北京市第四中学2017年中考数学冲刺复习专题训练相似第3讲相似三角形的判断2无答案201705253122

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2017北京市中考复习-数学第三节全等三角形第四节相似三角形

第三节全等三角形第四节相似三角形课标解读知识要点1.全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等形.全等图形的形状和完全相同.全等三角形：能够完全重合的两个三角形就是全等三角形.2.性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.全等三角形对应边上的高线、中线、对应角的平分线相等．3.判定(1)基本事实：三条边对应相等的两个三角形全等(简记为： )．(2)基本事实：两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简记为： )． (3)基本事实：两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简记为：)． (4)定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简记为： )． (5)定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简记为： )． 4.常见的全等三角形 (1)平移型(如图1-10-32)：图1-10-32(2)翻折型(如图1-10-33)：图1-10-33(3)旋转型(如图1-10-34)：图1-10-34(4)复合型(如图1-10-35)：图1-10-355.用尺规作三角形(1)已知三边作三角形：已知线段a，b，c,如图1-10-36，求作：△ABC，使AB=c,AC=b，BC=a.作法：图1-10-36(2)已知两边及夹角作三角形：已知线段m,n,∠α，如图1-10-37，求作：△ABC，使∠A=α，AB=m,AC=n.作法：图1-10-37(3)已知两角及夹边作三角形：已知线段m,∠α,∠β，如图1-10-38，求作：△ABC，使∠A=α，∠B=β,AB=m.作法：图1-10-38(4)已知底边及底边上的高线作等腰三角形：已知线段m,n，如图1-10-39，求作：等腰三角形ABC，使底边BC=m，底边BC边上的高等于n.作法：图1-10-39(5)已知一直角边和斜边作直角三角形：已知线段m,n，如图1-10-40，求作：直角三角形ABC，使BC=m，斜边AC=n.图1-10-40作法：典例诠释考点一三角形全等及其应用例1 如图1-10-41，已知E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD.图1-10-41【证明】如图1-10-42,延长DE到F，使EF=DE，连接BF.∵E是BC的中点，∴BE=CE.图1-10-42∵在△BEF和△CED中，∴△BEF≌△CED．∴∠F=∠CDE，BF=CD．∵∠BAE=∠CDE，∴∠BAE=∠F,∴AB=BF.又∵BF=CD，∴AB=CD．【名师点评】此题要证明AB=CD，不能通过证明△ABE和△CED全等得到，因为根据已知条件无法证明它们全等，那么可以利用等腰三角形的性质来解题，为此必须把AB和CD通过作辅助线转化到一个等腰三角形中．例2 (2016·石景山一模)如图1-10-43，已知AD=AE，请你添加一个条件，使得△ADC≌△AEB.图1-10-4【答案】∠C=∠B或AC=AB等(答案不唯一)【名师点评】此题考查两个三角形全等的条件，此题答案不唯一.例3 (2016·顺义一模)如图1-10-44，已知B，A，E在同一直线上，AC∥BD且AC=BE，∠ABC=∠D．求证：AB=AD．图1-10-44【证明】∵AC∥BD，∴∠BAC=∠DBE．在△ABC和△BDE中，∴△ABC≌△BDE(AAS)，∴AB=BD．考点二尺规作图例4 (2016·房山二模)阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：小芸的作图步骤如下：老师说：“小芸的作图步骤正确，且可以得到DF=AC”．请回答：得到DF=AC的依据是．【答案】全等三角形的对应边相等【名师点评】此题考查两个直角三角形全等的判定定理(HL)，学生要能通过阅读作图步骤，找到哪些是已知条件，从而找到两个三角形全等的依据.基础精练1.(2016·通州一模)如图1-10-47，在△ABC中，AC=BC，BD⊥AC于点D，在△ABC外作∠CAE=∠CBD，过点C作CE⊥AE于点E.如果∠BCE =140°，求∠BAC的度数.图1-10-47【解】∵BD⊥AC，CE⊥AE，∴∠BDC=∠E=90°.∵∠CAE=∠CBD，∴△BDC∽△AEC，∴∠BCD=∠ACE.∵∠BCE=140°，∴∠BCD=∠ACE=70°.∵AC=BC，∴∠BAC=∠ABC=55°.2.(2016·西城二模)如图1-10-48，在△ABC中，D是AB边上一点，且DC=DB,点E在CD的延长线上，且∠EBC=∠ACB．求证：AC=EB．图1-10-48【证明】∵DC=DB，∴∠DCB=∠DBC．在△ACB和△EBC中，∴△ACB≌△EBC，∴AC=EB．3.(2016·东城二模)如图1-10-49，已知∠ABC=90°，分别以AB和BC为边向外作等边△ABD和等边△BCE，连接AE，CD.求证：AE=CD.图1-10-49【证明】如图1-10-49，∵△ABD和△BCE为等边三角形，∴∠ABD=∠CBE=60°，BA=BD，BC=BE,∴∠ABD+∠ABC=∠CBE+∠ABC，即∠CBD=∠ABE.在△CBD和△EBA中，∴△CBD≌△EBA(SAS)，∴AE=CD.4.(2016·海淀二模)如图1-10-50，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC上，且BD=AC，过点D作DE⊥AB于点E，过点B作CB的垂线，交DE的延长线于点F．求证：AB=DF．图1-10-50【证明】如图1-10-51.图1-10-51∵BF⊥BC，DE⊥AB，∠ACB=90°，∴∠DBF=∠BEF=∠ACB=90°,∴∠1+∠2=90°，∠2+∠F=90°.∴∠1=∠F.在△ABC和△DFB中，∴△ABC≌△DFB，∴AB=DF.5.(2014 ·顺义一模)如图1-10-52，在△MNQ中，MQ≠NQ．图1-10-52(1)请你以MN为一边，在MN的同侧构造一个与△MNQ全等的三角形，画出图形，并简要说明构造的方法；(2)参考(1)中构造全等三角形的方法解决下面问题：如图1-10-53，在四边形ABCD中，∠ACB+∠CAD=180°，∠B=∠D．求证：CD=AB．图1-10-53(1)【解】如图1-10-54①,过点N在MN的同侧作∠MNR=∠QMN，在NR上截取NP=MQ，连接MP，则△MNP即为所求．①②图1-10-54(2)【证明】如图1-10-54②，延长BC到点E，使CE=AD，连接AE．∵∠ACB+∠CAD=180°，∠ACB+∠ACE=180°，∴∠CAD=∠ACE．又∵AD=CE，AC=CA，∴△ACD≌△CAE．∴∠D=∠E，CD=AE．∵∠B=∠D，∴∠B=∠E，∴AE=AB，∴CD=AB．6.(2014·河南)(1)问题发现如图1-10-55，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE. 填空：①∠AEB的度数为；图1-10-55②线段AD,BE之间的数量关系是．(2)拓展探究如图1-10-56，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°,点A，D，E 在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．图1-10-56(3)解决问题如图1-10-57，在正方形ABCD中，CD=．若点P满足PD=1,且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．图1-10-57【解】(1)①60；②AD=BE.(2)∠AEB＝90°；AE=2CM+BE.【理由】∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°,∴AC=BC,CD=CE.∵∠ACB－∠DCB=∠DCE－∠DCB,即∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE.∴AD=BE,∠BEC=∠ADC=135°.∴∠AEB=∠BEC－∠CED=135°－45°=90°．在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，∴CM=DM=ME,∴DE=2CM.∴AE=DE+AD=2CM+BE.(3)或.【提示】∵PD=1，∠BPD=90°,∴BP是以点D为圆心，以1为半径的⊙D的切线，点P为切点．第一种情况：如图1-10-58，过点A作AP的垂线，交BP于点P′，过点A作AM⊥BP 交BP于点M.可证△APD≌△AP′B,PD=P′B=1.∵CD=,∴BD=2,BP=,∴AM=PP′=(PB－BP′)=.图1-10-58第二种情况如图1-10-59，可得AM=PP′=(PB+BP′)=.图1-10-59真题演练1.(2013·北京)如图1-10-60，已知D是AC上一点，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE.求证：BC=AE.图1-10-60【证明】∵DE∥AB，∴∠CAB=∠ADE.在△ABC与△DAE中，∴△ABC≌△DAE(ASA)，∴BC=AE.2.(2012·北京)如图1-10-61，已知点E，A，C在同一条直线上，AB∥CD,AB=CE,AC=CD.求证：BC＝ED.图1-10-61【证明】∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ECD.在△BAC和△ECD中，∴△BAC≌△ECD(SAS)，∴CB=ED．第四节相似三角形课标解读知识要点1.比例线段：对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即=，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．2.比例性质：(1)比例的基本性质(这是等积式与比例式互相转化的依据)若=，则ad =bc ；若=，则=ac (b 为a ，c 的比例中项).若ad =bc ,且bd ≠0,则=；若=ac ,且bc ≠0,则=(b 为a ，c 的比例中项).(2) 合比性质若=，则=或=. (3)等比性质如果==…=(b+d+…+n≠0)，那么=.3.黄金分割：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC 与AB的比叫做黄金比，黄金比约为．4.基本事实：平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得到的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得到的对应线段成比例．5.相似图形：形状相同的图形叫相似形；相似三角形：对应角，对应边的比的两个三角形叫做相似三角形；相似三角形的对应边的比叫做，一般用k表示．6.相似三角形的判定(1)平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似．如图1-10-62，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.图1-10-62(2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．(三边对应成比例，两三角形相似)(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.(两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似)(4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．(两角对应相等，两三角形相似)7.相似三角形的性质(1)相似三角形的对应边的比相等,对应角相等.(2)相似三角形对应高、、的比等于相似比.(3)相似三角形周长的比等于.(4)相似三角形面积的比等于.8.相似三角形的几种基本图形：(1)如图1-10-63：称为“平行线型”的相似三角形.图1-10-63(2)如图1-10-64，其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形.图1-10-64(3)如图1-10-65：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形.图1-10-65(4)如图1-10-66，其他类型的相似三角形.图1-10-66典例诠释考点一平行线分线段成比例定理的应用例1 (2016·平谷一模)如图1-10-67，在△ABC中，DE∥BC，AE∶EC=2∶3，DE=4，则BC的长为( )图1-10-67A．10 B．8 C．6 D．5【答案】 A【名师点评】此题通过两个三角形相似，找到对应边之比DE∶BC=AE∶AC，从而计算出BC的长.例2 (2016·东城一模)如图1-10-68，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接BC并延长至E，使CE=CB，连接ED. 若量出DE=58米，则A，B间的距离为( )图1-10-68A．29米B．58米C．60米D．116米【答案】 B考点二相似三角形的判定和性质的应用例3 (2016·西城二模)利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5 cm的一个等边三角形放大成边长为20 cm的等边三角形，则放大前后的两个三角形的面积比为( )A.1∶2B.1∶4C.1∶8D.1∶16【答案】 D【名师点评】此题考查两个三角形相似的性质，即相似比的平方=面积比，从而得到答案.例4 (2016·东城二模)如图1-10-69，点P在△ABC的边AC上，请你添加一个条件，使得△ABP∽△ACB，这个条件可以是.图1-10-69【答案】∠ABP=∠C(答案不唯一)【名师点评】此题考查两个三角形相似的条件，注意图中隐含有一对公共角∠A，此题答案不唯一.考点三相似三角形的实际应用例5 (2016·房山一模)为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，然后再在河岸上选点E，使得EC ⊥BC，设BC与AE交于点D，如图1-10-70所示，测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，那么这条河的大致宽度是( )图1-10-70A.75米B.25米C.100米D.120米【答案】 C【名师点评】此题利用两个三角形相似来解决实际问题，学生要能准确地列出AB∶EC=BD∶DC，从而计算出河宽AB的长.基础精练11.(2016·燕山一模)为了加强视力保护意识，小明要在书房里挂一张视力表．由于书房空间狭小，他想根据测试距离为5 m的大视力表制作一个测试距离为3 m的小视力表．如图1-10-71，如果大视力表中“E”的高度是 3.5 cm，那么小视力表中相应“E”的高度是( )图1-10-7A．3 cm B．2.5 cm C．2.3 cm D．2.1 cm【答案】 D2.(2016·房山二模)如图1-10-72，在△ABC中，点D，E分别在边AB,AC上，且∠AED= ∠ABC,DE=3,BC=5,AC=12.求AD的长.图1-10-72【解】∵∠AED=∠ABC,∠A=∠A,∴△AED∽△ABC,∴=.∵DE=3,BC=5,AC=12,∴=,∴AD=.3.(2016·海淀二模)据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 如图1-10-73所示，木杆EF的长为2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，则金字塔的高度BO为m．图1-10-73【答案】1344.(2016·石景山二模)如图1-10-74，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，E，使点A，B，D在一条直线上，且AD⊥DE，点A，C，E也在一条直线上且DE∥BC．如果BC=24 m，BD=12 m，DE=40 m，则河的宽度AB约为( )图1-10-74A．20 m B．18 m C．28 m D．30 m【答案】 B5.(2016·东城期末)如图1-10-75，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C，AB=6，BD=4，求CD的长.图1-10-75【解】∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，∴△ABC∽△DBA.∴=.∴=BD·BC.∴BC=9，∴CD=BC－BD=5.6.(2014 ·丰台一模)如图1-10-76是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图,点P 处放一水平的平面镜,光线从点A发出经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是( )图1-10-76A．6米B．8米C．18米D．24米【答案】 B7.如图1-10-77，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，且AD=AB，则△ADE的周长与△ABC的周长的比为.图1-10-77【答案】1∶38.(2014·丰台期末)如图1-10-78，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，且DE ∥BC，如果DE∶BC=3∶5,那么AE∶AC的值为( )图1-10-78A.3∶2B.2∶3C.2∶5D.3∶5【答案】 D9.(2014·门头沟期末)如图1-10-79，点A(6，3)，B(6，0)在直角坐标系内,以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，那么点C的坐标为( )图1-10-79A．(3，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(2，1)【答案】 D10.(2016·房山期末)如图1-10-80，在矩形ABCD中，边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处．图1-10-80(1)如图1-10-81，设折痕与边BC交于点O，连接OP，OA．已知△OCP与△PDA的面积比为1∶4，求边AB的长.图1-10-81(2)动点M在线段AP上(不与点P，A重合)，动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN，PB，交于点F，过点M作ME⊥BP于点E．①在图1-10-80中画出图形.②在△OCP与△PDA的面积比为1∶4不变的情况下，试问动点M,N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？请你说明理由．【解】(1)如图1-10-82.图1-10-82∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°,∴∠1+∠3=90°．∵由折叠可得∠APO=∠B=90°，∴∠1+∠2=90°．∴∠2=∠3．又∵∠D=∠C，∴△OCP∽△PDA．∵△OCP与△PDA的面积比为1∶4，∴===,∴CP=AD=4．设OP=x，则CO=8－x．在Rt△PCO中，∠C=90°，由勾股定理得．解得x=5．∴AB=AP=2OP=10,∴边AB的长为10．(2)①如图1-10-83.图1-10-83②在△OCP与△PDA的面积比为1∶4这一条件不变的情况下，点M,N在移动过程中，线段EF的长度是不变的．过点M作MQ∥AN，交PB于点Q，如图1-10-84．∵AP=AB，MQ∥AN，∴∠APB=∠ABP=∠MQP,∴MP=MQ．图1-10-84又ME⊥PQ,∴点E是PQ的中点.∵BN=PM，∴BN=MQ.又MQ∥AN，∴∠QMF=∠N.在△MQF和△NBF中，∴△MQF≌△NBF,∴QF=BF.∴EF=PB．∵在△BCP中，∠C=90°，PC=4，BC=AD=8，∴PB=4为定值，∴EF=PB为定值.故在△OCP与△PDA的面积比为1∶4这一条件不变的情况下，点M，N在移动过程中，线段EF的长度是不变的，且EF=2．11.(2014·平谷期末)如图1-10-85,在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点(点P不与A,D重合)，PE⊥BP，PE交DC于点Ｅ．图1-10-85(1)求证：△ABP∽△DPE.(2)设AP＝x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围.(3)请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由．(1)【证明】∵∠A=90°，∴∠1+∠3=90°.∵PE⊥BP，∴∠1+∠2=90°,∴∠3=∠2.∵AB∥CD，∠A=90°，∴∠D=∠A=90°∴△ABP∽△DPE.图1-10-86(2)【解】由△ABP∽△DPE可得=.∵AB=2，AD=5，AP＝x，DE=y,∴DP=5－x,∴=,整理，得y=－+x(0<x<5).(3)【解】能构成矩形．当DE=AB=2时，四边形ABED构成矩形，即DE=y=－+x=2,解得x=1或x=4,∴AP的长为1或4.真题演练1.(2016·北京)如图1-10-87，小军、小珠之间的距离为2.7 m，他们在同一盏路灯下的影长分别为 1.8 m,1.5 m，已知小军、小珠的身高分别为 1.8 m,1.5 m，则路灯的高为m.图1-10-87【答案】 32.(2014·北京)阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1-10-88，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长.图1-10-88小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E,通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决(如图1-10-89).图1-10-89请回答：∠ACE的度数为,AC的长为.参考小腾思考问题的方法，解决问题：如图1-10-90，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD 交于点E，AE=2，BE=2ED，求BC的长.图1-10-90【解】∠ACE=75°，AC的长为3．如图1-10-91,过点D作DF⊥AC于点F．图1-10-91∵∠BAC=90°=∠DF A，∴AB∥DF，∴△ABE∽△FDE，∴===2，∴EF=1，AB=2DF．在△ACD中，∠CAD=30°，∠ADC=75°，∴∠ACD=75°，AC=AD．∵DF⊥AC，∴∠AFD=90°，在△AFD中，AF=2+1=3，∠F AD=30°，∴DF=AF tan 30°=，AD=2DF=2.∴AC=AD=2，AB=2DF=2.∴BC==2.3.(2012·北京)如图1-10-92，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE＝40 cm,EF=20 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，则树高AB＝m.【答案】 5.5图1-10-924.(2011·北京)如图1-10-93，在△ABC中，点D,E分别在AB,AC边上，DE∥BC，若AD∶AB=3∶4，AE=6，则AC等于( )图1-10-93A.3B.4C.6D.8【答案】 D。

北京四中九年级上册数学相似三角形判定定理的证明知识讲解(基础)

相似三角形判定定理的证明(基础)【学习目标】1.熟记三个判定定理的内容.2.三个判定定理的证明过程.3.学选会用适当的方法证明结论的成立性. 【要点梳理】要点一、两角分别相等的两个三角形相似已知：如图,在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A=∠A ′，∠B=∠B ′.求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′.证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD=A ′B ′,过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E,则∠ADE=∠B ，∠AED=∠C,(.AD AEAB AC=平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）过点D 作AC 的平行线，交BC 与点F,则(AD CFAB CB =平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）. ∴AE CFAC CB=∵DE ∥BC,DF ∥AC,∴四边形DFCE 是平行四边形. ∴DE=CF.∴AE:AC=DE:CB ∴AD AE DEAB AC BC==. 而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C, ∴△ADE ∽△ABC.∵∠A=∠A ′,∠ADE=∠B=∠B ′,AD=A ′B ′, ∴△ADE ∽△A ′B ′C ′. ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.要点诠释：证明这个定理的正确性，是把它转化为平行线分线段成比例来证明的，注意转化时辅助线的做法.要点二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似已知，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A=∠A ′,''''AB ACA B A C =,求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′.证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD=A ′B ′,过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E,则∠B=∠ADE,∠C=∠AED,∴△ABC ∽△ADE(两角分别相等的两个三角形相似).∴AB ACAD AE =. ∵''''AB AC A B A C =,AD=A ′B ′, ∴''AB AC AD A C =∴''AC AC AE A C =∴AE=A ′C ′ 而∠A=∠A ′∴△ADE ≌△A ′B ′C ′. ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.要点诠释：利用了转化的数学思想，通过添设辅助线，将未知的判定方法转化为已知两组角对应相等推得相似或已知平行推得相似的. 要点三、三边成比例的两个三角形相似已知：在△ABC 和△A ′B ′C ′中， ''''''AB BC ACA B B C A C ==. 求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′.证明：在△ABC 的边AB ，AC （或它们的延长线）上截取AD=A ′B ′,AE=A ′C ′,连接DE. ∵''''AB ACA B A C =，AD=A ′B ′,AE=A ′C ′, ∴AB AC AD AE= 而∠BAC=∠DAE,∴△ABC ∽△ADE(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).∴AB BCAD DE =又''''AB BC A B B C =，AD= A ′B ′, ∴ ''AB BC AD B C =∴''BC BC DE B C =∴DE=B ′C ′,∴△ADE ≌△A ′B ′C ′， ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′. 【典型例题】类型一、两角分别相等的两个三角形相似1、在△ABC 中，∠A=60°，BD⊥AC，垂足为D ，CE⊥AB，垂足为E ，求证：△ADE∽△ABC．【思路点拨】由BD⊥AC ，CE⊥AB 得到∠AEC=∠ADB=90°，利用∠EAC=∠DAB 可判断△AEC∽△ADB，则=，利用比例性质得=，加上∠EAD=∠CAB，根据三角形相似的判定方法即可得到结论．【答案与解析】证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠AEC=∠ADB=90°，而∠EAC=∠DAB， ∴△AEC∽△ADB，∴=， ∴=，∵∠EAD=∠CAB， ∴△ADE∽△ABC．【总结升华】考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两三角形相似；有两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．举一反三【变式】如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC、AC上，且∠ADE=60°，求证：BD•CD=AC•CE.【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=AC，∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，∠B=∠ADE=60°，∴∠BAD=∠CDE，∴△ABD∽△DCE，∴AB BD CD CE，∴BD•CD=AB•CE，即BD•CD=AC•CE；2、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点H在AC上，且线段HD⊥AB于D，BC的延长线与DH的延长线交于点E，求证：△AHD∽△EBD．【思路点拨】首先利用三角形的内角和定理证明：∠A=∠E，再有垂直得到90°的角，∠ADH=∠ACB=90°，从而证明：△AHD∽△EBD．【答案与解析】证明：∵HD⊥AB于D，∴∠ADH=90°，∴∠A+∠AHD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠E+∠AHD=90°，∴∠A=∠E，∵∠ADH=∠ACB=90°，∴△AHD∽△EBD．【总结升华】考查了垂直定义、三角形内角和定理以及相似三角形的判定方法：两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．类型二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似3、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．【思路点拨】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长．【答案与解析】（1）证明：∵ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，∴，∵DF=DC，∴，∴，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴，又∵DF=DC，正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．【总结升华】考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用．举一反三【变式】如图，锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，垂足为D，E．（1）证明：△ACD∽△ABE．（2）若将D，E连接起来，则△AED与△ABC能相似吗？说说你的理由．【答案】证明：（1）∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，∴∠ADC=∠AEB=90°．∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABE．（2）∵△ACD∽△ABE，∴AD：AE=AC：AB．∵∠A=∠A，∴△AED∽△ABC．4、已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点P为BC上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于点F．（1）求证：△ADF∽△BDE；（2）求证：△DEF∽△ABC．【思路点拨】（1）由∠BAC=90°，AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC可得到四边形AEPF为矩形，则AF=EP，再利用有两组角对应相等的两个三角形相似得到Rt△BEP∽Rt△BDA，得到=，则=，利用比例性质变形得=，根据等角的余角相等得∠DAF=∠B，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断△ADF∽△BDE；（2）由△ADF∽△BDE得到∠ADF=∠BDE，=，变形得=，再由∠BDF+∠ADE=90°得到∠DEF=90°，于是可证明△DEF∽△DB A，所以∠DEF=∠B，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到Rt△DEF∽Rt△ABC．【答案与解析】证明：（1）∵∠BAC=90°，AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AEPF为矩形，∴AF=EP，∵∠EBP=∠DBA，∴Rt△BEP∽Rt△BDA，∴=，∴=，即=，∵∠DAF+∠BAD=90°，∠B+∠BAD=90°，∴∠DAF=∠B，∴△ADF∽△BDE；（2）∵△ADF∽△BDE，∴∠ADF=∠BDE，=，即=而∠BDF+∠ADE=90°，∴∠ADF+∠ADE=90°，∠DEF=90°，∴∠ADB=∠FDE，∴△DEF∽△DBA，∴∠DEF=∠B，∴Rt△DEF∽Rt△ABC．【总结升华】本题考查了相似三角形的判定与性质：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．举一反三【变式】如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=°，BC= ；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．【答案】解：（1）∠ABC=135°，BC=；（2）相似；∵BC=，EC==；∴，；∴；又∠ABC=∠CED=135°，∴△ABC∽△DEC．类型三、三边成比例的两个三角形相似5、已知：正方形的边长为1（1）如图①，可以算出正方形的对角线为，求两个正方形并排拼成的矩形的对角线长，n个呢？（2）根据图②，求证△BCE∽△BED；（3）由图③，在下列所给的三个结论中，通过合情推理选出一个正确的结论加以证明，1．∠BEC+∠BDE=45°；⒉∠BEC+∠BED=45°；⒊∠BEC+∠DFE=45°【思路点拨】（1）主要是根据勾股定理寻找规律，容易在数据中找到正确结论；（2）在每个三角形中，根据勾股定理易求出每条边的长度，可利用三组边对应成比例，两三角形相似来判定；（3）欲证∠BEC+∠DFE=45°，在本题中等于45°的角有两个，即∠AEB和∠BEF，所以在证明第三个结论时，需把这两个角想法转移到已知的一个角中去，利用等腰梯形的性质求解即可．【答案与解析】解：（1）由勾股定理知，在第一个图形中，对角线长==，第二个图形中，对角线长==，第三个图形中，对角线长=，所以第n个图形中，对角线长=；（2）在△BCE中，BC=1，BE=，EC=，在△BED中，BE=，BD=2，ED=，所以，∴△BCE∽△BED；（3）选取③，∵CD∥EF，且CE=DF，∴四边形CEFD为等腰梯形，∴∠DFE=∠CEF，∴∠BEC+∠DFE=∠BEC+∠CEF=45°．【总结升华】此题主要运用三边对应成比例的两个三角形相似的判定定理、勾股定理的运用、等腰梯形的性质来解决问题的.。

北京市第四中2017年中考数学冲刺复习专题训几何综合问题(无答案

几何综合问题以几何为主的综合题常研究以下几个方面的问题： ① 证明线段、角的数量关系(包括相等、和、差、倍、分关系及比例关系等)；② 证明图形的位置关系(如点与线、线与线、线与圆、圆与圆等)；③ 几何计算问题；④ 动态几何问题．在解几何综合题时，常常需要画图并分解其中的基本图形，挖掘其中隐含的等量关系．另外，也要注意使用数形结合、方程、分类讨论、转化等数学思想方法来解决问题．有时借助变换的观点也能帮助我们更有效地找到解决问题的思路．例1．如图，直角三角形纸片ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．折叠该纸片使点B 与点C 重合，折痕与AB 、BC 的交点分别为D 、E.(1) DE 的长为；(2) 将折叠后的图形沿直线AE 剪开，原纸片被剪成三块，其中最小一块的面积等于．例2．已知：在如图1所示的锐角三角形ABC 中，CH⊥AB 于点H ，点B 关于直线CH 的对称点为D ，AC 边上一点E 满足∠EDA =∠A，直线DE 交直线CH 于点F ．(1) 求证：BF ∥AC ；(2) 若AC 边的中点为M ，求证：2DF EM ； (3) 当AB=BC 时（如图2），在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与BE相等的线段，并证明你的结论．图 1图2例3．已知：如图，N、M是以O为圆心，1为半径的圆上的两点，B是MN上一动点（B不与点M、N重合），∠MON=90°，BA⊥OM于点A，BC⊥ON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q．（1）四边形EPGQ （填“是”或者“不是”）平行四边形；（2）若四边形EPG Q是矩形，求OA的值.。

北京市北京四中九年级数学下册第二十七章《相似》测试卷(含答案解析)

一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别为,AB BC 的中点，则三角形BEF 与多边形EFCDA 的面积之比为（）A ．1∶4B ．1∶5C ．1∶7D ．1∶82．如图，AB 为半圆O 的直径，10AB =，AC 为O 的弦，8AC =，D 为AB 的中点，DM AC ⊥于M ，则DM 的长为（）A ．42B ．2C ．1D ．33．如图，在ABC 中，//DE BC ，6AD =，3DB =，4AE =，则AC 的长为（）A ．1B ．2C ．4D ．64．如图，已知△ABC 和△EDC 是以点C 为位似中心的位似图形，且△ABC 和△EDC 的周长之比为1：2，点C 的坐标为（﹣2，0），若点A 的坐标为（﹣4，3），则点E 的坐标为（）A ．（52，﹣6） B ．（4，﹣6） C ．（2，﹣6）D ．3(,6)2-5．如果两个相似三角形的对应高之比是1:2，那么它们的周长比是（） A ．1:2 B ．1:4 C ．2D ．2:16．如图，在ABC ，AB AC a ==，点D 是边BC 上的一点，且BD a =，1AD DC ==，则a 等于（）A ．512+ B ．512- C ．1D ．27．如图，地面上点A 处有一只兔子，距它10米的B 处有一根高1.6米的木桩，大树、木桩和兔子刚好在一条直线上．一只老鹰在9.6米高的树顶上刚好看见兔子，则大树C 离木桩B( )米．A ．60B ．50C ．40D ．458．如图在ABC 中，其中D 、E 两点分别在AB 、AC 上，且31AD =，29DB =，30AE =，32EC =．若50A ∠=︒，则图中1∠、2∠、3∠、4∠的大小关系正确的是（）．A ．13∠=∠B ．24∠∠=C ．23∠∠=D ．14∠<∠9．已知四个数2，3，m 3m 的值是（） A ．3B ．233C 2D ．2310．如图，已知直线////a b c ，直线m 交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，若12AB BC =，则DEEF=（）A ．13B ．12C ．23D ．1 11．如图，在矩形OABC 中，点A 和点C 分别在y 轴和x 轴上．AC 与BO 交于点D ，过点C 作CE BD ⊥于点E ，2DE BE =．若5CE =，反比例函数(0,0)ky k x x=>>经过点D ，则k =（）A ．2B ．352C ．36D ．3012．已知P 是线段AB 的黄金分割点，且51AB =+，则AP 的长为（）．A ．2B ．51-C ．2或51-D ．35-13．如图，菱形ABCD 的边长为10，面积为80，∠BAD ＜90°，⊙O 与边AB ，AD 都相切菱形的顶点A 到圆心O 的距离为5，则⊙O 的半径长等于（）A ．2.5B 5C ．22D ．314．已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为72,63︒︒，则另一个三角形的最小内角为（） A ．72︒B ．63︒C ．45︒D ．不能确定15．如图，四边形ABCD 是正方形，E 是BC 的中点，连接AE 与对角线BD 相交于点G ，连接CG 并延长，交AB 于点F ，连接DE 交CF 于点H ．以下结论：①CDE BAE ∠=∠；②CF DE ⊥；③AF BF =；④22CE CH CF =⋅．其中正确结论的个数有（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题16．如图，一次函数y ＝﹣34x +6的图象与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，过线段AB 的中点P （4，3）作一条直线与△AOB 交于点Q ，使得所截新三角形与△AOB 相似，则点Q 坐标是_____．17．如图，在Rt ABC 中，90ACB ︒∠=，5AC =，12BC =，D 、E 分别是边BC 、AC 上的两个动点，且8DE =，P 是DE 的中点，连接PA ，PB ，则13PA PB +的最小值为________．18．如图，在△ABC 中，中线BE ，CD 相交于点G ，则EDG BDG S S ∆∆：＝__________．19．如图，△ABC 中，D 在AC 上，且AD ：DC=1:n ，E 为BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，那么FC:BF 的值为______（用含有n 的代数式表示）．20．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，AD=AC ，以A 为圆心，AB 长为半径画弧，交AC 于点E ，连接DE 、BE ，并延长BE 交CD 于点F ，下列结论：①△BAC ≌ △EAD ，②BC+CF=DE+EF ，③∠ABE+∠ADE=∠BCD ，其中正确的有____（填序号）21．如图，在矩形ABCD 中，M N 、分别是边AD BC 、的中点，点P Q 、在DC 边上，且14PQ DC =．若8,10AB BC ＝＝，则图中阴影部分的面积是_____________22．△ABC 的三边长分别为7、6、2，△DEF 的两边分别为1、3，要使△ABC ∽△DEF ，则△DEF 的第三边长为______．23．如图，已知△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝3，AB ＝4，D 是边AB 上一点，DE ∥BC 交AC 于点E ，将△ADE 沿DE 翻折得到△A ′DE ，若△A ′EC 是直角三角形，则AD 长为_____．24．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，//CD AB ，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点E ，若10AB =，6BC =，则AE =_______．25．如图，在直角三角形ABC 中，90,C AD ︒∠=是BAC ∠的平分线，且35,22CD DB ==，则AB =____．26．如图，在△ABC 中，AE AFEB FC＝，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于点D ，∠CBP 的平分线交CE 于点Q ，当CQ =13CE 时，EP +BP =20，则BC 的长为________．三、解答题27．如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上．双曲线(0)ky x x=>经过BC 边的中点(2,4)D ，与AB 交于点E ，连结DE ，CE ．（1）求k 的值及CDE ∠的度数．（2）在直线AB 上找点F ，使得以点A 、D 、F 为顶点的三角形与CDE △相似，求F 点的坐标．28．如图，在△ABC 中，AB ＝23，AC 43=，点D 在AC 上，且AD ＝12AB ， (1)用尺规作图作出点D(保留作图痕迹，不必写作法)； (2)连接BD ，并证明：△ABD ∽△ACB ．29．已知：如图，在边长为4的菱形ABCD 中，60D ∠=︒，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，BE DF =，CE 的延长线交DA 的延长线于点G ，CF 的延长线交BA 的延长线于点H ．（1）求证：~BEC BCH ∆∆；（2）当E 是边AB 的中点时，试求CH 的长度．30．将ABC 绕点A 逆时针方向旋转θ，并使各边长变为原来的n 倍，得到AB C ''△，我们将这种变换记为[],n θ．（1）问题发现如图①，对ABC 作变换603⎡⎤︒⎣⎦得AB C ''△，则:AB C ABC S S ''=△△______；直线BC 与直线B C ''所夹的锐角度数为______．（2）拓展探究如图②，ABC 中，35BAC ∠=︒且:2AB AC =，连结BB '，CC '．对ABC 作变换603⎡︒⎣得AB C ''△，求:ABB ACC S S ''△△的值及直线BB '与直线CC '相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由．（3）问题解决如图③，ABC 中，30BAC ∠=︒，90ACB ∠=︒，对ABC 作变换[],n θ得AB C ''△，使点B 、C 、C '在同一直线上，且四边形ABB C ''为矩形，请直接写出n 的值．。

北京四中九年级上册数学探索相似三角形相似的条件知识讲解(提高)---巩固练习

【巩固练习】一、选择题1. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（）A．1个B． 2个 C．3个D． 4个2．（2014•黄浦区一模）在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，下列条件中不能判定△AED ∽△ABC是（）A．∠ADE=∠C B．∠AED=∠B C. AD ACAE AB= D.AD DEAC BC=3．如图，平行四边形ABCD中，F是CD上一点，BF交AD的延长线于G，则图中的相似三角形对数共有（）A．8对 B． 6对 C．4对D． 2对4．下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的△ABC相似的个数有（）A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个5.如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示以PA为边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形的面积，那么S1（）S2．A.>B.=C.<D.无法确定6.有以下命题：①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有a cb d =．②如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB、BC的比例中项．③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC是AB与BC的比例中项．④如果点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AB=2，则AC=-1．其中正确的判断有（）.A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题7．如图，添加一个条件：，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）8．在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A，B），过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A=36°，AB=AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有条．9．如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是边AB上一点，若△APD与△BPC相似，则满足条件的点P有个．10．如图，点D、E、F在△ABC三边上，EF、DG相交于点H，∠ABC=∠EFC=70°，∠ACB=60°，∠DGB=50°，图中与△GFH相似的三角形的个数是．11．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB中点，MN=，线段MN的两端在CD、CD上滑动，当CM= 时，△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似．12.如图所示，顶角A为36°的第一个黄金三角形△ABC的腰AB=1，底边与腰之比为K，三角形△BCD为第二个黄金三角形，依此类推，第2008个黄金三角形的周长为____________．三、解答题13. 如图，点P在平行四边形ABCD的CD边上，连接BP并延长与AD的延长线交于点Q．（1）求证：△DQP∽△CBP；（2）当△DQP≌△CBP，且AB=8时，求DP的长．14.如图，在△ABC中，点D在边AB上，且DB=DC=AC，已知∠ACE=108°，BC=2．（1）求∠B的度数；（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比51 2．①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求AD的长；③在直线AB或BC上是否存在点P（点A、B除外），使△PDC是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．15.如图1，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC BCAB AC=，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果121S S S S =，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在△ABC 中，若点D 为AB 边上的黄金分割点（如图2），则直线CD 是△ABC 的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ，再过点D 作直线DF ∥CE ，交AC 于点F ，连接EF （如图3），则直线EF 也是△ABC 的黄金分割线．请你说明理由．（4）如图4，点E 是平行四边形ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点E 作EF ∥AD ，交DC 于点F ，显然直线EF 是平行四边形ABCD 的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD 的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD 各边黄金分割点．【答案与解析】一、选择题 1．【答案】C ；【解析】∵AB ⊥BC ，∴∠B=90°． ∵AD ∥BC ，∴∠A=180°﹣∠B=90°，∴∠PAD=∠PBC=90°．AB=8，AD=3，BC=4，设AP 的长为x ，则BP 长为8﹣x ．若AB 边上存在P 点，使△PAD 与△PBC 相似，那么分两种情况：①若△APD ∽△BPC ，则AP ：BP=AD ：BC ，即x ：（8﹣x ）=3：4，解得x=；②若△APD ∽△BCP ，则AP ：BC=AD ：BP ，即x ：4=3：（8﹣x ），解得x=2或x=6． ∴满足条件的点P 的个数是3个，故选：C ．2.【答案】D;【解析】A 、有条件∠ADE=∠C ，∠A=∠A 可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似证明△AED 和△ABC 相似；B、有条件∠AED=∠B，∠A=∠A可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似证明△AED和△ABC相似；C、根据两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似证明△AED和△ABC相似；D、不能证明△AED和△ABC相似；故选：D．3.【答案】C；【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴△BEC∽△GEA，△ABE∽△CEF，△GDF∽△GAB，△DGF∽△BCF，∴△GAB∽△BCF，还有△ABC≌△CDA（是特殊相似），∴共有6对．故选：C．4.【答案】B；【解析】观察可以发现AC=，BC=2，AB=，故该三角形中必须有一条边与邻边的比值为2，且为直角三角三角形，第1个图形中，有两边为2，4，且为直角三角三角形，第2，3图形中，两边不具备2倍关系，不可能相似，第4个图形中，有两边为，2，且为直角三角三角形，∴只有第1，4个图形与左图中的△ABC相似．故选：B．5．【答案】B．【解析】根据黄金分割的概念得：AP BP AB AP=，则212×PBS APS AB===1，即S1=S2．故选B．6．【答案】B．【解析】①、根据第四比例项的概念，显然正确；②、如果点C是线段AB的中点，AB：AC=2，AC：BC=1，不成比例，错误；③、根据黄金分割的概念，正确；④、根据黄金分割的概念：AC=51-，错误．故选B．二、填空题7．【答案】∠ADE=∠ACB；【解析】由题意得，∠A=∠A（公共角），则可添加：∠ADE=∠ACB，利用两角法可判定△ADE∽△ACB．故答案可为：∠ADE=∠ACB．8．【答案】3；【解析】当PD∥BC时，△APD∽△ABC，当PE∥AC时，△BPE∽△BAC，连接PC，∵∠A=36°，AB=AC，点P在AC的垂直平分线上，∴AP=PC，∠ABC=∠ACB=72°，∴∠ACP=∠PAC=36°，∴∠PCB=36°，∴∠B=∠B，∠PCB=∠A，∴△CPB∽△ACB，故过点P的△ABC的相似线最多有3条．故答案为：3．9．【答案】3；【解析】设AP为x，∵AB=10，∴PB=10﹣x，①AD和PB是对应边时，∵△APD与△BPC相似，∴=，即=，整理得，x2﹣10x+16=0，解得x1=2，x2=8，②AD和BC是对应边时，∵△APD与△BPC相似，∴=，即=，解得x=5，所以，当AP=2、5、8时，△APD与△BPC相似，满足条件的点P有3个．故答案为：3．10．【答案】3;【解析】①∵∠ABC=∠EFC=70°，∴HF∥DB；∴△GBD∽△△GFH；②∵在△BDG中，∠B=∠EFC=70°，∠DGB=50°，则∠GDB=60°；在△ABC中，∠B=70°，∠ACB=60°，则∠A=50°；∴△ABC∽△GFH．③∵△DGB=∠A=∠FEC=50°，∠EFC为公共角∴△EFC∽△GFH；综上所述，图中与△GF H相似的三角形的个数是3．故答案是：3．11．【答案】1或2;【解析】如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB中点，∴AE=AD=．设CM的长为x．在Rt△MNC中∵MN=，∴NC=，①当Rt△AED∽Rt△CMN时，则=，即=，解得x=1或x=﹣1（不合题意，舍去），②当Rt△AED∽Rt△CNM时，则=，即=，解得x=2或﹣2（不合题意，舍去），综上所述，当CM=1或2时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似．故答案为：1或2．12.【答案】K2007（K+2）.【解析】第一个三角形的周长为K+2；第二个三角形的周长K+K+K2=K（K+2）；第三个周长为K2+K2+K3=K2（K+2）…所以第2008个三角形的周长为K2007（K+2）.三、解答题13.【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AQ∥BC，∴∠QDP=∠BCP，又∠QPD=∠CPB，∴△DQP∽△CBP；（2）解：∵△DQP≌△CBP，∴DP=CP=CD，∵AB=CD=8，∴DP=4．14.【解析】（1）∵BD=DC=AC．则∠B=∠DCB，∠CDA=∠A．设∠B=x，则∠DCB=x，∠CDA=∠A=2x．又∠BOC=108°， ∴∠B+∠A=108°． ∴x+2x=108，x=36°． ∴∠B=36°；（2）①有三个：△BDC ，△ADC ，△BAC ． ∵DB=DC ，∠B=36°， ∴△DBC 是黄金三角形，（或∵CD=CA ，∠ACD=180°-∠CDA-∠A=36°． ∴△CDA 是黄金三角形．或∵∠ACE=108°，∴∠ACB=72°．又∠A=2x=72°， ∴∠A=∠ACB ． ∴BA=BC ．∴△BAC 是黄金三角形． ②△BAC 是黄金三角形， ∴512AC BC -=， ∵BC=2，∴AC=51-． ∵BA=BC=2，BD=AC=51-， ∴AD=BA-BD=2-（51-）=3-5，③存在，有三个符合条件的点P 1、P 2、P 3． ⅰ）以CD 为底边的黄金三角形：作CD 的垂直平分线分别交直线AB 、BC 得到点P 1、P 2． ⅱ）以CD 为腰的黄金三角形：以点C 为圆心，CD 为半径作弧与BC 的交点为点 P 3．15.【解析】（1）直线CD 是△ABC 的黄金分割线．理由如下：设△ABC 的边AB 上的高为h ．则S △ADC =12AD •h ，S △BDC =12BD •h ，S △ABC =12AB •h ， ∴ADC ABC S S V V =AD AB ，BDC ADC S S V V =BD AB．又∵点D 为边AB 的黄金分割点， ∴AD AB =BDAD， ∴ADC ABC S S V V =BDCADCS S V V ．故直线CD 是△ABC 的黄金分割线．（2）∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，∴s 1=s 2=12s ，即121S S S S ≠，故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．（3）∵DF ∥CE ，∴△DFC 和△DFE 的公共边DF 上的高也相等， ∴S △DFC =S △DFE ，∴S △ADC =S △ADF +S △DFC =S △ADF +S △DFE =S △AEF ，S △BDC =S 四边形BEFC ．又∵ADC ABC S S V V =BDCADCS S V V ， ∴AEF ABCS S V V =BEFC AEF S S V 四边形．因此，直线EF 也是△ABC 的黄金分割线．（4）画法不惟一，现提供两种画法；画法一：如答图1，取EF 的中点G ，再过点G 作一条直线分别交AB ，DC 于M ，N 点，则直线MN 就是平行四边形ABCD 的黄金分割线．画法二：如答图2，在DF 上取一点N ，连接EN ，再过点F 作FM ∥NE 交AB 于点M ，连接MN ，则直线MN 就是平行四边形ABCD 的黄金分割线．。

北京市第四中2017年中考数学冲刺复习专题训0代几综合问题

代几综合题
例1. 如图1、已知抛物线的顶点为A （2、1）、且经过原点O 、与x 轴的另一个交点为B ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点C 在抛物线的对称轴上、点D 在抛物线上、且以O C D B ，，，四点为顶点的四边形为平行四边形、求D 点的坐标；
（3）连接OA 、AB 、如图2、在x 轴下方的抛物线上是否存在点P 、使得OBP △与OAB △相似？若存在、求出P 点的坐标；若不存在、说明理由．
例2．已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根、k 为正整数．
（1）求k 的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时、将关于x 的二
次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位、求平移后的图象的解析式；
（3）在（2）的条件下、将平移后的二次函数的图象在
x 轴下方的部分沿x 轴翻折、图象的其余部分保持不变、得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线1(2
y x b b k =+＜)与此图象有两个公共点时、b 的取值范围．
例3. 如图、已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A （-1、0）、B （3、0）两点、与y 轴交于点C （0、3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点M 坐标；
（2）在抛物线的对称轴上找到点P 、使得△PAC 的周长最小、并求出点P 的坐标；
（3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、C 重合）．过
点D 作DE ∥PC 交x 轴于点E ．设CD 的长为m 、问当m 取何值时、1=
9ABMC S S △PDE 四边形．。

北京市第四中学2017届九年级中考复习学案相似(6分打包无答案)

最大最全最精的教育资源网图形的相像北京四中一、预备知识1．线段的比：假如采用同一长度单位量得两条线段a、 b 长度分别是m、 n，那么就说这两条线段的比是a: b=m: n ，或写成a m．b n2．成比率线段：关于四条线段a、 b、 c、 d，假如此中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a: b=c: d，我们就说这四条线段是成比率线段，简称比率线段．3．比率的基天性质：（1）若a: b=c: d，则ad=bc；（2）若a: b=b: c，则b 2=ac（b称为a、c的比率中项）．练习 .已知四条线段 a=0.5m， b=25cm， c=0.2m， d=10cm，试判断四条线段能否成比率？已知线段 a、 b、 c、d，知足ac，求证：ac a .b d b d b二、图形的相像1．相像形的观点：我们把形状同样的图形叫做相像形．2．相像多边形的观点：假如两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相像多边形．（1）相像多边形的定义既是判断方法，又是它的性质．（2）相像多边形对应边的比称为相像比．3．说明：（ 1）任何（边数相等的）正多边形都相像．（ 2）全等与相像的关系：全等就是相像比为 1 的相像（ 3）在相像多边形中，最简单的就是相像三角形．在△ ABC与△ A’B’C’中，假如∠ A=∠ A’，∠ B=∠ B’，∠ C=∠C’，AB BC CAk即对应角相等，对应边的比相等，我们就说A'B' B'C' C'A'△ABC与△ A’B’C’相像，记作△ ABC∽ △ A’B’C’．△ ABC与△ A’B’C’的相像比为 k．三、例题剖析例 1．以下图形中，必是相像形的是（）．A．都有一个角是40°的两个等腰三角形B．都有一个角为50°的两个等腰梯形C．都有一个角是30°的两个菱形D．邻边之比为2：3 的两个平行四边形例 2．如图，将一张矩形纸片沿较长边的中点对折，假如获得地两个矩形都和本来的矩形相像，那么本来矩形的长宽比是多少？例 3．分别依据以下条件，说出各组相像三角形的对应边的比率式和相等的对应角．（ 1）△ABC与△ADE相像，此中DE//BC．假如 AD=4， BD=2，DE=3你能求出哪条线段的长?（2）△ABO与△A’B’O相像，此中OB:OB’=OA:OA’．三角形相像是我们研究的要点，怎样判断三角形相像更为简捷？。

专题2 相似三角形的判定及应用

专题2 相似三角形的判定及应用（一）一个三角形与另一个三角形的两个角对应相等，则这两个三角形相似．这是判定三角形相似的重要方法之一．由此，即知（1）任何两个等边三角形都相似．（2）任何顶角相等的两个等腰三角形相似．（3）三角形的中位线截原三角形得到的小三角形与原三角形相似．（4）一个锐角相等的两个直角三角形相似．例1 如图，设P是等边△ABC的边BC上任一点，连AP，作AP的中垂线交AB、AC 于M、N．证明：BP·PC＝BM·CN．（1994年安徽省竞赛题）例2 如图，△ABC和△A’B’C’的各边交成六边形DEFGHK，且EF∥KH，GH∥DE，FG∥KD，KH－EF＝FG—KD＝DE—OH>0．求证：△ABC，△A’B’C’均为等边三角形．例3 如图，在锐角△ABC中，D、E、F分别是三条高AD、BE、CF的垂足，连DF、EF、FD，求证：△DEC∽△AEF∽△DBF．例4 在等腰△ABC中，AB＝AC＝6，P为边BC上一点，且PA=4，求PB．PC的值．例5 如图，在△ABC的边AB上取一点D，连CD，过D作DE∥BC交AC于E，过E 作EF∥CD交AB于F，求证：AB≥4DF．习题11．设△ABC 的三边为c b a ,,，求证：（1）若∠A ＝2∠B ，则)(2c b b a +=；（2）若∠A ＝3∠B ，则))((1222b a b a bc --=．2．在△ABC 中，∠A ＝600，∠B ＝800．求证：AC 2－AB 2＝AB·AC ．3．在△ABC 中，∠C ＝3∠A ，48,27==c a ．求b ．4．等腰△ABC 的顶角∠A ＝1080，BC ＝m ，AB ＝AC ＝n ，记nm n m x -+=，mn n m y 2)(+=，33nm z =．试排出z y x ,,的大小关系．5．在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，若AB ＋BD ＝25，AC －CD ＝4，求AD ．6．已知E 五边形的周长等于p ，所有对角线的长度之和等于q ，求qp p q -的值．7．设O 是△ABC 内任一点，直线AO 、BO 、CO 分别与三边相交于P 、Q 、R ．令BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，若c b a >>，求证：OP ＋OQ ＋OR<a ．专题3 相似三角形的判定及应用（二）一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，且对应夹角相等，则这两个三角形相似．这是判定三角形相似的又一重要方法．例1 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是底边上一点，F是线段AD上一点，且∠BED ＝2∠CED＝∠BAC．求证：BD＝2CD．（1992年全国联赛题，同§2．2中例2）例2 如图，在△ABC外作△BPC、△CQA、△ARB，使∠PBC＝∠CAQ＝450，∠BCP ＝∠QCA＝300，∠ABR＝∠BAR＝150．求证：△POR是等腰直角三角形．（1991年四川省竞赛题）例3 如图，已知△ABC满足∠ACB＝2∠ABC．设D是BC边上一点，且CD＝2BD．延长线段AD至E，使AD＝DE．证明：∠ECB＋1800＝2∠EBC．例4 锐角△ABC的三条高AA l、BB l、CC l的中点分别为A2、B2、C2．试求∠B2A l C2＋∠C2B1A2＋∠A2C1B2．（第22届全俄奥林匹克题）例5 在△ABC 中，∠BAC ＝600，∠ACB ＝450．（1）求：这个三角形的三边之比AB ：BC ： CA ；（2）设P 为△A BC 内一点，且26+=PA ，623+=PB ，6223+=PC ，求∠APB 、∠BPC 、∠CPA ．（1990年武汉、重庆、广州、洛阳、福州联赛题）习题21．等腰三角形ABC中，∠A＝1000，AB＝AC，角B的平分线交AC于D．求证：BD＋AD＝BC．（第23届加拿大奥林匹克训练题）2．在△ABC中，若∠A＝2∠B，边AC＝4，AB＝5，求BC．3．如图，△ABC和△A1B1C1均为正三角形，BC和B1C1的中点均为D．求证：AA1⊥CC1．（2000年重庆市竞赛题）4．如图，大正方形ABCD 及小正方形AEFG 共顶点A ，连BE 、CF 、DG ，求BE ：CF ：DG ．5．在给定的不等边三角形A 1A 2A 3中，用ij B 表示顶点i A 关于由顶点j A 引出的角平分线的对称点，其中{}3,2,1,∈j i ，求证：直线B 12B 21，B 13B 31与B 23B 32相互平行．（1982年保加利亚奥林匹克题）专题3 相似三角形的判定及应用（三）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似．这也是判定三角形相似的两个重要方法．例1 如图，P 是△ABC 内一点，过P 分别作直线平行于△ABC 的各边，所成的小三角形1t 、2t 和3t 的面积分别是4、9和49．求△ABC 的面积．（第2届美国邀请赛题）例 2 如图，过三角形内任何一点，引三条直线分别平行于它的边，它们把边分割成线段321321321,,,,,,,,c c c b b b a a a ．求证：333222111c b a c b a c b a ==．（第24届全苏奥林匹克题）例3 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝2∠B ，AD 为∠BAC 的平分线，DE ∥CA ，AD 、CE 相交于点O ，令△AOC 、△DOE 、△BDE 的面积分别为S 1、S 2、S 3，求证：22321)1(1+=+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+c b S S S ，其中b 、c 分别为边AC 和AB 的长．（1991年安庆市竞赛题）例4 如图，在△ABC 中，S △COE ＝S △DOF ，且215+=FD AF．求证：（1）FDAFFO CO =；（2）S △AEF ：S △EOF ＝25+．（1990年四川竞赛题）例5 如图，在△UVW 与△XYZ 的边分别交于A 、B 、C 、D 、E 、F ，若WUEFVW CD UV AB ==，求证ZXFAYZ DE XY BC ==．习题31．在△ABC 中，D 为BC 的中点，过D 作一直线交AC 于E ，交AB 的延长线于F ．求证：AE ：EC ＝AF ：BF ．（1978年北京市竞赛题）2．在△ABC 中，BC ＝2AC ，D 、E 分别是边BC 、AB 上的点，且∠B ＝∠EDA ＝∠DAC ．如果△ABC 、△EBD 、△ADC 的周长依次为m 、1m 、2m ．求证：)(4521m m m +=5m ．3．在△ABC 的与边BC 平行的中位线MN 上任取一点P ，射线BP 、CP 分别交AC 、AB 于F 、E ，试证：1=+FCAEEB AE ．4．在正△ABC 的边BC 、CA 上各有一点E 、F ，BE ＝CF ＝a ，EC ＝FA ＝b ，当BF 平分AE时，试比较332,)(,,2ba ab b a b a b a b b a +-++的大小．5．△ABC 的面积为1，DE ∥AB 交AC 于D ，交BC 于E ，连BD ．设△DCE 、△ABD 、△BDE 中面积最大者的值为y ．求y 的最小值．6．四边形PQRS 是锐角△ABC 的内接矩形，S 在AB 上，R 在AC 上，Q 在P 与C 之间．设S △ABC ＝n S 矩形ABCD ，其中n 为不小于3的自然数．求证：ABBS为无理数．专题4 直角三角形的相似及应用直角三角形有一个特殊的角——直角，因而对于一般的相似三角形的判定方法中，现在已经确定了一个角对应相等，只需再寻求其余一个条件，即可判定两个直角三角形相似．例1 如图，已知P 为Rt △ABC 的斜边BC 上一点，Q 为PC 的中点，过P 作BC 的垂线，交AB 于R ，H 为AR 的中点，过H 向C 所在一侧作射线HN 上AB ．证明：射线HN 上存在一点G ，使AG ＝CQ ，BG ＝BQ ．（2002年全国联赛题）例2 如图，AD 是锐角△ABC 边BC 上的高，E 是AD 上的一点且满足DBCDED AE，过D 作DF ⊥BE 于F ．求证：∠AFC ＝900．（1999年上海中学数学实验班选拔赛题）例3 如图，在△ABC 中，∠A ＝900，AD ⊥BC 于D ，∠B 的平分线分别与AD 、AC 交于E 、F ．求证：（1）AE ＝AF ；（2）若AC 2=，则CF AF CDEF⋅<．（1993年四川省竞赛题）例4 如图，AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高，P 是AD 的中点，连结BP 并延长交AC 于E ．已知AC ：AB ＝k ．求AE ：EC ．（1999年山东省竞赛题）例5 如图，在四边形ABCD中，AD＝DC＝1，∠DAB＝∠ECB＝900．BC、AD的延长线交于P．求AB·S△PAB的最小值．（1994年四川省竞赛题）例6 如图，AD、BE、CF是锐角△ABC的三条高，M、N分别是BE、CF的中点，求证：△DMN∽△ABC．习题41．设AA 1、BB 1、CC 1为锐角△ABC 的三条高，H 为垂心，已知11`1HC BA HC AB S S =，求证：△ABC 为等腰三角形．（1991年苏联教委推荐试题）2．△ABC 中，∠C ＝900，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，使BE ＝AC ，且21=BD ，又DE ＋BC ＝1．求证：∠ABC ＝300．（1986年北京市竞赛题） 3．已知△ABC 中，∠C ＝900，BE 是∠B 的平分线，CD ⊥AB 于D 交BE 于O ，又过O 作FG ∥AB 且分别交AC 、BC 于F 、G ．求证：AF ＝CE ．（1979年宁夏回族自治区竞赛题）4．在△ABC 中，∠ACB ＝900，AC ＝BC ，D 是BC 延长线上的一点，BE ⊥AD 于E ，BE 与AC 交于点F ．求证：CD ＝CF 及DE>DC ．（1994年四川省竞赛题）5．将长为12，宽为5的矩形纸片沿对角线对折后放在桌面上，求复盖桌面的面积．6．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，∠C ＝900，CD 和BE 是△ABC 的两条中线，且CD ⊥BE ．求c b a ::．（1997年安徽省部分地区竞赛题）7．△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠A ＝∠BCD ＝450（D 在AB 的延长线上）．求BC 及△BDC 的面积．（1997年山东省竞赛题） 8．在△ABC 中，AB ＝AC ，BC 上的高AD ＝5，M 为AD 上一点，MD ＝1，且∠BMC ＝3∠BAC ．试求△ABC 的周长．（1995年四川省竞赛题）9．在等边△ABC 的边BC 上取点D ，使21DC BD ，作CH ⊥AD ，H 为垂足，连结BH ．求证：∠DBH ＝∠DAB ．（1993年黄冈地区竞赛题）10．在凸五边形ABCDE中，顶点B、E的角是直角，又∠BAC＝∠FAD．对角线BD和CE交于点O．求证：直线AO与BE垂直．11．给定△ABC，其中AB＝AC，点M、E分别在AB、AC上，直线EF、MN分别垂直BC于F、N．求证：不论MN、EF怎样平行移动，只要它们之间距离不变，则五边形AMNFE的周长为一定值．（1979年北京市竞赛题）。

北京市第四中学2024届中考冲刺卷数学试题含解析

北京市第四中学2024学年中考冲刺卷数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．如图，将边长为2cm的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为（）A．（3，-1）B．（2，﹣1）C．（1，-3）D．（﹣1，3）.若不考虑接缝，它是一个半径为12cm，圆心角为60的扇形，2．小明将某圆锥形的冰淇淋纸套沿它的一条母线展开则()A．圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为4cmB．圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为6cmC．圆锥形冰淇淋纸套的高为235cmD．圆锥形冰淇淋纸套的高为63cm3．如图，在扇形CAB中，CA=4，∠CAB=120°，D为CA的中点，P为弧BC上一动点（不与C，B重合），则2PD+PB 的最小值为（）A．B．C．10 D．=，4．如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当AB2∠=时，AC等于（）B60A．2B．2C．6D．225．将（x+3）2﹣（x﹣1）2分解因式的结果是（）A．4（2x+2）B．8x+8 C．8（x+1）D．4（x+1）6．截至2010年“费尔兹奖”得主中最年轻的8位数学家获奖时的年龄分别为29，28，29，31，31，31，29，31，则由年龄组成的这组数据的中位数是（）A．28 B．29 C．30 D．317．如图是一个正方体的表面展开图，如果对面上所标的两个数互为相反数，那么图中x的值是（）．A．3-B．3C．2D．88．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为1．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（）A．4233π-B．833π-C．8233π-D．843π-9．下列说法：①四边相等的四边形一定是菱形②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形③对角线相等的四边形一定是矩形④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分其中正确的有()个．A．4 B．3 C．2 D．110．如图，直线y＝kx+b与x轴交于点(﹣4，0)，则y＞0时，x的取值范围是()A．x＞﹣4 B．x＞0 C．x＜﹣4 D．x＜0二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图，在每个小正方形边长为1的网格中，ABC△的顶点A，B，C均在格点上，D为AC边上的一点.线段AC的值为______________;在如图所示的网格中，AM是ABC△的角平分线，在AM上求一点P，使CP DP的值最小，请用无刻度的直尺，画出AM和点P，并简要说明AM和点P的位置是如何找到的（不要求证明）___________.12．如图的三角形纸片中，AB=8cm，BC=6cm，AC=5cm.沿过点B的直线折叠三角形，使点C落在AB边的点E处，折痕为BD.则△AED的周长为____cm.13．如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=23+4，点M、N分别在线段AC、AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为__．14．点(a－1，y1)、(a＋1，y2)在反比例函数y＝kx(k＞0)的图象上，若y1＜y2，则a的范围是________．15．若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是_______.16．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的正弦值为__．17．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，且AC=CD，∠ACD=120°，CD是⊙O的切线：若⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积为_____．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）如图，是5×5正方形网格，每个小正方形的边长为1，请按要求画出下列图形，所画图形的各个顶点均在所给小正方形的顶点上．（1）在图（1）中画出一个等腰△ABE，使其面积为3.5；（2）在图（2）中画出一个直角△CDF，使其面积为5，并直接写出DF的长．19．（5分）为加快城乡对接，建设美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建，如图，A，B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶，已知BC＝80千米，∠A＝45°，∠B＝30°．开通隧道前，汽车从A地到B地要走多少千米？开通隧道后，汽车从A地到B地可以少走多少千米？(结果保留根号)20．（8分）某村大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，该村果农小张种植了黄桃树和苹果树，为进一步优化种植结构，小张将前年和去年两种水果的销售情况进行了对比：前年黄桃的市场销售量为1000千克，销售均价为6元/千克，去年黄桃的市场销售量比前年减少了m%（m≠0），销售均价与前年相同；前年苹果的市场销售量为2000千克，销售均价为4元/千克，去年苹果的市场销售量比前年增加了2m%，但销售均价比前年减少了m%．如果去年黄桃和苹果的市场销售总金额与前年黄桃和苹果的市场销售总金额相同，求m的值．21．（10分）化简：（x-1-2x2x1-+）÷2x xx1-+.22．（10分）为奖励优秀学生，某校准备购买一批文具袋和圆规作为奖品，已知购买1个文具袋和2个圆规需21元，购买2个文具袋和3个圆规需39元。

北京四中九年级上册数学探索相似三角形相似的条件知识讲解(基础)

探索相似三角形相似的条件(基础)【学习目标】1. 相似三角形的概念.2.相似三角形的三个判定定理.3.黄金分割.4. 进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似三角形的概念相似三角形：三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.要点诠释：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A 的对应点是A ′，点B 的对应点是B ′，点C 的对应点是C ′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 要点二、相似三角形的三个判定定理定理：两角分别相等的两个三角形相似.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.三边成比例的两个三角形相似.要点诠释：（1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.（2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.要点三、相似三角形的常见图形及其变换：要点四、黄金分割1.定义：一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC 两段,如果AC BC AB AC=,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.要点诠释：51AC AB -=≈0.618AB(0.61851-是黄金分割的准确值).2.作一条线段的黄金分割点：如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =21AB . （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB .（3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点. 要点诠释：一条线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、相似三角形的概念1. 下列能够相似的一组三角形为( ).A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形【答案】C【解析】A 中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知；B 中什么条件都不满足；D 中只有一条对应边的比相等；C 中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等.答案选C.【总结升华】根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等.举一反三：【变式】下列图形中，必是相似形的是（）．A ．都有一个角是40°的两个等腰三角形B ．都有一个角为50°的两个等腰梯形C ．都有一个角是30°的两个菱形D ．邻边之比为2：3的两个平行四边形【答案】C.类型二、相似三角形的三个判定定理2、如图，点D 在等边△ABC 的BC 边上，△ADE 为等边三角形，DE 与AC 交于点F ．（1）证明：△ABD ∽△DCF ；（2）除了△ABD ∽△DCF 外，请写出图中其他所有的相似三角形．【思路点拨】（1）利用等边三角形的性质以及相似三角形的判定方法两角对应相等的两三角形相似得出即可；（2）利用对顶角的性质以及相似三角形的性质进而判断得出即可．【答案与解析】（1）证明：∵△ABC，△ADE为等边三角形，∴∠B=∠C=∠3=60°，∴∠1+∠2=∠DFC+∠2，∴∠1=∠DFC，∴△ABD∽△DCF；（2）解：∵∠C=∠E，∠AFE=∠DFC，∴△AEF∽△DCF，∴△ABD∽△AEF，故除了△ABD∽△DCF外，图中相似三角形还有：△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF．【总结升华】此题主要考查了相似三角形的两个对应角相等的判定方法以及等边三角形的性质等知识，得出对应角关系是解题关键．举一反三【变式】如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．【答案】证明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∵CE ⊥AB ， ∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B ，∴△ABD ∽△CBE ．3、已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，点D 、E 分别AB 、CB 延长线上的点，CE=9，AD=15，连接DE ．若BC=6，AC=8，求证：△ABC ∽△DBE ．【思路点拨】首先利用勾股定理可求出AB 的长，再由已知条件可求出DB ，进而可得到DB ：AB 的值，再计算出EB ：BC 的值，继而可判定△ABC ∽△DBE ．【答案与解析】证明：∵在RT △ABC 中，∠C=90°，BC=6，AC=8，∴AB=22BC AC +=10，∴DB=AD-AB=15-10=5∴DB ：AD=1：2，又∵EB=CE-BC=9-6=3，∴EB ：BC=1：2，∴EB ：BC=DB ：AD ，又∵∠DBE=∠ABC ，∴△ABC ∽△DBE ．【总结升华】本题考查了相似三角形的判定，常见的判定方法有：（1）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．举一反三【变式】【答案】4、网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A ，B ，C ，D ，E ，F 都是格点，试说明△ABC ∽△DEF ．【思路点拨】利用图形与勾股定理可以推知图中两个三角形的三条对应边成比例，由此可以证得△ABC ∽△DEF ．【答案与解析】证明：∵AC=2，BC=221031=+，AB=4，DF=222222=+，EF=2202621=+，ED=8， ∴12AC BC AB DF EF DE ===，∴△ABC ∽△DEF ．【总结升华】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理．相似三角形相似的判定方法有：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A ”型和“X ”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．本题是在网格状中的两个三角形，优先考虑三边对应成比例的方法去考虑.举一反三【变式】如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=________，BC=_________；（2）判断△ABC 与△DEF 是否相似？并证明你的结论．【答案】（1）解：∠ABC=90°+45°=135°，BC=2222822+==；故答案为：135°；22．（2）△ABC ∽△DEF ．证明：∵在4×4的正方形方格中，∠ABC=135°，∠DEF=90°+45°=135°，∴∠ABC=∠DEF ．∵AB=2，BC=22，FE=2，DE=2∴22,222AB BC DE FE ===． ∴△ABC ∽△DEF ．类型三、5. 如图所示，矩形ABCD 是黄金矩形（即BC AB ＝215-≈0.618），如果在其内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE ，试问矩形ABFE 是否也是黄金矩形？【思路点拨】（1）矩形的宽与长之比值为215-，则这种矩形叫做黄金矩形．（2）要说明ABFE 是不是黄金矩形只要证明AB AE ＝215-即可．【答案与解析】矩形ABFE 是黄金矩形．理由如下：因为AB AE ＝ABED AB AD AB ED AD -=- ＝21512151)15)(15()15(21152-=-+=-+-+=-- 所以矩形ABFE 也是黄金矩形．【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法.举一反三：【变式】以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图所示，（1）求AM ，DM 的长，（2）试说明AM 2=AD ·DM（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？【答案】（1）∵正方形ABCD 的边长是2，P 是AB 中点，∴AD ＝AB ＝2，AP ＝1，∠BAD ＝90°，∴PD ＝522=+AD AP 。

【全国百强校】北京市第四中学数学中考冲刺：相似专题：4相似三角形的性质和应用专题训练-精编.doc

相似三角形的性质和应用北京四中一、相似形的性质1．相似三角形的性质两个三角形相似，则它们的（1）对应角相等，对应边的比相等；——根据定义（2）对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；（3）周长比等于相似比；——容易证明（4）面积比等于相似比的平方．——需（2）成立重点证明性质（2）如图，ABC A B C '''△△∽，AD A D ''、分别是它们的高，求证：:=:AD A D AB A B ''''．如图，ABC A B C '''△△∽，AD A D ''、分别是它们的中线，求证：:=:AD A D AB A B ''''．如图，ABC A B C '''△△∽，AD A D ''、分别是它们的角平分线，求证：:=:AD A D AB A B ''''．2．相似多边形的性质：相似多边形的（1）对应角相等，对应边的比相等．（2）周长比等于相似比．（3）面积比等于相似比的平方．二、例题分析例1．如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF与△ABC的周长之比为，面积之比等于．例2．如图，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P点在AC.上，Q在BC上，（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求PC的长；（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求PC的长．=12，两动点M、N分别在边AB、AC 例3．锐角△ABC中，BC＝6，S△ABC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y，（1）分别写出三个图中的面积y与边长x之间的函数关系式及x的取值范围；（2）当x= ，y有最大值．三、应用举例测量旗杆的高度平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法例1.如图，小明站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.8m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上）．已知小明的身高EF是1.7m，请帮小明求出楼高AB（结果精确到0.1m）．例2．如图，花丛中有一路灯杆AB．在灯光下，小明在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时小明的影长GH=5 米．如果小明的身高为1.7米，求路灯杆AB的高度（精确到0.1米）．四、知识总结学习几何知识的一般思路：。

北京四中九年级上册数学图形的相似全章复习与巩固--巩固练习(基础)

《图形的相似》全章复习与巩固--巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．如图，已知，那么下列结论正确的是( ).A．B． C．D．2. 在和中，，如果的周长是16，面积是12，那么的周长、面积依次为( ).A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．4，63．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与相似的是( ).4.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x 轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是，则点B的横坐标是（）.A．B． C．D．5．下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1：2；④两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81中，正确的有( ) .A．1个B．2个 C．3个 D．4个6. 如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，P是BC边上的点，下列条件中不能推出△ABP与以点E、C、P为顶点的三角形相似的是( ).A．∠APB=∠EPC B．∠APE=90° C．P是BC的中点D．BP：BC=2：37. 如图，在△ABC中，EF∥BC，12AEEB,，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（）.A．9 B．10 C．12 D．138.如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是（）.A．∠E=2∠K B．BC=2HIC．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL二、填空题9. 在□ABCD中，在上，若，则___________.10. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF=1，则BC=_______，△ADE•与△ABC•的面积之比为_______，•△CFG与△BFD的面积之比为________.11. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，S△AOD:S△COB=1:9，则S△DOC:S△BOC=_______.12. 在相同时刻的物高与影长成比例.小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在B EFC H DA G 面上的影长为40米，则古塔高为________.13. 若, 则的值为 .14．如图，在△ABC 中，MN ∥BC ，若∠C=68°，AM ：MB ＝1：2，则∠MNA=_______度，AN ：NC ＝_____________.15.如图，点D,E 分别在AB 、AC 上，且∠ABC=∠AED 。

北京市第四中学2017年中考数学冲刺复习专题训练相似第2讲相似三角形的判断1无答案201705253121

相似三角形的判定（1）旧知回顾关于中位线如图，直线l1//l2//l3，任意两条直线m、n分别与直线l1、l2、l3相交于点A、B、C和D、E、F，AB BC 与DEEF相等吗？猜想：相等如图，直线l1//l2//l3，任意两条直线m、n分别与直线l1、l2、l3相交于点A、B、C和D、E、F，证明：连接AE、CE、BD、BF．ABE DEBBCE EFBS SAB DEBC S EF S∆∆∆∆==则，ABE DEB BCE EFBS S S S∆∆∆∆==而，AB DEBC EF=因此一、平行线分线段成比例定理1．定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等．有两种常见的情况：平行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等．二、相似三角形的判定1．预备定理平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．以右图为例：易知两个三角形的对应角都相等，AD AEAB AC且以右图为例：易知两个三角形的对应角都相等，AD AE AB AC =且作EF//AB 交BC 于F ，可得四边形DBFE 是平行四边形，则∆ADE 和∆ABC 符合相似的定义注意两个定理的区别与联系两个定理的条件相同，但所得结论有区别：如图，△ABC 中，DE//BC ．由平行线分线段成比例定理，由相似预备定理，ADAE DEAB AC BC ==类似全等三角形的判定？首先，相似关系也有传递性，即若 111222A B C A B C ∆∆∽222333A B C A B C ∆∆∽ 则 111333A B C A B C ∆∆∽ 其次，判定定理？SSS ，SAS ，ASA ，AAS ．2．判定定理（1）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．（2）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．（3）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．证明思路？定义？预备定理？构造全等！是否还可以得到HL呢？即满足斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似．如图，在Rt△ABC 和 Rt△DEF中，∠C =∠F =90°，AB:DE=BC:EF．求证：△ABC ∽△DEF．练习：1．如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上的一点，AE与CD相交于G，则图中相似三角形共有对．2．如图，△ABC中，AD是角平分线，DE∥AB交AC于E，AB=12，AC=8，求DE的长．3．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，在下列条件中，能判定△ADE与△ACB相似的是．①DE//BC②∠AED=∠B③AD:AC=AE:AB④DE:BC=AD:AC4．如图，小正方形边长均为1，则图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是哪一个？总结一下本节课所学判定方法较多，需要同学们认真整理思绪，通过习题进一步加深记忆，掌握各种判定方法，达到灵活运用的目的．。

北京市第四中学2017年中考数学冲刺复习专题训练 3 创新、开放与探究型问题(无答案)

创新、开放与探究型问题例1.如图，飞机沿水平方向（A ，B 两点所在直线）飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M 到飞行路线AB 的距离MN ．飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离（因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N 处才测飞行距离），请设计一个求距离MN 的方案，要求：（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；（2）用测出的数据写出求距离MN 的步骤．例2.数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图1，正方形ABCD 的边长为12，P 为边BC 延长线上的一点，E 为DP 的中点，DP 的垂直平分线交边DC 于M ，交边AB 的延长线于N.当CP=6时，EM 与EN 的比值是多少？经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E 作直线平行于BC 交DC ，AB 分别于F ，G ，如图2，则可得：DF DE FC EP=，因为DE EP =，所以DF FC =.可求出EF 和EG 的值，进而可求得EM 与EN 的比值.(1) 请按照小明的思路写出求解过程.(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了DP MN =的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.例3.如图，ABCD 是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=5．在矩形ABCD 的边AB 上取一点M ，在CD 上取一点N ，将纸片沿MN 折叠，使MB 与DN交于点2K ，得到△MNK ．（1）若∠1=70°，求∠MNK 的度数．（2）△MNK 的面积能否小于12？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由．（3）如何折叠能够使△MNK 的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值．（备用图）例4. 如图，点D ，E 在△ABC 的边BC 上，连接AD ，AE. ①AB＝AC ；②AD ＝AE ；③BD＝CE.以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①.（1）以上三个命题是真命题的为（直接作答）；（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）.例5．在△ABC 中，∠B=∠C=30°.请你设计两种不同的分法，将△ABC 分割成四个小三角形，使得其中两个是全等．．三角形，而另外两个是相似．．但不全等．．．的直角三角形．请画出分割线段，并在两个全等三角形中E D CB A标出一对相等的内角的度数（画图工具不限，不要求证明，不要求写出画法）．。

北京四中九年级上册数学探索相似三角形相似的条件知识讲解(基础)---巩固练习

【巩固练习】一、选择题1. 在△ABC 和△A 1B 1C 1中，下列四个命题：（1）若AB= A 1B 1，AC= A 1C 1，∠A=∠A 1，则△ABC ≌△A 1B 1C 1；（2）若AB= A 1B 1，AC= A 1C 1，∠B=∠B 1，则△ABC ≌△A 1B 1C 1；（3）若∠A=∠A 1，∠C=∠C 1，则△ABC ∽△A 1B 1C 1；（4）若AC ：A 1C 1=CB ：B 1C 1，∠C=∠C 1，则△ABC ∽△A 1B 1C 1．其中真命题的个数为（） A ． 4个 B ． 3个 C ． 2个 D ． 1个 2．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（）3．）如图，在方格纸中，△ABC 和△EPD 的顶点均在格点上，要使△ABC ∽△EPD ，则点P 所在的格点为（）A ．P 1 B ． P 2 C ． P 3 D ． P 44．如图，在△ABC 中，如果DE 与BC 不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE ∽△ABC 的是（）A ． ∠ADE=∠CB ． ∠AED=∠B C.AD DE AB BC = D. AD AEAC AB= 5．已知线段AB=10cm ，点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），则AC 的长为（）. A.(5510)cm - B. (1555)cm - C. (555)cm - D. (1025)cm -6.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）.A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm二、填空题7．如图，在Y ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：．8．如图，已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠DEC，且点E为AB边中点，则图中有对相似三角形．9．如图，在边长为1的正方形网格中有点P、A、B、C，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是．10．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，当AC=3，AB=5，DE=10，EF=8时，Rt△ABC和Rt△DEF是的．（填“相似”或者“不相似”）11. 如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割．已知AB=10cm，则AC的长约为__________cm （结果精确到0.1cm）.12.如图，△ABC顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为512-的三角形是黄金三角形），若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB=4，则DE=__________．三、解答题13. 如图，已知在△ABC与△DEF中，∠C=54°，∠A=47°，∠F=54°，∠E=79°，求证：△ABC∽△DEF．14．如图，△ABC中，∠ABC=60°，AD，CE分别为BC，AB上的高，F为AC的中点，试判断△DEF的形状，并证明你的结论．15.图1是一张宽与长之比为512-：1的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形．同学们都知道按图2所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC，那么EFDC这个矩形还是黄金矩形吗？若是，请根据图2证明你的结论；若不是，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【答案】B；【解析】解：（1）若AB=A1B1，AC=A1C1，∠A=∠A1，能用SAS定理判定△ABC≌△A1B1C1，故（1）正确；（2）若AB=A1B1，AC=A1C1，∠B=∠B1，不能用ASS判定△ABC≌△A1B1C1，故（2）错误；（3）若∠A=∠A1，∠C=∠C1，能判定△ABC∽△A1B1C1，故（3）正确；（4）若AC：A1C1=CB：C1B1，∠C=∠C1，能利用两组对应边的比相等且夹角相等的两三角形相似判定△ABC∽△A1B1C1，故（4）正确．正确的个数有3个；故选：B．2.【答案】A;【解析】解：甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′，∴甲说法正确；乙：∵根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，∴，，∴，∴新矩形与原矩形不相似．∴乙说法正确．故选：A．3.【答案】C；【解析】解：∵∠BAC=∠PED，而=，∴=时，△ABC∽△EPD，∵DE=4，∴EP=6，∴点P落在P3处．故选：C．4.【答案】C；【解析】解：A、∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故本选项错误；B、∠B=∠AED，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故本选项错误；C、=，此时不等确定∠ADE=∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB，故本选项正确；D、=，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故本选项错误．故选C．5．【答案】C.【解析】∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），∴AC=512AB -，而AB=10cm，∴AC=512-×10=（55-5）cm．故选C．6．【答案】C.【解析】根据已知条件得下半身长是165×0.60=99cm，设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：99+y165+y=0.618，解得：y≈8cm．故选C．二、填空题7．【答案】△ABP∽△AED（答案不唯一）；【解析】解：∵BP∥DF，∴△ABP∽△AED．故答案为：△ABP∽△AED（答案不唯一）．8．【答案】；【解析】解：∵∠A=∠B=∠DEC，∴∠1+∠2=∠2+∠4，∴∠1=∠4，又∵∠A=∠B，∴△AED∽△BC E，∴=，∵点E为AB边中点，∴=，∵∠A=∠DEC，∴△AED∽△EDC，∴△AED∽△BCE∽△EDC，故图中有 3对相似三角形．故答案为：3．9．【答案】△APB∽△CPA；【解析】解：△APB∽△CPA，理由如下：由题意可知：AP==，PB=1，PC=5，∴，，∵∠APB=∠CPA，∴△APB∽△CPA，故答案为：△APB∽△CPA．10．【答案】相似;【解析】解：如图所示：∵AC=3，AB=5，DE=10，EF=8，∴BC==4，DF==6，∴==，∵∠C=∠F=90°，∴Rt△ABC∽Rt△DEF．故答案为：相似．11.【答案】6.2或3.8．【解析】由题意知AC：AB=BC：AC，∴AC：AB≈0.618，∴AC=0.618×10cm≈6.2（结果精确到0.1cm）或AC=10-6.2=3.8．故答案为：6.2或3.8．12.【答案】6-25．【解析】根据题意可知，BC=512AB，∵△ABC顶角是36°的等腰三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠C=72°，又∵△BDC也是黄金三角形，∴∠CBD=36°，BC=BD，∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=36°=∠A，∴BD=AD，同理可证DE=DC，∴DE=DC=AC-AD=AB-BC=AB-512-AB=6-25．故答案为：6-25．三、解答题13.【解析】解：在△ABC中，∠B=180°﹣∠A﹣∠C=79°，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC∽△DEF．14.【解析】解：连接EF，△DEF为等边三角形，由∠ABC=60°，易得：．∴△BDE∽△BAC，∴，∴DE=AC．又∵F为中点，∴在Rt△ADC中，DF=AC，在Rt△ACE中，EF=AC．所以DE=DF=EF．即：△DEF为等边三角形．15.【解析】矩形EFDC是黄金矩形，证明：∵四边形ABEF是正方形，∴AB=DC=AF，又∵ABAD=512-，∴AFAD=512-，即点F是线段AD的黄金分割点．∴FD AFAF AD==512-，∴FDDC=512-，∴矩形CDFE是黄金矩形．。

【精品】北京市第四中2018年中考数学冲刺复习专题训练相似第4讲相似三角形的性质和应用

相似三角形的性质和应用一、相似形的性质1．相似三角形的性质两个三角形相似，则它们的（1）对应角相等，对应边的比相等；——根据定义（2）对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；（3）周长比等于相似比；——容易证明（4）面积比等于相似比的平方．——需（2）成立重点证明性质（2）如图，ABC A B C '''△△∽，AD A D ''、分别是它们的高，求证：:=:AD A D AB A B ''''．如图，ABC A B C '''△△∽，AD A D ''、分别是它们的中线，求证：:=:AD A D AB A B ''''．如图，ABC A B C '''△△∽，AD A D ''、分别是它们的角平分线，求证：:=:AD A D AB A B ''''．2．相似多边形的性质：相似多边形的（1）对应角相等，对应边的比相等．（2）周长比等于相似比．（3）面积比等于相似比的平方．二、例题分析例1．如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF与△ABC的周长之比为，面积之比等于．例2．如图，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P点在AC.上，Q在BC上，（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求PC的长；（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求PC的长．=12，两动点M、N分别在边AB、AC例3．锐角△ABC中，BC＝6，S△ABC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y，（1）分别写出三个图中的面积y与边长x之间的函数关系式及x的取值范围；（2）当x= ，y有最大值．三、应用举例测量旗杆的高度平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法例1.如图，小明站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.8m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上）．已知小明的身高EF是1.7m，请帮小明求出楼高AB（结果精确到0.1m）．例2．如图，花丛中有一路灯杆AB．在灯光下，小明在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时小明的影长GH=5 米．如果小明的身高为1.7米，求路灯杆AB的高度（精确到0.1米）．四、知识总结学习几何知识的一般思路：。

北京市第四中学2017届中考数学冲刺复习三角形04 三角形复习与巩固(无答案)

三角形例1、下列说法正确的个数是（）．①钝角三角形有两条高在三角形内部②三角形三条高至多有两条不在三角形内部③三角形的三条高的交点不在三角形内部，就在外部④钝角三角形三内角的平分线的交点一定不在三角形内部A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例2、（1）如图，在△ABC 中，已知点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、CE 的中点，且24ABC S cm ∆=，则BEF S ∆= .（2）已知一个三角形的三条边长为2、7、x ，则x 的取值范围是．（3）等腰三角形一边的长是4，另一边的长是8，则它的周长是．（4）已知一个多边形的内角和是2340°，则这个多边形的边数是．（5）已知一个多边形的内角和等于外角和的2倍, 则这个多边形的边数为 ____．（6）一个多边形的每一个外角都等于30°，这个多边形的边数是，它的内角和是．例3、如图，在△ABC 中，∠B=66°，∠C=54°，AD 是∠BAC 的平分线，DE 平分∠ADC 交AC 于E ，则∠BDE=_________．例4、已知，如图，AB//CD ，试判断图中∠A 、 ∠E 、 ∠D 之间的关系，并说明理由.2 练习：已知，如图，AB//CD ，试判断图中∠B 、 ∠E 、 ∠D 之间的关系，并说明理由.例5、已知：如图，∠ABC 和外角∠ACD 的平分线交于点P ，问∠ P 与 ∠ A 有什么关系？并说明理由．变式1：如图，△ABC 中，BE 、CF 分别平分∠ABC 、 ∠ACB ，试判断 ∠BGC 与∠A 的关系，并说明理由.变式2：如图，△ABC 中，BP 、CP 分别平分∠DBC 、 ∠ECB ，试判断 ∠P 与∠A 的关系，并说明理由.例6、已知：如图，BE 、CE 分别平分∠ABD 、 ∠ACD ，试判断∠A 、 ∠D 、 ∠E 之间有什么关系？并说明理由.。

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相似三角形的判定（2）
一、知识回顾
判定两个三角形相似的方法？
1．定义．
2．平行截出相似（预备定理）．
3．三个判定定理
（1）三边
（2）两边和夹角
（3）两角二、知识巩固
例1．如图，在□ABCD 中，EF//AB ，DE:EA=2:3，EF=6，DB=10，求CD 和 BF 的长．
例2．如图，P 是□ABCD 的边BC 延长线上任意一点，AP 分别交BD 和CD 于点M 和N ．求证：AM 2=MN •MP ．
例3．如图，已知AB
BC
AC
AD DE AE ==.断∠BAD 和 ∠CAE 的大小关系，并
说明理由．
例4．如图，已知AC 和BD 相交于点E ，CE •AE=BE •DE ，△ABE 与△DCE 是否相似？
【变式应用】
如图，AD、CE是△ABC的高，AD和CE相交于点F，求证：AF·FD=CF·FE．
例5．如图，已知CD为Rt△ABC斜边上的高．求证：
（1）（1）△ABC∽△ACD∽△CBD
（2）CD2=AD•BD；
AC2=AD•AB；
BC2=BD•AB．
（3）AC•BC=AB•CD．
（4）若AC=4，BC=3，求AB、CD、AD和BD的长．
例6．如图，D是△ABC的边BC上的一点，AB=2，BD=1，DC=3，△ABD与
△C BA是否相似？
例7．如图，△ABC中，D是BC中点，E是AD上一点，CE的延长线交AB 于F，求证：AE：ED=2AF：FB．
三、方法总结
1.基本图形结构
2.图形之间的联系
3．证明方法小结
（1）根据已知，选择最佳判定方法；
（2）若证等积式，先化比例式．。