高考数学总复习章节练习题及解答 (23)
2023届全国高考数学复习：专题(曲线的切线方程)重点讲解与练习(附答案)
2023届全国高考数学复习：专题（曲线的切线方程）重点讲解与练习考点一 求切线的方程【方法总结】求曲线切线方程的步骤(1)求曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程的步骤第一步，求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数值f ′(x 0)，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率； 第二步，由点斜式方程求得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)ꞏ(x －x 0)．(2)求曲线过点P (x 0，y 0)的切线方程的步骤第一步，设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步，写出过P ′(x 1，f (x 1))的切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)；第三步，将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程，求出x 1；第四步，将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)可得过点P (x 0，y 0)的切线方程．注意：在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线方程，在点P 处的切线，一定是以点P 为切点，过点P 的切线，不论点P 在不在曲线上，点P 不一定是切点．【例题选讲】[例1](1) (2021ꞏ全国甲)曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为________． (2) (2020ꞏ全国Ⅰ)函数f (x )＝x 4－2x 3的图象在点(1，f (1))处的切线方程为( )A ．y ＝－2x －1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝2x －3D ．y ＝2x ＋1(3) (2018ꞏ全国Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ．若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x(4) (2020ꞏ全国Ⅰ)曲线y ＝ln x ＋x ＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．(5)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为 ．(6) (2021ꞏ新高考Ⅰ)若过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则( )A ．e b <aB ．e a <bC ．0<a <e bD ．0<b <e a(7)已知曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则P 点的坐标为( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(1，3)或(－1，3)D ．(1，－3)(8) (2019ꞏ江苏)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________．(9)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)ꞏx 2＋ax ，若f (x )为奇函数，且函数y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P (x 0，f (x 0))的坐标为 ．(10)函数y ＝x －1x ＋1在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( ) A ．18 B ．14 C ．12 D ．1(11)曲线y ＝x 2－ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是 ．【对点训练】1．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，则曲线在点P 处切线的倾斜角α的取值范围为( )A ．⎣⎡⎦⎤0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，πB ．⎣⎡⎭⎫2π3，πC ．⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，πD ．⎝⎛⎦⎤π2，5π6 2．函数f (x )＝e x ＋1x 在x ＝1处的切线方程为 ．3．(2019ꞏ全国Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0，0)处的切线方程为________．4．曲线f (x )＝1－2ln x x在点P (1，f (1))处的切线l 的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．3x ＋y ＋2＝0 D ．3x ＋y －4＝05．(2019ꞏ全国Ⅱ)曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为( )A ．x －y －π－1＝0B ．2x －y －2π－1＝0C ．2x ＋y －2π＋1＝0D ．x ＋y －π＋1＝06．(2019ꞏ天津)曲线y ＝cos x －x 2(0，1)处的切线方程为________．7．已知f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫e x ＋a e x 为奇函数(其中e 是自然对数的底数)，则曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为 ． 8．已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝⎛⎭⎫2，83，则过点P 的切线方程为________． 9．已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为 ．10．设函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫12x 2－2x ＋f (1)ln x ，曲线f (x )在(1，f (1))处的切线方程是( )A ．5x －y －4＝0B ．3x －y －2＝0C ．x －y ＝0D ．x ＝111．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f (x )＝ln(1＋x )，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为________，用此结论计算ln2 022－ln2 021≈________． 12．曲线f (x )＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．2B ．32C ．12D ．1413．已知曲线y ＝133＋43．(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2，4)的切线方程．14．设函数f (x )＝ax －b x ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0．(1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．15．(2021ꞏ全国乙)已知函数f (x )＝x 3－x 2＋ax ＋1．(1)讨论f (x )的单调性；(2)求曲线y ＝f (x )过坐标原点的切线与曲线y ＝f (x )的公共点的坐标．考点二 求参数的值(范围)【方法总结】处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．注意：曲线上横坐标的取值范围；谨记切点既在切线上又在曲线上．【例题选讲】[例1](1)已知曲线f (x )＝ax 3＋ln x 在(1，f (1))处的切线的斜率为2，则实数a 的值是________．(2)若函数f (x )＝ln x ＋2x 2－ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是 ．(3)设函数f (x )＝a ln x ＋bx 3的图象在点(1，－1)处的切线经过点(0，1)，则a ＋b 的值为 ．(4)(2019ꞏ全国Ⅲ)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－1 (5)设曲线y ＝x ＋1x －2在点(1，－2)处的切线与直线ax ＋by ＋c ＝0垂直，则a b ＝( ) A ．13 B ．－13 C ．3 D ．－3(6)已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切，则实数k 的值为________．(7)已知函数f (x )＝x ＋a 2x ，若曲线y ＝f (x )存在两条过(1，0)点的切线，则a 的取值范围是 ． (8)关于x 的方程2|x ＋a |＝e x 有3个不同的实数解，则实数a 的取值范围为________．【对点训练】1．若曲线y ＝x ln x 在x ＝1与x ＝t 处的切线互相垂直，则正数t 的值为________．2．设曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．33．若曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(1，3)或(－1，3)D ．(1，－3)4．函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是 ．5．已知函数f (x )＝x cos x ＋a sin x 在x ＝0处的切线与直线3x －y ＋1＝0平行，则实数a 的值为 ．6．已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋b 的图象在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y －5＝0，则a ＝________；b ＝________．7．若函数f (x )＝ax －3x 的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，4)，则a ＝________．8．若曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线也是曲线y ＝ln x ＋b 的切线，则b ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．e9．曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0，1)处的切线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫－12，0，则a ＝ ； 10．过点M (－1，0)引曲线C ：y ＝2x 3＋ax ＋a 的两条切线，这两条切线与y 轴分别交于A 、B 两点，若|MA |＝|MB |，则a ＝ ．11．已知曲线C ：f (x )＝x 3－3x ，直线l ：y ＝ax －3a ，则a ＝6是直线l 与曲线C 相切的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角α的取值范围．13．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值；(2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．14．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C ．(1)求在曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．参考答案【例题选讲】[例1](1) (2021ꞏ全国甲)曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为________． 答案 5x －y ＋2＝0 解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x ＋2′＝2(x ＋2)－(2x －1)(x ＋2)2＝5(x ＋2)2，所以y ′|x ＝－1＝5(－1＋2)2＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0．(2) (2020ꞏ全国Ⅰ)函数f (x )＝x 4－2x 3的图象在点(1，f (1))处的切线方程为( )A ．y ＝－2x －1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝2x －3D ．y ＝2x ＋1答案 B 解析 f (1)＝1－2＝－1，切点坐标为(1，－1)，f ′(x )＝4x 3－6x 2，所以切线的斜率为k ＝f ′(1)＝4×13－6×12＝－2，切线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即y ＝－2x ＋1．(3) (2018ꞏ全国Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ．若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x答案 D 解析 法一 因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以(－x )3＋(a －1)(－x )2＋a (－x )＝－[x 3＋(a －1)x 2＋ax ]，所以2(a －1)x 2＝0．因为x ∈R ，所以a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x ．故选D ．法二 因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以f (－1)＋f (1)＝0，所以－1＋a －1－a ＋(1＋a －1＋a )＝0，解得a ＝1，此时f (x )＝x 3＋x (经检验，f (x )为奇函数)，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x ．故选D ．法三 易知f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ＝x [x 2＋(a －1)x ＋a ]，因为f (x )为奇函数，所以函数g (x )＝x 2＋(a －1)x ＋a 为偶函数，所以a －1＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x ．故选D ．(4) (2020ꞏ全国Ⅰ)曲线y ＝ln x ＋x ＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．答案 2x －y ＝0 解析 设切点坐标为(x 0，y 0)，因为y ＝ln x ＋x ＋1，所以y ′＝1x ＋1，所以切线的斜率为1x 0＋1＝2，解得x 0＝1．所以y 0＝ln 1＋1＋1＝2，即切点坐标为(1，2)，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0．(5)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为 ． 答案 x －y －1＝0 解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋lnx ，∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x ．∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0．∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0．(6) (2021ꞏ新高考Ⅰ)若过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则( )A ．e b <aB ．e a <bC ．0<a <e bD ．0<b <e a答案 D 解析 根据y ＝e x 图象特征，y ＝e x 是下凸函数，又过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则点(a ，b )在曲线y ＝e x 的下方且在x 轴的上方，得0<b <e a ．故选D ．(7)已知曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则P 点的坐标为( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(1，3)或(－1，3)D ．(1，－3)答案 C 解析 设切点P (x 0，y 0)，f ′(x )＝3x 2－1，又直线x ＋2y －1＝0的斜率为－12，∴f ′(x 0)＝3x 20－1＝2，∴x 20＝1，∴x 0＝±1，又切点P (x 0，y 0)在y ＝f (x )上，∴y 0＝x 30－x 0＋3，∴当x 0＝1时，y 0＝3；当x 0＝－1时，y 0＝3．∴切点P 为(1，3)或(－1，3)．(8) (2019ꞏ江苏)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________．答案 (e ，1) 解析 设A (m ，n )，则曲线y ＝ln x 在点A 处的切线方程为y －n ＝1m (x －m )．又切线过点(－e ，－1)，所以有n ＋1＝1m (m ＋e)．再由n ＝ln m ，解得m ＝e ，n ＝1．故点A 的坐标为(e ，1)．(9)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)ꞏx 2＋ax ，若f (x )为奇函数，且函数y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P (x 0，f (x 0))的坐标为 ．答案 (0，0) 解析 ∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a ．又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立，即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立，∴a ＝1，f ′(x )＝3x 2＋1，3x 20＋1＝1，x 0＝0，f (x 0)＝0，∴切点P (x 0，f (x 0))的坐标为(0，0)．(10)函数y ＝x －1x ＋1在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( )A ．18B ．14C ．12D ．1答案 B 解析 ∵y ＝x －1x ＋1，∴y ′＝(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)2＝2 x ＋1 2，∴k ＝y ′|x ＝0＝2，∴切线方程为y ＋1＝2(x －0)，即y ＝2x －1，令x ＝0，得y ＝－1；令y ＝0，得x ＝12，故所求的面积为12×1×12＝14．(11)曲线y ＝x 2－ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是 ． 答案 2 解析 设曲线在点P (x 0，y 0)(x 0>0)处的切线与直线x －y －2＝0平行，则0|x x y '＝＝12x x x x 0=⎛⎫- ⎪⎝⎭＝2x 0－1x 0＝1．∴x 0＝1，y 0＝1，则P (1，1)，则曲线y ＝x 2－ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离d ＝|1－1－2|12＋(－1)2＝2． 【对点训练】1．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，则曲线在点P 处切线的倾斜角α的取值范围为( )A ．⎣⎡⎦⎤0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，πB ．⎣⎡⎭⎫2π3，πC ．⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，πD ．⎝⎛⎦⎤π2，5π6 1．答案 C 解析 y ′＝3x 2－3，∴y ′≥－3，∴tan α≥－3，又α∈[0，π)，故α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，故 选C ．2．函数f (x )＝e x ＋1x 在x ＝1处的切线方程为 ．2．答案 y ＝(e －1)x ＋2 解析 f ′(x )＝e x －1x 2，∴f ′(1)＝e －1，又f (1)＝e ＋1，∴切点为(1，e ＋1)，切线斜率k ＝f ′(1)＝e －1，即切线方程为y －(e ＋1)＝(e －1)(x －1)，即y ＝(e －1)x ＋2．3．(2019ꞏ全国Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0，0)处的切线方程为________．3．答案 y ＝3x 解析 y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝3e x (x 2＋3x ＋1)，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k ＝e 0×3＝3，所以所求切线方程为y ＝3x ．4．曲线f (x )＝1－2ln x x在点P (1，f (1))处的切线l 的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．3x ＋y ＋2＝0 D ．3x ＋y －4＝04．答案 D 解析 因为f (x )＝1－2ln x x f ′(x )＝－3＋2ln x x 2．又f (1)＝1，且f ′(1)＝－3，故所求切线方 程为y －1＝－3(x －1)，即3x ＋y －4＝0．5．(2019ꞏ全国Ⅱ)曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为( )A ．x －y －π－1＝0B ．2x －y －2π－1＝0C ．2x ＋y －2π＋1＝0D ．x ＋y －π＋1＝05．答案 C 解析 设y ＝f (x )＝2sin x ＋cos x ，则f ′(x )＝2cos x －sin x ，∴f ′(π)＝－2，∴曲线在点(π，－1)处的切线方程为y －(－1)＝－2(x －π)，即2x ＋y －2π＋1＝0．故选C ．6．(2019ꞏ天津)曲线y ＝cos x －x 2(0，1)处的切线方程为________．6．答案 y ＝－12x ＋1 解析 y ′＝－sin x －12，将x ＝0代入，可得切线斜率为－12．所以切线方程为y －1＝－12x ，即y ＝－12x ＋1．7．已知f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫e x ＋a e x 为奇函数(其中e 是自然对数的底数)，则曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为 ． 7．答案 2x －y ＝0 解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＋f (1)＝0，即e ＋a e －1e －a e ＝0，解得a ＝1，f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫e x ＋1e x ，∴f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫e x ＋1e x ＋x ⎝⎛⎭⎫e x －1e x ，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为2，又f (0)＝0，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的方程为2x －y ＝0．8．已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝⎛⎭⎫2，83，则过点P 的切线方程为________．8．答案 3x －3y ＋2＝0或12x －3y －16＝0 解析 设切点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30，由y ′＝⎝⎛⎭⎫13x 3′＝x 2，得y ′|x ＝x 0 ＝x 20，即过点P 的切线的斜率为x 20，又切线过点P ⎝⎛⎭⎫2，83，若x 0≠2，则x 20＝13x 30－83x 0－2，解得x 0＝－1，此时切线的斜率为1；若x 0＝2，则切线的斜率为4．故所求的切线方程是y －83＝x －2或y －83＝4(x －2)，即3x －3y ＋2＝0或12x －3y －16＝0．9．已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为 ． 9．答案 x －y －1＝0 解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x ．∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0．∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0．10．设函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫12x 2－2x ＋f (1)ln x ，曲线f (x )在(1，f (1))处的切线方程是( )A ．5x －y －4＝0B ．3x －y －2＝0C ．x －y ＝0D ．x ＝110．答案 A 解析 因为f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫12x 2－2x ＋f (1)ln x ，所以f ′(x )＝2f ′⎝⎛⎭⎫12x －2＋f （1）x ．令x ＝12得f ′⎝⎛⎭⎫12＝2f ′⎝⎛⎭⎫12 ×12－2＋2f (1)，即f (1)＝1．又f (1)＝f ′⎝⎛⎭⎫12－2，所以f ′⎝⎛⎭⎫12＝3，所以f ′(1)＝2f ′⎝⎛⎭⎫12－2＋f (1)＝6－2＋1＝5．所以曲线在点(1，f (1))处的切线方程为y －1＝5(x －1)，即5x －y －4＝0．11．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f (x )＝ln(1＋x )，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为________，用此结论计算ln2 022－ln2 021≈________．11．答案 y ＝x 12 021 解析 函数f (x )＝ln(1＋x )，则f ′(x )＝11＋x，f ′(0)＝1，f (0)＝0，∴切线方程为y ＝x ．∴ ln2 022－ln2 021＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋12 021＝f ⎝⎛⎭⎫12 021，根据以直代曲，x ＝12 021也非常接近切点x ＝0．∴可以将x ＝12 021代入切线近似代替f ⎝⎛⎭⎫12 021，即f ⎝⎛⎭⎫12 021≈12 021． 12．曲线f (x )＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．2B ．32C ．12D ．1412．答案 D 解析 f ′(x )＝1＋1x ，则f ′(1)＝2，故曲线f (x )＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x－1)，即y ＝2x －1，此切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)，⎝⎛⎭⎫12，0，则切线与坐标轴围成的三角形的面积为12×1×12＝14，故选D ．13．已知曲线y ＝133＋43．(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2，4)的切线方程．13．解析 (1)∵P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2，4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4．∴曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0．(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝x 20． ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20ꞏx －23x 30＋43． ∵点P (2，4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0．14．设函数f (x )＝ax －b x ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0．(1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．14．解析 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12．又f ′(x )＝a ＋b x 2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x (2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0， 从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0． 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0，2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6． 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6． 15．(2021ꞏ全国乙)已知函数f (x )＝x 3－x 2＋ax ＋1．(1)讨论f (x )的单调性；(2)求曲线y ＝f (x )过坐标原点的切线与曲线y ＝f (x )的公共点的坐标．15．解析 (1)由题意知f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－2x ＋a ，对于f ′(x )＝0，Δ＝(－2)2－4×3a ＝4(1－3a )．①当a ≥13时，Δ≤0，f ′(x )≥0在R 上恒成立，所以f (x )在R 上单调递增；②当a <13时，令f ′(x )＝0，即3x 2－2x ＋a ＝0，解得x 1＝1－1－3a 3，x 2＝1＋1－3a 3， 令f ′(x )>0，则x <x 1或x >x 2；令f ′(x )<0，则x 1<x <x 2．所以f (x )在(－∞，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增．综上，当a ≥13时，f (x )在R 上单调递增；当a <13时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－1－3a 3上单调递增， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－3a 3，1＋1－3a 3上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－3a 3，＋∞上单调递增． (2)记曲线y ＝f (x )过坐标原点的切线为l ，切点为P (x 0，x 30－x 20＋ax 0＋1)．因为f ′(x 0)＝3x 20－2x 0＋a ，所以切线l 的方程为y －(x 30－x 20＋ax 0＋1)＝(3x 20－2x 0＋a )(x －x 0)．由l 过坐标原点，得2x 30－x 20－1＝0，解得x 0＝1，所以切线l 的方程为y ＝(1＋a )x ．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝(1＋a )x ，y ＝x 3－x 2＋ax ＋1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1＋a 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1－a . 所以曲线y ＝f (x )过坐标原点的切线与曲线y ＝f (x )的公共点的坐标为(1，1＋a )和(－1，－1－a )． 考点二 求参数的值(范围)【方法总结】处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．注意：曲线上横坐标的取值范围；谨记切点既在切线上又在曲线上．【例题选讲】[例1](1)已知曲线f (x )＝ax 3＋ln x 在(1，f (1))处的切线的斜率为2，则实数a 的值是________．答案 13 解析 f ′(x )＝3ax 2＋1x ，则f ′(1)＝3a ＋1＝2，解得a ＝13．(2)若函数f (x )＝ln x ＋2x 2－ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是 ．答案 [2，＋∞) 解析 直线2x －y ＝0的斜率k ＝2，又曲线f (x )上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，∴f ′(x )＝1x ＋4x －a ＝2在(0，＋∞)内有解，则a ＝4x ＋1x －2，x >0．又4x ＋1x ≥24x ꞏ1x ＝4，当且仅当x ＝12时取“＝”．∴a ≥4－2＝2．∴a 的取值范围是[2，＋∞)． (3)设函数f (x )＝a ln x ＋bx 3的图象在点(1，－1)处的切线经过点(0，1)，则a ＋b 的值为 ．答案 0 解析 依题意得f ′(x )＝a x ＋3bx 2，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝－1，f ′(1)＝1＋10－1，即⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－1，a ＋3b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，2．设曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．32．答案 D 解析 ∵y ＝e ax －ln(x ＋1)，∴y ′＝a e ax －1x ＋1，∴当x ＝0时，y ′＝a －1．∵曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，∴a －1＝2，即a ＝3．故选D ．3．若曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(1，3)或(－1，3)D ．(1，－3)3．答案 C 解析 f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1，3)或(－1，3)，经检验点(1，3)，(－1，3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C ．4．函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是 ．4．答案 (－∞，2) 解析 由题意知f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解．所以f ′(x )＝1x a ＝2在(0，＋∞)上有解，则a ＝2－1x ．因为x ＞0，所以2－1x 2，所以a 的取值范围是(－∞，2)．5．已知函数f (x )＝x cos x ＋a sin x 在x ＝0处的切线与直线3x －y ＋1＝0平行，则实数a 的值为 ． 5．答案 2 解析 f ′(x )＝cos x ＋x ꞏ(－sin x )＋a cos x ＝(1＋a )cos x －x sin x ，∴f ′(0)＝1＋a ＝3，∴a ＝2． 6．已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋b 的图象在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y －5＝0，则a ＝________；b ＝________． 6．答案 －1 －3 解析 由题意得f ′(x )＝3x 2＋a ，则由切线方程得⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝1＋a ＋b ＝2×1－5，f ′(1)＝3＋a ＝2，解得a ＝ －1，b ＝－3．7．若函数f (x )＝ax －3x 的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，4)，则a ＝________．7．答案 2 解析 f ′(x )＝a ＋3x 2，f ′(1)＝a ＋3，f (1)＝a －3，故f (x )的图象在点(1，a －3)处的切线方程为y－(a －3)＝(a ＋3)(x －1)，又切线过点(2，4)，所以4－(a －3)＝a ＋3，解得a ＝2．8．若曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线也是曲线y ＝ln x ＋b 的切线，则b ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．e8．答案 C 解析 y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，则曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线斜率k ＝1，则曲线y ＝e x 在x＝0处的切线方程为y －1＝x ，即y ＝x ＋1．设y ＝x ＋1与y ＝ln x ＋b 相切的切点为(m ，m ＋1)．又y ′＝1x ，则1m ＝1，解得m ＝1．所以切点坐标为(1，2)，则2＝b ＋ln 1，得b ＝2．9．曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0，1)处的切线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫－12，0，则a ＝ ； 9．答案 1 解析 y ′＝e x (ax ＋1＋a )，所以y ′|x ＝0＝1＋a ，则曲线y ＝(ax ＋1)e x 在(0，1)处的切线方程为y＝(1＋a )x ＋1，又切线与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫－12，0，所以0＝(1＋a )×⎝⎛⎭⎫－12＋1，解得a ＝1． 10．过点M (－1，0)引曲线C ：y ＝2x 3＋ax ＋a 的两条切线，这两条切线与y 轴分别交于A 、B 两点，若|MA |＝|MB |，则a ＝ ．10．答案 －274 解析 设切点坐标为(t ，2t 3＋at ＋a )，∵y ′＝6x 2＋a ，∴6t 2＋a ＝2t 3＋at ＋a t ＋1，即4t 3＋6t 2＝0，解得t ＝0或t ＝－32，∵|MA |＝|MB |，∴两切线的斜率互为相反数，即2a ＋6×⎝⎛⎭⎫－322＝0，解得a ＝－274．11．已知曲线C ：f (x )＝x 3－3x ，直线l ：y ＝ax －3a ，则a ＝6是直线l 与曲线C 相切的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 11．答案 A 解析 因为曲线C ：f (x )＝x 3－3x ，所以f ′(x )＝3x 2－3．设直线l 与曲线C 相切，且切点的横坐标为x 0，则切线方程为y ＝(3x 20－3)x －2x 30，所以⎩⎨⎧ 3x 20－3＝a ，2x 30＝3a ，解得⎩⎨⎧ x 0＝3，a ＝6或⎩⎨⎧ x 0＝－32，a ＝－34，所以a ＝6是直线l 与曲线C 相切的充分不必要条件，故选A ．12．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角α的取值范围．12．解析 (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，∴当x ＝2时，y ′min ＝－1，y ＝53，∴斜率最小的切线过点⎝⎛⎭⎫2，53，斜率k ＝－1，∴切线方程为y －53＝－1×(x －2)，即3x ＋3y －11＝0．(2)由(1)得k ≥－1，∴tan α≥－1，又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π． 故α的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π． 13．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值；(2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．13．解析 f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1． (2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0，即4a 2＋4a ＋1>0，所以a ≠－12．所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞．14．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C ．(1)求在曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围． 14．解析 (1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即曲线C 上任意一点处的切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k (k ≠0)，则由题意并结合(1)中结论可知⎩⎪⎨⎪⎧ k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k <0或k ≥1， 则－1≤x 2－4x ＋3<0或x 2－4x ＋3≥1，解得x ∈(－∞，2－2]∪(1，3)∪[2＋2，＋∞)．。
高考数学复习题集及参考答案
高考数学复习题集及参考答案为了帮助考生更好地复习和准备高考数学科目，特别整理了以下数学复习题集及参考答案，以供同学们参考和练习。
希望这些题目能够帮助大家巩固知识，提高解题能力。
1. 选择题1) 设函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求f(-1)的值。
A) -4 B) 2 C) 0 D) -2解析：将x = -1代入函数f(x)中，得到f(-1) = 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6，故答案为6。
2) 已知直线l1过点A(1, 2)，斜率为k，直线l2过点B(3, 4)，斜率为-2，则l1与l2的夹角为多少度？A) 45° B) 60° C) 90° D) 120°解析：直线的斜率k1和k2的乘积为-1时，两条直线垂直。
l1的斜率为k，l2的斜率为-2，所以k × (-2) = -1，解得k = 1/2。
两条直线的斜率为k1 = 1/2 和k2 = -2，根据斜率的性质，tanθ = |(k2 - k1)/(1 +k1k2)|，代入数值计算，可得tanθ = 1/3，由此得出l1和l2的夹角θ的正切值为1/3。
通过逆函数求解，夹角θ = arctan(1/3) ≈ 18.43°，故答案为18.43°。
2. 解答题1) 已知函数f(x) = 2x^2 - x，求f(x) = 0的解。
解析：将f(x) = 2x^2 - x = 0进行因式分解，得2x(x - 1) = 0。
由此可得出两个解：x = 0 和x = 1，故f(x) = 0的解为x = 0 和 x = 1。
2) 某舞厅的座位分为A、B、C三类，A类票价为80元，B类票价为60元，C类票价为40元。
一场舞会总共售出票数为500张，总票价为35000元。
已知A类票占总票数的三分之一，B类票占总票数的四分之一，C类票占剩余票数的一半。
2023年高考-数学(理科)考试历年常考点试题附带答案版
2023年高考-数学（理科）考试历年常考点试题附带答案第1卷一.全考点押密题库(共35题)1.(单项选择题)(每题5.00 分) 若a为实数，且( 2 + a i ) ( a - 2 i ) = - 4 i ，则a =A. -1B. 0C. 1D. 22.(单项选择题)(每题5.00 分) (5+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为A. -80B. -40C. 40D. 803.(填空题)(每题5.00 分) a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形狀ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°;④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是（）.(填写所有正确结论的编号）4.(单项选择题)(每题5.00 分) 已知双曲线C:x2/3-y2=1，0为坐标原点，F为c的右点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N若△OMN为直角三角形，则IMNI=A.3/2B. 3C. 2√3D.45.(单项选择题)(每题5.00 分) 1+2i/1-2i=A. 4/5/3/5iB. 4/5+3/5iC. 3/5-4/5iD. 3/5+4/5i6.(单项选择题)(每题5.00 分) 已知集合A=(x,y)▏x2+y2≤3,x∈z,y∈z}，则A中元素的个数为{A. 9B. 8C. 5D. 47.(填空题)(每题5.00 分) 设Sn 是数列{ a n }的前n 项和，且a1 = -1 ，a n+1 = Sn S n+1 ，则Sn = _______ .8.(填空题)(每题5.00 分) 曲线.y=21n(x+1),在点（0，0）处的切线方程为________.9.(单项选择题)(每题5.00 分) 已知集合A=｛x∣x2-2x-3≥0｝,B=x∣-2≤x10.(填空题)(每题5.00 分) 已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则f(x)的最小值是_______?11.(单项选择题)(每题5.00 分) 函数f(x)在（-∞，+∞）单调递减，且为奇函数。
2023年高考数学----立体几何解答题常考全归类专项练习题(含答案解析)
2023年高考数学----立体几何解答题常考全归类专项练习题（含答案解析）1．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1BC CC =，1AC AB =.(1)证明：平面1ABC ⊥平面11BCC B ；(2)若BC ，1AB B C =，160CBB ∠=︒，求直线1BA 与平面111A B C 所成角的正弦值.【解析】（1）证明：设11BC B C O =,连接AO ,如图所示：则O 为11,BC B C 的中点，因为1BC CC =，所以1CO BC ⊥，即11B C BC ⊥，又因为1AC AB =，所以1AO B C ⊥，又因为1AO BC O ⋂=，所以1B C ⊥平面1ABC ，又因为1B C ⊂平面11BCC B ，所以平面1ABC ⊥平面11BCC B ；（2）因为160CBB ∠=︒，所以1CBB 为正三角形，四边形11BCC B 为菱形， 因为BC ，1AB B C =，设1AC =，则11AB =，BC =所以1ACB 为等腰直角三角形，所以OA 又因为四边形11BCC B 为菱形，所以1CO OB =BO ，又因为1AB B C = 所以22226244OA OB AB +=+==， 所以1OA BC ⊥，即11,,OA BC B C 两两垂直，以O 为坐标原点，1,,OB OB OA 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的坐标系：所以B ，1B ，(0,C ，A ，1(C ， 设1000(,,)A x y z ，由11CA C A =uu r uuu u r 可得000(,)x y z =，所以00022x y z ===，所以1(A ，所以1(BA =uuu r，11(B C =uuu u r，11(B A =uuu u r ， 设平面111A B C 的法向量为(,,)n x y z =，所以111100B C n B A n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即有00x y x z ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令z =1,x y ==所以(1,3,n =−，设直线1BA 与平面111A B C 所成角为θ，则有1sin |cos ,|BA n θ=<>==. 所以直线1BA 与平面111A B C2．（2022·四川达州·统考一模）如图，三棱柱111ABC A B C −中，底面ABC 为等腰直角三角形，112AB AC BB ===，，160ABB ∠=.(1)证明: 1AB B C ⊥；(2)若12B C =，求1AC 与平面1BCB 所成角的正弦值.【解析】（1）证明: 连接1AB ， 在1ABB 中，111260AB BB ABB ==∠=，，，由余弦定理得，22211111214223cos 2AB AB BB AB BB ABB ⋅=+−⋅∠=+−⨯⨯=，1AB ∴22211BB AB AB ∴=+，1AB AB ∴⊥.又ABC 为等腰直角三角形，且AB AC =，AC AB ∴⊥，1AC AB A =，1,AC AB ⊂平面1AB C ，AB ∴⊥平面1AB C .∵1B C ⊂平面1AB C ，∴1AB B C ⊥（2）11312AB AB AC B C ====，，22211B C AB AC ∴=+，1AB AC ∴⊥，如图， 以 A 为原点， 1,,AB AC AB 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则()(()()10,0,0,,1,0,0,0,1,0A B B C ，()()11,0,3,1,1,0.BB BC ∴=−=− 设平面1BCB 的一个法向量为(),,n x y z =，由100BB n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得00x x y ⎧−=⎪⎨−+=⎪⎩，令1z =，得x y == ∴平面1BCB 的一个法向量为()331n=，，. ()((1110,1,0AC AC CC AC BB =+=+=+−=−， 设1AC 与平面1BCB 所成角的大小为θ，(1111,1,sin cos 11AC nAC n AC n θ−∴=====+⋅⋅， 1AC ∴与平面1BCB. 3．（2022·陕西宝鸡·统考一模）如图在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥底面ABCD ，且底面ABCD是平行四边形.已知2,1,PA AB AD AC E ===是PB 中点.(1)求证：平面PBC ⊥平面ACE ；(2)求平面PAD 与平面ACE 所成锐二面角的余弦值.【解析】（1）PA ⊥面ABCD ，且2,1PA AC ==，PC BC ∴==.∵E 是PB 中点,所以PB CE ⊥.同理可证：PB AE ⊥.又AE ⊂面ACE ，CE ⊂面ACE ，AE CE E =I ,PB ∴⊥平面ACE .∵PB ⊂面PBC ，∴平面PBC ⊥平面ACE .（2）222BC AB AC =+， ∴AB AC ⊥. 以A 为原点，,,AC AB AP 分别为x ，y ，z 轴正方向建系，如图：则()()()()()0,0,0,0,2,0,1,2,0,0,0,2,0,1,1A B D P E −.设平面PAD 的法向量(),,,n x y z =则00n AP n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2020z x y =⎧⎨−=⎩，不妨取1y =，则()2,1,0n =. 由（1）得()0,2,2PB =−是平面ACE 的一个法向量，所以cos ,5n PBn PB n PB ⋅==⨯，所以平面PAD 与平面ACE 4．（2022·广东广州·统考一模）如图，已知四棱锥P ABCD −的底面ABCD 是菱形，平面PBC ⊥平面ABCD ，30,ACD E ∠=为AD 的中点，点F 在PA 上，3AP AF =.(1)证明：PC //平面BEF ；(2)若PDC PDB ∠∠=，且PD 与平面ABCD 所成的角为45，求平面AEF 与平面BEF 夹角的余弦值.【解析】（1）设,AC BE 的交点为O ，连接FO ，已知O 为ABD △的重心， 所以12AO AC =，12AF AP =，所以在APC △中，12AO AF AC AP ==， 所以//FO PC ，所以FO ⊂平面BEF ，PC ⊄平面BEF ，则PC //平面BEF .（2）因为30,ACD ∠=所以30,ACB ∠=所以DCB △为等边三角形，所以DC DB =，又因为PDC PDB ∠∠=，所以PDB PDC ≅，所以PB PC =，取BC 的中点为H ，连接PH ，则PH BC ⊥，平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ⋂平面ABCD BC =，则PH ⊥平面ABCD ，以H 为坐标原点，,,HD HB HP 为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为PD 与平面ABCD 所成的角为45PDH ∠=︒，所以=PH DH ，设菱形的边长为2，所以PH DH ==(()))),0,1,0,,,P B A D E ，因为3AP AF =，所以43F ⎝⎭， ()()313,,,0,1,0,3,0,0333EF AE BE ⎛⎫=−=−=⎪ ⎪⎝⎭， 设(),,n x y z =⊥平面AEF ，001003y n AE y z n EF −=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩，令1,0,1x y z ===， 所以()1,0,1n =，设()222,,m x y z =⊥平面BEF ，2222001003m BEm EF y =⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩，令2220,1y x z ===−， 所以()0,3,1m =−， 则2cos ,4m n m n m n ⋅==−，所以平面AEF 与平面BEF5．（2022·上海奉贤·统考一模）如图，在四面体ABCD 中，已知BA BD CA CD ===.点E 是AD 中点.(1)求证：AD ⊥平面BEC ；(2)已知95,arccos,625AB BDC AD ∠===，作出二面角D BC E −−的平面角，并求它的正弦值.【解析】（1）,AB BD E =是AD 中点，BE AD ∴⊥ 又,AC CD E =是AD 中点，CE AD ∴⊥,BE CE E BE CE =⊂，Q I 面BEC所以AD ⊥面BEC（2）由题知，5BA BD CA CD ====，9arccos,625BDC AD ∠==， 取BC 的中点F ，连接,EF DF ， ,DB DC DF BC =∴⊥,根据三角形全等证明方法,可以证明,BDE CDE EB EC ≅∴=,EF BC ∴⊥,所以DFE ∠是二面角D BC E −−的平面角，利用勾股定理计算出4,BE =, 由余弦定理得225259cos 25525BC BDC +−∠==⨯⨯，解得BC =所以DF =EF === 所以222EF DE DF +=，所以Rt DEF △中，sinDE DFE DF ∠===6．（2022·上海浦东新·统考一模）如图，三棱锥−P ABC 中，侧面PAB 垂直于底面ABC ，PA PB =，底面ABC 是斜边为AB 的直角三角形，且30ABC ∠=︒，记O 为AB 的中点，E 为OC 的中点.(1)求证：PC AE ⊥；(2)若2AB =，直线PC 与底面ABC 所成角的大小为60°，求四面体PAOC 的体积.【解析】（1）连接PO ，因为PA PB =，所以PO AB ⊥，侧面PAB 垂直于底面ABC ，PO ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，所以PO ⊥底面ABC ，AE ⊂底面ABC ，所以PO AE ⊥， ABC 是斜边为AB 的直角三角形，且30ABC ∠=，所以12AC AB =， 又因为O 为AB 的中点，所以12CO AO AB ==,所以AOC 为等边三角形， 又E 为OC 的中点，所以AE OC ⊥，因为PO AE ⊥，AE OC ⊥，PO OC O =，,PO OC ⊂POC ，所以⊥AE 平面POC ，又PC ⊂平面POC ，所以PC AE ⊥；（2）由（1）知PO ⊥底面ABC ，所以直线PC 与底面ABC 所成角为PCO ∠，因为直线PC 与底面ABC 所成角的大小为60，60PCO ∠=，因为2AB =，所以1OC =，在Rt POC △中，tan60PO =︒=111sin602AOC S =⨯⨯︒=，所以1134PAOC V ==. 7．（2022·四川成都·石室中学校考模拟预测）如图，在四棱锥P ABCD −中，AB BD BP ==PA PD ==90APD ∠=︒，E 是棱PA 的中点，且BE 平面PCD(1)证明：CD ⊥平面PAD ；(2)若1CD =，求二面角A PB C −−的正弦值.【解析】（1）取AD 中点Q ，连接QE ，QB ，PQ ，EQ PD ∥，EQ ⊄面PCD ，PD ⊂面PCD ，故EQ 面PCD ，//BE 面PCD ，BE EQ E ⋂=，面//BEQ 面PCD ，平面ABCD ⋂平面PBQ BQ =，平面ABCD ⋂平面PCD CD =，故BQ CD ∥.2AD =，1PQ =，2BQ ，222BQ PQ BP +=，故PQ BQ ⊥，AB BD =，Q 是AD 中点，故AD BQ ⊥，PQ AD Q =，,PQ AD ⊂平面ADP ，故BQ ⊥面ADP ，//BQ CD ，故CD ⊥面PAD .（2）如图所示以,,QB QD QP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，(0,0,0)Q ，(0,1,0)A −，(0,0,1)P ，(2,0,0)B ，(1,1,0)C ，，设平面APB 法向量为(),,n x y z =r ，200n PB x z n AP y z ⎧⋅=−=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ， 取=1x −，(1,2,2)n =−−，设平面PBC 法向量为(),,m a b c =，200m PB a c m PC a b c ⎧⋅=−=⎪⎨⋅=+−=⎪⎩，取1a =，()1,1,2m =，12cos ,||||9m n m n m n ⋅−+<>===⋅ 设二面角A PB C −−的平面角为θ，630sin ,m n θ>=8．（2022春·江苏徐州·高三期末）如图，四棱锥P ABCD −中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，N 为PB 的中点.(1)若点M 在AD 上，2AM MD =，34AD BC =，证明：MN 平面PCD ； (2)若3PA AB AC AD ====，4BC =，求二面角D AC N −−的余弦值.【解析】（1）证明：如图所示：取PC 中点F ，连接,NF DF ，因为2MD AM =，所以23MD AD =， 又因为34AD BC =， 所以12MD BC =， 又因为AD ∥BC ，所以MD ∥BC ，又因为N 为PB 的中点，所以NF ∥BC 且12NF BC =， 即有NF ∥MD 且NF MD =，所以四边形NFDM 是平行四边形，所以MN ∥DF ，又因为MN ⊄平面PCD ，DF ⊂平面PCD ，所以MN 平面PCD ；（2）连接NC ，因为3AB AC ==，所以ABC 为等腰三角形，取BC 中点Q ，连接AQ ，则有AQ BC ⊥，又因为AD ∥BC ，所以AQ AD ⊥，又因为PA ⊥底面ABCD ，所以建立如以AQ 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴的空间坐标系，如图所示：因为3PA AB AC AD ====，4BC =，则有(0,0,0)A ，(0,3,0)D ，C ，31,)2N −， 所以53(,1,),(5,2,0)22AN AC =−=，设平面ACN 的法向量为(,,)n x y z =，则有30220y z y −+=+=，所以,y x z x ==， 令6x =，则(6,3n =−−，因为PA ⊥底面ABCD ，取平面ACD 的法向量(0,0,1)m =，设二面角D AC N −−的大小为θ(θ为钝角)，则有4cos cos ,||||161m n m n m n θ⋅−=<>===⋅9．（2022·陕西汉中·统考一模）如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，60,ABC FA ∠=⊥平面,ABCD ED FA ∥，且22AB FA ED ===.(1)求证：BD FC ⊥；(2)求二面角F AC E −−的大小.【解析】（1）证明：由于四边形ABCD 为菱形，则AC BD ⊥FA⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCDFA BD ∴⊥又,FA AC A FA ⋂=⊂平面,FAC AC ⊂平面FACBD ∴⊥平面FAC ，又FC ⊂平面FACBD FC ∴⊥（2）如下图，取BC 的中点G ，连接,60,AG ABC AB BC ∠==，ABC ∴为等边三角形，AG BC ∴⊥，以A 为原点，AG 为x 轴，AD 为y 轴，AF 为z 轴建立空间直角坐标系，则由题意得()0,0,2,1,1F BG AG DE ===，又DE FA ∥，则()))()()0,0,0,,1,0,0,2,0,0,2,1A CB D E −， ()()()3,1,0,3,3,0,0,2,1AC DB AE ==−=， 由（1）知BD ⊥平面FAC ，则可取DB 为平面FAC 的法向量设平面AEC 的法向量为(),,n x y z =r ，则00n AC n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，020y y z +=∴+=⎪⎩，令6z =得()3,3,6n =−， 设二面角F AC E −−的平面角为θ，则121cos 223||DB n DB n θ⋅===⨯⋅， 由题知二面角F AC E −−的锐二面角，所以二面角F AC E −−大小为60. 10．（2022·陕西汉中·统考一模）如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，60,ABC FA ∠=⊥平面,ABCD FA ED ∥，且22AB FA ED ===.(1)求证：BD FC ⊥；(2)求点A 到平面FBD 的距离.【解析】（1）证明：FA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCDFA BD ∴⊥，四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥，又FA AC A =，FA ⊂平面,FAC AC ⊂平面FAC ，BD ∴⊥平面FACBD FC ∴⊥（2）11122sin1202332ABD F ABD V S FA −⎛⎫=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭三棱锥 FA ⊥平面ABCD ，,FA AB FA AD ∴⊥⊥FB FD ∴==由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=， 可得BD =FBD S ∴=设点A 到平面FBD 的距离为h ，则13FBD A FBD V S h −=三棱锥，由A FBD F ABD V V −−=三棱维三棱倠=解得h =∴点A 到平面FBD .11．（2022·四川广安·广安二中校考模拟预测）APD △是等腰直角三角形，AP PD ⊥且AD =ABCD 是直角梯形，AB BC ⊥，DC BC ⊥，且222AB BC CD ===，平面APD ⊥平面ABCD .(1)求证：AP ⊥平面BPD ；(2)若点E 是线段PB 上的一个动点，问点E 在何位置时三棱锥D APE −【解析】（1）证明：直角梯形ABCD 中，AB BC ⊥，DC BC ⊥，且222AB BC CD ===，则2222BD BC CD =+=，由222AD BD AB +=得AD BD ⊥，∵平面APD ⊥平面ABCD ，平面APD 平面ABCD AD =，BD ⊂平面APD ，∴BD ⊥平面APD ，∵AP ⊂平面APD ，∴BD AP ⊥，又AP PD ⊥，,PD BD D PD BD =⊂、平面BPD ，∴AP ⊥平面BPD ；（2）设PE PB λ=，∵BD ⊥平面APD ，则E 到平面PAD 的距离d 有：d PE d BD PBλ==⇒， 等腰直角三角形APD △，AP PD ⊥且AD 1PA PD ==，∴1111113322P PA D E D D AP E A V V S d λ−−⎛⎫==⋅=⨯⨯⨯== ⎪⎝⎭.故点E 在PB 中点时三棱锥D APE −. 12．（2022·四川南充·统考一模）在平面五边形ABCDE 中（如图1），ABCD 是梯形，//AD BC ，2AD BC ==AB =90ABC ∠=︒，ADE V 是等边三角形．现将ADE V 沿AD 折起，连接EB ，EC 得四棱锥E ABCD −（如图2）且CE =(1)求证：平面EAD ⊥平面ABCD ；(2)在棱EB 上有点F ，满足13EF EB =，求二面角E AD F −−的余弦值． 【解析】（1）依题意，ABCD 是梯形，//AD BC ，2AD BC ==AB90ABC ∠=︒，ADE V 是等边三角形．设O 是AD 的中点，则,,C O E 三点共线，且OE AD ⊥，OC AB OE =折叠后，OE AD ⊥，222CE OC OE =+，即OE OC ⊥， 由于,,OC AD O OC AD =⊂平面ABCD ，所以OE ⊥平面ABCD ， 由于OE ⊂平面EAD ，所以平面EAD ⊥平面ABCD .（2）由（1）可知,,OC OA OE 两两相互垂直，以O 为原点建立空间直角坐标系如图所示， 平面EAD 的法向量为()1,0,0m =， )(()(),,,0,B E A D ，13EF EB =，(1133OF OE EF OE EB =+=+=+=⎝⎭,()0,AD =−，设平面FAD 的法向量为(),,n x y z =，则20320n OF y z n AD ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=−=⎩，故可设()23,0,1n =−， 设二面角E ADF −−为θ，由图可知θ为锐角， 所以23cos 13m nm n θ⋅===⋅13．（2022·贵州贵阳·贵阳六中校考一模）如图，在四棱锥P ABCD−中，DA AB ⊥，PD PC ⊥，PB PC ⊥，1AB AD PD PB ====，4cos 5DCB ∠=.(1)求证：BD ⊥平面PAC .(2)设E 为BC 的中点，求PE 与平面ABCD 所成角的正弦值.【解析】（1）∵PD PC ⊥，PB PC ⊥，PB =PD ，∴Rt △PDC ≌Rt △PBC ，∴BC =DC ， 又PB ∩PD =P ，∴PC ⊥平面PBD ，∵BD ⊂平面PBD ，∴PC ⊥BD ，∵AB =AD ，BC =CD ，∴易知AC ⊥BD ，又∵AC ∩PC =C ，AC,PC 含于面PAC ∴BD ⊥平面PAC ；（2）如图，设AC 交BD 于O ，则O 是BD 的中点，连接OP ，过P 作PF AC ⊥，连接EF ， 由（1）得，BD ⊥平面PAC ，PF ⊂面PAC ，故BD PF ⊥，又BD AC O ⋂=，所以，PF ⊥面ABCD ，故PEF ∠为PE 与平面ABCD 所成角，设PEF θ=∠，因为E 为BC 中点，且PC PB ⊥，故在Rt PBC △中，12PE BC =， 又由BC =CD ，且BD 4cos 5DCB ∠=， ∴在△BCD 中，由余弦定理得：2222cos BD BC DC BC DC DCB ∠=+−⋅⋅，即2242225BC BC =−⋅，解得BC =12PE BC =，∴OC OA OP =2PC ==，∵PC ⊥平面PBD ，∴PC OP ⊥， 所以，在Rt PCO △中，利用等面积法，得到PC PO CO PF ⋅=⋅，故223PC PO PF CO ⋅===23，所以，在Rt PEF △中， sin PF PEθ==223==14．（2022春·广东广州·高三校考期中）如图所示，在四棱锥P ABCD −中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，//,222AB CD PC AB AD CD ====，点E 在侧棱PB 上.(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ；(2)若平面PAC 与平面ACE，求PE BE 的值. 【解析】（1）证明：∵PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC PC ⊥.∵四边形ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，//AB CD ，1AD CD ==，∴AC ==取AB 中点为F ,连接CF ，∵四边形ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，//AB CD ，222AB AD CD ===，∴//AF DC ，AF DC =，1AF BF ==，1CF AD ==，∴四边形ADCF 为矩形，BC =∴222AC BC AB +=.∴AC ⊥BC ，又BC PC C ⋂=，,BC PC ⊂平面PBC ，∴AC ⊥平面PBC .∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC .（2）方法一：由（1）知AC ⊥平面PBC ，又∵CE ⊂平面PBC ，∴AC ⊥CE ，由（1）知AC PC ⊥，所以PCE ∠是二面角P AC E −−的平面角.由图知平面PAC 与平面ACE 的夹角即为二面角P AC E −−，∵平面PAC 与平面ACE ，∴cos PCE ∠= ∵PC ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC PC ⊥.在Rt PCB 中，由2PC =，BC =PB∴cosCPB ∠==， ∴CPB PCE ∠=∠，CE PE =，∵∠CPB 与∠CBP 互余，∠PCE 与∠ECB 互余，∴CBP ECB ∠=∠，CE EB =， ∴1PE BE=； 方法二：如图，以C 为原点，CB ，CA ，CP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系.则()0,0,0C，()A，)B ，()002P ,,，显然平面PAC 的一个法向量为CB ，则()2,0,0CB =， 设(),,E x y z ，()01PE PB λλ=≤≤， 则(),,2PE x y z =−，()2,0,2PB =−∴()),,22x y z λ−=−， ∴),0,22E λ−，当1λ=时，,E B 重合，此时平面PAC 与平面ACE 的夹角为90°，此时余弦值为1，不合要求，当[)0,1λ∈时，设()111,,x n y z=为平面EAC 的法向量，()CA =，()2,0,22CE λ=− 则0n CA n CE⋅=⋅=，即()1110220x z λ=+−=， 得10y =，取11x =得1z=， ∴1,0,2n λ⎛= ⎝⎭， 设平面1ABC 与平面11AC P 的夹角为θ，()2,0,0CB =，则cos cos ,2CB n CB n CB n θ⋅=== 解得：12λ=.∴12PE PB =， ∴1PE BE=.。
2023届高考数学总复习：立体几何复习题附答案
a，
在 Rt△FCM 中，tan∠FCM ．
，
∴sin∠FCM ，
故直线 CF 与平面 ACDE 所成角的正弦值为 ． 2．如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，BC⊥平面 AA1C1C，D 是 AA1 的中点，△ACD 是边长
为 1 的等边三角形． （1）证明：CD⊥B1D； （2）若 BC ，求二面角 B﹣C1D﹣B1 的大小．
，令
由（1）知，平面 B1C1D 的一个法向量为
，得
，， ，
， ，，
故 th＜ ， ＞
，
所以二面角 B﹣C1D﹣B1 的大小为 30°．
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在直角梯形 AEFB 中，有 AF EF，BF
쳌
∴AF2+BF2＝AB2，即 AF⊥BF．
∵BC∩BF＝B，BC、BF⊂平面 BCF，
∴AF⊥平面 BCF．
EF，AB＝2EF，
（2）解：∵AE⊥平面 ABC，AE⊂平面 ACDE，∴平面 ACDE⊥平面 ABC，
又平面 ABC∥平面 DEF，∴平面 ACDE⊥平面 DEF．
【解答】解：（1）证明：因为△ACD 是边长为 1 的等边三角形，所以∠ADC＝60°，∠ DA1C1＝120° 因为 D 是 AA1 的中点，所以 AD＝A1D＝A1C1＝1，即△A1C1D 是等腰三角形， 则∠A1DC1＝30°，故∠CDC1＝90°，即 CD⊥C1D， 因为 BC⊥平面 AA1C1C，BC∥B1C1，所以 B1C1⊥平面 AA1C1C， 因为 CD⊂平面 AA1C1C，所以 B1C1⊥CD， 因为 B1C1∩C1D＝C1，B1C1⊂平面 B1C1D，C1D⊂平面 B1C1D，所以 CD⊥平面 B1C1D， 因为 B1D⊂平面 B1C1D，所以 CD⊥B1D；
高中数学高考总复习----函数与方程知识讲解及巩固练习题(含答案解析)
高中数学高考总复习----函数与方程知识讲解及巩固练习题（含答案解析）【考纲要求】1.了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2.根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．3.理解函数与方程之间的关系，并能解决一些简单的数学问题。
【知识网络】【考点梳理】1．函数零点的理解（1）函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程根的个数就是函数零点的个数，亦即函数图象与x 轴交点的个数．（2）变号零点与不变号零点①若函数在零点x 0左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数的变号零点．②若函数在零点x 0左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数的不变号零点．③若函数在区间[a ，b]上的图象是一条连续的曲线，则是在区间（a ，b ）内有零点的充分不必要条件．要点诠释：如果函数最值为0，则不能用此方法求零点所在区间。
2．用二分法求曲线交点的坐标应注意的问题（1）曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为求方程的根．（2）求曲线与的交点的横坐标，实际上就是求函数的零点，即求的根．要点诠释：如果函数的图象不能画出，应通过适当的变形转换成另外的函数。
3．关于用二分法求函数零点近似值的步骤需注意的问题函数与方程函数的零点二分法函数与方程的关系（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且．（2）根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的．对于求方程的根，可以构造函数），函数的零点即为方程的根．【典型例题】类型一、判断函数零点的位置例1.函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)解析：∵f(0)＝1>0，f(－1)＝<0，∴选B.答案：B点评：求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点.举一反三：【变式】已知函数，当时，函数的零点,则．.解：用数形结合法作出及的图象，作出及由图象可知，当内变动，内变动时，显然对数函数图象与直线的公共点皆在区间内，即函数的零点，故．类型二、确定函数零点的个数例2.二次函数中，，则函数的零点的个数是()A.1B.2C.0D.无法确定解法1：∴方程有两个不相等的实数根∴函数有两个零点，选B.解法2：，不论哪种情况，二次函数图象与x轴都有两个交点，所以函数有两个零点.选B.点评：可以利用函数图象或方程的判别式.举一反三：【变式】设函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是()A．[－4，－2]B．[－2,0]C．[0,2]D．[2,4]解析：本题判断f(x)＝0在区间内是否成立，即4sin(2x＋1)＝x是否有解．如图：显然在[2,4]内曲线y＝4sin(2x＋1)，当x＝54π－12时，y＝4，而曲线y＝x，当x＝54π－12<4，有交点，故选A.答案：A例3.（2015安徽三模）定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（）A．B．C．D．答案：D【解析】当时，，当时，，为奇函数时，画出和的图像如图所示：共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为，，，，，则，，而即即所以，故选D.举一反三：【变式1】（2015河东区一模）函数在定义域内零点的个数为（）A.0B.1C.2D.3答案：C【解析】由题意，函数的定义域为；求函数在定义域内零点的个数等价于求函数和函数的图像在上的交点个数，在同一个坐标系下画出两个函数的图像如下：由图得，两个函数图像有两个交点，故对应函数有两个零点.故选C.【变式2】已知函数，.若方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围。
高三文科数学高考复习试题（附答案）
高三文科数学高考复习试题（附答案）考试是检测学生学习效果的重要手段和方法，考前需要做好各方面的知识储备。
下面是店铺为大家整理的高三文科数学高考复习试题，请认真复习!高三文科数学高考复习试题一、选择题：每小题只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内.1.函数y=log2x-2的定义域是( )A.(3，+∞)B.[3，+∞)C.(4，+∞)D.[4，+∞)2.设集合A={(x，y) | }，B={(x，y)|y=2x}，则A∩B的子集的个数是( )A.1B.2C.3D.43.已知全集I=R，若函数f(x)=x2-3x+2，集合M={x|f(x)≤0}，N={x| <0}，则M∩∁IN=( )A.[32，2]B.[32，2)C.(32，2]D.(32，2)4.设f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)=2x+x，则当x<0时，f(x)=( )A.-(-12)x-xB.-(12)x+xC.-2x-xD.-2x+x5.下列命题①∀x∈R，x2≥x;②∃x∈R，x2≥x;③4≥3;④“x2≠1”的充要条件是“x≠1或x≠-1”.其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.36. 已知下图(1)中的图像对应的函数为，则下图(2)中的图像对应的函数在下列给出的四个式子中，只可能是( )7.在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为( )A.(1.4,2)B.(1,1.4)C.(1，32)D.(32，2)8.点M(a，b)在函数y=1x的图象上，点N与点M关于y轴对称且在直线x-y+3=0上，则函数f(x)=abx2+(a+b)x-1在区间[-2,2)上( )A.既没有最大值也没有最小值B.最小值为-3，无最大值C.最小值为-3，最大值为9D.最小值为-134，无最大值9.已知函数有零点，则的取值范围是( )A. B. C. D.二、填空题：将正确答案填在题后横线上.10.若全集U=R，A={x∈N|1≤x≤10}，B={x∈R|x2+x-6=0}，则如图中阴影部分表示的集合为_______ _.11.若lga+lgb=0(a≠1)，则函数f(x)=ax与g(x)=-bx的图象关于________对称.12.设 ,一元二次方程有正数根的充要条件是 = .13.若函数f(x)在定义域R内可导，f(2+x)=f(2-x)，且当x∈(-∞，2)时，(x-2) >0.设a=f(1)，，c=f(4)，则a,b,c的大小为.14、已知。
专题23--抛物线(解答题压轴题)(解析版)-【挑战压轴题】备战2023年高考数学高分必刷必过题
(1)若1l 过抛物线C 的焦点，且垂直于(2)若直线1l 的斜率k ∈2MN MQ =，且MNQ △【答案】(1)22y x =1(1)若B为线段AC的中点，求直线(2)若正方形DFMN的边长为实数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求出【答案】(1)22；λ=，理由见解析(2)存在2（1）由已知可得DN为抛物线的准线．（2）λ=，使得k1＋k2＝λk3，理由如下：存在2(1)若抛物线2C的焦点正好为椭圆1C的上顶点，求(2)椭圆1C与抛物线2C在第一象限的交点为于点Q，交抛物线2C于点M（Q，M值，并求当p取最大时直线l的斜率．(1)证明：以DE为直径的圆经过点(1)求点P的纵坐标的取值范围；(2)设D是抛物线2Γ上一点，且位于椭圆PCD的面积存在最大值．【答案】(1)3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭；32⎛⎫(1)当k 取不同数值时，求直线l 与抛物线公共点的个数；(2)若直线l 与抛物线相交于A 、B (3)在x 轴上是否存在这样的定点均能使得MA MB k k ⋅为定值，若有，找出满足条件的点【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析(3)存在，()0,0M （1）420240x y x y -+-=+-=(1)写出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：1x 、0x 、2x 成等差数列，(3)若A ，F ，B 三点共线，求出动点【答案】(1)焦点坐标为()0,1F ，准线方程为(2)证明见解析(3)1y =-，4（1）(1)抛物线的标准方程为24x y =,于是焦点坐标为(1)若抛物线2C 的焦点恰为椭圆1C (2)若椭圆1C 与抛物线2C 在第一象限的交点为交抛物线2C 于M ，且AM MB =，求【答案】(1)28y x =(2)p 的最大值为3540，此时直线(1)求抛物线的方程；(2)若||||AB CD =，求凹四边形OEBC 面积的最小值．【答案】(1)24y x =(2)324+①若0m ≤，2(22)S m =++②若0m >，((21)2S m ⎡=+⎢⎣综上所述，凹四边形OEBC 面积的最小值是。
2023 届高考数学复习：精选好题专项(三角函数与解三角形解答题)练习(附答案)
2023届高考数学复习：精选好题专项(三角函数与解三角形)练习 题组一 三角函数及其性质1‐1、（江苏省盐城市四校2023届高三年级第一学期联考）17．已知函数cos sin ()()()s x x x x f x =∈R ．(1)求()f x 的最小正周期和单调增区间；(2)在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若22B f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，6b =，求ABC 的面积的最大值． 题组二 正余弦定理的运用2‐1、（江苏新高考2023年第三次大联考）记ABC 的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，已知1cos sin 3cos sin A A B B+=-. （1）证明：3b c a +=；（2）若,53C a π==，求ABC 的面积.2‐2、（江阴市普通高中2022‐2023年学期高三阶段测试卷）（本题满分10分）已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，且交BC 于D ．（1）用正弦定理证明：AB BD AC DC=；（2）若120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =，求BD ．2‐3、（襄州一中2023届高三下学期开学考试数学试题）在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ､B ､C 的对边，()22cos cos c a B b A a b bc+=-+.（1）求A ；（2）若角A 的平分线AD 交BC 于D ，且BD =2DC ，AD =a .2‐4、（山东省潍坊市2022‐2023高三上学期期末试卷）在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()cos sin cos sin C A B B C A -=-.（1）求tan A 的最小值；（2）若tan 2A =，a =，求c .（12分）2-5、（2022～2023学年泰州高三年级模拟试卷）. (本小题满分10分)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin A sin C ＋sin C sin A ＝2cos B ＋1.(1) 求证：b 2＝ac ；(2) 若b 2a 2＋c 2 ＝25 ，求cos B 的值．2-6、（江苏南通2022～2023学年高三年级模拟试卷）18. (本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且3cos C ＝2sin A sin B.(1) 求sin C sin A sin B 的最小值；(2) 若A ＝π6 ，a ＝7 ，求c 及△ABC 的面积．2‐7、（盐城市、南京市2022‐2023学年度第一学期期末调研测试） 在ABC 中，2AC =，π3BAC ∠=，P 为ABC 内的一点，满足AP CP ⊥，2π3APB ∠=.（1）若AP PC =，求ABC 的面积；（2）若BC =AP .2‐8、（河北省石家庄市2022‐2023学年度第一学期期末联考调研测试） 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos 02A A +=，且2,4AD DB AE EC == . （1）求A 的大小；（2）若7,a DE ==，求ABC 的面积.2‐9、（江山东济南市2023年高三下学期开学考试）已知ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()(sin sin )sin a b A B b C +-=．（1）证明：A ＝2B ；（2）若a ＝3，b ＝2，求ABC 的面积．.3‐3、（江苏省扬州市2022‐2023学年度上学期期末考试题）记锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin tan cos cos A C B A C +=+．(1)求B ；(2)求()2a c ab -的取值范围．3‐4、（2022‐2023学年 江苏常州市高级中学 高三年级1月月考 数学试卷）．在①4sin cos =a B A ，②222sin sin ()sin +=+b B c C b c A ，cos +=+b a A A a b ．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出cos B 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．（7分）问题：在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1cos 3C =，________． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．3‐5、（广东省高考研究会2023届高三阶段性检测）在①),2(b c a m -=,)cos ,(cos B C n =,n m //；②6cos(sin π-=B a A b ;③c c a b a b a )())((-=-+ 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足 .(1)求B ∠;(2)若2=b ，求ABC ∆周长的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．3‐6、（2023届湖北省十七所重点中学高三第一次联考数学）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2c=． （1）求cos C的最小值；（2）证明：π6C A-≤．参考答案题组一 三角函数及其性质1‐1、（江苏省盐城市四校2023届高三年级第一学期联考）17．已知函数cos sin ()()()s x x x x f x =∈R ．(1)求()f x 的最小正周期和单调增区间；(2)在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c．若22B f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，6b =，求ABC 的面积的最大值． 【答案解析】：（1）211cos 2()cos sin sin 222x f x x x x x +==1πsin 22sin 223x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．∴()f x 的周期πT =， 由πππ2π22π232k x k -+≤-≤+，Z k ∈，得π5πππ1212k x k -+≤≤+，Z k ∈ 所以()f x 的单调递增区间是π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎣⎦，Z k ∈． （2）∵πsin 23B f B ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πsin 03B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又(0,π)B ∈，∴π3B =，由正弦定理有6sin sin sin sin 3a cb A C B π====，∴1122sin sin sin ABC B A C A C S ac B ==⋅⋅=△221sin πsin 18sin cos 322A A A A A A A A ⎛⎫⎛⎫=-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 2π9sin 2226A A A -⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭ ∵2π03A <<，∴ππ72π666A -<-<，∴()max ABC S = 当ππ2,62A -= 即π3A =时取得最大值.另解：∵πsin 2322B f B ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πsin 03B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又()0,πB ∈，∴π3B =， 由余弦定理知：22222222cos 362cos 23b a c ac B a c ac a c ac ac ac ac π=+-⇒=+-=+-≥-=，即36ac ≤，当且仅当6a c ==时，等号成立．∴1sinB 2ABC S ac ==≤△6a c ==时，()max ABC S = 题组二 正余弦定理的运用 2‐1、（江苏新高考2023年第三次大联考）记ABC 的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，已知1cos sin 3cos sin A A B B+=-. （1）证明：3b c a +=；（2）若,53C a π==，求ABC 的面积.【答案解析】（1）因为1cos sin 3cos sin A A B B+=-，所以sin cos sin 3sin sin cos B A B A A B +=-， 因为()A B C π=-+，所以()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以sin sin 3sin B C A +=，由正弦定理sin sin sin a b c A B C==，得3b c a +=. （2）由①得15b c +=，①由余弦定理，得22222cos 255c a b ab C b b =+-=+-，②由①②解得8,7b c ==. 所以ABC的面积为11sin 58222ab C =⨯⨯⨯=2‐2、（江阴市普通高中2022‐2023年学期高三阶段测试卷）（本题满分10分）已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，且交BC 于D ．（1）用正弦定理证明：AB BD AC DC=； （2）若120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =，求BD ．【答案解析】（1）在ABD △和ACD △中，分别由正弦定理,sin sin ,sin sin AB BD ADB BAD AC CD ADC CAD⎧=⎪⎪∠∠⇒⎨⎪=⎪∠∠⎩①② ∵sin sin ADB ADC ∠=∠，由AD 平分BAC BAD CAD ∠⇒∠=∠， ∴ AB BD AC DC⇒=①②． （2）∵2AB =，1AC =，120BAC ∠=︒，∴BC ==， ∵AD 平分BAC ∠，由（1）知2BD AB DC AC ==，∴233BD BC ==． 2‐3、（襄州一中2023届高三下学期开学考试数学试题）在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ､B ､C 的对边，()22cos cos c a B b A a b bc+=-+.（1）求A ； （2）若角A 的平分线AD 交BC 于D ，且BD =2DC，AD =a .【答案解析】（1）解：因为()22cos cos c a B b A a b bc +=-+， 所以()22sin sin cos sin cos sin sin sin sin C A B B A A B B C +=-+,， 即222sin sin sin sin sin C A B B C =-+，即222c b a bc +-=， 所以2221cos 22c b a A bc +-==， 因为()0,A π∈， 所以3A π=；（2）因为角A 平分线AD 交BC 于D ，且BD =2DC ，由角平分线定理得：c =2b ,又ABC ABD ACD S S S =+ ， 即111sin 60sin 30sin 30222bc c AD b AD =⋅⋅+⋅⋅ ， 所以AD b c ==+ ()2bc b c =+， 所以 3,6b c ==，由余弦定理得：2222cos 27a c b bc A =+-=，所以a =.2‐4、（山东省潍坊市2022‐2023高三上学期期末试卷）在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()cos sin cos sin C A B B C A -=-.（1）求tan A 的最小值；（2）若tan 2A =，a =，求c .（12分） 的解：（1）由已知得()()cos sin cos cos sin cos sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，整理得2cos sin cos cos sin C A B A A =，因为sin 0A >，所以2cos cos cos C B A =，……2分 又因为()cos cos cos cos sin sin A B C B C B C =-+=-+，所以sin sin 3cos cos B C C B =， 即tan tan 3B C =，……4分()tan tan tan tantan tan tan tan 12B C B C A B C B C ++=-+==≥=-，当且仅当tan tan B C ==tan A .……6分（2）因为tan 2A =，从而tan tan 4B C +=，又因为tan tan 3B C =，所以tan 1C =或tan 3C =，8分当tan 1C =时，sin 2C =，由正弦定理得sin sin a c C A==10分当tan 3C =时，sin 10C =，由正弦定理得sin sin a c C A ==.综上，c =或.……12分2-5、（2022～2023学年泰州高三年级模拟试卷）. (本小题满分10分)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin A sin C ＋sin C sin A ＝2cos B ＋1.(1) 求证：b 2＝ac ；(2) 若b 2a 2＋c 2 ＝25 ，求cos B 的值．【答案解析】 (1) 证明：由正弦定理知sin A sin C ＋sin C sin A ＝a c ＋c a ，由余弦定理知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，(3分)所以a c ＋c a ＝2ꞏa 2＋c 2－b 22ac ＋1，化简得b 2＝ac .(5分)(2) 解：因为b 2a 2＋c 2 ＝25 ，b 2＝ac ，所以a 2＋c 2ac ＝52 .(7分) 由(1)知a 2＋c 2ac ＝2cos B ＋1，所以2cos B ＋1＝52 ，即cos B ＝34 .(10分)2-6、（江苏南通2022～2023学年高三年级模拟试卷）18. (本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且3cos C ＝2sin A sin B.(1) 求sin C sin A sin B 的最小值；(2) 若A ＝π6 ，a ＝7 ，求c 及△ABC 的面积．【答案解析】：(1) 因为3cos C ＝2sin A sin B ，所以－3(cos A cos B －sin A sin B )＝2sin A sin B ，即sin A sin B ＝3cos A cos B .因为cos A cos B >0，所以tan A tan B ＝3.(2分)所以sin C sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B sin A sin B ＝tan A ＋tan B tan A tan B ＝1tan A ＋1tan B ≥21tan A ꞏ1tan B ＝233 ，(4分)当且仅当tan A ＝tan B ＝3 时，等号成立，所以sin C sin A sin B 的最小值为233 .(6分)(2) 因为A ＝π6 ，由(1)得，tan B ＝3tan A ＝33 .因为B ∈(0，π)，所以sin B ＝32114 ，cos B ＝714 ，(8分) 所以sin C ＝sin (B ＋π6 )＝3 sin B ＋12 cos B ＝5714 .由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin Csin A ＝5，(10分)所以△ABC 的面积为12 ac sin B ＝12 ×7 ×5×32114 ＝1534 .(12分)2‐7、（盐城市、南京市2022‐2023学年度第一学期期末调研测试） 在ABC 中，2AC =，π3BAC ∠=，P 为ABC 内的一点，满足AP CP ⊥，2π3APB ∠=.（1）若AP PC =，求ABC 的面积；（2）若BC =AP .【答案解析】【小问1详解】解：在APC △中，因为AP CP ⊥，且AP CP =，所以π4CAP ∠=.由2AC =，可得πsin 4AP AC == 又π3BAC ∠=，则πππ3412BAP ∠=-=.在APB △中，因为2π3APB ∠=，π12BAP ∠=，所以2ππππ3124ABP ∠=--=，则2ππsin sin 34AB=，解得AB =，从而113sin 22222ABC S AB AC BAC ∠=⋅⋅⋅=⨯= . 【小问2详解】解：ABC 中，由2742AB AB =+-，解得3AB =或1AB =-（舍去）.令CAP α∠=，则在APC △中2cos AP α=.在ABP 中，π3BAP α∠=-，所以2πππ33ABP αα⎛⎫∠=---= ⎪⎝⎭， 则sin sin AB AP APB ABP =∠∠，即32cos 2πsin sin 3αα=，得tan 3α=. 因为π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π6α=，从而22AP =⨯=. 2‐8、（河北省石家庄市2022‐2023学年度第一学期期末联考调研测试）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos 02A A +=，且2,4AD DB AE EC == . （1）求A 的大小；（2）若7,a DE ==，求ABC 的面积.【答案解析】【要点分析】（1）根据二倍角公式将cos cos 02A A +=化简可得1cos 22A =即可求得A 的大小；（2）分别在ABC 和ADE V 中利用余弦定理联立方程组可解得3,5c b ==即可求得ABC 的面积.【小问1详解】 由cos cos 02A A +=得22cos cos 1022A A +-=， 即2cos 1cos 1022A A ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得1cos 22A =或cos 12A =-（舍去） 因为π0,22A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π23A =，则2π3A =. 所以A 的大小2π3A =. 【小问2详解】 在设,DB x EC y ==，则3,5AB c x AC b y ====，在ABC 中，由余弦定理可知222222cos 2591549a b c bc A y x xy =+-=++=，在ADE V 中，由余弦定理可知22222(2)(4)224cos 164828DE x y x y A y x xy =+-⨯⨯=++=；即22427y x xy ++=联立22222591549427y x xy y x xy ⎧++=⎨++=⎩解得1,1x y ==； 所以3,5c b ==故ABC的面积为1sin 24S bc A ==2‐9、（江山东济南市2023年高三下学期开学考试）已知ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()(sin sin )sin a b A B b C +-=．（1）证明：A ＝2B ；（2）若a ＝3，b ＝2，求ABC 的面积．.【答案解析】【要点分析】(1)利用正弦定理化边为角，结合余弦定理可得2cos a B b c =+，再化边为角结合三角恒等变换即可证明；(2)结合(1)求得c ，由余弦定理求cos C ，再求sin C ，利用面积公式即可求解.【小问1详解】因为()(sin sin )sin a b A B b C +-=，所以()()a b a b bc +-=，即22a b bc -=，222cos 22a c b b c B ac a+-+==， 2sin cos sin sin A B B C =+，()2sin cos sin sin A B B A B =++，()sin sin A B B -=，所以2ππA B B k -+=+或2πA B B k --=，Z k ∈，又(),0,πA B ∈，所以2A B =；【小问2详解】由(1) 22a b bc -=，又a ＝3，b ＝2， 所以52c =， 由余弦定理可得22222253292cos 223216a b c C ab ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭===⨯⨯， 因为()0,πC ∈，所以sin 16C ==， 所以ABC的面积11sin 32221616S ab C ==⨯⨯⨯=2-10、（江苏海安2022-2023年期末考试）已知四边形ABCD 内接于圆O ，AB ＝3，AD ＝5，∠BAD ＝120°，AC 平分∠BAD .(1) 求圆O 的半径；(2) 求AC 的长．【答案解析】(1) 设圆O 的半径为R .在△ABD 中，由余弦定理BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ꞏAD ꞏcos ∠BAD ，得BD 2＝32＋52－2×3×5×(－12 )＝49，所以BD ＝7.(3分)在圆O 的内接△ABD 中，由正弦定理，得2R ＝BD sin ∠BAD＝7sin 120° ＝1433 ， 故R ＝733 ，所以圆O 的半径为733 .(6分)(2) 因为四边形ABCD 内接于圆O ，所以∠BAD ＋∠BCD ＝180°.又∠BAD ＝120°，故∠BCD ＝60°.因为AC 平分∠BAD ，所以∠BAC ＝60°.(8分)(解法1)因为AC 平分∠BAD ，所以BC ＝CD ，所以BC ＝CD .又因为∠BCD ＝60°，所以△BCD 为正三角形，所以BC ＝BD ＝7.(10分)(解法2)在圆O 的内接△ABC 中，由正弦定理，得BC sin ∠BAC＝2R . 所以BC ＝2R ꞏsin 60°＝1433 ×32 ＝7.(10分)在△ABC 中，由余弦定理BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ꞏAC ꞏcos ∠BAC ，得72＝32＋AC 2－2×3×AC ×cos 60°，即AC 2－3AC －40＝0，解得AC ＝8或AC ＝－5，因为AC ＞0，所以AC ＝8，所以AC 的长为8.(12分)题组三 正余弦定理的综合运用（1）由正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，即()sin 2sin cos A B C C +=，即sin 2sin cos C C C =，又()0,C π∈，所以sin 0C ≠， 所以1cos 2C =，故3C π=. （2）由正弦定理，得sin ,sin c A a A b B C ===， 所以ABC的周长)sin sin 2L a b c A B =++=++21sin sin 24sin cos 2322A A A A π⎛⎫⎤⎛⎫=+-+=++ ⎪ ⎪⎥ ⎪⎝⎭⎦⎝⎭ 4sin 26A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 由ABC 为锐角三角形可知，0,220,32A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩得62A ππ<<， 所以2363A πππ<+<，所以sin ,162A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦. 所以ABC的周长的取值范围为(2⎤+⎦.3‐3、（江苏省扬州市2022‐2023学年度上学期期末考试题）记锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin tan cos cos A C B A C +=+．(1)求B ；(2)求()2a c a b -的取值范围． 【答案解析】（1）因为sin sin tan cos cos A C B A C +=+，即sin sin sin cos cos cos B A C B A C+=+， 所以sin cos sin cos cos sin cos sin B A B C B A B C +=+， 即sin cos cos sin cos sin sin cos B A B A B C B C -=-，所以sin()sin()B A C B -=-，因为0πA <<，0πB <<，所以ππB A -<-<，同理得ππC B -<-<，所以B A C B -=-或()()πB A C B -+-=±（不成立），所以2B A C =+，结合πA B C ++=得π3B =．（2）由余弦定理2221cos 22a c b B ac+-==得，222ac a c b =+-， 所以222ac a c b -=-，则2222222()1a c a ac a c b c b b b b ---⎛⎫===- ⎪⎝⎭，由正弦定理得，sin sin c C C b B ==， 因为π3B =，2π3A C +=，π02A <<，π02C <<，所以ππ62C <<，1sin 12C <<，所以c b ∈⎝⎭，2()2133a c a b -⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，．3‐4、（2022‐2023学年 江苏常州市高级中学 高三年级1月月考 数学试卷）．在①4sin cos =a B A ，②222sin sin ()sin +=+b B c C b c A ，cos +=+b a A A a b ．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出cos B 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．（7分）问题：在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1cos 3C =，________． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案解析】选①：因为4sin cos =a B A ，由正弦定理得4sin sin cos =A B A B ，所以(0,)B π∈，所以sin 0B ≠，所以4sin cos =A A ，sin 22A =， 又(0,)A π∈，2(0,2)A π∈，所以23=A π或23π，即6A π=或3π．因为1cos 3C =，(0,)C π∈，所以sin 3C ==． 当6A π=时，cos cos()B A C =-+11cos 623236C π⎛⎫⎛⎫=-+=--⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当3A π=时，cos cos()B A C =-+11cos 3233C π⎛⎫⎛⎫=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此cos B ． 选②：因为222sin sin ()sin +=+b B c C b c A ，由正弦定理得332()+=+b c b c a ，因为0b c +>，所以222b c bc a +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==， 因为(0,)A π∈，所以3A π=．因为1cos 3C =，(0,)C π∈，所以sin 3C ==， 所以cos cos()B A C =-+11cos 323C π⎛⎛⎫=-+=-⨯= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，因此cos B 的值16．选③cos +=+b a A A a b ，所以2sin 6b a A a b π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，因为22sin 26b a A a b π⎛⎫≥+=+≥= ⎪⎝⎭， 于是2b a a b +=，即a b =；且2sin 26A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 注意到(0,)A π∈，7,666A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 因此62A ππ+=，即3A π=，于是ABC 为等边三角形， 因此1cos 2C =与1cos 3C =相矛盾，故ABC 不存在．3‐5、（广东省高考研究会2023届高三阶段性检测）在①),2(b c a m -=,)cos ,(cos B C n =,n m //；②6cos(sin π-=B a A b ;③c c a b a b a )())((-=-+ 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足 .(1)求B ∠;(2)若2=b ，求ABC ∆周长的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案解析】(1)若选①因为),2(b c a m -=，n m B C n //),cos ,(cos =，所以0cos cos )2(=--C b B c a ……………………………………………1分 由正弦定理得0cos sin cos )sin sin 2(=--C B B C A …………………………………2分 即0)cos sin cos (sin cos sin 2=+-C B B C B A ，所以A C B B A sin )sin(cos sin 2=+=，………………………………4分因为0sin ),,0(=/∈A A π 所以3,21cos π==B B ……………………………………5分 若选② 由正弦定理得)6cos(sin sin sin π-=B A A B ，…………………………………………1分B A B A B B A A B sin sin 21cos sin 23)sin 21cos 23(sin sin sin +=+=，……………2分 因为0sin ),,0(=/∈A A π 所以0)3sin(cos 23sin 21=-=-πB B B ， ……………………………………4分 所以3π=B ，……………………………………………………………………………………5分若选③由c c a b a b a )())((-=-+得ac b c a =-+222，…………………………………………1分 由余弦定理得：2122cos 222==-+=ac ac ac c b a B ， ………………………………………4分 因为),0(π∈B ，所以3π=B ………………………………………………………………5分 (2)由(1)可知，3π=B ，ac b c a =-+222 又2=b ，所以ac ac c a 2422≥+=+，所以4≤ac ，当且仅当2==c a 时，等号成立. …………………………………………7分 又164342)(22≤+=+++=+ac ac c a c a ，即40≤+<c a ，又2>+c a ，所以42≤+<c a …………………………………9分所以64≤++<c b a即ABC ∆周长的取值范围是]6,4( …………………………………………10分 3‐6、（2023届湖北省十七所重点中学高三第一次联考数学）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c．已知2c =． （1）求cos C 的最小值；（2）证明：π6C A -≤． 【答案解析】【要点分析】（1）结合余弦定理、基本不等式求得cos C 的最小值. （2）结合正弦定理、基本不等式求得1sin()2C A -≤，进而证得π6C A -≤. 【小问1详解】由余弦定理，222222cos 12222a b c ab c ab C ab ab ab +---=≥==-， 当且仅当a b =，即::a b c =时等号成立．【小问2详解】方法一：当C A ≤时，π06C A -≤<． 当C A >时，设线段AC 的中垂线交AB 于点D ．()222222222,2cos c a c b b c AD DB c AD A b c ab c a -===-=+-+-． 在CDB △中，由正弦定理，sin sin()B CD AD C A DB DB==-．22222AD b DB b =≥=⎛⎫ ⎪⎝⎭，当且仅当,2a a a b =-=时等号成立. 故sin 1sin()22B C A -≤≤， 由（1）cos 102C ≥->．故π02C A C <-<<．。
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(函数的基本性质)练习(附答案)
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（函数的基本性质）练习一、基础小题练透篇1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝1＋x 2B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x ＋12x D ．y ＝x ＋e x2．[2023ꞏ四川省成都市高三考试]下面四个函数中既为奇函数，又在定义域上单调递减的是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝1xC ．y ＝1－xD ．y ＝2－x －2x3．[2023ꞏ陕西省安康市高三检测]下列函数中，最大值是1的函数是( ) A ．y ＝|sin x |＋|cos x | B ．y ＝cos 2x ＋4sin x －4 C ．y ＝cos x ꞏtan xD ．y ＝sin x2－cos x4．[2023ꞏ陕西省宝鸡市、汉中市部分学校质检]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x －1，（x <1）（a －2）x ＋3a ，（x ≥1） 在R 上单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．(0，1) B ．⎣⎡⎭⎫34，1C ．⎝⎛⎦⎤0，34D ．⎣⎡⎭⎫34，2 5．[2023ꞏ陕西省咸阳中学高三模拟]设函数f (x )＝（x －1）2＋sin xx 2＋1的最大值为a ，最小值为b ，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．26．[2023ꞏ河南省焦作市模拟]已知函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，且对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)，x 1≠x 2，都有f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1>2，f (1)＝2 020，则满足不等式f (x －2 020)>2(x －1 011)的x 的取值范围是( )A ．(2 021，＋∞)B ．(2 020，＋∞)C ．(1 011，＋∞)D ．(1 010，＋∞)7．[2023ꞏ广东省广东实验中学高三考试]函数y ＝ln |x |的单调递减区间是__________． 8．[2023ꞏ甘肃省兰州高三上学期期中]已知函数f (x )＝lg (x 2－4x －5)在(a ，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是________．二、能力小题提升篇1.[2023ꞏ陕西省咸阳中学高三考试]已知函数y ＝f (x )为R 上的偶函数，若对于x ≥0时，都有f (x )＝f (x ＋4)，且当x ∈[0，2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 021)＝( )A ．1B ．－1C ．log 26D ．log 2322．[2023ꞏ陕西省西安市第一中学期中]定义在R 上的函数y ＝f (x )，满足f (3－x )＝f (x )，⎝⎛⎭⎫x －32 f ′(x )<0，若x 1<x 2，且x 1＋x 2>3，则有( ) A ．f (x 1)>f (x 2) B ．f (x 1)<f (x 2) C ．f (x 1)＝f (x 2) D ．不确定3．[2023ꞏ广东省惠州市高三调研]已知函数y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，且当x <0时，f (x )＝x ＋ax ＋1.若函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上的最小值为3，则实数a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．[2023ꞏ厦外石狮分校、泉港一中联考]已知函数f (x )＝2x 2x 2－4x ＋8(x ∈R )，以下结论正确的( )A ．函数f (x )的图象关于直线x ＝4对称B ．函数f (x )的图象关于点(2，2)中心对称C ．函数f (x )没有最大值D ．若方程f (x )＝m 有两个解，则m ∈(0，4)5．[2023ꞏ黑龙江省齐齐哈尔市普高试题]若函数f (x )是奇函数，定义域为R ，周期为2.当0<x <1时，f (x )＝3x .则f ⎝⎛⎭⎫－92 ＋f (3)＝________. 6．[2023ꞏ江苏省南京市第一中学模拟]已知f (x )是定义在R 上的奇函数且f (x ＋1)为偶函数，当x ∈[1，2]时，f (x )＝a x ＋b (a >0且a ≠1).若f (－1)＋f (4)＝12，则f ⎝⎛⎭⎫20212 ＝________.三、高考小题重现篇1.[2021ꞏ全国甲卷]下列函数中是增函数的为( )A ．f (x )＝－xB ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫23 xC ．f (x )＝x 2D ．f (x )＝3x2．[2021ꞏ全国乙卷]设函数f (x )＝1－x1＋x，则下列函数中是奇函数的是( ) A ．f (x －1)－1 B ．f (x －1)＋1 C ．f (x ＋1)－1 D ．f (x ＋1)＋1 3．[2021ꞏ全国甲卷]设f (x )是定义域为R 的奇函数，且f (1＋x )＝f (－x ).若f ⎝⎛⎭⎫－13 ＝13 ，则f ⎝⎛⎭⎫53 ＝( )A ．－53 B ．－13 C ．13 D ．534．[2022ꞏ新高考Ⅱ卷]已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x ＋y )＋f (x －y )＝f (x )f (y )，f (1)＝1，则k ＝122 f(k)＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．0 D ．15．[2020ꞏ江苏卷]已知y ＝f(x)是奇函数，当x ≥0时，f(x)＝x 23，则f(－8)的值是________．6．[2022ꞏ全国乙卷]若f ()x ＝ln ⎪⎪⎪⎪a ＋11－x ＋b 是奇函数，则a ＝________，b ＝________．四、经典大题强化篇1.[2023ꞏ安徽省淮南第二中学高三试题]已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数．．．，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋a ()a ∈R .(1)求函数f (x )在R 上的解析式；(2)若∀x ∈R ，f (x 2－x )＋f (4－mx )>0恒成立，求实数m 的取值范围．2．[2023ꞏ广东省深圳市六校联盟高三试题]已知定义在R上的函数f(x)＝2x－2－x.(1)判断函数f(x)的奇偶性和单调性；(2)若22x＋2－2x≥af(x)在区间(0，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一 基础小题练透篇1．答案：D答案解析：A 中两个函数的定义域不同；B 中y ＝x 0的x 不能取0；C 中两函数的对应关系不同．2．答案：B 答案解析：①中当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，一对多，不是函数图象，②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，一对多，不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，是函数图象．3．答案：A答案解析：方法一（配凑法）∵f （x ＋2）＝x 2＋6x ＋8＝（x ＋2）2＋2（x ＋2），∴f （x ）＝x 2＋2x . 方法二（换元法）令t ＝x ＋2，则x ＝t －2，∴f （t ）＝（t －2）2＋6（t －2）＋8＝t 2＋2t ，∴f （x ）＝x 2＋2x .故选A. 4．答案：A答案解析：因为f （x ）＝a x a x ＋1 ，所以f （－x ）＝a －x a －x ＋1 ＝1a x ＋1 ，所以f （x ）＋f （－x ）＝a x a x ＋1 ＋1a x ＋1＝1，所以f （2）＋f （－2）＝1.因为f （2）＝13 ，所以f （－2）＝1－f （2）＝23.故选A.5．答案：[－2，－1）∪（－1，＋∞）答案解析：要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0x ＋1≠0 ，解得x ≥－2且x ≠－1.即函数f （x ）的定义域是[－2，－1）∪（－1，＋∞）.6．答案：1516 x －916x ＋18（x ≠0）答案解析：用1x代替3f （x ）＋5f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x＋1中的x ，得3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋5f （x ）＝3x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧3f （x ）＋5f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ＋13f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋5f （x ）＝3x ＋1 消去f ⎝ ⎛⎭1x ，解得f （x ）＝1516 x －916x ＋18 （x ≠0）.二 能力小题提升篇1．答案：A答案解析：由题可知，⎩⎪⎨⎪⎧2x－3>13－x ≥0 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >2x ≤3 ⇒2<x ≤3，故函数F （x ）的定义域为（2，3]，故选A.2．答案：A答案解析：令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，∴f （x －1）＝f （t ）＝t ＋1t ＋2 ，∴函数f （x ）的答案解析式为f （x ）＝x ＋1x ＋2.故选A.3．答案：D答案解析：因为f （4）＝2f （3）＝4f （2），f （2）＝log 162＝14，所以f （4）＝4f （2）＝1.故选D. 4．答案：D答案解析：当x ≤1时，由f （x ）≥1可得，－x 2＋2≥1，x 2≤1，解得－1≤x ≤1.当x >1时，由f （x ）≥1可得，x ＋1x－1≥1，即x 2－2x ＋1＝（x －1）2≥0恒成立，所以x >1.综上可得，使得f （x ）≥1的x 的取值范围为[)－1，＋∞ . 故选D.5．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 答案解析：因为函数f （2x －1）的定义域为（0，1），所以－1<2x －1<1，所以函数f（x ）的定义域为（－1，1）.由－1<1－3x <1得0<x <23，所以函数f （1－3x ）的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 . 6．答案：e答案解析：根据题意，f （x ）＝⎩⎨⎧x ，0<x <1e·ln x ，x ≥1，则区间（0，1）上，f （x ）＝x ，是增函数，在区间[1，＋∞）上，f （x ）＝e ln x ，也是增函数，如图所示，若f （a ）＝f （e a ），必有0<a <1<e a 或0<e a<1<a ， 当a >1时，e a>1，不能成立，则必有0<a <1<e a ，则有 a ＝e ln e a，变形可得： a ＝e a ，解可得a ＝1e，则f （1a）＝f （e ）＝e ln e ＝e .三 高考小题重现篇1．答案：B答案解析：当t ＝0时，x ＝0，y ＝0，∴过原点，排除A ；当t ＝1时x ＝－1，y ＝0，排除C 和D ；当x ＝0时，3t －4t 3＝0，t 1＝0，t 2＝－32 ，t 3＝32 时，y 1＝0，y 2＝－32，y 3＝32.故选B. 2．答案：C答案解析：当0<a <1时，a ＋1>1，f （a ）＝ a ，f （a ＋1）＝2（a ＋1－1）＝2a ，∵f（a ）＝f （a ＋1），∴ a ＝2a ，解得a ＝14 或a ＝0（舍去）.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f （4）＝2×（4－1）＝6.当a ≥1时，a ＋1≥2，∴f （a ）＝2（a －1），f （a ＋1）＝2（a ＋1－1）＝2a ，∴2（a－1）＝2a ，无解．综上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝6.3．答案：B答案解析：f （x ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 2 2－a 24 ＋b ，①当0≤－a 2 ≤1时，f （x ）min ＝m ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2 ＝－a 24＋b ，f （x ）max ＝M ＝max{f（0），f （1）}＝max{b ，1＋a ＋b }，∴M －m ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 24，1＋a ＋a 24 与a 有关，与b 无关；②当－a2 <0时，f （x ）在[0，1]上单调递增；∴M －m ＝f （1）－f （0）＝1＋a 与a 有关，与b 无关；③当－a2>1时，f （x ）在[0，1]上单调递减，∴M －m ＝f （0）－f （1）＝－1－a 与a 有关，与b 无关．综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关．4．答案：（0，＋∞）答案解析：函数f （x ）＝1x ＋1 ＋ln x 的自变量满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，x >0， ∴x >0，即定义域为（0，＋∞）.5．答案：[2，＋∞）答案解析：要使函数f （x ）有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧log 2x －1≥0x >0 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2x >0 ，所以函数f （x ）的定义域是[2，＋∞）.6．答案：2答案解析：由题意，得f （6 ）＝（6 ）2－4＝2.又f （f （6 ））＝3，所以f （2）＝3，即|2－3|＋a ＝3，解得a ＝2.四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）因为二次函数f （x ）中f （1）＝f （3），所以对称轴为x ＝2，又二次函数f （x ）的最小值为3，故可设f （x ）＝a （x －2）2＋3（a >0），所以f （1）＝a （1－2）2＋3＝a ＋3＝5⇒a ＝2，所以f （x ）＝2（x －2）2＋3＝2x 2－8x ＋11.（2）y ＝f （x ）的图象恒在直线y ＝2x ＋2m ＋1的上方，等价于2x 2－8x ＋11>2x ＋2m ＋1即m <x 2－5x ＋5恒成立．因为y ＝x 2－5x ＋5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52 2－54 ≥－54 ，所以m <－54 ，即实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－54 . 2．答案解析：（1）由2f （x ）＋f （－x ）＝3x 2－2x ①，可得2f （－x ）＋f （x ）＝3x 2＋2x ②，联立①②可得f （x ）＝x 2－2x .（2）由题可知x 2－2x ＝m （|x －1|＋2）＋n ，令t ＝x －1，则t 2－1－m ()|t |＋2 －n＝0，设 g （t ）＝t 2－1－m ()|t |＋2 －n ，则g （－t ）＝（－t ）2－1－m ()|－t |＋2 －n ＝t 2－1－m ()|t |＋2 －n ＝g （t ），所以函数g （t ）＝t 2－1－m ()|t |＋2 －n 为偶函数，又已知关于t 的方程t 2－1－m ()|t |＋2 －n ＝0有3个不同的实数解，由对称性可得0为方程t 2－1－m ()|t |＋2 －n ＝0的解，所以g （0）＝0，可得2m ＋n ＋1＝0, 所以t 2－m |t |＝0有3个不同的实数解，又不等式t 2－m |t |＝0可化为|t |2－m |t |＝0，所以|t |＝0或|t |＝m ，所以|t |＝m 有两个根，所以m >0，所以m 的取值范围为（0，＋∞）.。
高考数学二轮复习微专题23答案
微专题231．答案：⎝⎛⎭⎫43，±53.解析：设点P (m ，n )，则PA 2＝(m －1)2＋n 2＝(m －1)2＋1－m24＝34m 2－2m ＋2＝34⎝⎛⎭⎫m －432＋23.所以，当m ＝43时，PA 有最小值，此时n ＝±53.2．答案：20.解析：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则k OM k ON ＝y1·y2x1·x2＝－12，化简为x 1x 2＋2y 1y 2＝0.因为M ，N 是椭圆C 上的点，所以x124＋y122＝1，x224＋y222＝1.由OP →＝OM →＋2ON →得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝x1＋2x2，y0＝y1＋2y2，所以x 02＋2y 02＝(x 1＋2x 2)2＋(y 1＋2y 2)2＝(x 12＋2y 12)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)＝4＋4×4＋0＝20.3．答案：38或23.解析：由题意，椭圆的方程为x24＋y 2＝1.直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx .所以x D ＝21＋2k.又ED →＝6DF →，所以x D －x E ＝6(x F －x D )，即x D ＋x F ＝6(x F －x D )，所以x D ＝57x F .另一方面⎩⎪⎨⎪⎧x24＋y2＝1，y ＝kx ，得x F ＝21＋4k2，所以21＋2k ＝1071＋4k2，化简得24k 2－25k＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38.4．答案：－4.解析：设PF ：x ＝my －1，则由x 2＋2y 2＝2，有(2＋m 2)y 2－2my －1＝0.所以y 1＋y 2＝2m 2＋m2，y 1y 2＝－12＋m2.又P ⎝⎛⎭⎫0，1m ，所以y 1－1m ＝λ(0－y 1)，解得λ＝1my1－1，同理μ＝1my1－1.所以λ＋μ＝y1＋y2my1y2－2＝－4.5．答案：5.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又P (0，1)，AP →＝2PB →，所以x 1＋2x 2＝0，y 1＋2y 2＝3.又⎩⎪⎨⎪⎧x12＋4y12＝4m ，x22＋4y22＝4m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x22＋（2y2－3）2＝m ，x22＋4y22＝4m ，两式相减，解得y 2＝3＋m4，代入得x 22＝4m －（3＋m ）24＝－m2＋10m －94＝－（m －5）2＋164.所以，当m ＝5时，点B 横坐标的绝对值最大．6．答案：103.解析：设P (x 0，y 0)，由题意，λ1＞0，λ2＞0.所以λ1＝PF1F1A ＝x0＋a2c x1＋a2c ＝x0＋c－c －x1，所以λ1＝2x0＋a2c ＋cx1＋a2c －c －x1＝2x0＋a2c＋ca2c－c .同理λ2＝PF2F2B ＝a2c－x0a2c －x2＝c －x0x2－c，所以λ2＝ a2c －x0＋c －x0a2c －x2＋x2－c ＝a2c＋c －2x0a2c－c .所以λ1＋λ2＝2×a2c＋c a2c －c ＝2（1＋e2）1－e2＝103.7．答案：(1)x227＋y2272＝1；(2)(－5，－1)；(3)452.解析：(1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧18a2＋92b2＝1，9a2＋9b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝27，b2＝272.所以椭圆的标准方程为x227＋y2272＝1. (2)设点C (m ，n )(m ＜0，n ＜0)，则BC 中点为⎝⎛⎭⎫m －32，n －32.由已知，求得直线OA 的方程为x －2y ＝0，从而m ＝2n －3.①又点C 在椭圆上，∴m 2＋2n 2＝27.②由①②，解得n ＝3(舍去)，n ＝－1，所以m ＝－5.所以点C 的坐标为(－5，－1)．(3)设P (x 0，y 0)，由题(2)M (2y 1，y 1)，N (2y 2，y 2)．∵P ，B ，M 三点共线，∴y1＋32y1＋3＝y0＋3x0＋3，整理，得y 1＝3（y0－x0）x0－2y0－3.∵P ，C ，N三点共线，∴y2＋12y2＋5＝y0＋1x0＋5，整理，得y 2＝5y0－x0x0－2y0＋3.∵点C 在椭圆上，∴x 02＋2y 02＝27.从而y 1y 2＝3（x02＋5y02－6x0y0）x02＋4y02－4x0y0－9＝3（3y02－6x0y0＋27）2y02－4x0y0＋18＝3×32＝92.所以OM →·ON →＝5y 1y 2＝452.∴OM →·ON →为定值，定值为452. 8．答案：(1)x24＋y 2＝1；(2)①⎣⎡⎭⎫－1，134；②点Q 的纵坐标为定值12.解析：(1)因为点P (0，2)关于直线y ＝－x 的对称点为(－2，0)，且(－2，0)在椭圆M 上，所以a ＝2.又2c ＝23，故c ＝3，则b 2＝a 2－c 2＝4－3＝1.所以椭圆M 的方程为x24＋y 2＝1.(2)①当直线l 的斜率不存在时，C (0，1)，D (0，－1)，所以OC →·OD →＝－1.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x24＋y2＝1，消去y 整理得(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋12＝0，由Δ＞0，可得4k 2＞3，且x 1＋x 2＝－16k 1＋4k2，x 1x 2＝121＋4k2，所以OC →·OD →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝－1＋171＋4k2，所以－1＜OC →·OD →＜134.综上OC →·OD→∈⎣⎡⎭⎫－1，134. ②由题意得，直线AD 的方程为：y ＝y2－1x2x ＋1，BC ：y ＝y1＋1x1x －1，联立方程组，消去x 得y ＝2kx1x2＋x1＋3x23x2－x1，又4kx 1x 2＝－3(x 1＋x 2)，解得y ＝12，故点Q 的纵坐标为定值12.。
2023高考数学数列练习题及答案
2023高考数学数列练习题及答案数列是高中数学中常见的重要概念，也是高考数学考试中的热点内容之一。
在准备2023年高考数学考试时，通过练习数列题目可以帮助我们深入理解数列的性质和应用，提高解题能力。
下面将提供一些2023年高考数学数列练习题及答案，供同学们进行复习和练习，以期取得好成绩。
练习题1：已知数列{an}满足a₁ = 2，an+1 = 2an - 1，(n ≥ 1)，求a₅。
解答：根据已知条件可以得到数列的通项公式为an = 2ⁿ⁻¹。
代入n = 5，得到a₅ = 2⁴ = 16。
练习题2：已知等差数列{an}的首项是a₁ = 3，公差是d = 4，求数列的第n项an。
解答：根据等差数列的通项公式an = a₁ + (n - 1)d可以得出：an = 3 + (n - 1) × 4化简后得到an = 4n - 1。
练习题3：已知等比数列{bn}的首项是b₁ = 5，公比是q = 2，求数列的第n项bn。
解答：根据等比数列的通项公式bn = b₁ × qⁿ⁻¹可以得出：bn = 5 × 2ⁿ⁻¹。
练习题4：已知等差数列{cn}的首项是c₁ = 2，公差是d = 3，求数列的前n项和Sn。
解答：数列的前n项和Sn可以表示为Sn = n/2 × (2a₁ + (n - 1)d)。
代入已知条件得到Sn = n/2 × (2 × 2 + (n - 1) × 3)。
化简后得到Sn = 3n² - 3n。
练习题5：已知等差数列{dn}的前n项和Sn为Sn = 4n² + n，求数列的首项d₁和公差d。
解答：根据数列的前n项和的公式可以得到Sn = n/2 × (2a₁ + (n - 1)d)。
代入已知条件得到4n² + n = n/2 × (2d + (n - 1)d)。
专题23 双曲线(解答题压轴题)(学生版)-2024年高考数学压轴专题复习
专题23 双曲线（解答题压轴题）
目录
①双曲线的弦长问题 (1)
②双曲线的中点弦问题 (2)
③双曲线中的参数及范围问题 (4)
④双曲线中的最值问题 (6)
⑤双曲线中面积问题 (8)
⑥双曲线中定点、定值、定直线问题 (10)
⑦双曲线中向量问题 (12)
⑧双曲线综合问题 (13)
①双曲线的弦长问题
②双曲线的中点弦问题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知()()2,0,2,0A B -，直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是3.(1)求点M 的轨迹C 的方程；
(2)过点()2,3N 能否作一条直线m 与轨迹C 交于两点P ，Q ，且点N 是线段PQ 的中点？若能，求出直线m 的方程；若不能，说明理由．
(1)求点N的轨迹方程；
(2)记点N的轨迹为曲线Γ，过点
31
,
22
P⎛⎫
⎪
⎝⎭
是否存在一条直线l，
线段CD中点．
③双曲线中的参数及范围问题
（1）求双曲线E 的方程；
（2）若直线:1l y kx =-与双曲线P ，Q 两点，求
MN
PQ
的取值范围．
④双曲线中的最值问题
⑤双曲线中面积问题
⑥双曲线中定点、定值、定直线问题
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设直线AP，AQ的斜率分别为
(3)证明：直线MN过定点.
⑦双曲线中向量问题
⑧双曲线综合问题
(1)求双曲线E的离心率；
(2)如图，O为坐标原点，动直线
积恒为8，试探究：是否存在总与直线若不存在，说明理由.。
高考数学一轮复习《函数》复习练习题(含答案)
高考数学一轮复习《函数》复习练习题（含答案）一、单选题1．函数ln e x y =的单调增区间是（ ）A ．(0,)+∞B ．[0,)+∞C ．(,)e +∞D ．(,)-∞+∞2．若函数1311()log [(23]2)f x a x a ⎛⎫=-+≠ ⎪⎝⎭的定义域为R ，则下列叙述正确的是 A ．()f x 在R 上是增函数B ．()f x 在R 上是减函数C ．()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减 D ．()f x 在[0,)+∞上单调递减，在(,0]-∞上单调递增3．已知函数()2e e x x f x ax =--有且只有一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(],0-∞B ．[)0,+∞C ．()()0,11,+∞D ．(]{},01-∞4．下列函数中，是奇函数且在区间(0,)+∞上单调递增的是 A ．x y e -= B ．||y x = C ．tan y x =D ．1y x x =- 5．已知函数，如果关于x 的方程只有一个实根，那么实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．6．函数34()e ex x x x f x --=+的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．7．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）A ．1y x =+B ．()30y x x =>C ．1y x x =+D ．y x x = 8．使212x x +-有意义的实数x 的取值范围是（ ）A ．(][),43,-∞-+∞ B ．(-∞，-4)∪(3，+∞) C ．(-4，3)D ．[-4，3]9．函数2cos y x x =的部分图象是（ ） A ． B ．C ．D ．10．设函数3,10,()((5)),10,x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩则(7)f 的值为（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．811．下列函数中与y x =具有相同图象的一个函数是A ．B ．C ．ln x y e =D ．ln x y e = 12．函数sin (0)ln x y x x=≠的部分图象大致是 A ． B ．C ．D ．二、填空题13．已知集合{|12}A x x =<<，集合2{|}B x y m x ==-，若A B A =，则m 的取值范围是______14．如图所示，,OA OB 是两个不共线向量（AOB ∠为锐角），N 为线段OB 的中点，M 为线段OA 上靠近点A 的三等分点，点C 在MN 上，且OC xOA yOB =+(,)x y R ∈，则22x y +的最小值为______.15．函数2(2)3,[,]y x a x x a b =+++∈的图像关于直线1x =对称，则b 的值为________. 16．定义在R 上的函数f （x ）满足f （2+x ）=f （2﹣x ），若当x ∈（0，2）时，f （x ）=2x ，则f （3）=_____．17．已知函数()()()333322f x x a x b x a x =++-+--有五个不同的零点，且所有零点之和为52，则实数b 的值为______． 18．已知常数0a >，函数2()2xx f x ax =+的图象经过点6()5P p ，、1()5Q q -，，若216p q pq += ，则a =___19．函数()21f x x --的定义域为______. 20．已知函数()()233424x log x x f x x -⎧-≥⎪=⎨⎪⎩，，＜，若方程()3f x m =-有两个根，则实数m 的取值范围为_____．三、解答题21．已知函数()1log (01amx f x a x -=>-且1)a ≠的图象关于原点对称. （1）求m 的值；（2）判断函数()f x 在区间()1,+∞，上的单调性并加以证明；（3）当()1,,a x t a >∈时，()f x 的值域是()1,+∞，求a 与t 的值.22．已知函数()log (23)1(0,1)a f x x a a =-+>≠.（1）当2a =时，求不等式()3f x <的解集；（2）当10a =时，设()()1g x f x =-，且(3),(4)==g m g n ，求6log 45（用,m n 表示）；（3）在（2）的条件下，是否存在正整数．．．k ，使得不等式22(1)lg()+>g x kx 在区间[]3,5上有解，若存在，求出k 的最大值，若不存在，请说明理由.23．判断下列函数的奇偶性：（1）()f x =（2）()f x =（3）2()2||1,[1,1]f x x x x =-+∈-．（4）22(0)()(0).x x x f x x x x ⎧+<=⎨-+>⎩，24．定义在(1,1)-上的函数()f x 满足：①对任意,(1,1)x y ∈-都有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭；②当0x <，()0f x >.（1）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）判断函数()f x 在(0,1)上的单调性，并说明理由；（3）若11()52f =，试求111()()()21119f f f --的值.25．某商场销售一种水果的经验表明，该水果每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式()22115a y x x =+--，其中511x <<，a 为常数.已知销售价格为6元/千克时，每日可售出该水果52千克.（1）求a 的值；（2）若该水果的成本为5元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该水果所获得的利润最大，并求出最大利润.26．已知()21f x x =-，()()()1020x x g x x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩. （1）求()g f x ⎡⎤⎣⎦；（2）设()()(){}max ,F x f x g x =，作函数()F x 的图象，并由此求出()F x 的最小值．27．已知函数()()2f x x x a =-， ()()21g x x a x a =-+-+ (其中a R ∈).（Ⅰ）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值，并直接写出函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）令()()()F x f x g x =-，讨论函数()y F x =在区间[]1,3-上零点的个数。
数学高三总复习试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f(x)的图像是：A. 上升的抛物线B. 下降的抛物线C. 双曲线D. 直线2. 下列不等式中正确的是：A. x^2 > xB. x^2 < xC. x^2 ≤ xD. x^2 ≥ x3. 已知数列{an}满足an = an-1 + 2，且a1 = 1，则数列{an}的通项公式是：A. an = 2n - 1B. an = 2nC. an = n^2 - 1D. an = n^24. 已知函数f(x) = log2(x + 1)，则f(x)的值域是：A. (-∞, +∞)B. (-∞, 0)C. (0, +∞)D. (0, 1]5. 在△ABC中，a=3，b=4，c=5，则sinA的值是：A. 1/3B. 2/3C. 1/2D. 16. 下列命题中正确的是：A. 对于任意的实数x，都有x^2 ≥ 0B. 对于任意的实数x，都有x^3 ≥ 0C. 对于任意的实数x，都有x^2 + x ≥ 0D. 对于任意的实数x，都有x^2 - x ≥ 07. 已知函数f(x) = |x - 1| + |x + 1|，则f(x)的最小值是：A. 0B. 1C. 2D. 38. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2 + b^2 - c^2 = 0，则△ABC是：A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 等腰三角形9. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(x)在x=1时取得极值，则：A. a > 0，b > 0B. a < 0，b < 0C. a > 0，b < 0D. a < 0，b > 010. 下列函数中，在定义域内单调递增的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = |x|D. f(x) = e^x二、填空题（每题5分，共50分）1. 若数列{an}满足an = 3an-1 - 2an-2，且a1 = 1，a2 = 2，则a3 = ________。
2023高考数学解析几何复习 题集附答案
2023高考数学解析几何复习题集附答案2023高考数学解析几何复习题集附答案*本文为2023年高考数学解析几何复习题集，共附带答案。
以下按照题目类型分类，分别给出题目和答案。
一、点、线、面的位置关系1. 已知点A(2,3)和B(-1,4)，求向量AB的坐标。
解析：向量AB的坐标表示为<XB - XA, YB - YA>，其中XA和YA分别是点A的横纵坐标，XB和YB分别是点B的横纵坐标。
代入数据，得到向量AB的坐标为<-3, 1>。
2. 已知直线L的方程为2x - 3y + 6 = 0，求过点(1,2)且垂直于直线L 的直线方程。
解析：由于垂直于直线L的直线斜率的乘积为-1，所以我们需要知道直线L的斜率，即L的系数比例。
将L的方程转化为斜截式方程y = mx + b的形式，其中m为斜率，b为截距。
将2x - 3y + 6 = 0转化为y = mx + b形式得到 y = (2/3)x - 2。
斜率m 为2/3，垂直于L的直线的斜率为-3/2（斜率的乘积为-1）。
过点(1,2)且斜率为-3/2的直线方程为y - 2 = -3/2(x - 1)。
二、直线与圆的位置关系1. 已知直线L的方程为2x - 3y + 6 = 0，圆C的方程为x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0，判断直线L和圆C的位置关系。
解析：我们可以通过求直线L的斜率与圆C的判别式（D）的符号来判断直线和圆的位置关系。
首先，将L的方程转化为斜截式方程y = mx + b的形式，其中m为斜率，b为截距。
将2x - 3y + 6 = 0转化为y = mx + b形式得到 y = (2/3)x - 2。
斜率m 为2/3。
将圆C的方程中的项进行配方，并移项得到(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25。
判别式D为 D = (m^2 + 1)r^2 - (2mb + 2a)r + (b^2 + a^2 - r^2)其中，a、b分别为直线L和圆心的横纵坐标，r为圆的半径。
2018届高考数学理科二轮总复习苏教版高考23题逐题特训7.数学归纳法 Word版含解析
7.数学归纳法1．(2017·江苏清江中学质检)已知数列{a n }满足：a 1＝2a －2，a n ＋1＝1n a a-＋1(n ∈N *)． (1)若a ＝－1，求数列{a n }的通项公式；(2)若a ＝3，试证明：对∀n ∈N *，a n 是4的倍数．(1)解 当a ＝－1时，a 1＝－4，a n ＋1＝1(1)n a --＋1.令b n ＝a n －1，则b 1＝－5，b n ＋1＝(1)n b -.∵b 1＝－5为奇数，b n 也是奇数且只能为－1， ∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －5，n ＝1，－1，n ≥2，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－4，n ＝1，0，n ≥2.(2)证明 当a ＝3时，a 1＝4，a n ＋1＝13n a -＋1.下面利用数学归纳法来证明：a n 是4的倍数．当n ＝1时，a 1＝4＝4×1，命题成立；设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，则存在t ∈N *，使得a k ＝4t ，∴a k ＋1＝13k a -＋1＝34t －1＋1＝27·(4－1)4(t －1)＋1＝27·(4m ＋1)＋1＝4(27m ＋7)，其中，4m ＝44(t －1)－C 14(t －1)·44t －5＋…－(－1)r C r 4(t －1)·44t －4－r ＋…－C 4t －54(t －1)·4， ∴m ∈Z ，∴当n ＝k ＋1时，命题成立．由数学归纳法知，命题对∀n ∈N *，a n 是4的倍数成立．2．(2017·江苏马塘中学质检)已知数列{a n }满足a n ＋1＝12a 2n －12na n ＋1(n ∈N *)，且a 1＝3. (1)计算a 2，a 3，a 4的值，由此猜想数列{a n }的通项公式，并给出证明；(2)求证：当n ≥2时，a n n ≥4n n .(1)解 a 2＝4，a 3＝5，a 4＝6，猜想：a n ＝n ＋2(n ∈N *)．①当n ＝1时，a 1＝3，结论成立；②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k ＋2，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12a 2k －12ka k ＋1＝12(k ＋2)2－12k (k ＋2)＋1＝k ＋3＝(k ＋1)＋2，即当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②，得数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋2(n ∈N *)．(2)证明 原不等式等价于⎝⎛⎭⎫1＋2n n ≥4. 显然，当n ＝2时，等号成立．当n >2时，⎝⎛⎭⎫1＋2n n ＝C 0n ＋C 1n 2n ＋C 2n ⎝⎛⎭⎫2n 2＋…＋C n n ⎝⎛⎭⎫2n n >C 0n ＋C 1n 2n ＋C 2n ⎝⎛⎭⎫2n 2＝5－2n>4. 综上所述，当n ≥2时，a n n ≥4n n .3．(2017·江苏盱眙中学调研)已知函数f (x )＝ln(2－x )＋ax 在区间(0,1)上是增函数．(1)求实数a 的取值范围；(2)若数列{a n }满足a 1∈(0,1)，a n ＋1＝ln(2－a n )＋a n ，n ∈N *，证明：0<a n <a n ＋1<1.(1)解 ∵函数f (x )＝ln(2－x )＋ax 在区间(0,1)上是增函数，∴f ′(x )＝－12－x＋a ≥0在区间(0,1)上恒成立， ∴a ≥12－x. 又g (x )＝12－x 在区间(0,1)上是增函数， ∴a ≥g (1)＝1，即实数a 的取值范围为a ≥1.(2)证明 先用数学归纳法证明0<a n <1.当n ＝1时，a 1∈(0,1)成立．假设当n ＝k 时，0<a k <1成立．当n ＝k ＋1时，由(1)知当a ＝1时，函数f (x )＝ln(2－x )＋x 在区间(0,1)上是增函数， ∴a k ＋1＝f (a k )＝ln(2－a k )＋a k ，∴0<ln 2＝f (0)<f (a k )<f (1)＝1，即0<a k ＋1<1成立，∴当n ∈N *时，0<a n <1成立．下证a n <a n ＋1.∵0<a n <1，∴a n ＋1－a n ＝ln(2－a n )>ln 1＝0，。
2023届高三数学综合练习解析版
2023届高三综合练习答案与解析12.231．已知大小为60 的二面角l 棱上有两点A ，B ，AC ，AC l ，BD ，BD l ，若3AC ，3BD ，AB ，则CD 的长为( )A.22B.49C.7【答案】C【解析】过A 作BD AE //且BD AE ，连接DE CE 、，易得o CAE 60 ，通过线面垂直的判定定理可得AEC ED 平面 ,进而得到EC ED ，即可求出答案【详解】解：过A 作BD AE //且BD AE ，连接DE CE 、.因为l BD ，则l AE ，而l AC ，则CAE 是二面角 l -的平面角，即o CAE 60 ， 因为AE BD AC 3 ,所以ACE 为正三角形，所以3 CE ，因为AE ED ，AC l 即AC ED , AE A AC ， 所以AEC ED 平面 ,因为AEC EC 平面 ，所以EC ED ， 在CED Rt 中， 731022222 ED CE CD故选C2．已知0.1log 5x ，7log y ）A ．0x y xyB ．0xy x yC ．0x y xyD ．0xy x y【答案】B【解析】先根据计算确定出,xy x y 的正负，然后将x yyx 的值与1比较大小，由此确定出,,0xy x y 之间的大小关系.【详解】因为0.1lg 5log 5lg 50lg 0.1x，771lg 5log log 5022lg 7y ，所以0xy ，又因为 lg 512lg 7lg 5lg 52lg 72lg 7x y，因为12lg 7lg10lg 490 ，所以0x y ，又因为5555511log 0.17log 0.12log 7log 0.149log 4.91x y xy x y， 所以1x yxy且0xy ，所以x y xy ，所以0xy x y ， 故选：B.【点睛】方法点睛：常见的比较大小的方法： （1）作差法：作差与0作比较；（2）作商法：作商与1作比较（注意正负）； （3）函数单调性法：根据函数单调性比较大小； （4）中间值法：取中间值进行大小比较.3．甲，乙，丙，丁四支足球队进行单循环比赛（每两个球队都要比赛一场），每场比赛的计分方法是﹔胜者得3分，负者得0分，平局两队各得1分，全部比赛结束后，四队的得分为：甲6分，乙5分，丙4分，丁1分，则（ ）A ．甲胜乙B ．乙胜丙C ．乙平丁D ．丙平丁【答案】C【分析】甲，乙，丙，丁四支足球队总比赛场次6场，总得分为16分，由比赛计分规则可得出在6场比赛中有2场比赛是平局，丁在3场比赛中有1场是平局，丙在3场比赛中有1场是平局，乙在3场比赛中有2局是平局，由此可得答案.【详解】解：甲，乙，丙，丁四支足球队总比赛场次6场，总得分为6+5+4+1=16分， 由比赛计分规则：胜者得3分，负者得0分，平局两队各得1分，所以在6场比赛中有2场比赛是平局，即34+2216 ，丁得1分，即1+0+0=1，所以丁在3场比赛中有1场是平局， 丙得4分，即3+1+0=4，所以丙在3场比赛中有1场是平局，而乙得分5分，即3+1+1=5，所以乙在3场比赛中有2局是平局，所以乙可能平丙，乙可能平丁， 故选：C.4．如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相涉透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.其平面图形记为图乙中的正八边形ABCDEFGH ，其中2OA ，则以下结论错误的是（ ）A 0OE OGB ．OA ODC ．4AH EHD ．4AH GH 【答案】D【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，写出需要点的坐标，然后利用向量加法的坐标运算、向量的数量积坐标运算及向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题意可知，建立如图所示的平面直角坐标系，因为正八边形ABCDEFGH ，所以AOH HOG AOB EOF FOG DOE COB COD360458作AM HD ，则OM AM ,因为2OA ，所以OM AM所以 A ，同理可得其余各点坐标，(,),((,),(,)B E G D H 022020 ，对于A ((OE OG 00，故A 正确；对于B ，20OA OD ，故B 正确；对于C ， 2AH ， 2EH ， 4,0AH EH所以4AH EH，故C 正确；对于D , 2AH ， 2GH ，4AH GH4AH GH ，故D 不正确.故选：D.5．旅游区的玻璃栈道、玻璃桥、玻璃景观台等近年来热搜不断，因其惊险刺激的体验备受追捧．某景区顺应趋势，为扩大营收，准备在如图所示的M 山峰和N 山峰间建一座空中玻璃观景桥．已知两座山峰的高度都是300m ，从B 点测得M 点的仰角π4ABM ，N 点的仰角π6CBN以及cos 4MBN ，则两座山峰之间的距离MN （ ）A ．300mB ．C ．600mD ．【答案】C【分析】由题意先求出,BM BN ，再由余弦定理求解即可【详解】由题意可知：300AB AM CN ，BM2600BN CN ，由余弦定理得600MN 故选：C6．如图，点A ，B ，C ，M ，N 是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足//MN 平面ABC的有（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AD【分析】结合线面的位置关系以及线面平行的判定定理确定正确选项.MN DE AC，MN 平面ABC，AC 平面ABC，所以【详解】对于A选项，由下图可知////MN平面ABC，A正确.//对于B选项，设H是EG的中点，由下图，结合正方体的性质可知，A B C H N M六点共面，B错误.AB NH MN AH BC AM CH，所以,,,,,//,////,//MN AD，由于AD 平面ABC，所以对于C选项，如下图所示，根据正方体的性质可知//MN 平面ABC.所以C错误.，由于四边形AECN是矩形，所以D是NE中点，由于B是ME 对于D选项，设AC NE DMN平面ABC，D正中点，所以//MN BD，由于MN 平面ABC，BD 平面ABC，所以//确.故选：AD7．设m ，n 为不同的直线， ， 为不同的平面，则下列结论中正确的是（ ）A ．若//m ，//n ，则//m nB ．若m ，n ，则//m nC ．若//m ，m ，则//D ．若m ，n ，m n ，则【答案】BD【分析】根据线线、线面、面面的位置关系，逐一分析各选项即可得答案.【详解】解：对A ：若//m ，//n ，则//m n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故选项A 错误； 对B ：若m ，n ，则//m n ，故选项B 正确；对C ：若//m ，m ，则// 或 与 相交，故选项C 错误； 对D ：若m ，n ，m n ，则 ，故选项D 正确. 故选：BD.8．已知函数 313f x x x 的值域为22,33，则 f x 的定义域可以是__________．(写出一个符合条件的即可)【答案】[1,1] （答案不唯一）【分析】利用导数求出函数的单调性，再求出2()3f x 时所对应的自变量，即可求解.【详解】 21f x x ，令()0f x 可得1,1x ，所以当1x 或1x 时，(0)0f ，当11x 时，(0)0f ， 故()f x 在(,1) 和(1,) 上单调递增，在(1,1) 上单调递减， 且22(1),(1)33f f ，由此可知定义域可以是[1,1] ， 故答案为：[1,1] （答案不唯一）9．（2021·湖北武汉·高三开学考试）空间四面体ABCD 中，2AB CD ，AD BC .4AC ，直线BD 与AC 所成的角为45°，则该四面体的体积为___________.【答案】3【分析】由条件可得ABC ，DAC 为直角三角形，作直角三角形ABC 和DAC 斜边上的高BE ，DF ，作平行四边形BEFG ，由此可得直线BD 与AC 的平面角为∠DBG ，AC ⊥平面DFG ，解三角形确定三棱锥D -ABC 底面ABC 上的高，利用体积公式求体积. 【详解】∵ 2 AB ，32 BC ，4 AC ，∴ABC 为直角三角形，同理可得DAC 为直角三角形， 如图，作直角三角形ABC 和DAC 斜边上的高BE ，DF ， 则AE =CF =1∴E ，F 是线段AC 的两个四等分点， 作平行四边形BEFG ，则BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，由线面垂直判定定理可得AC ⊥平面DFG ，又AC 平面ABGC , ∴ 平面ABGC ⊥平面DFG ，在平面DFG 内，过点D 作DH ⊥FG ,垂足为H , 由面面垂直的性质定理可得DH ⊥平面ABGC ，∴DH 为四面体ABCD 的底面ABC 上的高，由三角函数定义可得sin DH DF DFG 又因为BG ∥AC ，所以BG ⊥DG ,又因为直线BD 与AC 所成的角为45°，所以∠DBG =45°， ∴DGB 为等腰直角三角形， ∴2 EF GB GD在DFG 中2 GD ，3DF BE由余弦定理可求得1cos 3DFG ，∴sin DFG所以四面体的体积11==sin 333ABC V Sh S DF DFG.故答案为：3. 【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．10．在ABC 中，2a ，3cos 5B.（1）若4b ，求A sin 的值；（2）若ABC 的面积为4，求b 和c 的值. 【答案】（1）2sin 5A（2）b 5c 【解析】（1）∵3cos 5B，∴4sin 5B ，∵sin sin a b A B，∴42sin 25sin 45a B A b. （2）∵114sin 24225ABC S ac B c △，∴5c ，∵22232cos 425225175b ac ac B，∴b 11．等差数列 n a 中，344a a ，576a a ．(1)求 n a 的通项公式；(2)设[]n n b a ，求数列 n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]0 ，[2.6]2 ．【答案】（1）235n n a;（2）前10项和为1322334224 ． 【解析】（1）设数列 n a 的公差为d ，由题意有1254a d ，153a d ．解得11a ，25d．所以 n a 的通项公式为235n n a ． （2）由（1）知，235n n b． 当1,2,3n 时，23125n，1n b ； 当4,5n 时，23235n ，2n b ； 当6,7,8n 时，23345n ，3n b ； 当9,10n 时，23455n ，4n b ； 所以数列 n b 的前10项和为1322334224 ．12．已知在四棱锥ABCD P 中，平面 PAD 平面ABCD ，且ABCD 是正方形.若PD PA PC（1）求四棱锥P ABCD 的体积；（2）在线段PB 上是否存在一点Q 满足：二面角Q AC B 的余弦值为19？若存在，请求出PBPQ的比值 .若不存在，请说明理由. 【答案】（1）163；（2）存在，713 .【分析】（1）根据条件先求解正方形的边长，再求解四棱锥的高，从而可求体积；（2）先建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，利用二面角B AC Q 求出 ，结合 的范围可得结果.【详解】（1）设正方形ABCD 的边长为a 2，取AD 的中点M ，连接MC PM ,. 由平面 PAD 平面ABCD ，17 PA PD ，则AD PM ，所以ABCD PM 平面 ，则2217a PM ， 又MC PM ，所以22521a PM ，则解出41 PM a ，， 所以体积21162433P ABCD V .（2）以M 为坐标原点，平行于AB 为x 轴正方向，MD 为y 轴正方向，MP 为z 轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系.0,1,0,2,1,0,2,1,0,0,0,4A B C P设PB PQ ，则)44,,2( Q 2,,44Q ， 所以)0,2,2(),44,1,2( AC AQ 设平面QAC 的法向量),,(z y x n ，由0 n AQ 且0 n AC ，所以 21440x y z 且022 y x ， 令1x ，可得311,1,44n， 而 0,0,4MP为平面ABCD 的一个法向量，，解得311443， 有15或713 ，由于点Q 在线段PB 上，所以713 .。
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课时作业·当堂清一、选择题1．(2010年湖南)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定[解析] 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 又C ＝120°，∴2a 2＝a 2＋b 2＋ab ，∴a 2＝b 2＋ab >b 2，∴a >b ，故选A.[答案] A2．(重庆卷理)设△ABC 的三个内角A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 [解析] m ·n ＝3(sin A ·cos B ＋cos A ·sin B )＝3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )A ＋B ＋C ＝π，所以3sin C ＝1－cos C即3sin C ＋cos C ＝1,2sin(C ＋π6)＝1⇒sin(C ＋π6)＝12，由题C ＋π6＝5π6，即C ＝2π3. [答案] C3．(2010年上海)若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( )A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形[解析] △ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13.∴a ∶b ∶c ＝5∶11∶13，故令a ＝5k ，b ＝11k ，c ＝13k (k >0)，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25k 2＋121k 2－169k 22×5×11k 2＝－23110<0，又∵C ∈(0，π)，∴C ∈(π2，π)，∴△ABC 为钝角三角形，故选C. [答案] C4．在△ABC 中，A ＝60°，且最大边长和最小边长是方程x 2－7x ＋11＝0的两个根，则第三边的长为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [解析] ∵A ＝60°，且最大边长和最小边长是方程x 2－7x ＋11＝0的两个根，则第三边为a 且b ＋c ＝7，bc ＝11，∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－2bc cos π3 ＝(b ＋c )2－3bc ＝72－3×11＝4. [答案] C5．△ABC 中，已知下列条件解三角形，其中有唯一解的个数为( )①A ＝60°，a ＝3，b ＝1；②A ＝30°，a ＝1，b ＝2；③A ＝30°，a ＝6，c ＝10；④A ＝30°，c ＝10，a ＝10.A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 由正弦定理知，对于①sin B ＝b sin A a ＝sin60°3＝12，∴b <a ，∴B ＝30°，C ＝90°，c ＝2有唯一解，对于②sin B ＝1，∴B ＝90°，C＝30°，c ＝3有唯一解．对于③sin C ＝56，∵c >a ，故有两解．对于④∵a ＝c ＝10，∴c ＝30°，B ＝120°，b ＝103有唯一解，故选D.[答案] D 6．(2010年北京)某班设计了一个八边形的班徽(如图)，它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成．该八边形的面积为( )A. 2sin α－2cos α＋2B. sin α－3cos α＋3C. 3sin α－3cos α＋1D. 2sin α－cos α＋1[解析] 等腰三角形的面积为12×1×1·sin α＝12sin α，等腰三角形的底边长为a ＝12＋12－2×1×1×cos α＝2－2cos α，所以八边形面积为4×12sin α＋a 2＝2sin α＋2－2cos α，故选A.[答案] A7．(2010年南昌调研)下面能得出△ABC 为锐角三角形的条件是( )A. sin A ＋cos A ＝15B. AB →·BC→<0 C. b ＝3，c ＝33，B ＝30° D. tan A ＋tan B ＋tan C >0[解析] 选项A 中将其平方得sin A cos A ＝－1225<0，故A 一定是钝角，所以三角形为钝角三角形；选项B 中可知角B 的补角为钝角，则角B 为锐角，但是三角形中只知道一个角是锐角不足以判断三角形的形状；选项C 中由正弦定理可以判断∠C ＝60°，∠A ＝90°，或∠C ＝120°，∠A ＝30°；对于选项D ，因为tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ，所以只有当角A ，B ，C 都为锐角时不等式成立．综上可知只有D 正确．[答案] D 二、填空题8．在Rt △ABC 中，C ＝π2，则sin A sin B 的最大值是________．[解析] ∵在Rt △ABC 中，C ＝π2，∴sin A sin B ＝sin A sin(π2－A )＝sin A cos A ＝12sin2A ，∵0<A <π2，∴0<2A <π，∴A ＝π4时，sin A sin B 取得最大值12.[答案] 129．(2010年山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．[解析] 由sin B ＋cos B ＝2，可得sin(B ＋π4)＝1，B ＝π4.由正弦定理，sin A ＝a sin B b ＝12，又∵a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6.[答案] π610．(2010年江苏)在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B 的值是________．[解析] 利用正、余弦定理将角化为边来运算，∵b a ＋ab ＝6cos C ，由余弦定理得a 2＋b 2ab ＝6·a 2＋b 2－c 22ab ，a 2＋b 2＝32c 2.而tan C tan A ＋tan C tan B ＝sin C cos C (cos A sin A ＋cos B sin B )＝sin C cos C ·sin Csin A sin B ＝c 2ab ·a 2＋b 2－c 22ab ＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝2c 232c 2－c2＝4.[答案] 4 三、解答题11．(2010年全国Ⅰ)已知△ABC 的内角A ，B 及其对边a ，b 满足a ＋b ＝a cot A ＋b cot B ，求内角C .[解] 由a ＋b ＝a cot A ＋b cot B 及正弦定理得sin A ＋sin B ＝cos A ＋cos B ，sin A －cos A ＝cos B －sin B ，从而sin A cos π4－cos A sin π4＝cos B sin π4－sin B cos π4，sin(A －π4)＝sin(π4－B )． 又0<A ＋B <π，故A －π4＝π4－B ，A ＋B ＝π2，所以C ＝π2.12．在△ABC 中，若sin A ＋sin B ＝sin C (cos A ＋cos B ) (1)判断△ABC 的形状；(2)在上述△ABC 中，若角C 的对边c ＝1，求该三角形内切圆半径的取值范围．[解] (1)由sin A ＋sin B ＝sin C (cos A ＋cos B )可得2sin 2C 2＝1，∴cos C ＝0，即C ＝90°，∴△ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形．(2)内切圆半径r ＝12(a ＋b －c )＝12(sin A ＋sin B －1)＝22sin(A ＋π4)－12≤2－12，∴内切圆半径的取值范围是(0，2－12]．13．(2010年重庆)设函数f (x )＝cos(x ＋23π)＋2cos 2x2，x ∈R . (1)求f (x )的值域；(2)记△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，若f (B )＝1，b ＝1，c ＝3，求a 的值．[解] (1)f (x )＝cos x cos 23π－sin x sin 23π＋cos x ＋1＝－12cos x －32sin x ＋cos x ＋1 ＝12cos x －32sin x ＋1＝sin(x ＋5π6)＋1，因此f (x )的值域为[0,2]．(2)由f (B )＝1得sin(B ＋5π6)＋1＝1，即sin(B ＋5π6)＝0，又因0<B <π，故B ＝π6.解法一：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得a 2－3a ＋2＝0，解得a ＝1或2.解法二：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得sin C ＝32，C ＝π3或2π3.当C ＝π3时，A ＝π2，从而a ＝b 2＋c 2＝2；当C ＝23π时，A ＝π6，又B ＝π6，从而a ＝b ＝1. 故a 的值为1或2.14．(2009年江西卷理)△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B，sin(B －A )＝cos C .(1)求A ，C ；(2)若S △ABC ＝3＋3，求a ，c .[解] (1)因为tan C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B，即sin C cos C ＝sin A ＋sin B cos A ＋cos B，∴sin C cos A ＋sin C cos B ＝cos C sin A ＋cos C sin B ， ∴sin C cos A －cos C sin A ＝cos C sin B －sin C cos B ， 得sin(C －A )＝sin(B －C )．∴C －A ＝B －C 或C －A ＝π－(B －C )(不成立)．即2C ＝A ＋B ，即C ＝π3，所以．B ＋A ＝2π3.又因为sin(B －A )＝cos C ＝12，则B －A ＝π6或B －A ＝5π6(舍去)．得A ＝π4，B ＝5π12.∴A ＝π4， C ＝π3.(2)S △ABC ＝12ac sin B ＝6＋28ac ＝3＋ 3又a sin A ＝c sin C ，即a 22＝c 32，得a ＝22，c ＝2 3.。