2018年高考总复习课时作业(文科)(二)命题及其关系、充分条件与必要条件

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2 命题及其关系、充分条件与必要条件练习题

§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1．设集合A ＝{x ∈R|x －2＞0}，B ＝{x ∈R|x ＜0}，C ＝{x ∈R|x (x －2)＞0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：A ∪B ＝{x ∈R|x ＜0或x ＞2}，C ＝{x ∈R|x ＜0或x ＞2}， ∵A ∪B ＝C ，∴x ∈A ∪B 是x ∈C 的充分必要条件．答案：C2．已知命题p ：∃n ∈N,2n＞1 000，则綈p 为( )． A ．∀n ∈N,2n≤1 000 B ．∀n ∈N,2n＞1 000 C ．∃n ∈N,2n ≤1 000D ．∃n ∈N,2n＜1 000解析特称命题的否定是全称命题．即p ：∃x ∈M ，p (x )，则綈p ：∀x ∈M ，綈p (x )．故选A. 答案 A3．命题“若－1＜x ＜1，则x 2＜1”的逆否命题是( ) A ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1 B ．若x 2<1，则－1<x <1 C ．若x 2>1，则x >1或x <－1 D ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1解析：若原命题是“若p ，则q ”，则逆否命题为“若綈q 则綈p ”，故此命题的逆否命题是“若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1”．答案：D4．已知α，β角的终边均在第一象限，则“α＞β”是“sin α＞sin β”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 (特例法)当α＞β时，令α＝390°，β＝60°，则sin 390°＝sin 30°＝12＜sin60°＝32，故sin α＞sin β不成立；当sin α＞sin β时，令α＝60°，β＝390°满足上式，此时α＜β，故“α＞β”是“sin α＞sin β”的既不充分也不必要条件．答案 D【点评】本题采用了特例法，所谓特例法，就是用特殊值特殊图形、特殊位置代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断.特例法的理论依据是：命题的一般性结论为真的先决条件是它的特殊情况为真，即普通性寓于特殊性之中.常用的特例有取特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.这种方法实际是一种“小题小做”的解题策略，对解答某些选择题有时往往十分奏效.5．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数解析：否命题是既否定题设又否定结论．答案：B6．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件解析：当a＝1时，N＝{1}，此时有N⊆M，则条件具有充分性；当N⊆M时，有a2＝1或a2＝2得到a1＝1，a2＝－1，a3＝2，a4＝－2，故不具有必要性，所以“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件．答案：A7．若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ(a，b)＝a2＋b2－a－b，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的( )．A．必要而不充分的条件B．充分而不必要的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件解析若φ(a，b)＝0，即a2＋b2＝a＋b，两边平方得ab＝0，故具备充分性．若a≥0，b≥0，ab＝0，则不妨设a＝0.φ(a，b)＝a2＋b2－a－b＝b2－b＝0.故具备必要性．故选C.答案 C二、填空题8.若不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是______答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-34,219．有三个命题：(1)“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； (2)“若a ＞b ，则a 2＞b 2”的逆否命题； (3)“若x ≤－3，则x 2＋x －6＞0”的否命题．其中真命题的个数为________(填序号)．解析 (1)真，(2)原命题假，所以逆否命题也假，(3)易判断原命题的逆命题假，则原命题的否命题假．答案 110．定义：若对定义域D 上的任意实数x 都有f (x )＝0，则称函数f (x )为D 上的零函数．根据以上定义，“f (x )是D 上的零函数或g (x )是D 上的零函数”为“f (x )与g (x )的积函数是D 上的零函数”的________条件．解析设D ＝(－1,1)，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈－1，0]，x ，x ∈，，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈－1，0]，0，x ∈，，显然F (x )＝f (x )·g (x )是定义域D 上的零函数，但f (x )与g (x )都不是D 上的零函数．答案充分不必要11．p ：“向量a 与向量b 的夹角θ为锐角”是q ：“a ·b >0”的________条件．解析：若向量a 与向量b 的夹角θ为锐角，则cos θ＝a ·b|a|·|b|>0，即a ·b >0；由a ·b >0可得cos θ＝a ·b|a|·|b|>0，故θ为锐角或θ＝0°，故p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要12．已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题p 1：|a ＋b |＞1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3 p 2：|a ＋b |＞1⇔θ∈⎝⎛⎦⎥⎤2π3，πp 3：|a －b |＞1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3p 4：|a －b |＞1⇔θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π其中真命题的个数是____________．解析由|a ＋b |＞1可得a 2＋2a·b ＋b 2＞1，因为|a |＝1，|b |＝1，所以a·b ＞－12，故θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3.当θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3时，a·b ＞－12，|a ＋b |2＝a 2＋2a·b ＋b 2＞1，即|a ＋b |＞1，故p 1正确．由|a －b |＞1可得a 2－2a·b ＋b 2＞1，因为|a |＝1，|b |＝1，所以a·b ＜12，故θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π，反之也成立，p 4正确．答案 2 三、解答题13.设p ：函数||()2x a f x -=在区间（4，+∞）上单调递增；:log 21a q <，如果“p ⌝”是真命题，“p 或q ”也是真命题，求实数a 的取值范围。

2018高考数学核心考点专题演练02命题及其关系、充分条件与必要条件

2018 高考数学核心考点专题操练02 命题及其关系、充足条件与必需条件考点 2命题及其关系、充足条件与必需条件【考点分析】一．明确要求1.认识命题的观点，会分析原命题及其抗命题、否命题与逆否命题这四种命题的互相关系．2.理解必需条件、充足条件与充要条件的意义.二．命题方向1.本部分主要考察四种命题的观点及其互相关系，考察充足条件、必需条件、充要条件的观点及应用；2. 题型主要以选择题、填空题的形式出现．常与会合、不等式、几何等知知趣联合命题.三．规律总结一个差别否命题与命题的否认是两个不一样的观点：①否命题是将原命题的条件否认作为条件，将原命题的结论否认作为结论结构的一个新的命题；②命题的否认不过否认命题的结论，常用于反证法．两条规律(1)抗命题与否命题互为逆否命题；(2)互为逆否命题的两个命题同真假．三种方法充足条件、必需条件的判断方法(1) 定义法：直接判断“若p 则 q”、“若 q 则 p”的真假．并注意和图示相联合，比如“p? q”为真，则 p 是 q 的充分条件．(2) 等价法：利用p ?q与q?p， ? 与p?q，?q与q?p的等价关系，关于条件或结论能否认式q p p的命题，一般运用等价法．(3)会合法：若 A? B，则 A 是 B 的充足条件或 B 是 A的必需条件；若 A＝ B，则 A是 B 的充要条件．【方法总结】1. 正确的命题要有充足的依照，不必定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思想方式，也是两种不一样的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，两者相同重要．2.判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断抗命题的真假，而后依据等价关系确立否命题和逆否命题的真假．假如原命题的真假不好判断，那就第一判断其逆否命题的真假．3. 判断p是q的什么条件，需要从双方面分析：一是由条件p 可否推得条件q，二是由条件q 可否推得条件p.关于带有否认性的命题或比较难判断的命题，除借助会合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、抗命题和否命题的等价性，转变为判断它的等价命题．1 / 82018 高考数学核心考点专题操练 02 命题及其关系、充足条件与必需条件【真题操练】1. 【2017 天津，理 4】设R ，则“ |π | π”是“ sin1 ”的（）12122（ A ）充足而不用要条件（ B ）必需而不充足条件（ C ）充要条件（ D ）既不充足也不用要条件【答案】 A【分析】 |π | ππsin1 ，但0,sin 1π π2 ，不知足 ||，所以是充足不1212621212必需条件，选 A.2. 【2017 山东】已知命题p ： x R ,x 2x 1 0 ; 命题 q ：若 a 22, 则 a b以下命题为真命题的是b < .A ． p q B.pqC.p qD.pq【答案】 B【分析】由 x0 时 x 2 x 1 0 建立知 p 是真命题 , 由 12 ( 2)2,12 可知 q 是假命题 , 所以 pq 是真命题 ,应选 B.3. 【2016 浙江理数】命题“x R ， nN * ，使得 n x 2 ”的否认形式是（）A ． x R ， n N * ，使得 n x 2B ． x R ， n N * ，使得 nx 2 C ． xR ， nN * ，使得 nx 2D ． xR ， n N * ，使得 nx 2【答案】 D【分析】的否认是，的否认是， nx 2 的否认是 n x 2 ．应选 D ．考点：全称命题与特称命题的否认．4. 【 2016 山东理数】已知直线 a ，b 分别在两个不一样的平面 α，β内.则 “直线 a 和直线 b 订交 ”是 “平面 α和平面 β订交”的（）（ A ）充足不用要条件（ B ）必需不充足条件（ C ）充要条件（ D ）既不充足也不用要条件【答案】 A【分析】 “直线 a 和直线 b 订交”“平面和平面订交”，但“平面和平面订交”“直线 a 和直线 b订交”，所以“直线 a 和直线 b 订交”是“平面和平面订交”的充足不用要条件，应选A ．5. 【 2016 天津理数】设 {a n }是首项为正数的等比数列，公比为 q ，则“q<0”是 “对随意的正整数 n ，a 2 n- 1+a 2n <0”的（）（ A ）充要条件（B ）充足而不用要条件（ C ）必需而不充足条件（ D ）既不充足也不用要条件2 / 82018 高考数学核心考点专题操练02 命题及其关系、充足条件与必需条件【答案】 C【分析】由题意得，a2 n 1 a2n 0 a1 (q 2n 2 q2n 1) 0 q2( n 1) (q 1) 0 q ( , 1) ，故是必需不充足条件，应选 C.6. 【2015 重庆，理4】“”是“( x 2) 0”的（）x 1 log12A、充要条件B、充足不用要条件C、必需不充足条件D、既不充足也不用要条件【答案】 B【分析】 log 1 (x 2) 0 x 2 1 x 1 ，所以选 B.27.【2015 新课标1，理 3】设命题p：n N , n2 2n，则p 为( )（ A）n N, n2 2n （ B）n N, n2 2n（ C）n N, n2 2n （D）n N , n2=2n【答案】 C【分析】p :n N , n2 2n，应选 C.8. 【2015 浙江，理4】命题“n N * , f (n) N *且f (n) n 的否认形式是（）A. n N * , f (n) N * 且 f (n) nB. n N * , f (n) N * 或 f (n) nC. n0 N * , f (n0 ) N *且 f ( n0 ) n0D. n0 N * , f (n0 ) N *或 f (n0 ) n0【答案】 D.【分析】依据全称命题的否认是特称命题，可知选 D.9. 【2015 天津，理4】设x R ，则“x 2 1 ”是“ 2x 2 0 ”的( )x（ A）充足而不用要条件（ B）必需而不充足条件（ C）充要条件（ D）既不充足也不用要条件【答案】 A【分析】 x 2 1 1 x 2 1 1 x 3,x2 x 2 0 x 2 或x 1，所以“x 2 1 ”是“x2 x 2 0 ”的充足不用要条件，应选 A.10. 【2015 湖北，理5】设 a1 , a2 , , a n R ，n 3 . 若 p： a1 , a2 , , a n成等比数列；q： (a12 a22 a n2 1)( a22 a32 a n2 ) (a1a2 a2 a3 a n 1a n )2，则（）A． p 是 q 的充足条件，但不是q 的必需条件B． p 是 q 的必需条件，但不是q 的充足条件C． p 是 q 的充足必需条件3 / 82018 高考数学核心考点专题操练02 命题及其关系、充足条件与必需条件D． p 既不是 q 的充足条件，也不是q 的必需条件【答案】 A【分析】对命题p： a1 , a2 , , a n成等比数列，则公比q a n (n 3) 且 a n 0 ；a n 1对命题 q ，① 当a n0时，(a12 a22 a n2 1)( a22 a32 a n2 ) ( a1 a2 a2 a3 a n 1a n )2建立；②当 a n 0 时，依据柯西不等式，等式(a12 a22 a n2 1 )( a22 a32 a n2 ) ( a1a2 a2 a3 a n 1a n )2建立，则 a1 a2 an 1，所以 a1 , a2 , , a n成等比数列，所以p 是 q 的充足条件，但不是q 的必需条件.a2 a3 a n11. 【2015 四川，理8】设 a，b 都是不等于 1 的正数，则“a b log a 3 log b 33 3 3 ”的（）”是“（ A）充要条件（ B）充足不用要条件（ C）必需不充足条件（ D）既不充足也不用要条件【答案】 B【分析】若3a 3b 3 ，则a b 1 ，进而有 log a 3 log b 3 ，故为充足条件. 若 log a 3 log b 3不必定有 a b 1 ，比方.a 1,b 3 ，进而 3a 3b 3 不建立 .应选 B. 312．【2015 安徽，理3】设p :1 x 2,q : 2x 1 ，则p是q建立的（）（A）充足不用要条件（ B）必需不充足条件（C）充足必需条件（ D）既不充足也不用要条件【答案】 A【分析】由 q : 2x20，解得 x 0 ，易知，p能推出q，但q不可以推出p，故p是q建立的充足不用要条件，选 A.13. 【2015 湖南理 2】设A，B是两个会合，则“ A B A ”是“ A B ”的（）A.充足不用要条件B.必需不充足条件C.充要条件D.既不充足也不用要条件【答案】 C.【分析】由题意得， A B A A B ，反之， A B A B A，故为充要条件，选 C.【考点定位】 1.会合的关系； 2.充足必需条件 .14. 【2017 北京，理13】可以说明“ a b c是随意实数．若a b c a+b c” a，设，，＞＞，则＞是假命题的一组整数b， c 的值挨次为 ______________________________ ．【答案】 -1 ，-2 ， -3 （答案不独一）【分析】 1 2 3,12 3 3 相矛盾，所以考证是假命题.4 / 82018 高考数学核心考点专题操练02 命题及其关系、充足条件与必需条件15. 【2015 山东，理12】若“x0,, tan x m ”是真命题，则实数 m 的最小值为.4【答案】 1、所以答案应填：1。

2018版高考一轮数学文科：第2讲-命题及其关系、充分条件与必要条件ppt课件

第2讲 PART 01 命题及其关系、充分条件与必要条件
教学参考│课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题
考试说明
1．理解命题的概念． 2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系． 3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．
教学参考
考情分析
考点命题的四种形式充要条件的判断充要条件的应用
[ 解析 ] A 根据数量积的定义，a· b＝ a· bcos θ，由 a· b＝ a· b可得 cos θ ＝1，根据向量所成角的范围得到 θ＝0，所以 a∥b；若 a∥b，可得向量 a 与向量 b 共线，即所成的角为 0 或π，所以 a· b＝± a· b，故选 A.
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■ [2016－2015]其他省份类似高考真题
1．[2015· 山东卷] 设 m∈R，命题“若 m>0，则方程 x2＋x－m＝0 有实根”的逆否命题是( A．若方程 x2＋x－m＝0 有实根，则 m>0 B．若方程 x2＋x－m＝0 有实根，则 m≤0 C．若方程 x2＋x－m＝0 没有实根，则 m>0 D．若方程 x2＋x－m＝0 没有实根，则 m≤0 )
常用结论 1．充分条件、必要条件的两个结论： (1)若 p 是 q 的充分不必要条件，q 是 r 的充分不必要条件，则 p 是 r 的充分不必要条件； (2)若 p 是 q 的充分不必要条件，则綈 q 是綈 p 的充分不必要条件．
课前双基巩固
2．充分条件、必要条件与集合的关系 p 成立的对象构成的集合为 A，q 成立的对象构成的集合为 B p 是 q 的充分条件 p 是 q 的必要条件 p 是 q 的充分不必要条件 p 是 q 的必要不充分条件 p 是 q 的充要条件 A⊆B B⊆A A B B A A＝B

高考文科数学热点题型02 命题及其关系、充分条件与必要条件

1．若f (x )是定义在R 上的函数，则“f (0)＝0”是“函数f (x )为奇函数”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充要条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：f (x )在R 上为奇函数⇒f (0)＝0；f (0)＝0/⇒ f (x )在R 上为奇函数，如f (x )＝x 2，故选A.答案：A2．下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是( ) A ．a >b ＋1 B ．a >b －1 C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3解析：由a >b ＋1，得a >b ＋1>b ，即a >b ，而由a >b 不能得出a >b ＋1，因此，使a >b 成立的充分不必要条件是a >b ＋1，选A.答案：A3．“(m －1)(a －1)>0”是“log a m >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：B4．若集合A ＝{x |x 2－5x ＋4<0}，B ＝{x ||x －a |<1}，则“a ∈(2,3)”是“B ⊆A ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：由题意知A ＝{x |1<x <4}，B ＝{x |－1＋a <x <1＋a }，若B ⊆A ，则－1＋a≥1，1＋a≤4，解得2≤a ≤3，所以必要性不成立．反之，若2<a <3，则必有B ⊆A 成立，所以充分性成立，故选A.答案：A5．设函数f (x )＝log 2x ，则“a >b ”是“f (a )>f (b )”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为f (x )＝log 2x 在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当a >b >0时，f (a )>f (b )；反之，当f (a )>f (b )时，a >b .故选B.答案：B6．已知p ：x ≥k ，q ：x ＋13<1，若p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1]解析：∵q ：x ＋13<1，∴x ＋13－1<0，∴x ＋12－x<0. ∴(x －2)·(x ＋1)>0，∴x <－1或x >2.因为p 是q 的充分不必要条件，所以k >2，故选B. 答案：B7．已知a ，b 为非零向量，则“函数f (x )＝(ax ＋b )2为偶函数”是“a ⊥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：C8．“若a ，b ∈R ＋，a 2＋b 2<1”是“ab ＋1>a ＋b ”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：a ，b ∈R ＋，若a 2＋b 2<1，则a 2＋2ab ＋b 2<1＋2ab <1＋2ab ＋(ab )2，即(a ＋b )2<(1＋ab )2，所以a ＋b <1＋ab 成立；当a ＝b ＝2时，有1＋ab >a ＋b 成立，但a 2＋b 2<1不成立，所以“a 2＋b 2<1”是“ab ＋1>a ＋b ”的充分不必要条件，故选C.答案：C9．在△ABC 中，设p ：sinB a ＝sinC b ＝sinA c；q ：△ABC 是正三角形，那么p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：C10．以下四个命题中，真命题的个数是( )①“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题．②存在正实数a，b，使得lg(a＋b)＝lg a＋lg b.③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”．④在△ABC中，∠A<∠B是sin A<sin B的充分不必要条件．A．0 B．1C．2 D．3解析：对于①，原命题的逆命题为：若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2，而a＝2，b＝－2满足a，b中至少有一个不小于1，但此时a＋b＝0，故①是假命题；对于②，根据对数的运算性质，知当a＝b＝2时，lg(a＋b)＝lg a＋lg b，故②是真命题；对于③，易知“所有奇数都是素数”的否定就是“至少有一个奇数不是素数”，③是真命题；对于④，根据题意，结合边角的转换，以及正弦定理，可知∠A<∠B⇔a<b(a，b为角A，B所对的边)⇔2R sin A<2R sin B(R 为△ABC外接圆的半径)⇔sin A<sin B，故∠A<∠B是sin A<sin B的充要条件，故④是假命题．选C.答案：C11．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B解析：原命题为真命题，从而其逆否命题也为真命题；逆命题“若a>－6，则a>－3”为假命题，故否命题也为假命题，故选B.12．命题“若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”的否命题是( ) A ．若x 2＋y 2＝0，则x ，y 中至少有一个不为0 B ．若x 2＋y 2≠0，则x ，y 中至少有一个不为0 C ．若x 2＋y 2≠0，则x ，y 都不为0 D ．若x 2＋y 2＝0，则x ，y 都不为0 答案：B解析：否命题既否定条件又否定结论．13．若命题p 的否命题是命题q 的逆否命题，则命题p 是命题q 的( ) A ．逆命题 B ．否命题C ．逆否命题D ．p 与q 是同一命题答案：A解析：设p ：若A ，则B ，则p 的否命题为若綈A ，则綈B ，从而命题q 为若B ，则A ，则命题p 是命题q 的逆命题，故选A.14．下列命题中为真命题的是( )A ．命题“若x>y ，则x>|y|”的逆命题B ．命题“若x 2≤1，则x ≤1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2－x ＝0”的否命题 D ．命题“若a>b ，则a 1<b 1”的逆否命题答案：A15．A ，B ，C 三个学生参加了一次考试，A ，B 的得分均为70分，C 的得分为65分．已知命题p ：若及格分低于70分，则A ，B ，C 都没有及格．在下列四个命题中，为p 的逆否命题的是( )A ．若及格分不低于70分，则A ，B ，C 都及格 B ．若A ，B ，C 都及格，则及格分不低于70分C ．若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分不低于70分D ．若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分高于70分答案：C解析：根据原命题与它的逆否命题之间的关系，命题p ：“若及格分低于70分，则A ，B ，C 都没有及格”的逆否命题是“若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分不低于70分”．故选C.16． “x 1>1”是“e x －1<1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：∵x 1>1，∴x ∈(0，1)．∵e x －1<1，∴x<1. ∴“x 1>1”是“e x －1<1”的充分不必要条件．17．在△ABC 中，“sinB ＝1”是“△ABC 为直角三角形”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：A18．若“x>1”是“不等式2x>a －x 成立”的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．a>3 B ．a<3 C ．a>4 D ．a<4答案：A解析：若2x>a －x ，即2x＋x>a.设f(x)＝2x＋x ，则函数f(x)为增函数．由题意知“2x＋x>a 成立，即f(x)>a 成立”能得到“x>1”，反之不成立．因为当x>1时，f(x)>3，∴a>3.19．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：p ⇒q ，而q p ，∴选A.20．若不等式31<x<21的必要不充分条件是|x －m|<1，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－34，21] B ．[－21，34] C ．(－∞，21) D ．(34，＋∞) 答案：B解析：由|x －m|<1，解得m －1<x<m ＋1.因为不等式31<x<21的必要不充分条件是|x －m|<1，所以≤m ＋1，1且等号不能同时取得，解得－21≤m ≤34，故选B.21．已知函数f(x)＝x 2－2x ＋3，g(x)＝kx －1，则“|k|≤1”是“f(x)≥g(x)在R 上恒成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A22．已知集合A ＝{x|a －2<x<a ＋2}，B ＝{x|x ≤－2或x ≥4}，则A ∩B ＝∅的充要条件是________．答案：0≤a ≤2解析：A ∩B ＝∅⇔a －2≥－2a ＋2≤4，⇔0≤a ≤2.23．如果对于任意实数x ，〈x 〉表示不小于x 的最小整数，例如〈1.1〉＝2，〈－1.1〉＝－1，那么“|x －y |<1”是“〈x 〉＝〈y 〉”的________条件．解析：可举例子，比如x ＝－0.5，y ＝－1.4，可得〈x 〉＝0，〈y 〉＝－1；比如x ＝1.1，y ＝1.5，〈x 〉＝〈y 〉＝2，|x －y |<1成立．因此“|x －y |<1”是“〈x 〉＝〈y 〉”的必要不充分条件．答案：必要不充分24．集合A ＝<0x －1，B ＝{x ||x －b |<a }．若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是________．答案：(－2,2)25．已知A 为xOy 平面内的一个区域．命题甲：点(a ，b )∈{(x ，y )|3x ＋y －6≤0x≥0，}；命题乙：点(a ，b )∈A .如果甲是乙的充分条件，那么区域A 的面积的最小值是________．解析：设3x ＋y －6≤0x≥0，所对应的区域如右图所示的阴影部分PMN 为集合B .由题意，甲是乙的充分条件，则B ⊆A ，所以区域A 面积的最小值为S △PMN ＝21×4×1＝2.答案：226．已知命题p ：实数m 满足m 2＋12a 2<7am (a >0)，命题q ：实数m 满足方程m －1x2＋2－m y2＝1表示的焦点在y 轴上的椭圆，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．解析：由a >0，m 2－7am ＋12a 2<0，得3a <m <4a ，即命题p ：3a <m <4a ，a >0.由m －1x2＋2－m y2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，可得2－m >m －1>0，解得1<m <23，即命题q ：1<m <23. 因为p 是q 的充分不必要条件，所以 23或，3解得31≤a ≤83，所以实数a 的取值范围是[31，83]．答案：[31，83]。

(全国通用)2018年高考数学考点一遍过专题02 命题及其关系_充分条件与必要条件(含解析)文

考点02命题及其关系、充分条件与必要条件1．理解命题的概念.2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系. 3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.一、命题及其关系1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题(2)四种命题间的关系(3)常见的否定词语(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动．二、充分条件与必要条件 1．充分条件与必要条件的概念(1)若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； (2)若p ⇒q 且q /⇒p ，则p 是q 的充分不必要条件； (3)若p /⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件； (4) 若p ⇔q ，则p 是q 的充要条件；(5) 若p /⇒q 且q /⇒p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 2．必记结论(1)等价转化法判断充分条件、必要条件①p 是q 的充分不必要条件⇔q ⌝是p ⌝的充分不必要条件； ②p 是q 的必要不充分条件⇔q⌝是p ⌝的必要不充分条件； ③p 是q 的充要条件⇔q ⌝是p ⌝的充要条件；④p 是q 的既不充分也不必要条件⇔q ⌝是p ⌝的既不充分也不必要条件. (2)集合判断法判断充分条件、必要条件若p 以集合A 的形式出现，q 以集合B 的形式出现，即p ：A ={x |p (x ) }，q ：B ={x |q (x ) }，则 ①若A B ⊆，则p 是q 的充分条件； ②若B A ⊆，则p 是q 的必要条件； ③若A B ⊂≠，则p 是q 的充分不必要条件； ④若B A ⊂≠，则p 是q 的必要不充分条件； ⑤若A B =，则p 是q 的充要条件；⑥若A B ⊂≠且B A ⊂≠，则p 是q 的既不充分也不必要条件.考向一四种命题的关系及其真假的判断四种命题的关系及其真假的判断是高考中的一个热点，多以选择题的形式出现，难度一般不大，往往会结合其他知识点(如函数、不等式、三角、向量、立体几何等)进行综合考查.常见的解法如下： 1．判断四种命题间关系的方法①由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题． ②原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性，解题时注意灵活应用. 2．命题真假的判断方法①给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，则只需举一反例即可．②由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假.典例1 （2017年高考北京卷）能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a +b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为___________. 【答案】−1，−2，−3（答案不唯一）【解析】()123,1233->->--+-=->-，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题. 【名师点睛】解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．1．已知命题“2,410x ax x ∀∈++>R ”是假命题，则实数a 的取值范围是 A ．()4,+∞ B ．(]0,4 C ．(],4-∞D ．[)0,4典例2 命题“0,0a ab ==若则”的逆否命题是 A ．0,0ab a ≠≠若则 B ．0,0a ab ≠≠若则 C ．0,0ab a =≠若则D ．0,0ab a ==若则【答案】A【解析】原命题的逆否命题为“若0ab ≠，则0a ≠ ”，故选A.【方法点睛】将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．2．下列说法正确的是A ．命题：“存在四边相等的四边形不是正方形”，该命题是假命题.B ．命题“已知A 、B 为一个三角形的两内角，若A B >，则sin sin A B >”的逆命题为真命题C ．“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b <，则221a b <-”D ．“1a =”是“直线10x ay -+=与直线20x ay +-=互相垂直”的充要条件考向二充分、必要条件的判断充分条件与必要条件的判断是高考命题的热点，多以选择题形式出现，作为载体，考查知识面广，常与函数、不等式、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何等知识综合考查.常见的解法如下： 1．命题判断法设“若p ，则q ”为原命题，那么：(1)原命题为真，逆命题为假时，则p 是q 的充分不必要条件； (2)原命题为假，逆命题为真时，则p 是q 的必要不充分条件； (3)当原命题与逆命题都为真时，则p 是q 的充要条件；(4)当原命题与逆命题都为假时，则p 是q 的既不充分也不必要条件． 2．集合判断法（同必记结论） 3．等价转化法（同必记结论）典例3 （2017年高考天津卷）设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由20x -≥，可得2x ≤，由|1|1x -≤，可得111x -≤-≤，即02x ≤≤，因为{}{}022x x x x ⊂≤≤≤≠，所以“20x -≥”是“|1|1x -≤”的必要而不充分条件，故选B ．【名师点睛】本题考查充要条件的判断，从定义来看，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若q p ⇒，则p 是q 的必要条件，若p q ⇔，则p 是q 的充要条件；从集合的角度看，若A B ⊆，则A 是B 的充分条件，若B A ⊆，则A 是B 的必要条件，若A B =，则A 是B 的充要条件，若A 是B 的真子集，则A 是B 的充分而不必要条件，若B 是A 的真子集，则A 是B 的必要而不充分条件．3．设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件典例4若条件:1p x ≤，且p ⌝是q 的充分不必要条件，则q 可以是 A ．1x > B ．0x > C ．2x ≤D ．10x -<<【答案】B【技巧点睛】有关探求充要条件的选择题，破题关键是：首先，判断是选项“推”题干，还是题干“推”选项；其次，利用以小推大的技巧，即可得结论．4．命题:e,ln 0p x a x ∀>-<“”为真命题的一个充分不必要条件是 A ．1a ≤ B ．1a < C ．1a ≥D ．1a >考向三充分、必要条件的应用充分、必要条件的应用主要涉及根据充要条件求解参数的取值范围，具体解法如下：1．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解.2．求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.典例5 已知命题p ：“关于x 的方程240x x a -+=有实根”，若p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是A ．[)1,+∞ B ．()1,+∞ C ．(),1-∞D ．(],1-∞【答案】B5．已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则的取值范围是 A ． B ． C ．D ．1．已知命题“若，则”为真命题，则下列命题中一定为真命题的是 A ．若，则 B ．若，则C ．若，则D ．若，则2．设m ∈R ，命题：若0m >，则20x x m +-=有实根的否命题是A ．若0m >，则20x x m +-=没有实根B ．若0m <，则20x x m +-=没有实根C ．若0m ≤，则20x x m +-=有实根D ．若0m ≤，则20x x m +-=没有实根 3；命题乙：30α≠且150α≠，则甲是乙的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既不充分条件也不必要条件4．“若，则，都有成立”的逆否命题是A ．有成立，则B ．有成立，则C ．有成立，则D ．有成立，则5．“240x x -<”的一个充分不必要条件是 A ．04x <D ．4x <6．下列有关命题的说法正确的是A ．“21x =”是“1x =”的充分不必要条件B ．“x =2时,x 2－3x +2=0”的否命题为真命题C ．直线1l ：210ax y ++=，2l ：220x ay ++=，12l l ∥的充要条件是D ．命题 “若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题7．已知()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则“120x x +>”是“()()121f x f x ⋅<”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知,m n 是两条互相垂直的直线，α是平面，则n α∥是m α⊥的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．设,a b 都是非零向量，下列四个条件，使A ．=a bB ．2=a bC ．∥a b 且D ．∥a b 且方向相同10:p ”，条件:q”，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是 A ．()3,5 B ．[]3,5 C ．()2,4D ．[]2,41．（2017年高考浙江卷）已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2017年高考北京卷）设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2016年高考天津卷）设0>x ，y ∈R ，则“y x >”是“||y x >”的A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．（2016年高考上海卷）设a ∈R ，则“1>a ”是“12>a ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2016年高考四川卷）设p :实数x ，y 满足1x >且1y >，q : 实数x ，y 满足2x y +>，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件1．【答案】C【解析】当命题为真时，由0a >且0∆<可得4a >，故命题为假时，4a ≤，故选C ． 2．【答案】B3．【答案】A 【解析】πππ||012126θθ-<⇔<<1sin 2θ⇒<，但0θ=时1sin 02θ=<，不满足ππ||1212θ-<，所以“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的充分而不必要条件，故选A ． 4．【答案】B【解析】由题意得()min ln ,e,ln 11a x x x a <>∴>∴≤,因为()(],1,1,⊂-∞-∞≠因此命题p 的一个充分不必要条件是1a <,选B. 5．【答案】B 【解析】由条件,解得或;因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件，有，故选B.1．【答案】C【解析】依据原命题与逆否命题的等价性可知：命题“若，则”的逆否命题“若，则”是真命题，故应选C.2．【答案】D【解析】命题：若0m >，则20x x m +-=有实根的否命题为“若0m ≤，则20x x m +-=没有实根”.故选D ． 3．【答案】A【解析】因为30150α=︒︒或是30α≠且150α≠的充分不必要条件，选A.4．【答案】D【解析】由原命题与逆否命题的关系可得：“若，则，都有成立”的逆否命题是 “有成立，则”.本题选D.5．【答案】B【解析】因为()2404004x x x x x -<⇒-<⇒<<，充分不必要条件是其真子集，所以只有02x <<满足条件，故选B.6．【答案】D7．【答案】C【解析】考查充分性：因为120x x +>，且函数()f x 是R 上的单调递减函数，则：()()121211,22x xf x f x ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1212112x x f x f x +⎛⎫⋅=< ⎪⎝⎭，即()()121f x f x ⋅<，充分性成立；以上过程可以逆向推倒，即必要性满足.综上，“120x x +>”是“()()121f x f x ⋅<”的充分必要条件.本题选C. 8．【答案】D【解析】若,m n n α⊥∥，则,m α可能垂直、平行、相交或m 在面α内，即n ∥α不是m ⊥α的充分条件，若,m n m α⊥⊥，则,n α可能平行或n 在面α内，即n ∥α不是m ⊥α的必要条件，所以n ∥α是m ⊥α的既不充分也不必要条件.故选D.9．【答案】 D 表示与a 方向相同的单位向量，因此成立的充要条件是a 与b 同向即可，故选D ．10．【答案】A【解析】s所以()[]3,5f x ∈，又当时，()()2,2f x m m ∈-+，若p 是q 的充分不必要条件，则23{25m m -<+>，所以35m <<，故选A.1．【答案】C 【名师点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，通过套入公式与简单运算，可知4652S S S d +-=，结合充分必要性的判断，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若p q ⇐，则p 是q 的必要条件，该题“0d >”⇔“46520S S S +->”，故互为充要条件．2．【答案】A【解析】若0λ∃<，使λ=m n ，则两向量,m n 反向，夹角是180︒，那么c o s 1800⋅=︒=-<m n m n m n ；若0⋅<m n ，那么两向量的夹角为(]90,180︒︒，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分而不必要条件，故选A.3．【答案】C【解析】34,3|4|>-<-,所以充分性不成立；||x y y x y >≥⇒>，所以必要性成立，故选C.4．【答案】A【解析】2211,11a a a a >⇒>>⇒>或1a <-，所以是充分不必要条件，故选A ．5．【答案】A【解析】由题意，1x >且1y >，则2x y +>，而当2x y +>时不能得出，1x >且1y >.故p 是q 的充分不必要条件，选A.【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考．有许多情况下可利用充分性、必要性和集合的包含关系得出结论．。

2018高考数学真题文科 1.2考点2 充分条件与必要条件的判断

第一章集合与常用逻辑用语第二节命题及其关系、充分条件与必要条件考点2充分条件与必要条件的判断（2018·浙江卷）已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】∵若m⊄α，n⊂α，且m∥n，则一定有m∥α，但若m⊄α，n⊂α，且m∥α，则m与n有可能异面，∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选A．【答案】A（2018·天津卷（文））设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由x3＞8⇒x＞2⇒|x|＞2，反之不成立，故“x3＞8”是“|x|＞2”的充分不必要条件．故选A．【答案】A（2018·天津卷（文））阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（）A．1B．2C．3D．4【解析】输入N的值为20，第一次执行条件语句，N＝20，i＝2，Ni＝10是整数，∴T＝0＋1＝1，i＝3＜5；第二次执行条件语句，N＝20，i＝3，Ni ＝203不是整数，∴i＝4＜5；第三次执行条件语句，N＝20，i＝4，Ni＝5是整数，∴T＝1＋1＝2，i＝5，此时i≥5成立，∴输出T＝2.故选B．【答案】B（2018·北京卷（文））设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】a，b，c，d是非零实数，若a＜0，d＜0，b＞0，c＞0，且ad＝bc，则a，b，c，d不成等比数列（可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3）．若a，b，c，d成等比数列，则由等比数列的性质可知ad＝bC．所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．故选B．【答案】B。

高三北师大版文科数学一轮复习课时作业(2)命题及其关系、充分条件、必要条件.pdf

课时作业(二)　[第2讲　命题及其关系、充分条件、必要条件] [时间：35分钟　分值：80分] 1．下列说法中正确的是( ) A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真 B．“a＞b”与“a＋c＞b＋c”不等价 C．“a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0” D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真 2．[2011·陕西卷] 设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( ) A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b| C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b 3．[2011·福州期末] 在ABC中，“·＝·”是“||＝||”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知：A＝，B＝{x|－1<x<m＋1}，若xB成立的一个充分不必要条件是xA，则实数m的取值范围是________． 5．[2011·烟台模拟] 与命题“若aM，则b?M”等价的命题是( ) A．若a?M，则b?M B．若b?M，则aM C．若a?M，则bM D．若bM，则a?M 6．命题“存在xR，使x2＋ax－4a<0为假命题”是命题“－16≤a≤0”的( ) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．[2011·潍坊质检] 已知各项均不为零的数列{an}，定义向量cn＝(an，an＋1)，bn＝(n，n＋1)，nN*.下列命题中真命题是( ) A．若任意nN*总有cnbn成立，则数列{an}是等差数列 B．若任意nN*总有cnbn成立，则数列{an}是等比数列 C．若任意nN*总有cnbn成立，则数列{an}是等差数列 D．若任意nN*总有cnbn成立，则数列{an}是等比数列 8．[2011·山西师大附中一模] 命题“存在xR，使x2＋ax－4a0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________． 12．(13分)[2011·江西白鹭洲中学月考] 已知条件p：|5x－1|>a(a>0)和条件q：>0，请选取适当的实数a的值，分别利用所给的两个条件作为A、B构造命题：“若A则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题．则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题． 13．(12分)[2011·厦门检测] 已知全集U＝R，非空集合A＝，B＝. (1)当a＝时，求(?UB)∩A； (2)命题p：xA，命题q：xB，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．课时作业(二) 【基础热身】 1．D　[解析] 否命题和逆命题互为逆否命题，有着一致的真假性． 2．D　[解析] 利用原命题和逆命题之间的关系“如果第一个命题的条件和结论分别是第二个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的逆命题．即原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p”，故答案为D. 3．C　[解析] －π2　[解析] A＝{x|－1<x2. 【能力提升】 5．D　[解析] 命题“若aM，则b?M”的逆否命题是“若bM，则a?M”，又原命题与逆否命题为等价命题，故选D. 6．A　[解析] “x0∈R，使x＋ax0－4a<0”为假，即“任意xR，使x2＋ax－4a≥0”为真，从而Δ≤0，解得－16≤a≤0.故选A. 7．A　[解析] 由cnbn可知＝，故an＝···…··a1＝···…··a1＝na1，即任意nN*如果cnbn成立，则数列{an}是等差数列． 8．C　[解析] 若存在xR，使x2＋ax－4a<0为假命题，即对任意的xR，x2＋ax－4a≥0恒成立，于是Δ＝a2＋16a≤0，解得－16≤a≤0，同时当－16≤a≤0，恒有Δ≤0，于是可知“存在xR，使x2＋ax－4a<0为假命题”是“－16≤a≤0”的充要条件，选C. 9．充分不必要　[解析] 若a＝(x＋2,1)与b＝(2,2－x)共线，则有(x＋2)(2－x)＝2，解得x＝±，所以“x＝”是“向量a＝(x＋2,1)与向量b＝(2,2－x)共线”的充分不必要条件． 10．“若a≤b，则2a≤2b－1” 11．[－3,0]　[解析] 原命题是真命题，则ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得解得－3≤a<0，故－3≤a≤0. 12．[解答] 已知条件p：5x－1a， x；已知条件q：2x2－3x＋1>0，x1. 令a＝4，则p即x1，此时必有pq成立，反之不然．故可以选取的一个实数是a＝4，A为p，B为q，对应的命题是若p则q，由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题．【难点突破】 13．[解答] (1)当a＝时，A＝，B＝，所以(?UB)∩A＝. (2)若q是p的必要条件，即pq，可知AB. 因为a2＋2>a，所以B＝{x|a时，A＝{x|2<x<3a＋1}，由解得a≤或a≥，所以。

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件(有答案)

第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件【考纲下载】1．理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若p⇔q，则p与q互为充要条件．(3)若p⇒/ q，且q⇒/ p，则p是q的既不充分也不必要条件．1．一个命题的否命题与这个命题的否定是同一个命题吗？提示：不是，一个命题的否命题是既否定该命题的条件，又否定该命题的结论，而这个命题的否定仅是否定它的结论．2．“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的说法相同吗？提示：两者说法不相同．“p的一个充分不必要条件是q”等价于“q是p的充分不必要条件”，显然这与“p是q的充分不必要条件”是截然不同的．1．(2013·福建高考)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A　当a＝3时，A＝{1,3}，A⊆B；反之，当A⊆B时，a＝2或3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．2．命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是( )A．“若x＜y，则x2＜y2”B．“若x＞y，则x2＞y2”C．“若x≤y，则x2≤y2”D．“若x≥y，则x2≥y2”解析：选C　根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．3．(教材习题改编)命题“如果b2－4ac＞0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根”的否命题、逆命题和逆否命题中，真命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：选D　原命题为真，则它的逆否命题为真，逆命题为“若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根，则b2－4ac＞0”，为真命题，则它的否命题也为真．4．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是 ( )A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数解析：选B　原命题的否命题是既否定题设又否定结论，故“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是B选项．5．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是 ( )A．a＞b＋1 B．a＞b－1 C．a2＞b2D．a3＞b3解析：选A　由a＞b＋1，且b＋1＞b，得a＞b；反之不成立.考点一四种命题的关系　[例1]　(1)命题“若x＞1，则x＞0”的否命题是( )A．若x＞1，则x≤0B．若x≤1，则x＞0C．若x≤1，则x≤0D．若x＜1，则x＜0(2)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是( )A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数[自主解答]　(1)因为“x＞1”的否定为“x≤1”，“x＞0”的否定为“x≤0”，所以命题“若x＞1，则x＞0”的否命题为：“若x≤1，则x≤0”．(2)由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数”．[答案]　(1)C　(2)C【互动探究】试写出本例(2)中命题的逆命题和否命题，并判断其真假性．解：逆命题：若x＋y是偶数，则x，y都是偶数．是假命题．否命题：若x，y不都是偶数，则x＋y不是偶数．是假命题．【方法规律】判断四种命题间关系的方法(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．(2)原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性，解题时注意灵活应用．1．命题p：“若a≥b，则a＋b＞2 012且a＞－b”的逆否命题是 ( )A．若a＋b≤2 012且a≤－b，则a＜bB．若a＋b≤2 012且a≤－b，则a＞bC．若a＋b≤2 012或a≤－b，则a＜bD．若a＋b≤2 012或a≤－b，则a≤b解析：选C　“且”的否定是“或”，根据逆否命题的定义知，逆否命题为“若a＋b≤2 012或a≤－b，则a＜b”．2．下列命题中为真命题的是( )A．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题B ．命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x 2＞0，则x ＞1”的逆否命题解析：选A A 中逆命题为“若x ＞|y |，则x ＞y ”是真命题；B 中否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”是假命题；C 中否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”是假命题；D 中原命题是假命题，从而其逆否命题也为假命题．考点二命题的真假判断 [例2]　(1)下列命题是真命题的是( )A ．若＝，则x ＝y1x 1y B ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则＝x yD ．若x ＜y ，则x 2＜y 2(2)(2014·济南模拟)在空间中，给出下列四个命题：①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；②若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面；③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；④两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一直线必垂直于另一平面内的无数条直线．其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④[自主解答]　(1)取x ＝－1排除B ；取x ＝y ＝－1排除C ；取x ＝－2，y ＝－1排除D ，故选A.(2)对于①，由线面垂直的判定可知①正确；对于②，若点在平面的两侧，则过这两点的直线可能与该平面相交，故②错误；对于③，两条相交直线在同一平面内的射影可以为一条直线，故③错误；对于④，两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面内的无数条与交线垂直的直线，故④正确．综上可知，选D.[答案]　(1)A (2)D【方法规律】命题的真假判断方法(1)给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．(2)由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假．给出下列命题：①函数y ＝sin(x ＋k π)(k ∈R )不可能是偶函数；②已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a ∈R ，a ≠0)，则数列{a n }一定是等比数列；③若函数f (x )的定义域是R ，且满足f (x )＋f (x ＋2)＝3，则f (x )是以4为周期的周期函数；④过两条异面直线外一点能作且只能作出一条直线和这两条异面直线同时相交．其中所有正确的命题有________(填正确命题的序号)．解析：①当k ＝时，y ＝sin(x ＋k π)就是偶函数，故①错；②当a ＝1时，S n ＝0，则a n 的12各项都为零，不是等比数列，故②错；③由f (x )＋f (x ＋2)＝3，则f (x ＋2)＋f (x ＋4)＝3，相减得f (x )－f (x ＋4)＝0，即f (x )＝f (x ＋4)，所以f (x )是以4为周期的周期函数，③正确；④过两条异面直线外一点，有时没有一条直线能与两条异面直线都相交，故④错．综上所述，正确的命题只有③.答案：③高频考点考点三充要条件 1．充分条件、必要条件是每年高考的必考内容，多以选择题的形式出现，难度不大，属于容易题．2．高考对充要条件的考查主要有以下三个命题角度：(1)判断指定条件与结论之间的关系；(2)探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件；(3)与命题的真假性相交汇命题．[例3]　(1)(2013·北京高考)“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2012·四川高考)设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件a |a|b|b|是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a|＝|b|(3)给出下列命题：①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件；④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝，则3“A ＝30°”是“B ＝60°”的必要不充分条件．其中真命题的序号是________．[自主解答]　(1)当φ＝π时，y ＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ，则曲线y ＝－sin 2x 过坐标原点，所以“φ＝π”⇒“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”；当φ＝2π时，y ＝sin(2x ＋2π)＝sin 2x ，则曲线y ＝sin 2x 过坐标原点，所以“φ＝π”⇐/“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”，所以“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．(2)，分别是与a ，b 同方向的单位向量，由＝，得a 与b 的方向相同．而a ∥b 时，a |a |b |b |a |a |b |b |a 与b 的方向还可能相反．故选C.(3)对于①，当数列{a n }为等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列，但当数列{a n a n ＋1}为等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确；对于②，当a ≤2时，函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确；对于③，当m ＝3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m ＝3，也可能m ＝0.因此③不正确；对于④，由题意得＝ba ＝，若B ＝60°，则sin A ＝，注意到b ＞a ，故A ＝30°，反之，当A ＝30°时，有sin B ＝sin Bsin A 312，由于b ＞a ，所以B ＝60°或B ＝120°，因此④正确．综上所述，真命题的序号是①④.32[答案]　(1)A (2)C (3)①④充要条件问题的常见类型及解题策略(1)判断指定条件与结论之间的关系．解决此类问题应分三步：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系．(2)探究某结论成立的充要、充分、必要条件．解答此类题目，可先从结论出发，求出使结论成立的必要条件，然后再验证得到的必要条件是否满足充分性．(3)充要条件与命题真假性的交汇问题．依据命题所述的充分必要性，判断是否成立即可．1．(2014·西安模拟)如果对于任意实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数，那么“[x ]＝[y ]”是“|x －y |＜1成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若[x ]＝[y ]，则|x －y |＜1；反之，若|x －y |＜1，如取x ＝1.1，y ＝0.9，则[x ]≠[y ]，即“[x ]＝[y ]”是“|x －y |＜1成立”的充分不必要条件．2．已知p ：<1，q ：x 2＋(a －1)x －a >0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的1x －1取值范围是( )A ．(－2，－1]B ．[－2，－1]C ．[－3,1]D ．[－2，＋∞)解析：选A 不等式<1等价于－1<0，即>0，解得x >2或x <1，所以p 为1x －11x －1x －2x －1(－∞，1)∪(2，＋∞)．不等式x 2＋(a －1)x －a >0可以化为(x －1)(x ＋a )>0，当－a ≤1时，解得x >1或x <－a ，即q 为(－∞，－a )∪(1，＋∞)，此时a ＝－1；当－a >1时，不等式(x －1)(x ＋a )>0的解集是(－∞，1)∪(－a ，＋∞)，此时－a <2，即－2<a <－1.综上可知a 的取值范围为(－2，－1]．3．设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________.解析：一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0的根为x ＝＝2±，因为x 是整数，4±16－4n24－n 即2±为整数，所以为整数，且n ≤4，又因为n ∈N *，取n ＝1,2,3,4，验证可知4－n 4－n n ＝3,4符合题意，所以n ＝3,4时可以推出一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根．答案：3或4——————————[课堂归纳——通法领悟]———————————　1个区别——“A 是B 的充分不必要条件”与“A 的充分不　必要条件是B ”的区别　“A 是B 的充分不必要条件”中，A 是条件，B 是结论；“A 的充分不必要条件是B ”中，B 是条件，A 是结论．在进行充分、必要条件的判断中，要注意这两种说法的区别．　2条规律——四种命题间关系的两条规律　(1)逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假．(2)当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．同时要关注“特例法”的应用．　3种方法——判断充分条件和必要条件的方法　(1)定义法；(2)集合法；(3)等价转化法．方法博览(一)三法破解充要条件问题1．定义法定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题——“若p ，则q ”与“若q ，则p ”的判断，根据两个命题是否正确，来确定p 与q 之间的充要关系．[典例1]　设0＜x ＜，则“x sin 2x ＜1”是“x sin x ＜1”的( )π2A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解题指导]　由0＜x ＜可知0＜sin x ＜1，分别判断命题“若x sin 2x ＜1，则x sin x ＜1”π2与“若x sin x ＜1，则x sin 2x <1”的真假即可．[解析]　因为0<x <，所以0<sin x <1，不等式x sin x <1两边同乘sin x ，可得x sin 2x <sin x ，π2所以有x sin 2x <sin x <1.即x sin x <1⇒x sin 2x <1；不等式x sin 2x <1两边同除以sin x ，可得x sin x <，而由0<sin x <1，知>1，故x sin 1sin x 1sin x x <1不一定成立，即x sin 2x <1⇒/ x sin x <1.综上，可知“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的必要不充分条件．[答案]　C[点评]　判断p 、q 之间的关系，只需判断两个命题A ：“若p ，则q ”和B ：“若q ，则p ”的真假．(1)若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件；(2)若q ⇒p ，则p 是q 的必要条件；(3)若p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；(4)若p ⇒q 且q ⇒/ p ，则p 是q 的充分不必要条件；(5)若p ⇒/ q 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；(6)若p ⇒/ q 且q ⇒/ p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．2．集合法集合法就是利用满足两个条件的参数取值所构成的集合之间的关系来判断充要关系的方法．主要解决两个相似的条件难以进行区分或判断的问题．[典例2]　若A ：log 2a <1，B ：x 的二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另一根小于零，则A 是B 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解题指导]　分别求出使A 、B 成立的参数a 的取值所构成的集合M 和N ，然后通过集合M 与N 之间的关系来判断．[解析]　由log 2a <1，解得0<a <2，所以满足条件A 的参数a 的取值集合为M ＝{a |0<a <2}；而方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一根大于零，另一根小于零的充要条件是f (0)<0，即a －2<0，解得a <2，即满足条件B 的参数a 的取值集合为N ＝{a |a <2}，显然M N ，所以A 是B 的充分不必要条件．[答案]　B[点评]　利用集合间的关系判断充要条件的方法记法条件p 、q 对应的集合分别为A 、B 关系A ⊆B B ⊆A A B⊂B A ⊂A ＝B A B 且⊄B A ⊄结论p 是q 的充分条件p 是q 的必要条件p 是q 的充分不必要条件p 是q 的必要不充分条件p 是q 的充要条件p 是q 的既不充分也不必要条件3.等价转化法等价转化法就是在判断含有逻辑联结词“否”的有关条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．[典例3]　已知条件p ：≤－1，条件q ：x 2－x <a 2－a ，且q 的一个充分不必要条4x －1⌝件是p ，则a 的取值范围是________．⌝[解题指导]　“q 的一个充分不必要条件是p ”等价于“p 是q 的一个必要不充分⌝⌝条件”．[解析]　由≤－1，得－3≤x <1.由x 2－x <a 2－a ，得(x －a )[x ＋(a －1)]<0，4x －1当a >1－a ，即a >时，不等式的解为1－a <x <a ；当a ＝1－a ，即a ＝时，不等式的解为∅；1212当a <1－a ，即a <时，不等式的解为a <x <1－a .12由q 的一个充分不必要条件是p ，可知p 是q 的充分不必要条件，即p 为q 的一个⌝⌝⌝⌝必要不充分条件，即条件q 对应的x 取值集合是条件p 对应的x 取值集合的真子集．当a >时，由{x |1－a <x <a }　{x |－3≤x <1}，得Error!解得<a ≤1；1212当a ＝时，因为空集是任意一个非空集合的真子集，所以满足条件；12当a <时，由{x |a <x <1－a }　{x |－3≤x <1}，得Error!解得0≤a <.1212综上，a 的取值范围是[0,1]．[答案]　[0,1][点评]　条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假.p 、q 之间的关系和之间的关系p ⌝q ⌝p 是q 的充分不必要条件是的必要不充分条件p ⌝q ⌝p 是q 的必要不充分条件是的充分不必要条件p ⌝q ⌝p 是q 的充要条件是的充要条件p ⌝q ⌝p 是q 的既不充分也不必要条件是的既不充分也不必要条件p ⌝q ⌝[全盘巩固]1．“若b 2－4ac ＜0，则ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”，其否命题是 ( )A ．若b 2－4ac ＞0，则ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根B ．若b 2－4ac ＞0，则ax 2＋bx ＋c ＝0有实根C ．若b 2－4ac ≥0，则ax 2＋bx ＋c ＝0有实根D ．若b 2－4ac ≥0，则ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根解析：选C 由原命题与否命题的关系可知，“若b 2－4ac ＜0，则ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”的否命题是“若b 2－4ac ≥0，则ax 2＋bx ＋c ＝0有实根”．2．f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，h (x )＝f (x )＋g (x )，则“f (x )，g (x )均为偶函数”是“h (x )为偶函数”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 因为f (x )，g (x )均为偶函数，可推出h (x )为偶函数，反之，则不成立．3．(2014·黄冈模拟)与命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”等价的命题是( )A ．若a ，b ，c 成等比数列，则b 2≠acB ．若a ，b ，c 不成等比数列，则b 2≠acC ．若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列D ．若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列解析：选D 因为原命题与其逆否命题是等价的，所以与命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”等价的命题是“若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列”．4．设a ＞0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A “函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”的充要条件是p ：0＜a ＜1.因为g ′(x )＝3(2－a )x 2，而x 2≥0，所以“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充要条件是2－a ＞0，即a ＜2.又因为a ＞0且a ≠1，所以“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充要条件是q ：0＜a ＜2且a ≠1.显然p ⇒q ，但q ⇒/ p ，所以p 是q 的充分不必要条件，即“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件．5．(2014·南昌模拟)下列选项中正确的是( )A ．若x ＞0且x ≠1，则ln x ＋≥21ln x B ．在数列{a n }中，“|a n ＋1|＞a n ”是“数列{a n }为递增数列”的必要不充分条件C ．命题“所有素数都是奇数”的否定为“所有素数都是偶数”D ．若命题p 为真命题，则其否命题为假命题解析：选B 当0＜x ＜1时，ln x ＜0，此时ln x ＋≤－2，A 错；当|a n ＋1|＞a n 时，{a n }不1ln x 一定是递增数列，但若{a n }是递增数列，则必有a n ＜a n ＋1≤|a n ＋1|，B 对；全称命题的否定为特称命题，C 错；若命题p 为真命题，其否命题可能为真命题，也可能为假命题，D 错．6．已知p ：≤1，q ：(x －a )(x －a －1)≤0.若p 是q 的充分不必要条件，则实数2x －1a 的取值范围是( )A. B. C ．(－∞，0)∪ D ．(－∞，0)∪[0，12](0，12)[12，＋∞)(12，＋∞)解析：选A 令A ＝{x |≤1}，得A ＝Error!，令B ＝{x |(x －a )(x －a －1)≤0}，得2x －1B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，若p 是q 的充分不必要条件，则A B ，需Error!⇒0≤a ≤.127．在命题p 的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，真命题的个数记为f (p )，已知命题p ：“若两条直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0，l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0平行，则a 1b 2－a 2b 1＝0”．那么f (p )＝________.解析：原命题p 显然是真命题，故其逆否命题也是真命题，而其逆命题是：若a 1b 2－a 2b 1＝0，则两条直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0与l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0平行，这是假命题，因为当a 1b 2－a 2b 1＝0时，还有可能l 1与l 2重合，逆命题是假命题，从而否命题也为假命题，故f (p )＝2.答案：28．下列四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“若x 2＋x －6≥0，则x ＞2”的否命题；③在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞”的充分不必要条件；12④“函数f (x )＝tan(x ＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝k π(k ∈Z )”．其中真命题的序号是________(把真命题的序号都填上)．解析：①原命题的逆命题为：“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，①是真命题；“若x 2＋x －6≥0，则x ＞2”的否命题是“若x 2＋x －6＜0，则x ≤2”，②也是真命题；在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞”的必要不充分条件，③是假命题；“函数f (x )＝tan(x ＋φ)为奇函数”12的充要条件是“φ＝(k ∈Z )”，④是假命题．k π2答案：①②9．已知α：x ≥a ，β：|x －1|＜1.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________．解析：α：x ≥a ，可看作集合A ＝{x |x ≥a }，由|x －1|＜1，得0＜x ＜2，∴β可看作集合B ＝{x |0＜x ＜2}．又∵α是β的必要不充分条件，∴B A ，∴a ≤0.答案：(－∞，0]10．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，对命题“若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )”．(1)写出否命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．解：(1)否命题：已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b ＜0，则f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )．该命题是真命题，证明如下：∵a ＋b ＜0，∴a ＜－b ，b ＜－a .又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．∴f (a )＜f (－b )，f (b )＜f (－a )，∴f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )，∴否命题为真命题．(2)逆否命题：已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ＜0.真命题，可证明原命题为真来证明它．∵a ＋b ≥0，∴a ≥－b ，b ≥－a ，∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )，∴f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，故原命题为真命题，所以逆否命题为真命题．11．已知集合A ＝Error!，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－x ＋1＝2＋，∵x ∈，∴≤y ≤2，∴A ＝Error!.32(x －34)716[34，2]716由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤，解得m ≥或m ≤－，7163434故实数m 的取值范围是∪.(－∞，－34][34，＋∞)12．已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．解：∵mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程，∴m ≠0.又另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且两方程都要有实根，∴Error!解得m ∈.[－54，1]∵两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，∴Error!∴m 为4的约数．又∵m ∈，∴m ＝－1或1.[－54，1]当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根为非整数；而当m ＝1时，两方程的根均为整数，∴两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1.[冲击名校]1．对于函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”是“y ＝f (x )是奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称，但是y ＝f (x )不一定为奇函数，如取函数f (x )＝x 2，则函数y ＝|x 2|的图象关于y 轴对称，但函数f (x )＝x 2是偶函数不是奇函数，即“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”⇒/ “y ＝f (x )是奇函数”；若y ＝f (x )是奇函数，图象关于原点对称，所以y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称，即“y ＝f (x )是奇函数”⇒“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”，故应选B.2．已知下列各组命题，其中p 是q 的充分必要条件的是( )A ．p ：m ≤－2或m ≥6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点B ．p ：＝1；q ：y ＝f (x )是偶函数f (－x )f (x )C ．p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan βD ．p ：A ∩B ＝A ；q ：A ⊆U ，B ⊆U ，∁U B ⊆∁U A解析：选D 对于A ，由y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点，可得Δ＝m 2－4(m ＋3)＞0，从而可得m ＜－2或m ＞6.所以p 是q 的必要不充分条件；对于B ，由＝1⇒f (－x )＝f (x )⇒y ＝f (x )是偶函数，但由y ＝f (x )是偶函数不能推出f (－x )f (x )＝1，例如函数f (x )＝0，所以p 是q 的充分不必要条件；f (－x )f (x )对于C ，当cos α＝cos β＝0时，不存在tan α＝tan β，反之也不成立，所以p 是q 的既不充分也不必要条件；对于D ，由A ∩B ＝A ，知A ⊆B ，所以∁U B ⊆∁U A ；反之，由∁U B ⊆∁U A ，知A ⊆B ，即A ∩B ＝A .所以p ⇔q .综上所述，p 是q 的充分必要条件的是D.[高频滚动]1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4＞0}，B ＝{x |2x ＞8}，那么集合(∁U A )∩B ＝( )A ．{x |3＜x ＜4}B ．{x |x ＞4}C ．{x |3＜x ≤4}D ．{x |3≤x ≤4}解析：选C A ＝{x |x 2－3x －4＞0}＝{x |x ＜－1或x ＞4}，所以∁U A ＝{x |－1≤x ≤4}，又B ＝{x |2x ＞8}＝{x |x ＞3}，所以(∁U A )∩B ＝{x |3＜x ≤4}．2．对于任意的两个正数m ，n ，定义运算⊙：当m ，n 都为偶数或都为奇数时，m ⊙n ＝；当m ，n 为一奇一偶时，m ⊙n ＝.设集合A ＝{(a ，b )|a ⊙b ＝6，a ，b ∈N *}，m ＋n2mn 则集合A 中的元素个数为________．解析：(1)当a ，b 都为偶数或都为奇数时，＝6⇒a ＋b ＝12，即a ＋b22＋10＝4＋8＝6＋6＝1＋11＝3＋9＝5＋7＝12，故符合题意的点(a，b)有2×5＋1＝11个．ab(2)当a，b为一奇一偶时，＝6⇒ab＝36，即1×36＝3×12＝4×9＝36，故符合题意的点(a，b)有2×3＝6个．综上可知，集合A中的元素共有17个．答案：17。

2018届高考数学文大一轮复习教师用书：第1章第2节命题及其关系、充分条件与必要条件含答案精品

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件————————————————————————————————1.理解命题的概念；了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系图121(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．(3)如果pD q，且qD p，则p是q的既不充分也不必要条件．4．集合与充要条件设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件．(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．( )(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．( )(3)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( )(4)“若p 不成立，则q 不成立”等价于“若q 成立，则p 成立”．( ) (1)错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的． (2)错误．否命题既否定条件，又否定结论．(3)正确．q 是p 的必要条件说明p ⇒q ，所以p 是q 的充分条件． (4)正确．原命题与逆否命题是等价命题． (1)× (2)× (3)√ (4)√2．(教材改编)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4C3．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )【导学号：31222005】A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A4．命题“若a ＞－3，则a ＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4B5．(2016·天津高考)设x ＞0，y ∈R ，则“x ＞y ”是“x ＞|y |”的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 C( ) A．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为假命题(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假(1)C (2)B1.已知原命题写出该命题的其他命题时，先要分清命题的条件与结论．特别注意的是，如果命题不是“若p，则q”形式的命题，需先改写为“若p，则q”的形式．2．给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．3．由于原命题与其逆否命题的真假性相同，所以有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假．原命题为“若a n＋a n＋12＜a n，n∈N*，则{a n}为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A．真，真，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假A000；q：x ＝x0是f(x)的极值点，则( )A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件(2)设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 (1)C (2)A充分条件、必要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．(2016·武汉模拟)设集合M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的( ) 【导学号：31222006】A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x∈S 的必要条件，求m 的取值范围．由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}.3分 ∵x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，1－m ≤1＋m ，∴0≤m ≤3.8分综上，可知0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件.12分本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}.2分若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，8分∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，这样的m 不存在.12分本例条件不变，若綈P 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}．∵綈P 是綈S 的必要不充分条件，∴P 是S 的充分不必要条件， ∴P ⇒S 且SD P ，4分∴，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＜－2，1＋m ≥10，8分∴m ≥9，即m 的取值范围是充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．(1)(2017·长沙模拟)已知命题p ：a ≤x ≤a ＋1，命题q ：x 2－4x <0，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．(2)方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ∈R ，a 为常数)的解集只有一个负实根的充要条件是________． (1)(0,3) (2)a ≤0或a ＝11．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．2．充分条件、必要条件的几种判断方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．(2)等价法：利用A⇒B与綈B⇒綈A；B⇒A与綈A⇒綈B；A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若A⊆B，则p是q 的充分条件或q是p的必要条件；若A B，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件．1．当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提．2．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式．3．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言的含义．课时分层训练(二)命题及其关系、充分条件与必要条件A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2015·山东高考)设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( )A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0D2．(2017·杭州调研)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.则“m∥β”是“α∥β”的( ) 【导学号：31222007】A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B3．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件A4．给出下列命题：①“若a2<b2，则a<b”的否命题；②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a>1，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题；④“若3x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中正确的命题是( )A．③④B．①③C．①②D．②④A5．(2017·南昌调研)m＝－1是直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋9＝0垂直的( ) 【导学号：31222008】A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A6．设p ：1<x <2，q ：2x>1，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件A7．已知条件p ：x 2－2ax ＋a 2－1>0，条件q ：x >2，且q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．a ≥1B ．a ≤1C ．a ≥－3D ．a ≤－3B 二、填空题8．已知a ，b ，c 都是实数，则在命题“若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________.【导学号：31222009】29．“m ＜14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的________条件．充分不必要10．已知集合A ＝{x |y ＝lg(4－x )}，集合B ＝{x |x ＜a }，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．(4，＋∞)B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·西安调研)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件A2．(2016·四川高考)设p ：实数x ，y 满足x >1，且y >1，q ：实数x ，y 满足x ＋y >2，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 A3．有下列几个命题：①“若a ＞b ，则a 2＞b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ③“若x 2＜4，则－2＜x ＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________． ②③4．已知不等式|x －m |＜1成立的充分不必要条件是13＜x ＜12，则实数m 的取值范围是________. 【导学号：31222010】⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43。

【志鸿优化设计】高考数学(人教版,文科)一轮总复习：课时规范练2 命题及其关系、充分条件与必要条件

课时规范练2命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1.设原命题:若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1,则原命题与其逆命题的真假情况是()A.原命题真,逆命题假B.原命题假,逆命题真C.原命题与逆命题均为真命题D.原命题与逆命题均为假命题答案:A解析:可以考虑原命题的逆否命题,即a,b都小于1,则a+b<2,显然为真.其逆命题,即a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2,为假,如a=1.2,b=0.2,则a+b<2.2.下面四个条件中,使a>b成立的充分而不必要的条件是()A.a>b+1B.a>b-1C.a2>b2D.a3>b3答案:A解析:A选项中a>b+1>b,所以充分性成立,但必要性不成立,所以a>b+1为a>b成立的充分不必要条件,故选A.3.命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是()A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数答案:C解析:由于“x,y都是偶数”的否定表达是“x,y不都是偶数”,“x+y是偶数”的否定表达是“x+y不是偶数”,故原命题的逆否命题为“若x+y不是偶数,则x,y不都是偶数”,故选C.4.设p:log2x<0,q:>1,则p是q的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案:B解析:由题可知p:log2x<0,解得0<x<1;q:>1,解得x<1.所以p是q的充分不必要条件,故选B.5.(2013福建高考)已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:若a=3,则A={1,3}⊆B,故a=3是A⊆B的充分条件;而若A⊆B,则a不一定为3,当a=2时,也有A⊆B.故a=3不是A⊆B的必要条件.故选A.6.“≤-2”是“a>0且b<0”的()A.必要不充分条件B.充要条件C.充分不必要条件D.既不充分又不必要条件答案:A解析:+2=≤0⇒ab<0⇒故选A.二、填空题7.命题“若m>0,则关于x的方程x2+x-m=0有实数根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为.答案:2解析:先写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题,逐一判断.或只写出逆命题,判断原命题和逆命题的真假即可,原命题为真,逆命题为假.8.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是. 答案:若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<39.设有如下三个命题:甲:m∩l=A,m,l⊂α,m,l⊄β;乙:直线m,l中至少有一条与平面β相交;丙:平面α与平面β相交.当甲成立时,乙是丙的条件.答案:充要解析:由题意乙⇒丙,丙⇒乙.故当甲成立时,乙是丙的充要条件.10.已知p是r的充分不必要条件,q是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件.现有下列命题:①s是q的充要条件;②p是q的充分条件而不是必要条件;③r是q的必要条件而不是充分条件;④p 是s的必要条件而不是充分条件;⑤r是s的充分条件而不是必要条件.则正确命题的序号是.答案:①②④解析:由题意知∴s⇔q,①正确;p⇒r⇒s⇒q,∴p⇒q,但qp,②正确;同理判断③⑤不正确,④正确.11.给定下列几个命题:①“x=”是“sin x=”的充分不必要条件;②若“p∨q”为真,则“p∧q”为真;③“等底等高的三角形是全等三角形”的逆命题.其中为真命题的是.(填上所有正确命题的序号)答案:①③解析:①中,若x=,则sin x=,但sin x=时,x=+2kπ或+2kπ(k∈Z).故“x=”是“sin x=”的充分不必要条件,故①为真命题;②中,令p为假命题,q为真命题,有“p∨q”为真命题,而“p∧q”为假命题,故②为假命题;③为真命题.三、解答题12.已知p:≤0,q:4x+2x-m≤0,若p是q的充分条件,求实数m的取值范围.解:由≤0,得0<x≤1;由4x+2x-m≤0,得m≥4x+2x=,因为0<x≤1,所以m≥=6,即m≥6.13.指出下列各组命题中,p是q的什么条件?(1)p:a+b=2,q:直线x+y=0与圆(x-a)2+(y-b)2=2相切;(2)p:|x|=x,q:x2+x≥0;(3)设l,m均为直线,α为平面,其中l⊄α,m⊂α,p:l∥α,q:l∥m.解:(1)若a+b=2,圆心(a,b)到直线x+y=0的距离d==r,∴直线与圆相切.反之,若直线与圆相切,则|a+b|=2,∴a+b=±2,故p是q的充分不必要条件.(2)若|x|=x,则x2+x=x2+|x|≥0成立.反之,若x2+x≥0,即x(x+1)≥0,则x≥0或x≤-1.当x≤-1时,|x|=-x≠x,因此,p是q的充分不必要条件.(3)∵l∥α无法得到l∥m,但l∥m,l⊄α,m⊂α⇒l∥α,∴p是q的必要不充分条件.14.求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.证明:必要性:若方程ax2+bx+c=0有一个根为1,则x=1满足方程ax2+bx+c=0,∴a+b+c=0.充分性:若a+b+c=0,则b=-a-c,∴ax2+bx+c=0可化为ax2-(a+c)x+c=0,∴(ax-c)(x-1)=0,∴当x=1时,ax2+bx+c=0,∴x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根.15.设函数f(x)=lg(x2-x-2)的定义域为集合A,函数g(x)=的定义域为集合B.已知α:x∈A∩B,β:x满足2x+p≤0,且α是β的充分条件,求实数p的取值范围.解:依题意,得A={x|x2-x-2>0}=(-∞,-1)∪(2,+∞),B==(0,3],所以A∩B=(2,3].设集合C={x|2x+p≤0},则x∈.因为α是β的充分条件,所以(A∩B)⊆C.则需满足3≤-⇒p≤-6.故实数p的取值范围是(-∞,-6].四、选做题1.(2013浙江高考)若α∈R,则“α=0”是“sinα<cosα”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:当α=0时,sinα<cosα成立;若sinα<cosα,α可取等值,所以“α=0”是“sinα<cosα”的充分不必要条件.故选A.2.已知下列四个命题:①a是正数;②b是负数;③a+b是负数;④ab是非正数.选择其中两个作为题设,一个作为结论,写出一个逆否命题是真命题的复合命题.答案:若a是正数且a+b是负数,则一定有b是负数解析:逆否命题为真命题,即原命题为真.a是正数且a+b是负数,则一定有b是负数.3.已知数列{a n}的前n项和S n=p n+q(p≠0且p≠1),求证:数列{a n}是等比数列的充要条件是p≠0,p≠1且q=-1.证明:先证充分性:当p≠0,p≠1,且q=-1时,S n=p n-1.∴S1=p-1,即a1=p-1.又n≥2时,a n=S n-S n-1,∴a n=(p-1)p n-1(n≥2).又n=1时也满足,∴a n=(p-1)·p n-1(n∈N+),∴{a n}是等比数列.再证必要性:当n=1时,a1=S1=p+q,当n≥2时,a n=S n-S n-1=(p-1)·p n-1.由于p≠0,p≠1,∴当n≥2时,{a n}是等比数列.要使{a n}(n∈N+)是等比数列,则=p,即(p-1)p=p(p+q),∴q=-1,即{a n}是等比数列的充要条件是p≠0且p≠1且q=-1.。

2018年高考数学总复习高考达标检测(二)命题及其关系充分条件与必要条件理

高考达标检测（二）命题及其关系充分条件与必要条件一、选择题1．(2017·菏泽一中模拟)命题“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是( )A ．若a 2＋b 2≠0，则a ≠0且b ≠0B ．若a 2＋b 2≠0，则a ≠0或b ≠0C ．若a ＝0且b ＝0，则a 2＋b 2≠0D ．若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0解析：选D 命题的逆否命题是条件和结论对调且都否定，注意“且”应换成“或”．2．在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( )A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真解析：选D 对于原命题：“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题：“若{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集非空时，可以有a >0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题．故选D.3．(2016·山西太原一模)“已知命题p ：cos α≠12，命题q ：α≠π3”，则命题p 是B ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件若α≠3，但α＝－3时，依然有cos α＝12，故q ⇒/p . 所以p 是q 的充分不必要条件．法二：綈p ：cos α＝12，綈q ：α＝π3，则有綈p ⇒/綈q ，綈q ⇒綈p ，即綈q 是綈p 的充分不必要条件，根据原命题与逆否命题的等价性，可得p 是q 的充分不必要条件．4．(2017·烟台诊断)若条件p ：|x |≤2，条件q ：x ≤a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，2]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2] 解析：选A p ：|x |≤2⇔－2≤x ≤2.因为p 是q 的充分不必要条件，所以[－2,2]⊆(－∞，a ]，即a ≥2.5．(2017·嘉兴质检)命题“对任意x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )A ．a ≥4B ．a >4C ．a ≥1D ．a >1 解析：选B 若“对任意x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题，则有a ≥(x 2)max ，其中x ∈[1,2]，所以a ≥4，命题成立的一个充分不必要条件即寻找[4，＋∞)的一个真子集即可，故选B.6．(2017·河南质量检测)设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“a ⊥b ”是“α⊥β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件D ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 因为α⊥β，b ⊥m ，所以b ⊥α，又直线a 在平面α内，所以a ⊥b ；但直线a ，m 不一定相交，所以“a ⊥b ”是“α⊥β”的必要不充分条件，故选B.7．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A 的补集C ＝ {(x ，y )|x ＝y }，B 的补集D ＝{(x ，y )|cos x ＝cos y }，显然CD ，所以B A .于是“x ≠y ”是 “cos x ≠cos y ”的必要不充分条件．8．(2017·南昌调研)下列说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题是“若x 2＝1，则x ≠1”B ．“x ＝－1”是“x 2－x －2＝0”的必要不充分条件C ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题是真命题D ．“tan x ＝1”是“x ＝π4”的充分不必要条件解析：选C 由原命题与否命题的关系知，原命题的否命题是“若x 2≠1，则x ≠1”，即A 不正确；因为x 2－x －2＝0，所以x ＝－1或x ＝2，所以由“x ＝－1”能推出“x 2－x －2＝0”，反之，由“x 2－x －2＝0”推不出“x ＝－1”，所以“x ＝－1”是“x 2－x －2＝0”的充分不必要条件，即B 不正确；因为由x ＝y 能推得sin x ＝sin y ，即原命题是真命题，所以它的逆否命题是真命题，故C 正确；由x ＝π4能推出tan x ＝1，但由tan x ＝1推不出x ＝π4，所以“tan x ＝1”是“x ＝π4”的必要不充分条件，即D 不正确．二、填空题9．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．解析：其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．答案：210．(2017·德州一中模拟)下列命题中为真命题的序号是________．①若x ≠0，则x ＋1x≥2； ②命题：若x 2＝1，则x ＝1或x ＝－1的逆否命题为：若x ≠1且x ≠－1，则x 2≠1； ③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件；④命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”．解析：当x <0时，x ＋1x≤－2，故①错误；根据逆否命题的定义可知，②正确；“a ＝±1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；根据否命题的定义知④正确．故填②④.答案：②④11．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．解析：A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2.答案：(2，＋∞)12．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，则“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的________条件．解析：∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，又S 4＝2S 2，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2(a 1＋a 2)，∴a 3＋a 4＝a 1＋a 2，∴q 2＝1⇔|q |＝1，∴“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的充要条件．答案：充要三、解答题13．写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：(1)逆命题：已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2<4b ，为真命题．(3)逆否命题：已知a ，b ∈R ，若a 2<4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，为真命题． 14．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪ y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，∴716≤y ≤2，故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.。

2018年高考数学文一轮复习资料专题02 命题及其关系、充分条件与必要条件教学案含解析

1.充分理解逻辑联结词的含义，注意和日常用语的区别；2.对量词的练习要在“含一个量词”框架内进行，不要随意加深；3.注意逻辑与其他知识的交汇．1．充分条件、必要条件与充要条件(1)“若p，则q”形式的命题为真时，记作p⇒q，称p是q的充分条件，q是p的充要条件．(2)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件．p是q的充要条件又常说成q当且仅当p，或p与q等价．2．命题的四种形式及真假关系互为逆否的两个命题等价(同真或同假)；互逆或互否的两个命题不等价．【特别提醒】等价命题和等价转化(1)逆命题与否命题互为逆否命题；(2)互为逆否命题的两个命题同真假；(3)当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假．高频考点一含有逻辑联结词的命题的真假判断例1、(1)已知命题p：m，n为直线，α为平面，若m∥n，n⊂α，则m∥α，命题q：若a>b，则ac>bc，则下列命题为真命题的是( )A ．p∨qB ．綈p∨qC ．綈p∧qD ．p∧q(2)已知命题p ：若x>y ，则－x<－y ；命题q ：若x>y ，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q 中，真命题是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 答案 (1)B (2)C【感悟提升】 “p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤： (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p 、q 的真假；(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．【变式探究】(1)已知命题p ：对任意x∈R，总有2x>0；q ：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( ) A ．p∧q B ．(綈p)∧(綈q) C ．(綈p)∧q D ．p∧(綈q)(2)若命题p ：关于x 的不等式ax ＋b>0的解集是{x|x>－b a }，命题q ：关于x 的不等式(x －a)(x－b)<0的解集是{x|a<x<b}，则在命题“p∧q”、“p∨q”、“綈p”、“綈q”中，是真命题的有________．答案 (1)D (2)綈p 、綈q解析 (1)p 为真命题，q 为假命题，故綈p 为假命题，綈q 为真命题．从而p∧q 为假，(綈p)∧(綈q)为假，(綈p)∧q 为假，p∧(綈q)为真，故选D.(2)依题意可知命题p 和q 都是假命题，所以“p∧q”为假、“p∨q”为假，“綈p”为真、“綈q”为真．高频考点二、全称命题、特称命题的真假例2、(1)下列命题中，为真命题的是( ) A ．∀x∈R，x2>0 B ．∀x∈R，－1<sinx<1 C ．∃x0∈R,02x <0 D ．∃x0∈R，tanx0＝2(2)下列四个命题p1：∃x0∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫120x <⎝ ⎛⎭⎪⎫130x ；p2：∃x0∈(0,1)，log12x0>log 13x0；p3：∀x∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>log 12x ； p4：∀x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x<log 13x. 其中真命题是( ) A ．p1，p3 B ．p1，p4 C ．p2，p3 D ．p2，p4 答案 (1)D (2)D【变式探究】(1)命题“存在实数x ，使x>1”的否定是( ) A ．对任意实数x ，都有x>1 B ．不存在实数x ，使x≤1 C ．对任意实数x ，都有x≤1 D ．存在实数x ，使x≤1(2)设x∈Z，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x∈A,2x∈B，则綈p 为：______________.答案 (1)C (2)∃x0∈A,2x0∉B解析 (1)利用特称命题的否定是全称命题求解，“存在实数x ，使x>1”的否定是“对任意实数x ，都有x≤1”．故选C.(2)命题p ：∀x∈A,2x∈B 是一个全称命题，其命题的否定应为特称命题． ∴綈p ：∃x0∈A,2x0∉B.【感悟提升】(1)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x ＝x0，使p(x0)成立．(2)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词． ②对原命题的结论进行否定．【举一反三】(1)下列命题中的真命题是( ) A ．∃x∈R ，使得sinx ＋cosx ＝32B ．∀x∈(0，＋∞)，ex>x ＋1C ．∃x∈(－∞，0)，2x<3xD ．∀x∈(0，π)，sinx>cosx(2)(2015·课标全国Ⅰ)设命题p ：∃n∈N，n2>2n ，则綈p 为( ) A ．∀n∈N，n2>2nB ．∃n∈N，n2≤2nC ．∀n∈N，n2≤2nD ．∃n∈N，n2＝2n 答案 (1)B (2)C高频考点三由命题的真假求参数的取值范围例3、已知p ：∃x∈R，mx2＋1≤0，q ：∀x∈R，x2＋mx ＋1>0，若p∨q 为假命题，则实数m 的取值范围为( )A ．m≥2B ．m≤－2C ．m≤－2或m≥2D ．－2≤m≤2答案 A【感悟提升】根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)； (2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围； (3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．【举一反三】(1)已知命题p ：“∀x∈，x2－a≥0”，命题q ：“∃x∈R，使x2＋2ax ＋2－a ＝0”，若命题“p 且q”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．{a|a≤－2或a ＝1} B ．{a|a≥1}C ．{a|a≤－2或1≤a≤2}D ．{a|－2≤a≤1}(2)命题“∃x∈R,2x2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围为________．答案 (1)A (2)解析 (1)∵“p 且q”为真命题，∴p、q 均为真命题， ∴p：a≤1，q ：a≤－2或a≥1， ∴a≤－2或a ＝1.(2)因题中的命题为假命题，则它的否定“∀x∈R,2x2－3ax ＋9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，因此只需Δ＝9a2－4×2×9≤0，即－22≤a≤2 2.1.【2015高考山东，文5】设m R ∈,命题“若0m >,则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题是( )（A ）若方程20x x m +-=有实根，则0m > (B) 若方程20x x m +-=有实根，则0m ≤ (C) 若方程20x x m +-=没有实根，则0m > (D) 若方程20x x m +-=没有实根，则0m ≤ 【答案】D【解析】一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，故选D. 2.【2015高考湖北，文3】命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（） A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-【答案】C.1．（2014·安徽卷）命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否．定是( ) A ．∀x ∈R ，|x |＋x 2<0 B ．∀x ∈R ，|x |＋x 2≤0 C ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0 D ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20≥0 【答案】C【解析】易知该命题的否定为“∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0”． 2．（2014·福建卷）命题“∀x ∈ 已知命题p ：x ∈，2x ＜3x；命题q ：x ∈，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )A ．p∧q B．⌝p∧q C．p∧⌝q D ．⌝p∧⌝q 【答案】B【解析】命题p 假、命题q 真，所以⌝p∧q 为真命题．7．（2013·重庆卷）命题“对任意x∈R ，都有x 2≥0”的否定为( ) A ．存在x 0∈R ，使得x 20<0 B ．对任意x∈R ，都有x 2<0 C ．存在x 0∈R ，使得x 20≥0 D ．不存在x∈R ，使得x 2<0【答案】A【解析】根据定义可知命题的否定为：存在x 0∈R ，使得x 20<0，故选A.1．已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( ) A ．(綈p)∨q B ．p∧qC ．(綈p)∧(綈q)D ．(綈p)∨(綈q) 【答案】 D【解析】不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而上述叙述中只有(綈p)∨(綈q)为真命题．2．已知命题p ，q ，“綈p 为真”是“p∧q 为假”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】 A【解析】由“綈p 为真”可得p 为假，故p∧q 为假；反之不成立．3．已知命题p ：“x>2是x2>4的充要条件”，命题q ：“若a c2>bc2，则a>b”，那么( )A ．“p 或q”为真B ．“p 且q”为真C ．p 真q 假D ．p ，q 均为假【答案】 A【解析】由已知得命题p 是假命题，命题q 是真命题，因此选A. 4．下列命题中的假命题是( )A ．∀x∈R,2x－1>0B ．∀x∈N*，(x －1)2>0C ．∃x0∈R，lgx0<1D ．∃x0∈R，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x0＋π4＝5 【答案】 B5．已知命题p：若a>1，则ax>logax恒成立；命题q：在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q是an ＋am＝ap＋aq的充分不必要条件(m，n，p，q∈N*)．则下面选项中真命题是( )A．(綈p)∧(綈q) B．(綈p)∨(綈q)C．p∨(綈q) D．p∧q【答案】 B【解析】当a＝1.1，x＝2时，ax＝1.12＝1.21，logax＝log1.12>log1.11.21＝2，6．命题p：∀x∈R，sinx<1；命题q：∃x∈R，cosx≤－1，则下列结论是真命题的是( ) A．p∧q B．(綈p)∧qC．p∨(綈q) D．(綈p)∧(綈q)答案 B解析p是假命题，q是真命题，所以B正确．7．已知命题p：所有指数函数都是单调函数，则綈p为( )A．所有的指数函数都不是单调函数B．所有的单调函数都不是指数函数C．存在一个指数函数，它不是单调函数D．存在一个单调函数，它不是指数函数答案 C解析命题p：所有指数函数都是单调函数，则綈p：存在一个指数函数，它不是单调函数.8．已知命题p：∃x0∈R，ex0－mx0＝0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1≥0，若p∨(綈q)为假命题，则实数m的取值范围是( )A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．C．R D．∅答案 B解析若p∨(綈q)为假命题，则p假q真．命题p为假命题时，有0≤m<e；命题q为真命题时，有Δ＝m2－4≤0，即－2≤m≤2.所以当p∨(綈q)为假命题时，m的取值范围是0≤m≤2. 9．命题“∃x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．答案∀x∈R，x2＋2x＋5≠0解析否定为全称命题：“∀x∈R，x2＋2x＋5≠0”．10．若命题“∃x0∈R，x20＋(a－1)x0＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析因为命题“∃x0∈R，x20＋(a－1)x0＋1<0”等价于x20＋(a－1)x0＋1＝0有两个不等的实根，所以Δ＝(a－1)2－4>0，即a2－2a－3>0，解得a<－1或a>3.11．已知命题p：x2＋2x－3>0；命题q：13－x>1，若“綈q∧p”为真，则x的取值范围是________．答案(－∞，－3)∪(1,2]∪解析若綈p是假命题，则p是真命题，即关于x的方程4x－2·2x＋m＝0有实数解，由于m＝－(4x－2·2x)＝－(2x－1)2＋1≤1，∴m≤1.17．设p：方程x2＋2mx＋1＝0有两个不相等的正根；q：方程x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0无实根．则使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值范围是________．答案(－∞，－2]∪[－1,3)18．已知f(x)＝m(x －2m)(x ＋m ＋3)，g(x)＝2x －2.若同时满足条件： ①∀x∈R，f(x)<0或g(x)<0； ②∃x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0，则m 的取值范围是________．答案 (－4，－2)解析当x≥1时，g(x)≥0，∴要满足条件①，则f(x)<0在x≥1时恒成立，f(x)＝m(x －2m)(x ＋m ＋3)为二次函数，抛物线必须开口向下，即m<0.f(x)＝0的两根x1＝2m ，x2＝－m －3，且x1－x2＝3m ＋3.(ⅰ)当x1>x2，即－1<m<0时，必须大根x1＝2m<1，即m<12.∴此时－1<m<0；(ⅱ)当x1<x2，即m<－1时，大根x2＝－m －3<1，即m>－4.∴此时－4<m<－1； (ⅲ)当x1＝x2，即m ＝－1时，x1＝x2＝－2<1也满足条件． ∴满足条件①的m 的取值范围为－4<m<0.满足条件②∃x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0，必须满足二次函数的小根小于－4.(ⅰ)当m>－1时，小根x2＝－m－3<－4且m<0，无解．(ⅱ)当m<－1时，小根x1＝2m<－4且m<0，解得m<－2. (ⅲ)当m＝－1时，f(x)＝－(x＋2)2≤0恒成立，∴不满足②.∴满足①②的m的取值范围是－4<m<－2.。

高考数学总复习课时作业2 命题及其关系、充分条件与

课时作业(二) 命题及其关系、充分条件与必要条件A 级1．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4 2．下列说法中正确的是( )A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a ＞b ”与“a ＋c ＞b ＋c ”不等价C ．“a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则a 2＋b 2≠0”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真3．有下列命题：①两组对应边相等的三角形是全等三角形； ②“若xy ＝0，则|x |＋|y |＝0”的逆命题；③“若a ＞b ，则2x ·a ＞2x ·b ”的否命题；④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题．其中真命题共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b |b |成立的充分条件是( ) A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b | 5．命题“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤56．e 1、e 2是不共线的两个向量，a ＝e 1＋k e 2，b ＝k e 1＋e 2，则a ∥b 的充要条件是实数k ＝________.7．在命题“若m >－n ，则m 2>n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．8．有三个命题：(1)“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；(2)“若a >b ，则a 2>b 2”的逆否命题；(3)“若x ≤－3，则x 2＋x －6>0”的否命题．其中真命题的个数为________．9．a <0是方程ax 2＋1＝0有一个负数根的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”)10．已知命题p ：“若ac ≥0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”．(1)写出命题p 的否命题．(2)判断命题p 的否命题的真假，并证明你的结论．11．指出下列命题中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC 中，p ：∠A ＝∠B ，q ：sin A ＝sin B ；(2)非空集合A 、B 中，p ：x ∈A ∪B ，q ：x ∈B ；(3)已知x 、y ∈R ，p ：(x －1)2＋(y －2)2＝0，q ：(x －1)(y －2)＝0.B 级1．下列命题：①“若a 21，则ax 2－2ax ＋a ＋3>0的解集为R ”的逆否命题；④“若3x (x ≠0)为有理数，则x 为无理数”的逆否命题．其中正确的命题是( )A ．③④B ．①③C ．①②D ．②④ 2．若命题“ax 2－2ax －3＞0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．3．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．答案：课时作业(二)A 级1．C 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”． 2．D 否命题和逆命题是互为逆否命题，有着一致的真假性．3．B ①是假命题，②是真命题，③是真命题，④是假命题．4．C 因为a |a |＝b |b |，则向量a |a |与b |b |是方向相同的单位向量，所以a 与b 共线同向，即使a |a |＝b |b |成立的充分条件为选项C. 5．C 原命题等价于“a ≥x 2对于任意x ∈[1,2]恒成立”，其充要条件是a ≥4，所以C 正确．6．解析： a ＝λb ，⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝kλk ＝λ⇒k 2＝1⇒k ＝±1. 答案： ±17．解析：原命题为假命题，逆否命题也为假命题，逆命题也是假命题，否命题也是假命题．故假命题个数为3.答案： 38．解析：命题(1)为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”是真命题；因为命题“若a >b ，则a 2>b 2”是假命题，故命题(2)是假命题；命题(3)为“若x >－3，则x 2＋x －6≤0”，因为x 2＋x －6≤0⇔－3≤x ≤2，故命题(3)是假命题，综上知真命题只有1个．答案： 19．解析：当a <0时，由ax 2＋1＝0得x 2＝－1a>0，故方程ax 2＋1＝0有一个负数根；若方程ax 2＋1＝0有一个负数根，则x 2＝－1a>0，∴a <0，从而a <0是方程ax 2＋1＝0有一个负数根的充要条件．答案：充分必要10．解析： (1)否命题：“若ac <0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根”．(2)命题p 的否命题为真命题，证明如下：∵ac <0，∴－ac >0⇒Δ＝b 2－4ac >0⇒二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根．11．解析： (1)在△ABC 中，∠A ＝∠B ⇒sin A ＝sin B ，反之，若sin A ＝sin B ，因为A 与B 不可能互补(因为三角形三个内角和为180°)，所以只有A ＝B .故p 是q 的充要条件．(2)显然x ∈A ∪B 不一定有x ∈B ，但x ∈B 一定有x ∈A ∪B ，所以p 是q 的必要不充分条件．(3)条件p ：x ＝1且y ＝2，条件q ：x ＝1或y ＝2，所以p ⇒q 但q ⇒/ p ，故p 是q 的充分不必要条件．B 级1．A 对于①，否命题为“若a 2≥b 2，则a ≥b ”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于③，当a >1时，Δ＝－12a <0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确，故选A.2．解析： ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a ＜0，故－3≤a ≤0.答案： [－3,0]3．解析： y ＝x 2－32x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，∴716≤y ≤2，∴A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ 716≤y ≤2，由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}，∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.。

高三数学一轮复习课时作业18：第2节命题及其关系、充分条件与必要条件

第2节命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1.(2018·河南八市联考)命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是()A.若a≤b，则a＋c≤b＋cB.若a＋c≤b＋c，则a≤bC.若a＋c>b＋c，则a>bD.若a>b，则a＋c≤b＋c解析将条件、结论都否定.命题的否命题是“若a≤b，则a＋c≤b＋c”.答案 A2.函数f(x)在x＝x0处导数存在.若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则()A.p是q的充分必要条件B.p是q的充分条件，但不是q的必要条件C.p是q的必要条件，但不是q的充分条件D.p既不是q的充分要件，也不是q的必要条件解析由极值的定义，q⇒p，但p q.例如f(x)＝x3，在x＝0处f′(0)＝0，f(x)＝x3是增函数，x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点.因此p是q的必要不充分条件.答案 C3.(2016·山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面.因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.答案 A4.下列结论错误的是()A.命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”B.“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件C.命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题D.命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”解析C项命题的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0”.若方程有实根，则Δ＝1＋4m≥0，即m≥－1，不能推出m>0.所以不是真命题.4答案 C5.(2018·东北三省四校模拟)原命题：设a，b，c∈R，若“a>b”，则“ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有()A.0个B.1个C.2个D.4个解析原命题：若c＝0，则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题为设a，b，c∈R，若“ac2>bc2”，则“a>b”.由ac2>bc2知c2>0，∴由不等式的基本性质得a>b，∴逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，∴真命题共有2个.答案 C6.(2018·广东省际名校联考)王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析“不破楼兰终不还”的逆否命题为：“若返回家乡，则攻破楼兰”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.答案 B7.已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是()A.『1，＋∞)B.(－∞，1』C.『－1，＋∞)D.(－∞，－3』解析由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.故a≥1.答案 A8.(2018·佛山模拟)已知a，b都是实数，那么“a>b”是“ln a>ln b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由ln a>ln b⇒a>b>0⇒a>b，故必要性成立.当a＝1，b＝0时，满足a>b，但ln b无意义，所以ln a>ln b不成立，故充分性不成立.答案 B二、填空题9.“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的________条件.解析cos 2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0，即cos α＝±sin α.由cos α＝sin α得到cos 2α＝0；反之不成立.∴“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件.答案充分不必要10.有下列几个命题：①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题.其中真命题的序号是________.解析①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，错误.②原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，正确.③原命题的逆否命题为“若x≥2或x ≤－2，则x 2≥4”，正确.答案 ②③11.(2018·湖南十校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n ＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }为等比数列”的________条件.解析若A ＝B ＝0，则S n ＝0，数列{a n }不是等比数列.如果{a n }是等比数列，由a 1＝S 1＝Aq ＋B 得a 2＝S 2－a 1＝Aq 2－Aq ，a 3＝S 3－S 2＝Aq 3－Aq 2，∴a 1a 3＝a 22，从而可得A ＝－B ，故“A ＝－B ”是“数列{a n }为等比数列”的必要不充分条件.答案必要不充分12.已知命题p ：a ≤x ≤a ＋1，命题q ：x 2－4x <0，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________.解析令M ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，N ＝{x |x 2－4x <0}＝{x |0<x <4}.∵p 是q 的充分不必要条件，∴MN ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ＋1<4，解得0<a <3. 答案 (0，3)能力提升题组(建议用时：10分钟)13.设p ：实数x ，y 满足x >1且y >1，q ：实数x ，y 满足x ＋y >2，则p 是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若x >1且y >1，则x ＋y >2.所以p ⇒q ；反之x ＋y >2x >1且y ＝1，例如x ＝3，y ＝0，所以q p .因此p是q的充分不必要条件.答案 A14.(2018·昆明诊断)下列选项中，说法正确的是()A.若a>b>0，则ln a<ln bB.向量a＝(1，m)，b＝(m，2m－1)(m∈R)垂直的充要条件是m＝1C.命题“∀n∈N*，3n>(n＋2)·2n－1”的否定是“∀n∈N*，3n≥(n＋2)·2n－1”D.已知函数f(x)在区间『a，b』上的图象是连续不断的，则命题“若f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点”的逆命题为假命题解析∵函数y＝ln x(x>0)是增函数，∴若a>b>0，则ln a>ln b，故A错误；若a⊥b，则m＋m(2m－1)＝0，解得m＝0，故B错误；命题“∀n∈N*，3n>(n＋2)·2n－1”的否定是“∃n∈N*，3n≤(n＋2)·2n－1”，故C错误；命题“若f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点”的逆命题“若f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，则f(a)·f(b)<0”是假命题，如函数f(x)＝x2－2x－3在区间『－2，4』上的图象连续不断，且在区间(－2，4)内有两个零点，但f(－2)·f(4)>0，D正确.答案 D15.直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.解析直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点等价于|1－0－k|2<2，解之得－1<k<3.答案(－1，3)16.(2018·山西五校联考)已知p：(x－m)2>3(x－m)是q：x2＋3x－4<0的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________.解析p对应的集合A＝{x|x<m或x>m＋3}，q对应的集合B＝{x|－4<x<1}.由p是q的必要不充分条件可知B A，∴m≥1或m＋3≤－4，即m≥1或m≤－7.答案(－∞，－7』∪『1，＋∞)。

高考数学(文科)总复习课时跟踪练：(二)命题及其关系、充分条件与必要条件 Word版含解析

课时跟踪练(二)A组基础巩固1．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0解析：根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．答案：D2．(2018·天津卷)设x∈R则“x3>8”是“|x|>2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由x3>8⇒x>2⇒|x|>2，反之不成立，故“x3>8”是“|x|>2”的充分不必要条件．故选A.答案：A3．(2019·济南外国语中学月考)设a>b，a，b，c∈R，则下列命题为真命题的是()A ．ac 2>bc 2B.a b >1 C ．a －c >b －c D ．a 2>b 2解析：对于选项A ，a >b ，若c ＝0，则ac 2＝bc 2，故A 错；对于选项B ，a >b ，若a >0，b <0，则a b<1，故B 错；对于选项C ，a >b ，则a －c >b －c ，故C 正确；对于选项D ，a >b ，若a ，b 均小于0，则a 2－1}，B ＝{x |x ≥1}，则“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是( )A ．－1<x ≤1B ．x ≤1C ．x >－1D ．－1<x <1解析：因为集合A ＝{x |x >－1}，B ＝{x |x ≥1}，又因为“x ∈A 且x ∉B ”，所以－1<x <1；又当－1<x <1时，满足x ∈A 且x ∉B ，所以“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是“－1<x <1”．答案：D5．(2019·焦作模拟)设θ∈R ，则“cos θ＝22”是“tan θ＝1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由cos θ＝22，得θ＝±π4＋k π，k ∈Z ，由tan θ＝1，得θ＝π4＋k π，k ∈Z ，所以“cos θ＝22”是“tan θ＝1”的既不充分也不必要条件．答案：D6．原命题：设a、b、c∈R，若“a＞b”，则“ac2＞bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有()A．0个B．1个C．2个D．4个解析：原命题：若c＝0，则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题为设a，b，c∈R，若“ac2＞bc2”，则“a ＞b”．由ac2＞bc2知c2＞0，所以由不等式的基本性质得a＞b，所以逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，所以真命题共有2个，故选C.答案：C7．已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则¬p是¬q 的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由5x－6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3.所以q⇒p，p q，所以¬p⇒¬q，¬q¬p，所以¬p是¬q的充分不必要条件．答案：A8．下列结论错误的是()A．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”B．“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”解析：C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，所以不是真命题．答案：C9．(2019·广东省际名校联考)王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的________条件．解析：“不破楼兰终不还”的逆否命题为“若返回家乡，则攻破楼兰”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件．答案：必要10．直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同交点的充要条件是________．解析：直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同交点等价于|1－0－k |2<2，解得－1<k <3. 答案：－1<k <311．有下列几个命题：①“若a ＞b ，则a 2＞b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2＜4，则－2＜x ＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”，错误． ②原命题的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”正确． ③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”，正确．答案：②③12．(2019·湖南师大附中月考)设p ：ln(2x －1)≤0，q ：(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：由p 得：12<x ≤1，由q 得：a ≤x ≤a ＋1，因为q 是p 的必要不充分条件，所以a ≤12且a ＋1≥1，所以0≤a ≤12. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 B 组素养提升13．[一题多解](2017·浙江卷)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：法一因为数列{a n }是公差为d 的等差数列，所以S 4＝4a 1＋6d ，S 5＝5a 1＋10d ，S 6＝6a 1＋15d ，所以S 4＋S 6＝10a 1＋21d ，2S 5＝10a 1＋20d .若d >0，则21d >20d ，10a 1＋21d >10a 1＋20d ，即S 4＋S 6>2S 5.若S 4＋S 6>2S 5，则10a 1＋21d >10a 1＋20d ，即21d >20d ，所以d >0.所以“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的充分必要条件．故选C.法二因为S4＋S6>2S5⇔S4＋S4＋a5＋a6>2(S4＋a5)⇔a6>a5⇔a5＋d>a5⇔d>0，所以“d>0”是“S4＋S6>2S5”的充分必要条件．故选C.答案：C14．(2019·河南高考适应性考试)下列说法中，正确的是()A．命题“若am2<bm2，则a<b”的逆命题是真命题B．命题“∃x0∈R，x20－x0>0”的否定是“∀x∈R，x2－x≤0”C．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．已知x∈R，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件解析：选项A的逆命题为“若a<b，则am2<bm2”，当m＝0时，不成立，所以是假命题；易知选项B正确；对于选项C，命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”至少有一个是真命题，所以是假命题；对于选项D，“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，所以是假命题．答案：B15．(2019·天津六校联考)“a＝1”是函数f(x)＝e xa－ae x是奇函数的________条件．解析：当a＝1时，f(－x)＝－f(x)(x∈R)，则f(x)是奇函数，充分性成立．若f(x)为奇函数，恒有f(－x)＝－f(x)，得(1－a2)(e2x＋1)＝0，则a＝±1，必要性不成立．故“a＝1”是“函数f(x)＝e xa－ae x是奇函数”的充分不必要条件．答案：充分不必要16．(2019·江西新课程教学质量监测)已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：x －a x －a －1>0，且¬q 的一个必要不充分条件是¬p ，则a 的取值范围是________．解析：由x 2＋2x －3>0得x <－3或x >1.则¬p ：－3≤x ≤1.命题q ：x >a ＋1或x <a ，则¬q ：a ≤x ≤a ＋1.依题意¬q 是¬p 的充分不必要条件．则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－3，a ＋1≤1.解得－3≤a ≤0. 答案：[－3，0]。

2018北师大版文科数学高考总复习教师用书：1-2命题及其关系含答案

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件最新考纲1。

理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2。

理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．知识梳理1．四种命题及其相互关系(1）四种命题间的相互关系（2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题时,它们的真假性没有关系．2．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q ⇒/ pp是q的必要不充分条件p⇒/ q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒/ q且q⇒/ p诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”）精彩PPT展示(1)“x2＋2x－3〈0"是命题．（）（2)命题“若p,则q”的否命题是“若p，则綈q”．( ）（3）当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )(4）“若p不成立，则q不成立"等价于“若q成立，则p成立”．（）解析（1)错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的．(2）错误．否命题既否定条件，又否定结论．答案(1）×(2）×（3)√(4）√2。

(教材改编）命题“若α＝错误!，则tan α＝1”的逆否命题是（）A．若α≠错误!，则tan α≠1 B．若α＝错误!，则tan α≠1C．若tan α≠1，则α≠错误!D．若tan α≠1，则α＝错误!解析命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，显然綈q：tan α≠1，綈p：α≠错误!,所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠错误!”．答案C3．（2016·天津卷）设x〉0，y∈R，则“x>y"是“x>|y｜"的( ）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析x〉y x>｜y|(如x＝1，y＝－2）．但x>｜y｜时，能有x〉y。

高中数学课时作业：命题及其关系、充分条件与必要条件

课时作业2 命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1．命题“若xy ＝0,则x ＝0”的逆否命题是( D )A ．若xy ＝0,则x ≠0B ．若xy ≠0,则x ≠0C ．若xy ≠0,则y ≠0D ．若x ≠0,则xy ≠0解析:“若xy ＝0,则x ＝0”的逆否命题为“若x ≠0,则xy ≠0”．2．命题“若△ABC 有一内角为π3,则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( D )A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题解析:原命题显然为真,原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列,则△ABC 有一内角为π3”,它是真命题．3．在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下,则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( D )A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真解析:对于原命题:“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下,则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”,这是一个真命题,所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题:“若{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅,则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下”是一个假命题,因为当不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集非空时,可以有a >0,即抛物线的开口可以向上,因此否命题也是假命题．故选D.4．已知p :－1<x <2,q :log 2x <1,则p 是q 成立的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件解析:由log 2x <1,解得0<x <2,所以－1<x <2是log 2x <1的必要不充分条件,故选B.5．(郑州质量预测)下列说法正确的是( D )A ．“若a >1,则a 2>1”的否命题是“若a >1,则a 2≤1”B ．“若am 2<bm 2,则a 4 x 0成立D ．“若sin α≠12,则α≠π6”是真命题解析:对于选项A,“若a >1,则a 2>1”的否命题是“若a ≤1,则a 2≤1”,故选项A 错误；对于选项B,“若am 2<bm 2,则a 3x ,故选项C 错误；对于选项D,“若sin α≠12,则α≠π6”的逆否命题为“若α＝π6,则sin α＝12”,且其逆否命题为真命题,所以原命题为真命题,故选D.6．一次函数y ＝－m n x ＋1n 的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( B )A ．m >1,且n <1B ．mn <0C ．m >0,且n <0D ．m <0,且n <0解析:因为y ＝－m n x ＋1n 的图象经过第一、三、四象限,故－m n >0,1n <0,即m >0,n <0,但此为充要条件,因此,其必要不充分条件为mn <0.7．“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( C )A ．m >14B ．0<m <1C ．m >0D ．m >1 解析:不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立⇔Δ<0,即1－4m <0,∴m >14,同时要满足“必要不充分”,在选项中只有“m >0”符合．故选C.8．(洛阳市高三统考)已知圆C :(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0),设p :0<r ≤3,q :圆上至多有两个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1,则p 是q 的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析:对于q ,圆(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)上至多有两个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1,又圆心(1,0)到直线的距离d ＝|1－3×0＋3|2＝2,则r <2＋1＝3,所以0<r <3,又p :0<r ≤3,所以p 是q 的必要不充分条件,故选B.二、填空题9．“在△ABC 中,若∠C ＝90°,则∠A ,∠B 都是锐角”的否命题为:在△ABC 中,若∠C ≠90°,则∠A ,∠B 不都是锐角．解析:原命题的条件:在△ABC 中,∠C ＝90°,结论:∠A ,∠B 都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC 中,若∠C ≠90°,则∠A ,∠B 不都是锐角”．10．(山西太原联考)已知a ,b 都是实数,那么“2a >2b ”是“a 2>b 2”的既不充分也不必要条件．解析:充分性:若2a >2b ,则2a －b >1,∴a －b >0,∴a >b .当a ＝－1,b ＝－2时,满足2a >2b ,但a 22b 不能得出a 2>b 2,因此充分性不成立．必要性:若a 2>b 2,则|a |>|b |.当a ＝－2,b ＝1时,满足a 2>b 2,但2－2<21,即2a <2b ,故必要性不成立．综上,“2a >2b ”是“a 2>b 2”的既不充分也不必要条件．11．已知命题p :a ≤x ≤a ＋1,命题q :x 2－4x <0,若p 是q 的充分不必要条件,则a 的取值范围是(0,3)．解析:令M ＝{x |a ≤x ≤a ＋1},N ＝{x |x 2－4x <0}＝{x |0<x <4}．∵p 是q 的充分不必要条件,∴MN ,∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ＋1<4，解得0<a <3.12．下列命题中为真命题的序号是②④.①若x ≠0,则x ＋1x ≥2；②命题:若x 2＝1,则x ＝1或x ＝－1的逆否命题为:若x ≠1且x ≠－1,则x 2≠1； ③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件； ④命题“若x <－1,则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x ≥－1,则x 2－2x －3≤0”．解析:当x <0时,x ＋1x ≤－2,故①是假命题；根据逆否命题的定义可知,②是真命题；“a ＝±1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件,故③是假命题；根据否命题的定义知④是真命题．13．已知m ,n 为两个非零向量,则“m 与n 共线”是“m ·n ＝|m ·n |”的( D )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析:当m 与n 反向时,m ·n <0,而|m ·n |>0,故充分性不成立．若m ·n ＝|m ·n |,则m ·n ＝|m |·|n |cos 〈m ,n 〉＝|m |·|n |·|cos 〈m ,n 〉|,则cos 〈m ,n 〉＝|cos 〈m ,n 〉|,故cos 〈m ,n 〉≥0,即0°≤〈m ,n 〉≤90°,此时m 与n 不一定共线,即必要性不成立．故“m 与n 共线”是“m ·n ＝|m ·n |”的既不充分也不必要条件,故选D.14．设命题p :|4x －3|≤1；命题q :x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. 解析:由|4x －3|≤1,得12≤x ≤1；由x 2－(2a ＋1)·x ＋a (a ＋1)≤0,得a ≤x ≤a ＋1.∵綈p 是綈q 的必要不充分条件,∴q 是p 的必要不充分条件,∴p 是q 的充分不必要条件．∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1[a ,a ＋1]．∴a ≤12,且a ＋1≥1,两个等号不能同时成立,解得0≤a ≤12.∴实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. 尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．定义在R 上的可导函数f (x ),其导函数为f ′(x ),则“f ′(x )为偶函数”是“f (x )为奇函数”的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析:∵f (x )为奇函数,∴f (－x )＝－f (x )．∴[f (－x )]′＝[－f (x )]′,∴f ′(－x )·(－x )′＝－f ′(x ),∴f ′(－x )＝f ′(x ),即f ′(x )为偶函数；反之,若f ′(x )为偶函数,如f ′(x )＝3x 2,f (x )＝x 3＋1满足条件,但f (x )不是奇函数,所以“f ′(x )为偶函数”是“f (x )为奇函数”的必要不充分条件．故选B.16．已知p :实数m 满足m 2＋12a 2<7am (a >0),q :方程x 2m －1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆．若p 是q 的充分不必要条件,则a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，38. 解析:由a >0,m 2－7am ＋12a 2<0,得3a <m <4a ,即p :3a <m <4a ,a >0.由方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆,可得2－m >m －1>0,解得1<m <32,即q :1<m <32.因为p 是q 的充分不必要条件,所以⎩⎨⎧3a >1，4a ≤32或⎩⎨⎧ 3a ≥1，4a <32，解得13≤a ≤38,所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，38.。

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答案：B
2．(2016·四川卷)设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：∵∴x＋y>2，即p⇒q.
而当x＝0，y＝3时，有x＋y＝3>2，但不满足x>1且y>1，即q p．故p是q的充分不必要条件．
反之，当f(x)＝sinx－＋a为奇函数时，
f(－x)＋f(x)＝0，
又f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－＋a＋sinx－＋a＝2a，故a＝0，
所以“a＝0”是“函数f(x)＝sinx－＋a为奇函数”的充要条件，故选C.
答案：C
4．(2017·安徽江淮十校第一次联考，2)已知a>0，b>0，且a≠1，则“logab>0”是“(a－1)(b－1)>0”的()
∴B＝{x|x≥1－m2}．
∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，
∴A⊆B，∴1－m2≤，
解得m≥或m≤－，
故实数m的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞).
gt;0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．
11．已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．
解析：y＝x2－x＋1＝x－2＋，
∵x∈，∴≤y≤2，
∴A＝.
由x＋m2≥1，得x≥1－m2，
C．a≥1 D．a>1
解析：要使“对任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题，只需要a≥4，∴a>4是命题为真的充分不必要条件．
答案：B
二、填空题
7．在命题“若m>－n，则m2>n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．
解析：原命题为假命题，逆否命题也为假命题，逆命题也是假命题，否命题也是假命题．故假命题个数为3.
课时作业
一、选择题
1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
解析：依题意得，原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”．
答案：3
8．(2015·山东卷)若“∀x∈，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
解析：由题意，原命题等价于tanx≤m在区间上恒成立，即y＝tanx在上的最大值小于或等于m，又y＝tanx在上的最大值为1，所以m≥1，即m的最小值为1.
答案：1
9．已知p：(x＋1)(2－x)<0，q：x≥k，如果p是q的必要不充分条件，则实数k的取值范围是________．
解析：由p：(x＋1)(2－x)<0，得x<－1或x>2，又p是q的必要不充分条件，
所以k>2，即实数k的取值范围是k>2.
答案：k>2
三、解答题
10．已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．
(1)写出命题p的否命题；
(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论．
解析：(1)否命题：“若ac<0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”．
答案：C
5．若x>5是x>a的充分条件，则实数a的取值范围为()
A．a>5 B．a≥5
C．a<5 D．a≤5
解析：由x>5是x>a的充分条件知，
{x|x>5}⊆{x|x>a}．
∴a≤5，故选D.
答案：D
6．命题“对任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是()
A．a≥4 B．a>4
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：a>0，b>0且a≠1，若logab>0，则a>1，b>1或0<a<1,0<b<1，∴(a－1)(b－1)>0；若(a－1)(b－1)>0，则或则a>1，b>1或0<a<1,0<b<1，∴logab>0，∴“logab>0”是“(a－1)(b－1)>0”的充分必要条件．
答案：A
3．“a＝0”是“函数f(x)＝sinx－＋a为奇函数”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，当a＝0时，f(x)＝sinx－，f(－x)＝sin(－x)－＝－sinx＋＝－(sinx－)＝－f(x)，故f(x)为奇函数；