联考数学试卷[1]
管理类专业学位联考综合能力数学算术-试卷1_真题(含答案与解析)-交互
管理类专业学位联考综合能力数学（算术）-试卷1(总分74, 做题时间90分钟)1. 问题求解1.若是x，y有理数，且满足，则x，y的值分别为( )．SSS_SINGLE_SELA 1，3B 一1，2C 一1，3D 1，2E 以上结论都不正确该问题分值: 2答案:C解析：将原方程整理，可得2.设x，y是有理数，且，则x 2 +y 2 =( )．SSS_SINGLE_SELA 2B 3C 4D 5E 6该问题分值: 2答案:D解析：3.已知a为无理数，(a一1)(a+2)为有理数，则下列说法正确的是( )．SSS_SINGLE_SELAa 2为有理数B (a+1)(a+2)为无理数C(a一5) 2为有理数D(a+5) 2为有理数E 以上都不对答案:B解析：(a一1)(a+2)=a 2 +a一2为有理数，故a 2 +a为有理数，故a 2为无理数，排除A项． B项中，(a+1)(a+2)=a 2 +3a+2=a 2 +a+2a+2，a为无理数，则2a+2为无理数，又因为a 2 +a为有理数，故(a+1)(a+2)为无理数，B项正确．同理，可知，C，D两项均为无理数．4.设a是一个无理数，且a，b满足ab+a一b=1，则b=( )．SSS_SINGLE_SELA 0B 1C 一1D ±1E 1或0该问题分值: 2答案:C解析：ab+a一b=1,a(b+1)一(b+1)=0,(a一1)(b+1)=0，因为a是一个无理数，故a一1也是无理数，故b+1=0，b=一1．5.已知m，n是有理数，且，则m+n=( )．SSS_SINGLE_SELA 一4B 一3C 4D 1E 3该问题分值: 2答案:B解析：解得m=一2，n=一1，则m+n=一3．6.已知a，b为有理数，若，则1998a+1999b为( )．SSS_SINGLE_SELA 0B 1C 一1D 2 000E 一2000答案:E解析：得a=1，b=一2．故1998a+1 999b=一2 000．7.设整数a，m，n满足，则a+m+n的取值有( )种．SSS_SINGLE_SELA 0B 1C 2D 3E 无数种该问题分值: 2答案:C解析：根据原方程左边大于等于0，可知m≥n，两边平方，得故有故a+m+n的取值有2种．8.SSS_SINGLE_SELABCDE该问题分值: 2答案:A解析：9.已知,则x 2 -xy+y 2 =( )SSS_SINGLE_SELA 1B 一1CDE 97答案:E解析：由题意可得故x 2一xy+y 2 =(x+y) 2一3xy=10 2一3=97．10.已知则f(8)=( )．SSS_SINGLE_SELABCDE该问题分值: 2答案:E解析：裂项相消法．11.SSS_SINGLE_SELA 一1999B 一1998C 2000D 1999E 1998该问题分值: 2答案:E解析：分母有理化．12.(1+2)(1+2 2 )(1+2 4 )(1+2 8)…(1+2 32 )=( )．SSS_SINGLE_SELA2 64 -1B2 64 +1C2 64D 1E 以上都不对答案:A解析：凑平方差公式法．13.SSS_SINGLE_SELABCDE该问题分值: 2答案:A解析：换元法．14.SSS_SINGLE_SELA 2 007B 2 008C 2 009D 2 010E 2 011该问题分值: 2答案:D解析：裂项相消法．15.8+88+888+…+888 888 888=( )．SSS_SINGLE_SELABCDE该问题分值: 2答案:A解析：利用9+99+999+9 999+…=10 1一1+10 2一1+10 3一1+10 4一1+…解题．原式可化为16.SSS_SINGLE_SELABCDE该问题分值: 2答案:B解析：裂项相消法．17.SSS_SINGLE_SELABCDE该问题分值: 2答案:B解析：裂项相消法．18.SSS_SINGLE_SELABCDE该问题分值: 2答案:B解析：裂项相消法．19.SSS_SINGLE_SELABCDE该问题分值: 2答案:E解析：分子分母相消法．20.SSS_SINGLE_SELABCDE该问题分值: 2答案:B解析：提公因式法．21.SSS_SINGLE_SELABCDE该问题分值: 2答案:D解析：裂项相消法．22.对于一个不小于2的自然数n ，关于x 的一元二次方程x 2 一(n+2)x-2n 2 =0的两个根记作a n ，b n (n≥2)，则=( )SSS_SINGLE_SELA BCDE该问题分值: 2 答案:E解析：韦达定理、裂项相消法． 由韦达定理，知a n +b n =n+2，a n b n =-2n2，故23.SSS_SINGLE_SELA 10B 11C 12D 13E 15该问题分值: 2 答案:C解析：分母有理化． 24.已知a 1 ，a 2 ，a 3 ，…，a 1996 ，a 1997 均为正数，又M=(a 1 +a 2 +…+a 1996 )(a 2 +a 3 +…+a 1997 )，N=(a 1 +a 2 +…+a 1997 )(a 2 +a 3 +…+a 1996 )，则M 与N 的大小关系是( )．SSS_SINGLE_SELA M=NB M ＜NC M ＞ND M≥NE M≤N该问题分值: 2 答案:C解析：换元法． 令a 2 +a 3 +…+a 1996 =t ，则 M —N=(a 1 +t)(t+a 1997 )一(a 1 +t+a 1997 )t=a 1 a 1997 ＞0，故M ＞N ．25.有一个非零的自然数，当乘以由于误乘了2．126，使答案差1．4，则此自然数等于( )．SSS_SINGLE_SELA 11100B 11 010C 10 110D 10 100E 11 000该问题分值: 2答案:A解析：设此自然数为a，根据题意有一2．126a=1．4，即，化为分数为解得a=11 100．26.设a＞0＞b＞c，a+b+c=1，则M，N，P之间的关系是( )．SSS_SINGLE_SELA P＞M＞NB M＞N＞PC N＞P＞MD M＞P＞NE 以上答案均不正确该问题分值: 2答案:D解析：因为a＞0＞b＞c，则N+1＜P+1＜M+1，即N＜P＜M．27.若a，b为有理数，a＞0，b＜0且|a|＜|b|，那么a，b，一a，一b的大小关系是( )．SSS_SINGLE_SELA b＜—b＜一a＜aB b＜-a＜一b＜aC b＜-a＜a＜-bD 一a＜一b＜b＜aE 以上答案均不正确该问题分值: 2答案:C解析：特殊值法．设a=1，b=-2，则一a=一1，-b=2，因为-2＜-1＜1＜2，所以b＜-a＜＜a＜一b．28.已知0＜x＜1，那么在中，最大的数是( )．SSS_SINGLE_SELA xBCDx 2E 无法确定该问题分值: 2答案:B解析：特殊值法，令2. 条件充分性判断A.条件(1)充分，但条件(2)不充分B.条件(2)充分，但条件(1)不充分C.条件(1)和(2)单独都不充分，但条件(1)和条件(2)联合起来充分D.条件(1)充分，条件(2)也充分E.条件(1)和(2)单独都不充分，两个条件联合起来也不充分SSS_SINGLE_SEL1.m为偶数． (1)设n为整数，m=n 2 +n． (2)在1，2，3，4，…，90这些自然数中的相邻两数之间任意添加一个加号或减号，运算结果为m.ABCDE该问题分值: 2答案:A解析：条件(1)：m=n 2 +n=n(n+1)，相邻两个数必为一奇一偶，且相乘必为偶，充分．条件(2)：1，2，3，4，…，90中有45个奇数进行加减运算，运算结果必奇数，再与45个偶数做加减运算，运算结果必为奇数，不充分．SSS_SINGLE_SEL2.m一定是偶数． (1)已知a，b，c都是整数，m=3a(2b+c)+a(2一8b一c)． (2)m为连续的三个自然数之和．ABCDE该问题分值: 2答案:A解析：条件(1)：m=3a(2b+c)+a(2—8b一c)=6ab+3ac+2a一8ab一ac=2ac一2ab+2a，在a，b，c都是整数时，上式显然能被2整除．即m是偶数．条件(1)充分．条件(2)：连续的三个自然数，有可能是2奇1偶或者2偶1奇，若是2偶1奇，则m为奇数，故条件(2)不充分．SSS_SINGLE_SEL3.p=mq+1为质数． (1)m为正整数，q为质数． (2)m，q均为质数．ABCDE该问题分值: 2答案:E解析：特殊值法．条件(1)：当m=1，q=3时，p=1×3+1=4不是质数，故条件(1)不充分．条件(2)：当m=3，q=5时，p=3×5+1=16不是质数，故条件(2)不充分．条件(1)、(2)联立等价于条件(2)，不充分．SSS_SINGLE_SEL4.如果a，b，c是三个连续的奇数整数，有a+b=32． (1)10＜a＜b＜c＜20． (2)b和c为质数．ABCDE该问题分值: 2答案:C解析：条件(1)和条件(2)单独显然不充分，联立之： 10到20之间的奇数为11，13，15，17，19； 10到20之间的质数为11，13，17，19； a，b，c是3个连续的奇数，且b和c为质数，故这三个数为15，17，19．故a+b=15+17=32，联立起来充分．SSS_SINGLE_SEL5.设m，n都是自然数，则m=2．(1)n≠2，m+n为奇数． (2)m，n均为质数．ABCDE该问题分值: 2答案:C解析：取特殊值，显然两个条件单独不充分，联立之：由条件(1)：m+n为奇数，则m，n必为一奇一偶．由条件(2)：m，n均为质数，则两数必有一个为偶质数2，又由n≠2，故m=2．两个条件联立起来充分．SSS_SINGLE_SEL6.实数x的值为8或3． (1)某车间原计划30天生产零件165个，前8天共生产44个，从第9天起每天至少生产z个零件，才能提前5天超额完成任务． (2)小王的哥哥的年龄是20岁，小王的年龄的2倍加上他弟弟的年龄的5倍等于97，小王比他弟弟大x岁．ABCDE该问题分值: 2答案:D解析：条件(1)：提前5天完成，则一共工作了25天，由题意知44+(25—8)x≥165，解得x≥7．1，因为x只能取整数，故x=8，条件(1)充分．条件(2)：设小王的年龄为a，他弟弟的年龄为b，根据题意知2a+5b=97，得≤20．穷举可知a=16，b=13，故x=16—13=3，条件(2)充分．SSS_SINGLE_SEL7.a和b的算术平均值是8．(1)a，b为不相等的自然数，且的算术平均值为(2)a，b为自然数，且的算术平均值为ABCDE该问题分值: 2答案:A解析：分解因数法．条件(1)：由题意知，整理得ab-3(a+b)=0，即 (a一3)(b—3)=9=3×3=9×1(分解因数法)，则a和b的算术值为条件(1)充分．条件(2)：令a=b=6，显然不充分．SSS_SINGLE_SEL8.已知a，b，c为有理数，有a=b=c=0．ABCDE该问题分值: 2答案:A解析：条件(1)：是无理数，所以只能a一b一c=0，充分．条件(2)：得a+2b=0，c=0，不能得a=b=c=0，不充分．SSS_SINGLE_SEL9.(1)c＜b＜a． (2)a＜b＜cABCDE该问题分值: 2答案:E解析：条件(1)：令a=1，b=0，c=一1，显然不充分条件(2)：令a=一1，b=0，c=1，显然不充分两个条件无法联立．1。
2020届江西省中考大联考数学试卷(一)(有答案)
江西省中考大联考数学试卷（一）（解析版）一、选择题(每题3分，共18分)1．下列计算正确的是（）A．﹣3÷3×3=﹣3 B．﹣3﹣3=0 C．﹣3﹣（﹣3）=﹣6 D．﹣3÷3÷3=﹣32．下列说法不正确的是（）A．（﹣）2的平方根是B．﹣5是25的一个平方根C．0.9的算术平方根是0.3 D．=﹣33．下列计算结果为正数的是（）A．（﹣）3B．（﹣）﹣2C．﹣（﹣）0D．﹣||4．如图，一个正方体和一个圆柱体紧靠在一起，其左视图是（）A．B．C．D．5．小张五次数学考试成绩分别为：86分、78分、80分、85分、92分，李老师想了解小张数学成绩波动情况，则李老师最关注小张数学成绩的（）A．方差 B．众数 C．中位数D．平均数6．在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣3，4），那么下列说法正确的是（）A．点A与点B（﹣3，﹣4）关于y轴对称B．点A与点C（3，﹣4）关于x轴对称C．点A与点C（4，﹣3）关于原点对称D．点A与点F（﹣4，3）关于第二象限的平分线对称二、填空题7．要使分式有意义，则x的取值范围是．8．如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO 为α，则树OA的高度为米（用三角函数表示）9．如果x=2是方程x+a=﹣1的根，那么a的值是．10．如图，在⊙O中，∠OAB=45°，圆心O到弦AB的距离OE=2cm，则弦AB的长为cm．11．已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+=0，当b＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是．12．如图，在平面直角坐标系中，将△ABC绕点P旋转180°得到△DEF，则点P的坐标为．13．如图（1）是四边形纸片ABCD，其中∠B=120°，∠D=50度．若将其右下角向内折出△PCR，恰使CP ∥AB，RC∥AD，如图（2）所示，则∠C=度．14．在直线y=x+1上，且到x轴或y轴距离为2的点的坐标是．三、解答题15．已知a=，b=+1，先化简，再求值（+）÷（+）．16．如图1和图2均是由边长为1的小正方形组成的网格，按要求用实线画出顶点在格点上的图形．要求：（1）在图形1中画出一个面积为2.5的等腰三角形ABC；（2）在图2中画出一个直角三角形，使三边长均为不同的无理数．17．李欣同学调查了班里同学在上学期内购买课外书的花费情况，并将结果绘制成了下面的统计图．（1）在班里同学中，上学期购买课外书的花费的众数是元．（2）计算这个班里同学购买课外书平均花费多少元？18．某班组织班团活动，班委会准备用15元钱全部用来购买笔记本和中性笔两种奖品，已知笔记本2元/本，中性笔1元/支，且每种奖品至少买1件．（1）若设购买笔记本x本，中性笔y支，写出y与x之间的关系式；（2）有多少种购买方案？请列举所有可能的结果；（3）从上述方案中任选一种方案购买，求买到的中性笔与笔记本数量相等的概率．19．为了鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行“阶梯收费”（总电费=第一阶梯电费+第二阶梯电费），规定：用电量不超过200度按第一阶梯电价收费，超过200度的部分按第二阶梯电价收费．以下是张磊家2014年3月和4月所交电费的收据，问该市规定的第一阶梯电价和第二阶梯电价分别为每度多少元？20．如图，等腰三角形ABC中，BA=BC，以AB为直径作圆，交BC于点E，圆心为O．在EB上截取ED=EC，连接AD并延长，交⊙O于点F，连接OE、EF．（1）试判断△ACD的形状，并说明理由；（2）求证：∠ADE=∠OEF．21．如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y=（k＞0）的图象与BC边交于点E．（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；（2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？22．如图，在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，E，F分别是AB，CD的中点，M是BC上一动点，AM，DM 分别交EF于点G，H，连接CH．（1）试判断GH是否为定值，并证明你的结论；（2）当点M为BC的中点时，求证：四边形GMCH是平行四边形；（3）试探究：在（2）的条件下，当a，b满足什么数量关系时，四边形GMCH是菱形？（不必证明，直接写出结论）23．（10分）（2016•江西模拟）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、C，与y轴交于点B（0，3），抛物线的顶点为P．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线向下平移k个单位后经过点（﹣5，6）．①求k的值及平移后抛物线所对应函数的最小值；②设平移后抛物线与y轴交于点D，顶点为Q，点M是平移后的抛物线上的一个动点，请探究：当点M 在何处时，△MBD的面积是△MPQ面积的2倍？求出此时点M的坐标．24．（12分）（2015•嘉兴）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．（1）概念理解：如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件．（2）问题探究：①小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形，她的猜想正确吗？请说明理由．②如图2，小红画了一个Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并将Rt△ABC沿∠ABC的平分线BB′方向平移得到△A′B′C′，连结AA′，BC′，小红要使平移后的四边形ABC′A′是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段BB′的长）？（3）拓展应用：如图3，“等邻边四边形”ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC，BD为对角线，AC=AB，试探究BC，CD，BD的数量关系．江西省中考大联考数学试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题(每题3分，共18分)1．下列计算正确的是（）A．﹣3÷3×3=﹣3 B．﹣3﹣3=0 C．﹣3﹣（﹣3）=﹣6 D．﹣3÷3÷3=﹣3【考点】有理数的混合运算．【分析】A、原式从左到右依次计算即可得到结果，即可作出判断；B、原式利用减法法则计算得到结果，即可作出判断；C、原式利用减法法则计算得到结果，即可作出判断；D、原式从左到右依次计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式=﹣1×3=﹣3，正确；B、原式=﹣6，错误；C、原式=﹣3+3=0，错误；D、原式=﹣1÷3=﹣，错误，故选A【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．下列说法不正确的是（）A．（﹣）2的平方根是B．﹣5是25的一个平方根C．0.9的算术平方根是0.3 D．=﹣3【考点】立方根；平方根；算术平方根．【分析】根据平方根的定义，算术平方根的定义以及立方根的定义对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、（﹣）2的平方根是±正确，故本选项错误；B、﹣5是25的一个平方根正确，故本选项错误；C、应为0.09的算术平方根是0.3，故本选项正确；D、=﹣3正确，故本选项错误．故选C．【点评】本题考查了立方根，平方根以及算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．3．下列计算结果为正数的是（）A．（﹣）3B．（﹣）﹣2C．﹣（﹣）0D．﹣||【考点】负整数指数幂；绝对值；有理数的乘方；零指数幂．【分析】分别利用有理数的乘方运算法则、负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质和绝对值的性质化简求出答案．【解答】解：A、（﹣）3=﹣，故此选项错误；B、（﹣）﹣2=4，故此选项正确；C、﹣（﹣）0=﹣1，故此选项错误；D、﹣||=﹣，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质和有理数的乘方运算、绝对值的性质等知识，正确掌握运算法则是解题关键．4．如图，一个正方体和一个圆柱体紧靠在一起，其左视图是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．【解答】解：左视图是从左面看所得到的图形，正方体从左面看是正方形，圆柱从左面看是长方形，并且正方体挡住了圆柱体，所以一个正方体和一个圆柱体紧靠在一起，则它们的左视图是一个正方形底部是一个长方形，长方形用虚线，故选：D．【点评】此题主要考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．5．小张五次数学考试成绩分别为：86分、78分、80分、85分、92分，李老师想了解小张数学成绩波动情况，则李老师最关注小张数学成绩的（）A．方差 B．众数 C．中位数D．平均数【考点】统计量的选择．【分析】李老师想了解小张数学学习变化情况，即成绩的稳定程度．根据方差的意义判断．【解答】解：由于方差反映数据的波动大小，故想了解小张数学学习变化情况，则应关注数学成绩的方差．故选A．【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．6．在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣3，4），那么下列说法正确的是（）A．点A与点B（﹣3，﹣4）关于y轴对称B．点A与点C（3，﹣4）关于x轴对称C．点A与点C（4，﹣3）关于原点对称D．点A与点F（﹣4，3）关于第二象限的平分线对称【考点】关于原点对称的点的坐标；关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变；关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反；关于第二象限角平分线的对称的两点坐标的关系，纵横坐标交换位置且变为相反数可得答案．【解答】解：A、点A的坐标为（﹣3，4），则点A与点B（﹣3，﹣4）关于x轴对称，故此选项错误；B、点A的坐标为（﹣3，4），点A与点C（3，﹣4）关于原点对称，故此选项错误；C、点A的坐标为（﹣3，4），点A与点C（4，﹣3）不是关于原点对称，故此选项错误；D、点A与点F（﹣4，3）关于第二象限的平分线对称，故此选项正确；故选：D．【点评】此题主要考查了关于xy轴对称点的坐标点的规律，以及关于原点对称的点的坐标特点，关键是熟练掌握点的变化规律，不要混淆．二、填空题7．要使分式有意义，则x的取值范围是x≠2．【考点】分式有意义的条件．【分析】利用分式有意义的条件得出其分母不能为0，进而求出即可．【解答】解：∵分式有意义，∴2﹣x≠0，∴x≠2．故答案为：x≠2．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确记忆分式有意义分母不能为0是解题关键．8．如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO 为α，则树OA的高度为30tanα米（用三角函数表示）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】根据题意，在Rt△ABO中，BO=30米，∠ABO为α，利用三角函数求解．【解答】解：在Rt△ABO中，∵BO=30米，∠ABO为α，∴AO=BOtanα=30tanα（米）．故答案为：30tanα．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．9．如果x=2是方程x+a=﹣1的根，那么a的值是﹣2．【考点】一元一次方程的解．【分析】虽然是关于x的方程，但是含有两个未知数，其实质是知道一个未知数的值求另一个未知数的值．【解答】解：把x=2代入x+a=﹣1中：得：×2+a=﹣1，解得：a=﹣2．故填：﹣2．【点评】本题含有一个未知的系数．根据已知条件求未知系数的方法叫待定系数法，在以后的学习中，常用此法求函数解析式．10．如图，在⊙O中，∠OAB=45°，圆心O到弦AB的距离OE=2cm，则弦AB的长为4cm．【考点】垂径定理；等腰直角三角形．【分析】首先由垂径定理可知：AE=BE，然后再在Rt△AOE中，由特殊锐角三角函数可求得AE=OE=2，从而可求得弦AB的长．【解答】解：∵OE⊥AB，∴AE=EB在Rt△AOE中，∠OAB=45°，∴tan∠OAB=，∴AE=OE=2．∴AB=2AE=2×2=4．故答案为：4cm．【点评】本题主要考查的是锐角三角函数和垂径定理的应用，掌握垂径定理和特殊锐角三角函数值是解题的关键．11．已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+=0，当b＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是当b=﹣，方程没有实数解．【考点】命题与定理．【分析】取b=﹣，利用判别式可判断方程没有实数解，于是可把当b=﹣，方程没有实数解作为反例．【解答】解：∵b=﹣时，△=（﹣）2﹣4×＜0，∴方程没有实数解．∴当b=﹣，方程没有实数解可作为说明这个命题是假命题的一个反例．故答案为：当b=﹣，方程没有实数解．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．12．如图，在平面直角坐标系中，将△ABC绕点P旋转180°得到△DEF，则点P的坐标为（﹣1，﹣1）．【考点】坐标与图形变化-旋转．【分析】连接AD，根据图形得出AD两对应点的坐标，求出其中点坐标即为P点坐标．【解答】解：连接AD，∵将△ABC绕点P旋转180°得到△DEF，∴点A旋转后与点D重合，∵由题意可知A（0，1），D（﹣2，﹣3）∴对应点到旋转中心的距离相等，∴线段AD的中点坐标即为点P的坐标，∴点P的坐标为（，），即P（﹣1，﹣1）．故答案为：（﹣1，﹣1）．【点评】本题考查的是坐标与图形变化﹣旋转，熟知图形旋转前后的对应点到旋转中心的距离相等是解答此题的关键．13．如图（1）是四边形纸片ABCD，其中∠B=120°，∠D=50度．若将其右下角向内折出△PCR，恰使CP ∥AB，RC∥AD，如图（2）所示，则∠C=95度．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据折叠前后图形全等和平行线，先求出∠CPR和∠CRP，再根据三角形内角和定理即可求出∠C．【解答】解：因为折叠前后两个图形全等，故∠CPR=∠B=×120°=60°，∠CRP=∠D=×50°=25°；∴∠C=180°﹣25°﹣60°=95°；∠C=95度；故应填95．【点评】折叠前后图形全等是解决折叠问题的关键．14．在直线y=x+1上，且到x轴或y轴距离为2的点的坐标是（2，2）或（﹣2，0）或（﹣6，﹣2）．【考点】一次函数图象上点的坐标特征．【分析】设所求的点P（m，n）根据点P到x轴或y轴距离为2得到|m|=2，|n|=2即可求解．【解答】解：设点P（m，n）到x轴或y轴的距离为2，则|m|=2，|n|=2，所以m=±2，n=±2当m=2时，n=2，此时点P（2，2），当m=﹣2时，n=0，此时点P（﹣2，0），当n=2时，m=2，此时点P（2，2），当n=﹣2时，m=﹣6，此时点P（﹣6，﹣2）．故答案为：（2，2）或（﹣2，0）或（﹣6，﹣2）．【点评】本题考查一次函数的有关性质，点到坐标轴的距离的概念，正确理解概念是解题的关键．三、解答题15．已知a=，b=+1，先化简，再求值（+）÷（+）．【考点】分式的化简求值．【分析】先算括号里面的，再算除法，最后把a，b的值代入进行计算即可【解答】解：原式=÷=•=﹣（a+b）•=﹣ab，当a=，b=+1时，原式=﹣（+1）=﹣2﹣．【点评】本题考查的是分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．16．如图1和图2均是由边长为1的小正方形组成的网格，按要求用实线画出顶点在格点上的图形．要求：（1）在图形1中画出一个面积为2.5的等腰三角形ABC；（2）在图2中画出一个直角三角形，使三边长均为不同的无理数．【考点】作图—应用与设计作图；无理数；等腰三角形的性质．【分析】（1）根据题意确定出C点，如图所示，得到所求三角形即可；（2）如图所示，作出满足题意的直角三角形即可．【解答】解：（1）如图1所示，△ABC为所求三角形；（2）如图2所示，直角三角形为所求三角形．【点评】此题考查了作图﹣应用与设计作图，无理数，以及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰及直角三角形的性质是解本题的关键．17．李欣同学调查了班里同学在上学期内购买课外书的花费情况，并将结果绘制成了下面的统计图．（1）在班里同学中，上学期购买课外书的花费的众数是50元．（2）计算这个班里同学购买课外书平均花费多少元？【考点】众数；扇形统计图．【分析】（1）根据扇形统计图可知购买课外书花费为50元的同学占40%，人数最多，根据众数的定义即可求解；（2）根据加权平均数的定义列式计算即可求解．【解答】解：（1）由扇形统计图可知，购买课外书花费为50元的同学占40%，人数最多，所以，在班里同学中，上学期购买课外书的花费的众数是50元．故答案为50；（2）这20位同学计划购买课外书的平均花费是：100×10%+80×25%+50×40%+30×20%+20×5%=57（元）．答：这个班里同学购买课外书平均花费57元．【点评】本题考查了扇形统计图，平均数与众数，注意掌握通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．18．某班组织班团活动，班委会准备用15元钱全部用来购买笔记本和中性笔两种奖品，已知笔记本2元/本，中性笔1元/支，且每种奖品至少买1件．（1）若设购买笔记本x本，中性笔y支，写出y与x之间的关系式；（2）有多少种购买方案？请列举所有可能的结果；（3）从上述方案中任选一种方案购买，求买到的中性笔与笔记本数量相等的概率．【考点】列表法与树状图法；二元一次方程的应用．【分析】（1）首先由题意可得：2x+y=15，继而求得y与x之间的关系式；（2）根据每种奖品至少买1件，即可求得所有可能的结果；（3）由买到的中性笔与笔记本数量相等的只有1种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）根据题意得：2x+y=15，∴y=15﹣2x；（2）购买方案：x=1，y=13；x=2，y=11，x=3，y=9；x=4，y=7；x=5，y=5；x=6，y=3，x=7，y=1；∴共有7种购买方案；（3）∵买到的中性笔与笔记本数量相等的只有1种情况，∴买到的中性笔与笔记本数量相等的概率为：．【点评】本题考查了列举法求概率的知识．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19．为了鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行“阶梯收费”（总电费=第一阶梯电费+第二阶梯电费），规定：用电量不超过200度按第一阶梯电价收费，超过200度的部分按第二阶梯电价收费．以下是张磊家2014年3月和4月所交电费的收据，问该市规定的第一阶梯电价和第二阶梯电价分别为每度多少元？【考点】二元一次方程组的应用．【分析】设第一阶梯电价每度x元，第二阶梯电价每度y元，分别根据3月份和4月份的电费收据，列出方程组，求出x和y值．【解答】解：设第一阶梯电价每度x元，第二阶梯电价每度y元，由题意可得，，解得．答：第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯电价每度0.6元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．20．如图，等腰三角形ABC中，BA=BC，以AB为直径作圆，交BC于点E，圆心为O．在EB上截取ED=EC，连接AD并延长，交⊙O于点F，连接OE、EF．（1）试判断△ACD的形状，并说明理由；（2）求证：∠ADE=∠OEF．【考点】圆周角定理；等腰三角形的判定与性质．【分析】（1）由AB是⊙O的直径，利用圆周角定理易得AE⊥CD，又因为ED=EC，利用垂直平分线的性质可得AC=AD，得出结论；（2）首先由外角的性质易得∠ADE=∠DEF+∠F，∠OEF=∠OED+∠DEF，由圆周角定理易得∠B=∠F，等量代换得出结论．【解答】解：（1）△ACD是等腰三角形．连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AED=90°，∴AE⊥CD，∵CE=ED，∴AC=AD，∴△ACD是等腰三角形；（2）∵∠ADE=∠DEF+∠F，∠OEF=∠OED+∠DEF，而∠OED=∠B，∠B=∠F，∴∠ADE=∠OEF．【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂直平分线的性质，外角的性质等，作出适当的辅助线，等量代换是解答此题的关键．21．如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y=（k＞0）的图象与BC边交于点E．（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；（2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．【分析】（1）当F为AB的中点时，点F的坐标为（3，1），由此代入求得函数解析式即可；（2）根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k的二次函数，利用二次函数求出最值即可．【解答】解：（1）∵在矩形OABC中，OA=3，OC=2，∴B（3，2），∵F为AB的中点，∴F（3，1），∵点F在反比例函数y=（k＞0）的图象上，∴k=3，∴该函数的解析式为y=（x＞0）；（2）由题意知E，F两点坐标分别为E（，2），F（3，），∴S△EFA=AF•BE=×k（3﹣k），=k﹣k2=﹣（k2﹣6k+9﹣9）=﹣（k﹣3）2+当k=3时，S有最大值．S=．最大值【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定反比例解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．22．如图，在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，E，F分别是AB，CD的中点，M是BC上一动点，AM，DM 分别交EF于点G，H，连接CH．（1）试判断GH是否为定值，并证明你的结论；（2）当点M为BC的中点时，求证：四边形GMCH是平行四边形；（3）试探究：在（2）的条件下，当a，b满足什么数量关系时，四边形GMCH是菱形？（不必证明，直接写出结论）【考点】菱形的判定；平行四边形的判定；矩形的性质；平行线分线段成比例．【分析】（1）利用平行四边形的判定方法得出四边形AEFD是平行四边形，进而利用平行四边形的性质得出答案；（2）利用平行四边形的判定方法一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出即可；（3）利用当a=b时，由题意得出MC=BM=b，AM=b，则MG=b，进而利用（2）中所求得出答案．【解答】（1）解：GH=b，是定值，理由：∵E，F分别是AB，CD的中点，∴AE∥DF且AE=DF，∴四边形AEFD是平行四边形，∴AD∥EF∥BC，∴==，∴AG=MG，DH=MH，∴GH=AD=b，是定值；（2）证明：∵点M为BC的中点，∴MC=BC=b，∵GH=b，∴GH=CM，又∵GH∥CM，∴四边形GMCH是平行四边形；（3）解：a=b时，四边形GMCH是菱形．【点评】此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的判定与性质，熟练应用平行四边形的判定方法是解题关键．23．（10分）（2016•江西模拟）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、C，与y轴交于点B（0，3），抛物线的顶点为P．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线向下平移k个单位后经过点（﹣5，6）．①求k的值及平移后抛物线所对应函数的最小值；②设平移后抛物线与y轴交于点D，顶点为Q，点M是平移后的抛物线上的一个动点，请探究：当点M 在何处时，△MBD的面积是△MPQ面积的2倍？求出此时点M的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）把于点A（﹣1，0）、点B（0，3）坐标分别y=x2+bx+c求出b和c的值即可；（2）可用k表示出平移后抛物线的解析式，已知了平移后的抛物线过点C（﹣5，6），那么可将C点的坐标代入其中，即可求出k的值．进而可根据得出的二次函数求出其最小值．（3）本题要先求出BD和PQ的长，根据（2）可得出BD=PQ=2，因此要使△MBD的面积是△MPQ面积的2倍，只需让M到y轴的距离等于M到抛物线对称轴（即PQ）的距离的2倍即可．因此本题可分三种情况进行讨论：①M在抛物线对称轴和y轴的左侧时；②M在抛物线对称轴和y轴之间；③M在y轴和抛物线对称轴右侧时．根据上述三种情况可得出三个不同的M点的横坐标，将其代入抛物线的解析式中即可得出M点的坐标．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）、点B（0，3），在抛物线上，∴，解得：，∴所求的抛物线解析式为y=x2+4x+3；（2）设平移后抛物线的解析式为y=x2+4x+3+k．∵它经过点（﹣5，6），∴6=（﹣5）2+4（﹣5）+3+k．∴k=﹣2．∴平移后抛物线的解析式为y=x2+4x+3﹣2=x2+4x+1．配方，得y=（x+2）2﹣3．∵a=1＞0，∴平移后的抛物线的最小值是﹣3．（3）由（2）可知，BD=PQ=2，对称轴为x=﹣2．又∵S△MBD=2S△MPQ，∴BD边上的高是PQ边上的高的2倍．设M点坐标为（m，n）．①当M点的对称轴的左侧时，则有0﹣m=2（﹣2﹣m）．∴m=﹣4．∴n=（﹣4）2+4（﹣4）+1=1．∴M（﹣4，1）．②当M点在对称轴与y轴之间时，则有0﹣m=2[m﹣（﹣2）]．∴m=﹣．∴n=（﹣）2+（﹣4）+1=﹣．∴M（﹣，﹣）．③当M点在y轴的右侧时，则有m=2[（m﹣（﹣2）]．∴m=﹣4＜0，不合题意，应舍去．综合上述，得所求的M点的坐标是（﹣4，1）或（﹣，﹣）．【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、三角形面积的计算方法等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．24．（12分）（2015•嘉兴）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．（1）概念理解：如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件．（2）问题探究：①小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形，她的猜想正确吗？请说明理由．②如图2，小红画了一个Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并将Rt△ABC沿∠ABC的平分线BB′方向平移得到△A′B′C′，连结AA′，BC′，小红要使平移后的四边形ABC′A′是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段BB′的长）？（3）拓展应用：如图3，“等邻边四边形”ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC，BD为对角线，AC=AB，试探究BC，CD，BD的数量关系．【考点】四边形综合题．【分析】（1）由“等邻边四边形”的定义易得出结论；（2）①先利用平行四边形的判定定理得平行四边形，再利用“等邻边四边形”定义得邻边相等，得出结论；②由平移的性质易得BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=，再利用“等邻边四边形”定义分类讨论，由勾股定理得出结论；（3）由旋转的性质可得△ABF≌△ADC，由全等性质得∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，FB=CD，利用相似三角形判定得△ACF∽△ABD，由相似的性质和四边形内角和得∠CBF=90°，利用勾股定理，等量代换得出结论．【解答】解：（1）AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB（任写一个即可）；（2）①正确，理由为：∵四边形的对角线互相平分，∴这个四边形是平行四边形，∵四边形是“等邻边四边形”，∴这个四边形有一组邻边相等，∴这个“等邻边四边形”是菱形；②∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1，∴AC=，∵将Rt△ABC平移得到△A′B′C′，∴BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=，（I）如图1，当AA′=AB时，BB′=AA′=AB=2；（II）如图2，当AA′=A′C′时，BB′=AA′=A′C′=；（III）当A′C′=BC′=时，如图3，延长C′B′交AB于点D，则C′B′⊥AB，∵BB′平分∠ABC，∴∠ABB′=∠ABC=45°，∴∠BB′D=′∠ABB′=45°∴B′D=B，设B′D=BD=x，则C′D=x+1，BB′=x，∵在Rt△BC′D中，BD2+（C′D）2=（BC′）2∴x2+（x+1）2=（）2，解得：x1=1，x2=﹣2（不合题意，舍去），∴BB′=x=（Ⅳ）当BC′=AB=2时，如图4，与（Ⅲ）方法一同理可得：BD2+（C′D）2=（BC′）2，设B′D=BD=x，则x2+（x+1）2=22，解得：x1=，x2=（不合题意，舍去），∴BB′=x=；（3）BC，CD，BD的数量关系为：BC2+CD2=2BD2，如图5，∵AB=AD，∴将△ADC绕点A旋转到△ABF，连接CF，∴△ABF≌△ADC，。
江西省部分学校2024-2025学年高三上学期10月联考试题 数学含答案
高三数学试卷（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，不等式，函数与导数，三角函数，解三角形.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}(){}U 0,1,2,3,4,5,1,3,5U A B A B =⋃=⋂=ð，则集合B =（）A.{}1,3,5B.{}0,2,4 C.∅ D.{}0,1,2,3,4,52.225π5πsincos 1212-=（）A.12B.2C.12-D.2-3.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()2f x y f x y f y +--=，则()0f =（）A.0B.1C.2D.1-4.已知0,0x y >>，且121y x+=，则12x y +的最小值为（）A.2B.4C.6D.85.设函数()()2ln 1sin 1f x x x =+++，则曲线()y f x =在点()0,1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A.12 B.13C.16D.236.把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是C θ' ，空气的温度是0C θ，则min t 后该物体的温度C θ 满足()400etθθθθ-'=+-.若0,θθ'不变，在12min,min t t 后该物体的温度分别为12C,C θθ，且12θθ>，则下列结论正确的是（）A.12t t >B.12t t <C.若0θθ'>，则12t t >；若0θθ'<，则12t t <D.若0θθ'>，则12t t <；若0θθ'<，则12t t >7.已知log 1(,0n m m n >>且21,1),e m n m n ≠≠+=，则（）A.e (1)1m n -+<B.e (1)1m n -+>C.e ||1m n -< D.e ||1m n ->8.在ABC 中，4,6,90AB BC ABC ∠=== ，点P 在ABC 内部，且90,2BPC AP ∠== ，记ABP ∠α=，则tan2α=（）A.32B.23C.43D.34二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知命题2:,p x x x x ∃∈->R ；命题πππ:,π,cos sin 244q ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∀∈-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A.p 是真命题B.p ⌝是真命题C.q 是真命题D.q ⌝是真命题10.已知函数()1cos f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 为偶函数B.()f x 的最大值为cos2C.()f x 在()1,2上单调递减D.()f x 在()1,20上有6个零点11.已知函数()3213f x x bx cx =++，下列结论正确的是（）A.若0x x =是()f x 的极小值点，则()f x 在()0,x ∞-上单调递减B.若x b =是()f x 的极大值点，则0b <且0c <C.若3c =，且()f x 的极小值大于0，则b 的取值范围为(2,-D.若3c b =-，且()f x 在[]0,3上的值域为[]0,9，则b 的取值范围为[]3,0-三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()()sin (0π)f x x ϕϕ=+< 的图象关于y 轴对称，则ϕ=__________.13.已知函数()2,0,,01x ax x f x xx x ⎧+<⎪=⎨-⎪+⎩的最小值为1-，则a =__________.14.已知函数()()sin 1f x x ϕ=++，若()()121f x f x -=，则12x x -的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.16.（15分）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin 1sin 1cos cos A B A B++=.（1）证明：A B =.（2）若D 是BC 的中点，求CAD ∠的最大值.17.（15分）已知函数()e xf x a x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()()e 10,0,,x a x f x a x∞->∀∈+>-，求a 的取值范围.18.（17分）已知集合,A B 中的元素均为正整数，且,A B 满足：①对于任意,i j a a A ∈，若i j a a ≠，都有i j a a B ∈；②对于任意,m k b b B ∈，若m k b b <，都有kmb A b ∈.（1）已知集合{}1,2,4A =，求B ；（2）已知集合{}()2,4,8,8A t t =>，求t ；（3）若A 中有4个元素，证明：B 中恰有5个元素.19.（17分）已知函数()()ln f x x x a x =++.（1）若()f x 是增函数，求a 的取值范围.（2）若()f x 有极小值，且极小值为m ，证明：1m .（3）若()0f x ，求a 的取值范围.高三数学试卷参考答案1.B (){}U U,0,2,4A B B B ⋂==痧.2.B 225π5π5πsin cos cos 121262-=-=.3.A令0y =，则()00f =.4.D11112224448x y x xy y x y xy ⎛⎫⎛⎫+=++=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，当且仅当14,121,xy xy y x⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即2,14x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时，等号成立.5.A()22cos 1xf x x x =++'，则()01f '=，即切线方程为1y x =+.令0x =，则1y =，令0y =，则1x =-，故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为12.6.D 因为()1400e θθθθ-'=+-，所以004ln t θθθθ-=--'.若0θθ'>，则()04ln f θθθθθ-'=--是减函数，因为12θθ>，所以12t t <；若0θθ'<，则()04lnf θθθθθ-'=--是增函数，因为12θθ>，所以12t t >.7.B 因为log 1(,0n m m n >>且0,0)m n ≠≠，所以1m n >>或01m n <<<.若0m n <<<1，则2m n +<，与2e m n +=矛盾，所以e1,11,(1)1m n m n m n >>-+>-+>.8.C 由题意可得BCP ABP ∠∠α==.在BCP 中，sin 6sin BP BC αα==.在ABP 中，2222cos AP AB BP AB BP α=+-⋅，即2436sin 162α=+-⨯6sin 4cos αα⋅，化简得3cos24sin25αα+=，两边平方得229cos 216sin 2αα+24cos2sin225αα+=，则22229cos 216sin 224cos2sin225cos 2sin 2αααααα++=+，所以22916tan 224tan2251tan 2ααα++=+，解得4tan23α=.9.BC 因为0,0,2,0,x x x x x ⎧-=⎨<⎩ 所以0x x - ，又20x ，所以2,x x x p - 是假命题，p ⌝是真命题.由诱导公式可得πππ,π,cos sin 244ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∀∈-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以q 是真命题，q ⌝是假命题.10.AC 因为()()11cos cos f x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=--=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为偶函数，A 正确.()f x 的最大值为1,B 错误.令函数()()1,g x x g x x =+在()1,2上单调递增，且当()1,2x ∈时，()g x 的值域为52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.因为函数cos y x =在52,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 在()1,2上单调递减，C 正确.当()1,20x ∈时，()g x 的值域为()2,20.05,6π20.057π<<，函数cos y x =在()2,20.05上有5个零点，所以()f x 在()1,20上有5个零点，D 错误.11.BCD由三次函数的图象可知，若0x 是()f x 的极小值点，则极大值点在0x 的左侧，()f x 在()0,x ∞-上不单调，A 错误.()22f x x bx c =++'，若x b =是()f x 的极大值点，则()2220f b b b c =++='，所以()()()2223,233c b f x x bx b x b x b '=-=+-=+-.若()0,b f x =没有极值点.()0f x '=的解为123,x b x b =-=.因为x b =是()f x 的极大值点，所以3b b <-，即20,30,b c b <=-<B 正确.若3c =，则()()32221133,2333f x x bx x x x bx f x x bx ⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭'.因为()f x 的极小值大于0，所以()f x 只有一个零点，且()f x 的极大值点与极小值点均大于0，所以方程21303x bx ++=无实数根，且方程()2230f x x bx =++='的2个实数根均大于0，所以2122Δ40,Δ412020,b b b ⎧=-<⎪=->⎨⎪->⎩解得2b -<<，C 正确.若3c b =-，则()()()()32213,23,00,393f x x bx bx f x x bx b f f =+-=+-=='.令()0f x '=，若2Δ4120b b =+ ，即()()30,0,b f x f x '- 单调递增，符合题意.由2Δ4120b b =+>，解得3b <-或0b >，此时()0f x '=的2个解为12x b x b =-=-.当0b >时，120,0x x <>，所以()f x 在()20,x 上单调递减，即当(0x ∈，)2x 时，()0f x <，不符合题意.当3b <-时，103x <<，所以()f x 在[]0,3上的最大值为()1f x ，且()()139f x f >=，不符合题意.综上，若3c b =-，且()f x 在[]0,3上的值域为[]0,9，则b 的取值范围为[]3,0-，D 正确.12.π2因为函数()f x 的图象关于y 轴对称，所以ππ,2k k ϕ=+∈Z .又0πϕ< ，所以π2ϕ=.13.2当0x 时，11111x y x x =-=->-++.因为()f x 的最小值为1-，所以函数2y x ax =+在(),0∞-上取得最小值1-，则20,21,4a a ⎧-<⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得2a =.14.π3根据三角函数的周期性和对称性，不妨设12ππ0,,,022x x ϕϕ⎡⎤⎡⎤+∈+∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.因为()()121f x f x -=，所以()()1212122sin sin 12cossin 22x x x xx x ϕϕϕ++-+-+==⋅，即121211sin2222cos 2x x x x ϕ-=++，所以12π26x x - ，即12π3x x - ，当且仅当12ππ,66x x ϕϕ+=+=-时，等号成立.15.解：（1）由图可得，2πππ2362T =-=，所以2ππT ω==.结合0ω>，解得2ω=，则()()sin 2f x x ϕ=+.由ππsin 2066f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合图象可得π2π,3k k ϕ+=∈Z ，即π2π,3k k ϕ=-+∈Z .因为π2ϕ<，所以π3ϕ=-，所以()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭.（2）因为π,04x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π5ππ2,363x ⎡⎤-∈--⎢⎣⎦，所以()f x 在π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.16.（1）证明：因为sin 1sin 1cos cos A B A B ++=，所以222222sin cos sin cos 2222,cos sin cos sin 2222A A B B A A B B⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--则sincos sin cos 2222cos sincos sin 2222AA B BAA B B++=--.则sincos cos sin 02222A B A B -=，即sin 022A B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.因为(),0,πA B ∈，所以022A B-=，即A B =.（2）解：2222224cos 22AC AC AD AC AD CD CAD AC AD AC AD∠+-+-==⋅⋅223342822ACAD AC AD AC AD AD AC +==+=⋅ ，所以π6CAD ∠，当且仅当2AD AC =时，等号成立.故CAD ∠的最大值为π6.17.解：（1）()e 1xf x a =-'.当0a 时，()()0,f x f x '<是减函数.当0a >时，()y f x ='是增函数.令()0f x '=，解得ln x a =-.当(),ln x a ∞∈--时，()0f x '<；当()()ln ,,0x a f x ∞∈-+>'.所以()f x 在(),ln a ∞--上单调递减，在()ln ,a ∞-+上单调递增.综上，当0a 时，()f x 是减函数；当0a >时，()f x 在(),ln a ∞--上单调递减，在()ln ,a ∞-+上单调递增.（2）()e 1x f x a x ->-，即e 1e x xa x a x-->-.令函数()1g x x x =-，则()e e e x x xg a a a-=-，所以()()e x g a g x >.因为()g x 在()0,∞+上单调递增，所以e x a x >，即e xxa >.令函数()()0e x x h x x =>，则()1exxh x -='.当()0,1x ∈时，()0h x '>；当()()1,,0x h x ∞∈+'<.所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，所以()11()1,()e eh x h a h x ==>=极大值极大值.故a 的取值范围为1,e∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.18.（1）解：由①可得2,4,8都是B 中的元素.下面证明B 中除2,4,8外没有其他元素：假设B 中还有其他元素，分两种情况：第一种情况，B 中最小的元素为1，显然81不是A 中的元素，不符合题意；第二种情况，B 中最小的元素为2，设B 中除2,4,8外的元素为()2k k b b >，因为2kb 是A 中的元素，所以k b 为4或8，而4，8也是B 中的元素，所以B 中除2,4,8外没有其他元素.综上，{}2,4,8B =.（2）解：由①可得，8,16,32,2,4,8t t t 都是B 中的元素.显然84,82,162t t t <<<，由（2）可得，422,,8816t t t 是A 中的元素，即,,248t t t是A 中的元素.因为842t t t t <<<，所以2,4,8842t t t===，解得16t =.（3）证明：设{}12341231,,,,A a a a a a a a a =<<<.由①可得，1224,a a a a 都是B 中的元素.显然1224a a a a <，由②可得，2412a a a a 是A 中的元素，即41a a 是A 中的元素.同理可得，科333412221112,,,,,a a a a a a a a a a a a 是A 中的元素.若11a =，则31344122a a a a a a a a =>，所以3112a aa a 不可能是A 中的元素，不符合题意.若12a ，则32311a a a a a <<，所以321211,a aa a a a ==，即23213121,a a a a a a ===.又因为44443211a a a a a a a <<<<，所以444123321,,a a a a a a a a a ===，即441a a =，所以{}2341111,,,A a a a a =，此时{}3456711111,,,,a a a a a B ⊆.假设B 中还有其他元素，且该元素为k ，若31k a<，由（2）可得71a A k ∈，而7411a a k>，与{}2341111,,,A a a a a =矛盾.若31k a>，因为31k A a ∈，所以131,1,2,3,4i k a i a ==，则31,1,2,3,4i k a i +==，即{}45671111,,,k a a a a ∈，所以B 中除3456711111,,,,a a a a a 外，没有其他元素.所以{}3456711111,,,,B a a a a a =，即B 中恰有5个元素.19.（1）解：()ln 2a f x x x=++'.令函数()ln 2a g x x x =++，则()2x a g x x-='.若0a >，则当()0,x a ∈时，()0g x '<，当(),x a ∞∈+时，()0g x '>，所以()g x 在()0,a 上单调递减，在(),a ∞+上单调递增，()min ()ln 3g x g a a ==+.因为()f x 是增函数，所以min ()0f x ' ，即min ()0g x ，解得31e a .若0a ，则()0g x '>在()0,∞+上恒成立，所以()g x 在()0,∞+上单调递增.因为函数ln 2y x =+与函数a y x=-的图象有1个交点，所以存在0x ，使得00ln 20a x x ++=，即当()00,x x ∈时，()0g x <，当()0,x x ∞∈+时，()0g x >，所以()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增，与题设不符.综上，a 的取值范围为31,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.（2）证明：由（1）可得当31ea 时，()f x 是增函数，不存在极小值.当310ea <<时，()()min ()0,g x g a g x =<在()0,a 上单调递减，所以()f x 在()0,a 上不存在极小值点.因为()120g a =+>，所以()()11,1,0x a g x ∃∈=，所以()f x 在()1,a x 上单调递减，在()1,x ∞+上单调递增.()()()()1()ln 2350f x f x f a a a a a a a a =<=++<+⨯-=-<极小值.当0a 时，由()1可得()()0000()ln f x f x x x a x ==++极小值.因为000ln 2a x x x =--，所以()()200000000()ln 2ln ln f x x x x x x x x x ⎡=+--=-⎣极小值]0ln 1x +-.令函数()2(ln )ln 1h x x x x ⎡⎤=-+-⎣⎦，则()()ln ln 3h x x x =-+'.当()310,1,e x ∞⎛⎫∈⋃+ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，当31,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，所以()h x 在()310,,1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减，在31,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.当310,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2215ln 3,(ln )ln 1ln 024x x x x ⎛⎫<-+-=+-> ⎪⎝⎭，所以()2(ln )ln 10h x x x x ⎡⎤=-+-<⎣⎦.因为()()11h x h ==极大值，所以()1h x ，所以()1f x 极小值 ，当且仅当01,2x a ==-时，等号成立.综上，1m .（3）解：若333311120,330e e e e a f a a ⎛⎫⎛⎫>=-+=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不符合题意.若0a ，要使得()0f x ，只需要()0f x 极小值 ，即()2000ln ln 10x x x ⎡⎤-+-⎣⎦，所以()200ln ln 10x x +- ，解得01515ln 22x --+ ，即0x .000ln 2a x x x =--，令函数()ln 2u x x x x =--，则()ln 3u x x =--'.当31,e x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()()0,u x u x '<单调递减.因为31e >，所以()u x 在⎡⎢⎢⎥⎣⎦上单调递减.又33e 22u u ⎛⎫⎛-++==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()u x 在⎡⎢⎢⎥⎣⎦上的值域为3322⎡-+-⎢⎢⎥⎣⎦.故a 的取值范围为353522⎡+-+-⎢⎢⎥⎣⎦.。
数学高三联考试卷及答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 函数f(x) = x^3 - 3x在区间[-1, 2]上的零点个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (2, 1)，则向量a与向量b的夹角余弦值为（）A. 0B. 1/2C. 1D. -1/23. 在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数是（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°4. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若an = 2n - 1，则Sn =（）A. n^2B. n^2 - nC. n^2 + nD. n^2 + 2n5. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1 + a2 + a3 = 9，a1 + a2 +a3 + a4 = 16，则a1的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 46. 函数f(x) = log2(x + 1)在区间(-1, +∞)上的单调性是（）A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增7. 已知复数z = 1 + i，则|z|的值为（）A. 1B. √2C. 2D. √38. 在直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点Q的坐标是（）A. (2, 3)B. (3, 2)C. (2, -3)D. (-3, 2)9. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(x)的最小值为（）A. 0B. 2C. 4D. 610. 已知数列{an}满足an = 3an-1 + 2，且a1 = 1，则数列{an}的通项公式是（）A. an = 3^n - 2B. an = 3^n + 2C. an = 3^n - 1D. an = 3^n + 111. 已知函数f(x) = e^x - x，则f'(x) =（）A. e^x - 1B. e^x + 1C. e^xD. e^x - e^x12. 在△ABC中，若∠A = 30°，∠B = 60°，则sinC的值为（）A. √3/2B. 1/2C. √3/3D. 1二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(-1) = 1，f(1) = 3，且f(x)的图像开口向上，则a = ______，b = ______，c = ______。
云南省昆明市第一中学2025届高三第三次联考数学试卷(含答案)
云南省昆明市第一中学2025届高三第三次联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法错误的是( )A. 若随机变量X ~N (μ,σ2),则当σ较小时,对应的正态曲线“瘦高”,随机变量X 的分布比较集中B. 在做回归分析时,可以用决定系数R 2刻画模型的回归效果,若R 2越大,则说明模型拟合的效果越好C. 在一元线性回归模型中,如果相关系数r =0.98,表明两个变量的相关程度很强D. 对于一组数据x 1,x 2,⋯,x n ,若所有数据均变成原来的2倍,则s 2变为原来的2倍2.若(1x +x )n 的展开式中第2项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项为( )A. 第3项 B. 第4项C. 第5项D. 第6项3.函数f(x)=(e x +1)cos xe x −1的部分图象大致为( )A. B.C. D.4.已知长方体ABCD−A 1B 1C 1D 1的体积为16，且AA 1=2，则长方体ABCD−A 1B 1C 1D 1外接球体积的最小值为( )A. 256πB. 16053πC. 2053π D. 125π5.在平面内，设n 是直线l 的法向量(直线的法向量：直线l 的方向向量为a ，若向量n ⊥a ，则向量n 叫做直线l 的法向量)，M ，N 是平面内的两个定点，M ∈l ，N ∉l ，若动点P 满足|PM n ||n ||PN |，则动点P 的轨迹为( )A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线6.已知α，β∈(0,π)，tan α，tan β是方程x 2−33x +4=0的两个根，则α+β=( )A. π3B. 2π3C. 4π3D. π3或2π37.已知曲线Γ的方程为(x 2+y 2+2x +2y)(x 2+y 2−2x−2y)=0，若经过点A(−4,−2)的直线l 与曲线Γ有四个交点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A. (723,12)∪(12,1) B. (−17,723)∪(723,1)C. (723,1)D. (−17,1)8.将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列，记第i 项为a i (i =1,2,⋯,7)，若a 1<a 2<a 3，a 3>a 4>a 5，a 5<a 6<a 7，则这样的数列共有( )A. 70个B. 71个C. 80个D. 81个二、多选题：本题共3小题，共18分。
2025届贵州市贵阳七校联盟高三上学期第一次联考数学试卷答案
数学参考答案·第1页（共8页）贵阳市七校2025届高三年级联合考试（一）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 CBADCABD【解析】1．因为i i a z z +=- ，所以i (1)(1)i1i 2a a a z -+--++==+，因为复数z 为纯虚数，所以1010a a -=+≠，，所以1a =，故选C ．2．集合2{|320}[12]A x x x =-+=≤，，(2)B a a =+，，01A B a ⊆⇔<<，所以0a >是A B⊆的必要不充分条件，故选B ．3．设OA = a ，OB = b ，OC = c ，因为+=a b c ，所以四边形OACB 是2π3AOB ∠=的菱形，所以a 与-a b 的夹角即π6OAB ∠=，故选A ． 4．可估计全班学生数学的平均分为3280757855⨯+⨯=，方差为2232[7(8078)][2(7578)]55+-++-11=，故选D ．5．因为e 11e ()()e 1e 1x x xx f x f x -----===-++，所以()f x 为奇函数，又因为1e ()1e 12x x f x +-==-+ 2e 1x+，所以()f x 为R 上的增函数．因为2()(2)0f m f m +->，所以2()(2)(2)f m f m f m >--=-，所以22m m >-，即220m m +->，解得2m <-或1m >，所以实数m 的取值范围为(2)(1)-∞-+∞ ，，，故选C ． 6．根据题意可得A D A E A D A F A E A F ''''''⊥⊥⊥，，，且1A E A F ''==， 1，2A D '=，所以三棱锥D A EF '-可补成一个长方体，则三棱锥D A EF '-的外接球即为长方体的外接球，如图1所示，设长方体图1的外接球的半径为R，可得2R=，所以2R=，所以外接球的体积为3344ππ33V R===⎝⎭，故选A．7．由函数的图象可知：(1)0(2)0f f==，，解得32b c=-=，，所以32()32f x x x x=-+，可得2()362f x x x'=-+，由韦达定理得1212223x x x x+==，，所以21212121212()()2()3()23f x f xx x x x x xx x-=+--++=--，故选B．8．因为2224b b a b b aa b a b a b++=+=++≥，当且仅当23a b==时，等号成立，因为223bt ta b-+≤恒成立，所以234t t-≤，即(34)(1)0t t-+≤，解得413t-≤≤，故选D．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号9 10 11答案ABD ACD AC【解析】9．由图可得，2A=，ππ12π3124ω-=⨯，解得2ω=，故A正确；又函数图象经过点π212⎛⎫⎪⎝⎭，，则π2sin2212ϕ⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭，即πsin16ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，因π||2ϕ<，故ππ62ϕ+=，解得π3ϕ=，故π()2sin23f x x⎛⎫=+⎪⎝⎭；对于B，当5π12x=-时，ππ232x+=-，此时函数取得最小值，故B 正确；对于C，2π4ππ2sin22sin2333f x x x⎛⎫⎛⎫-=-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，是奇函数，故C错误；对于D，将函数π()2sin23f x x⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，将得到函数π2sin3y x⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，故D正确，故选ABD．10．对于A：直线210l kx y k++-=：，整理为(2)10k x y++-=，不管k为何值，直线l始终过点(21)-，，故A正确；对于B：1k=时直线l的方程为10x y++=，它不过圆C的圆心(03)，，故B不正确；对于C：由A知当(21)-，是线段AB的中点时，此时弦长AB数学参考答案·第2页（共8页）数学参考答案·第3页（共8页）最短，而圆22(3)16C x y +-=：，圆心是(03)，，半径4r =，圆心(03)，和点(21)-，的距离是||AB ==，故C 正确；对于D ：当2k =时，直线230l x y ++=：，曲线222(6)370x y x y λλλ+++-+-=，即2267x y y +--+(23)0x y λ++=，显然该曲线过直线l 与圆C 的交点，故D 正确，故选ACD ．11．由题意知函数()y f x =的图象关于点(21)，对称，所以(2)1f =，A 正确；若函数()sin(π)1f x x =+，则函数()πcos(π)g x x =，(2)πg =，B 错误；易得函数()y f x =的周期也为2，而函数(2)1y f x =+-是奇函数，所以函数()1y f x =-是奇函数，C 正确；若函数()sin(π)1f x x =+，则(1)1f =，所以20241()2024k f k ==∑，D 错误，故选AC ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）【解析】12．由正弦定理得a b c c b a b-=-+，即222b c a bc +-=，由余弦定理得222cos 22b c a bc A bc bc +-== 12=，又(0π)A ∈，，所以π3A =． 13．因为na x ⎫⎪⎭的展开式的二项式系数和为32，所以5n =，515C kkk k a T x -+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭5325C ()kkk a x--，所以2x -的系数为335C ()80a -=，所以2a =-．14．3220.50.5()()log ()(1)()log ()f x x ax x a x b x x a x b =-+-+=+-+，且210y x =+>恒成立，y x a =-在定义域上单调递增且零点为x a =，0.5(log )y x b =+在定义域上单调递减且零点为1x b =-，故y x a =-与0.5(log )y x b =+在定义域内函数值正负相反且零点重合，则11a b a b =-⇔+=，所以33a b +=≥．数学参考答案·第4页（共8页）四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）（1）证明：由2n n S a n =-可得，当1n =时，1121a a =-，解得11a =， …………………………………………………（2分） 当2n ≥时，112(1)n n S a n ++=-+， 所以111221n n n n n a S S a a +++=-=--，即121n n a a +=+， …………………………………………………………………………（4分） 所以11211211n n n n a a a a ++++==++为常数，且112a +=， 所以数列{1}n a +是以2为首项，2为公比的等比数列．………………………………………………………………………………………（6分） （2）由（1）得11222n n n a -+== ，则21n n a =-，………………………………………………………………………………………（7分） 所以1222n n n S a n n +=-=--，…………………………………………………………（9分） 所以23112(222)[34(2)]n n n T S S S n +=+++=+++-++++22242(32)5241222n n n n n n ++-+++=-=---． …………………………………………（13分） 16．（本小题满分15分） （1）证明：因为AB AD =，CB CD =，所以ABC ADC △≌△，所以ABO ADO △≌△．所以BO OD =，90AOB AOD ∠=∠=︒，所以AC BD ⊥．……………………………（3分） 因为AB AP BC PC AC AC ===，，，所以ABC APC △≌△． 因为BO AC ⊥，所以PO AC ⊥，又因为PO BD O = ，PO ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD ． …………………………………………………………………（6分）数学参考答案·第5页（共8页）（2）解：由（1）可知OB OC ⊥，因为5AB BC AC ===， 所以222AB BC AC +=，所以90ABC ∠=︒， 从而由等面积法，可知1025BO ==，由勾股定理，可知1AO ==，因为PB =222PB PO BO =+，所以PO OB ⊥．又因为PO AC ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ．……………………………………………（8分） 以O 为原点，OB OC OP ，，所在直线分别为x y z ，，轴，建立如图2所示的空间直角坐标系，由（1）可知BO OD OP ==， 所以2OD OP ==，所以(002)P ，，，因为(200)(010)(200)(040)B A D C --，，，，，，，，，，，，………………………………………………………………………………………（10分） 因为点Q 为线段PC 的中点，所以(021)Q ，，，………………………………………（11分） 所以(221)(012)(202)BQ PA PD =-=--=--，，，，，，，，， 设平面PAD 的法向量为()n x y z =，，，则00PA n PD n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，令1z =-，解得12x y ==，，所以平面PAD 的法向量为(121)n =-，，，……………………………………………（13分） 设直线BQ 与平面PAD 所成角为θ，则||sin |cos |||||18n BQ n BQ n BQ θ〉=〈===，， 所以直线BQ 与平面PAD15分） 图2数学参考答案·第6页（共8页）17．（本小题满分15分）解：（1）由题意得()f x 的定义域为(0)+∞，，11()ax f x a x x='-=-………………………………………………………………………………………（2分） 当0(0)a x ∈+∞≤，，时，()0f x '<，所以()f x 在区间(0)+∞，内单调递减； 当0a >时，令()0f x '=，得1x a=， 当10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0()f x f x <'，单调递减；当1x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，()0()f x f x >'，单调递增．综上，当0a ≤时，()f x 在区间(0)+∞，内单调递减；………………………………（4分） 当0a >时，()f x 在10a ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增．………………（6分）（2）当1a =时，由2e ()x k x f x x -≤，得2e ln x k xx x x--≤， 整理得22e ln xk x x x x +-≥，即2ln 2e xx x x xk +-≥．……………………………………（8分）令2ln ()exx x x xh x +-=， 则22(21ln 1)e (ln )e (ln )(1)()(e )e x x x xx x x x x x x x x h x +---+---='=，……………………（10分）由（1）知，当1a =时，()ln f x x x =-的最小值为(1)10f =>，即ln 0x x ->恒成立， …………………………………………………………………（11分）所以当(01)x ∈，时，()0()h x h x >'，单调递增；当(1)x ∈+∞，时，()0()h x h x <'，单调递减．…………………………………………（13分） 故当1x =时，()h x 取得最大值2(1)e h =，即22ek ≥， 故k 的取值范围为1e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，．…………………………………………………………（15分）18．（本小题满分17分）解：（1）记甲同学先投3分球，投篮2次就终止投篮的事件为A ， 11111()11.52522p A ⎛⎫⎛⎫=⨯+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………………………………………………………………………………（4分）数学参考答案·第7页（共8页）（2）记甲同学先投3分球通过测试的概率为1p ，则1111111117115252252220p ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；…………………………………（7分）记甲同学先投2分球通过测试的概率为2p ， 则2111111117112222220255p ⎛⎫⎛⎫=⨯+-⨯⨯+⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 因为12p p =，故甲同学先投2分或先投3分是一样的．……………………………（10分） （3）记甲同学先投3分球投篮累计得分为X ，先投2分球投篮累计得分为Y ，X 可能取0，2，3，4，5，………………………………………………………………（11分） 412(0)525P X ==⨯=，411(2)51225P X ==⨯⨯=， 1111(3)52220P X ==⨯⨯=，411(4)51225P X ==⨯⨯=，111113(5)5252220P X ==⨯+⨯⨯=，1113()2345 2.1520520E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．……………………………………………（14分）Y 可能取0，2，4，5， 111(0)224P Y ==⨯=，121142(2)C 2255P Y ==⨯⨯⨯=， 111(4)224P Y ==⨯=，121111(5)C 22510P Y ==⨯⨯⨯=， 21123()245 2.1541010E Y =⨯+⨯+⨯=>． 故甲同学先投2分球投篮累计得分期望最大． ………………………………………（17分） 19．（本小题满分17分）解：（1）因为点P 在椭圆C 上，PF x ⊥轴，且||1PF =，故0)F ，所以P的坐标为1)， 所以222112a a +=-，解得24a =，2a =．……………………………………………（4分） （2）由（1）知椭圆C 的方程为22142x y +=，设动点00()M x y ，，则2200142x y +=，所以220022x y =-，………………………………（5分）故||||2MF x==-，…………………………………………（7分）|||MN x=-，………………………………………………………………………（9分）所以||||2MFMN=．………………………………………………………………………（10分）（3）不妨设AFB∠γ=，ABF△的外接圆半径为R，则由正弦定理||||||2sin sin sinAF BF ABRαβγ===，所以||2sin||2sin||2sinAF R BF R AB Rαβγ===，，．…………………………………（12分）如图3，过A B，分别作直线x=D E，，过B作BG AD⊥于点G，由（2）的结论可得||||||||AF BFAD BE==所以||||(||||)2AF BF AD BE-=-，即2sin2sin||2R R AGαβ-=，所以||(sin sin)AGαβ=-，………………………………………………………（14分）又2ABk=，得tan2BAG∠=，则||cos||3AGBAGAB=∠=，即(sin sin)2sin3Rαβγ-=，…………………………（16分）所以sin sinαβγ-=，当且仅当π2γ=时等号，所以sin sinαβ-的最大值为3．……………………………………………………（17分）图3数学参考答案·第8页（共8页）。
陕西省安康市2023-2024学年高三上学期第一次质量联考数学(文科)试题含答案
2023~2024学年度安康市高三年级第一次质量联考数学试卷（文科）考生注意：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.第Ⅰ卷一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}1,1,1,23,12A a B a a =-=---，若A B ⊆，则a =（）A.2B.23C.1D.02.命题“2,x x ∀∈∈R Q ”的否定是（）A.2,x x ∀∈∉R QB.2,x x ∃∈∉R QC.2,x x ∃∈∈R QD.2,x x ∀∉∉R Q3.若复数()()i 1i 43i a a -+=-+，则实数a =（）A.2B.±2C.-2D.14.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24612a a a ++=，则7S =（）A.14B.21C.28D.425.已知0.30.3ln0.3,log 0.5,5a b c ===，则（）A.b c a <<B.a b c <<C.c b a<< D.b a c<<6.在ABC 中，点D 在边AB 上，3BD DA =，记,CA a CD b ==，则CB =（）A.43a b-+B.34a b-+C.34a b -D.34a b+ 7.若函数()1f x +的定义域为()2,2-，则函数()f x g x=的定义域为（）A.()0,1 B.()0,3 C.()1,3- D.()0,∞+8.“11a b>”是“a b <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知35,cos 5a b A ===，则c =（）A.11B.6C.5D.910.函数()sin cos 55x xf x =-的最小正周期和最小值分别是（）A.10π和-2B.5π和C.10π和D.5π和-211.若函数()2e xf x x a =-有三个零点，则a 的取值范围是（）A.240,e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.(],0∞- C.240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.420,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭12.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 单调递增，若()32f =，则不等式()232f x --的解集为（）A.[]0,6 B.[]3,3- C.[]6,0- D.[]6,6-第II 卷二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若()1i 2z ⋅+=，则z z ⋅=（）14.数列{}n a 满足111,21n na a a +==-，则{}n a 的前985项和为__________.15.函数()21f x x x x =+-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为__________.16.已知向量()()1,2,3,4a b =-= ，若a∥(),c a b c ⊥+ ，则c = __________.三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1328,332a a a ==+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设4log n n b a =，求{}n b 的前n 项和n T .18.（12分）已知函数()22sin cos 2sin cos (04)f x x x x x ωωωωω=-+<<图象的一条对称轴方程为316x π=.（1）求ω；（2）求()f x 在511,4848ππ⎡⎤⎢⎣⎦上的值域.19.（12分）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为2,,,6,10,cos 3a b c b c C ===-.（1）求cos B ；（2）求AB 边上的高.20.（12分）已知函数()322f x x ax a x =--.（1）若()f x 的一个极值点为1，求()f x 的极小值；（2）若1a =，求过原点与曲线()y f x =相切的直线方程.21.（12分）杭州第19届亚运会，是亚洲最高规格的国际综合性体育赛事.本届亚运会于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举办.某款亚运会周边产品深受大家喜爱，供不应求，某工厂日夜加班生产该款产品.生产该款产品的固定成本为4万元，每生产x 万件，需另投入成本()p x 万元.当产量不足6万件时，()212p x x x =+；当产量不小于6万件时，()816372p x x x =+-.若该款产品的售价为6元/件，通过市场分析，该工厂生产的该款产品可以全部销售完.（1）求该款产品销售利润y （万元）关于产量x （万件）的函数关系式；（2）当产量为多少万件时，该工厂在生产中所获得利润最大？22.（12分）已知函数()()21ln 12f x a x a x x =-++.（1）求()f x 的单调区间；（2）当0a >时，对任意()1,x ∞∈+，不等式()21e 2axf x x x ax -+-恒成立，求实数a 的取值范围.2023~2024学年度安康市高三年级第一次质量联考数学试卷参考答案（文科）1.D因为A B ⊆，所以1B ∈.当231a -=时，2a =，此时11a -=，舍去；当121a -=时，0a =，此时{}{}1,1,1,3,1A B =-=--，符合题意.2.B 全称命题的否定是特称命题.3.C 因为()()()2i 1i 21i 43i a a a a -+=+-=-+，所以224,13,a a =-⎧⎨-=⎩故2a =-.4.C 因为{}n a 为等差数列，所以2464312a a a a ++==，所以44a =.因为()1774772a a S a +==，所以728S =.5.B 因为()0.30.3ln0.30,log 0.50,1,51a b c =<=∈=>，所以a b c <<.6.B 因为3BD DA =，所以4AB AD =.因为CB CA AB =+ ，所以()443434CB CA AD CA CD CA CA CD a b =+=+-=-+=-+.7.B 由题意得22x -<<，则113x -<+<，所以()f x 的定义域为()1,3-，因为13,0,x x -<<⎧⎨>⎩所以()g x 的定义域为()0,3.8.D当11a b >时，可能0,0,0a b a b b a <<<<<<；当a b <时，11,a b 大小无法确定.所以“11a b>”是“a b <”的既不充分也不必要条件.9.A因为2222cos a b c bc A =+-，且35,cos 5a b A ===，所以280256c c =+-，整理得()()26555110c c c c --=+-=，故11c =.10.C 因为()sin cos 5554x x x f x π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期是21015ππ=，最小值为.11.C()f x 有三个零点等价于直线y a =与曲线()2ex x g x =有三个交点.因为()()2exx x g x -='，所以()g x 在()(),0,2,∞∞-+上单调递减，在()0,2上单调递增.因为()()2400,2e g g ==，且()0,0x g x >>，所以240,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.12.A因为()f x 为奇函数，且()32f =，所以()32f -=-.因为()f x 单调递增，所以不等式()232f x -- 等价于333x -- ，故[]0,6x ∈.13.2因为|(1i)||||1i ||2z z z ⋅+=⋅+==，所以z =.设()i ,z a b a b =+∈R，则=，所以()()222i i ||2z z a b a b a b z ⋅=+-=+==.14.494因为111,21n na a a +==-，所以23411111,,211211212a a a ==-====-+-，所以{}n a 是一个周期数列，且周期为3，故前985项和为()132********⎡⎤⨯+-++=⎢⎣⎦.15.1因为()()()()()32232222222112112121x x x x x x x f x x x x x x--'--++--=--===，所以()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在()1,2上单调递增，故()f x 的最小值为()11f =.因为()1,2,a a =-∥c，所以可设(),2c λλ=-.因为()a b c ⊥+ ，所以()0a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅=.因为()3,4b = ，所以550λ+=，得1λ=-，所以()1,2c =-，故c =17.解：（1）设{}n a 的公比为q ，因为1328,332a a a ==+，所以282432q q =+，即()()234410q q q q --=-+=，解得1q =-或4q =.因为0n a >，所以4q =，故121842n n n a -+=⨯=.（2）由（1）知21441log log 22n n n b a n +===+，所以()2112222n n n n nT n ++=+=.18.解：（1）()22sin cos 2sin cos sin2cos2f x x x x x x xωωωωωω=-+=-24x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为()f x 图象的一条对称轴方程为316x π=，所以32,1642k k πππωπ⋅-=+∈Z ，所以82,3k k ω=+∈Z .因为04ω<<，所以2ω=.（2）由（1）知()44f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为511,4848x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以24,463x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以1sin 4,142x π⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故()22f x ∈⎣⎦.19.解：（1）因为2cos 3C =-，所以5sin 3C ==.因为6,10b c ==，所以56sin 3sin 105b CB c⨯===.因为b c <，所以0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故25cos 5B ==.（2）因为52525sin ,sin 3355C C B B ==-==，所以()52255sin sin sin cos cos sin 5353A B C B C B C ⎛⎫=+=+=⨯-+⨯ ⎪⎝⎭102515-=设AB 边上的高为h ，则10252045sin 6155h b A --==⨯=.20.解：（1）因为()322f x x ax a x =--，所以()2232f x x ax a =--'.因为1为()f x 的极值点，所以()21320f a a =--='，所以1a =或3a =-.当1a =时，()()()()322,321131f x x x x f x x x x x =-----'==+，所以()f x 在1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在()1,,1,3∞∞⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 的极小值为()11f =-.当3a =-时，()()()()32239,369313f x x x x f x x x x x =+-=+-=-+'，所以()f x 在()3,1-上单调递减，在()(),3,1,∞∞--+上单调递增，所以()f x 的极小值为()15f =-.（2）当1a =时，()()322,321f x x x x f x x x '=--=--，设切点为()()00,x f x ，则()()3220000000,321f x x x x f x x x '=--=--，所以切线方程为()()()322000000321y x x x x x x x ---=---，将点()0,0代入得()()()322000000321x x x x x x ---=---，整理得()200210x x -=，所以00x =或012x =.当00x =时，切线方程为y x =-，当012x =时，切线方程为54y x =-.21.解：（1）当06x <<时，2211645422y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+-⎪⎝⎭；当6x时，8163815567422y x x x x x ⎛⎫=-+--=--+ ⎪⎝⎭.综上，2154,06,28155, 6.2x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--+⎪⎩（2）当06x <<时，22111754(5)222y x x x =-+-=--+，所以当5x =时，y 取得最大值，最大值为8.5万元.当6x时，8155559.522y x x =--+-+= ，当且仅当81x x=，即9x =时，y 取得最大值，最大值为9.5万元.综上，当产量为9万件时，该工厂在生产中所获得利润最大，最大利润为9.5万元.22.解：（1）()()()211x a x a af x a x x x'-++=-++=()()1(0)x a x x x--=>.当0a时，()f x 在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增.当01a <<时，令()0f x '>，得0x a <<或1x >，令()0f x '<，得1a x <<，所以()f x 在()0,a 和()1,∞+上单调递增，在(),1a 上单调递减.当1a =时，()0f x '恒成立，则()f x 在()0,∞+上单调递增.当1a >时，令()0f x '>，得01x <<或x a >，令()0f x '<，得1x a <<，()f x 在()0,1和(),a ∞+上单调递增，在()1,a 上单调递减.综上所述，当0a时，()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,∞+；当01a <<时，()f x 的单调递增区间为()0,a 和()1,∞+，单调递减区间为(),1a ；当1a =时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；当1a >时，()f x 的单调递增区间为()0,1和(),a ∞+，单调递减区间为()1,a .（2）()21e 2axf x x x ax -+-，即ln e a x a x x x -- ，整理得ln lne e .a a x x x x -- 因为()1,,0x a ∞∈+>，所以1,e 1a x x >>.令()()ln ,1,g x x x x ∞=-∈+.因为()110g x x=-<'，所以()g x 在()1,∞+上单调递减.因为()()ln e lne e aaa x x x g xxx g =-=- ，所以e a x x ，所以ln a x x.因为ln 0x >，所以ln x a x .令()(),1,ln xh x x x∞=∈+，则()2ln 1(ln )x h x x -='.令()0h x '>，得e x >，令()0h x '<，得1e x <<，所以()h x 在()1,e 上单调递减，在()e,∞+上单调递增，所以()min ()e e,h x h ==所以0e a <，即实数a 的取值范围是(]0,e .。
河南省中原名校2022-2023学年高二上第一次联考数学试卷含答案
河南省中原名校2022-2023学年高二上第一次联考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1．直线0x −=的倾斜角为（ ） A ．6πB ．4πC ．23πD ．56π2．如图，在空间四边形PABC 中，PB AB CA −−=（ ）A ．PCB ．APC ．ABD ．AC3．若空间向量,a b 不共线，且3(2)10ya x y b xa b −++=+，则23x y −=（ ） A ．6 B ．12 C ．18 D ．244．若直线30x my ++=与直线460mx y ++=平行，则m =（ ） A ．12B ．12−C ．12或12− D ．不存在5．若向量(2,0,),(2,2,1)a b λ==−，且a 与b 的夹角的余弦值为13−，则实数λ等于（ ） A ．1 B ．32 C ．1或32 D ．0或326．如图，在三棱锥O ABC −中，设,,OA a OB b OC c ===，若,25AN NB BM MC ==，则MN =（ ）A ．112263a b c +− B ．112263a b c −+ C ．1352147a b c +− D ．1532147a b c +− 7．已知(1,2,0),(3,1,2),(2,0,4)A B C ，则点C 到直线AB 的距离为（ ）A ．2BC ．D ．8．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D −中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是线段1D D 的中点，N 是线段11A B 的中点，则直线NO 与直线AM 所成的角是（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π9．已知向量{,,}a b c 是空间的一个基底，向量{,,}a b a b c −+是空间的另一个基底，一向量p 在基底{,,}a b c 下的坐标为(2,1,1)−，则向量p 在基底{,,}a b a b c −+下的坐标为（ ）A ．13,,122⎛⎫− ⎪⎝⎭B ．31,,122⎛⎫−− ⎪⎝⎭ C ．13,,122⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,,122⎛⎫−−− ⎪⎝⎭ 10．已知两点(2,3),(2,4)A B −−−，若直线20ax y +−=与线段AB 没有公共点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．5,2⎛⎫−∞−⎪⎝⎭ B ．(3,)+∞ C ．5,32⎛⎫− ⎪⎝⎭ D ．5,(3,)2⎛⎫−∞−+∞ ⎪⎝⎭11．某直线l 过点(3,4)B −，且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的2倍，则该直线的斜率是（ ） A ．43−B ．12−C ．43或12− D ．43−或12−12．如图，某圆锥SO 的轴截面SAC ，其中SA =，点B 是底面圆周上的一点，且2cos 3BOC ∠=，点M 是线段SA 的中点，则异面直线SB 与CM 所成角的余弦值是（ ）A ．35 B ．65 C ．15 D ．5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．经过(,2),(3,4)A x B −两点的直线的一个方向向量为(1,3)，则x =__________．14．已知(0,1,2),(2,1,0),(2,0,0)A B C ，点(,,1)P x y −，若PA ⊥平面ABC ，则点P 的坐标为__________． 15．从点(4,1)A −出发的一束光线l ，经过直线1:30l x y −+=反射，反射光线恰好通过点(3,2)B −，则反射光线所在直线的一般式方程为__________．16．正方体1111ABCD A B C D −棱长为2，E 是棱AB 的中点，F 是四边形11AA D D 内一点（包含边界），且1FE FD ⋅=，当直线EF 与平面ABCD 所成的角最大时，三棱锥1F AEB −的体积为__________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知空间向量(2,3,1),(3,0,1),(,6,2)a b c x =−=−=−． （1）若a c ∥，求||c（2）若()(2)ka b a b +⊥−，求实数k 的值． 18．（本小题满分12分）在平行四边形ABCD 中，(1,2),(1,3),(3,1)A B C −−，点E 是线段BC 的中点． （1）求直线AE 的方程；（2）求过点A 且与直线DE 垂直的直线． 19．（本小题满分12分）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D −中，1AB AD AA ==，且1,,AB AD AA 的两两夹角都是3π．（1）若1AB =，求线段1AC 的长度； （2）求直线1BD 与AC 所成角的余弦值． 20．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C −中，,22ABC AB BC π∠===，E 为线段BC 的中点．（1）证明：1A B ∥平面1AEC ；（2）若11AA =，求二面角1A C E C −−的平面角的正弦值． 21．（本小题满分12分）已知直线:230l kx y k −++=经过定点P ． （1）证明：无论k 取何值，直线l 始终过第二象限； （2）若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，当11||||23PA PB +取最小值时，求直线l 的方程．22．（本小题满分12分）如图，在四棱锥A BCDE −中，AC ⊥平面BCDE ，底面BCDE 为矩形，26CD BC ==，G 为ABE △的重心，M 为线段CD 的中点，BM 与CE 交于点F ．（1）当3AC =时，证明：GF ⊥平面ABE ；（2）当平面GCE 与平面ADE 所成锐二面角为60︒时，求三棱锥D AGE −的体积．中原名校2022-2023学年上期第一次联考高二数学参考答案一、选择题1．D 【解析】将原式化为：8y x =+，斜率为3−，即tan α=，倾斜角56πα=． 2．A 【解析】根据向量的加法、减法法则得PB AB CA PB BA AC PC −−=++=．3． C 【解析】空间向量,a b 不共线，要使3(2)10ya x y b xa b −++=+，则3623182102y x x x y x y y −==⎧⎧⇒⇒−=⎨⎨+==−⎩⎩． 4．B 【解析】由直线30x my ++=与直线460mx y ++=平行，可得：241126m m ⎧=⎨≠⎩，解得12m =−．5．B 【解析】由题知，1cos ,3||||4a b a b a b λ⋅〈〉===−+，解得32λ=．6．C 【解析】连接,OM ON ，112()()()227MN ON OM OA OB OC CM OA OB OC CB =−=+−+=+−−=12135135()()2721472147OA OB OC OB OC OA OB OC a b c +−−−=+−=+−．7．B 【解析】因为(2,1,2),(1,2,4)AB AC =−=−，所以4||AB ACAB ⋅=．设点C 到直线AB 的距离为d ，则2||16d AC =−=．8．D 【解析】以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系设正方体的棱长为2，则(2,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(2,1,2)A M O N ．∴(1,0,2),(2,0,1)NO AM =−−=−，∴0NO AM ⋅=，∴直线NO 与直线AM 所成的角是2π．9．A 【解析】设p 在基底{,,}a b a b c −+下的坐标为(,,)x y z ， 则()()()()2p x a b y a b zc x y a y x b zc a b c =−+++=++−+=+−，所以211x y y x z +=⎧⎪−=⎨⎪=−⎩，解得12321x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=−⎪⎪⎩，故p 在基底{,,}a b a b c −+下的坐标为13,,122⎛⎫− ⎪⎝⎭．10．C 【解析】直线20ax y +−=恒过定点(0,2)P ，斜率为a −，直线PA 的斜率为23522PA k +==，直线PB 的斜率为3PB k =−．结合图像可知，当直线l 与线段AB 没有交点时，直线l 的斜率53,2a ⎛⎫−∈− ⎪⎝⎭，即5,32a ⎛⎫∈−⎪⎝⎭． 11．D 【解析】当直线在x 轴和y 轴上的截距均为0时，可设直线的方程为y kx =，代入点(3,4)B −，则43k =−，解得43k =−，当直线在x 轴和y 轴上的截距均不为0时，可设直线的方程为12x y m m +=，代入点(3,4)B −，则3412m m −+=，解得52m =，所以所求直线的方程为1552x y+=，即250x y +−=，综上所述，该直线的斜率是43−或12−． 12．B 【解析】由圆锥的性质可知SO ⊥平面ABC ，以点O 为坐标原点，平面ABC 过点O 且垂直于AC 的直线为x 轴，直线OC OS 、分别为y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，不妨设1,OA OB SA ===，则根据题意可得1(0,1,0),(0,1,0),(0,0,2),0,,12A C S M ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，因为2cos 3BOC ∠=，所以2,033B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以52,,233SB ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，30,,12CM ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，6cos ,65||||SB CM SBCM SB CM ⋅〈〉==−⋅，因此，异面直线SB 与CM ．二、填空题13．5 14．(3,1,1)−− 15．370x y ++= 16．1313．【解析】由条件可知，4233x−−=−，解得5x =． 14．【解析】因为(0,1,2),(2,1,0),(2,0,0)A B C ，所以(2,0,2),(2,1,2),(,1,3)AB AC AP x y =−=−−=−−，因为PA ⊥平面ABC ， 所以03327010AB AC A APAB AP x x x y C y AP AP ⎧⎧⊥⋅==−=−⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨−+==⊥⋅=⎩⎩⎪⎪⎩⎩， 所以点P 的坐标为(3,1,1)−−．15．【解析】设(4,1)A −关于直线1:30l x y −+=的对称点为()11,D x y ，则11111114413022y x x y −⎧⋅=−⎪+⎪⎨−+⎪−+=⎪⎩，解得1121x y =−⎧⎨=−⎩，∴(2,1)D −−，依题意知D 在反射光线上．又(3,2)B −也在反射光线上，∴21332BD k +==−−+，故所求方程为13(2)y x +=−+，整理得：370x y ++=．16．【解析】如图，以A 为坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0)A E D ，设(0,,),[0,2],[0,2]F m n m n ∈∈，则22(1,,)(0,2,)21FD m n m n m m n FE ⋅=−−⋅−−=−+=，设EF 与平面ABCD 所成的角为θ，tanθ====令1,tan t mθ=+=== 当且仅当t =1m =时，tan θ最大，EF 与平面ABCD 所成的角最大．三棱锥1F AEB −的体积为11111)1333AEB m S ⋅=−⋅=△．三、解答题17．【解析】 （1）∵a c ∥，∴62231x −==−，解得：4x =−， 故(4,6,2)c =−−，故||1636c =+== （2）因为(2,3,)(3,0,1)(23,3,1)ka b k k k k k k +=−+−=−−+2(4,6,2)(3,0,1)(7,6,1)a b −=−−−=−由()(2)ka b a b +⊥−得()(2)0ka b a b +⋅−= 即7(23)1810k k k −+++=，解得2033k =． 18．【解析】（1）由中点坐标公式，得(2,1)E ， 又因为(1,2)A −，所以121213AE k −==−+， 所以直线AE 的方程为11(2)3y x −=−−， 即350x y +−=．（2）设点(,)D x y ，因为平行四边形ABCD 的对角线互相平分，所以1312221322xy −++⎧=⎪⎪⎨−+⎪=⎪⎩，解得12x y =⎧⎨=−⎩，所以12321DE k +==−，过点A 且与直线DE 垂直的直线为：12(1)3y x −=−+． 即350x y +−= （写成1533y x =−+也得分） 19．【解析】（1）以{,,}AB AD AA 为空间一组基底．11AC AB AD AA =++，()2211AC AB AD AA =++()2221112AB AD AA AB AD AD AA AB AA =+++⋅+⋅+⋅()1112311cos606=+++⨯⨯⨯︒=，所以16AC =．（2）111BD AD AB AD AA AB =−=+−，()()222222111112BD AD AA ABAD AA AB AD AA AD AB AA AB =+−=+++⋅−⋅−⋅()111211cos6011cos6011cos602=+++⨯⨯⨯︒−⨯︒−⨯⨯︒⨯=，所以12BD =AC AB AD =+，2222()21211cos6013AC AB AD AB AB AD AD =+=+︒⋅+=+⨯⨯⨯+=，所以||3AC =．()11()BD AC AD AA AB AB AD ⋅=+−⋅+11AD AB AA AB AB AB AD AD AA AD AB AD =⋅+⋅−⋅+⋅+⋅−⋅ 211cos601=⨯⨯⨯︒=．设直线1BD 与直线AC 所成角为θ，则111cos cos ,62||BD AC BD AC BD AC θ⋅〈=⋅〉===． 20．【解析】（1）证明：连接1A C 交1AC 于点O ，连接OE ，在直三棱柱111ABC A B C −中，11ACC A 为矩形，所以O 为1A C 中点， 又因为E 为BC 中点，所以1OE A B ∥， 又由OE ⊂平面11,AEC AA ⊄平面1AEC ， 所以1A B ∥平面1AEC ．（2）以B 点为坐标原点，1,,BC BA BB 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则1(0,2,0),(1,0,0),(2,0,1),(2,0,0)A E C C ，可得1(1,2,0),(2,2,1)AE AC =−=−，设平面1AEC 的法向量为(,,)m x y z =，则120220m AE x y m AC x y z ⎧⋅=−=⎪⎨⋅=−+=⎪⎩，令2z =，则2,1x y =−=−，所以平面1AEC 的一个法向量为(2,1,2)m =−−， 因为平面1CC E 的一个法向量为(0,1,0)n =， 设二面角1A C E C −−的平面角为θ， 则||11|cos ||cos ,|||||34m n m n mn θ⋅=〈〉===+，所以二面角1A C E C −−3=．21．【解析】（1）由230kx y k −++=可得：(3)20k x y ++−=，由3020x y +=⎧⎨−=⎩可得32x y =−⎧⎨=⎩，所以l 经过定点(3,2)P −；即直线l 过定点(3,2)−且定点在第二象限，所以无论k 取何值，直线l 始终经过第二象限．（2）设直线l 的倾斜角为α，则02πα<<， 可得23,sin cos PA PB αα==， 所以1111sin cos ||||23sin cos sin cos PA PB αααααα++=+=，令sin cos 4t πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 因为02πα<<，可得3sin 144424ππππαα⎛⎫<+<<+≤ ⎪⎝⎭，4t πα⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭， 将sin cos t αα=+两边平方可得：22(sin cos )12sin cos t αααα=+=+⋅， 所以21sin cos 2t αα−=， 所以2211sin cos 22||||1123sin cos 12t t PA PB t t t t αααα++====−−−， 因为1y t t =−在上单调递增，所以102t t<−≤11y t t =≥−21t t ≥−，此时4t πα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ 可得4πα=，所以tan tan 14k πα===，所以直线的方程为50x y −+=．22．【解析】（1）延长EG 交AB 于N ，连接NC ，因为G 为ABE △的重心，所以点N 为AB 的中点，且2EG GN=，因为CM BE ∥，故CMF EBF △∽△，所以2EF BE CF CM==， 故EF EG CF GN=，故GF NC ∥， 因为AC ⊥平面BCDE ，所以AC BE ⊥，因为底面BCDE 为矩形，所以BC BE ⊥，又因为AC BC C =，所以BE ⊥平面ABC ，故CN BE ⊥，因为AC BC =，所以CN AB ⊥，又因为BE AB B =，所以CN ⊥平面ABE ，所以GF ⊥平面ABE ．（2）以C 为原点，以,,CB CD CA 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 设点G 到平面BCDE 的距离为(0)t t >，则(0,0,3),(3,0,0),(3,6,0),(2,2,),(0,6,0)A t B E G t D ，故(2,2,),(3,6,0),(0,6,3),(3,0,0)CG t CE AD t DE ===−=，设平面GCE 的法向量为()111,,m x y z =，则00m CG m CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11111220360x y tz x y ++=⎧⎨+=⎩， 取11y =，则112,2z x t ==−，即22,1,m t ⎛⎫=− ⎪⎝⎭， 设平面ADE 的法向量为()222,,n x y z =，则00n AD n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22263030y z x −=⎧⎨=⎩， 取22z =，则2y t =，则(0,,2)n t =， 所以||1cos60||||245m n m n⋅︒===⋅+，解得212,t t ==又(2,DG =−，故点G 到平面ADE 的距离为||43||4DG n d n ⋅===因为3AC t ==，所以12AD =，所以1131232D AGE G ADE V V −−==⨯⨯⨯=．。
2024-2025学年浙江省名校新高考研究联盟Z20名校联盟高三(上)第一次联考数学试卷(含答案)
2024-2025学年浙江省名校新高考研究联盟Z20名校联盟高三（上）第一次联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x|x 2−x−2≤0}，B ={x|2x−3<0}，则A ∩B =( )A. [−2,1]B. [−1,32)C. (−∞,32)D. (−∞,−1]2.(2x−1x 2)7的展开式中1x 2项的系数是( )A. 672B. −420C. 84D. −5603.已知等差数列{a n }前n 项和为S n ，若a 7a 5=1213，则S 13S 9=( )A. 913B. 1213C. 75D. 434.已知随机变量X 的分布列如下表所示，则E(2X +1)=( ) X 123P13a 16A. 116B. 113C. 143D. 2235.已知函数f(x)=log 2(x 2−ax),a ∈R ，则“a ≤2”是“函数f(x)在(1,+∞)上单调递增”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.函数f(x)=cos (ωx +π6)(ω>0)的图象在区间(0,1)上恰有一个对称中心，则ω的取值范围为( )A. (π6,2π3]B. (π6,4π3]C. (π3,4π3]D. (π3,7π3]7.若某圆台有内切球(与圆台的上下底面及每条母线均相切的球)，且母线与底面所成角的余弦值为13，则此圆台与其内切球的体积之比为( )A. 74B. 2C. 32D. 538.设函数f(x)=a(x−1)2−1,g(x)=cos πx2−2ax ，若函数ℎ(x)=f(x)−g(x)在区间(−1,1)上存在零点，则实数a 的取值范围是( )A. a≤2B. 12<a≤1 C. 12<a≤2 D. 1<a≤2二、多选题：本题共3小题，共18分。
管理类专业学位联考综合能力数学(数列)-试卷1
管理类专业学位联考综合能力数学（数列）-试卷1(总分：70.00，做题时间：90分钟)一、问题求解(总题数：26，分数：52.00)1.已知{a n }为等差数列，且a 2一a 5 +a 8 =9，则a 1 +a 2+…+a 9 =( )．（分数：2.00）A.27B.45C.54D.81 √E.162解析：解析：下标和定理的应用．因为a 2 -a 5 +a 8 =a 2 +a 8 -a 5 =2a 5一a 5 =a 5 =9，所以a 1 +a 2 +…+a 9 =9a 5 =81．2.已知{a n }是等差数列，a 2 +a 5 +a 8 =18，a 3 +a 6 +a 9 =12，则a 4 +a 7 +a 10 =( )．（分数：2.00）A.6 √B.10C.13D.16E.20解析：解析：因为{a n}是等差数列，故a 2+a 5+a 8，a 3+a 6+a 9，a 4+a 7+a 10也成等差；由2×12=18+(a 4 +a 7 +a 10 ),得a 4 +a 7 +a 10 =6．3.已知{a n }是等差数列，a 1 +a 2 =4，a 7 +a 8 =28，则该数列前10项和S 10等于( )．（分数：2.00）A.64B.100 √C.110D.130E.120解析：解析：万能方法，化为a 1和d，得4.某车间共有40人，某次技术操作考核的平均分为90分，这40人的分数从低到高恰好构成一个等差数列：a 1，a 2，…，a 40，则a 1 +a 8 +a 33 +a 40 =( )．（分数：2.00）A.260B.320C.360 √D.240E.340解析：解析：平均分为 a 1 +a 40 =180，故 a 1 +a 8 +a 33 +a 40 =2(a 1 +a 40 )=360．5.已知等差数列{a n }中，a 7 +a 9 =16，a 4 =1，则a 12的值是( )．（分数：2.00）A.15 √B.305C.315D.645E.以上答案均不正确解析：解析：因为a 7 +a 9 =2a 8 =16，故a 8 =8，a 8 -a 4 =4d=8-1=7，得 a 12 =a 8 +4d=8+7=15．6.已知等差数列{a n}中a m+a m+10=a，a m+50+a m+60=b(a≠b)，m为常数，且m∈N，则a m+100+a m+110=( )．（分数：2.00）A.B.C.D.E. √7.等差数列{a n }中，已知n为( )．（分数：2.00）A.28B.29C.30D.31 √E.328.首项为-72的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围是( )．（分数：2.00）A.d＞8B.d＜9C.8≤d＜9D.8＜d≤9√E.8＜d＜98＜d≤9．9.等差数列{a n }中，a 1 +a 7 =42，a 10 -a 3 =21，则前10项的S 10 =( )．（分数：2.00）A.255 √B.257C.259D.260E.27210.等差数列中连续4项为a，m，b，2m，那么a：b=( )（分数：2.00）A.B. √C.D.E.a：b=1：3．11.等差数列前n项和为210，其中前4项和为40，后4项的和为80，则n的值为( )（分数：2.00）A.10B.12C.14 √D.16E.18解析：解析：a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a n-3 +a n-2 +a n-1 +a n =4(a 1 +a n )=120，故a 1 +a n =30，12.已知等差数列{a n }中，S 10 =100，S 100 =10，求S 110 =( )．（分数：2.00）A.110B.一110 √C.220D.一220E.0解析：解析：S 100一S 10 =a 11 +a 12 +a 13+…+a 100 =45(a 11 +a 100 )=10一100=一90，故a 11 +a 100 =一2，故13.若在等差数列中前5项和S 5 =15，前15项和S 15 =120，则前10项和S 10 =( )．（分数：2.00）A.40B.45C.50D.55 √E.60解析：解析：等差数列的等长片段和仍然成等差数列，即S n，S 2n一S n，S 3n一S 2n，…仍为等差数列，故S 5，S 10-S 5，S 15-S 10。
2024届湖南省新高考教学教研联盟高三第一次联考数学试题及答案
2024届新高考教学教研联盟高三第一次联考数学试卷注意专项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如简改动，用橡皮擦干静后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设复数1i z =+，则复数1z z+（其中z 表示z 的共轭复数）表示的点在（ ）上A ．x 轴B ．y 轴C ．y x=-D ．y x=2．已知角α和β，则“αβ=”是“tan tan αβ=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3，侧面展开图是一个半圆面，则该圆锥的体积为（ ）A ．12πB ．9πC ．3πD 4．已知双曲线()222106x y b b -=>的一条渐近线的倾斜角为π6，则此双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为（）A B ．2C D ．5．一对夫妻带着3个小孩和一个老人，手拉着手围成一圈跳舞，3个小孩不相邻的站法种数是（ ）A ．6B ．12C ．18D ．366．已知递增的等比数列{}n a ，10a >，公比为q ，且1a ，3a ，4a 成等差数列，则q 的值为（）A B C D7．已知平面内的三个单位向量a ，b ，c ，且12a b ⋅= ，a c ⋅= ，则b c ⋅= （）A ．0B ．12CD08．设方程22log 1xx ⋅=的两根为1x ，()212x x x <，则（ ）A ．101x <<，22x >B ．121x x >C ．1201x x <<D ．123x x +>二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9．下列说法正确的是（）A ．若事件A 和事件B 互斥，()()()P AB P A P B =B ．数据4，7，5，6，10，2，12，8的第70百分位数为8C ．若随机变量ξ服从()217,N σ，()17180.4P ξ<≤=，则()180.1P ξ>=D ．已知y 关于x 的回归直线方程为0.307ˆ.yx =-，则样本点()2,3-的残差为 1.9-10．设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（）A ．()()f x g x 是奇函数B ．()()f x g x 是偶函数C ．若()()321g x f x x x -=++，则()()111f g +=D ．若函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减且()11f =-，则满足()121f x -≤-≤的x 的取值范围是[]1,311．已知体积为2的四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是菱形，2AB =，3PA =，则下列说法正确的是（）A ．若PA ⊥平面ABCD ，则BAD ∠为π6B ．过点P 作PO ⊥平面ABCD ，若AO BD ⊥，则BD PC⊥C ．PA 与底面ABCD 所成角的最小值为6πD ．若点P 仅在平面ABCD 的一侧，且AB AD ⊥，则P 点轨迹长度为三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12．已知关于x 的不等式10ax ->的解集为M ，2M ∈且1M ∉，则实数a 的取值范围是______．13．已知抛物线22y x =的弦AB 的中点的横坐标为2，则弦AB 的最大值为______．14．已知()1cos 3αβ+=-，cos cos 1αβ+=，则coscos 22αβαβ-+=______，()sin sin sin αβαβ+=+______．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分13分）在如图所示的ABC △sin 0B -=．（1）求B ∠的大小；（2）直线BC 绕点C 顺时针旋转π6与AB 的延长线交于点D ，若ABC △为锐角三角形，2AB =，求CD 长度的取值范围．16．（本小题满分15分）已知椭圆()2222:10x y W a b a b+=>>的右顶点为A ，左焦点为F ，椭圆W 上的点到F 的最大距离是短半轴长倍，且椭圆W 过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭．记坐标原点为O ，圆E 过O 、A 两点且与直线6x =相交于两个不同的点P ，Q （P ，Q 在第一象限，且P 在Q 的上方），PQ OA =，直线QA 与椭圆W 相交于另一个点B ．（1）求椭圆W 的方程；（2）求QOB △的面积．17．（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，4AB =，2CD =，2BC =，3PC PD ==，平面PCD ⊥平面ABCD ，PD BC ⊥．（1）证明：BC ⊥平面PCD ；（2）若点Q 是线段PC 的中点，M 是直线AQ 上的一点，N 是直线PD 上的一点，是否存在点M ，N 使得MN =请说明理由．18．（本小题满分17分）已知函数()ln f x x x =的导数为()f x '．（1）若()1f x kx ≥-恒成立，求实数k 的取值范围；（2）函数()f x 的图象上是否存在三个不同的点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y （其中123x x x <<且1x ，2x ，3x 成等比数列），使直线AC 的斜率等于()2f x '?请说明理由．19．（本小题满分17分）2023年10月11日，中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号”，求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是快的超级计算机快一亿亿倍．相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态，量子计算机的量子比特（qubit ）可同时处于0与1的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的．现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立．现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有p 的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为X ．（1）若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2，且13p =，求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率；（2）若一条信息有()*1,n n n >∈N种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为1p ，2p ，…，n p ，则称()()()12n H f p f p f p =++⋅⋅⋅+（其中()2log f x x x =-）为这条信息的信息熵．试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为X 的信息熵H ；（3）将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为Y （1Y =，2，3，⋯，n ，⋯）．证明：当n 无限增大时，Y 的数学期望趋近于一个常数．参考公式：01q <<时，lim 0nn q →+∞=，lim 0nn nq →+∞=．2024届新高考教学教研联盟高三第一次联考数学参考答案题号1234567891011答案CDCABADCBCDACDBCD一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）1．C 【解析】11331i i 1i 22z z +=+-=-+，所以对应的点33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在直线y x =-上．2．D 【解析】当2παβ==时，tan α，tan β没有意义，所以由αβ=推不出tan tan αβ=，当tan tan αβ=时，()πk k αβ=+∈Z ，所以由tantan αβ=推不出αβ=，故“αβ=”是“tan tan αβ=”的既不充分也不必要条件．3．C 【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线为l，由于圆锥的侧面展开图是一个半圆面，则2ππr l =，所以2l r =，所以圆锥的高h ==，圆锥的体积为2211ππ3π33V r h ==⨯⨯⨯=．4．A 【解析】因为双曲线()222106x y b b -=>的一条渐近线的倾斜角为π6，πtan 6=，所以该渐近线的方程为y =，所以226b=，解得b =或（舍去），所以c =，此双曲线的右焦点坐标为()，30y -=．5．B 【解析】3232A A 12=．6．A 【解析】由题意知1432a a a +=，即321112a a q a q +=，又数列{}n a 递增，10a >，所以1q >，且3212q q +=，解得q =．7．D 【解析】如图，a OA = ，c OC = ，b OB = （或b OD =），由a c ⋅= 得cos COA ∠=，又[]0,πCOA ∠∈，所以π6COA ∠=，由12a b ⋅= 得1cos 2BOA ∠=，又[]0,πBOA ∠∈，所以π3BOA ∠=，（或1cos 2DOA ∠=，又[]0,πDOA ∠∈，所以π3DOA ∠=）所以b ，c 夹角为π6或π2，所以b c ⋅= 0．8．C 【解析】由题意得，120x x <<，由22log 1xx ⋅=得21log 02xx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，令()()21log 02xf x x x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则()1102f =-<，()1321044f =-=>，1102f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，由()1102f f ⎛⎫⋅<⎪⎝⎭，()()120f f ⋅<得11,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21,2x ∈，故A 错；由21222111log log 022xxx x ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得21222111log log 22xxx x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由11,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21,2x ∈得21222111log log 022x xx x ⎛⎫⎛⎫+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1201x x <<，故C 对，B 错，由11,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21,2x ∈，所以123x x +<，D 错误．二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．）9．BCD 【解析】对于A ，若事件A 和事件B 互斥，()0P AB =，未必有()()()P AB P A P B =，A 错；对于B ，对数据从小到大重新排序，即：2，4，5，6，7，8，10，12，共8个数字，由870% 5.6⨯=，得这组数据的第70百分位数为第6个数8，B 正确；对于C ，因为变量ξ服从()217,N σ，且()17180.4P ξ<≤=，则()()()181717180.50.40.1P P P ξξξ>=>-<≤=-=，故C 正确；对于D ，由0.307ˆ.yx =-，得样本点()2,3-的残差为()30.30.72 1.9---⨯=-，故D 正确；故选BCD ．10．ACD 【解析】令()()()F x f x g x =，则()()()F x f x g x -=--，因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，所以()()f x f x -=-，()()g x g x -=，所以()()()()F x f x g x F x -=-=-，所以()()()F x f x g x =是奇函数，A 正确；同样，令()()()F x f x g x =，则()()()()()()F x f x g x f x g x F x -=--=-=-，所以()F x 是奇函数，B 错误；令1x =-代入()()321g x f x x x -=++，则()()()()32111111g f ---=-+-+=，又()()11g g -=，()()11f f -=-，所以()()111g f +=，C 正确；因为()f x 为奇函数，又()11f =-，所以()11f -=，由于()f x 在(),-∞+∞上单调递减，要使()121f x -≤-≤成立，则121x -≤-≤，所以13x ≤≤，D 正确．11．BCD 【解析】114sin sin 2333P ABCD NBCD V S h AB AD BAD h h BAD -=⋅=⋅∠⋅=∠=，则当PA ⊥平面ABCD 时，3h PA ==，则1sin 2BAD ∠=，即BAD ∠为π6或5π6，A 错误；如图1，若PO ⊥平面ABCD ，则PO BD ⊥，又AO BD ⊥，则BD ⊥平面PAO ，有BD PA ⊥，又BD AC ⊥，所以BD ⊥平面PAC ，BD PC ⊥，B 正确；设PA 与底面ABCD 所成角为θ，又11sin 233P ABCD ABCD ABCD V S h S PA θ-===，则2sin ABCDS θ=，因为4sin 4ABCD S BAD =∠≤，则1sin 2θ≥，则PA 与底面ABCD 所成角的最小值为π6，C 正确；如图2，当AB AD ⊥，根据123P ABCD ABCD V S h -==，得32h =，即P 点到底面ABCD 的距离为32，过A点作底面ABCD 的垂线为l ，过点P 作PO l ⊥交l 于点O ，则PO ===，点P 的轨迹是以O 为半径的圆，轨迹长度为，D 正确．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12．1,12⎛⎤⎥⎝⎦【解析】2M ∈且1M ∈，所以210,10,a a ->⎧⎨-≤⎩所以112a <≤．13．5 【解析】方法一：当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为2x =，代入22y x =得2y =或2y =-，所以4AB =；当直线AB 的斜率存在时，显然不为零，设直线AB 的方程为y kx b =+，代入22y x =消y 并整理得()222220k x kb x b +-+=，设()11,A x y ，()22,B x y ，判别式480kb ∆=->时有122212222,,kb x x k b x x k -⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为弦AB 的中点的横坐标为2，所以2224kb k--=，所以212kb k =-，1AB x =-==，所以2211145AB k k ⎛⎫⎛⎫=≤++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当221114k k+=-即223k =时取到等号，故弦AB 的最大值为5．方法二：设抛物线的焦点为F ，则AB AF BF ≤+，又121211122AF BF x x x x +=+++=++，当弦AB 的中点的横坐标为2时，有124x x +=，所以5AB ≤，当直线过焦点F 时取到等号，故弦AB 的最大值为5．14．1223（任意填对一空给3分）【解析】由()1cos 3αβ+=-得212cos123αβ+-=-，则21cos 23αβ+=，由cos cos 1αβ+=得2coscos 122αβαβ-+=，则1cos cos 222αβαβ-+=，所以3cos cos 222αβαβ-+=，()2sin cos cos sin 2222sin sin 32sin cos cos 222αβαβαβαβαβαβαβαβ++++===+--+．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．【解析】（1sin 0B -=sin B =，两边同时平方可得：2cos 1sin 2B B +=，由22sin cos 1B B +=整理得22cos cos 10B B +-=，解得1cos 2B =或cos 1B =-，又()0,πB ∈，则π3B =．sin 0B -=2sin cos 022B B=，得cos02B=或1sin 22B =，又()0,πB ∈，则π26B =，π3B =．（2）由（1）得π3ABC ∠=，则2π3CBD ∠=，由题可知π6BCD ∠=，则π6D ∠=，设BC a =，则BD BC a ==，由余弦定理有2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠，所以CD =，由正弦定理有sin sin BC ABA ACB=∠，所以2sin 2sin 31sin sin ACB A a ACB ACB π⎛⎫+∠ ⎪⎝⎭====+∠∠，因为ABC △为锐角三角形，则π0,2π0,2ACB A ⎧<∠<⎪⎪⎨⎪<∠<⎪⎩得ππ62ACB <∠<，所以tan ACB ⎫∠∈+∞⎪⎭，则(1tan ACB ∈∠，所以3tan CD ACB==∠，即CD的取值范围为．16．【解析】（1）依题有a c +=，又222a b c =+，所以2,a cb =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆W 的方程为2222143x y c c+=，又点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆W 上，所以221191434c c +⨯=，解得1c =，所以椭圆W 的方程为22143x y +=．（2）设()6,P P y ，()6,Q Q y ，0P Q y y >>，()0,0O ，()2,0A ，因为PQ OA =，所以2P Q y y -=，①圆E 过点O 与A 且与直线6x =相交于两个不同的点P ，Q ，则圆心E 的坐标为1,2P Q y y +⎛⎫ ⎪⎝⎭，又EO EP =，所以=解得24P Q y y =，②（另法一：设直线6x =与x 轴交于点G ，则有GA GO GQ GP =，又4GA =，6GO =，所以24P Q y y =，②另法二：由OA PQ =知，612P Qy y +=-，10P Q y y +=，②）由①②解得6P y =，4Q y =，所以()6,4Q ，40162M k -==-，所以直线QA 的方程为2y x =-，与椭圆方程联立消去y 得271640x x -+=，解得B 点的横坐标27B x =，所以267B QB x =-=⨯-=，又O 到直线QA 的距离d ==所以QOB △的面积1140227S QB d =⋅==．17．【解析】（1）如图，取CD 的中点O ，因为3PC PD ==，则PO CD ⊥，因为平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，PO ⊂平面PCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，又BC ⊂平面ABCD ，所以PO BC ⊥，又BC PD ⊥，PO ⊂平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，PD PO P = ，所以BC ⊥平面PCD ．（2）因为3PC PD ==，O 为CD 的中点，1OC =，所以PO ==，过点O 作OE BC ∥交AB 于点E ，则由BC ⊥平面PCD 可得BC CD ⊥，则以O 为原点，OE ，OC ，OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0O ，()2,3,0A -，10,2Q ⎛⎝，()0,1,0D -，(P ，所以72,2AQ ⎛=- ⎝，(DP = ，()2,2,0AD =- ，设与AQ ，DP 都重直的向量为(),,n x y z =，则720,20,n AQ x y n DP y ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩得3,2,x y z y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩令4y =，则(6,4,n = ，设直线AQ 与直线DP 的距离为d，则cos,AD nd AD AD nn⋅=⋅===>，则不存在点M和N使得MN=18．【解析】（1）()1f x kx≥-恒成立即ln1x x kx≥-恒成立，又0x>，所以1ln x kx+≥恒成立，今()()1ln0g x x xx=+>，所以()22111xg xx x x='-=-，当01x<<时，()0g x'<，函数()g x单调递减，当1x>时，()0g x'>，函数()g x单调递增，所以当1x=时，()g x取到极小值也是最小值，且()11g=，所以1k≤，故实数k的取值范围为(],1-∞．（2）1x，2x，3x成等比数列且123x x x<<，设公比为()1q q>，则21x qx=，231x q x=，()lnf x x x=求导得()1lnf x x='+，所以()2211ln1ln lnf x x q x=+=++'，直线AC的斜率为()21131231ln2ln ln1q x q xy yx x q+--==--，若存在不同的三点A，B，C，使直线AC的斜率等于()2f x'，则有()21112ln2ln ln1ln ln1q x q xq xq+-=++-，整理成221ln01qqq--=+．令()()221ln11xh x x xx-=->+，则()()()()22222211411xxh xx x x x-=-=+'≥+，所以()221ln1xh x xx-=-+在1x>时单调递增，而()10h=，故方程221ln01qqq--=+在1q>时无实数解，所以不存在不同的三点A ，B ，C ，使直线AC 的斜率等于()2f x '．19．【解析】（1）设i A =“两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为i 个”，0i =，1，2，B =“两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为2个”，则()()2021124P A P A ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()221211C 22P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()019P B A =∣，()129P B A =∣，()249P B A =∣，则()()()2011121414929494i i i P B P A P BA ===⨯+⨯+⨯=∑∣，故()()()()()()222214449194P A P B A P A B P A B P B P B ⨯====∣∣．（2）由题知0X =，1，2，由（1）知()()()2211112114244P X p p p p ==+-+-=，同理可得()()()()21212211111C 11C 14242P X p p p p p p ⎡⎤==-++-+-=⎣⎦，则()()()101124P X P X P X ==-=-==，故X 的信息熵22111111132log log 42444222H f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=⨯--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝⎭⎝⎭．（3）由题知()()11n P Y n p p -==-，其中1n =，2，3，…，则()()()01111211n EY p p p p n p p -=⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅-+⋅⋅⋅，又()()111111n n i i i i i p p p i p --==⋅-=⋅-∑∑，则()()()()10111111211n i n i i p p p n p --=⋅-=⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅-∑，①()()()()()11211111211n i n i p i p p p n p -=-⋅⋅-=⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅-∑，②-①②得：()()()()()1011111111n i n ni p i p p p p n p --=⋅-=-+-+⋅⋅⋅+---∑()()()()111111n n n n p p n p n p p p p---=--=---，由题知，当n 无限增大时，()1n p -趋近于零，()1n n p -趋近于零，则EY 趋近于1p ．所以当n 无限增大时，Y 的数学期望䞨近于一个常数．。
安徽省蚌埠市A层高中2024-2025学年高二上学期第一次联考数学试卷
安徽省蚌埠市A 层高中2024-2025学年高二上学期第一次联考数学试卷一、单选题1．设集合{}0,1,2,3,4U =，{}0,1,2P =，{}1,3,4Q =，则()U P Q ⋂=ð（ ） A ．{}0 B ．{}3 C ．{}0,2 D ．{}1,3 2．已知直线l 经过两点()1,2A ，()1,2B -，则直线l 的倾斜角为（ ）A ．0B ．π3C ．π2D ．不存在 3．已知复数z 满足()3i 10z -=，则z =（ ）ABC ．5D ．104．已知平面{}0M n AM α=⋅=u u u u r r ，其中点()1,2,15A ，()1,1,1n =r ，则下列各点在平面α内的是（ ）A ．()3,1,6B ．()2,1,1C ．()9,8,5D ．()5,4,95．已知0a >且1a ≠，函数()(),log 1,x a aa x a f x x a x a -⎧≤⎪=⎨++>⎪⎩，若存在1x ，2R x ∈，使()()12f x f x =，则a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,2D ．[)2,+∞二、多选题6．抛掷一枚骰子两次.设“第一次向上的点数是2”为事件A ，“第二次向上的点数是奇数”为事件B ，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件C ，则下列说法正确的是（ ） A ．事件A 与事件B 互为对立事件B ．()16P BC = C ．()512P AB BC =UD ．事件B 与事件C 相互不独立三、单选题7．已知函数()()()tan tan 13tan x f x x θθθ-+=-+是ππ,20262026⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的奇函数，则tan θ=（ ） A ．3- B ．13- C ．13 D ．38．已知点()0,1A ，()10B ,，(),0C t ，点M 是直线AC 上的动点，若2MA MB ≤恒成立，则最小正整数t =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4四、多选题9．“数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话.某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动.在活动中，共有20道数学问题，满分100分在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段： 40,50 ， 50,60 ，…， 90,100 ，得到如图所示的频率分布直方图.下列说法正确的是（ ）A ．在被抽取的学生中，成绩在区间[)90,100内的学生有10人B ．图中a 的值为0.3C ．估计全校学生成绩的75%分位数为84D ．估计全校学生成绩的中位数小于平均数10．如图，棱长为2斜三棱柱111ABC A B C -中，1160A AB A AC ∠=∠=︒，G 、H 分别是BC 、11AC 的中点.下列说法正确的是（ ）A ．1//GH AAB ．1AA BC ⊥C ．斜三棱柱111ABC A B C -五个面中，四边形11BCC B 的面积最大D ．AC 与GH 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：222x y r +=与圆C ：()()22684x y -+-=，过圆O 上任意一点P 作圆C 的切线，切点分别为A ，B ，6PA PB +≥u u u r u u u r ，则实数r 的可能取值为（ ）A ．3B ．6C ．11D ．14五、填空题12．平面四边形ABCD 中，6AB =，10BC =，12CD =，14DA =，则AC BD ⋅=u u u r u u u r .13．直线l ：2y x =和2l ：1y kx =+与x 轴围成的三角形是等腰三角形，写出满足条件的k 的可能取值中的三个.14．正四棱柱容器（表面厚度和忽略不计）底面正方形边长为10，在容器中恰好能放入半径分别为5和2的大小两个玻璃球，则正四棱柱容器的高的最小值为.六、解答题15．已知函数f x =A sin ωx +φ （0A >，0ω>，02πϕ<<）的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)求()f x 在π5π,46⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域. 16．已知直线()10:21a x l y -+-=与直线()2:210l x a y ---=平行，点()4,4A -，()1,3C .(1)求a ；(2)若点C 关于直线2l 对称后的点为B ，求B 点坐标；(3)已知P ，Q 分别在直线1l ，2l 上，且1PQ l ⊥，求AP PQ QC ++的最小值. 17．如图，正四棱台ABCD EFGH -中，24,EG AC MN ==上为上下底面中心的连线，且MN.(1)求点A 到平面MHG 的距离；(2)求二面角E HM G --的余弦值.18．已知()0,0O ，()0,4E ，圆C 的圆心在直线l ：20x y +=上，圆D 与直线l 相切，线段OE 为圆C 与圆D 的公共弦.(1)求圆C 与圆D 的方程；(2)若直线m ：0kx y -=与圆C 、圆D 交于非原点的点P ，Q ，求证：以线段PQ 为直径的圆M 恒过定点E .19．三余弦定理：如图1，设A 为平面α外一点，过A 点的斜线AB 在平面α上的正投影为直线BO .BP 为平面α上的一条直线，记斜线BA 与正投影线BO 的夹角（即BA 与平面α所成角）为1θ，正投影线BO 与直线BP 的夹角为2θ，斜线BA 与直线BP 的夹角为θ，则12cos cos cos θθθ=⋅.三余弦定理描述了线面角是斜线与平面内任意直线所成角的最小值，又称最小角定理.(1)证明三余弦定理；(2)如图2，已知四面体ABCD 的各条棱长均相等，E ，F 分别是棱AD ，BC 的中点.G 为直线BD 上的一动点，求直线EF 与直线AG 所成角的余弦值的最大值；(3)如图3，已知平行六面体1111ABCD A B C D -，记平行六面体1111ABCD A B C D -体积为V ，表面积为S ，棱长总和为l ，求证：S .。
广东省六校2024届高三上学期第一次联考数学试题及答案
东莞中学､广州二中､惠州一中､深圳实验､珠海一中､中山纪念中学2024届高三第一次六校联考试题数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等信息填涂在答题卡的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将解答过程写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，只需将答题卡上交.一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的本试卷共22题，满分150分，考试用时120分钟.1.已知集合{}(){}220,ln 2A xx x B x y x =+->==-∣∣，则A B ⋂=（）A.{21}x x -<<∣B.{12}xx <<∣C.{2}xx <∣ D.{2xx <-∣或12}x <<2.在复平面上，复数34i z =-的共轭复数z 对应的向量OM是（）A.B.C.D.3.已知双曲线C 的两条渐近线互相垂直，则C 的离心率等于（）B.3D.24.某种包装的大米质量ξ（单位：kg ）服从正态分布()210,N ξσ~，根据检测结果可知()9.9810.020.98P ξ=，某公司购买该种包装的大米1000袋，则大米质量10.02kg 以上的袋数大约是（）A.5B.10C.20D.405.已知等差数列{}n a 的公差不为10,1a =且248,,a a a 成等比数列，其前n 项和为n S ，则（）A.20234045a = B.5434a a a a <C.119462a a a a +=+ D.1112n S n n ++=+6.在数字通信中，信号是由数字0和1组成.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，若发送信号0和1是等可能的，则接受信号为1的概率为（）A.0.475B.0.525C.0.425D.0.5757.已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若()()0.8221log ,log 4.1,25a f b f c f ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A.c b a<< B.b a c <<C.a b c<< D.c a b<<8.已知函数()322f x x x x =-+-，若过点()1,P t 可作曲线()y f x =的三条切线，则t 的取值范围是（）A.10,30⎛⎫ ⎪⎝⎭B.10,29⎛⎫ ⎪⎝⎭C.10,28⎛⎫ ⎪⎝⎭D.10,27⎛⎫ ⎪⎝⎭二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某学校组建了辩论､英文剧场､民族舞､无人机和数学建模五个社团，高一学生全员参加，且每位学生只能参加一个社团.学校根据学生参加情况绘制如下统计图，已知无人机社团和数学建模社团的人数相等.下列说法正确的是（）A.高一年级学生人数为120人B.无人机社团的学生人数为17人C.若按比例分层抽样从各社团选派20人，则无人机社团选派人数为3人D.若甲､乙､丙三人报名参加社团，则共有60种不同的报名方法10.已知函数()sin 22f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列判断正确的是（）A.()f x 的图象关于直线6x π=对称B.()f x 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C.()f x 在区间2,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D.当2,33x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()1,1f x ∈-11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，若点M 在线段1BC 上运动，则下列结论正确的是（）A.直线1A M 可能与平面1ACD 相交B.三棱锥A MCD -与三棱锥1D MCD -的体积之和为43C.AMC 的周长的最小值为8+D.当点M 是1BC 的中点时，CM 与平面11AD C 所成角最大12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x >时，()()2e xf x x =-，则下列结论正确的是（）A.()0f x >的解集为()()2,02,∞-⋃+B.当0x <时，()()2e xf x x -=+C.()f x 有且只有两个零点D.[]()()1212,1,2,ex x f x f x ∀∈-三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数.某机构从某社区随机调查了12人，得到他们的幸福指数（满分：10分）分别是7.6，8.5，7.8，9.2，8.1，9，7.9，9.5，8.3，8.8，6.9，9.4，则这组数据的下四分位数（也称第一四分位数）是__________.14.已知212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中第5项是__________.15.设函数()y f x =''是()y f x ='的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠的图像都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()00f x ''=.已知三次函数()321f x x x =+-，若120x x +=，则()()12f x f x +=__________.16.法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆22:12x C y +=，则C的蒙日圆O 的方程为__________；在圆222(3)(4)(0)x y r r -+-=>上总存在点P ，使得过点P 能作椭圆C 的两条相互垂直的切线，则r 的取值范围是__________.（第一空2分，第二空3分）四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题10分）已知等差数列{}n a 满足()218n n a n k +=-+，数列{}n b 是以1为首项，公比为3的等比数列.（1）求n a 和n b ；（2）令nn na cb =，求数列{}n c 的最大项.18.（本小题12分）在ABC 中，4,AB D =为AB中点，CD =.（1）若3BC =，求ABC 的面积；（2）若2BAC ACD ∠∠=，求AC 的长.19.（本小题12分）.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，BC ∥平面1,1,2PAD BC AD E ==是棱PD 上的动点.（1）当E 是棱PD 的中点时，求证：CE ∥平面PAB ：（2）若1,AB AB AD =⊥，求点B 到平面ACE 距离的范围.20.（本小题12分）某企业拥有甲､乙两条零件生产线，为了解零件质量情况，采用随机抽样方法从两条生产线共抽取180个零件，测量其尺寸（单位：mm ）得到如下统计表，其中尺寸位于[55,58)的零件为一等品，位于[54,55)）和[58,59)的零件为二等品，否则零件为三等品.一等品非一等品合计甲乙合计（2）将样本频率视为概率，从甲､乙两条生产线中分别随机抽取1个零件，每次抽取零件互不影响，以ξ表示这2个零件中一等品的数量，求ξ的分布列和数学期望()E ξ，（3）已知该企业生产的零件随机装箱出售，每箱60个.产品出厂前，该企业可自愿选择是否对每箱零件进行检验.若执行检验，则每个零件的检验费用为5元，并将检验出的三等品更换为一等品或二等品；若不执行检验，则对卖出的每个三等品零件支付120元赔偿费用，现对一箱零件随机检验了20个，检出了1个三等品.将从两条生产线抽取的所有样本数据的频率视为概率，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望作为决策依据，是否需要对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中0.05; 3.841n a b c d x =+++=21.（本小题12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，左､右焦点分别为12,F F ，短轴的顶点分别为12,B B ，四边形1122B F B F 的面积为,A B （点A 在x 轴的上方）为椭圆上的两点，点M 在x 轴上.（1）求椭圆C 的方程；（2）若2AM MB =，且直线AB 与圆224:7O x y +=相切于点N ，求MN .22.（本小题12分）已知函数()()()21,ln f x x ax g x x a a R =-+=+∈.（1）若()()1,a f x g x =>在区间()0,t 上恒成立，求实数t 的取值范围；（2）若函数()f x 和()g x 有公切线，求实数a 的取值范围.东莞中学､广州二中､惠州一中､深圳实验､珠海一中､中山纪念中学2024届高三第一次六校联考数学参考答案一､单选题，二多选题：三､填空题（第16题第一问2分，第二问3分）13.7.8514.6240x 15.-216.223,55x y r +=≤≤+四､解答题17.解：（1）解法一：因为数列{}n b 是以1为首项，公比为3的等比数列，所以13n n b -=，因为()218n n a n n k +=-+，所以12371215,,234k k k a a a ---===.因为数列{}n a 是等差数列，所以2132a a a =+，即127152324k k k ---⨯=+，解得9k =-所以()()()218919n n a n n n n +=--=+-，所以9n a n =-.解法二：因为数列{}n b 是以1为首项，公比为3的等比数列，所以13n n b -=，因为数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，则()111n a a n d dn a d =+-=+-.所以()()()22111118n n a n dn a d dn a n a d n n k +=++-=++-=-+，所以118,9d a k =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩所以9n a n =-（2）因为193n n n n a n c b --==，当8n ≤时，0n c <；当9n =时，0n c =；当10n 时，0n c >.当10n 时，11891920333n n n n n n n nc c +-----=-=<，即，1n n c c +<.所以数列{}n c 的最大项是第10项10913c =18.解：（1）在BCD中，2,3,BD BC CD ===，由余弦定理可知2224971cos 22322BC BD CD B BC BD +-+-===⨯⨯⨯⨯，因为0B π<<，所以3sin 2B =，所以1sin 2ABC S AB BC B =⨯⨯= ；（2）在ACD 中，设,2ACD BAC ∠θ∠θ==，则由正弦定理sin2sin CD ADθθ=，即22sin cos sin θθθ=，得()cos ,0,4θθπ=∈ ，所以3sin 4θ=，2371sin22sin cos 2cos 188θθθθθ===-=-，所以2ADC ∠πθθ=--，所以()377139sin sin 2848416ADC ∠θθ=+=-⨯=，.由正弦定理得：sin sin AC ADADC ACD∠∠=，即92316324AC ⨯==.19.解：（1）证明：因为BC ∥平面,PAD BC ⊂平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =，所以BC AD ∥.取PA 的中点F ，连接BF EF ､，因为E 是棱PD 的中点，所以，EF AD ∥且12EF AD =，因为BC AD ∥且12BC AD =，所以，EF BC ∥且EF BC =，所以，四边形BCEF 为平行四边形，则CE BF ∥，因为CE ⊄平面,PAB BF ⊂平面PAB ，所以CE ∥平面PAB ..（2）取AD 的中点O ，连接PO .因为PAD 是正三角形，所以PO AD ⊥.又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面,ABCD AD PO =⊂平面PAD ，所以，PO ⊥平面,.ABCD .因为1,,2BC AD BC AD O =∥为的中点，所以，BC AO ∥且BC AO =，所以，四边形ABCO 为平行四边形，则CO AB ∥，因为AB AD ⊥，则CO AD ⊥，以点O 为坐标原点，OC OD OP ､､所在直线分别为x y z ､､轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()()(()0,1,01,0,00,1,0A C P D -､､､，所以()1,1,0AC =，设(()0,0,DE DP λλλ==-=-，其中01λ，则()()()0,2,00,0,2AE AD DE λλ=+=+-=-，设平面ACE 的法向量()111,,n x y z =，所以()1111020n AC x y n AE y z λ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令12z λ=-，得),,2n λ=-，设点B 到平面ACE距离为,AB nd d n⋅==.当0λ=时，0d =；当01λ<≤时，11λ≥，则2107d <==，当且仅当1λ=时等号成立.综上，点B 到平面ACE距离的取值范围是0,7⎡⎢⎣⎦.20.解：（1）由题意得列联表如下：一等品非一等品合计甲7525100乙483280合计12357180()()()()222()180(75324825) 4.6211235710080n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯0.054.621 3.841x >= 依据小概率值0.05α=.（2）由已知任取一个甲生产线零件为一等品的概率为23282431004++=，任取一个乙生产线零件为一等品的概率为1517163805++=，ξ的所有可能取值为0,1,2，则()()()1221132393390,1,24520104554204520P P P ξξξ==⨯====⨯+⨯===⨯=ξ∴的分布列为：ξ012P110920920()19927012.10202020E ξ=⨯+⨯+⨯=（3）由已知零件为三等品的频率为4221118020+++=，设余下的40个零件中三等品个数为X ，则140,20X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，()1402,20E X ∴=⨯=设检验费用与赔偿费用之和为Y ，若不对余下的所有零件进行检验，则205120Y X =⨯+，所以()()100120100240340E Y E X =+⨯=+=，若对余下的所有零件进行检测，则检验费用为605300⨯=元，340300,>∴ 应对剩下零件进行检验..21.解：（1）由题意知32ce a ==，四边形1122B F B F 为菱形，面积为2bc =，又222a c b =+，解得2224,1,3a b c ===，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设(),0M m ，直线AB 的方程为()()1122,,,,x ty m A x y B x y =+，由2AM MB = 得122y y =-，联立221,4,x y x ty m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2224240t y tmy m +++-=，()()()22222Δ(2)444164tm t m m t =-+-=---则212122224,44tm m y y y y t t -+=-=++，由2122122222,2y y y y y y y y =-+=-+=-，得()()2212121222y y y y y y ⎡⎤=--+=-+⎣⎦，所以222242244m tm t t -⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭，化简得()()2222448m t t m -+=-，易知原点O 到直线AB的距离d =又直线AB 与圆224:7O x y +=相切，=2271,4t m =-由()()222222448714m t t m t m ⎧-+=-⎪⎨=-⎪⎩，得422116160m m --=，即()()2234740m m -+=，解得243m =，则243t =，满足Δ0>，所以,03M ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭，在Rt OMN中，42121MN ==.22.解：（1）由题意，当1a =时，设()()()h x f x g x =-，则()221ln 1ln (0)h x x x x x x x x =-+--=-->，()()()221112121x x x x h x x x x x'+---=--==，令()0h x '=，得1x =（舍负），.所以()h x 在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，()min ()10h x h ∴==.根据题意t 的取值范围为(]0,1（2）设函数()f x 在点()()11,x f x 处与函数()g x 在点()()22,x g x 处有相同的切线，则()()()()121212,f x g x f x g x x x -='-'=211212121ln 12x ax x a x a x x x -+--∴-==-，12122a x x ∴=+，代入21211221ln .x x x ax x a x -=-+--.得222221ln 20424a a x a x x ++++-=∴问题转化为：关于x 的方程221ln 20424a a x a x x ++++-=有解，设()221ln 2(0)424a a F x x a x x x =++++->，则函数()F x 有零点，()211ln 24F x a x a x ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭，当2a x e -=时，()2ln 20,e 0a x a F -+-=∴>.∴问题转化为：()F x 的最小值小于或等于0.()23231121222a x ax F x x x x x--=--+='，设()20002100x ax x --=>，则当00x x <<时，()0F x '<，当0x x >时，()0F x '>.()F x ∴在()00,x 上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增，()F x ∴的最小值为()2002001ln 2424a a F x x a x x =++++-.由200210x ax --=知0012a x x =-，故()20000012ln 2F x x x x x =+-+-.设()212ln 2(0)x x x x x xϕ=+-+->，则()211220x x x x ϕ=+++>'，故()x ϕ在()0,∞+上单调递增，()10,ϕ=∴ 当(]0,1x ∈时，()0x ϕ≤，()F x ∴的最小值()00F x ≤等价于001x ≤≤.又 函数12y x x=-在(]0,1上单调递增，(]0012,1.a x x ∞∴=-∈-。
2024-2025学年山东省名校考试联盟高一上学期10月联考数学试卷(含答案)
2024-2025学年山东省名校考试联盟高一上学期10月联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“x为自然数”是“2x+1为自然数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.已知集合M={x∈Z||x|≤2},N={x|−2≤x<0}，则M∩N=( )A. {−1}B. {−2,1,2}C. {−2,−1}D. {−2}3.已知命题p:∀x∈R,|x|>0；命题q:∃x>0,x2=x，则( )A. p和q都是真命题B. ¬p和q都是真命题C. p和¬q都是真命题D. ¬p和¬q都是真命题4.下列不等式中成立的是( )A. 若a>b>0，则ac2>bc2B. 若a>b>0，则a2>b2C. 若a<b<0，则a2<ab<b2D. 若a<b<0，则1a <1b5.已知集合A={1,2,3,4,5},B={x|x∈A}，则∁A(A∩B)=( )A. {1,4}B. {3,4}C. {1,2,3}D. {2,3,5}6.如果0<a<b，那么下列不等式正确的是( )A. ab<a+b2<a<b B. a<ab<a+b2<bC. ab<a<a+b2<b D. a<a+b2<ab<b7.正确表示图中阴影部分的是( )A. (∁U A)∪BB. (∁U A)∪(∁U B)C. ∁U(A∪B)D. ∁U(A∩B)8.若a>0,b>0，则1a +ab2+2b的最小值为()．A. 2B. 22C. 4D. 6二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
湖南省常德市普通高中沅澧共同体2024届高三第一次联考数学试卷(解析版)
常德市普通高中沅澧共同体2024届高三第一次联考（数学试题卷）时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】根据一元二次不等式化简集合，即可由集合的交运算即可求解.【详解】由得，所以，故选：C2. 已知，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可.【详解】，或，所以前者可以推得后者，后者不能推得前者，则“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3. 已知等比数列中，，，则公比为（ ）A.B. 2C.D. 4【答案】C 【解析】【分析】直接使用已知条件及公比的性质得到结论.{}2{31}0123,4A x x B =->=∣,,,,A B = {}3,4{}2,3,4{}0,1{}0,1,22{31}A x x =->∣A x =<<A B = {}01，x ∈R 38x >2x >382x x >⇔>22x x >⇔><2x -38x >2x >{}n a 3101a a ⋅=62a =q 1214【详解】.故选：C.4. 已知，则（ ）A.B. C.D.【答案】A 【解析】【分析】使用诱导公式和二倍角公式，结合已知条件即可求解.【详解】.故选：A.5. 已知三棱锥中，平面，4，3，，7，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】由题意画出图形，利用正弦定理求出的外接圆的半径，再由勾股定理求出三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．【详解】如图，431031032266611124a a a a q q q a a a ⋅=⋅=⋅===1cos 3π6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππsin sin 236αα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10949-2365ππππππsin sin 2cos cos 2362362αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=----+ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3ππcos cos 26αα⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππcos 2cos 166αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2111021339⎛⎫⎛⎫=-⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A BCD -AB ⊥BCD AB =BC =5CD =BD =196π3244π3196π5244π5BCD △设的外心为，过作底面的垂线，使，则为三棱锥的外接球的球心，中，由3，，7，得，故，设的外接圆的半径为，则，，．三棱锥外接球的表面积为．故选：B6. 已知抛物线方程为:，焦点为.圆的方程为，设为抛物线上的点，为圆上的一点，则的最小值为（ ）A. 6 B. 7C. 8D. 9【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线定义将点到焦点的距离转化为点到直线的距离，即，从而得到，三点共线时和最小；再由在圆上，得到最小值.在BCD △M M MO 12MO BA =O BCD △BC =5CD =BD =2223571cos 2352BCD +-∠==-⨯⨯sin BCD ∠=BCD △r r ==2OM =∴22226123OB R =+==∴2612444π4ππ33R =⨯=216y x =F ()()22511x y -+-=P Q PF PQ +PF PN =PF PQ PN PQ +=+P Q N 、、Q min QN MN r =-【详解】由抛物线方程为，得到焦点，准线方程为，过点做准线的垂线，垂足为，因为点在抛物线上，所以，所以，当点固定不动时，三点共线，即垂直于准线时和最小，又因为在圆上运动，由圆的方程为得圆心，半径，所以，故选：C.7. 将三个分别标注有 ，x ，的三个质地均匀的小球放入一个不透明的小盒中.无放回的随机取出2个小球（每次取一球），分别记录下小球的标注为.若 ，则在上单调递减的概率为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】利用导数求解函数的单调性，即可由古典概型概率公式求解.【详解】若，由均为上的单调递增函数，且为正，故为上的单调递增函数，若，则时，，故为上的单调递减函数，若，则时，，故为上的单调递减函数，216y x =()4,0F 4x =-P N P PF PN =PF PQ PN PQ +=+Q P Q N 、、QN Q ()()22511x y -+-=()5,1M 1r =min 8QN MN r =-=e x 1ln x()(),f x g x ()()()h x f x g x =()h x ()0,1x ∈16291323()()()e xh x f x g x x ==e ,==x y y x ()0,1()h x ()0,1()()()ln x h x f x g x x ==()0,1x ∈()2ln 10ln x h x x-'=<()h x ()0,1()()()e ln xh x f x g x x==()0,1x ∈()()221e ln e e ln 10ln ln x x x x x x x h x x x x-='-=<()h x ()0,1故在上单调递减的概率为,故选：D8. 已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足．若恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】首先利用方程组法求出、的解析式，再判断的单调性，则问题转化为恒成立，参变分离求出，即可得解.【详解】因为，分别是定义在上的偶函数和奇函数，所以，，因为，①所以，所以，②①②得，，因为在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，所以在上单调递增，又，若恒成立，则恒成立，所以恒成立，所以恒成立，所以只需，因为，，所以（当且仅当，即时取等号），()h x ()0,1x ∈23()f x ()g x R ()()2xf xg x +=()()0g f x a -≥a (),1-∞(],1-∞()1,+∞[)1,+∞()f x ()g x ()g x ()0f x a -≥()min f x ()f x ()g x R ()()f x f x -=()()g x g x -=-()()2x f x g x +=()()2x f x g x --+-=()()2x f x g x --=+22()2x x f x -+=22()2x x g x --=2x y =R 2xy -=R 22()2x xg x --=R (0)0g =()()0g f x a -≥()()()0g f x a g -≥()0f x a -≥()f x a ≥()min a f x ≤20x >20x ->222-+≥=x x 22-=x x 0x =所以（当且仅当时，取等号），所以，所以的取值范围为.故选：B ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知关于x 的方程 的两复数根为和则（ ）A. B. C. D.【答案】AC 【解析】【分析】在复数范围内解方程得，，然后根据复数的概念、运算判断各选项．【详解】，不妨设，，，故A 正确；由韦达定理可得，故B 错误；，故C 正确；，，当时，，故，故D 错误．故选：AC ．10. 若定义在上的连续函数满足对任意的实数都有且，则下()2212x xf x -+=≥0x =1a ≤a (],1-∞()²4044x tx t ++=-<<1z 2z 12z z =121z z =12||||z z =1122z z z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭1z 2z 2160t ∆=-<x ∴=12t z =-+22t z =-12z z ∴=124z z =122z z ===124z z = ∴2222111212184422z z z t t z z z ⎛⎫-===-+= ⎪ ⎪⎝⎭0t ≠12R z z ∉1122z z z z ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭R ()f x ,a b ()()()f a b f a f b +=⋅()12f =列判断正确的有（ ）A. 函数的图象关于原点对称B. 在定义域上单调递增C. 当时，D.【答案】BCD 【解析】【分析】直接证明，然后逐个判断选项即可.【详解】由知恒成立，再由知恒成立.设，则，且.故，.由于，故.而，故归纳即知.又因为对有，故归纳即知.特别地有，故，所以对有.这就得到了，从而.设有无理数，有理数数列使得，由于是连续的，故，而，故.()f x ()f x ()0,x ∈+∞()1f x >()()()()()()()()()()24620222024 (2024)135********f f f f f f f f f f +++++=()2xf x =()()()211f f x f x ==-()0f x ≠()20222x x x f x f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()0f x >()()2log g x f x =()()221log 1log 21g f ===()()()()()()()()()2222log log log log g x y f x y f x f y f x f y g x g y +=+==+=+()11g =()()()g x y g x g y +=+()()()()()0000020g g g g g =+=+=()00g =()()()()111g x g x g g x +=+=+()()g n n n =∈Z ()0m m ∈≠Z ()11g x g x g m m ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1n g n g n m m ⎛⎫⎛⎫=⋅∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z 1m g m g m m ⎛⎫⎛⎫=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11111m g g g m m m mm ⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(),0m n m ∈≠Z 1n ng n g m m m⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()g q q q =∈Q ()()2qf q q =∈Q r {}n q n q r →()f x ()()n f q f r →()22n q r n f q =→()2r f r =这就表明.由于，故不是奇函数，故其图象并不关于原点对称，A 错误；由于在定义域上单调递增，且当时，，故B ，C 正确；对于D ，由可得，从而，D 正确故选：BCD.【点睛】关键点点睛：值得注意的是，如果去掉是连续函数的条件，并承认选择公理，则此时不能说明对无理数，有，且不一定单调递增. 事实上，此时可以构造一个的满足的线性映射，再取，即可得到反例.11. 已知正方形边长为4，将沿向上翻折，使点与点重合，设点为翻折过程中点的位置（不包含在点处的位置），则下列说法正确的有（ ）A. 无论点在何位置，总有B. 直线与平面所成角的最大值为C. 三棱锥体积的范围为D. 当平面平面时，三棱锥的内切球的半径为【答案】ACD【解析】【分析】对于A ，构造正方形的中心，然后利用线面垂直的判定定理和性质即可；对于B ，直接利用点的轨迹即可否定；对于C ，确定点到平面的距离的取值范围，再相应确定三棱锥体积的范围即可；对于D ，先说明此时点的位置，再利用等体积法求出内切球半径即可..()2xf x =()()11212f f -=≠-=-()2x f x =()2xf x =()0,x ∞∈+()0221xf x =>=()()11222x x f x f x ++==()()()()()()()()()()24620222024...213520212023f f f f f f f f f f ======()()()()()()()()()()24620222024...202413520212023f f f f f f f f f f +++++=()f x r ()2rf r =()f x →R Q ()11P =()P x ()()2P x f x =ABCD ABC AC B D S B D S AC SD ⊥SD ACD π3S ACD -⎛ ⎝SAC ⊥ACD S ACD --ABCD O S S ABCD S ACD -S【详解】对于A ，设是正方形的中心，则.过在正方形上方作直线，使得平面，，再在平面内以为圆心，，则的轨迹为圆位于正方形上方的部分（不含点）.由于平面，在平面内，故.而，和在平面内交于点，所以平面.又因为在平面内，所以，A 正确；对于B ，由于平面，平面的两直线和相交，故直线与平面所成角即为，而当在圆的上半部分（不含点）运动时，的范围是，B 错误；对于C ，由于到平面的距离的取值范围是，即，而三棱锥的体积，故其取值范围是，C OABCD OA OB OC OD ====O ABCD OP OP ⊥ABCD OP =PBD O O S O ABCD ,BD OP ⊥ABCD AC ABCD OP AC ⊥AC BD ⊥OP BD PBD O AC ⊥PBD SD PBD AC SD ⊥OP ⊥ABCD PBD OP SD SD ACD SDB ∠S O ,B D SDB ∠π0,2⎛⎫⎪⎝⎭S ABCD d 0d OP <≤0d <≤S ACD -118363S ACD ACD dV S d AD AC d -=⋅=⋅⋅= ⎛ ⎝正确；对于D ，若平面平面，由于平面，在平面内，故.而平面平面，在平面内，，平面和平面的交线是，故平面.而平面，故位于同一直线上，而均在正方形上方，故点和点重合.设三棱锥的内切球半径为.由于，故而，，且由C 选项的计算可知.，得D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于构造点的轨迹，然后方可利用圆的性质求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 曲线在处的切线方程是__________________________【答案】【解析】【分析】求导可得切点处斜率，即可由点斜式求解直线方程.【详解】由可得，故处的切线斜率为，又切点为，故切线方程为，故答案为：SAC ⊥ACD AC ⊥PBD SO PBD SO AC ⊥SAC ⊥ACD SO SAC SO AC ⊥SAC ACD AC SO ⊥ACD OP ⊥ABCD ,,O P S OP OS ==,P S ABCD S P P ACD -r 4AP PD AB BC PC =====24APD CPD S S === 11822PAC S OP AC =⋅=⋅= 1144822ACD S AD CD =⋅=⋅⋅= P ACD V -=()(111633P ACD PAC ACD APD CPD V r S S S S r -==+++=+ r ==-S ln y x x =+1x =21y x =-ln y x x =+11y x'=+1x =12x y ='=()1,121y x =-21y x =-13. 已知双曲线 的左右焦点分别为，过点的直线交双曲线右支于两点，且，，则双曲线的离心率为______________【解析】【分析】设，根据已知条件及双曲线的定义可得到，，然后解该齐次方程组即可得到离心率.【详解】设，则，，从而，.再由可知，.故，，整理得方程组.由有，代入第一个方程可得，所以.14. 如图，四边形是边长为1的正方形，延长CD 至E ，使得．动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，，则的取值范围为___________．【答案】【解析】()2222:10,0x y C a b a b -=>>12,F F 2F ,A B 223AF F B = 1AB BF ⊥2F B t = ()22224t a t c ++=()()22221632t a t t a ++=+2F B t = 23AF t = 4AB t = 132AF t a =+ 12F B t a =+1AB BF ⊥ 2221212F B F B F F += 22211F B AB AF += ()22224t a t c ++=()()22221632t a t t a ++=+2222222t at a cat t ⎧++=⎨=⎩2at t =t a =2252a c =e ===ABCD 2DE CD ＝AP AB AE λμ=+λμ+[]0,4【分析】建立适当的平面直角坐标系，讨论四种情况，即可求出的取值范围.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系：则，所以，当时，有，即，此时的取值范围为，当时，有，即，此时的取值范围为，当时，有，即，此时的取值范围为，当时，有，即，此时的取值范围为，综上所述，的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知的内角的对边分别是，且.（1）判断的形状；（2）若的外接圆半径为，求周长的最大值.【答案】（1）等腰三角形 （2）,,,P AB P BC P CD P DA ∈∈∈∈λμ+()()1,0,2,1B E -()2,AP AB AE λμλμμ=+=-P AB ∈021λμμ≤-≤⎧⎨=⎩01,0λμ≤≤=λμ+[]0,1P BC ∈2101λμμ-=⎧⎨≤≤⎩()123134λμλμμμ≤+=-+=+≤λμ+[]1,4P CD ∈0211λμμ≤-≤⎧⎨=⎩()()323234λμλμμλμ≤+=-+=-+≤λμ+[]3,4P DA ∈2001λμμ-=⎧⎨≤≤⎩()02333λμλμμμ≤+=-+=≤λμ+[]0,3λμ+[]0,4[]0,4ABC ,,A B C ,,a b c 2cos ab C=ABC ABC ABC【解析】【分析】（1）使用正弦定理对条件进行边化角，再用三角恒等变换证明；（2）先用基本不等式证明，最后说明等号可以取到，即得结果.【小问1详解】由正弦定理并结合已知有.故，从而.由于，从而，故由可知，所以一定是等腰三角形.【小问2详解】设的外接圆半径为.一方面，我们有故；另一方面，当的等边三角形时，有，.B C =sin sin sin A B C ++≤a b c ++≤()sin 2cos sin sin cos sin cos sin sin 2sin cos a B b C BB C C B B C A B C b b+=+====sin cos sin cos B C C B =()sin sin cos sin cos 0B C B C C B -=-=(),0,πB C ∈()π,πB C -∈-()sin 0B C -=B C =ABC ABC R ()sin sin sin sin sin sin A B C B C B C++=+++sin cos sin cos sin sin B C C B B C=+++sin sin B C=++sin sin B C≤++sin sin B C=++22sin sin B B C C =+-++22sin sin B C =-+≤()2sin sin sin 2a b c R A B C R ++=++≤==ABC a b c ===π3A B C ===此时，.所以周长的最大值是.【点睛】关键点点睛：值得一提的是，第2小问证明时并不需要使用第1小问得到的. 若使用该条件，则可化为，然后再利用亦可得到结果. 但这样并未从本质上减少工作量，反而使解析失去了一般性和启发性，因此本解析不采用此法.16. 已知直三棱柱中，，分别为和的中点，为棱上的动点，.（1）证明：平面平面；（2）设，是否存在实数，使得平面与平面?【答案】（1）证明见解析； （2）存在.【解析】【分析】（1）先用线面垂直的判定定理证明平面，再使用面面垂直的判定定理即可；（2）使用空间向量法直接求解两平面的夹角（用表示），再根据夹角条件，解关于的方程即可.【小问1详解】21cos 2a b C ===2sin a R A ===a b c ++=ABC a b c ++≤B C =sin sin sin A B C ++()2sin cos sin B B B +2sin sin sin B B B +≤+=111ABC A B C -1AB AC AA ==,M N BC 1BB P 11A C 11AN A C ⊥ANP ⊥1A MP 111A P A C λ= λ11AA B B PMN 14λ=AN⊥1A MP λλ由于在直三棱柱中，有平面，而在平面内，故.同时有，且，故.由于，，且和在平面内交于点，故平面.由于在平面内，故.取的中点，由于分别是和的中点，故，而，故，即.由于分别是和的中点，可以得到，所以有平行四边形，故.设和交于点，由于，，，从而得到全等于，故.这就得到，从而，即.111ABC A B C -1AA ⊥ABC AC ABC 1AA AC ⊥11//AC A C 11AN A C ⊥AN AC ⊥AN AC ⊥1AA AC ⊥AN 1AA 11AA B B A AC ⊥11AA B B AB 11AA B B AB AC ⊥AB R ,M R BC BA //MR AC 11//AC A C 11//MR A C 1//MR A P ,M R BC BA 1111122MR AC A C A P ===1MRPA 1//A R MP 1A R AN T 11111222BN BB AA AB AR ====1AB A A =190ABN A AR ∠=︒=∠ABN 1A AR 19090TRA A RA ANB BAN RAT ∠=∠=∠=︒-∠=︒-∠90TRA RAT ∠+∠=︒90RTA ∠=︒1AN A R ⊥而，故.由于，即，而，和在平面内交于点，故平面.由于平面，在平面内，故平面平面.【小问2详解】有，又因为平面，和在平面内，故，.由于两两垂直，故我们能够以为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系.由于题设条件和需要求证的结论均只依赖于线段间的比值，不妨设，这就得到，，，，，，，.据题设有，显然，此时.从而有，，，.设和分别是平面和平面的法向量，则，.即，，从而可取，.此时平面与平面所成角的余弦值为，，解得，所以存在，使得平面与平面.17. 某市共有教师1000名，为了解老师们的寒假研修学习情况，评选研修先进个人，现随机抽取了10名教师利用“学习APP ”学习的时长数据（单位：小时）：35，43，90，83，50，45，82，75，62，35.学习时长不低于80小时的教师评为“研修先进个人”.的1A RMP AN MP ^11AN A C ⊥1AN A P ⊥AN MP ^1A P MP 1AMP P AN ⊥1A MP AN⊥1A MP AN ANP ANP ⊥1A MP AB AC ⊥1AA ⊥ABC AB AC 11AA B B 1AA AB ⊥1AA AC ⊥1,,AB AC AA A 1,,AB AC AA,,x y z 12AB AC AA ===()0,0,0A ()0,2,0B ()2,0,0C ()10,0,2A ()10,2,2B ()12,0,2C ()1,1,0M ()0,2,1N 111A P A C λ=01λ≤≤()2,0,2P λ()0,2,0AB = ()10,0,2AA = ()2,2,1NP λ=- ()1,1,1MN =-()1,,n p q r = ()2,,n u v w = 11AA B B PMN 1110n AB n AA ⋅=⋅=220n NP n MN ⋅=⋅= 220q r ==220u v w u v w λ-+=-++=()11,0,0n = ()23,21,22n λλ=+-11AA B B PMN 121212cos ,n n n n n n ⋅====22784142λλ-+=14λ=14λ=11AA B B PMN（1）现从该样本中随机抽取3名教师的学习时长，求这3名教师中恰有1名教师是研修先进个人的概率.（2）若该市所有教师的学习时长近似地服从正态分布，其中，为抽取的10名教师学习时长的样本平均数，利用所得正态分布模型解决以下问题：①试估计学习时长不低于50小时的教师的人数（结果四舍五入到整数）；②若从该市随机抽取的n 名教师中恰有ξ名教师的学习时长在内，则当的均值不小于32时，n 的最小值为多少？附：若随机变量服从正态分布 ，则，，.【答案】（1）（2）① ②【解析】【分析】（1）直接使用古典概型和排列组合工具求解；（2）①直接使用正态分布数据计算出的概率，然后用概率估计实际的比例；②用正态分布数据求出的均值，再解出的最小值.【小问1详解】由于这10名教师中恰有3名是研修先进个人，故随机抽取的3名教师中恰有1名教师是研修先进个人的概率.【小问2详解】①直接计算可得.所以故可以估计学习时长不低于50小时的教师的人数为.②由于，故.当时，有，得.所以的最小值是.18. 已知椭圆 的短轴长为分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上.X ()2,N μσ10σ=μ[]50,70ξX ()2,N μσ()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈21408414750X ≥ξ0.6827n n 1237310C C 32121C 12040p ⋅⨯===354390835045827562356010μ+++++++++==()()()11500.8413522P X P X P X μσμσμσ≥=≥-=+-≤≤+≈10000.84135841⨯≈()()50700.6827P X P X μσμσ≤≤=-≤≤+≈()0.6827E n ξ=()32E ξ≥0.682732n ≥46.8727n ≥n 47()2222:10x y C a b a b+=>>12,F F R的一点，且的周长为.（1）求椭圆的方程；（2）过作垂直于轴的直线与椭圆交于 两点（点在第一象限），是椭圆上位于直线两侧的动点，始终保持，求证：直线的斜率为定值.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由已知可得，，然后解出即可得到方程；（2）先确定，然后由已知可得的斜率互为相反数，再设出斜率，使用韦达定理即可验证直线的斜率.【小问1详解】由已知有，即，.所以，从而.故椭圆的方程为.【小问2详解】我们有，故直线的方程为.将代入可得，解出，故，.由于，故的斜率互为相反数.12RF F △6C 2F x l ,E F E ,P Q C l QEF PEF ∠=∠PQ 22143x y +=3a c +=b =a 31,2E ⎛⎫⎪⎝⎭,PE QE PQ 12PQ k =2b =1212226c a F F RF RF +=++=3a c +=b =222313a cb ac a c a c --====++3122222a c a c a +-=+=+=C 22143x y +=1c ===l 1x =1x =22143x y +=21143y +=32y =±31,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭31,2F ⎛⎫- ⎪⎝⎭QEF PEF ∠=∠,PE QE设的斜率分别是，则由可知它们的方程分别是和.将直线与椭圆方程联立可知，即.由知此方程必有一根，故另一根是.这得到，同理有.所以直线的斜率.19. 已知函数．（1）求的单调区间；（2）证明：；（3）若函数有三个不同零点，求的取值范围．【答案】（1）的单调递减区间为，无单调递增区间， （2）证明见解析 （3）【解析】【分析】（1）求出的定义域，对求导，利用导数与单调性的关系求解即可；（2）由（1）可得时，，从而可得，令，利用放缩法可得，利用裂项求和法即可得证；（3）对化简可得，只有一个零点，令，则有三个不同的零点等价于函数有三个不同的零点，分和两种情况讨论，结合零点存在性定理即可求解．的,PE QE ,k k -31,2E ⎛⎫⎪⎝⎭32y kx k =+-32y kx k =-++32y kx k =+-22334122x kx k ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭()()()2223443232120k xk kx k ++-+--=31,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭1x =()2222321241233443k k k x k k ----==++()2222412312129,43243k k k k P k k ⎛⎫----+ ⎪ ⎪++⎝⎭()2222412312129,43243k k kk Q k k ⎛⎫+--++ ⎪ ⎪++⎝⎭PQ ()()222222222212129121291224324314324412341232434343PQk k k k k k k k kk k k k k k k k -++--+-+++===+----+++()12ln f x x x x=-+()f x ()2*3222211111111e N 2234n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+<∈≥ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,()()221ln 20g x m x x m x=--+>m ()f x (0,)+∞(1,)+∞()f x ()f x (1,)x ∈+∞1()2ln (1)0f x x x f x =-+<=1ln 22x x x<-*211(N ,2)x n n n =+∈≥2111ln(11122n n n +<--+()g x ()(ln ln g x m x m x =ln y m x =+1x =t =()g x ()h t 01m <≤1m >【小问1详解】函数定义域为，因为，所以在上单调递减，故的单调递减区间为，无单调递增区间，【小问2详解】证明：由（1）时，，所以，令，则，，故所以；【小问3详解】，因为与同号，所以，令，，由，则有三个不同的零点等价于函数有三个不同的零点，函数定义域为，因为，()f x (0,)+∞()2222212121()10x x x f x x x x x---+-'=--=≤=()f x (0,)+∞()f x (0,)+∞(1,)x ∈+∞1()2ln (1)0f x x x f x=-+<=1ln 22x x x<-*211(N ,2)x n n n =+∈≥2222222111111111ln(1)(1)()112212(1)4n n n n n n n +<+-=+<<++-111122n n =--+22221111ln(1ln(1)ln(1)ln(1)234n++++++++ 111111()()()1111112233222222n n <-+-++--+-+-+2121332n =-<+()*222211112ln 1111N 22343n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+<∈≥ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,2322221111(1)(1)(1(1)e 234n++++< 222221(1)()ln 2ln (ln ln x g x m x x m x m x m x x x -=--+=-=+ln x 1x -ln y m x =+1x =t =1ln 2ln y m x m t t t =--+()10f =()g x 1()2ln (0)h x m x x m x =-+>()h x (0,)+∞2222121()1m x mx h x x x x -+-'=--=设，则，①当时，，恒成立，此时在上单调递减，显然不符合题意，②当时，，有两个零点，，所以当时，，即；当时，，即；当时，，即．故在，,上单调递减，在,上单调递增；因为，且，所以，所以，由（2）知，时，，所以，即，所以，所以由零点存在性定理知，在区间上有唯一的一个零点，因为，因为，所以，所以时，存在三个不同的零点，1，，故实数的取值范围是．【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．2()21k x x mx =-+-24(1)m ∆=-01m <≤0∆≤()0h x '≤()h x (0,)+∞1m >0∆>()k x 1x m =-2x m =10x x <<()0k x <()0h x '<12x x x <<()0k x >()0h x '>2x x >()0k x <()0h x '<()h x 1(0,)x 2(x )∞+1(x 2)x ()10h =121=x x 121x x <<()1()1h x h <=02()h x <1x >1ln 22x x x <-<-ln x <2222222211114(4)2ln(4)42(2404244m h m m m m m m m m m m m -=-+<--+=<()h t 22(,4)t m 0t 000000001111()(2ln 2ln 0h t h m t t m t t t t t +=-++-+=0()0h t =01(0h t =1m >()h t 01t 0t m (1,)+∞。
2020-2021学年安徽省七年级(下)第五次大联考数学试卷 (1)
2020-2021学年安徽省七年级（下）第五次大联考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．的相反数是（）A．﹣B．C．D．±2．在﹣5.6，，0，，﹣中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．不等式x＞的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．4．﹣64的立方根是（）A．﹣4B．4C．±8D．±25．下列运算正确的是（）A．＝﹣1B．＝3C．＝±D．＝66．不等式3（x﹣2）≤x+1的正整数解的个数为（）A．1B．2C．3D．47．对实数a，b，定义运算a*b＝ab2，已知3*m＝18，则m的值为（）A．6B．2C．±D．±8．已知x＞y，xy＜0，a为任意有理数，下列式子一定正确的是（）A．﹣x＞﹣y B．a2x＞a2y C．﹣x+a＜﹣y+a D．x＞﹣y9．若|a﹣17|+（b﹣1）2＝0，则的算术平方根为（）A．4B．2C．±4D．±210．已知a为整数，且＜a＜，不等式≤﹣2的解集为x≥4，则a+b的值为（）A．7B．11C．12D．13二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．不等式x+4＞1的解集是．12．的整数部分是．13．若＝5，则a的值为．14．已知（2a﹣2）x|a|+m＞0是关于x的一元一次不等式．（1）则a的值为．（2）若不等式的解集是x＜4，则实数m的值为．三.（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．计算：（﹣1）2021++．16．解不等式：≤4﹣，并把解集在数轴上表示出来．四.（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．已知正数x的两个平方根分别是1﹣a和3+2a．（1）求a与x的值．（2）求x﹣33的立方根．18．已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＞﹣5，求m的取值范围．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．求下列各式中x的值：（1）（x+1）2﹣25＝0．（2）2（x+1）3＝﹣54．20．观察下列等式．并回答下列问题：①|1﹣|＝﹣1；②|﹣|＝﹣；③|﹣|＝﹣；④|﹣|＝﹣；⋯⋯（1）请写出第⑤个等式：；计算|﹣4|＝．（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的式子表示）．（3）比较与1的大小．六.（本题满分12分）.21．某运输队接到运送物资的任务，该运输队有A、B两种型号卡车，已知每辆卡车每天可运送物资的次数为A型卡车10次，B型卡车8次．且1辆A型卡车和2辆B型卡车每天可运送物资188吨，2辆A型卡车和3辆B型卡车每天可运送物资312吨．（1）A、B型卡车每次可运送物资各多少吨？（2）若该运输队派出A、B型卡车共10辆，需每天至少运送物资626吨，问A型卡车最多派出多少辆？七.（本题满分12分）22．在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，这个定理称为“勾股定理”．即在直角三角形ABC中（如图），∠ACB＝90°．两条直角边分别为AC，BC，斜边为AB，则AC2+BC2＝AB2．利用勾股定理解答下列问题：（1）在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，AC＝5cm，求BC的长．（2）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的4×4的网格中，每个小格的顶点叫做格点．①在图1中，利用勾股定理求线段AB的长度．②在图2中，画一条格点线段CD，使CD＝5．八.（本题满分14分）23．某种圆珠笔的售价是每支2元，甲、乙两家文具店均有促销活动：甲文具店全部九折，乙文具店20支及以下不打折，超过20支的部分打八折．设小明需要购买的圆珠笔的数量为x，根据题意回答下列问题：（1）若购买超过20支的圆珠笔，则在甲文具店需要花费元，在乙文具店需要花费元．（用含x的代数式表示）（2）当x＝25时，选择哪家文具店更优惠？当x＝50呢？（3）随着x的变化，试说明选择哪家文具店更优惠．。
高三联考答案数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 函数y=2x-3的图像与x轴的交点坐标是（）A.（1，0）B.（3，0）C.（-1，0）D.（0，3）答案：B解析：令y=0，则2x-3=0，解得x=3/2，所以交点坐标为（3，0）。
2. 下列各式中，正确的是（）A. sin²x + cos²x = 1B. tan²x + 1 = sec²xC. cot²x + 1 = csc²xD. sin²x - cos²x = tanx答案：B解析：根据三角恒等式，tan²x + 1 = (sin²x/cos²x) + 1 = (sin²x +cos²x)/cos²x = sec²x。
3. 已知等差数列{an}的第一项a1=2，公差d=3，则第10项an=（）A. 25B. 27C. 29D. 31答案：B解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，代入a1=2，d=3，n=10，得an = 2 + (10-1)×3 = 2 + 27 = 29。
4. 若复数z满足|z-1|=|z+1|，则复数z在复平面上的对应点一定在（）A. x轴上B. y轴上C. 第一象限D. 第二象限答案：A解析：由|z-1|=|z+1|，可得z到点（1，0）的距离等于z到点（-1，0）的距离，即z在x轴上。
5. 下列函数中，单调递减的是（）A. y=x²B. y=2xC. y=2-xD. y=1/x答案：C解析：函数y=2-x在定义域内导数恒小于0，所以是单调递减的。
6. 已知等比数列{an}的第一项a1=3，公比q=2，则第5项an=（）A. 48B. 96C. 192D. 384答案：C解析：等比数列的通项公式为an = a1q^(n-1)，代入a1=3，q=2，n=5，得an = 3×2^(5-1) = 3×2^4 = 48。
2024-2025学年湖南省名校联考联合体高三(上)第一次联考数学试卷(含答案)
2024-2025学年湖南省名校联考联合体高三（上）第一次联考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={−6,−4,3,6}，B ={x|3−x <x}，则A ∩B =( )A. {3,6}B. {−4,3}C. {−6}D. {6}2.已知复数z 在复平面内对应的点为(2,−1)，则|z 2|=( )A. 2B. 3C. 4D. 53.已知等差数列{a n }中，a 2=3，前5项和S 5=10，则数列{a n }的公差为( )A. −2B. −52C. −1D. −44.马德堡半球实验是17世纪50年代由马德堡市长进行的一项实验，其主要目的是证明大气压的存在.实验使用两个直径为14英寸的半球壳，将两个半球内的空气抽掉，球不容易被分开，以证明大气压的存在.若把直径为14英寸的一个实心球分割为两个半球，则这两个半球的表面积之和为( )A. 1176π平方英寸B. 294π平方英寸C. 245π平方英寸D. 196π平方英寸5.已知向量a =(1,2),b =(−1,1)，若c =(x,y)满足(c +a )//b ，则x +y =( )A. −3B. 2C. −5D. 46.已知函数f(x)=3x 2−2lnx +(a−1)x +3在区间(1,2)上有最小值，则实数a 的取值范围是( )A. a >−3B. −493<a <−10C. −493<a <−3D. −10<a <−37.已知F 1为双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b >0)的左焦点，Q 为双曲线C 左支上一点，∠OF 1Q =π3,2|QF 1|=a 2+b 2，则双曲线C 的离心率为( )A. 3B. 2C.5D.13+138.若α,β,γ∈(2π,5π2)，且sinα−2cos β+γ2sin β−γ2=cosα−2cos β+γ2cos β−γ2=0，则sin (α−β)=( )A. ±12B. 12C. ±32D. −32二、不定项选择题：本大题共3小题，共18分。
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（第5题图）
九年级数学期末测试卷
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分．每小题只有一个正确答案）
1．1.反比例函数2y x
=
的图象在 ( )
A 、第一、三象限
B 、第二、四象限
C 、第一、二象限
D 、第三、四象限 2. 一个圆锥的高为3
3
，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是……（ ）
A. 9π
B. 18π
C. 27π
D. 39π
3、.下列三个命题：①圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分这条弦；③相等圆心角所对的弧相等.其中是真命题的是（ ） A 、①② B 、②③ C 、①③ D 、①②③ 4抛物线2)8(2+--=x y 的顶点坐标是（ ）
A 、（2，8）
B 、（8，2）
C 、（—8，2）
D 、（—8，—2） 5．已知⊙O 的半径为5,弦AB 的弦心距为3,则AB 的长是( ) (A) 3 ( B) 4 ( C) 6 (D) 8
6.已知11223(,),(,),(,)x y x y
x y 是
反比例函数4y x
-=
的图象上三点，且
123
0x x x <<<，则123,,y y y 的大小关系是（ ）
A 、1230y y y <<<
B 、1230y y y >>>
C 、1320y y y <<<
D 、1320y y y >>>
7、如图3，扇形OAB 是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长均为1厘米，则这个圆锥的底面半径为（ ）厘米． A ．
2
1 B ．
2
2 C ．2 D ．22
8.已知某函数的图象关于直线x=1对称,其中一部分图象如图,
点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)在函数图象上,且-2<x 1<x 2<-1,那么y 1与y 2的大小关系为( ) A. y 1>y 2 B. y 1<y 2 C.y 1=y 2 D. 无法确定
9.如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 长为15，直角边BC 长为12，若扇形ACE
与
图3
第9题
（12题）
扇形BDE 关于点E 中心对称，则图中阴影部分的面积为…………………………（ ）
A. 27
B. 54
C. 56
10、二次函数c bx ax y ++=2 的图象大致如图,在b a bc +2,,
2
2
2
2
2
2
)(,,)(c
b a a b b
c a -+--+中,值为正数的有( )
A.1
B.2
C.3
D.4 二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，满分24分）． 11、在函数1
5-=
x y 中，自变量x 的取值范围是_____________________
12.如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A 处安装了一台监视器，它的监控角度是65
．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装．．．
这样的监视器 台．
13.如图，半径为5的⊙P 与y 轴交于点M （0，－4），N （0，－10），函数(0)k y x x
=
<的图像过点
P ，则k ＝ .
141
15、校园内有一个半径为4米的圆形草坪，一些学生为走“捷径”，在草坪内走出了一条小路AB ，如图所示∠AOB ＝120°，这些学生踩坏了花草，而仅仅为了少走___________步（假设2步为1米，结果保留整数）.
16．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为u *v ＝uv ＋v ．若关于x 的方程x *(a *x )＝－
4
1有两个相等的实数根，则满足条件的实数a 的值是________．
17. 如图，正方形OA 1B 1C 1的边长为2，以O 为圆心、OA 1为半径作弧A 1C 1交OB 1于点B 2，设弧A 1C 1与边A 1B 1、B 1C 1围成的阴影部分面积为1S ；然后以OB 2为对角线作正方形OA 2B 2C 2，又以O 为圆心、OA 2为半径作弧A 2C 2交OB 2
第14题 第15题 B 第13题
第17题
于点B 3，设弧A 2C 2与边A 2B 2、B 2C 2围成的阴影部分面积为2S ；…，按此规律继续作下去，设弧n n A C 与边n n A B 、n n B C 围成的阴影部分面积为n S ．则
=1S ，
=n S .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第
22、23题10分，第24题12分，共66分） 18.（本题6分） (1)
()
2
2)12(20
1
-
--+-
（2）解不等式组⎪⎩⎪
⎨⎧+≥
+<+41
3
4)2(3x x x x
19.(本题6分)如图过正方形ABCD 的顶点D 作直线a ，过A 、
C 分别作a 的垂线，垂足分别为点E 、F ． ①求证：△AE
D ≌△DFC
②若AE ＝2，CF ＝1,正方形ABCD 的周长是 .
20.如图，秋千拉绳长AB 为3米，静止时踩板离地面CD=0.5米，某小朋友荡该秋千时，秋千在最高处时踩板离地面BE=2米(左右对称)，请计算该秋千所荡过的圆弧长(结果保留π) .
21． 如图，在Rt △ABC 中，AC =BC ，以A 为圆心画弧 D
F ，交AB 于点D ，交AC 延长线于点F ，交BC 于点E ，若图中两个阴影部分的面积相等，求AC 与AF 的长度之比.
第21题
22、如图，BC 是圆O 的直径，AD 垂直BC 于D ，弧BA 等于弧AF ，BF 与AD 交于E ，
求证：（1）AE ＝BE ，（2）若A ，F 把半圆三等分，BC ＝12，求AE 的长。
（8分）
B
A
C
D
E
F
23 （本题满分10分）“假日旅乐园”中一种新型水上滑梯如图，其中线段PA 表示距离水面（x 轴）高度为5m 的平台（点P 在y 轴上）。
滑道AB 可以看作反比例函数图象的一部分，滑道BCD 可以看作是二次函数图象的一部分，两滑道的连接点B 为抛物线BCD 的顶点，且点B 到水面的距离BE=2m ，点B 到y 轴的距离是5m 。
当小明从上而下滑到点C 时，与水面的距离CG=
2
3m,
与点B 的水平距离CF=2m.
(1)求反比例函数的解析式及其自变量的取值范围. (2)求二次函数的解析式及其自变量的取值范围. (3)小明从点A 滑水面上点D 处时,试求他所滑过的水平距离
24. （本题满分12分）正方形OABC 的边长为2,把它放在如图所示的直角坐标系中,点M(t,0)是X 轴上的一个动点,连接BM,在BM 的右侧作正方形BMNP. (1)当t=4时,求P 点的坐标;
(2)连接CP,三角形CBP 的面积为S,求S 与t 的函数关系式;
(3)直线DE 的解析式为y=2x+b,与X 轴交于点D,与Y 轴交于点E, 是否存在点P,使三角形PDE 若存在,求出点P 的坐标.若不存在。