运动的合成与分解中的牵连速度问题
专题+关联速度的问题
N端在水平地面上向右以v0匀速运动，被救助的人员紧抱在M端随轻杆向平台B端
靠近，平台高h，当BN＝2h时，则此时被救人员向B点运动的速率是（
）
A．v0
B．2v0
C．
D
．
ℎ
1
解析：设杆与水平面CD的夹角为，由几何关系可知 = 2ℎ = 2
A．
B．
C．
D．
）
绳下端实际速度0
绳上端实际速度
1.使下端绳子伸长
将0 沿绳方向分解为⁄⁄ = 0 cos
2.使下端绳子旋转
将0 沿垂直于绳方向分解为⊥ = 0 sin
作用效果
作用效果
使上端绳子缩短
绳子下端伸长的速度⁄⁄ 和上端缩
短的速度大小相等，即⁄⁄ =
绳子的“关联”速度问题
杆以及相互接触物体的“关联”速度问题
变换参考系相关的运动合成与分解
02
典例分析
【例题】如图所示，物体放在水平平台上，系在物体上的绳子跨过定滑轮，由地
面上的人以速度 向右水平匀速拉动，设人从地面上平台的边缘开始向右行至绳
与水平方向夹角为30°处，此时物体的速度为（
即 = 30°；将杆上N点的速度分解成沿杆的分速度1 和垂直杆转动的速度2 ，由矢量三角形可知
1 = 0 =
故选C。
3
3
0 ；而沿着同一根杆，各点的速度相同，故被救人员向B点运动的速率为 0 ，
2
2
4．光滑半球A放在竖直面光滑的墙角，并用手推着保持静止．现在A与墙壁之间放入
专题2.3 力与曲线运动(解析版)
第二部分核心主干专题突破专题2.3 力与曲线运动目录【突破高考题型】 (1)题型一曲线运动、运动的合成与分解 (1)题型二平抛(类平抛)运动的规律 (4)题型三圆周运动 (7)类型1水平面内圆周运动的临界问题 (7)类型2竖直平面内圆周运动的轻绳模型 (8)类型3竖直平面内圆周运动的轻杆模型 (9)【专题突破练】 (11)【突破高考题型】题型一曲线运动、运动的合成与分解1．曲线运动的理解(1)曲线运动是变速运动，速度方向沿切线方向。
(2)合力方向与轨迹的关系：物体做曲线运动的轨迹一定夹在速度方向与合力方向之间，合力的方向指向曲线的“凹”侧。
2．运动的合成与分解(1)物体的实际运动是合运动，明确是在哪两个方向上的分运动的合成。
(2)根据合外力与合初速度的方向关系判断合运动的性质。
(3)运动的合成与分解就是速度、位移、加速度等的合成与分解，遵循平行四边形定则。
【例1】(2022·学军中学适应考)2021年10月29日，华南师大附中校运会开幕式隆重举行，各班进行入场式表演时，无人机从地面开始起飞，在空中进行跟踪拍摄。
若无人机在水平和竖直方向运动的速度随时间变化关系图像如图所示，则无人机()A．在0～t1的时间内，运动轨迹为曲线B．在t1～t2的时间内，运动轨迹为直线C．在t1～t2的时间内，速度均匀变化D．在t3时刻的加速度方向竖直向上【答案】C【解析】在0～t1的时间内，无人机沿x方向和y方向均做初速度为零的匀加速直线运动，其合运动仍是直线运动，A错误；在t1～t2的时间内，无人机的加速度沿y轴负向，但初速度为t1时刻的末速度，方向不是沿y轴方向，初速度和加速度不共线，因此运动轨迹应是曲线，B错误；在t1～t2的时间内，无人机加速度沿y轴负向，且为定值，因此其速度均匀变化，C正确；在t3时刻，无人机有x轴负方向和y轴正方向的加速度分量，合加速度方向不是竖直向上，D错误。
【例2】．(2022·成都诊断)质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑轻质定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动。
第2节 运动的合成与分解
四、关联速度模型
算一算：如图,A、B两个物体用细绳相连，A
在力F作用下在水平面上运动，B在竖直方向
运动。当细绳与水平面间的夹角为θ时，B的
速度为V1,求此时物体A的速度多大？
v2
V1=Vcosθ
v
v1
F
θ
θA
V=V1/cosθ
解题关键：找到沿绳的速度
找到真正的合速度（实际速度）
V1
B
V1
四、关联速度模型
D.只有用力吹气，乒乓球才能沿吹气方向进入纸筒
拓展：怎么操作才能将乒乓球吹进纸筒？
)
二、合运动的性质与运动轨迹
一个分运动是匀速直线运动，垂直方向上的分
运动是匀加速直线运动 ，合运动的轨迹是？
二、合运动的性质与运动轨迹
理论分析
加速度与合速度不共线， 物体一定做曲线运动。
v
vy
0
加速度恒定， 物体一定做匀变速曲线运动。
(2) 等效性----各分运动的规律叠加起来和合运动的规律等效。
(3) 同体性----各分运动与合运动是同一物体的运动。
(4) 独立性----各分运动独立进行，互不影响；
一、运动的合成与分解
3.运动的合成与分解
运动的合成与分解是指 x、v、 a 的合成与分解。
运动的合成
分运动
合运动
运动的分解
分解原则:根据运动的实际效果分解，也可以正交分解。
匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果 v 合与 a 合共线，为匀变速直线运动
如果 v 合与 a 合不共线，为匀变速曲线运动
思考：一匀速直线与一匀变速曲线互成角度合成合运动是？
可能直线运动；可能曲线运动
运动合成与分解的应用-牵连速度问题总结
v
运动的合成和分解的应用 3.杆物牵连速度问题
❖ “杆+物”问题
【问题综述】 此类问题的关键是： 1.准确判断谁是合运动，谁是分运动；实际运动是合运动 2.根据运动效果寻找分运动； 3.一般情况下，分运动表现在：
①沿杆方向的运动； ②垂直于杆方向的旋转运动。 4.根据运动效果认真做好运动矢量图，是解题的关键。 5.要牢记在杆上各点沿杆的方向上的速度相等。 6.此类问题还经常用到微元法求解。
运动的合成与分解的应用
1.小船渡河问题
v船 v船
v船
v水
v船
v船 v船
v水
v船
θ
θv水
结论：船当头v船指<向v与水时上，游最河岸短成航θ程：不c等os于河宽vvd2。
• 如果：
１、在船头始终垂直对岸的情况下，在行 驶到河中间时，水流速度突然增大，过 河时间如何变化？ 答案：不变
２、为了垂直到达河对岸，在行驶到河中 间时，水流速度突然增大，过河时间如 何变化？ 答案：变长
va
α vb
❖ “杆+物”问题
【例4】如图所示，滑块B以速度vB向左运动时，触点P
沿杆移动的速度如何？
寻找分运动效果
vB
【答案】 v vB cos
❖ “杆+物”问题
【例5】如图所示，长L的杆AB，它的两端在地板和竖直墙
壁上，现拉A端由图示位置以速率v匀速向右运动，则B端坐
标y和时间的函数关系是：
。B端滑动的速度
度vPx、 vPxy2是多y2 少? a 2l 2 (l al )2 1
寻找分运动效果
【答案】
vPx a ctg v A
vPy (1 a)v A
❖ “杆+物”问题 寻找分运动效果
“关联速度”模型
“关联速度”模型模型建构：【模型】绳子（或杆）牵连物体，研究关联速度【特点】力学问题中经常出现牵连运动:“两个物体用轻绳（或轻杆）相维系着向不同方向运动且速度不同，但在沿绳或杆方向上的速度分量却相同” 。
这种特殊的运动形式与一般意义的动力学连结体运动有很大的差别，通常不宜采用牛顿运动定律求解，大多可以通过“运动效果分解”或“功能关系分析（标量运算）”也可以用“微元法（借助三角函数）”来处理，准确地考察两物体之间的速度牵连关系（矢量运算）往往是求解这类问题的关键。
“绳子（杆）牵连物体”，求解关联速度的问题，是我们将要探究的重点。
由于两个物体相互关联，一般地我们都要按“运动效果”分解成：沿着绳子（或杆）的速度分量［改变绳子（或杆）速度的大小］和垂直于绳子（或杆）方向的速度分量［改变绳子（或杆）速度的方向］。
模型典案：【典案1】如图1所示，汽车以速度v 匀速行驶，当汽车到达图示位置时，绳子与水平方向的夹角是θ，此时物体M 的上升速度大小为多少？（结果用v 和θ表示） 〖解析〗解法一：运动效果分解法物体M 与右段绳子上升的速率相同，而右段绳子上升的速率与左段绳子在沿绳长方向运动的速率v 1是相等的。
与车相连的端点的实际运动速度就是合速度，且与汽车速度v 相同。
分析左段绳子的运动可知，它其实同时参与了两个分运动，即沿绳长方向运动和绕滑轮边缘顺时针转动。
将车速v 分解为沿绳方向的速度v 1和垂直绳子方向的速度v 2，如图2所示。
根据平行四边形定则可得v 1＝v cos θ。
所以，物体M 上升速度的大小为 v ’＝v cos θ。
【点评】这是我们处理这类问题常用的方法。
物理意义很明显。
这种方法说明了：①物体的运动一定是合运动；②物体的运动才能分解成沿绳子（或杆）——改变绳子速度大小的分量与垂直于绳子（或杆）——改变绳子（或杆）运动方向的分量；③改变物体运动方向的分量是圆周运动向心力的本质。
解法二：位移微元法如图3所示，假设端点A 水平向左匀速移动微小位移△s 至B ，此过程中左段绳子长度增大了△s 1（过A 向OB 作垂线AP ，因顶角很小，故OP ≈OA ），即物体上升了△s 1，显然，△s 1＝△s·cos θθcos 1ts t s ∆∆=∆∆ 由于△s 很小、△t 很小，由速度的定义ts v ∆∆=可得v 1＝v cos θ。
详析牵连速度
浅析牵连速度玉山一中物理组黄小燕在运动合成与分解中,牵连速度的问题是经常遇到的.其典型的例题是:如图,一个人在岸上通过光滑的定滑轮拉一小船,当绳与竖直方向成θ角度时,人拉绳的速度是V0,求此时船的速度?我们现在知道应该将船的速度沿绳和垂直与绳的方向分解,其中沿绳方向的分速度和人拉绳的速度V0相同.从而得到船的速度V船=V0/sinθ.但是初学的同学很容易犯这样的错误:将船这端的绳的速度沿水平和竖直分解.得到V船=V0sinθ.错误的原因是把速度的方向和力方向混淆起来了，绳拉小船的力是沿绳斜向上的，绳的速度是沿绳斜向上的吗？绳的速度不是沿绳的，其中绑在船头的绳的末端速度应该和船的速度是一样是水平的。
还有一个很重要的问题：定滑轮两边的绳子的速度就一定相等吗？看下面2种情况：１．如图，一个人沿绳竖直向下拉绕过定滑轮的绳一端，左端下降，右端上升，这时，两边绳子都沿绳方向运动，且由于绳不可伸长，很容易得到，此时定滑轮的速度大小两边相等．２．如图，一个拉绕过定滑轮的绳的一端，让绳以定滑轮的顶端Ｏ点做圆周运动．即不改变绳的长度，但改变绳的方向（如与竖直方向的夹角）．此时很明显，左边绳速度方向不沿绳子，定滑轮两边绳速度大小不相等：左边动了，右边没运动．此时左边绳的速度对右边没有影响．这说明定滑轮两边的绳的速度大小是不一定相等的．绳子的速度也不一定沿绳方向的，那么什么时候定滑轮两边绳子速度相等呢？恰好是当绳的速度是沿绳方向的时候，两边绳的速度相等．我们再看第３种情况，一个人拉绕过定滑轮的一端以Ｖ0速度水平向外走．我们应该注意到此时左边绳的长度发生变化，方向也发生变化．此时绳的速度也不是沿绳的。
我们可以认为左边绳同是参与了１．２两种运动．但只有１运动（即只改变绳长度的分运动）对右边绳速度有影响．所以人由Ａ位置水平走到Ｂ位置的这个运动过程，可以分解为人沿绳拉绳，使绳升长，和做圆周运动到Ｂ点．其中沿绳方向的分运动，使得右边的绳运动，并且两者速度大小相等（绳不可升长）。
牵连(关联)速度问题
牵连（关联）速度问题一、单选题（本大题共8小题，共32.0分）1. 如图，一半圆形碗的边缘上装有一定滑轮，滑轮两边通过一不可伸长的轻质细线挂着两个小物体，质量分别为m 1、m 2, m 1、m 2．现让m 1从靠近定滑轮处由静止开始沿碗内壁下滑．设碗固定不动，其内壁光滑、半径为R ．则m 1滑到碗最低点时的速度为 、 、A.B.C.D. 【答案】D 【解析】 【分析】【详解】设m 1到达最低点时，m 2的速度为v 、m 1的速度沿绳子方向的分速度等于m 2的速度则到达最低点时m 1的速度v ′=cos 45v、根据系统机械能守恒有m 1gR -m 2=12m 2v 2+12m 1v ′2 联立两式解得v ′=故选D 。
2.如图，A、B 分别为固定的定滑轮，一根不可伸长的细绳跨过定滑轮，用一外力使细绳上端以v =3m/s 向右匀速运动，下端连接的小物块沿水平地面向左运动，当角度β=θ=530时,小物块的速度大小为（已知：sin53°、0.8、cos53°、0.6 、A. 3m/sB. 4m/sC. 5m/sD. 1.8m/s【答案】C 【解析】【详解】设小物块沿水平地面向左运动速度为1v ，根据运动的合成与分解可知1cos v v β=，解得小物块的速度大小为15/cos vv m s β==，故C 正确，A、B、D 错误； 故选C、3. 如图所示，作用于轻绳端点A 竖直向下的拉力F ，通过跨在光滑小滑轮的轻绳拉一处在较远处的物体B ，初始位置绳与水平方向的夹角很小，使物体沿水平面向右匀速滑动，直到接近滑轮下方，在此过程中（ ）A. 绳端A 的速度逐渐增大B. 绳端拉力F 逐渐增大C. 物体B 对地面的压力逐渐减小D. 绳端拉力F 的功率逐渐增大【答案】C 【解析】 【分析】【详解】A ．对B 的速度分解，设绳与水平夹角为α，则沿绳方向的速度为'cos v v α=由于角度增大，故该速度不断减小，即绳端A 的速度逐渐减小，A 错误； B ．由于B 匀速运动，故其在水平方向受力平衡，故有cos (sin )F mg F αμα=-解得gcos sin m F μαμα=+随角度α的增大，力F 先变小后变大，B 错误； C ．由于力F 的竖直向上的分力为1gsin 1tan m F F μαμα==+随α的增大力1F 逐渐增大，故物体对地面的压力减小，C 正确； D ．由于力F 先变小后变大，故其功率g cos 1tan m vP Fv μαμα==+由表达式可知随角度的增大，功率减小，D 错误。
运动的合成与分解问题归纳
抛体运动；运动的合成与分解问题归纳一. 教学内容：抛体运动；运动的合成与分解问题归纳二. 学习目标：1、理解曲线运动的条件，能够根据条件判断运动的性质及轨迹。
2、掌握运动的合成与分解的方法，理解合运动是物体的实际运动，合运动与分运动的关系。
3、重点理解牵连速度的分解问题及小船渡河类问题的分析方法。
三. 考点地位：曲线运动的条件及运动的合成与分解问题是高中物理问题的难点所在，特别是绳子的牵连速度问题，小般渡河问题是学生们学习曲线运动问题的难点，同时这部分内容也是学习和理解好平抛运动问题的基础，对于本部分内容的考查，在出题的形式上既可以通过选择题的形式单独考查，也可以融合在大型的计算题当中，如2007年广东卷理科基础卷的第5题，第6题，2005年上海卷的第10题是通过选择题目的形式出现的。
四. 重难点解析：（一）抛体运动：1、曲线运动的概念及性质：所有物体的运动从轨迹的不同可以分为两大类，即直线运动和曲线运动。
运动轨迹是直线的运动称为直线运动；运动轨迹是曲线的运动称为曲线运动。
2、曲线运动的速度：曲线运动中质点在某一时刻的（或在某一点的瞬时速度方向，就是质点从该时刻（或该点）脱离曲线后自由运动的方向，也就是曲线上这一点的切线方向。
3、曲线运动的性质速度是矢量，速度的变化，不仅指速度大小的变化，也包括速度方向的变化。
物体曲线运动的速度（即轨迹上各点的切线方向）时刻在发生变化，所以曲线运动是一种变速运动，一定具有加速度。
4、物体做曲线运动的条件曲线运动既然是一种变速运动，就一定有加速度，由牛顿第二定律可知，也一定受到合外力的作用。
当运动物体所受合外力的方向跟物体的速度方向在一条直线上（同向或反向）时，物体做直线运动。
这时合外力只改变速度大小，不改变速度的方向，当合外力的方向跟速度方向不在同一直线上时，可将合外力分解到沿着速度方向和垂直于速度方向上，沿着速度方向的分力改变速度大小，垂直于速度方向的分力改变速度的方向，这时物体做曲线运动。
运动的合成与分解中的牵连速度问题
运动的合成与分解中的牵连速度问题（1）概念：三种速度（以船渡河为例）动点—运动的质点（船）；动系—运动的参考系（水）；静系—静止的参考系（河岸）。
.（2）三种速度①相对速度—动点对动系的速度（船对水的速度）；②牵连速度—动系对静系的速度（水对岸的速度）；③实际速度—动点对静系的速度（船对岸的速度）。
（［例（2（1（2θcos=。
端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，靠在一个质量为M的物块上，如图所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v向右运动时，小球Av1v2v.练习1.如图所示，质量为m的物体置于光滑的平台上，系在物体上的轻绳跨过光滑的定滑轮.由地面上的人以恒定的速度v0向右匀速拉动，设人从地面上的平台开始向右行至绳与水平方向夹角为45°时物块的速度v.2.如图所示，A、B两车通过细绳跨接在定滑轮两侧，并分别置于光滑水平面上，若A车以速度v0向右匀速运动，当绳与水平面的夹角分别为α和β时，B车的速度是多少？、3如图所示，均匀直杆上连着两个小球A、B，不计一切摩擦.当杆滑到如图位置时，B球水平速度为v B，加速度为a B，杆与竖直夹角为α，求此时A球速度和加速度大小.4.一轻绳通过无摩擦的定滑轮在倾角为30°的光滑斜面上的物体m1连接，另一端和套在竖直光滑杆上的物体m2连接.已知定滑轮到杆的距离为3m.物体m2由静止从AB连线为水平位置开始下滑1 m时，m1、m2恰受力平衡如图所示.若此时m1的速度为v1,则m2的速度为多大？..5．如图所示，两定滑轮间距离为２ｄ，质量均为ｍ的小球Ａ和Ｂ通过绕过定滑轮的绳子带动质量也为ｍ小球Ｃ上升，在某一时刻连接Ｃ球的两绳夹角为２α，绳子张力为Ｔ，Ａ、Ｂ两球下落的速度为Ｖ，不计滑轮摩擦和绳子的质量，绳子也不能伸长。
⑴此时Ｃ球上升的速度是多少？⑵此时C的加速度是多少？参考答案：1．tanα45．。
相关速度求解
V
变式：两相同的正方形铁丝框如图所示， 并沿对角线方向分别以速度v和2v向两侧 运动，问两框交叉点运动的速度为多少？
v
2v
综合练习.细杆ABC在一竖直平面上靠着一个 台阶放置，A端可沿着水平地面朝台阶运动， 细杆不离开台阶拐角。当ABC杆与水平地面夹 角为图中所示的φ时，杆的B点恰好位于台阶 拐角处，而且C端运动速度值恰为A端运动速 度值的2倍。试求杆BC长与AB长的比值α
V车地
A
θ
θ
V雨车
V雨地
B
C
例2：顶杆AB可在竖直滑槽K内滑动，其 下端由凹轮M推动，凸轮绕O轴以匀角速 ω转动，见下图。在图示的瞬时，OA=r， 凸轮轮缘与A接触法线n与OA之间的夹角 为α， 试求此瞬时顶 杆AB 的速度。
例3、一辆邮车以V1=10m/s的速度延平直公路匀 速行驶，在离此公路d=50m的B处有一个邮递员， 当邮车在与邮递员相距L=200m的A处时，邮递员 以速度V2=3m/s奔跑，为了使人跑到公路上时， 恰能与车相遇，问：1)、小奔跑应取什么方向？ 2)、需要多少时间才能赶上汽车？ 3） 若其它条件不变，人在原处开始匀速奔跑 时，该人可以与汽车相遇的最小奔跑速度是多 少？
v船 cos a = v水
d
B、若v船<v水,不能垂直 过河,只有当V船 ⊥V合 时，过河的位移最小。
v水 cos a = v船
v水
例1：某人驾船从河岸A处出发横渡过河，如果他保 持船头与河岸垂直的方向航行，则经过10分钟后到 达对岸下游120m的C处，如果他使船逆斜向上游与河 岸成α角后航行，则经过12.5分钟后恰好到达河对 岸B处，求河的宽度。
2、绝对运动、相对运动和牵连运动：
绝对运动：质点相对于静止参考系的运动
“关联速度”模型-关联速度的三种模型
“关联速度”模型模型建构：【模型】绳子（或杆）牵连物体，研究关联速度【特点】力学问题中经常出现牵连运动:“两个物体用轻绳（或轻杆）相维系着向不同方向运动且速度不同，但在沿绳或杆方向上的速度分量却相同” 。
这种特殊的运动形式与一般意义的动力学连结体运动有很大的差别，通常不宜采用牛顿运动定律求解，大多可以通过“运动效果分解”或“功能关系分析（标量运算）”也可以用“微元法（借助三角函数）”来处理，准确地考察两物体之间的速度牵连关系（矢量运算）往往是求解这类问题的关键。
“绳子（杆）牵连物体”，求解关联速度的问题，是我们将要探究的重点。
由于两个物体相互关联，一般地我们都要按“运动效果”分解成：沿着绳子（或杆）的速度分量［改变绳子（或杆）速度的大小］和垂直于绳子（或杆）方向的速度分量［改变绳子（或杆）速度的方向］。
模型典案：【典案1】如图1所示，汽车以速度v 匀速行驶，当汽车到达图示位置时，绳子与水平方向的夹角是θ，此时物体M 的上升速度大小为多少？（结果用v 和θ表示） 〖解析〗解法一：运动效果分解法物体M 与右段绳子上升的速率相同，而右段绳子上升的速率与左段绳子在沿绳长方向运动的速率v 1是相等的。
与车相连的端点的实际运动速度就是合速度，且与汽车速度v 相同。
分析左段绳子的运动可知，它其实同时参与了两个分运动，即沿绳长方向运动和绕滑轮边缘顺时针转动。
将车速v 分解为沿绳方向的速度v 1和垂直绳子方向的速度v 2，如图2所示。
根据平行四边形定则可得v 1＝v cos θ。
所以，物体M 上升速度的大小为 v ’＝v cos θ。
【点评】这是我们处理这类问题常用的方法。
物理意义很明显。
这种方法说明了：①物体的运动一定是合运动；②物体的运动才能分解成沿绳子（或杆）——改变绳子速度大小的分量与垂直于绳子（或杆）——改变绳子（或杆）运动方向的分量；③改变物体运动方向的分量是圆周运动向心力的本质。
解法二：位移微元法如图3所示，假设端点A 水平向左匀速移动微小位移△s 至B ，此过程中左段绳子长度增大了△s 1（过A 向OB 作垂线AP ，因顶角很小，故OP ≈OA ），即物体上升了△s 1，显然，△s 1＝△s·cos θθcos 1ts t s ∆∆=∆∆ 由于△s 很小、△t 很小，由速度的定义ts v ∆∆=可得v 1＝v cos θ。
物理必修二第一章 微型专题1(小船过河)
微型专题1 运动的合成与分解[学习目标] 1.理解什么是合运动、分运动.2.掌握运动的合成与分解的方法.3.会利用运动的合成与分解知识分析小船过河问题和关联速度问题．一、运动描述的实例——蜡块运动的研究1．蜡块的位置：如图1所示，蜡块沿玻璃管匀速上升的速度设为v y ，玻璃管向右匀速移动的速度设为v x ，从蜡块开始运动的时刻计时，在某时刻t ，蜡块的位置P 可以用它的x 、y 两个坐标表示x ＝v x _t ，y ＝v y _t .图12．蜡块的速度：大小v ＝v 2x ＋v 2y ，方向满足tan θ＝v y v x. 3．蜡块运动的轨迹：y ＝v y v xx ，是一条过原点的直线． 二、运动的合成与分解 1．合运动与分运动如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动． 2．运动的合成与分解：已知分运动求合运动，叫运动的合成；已知合运动求分运动，叫运动的分解．3．运动的合成与分解实质是对运动的位移、速度和加速度的合成和分解，遵循平行四边形定则(或三角形定则)．1．判断下列说法的正误．(1)合运动与分运动是同时进行的，时间相等．( √ )(2)合运动一定是实际发生的运动．( √ )(3)合运动的速度一定比分运动的速度大．( × )(4)两个互成角度的匀速直线运动的合运动，一定也是匀速直线运动．(√)图22．竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个蜡块能在水中以0.1 m/s的速度匀速上浮．在蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管沿水平方向匀速向右运动，测得蜡块实际运动方向与水平方向成30°角，如图2所示．若玻璃管的长度为1.0 m，在蜡块从底端上升到顶端的过程中，玻璃管水平方向的移动速度和水平运动的距离约为()A．0.1 m/s,1.73 m B．0.173 m/s,1.0 mC．0.173 m/s,1.73 m D．0.1 m/s,1.0 m答案 C解析设蜡块沿玻璃管匀速上升的速度为v1，位移为x1，蜡块随玻璃管水平向右移动的速度为v2，位移为x2，如图所示，v2＝v1tan 30°＝0.133m/s≈0.173 m/s.蜡块沿玻璃管匀速上升的时间t＝x1v1＝1.00.1s＝10 s．由于合运动与分运动具有等时性，故玻璃管水平移动的时间为10 s.水平运动的距离x2＝v2t＝0.173×10 m＝1.73 m，故选项C正确.一、合运动与分运动的关系蜡块能沿玻璃管匀速上升(如图3甲所示)，如果在蜡块上升的同时，将玻璃管沿水平方向向右匀速移动(如图乙所示)，则：图3(1)蜡块在竖直方向做什么运动？在水平方向做什么运动？(2)蜡块实际运动的性质是什么？(3)求t 时间内蜡块的位移和速度．答案 (1)蜡块参与了两个运动：水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀速直线运动．(2)蜡块实际上做匀速直线运动．(3)经过时间t ，蜡块水平方向的位移x ＝v x t ，竖直方向的位移y ＝v y t ，蜡块的合位移为l ＝x 2＋y 2＝v 2x ＋v 2y t ，设位移与水平方向的夹角为α，则tan α＝y x ＝v y v x，蜡块的合速度v ＝v 2x ＋v 2y ，合速度方向与v x 方向的夹角θ的正切值为 tan θ＝v y v x .1．运动的合成与分解(1)合运动与分运动的关系：①等效性：各分运动的共同效果与合运动的效果相同；②等时性：各分运动与合运动同时发生和结束，时间相同；③独立性：各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响．(2)运动的合成与分解法则：①运动的合成与分解是指位移、速度、加速度的合成与分解．由于位移、速度、加速度都是矢量，其合成、分解遵循平行四边形(或三角形)定则．②对速度v 进行分解时，不能随意分解，应按物体的实际运动效果进行分解．2．合运动性质的判断分析两个直线运动的合运动性质时，应先根据平行四边形定则，求出合运动的合初速度v 和合加速度a ，然后进行判断．(1)是否为匀变速判断：加速度或合外力⎩⎪⎨⎪⎧变化：变加速运动不变：匀变速运动 (2)曲、直判断：加速度或合外力与速度方向⎩⎪⎨⎪⎧共线：直线运动不共线：曲线运动 例1 (多选)质量为2 kg 的质点在xOy 平面内做曲线运动，在x 方向的速度图象和y 方向的位移图象如图4所示，下列说法正确的是( )图4A ．质点的初速度为5 m/sB ．质点所受的合外力为3 N ，做匀变速曲线运动C ．2 s 末质点速度大小为6 m/sD ．2 s 内质点的位移大小约为12 m答案 ABD解析 由x 方向的速度图象可知，在x 方向的加速度为1.5 m /s 2，受力F x ＝3 N ，由y 方向的位移图象可知在y 方向做匀速直线运动，速度为v y ＝4 m/s ，受力F y ＝0.因此质点的初速度为5 m/s ，A 选项正确；受到的合外力为3 N ，显然，质点初速度方向与合外力方向不在同一条直线上，B 正确；2 s 末质点速度应该为v ＝62＋42 m/s ＝213 m/s ，C 选项错误；2 s 内，x ＝v x 0t ＋12at 2＝9 m ，y ＝8 m ，合位移l ＝x 2＋y 2＝145 m ≈12 m ，D 正确．故选A 、B 、D.在解决运动的合成问题时，先确定各分运动的性质，再求解各分运动的相关物理量，最后进行各量的合成运算．针对训练1 塔式起重机模型如图5，小车P 沿吊臂向末端M 水平匀速运动，同时将物体Q 从地面竖直向上匀加速吊起，在这过程中，能大致反映物体Q 运动轨迹的是( )图5答案 B解析 物体Q 参与两个分运动，水平方向向右做匀速直线运动，竖直方向向上做匀加速直线运动；水平分运动无加速度，竖直分运动加速度向上，故物体Q 合运动的加速度向上，故轨迹向上弯曲，选项A 、C 、D 错误，B 正确．例2 如图6所示，在竖立放置间距为d 的平行板电容器中，存在电场强度为E 的匀强电场．有一质量为m ，电荷量为＋q 的点电荷从两极板正中间处静止释放，重力加速度为g .则点电荷运动到负极板的过程( )图6A ．加速度大小为a ＝qE m＋g B ．所需的时间为t ＝ dm Eq C ．下降的高度为y ＝d 2D ．电场力所做的功为W ＝Eqd答案 B解析 点电荷在电场中的受力分析如图所示，点电荷所受的合外力为F ＝(Eq )2＋(mg )2，所以a ＝(qE )2＋(mg )2m ，故A 错误；由牛顿第二定律得点电荷在水平方向的加速度为a 1＝Eq m ，由运动学公式d 2＝a 1t 22，所以t ＝ dm Eq ，故B 正确；点电荷在竖直方向上做自由落体运动，所以下降的高度y ＝12gt 2＝mgd 2Eq ，故C 错误；由做功公式W ＝Eqd 2，故D 错误．二、小船渡河模型分析如图7所示：河宽为d ，河水流速为v 水，船在静水中的速度为v 船，船M 从A 点开始渡河到对岸．图7(1)小船渡河时同时参与了几个分运动？(2)怎样渡河时间最短？(3)当v 水<v 船时，怎样渡河位移最短？答案 (1)参与了两个分运动，一个是船相对水的运动(即船在静水中的运动)，一个是船随水漂流的运动(即一个分运动是水的运动)．(2)如图所示，设v 船与河岸夹角为θ，船过河的有效速度为v 船sin θ，时间t ＝d v 船sin θ，当θ＝90°时，t ＝d v 船最小，即当船头垂直河岸时，渡河时间最短．与其它因素无关．(3)当v 船与v 水的合速度与河岸垂直时，位移最短．此时v 水＝v 船cos θ，v 合＝v 船sin θ，t ＝d v 船sin θ.小船渡河时参与了两个分运动，一是船随水漂流的速度v 1，二是船相对于静水的划行速度v 2，实际的船速v 是以上两个运动的合成．两个分运动互不干扰，各自独立，且具有等时性．1.以最短时间渡河小船的渡河时间只与垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关．当船速v 2垂直于河岸时，如图8所示，该方向的分速度最大，船渡河的时间最短，且t min ＝d v 2.这种情况下，渡河的位移大小l ＝AC ＝d sin α＞d (α为位移与水流方向的夹角)．图82．以最短位移渡河(1)当v 2＞v 1时，若要位移最短，则船应到达正对岸，即合运动的速度v 垂直于河岸，如图9所示．此时合位移最小，为河宽d ，合速度v ＝v 2sin θ＜v 2，而渡河时间t ＝d v ＝d v 2sin θ＞t min(θ为船头与河岸的夹角，且cos θ＝v 1v 2)．图9(2)当v 2＜v 1时，无论船的航向如何，船都不可能到达正对岸，而应到达其下游某点．由于v 1、v 2和v 之间满足平行四边形定则，其中v 1确定，v 2大小确定，方向可调，画出v 2所有可能的方向，从中选择v 与河岸夹角最大的方向，即v 与v 2垂直的方向，沿此方向的位移即为最短位移，如图10所示．此时v 2与河岸上游方向的夹角θ满足cos θ＝v 2v 1，最短位移l ＝OD ＝d cos θ＝v 1v 2d ＞d .图10例3 一小船渡河，河宽d ＝180 m ，水流速度v 1＝2.5 m /s.船在静水中的速度为v 2＝5 m/s ，则：(1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？答案 (1)船头垂直于河岸 36 s 90 5 m(2)船头偏向上游与河岸夹角为60° 24 3 s 180 m解析 将船实际的速度(合速度)分解为垂直河岸方向和平行河岸方向上的两个分速度，垂直分速度影响渡河的时间，而平行分速度只影响船沿平行河岸方向上的位移．(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向．当船头垂直河岸时，如图所示．时间t ＝d v 2＝1805s ＝36 s ， v 合＝v 21＋v 22＝525 m/s 位移为x ＝v 合t ＝90 5 m.(2)欲使船渡河航程最短，应使合运动的速度方向垂直河岸渡河，垂直河岸渡河要求v 平行＝0，所以船头应向上游偏转一定角度，如图所示，有v 2sin α＝v 1，得α＝30°，所以当船头偏向上游与河岸夹角β＝60°时航程最短．最短航程x ′＝d ＝180 m ，所用时间t ′＝d v 合′＝d v 2cos 30°＝180523 s ＝24 3 s.针对训练2 已知河水的流速为v 1，小船在静水中的速度为v 2，且v 2＞v 1，图中用小箭头表示小船及船头的指向，则能正确反映小船在最短时间内渡河、最短位移渡河的情景图依次是( )A ．①②B ．①⑤C ．④⑤D ．②③ 答案 C解析 小船过河类问题，只要是小船在最短时间内渡河，都是船头垂直河岸，④对；已知v 2＞v 1，小船速度与水流速度的合速度垂直河岸时，小船以最短位移渡河，⑤对，故C 正确．三、“关联”速度问题1．“关联”速度的特点用绳或杆相互牵连的两个物体一般不是都沿轻绳或轻杆方向运动，从而使得两个物体的速度不相同．但是，若绳不松弛，且忽略绳和杆的形变，则物体沿绳或杆方向的分速度大小相等．2．“关联”速度的分解步骤(1)确定合运动的方向：物体实际运动方向就是合运动的方向，即合速度的方向．(2)确定合运动的两个效果．轻绳或轻杆连接物体→⎩⎪⎨⎪⎧效果1：沿绳或杆方向的运动效果2：垂直绳或杆方向的运动 (3)画出合运动与分运动遵循的平行四边形定则，确定它们的大小关系．例4 如图11所示，水平面上的小车向左运动，系在车后的轻绳绕过定滑轮，拉着质量为m 的物体上升．若小车以v 1的速度做匀速直线运动，当车后的绳与水平方向的夹角为θ时，物体的速度为v 2，绳对物体的拉力为F T ，重力加速度为g ，则下列关系式正确的是( )图11A ．v 2＝v 1B ．v 2＝v 1cos θC ．F T ＝mgD ．F T ＞mg答案 D解析 如图所示，将小车的速度v 1向垂直轻绳和沿轻绳方向分解，则沿轻绳方向分解的速度v ′＝v 1cos θ，故物体的速度v 2＝v 1cos θ，A 、B 错误；由于角θ逐渐减小，cos θ变大，故v 2逐渐变大，物体加速度向上，处于超重状态，F T ＞mg ，C 错，D 对．针对训练3 如图12所示，A 物块以速度v 沿竖直杆匀速下滑，经细绳通过光滑定滑轮拉动物体B 在水平方向上运动．当细绳与水平面夹角为θ时，求物体B 运动的速度v B 的大小．图12答案 v sin θ解析 物块A 沿杆向下运动，有使绳子伸长和使绳子绕定滑轮转动的两个效果，因此绳子端点(即物块A )的速度可分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向的两个分速度，如图所示．其中物体B 的速度大小等于沿绳子方向的分速度v B . 则有sin θ＝v Bv ，因此v B ＝v sin θ.1．(合运动性质的判断)(多选)关于运动的合成与分解，下列说法中正确的是( ) A ．物体的两个分运动是直线运动，则它们的合运动一定是直线运动B ．若两个互成角度的分运动分别是匀速直线运动和匀加速直线运动，则合运动一定是曲线运动C．合运动与分运动具有等时性D．速度、加速度和位移的合成都遵循平行四边形定则答案BCD2．(合运动的轨迹判断)如图13所示，一玻璃管中注满清水，水中放一软木做成的木塞R(木塞的直径略小于玻璃管的直径，轻重大小适宜，使它在水中能匀速上浮)．将玻璃管的开口端用胶塞塞紧(图甲)．现将玻璃管倒置(图乙)，在木塞匀速上升的同时，将玻璃管水平向右由静止做匀加速直线运动．观察木塞的运动，将会看到它斜向右上方运动，经过一段时间，玻璃管移到图丙中虚线所示位置，木塞恰好运动到玻璃管的顶端，则能正确反映木塞运动轨迹的是()图13答案 C解析木塞参与了两个分运动，竖直方向在管中以v1匀速上浮，水平方向向右做匀加速直线运动，速度v2不断变大，将v1与v2合成．如图，由于曲线运动的速度沿着曲线上该点的切线方向，又由于v1不变，v2不断变大，故θ不断变小，即切线方向与水平方向的夹角不断变小，故A、B、D均错误，C正确．3．(两分运动的合成)(多选)一质量为2 kg的质点在如图14甲所示的xOy平面内运动，在x 方向的速度－时间(v－t)图象和y方向的位移－时间(y－t)图象分别如图乙、丙所示，由此可知()图14A ．t ＝0时，质点的速度大小为12 m/sB ．质点做加速度恒定的曲线运动C ．前2 s ，质点所受的合力大小为10 ND ．t ＝1 s 时，质点的速度大小为7 m/s 答案 BC解析 由v －t 图象可知，质点在x 方向上做匀减速运动，初速度为12 m /s ，而在y 方向上，质点做速度为－5 m/s 的匀速运动，故在前2 s 内质点做匀变速曲线运动，质点的初速度为水平初速度和竖直初速度的合速度，则初速度大小：v 0＝122＋52 m /s ＝13 m/s ，故A 错误，B 正确；由v －t 图象可知，前2 s ，质点的加速度为：a ＝Δv Δt ＝2－122－0 m /s 2＝－5 m/s 2，根据牛顿第二定律，前2 s 质点所受合外力大小为F ＝m |a |＝2×5 N ＝10 N ，故C 正确；t ＝1 s 时，x 方向的速度为7 m /s ，而y 方向速度为－5 m/s ，因此质点的速度大小为72＋52 m/s ＝74m/s ，故D 项错误．4．(关联速度分解问题)如图15所示，水平面上有一汽车A ，通过定滑轮用绳子拉同一水平面上的物体B ，当拉至图示位置时，两绳子与水平面的夹角分别为a 、β，二者速度分别为v A 和v B ，则v A 和v B 的比值为多少？图15答案 cos β∶cos α解析 物体B 实际的运动(合运动)水平向右，根据它的实际运动效果可知，两分运动分别为沿绳方向的分运动(设其速度为v 1)和垂直绳方向的分运动(设其速度为v 2)．如图甲所示，有v 1＝v B cos β①汽车A 实际的运动(合运动)水平向右，根据它的实际运动效果，两分运动分别为沿绳方向的分运动(设其速度为v 3)和垂直绳方向的分运动(设其速度为v 4)．如图乙所示，则有v 3＝v A cos α②又因二者沿绳子方向上的速度相等，即v 1＝v 3③ 由①②③式得v A ∶v B ＝cos β∶cos α.5．(小船渡河问题)小船在200 m 宽的河中横渡，水流速度是2 m /s ，小船在静水中的航速是4 m/s.求：(1)要使小船渡河耗时最少，应如何航行？最短时间为多少？ (2)要使小船航程最短，应如何航行？最短航程为多少？ 答案 (1)船头正对河岸航行耗时最少，最短时间为50 s. (2)船头偏向上游，与河岸成60°角，最短航程为200 m.解析 (1)如图甲所示，船头始终正对河岸航行时耗时最少，即最短时间t min ＝d v 船＝2004s ＝50 s.(2)如图乙所示，航程最短为河宽d ，即最短航程为200 m ，应使v 合′的方向垂直于河岸，故船头应偏向上游，与河岸成α角，有cos α＝v 水v 船＝12，解得α＝60°.一、选择题考点一 合运动与分运动、运动性质的判断 1．关于合运动、分运动的说法，正确的是( ) A ．合运动的位移为分运动位移的矢量和 B ．合运动的位移一定比其中的一个分位移大 C ．合运动的速度一定比其中的一个分速度大 D ．合运动的时间一定比分运动的时间长 答案 A解析 位移是矢量，其运算满足平行四边形定则，A 正确；合运动的位移可大于分位移，也可小于分位移，还可等于分位移，B 错误；同理可知C 错误；合运动和分运动具有等时性，D错误．2.如图1所示，竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中以速度v 匀速上浮．红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管由静止水平匀加速向右运动，则蜡块的轨迹可能是()图1A．直线P B．曲线QC．曲线R D．无法确定答案 B3.如图2所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直且悬线总长度不变，则橡皮运动的速度()图2A．大小和方向均不变B．大小不变，方向改变C．大小改变，方向不变D．大小和方向均改变答案 A解析设铅笔的速度为v，如图所示，橡皮的速度分解成水平方向的v1和竖直方向的v2.因该过程中悬线始终竖直，故橡皮水平方向的速度与铅笔移动速度相同，即v1＝v.因铅笔靠着线的左侧水平向右移动，故悬线竖直方向减小的长度与铅笔移动使悬线水平方向增加的长度相等，则橡皮竖直方向速度的大小也与铅笔移动速度的大小相等，又因v1和v2的大小、方向都不变，故合速度(即橡皮运动的速度)大小、方向都不变，选项A正确．4.如图3所示，在一次救灾工作中，一架离水面高为H m，沿水平直线飞行的直升飞机A，用悬索(重力可忽略不计)救护困在湖水中重力为G的伤员B，在直升飞机A和伤员B以相同的水平速率匀速运动的同时，悬索将伤员吊起．设经t s时间后，A、B之间的距离为l m，且l＝H－t2，则在这段时间内关于伤员B的受力情况和运动轨迹正确的是下列哪个图()图3答案 A解析根据l＝H－t2，可知B在竖直方向上是匀加速上升的，悬索中拉力大于重力，即表示拉力F的线段要比表示重力G的线段长，伤员在水平方向匀速率运动，所以F、G都在竖直方向上；向上加速，运动轨迹向上偏转，只有A符合，所以在这段时间内关于伤员B的受力情况和运动轨迹正确的是A.考点二小船渡河问题5．小船以一定的速率垂直河岸向对岸划去，当水流匀速时，它渡河的时间、发生的位移与水速的关系是()A．水速小时，位移小，时间也小B．水速大时，位移大，但时间小C．水速大时，位移大，但时间不变D．位移、时间大小与水速大小无关答案 C解析小船渡河时参与了顺水漂流和垂直河岸横渡两个分运动，由运动的独立性和等时性知，小船的渡河时间决定于垂直河岸的分运动，等于河的宽度与垂直河岸的分速度之比，由于船以一定速率垂直河岸向对岸划去，故渡河时间一定．水速大，水流方向的分位移就大，合位移也就大，反之则合位移小．6.一只小船渡河，运动轨迹如图4所示．水流速度各处相同且恒定不变，方向平行于岸边；小船相对于静水分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，船相对于静水的初速度大小均相同、方向垂直于岸边，且船在渡河过程中船头方向始终不变．由此可以确定()图4A．船沿AD轨迹运动时，船相对于静水做匀加速直线运动B．船沿三条不同路径渡河的时间相同C．船沿AB轨迹渡河所用的时间最短D．船沿AC轨迹到达对岸前瞬间的速度最大答案 D解析因为三种运动船的船头垂直河岸，相对于静水的初速度相同，垂直方向运动性质不同，沿水流方向运动相同，河的宽度相同，渡河时间不等，B错误；加速度的方向指向轨迹的凹侧，依题意可知，AC径迹是匀加速运动，AB径迹是匀速运动，AD径迹是匀减速运动，从而知道沿AC径迹渡河时间最短，A、C错误；沿AC轨迹在垂直河岸方向是加速运动，故船到达对岸的速度最大，D正确，故选D.7．(多选)一快艇从离岸边100 m 远的河流中央向岸边行驶．已知快艇在静水中的速度图象如图5甲所示；河中各处水流速度相同，且速度图象如图乙所示．则( )图5A ．快艇的运动轨迹一定为直线B ．快艇的运动轨迹一定为曲线C ．快艇最快到达岸边，所用的时间为20 sD ．快艇最快到达岸边，经过的位移为100 m 答案 BC解析 两分运动一个是匀加速直线运动，另一个是匀速直线运动，知合速度的方向与合加速度的方向不在同一直线上，合运动为曲线运动，故A 错误，B 正确．当快艇船头垂直于河岸渡河时，时间最短，垂直于河岸方向上的加速度a ＝0.5 m/s 2，由d ＝12at 2，得t ＝20 s ，而位移大于100 m ，选项C 正确，D 错误．故选B 、C. 考点三 关联速度问题8.如图6所示，某人用绳通过定滑轮拉小船，设人匀速拉绳的速度为v 0，绳某时刻与水平方向夹角为α，则小船的运动性质及此时刻小船水平速度v x 的大小为( )图6A ．小船做变加速运动，v x ＝v 0cos αB ．小船做变加速运动，v x ＝v 0cos αC ．小船做匀速直线运动，v x ＝v 0cos αD ．小船做匀速直线运动，v x ＝v 0cos α 答案 A解析 如图所示，小船的实际运动是水平向左的运动，它的速度v x 可以产生两个效果：一是使绳子OP 段缩短；二是使OP 段绳与竖直方向的夹角减小．所以小船的速度v x 应有沿OP 绳指向O 的分速度v 0和垂直OP 的分速度v 1，由运动的分解可求得v x ＝v 0cos α，α角逐渐变大，可得v x 是逐渐变大的，所以小船做的是变加速运动．9.人用绳子通过定滑轮拉物体A ，A 穿在光滑的竖直杆上，当以速度v 0匀速地拉绳使物体A 到达如图7所示位置时，绳与竖直杆的夹角为θ，则物体A 实际运动的速度是( )图7A ．v 0sin θ B.v 0 sin θ C ．v 0cos θ D.v 0 cos θ答案 D解析 由运动的合成与分解可知，物体A 参与两个分运动：一个是沿着与它相连接的绳子的运动，另一个是垂直于绳子斜向上的运动．而物体A 的实际运动轨迹是沿着竖直杆向上的，这一轨迹所对应的运动就是物体A 的合运动，它们之间的关系如图所示．由几何关系可得v ＝v 0cos θ，所以D 正确．10.如图8所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，轨道上有两个物体A 和B ，它们通过一根绕过定滑轮O 的不可伸长的轻绳相连接，物体A 以速率v A ＝10 m/s 匀速运动，在绳与轨道成30°角时，物体B 的速度大小v B 为( )图8A ．5 m/s B.533 m/sC ．20 m/s D.2033m/s答案 D解析 物体B 的运动可分解为沿绳BO 方向靠近定滑轮O 使绳BO 段缩短的运动和绕定滑轮(方向与绳BO 垂直)的运动，故可把物体B 的速度分解为如图所示的两个分速度，由图可知v B ∥＝v B cos α，由于绳不可伸长，所以绳OA 段伸长的速度等于绳BO 段缩短的速度，所以有v B ∥＝v A ，故v A ＝v B cos α，所以v B ＝v A cos α＝2033m/s ，选项D 正确．二、非选择题11．(运动的合成与分解)一物体在光滑水平面上运动，它在相互垂直的x 方向和y 方向上的两个分运动的速度－时间图象如图9所示．图9(1)计算物体的初速度大小； (2)计算物体在前3 s 内的位移大小． 答案 (1)50 m/s (2)3013 m解析 (1)由题图可看出，物体沿x 方向的分运动为匀速直线运动，沿y 方向的分运动为匀变速直线运动．x 方向的初速度v x 0＝30 m /s ，y 方向的初速度v y 0＝－40 m/s ；则物体的初速度大小为 v 0＝v 2x 0＋v 2y 0＝50 m/s.(2)在前3 s 内，x 方向的分位移大小x 3＝v x ·t ＝30×3 m ＝90 my 方向的分位移大小y 3＝|v y 0|2·t ＝402×3 m ＝60 m ， 故x ＝x 23＋y 23＝902＋602 m ＝3013 m.12．(关联速度问题)一辆车通过一根跨过定滑轮的轻绳提升一个质量为m 的重物，开始车在滑轮的正下方，绳子的端点离滑轮的距离是H .车由静止开始向左做匀加速运动，经过时间t 绳子与水平方向的夹角为θ，如图10所示．试求：图10(1)车向左运动的加速度的大小；(2)重物m 在t 时刻速度的大小．答案 (1)2H t 2tan θ (2)2H cos 2 θt sin θ解析 (1)车在时间t 内向左运动的位移：x ＝H tan θ， 由车做匀加速运动，得：x ＝12at 2， 解得：a ＝2x t 2＝2H t 2tan θ. (2)车的速度：v 车＝at ＝2H t tan θ， 由运动的分解知识可知，车的速度v 车沿绳方向的分速度大小与重物m 的速度大小相等，即：v 物＝v 车cos θ，解得：v 物＝2H cos 2 θt sin θ.。
运动的合成和分解位移速度
假设有一个飞机在飞行过程中同时进行水平和垂直运动，且已知飞机的总速度和总位移。根据位移速 度的分解原理，可以将飞机的总速度分解为水平方向上的分速度和垂直方向上的分速度。通过分解， 可以更好地理解飞机在水平和垂直方向上的运动情况。
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体育运动的技术分析
将复杂的体育运动技术分解为若干个基本的动作要领，有助于提高 运动员的技术水平。
03
CATALOGUE
位移速度的合成与分解
位移速度的合成
总结词
位移速度合成是指将两个或多个分速度合成一个总速度的过 程。
详细描述
在物理学中，位移速度的合成遵循平行四边形法则，即两个 分速度可以合成一个总速度。总速度的大小和方向可以通过 分速度的大小和方向以及它们之间的夹角计算得出。
运动的合成和分解
目 录
• 运动的合成 • 运动的分解 • 位移速度的合成与分解 • 运动的合成与分解的实例分析
01
CATALOGUE
运动的合成
合成的基本概念
运动的合成是指将两个或多个 简单运动合成为一个复杂运动 的描述过程。
合成的基本原则是平行四边形 法则，即两个矢量（速度和力 ）按照平行四边形的边长和角 度进行合成。
详细描述
在航空航天领域，飞行员需要根据风速和飞机自身的速度进行速度合成与分解，以准确 判断飞行方向和位置；在航海领域，船长需要了解风速、水流速度、船速等参数，通过 速度合成与分解来制定航行计划；在车辆运动领域，驾驶员需要考虑道路状况、车速、
车辆加速度等参数，通过速度合成与分解来控制车辆运动轨迹。
04
合成运动的分析有助于理解物 体在复杂环境中的运动规律， 为实际应用提供理论支持。
合成的方法
高中物理必修一必修二知识点依据逻辑总结
高中物理必修一必修二知识点依据逻辑总结 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】物理基本知识点总结第一、二章一、概念1、机械运动物体的空间位置随时间变化2、参考系描述物体运动时，用来作为参考，且假定是不动的另一个物体。
3、坐标系描述物体位置及位置的变化4、质点描述物体运动时，若物体的大小和形状可以忽略不计，就可以把物体抽象为一个有质量的点。
5、时刻指某一瞬间，在时间轴上用一个点表示6、时间两时刻的间隔，在时间轴上用一段长度来表示7、矢量既有大小又有方向，且遵守平行四边形法则的物理量 标量只有大小，没有方向的物理量8、位移从初位置到末位置的有向线段，为矢量 9、路程物体运动的轨迹长度，是标量10、速度v=位移/时间=s/t ，为矢量，表示物体运动的快慢。
1m/s=h 。
大小为 s-t 图中的正切tan θ。
1、平均速度：位移与时间的比值2、瞬时速度：运动物体在某一时刻来表示 11、速率1、平均速率：路程与时间的比值2、瞬时速率：瞬时速度的大小12、加速度：定义速度的变化量与发生这一变化所用时间的比值，定义式a=Δv/t,为矢 量。
大小为v-t 图中的正切tan θ。
a 、v 同向时，不管a 怎么变化，v 一定变大； a 、v 反向时，不管a 怎么变化，v 一定变小。
13、打点计时器（计时工具）电磁打点计时器（4~6V 交流电）电火花打点计时器（220V 交流电） 二、匀变速直线运动的基本公式1、匀变速直线运动的定义：物体沿一条直线做加速度不变的运动。
2、四个重要公式速度与时间关系式：v=v 0+at 位移与时间的关系式：x=v 0t+221at 位移与速度的关系式：2ax=v 2-v 02 平均速度公式2v v v +=-3、三个重要推论相邻相等时间位移差：2aT x =∆X=X n -X n-1=aT 2中间时刻速度202v v v tt +=中间位置速度2222v vv x +=V x/2>V t/24、自由落体运（v 0=0、a=g ） v t =gth=1/2gt 2v t 2=2ghh n –h n-1=gt 2注意：v h/2>v t/2、5、逐差法求加速度a 公式舍去X 1，232544)()(TX X X X a +-+=6、比例公式：设v 0=0的匀加速直线运动。
运用求导的方法处理两种“关联”速度模型
运用求导的方法处理两种“关联”速度模型作者：王新锋来源：《中学物理·高中》2015年第10期在处理高中物理“运动的合成与分解”一节内容时，经常会碰到“关联”速度问题，该类问题的特点是：用绳、杆相互牵连的物体在运动过程中，各物体的速度通常不同，但物体沿绳或杆方向的速度分量大小相等.常见的模型有如下两种.1不同物体通过“绳”或“杆”发生速度“关联”例1如图1所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为Ff，当轻绳与水平面的夹角为θ时，船的速度为v，此时人的拉力大小为F，则此时A.人拉绳行走的速度为vcosθB.人拉绳行走的速度为vcosθC.船的加速度为Fcosθ-FfmD.船的加速度为F-FfmC、D选项暂不讨论，对于A、B选项的传统处理方法，笔者有如下3点体会：（1）在A、B选项的选择上，学生的典型错误解法及其原因分析：①认为人和船速度大小相等②认为人的速度是合速度，根据平行四边形定则作出如图2所示的分解，得出人拉绳行走的速度为v′=vcosθ，错选B.错误①可能源自一个错误的知识迁移，在讲解绳中张力时，老师们往往会告诉学生：只要是同一根绳子，里面的张力大小处处相等.学生因此会误认为此处被同一根绳子“联系”着的人、船速度大小也理应相等.错误②的原因是把沿绳方向的速度误认为是合速度，进而把该速度进行错误地分解，最终得出一个错误的速度关系.（2）在A、B选项的讲解上，老师的典型讲解程序及其理由：第一步：确定合运动的方向（物体实际运动的方向），此题为小船的沿水面向左的运动为合运动.第二步：分析合运动所产生的实际效果（一方面使轻绳收缩，另一方面使轻绳绕定滑轮顺时针方向转动），由此确定两个分速度的方向（沿轻绳的方向和垂直轻绳斜向左下方的方向），根据平行四边形定则可作如图3所示的分解.第三步：由于人和船速度上的关联，人拉绳行走的速度即为v′=vcosθ.笔者把这种常见的传统处理方法称为“找寻合速度与分速度的关系法”，其解题核心是抓住物体沿绳或杆方向的速度分量大小相等.（3）看似清晰的讲解背后体现了老师的思维对学生思维的“绑架”.首先第一步中把小船沿水面向左的运动作为合运动学生就不好理解，为什么人向左的运动不能作为合运动？人向左的运动难道不是实际发生的运动吗？因为教材告诉学生合运动具有如下特点：合运动是“真实的”实际发生的运动.其次第二步中关于合速度与分速度关系的解释学生听得更是一知半解，换一个物理情景，学生处理起来照样很棘手.其实这是一个典型的“关联”速度问题，既然是关联速度，那至少就有两处不同的速度，而这两个物体又都在动，它们的运动当然都是“真实的”，都是实际发生的运动，所以绝不能简单用上述“（2）”中第一步中的理由来找所谓的合运动，进而搬出第二步中所谓的“效果”分解合运动找到两个速度所谓的“关联”.笔者通过采用求导的办法使该类问题迎刃而解，具体做法如下：找寻不变量：该题中定滑轮距水面的高度h为不变量找出图1中三个量L、x、h（不变量）之间的关系如下：h2=L2-x2，两边求导：ddth2=ddt（L2-x2），0=2LdLdt-2xdxdt，0=Lv′-xv，解得：人拉绳行走的速度v′=xLv=vcosθ，A选项正确.2不可视为质点的物体的不同部位发生速度“关联”例2如图4所示，细杆AB搁置于半径为R的半圆柱上，A端沿水平面以不变的速率v做直线运动，细杆与水平面夹角为α的图示瞬间，细杆与半圆柱相切与C点，此时杆上C点的速度大小vC是多少？解析虽然该题中的细杆AB看起来只是一个个体，没有像例1那样通过媒介（绳子）与其他物体相连接，但很明显该题中的细杆AB不能当质点，其上A、C两点的速度也不同，但A、C两点的速度之间存在着某种关联，也是一种典型的关联速度模型，若用传统的“合速度与分速度的关系法”求解，学生在合速度的寻找、合速度的分解上都会有障碍.现同样运用上面介绍的求导法处理如下：找寻不变量：半圆柱半径R为不变量找出图4中三个量半径R（不变量）、AO间距x、AC间距y之间的关系如下：R2=x2-y2，两边求导：ddtR2=ddt（x2-u2），0=xdxdt-ydydt，0=xv-yvC.解得：杆上C点的速度大小vC=xyv=vcosα.通过上面两个例题的分析求解不难看出，求导法在处理类似“关联”速度模型时的优越性是不言而喻的，它巧妙地避开了传统解法中学生头疼的两个步骤：确定合运动与分解合运动，借助高中数学已经覆盖的知识点——导数，把这个复杂问题的求解转化为简单的两个步骤：（1）找寻不变量并写出相应方程；（2）对方程两边求导找出关联速度之间的关系. 可以说求导法在该处的成功应用在开阔了学生视野的同时，也把学生对物理规律的认识引向更深更广处，它不仅发展了学生的思维，更重要的是培养了学生对未知的好奇心.。
重点高中物理曲线运动速度的合成与分解牵连运动中的速度分解
精心整理牵连运动问题中的速度分解1、微移法处理牵连运动这类问题，可以从实际情况出发.设想物体发生一个微小位移，分析由此而引起的牵连物体运动的位移是怎样的，得出位移分解的图示，再从中找到对应的速度分解的图示，进而求出牵连物体间的速度大小的关系.例１、如图1-1所示，人用绳子通过定滑轮将水中的小船系住，并以3m/s 的速度将绳子收短，此时绳与水面夹角30°角，求此时小船的速度.解：设船在Δt 内由Ａ移到Ｂ,位移为ΔS ２,如图1（a ），取OC ＝OB ，则绳子缩短ΔS １，绳子端点横向摆动ΔS ３，合位移ΔS ２可以分解为ΔS １和ΔS ３两个分位移．当Δt →0，ΔS ２→0，∠ACB →90°，此时：ΔS １＝ΔS ２cos30°，即有：02130cos ⋅∆∆=∆∆tS t S ，即：02130cos V V = 所以有：)/(32330cos 23012s m V V === 2、速度的分解法此题也可直接由速度分解的方法进行.船的实际速度V ２是合速度，水平向左，认为绳不可伸长，分速度V １为沿绳方向的速度，即等于将绳子收短的速度3m/s ，分速度V ３为绕O 点以OA 为半径的绕滑轮向内偏的圆周运动的速度，垂直于绳的方向，画出速度分解的矢量图如图1（b ）所示，从而求出)/(32330cos 23012s m V V ===3、沿绳的速度相等法中学物理对于绳子的形变一般都不计，因此，绳拉紧时绳上各点的速度大小必定相等. 例2、一根绳通过定滑轮两端分别系着两个物体A 和B ，如图2所示，物体A 在外力作用下向左以v 匀速运动，某一时刻连A 的绳子与水平方向成α角，连B 的绳子与水平方向成β角，求此时物体B 的速度的大小.解：物体A 的实际速度大小为v ，方向向左，把沿绳方向和垂直于绳的方向分解，沿绳子方向的分速度αcos /v v=设物体B 的实际速度为B v ，则沿绳子方向的分速度βcos /B B v v =由于沿绳上各点的速度大小相等，所以：βαcos cos B v v =，即：v v B⋅=βαcos cos4、功率法中学物理对于绳子的质量和形变一般都不计，因此，绳子没有动能，重力势能、弹性势能、内能，即绳子没有能量，不能和外界交换能量，只能传递能量，所以绳子两端的瞬时功率必定相等.例3：如图3所示，一轻绳的一端通过光滑的定滑轮O 与处在光滑的倾角为300的斜面上的物体A 连接，A 的质量为m ，轻绳的另一端和套在竖直光滑直杆上的物体B 连接，B 的质量为M ，OB 绳水平且距离S ＝3m ，当B 由静止释放下降h=1m 时，A 的速率由多大？解：设A 的速度大小为1v ，方向沿斜面向上，B 的速度大小为2v ，方向竖直向下，此时绳子与杆的夹角为α，由几何关系可得060=α；由机械能守恒得：)1...(..........30sin )60sin (2121002221⋅-++=s s mg Mv mv Mgh 设绳子得张力为T ，由绳子两端的瞬时功率相等，即有：02160cos Tv Tv =即：)2..(..........60cos 021v v =联立（1）（2）两式可得：mM mgMg v +--=4)32(21精心整理〖例３〗在光滑的水平面上，放一质量为Ｍ，高度为ａ的木块，支承一长Ｌ的轻质杆，杆的一端固定着质量为ｍ的小球，另一端用Ｏ点绞链着，如图１－５所示。
绳子拉船问题的理解与求解
绳子拉船问题的理解与求解江西省都昌县第一中学李一新绳子拉船问题是运动的合成与分解中的典型例子。
很多学生对此问题的理解都感到非常困难，怎样使学生正确地理解和掌握这个问题呢？下面笔者就根据自己的教学经验，谈一谈这个问题的理解及求解此问题的一些方法。
一、绳子拉船问题的理解1．绳子拉船问题如图1所示，在水面上方h高的岸上，某人利用绕过定滑轮O的轻绳匀速地拉动水面上的一只小船，如果人拉动绳子的速度大小为V，则当绳子OA 与水平面的夹角为θ时，小船运动的速度为多大。
2．常见错误及原因分析对此问题，很多学生的常见错误是把拉动绳子的速率V沿竖直和水平两个方向分解，如图2所示，因此错误地认为船沿水面运动的速度，就是绳子沿水平方向的分速度，即V船=Vcosθ（1）造成上述错误的原因，就是没有分清楚合运动与分运动，错误地认为与船相连的绳子沿收缩方向是合运动，小船的运动为它的分运动。
实际上，绳子A端与船相连，它的实际运动与小船运动相同，也是水平向左，这才是合运动。
3．常规解法如图1所示，当绳子拉着小船水平向左运动时，定滑轮右边的绳子运动有这样的效果：一方面，沿绳子方向收缩；另一方面，绳子绕定滑轮O顺时针转动。
因此，可将绳A端（或小船）水平向左的实际运动（合运动）分解成上述两个方向的分运动，如图3所示，而沿绳子收缩方向的分速度大小等于人通过定滑轮拉动绳子的速度大小V，故小船运动的速度为（2）4．问题的理解上述的求解结果学生普遍都感到难易理解。
为了帮助学生更好地理解这个问题，我们就从小船运动的速度和拉动绳子的速度大小关系入手，由（2）式可知，小船运动的速度大于拉动绳子的速度，而（1）式则是小于拉动绳子的速度，因此只要证明小船运动的速度大于拉动绳子的速度，问题就比较容易理解了。
将绳子拉动船的过程中，绳子与水平方向的夹角设置两个特殊值来进行考虑，如图4所示，设在某时间t内，拉动船时绳子与水平面的夹角由300增大到450，则在这段时间内，小船前进的距离为绳子收缩的长度为由此可得S＞L，故小船运动的速度必大于人拉动绳子的速度。
高一物理速度的合成与分解试题答案及解析
高一物理速度的合成与分解试题答案及解析1.在一光滑水平面内建立平面直角坐标系，一物体从t＝0时刻起，由坐标原点O(0,0)开始运动，其沿x轴和y轴方向运动的速度—时间图象如图甲、乙所示，下列说法中正确的是 ()A．前2 s内物体沿x轴做匀加速直线运动B．后2 s内物体继续做匀加速直线运动，但加速度沿y轴方向C．4 s末物体坐标为(4 m,4 m)D．4 s末物体坐标为(6 m,2 m)【答案】AD【解析】由甲乙图像可知，前2 s内物体沿x轴做匀加速直线运动，在沿y方向静止，选项A 正确；后2 s内物体在x方向以2m/s做匀速运动，在y方向做初速为零的匀加速运动，其合运动为匀变速曲线运动，选项B错误；4 s末物体在x方向的位移为，y方向的位移为，则物体的位置坐标为(6 m,2 m) ，选项D 正确。
【考点】运动的合成；v-t图像。
2.如图所示为北京奥运会火炬接力过程，假如当时的风速为零，可燃气体从火炬喷出的速度为3m/s，火苗向后的偏角为53°(相对竖直方向)．那么火炬手的运动速度大约为()．A．5 m/s B．4 m/s C．3 m/s D．6 m/s【答案】B【解析】在无风、静止的情况下火焰应是竖直方向的．当火炬手运动时，火焰会受到向后的风的作用．在向上和向后两股气流的共同作用下，形成斜向后上的燃烧情形．分析如图，故向后的风速为v′＝vtan 53°＝3×m/s＝4 m/s.3.某人骑自行车以10 m/s的速度在大风中向东行驶，他感到风正以同样大小的速率从北方吹来，实际上风的速度是()．A．14 m/s，方向为北偏西45°B．14 m/s，方向为南偏西45°C．10 m/s，方向为正北D．10 m/s，方向为正南【答案】A【解析】如右图所示，人的速度为v人，风的速度为v风，在人的行驶方向上感觉不到风，说明风在人的行驶方向上与人同速，仅感觉到从北方吹来的风，则v人＝v风sin θ，v＝v风cos θ，tan θ＝＝1，θ＝45°，v风＝v人＝14 m/s.4.如图所示，套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连。
专题拓展课一 小船过河与关联速度问题
专题拓展课一小船过河与关联速度问题【学习目标要求】 1.通过实例分析进一步理解运动的合成与分解的原理。
2.会用运动合成与分解的理论分析小船过河问题。
3.会分析实际运动中的关联速度问题。
拓展点1小船过河问题1.小船参与的两个分运动(1)船相对水的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船头的指向相同。
(2)船随水漂流的运动，它的方向与河岸平行。
2.区别三个速度：水流速度v水、船在静水中的速度v船、船的实际速度(即船的合速度)v合。
3.两类最值问题(1)渡河时间最短问题由于水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度。
因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可。
由图甲可知，t短＝dv船，此时船渡河的位移x＝dsin θ，位移方向满足tan θ＝v船v水。
甲(2)渡河位移最短问题①v水＜v船最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝dv船sin θ，船头与上游河岸夹角θ满足cos θ＝v水v船，如图乙所示。
乙②若v水>v船，如图丙所示，从出发点A开始作矢量v水，再以v水末端为圆心，以v船的大小为半径画圆弧，自出发点A向圆弧作切线即为船位移最小时的合运动的方向。
这时船头与上游河岸夹角θ满足cos θ＝v船v水，最短位移x短＝dcos θ，而渡河所用时间仍用t＝dv船sin θ计算。
丙【例1】(2020·黑龙江哈尔滨三中高一月考)某人以一定的速度使船头垂直于河岸向对岸划船，当水流匀速时，对于他过河所需时间、发生的位移与水速的关系描述正确的是()A.水速小时，位移小，时间短B.水速大时，位移大，时间长C.水速大时，位移大，时间不变D.位移、时间与水速无关解析由分运动和合运动具有独立性和等时性可知，水流速度对过河时间没有影响，水速大时，合速度较大，位移较大，故只有C项正确。
答案 C【例2】已知某船在静水中的速度为v1＝5 m/s，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d＝100 m，水流速度为v2＝3 m/s，方向与河岸平行，(1)欲使船以最短时间渡河，渡河所用时间是多少？位移的大小是多少；(2)欲使船以最小位移渡河，渡河所用时间是多少？(3)若水流速度为v2′＝6 m/s，船在静水中的速度为v1＝5 m/s不变，船能否垂直河岸渡河？解析(1)由题意知，当船在垂直于河岸方向上的分速度最大时，渡河所用时间最短，河水流速平行于河岸，不影响渡河时间，所以当船头垂直于河岸渡河时，所用时间最短，最短时间为t＝dv1＝1005s＝20 s。
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运动的合成与分解中的牵连速度问题
（1）概念：三种速度（以船渡河为例）
动点—运动的质点（船）；
动系—运动的参考系（水）；
静系—静止的参考系（河岸）。
.
（2）三种速度
①相对速度—动点对动系的速度（船对水的速度）；
②牵连速度—动系对静系的速度（水对岸的速度）；
③实际速度—动点对静系的速度（船对岸的速度）。
（3）速度矢量运算公式：水对岸船对水船对岸v v v += (遵循平行四边形定则) 例题
［例1］河宽以d 表示，船的划行速度以v 1表示，水流的速度设为ｖ2，求（1）渡河的最短时间；（2）最小位移。
（1）最短时间：船头指向正对岸时，渡河所用时间为最短。
最短时间为：1v d t =； （2）最小位移 分为两种情况：①当v 1＞ｖ2时，且满
足1
2cos v v =θ，渡河位移最小为d ； ②当v 1＜ｖ2时，最小位移为d v v d s ⋅==
12cos θ。
［例2］一根长为L 的杆OA ，O 端用铰链固定，另一端固定着一个小球A ，靠在一个质量为M ，高为h 的物块上，如图所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v 向右运动时，小球A 的线速度v A （此时杆与水平方向夹角为θ）.
解：选取方块上与棒接触点B 为动点，棒为动系，轴O 为静系。
v 1——动点B 对动系的速度（B 点相对棒的速度）
v 2—动系对静系的速度（棒对轴O 转动的线速度）
v —动点对静系的速度（B 点对轴O 的速度）
由速度矢量分解图得：v 2=v sin θ.
设此时OB 长度为a ，则a =h /sin θ
令棒绕O 点转动角速度为ω，则ω=v 2/a =v sin 2θ/h . 故A 的线速度v A =ωL =vL sin 2θ/h . 练习
1.如图所示，质量为m 的物体置于光滑的平台上，系在物体上的轻绳跨过光滑的定滑轮.由地面上的人以恒定的速度v 0向右匀速拉动，设人从地面上的平台开始向右行至绳与水平方向夹角为45°时物块的速度v.
2.如图所示，A 、B 两车通过细绳跨接在定滑轮两侧，并分别置于光滑水平面上，若A
车以速度v 0向右匀速运动，当绳与水平面的夹角分别为α和β时，B 车的速度是多少？
、
3如图所示，均匀直杆上连着两个小球A 、B ，不计一切摩擦.当杆滑到如图位置时，B 球水平速度为v B ，加速度为a B ，杆与竖直夹角为α，求此时A 球速度和加速度大小.
4.一轻绳通过无摩擦的定滑轮在倾角为30°的光滑斜面上的物体m 1连接，另一端和套在竖直光滑杆上的物体m 2连接.已知定滑轮到杆的距离为3m.物体m 2由静止从AB 连线为水平位置开始下滑1 m 时，m 1、m 2恰受力平衡如图所示.若此时m 1的速度为v 1,则m 2的速度为多大？..
5．如图所示，两定滑轮间距离为２ｄ，质量均为ｍ的小球Ａ和Ｂ通过绕过定滑轮的绳子带动质量也为ｍ小球Ｃ上升，在某一时刻连接Ｃ球的两绳夹角为２α，绳子张力为Ｔ，Ａ、Ｂ两球下落的速度为Ｖ，不计滑轮摩擦和绳子的质量，绳子也不能伸长。
⑴此时Ｃ球上升的速度是多少？
⑵此时C 的加速度是多少？
参考答案：
1．v=v 0cos45°=220v 2．v B =0cos cos v β
α 3．v A =v B tan α;a A =a B tan α 4．又由速度分解知识知v 1=v 2cos ∠ACB ，得v 2=2v 1
5．(1)ＶＣ＝Ｖ／ＣＯＳα; (2)m
mg T a -=αcos 2。