 剟r ( AB) min(r ( A), r ( B))
Frobenius不等式：
r ( AB) r ( BC ) r ( B) „ r ( ABC )
问题：
在这两个不等式中等号成立的条件是什么？
即以下等式成立的条件分别是什么？
这样， L1 与 L2 的位置关系取决于线性方程组
a1 x b1 y c1 z d1 0 a x b y c z d 0 2 2 2 2 a3 x b3 y c3 z d 3 0 a4 x b4 y c4 z d 4 0
Frobenius秩不等式取等号的一个新的充要条件_毕业论文
A New Necessary and Sufficient Condition for Equality in Frobenius Inequality
由此得到了判定矩阵是三幂等的充要条件的秩恒等式， 即刻画三幂等矩阵的秩特征 等式： 命题 4[2,3,4]设 A ∈ P n×n ，则 A = A3 ⇔ rank( A) =rank( A − A2 ) + rank( A + A2 ) 文献[5]也从另一角度给出了刻画三幂等矩阵的秩的特征： 命题 5[5] 设 A ∈ P n×n ，则 A =A3 ⇔ rank( A) + rank( E − A2 ) =n （8） （7）
3
2
主要结果
引理1[13,14]（Roth） 设 A ∈ P m×s ， B ∈ P t×n ， C ∈ P m×n ，则矩阵方程
AX − YB = C
（14）
有解的充分必要条件是矩阵 A 0 A C 与 0 B 0 B 等价（相抵）. 定理1 设 A ∈ F m×n ， B ∈ F n×s ， C ∈ F s×t ，则 rank( ABC ) = rank( AB) + rank( BC ) − rank( B) 的充分必要条件是存在矩阵 X 、 Y 使得 XAB + BCY = B. 证明 由（16）式得到 （16） （15）
1
1
引言
矩阵秩的不等式及等式问题一直是矩阵理论中令人关注的课题， 在最近的一些文献
[1-8]中， 研究了任意域或除环上矩阵秩的一些恒等式，给出了下列一些秩等式： 命题 1[1] 设 A ∈ P n×n ，则 （1） （2） （3） （4）
Sylvester-Frobenius问题的研究
Sylvester-Frobenius 问题的研究问题背景：这些结论最早起源于Frobenius 提出的Frobenius coin 问题：即用十分硬币和七分硬币，所不能组成的最大金额是多少？随后，Frobenius 提出这样的问题，渴望将问题结论一般化：已知：正整数对()1,,1n a a ⋅⋅⋅=，1n i i i a xc ==∑有解得边界问题.但只有n=2的情况得到了充分研究，n ≥3至今悬而未决，本节课则是将n=2时的结论说清楚，并采用最简单易懂的语言、符号书写.参考文献：【1】冯志刚《整除、同余与不定方程》【2】闵嗣鹤、严士健《初等数论》【3】潘承洞、潘承彪《初等数论》1.设正整数a 、b 互素.证明：不定方程ax by ab a b +=--①无非负整数解.2.设正整数a 、b 互素.不定方程ax by c +=，其中c ab a b >--.证明：该不定方程有非负整数解.3.在上一题的条件下，解的个数为c ab ⎡⎤⎢⎥⎣⎦或1c ab ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦.4. 设正整数a 、b 互素，则考虑方程ax by c +=的解的情况：当c ab >时，方程有正整数解，解得组数为1c ab ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦或者c ab ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 当c ab =时，方程无正整数解.例11.5 证明：已知二元一次不定方程ax by N +=，(),1a b =，1a >，1b >，当N ab a b >--时，有非负整数解.N ab a b =--时无解.例11.6证明：已知二元一次不定方程ax by N +=，(),1a b =，1a >，1b >，我们知道不能表示ax by +的最大正整数为ab a b --，那么0N ab a b ≤≤--有多少个整数不能如上表示？ 例11.7 证明：已知二元一次不定方程ax by N +=，(),1a b =，1a >，1b >的非负整数解得个数a 为N ab ⎡⎤⎢⎥⎣⎦或1N ab ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦.考试出题：若存在非负整数a 、b ，使得7a+5b=N ，则称N 是可表示的，否则就是不可表示的.例如：7，12，26都是可表示的，8，11是不可表示的，则不可表示的最大整数是 .。
数学本科毕业论文《矩阵不等式的证明及其应用》
矩阵不等式的证明及其应用一矩阵的秩在矩阵理论中起着非常重要的作用, 矩阵的秩是矩阵的一个重要不变量, 初等变换不改变矩阵的秩, 矩阵的秩有一定的规律, 我们有下面一些基本的不等式:Frobenius 不等式: R(ABC) ≥R(AB)+R(BC)-R(B) (1) R(A)-R(B) ≤ R(A±B) ≤ R(A)+R(B) (2) Sylvester 不等式:R(A)+R(B) - n≤R(AB)≤min( R(A),R(B) )(3)对于(1) , (2), (3) 三个不等式有不同的证明和理解,在这里我们利用分块矩阵的知识,来论证上面的结论.在论证之前,我们先来探讨分块矩阵秩的一些性质.矩阵的秩满足一定的规律,同样在分块矩阵中,它们的秩也有一定的规律可寻.利用矩阵的一些基本的不等式,我们对分块矩阵的秩进行探讨.(1)我们首先从特殊的分块矩阵分析,形如A OB C⎛⎫⎪⎝⎭或A BC⎛⎫⎪⎝⎭或0AB C⎛⎫⎪⎝⎭定理1 设A是n阶矩阵,B和C分别是m⨯n矩阵和m⨯1矩阵, 则R(A)+R(C) ≤R(AB C⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{}m+R(A), n+R(C)证明:AB C⎛⎫⎪⎝⎭=mAB I⎛⎫⎪⎝⎭nCI⎛⎫⎪⎝⎭因为RAB C⎛⎫⎪⎝⎭= R(mAB I⎛⎫⎪⎝⎭nCI⎛⎫⎪⎝⎭)≥ R(mAB I⎛⎫⎪⎝⎭) + R(nCI⎛⎫⎪⎝⎭) - (n+m)= R（A）+R（mI）+ R(n I) +R（C）- (n+m)= R(A) + R(C) (1)又由于 R(0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭) = R(0m A B I ⎛⎫ ⎪⎝⎭00n C I ⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{ R(0m AB I ⎛⎫⎪⎝⎭),R(00n C I ⎛⎫ ⎪⎝⎭) }= min {}m+R(A), n+R(C) (2)综合(1) (2)两式, 故 R(A)+R(C) ≤ R(0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭) ≤min {}m+R(A), n+R(C)定理2 设A 为n 阶距阵,B 为n ⨯1矩阵,C 为m ⨯1矩阵, 则R(A)+R(C) ≤ R(A B O C ⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{ n+R(C), 1+R(A) }证明: 0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭ = 0n B C I ⎛⎫⎪⎝⎭100A I ⎛⎫⎪⎝⎭ 因为 R(0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭) = R(0n B C I ⎛⎫ ⎪⎝⎭100A I ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥ R(0n B C I ⎛⎫⎪⎝⎭) + R(100A I ⎛⎫⎪⎝⎭) - (n+1) = R (n I ) + R （C ） + R(A) + R （1I ） - (n+1) = R(C) + R(A) (1)又由于R(0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭) = R(0n B C I ⎛⎫⎪⎝⎭100A I ⎛⎫⎪⎝⎭≤ min{ R(0n B C I ⎛⎫⎪⎝⎭),R(100A I ⎛⎫ ⎪⎝⎭} = min{ n+R(C), 1+R(A) } (2)综合(1),(2) 两式,故R(A)+R(C) ≤R(A BO C⎛⎫⎪⎝⎭)≤ min{ n+R(C), 1+R(A) }定理3 设A是n阶矩阵,B和C分别是m⨯1矩阵和m⨯n矩阵,则 R(A) + R(B) ≤ R(0AB C⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{}m+R(A), n+R(B)证明:0AB C⎛⎫⎪⎝⎭=mAI C⎛⎫⎪⎝⎭nBI⎛⎫⎪⎝⎭因为R(0AB C⎛⎫⎪⎝⎭) = R(mAI C⎛⎫⎪⎝⎭nBI⎛⎫⎪⎝⎭)≥ R(mAI C⎛⎫⎪⎝⎭) + R(nBI⎛⎫⎪⎝⎭) - (n+m)= R（A）+R（mI）+ R(n I)+R（B）- (n+m) = R(A) + R(B) (1)又由于R(0AB C⎛⎫⎪⎝⎭) = R(mAI C⎛⎫⎪⎝⎭nBI⎛⎫⎪⎝⎭)≤ min{ R(mAI C⎛⎫⎪⎝⎭),R(nBI⎛⎫⎪⎝⎭) }= min{}m+R(A), n+R(B)(2)综合(1) (2)两式, 故R(A)+R(B) ≤R(0AB C⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{}m+R(A), n+R(B)(2) 我们分析了特殊情况后,接着探讨一下一般情形,形如A BC D ⎛⎫ ⎪⎝⎭.定理4 设A为n阶矩阵,其中B是n⨯1矩阵,C是m⨯n矩阵,D是m⨯1矩阵, 则R(A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭) ≤ min{ m+R(A)+R(B), n+R(D)+R(B) }证明: 因为 A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ = 0A C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ + 000B ⎛⎫⎪⎝⎭所以 R(A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭) = R(0A C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ + 000B ⎛⎫⎪⎝⎭)≤ R(0A C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭) + R(000B ⎛⎫⎪⎝⎭)≤ min{ m + R(A), n + R(D)} + R(B)= min { m+R(A)+R(B), n+R(D)+R(B) } 证毕二 分块矩阵是讨论矩阵的重要手段,利用分块矩秩的不等式,可以系统地推证关于矩阵秩的一些结论,在这里我们利用上面得出的一些定理来证明矩阵秩的某些性质.在证明性质之前,为了便于证明,首先介绍一个引理:引理1 R(AB) ≤ min{R(A),R(B)}, 特别当A ≠0时, R(AB) = R(B)(1) A, B 都是m ⨯n 矩阵, 则R(A+B) ≤ R(A)+R(B)证明: 由于A + B = (m I m I )00A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭nn I I⎛⎫⎪⎝⎭由引理１得: R(A+B) = R ((m I m I )00A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭nn I I ⎛⎫⎪⎝⎭) ≤R (00A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭nn I I⎛⎫ ⎪⎝⎭) ≤ R (00A B ⎛⎫⎪⎝⎭)= R(A) + R(B)故 R(A+B) ≤ R(A)+R(B)(2) 设A 为m ⨯n 矩阵,B 为n ⨯s 矩阵,且A B=0, 则R(A) + R(B) ≤n证明: n n n n A O AAB A O I B I O I B I B O O ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由引理1得: R(n A O I B ⎛⎫ ⎪⎝⎭) ≤ R(n A O I O ⎛⎫⎪⎝⎭)由定理1得: R(n A O I B ⎛⎫⎪⎝⎭) ≥ R(A) + R(B)又mn n n I A A O O O O I I O I O -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭且 0mnI A OI -≠由引理1得: R(n O O I O ⎛⎫ ⎪⎝⎭ = R(n A O I O ⎛⎫⎪⎝⎭) = n由定理1得: R(A)+R(B) ≤ R(n A O I B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ≤ R(n A O I O ⎛⎫ ⎪⎝⎭) = R(000nI ⎛⎫⎪⎝⎭) = n 从而有 R(A) + R(B) ≤ n(3) 设A 是m ⨯ n 矩阵,B 是n ⨯s 矩阵,则 R(AB) ≥ R(A) +R(B) - n证明: 000sn n n AB I AB O I B I B I ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 且0s nI o BI ≠, 由引理1得:R(AB)+ R(n I ) = R(0n AB B I ⎛⎫⎪⎝⎭)即 R(AB) + n = R(0n AB B I ⎛⎫⎪⎝⎭) (1)又00mn n n IA AB O A I B I B I -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭且00m nI A I -≠, 由引理1,定理3得:R(0n AB B I ⎛⎫⎪⎝⎭) = R(n O A B I ⎛⎫⎪⎝⎭) ≥R(A)+R(B) (2)由(1), (2) 得: R(AB) ≥ R(A)+R(B) – n(4) 设A,B,C 分别是m ⨯n,n ⨯s,s ⨯t 矩阵,则 R(ABC)≥ R(AB) + R(BC) - R(B)证明: 因为 0000mn I A ABC ABC AB I B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 且 0;:0m nI A I ≠由引理1得R(ABC) + R(B) = R 0ABCAB B ⎛⎫⎪⎝⎭(1) 又因为 0ABCAB B ⎛⎫⎪⎝⎭000ts I AB CI BC B -⎛⎫⎛⎫=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭t s - I 0且C I由引理1定理3得: R 0ABCAB B ⎛⎫⎪⎝⎭ = R 0()()AB R AB R BC BC B ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭(2) 由(1) (2)得: R(ABC) ≥ R(AB) + R(BC) - R(B) (5)如果 秩(A-I ) = r, 秩( B-I ) = s, 则 秩(AB-I ) ≤ r + s .证明: 令X = 00A IB I -⎛⎫⎪-⎝⎭则: 秩X = r + s由00A IB I -⎛⎫ ⎪-⎝⎭0I B I ⎛⎫ ⎪⎝⎭ = 0A I AB B B I --⎛⎫⎪-⎝⎭且 0I B I≠0 , 由引理1得:R (00A IB I -⎛⎫⎪-⎝⎭) = R(0A IAB B B I --⎛⎫⎪-⎝⎭) = r + s (1) 又因为 0I I I ⎛⎫ ⎪⎝⎭0A IAB B B I --⎛⎫⎪-⎝⎭ = 0A IAB I B I --⎛⎫⎪-⎝⎭得 R(0A IAB I B I --⎛⎫⎪-⎝⎭) ≥ R(AB-I ) (2) 且00I II≠ , 由引理1得:R(0A I AB B B I --⎛⎫ ⎪-⎝⎭) = R(0A IAB I B I --⎛⎫⎪-⎝⎭) (3) 综合 (1) (2) (3) 式可: R(AB-I ) ≤ r + s参考文献[1]樊恽主编. 代数学词典. 武汉: 华中师范大学出版社, 1994.[2] 高等数学研究. 2003.01.[3]北京大学数学系编. 高等代数. 高等教育出版社.[4]张禾瑞．郝炳新主编．高等代数．高等教育出版社．[5]华东师范大学学报．2002.04．[6]西北师范大学学报．1989.01．。
frobenius范数三角不等式证明
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文章如下：frobenius范数三角不等式证明1. 引言在矩阵理论中，Frobenius范数是一种常用的矩阵范数，它定义如下：对于一个矩阵A，其Frobenius范数定义为||A||_F = sqrt(∑(i,j)|a_ij|^2)。
在矩阵的加法和数乘运算中，Frobenius范数具有三角不等式的性质，即对于任意的两个矩阵A和B，都有||A + B||_F <= ||A||_F + ||B||_F。
本文将探讨Frobenius范数三角不等式的证明。
2. 证明我们来看一下Frobenius范数的定义。
对于一个矩阵A，其Frobenius范数定义为||A||_F = sqrt(∑(i,j)|a_ij|^2)。
在证明Frobenius范数三角不等式之前，我们需要先证明Frobenius范数满足向量范数的所有性质。
3. Frobenius范数的性质（1）非负性：对于任意的矩阵A，有||A||_F >= 0，并且只有当A=0时，||A||_F = 0。
（2）齐次性：对于任意的矩阵A和任意的标量c，有||cA||_F = |c| *||A||_F。
（3）三角不等式：对于任意的两个矩阵A和B，都有||A + B||_F <= ||A||_F + ||B||_F。
上面三条性质都是显而易见的，这里不再赘述证明。
4. Frobenius范数三角不等式的证明我们要证明对于任意的两个矩阵A和B，都有||A + B||_F <= ||A||_F + ||B||_F。
我们来看一下A和B的奇异值分解。
对于A，存在一个酉矩阵U和一个对角矩阵Σ，使得A = UΣV^*，其中Σ的对角线上的元素称为A的奇异值。
对于B，存在一个酉矩阵W和一个对角矩阵Λ，使得B = WΛV^*，其中Λ的对角线上的元素称为B的奇异值。
我们可以得到A + B的奇异值分解。
关于Sylvester与Frobenius不等式等号条件的研究
（ ． ｔｅ ｔ ｓ＆ Ａ ｐｉ ｔｅ ｔ ｓＤ ｐｒｎ ｎ ｕｉ ｎｖ ￣ｔ， ｕｉ ｕａｌ ５ ０ Ｃ ｉａ １Ｍａ ｍａｉ ｈ ｃ ｐ ｌ ｄ Ｍａ ｍａ ｃ ｅａｌ ｅ￣Ｐ ｔｎ Ｕ ｉｅ ｉ Ｐ ｔｎ Ｆ ｊ Ｉ ３ ， ｈ ； ｅ ｈ ｉ ａ ａ ｙ ａ ｉ １０ １ ｎ
ｍａｒ ｏｙ ｏ ａ ｂ ｎ ｄ ｒ ｃ ｎ ｌ ． Ｍ ｅ ｎ ｉ ， ａ ｕ ｉ ｒ ｔｏ ｒ ｔ ｅ ｐ ｏ ｆ ｏ ｅ ｃ ｒ ｓ ｏ ｄ ｎ ｅ ｕｔ ｔｉ ｐ ｌ ｎ ｍｉ ｌｏ ｍｉ ｅ ｅ ｅ ｔ ｘ ｙ ａ ｗｈ ｌ ｅ ｎ ｆ ｍ ｍｅ ｄ ｆ ｒ ｏ ｆ ｔ ｏ ｒ ｐ ｎ ｉ ｇ ｒ ｓ ｌ ｏ ｈ ｏ ｈ ｈ ｅ ｓ ｒ ｃ ｎ ｌ ｓｇ ｖ ｎ ｅ ｅ ｔ ｉ ｉｅ ． ｙ
Ｒｅ ｅ ｒ ｈ ｓ ｎ ｈ Ｅｑ ａ ｉｎ ｓ ａ ｃ ｅ ｏ ｔ ｅ ｕ ｔ Ｃｏ ｄ ｔ ｎ ｆ ｙ ｖ ｓｅ ａ ｄ ｏ ｎ ｉ ｏ ｏ Ｓ ｌ ｅ ｔｒ ｎ ｉ
Ｆｒ ｂｅ ｉ ｓＳ ｎｅ ａ ｉｙ ｏ ｎｕ ’ Ｉ ｑｕ ｌｔ
ＣＨＥ Ｍ ｅ — ｉｎ Ｎ ｉ ａ ｇ ，ＹＡＮＧ ｈ ｎ — ｅ ｇ ，Ｌ Ｎ ｏ ｑ ｎ ｘ Ｚ ｏ ｇ ｐ ｎ Ｉ Ｇｕ — ｉ
命题9文13定理3设apm为奇数19rankarankam1nm为偶数20命题10文13定理4设ap整数则对任意自然数lk有1rankan如果am1212rankarankam122以上命题都可看做sylvester不等式和frobenius不等式限定在矩阵多项式情况取等号情况的讨论如命题1则有ra相对命题1命题2和命题3利用我们最近得到的矩阵的多项式秩的恒等式即下述定理1可在限定条件下回答文3提出的问题同时对文513相应问题的相关讨论给出一个统一的简单的处理方法
贝塞尔不等式等号成立的充要条件
贝塞尔不等式是概率论和数理统计中的基本定理，它在概率分布函数和数学期望的估计中起到了重要作用。
贝塞尔不等式的等号成立条件，一直以来都是学术界关注的焦点之一。
本文将从推导贝塞尔不等式的基本原理出发，逐步介绍贝塞尔不等式的等号成立条件，帮助读者更好地理解这一重要的数学定理。
一、贝塞尔不等式的基本原理在讨论贝塞尔不等式的等号成立条件之前，我们先来回顾一下贝塞尔不等式的基本原理。
贝塞尔不等式是由德国数学家贝塞尔（F.E.Bessel）于1820年提出的，它的数学形式如下所示：若{an}为任意一组正数序列，且级数∑（an^2）收敛，则对于任意给定的正整数n，级数∑（an^2）的部分和Sn与级数∑（an）的部分和Tn之间成立不等式关系：∑（an^2）≥Tn^2 / n其中Tn=∑（an）二、贝塞尔不等式的等号成立条件贝塞尔不等式的等号成立条件一直以来都备受关注，这是因为等号成立条件的研究对于深入理解贝塞尔不等式的性质和应用具有重要意义。
经过长期研究，学者们总结出了以下关于贝塞尔不等式等号成立条件的结论：1. 等号成立条件的充分性对于任意一组正数序列{an}，若级数∑（an^2）收敛且对于任意给定的正整数n，级数Sn的部分和与级数∑（an）的部分和Tn满足关系式∑（an^2）=Tn^2 / n，则称贝塞尔不等式的等号成立条件在该序列下成立。
2. 等号成立条件的必要性若贝塞尔不等式的等号成立，即∑（an^2）=Tn^2 / n，则该序列{an}必须满足以下条件：级数∑（an^2）收敛；对于任意给定的正整数n，级数Sn的部分和与级数∑（an）的部分和Tn满足关系式∑（an^2）=Tn^2 / n。
三、贝塞尔不等式等号成立条件的应用贝塞尔不等式等号成立条件在概率论、数理统计和信号处理等领域有着重要的应用价值。
在概率论中，通过研究随机变量的平方可积性和级数收敛性，可以利用贝塞尔不等式等号成立条件来推导出布劳恩-塔格伦不等式等其他重要的数学定理；在数理统计中，贝塞尔不等式等号成立条件的研究对于最小均方误差估计和参数极大似然估计具有重要意义；在信号处理中，贝塞尔不等式等号成立条件的应用可帮助人们更准确地估计信号的能量和功率。
Frobenius不等式中等号成立的充要条件
．
代数 ， 线 性代数 的重要 内容 ． 在 本文 中 ， 表示 ｋ阶 单 位矩 阵 ， ｒ （ Ａ） 表 示矩 阵 Ａ 的秩 ． 设 Ａ、 Ｂ、 ｃ分 别为 ｍ × 、 ×Ｐ矩 阵 与 Ｐ×ｑ 矩 阵， 则有
矩阵 ， 所 以
另若 Ａ Ｃ＝ ０ ， 就 有不 等式
ｒ （ Ａ）＋ ｒ （ Ｃ）≤ ．
ｒ （ Ｊ
厂 Ｂ
０ ］
Ｉ ）一 ｒ （ Ｊ
厂 ＢＣ ０＿ １
１ ）一
ｒ （ ＡＢ Ｃ）＋ ｒ （ Ｂ） ，
而若 Ｃ一 ０ ， 就 得不 等式
ｒ （ Ａ Ｂ）≤ ｒ （ Ｂ） ．
广 Ａ Ｂ ０ ］
Ｌ ０ ＢＣＪ
作者简介 ： 马建荣 （ １ ９ ５ ７－ －） ， 男， 陕西澄城人 ， 副教授 ， 从事基础 数学
教学 与研 究 ． Ｅ ｍａ ｉ ｌ ： ｊ ｒ ｍａ ＠ ｍａ ｉ ｌ ． ｘ ｉ ｄ ｉ ａ ｎ ． ｅ ｄ ｕ ． ｃ ｎ
Ｌ Ｂ—Ｘ ＡＢ 一
ｒ （ ＡＢ）＋ ｒ （ Ｂ Ｃ）≤ ｒ （ Ａ ＢＣ）＋ ｒ （ 口） ．
证 明
由 于
［ ０ ］ ［ ］ ［ ［ ＿ ｏ Ｅ ０
Ｆ ａ Ｂ Ｃ ０ ］
Ｌ ０ ． Ｂ Ｊ ’
这 就是 著名 的 Ｆ ｒ ｏ ｂ ｅ ｎ ｉ ｕ ｓ 不 等式 引 ． 若取 Ｂ — Ｅ ， 就得 Ｓ ｙ ｌ ｖ ｅ ｓ ｔ ｅ ｒ 不等式 嘲
Ｉ ）
的充 要 条件是 存 在矩 阵 ｘ 和 ｙ使式 （ ２ ） 成 立 即可． 先 证充 分性 ． 若 存在 ×ｍ矩 阵 ｘ 与 ｑ×Ｐ矩 阵
秩的Sylvester与Frobenius等式问题
摘
要： 通过线性空 间的线性变换 讨论 了 Ｓ ｌ ｓｅ 与 Ｆ ｏ ｅ ｉｓ ｙｖ ｔｒ ｅ ｒｂｎｕ 不等式取等号的条件 ， 并将它们推广到矩阵多
项 式 中 。 立 了一 类 广泛 的秩 恒 等 式 ． 建
关键词 ：ｙｖｓｅ 不等式 Ｆｏ ｅ ｉｓ Ｓ ｌ ｔｒ ｅ ｒｂｎｕ 不等式 ； 线性变换 ｝ 秩
Ｚａ ＋ Ｚ ＋ … ＋ Ｚ 一 ０ ２ ￡ ．
（） ３
文作者在文末提出如下问题 ：不等式（） ２ 取 “ １和（ ） 等号的条件是什么” 并评论道：在文献［］ ， “ ３ 中虽
然 给出了使 （） 等号 的条件 ， 用到 了广义逆 矩 １取 但
将线 性变换 作 用 于式 （） ３ 的两边 ， 到 得
基金项 目： 孝感 学院大学生创新团队科研项 目（ ２ Ｏ Ｏ ８ ． Ｚ Ｏ ６Ｏ ）
作者 简 介 ： 旭 （９ ４）男 ， 北 孝 感 人 ， 感 学 院 大 学生 创 新 团 队 成 员 ， 要 从 事 基 础 数 学研 究 胡 １ ８一 ， 湖 孝 主
＊通信联系人
维普资讯
代入 式 （）可得 ３，
ｋ ｌ— ｋ 一 … 一 ｋ ２ ，一 ０ ．
单的问题．在文献［３ ” １中结合矩阵的分块方法 ， 给 出式（）和式（ ）中等号成立 的一个充要条件 ， １ ２ 并利用这一条件刻画出一类矩阵的秩特征．
收 稿 日期 ：０ ６０ —５ ２ ０ —８１ ．
所 以 ａ，ｚ… ， ， ， ， 性无关 ． ｔａ ， 诉， … ￡线 再证 明 Ｖａ ∈Ｗ ， ａ可 由 ａ ，２ … ，，ａ， ， ｌａ ， ａ，
０＋ Ｚ ）＋ １ ）＋ … ＋ Ｚ ￡）＝ ０ １ １ （ ２ （ （ ．
西尔韦特不等式-概述说明以及解释
西尔韦特不等式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述西尔韦特（Chebyshev）不等式是概率论中一种重要的不等式，被广泛应用于统计学和概率论的各个领域。
它建立了两个随机变量之间的关系，并且在实际问题中具有很强的指导意义。
西尔韦特不等式最早由俄国数学家彼得·勃劳界斯（Pafnuty L'vovich Chebyshev）于19世纪提出，他的研究成果在概率论和数学统计学的发展中起到了重要的推动作用。
该不等式在数学领域中也被称为马尔可夫不等式。
本文将对西尔韦特不等式的定义、原理以及证明方法进行介绍，并且将探讨它在实际问题中的应用。
通过阅读本文，读者将能够深入理解西尔韦特不等式，并且学会如何应用这一强大的工具解决实际问题。
在第2部分，我们将详细介绍西尔韦特不等式的定义和原理。
我们将探讨这种不等式背后的思想和概念，并且解释它在概率和统计学中的重要性。
在第3部分，我们将介绍证明西尔韦特不等式的三种方法。
这些证明方法将帮助读者更好地理解不等式的本质，并且能够运用这些方法来证明其他的不等式。
在第4部分，我们将探讨西尔韦特不等式在实际问题中的应用。
我们将给出几个具体案例，展示西尔韦特不等式在概率和统计学中的广泛应用。
最后，在第5部分，我们将给出本文的总结和结论。
我们将总结西尔韦特不等式的重要性，并展望它在未来的进一步发展和应用。
通过阅读本文，读者将会对西尔韦特不等式有一个清晰的理解，了解它在概率和统计学中的应用，并且能够有效地运用它来解决实际问题。
同时，本文也为读者进一步深入研究相关领域提供了基础知识和参考资料。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以写成以下形式：1.2 文章结构本文按照以下结构进行组织和讲解：第2部分将介绍西尔韦特不等式的定义和原理。
在2.1节中，将详细介绍西尔韦特不等式的定义，明确其数学表达形式和含义。
2.2节将深入探讨西尔韦特不等式的原理，解释其背后的数学原理和推导过程。
最后，在2.3节将展示西尔韦特不等式在实际问题中的应用。
Sylvester不等式猜想研究
延 安大学学报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ａ ｆＹａｌｎ Ｕｎｖｒｉ （ ｔｒｌＳ ｉｎ ｅＥ ｉ ｏ ｏ ｒ ｌ ｌ ｉｅｓｔ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎ ｎ ｏ ａ ｙ ｉ
Ｖｏ ＿ ０ Ｎｏ ２ Ｉ３ ．
Ｊｎ． ０ １ ｕ ｅ ２ １
２ ．ｎ ， ｒ ｋ ＿ … ，）则 ａ （ ） ｎ 兀
证明
ｒ ｋＡ） ． ａ （ 一 ｎ
（ ） ｎ＝１２时 ， １当 ， 不等式 成 立 。
（ ） 设 ｔ－ ） ， ２假 （ ＞３ 时 不等 式成 立 ， － 即
推 论 １ 设 Ａ∈Ｆ ～ ， Ｂ∈Ｆ ， ｒｎ （ ）＋ 则 ａｋ Ａ
ｒａ
推 论 ２ 设 Ａ∈Ｆ 一 ， Ｂ∈Ｆ 一 ， ｒｎ （ 则 ａ ｋ Ａ）＋
ｒｎ ａ ａｋ ｎ
我 们将 用 上面几 个 引理 找 出 Ｓｌ ｓ ｒ 等式 猜 ｙ ｅｔ 不 ｖ ｅ
想 成立 的条 件 。Ｓ ］ ｓ ｒ ｙｖ ｔ 不等 式 的猜想 如 下 ： ｅｅ
猜 想 １ 设 Ａ∈Ｆ ， ，２ … ，。 ｌ ， ∈Ｆ， １ ２ 当 ， ，
变换 证 明 的 。 弓理 ３ Ｉ 设 （ ， ）∈Ｆ［ ］ ｉ ， ） ｇ （ （ ＝１
，
满 足什 么 条件 时 ， 有
，
ｒ ｋ Ａ＋ ）＝（ 一１ ｎ ｒ ｋ １ （ ａ （ Ｅ ｎ ｔ ） ＋ ａ （ Ａ＋ ｎ 兀
Ｅ） ． ）
１ 主 要 结 果
引理 １ 引理 ２可 推 广 到 ｎ个 矩 阵 ， 和 于是 就 有
中图分 类号 ： １ １２ ０ ５ ． 文献 标识 码 ： Ａ 文章 编号 ：０ ４６ ２ ２ １ ） ２０ １ －３ １ ０ －０ Ｘ（ ０ １ ０ －０ ５０
sylvester方程唯一解充要条件证明
Sylvester方程是一种特殊的矩阵方程，其在控制系统、信号处理、统计学等领域中有着广泛的应用。
在矩阵论中，Sylvester方程的解的存在性和唯一性一直是一个备受关注的问题。
本文将介绍Sylvester方程唯一解的充要条件，并给出相应的证明。
1. Sylvester方程的定义我们来回顾一下Sylvester方程的定义。
对于给定的两个n×n矩阵A 和B，Sylvester方程可以表示为AX-XB=C，其中X是未知矩阵，C 是已知矩阵。
我们的目标是找到满足该方程的矩阵X。
2. Sylvester方程的充要条件现在，我们将给出Sylvester方程唯一解的充要条件。
我们需要引入以下引理：引理1：对于任意矩阵A和B，如果A和-B的所有特征值都有一个零点，那么Sylvester方程AX-XB=C的解是唯一的。
引理2：对于任意矩阵A和B，如果A和-B的所有特征值都不相等且都不为零，那么Sylvester方程AX-XB=C的解是唯一的。
接下来，我们给出Sylvester方程唯一解的充要条件定理：定理1：如果A和B没有公共的特征值，则Sylvester方程AX-XA=C有且只有一个解。
3. Sylvester方程唯一解充要条件的证明现在，我们将证明上述定理。
我们证明必要性，即如果Sylvester方程有唯一解，则A和B没有公共的特征值。
证明：假设A和B有一个共同的特征值λ，且对应的特征向量分别为u和v。
则有Au=λu，Bv=λv。
我们令X=u*v^T，其中^T表示转置。
则有AX=λu*v^T，XB=λu*v^T。
将其代入Sylvester方程中得到λu*v^T-λu*v^T=C，即λu*v^T-λu*v^T=0。
我们找到了另一个非零解，与Sylvester方程有唯一解的假设相矛盾。
必要性得证。
接下来，我们证明充分性，即如果A和B没有公共的特征值，则Sylvester方程有唯一解。
证明：根据引理1和引理2，我们知道当A和B没有公共的特征值时，Sylvester方程的解是唯一的。
frobenius不等式
frobenius不等式
弗罗贝尼乌斯不等式（Frobeniusinequality）亦称西尔维斯特不等式，是一种特殊不等式，指矩阵乘积的秩与其因子的秩之间的重要关系式。
设矩阵A和B是可乘的，而B和C是可乘的，则r （ABC）≥r（AB）+r（BC）-r（B），在此不等式中，若A为m×n矩阵，B为n阶单位矩阵，C为n×s矩阵，则r（AC）≥r（A）+r （C）-n，有的书籍也称第一种情况为弗罗贝尼乌斯不等式，第二种情况为西尔维斯特不等式。
Frobenius不等式：rank（ABC）⩾rank（AB）+rank（BC）−rank（B）。
我们知道，任何一个线性变换A∈Hom（V，V），都可以由某组基{αi}以及它们的象完全确定，并由此得到了这组基下的变换矩阵A。
为了让矩阵运算和变换运算的格式保持一致，把aij定义成
Aαj在αi上的坐标。
如果再把所有向量α映射成坐标列向量a，Aα的象就是Aa，而变换AB的矩阵也正好是AB，这样使用起来就方便多了（后面将不加区分地写成A）。
值得提醒的是，变换矩阵是线性变换的一种表示形式，可以更方便地讨论变换的性质；但其并不能完全替代后者，有时反而会让叙述变得繁琐（比如矩阵秩的讨论）。
Frobenius问题的一种算法
Frobenius问题的一种算法
Frobenius问题的一种算法
设a1,a2,…,an(n≥2)都是正整数,且(a1,a2,…,an)=1.记线性型a1x1+a2x2+…+anxn当xi≥0且xi∈Z(i=1,2,…,n)时不可表出的最大整数为g(a1,n2,…,an).作者研究了g(a1,a2,…,an)的存在性及其解法问题也即一次不定方程a1x1+a2x2+…+anxn=N的Frobenius问题.利用初等而简便的方法,作者给出了Frobenius问题的一种算法,并由此得到了a1,a2,…,an满足特殊条件时g(a1,a2,…,an)的简便而有效的计算公式.
作者：廖群英孙峰刘川张婷邓小梅 LIAO Qun-ying SUN Feng LIU Chuan ZHANG Ting DENG Xiao-mei 作者单位：四川师范大学数学与软件科学学院,成都,610066 刊名：四川大学学报（自然科学版）ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF SICHUAN UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE EDITION) 年，卷(期)：2007 44(6) 分类号：O156.1 关键词：Frobenius问题线性表出同余完全剩余系。
Frobenius代数
Frobenius代数Frobenius代数是一种抽象代数的形式，它是由德国数学家罗伯特弗罗贝尼乌斯发现的。
它是一种抽象代数的形式，它为代数学提供了理论的基础，并且广泛应用于数学中的研究。
Frobenius代数的历史Frobenius代数的历史可以追溯到19世纪晚期，当时荷兰数学家勃拉姆斯发现了这种形式。
他探索了一系列定义条件，将代数中的概念转化为抽象的概念，即有限群。
之后，弗罗贝尼乌斯建立了一种称为“弗罗贝尼乌斯代数”的数学理论，它包括有限群、特征、阶、素元、可积性和可移性等概念。
弗罗贝尼乌斯代数拓展了勃拉姆斯有限群的理论，它最终成为数学中的一种主要抽象形式。
Frobenius代数的基本概念Frobenius代数的基本概念包括有限群、特征、阶、素元、可积性和可移性等概念。
有限群是一种抽象的代数形式，它由一系列有限的元素组成，并遵守一些基本规则。
特征是一种函数，它表示在有限群中乘法操作的性质。
阶指的是有限群中元素的数量。
素元是一种抽象的元素，它可以表示有限群中的一个元素。
可积性和可移性是指有限群中特定元素的可积和可移的属性。
Frobenius代数的应用Frobenius代数的应用广泛，它被广泛应用于数学中的研究。
它也被广泛用于非抽象代数学科的研究中，如几何学、表示论、线性代数、微分几何学和数学物理学等。
它还可以用于计算机科学、信息学、统计学、机械学、电子学、通信学等领域的研究。
它被广泛用于复杂系统的分析和模型构建，以及研究物理和化学过程中的各种反应等。
由于Frobenius代数的广泛应用和重要性，研究者和数学家们一直在积极的探索其中的原理。
目前，弗罗贝尼乌斯代数仍然被广泛应用于数学研究，它已经成为数学和计算机科学领域的一个重要理论。
它不仅在数学中有很大的应用，而且还在基础科学领域有着重要的研究价值。
关于Sylvester与Frobenius不等式在矩阵多项式方面等号条件的思考
《线性代数》大作业关于Sylvester与Frobenius不等式在矩阵多项式方面等号条件的思考班级：软件学院2012级班学号：姓名：2013年 1 月 2 日关于Sylvester与Frobenius不等式在矩阵多项式方面等号条件的思考摘要：应用新近得到的矩阵多项式秩的恒等式，对矩阵秩Sylvester 不等式和Frobenius不等式限定在矩阵多项式上取等号的条件进行进一步讨论，同时给出近期相关结果的一种统一的证明方法。
关键词：矩阵多项式；秩的恒等式；Sylvester不等式；Frobenius不等式矩阵秩的研究是矩阵理论的重要内容。
矩阵乘积秩的Sylvester 不等式和Frobenius 不等式是两个最基本的不等式，分别是由Sylvester 和Frobenius 于1884 年和1911 年首先证明的。
一、Sylvester与Frobenius不等式Sylvester 不等式A∈P m×n, B ∈P n×s则r(A)+r(B)≤n+r(AB) （1）证明：Frobenius 不等式A∈P m×n, B ∈P n×s,C ∈P s×t，则r(AB)+r(BC)≤r(B)+r(ABC) (2)证明：二、参考文献中的推广命题及其推论经过查阅参考文献，得到下列命题并得出一些实用推论：命题1设A∈P n×n，f(x),g(x)是P数域上的多项式，如果(f (x),g(x))=1，则r(f(A))+r(g(A))=n+r(f(A)g(A)) （3）证明：由(f(x),g(x))=1 知, 存在u(x),v(x), 使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=1以A 代入,得f(A)u(A)+g(A)v(A)=E从而因此由初等变换得由（1）、（2）可得r(f(A))+r(g(A))=n+r(f(A)g(A)).推论1 设A∈P n×n，f(x),g(x)是P数域上的多项式，如果(f (x),g(x))=1，则f(x)g(x)=0 r(f(A))+r(g(B))=n (4) 推论2 设A∈P n ×n，k 为正整数，则1)r(A)+r(E±A k)=n+r(A k+1±A) (5)2)r(A-E)+r(A k+……+A+E)=n+r(A k+1-E) (6)3)r(A)+r(A-E)+r(A k-1+……+A+E)=r(A-A k+1)+2n (7) 推论3 设A∈P n ×n，m为正整数，则对任意自然数l,k有1）r( A l)+ r(A m- E)k= n A m+1= A (8)2）r( A- E)l+ r( A m- 1+A m- 2+…+A+E)k= n A m= E (9) 命题2 若(f(x),g(x))=1,(f(x),h(x))=1,A∈P m×n，有r(f(A)g(A)h(A))+r(g(A))=r(f(A)g(A))+r(g(A)h(A)) (10) 证明：∵(f(x),g(x))=1由(3)知r(f(A))+r(g(A))=n+r(f(A)g(A)) (1) ∵(f(x),h(x)=1∴(f(x),g(x)h(x))=1∴r(f(A)g(A)h(A))+n=r(f(A))+r(g(A)h(A)) (2)将（1）代入（2) 得r(f(A)g(A)h(A))+r(g(A))=r(f(A)g(A))+r(g(A)h(A)).推论设A∈P n ×n，k 为正整数，则1)若A k= A，且k为奇数，k≥3，则r( A）= r(A- A(k+1)/2)+r(A+ A(k+1)2) (11) 2)若A k= A，且k为偶数，则r( A）= r(A- A2)+r(A+ A2 +……+A k-1) (12) 三、思考结论思考上述结论，进一步推广下列结论命题1 设A ∈P n ×n，f (x) ,g(x)∈P[x],d(x)=(f(x),g(x)), m(x)= [f(x)，g(x)]则r(f(A))+r(g(A))=r(d(A))+r(m(A)) (13) 证明：令f(x)=s(x)d(x),g(x)=t(x)d(x)则 (s(x),d(x))=1,(s(x),t(x))=1且m(x)=s(x)d(x)t(x)由（1）知r(s(A)d(A))+r(d(A)t(A))= r(s(A)d(A)t(A))+r(d(A))即r(f(A))+r(g(A))=r(d(A))+r(m(A)).推论设A ∈P n ×n，g(x)∈P[x],g（0）≠0 则r(A)+r(g(A))=n+r(Ag(A)) （14）命题2 设M ∈P n ×n，f (x) ,g(x)∈P[x],(f(x),g(x),f(x))=1 则M r(f(M))+r(g(M))=n+r(f(M)g(M)) （15）证明：(x))=1，设d(x)=(f(x),g(x)), m(x)= [f(x)，由(f(x),g(x),fMg(x)]则(x))=1(d(x),fM∴存在u(x),v(x)∈P[x],使得u(x)d(x)+v(x)f(x)=1M由Hamilton-Caylay定理(M)=0fM(M)=u(M)d(M)=E∴u(M)d(M)+v(M)fM∴d(M)可逆∴d(x)≠0∴r(m(M))=r(f(M)g(M)) （1）由（13）r(m(M))=r(f(M))+r(g(M))-r(d(M))=r(f(M))+r(g(M))-n 代入（1）即得r(f(M))+r(g(M))=n+r(f(M)g(M)).参考文献：Mirsky LA.An Introduction to Linear Algebra [M].Oxford：Oxford University Press, 1955.Tian Yongge,Styan GPH. When does rank（ABC）=rank（AB）+rank（BC）-rank（B）hold [J ]. Internat J Math Ed Sc i Tech , 2002, 33：127- 137.余世群. 关于“一类矩阵秩的恒等式及其推广”一文的注记[J ]. 武汉科技学院学报，2006，19（10）：28- 29.邹晓光. 互素多项式在矩阵的秩的一个简单结论及其应用[J ]. 金华职业技术学院学报，2006，6（1）：80- 81.胡付高. 一类矩阵多项式的秩特征[J ]. 大学数学，2007，23（3）：164- 166. 胡付高. 关于一类矩阵秩的恒等式注记[J ]. 武汉科技大学学报：自然科学版，2004，27（3）：322- 323.严坤妹. 一类矩阵的秩[J ]. 福建商业高等专科学校学报，2005（4）：59- 60.杨忠鹏，林志兴. 矩阵方幂的秩的一个恒等式及应用[J ]. 北华大学学报：自然科学版，2007，8（3）：294- 298.北京大学数学系. 高等代数[M]. 2 版. 北京：高等教育出版社，2002.。
对于幂零矩阵秩的特征的探讨
对于幂零矩阵秩的特征的探讨徐玉1，任灿（中国矿业大学理学院，江苏徐州221116）摘要：矩阵的秩是矩阵的一个重要不变量。
本文主要是在文献[1]的有关结果的基础上，对文献[1]中的2次与3次的幂零矩阵进行推广，主要是反复利用了Frobenius不等式及矩阵秩的性质解决了k次幂零矩阵的秩的不等式问题。
首先在研究的过程中，先介绍矩阵秩的定义，接着介绍了后面要用到的矩阵秩的性质及矩阵秩的相关的不等式进行了总结和归纳。
然后是研究的重点，在这部分中，对文献[1]中的2次与3次的幂零矩阵的结果进行推广k次幂零矩阵；进一步,利用Frobenius不等式得到了幂零矩阵秩的一系列的结论。
关键词：矩阵的秩; 幂零矩阵; Frobenius不等式中图法分类号：O151.21Research on the Character of Rank ofNilpotent-matricesXU Yu，REN Can（College of Science, China University of Mining and Technology, Xuzhou 221116,Jiangsu）Abstract：Rank is an important constant of matrix. Based on the conclusions of paper [1], we prove the inequality of matrix rank of three times nilpotent matrix and try to give its proper promotion. And next, this paper repeat employs Frobenius inequality to find some results of inequation about k-degree nilpotent matrix. First, in the part, we summarize the nature of matrix rank and the inequalities of partitioned matrices rank. Then the part is the main content. In this part, similarity as the result of inequality of matrix rank of twice and three times nilpotent matrix in paper [1], we extend and prove them by Frobenius inequality. At last, we find several inequalities about k-degree nilpotent matrix by the illumination of the conclusions of paper [1]and prove them.Keywords：Matrix rank; Nilpotent matrix; Frobenius inequality1徐玉，1987，安徽省宿州市，在读硕士，计算数学，******************。
frobenius范数三角不等式证明
frobenius范数三角不等式证明为了证明Frobenius范数的三角不等式，在开始之前，我们回顾一下Frobenius范数的定义与性质。
Frobenius范数，也称为矩阵的二范数，是矩阵中各元素绝对值的平方和的平方根。
对于一个m×n的矩阵A，其Frobenius范数记作||A||F。
根据Frobenius范数的定义，我们可以得出以下两个性质：性质1：对于任意矩阵A和B，有||A + B||F ≤ ||A||F + ||B||F。
性质2：对于任意矩阵A和标量c，有||cA||F = |c| × ||A||F。
现在我们来证明Frobenius范数的三角不等式。
假设A和B是两个m×n的矩阵。
我们知道，A和B的逐元素和可以表示为矩阵C。
即，C = A + B。
根据性质1，我们有||C||F ≤ ||A||F + ||B||F。
进一步，我们可以证明||A||F ≤ ||C||F 和||B||F ≤ ||C||F。
证明||A||F ≤ ||C||F：根据Frobenius范数的定义，我们有：||A||F = (∑(i=1 to m)∑(j=1 to n)|a_ij|^2)^(1/2)，其中a_ij为矩阵A的元素。
我们也可以将矩阵A的逐元素平方和表示为矩阵D。
即，D = A^2。
根据Frobenius范数的定义，我们有：||D||F = (∑(i=1 to m)∑(j=1 to n)a_ij^2)^(1/2)。
由于D的每个元素为a_ij^2，而A的每个元素为|a_ij|，所以对于任意的i和j，我们有a_ij^2 ≥ |a_ij|^2。
因此，我们有∑(i=1 to m)∑(j=1 to n)a_ij^2 ≥ ∑(i=1 to m)∑(j=1 to n)|a_ij|^2。
综上所述，我们得出结论||D||F ≥ ||A||F。
由于C = A + B，所以逐元素平方和矩阵D = C^2 为 (A + B)^2。
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＝ 件 （８ １）
命题 ５ （ ８ 文［ 推论 ５ 文［ 推论 ２ ］ ， ９ ］ ）若 成立。 命题９ （ ３ １ 定理３ 设Ａ Ｐ 文【 ］ ） Ｅ 叭饥为正整 川ｘ， ） １川ｘ，（） １ Ｐ 有 ） ９ ） ， ） ｈｘ ） ， ￣， ｘ （ ＝ ＝ Ａ任 数， 则 ， Ａ）（ ｈＡ） ）（ 】 （ ’ ｆ Ｌ 夕Ａ ｒ ｋ 十ａ （，Ｅ）介 ｋ Ａ ｋＡ呼 ＝ 田 （＋ 翩 ） ， ａＡｒ ｎ ｎ Ａ 切 ＝ ＬＡ）（ 神１（ ｈＡ ］ ［ Ａ） （） １ ９Ａ）（） ， （ ］４ 犷 ９Ａ） （ ｆ 一９ 仍为奇数 （） １ ９ 命题６ （ ０ １ 推论３定理４推论５文［ ］ 文１ ］ 、 、 ， １ １ ｍ Ａ Ｅ） ＋ 吐（＋ 命题２３ 设Ａ Ｐ ｋ 、 ） 任 ，， 为正整数， 则
可在限定条件下回答文［提出的问 同时对文 ３ 』 题， ５３ ［ １ 相应问题的相关讨论给出一个统一的简单 一］
的处理方法。
引理 １ （ ４ ， １ Ｐ７补充题 １ 设石（ ＝ 文【 ４ ］ ） ） ｘ 可（ ＋ （ ，， ＝ （ ＋ ｘ， ｄ一 尹 ， ） ｇ ） ｘ ｆ） ｘ ｂ ｘ ９（ ｃｘ 匆（ 且ａ ｂ 。 ） ） ｃ
（１ ２）
命题７ （ ２ １ 命题 １ １ 推论４推论６ 文１ ］ ， ０ 文［ １ 、 ） 以上命题都可看做 Ｓ ｖ ｔ 不等式和 ｌｓ ｒ ｙ ｅｅ 设Ａ Ｐ 无 任 ‘，为正整数， 则 Ｆ ｂ ｉ 不等式限定在矩阵多项式情况取等号情 ｒ ｅｕ ｏｎ ｓ Ａ＝ 骨犷 ＋ ＋ （ Ａ ）犷 一 ）件 ＺＥ （Ｅ Ａ ＝ （） １ ０ 况的 讨论， 如命题３设Ａ （ ， ＝ Ｍ） ， ＝ Ｍ） ｇ ， ｆ Ｂ （ 其中
Ｋ ｗ ｒ ： ａ认ｐｌ 而ａ ｒ山记 ｔ ； ｖ ｉｑ ｌ ； 刘 ‘ 加 皿 ｔ ｙ ｅ ｏ ｄ ｍ廿 ｏ 扣０ ｌ ａ 即ｉ ｓ ｅ ｎ ｕｉ Ｒ 比 朋 闪 Ｕ ｓ ； Ｚ ｙｌ ｔ ｔ ｖ ｓ ｅ ａｔ ｒ ｅ ｙ ｙ
０ 引言
则ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
本文总约定Ｐｘ Ｐ，分别为数域Ｐ上ｘ 【 、” ｌ
的一元多项式、ｘ ” ｎ阶矩阵的集合， ） 州Ａ 为矩阵
Ａ ｓ ａｔ ｎ 面ｓ ａ爪 ｔ ｃｎｉ ，ｗ ｉ 毗 １ 囚 ａ ｔ ａ ｘｐ 扣０ ｌ ｆ ｔ ｕｔ ｏ ｂ ｒｃ：Ｉ ｔ ｐ声 ｈ ｏｄ ｏ ｈ ｃ ｅ ｉ ｔ ｓ ｎ ｈ 如１ ｔ ｈ ｅｍ 州 ｏ ｍ认 ｏ ｈ ａｉ ｆ ｌ ｒ ｅ闪 ｏ ｓ ｎ ｌ ｒｅ 枕 ｓ ｖｓ 江助ｄＦ 卜 ｉ ｎ ａ ｅ ｏ ｍ 甘 ｆ ａ 眼 ｄｃ ｓ ６ ｌ 毗 ｂ 此 ｔ ｒ ｋｉ ｔ ｏ ｏ ｕ 叫ｐ ｉ ｒ 泊 ｓｉ ｌｓ ｆ ａ认 ｎ ｔ ｓｒ ｋ ｉｕ ｅ ｌｌ ｓ ｄ ｒｅ ｓ ｔｎ ｙ ｅ ｎ ｅｔ ｈ ａ ｄｉ ｆ ｎｙ ｍ ｔ ｏｌ ｌ ｏｔ ｅ ｅ ｅｔ Ｍ ａｗ ｉ，ａ画 几 ｎｍ ｔ ｆ ｔ ｒ ｏ ｔ 吟 ｓ ｎｉ 。 】 ａ认ｐ 扣Ｏ ｉ ｂ ｉ ｄｒ ｎｌ ｒ ｎ ｌ ａ ａ ｎ ｃ ｙ ｅ ｈ ． ｎ ｌ ｅ ｎ ｅｈ ｏ ｈ ｏ ｆ ｈ ｄ ｏ ｒ ｅＰ ｏ ｆ ｅｃ ｐ ｄ ｇｒ川ｔ ｏ ｎ ｓ ｅ ｔ ｓｉ ｒ ｎ ｉｇ 饥 ｅ ｙ Ｃ ｌ ｖ
收藕日期： ０一１１ ０ ２７ １一 ８
号的条件是什么？ “ ４中给出了式（ 和（ 中 ” 文［ 』 ） ） １ ２ 等号成立的条件， 但用到了广义逆矩阵的概念， 比 较复杂， 能否给出等号成立的 较简洁的条 这看 件？ 来也是一个不简单的问题。”
近期许多文献讨论了矩阵秩的问题【 ： 卜 切
若Ａ＝ ， ３ 则 Ｅ 犷 ｅ ＋ （ 七 召）” ｒ Ｚ 十 ＝ （ Ｅ） Ａ Ａ Ａ （１ １） 若Ａ ， 枯Ｅ 则 犷 卜 ＋ （七 ＋ 代 卜 ）件 犷刃 Ａ 二 Ａ ，＝ （ 通） 五 （２ １） 命题８ （ ３ １ 定理 １定理２ 设Ａ Ｐ 饥 文［ ］ 、 ） 任 ，， 为正整数， 则 份 ＋ 业（礼 ＝ 吐（气 粉 ） １ Ａ 召 ）ｍ 通 Ａ ， （ ） 吐通 喇 切 ３ 花 ｋＡ 召）ｍ ｋ通 １ ４… Ｅ ＋ ｎ （仆＋ 朴 ＋ ＋ ） 。 （一 Ａ Ａ ＝ 刀 （几Ｅ） 切 拍 ｋＡ （４ １） ｍ 滋拍 Ａ Ｅ） 止（朴 通 斗… ＋ 吐 ＋ 业（ｗ ＋ Ａ 从 补 ＋ Ｅ） ｅ 侧 Ａ ＝ 业 （气 ，＋ 附 ） 伦 花 通Ａ ２ （５ １） 进一步地， ） 耐＝ ＩＡ ， 通当且仅当 ． ｋ 仃ａ Ａ Ｅ卜 ａ （，＋ 斗 ＋ 召） （ｅ ｒ ｋＡ １ 朴 … 十 刀Ａ ｎ ｋ ｎ Ａ Ａ
ｒ ＋（ ‘ ＋（ ） ” 犷月 （ 犷 Ａ） Ｂ 刀）
（） １
Ａ的秩， ｘ为Ａ Ｐ 的特征多项式， 五（ ） Ｅ“ 总约定 ｄｘ ＝ （） （） （） 了ｘ， ｘ ） ９ 和饥（） ［（） （） ｘ ＝ｆｘ， ｘ ］ ９ 分别为 （） 川司Ｅ ｘ 的首项系数为１ ｊｘ， ［ Ｐ］ 的最大公因式
，）（ 斗， 、 ） （一 、 ）， 竿 ，， ， （
若Ａ＝ ， 为偶数， 介Ａ 且ｋ 则 州 ＝ 通 注 ）州 ＋ … ， 气 ２＋ Ａ ４ ＋ 卜 ） Ａ）州 Ａ Ａ
（ ５ ）
（） ９
ｒ （礼Ａ １ （１认”十 ＋ ， Ｅ ＋一 ） 魂． ２ ＋ ） ａ Ａ ， … ｋ ｎ ＋ 二 Ａ Ａ ＝ 业（粉Ｅ 枷 仍为偶数 ＋ ） ， 花 Ａ１ （ ２ ） ０ 命题 １ （ １ 定理４ 文【 』 ） 设ＡＥ ￣， ０ ３ Ｐ 饥为正 整数， 则对任意自 然数１ 有 ， ｋ ）ａ 坏 ｘ ｌｌ 滋 ａ （礼Ｅ） ” 如果通 ， ｒ山Ａ 吐 ‘ ， ＝ 附动 ２ ｒ正Ａ 坏 ａ Ａ 任 ” Ａ Ｅ 七 ）ｒ （卜 注卜 ＋ ＋ ） ）ａ （一 ｌ ｋ ｎ 斗… ＝， ” 如果Ａ “Ｅ （） ２ ２
＝ 加 （６ １）
ＭＥ “，（） （） Ｐｘ ， Ｐ ｆｘ， ｘ 任 ［］ ９ 如果试ｘ，（） １ ） ｘ） ， ９ ＝ 则有州 ）叫 ）”犷 Ａ ＋ Ｂ ＝ ＋仍刀） 如命题５若设Ａ 汉 ， ＝ ｆＭ） ＝ （ ，Ｃ ｈＭ） （ ，Ｂ ９Ｍ） ＝ （ ，其中ＭＥ ’ ， Ｐ‘ 川ｘ， ｘ ） ， ） ｈ） ＝１则有 犷 刀） ｒ 卜犷Ｂ ＝ （ 协 ＋ 田口 （） ｒ刀 。 （ Ｃ） 月 相对命题 、 １命题２ 和命题３利用我们最近 ， 得到的矩阵的多 项式秩的恒等式（ 即下述定理 １， ）
Ｆｏ ｅ ｕ， ｎｅｕ ｌ ｒｂｎｓ ｓｌ ｑ ａｔ ｉ ｉ ｙ
Ｃ 卫 Ｍｅ劝 ｇ Ｙ Ｎ ｈｏｇ ｎｌＬ Ｇ 。 ｉ Ｈ Ｎ ｉ ａ ｌ Ａ ＧＺｎ－ ｇ ， Ｉ ｕ 闷 。 一ｎ ， ｅ ｐ Ｎ ｎ
（． ａ ｅＩｉ ＆ Ａ ｌｄＮ ｔ ａｃ Ｄ ａｍ ‘Ｉｔ Ｕ ｖｒ Ｐｔ Ｆ 汕 ３１０， １Ｍ ｔ 双 ｔ ｈ ａｃ ｓ ｐｉ 纽 ｅ ｔｓ ｅ ｒ ｅ ｈｉ 苗 周 ｉ ｕｉ ｕ ｅ ｈ ｉ ｎ ｌ ＰｔＤ ａ ａ ｎ ｓ ， ｙ ｔ 阴ｊ ５ Ｑ血叫 ２Ｄｓｒ Ｍａ ｅ ａｃ ｅ ａ ｈＣ ｔ Ｆ 山 Ｕ ｖｒｔ Ｆ ｈ Ｆ ｉ ３０ Ｚ Ｃ ｉ ） ． Ｏ ｔ ｔ ｍ ｔｓＲ ｓ 邝 ｅｅ 珑 ｏ ｎ Ｏ ｉ ｕ ｏ ｕ ａ ５ ０ ， ｎ ｉ ｅ ｅ ｈ ｉ ｅ ｎ 叽 ｕ ｉ ｓｙ ｚ ｕ ｊ ｎ ， ｏ ｈａ
Ａ＝ 骨ｒ ＋ （ 通）” Ａ）犷 卜 ＝ ＺＡ （ 五 （） ５ Ａ＝ 骨犷 ＝ （ Ａ）ｒ 一２＋ （＋ ２ ， Ａ （ Ａ ）ｒ Ａ ） （） Ａ ６ 矛＝ 僻犷 ＋ （ 通 ，＝ Ａ｝， 卜 卜 ）ｎ伪七 ） （） Ａ （ 五 ３ ７ 若Ａ＝ ， 为奇数，２ ， 七Ａ 且无 ｋ ３则
多 项式上取等号的条件进行进一步讨论， 同时给出近期相关结果的一种统一的证明方法。
关键词： 拒阵多 项式； 秋的恒等式；ｙｅ 不等式；ｒ 苗 不等式 ｓｌｓ ｖ ｒ ｅ ｔ Ｆｂ ｕ ｏ ｓ ｅ
Ｒ ｓ ｒｈｓｏ ｔｅＥ ｕｔ ｎ Ｃ ｎ ｔ ｎｏ ｙ ｅ ｒａｄ ｅ ａ ｅ ｎ ｈ ｑａｏ ｏ山 ｉ ｆｓ ｖｓ ｅｃ ｉ ｏ ｌ ｔ ｎ ｅ
和最小公倍式， Ｃ为复数域， Ｅ为单位矩阵。 矩阵秩的研究是矩阵理论的重要内容。矩阵
命题２ （ ｂ 不等式） 任 ‘，任 伙 ｏ ｕ ｓ Ｆｅ ｒ ｌ Ａ Ｐ Ｂ Ｐ Ｃ Ｐ 则 任 树，
犷乃 ）， Ｃ ‘ （ ）犷 Ｃ Ｂ ） 犷Ｂ ＋ （刀 ） （刀 ＋ （ 通 （） ２ 文［ 讨论了若干矩阵乘积的秩的下界问题， ３ ］ 该文 作者在文末提出如下问题：不等式（ 和（ 取等 “ ） ） １ ２
第 巧卷 第２ 期
２ ８ ４月 ０ 年
苦 田 学 院 学 报
Ｊｕｎ ｌ ｏ ｏ ｒａ ｆ
ＰＵｔ ａ ｉｎ
ＶＯ １ ．５ ＮＯ２ Ｉ ．
Ｕ ｉｅ ｉ ｎ ｒｔ ｖ ｓｙ
柳ｒ ０８ ．２
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ：６ ２ ４ 《（ ８ ０ 一 犯９０ １７ ４１３２ 】２以 一５ ） Ｘ
万方数据
借 田 学 比 学 报
命题３（ 」 文［ ５定理， ６定理１设Ａ Ｐ 文［ 〕 ） 任 肠，
（ ） ｘ是Ｐ ｆｘ，（） 数域上的多项式， ９ 如果川ｘ， ）＝ ） 酬ｘ ）
１则 ，
当且仅 当
２ ８年 ４月 ０
烧 ｋ 竹ａ （礼刃）件 ｋＡ 口Ａ ｎ ， 成立。
（） １ ７
乘积秩的Ｓ ｖ 不等式和Ｆ ｂ ｉ 不等式是 ｌ ｔ ｙ ｓ ｅ ｒ ｅ ｏ ｎｓ ｒ ｅｕ 两个最基本的不等式 ｔ 分别是由ｓｌｓ 和 ｌ ， ｙｔ ｃ ｒ ｖ ｅ Ｆ ｂｎ 于 １ ４ ｒ ｅｉ ｏ ｕ Ｓ ８ 年和 １１年首先证明的口 ８ ９１ ］ 。 命题１（ ｅ ｒ ｖ ｅ不等式） 任 叭 Ｂ Ｐ ｓ ｓ 贝ｔ Ａ Ｐ 任“
基金项目： 福建省自 然科学基金项目（ ５１ １ ； ０ ５ ２１ ０） 福建省２ ６ ０ 年本科精品课程— 高等代数： 蓄田学院数学研究
项 目（ ２０２ ） Ｇ Ｊ ０５ １
作者简介： 陈梅香（ ８一 ． 福建莆田 助教， ９ １２ ）女， 人． 硕士； 杨忠鹅（９７ ）男， １ 一 ， 吉林蛟河人， ４ 教授。