水平集法对流场相界面应用的分析与研究

sign ( ( x , 0 ) ) (
1(
x, t) +
H (x, t, , ) - b( x , t ) ( x , t ) ( x , t) ( x , t ) F ( x, t, )
t race[ L ( x , t ) D 2 x ( x , t) R ( x , t) ]
收稿日期 : 2007- 03- 15 作者简介 : 孙 涌 ( 1958- ) , 男 , 副教授 , 博士研究生 , 主要研究方向为软件工程、 智能信息处理、 科学计算可视化在水利水电中的应用。 基金项目 : 江苏省自然科学基金资助项目 ( 编号 DK 2003029) 。
x
= #1
1 x
+ #2
2 x
+ #3
3 x
( 13)
0 ∀ #k ∀ 1 , 且 #1 + #2 + #3 = 1。 将获取光滑区域的高阶精度的核心观测权重定义为 #1 = 0 1, #2 = 0 6, #3 = 0 3, 并用于对 x 的五阶精度近似。 对于非光滑区域 , 可令 #k = 0 或 #k = 1, 退化为 HJ ENO 情况。 由 于篇幅所限, 我们仅将计算结果分别列于表 1 和表 2 中。
3
在速度场中的应用实例分析
现对于各种不同方法的计算机实现及相关运行结果进行分析 , 并讨论与之相关的几个关键问题。 首先, 建立笛卡尔坐标系下的格点, 然后 , 将各种方法置于该格点的环境下 , 实现其动态行为和发展规律。 3. 1 空间离散下各精度的求解 在完成格点 划分 以及确 定边界 条件和 初始值 后, 设速度 取 V = A X , 分别 设计 了 UpWind- First、 U pWind- ENO2 、 UpWindE- NO3、 UpWind- ENO5 和 T vd- RK 五个功能模块, 前四个模块分别实现空间的一 阶精度、 二阶精度、 三阶精度、 五阶精度解的求解方法, T vd- RK 为对 方法。 3. 2 计算环境、 条件及结果 计算硬件设备: Dell 台式电脑( 内存: 512M , 主频 : 2. 80GHz) 。 计算 条件 : 时 间: 1s, 划分为 9 个时 间 段, 分 别为 t = { 0, 0 125, 0 250 , 0 375, 0 500 , 0 625, 0 750, 0 875, 1 000} , ∀t = 0 . 125 ( s) 。 单位时间空间迭代次数: 二维 50 次 / ∀t , 三维 25 次 / ∀ t 。 对象 : 我们设计了将一个小球放置于流场中的运动场景作为研究对象 , 运动形状为直径 0. 35mm 圆球。 运动空间格点精度: 二维 201 % 201, 三维 101 % 101 % 101。 本文依据以上讨论的结果 , 采用 M at lab 6. 5 分别进行了一阶、 H J- ENO2 、 H J- ENO3 和 H J- ENO5 几种 不同方法实现下的二维和三维计算 , 同时对于计算时间进行了比较, 比对结果分别参见表 1 和表 2。对于三
[ 2- 4]
1
方程描述
两相( 或多相 ) 介质表面, 可以用一个隐函数 ( x , y , z , t ) 来表示其边界。 令 = Const ( 通常取该常数为 零) , 定义该函数为水平集函数。 设在某一时刻 t 0 流场的相表面构成函数形式为 ( x , y , z , t 0 ) 。 不同的流场 随时间的变化规律各不相同, 但可以设想其表面处于某一等值面 ( x , y , z , t ) 上, 用各种方法修正并维持该 表面的等值性, 其变化规律即为流场的发展和变化规律。 随着研究对象以及问题的不同, 方程可以采用不同 的形式, 方程的一般表述形式为: v ( x, t) a( x , t ) (x, t) ( x , 0) ( x , t) ( x , t) - 1) = 0 ( 1)
*
= k。 对
| ∀ |
=
* D3 k + 1/ 2
=
* D3 k + 3/ 2
。
我们将上述结论用于水的运动规律的可视化研究 , 能够较好满足一般要求 , 如果需要更进一步的精度, 可以将 WENO( Weig ht ed Essent ially non oscillatory, 含权的本质无振荡) 方法用于 level set 方法中。 WENO 方法是在 ENO 的基础上 , 选出三个 ENO 近似下的组合, 给予不同的权重。 对于任何一边的近似 插值跨面是不连续的 , 取其权重为最小值, 以便使其产生的影响和发生错误的结果最小。 与此相反 , 对于流动 的连续区域 , 三个近似方法均可对流体产生显著的影响 , 将其解的精确性提高到四阶精度甚至五阶精度。 简 单表述如下, 令
第 27 卷第 3 期 2007 年 6 月
苏
州 大
学
学
报( 工
科
版)
V ol. 27 N o. 3 Jun. 2007
JOURNAL OF SUZHOU UNIVERSITY( ENGINEERING SCIENCE EDITION)
文章编号 : 1673- 047X( 2007) 03- 0020- 05
* 2 * 2 2 *
( 12)
*
式中对于二级差分 , 若 | 于三级, 如果 |
* D3 k + 1/ 2
2 Dk
| ∀ | D k+
* D3 k + 3/ 2
2
1
| , 则取 c = D k 和 k | , 则设 c
*
2
= k - 1; 反之 , 取 c = D k+ 1 和 k ; 反之, 设 c
2
水平集对速度场的研究
本文仅讨论式( 1) 中的第一项, 即
t(
x, t) + V
= 0
( 2)
式中 : V ! ! ! 对流场中的速度矢量 ; ! ! ! i+ j+ k。 !x !y !z 上式可用于描述一系列由外部资源给出的速度场。 其中速度可根据不同研究对象而采用相应的数学表 !! ! 述进行描述。 流体问题之所以复杂 , 关键在于其边界条件的可变化性。 为了对式( 2 ) 进行求解, 首先必须研究 其离散方法。 通常的做法是将 和 V 定义在一组笛卡尔坐标系下的格点中, 对于时间项 t ( x , t ) , 本文采用 T VD Runge Kut ta 法 , 对其进行离散、 迭代和求解。 而对于空间项 方法进行求解。 下: V( x ) dx dt ( 3) , 可根据不同的精确度要求, 采用不同
0
出
[ 1]
引言
水平集法( Level Set M et hod) 作为研究曲面变化的方法 , 首先由 S. J. Osher 和 J. A. Sethran 于 1988 年提 , 随着计算机软、 硬件技术 的发展 , 近年来 在对动态 流场的跟 踪、 建 模、 仿 真等方面 得到了广 泛的应
用 。目前国内的研究尚处起步阶段 , 有些工作限于二维数值计算, 三维情况下以及相应的可视化研究 工作开展不多[ 5] 。本文首先对于流体运动的水平集法的各种求解方法进行分析与研究, 然后以刚体小球与 速度场中的流体为研究对象, 得出不同方法的多项计算结果 , 并对这些结果进行讨论与研究。
速度场 V( x ) 可以通过计算 Navier Stokes 方程得到, 为讨论问题方便, 在方程 ( 2) 中 , 取 V( x ) 的形式如
对于笛卡儿坐标系下的格点, 令 V 不仅在 ( x ) = 0 相界面上有定义, 同时以该界面为中心, 距相界面距 离为 | !| ∀ d 所形成的窄带区域内也是有定义的, 该区域的大小可以根据对方程求解的数值化精度要求而 确定。 首先讨论一阶精度的迎风格式下的水平集方程的数值解。 一旦 和 V 在笛卡尔坐标系格点的每一点格 点中定义 , 就可以将数值方法用于计算相界面随时间的演变与运动。 设某相界面在某一时间位于某一格点的 时间为 t n , 令 值, 以 散形式为
n+ 1 i
( 4)
∀t
n i
+ un i(
n x) i
+ vn i (
n y )i
+ wn i (
n z )i
= 0
( 5)
当 u i > 0 时 , i 值由左向右运动。 反之 , 当 u i < 0 时 , i 值自右向左运动。 对于 v i , w i 情况亦如此。 到此, 得出了一阶精度的迎风格式下的水平集方程的数值解。 为了获得更好的数值近似 , 可以将 ENO( Essent ially non oscillat ory , 本质无振荡 ) 方法进行扩展并用于方程 ( 2) 中。 为讨论问题方便 , 仅以一维情况为例。 利用牛顿多项式插值法来得出 在各个格点的节点上定义 的零级差商, 在每一格节点之处的定义为 x。 Di = 的一级差商定义在节点的中央, 即 D1 i+ 1/ 2 =
水平集法对流场相界面应用的分析与研究
孙 涌
1, 2
, 王志坚 , 索丽生
3
1
( 1 河海大学水电学院 , 江苏 南京 210024; 2 苏州大学计算机科学与技术学院 , 江苏 苏州 215006; 3 河海大学计算机学院 , 江苏 南京 210024)
摘 要: 研究水平集方法 ( Level Set M et hod) 对速度场的应用 。首先论述水平集方法的一般原理及 解决问题的流程 。然后, 针对速度场的情况, 研究并得出了多种求解精度要求下水平集方程的离散 表达 。在此基础上分别对不同精度下刚体小球在二维空间和三维空间流场中的运动进行了数值计 算求解和归纳。 最后对于求解结果进行了比对与分析 。 关键词: 水平集方法 ; 相界面; 流场 中图分类号 : T P 3- 05 文献标识码: A