2020届河南省安阳市高三年级第一次模拟数学(理)试题(解析版)
2020届河南省安阳市高三毕业班第一次调研考试数学(理)试题(解析版)
2020届河南省安阳市高三毕业班第一次调研考试数学(理)试题一、单选题1.已知集合{}12M x x =-<,{N x y ==,则M N ⋂=( )A.{}13x x -≤<B.{}13x x -<< C.{}13x x -<≤ D.{}23x x -<<【答案】B【解析】首先求两个集合,再求交集. 【详解】{}{}1213M x x x x =-<=-<<,{N x y =={}260x x x =+-…{}260x x x =--…{}{}2313x x M N x x =-∴⋂=-<<剟。
【点睛】本题考查了两个集合的交集,属于简单题型. 2.设复数z 满足()25z i +=,则z i -=( )B.2C. D.4【答案】C 【解析】首先52z i=+,并且化简z ,然后求z i -,并且求z i -. 【详解】55(2)(2)5,22(2)(2)i z i z i i i i -+=∴===-++-,22z i i -=- ,|i |z ∴-=【点睛】本题考查了复数的代数运算,以及模的求法,属于基础计算问题.3.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图,则下列说法错误的是( )A.甲所得分数的极差为22B.乙所得分数的中位数为18C.两人所得分数的众数相等D.甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数 【答案】D【解析】根据茎叶图,逐一分析选项,得到正确结果. 【详解】甲的最高分为33,最低分为11,极差为22,A 正确;乙所得分数的中位数为18,B 正确;甲、乙所得分数的众数都为22,C 正确;甲的平均分为11151720222224323319699x ++++++++==甲,乙的平均分为8111216182022223116099x ++++++++==乙 ,甲所得分数的平均数高于乙所得分数的平均数,D 错误,故选D. 【点睛】本题考查了根据茎叶图,求平均数,众数,中位数,考查基本概念,基本计算的,属于基础题型.4.已知函数()sin ,0,621,0.x x x f x x ππ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪+>⎩则()()21f f -+=( )A.62+ B.62- C .72D .52【答案】C【解析】结合分段函数的表达式,利用代入法进行求解即可. 【详解】解:1(2)sin(2)sin 662f πππ-=-+==,f (1)1213=+=,∴17(2)(1)322f f -+=+=,故选:C . 【点睛】本题主要考查函数值的计算,利用代入法是解决本题的关键.属于基础题.5.已知等比数列{}n a 的各项均为正数,若3132312log log log 12a a a ++⋯+=,则67a a =( ) A.1 B.3 C.6 D.9【答案】D【解析】首先根据对数运算法则,可知()31212log ...12a a a =,再根据等比数列的性质可知()6121267.....a a a a a =,最后计算67a a 的值. 【详解】由3132312log log log 12a a a +++= ,可得31212log 12a a a =,进而可得()6121212673a a a a a == ,679a a ∴= .【点睛】本题考查了对数运算法则和等比数列性质,属于中档题型,意在考查转化与化归和计算能力.6.已知向量(sin a θ=,()1,cos b θ=,||3πθ…,则a b -的最大值为( )A.2 C.3D.5【答案】B【解析】首先求()sin cos a b θθ-=-,()2254sin 3a b a bπθ⎛⎫-=-=-+ ⎪⎝⎭,根据θ的取值范围求函数的最大值. 【详解】()sin cos a b θθ-=-由已知可得222||(sin 1)cos )54sin 3a b πθθθ⎛⎫-=-+=-+ ⎪⎝⎭, 因为||3πθ…,所以2033ππθ+剟,所以当3πθ=-时,2||a b -的最大值为505-=,故||a b -.【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示,以及三角函数函数求最值,本题的关键是正确求出2a b -.7.执行如图所示的程序框图,则输出的n 的值为( )A.9B.7C.5D.3【答案】A【解析】依次代入循环结构,得到正确结果. 【详解】 第一次循环:11,31(12)3S n ===⨯+ ;第二次循环:112,533(32)5S n =+==⨯+ ; 第三次循环:213,755(52)7S n =+==⨯+; 第四次循环:314,977(72)9S n =+==⨯+,此时输出9n = . 【点睛】本题考查了程序框图的循环结构,这类题型在退出循环结构,计算结果时,注意是当型还是直到型,条件是不同的.8.已知函数()()sin f x A x =+ωϕA 0,0,||2πωϕ⎛⎫>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示,如果将()y f x =的图象向左平移4π个单位长度,则得到图象对应的函数为( )A.2y sinx =-B.12cos2y x = C.2y cosx = D.22y cos x =【答案】C【解析】首先根据最值计算A ,根据周期计算ω,最后根据4x π=时,函数取得最大值,求解ϕ,再根据“左+右-”求平移后的解析式. 【详解】 由图知322,4444T A πππ==-=, 2,1T πω∴=∴=,又2,||42f ππϕ⎛⎫=< ⎪⎝⎭,,()2sin 44f x x ππϕ⎛⎫∴=∴=+ ⎪⎝⎭,向左平移4π个单位长度后得到2sin 2cos 2y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ .【点睛】本题考查了根据图象求三角函数的解析式,属于基础题型,一般根据最值求A ,由图象中的极值点或零点间的距离求周期,根据公式2T ωπ=求ω,最后根据“五点法”中的某个点求ϕ.9.已知函数()()221xf x x a x e =++,则“a =是“函数()f x 在-1x =处取得极小值”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A【解析】求出原函数的导函数,分析函数()f x 在1x =-处取得极小值时的a 的范围,再由充分必要条件的判定得答案. 【详解】解:若()f x 在1x =-取得极小值,2222()[(2)1](1)(1)x x f x x a x a e x x a e '=++++=+++.令()0f x '=,得1x =-或21x a =--. ①当0a =时,2()(1)0x f x x e '=+…. 故()f x 在R 上单调递增,()f x 无最小值;②当0a ≠时,211a --<-,故当21x a <--时,()0f x '>,()f x 单调递增;当211a x --<<-时,()0f x '<,()f x 单调递减; 当1x >-时,()0f x '>,()f x 单调递增. 故()f x 在1x =-处取得极小值.综上,函数()f x 在1x =-处取得极小值0a ⇔≠.∴“a =是“函数()f x 在1x =-处取得极小值”的充分不必要条件.故选:A . 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值,考查充分必要条件的判定,属于中档题. 10.已知数列{}n a 是递增的等差数列,且2a ,3a 是函数()256f x x x -=+的两个零点.设数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,若不等式1log (1)3na T a >-对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围为( )A.10,4⎛⎫⎪⎝⎭B.10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()01,【答案】C【解析】首先根据23,a a 求等差数列的通项公式,n a n =,再将恒成立问题转化为()()min 1log 13a n a T -<,最后解对数不等式. 【详解】数列{}n a 是递增的等差数列,23,a a 是函数()256f x x x -=+的两个零点,232,3,n a a a n ∴==∴=,211(2)n n a a n n +=+ ,易知数列{}n T 单调递增()1min 13n T T ∴== .要使不等式1log (1)3n a T a >-对任意正整数n 恒成立,只要11log (1)33a a >-即可10,01a a ->∴<<.解1a a ->,得102a <<,∴实数a 的取值10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查数列和函数的零点,以及恒成立,不等式的综合问题,属于中档题型, 中间有个步骤是求n T 的最小值,不用裂项相消法求n T ,而是直接求n T 的最小值.11.已知双曲线2222C :1(0,b 0)x y a a b-=>>的左、右焦点分别为()10F c-,,()20F c ,,点N 的坐标为23c,2b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.若双曲线C 左支上的任意一点M 均满足24MF MN b >+,则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A.⎝B.C.(5,)⎛+∞ ⎝⎭D.(13,)+∞【答案】C【解析】首先根据双曲线的定义,212MF MF a =+,转化为124MF MN a b ++>,即()1min24MF MNa b ++>,根据数形结合可知,当点1,,M F N 三点共线时,1MF MN +最小,转化为不等式23242b a b a+>,最后求离心率的范围.【详解】由已知可得212MF MF a -=,若2||4MF MN b +>,即1|||24MF MN a b ++>‖,左支上的点M 均满足2||4MF MN b +>, 如图所示,当点M 位于H 点时,1||MF MN +最小,故23242b a b a +>,即22348b a ab +>, 223840,(2)(23)0b ab a a b a b ∴-+>∴-->,23a b ∴>或222,49a b a b <∴>或22224,913a b c a <∴<或225,13c c a a >∴<<或ca >∴双曲线C 的离心率的取值范围为(5,)⎛+∞ ⎝⎭.【点睛】本题考查离心率的取值范围的问题,属于中档题型,意在考查化归和计算能力,关键是根据几何关系分析1|||MF MN +‖的最小值,转化为,a b 的代数关系,最后求ca的范围.12.在三棱锥P ABC -中,点P A B C ,,,均在球O 的球面上,且86AB BC AB BC ⊥==,,,若此三棱锥体积的最大值为则球O 的表面积为( ) A.90π B.120π C.160π D.180π【答案】D【解析】根据条件可知,当球心在三棱锥P ABC -的高上时,此三棱锥的体积最大.根据数形结合,设半径为R ,1OO A ∆是直角三角形,满足22211AO AO OO =+,建立关于R 的方程,最后24S R π=计算表面积. 【详解】因为三棱锥P ABC -的底面积一定,所以当球心在三棱锥P ABC -的高上时, 此三棱锥的体积最大.设球O 的半径为R ,顶点P 在底面内的射影为1O .因为AB BC ⊥,所以1O 为斜边AC 的中点,则1522AC AO ===,如图所示.由三楼锥P ABC -的体积113ABC V S PO ∆=⋅得1118632PO =⨯⨯⨯⨯ ,解得1PO =在1Rt AOO ∆中,有22211AO AO OO =+,即2225)R R =+,解得R =O 的表面积2244180S R πππ===球 .【点睛】本题考查了球与几何体的综合问题,考查空间想象能力以及化归和计算能力,(1)当三棱锥的三条侧棱两两垂直时,并且侧棱长为,,a b c ,那么外接球的直径2R =(2)当有一条侧棱垂直于底面时,先找底面外接圆的圆心,过圆心做底面的垂线,球心在垂线上,根据垂直关系建立R 的方程.二、填空题13.已知实数x y , 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩,则目标函数3z x y =-的最小值为______.【答案】1【解析】首先画出可行域,然后作出初始目标函数,最后求3z x y =-的最小值. 【详解】作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,由图可得(1,2),(3,1),(4,2)A B C ,平移直线30x y -=,可知过A 、C 时分别取得最小值与最大值,所以1310x y -剟,所以min 1z =.【点睛】本题考查了线性规划,考查了目标函数的几何意义,考查了分析问题解决问题的能力,属于简单题型. 14.已知()4121x a x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中含3x 的项的系数为5,则a =_________. 【答案】2【解析】首先原式展开为()()()44412111x x x a x x⋅-+⋅-+-,然后分别求每一项中含有3x 的系数,最后求a . 【详解】由题意知原式展开为()()()44412111x x x a x x⋅-+⋅-+-, 所以412(1)x a x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中含3x 的项为224334412C ()()C ()x x x a x x ⋅-+-+-,即3(134)a x -,由已知条件知1345a -=,解得2a = . 【点睛】本题考查了二项式定理的综合问题,意在考查二项式定理指定项的求法,属于基础题.15.已知()f x 是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数,其导函数为()f x ',8f π⎛⎫=⎪⎝⎭当x 0,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()sin 22()cos 20f x x f x x '+>,则不等式()21f x sin x <的解集为______.【答案】,88ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】首先根据已知构造函数,()()sin 2g x f x x =⋅ ,根据导数可知函数()g x 单调递增,即()()sin 218f x x g x g π⎛⎫⋅<⇔< ⎪⎝⎭,再结合奇偶性得到不等式的解集. 【详解】令()() 2g x f x sin x =,则()()()' 22 2g x f x sin x f x cos x =+当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()()'0g x g x >, 单调递增,且sin 18842g f πππ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为()sin 21f x x <等价于()sin 2sin 288f x x f ππ⎛⎫⎛⎫<⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即g(x)<g(8π), 又()()sin 2g x f x x =为偶函数,所以8x π<,故88x ππ-<<,故不等式()21f x sin x <的解集为,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ . 【点睛】本题考查了函数的奇偶性,函数与方程,函数与不等式,导数的应用,涉及函数与方程思想,数形结合思想和转化化归思想,考查逻辑思维能力,等价转化能力,运算求解能力,综合性较强,本题的关键是构造函数()() 2g x f x sin x =,根据导数分析函数的单调性,并且判断()g x 是偶函数.16.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ,准线为l 。
河南省安阳市2024届高三第一次模拟考试数学试卷含答案解析
2024届高三年级第一次模拟考试数学考生注意:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上,并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2A x x x=∈≤N ,{}3B x xx =-=,则()A.ABB.ABC.A B= D.A B ⋂=∅2.已知复数z 满足i 56i z -=,则z 的虚部为()A.5B.5- C.5iD.5i-3.若圆22:(2)2a C x y a ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭与x 轴相切,则=a ()A.1B.C.2D.44.“5cos 25sin 210αα++=”是“1tan 2α=-”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知ABC 所在平面内一点D 满足102DA DB DC ++=,则ABC 的面积是ABD△的面积的()A.5倍B.4倍C.3倍D.2倍6.小明将1,4,0,3,2,2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码,若两个2之间只有一个数字,且1与4相邻,则可以设置的密码种数为()A.48B.32C.24D.167.已知函数()2()e 1xf x x λ=-+有两个极值点p ,q ,若2q p =,则(0)f =()A.ln 212-B.21ln 2-C.1ln 2-D.11ln 2-8.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ,过F 且与一条渐近线平行的直线与C 的右支及另一条渐近线分别交于,BD 两点,若FB BD =,则C 的渐近线方程为()A.2y x=± B.y = C.y x=± D.y =二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知函数π()2sin 36x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭,则()A.12π-为()f x 的一个周期B.()f x 的图象关于直线2πx =对称C.(π)f x +为偶函数D.()f x 在[]2,3ππ上单调递增10.已知正三棱台111ABC A B C -中,111A B C △的面积为,ABC 的面积为,12AA =,棱11B C 的中点为M ,则()A.该三棱台的侧面积为30B.该三棱台的高为3C.AM ⊥平面11BCC B D.二面角1A AB C --的余弦值为1311.甲是某公司的技术研发人员,他所在的小组负责某个项目,该项目由,,A B C 三个工序组成,甲只负责其中一个工序,且甲负责工序,,A B C 的概率分别为0.5,0.3,0.2,当他负责工序,,A B C 时,该项目达标的概率分别为0.60.80.7,,,则下列结论正确的是()A.该项目达标的概率为0.68B.若甲不负责工序C ,则该项目达标的概率为0.54C.若该项目达标,则甲负责工序A 的概率为1534D.若该项目未达标,则甲负责工序A 的概率为5812.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线1:2l x =-,直线:(0)l y kx m k '=+≠与抛物线C交于,M N 两点,P 为线段MN 的中点,则下列结论正确的是()A.若2km =-,则以MN 为直径的圆与l 相交B.若2m k =-,则(OM ON O ⊥为坐标原点)C.过点,M N 分别作抛物线C 的切线1l ,2l ,若1l ,2l 交于点A ,则AP l ⊥D.若||1MN =,则点P 到直线l 的距离大于等于58三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知圆锥的底面半径为1,体积为22π3,则该圆锥的侧面展开图对应的扇形的圆心角为_________.14.已知数列{}n a 中,11a =,且()1110n n a a +++=,则{}n a 的前12项和为_________.15.已知正实数m ,n 满足(1)()(1)(1)m m n n n -+=+-,则m n +的最大值为_________.16.若函数()()1e2e x f x x x xλ-=+-在()0,∞+上没有零点,则实数λ的取值范围为_________.四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且sin sin 4cos 0sin sin B AC A B+-=.(1)证明:2222a b c +=;(2)若2sin cos sin sin BB A C=,求cos A 的值.18.如图所示,在三棱锥S ABC -中,22ABSA SC ===,AC BC ==,SB =.(1)求证:平面SAC ⊥平面ABC ;(2)若15DS BS =,求直线CD 与平面SAB 所成角的正弦值.19.已知数列{}n a 中,12a =,1232nn n a a +=+⋅.(1)求{}n a 的通项公式;(2)若()22(1)(31)n n a n b n n n-=-+,求数列{}n b 的前n 项和n T .20.为了验证某种新能源汽车电池的安全性,小王在实验室中进行了(2)n n ≥次试验,假设小王每次试验成功的概率为(01)p p <<,且每次试验相互独立.(1)若小王某天进行了4次试验,且13p =,求小王这一天试验成功次数X 的分布列以及期望;(2)若恰好成功2次后停止试验,12p =,以Y 表示停止试验时试验的总次数,求2()ni P Y i ==∑.(结果用含有n 的式子表示)21.(1)求函数1()e x f x x -=-的极值;(2)若(0,1]a ∈,证明:当0x >时,(1)e 1ln x a x x a --+≥+.22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32,直线l 过C 的上顶点与右顶点且与圆224:5O x y +=相切.(1)求C 的方程.(2)过C 上一点()00,A x y 作圆O 的两条切线1l ,2l (均不与坐标轴垂直),1l ,2l 与C 的另一个交点分别为()11,M x y ,()22,N x y .证明:①直线AM ,AN 的斜率之积为定值;②120x x +=.2024届高三年级第一次模拟考试数学考生注意:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上,并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2A x x x=∈≤N ,{}3B x xx =-=,则()A.ABB.ABC.A B= D.A B ⋂=∅【答案】A 【解析】【分析】解出集合,A B ,再判断包含关系.【详解】依题意,{}{}010,1A x x =∈≤≤=N ,{}{}301,0,1B x x x =-==-,所以A B ,A B A = .故选:A2.已知复数z 满足i 56i z -=,则z 的虚部为()A.5B.5- C.5iD.5i-【答案】B 【解析】【分析】根据复数的除法运算求z ,进而可得结果.【详解】由题意可得:56i65i iz +==-,所以z 的虚部为5-.故选:B.3.若圆22:(2)2a C x y a ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭与x 轴相切,则=a ()A.1B.C.2D.4【答案】D 【解析】【分析】求出圆心和半径,数形结合得到24a a =且0a >,得到答案.【详解】22:(2)2a C x y a ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭的圆心为2,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,半径为0)a >,因为圆C 与x 轴相切,所以24aa =且0a >,解得4a =故选:D4.“5cos 25sin 210αα++=”是“1tan 2α=-”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用三角恒等变换得到1tan 2α=-或tan 3α=,从而得到答案.【详解】()22225cos 25sin 2105cos sin 10sin cos cos sin 0αααααααα++=⇔-+++=223cos 2sin 5sin cos 0αααα⇔-+=,显然cos 0α≠,则22tan 5tan 30αα--=,解得1tan 2α=-或tan 3α=.所以“5cos 25sin 210αα++=”是“1tan 2α=-”的必要不充分条件.故选:B5.已知ABC 所在平面内一点D 满足102DA DB DC ++=,则ABC 的面积是ABD△的面积的()A.5倍B.4倍C.3倍D.2倍【答案】A 【解析】【分析】利用平面向量的线性运算计算即可.【详解】设AB 的中点为M ,因为102DA DB DC ++=,所以2()CD DA DB =+ ,所以4CD DM = ,所以点D 是线段CM 的五等分点,所以5ABC ABD CM S S DM== ,所以ABC 的面积是ABD △的面积的5倍.故选:A.6.小明将1,4,0,3,2,2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码,若两个2之间只有一个数字,且1与4相邻,则可以设置的密码种数为()A.48B.32C.24D.16【答案】C 【解析】【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解.【详解】1与4相邻,共有22A 2=种排法,两个2之间插入1个数,共有122A =种排法,再把组合好的数全排列,共有33A 6=种排法,则总共有22624⨯⨯=种密码.故选:C7.已知函数()2()e 1xf x x λ=-+有两个极值点p ,q ,若2q p =,则(0)f =()A.ln 212-B.21ln 2-C.1ln 2-D.11ln 2-【答案】D 【解析】【分析】求导,得到方程组,求出ln 2p =,进而得到1ln 2λ=,得到答案.【详解】依题意,()e 2xf x x λ'=-,则e 20e 20p q p q λλ⎧-=⎨-=⎩,因为2q p =,所以2e 2e 4p p pp λλ⎧=⎨=⎩,显然λ,0p ≠,两式相除得e 2p =,则ln 2p =,代入e 2p p λ=中,解得1ln 2λ=,则1(0)1ln 2f =-.故选:D8.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ,过F 且与一条渐近线平行的直线与C 的右支及另一条渐近线分别交于,BD 两点,若FB BD =,则C 的渐近线方程为()A.2y x=±B.y =C.y x=±D.y =【答案】C 【解析】【分析】设直线:()b BD y x c a =-,()()1122,,,B x y D x y ,由()b y x c ab y x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得到,22c bc D a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,再根据条件得出3,44c bc B a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,代入方程22221x y a b-=,即可求出结果.【详解】易知C 的渐近线方程为by x a =±,不妨设直线:()b BD y x c a=-,()()1122,,,B x y D x y ,联立方程得()b y x c ab y xa ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,解得22x c =,22bc y a =-,所以,22c bc D a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,又FB BD = ,而11(,)FB x c y =- ,11(,)22c bc BD x y a =--- ,得到111122c x c x bc y y a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩,解得113,44bc x c y a ==-,故3,44c bc B a ⎛⎫-⎪⎝⎭,代入22221x y a b-=中,得2222911616c c a a -=,得到222c a=,又222c a b =+,得到2221b a =+,解得1b a =,故所求C 的渐近线方程为y x =±,故选:C.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知函数π()2sin 36x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭,则()A.12π-为()f x 的一个周期B.()f x 的图象关于直线2πx =对称C.(π)f x +为偶函数D.()f x 在[]2,3ππ上单调递增【答案】AB 【解析】【分析】根据题意结合正弦函数性质逐项分析判断.【详解】因为()f x 的最小正周期2π6π13T ==,所以12π-为()f x 的一个周期,故A 正确;因为2πππ(2π)2sin 2sin 2362f ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭,故B 正确;因为()()1πππ2sin π2sin 3636x f x x ⎡⎤⎛⎫+=+-=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭,不具有奇偶性,故C 错误;因为[]2π,3πx ∈,则ππ5π,3626x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,且sin y x =在π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递减,所以()f x 在[]2,3ππ上单调递减,故D 错误.故选:AB.10.已知正三棱台111ABC A B C -中,111A B C △的面积为,ABC的面积为,12AA =,棱11B C 的中点为M ,则()A.该三棱台的侧面积为30B.该三棱台的高为263C.AM ⊥平面11BCC BD.二面角1A AB C --的余弦值为13【答案】BCD 【解析】【分析】计算出正三棱台侧面上的高,结合梯形的面积公式可判断A 选项;利用梯形的几何性质求出该三棱台的高,可判断B 选项;分别延长棱1AA 、1BB 、1CC 交于点P ,推导出三棱锥-P ABC 为正四面体,且M 为等边PBC 的中心,结合正四面体的几何性质可判断C 选项;利用二面角的定义可判断D 选项.【详解】对于A ,根据条件可得114A B =,6AB =,分别过点1A 、1B 在平面11ABB A 内作1AT AB ⊥,1B N AB ⊥,垂足分别为点T 、N ,因为11AA BB =,11A AT B BN ∠=∠,1190ATA BNB ∠=∠=,所以,11AAT BB N △≌△,则AT BN =,因为11//AB A B ,1AT AB ⊥,1B N AB ⊥,则四边形11A B NT 为矩形,所以,114TN A B ==,所以,64122AB TN AT BN --====,则2211413AT AA AT =-=-,即等腰梯形11ABB A 3其面积为()()1114635322A B AB AT +⋅+==,所以该三棱台的侧面积为533153=A 错误;对于B ,设ABC 的中心为O ,111A B C △的中心为1O ,可知11OAAO 是直角梯形,过点1A 在平面11OAAO 内作1A E AO ⊥,垂足为点E ,因为11//A O AO ,1A E AO ⊥,1OO AO ⊥,则四边形11OEA O 为矩形,因为23934ABC S AB == ,解得6AB =,同理可得114A B =,所以,632sin 603AB OA == ,11114432sin 6033A B O A ===,所以,11433OE A O ==,则332333AE AO OE =-==,所以,22111426433OO A E AA AE ==--,故B 正确;对于C ,分别延长棱1AA 、1BB 、1CC 交于点P ,因为1123B C BC =,11//BC B C ,则11111223PB PB B C PB PB BC ===+,可得14PB =,则11426PB PB BB =+=+=,同理可得6PA PC BC ===,所以,四面体PABC 为正四面体,延长PM 交BC 于点F ,则11123C M B C PM PF CF BC ===,所以,23PM PF =,且123C M CF =,即11133131212222232CF C M B C BC BC ==⨯=⨯=,则F 为BC 的中点,又因为23PM PF =,则M 为正PBC 的中心,故AM ⊥平面11BCC B ,故C 正确;对于D ,二面角1A AB C --即正四面体相邻侧面的夹角,因为F 为BC 的中点,ABC 为等边三角形,则AF BC ⊥,且113363326OF AF AB ==⨯==,因为PBC 是边长为6的等边三角形,则PF BC ⊥,且sin 6062PF PB ==⨯= ,故二面角1B BC A --的平面角为PFA ∠,因为PO ⊥平面ABC ,AF ⊂平面ABC ,则PO AF ⊥,则1cos 3OF PFA PF ∠===,故二面角1A AB C --的余弦值为13,故D 正确.故选:BCD.【点睛】方法点睛:求二面角常用的方法:(1)几何法:二面角的大小常用它的平面角来度量,平面角的作法常见的有:①定义法;②垂面法,注意利用等腰三角形的性质;(2)空间向量法:分别求出两个平面的法向量,然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角.11.甲是某公司的技术研发人员,他所在的小组负责某个项目,该项目由,,A B C 三个工序组成,甲只负责其中一个工序,且甲负责工序,,A B C 的概率分别为0.5,0.3,0.2,当他负责工序,,A B C 时,该项目达标的概率分别为0.60.80.7,,,则下列结论正确的是()A.该项目达标的概率为0.68B.若甲不负责工序C ,则该项目达标的概率为0.54C.若该项目达标,则甲负责工序A 的概率为1534D.若该项目未达标,则甲负责工序A 的概率为58【答案】ACD 【解析】【分析】根据题设条件,逐一对各个选项分析判断即可得出结果.【详解】记甲负责工序A 为事件1M ,甲负责工序B 为事件2M ,甲负责工序C 为事件3M ,该项目达标为事件N .对于选项A ,该项目达标的概率为()()()()()()112233()P N P M P N M P M P N M P M P N M =++0.50.60.30.80.20.70.68=⨯+⨯+⨯=,故选项A 正确;对于选项B ,()()()()()()()()112212120.50.60.30.8270.50.340P M P N M P M P N M P N M M P M P M +⨯+⨯+===++,故选项B 错误;对于选项C ,()()()1110.50.615()0.6834P M P N M P M N P N ⨯===,所选项C 正确;对于选项D ,()()()1110.5(10.6)5()10.688P M P N M P M N P N ⨯-===-,所以选项D 正确,故选:ACD.12.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线1:2l x =-,直线:(0)l y kx m k '=+≠与抛物线C交于,M N 两点,P 为线段MN 的中点,则下列结论正确的是()A.若2km =-,则以MN 为直径的圆与l 相交B.若2m k =-,则(OM ON O ⊥为坐标原点)C.过点,M N 分别作抛物线C 的切线1l ,2l ,若1l ,2l 交于点A ,则AP l ⊥D.若||1MN =,则点P 到直线l 的距离大于等于58【答案】BCD 【解析】【分析】根据条件得到2:2C y x =,再结合各个选项的条件,逐一分析判断即可得出结果.【详解】由题可得抛物线2:2C y x =,设()11,M x y ,()22,N x y ,对于选项A ,当2km =-时,直线1:2l y k x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭过C 的焦点1(,0)2F ,此时12121MN x x p x x =++=++,又MN 的中点1212,22x x y y P ++⎛⎫⎪⎝⎭到准线1:2l x =-的距离为12122MNx x ++=,则以MN 为直径的圆与l 相切,故选项A 错误;对于选项B ,当2m k =-时,直线:2l y kx k '=-,将22y x =代入,得2240ky y k --=,则124y y =-,又易知1122(,),(,)OM x y ON x y ==,所以221212124y y OM ON x x y y ⋅=+=+ 120y y =,故选项B 正确;对于选项C ,由题可设抛物线C 在点M 处的切线方程为11()(0)y y k x x k -=-≠,由112()2y y k x x y x-=-⎧⎨=⎩,消x 得到2112220y y y x k k -+-=,由1128480y x k k ∆=-+=,得到1122120y x k k∆=-+=,又2112y x =,所以2112210y y k k-+=,得到11k y =,所以C 在点M 处的切线方程为21111(2y y y x y -=-,整理得到11y y x x =+,同理可得抛物线C 在点N 处的切线方程为22y y x x =+,联立1122y y x x y y x x =+⎧⎨=+⎩,解得122A P y y y y +==,故AP l ⊥,故选项C 正确;对于选项D ,由抛物线的对称性,可知当MN x ⊥轴时,点P 到直线l 的距离最小,由||1MN =,不妨取112y =,代入22y x =,得到118x =,所以18M N x x ==,点P 到直线l 的距离为58,故选项D正确.故选:BCD.【点睛】方法点睛:与弦端点相关问题的解法解决与弦端点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法,就是将其转化为端点的坐标关系,再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系,构建方程(组)求解.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知圆锥的底面半径为1,体积为22π3,则该圆锥的侧面展开图对应的扇形的圆心角为_________.【答案】2π3##2π3【解析】【分析】根据体积先计算出圆锥的高,再根据高计算出圆锥的母线,即展开图扇形的半径,最后在根据弧长公式求出圆心角.【详解】设圆锥(如图所示)的高为h .因为2122π133h ⋅⋅⋅=,所以h =3SA ==.将圆锥沿SA 展开所得扇形的弧长为底面周长2π,根据弧长公式2πSA α⋅=,所以圆心角2π3α=.故答案为:2π3.14.已知数列{}n a 中,11a =,且()1110n n a a +++=,则{}n a 的前12项和为_________.【答案】6-【解析】【分析】由已知可得111n n a a +=-+,借助数列的周期性、分组求和即可得出结果.【详解】依题意1n a ≠-,故111n n a a +=-+,11a =,所以212a =-,32a =-,41a =,…,故{}n a 的前12项和为112462⎛⎫--⨯=- ⎪⎝⎭.故答案为:6-15.已知正实数m ,n 满足(1)()(1)(1)m m n n n -+=+-,则m n +的最大值为_________.【答案】2【解析】【分析】依题意得22()1m n m n mn +-++=,再利用基本不等式求解.【详解】依题意得22()1m n m n mn +-++=,则21()()m n m n mn =+-+-≥221()()()4m n m n m n +-+-+,即231()()4m n m n ≥+-+,则23()4()40m n m n +-+-≤,解得02m n <+≤,则m n +的最大值为2.当且仅当1m n ==时取得最大值.故答案为:2.16.若函数()()1e2e x f x x x xλ-=+-在()0,∞+上没有零点,则实数λ的取值范围为_________.【答案】4e e,32⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】由()0f x =可得出()2e 2x x x λ=-,令()()2e 2xg x x x =-,()()0,22,x ∞∈⋃+,分析可知,直线y λ=与曲线()y g x =没有交点,利用导数分析函数()g x 的单调性与极值,数形结合可得出实数λ的取值范围.【详解】因为()()1e 2e x f x x x x λ-=+-,则()e202f =≠,令()0f x =,显然2x ≠,则()2e 2xx x λ=-,令()()2e 2xg x x x =-,()()0,22,x ∞∈⋃+,则()()()()()()()3222243e 2e 3414e22x x xx x x xx x g x xx x x ----'-==--,令()0g x '=,得14x =,21x =,列表如下:x()0,11()1,2()2,44()4,∞+()g x '+--+()g x 增极大值减减极小值增所以,函数()g x 的增区间为()0,1、()4,∞+,减区间为()1,2、()2,4,且极大值()1e g =-为,极小值为()4e 432g =.当0x →时,()g x ∞→-,当2x →时(从左边趋于),()g x ∞→-;当2x →时(从右边趋于),()g x ∞→+,当x →+∞时(从右边趋于),()g x ∞→+.由图象可知,当4e e 32λ-<<时,直线y λ=与曲线()y g x =没有交点,即()f x 在()0,∞+上没有零点.因此,实数λ的取值范围是4e e,32⎛⎫- ⎪⎝⎭,故答案为:4e e,32⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛:利用导数解决函数零点问题的方法:(1)直接法:先对函数求导,根据导数的方法求出函数的单调区间与极值,根据函数的基本性质作出图象,然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题,突出导数的工具作用,体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用;(2)构造新函数法:将问题转化为研究两函数图象的交点问题;(3)参变量分离法:由()0f x =分离变量得出()a g x =,将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且sin sin 4cos 0sin sin B AC A B+-=.(1)证明:2222a b c +=;(2)若2sin cos sin sin BB A C=,求cos A 的值.【答案】(1)证明见解析(2)6【解析】【分析】(1)(2)由正余弦定理边角互化,结合余弦定理化简计算求解.【小问1详解】证明:由正弦定理及条件可得4cos 0b aC a b+-=,由余弦定理可得22222402b a a b c ab ab++--⋅=,化简得2222a b c +=.【小问2详解】由2sin cos sin sin B B A C =得22222a c b b ac ac+-=,化简得2223a c b +=,又2222a b c +=,故32b c =,所以2a c =,故2223cos 26b c a A bc +-==.18.如图所示,在三棱锥S ABC -中,22ABSA SC ===,AC BC ==,SB =.(1)求证:平面SAC ⊥平面ABC ;(2)若15DS BS =,求直线CD 与平面SAB 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)539【解析】【分析】(1)要证明面面垂直,只需证明BC ⊥平面SAC ,即只需证明BC AC ⊥,BC SC ⊥.(2)建立空间直角坐标系,求出平面SAB 的法向量,然后再求线面角.【小问1详解】证明:因为22216AC BC AB +==,所以BC AC ⊥,同理可得222BC SC SB +=,故BC SC ⊥,因为SC AC C = ,,AC SC ⊂平面SAC ,所以BC ⊥平面SAC 因为BC ⊂平面ABC ,故平面SAC ⊥平面ABC .【小问2详解】以C 为坐标原点,CA ,CB 所在直线分别为x 轴、y 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,因为15DS BS=则(0,0,0)C ,(22,0,0)A ,2,0)B ,2,0,2)S ,422242,,555D ⎛⎫⎪⎪⎝⎭,所以2,0,2)SA = ,2,2,2)BS =-,42242,,555CD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.设(,,)n x y z =为平面SAB 的法向量,则0,0,SA n BS n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220,2220,z z ⎧=⎪-+=令1x =,得(1,1,1)n = .设直线CD 与平面SAB 所成的角为θ,则||2253sin |cos ,|9||||6235CD n CD n CD n θ⋅=〈〉===⋅⨯,所以直线CD 与平面SAB 所成角的正弦值为539.19.已知数列{}n a 中,12a =,1232nn n a a +=+⋅.(1)求{}n a 的通项公式;(2)若()22(1)(31)n n a n b n n n-=-+,求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)1(31)2n n a n -=-⋅(2)1221n n n T +-=+【解析】【分析】(1)根据条件可得数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项,32为公差的等差数列,即可求出结果;(2)由(1)可得1221n n n b n n +=-+,再利用裂项相消法即可求出结果.【小问1详解】由1232nn n a a +=+⋅,可得113222n n n na a ++-=,又112a =,故数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项,32为公差的等差数列,所以3311(1)222n n a n n -=+-⋅=,得到1(31)2n n a n -=-⋅.【小问2详解】由(1)可知()12(31)2(1)(1)222(1)1(31)n n n n n n n n b n n n n n n n+-⋅⋅--⋅===-++-+,故12231122222222122311n n n n T n n n ++=-+-++-=-++ .20.为了验证某种新能源汽车电池的安全性,小王在实验室中进行了(2)n n ≥次试验,假设小王每次试验成功的概率为(01)p p <<,且每次试验相互独立.(1)若小王某天进行了4次试验,且13p =,求小王这一天试验成功次数X 的分布列以及期望;(2)若恰好成功2次后停止试验,12p =,以Y 表示停止试验时试验的总次数,求2()ni P Y i ==∑.(结果用含有n 的式子表示)【答案】(1)分布列见解析;期望为43(2)212n nn --【解析】【分析】(1)利用二项分布求解;(2)法一:先求n 次试验中,成功了0次或1次的概率,再利用对立事件求解;法二:先求1111()C 22n n n n P Y n --==⨯=,再利用错位相减求和.【小问1详解】依题意,1~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则4216(0)381P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,3142132(1)C 3381P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,2224218(2)C 3327P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,334218(3)C 3381P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭411(4)381P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,故X 的分布列为:X1234P16813281827881181故14()433E X =⨯=.【小问2详解】方法一:设A =“停止试验时试验总次数不大于n ”,则2()(2)(3)(4)()()ni P Y i P Y P Y P Y P Y n P A ====+=+=++==∑ ,A =“n 次试验中,成功了0次或1次”,“n 次试验中,成功了0次”的概率111122nn P ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭;“n 次试验中,成功了1次”的概率11211C 1222n n nn P -⎛⎫=⨯-⨯= ⎪⎝⎭.所以12221()12n nni n P Y i P P =--==--=∑.方法二:事件“Y n =”表示前n 1-次试验只成功了1次,且第n 次试验成功,故1111()C 22n n n n P Y n --==⨯=,所以23421231()2222nni n P Y i =-==++++∑ ,令23412312222n nn S -=++++ ,则1345112321222222n n n n n S +--=+++++ ,两式相减得:1234511111122212222n n n n S +-=+++++- ,11111142112111222n n n n n -++⎛⎫- ⎪⎝--+=⎭=--则212n n nn S --=.即2342123121()22222n nn n i n n P Y i =---==++++=∑ 21.(1)求函数1()e x f x x -=-的极值;(2)若(0,1]a ∈,证明:当0x >时,(1)e 1ln x a x x a --+≥+.【答案】(1)极小值为0,无极大值;(2)证明见解析【解析】【分析】(1)求导,得到单调性,从而得到极值情况;(2)在(1)基础上得到1ln x x -≥,构造函数()(1)e ln 1(0)x a h x x x a x -=--+->,求导得到其单调性,结合隐零点得到函数的最小值()00h x ≥,证明出结论.【详解】(1)依题意,1()e 1x f x -'=-,令()0f x '=,解得1x =,所以当(,1)x ∞∈-时,()0f x '<,当(1,)x ∈+∞时,()0f x '>,即()f x 在(,1)-∞上单调递减,在(1,)+∞上单调递增,而(1)0f =,故()f x 的极小值为0,无极大值.(2)由(1)可知,当0x >时,1e x x -≥,则1ln x x -≥.令()(1)e ln 1(0)x a h x x x a x -=--+->,则1()ex ah x x x-'=-,易知()h x '在(0,)+∞上单调递增.因为(0,1]a ∈,所以1211e 2022ah -⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭,1(1)e 10a h -'=-≥,故01,12x ⎛⎤∃∈ ⎥⎝⎦,使得()00h x '=,即0001e x a x x -=①.当()00,x x ∈时,()0h x '<,当()0,x x ∈+∞时,()0h x '>,所以()h x 在()00,x x ∈上单调递减,在()0,x x ∈+∞上单调递增,故[]()()0000min ()1e ln 1x a h x h x x x a -==--+-②.由①可得000201e,2ln x ax a x x -=-=-,代入②,得()()()()()000000000022200012121113ln 1311x x x x x h x x x x x x x x --+--=--+≥---+=,而01,12x ⎛⎤∈⎥⎝⎦,故()00h x ≥,故()0h x ≥,即原命题得证.【点睛】方法点睛:隐零点的处理思路:第一步:用零点存在性定理判定导函数零点的存在性,其中难点是通过合理赋值,敏锐捕捉零点存在的区间,有时还需结合函数单调性明确零点的个数;第二步:虚设零点并确定取范围,抓住零点方程实施代换,如指数与对数互换,超越函数与简单函数的替换,利用同构思想等解决,需要注意的是,代换可能不止一次.22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2,直线l 过C 的上顶点与右顶点且与圆224:5O x y +=相切.(1)求C 的方程.(2)过C 上一点()00,A x y 作圆O 的两条切线1l ,2l (均不与坐标轴垂直),1l ,2l 与C 的另一个交点分别为()11,M x y ,()22,N x y .证明:①直线AM ,AN 的斜率之积为定值;②120x x +=.【答案】(1)2214x y +=(2)①证明见解析;②证明见解析【解析】【分析】(1)利用已知求参数,得到椭圆方程即可.(2)①利用点到直线的距离得到斜率满足的方程,结合韦达定理得到斜率的乘积,简单转化得到定值即可.②联立方程,结合韦达定理用斜率表示所求式,化简得到定值即可.【小问1详解】设椭圆的半焦距为(0)c c >.依题意,离心率32c e a ===,则2a b =,=c ①.直线:1x yla b +=,即0bx ay ab +-==联立①②,解得2a =,1b =,故C 的方程为2214x y +=.【小问2详解】(i )设过点A 且与圆O 相切的直线的方程为()00(0)y y k x x k -=-≠,=,整理得()22200005410540x k x y k y --+-=,记直线AM ,AN 的斜率分别为1k ,2k ,则2020122200514454154544x y k k x x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭===---,为定值.(ii )由(i )的过程可知直线()010:AM y y k x x -=-,联立方程得()01022,440,y y k x x x y ⎧-=-⎨+-=⎩则有()()()22211010010148440kxk y k x x y k x ++-+--=,故()11001021814k k x y x x k -+=+.直线()020:AN y y k x x -=-,同理可得()22002022814k k x y x x k -+=+.故()()1100220010202212881414k k x y k k x y x x x x k k --+++=+++()001100112211118844141144x y k k x y k k k k ⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭=++⎛⎫+- ⎪⎝⎭21010010221188281414k x k y x k y k k -+=+++201002128214x k x x k +==+,则120x x +=.。
2020年河南高三一模数学试卷(理科)
2020年河南高三一模数学试卷(理科)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知集合,,则( ).A. B. C. D.2.下列命题中正确的是( ).A.若,则B.若,,则C.若,,则D.若,,则3.设方程的根为,表示不超过的最大整数,则( ).A.B.C.D.4.在中,已知,,,则等于( ).A.或B.C.D.5.下列四个结论:①命题“,”的否定是“,”.②若是真命题,则可能是真命题.③“且”是“”的充要条件.④当时,幂函数在区间上单调递减.其中正确的是( ).A.①④B.②③C.①③D.②④6.已知正项等比数列的前项和为,若,,则( ).A.B.C.D.7.的展开式中的系数为( ).A.B.C.D.8.直线与曲线有且仅有个公共点,则实数的取值范围是( ).A.B.C.D.9.某校有人参加某次模拟考试,其中数学考试成绩近似服从正态分布,试卷满分分,统计结果显示数学成绩优秀(高于分)的人数占总人数的,则此次数学考试成绩在分到分之间的人数约为( ).A.B.C.D.10.已知椭圆:的右焦点为,短轴的一个端点为,直线:与椭圆相交于、两点.若,点到直线的距离不小于,则椭圆离心率的取值范围为( ).A.B.C.D.11.若函数与都在区间上单调递减,则的最大值为( ).A.B.C.D.12.已知关于的方程恰有四个不同的实数根,则当函数时,实数的取值范围是( ).A.B.C.D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若平面向量、满足,平行于轴,,则 .14.实数,满足约束条件:,则的取值范围为 .15.半径为的球面上有,,,四点,且,,两两垂直,则,与面积之和的最大值为 ·16.如图,,分别是椭圆的左、右顶点,圆的半径为,过点作圆的切线,切点为,在轴的上方交椭圆于点,则.三、解答题(本大题共5小题,每小题12分,共60分)(1)(2)17.数列中,,当时,其前项和满足.求的表达式.设,求数列的前项和.(1)(2)18.在如图所示的三棱柱中,平面,,,的中点为,若线段上存在一点使得平面.求的长.求二面角的大小.19.部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了名乘客,统计其乘车等待时间(指乘客从进站口到乘上车的时间,乘车等待时间不超过分钟).将统计数据按,,,,分组,制成频率分布直方图:(1)(2)频率组距乘车等待时间甲站(分钟)频率组距乘车等待时间乙站(分钟)假设乘客乘车等待时间相互独立.在上班高峰时段,从甲站的乘客中随机抽取人,记为;从乙站的乘客中随机抽取人,记为.用频率估计概率,求“乘客,乘车等待时间都小于分钟”的概率.从上班高峰时段,从乙站乘车的乘客中随机抽取人,表示乘车等待时间小于分钟的人数,用频率估计概率,求随机变量的分布列与数学期望.(1)(2)20.已知为坐标原点,椭圆:的左、右焦点分别为,,离心率,椭圆上的点到焦点的最短距离为.求椭圆的标准方程.设为直线上任意一点,过的直线交椭圆于点,,且,求的最小值.(1)(2)21.已知函数,.若存在极小值,求实数的取值范围.设是的极小值点,且,证明:.四、选做题(本大题共2小题,选做1题,共10分)(1)(2)22.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.求的普通方程和的直角坐标方程.已知直线的极坐标方程为,是与的交点,是与的交点,且,均异于原点,,求的值.【答案】解析:,;∴;∴.故选:.解析:构造函数,由于函数与在定义域上都是单调递增函数,故在定义域上单调递增,由,.则函数的零点在之间,故,.解析:由正弦定理知,,∵,∴或又∵,∴,(1)(2)23.已知函数.当,求不等式 的解集.设对恒成立,求的取值范围.C1.或C2.B3.C4.∴∴故选.解析:①命题“,”的否定是“,”.满足命题的否定形式,正确.②若是真命题,是真命题,则是假命题.所以②不正确.③“且”可得“”成立,“”得不到“且”所以③不正确.④当时,幂函数在区间上单调递减,正确,反例:,可知:时,函数是增函数,在上单调递减,所以④正确.故选.解析:正项等比数列的前项和为,,,∴,解得,,∴.故选:.解析:∵,二项展开式的通项为,二项展开式的通项为,令,得,A 5.B 6.C 7.所以,展开式中的系数为.故选:.解析:如图所示,直线过点,圆的圆心坐标,,直线与曲线有且只有个公共点,设为,,则,,直线与曲线相切时,或(舍去),直线与曲线有且仅有个公共点,则实数的取值范围是.故选.解析:∵,∴,∴,∴此次数学考试成绩在分到分之间的人数约为.故选.解析:C 8.C 9.C 10.设椭圆的左焦点为,根据椭圆的对称性可得:,,∴,解得,∵点到直线的距离不小于,∴,解得,又,∴,∴,∴离心率,故选.解析:函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,与在区间上单调递减,在上单调递增,所以:这两个函数在区间单调递减,故:即所求的最大值.故选.解析:B 11.B 12.函数,由得,得或,此时为增函数,由得,得,此时为减函数,即当时,函数取得极小值,极小值为,当时,函数取得极大值,极大值为当,,且,作出函数的图象如图:设,则当 时方程有个根,当时,方程有个根,当或时,方程有个根,则方程等价为,若恰有四个不同的实数根,等价为有两个不同的根,当,方程不成立,即,其中或设,则满足,得,即,即,即实数的取值范围是.故选:.解析:方法一:由题设得或,则或.故填或方法二:设,则由及得.又由平行于轴,得,于是,解得:或,从而得,或.方法三:设,那么,由或.解析:作出不等式组表示的平面区域如下图:xyO 其中,因为表示与点连线斜率,由图可得:当点在点处时,它与点连线斜率最小为,所以的取值范围为.故答案为:.解析:或13.14.15.如图所示,将四面体置于一个长方体模型中,则该长方体外接球的半径为,不妨设,﹐,则有:,即.记,从而有,即,从而.当且仅当,即该长方体为正方体时等号成立.从而最大值为.16.解析:连结、,可得是边长为的等边三角形,∴,可得直线的斜率,直线的斜率,因此直线的方程为,直线的方程为,设,联解、的方程可得.(1)(2)∵圆与直线相切于点,∴,可得,直线的斜率,因此直线的方程为,代入椭圆,消去,得,解之得或.直线交椭圆于与点,∴设,可得.由此可得.故答案为:.解析:由和得,即,由题意知,上式两边同除以得.是首项为,公差为的等差数列,..适合,...解析:(1).(2).17.(1).(2).18.(1)(2)由题意知,,两两垂直.以点为原点,,,分别为轴,轴,轴建立建立空间直角坐标系.设,则,,,,,,设,由题意,,,所以,故,设面的法向量为,则,,所以,取,由面,则得,,所以.由()得平面的一个法向量为,设平面的法向量为,,,则,取,,,(1)(2)则.故二面角所成角的大小为.解析:设表示事件“乘客乘车等待时间小于分钟”,表示事件“乘客乘车等待时间小于分钟”,表示事件“乘客,乘车等待时间都小于分钟”,由题意知,乘客乘车等待时间小于分钟的频率为:,故的估计值为,乘客乘车等待时间小于分钟的频率为,故的估计值为,又,故事件的概率为.由可知,乙站乘客乘车等待时间小于分钟的频率为,所以乙站乘客乘车等待时间小于分钟的概率为,显然,的可能取值为,,,且,所以;;;;故随机变量的分布列为:,(1).(2)的分布列为:.19.(1)(2).解析:,而,又,得,,故椭圆的标准方程为.由()知,∵,故,设,∴,直线的斜率为,当时,直线的方程为,也符合方程,当时,直线的斜率为,直线的方程为,设,,将直线的方程与椭圆的方程联立,得,消去,得,,,,,(1).(2).20.(1)(2),当且仅当,即时,等号成立,∴的最小值为.解析:,令,则,所以在上是增函数,又因为当时,,当时,,所以,当时,,,函数在区间上是增函数,不存在极值点,当时,的值域为,必存在使,所以当时,,,单调递减,当时,,,单调递增,所以存在极小值点,综上可知实数的取值范围是.由()知,即,所以,,由,得,令,显然在区间上单调递减,又,所以由,得,令,,当时,,函数单调递增;(1).(2)证明见解析.21.(1)(2)(1)当时,,函数单调递减;所以,当时,函数取最小值,所以,即,即,所以,,所以,即.解析:对于,所以的直角坐标方程为.由,得,又,,所以的直角坐标方程为.由知曲线的普通方程为,所以其极坐标方程为.设点,的极坐标分别为,,则,,所以,所以,即,解得,又,所以.解析:当时,,即,当时,原不等式化为,得,即;当时,原不等式化为,得,即;当时,原不等式化为,得,即.综上,原不等式的解集为.(1),.(2).22.(1).(2).23.(2)因为,所以可化为,所以,即对恒成立,则,所以的取值范围是.。
河南省安阳市2020届高三年级第一次模拟考试数学理科试题
2020届高三年级第一次模拟考试数学(理科)考生注意:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上,并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{| 3 3}A x x x =≥≤-或,{}|2,1xB y y x ==≥,则()RA B ⋂=( )A .||23|x x ≤<B .{|2}x x >C .||3|x x ≥D .{|23|x x <≤2.已知复数z 满足(3)1i z i +=+,则z 的虚部为( )A .i -B .iC .–1D .13.已知函数3(1),1()ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩,若()()a f f b >,则下列不等关系正确的是( )A221111a b <++B >C .2a ab <D .()()22ln 1ln 1a b +>+4.国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个 月的中国制造业采购经理指数(PMI )如下图所示.则下列结论中错误的是( )A .12个月的PMI 值不低于50%的频率为13B .12个月的PMI 值的平均值低于50%C .12个月的PMI 值的众数为49.4%D .12个月的PMI 值的中位数为50.3%5.已知数列{}n a 满足12n n a a +-=,且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ,则n S 的最小值为( ) A .–10B .14-C .–18D . –206.已知cos(2019)3πα+=-,则sin(2)2πα-=( ) A .79B .59C .59-D . 79-7.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ,过右顶点A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M 点,MF 的中点恰好在双曲线C 上,则C 的离心率为( )A 1-BC D8.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为11,则图中的判断条件可以为( )A .1?S >-B .0?S <C .–1?S <D .0?S >9.已知各项都是正数的数列{}n a 满足()*12n n a a n n +-=∈N,若当且仅当4n =时,na n取得最小值,则( ) A .1012a <<B .11220a <<C .112a =D .120a =10.过抛物线()2:20E x py p =>的焦点F 作两条互相垂直的弦AB ,CD ,设P 为抛物线上的一动点,()1,2Q ,若111||||4AB CD +=,则||||PF PQ +的最小值是( ) A .1B .2C .3D .411.已知四棱锥E ABCD -,底面ABCD 是边长为1的正方形,1ED =,平面ECD ⊥平面ABCD ,当点C 到平面ABE 的距离最大时,该四棱锥的体积为( )A .6B .13C .3D .112.已知不等式ln (ln4)0x x x k k +-+<的解集中仅有2个整数,则实数k 的取值范围是( )A .20,ln 23⎛⎫ ⎪⎝⎭B .342ln ,ln 2433⎛⎫⎪⎝⎭ C .34ln,43⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D .342ln,ln 2433⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.已知向量),1(1a =,||3b =,(2)2a b a +⋅=,则||a b -=__________.14.5(1)(1)ax x +-的展开式中,3x 的系数是20,则a =_________.15.将底面直径为4的圆锥形石块打磨成一个圆柱,则该圆柱的侧面积的最大值为__________.16.2019年暑假期间,河南有一新开发的景区在各大媒体循环播放广告,观众甲首次看到该景区的广告后,不来此景区的概率为1114,从第二次看到广告起,若前一次不来此景区,则这次来此景区的概率是13;若前一次来此景区,则这次来此景区的概率是25.记观众甲第n 次看到广告后不来此景区的概率为n P ,若当2n ≥时,n P M ≤恒成立,则M 的最小值为__________.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分. 17.(12分)如图,在平面四边形ABCD 中,45DCB ∠=︒,120ABD ∠=︒,AD = (I )求ABD 的面积的最大值;(Ⅱ)在ABD 的面积取得最大值的条件下,若BC =tan 2α的值.18.(12分)如图,在斜三棱柱111ABC A B C -中,平面ABC ⊥平面11A ACC ,12CC =,ABC ,1ACC ,均为正三角形,E 为AB 的中点.(Ⅰ)证明:1//AC 平面1B CE ;(Ⅱ)求直线1AC 与平面11B BAA 所成角的正弦值.19.(12分)近几年一种新奇水果深受广大消费者的喜爱,一位农户发挥聪明才智,把这种露天种植的新奇水果搬到了大棚里,收到了很好的经济效益.根据资料显示,产出的新奇水果的箱数x (单位:十箱)与成本y (单位:千元)的关系如下:y 与x 可用回归方程ˆlg y bx a =+(其中a ,b 为常数)进行模拟. (Ⅰ)若该农户产出的该新奇水果的价格为150元/箱,试预测该新奇水果100箱的利润是多少元.(利润=售价-成本)(Ⅱ)据统计,10月份的连续16天中该农户每天为甲地可配送的该新奇水果的箱数的频率分布直方图如图,用这16天的情况来估计相应的概率。
2020年河南省安阳市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A ={x |x ≥3或x ≤﹣3},B ={y |y =2x ,x ≥1},则(∁R A )∩B =( ) A .{x |2≤x <3}B .{x |x >2}C .{x |x ≥3}D .{x |2<x ≤3}【解答】解:∵A ={x |x ≥3或x ≤﹣3},B ={y |y ≥2}, ∴∁R A ={x |﹣3<x <3}, ∴(∁R A )∩B ={x |2≤x <3}. 故选:A .2.(5分)已知复数z 满足i (3+z )=1+i ,则z 的虚部为( ) A .﹣iB .iC .﹣1D .1【解答】解∵i (3+z )=1+i ,∴3+z =1+ii=1−i , ∴z =﹣2﹣i ,∴复数z 的虚部为﹣1. 故选:C .3.(5分)已知函数f(x)={(x −1)3,x ≤1lnx ,x >1,若f (a )>f (b ),则下列不等关系正确的是( ) A .1a 2+1<1b 2+1B .√a 3>√b 3C .a 2<abD .ln (a 2+1)>ln (b 2+1)【解答】解:易知f (x )在R 上单调递增,故a >b .因为a ,b 的符号无法判断,故a 2与b 2,a 2与ab 的大小不确定, 所以A ,C ,D 不一定正确;B 中√a 3>√b 3正确. 故选:B .4.(5分)国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI )如图所示.则下列结论中错误的是( )A .12个月的PMI 值不低于50%的频率为13B .12个月的PMI 值的平均值低于50%C .12个月的PMI 值的众数为49.4%D .12个月的PMI 值的中位数为50.3%【解答】解:从图中数据变化看,PMI 值不低于50%的月份有4个, 所以12个月的PMI 值不低于50%的频率为412=13,所以A 正确;由图可以看出,PMI 值的平均值低于50%,所以B 正确; 12个月的PMI 值的众数为49.4%,所以C 正确; 12个月的PMI 值的中位数为49.6%,所以D 错误. 故选:D .5.(5分)已知数列{a n }满足a n +1﹣a n =2,且a 1,a 3,a 4成等比数列.若{a n }的前n 项和为S n ,则S n 的最小值为( ) A .﹣10B .﹣14C .﹣18D .﹣20【解答】解:根据题意,可知{a n }为等差数列,公差d =2. 由a 1,a 3,a 4成等比数列,可得(a 1+4)2=a 1(a 1+6),解得a 1=8. 所以S n =﹣8n +n(n−1)2×2=(n −92)2−814. 根据单调性,可知当n =4或5时,S n 取到最小值,最小值为﹣20. 故选:D .6.(5分)已知cos (2019π+α)=−√23,则sin (π2−2α)=( )A .79B .59C .−59D .−79【解答】解:由cos (2019π+α)=−√23,可得cos (π+α)=−√23, ∴cos α=√23,∴sin (π2−2α)=cos2α=2cos 2α﹣1=2×29−1=−59.故选:C .7.(5分)已知双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ,过右顶点A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M 点,MF 的中点恰好在双曲线C 上,则C 的离心率为( ) A .√5−1B .√2C .√3D .√5【解答】解:双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1,a >0,b >0的右顶点为A (a ,0),右焦点为F(c ,0),M 所在直线为x =a ,不妨设M (a ,b ), ∴MF 的中点坐标为(a+c 2,b2).代入方程可得(a+c 2)2a 2−(b 2)2b 2=1,∴(a+c)24a 2=54,∴e 2+2e ﹣4=0,∴e =√5−1(负值舍去).故选:A .8.(5分)执行如图所示的程序框图,若输出的结果为11,则图中的判断条件可以为( )A .S >﹣1?B .S <0?C .S <﹣1?D .S >0?【解答】解:i =1,S =1.运行第一次,S =1+lg 13=1﹣lg 3>0,i =3,不成立;运行第二次,S =1+lg 13+lg 35=1﹣lg 5>0,i =5,不成立;运行第三次,S =1+lg 13+lg 35+lg 57=1﹣lg 7>0,i =7,不成立;运行第四次,S =1+lg 13+lg 35+lg 57+lg 79=1﹣lg 9>0,i =9,不成立;运行第五次,S =1+lg 13+lg 35+lg 57+lg 79+lg 911=1﹣lg 11<0,i =11,成立,输出i 的值为11,结束, 故选:B .9.(5分)已知各项都是正数的数列{a n }满足a n +1﹣a n =2n (n ∈N *),若当且仅当n =4时,a n n取得最小值,则( )A .0<a 1<12B .12<a 1<20C .a 1=12D .a 1=20【解答】解:由题意得当n ≥2时,各项都是正数的数列{a n }满足a n +1﹣a n =2n , 所以a n ﹣a n ﹣1=2n ﹣2,a n ﹣1﹣a n ﹣2=2n ﹣4,…,a 2﹣a 1=2, 累加得a n −a 1=n 2−n ,故a n =n 2−n +a 1, 当n =1,该式也成立,则a n n=n −1+a 1n.因为当且仅当n =4时,a n n取得最小值,当a 1>0,所以由“对勾两数”的单调性可知a 44<a 33,a 44<a 55,即4−1+a14<3−1+a13,且4−1+a14<5−1+a15,解得12<a 1<20. 故选:B .10.(5分)过抛物线E :x 2=2py (p >0)的焦点F 作两条互相垂直的弦AB ,CD ,设P 为抛物线上的一动点,Q (1,2).若1|AB|+1|CD|=14,则|PF |+|PQ |的最小值是( )A .1B .2C .3D .4【解答】解:显然直线AB 的斜率存在且不为0,设直线AB 的斜率为k ,则直线AB 的方程为y =kx +p2,联立方程{y =kx +p2x 2=2py ,消去y 得:x 2﹣2pkx ﹣p 2=0, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), ∴x 1+x 2=2pk ,∴y 1+y 2=k(x 1+x 2)+p =2pk 2+p , 由抛物线的性质可知:|AB |=y 1+y 2+p =2pk 2+2p , ∵AB ⊥CD ,∴直线CD 的斜率为:−1k,∴|CD |=2p (−1k )2+2p =2p k 2+2p =2p+2pk 2k2, ∴1|AB|+1|CD|=12pk 2+2p+k 22p+2pk 2=k 2+12p+2pk 2=14,∴2p +2pk 2=4+4k 2, ∴p =2,∴抛物线方程为:x 2=4y ,准线方程为:y =﹣1,设点P 到准线y =﹣1的距离为d ,由抛物线的性质可知:|PF |+|PQ |=d +|PQ |, 而当QP 垂直于x 轴时,d +|PQ |的值最小,最小值为2+1=3,如图所示: ∴|PF |+|PQ |的最小值为3, 故选:C .11.(5分)已知四棱锥E ﹣ABCD ,底面ABCD 是边长为1的正方形,ED =1,平面ECD ⊥平面ABCD ,当点C 到平面ABE 的距离最大时,该四棱锥的体积为( ) A .√26B .13C .√23D .1【解答】解:如图所示,由题意可得:ED ⊥平面ABCD 时,△ADE 的面积最大,可得点C 即点D 到平面ABE 的距离最大.此时该四棱锥的体积=13×12×1=13. 故选:B .12.(5分)已知不等式xlnx +x (k ﹣ln 4)+k <0的解集中仅有2个整数,则实数k 的取值范围是( ) A .(0,23ln2) B .(34ln 43,23ln2) C .[34ln 43,+∞)D .[34ln 43,23ln2)【解答】解:原不等式等价于,k (x +1)<xln 4﹣xlnx , 设g (x )=k (x +1),f (x )=ln 4﹣xlnx 所以f (x )=ln 4﹣(1+lnx )=ln 4x −1,令f ′(x )=0,得x =4e .当0<x <4x时,f ′(x )>0,f (x )单调递增, 当x >4e 时,f ′(x )<0,f (x )单调递减. 又f (4)=0,x →0时,f (x )→0, 因此f (x )与g (x )的图象如下,当k ≤0时,显然不满足条件,当k >0时,只需满足{g(2)<f(2)g(3)≥f(3),∴{3k <2ln4−2ln24k ≥3ln4−3ln3 解可得,34ln43≤k <23ln2.故选:D .二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)已知向量a →=(1,1),|b →|=√3,(2a →+b →)•a →=2,则|a →−b →|= 3 . 【解答】解:由题意可得|a →|=√2,(2a →+b →)⋅a →=a →⋅b →+2a →2=a →⋅b →+4, ∴a →⋅b →+4=2,解得a →⋅b →=−2, ∴|a →−b →|=√a →2−2a →⋅b →+b →2=3. 故答案为:3.14.(5分)(ax +1)(x ﹣1)5的展开式中,x 3的系数是20,则a = ﹣1 . 【解答】解:因为(ax +1)(x ﹣1)5=ax (x ﹣1)5+(x ﹣1)5,而(x ﹣1)5的展开式的通项公式为T r +1=C 5r •x 5﹣r•(﹣1)r ,所以,原展开式中x 3的系数为a •C 53•(﹣1)3+C 52•(﹣1)2=20, ∴a =﹣1, 故答案为:﹣1.15.(5分)将底面直径为4,高为√3的圆锥形石块打磨成一个圆柱,则该圆柱的侧面积的最大值为 √3π .【解答】解:欲使圆柱侧面积最大,需使圆柱内接于圆锥.设圆柱的高为h ,底面半径为r , 则√3−ℎ√3=r 2,解得h =√3−√32r . 故S 侧=2πrh =2πr (√3−√32r )=√3πr (2﹣r )≤√3π(r+2−r 2)2=√3π.当r =1时,S 侧的最大值为√3π. 故答案为:√3π.16.(5分)2019年暑假期间,河南有一新开发的景区在各大媒体循环播放广告,观众甲首次看到该景区的广告后,不来此景区的概率为1114,从第二次看到广告起,若前一次不来此景区,则这次来此景区的概率是13;若前一次来此景区,则这次来此景区的概率是25.记观众甲第n 次看到广告后不来此景区的概率为P n ,若当n ≥2时,P n ≤M 恒成立,则M 的最小值为137210.【解答】解:根据题意,P n 为观众甲第n 次看到广告后不来此景区的概率, 则P n =P n−1⋅23+(1−P n−1)⋅35=115P n−1+35, 所以P n −914=115(P n−1−914), 所以数列{P n −914}是首项为P 1−914,公比为115的等比数列,所以P n −914=(P 1−914)×(115)n−1=17×(115)n−1, P n =914+17×(115)n−1,显然数列{P n }单调递减, 所以当n ≥2时,P n ≤P 2=914+17×115=137210, 所以M ≥137210,所以M 的最小值为137210. 故答案为:137210三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)如图,在平面四边形ABCD 中,∠DCB =45°,∠ABD =120°,AD =10√3. (Ⅰ)求△ABD 的面积的最大值;(Ⅱ)在△ABD 的面积取得最大值的条件下,若BC =5√2,求tan α2的值.【解答】解:(Ⅰ)在△ABD 中,由余弦定理可得AD 2=AB 2+BD 2﹣2AB •BD cos120°, 所以300=BA 2+BD 2+BA •BD ≥3BA •BD ,所以BA •BD ≤100,当且仅当BA =BD =10时,等号成立. 所以S △ABD =12BA ⋅BD ⋅sin120°≤25√3, 故△ABD 的面积的最大值为25√3.(Ⅱ)在△BCD 中,由题意可得∠BCD =45°,DB =10. 由正弦定理可得BCsin∠CDB=BD sin∠BCD,所以sin ∠CDB =5√2×√2210=12.又BD >BC ,所以∠CDB 为锐角,所以∠CDB =30°,所以∠CBD =105°,所以α=135°, 所以tanα2=tan67.5°,因为tan135°=2tan67.5°1−tan 267.5°=−1,所以tanα2=tan67.5°=1+√2(负值舍去).18.(12分)如图,在斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中,平面ABC ⊥平面A 1ACC 1,CC 1=2,△ABC ,△ACC 1,均为正三角形,E 为AB 的中点. (Ⅰ)证明:AC 1∥平面B 1CE ;(Ⅱ)求直线AC 1与平面B 1BAA 1所成角的正弦值.【解答】解:(Ⅰ)如图,连接BC ₁,交B 1C 于点M ,连接ME ,则ME ∥AC 1,因为AC 1⊄平面B ₁CE ,ME ⊂平面B 1CE ,所以AC 1∥平面B 1CE ,(Ⅱ)设O 是AC 的中点,连接OC 1中,OB , 因为△ACC 1为正三角形,所以OC 1⊥AC ,又平面ABC ⊥平面A 1ACC 1,平面ABC ∩平面A 1ACC 1=AC , 所以OC 1⊥平面ABC ,分别以射线OB ,OA ,OC 1分别为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系,则有A (0,1,0),B (√3,1,0),B (√3,0,0),C 1(0,0,√3),A 1(0,2,√3), AC 1→=(0,−1,√3),AB →=(√3,−1,0)AA 1→=(0,1,√3), 设平面B 1BAA 1的一个法向量为m →=(x ,y ,z),则 {m →⋅AB →=√3x −y =0m →⋅AA 1→=y +√3z =0, 令x =1,则m →=(1,√3,−1),设直线AC ₁与平面B 1BAA 1所成的角为θ,则 sin θ=|cos <AC 1→,m →>|=2√32⋅√5=√155,故直线AC 1与平面B 1BAA 1所成角的正弦值为√155.19.(12分)近几年一种新奇水果深受广大消费者的喜爱,一位农户发挥聪明才智,把这种露天种植的新奇水果搬到了大棚里,收到了很好的经济效益.根据资料显示,产出的新奇水果的箱数x (单位:十箱)与成本y (单位:千元)的关系如下:x 1 3 4 6 7 y56.577.58y 与x 可用回归方程y ^=b lgx +a ^(其中a ^,b ^为常数)进行模拟.(Ⅰ)若该农户产出的该新奇水果的价格为150元/箱,试预测该新奇水果100箱的利润是多少元.(利润=售价﹣成本)(Ⅱ)据统计,10月份的连续16天中该农户每天为甲地可配送的该新奇水果的箱数的频率分布直方图如图,用这16天的情况来估计相应的概率.一个运输户拟购置n 辆小货车专门运输该农户为甲地配送的该新奇水果,一辆货车每天只能运营一趟,每辆车每趟最多只能装载40箱该新奇水果,满载发车,否则不发车.若发车,则每辆车每趟可获利500元;若未发车,则每辆车每天平均亏损200元.试比较n =3和n =4时此项业务每天的利润平均值的大小.参考数据与公式:设t =lgx ,则t y ∑ 5i=1(t i −t)(y i −y)∑ 5i=1(t i −t)20.546.81.530.45线性回归直线y ^=b lgx +a ^中,b =∑ n i=1(t i −t)(y i −y)∑ ni=1(t i −t)2,a ^=y −b t .【解答】解:(Ⅰ)根据题意,b =∑ 5i=1(t i −t)(y i −y)∑ 5i=1(t i −t)2=1.530.45=3.4,所以a =y −b t =6.8﹣3.4×0.54=4.964, 所以y =3.4t +4.964.又t =lgx ,所以y =3.4lgx +4.964.所以x =10时,y =3.4+4.964=8.364(千元),即该新奇水果100箱的成本为8364元,故该新奇水果100箱的利润15000﹣8364=6636. (Ⅱ)根据频率分布直方图,可知该农户每天可配送的该新奇水果的箱数的概率分布表为:箱数[40,80)[80,120) [120,160)[160,200]P18 14 12 18设该运输户购3辆车和购4辆车时每天的利润分别为Y 1,Y 2元. 则Y 1的可能取值为1500,800,100,其分布列为:Y 1 1500800100P58 14 18故E (Y 1)=58×1500+14×800+18×100=1150. Y 2的可能取值为2000,1300,600,﹣100,其分布列为:Y 2 20001300600﹣100P181214 18故E (Y 2)=18×2000+12×1300+14×600+18×(−100)=1037.5.故$E ({Y }_{2}),即购置3辆小货车的利润平均值大于购置4辆小货车的利润平均值. 20.(12分)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左,右焦点分别为F 1,F 2,|F 1F 2|=2,M 是椭圆E 上的一个动点,且△MF 1F 2的面积的最大值为√3. (Ⅰ)求椭圆E 的标准方程;(Ⅱ)若A (a ,0),B (0,b ),四边形ABCD 内接于椭圆E ,AB ∥CD ,记直线AD ,BC 的斜率分别为k 1,k 2,求证:k 1k 2为定值.【解答】解:(Ⅰ)设椭圆E 的半焦距为c ,由题意可知,当M 为椭圆E 的上顶点或下顶点时,△MF 1F 2的面积取得最大值√3.所以{c =112×2c ×b =√3a 2=b 2+c 2,所以a =2,b =√3,故椭圆E 的标准方程为x 24+y 23=1.(Ⅱ)根据题意可知A (2,0),B (0,√3),k AB =−√32因为AB ∥CD ,设直线CD 的方程为y =−√32x +m ,C (x 1,y 1),D (x 2,y 2)由{x24+y23=1y=−√32x+m,消去y可得6x2﹣4√3mx+4m2﹣12=0,所以x1+x2=2√3m3,即x1=2√3m3−x2.直线AD的斜率k1=y1x1−2=−√32x1+mx1−2,直线BC的斜率k2=−√32x2+m−√3x2,所以k1k2=−√32x1+mx1−2•−√32x2+m−√3x2,=34x1x2−√32m(x1+x2)+32x1+m(m−√3)(x1−2)x2,=34x1x2−√32m⋅2√3m3+32(2√3m3−x2)+m(m−√3)(x1−2)x2,=34x1x2−32x2(x1−2)x2=34.故k1k2为定值.21.(12分)已知直线y=x﹣1是曲线f(x)=alnx的切线.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)证明:方程sin(x﹣1)=f(x)有且仅有2个实数根.【解答】解(I)f′(x)=a x,设直线y=x﹣1与曲线f(x)=alnx相切的切点P(x0,y0),由题意可得,{ax0=1alnx0=x0−1,解可得,x0=a=1,f(x)=lnx,(II)设g(x)=sin(x﹣1)﹣f(x),x>0,则g′(x)=cos(x−1)−1 x,①当x∈(0,1]时,g′(x)在(0,1]上单调递增,所以g′(x)≤g′(1)=0,则g(x)在(0,1]上单调递减,且g(1)=0,故x=1为g(x)在(0,1]上唯一的零点,②当x∈(1,12π+1]时,设h(x)=g′(x)=cos(x−1)−1x,则h′(x)=﹣sin(x﹣1)+1x2在(1,12π+1]上单调递减,因为h′(1)>0,h′(1+12π)=4(2+π)2−1<0,故存在x 0∈(1,1+12π]使得h (x 0)=0,当x ∈(1,x 0)时,h ′(x )>0,函数h (x )单调递增,当x ∈(x 0,1+12π)时,h ′(x )<0,函数h (x )单调递减,故g ′(x )在(1,x 0)上单调递增,在(x 0,1+12π)上单调递减, 又g ′(1)=0,故g ′(x 0)>0,所以g (x )在(1,x 0)上单调递增,此时g (x )>g (1)=0,不存在零点; 又g′(1+12π)=−22+π<0,故存在x 1∈(x 0,12π+1),使得g ′(x 1)=0,因为在(x 0,x 1)上g ′(x )>0,g (x )单调递增,在(x 1,+∞)上,g ′(x )<0,g (x )单调递减,又因为g (x 0)>g (1)=0,g (1+12π)=ln 2e 2+π>ln 1=0,故g (x )>0在(x 0,1+12π)上恒成立,此时不存在零点,③当x ∈(12π+1,π]时,y =sin (x ﹣1)单调递减,y =﹣lnx 单调递减, 所以g (x )在(1+12π,π]上单调递减且g (1+12π)>0,g (π)<0, 故g (x )存在唯一的零点,④当x ∈(π,+∞)时,sin (x ﹣1)∈[﹣1,1],lnx >ln π>1, 所以sin (x ﹣1)﹣lnx <0即g (x )在R 上不存在零点. 综上可得方程sin (x ﹣1)=f (x )有且仅有2个实数根. 综上可得,思念(x ﹣1)=f (x )有且仅有2个实数根.(二)选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.(10分)以直角坐标系xOy 的原点为极坐标系的极点,x 轴的正半轴为极轴.已知曲线C 1的极坐标方程为ρ=4cos θ+8sin θ,P 是C 1上一动点,OP →=2OQ →,Q 的轨迹为C 2. (Ⅰ)求曲线C 2的极坐标方程,并化为直角坐标方程;(Ⅱ)若点M (0,1),直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(t 为参数),直线l 与曲线C 2的交点为A ,B ,当|MA |+|MB |取最小值时,求直线l 的普通方程.【解答】解:(Ⅰ)根据题意,设点P ,Q 的极坐标分别为(ρ0,θ)、(ρ,θ), 则有ρ=12ρ0=2cos θ+4sin θ,故曲线C 2的极坐标方程为ρ=2cos θ+4sin θ, 变形可得:ρ2=2ρcos θ+4ρsin θ,故C 2的直角坐标方程为x 2+y 2=2x +4y ,即(x ﹣1)2+(y ﹣2)2=5; (Ⅱ)设点A ,B 对应的参数分别为t 1、t 2,则|MA |=t 1,|MB |=t 2, 设直线l 的参数方程{x =tcosαy =1+tsinα,(t 为参数), 代入C 2的直角坐标方程(x ﹣1)2+(y ﹣2)2=5中, 整理得t 2﹣2(cos α+sin α)t ﹣3=0.由根与系数的关系得t 1+t 2=2(cos α+sin α),t 1t 2=﹣3,则|MA |+|MB |=|t 1|+|t 2|=|t 1﹣t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√4(cosα+sinα)2+12=√4sin2α+16≥2√3,当且仅当sin2α=﹣1时,等号成立, 此时l 的普通方程为x +y ﹣1=0. [选修4-5:不等式选讲](10分)23.已知a ,b ,c ∈R +,∀x ∈R ,不等式|x ﹣1|﹣|x ﹣2|≤a +b +c 恒成立. (Ⅰ)求证:a 2+b 2+c 2≥13;(Ⅱ)求证:√a 2+b 2+√b 2+c 2+√c 2+a 2≥√2. 【解答】证明:(Ⅰ)∵|x ﹣1|﹣|x ﹣2|≤|x ﹣1﹣x +2|=1, ∴a +b +c ≥1.∵a 2+b 2≥2ab ,b 2+c 2≥2bc ,c 2+a 2≥2ac , ∴2a 2+2b 2+2c 2≥2ab +2bc +2ca ,∴3a 2+3b 2+3c 2≥a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca =(a +b +c )2≥1, ∴a 2+b 2+c 2≥13.(Ⅱ)∵a 2+b 2≥2ab ,2(a 2+b 2)≥a 2+2ab +b 2=(a +b )2,即a 2+b 2≥(a+b)22两边开平方得√a 2+b 2≥√22|a +b|=√22(a +b), 同理可得√b 2+c 2≥√22(b +c),√c 2+a 2≥√22(c +a), 三式相加,得√a 2+b 2+√b 2+c 2+√c 2+a 2≥√2.。
2020年安阳市高三数学上期末第一次模拟试卷(及答案)
2020年安阳市高三数学上期末第一次模拟试卷(及答案)一、选择题1.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若2342S S S =+,12a =,则2a =( )A .2B .-4C .2或-4D .42.在ABC ∆中,,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,若 2?a bcos C =,则此三角形一定是( ) A .等腰直角三角形 B .直角三角形C .等腰三角形D .等腰三角形或直角三角形3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,点(,3)n n S +*()n N ∈在函数32xy =⨯的图象上,等比数列{}n b 满足1n n n b b a ++=*()n N ∈,其前n 项和为n T ,则下列结论正确的是( )A .2n n S T =B .21n n T b =+C .n n T a >D .1n n T b +<4.已知实数x 、y 满足约束条件00134x y x ya a⎧⎪≥⎪≥⎨⎪⎪+≤⎩,若目标函数231x y z x ++=+的最小值为32,则正实数a 的值为( ) A .4B .3C .2D .15.已知函数223log ,0(){1,0x x f x x x x +>=--≤,则不等式()5f x ≤的解集为 ( )A .[]1,1-B .[]2,4-C .(](),20,4-∞-⋃D .(][],20,4-∞-⋃ 6.若直线()10,0x ya b a b+=>>过点(1,1),则4a b +的最小值为( ) A .6B .8C .9D .107.设x y ,满足约束条件70310,350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩,,………则2z x y =-的最大值为( ).A .10B .8C .3D .28.数列{}n a 为等比数列,若11a =,748a a =,数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ,则5(S = )A .3116B .158C .7D .319.已知数列{}n a 满足112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若135a =,则数列的第2018项为 ( )A .15B .25C .35D .4510.已知变量x , y 满足约束条件13230x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩,则2z x y =+的最小值为( )A .1B .2C .3D .611.若变量x ,y 满足约束条件1358x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩,,,则2yz x =-的取值范围是( ) A .113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,B .11115⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,C .111153⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,D .3153⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,12.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,1(1)()n n n S nS n N *++∈<.若871a a <-,则( ) A .n S 的最大值为8S B .n S 的最小值为8S C .n S 的最大值为7S D .n S 的最小值为7S二、填空题13.若变量,x y 满足约束条件12,{20,20,x y x y x y +≤-≥-≤ 则z y x =-的最小值为_________.14.数列{}n a 满足:1a a =(a R ∈且为常数),()()()*13343n n n n n a a a n N a a +⎧->⎪=∈⎨-≤⎪⎩,当100a =时,则数列{}n a 的前100项的和100S 为________.15.已知数列{}n a 的前n 项和为21nn S =-,则此数列的通项公式为___________.16.(广东深圳市2017届高三第二次(4月)调研考试数学理试题)我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法---“三斜求积术”,即ABC △的面积S =,其中a b c 、、分别为ABC △内角、、A B C 的对边.若2b =,且tan C =,则ABC △的面积S 的最大值为__________.17.已知数列{}n a 中,45n a n =-+,等比数列{}n b 的公比q 满足1(2)n n q a a n -=-≥,且12b a =,则12n b b b +++=L __________.18.已知平面四边形ABCD 中,120BAD ∠=︒,60BCD ∠=︒,2AB AD ==,则AC 的最大值为__________.19.已知0,0a b >>,且20a b +=,则lg lg a b +的最大值为_____. 20.设正项数列{}n a 的前n 项和是n S ,若{}n a和都是等差数列,且公差相等,则1a =_______.三、解答题21.已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和,a 1>0,a 8﹣a 4﹣a 3=1,a 4是a 1和a 13的等比中项. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)证明:对一切正整数n .有1211134n S S S +++<L L . 22.在ABC V 中内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2,a b ==,面积S =. (1)求sin A 的值;(2)若点D 在BC 上(不含端点),求sin BDBAD∠的最小值.23.已知锐角ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c,且满足2sin 1cos A C B =-.(1)若2a =,c =b ; (2)若sin 4B =,a =b . 24.在△ABC 中,角A B C 、、的对边分别为a b c 、、,已知3cos()16cos cos B C B C --=,(1)求cos A (2)若3a =,△ABC的面积为求b c 、25.已知函数()11f x x x =-++. (1)解不等式()2f x ≤;(2)设函数()f x 的最小值为m ,若a ,b 均为正数,且14m a b+=,求+a b 的最小值.26.在△ABC 中,已知AC =4,BC =3,cosB =-14. (1)求sin A 的值; (2)求·BA BC u u u v u u u v的值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【解析】 【分析】利用等比数列的前n 项和公式求出公比,由此能求出结果. 【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,2342S S S =+,12a =,∴()()()34212122211q q q qq--+=+--,解得2q =-,∴214a a q ==-,故选B . 【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及其的前n 项和等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.2.C解析:C 【解析】在ABC ∆中,222222cos ,2cos 222a b c a b c C a b C b ab abQ +-+-=∴==⋅,2222a a b c ∴=+-,,b c ∴=∴此三角形一定是等腰三角形,故选C.【方法点睛】本题主要考查利用余弦定理判断三角形形状,属于中档题.判断三角形状的常见方法是:(1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断;(2)利用正弦定理、余弦定理,化角为边,通过代数恒等变换,求出边与边之间的关系进行判断;(3)根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.3.D解析:D 【解析】 【分析】 【详解】由题意可得:332,323n nn n S S +=⨯=⨯- ,由等比数列前n 项和的特点可得数列{}n a 是首项为3,公比为2的等比数列,数列的通项公式:132n n a -=⨯ ,设11n nb b q -= ,则:111132n n n b q b q --+=⨯ ,解得:11,2b q == ,数列{}n b 的通项公式12n nb -= ,由等比数列求和公式有:21nn T =- ,考查所给的选项:13,21,,n n n n n n n n S T T b T a T b +==-<< .本题选择D 选项.4.D解析:D 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域,根据目标函数的几何意义,利用直线斜率的几何意义以及数形结合进行求解即可. 【详解】 目标函数()12123112111x y x y y z x x x ++++++===+⨯+++, 设11y k x +=+,则k 的几何意义是区域内的点与定点(1,1)D --连线的斜率, 若目标函数231x y z x ++=+的最小值为32,即12z k =+的最小值是32, 由3122k +=,得14k =,即k 的最小值是14,作出不等式组对应的平面区域如图:由斜率的意义知过D 的直线经过()3,0B a 时,直线的斜率k 最小,此时011314k a +==+, 得314a +=,得1a =. 故选:D. 【点睛】本题考查利用线性规划中非线性目标函数的最值求参数,解题时要结合非线性目标函数的几何意义寻找最优解,考查数形结合思想的应用,属于中等题.5.B解析:B 【解析】分析:根据分段函数,分别解不等式,再求出并集即可.详解:由于()223log ,01,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩,当x >0时,3+log 2x≤5,即log 2x≤2=log 24,解得0<x≤4, 当x ≤0时,x 2﹣x ﹣1≤5,即(x ﹣3)(x+2)≤0,解得﹣2≤x≤0, ∴不等式f (x )≤5的解集为[﹣2,4], 故选B .点睛:本题考查了分段函数以及不等式的解法和集合的运算,分段函数的值域是将各段的值域并到一起,分段函数的定义域是将各段的定义域并到一起,分段函数的最值,先取每段的最值,再将两段的最值进行比较,最终取两者较大或者较小的.6.C解析:C 【解析】 【详解】 因为直线()10,0x ya b a b+=>>过点()1,1,所以11+1a b = ,因此114(4)(+)5+59b a a b a b a b +=+≥+= ,当且仅当23b a ==时取等号,所以选C.点睛:在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.7.B解析:B 【解析】 【分析】作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数即可求解. 【详解】 作出可行域如图:化目标函数为2y x z =-,联立70310x y x y +-=⎧⎨-+=⎩,解得5,2A(). 由图象可知,当直线过点A 时,直线在y 轴上截距最小,z 有最大值25-28⨯=. 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划,数形结合的思想,属于中档题.8.A解析:A 【解析】 【分析】先求等比数列通项公式,再根据等比数列求和公式求结果. 【详解】Q 数列{}n a 为等比数列,11a =,748a a =,638q q ∴=,解得2q =, 1112n n n a a q --∴==, Q 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S , 55111111131211248161612S ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭∴=++++==-.故选A . 【点睛】本题考查等比数列通项公式与求和公式,考查基本分析求解能力,属基础题.9.A解析:A 【解析】 【分析】利用数列递推式求出前几项,可得数列{}n a 是以4为周期的周期数列,即可得出答案. 【详解】1112,0321521,12n n n n n a a a a a a +⎧≤<⎪⎪==⎨⎪-≤<⎪⎩Q ,211215a a =-=,32225a a ==,43425a a ==,5413215a a a =-== ∴数列{}n a 是以4为周期的周期数列,则201845042215a a a ⨯+===. 故选A . 【点睛】本题考查数列的递推公式和周期数列的应用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.10.A解析:A 【解析】 【分析】画出可行域,平移基准直线20x y +=到可行域边界的点()1,1C -处,由此求得z 的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示,平移基准直线20x y +=到可行域边界的点()1,1C -处,此时z 取得最小值为()2111⨯+-=. 故选:A.【点睛】本小题主要考查线性规划问题,考查数形结合的数学思想方法,属于基础题.11.A解析:A 【解析】 【分析】画出满足条件的平面区域,求出角点的坐标,结合2yz x =-的几何意义求出其范围,即可得到答案. 【详解】由题意,画出满足条件的平面区域,如图所示:由358y x x y =⎧⎨+=⎩,解得11A (,),由1x y x=-⎧⎨=⎩,解得(11)B --,, 而2yz x =-的几何意义表示过平面区域内的点与0(2)C ,的直线斜率,结合图象,可得1AC k =-,13BCk =, 所以2y z x =-的取值范围为113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,, 故选:A.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题,其中解答中作出约束条件所表示的平面区域,结合图象确定出目标函数的最优解是解答的关键,着重考查了数形结合思想,以及计算能力,属于基础题.12.C解析:C 【解析】 【分析】由已知条件推导出(n 2﹣n )d <2n 2d ,从而得到d >0,所以a 7<0,a 8>0,由此求出数列{S n }中最小值是S 7. 【详解】∵(n +1)S n <nS n +1, ∴S n <nS n +1﹣nS n =na n +1 即na 1()12n n d-+<na 1+n 2d ,整理得(n 2﹣n )d <2n 2d ∵n 2﹣n ﹣2n 2=﹣n 2﹣n <0 ∴d >0∵87a a -<1<0 ∴a 7<0,a 8>0 数列的前7项为负, 故数列{S n }中最小值是S 7 故选C .【点睛】本题考查等差数列中前n 项和最小值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的灵活运用.二、填空题13.【解析】由约束条件作出可行域如图联立解得化目标函数得由图可知当直线过点时直线在y 轴上的截距最小有最小值为故答案为点睛:本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值属简单题求目标函数最值的一般步骤 解析:4-【解析】由约束条件12,20,20,x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩作出可行域如图,联立12 {20x y x y +=-=,解得()84A ,,化目标函数z y x =-,得y x z =+,由图可知,当直线y x z =+过点()84A ,时,直线在y 轴上的截距最小,z 有最小值为4-,故答案为4-. 点睛:本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解);(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.14.【解析】【分析】直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和【详解】数列满足:(且为常数)当时则所以(常数)故所以数列的前项为首项为公差为的等差数列从项开始由于所以奇数项为偶数项为所以故答案为:【点睛】 解析:1849【解析】 【分析】直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和. 【详解】数列{}n a 满足:1a a =(a R ∈且为常数),()()()*13343n n n n n a a a n N a a +⎧->⎪=∈⎨-≤⎪⎩, 当100a =时,则1100a =, 所以13n n a a +-=-(常数),故()10031n a n =--,所以数列的前34项为首项为100,公差为3-的等差数列. 从35项开始,由于341a =,所以奇数项为3、偶数项为1, 所以()()1001001346631184922S +⨯=+⨯+=,故答案为:1849 【点睛】本题考查了由递推关系式求数列的性质、等差数列的前n 项和公式,需熟记公式,同时也考查了分类讨论的思想,属于中档题.15.【解析】【分析】由数列的前项和为得时得出;验证时是否满足即可【详解】当时当时又所以故答案为:【点睛】本题考查了由数列的前项和公式推导通项公式的计算问题;解题时需验证时是否满足是基础题解析:12n n a -=【解析】 【分析】由数列{}n a 的前n 项和为23n n S =-,得2n >时1123n n S --=-,,得出1n n n a S S -=-;验证1n =时11a S =是否满足n a 即可. 【详解】当1n =时,11211a S ==-=, 当2n ≥时,()11121212nn n n n n a S S ---=-=---=,又1121-=,所以12n n a -=. 故答案为:12n n a -=.【点睛】本题考查了由数列{}n a 的前n 项和公式n S 推导通项公式n a 的计算问题;解题时,需验证1n =时11a S =是否满足n a ,是基础题.16.【解析】由题设可知即由正弦定理可得所以当时故填【解析】由题设可知)sin sin sin cos cos sincos C C B C B C C =⇒=+,即sin C A =,由正弦定理可得c =,所以S ==242a a =⇒=时,4max 1284432S =-+⨯-=,故填3. 17.【解析】【分析】【详解】所以所以故答案为 解析:41n -【解析】 【分析】 【详解】()()145[415]4n n q a a n n -=-=-+---+=-,124253b a ==-⨯+=-,所以()11134n n n b b q--=⋅=-⋅-,()113434n n n b --=-⋅-=⋅,所以211214334343434114n n n n b b b --++⋯+=+⋅+⋅+⋯+⋅=⋅=--,故答案为41n -.18.4【解析】【分析】由题知:四边形为圆内接四边形的最大值为四边形外接圆的直径由正弦定理即可求出的最大值【详解】因为所以故的最大值为四边形外接圆的直径当为四边形外接圆的直径时得到:又因为所以在中由正弦定解析:4 【解析】 【分析】由题知:四边形ABCD 为圆内接四边形,AC 的最大值为四边形外接圆的直径,由正弦定理即可求出AC 的最大值. 【详解】因为120BAD ∠=︒,60BCD ∠=︒,所以 故AC 的最大值为四边形外接圆的直径. 当AC 为四边形外接圆的直径时,得到:90ADC ABC ∠=∠=︒,又因为2AB AD ==,60BCD ∠=︒, 所以30ACD ACB ∠=∠=︒. 在ABC V 中,由正弦定理得:sin 90sin 30AC AB=︒︒,解得:4AC =.故答案为:4【点睛】本题主要考查正弦定理得应用,判断四边形ABCD 为圆内接四边形是解题的关键,属于中档题.19.【解析】【分析】由为定值运用均值不等式求的最大值即可【详解】当且仅当时等号成立即而当且仅当时等号成立故的最大值为2故答案为:2【点睛】本题主要考查了基本不等值求积的最大值对数的运算属于中档题 解析:2【解析】 【分析】由0,0a b >>,20a b +=为定值,运用均值不等式求ab 的最大值即可. 【详解】0,0a b ∴>>,20a b +=,20a b ∴=+≥当且仅当10a b ==时,等号成立,即100ab ≤,而lg lg lg lg1002a b ab +=≤=,当且仅当10a b ==时,等号成立, 故lg lg a b +的最大值为2, 故答案为:2 【点睛】本题主要考查了基本不等值求积的最大值,对数的运算,属于中档题.20.【解析】分析:设公差为d 首项利用等差中项的性质通过两次平方运算即可求得答案详解:设公差为d 首项和都是等差数列且公差相等即两边同时平方得:两边再平方得:又两数列公差相等即解得:或为正项数列故答案为:点 解析:14【解析】分析:设公差为d ,首项1a ,利用等差中项的性质,通过两次平方运算即可求得答案. 详解:设公差为d ,首项1a ,Q {}n a 和都是等差数列,且公差相等,∴=,即=,两边同时平方得:()1114233a d a a d +=+++14a d +=两边再平方得:()221111168433a a d d a a d ++=+,∴2211440a a d d -+=,12d a =,又两数列公差相等,2112a a d a =-==,12a =, 解得:114a =或10a =, Q {}n a 为正项数列,∴114a =.故答案为:14. 点睛:本题考查等差数列的性质,考查等差中项的性质,考查化归与方程思想.三、解答题21.(1)a n =2n +1;(2)证明见解析. 【解析】 【分析】(1)利用等比中项的性质,结合等差数列通项公式的基本量计算,求得1,a d ,由此求得数列{}n a 的通项公式.(2)先求得n S ,然后利用裂项求和法证得不等式成立. 【详解】(1)解:设等差数列{a n }的公差为d ,由题意,()12111121(3)120d a a d a a d a -=⎧⎪+=+⎨⎪>⎩,解得132a d =⎧⎨=⎩,∴数列{a n }的通项公式为a n =3+2(n ﹣1)=2n +1; (2)证明:由(1)知,()()12322n n n S n n n -⨯=+=+.∴()()()1211111111132435112n S S S n n n n +++=+++++⨯⨯⨯-++L L L12=[111111111132435112n n n n -+-+-++-+--++L ]3111342124n n ⎛⎫=-+< ⎪+⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算,考查等比中项的性质,考查裂项求和法,考查数列不等式的证明,属于中档题. 22.(1)7;(2)3【分析】(1)由三角形面积公式得出60B ︒=,再由正弦定理即可得出sin A 的值; (2)先由余弦定理得出AD ,再结合正弦定理以及二次函数的性质得出sin BDBAD∠的最小值. 【详解】(1)由三角形面积公式得1sin cos 22ac B ac B =,则tan B =()0,B π∈Q ,60B ︒∴=由正弦定理sin sin a b A B=得,2sin sin 7a B A b === (2)由余弦定理得22222cos 230b a c ac B c c =+-⇒--=,解得1c =-(舍)或3c =设x BD =,则2DC x =-,()0,2x ∈,由余弦定理得cos 14C == 2222cos AD DC AC DC AC ACD =+-⋅∠2(2)7(2)x x =-+--239x x =-+由正弦定理得sin sin 2BD AD BAD ABC ==∠∠ 当32x =时,sin BD BAD ∠32= 【点睛】本题主要考查了利用正余弦定理解三角形,属于中档题. 23.(1)b =2)b =【解析】 【分析】(12b =,根据已知可求b 的值.(2)利用同角三角函数基本关系式可求cos B,由余弦定理可得2224a c ac =+-g,根据已知可求c ,进而可求b 的值.(1)Q22sin 1cos sin A C B B =-=.∴2b =,2a =Q ,c =b ∴=(2)sin 4B =Q ,cos 4B ∴=,∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-2224a c ac =+-⋅,又a =c =b ∴=经检验,b 【点睛】本题考查正弦定理,同角三角函数基本关系式,余弦定理在解三角形中的综合应用,考查计算能力和转化思想,属于基础题.24.:(1)1cos 3A =(2)3{2b c ==或23b c =⎧⎨=⎩ 【解析】:(1)由3cos()16cos cos B C B C --=得3(cos cos sin sin )1B C B C -=- 即1cos()3B C +=-从而cos A 1cos()3B C =-+=(2)由于0,A π<<1cos 3A =,所以sin A =又ABC S =V 1sin 2bc A =6bc =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-,得2213b c += 解方程组2213{6b c bc +==,得3{2b c ==或23b c =⎧⎨=⎩25.(Ⅰ)[]1,1-; (Ⅱ)92. 【解析】 【分析】(Ⅰ)分段去绝对值求解不等式即可;(Ⅱ)由绝对值三角不等式可得2m =,再由()122a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭,展开利用基本不等式求解即可. 【详解】(Ⅰ)Q ()2121121x x f x x x x -≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩,,, ∴ 122x x ≤-⎧⎨-≤⎩ 或 1122x -<≤⎧⎨≤⎩ 或 122x x >⎧⎨≤⎩∴ 11x -≤≤,∴不等式解集为[]1,1-.(Ⅱ) Q ()()11112x x x x -++≥--+=,∴ 2m =,又142a b+=,0,0a b >>, ∴1212a b +=,∴ ()125259222222a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭, 当且仅当1422a b b a⎧+=⎪⎨⎪=⎩ 即323a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩时取等号,所以()min 92a b +=.【点睛】绝对值不等式的常见解法:①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; ②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想. 26.(1;(2)32-【解析】 【分析】 (1)先求得sin B =再根据正弦定理求得sin A 即可; (2)根据余弦定理解得2AB =,再由数量积的定义求解即可 【详解】 (1)1cos 4B =-Q ,sin 4B ∴=, 根据正弦定理可得,sin sin BC ACA B=,即3sin 4A =,sin A ∴=(2)根据余弦定理可得,2222cos AC AB BC AB AC B =+-⋅⋅, 即2223432AB AB =++,解得2AB =, 13cos 2342BA BC BA BC B ⎛⎫∴⋅=⋅⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r【点睛】本题考查利用正弦定理求角,考查向量的数量积运算,考查运算能力。
3.河南省六市2020届高三第一次模拟考试理数试题含答案
注意事项: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试用时 120 分钟. 2.答题前,考生务必用 0.5 毫来黑色签字笔将自已的姓名、准考证号、考试科目填写在规 定的位置上. 3.第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 4.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的 位置,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效.
半径相同的另外一个圆周上滚动时,这个定点的轨迹,因其形状
像心形而得名。在极坐标系 Ox 中,方程ρ=a(1-sinθ(a>0)表
示的曲线 C1 就是一条心形线,如图,以极轴 Ox 所在的直线为 x
轴,极点 O 为坐标原点的直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C2 的参
x
1
3t
数方程为 y
3 t (t 为参数). 3
(2)点 E 在边 AB 上,若 CE 是∠BCA 的角平分线, 求△BCE 的面积.
18.(本小题满分 12 分)
在四棱椎 P ABCD 中,四边形 ABCD 为菱形,PA=5, PB 43 ,AB=6,PO⊥AD,O,
E 分别为 AD,AB 中点,∠BAD=60° (1)求证:AC⊥PE; (2)求平面 POE 与平面 PBD 所成锐二面角的余弦值.
在 ∆ADB 和 ∆ADC 中由余弦定理,得
AD2 + BD2 − AB2 + AD2 + DC 2 − AC 2 = 0 ,...........................3 分
河南省安阳市2020届高三理数第一次模拟考试试卷
河南省安阳市2020届高三理数第一次模拟考试试卷一、单选题(共12题;共24分)1.已知集合,,则()A. B. C. D.2.已知复数z满足,则z的虚部为()A. B. i C. –1 D. 13.已知函数,若,则下列不等关系正确的是()A. B. C. D.4.国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是()A. 12个月的PMI值不低于50%的频率为B. 12个月的PMI值的平均值低于50%C. 12个月的PMI值的众数为49.4%D. 12个月的PMI值的中位数为50.3%5.已知数列满足,且成等比数列.若的前n项和为,则的最小值为()A. B. C. D.6.已知,则=()A. B. C. D.7.已知双曲线的右焦点为F,过右顶点A且与x轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点,MF的中点恰好在双曲线C上,则C的离心率为()A. B. C. D.8.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为11,则图中的判断条件可以为()A. B. C. D.9.已知各项都是正数的数列满足,若当且仅当时,取得最小值,则()A. B. C. D.10.过抛物线的焦点F作两条互相垂直的弦AB,CD,设P为抛物线上的一动点,,若,则的最小值是()A. 1B. 2C. 3D. 411.已知四棱锥,底面ABCD是边长为1的正方形,,平面平面ABCD,当点C到平面ABE的距离最大时,该四棱锥的体积为()A. B. C. D. 112.已知不等式的解集中仅有2个整数,则实数的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题(共4题;共4分)13.已知向量,,,则________.14.的展开式中,的系数是20,则________.15.将底面直径为4,高为的圆锥形石块打磨成一个圆柱,则该圆柱的侧面积的最大值为________.16.2019年暑假期间,河南有一新开发的景区在各大媒体循环播放广告,观众甲首次看到该景区的广告后,不来此景区的概率为,从第二次看到广告起,若前一次不来此景区,则这次来此景区的概率是,若前一次来此景区,则这次来此景区的概率是.记观众甲第n次看到广告后不来此景区的概率为,若当时,恒成立,则M的最小值为________.三、解答题(共7题;共70分)17.如图,在平面四边形ABCD中,,,,.(1)求的面积的最大值,(2)在的面积取得最大值的条件下,若,求的值.18.如图,在斜三棱柱中,平面平面,,,,均为正三角形,E为AB的中点.(1)证明: 平面,(2)求直线与平面所成角的正弦值.19.近几年一种新奇水果深受广大消费者的喜爱,一位农户发挥聪明才智,把这种露天种植的新奇水果搬到了大棚里,收到了很好的经济效益.根据资料显示,产出的新奇水果的箱数x(单位:十箱)与成本y(单位:千元)的关系如下:x 1 3 4 6 7y 5 6.5 7 7.5 8y与x可用回归方程(其中,为常数)进行模拟.(1)若该农户产出的该新奇水果的价格为150元/箱,试预测该新奇水果100箱的利润是多少元.(利润=售价-成本)(2)据统计,10月份的连续16天中该农户每天为甲地可配送的该新奇水果的箱数的频率分布直方图如图,用这16天的情况来估计相应的概率.一个运输户拟购置n辆小货车专门运输该农户为甲地配送的该新奇水果,一辆货车每天只能运营一趟,每辆车每趟最多只能装载40箱该新奇水果,满载发车,否则不发车.若发车,则每辆车每趟可获利500元,若未发车,则每辆车每天平均亏损200元。试比较和时此项业务每天的利润平均值的大小.参考数据与公式:设,则0.54 6.8 1.53 0.45线性回归直线中,,.20.已知椭圆的左,右焦点分别为,,,M是椭圆E上的一个动点,且的面积的最大值为.(1)求椭圆E的标准方程,(2)若,,四边形ABCD内接于椭圆E,,记直线AD,BC的斜率分别为,,求证: 为定值.21.已知直线是曲线的切线.(1)求函数的解析式,(2)若,证明:对于任意,有且仅有一个零点.22.以直角坐标系xOy的原点为极坐标系的极点,x轴的正半轴为极轴.已知曲线的极坐标方程为,P是上一动点,,Q的轨迹为.(1)求曲线的极坐标方程,并化为直角坐标方程,(2)若点,直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线的交点为A,B,当取最小值时,求直线l的普通方程.23.已知,,不等式恒成立.(1)求证:(2)求证: .答案解析部分一、单选题1.【答案】A2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】D5.【答案】D6.【答案】C7.【答案】A8.【答案】B9.【答案】B10.【答案】C11.【答案】B12.【答案】D二、填空题13.【答案】314.【答案】15.【答案】16.【答案】三、解答题17.【答案】(1)解:在中,由余弦定理可得,所以,所以,当且仅当时,等号成立.所以,故的面积的最大值为.(2)解:在中,由题意可得,.由正弦定理可得,所以.又,所以为锐角,所以,所以,所以.所以因为,所以(负值舍去).18.【答案】(1)解:如图,连接,交于点M,连接ME,则.因为平面,平面,所以平面.(2)解:设O是AC的中点,连接,OB.因为为正三角形,所以,又平面平面,平面平面,所以平面ABC.由已知得.如图,分别以射线OB,OA,的方向为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则有,,,,故,,,设平面的一个法向量为,则,所以令,则.设直线与平面所成的角为,则,故直线与平面所成角的正弦值为.19.【答案】(1)解:根据题意,,所以,所以.又,所以.所以时,(千元),即该新奇水果100箱的成本为8364元,故该新奇水果100箱的利润.(2)解:根据频率分布直方图,可知该农户每天可配送的该新奇水果的箱数的概率分布表为:箱数设该运输户购3辆车和购4辆车时每天的利润分别为,元.则的可能取值为1500,800,100,其分布列为1500 800 100故.则的可能取值为2000,1300,600,,其分布列为2000 1300 600故.故,即购置3辆小货车的利润平均值大于购置4辆小货车的利润平均值.20.【答案】(1)解:设椭圆E的半焦距为c,由题意可知,当M为椭圆E的上顶点或下顶点时,的面积取得最大值.所以,所以,,故椭圆E的标准方程为.(2)解:根据题意可知,,因为,所以可设直线CD的方程为.由,消去y可得,所以,即.直线AD的斜率,直线BC的斜率,所以,故为定值.21.【答案】(1)解:根据题意,,设直线与曲线相切于点. 根据题意,可得,解之得,所以.(2)解:由(1)可知,则当x充分小时,当x充分大时,∴至少有一个零点.∵,①若,则,在上单调递增,∴有唯一零点.②若令,得有两个极值点,∵,∴,∴.∴在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.∴极大值为.,又,∴在(0,16)上单调递增,∴,∴有唯一零点.综上可知,对于任意,有且仅有一个零点.22.【答案】(1)解:设点P,Q的极坐标分别为,),因为,所以曲线的极坐标方程为,两边同乘以ρ,得,所以的直角坐标方程为,即.(2)解:设点A,B对应的参数分别为,,则,将直线l的参数方程,(为参数),代入的直角坐标方程中,整理得.由根与系数的关系得.∴,( 当且仅当时,等号成立)∴当取得最小值时,直线l的普通方程为.23.【答案】(1)解:∵,∴. ∵,,,∴,∴,∴.(2)解:∵,,即两边开平方得.同理可得,.三式相加,得.。
2020-2021学年河南省安阳市县第一高级中学高三数学理测试题含解析
2020-2021学年河南省安阳市县第一高级中学高三数学理测试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 下列命题正确的是( )A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行参考答案:C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系;命题的真假判断与应用.【专题】简易逻辑.【分析】利用直线与平面所成的角的定义,可排除A;利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除B;利用线面平行的判定定理和性质定理可判断C正确;利用面面垂直的性质可排除D.【解答】解:A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行、相交或异面,故A错误;B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行或相交,故B错误;C、设平面α∩β=a,l∥α,l∥β,由线面平行的性质定理,在平面α内存在直线b∥l,在平面β内存在直线c∥l,所以由平行公理知b∥c,从而由线面平行的判定定理可证明b∥β,进而由线面平行的性质定理证明得b∥a,从而l∥a,故C正确;D,若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行或相交,排除D.故选C.【点评】本题主要考查了空间线面平行和垂直的位置关系,线面平行的判定和性质,面面垂直的性质和判定,空间想象能力,属基础题.2. 已知全集,集合,则为()A. B. C. D.参考答案:C,所以,选C.3. 如图,是某算法的程序框图,当输出T>29时,正整数n的最小值是()A.2 B.3 C.4 D.5参考答案:C【考点】程序框图.【分析】根据框图的流程模拟程序运行的结果,直到输出T的值大于29,确定最小的n 值.【解答】解:由程序框图知:第一次循环k=1,T=2第二次循环k=2,T=6;第三次循环k=3,T=14;第四次循环k=4,T=30;由题意,此时,不满足条件4<n,跳出循环的T值为30,可得:3<n≤4.故正整数n的最小值是4.故选:C.【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图,根据框图的流程模拟程序运行的结果是解答此类问题的常用方法,属于基础题.4. (5分)函数的定义域为()A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.(0,1) D.(0,1)∪(1,+∞)参考答案:考点:函数的定义域及其求法.专题:函数的性质及应用.分析:由函数的解析式可得log2x≠0,即,由此求得函数的定义域.解答:由函数的解析式可得log2x≠0,∴,故函数的定义域(0,1)∪(1,+∞),故选D.点评:本题主要考查函数的定义域的求法,对数函数的定义域,属于基础题.5. 指数函数y=b·在[b,2]上的最大值与最小值的和为6.则a值为A.2B. -3C.2或-3D.参考答案:A6. 已知是同一球面上的四个点,其中是正三角形,平面,,则该球的体积为()A. B. C. D.参考答案:A7. 已知的展开式中各项系数的和为32,则展开式中系数最大的项为()A.270x﹣1 B.270x C.405x3 D.243x5参考答案:B【考点】二项式系数的性质.【分析】根据展开式中各项系数和求出a的值,利用展开式的通项求出r=2时该二项式展开式中系数最大的项.【解答】解:的展开式中各项系数的和为32,∴(a﹣1)5=32,解得a=3;∴展开式的通项为T r+1=?(3x)5﹣r?=(﹣1)r?35﹣r??x5﹣2r,又当r=0时,35=243;当r=2时,33=270;当r=4时,3?=15;∴r=2时该二项式展开式中系数最大的项为270x.故选:B.8. 若复数z满足(1-2i)z=1+3i,则|z|=()A. 1B.C.D.参考答案:B.,所以.9. 已知,则的值是()参考答案:A略10. 已知,则与的夹角为()A. B. C. D.参考答案:C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若复数,则等于.参考答案:12. 正项数列满足:(),则.参考答案:13. 已知{a n}满足,类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法,可求得= .参考答案:【考点】类比推理.【分析】先对S n=a1+a2?4+a3?42+…+a n?4n﹣1两边同乘以4,再相加,求出其和的表达式,整理即可求出5S n﹣4n a n的表达式,即可求出.【解答】解:由S n=a1+a2?4+a3?42+…+a n?4n﹣1①得4?s n=4?a1+a2?42+a3?43+…+a n﹣1?4n﹣1+a n?4n②①+②得:5s n=a1+4(a1+a2)+42?(a2+a3)+…+4n﹣1?(a n﹣1+a n)+a n?4n=a1+4×++…+4n?a n=1+1+1+…+1+4n?a n=n+4n?a n.所以5s n﹣4n?a n=n.故=,故答案为.【点评】本题主要考查数列的求和,用到了类比法,是一道比较新颖的好题目,关键点在于对课本中推导等比数列前n项和公式的方法的理解和掌握.14. 已知,展开式的常数项为15,.参考答案:15. 已知:条件A:,条件B:,如果条件是条件的充分不必要条件,则实数的取值范围是.参考答案:由得,即,解得,即A:.因为条件是条件的充分不必要条件,所以,即实数的取值范围是。
2020年安阳市高三数学下期末第一次模拟试卷(及答案)
2020年安阳市高三数学下期末第一次模拟试卷(及答案)一、选择题1.在等差数列{}n a 中,若1091a a <-,且它的前n 项和n S 有最大值,则使0n S >成立的正整数n 的最大值是( ) A .15 B .16 C .17 D .14 2.(1+2x 2 )(1+x )4的展开式中x 3的系数为A .12B .16C .20D .243.设向量a r ,b r满足2a =r ,||||3b a b =+=r r r ,则2a b +=r r ( )A .6B .32C .10D .424.设01p <<,随机变量ξ的分布列如图,则当p 在()0,1内增大时,( )ξ0 1 2P12p- 122pA .()D ξ减小B .()D ξ增大C .()D ξ先减小后增大D .()D ξ先增大后减小5.已知全集{1,3,5,7}U =,集合{1,3}A =,{3,5}B =,则如图所示阴影区域表示的集合为( )A .{3}B .{7}C .{3,7}D .{1,3,5} 6.若实数满足约束条件,则的最大值是( )A .B .1C .10D .12 7.已知锐角三角形的边长分别为2,3,x ,则x 的取值范围是( )A 513x <<B 135x <C .25x <<D 55x <<8.样本12310,?,?,? a a a a ⋅⋅⋅的平均数为a ,样本12310,?,?,? b b b b ⋅⋅⋅的平均数为b ,那么样本1122331010,? ,,? ,?,,?,? a b a b a ba b ⋅⋅⋅的平均数为( )A .()a b +B .2()a b +C .1()2a b + D .1()10a b + 9.已知,a b rr 是非零向量且满足(2)a b a -⊥r r r ,(2)b a b -⊥,则a r 与b r 的夹角是( )A .6π B .3π C .23π D .56π 10.已知长方体的长、宽、高分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是( ) A .25πB .50πC .125πD .都不对11.在等差数列 {}n a 中, n S 表示 {}n a 的前 n 项和,若 363a a += ,则 8S 的值为( )A .3B .8C .12D .2412.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,俯视图是一个等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积为( )A .43π B .83π C .163πD .203π二、填空题13.已知x y ,满足20030x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩,,,,则222x y y ++的取值范围是__________.14.在钝角ABC V 中,已知7,1AB AC ==,若ABC V 的面积为62BC 的长为______. 15.曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为______________. 16.在平行四边形ABCD 中,3A π∠=,边AB ,AD 的长分别为2和1,若M ,N 分别是边BC,CD上的点,且满足CNCD BMBC=u u uu v u u u vu u u v u u u v,则AM AN⋅u u u u v u u u v的取值范围是_________.17.等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB,二面角C AB D--的余弦值为33,M N,分别是AC BC,的中点,则EM AN,所成角的余弦值等于.18.高三某班一学习小组的,,,A B C D四位同学周五下午参加学校的课外活动,在课外活动中,有一人在打篮球,有一人在画画,有一人在跳舞,另外一人在散步,①A不在散步,也不在打篮球;②B不在跳舞,也不在散步;③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件;④D不在打篮球,也不在散步;⑤C不在跳舞,也不在打篮球.以上命题都是真命题,那么D在_________.19.已知向量ar与br的夹角为60°,|ar|=2,|br|=1,则|ar+2br|= ______ .20.设函数21()ln2f x x ax bx=--,若1x=是()f x的极大值点,则a取值范围为_______________.三、解答题21.已知等差数列{}n a的所有项和为150,且该数列前10项和为10,最后10项的和为50.(1)求数列{}n a的项数;(2)求212230a a a++⋅⋅⋅+的值.22.在ABC△中,内角,,A B C所对的边分别为,,a b c,且()sin2sin0b A a A C-+=.(1)求角A;(2)若3a=,ABC△的面积为33,求11b c+的值.23.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.(Ⅰ)证明: BC1//平面A1CD;(Ⅱ)设AA1= AC=CB=2,2,求三棱锥C一A1DE的体积.24.已知()ln xe f x a x ax x=+-.(1)若0a <,讨论函数()f x 的单调性;(2)当1a =-时,若不等式1()()0xf x bx b e x x+---≥在[1,)+∞上恒成立,求b 的取值范围.25.已知A 为圆22:1C x y +=上一点,过点A 作y 轴的垂线交y 轴于点B ,点P 满足2.BP BA =u u u v u u u v(1)求动点P 的轨迹方程;(2)设Q 为直线:3l x =上一点,O 为坐标原点,且OP OQ ⊥,求POQ ∆面积的最小值.26.红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛,甲对A ,乙对B ,丙对C 各一盘,已知甲胜A ,乙胜B ,丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5,假设各盘比赛结果相互独立.(I )求红队至少两名队员获胜的概率;(II )用ξ表示红队队员获胜的总盘数,求ξ的分布列和数学期望E ξ.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【解析】 【分析】由题意可得90a >,100a <,且9100a a +<,由等差数列的性质和求和公式可得结论. 【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和有最大值, ∴等差数列{}n a 为递减数列, 又1091a a <-, ∴90a >,100a <, ∴9100a a +<, 又()118181802a a S +=<,()117179171702a a S a +==>,∴0n S >成立的正整数n 的最大值是17, 故选C . 【点睛】本题考查等差数列的性质,涉及等差数列的求和公式,属中档题.2.A解析:A 【解析】 【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数. 【详解】由题意得x 3的系数为314424812C C +=+=,故选A .【点睛】本题主要考查二项式定理,利用展开式通项公式求展开式指定项的系数.3.D解析:D 【解析】 【分析】3=,求得2a b ⋅=-r r,再根据向量模的运算,即可求解. 【详解】∵向量a r ,b r 满足2a =r ,3b a b =+=r r r 3=,解得2a b ⋅=-r r .则2a b +==r r .故选D .【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算,及向量的模的运算问题,其中解答中熟记向量的数量积的运算和向量的模的运算公式,合理、准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.4.D解析:D 【解析】 【分析】先求数学期望,再求方差,最后根据方差函数确定单调性. 【详解】111()0122222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=+Q , 2222111111()(0)(1)(2)2222224p p D p p p p p ξ-∴=--+--+--=-++,1(0,1)2∈Q ,∴()D ξ先增后减,因此选D. 【点睛】222111(),()(())().nnni i i i i i i i i E x p D x E p x p E ξξξξ=====-=-∑∑∑5.B解析:B 【解析】 【分析】先求出A B ⋃,阴影区域表示的集合为()U A B ⋃ð,由此能求出结果. 【详解】Q 全集{1,U =3,5,7},集合{}1,3A =,{}3,5B =,{1,A B ∴⋃=3,5},∴如图所示阴影区域表示的集合为:(){}7U A B ⋃=ð.故选B . 【点睛】本题考查集合的求法,考查并集、补集、维恩图等基础知识,考查运算求解能力,考查集合思想,是中等题.6.C解析:C 【解析】 【分析】本题是简单线性规划问题的基本题型,根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题,注重了基础知识、基本技能的考查. 【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以为顶点的三角形区域(包含边界),由图易得当目标函数经过平面区域的点时,取最大值.【点睛】解答此类问题,要求作图要准确,观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度,也有可能在解方程组的过程中出错.7.A解析:A 【解析】试题分析:因为三角形是锐角三角形,所以三角形的三个内角都是锐角,则设边3对的锐角为角α,根据余弦定理得22223cos 04x xα+-=>,解得5x >x 边对的锐角为β,根据余弦定理得22223cos 012x β+-=>,解得013x <<x 的取值范513x << A. 考点:余弦定理.8.C解析:C 【解析】 【分析】 【详解】由题意可知1210121010,10a a a a b b b b +++=+++=L L ,所以所求平均数为()121012101210121012020202a a ab b b a a a b b b a b +++++++++++++=+=+L L L L考点:样本平均数9.B解析:B 【解析】 【分析】利用向量垂直求得222a b a b ==⋅r rr r ,代入夹角公式即可.【详解】设,a b rr 的夹角为θ;因为(2)a b a -⊥r r r,(2)b a b -⊥,所以222a b a b ==⋅r r r r ,则22|2,|2a a b b a b =⋅⋅=r r r r r r ,则2212cos ,.23aa b a b aπθθ⋅===∴=r rr r r r 故选:B 【点睛】向量数量积的运算主要掌握两点:一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=r r r r;二是向量的平方等于向量模的平方22a a =r r .10.B解析:B 【解析】 【分析】根据长方体的对角线长等于其外接球的直径,求得2252R =,再由球的表面积公式,即可求解. 【详解】设球的半径为R,根据长方体的对角线长等于其外接球的直径,可得2R =2252R =,所以球的表面积为22544502S R πππ==⨯=球. 故选:B 【点睛】本题主要考查了长方体的外接球的性质,以及球的表面积的计算,其中解答中熟练应用长方体的对角线长等于其外接球的直径,求得球的半径是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.11.C解析:C 【解析】 【分析】由题意可知,利用等差数列的性质,得18363a a a a +=+=,在利用等差数列的前n 项和公式,即可求解,得到答案。
【数学】河南省安阳市2020届高三毕业班第一次调研考试 数学(理)
安阳市2020届高三毕业班第一次调研考试数学(理科)考生注意:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上,并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M ={||-1|<2},N ={x |26yx x =+-},则M ∩N =A .{|-1≤<3}B .{|-1<<3}C .{|-1<≤3}D .{|-2<<3}2.设复数满足(2+i )=5,则|-i |=A .2B .2C .22D .43.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图,则下列说法错误的是A .甲所得分数的极差为22B .乙所得分数的中位数为18C .两人所得分数的众数相等D .甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数4.已知函数()sin 06210x x x f x x ππ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⎩+,≤,=+,>,则f (-2)+f (1)=A .632+B .72C .52D .632- 5.已知等比数列{n a }的各项均为正数,若31log a +32log a +…+312log a =12,则67a a =A .1B .3C .6D .96.已知向量a =(sin θ,3),b =(1,cos θ),|θ|≤3π,则|a -b |的最大值为 A .2 B .5 C .3 D .57.执行如图所示的程序框图,则输出的n 的值为A .9B .7C .5D .38.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(A >0,ω>0,|ϕ|<2π)的部分图象如图所示,如果将y =f ()的图象向左平移4π个单位长度,则得到图象对应的函数为A .y =-2sinB .12cos2y x = C .y =2cos D .y =2cos29.已知函数f ()=(2+a 2+1)e ,则“a =2”是“函数f ()在=-1处取得极小值”的A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件10.已知数列{n a }是递增的等差数列,且2a ,3a 是函数f ()=2-5+6的两个零点.设数列{21n n a a +}的前n 项和为n T ,若不等式n T >()1log 13a a -对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围为A .(0,14)B .(0,13)C .(0,12) D .(0,1) 11.已知双曲线C :22221x y a b-=(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1(-c ,0),F 2(c ,0),点N 的坐标为(-c ,232b a).若双曲线C 左支上的任意一点M 均满足|MF 2|+ |MN |>4b ,则双曲线C 的离心率的取值范围为A .(13,5)B .(5,13)C .(1,13)∪(5,+∞)D .(1,5)∪(13,+∞) 12.在三棱锥P -ABC 中,点P ,A ,B ,C 均在球O 的球面上,且AB ⊥BC ,AB =8,BC =6,若此三棱锥体积的最大值为405,则球O 的表面积为A .90πB .120πC .160πD .180π二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知实数,y 满足2025020x y x y y ⎧⎪⎨⎪⎩--≤,+-≥,-≤,则目标函数=3-y 的最小值为__________.14.已知()4121x a x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭++-的展开式中含3的项的系数为5,则a =__________.15.已知f ()是定义在(-2π,2π)上的奇函数,其导函数为()f x ',f (8π)=2,且当∈(0,2π)时,()()sin 22cos2f x x f x x '+>0,则不等式f ()sin2<1的解集为__________. 16.已知抛物线C :y 2=2p (p >0)的焦点为F ,准线为l ,若位于轴上方的动点A 在准线l 上,线段AF 与抛物线C 相交于点B ,且1AFAF BF -=,则抛物线C 的标准方程为__________.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~2l 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且b =4,cos ∠CAB =13,点D 在线段BC 上,且BD =12CD ,AD =833. (Ⅰ)求c 的长;(Ⅱ)求△ABD 的面积.18.(12分)如图,在四棱锥P -ABCD 中,平面PAD ⊥平面ABCD ,PA =PD ,AB =AD ,PA ⊥PD ,AD ⊥CD ,∠BAD =60°,M ,N 分别为AD ,PA 的中点.(Ⅰ)证明:平面BMN ∥平面PCD ;(Ⅱ)若AD=6,CD=3,求平面BMN与平面BCP所成锐二面角的余弦值.19.(12分)2019年某地区初中升学体育考试规定:考生必须参加长跑、掷实心球、1分钟跳绳三项测试.某学校在九年级上学期开始,就为掌握全年级学生1分钟跳绳情况,抽取了100名学生进行测试,得到下面的频率分布直方图.(Ⅰ)规定学生1分钟跳绳个数大于等于185为优秀.若在抽取的100名学生中,女生共有50人,男生1分钟跳绳个数大于等于185的有28人.根据已知条件完成下面的2×2列联表,并根据这100名学生的测试成绩,判断能否有99%的把握认为学生1分钟跳绳成绩是否优秀与性别有关.(Ⅱ)根据往年经验,该校九年级学生经过训练,正式测试时每人1分钟跳绳个数都有明显进步.假设正式测试时每人1分钟跳绳个数都比九年级上学期开始时增加10个,全年级恰有2000名学生,若所有学生的1分钟跳绳个数服从正态分布N(μ,σ2)(用样本数据的平均值和标准差估计μ和σ,各组数据用中点值代替),估计正式测试时1分钟跳绳个数大于183的人数(结果四舍五入到整数).20.(12分)已知椭圆C :22221x y a b+=(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,0),F 20),且该椭圆过点A12). (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)过点B (4,0)作一条斜率不为0的直线l ,直线l 与椭圆C 相交于P ,Q 两点, 记点P 关于轴对称的点为点P ',若直线P Q '与轴相交于点D ,求△DPQ 面积的最大值.21.(12分)已知函数()2ln 2f x k x x=+-.(Ⅰ)若函数f ()的图象在点(1,f (1))处的切线与y 轴垂直,求f ()的极值; (Ⅱ)讨论函数f ()的零点个数.(二)选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分) 在平面直角坐标系Oy 中,直线l 的参数方程为21x t y t ⎧⎨⎩=--,=+(t 为参数),曲线C 1:y .以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为4πρθ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-. (Ⅰ)若直线l 与,y 轴的交点分别为A ,B ,点P 在C 1上,求BA u u u r ·BP u u u r 的取值范围;(Ⅱ)若直线l 与C 2交于M ,N 两点,点Q 的直角坐标为(-2,1),求||QM |-|QN ||.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知函数f ()=|+1|+a |+2|.(Ⅰ)求a =1时,f ()≤3的解集;(Ⅱ)若f ()有最小值,求a 的取值范围,并写出相应的最小值。
2020届河南省安阳市高三毕业班第一次调研考试数学(理)试题(解析版)
2020届河南省安阳市高三毕业班第一次调研考试数学(理)试题一、单选题1.已知集合{}12M x x =-<,{N x y ==,则M N ⋂=( )A.{}13x x -≤< B.{}13x x -<< C.{}13x x -<≤ D.{}23x x -<<【答案】B【解析】首先求两个集合,再求交集. 【详解】{}{}1213M x x x x =-<=-<<,{N x y =={}260x x x =+-…{}260x x x =--…{}{}2313x x M N x x =-∴⋂=-<<剟。
【点睛】本题考查了两个集合的交集,属于简单题型. 2.设复数z 满足()25z i +=,则z i -=( )B.2C. D.4【答案】C 【解析】首先52z i=+,并且化简z ,然后求z i -,并且求z i -. 【详解】55(2)(2)5,22(2)(2)i z i z i i i i -+=∴===-++-,22z i i -=- ,|i |z ∴-=【点睛】本题考查了复数的代数运算,以及模的求法,属于基础计算问题.3.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图,则下列说法错误的是( )A.甲所得分数的极差为22B.乙所得分数的中位数为18C.两人所得分数的众数相等D.甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数 【答案】D【解析】根据茎叶图,逐一分析选项,得到正确结果. 【详解】甲的最高分为33,最低分为11,极差为22,A 正确;乙所得分数的中位数为18,B 正确;甲、乙所得分数的众数都为22,C 正确;甲的平均分为11151720222224323319699x ++++++++==甲,乙的平均分为8111216182022223116099x ++++++++==乙 ,甲所得分数的平均数高于乙所得分数的平均数,D 错误,故选D. 【点睛】本题考查了根据茎叶图,求平均数,众数,中位数,考查基本概念,基本计算的,属于基础题型.4.已知函数()sin ,0,621,0.x x x f x x ππ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪+>⎩则()()21f f -+=( )A.62+ B.62- C .72D .52【答案】C【解析】结合分段函数的表达式,利用代入法进行求解即可. 【详解】解:1(2)sin(2)sin 662f πππ-=-+==,f (1)1213=+=,∴17(2)(1)322f f -+=+=,故选:C . 【点睛】本题主要考查函数值的计算,利用代入法是解决本题的关键.属于基础题.5.已知等比数列{}n a 的各项均为正数,若3132312log log log 12a a a ++⋯+=,则67a a =( ) A.1 B.3 C.6 D.9【答案】D【解析】首先根据对数运算法则,可知()31212log ...12a a a =,再根据等比数列的性质可知()6121267.....a a a a a =,最后计算67a a 的值. 【详解】由3132312log log log 12a a a +++= ,可得31212log 12a a a =,进而可得()6121212673a a a a a == ,679a a ∴= .【点睛】本题考查了对数运算法则和等比数列性质,属于中档题型,意在考查转化与化归和计算能力.6.已知向量(sin a θ=,()1,cos b θ=,||3πθ…,则a b -的最大值为( )A.2 C.3D.5【答案】B【解析】首先求()sin cos a b θθ-=-,()2254sin 3a b a bπθ⎛⎫-=-=-+ ⎪⎝⎭,根据θ的取值范围求函数的最大值. 【详解】()sin cos a b θθ-=-由已知可得222||(sin 1)cos )54sin 3a b πθθθ⎛⎫-=-+=-+ ⎪⎝⎭, 因为||3πθ…,所以2033ππθ+剟,所以当3πθ=-时,2||a b -的最大值为505-=,故||a b -.【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示,以及三角函数函数求最值,本题的关键是正确求出2a b -.7.执行如图所示的程序框图,则输出的n 的值为( )A.9B.7C.5D.3【答案】A【解析】依次代入循环结构,得到正确结果. 【详解】 第一次循环:11,31(12)3S n ===⨯+ ;第二次循环:112,533(32)5S n =+==⨯+ ; 第三次循环:213,755(52)7S n =+==⨯+; 第四次循环:314,977(72)9S n =+==⨯+,此时输出9n = . 【点睛】本题考查了程序框图的循环结构,这类题型在退出循环结构,计算结果时,注意是当型还是直到型,条件是不同的.8.已知函数()()sin f x A x =+ωϕA 0,0,||2πωϕ⎛⎫>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示,如果将()y f x =的图象向左平移4π个单位长度,则得到图象对应的函数为( )A.2y sinx =-B.12cos2y x = C.2y cosx = D.22y cos x =【答案】C【解析】首先根据最值计算A ,根据周期计算ω,最后根据4x π=时,函数取得最大值,求解ϕ,再根据“左+右-”求平移后的解析式. 【详解】 由图知322,4444T A πππ==-=, 2,1T πω∴=∴=,又2,||42f ππϕ⎛⎫=< ⎪⎝⎭,,()2sin 44f x x ππϕ⎛⎫∴=∴=+ ⎪⎝⎭,向左平移4π个单位长度后得到2sin 2cos 2y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ .【点睛】本题考查了根据图象求三角函数的解析式,属于基础题型,一般根据最值求A ,由图象中的极值点或零点间的距离求周期,根据公式2T ωπ=求ω,最后根据“五点法”中的某个点求ϕ.9.已知函数()()221xf x x a x e =++,则“a =是“函数()f x 在-1x =处取得极小值”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A【解析】求出原函数的导函数,分析函数()f x 在1x =-处取得极小值时的a 的范围,再由充分必要条件的判定得答案. 【详解】解:若()f x 在1x =-取得极小值,2222()[(2)1](1)(1)x x f x x a x a e x x a e '=++++=+++.令()0f x '=,得1x =-或21x a =--. ①当0a =时,2()(1)0x f x x e '=+…. 故()f x 在R 上单调递增,()f x 无最小值;②当0a ≠时,211a --<-,故当21x a <--时,()0f x '>,()f x 单调递增;当211a x --<<-时,()0f x '<,()f x 单调递减; 当1x >-时,()0f x '>,()f x 单调递增. 故()f x 在1x =-处取得极小值.综上,函数()f x 在1x =-处取得极小值0a ⇔≠.∴“a =是“函数()f x 在1x =-处取得极小值”的充分不必要条件.故选:A . 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值,考查充分必要条件的判定,属于中档题. 10.已知数列{}n a 是递增的等差数列,且2a ,3a 是函数()256f x x x -=+的两个零点.设数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,若不等式1log (1)3na T a >-对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围为( ) A.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B.10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()01,【答案】C【解析】首先根据23,a a 求等差数列的通项公式,n a n =,再将恒成立问题转化为()()min 1log 13a n a T -<,最后解对数不等式. 【详解】数列{}n a 是递增的等差数列,23,a a 是函数()256f x x x -=+的两个零点,232,3,n a a a n ∴==∴=,211(2)n n a a n n +=+ ,易知数列{}n T 单调递增()1min 13n T T ∴== .要使不等式1log (1)3n a T a >-对任意正整数n 恒成立,只要11log (1)33a a >-即可10,01a a ->∴<<.解1a a ->,得102a <<,∴实数a 的取值10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查数列和函数的零点,以及恒成立,不等式的综合问题,属于中档题型, 中间有个步骤是求n T 的最小值,不用裂项相消法求n T ,而是直接求n T 的最小值.11.已知双曲线2222C :1(0,b 0)x y a a b-=>>的左、右焦点分别为()10F c-,,()20F c ,,点N 的坐标为23c,2b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.若双曲线C 左支上的任意一点M 均满足24MF MN b >+,则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A.⎝B.C.(5,)⎛+∞ ⎝⎭D.(13,)+∞【答案】C【解析】首先根据双曲线的定义,212MF MF a =+,转化为124MF MN a b ++>,即()1min24MF MNa b ++>,根据数形结合可知,当点1,,M F N 三点共线时,1MF MN +最小,转化为不等式23242b a b a+>,最后求离心率的范围.【详解】由已知可得212MF MF a -=,若2||4MF MN b +>,即1|||24MF MN a b ++>‖,左支上的点M 均满足2||4MF MN b +>, 如图所示,当点M 位于H 点时,1||MF MN +最小,故23242b a b a +>,即22348b a ab +>, 223840,(2)(23)0b ab a a b a b ∴-+>∴-->,23a b ∴>或222,49a b a b <∴>或22224,913a b c a <∴<或225,13c c a a >∴<<或ca >∴双曲线C 的离心率的取值范围为(5,)⎛+∞ ⎝⎭.【点睛】本题考查离心率的取值范围的问题,属于中档题型,意在考查化归和计算能力,关键是根据几何关系分析1|||MF MN +‖的最小值,转化为,a b 的代数关系,最后求ca的范围.12.在三棱锥P ABC -中,点P A B C ,,,均在球O 的球面上,且86AB BC AB BC ⊥==,,,若此三棱锥体积的最大值为则球O 的表面积为( ) A.90π B.120π C.160π D.180π【答案】D【解析】根据条件可知,当球心在三棱锥P ABC -的高上时,此三棱锥的体积最大.根据数形结合,设半径为R ,1OO A ∆是直角三角形,满足22211AO AO OO =+,建立关于R 的方程,最后24S R π=计算表面积. 【详解】因为三棱锥P ABC -的底面积一定,所以当球心在三棱锥P ABC -的高上时, 此三棱锥的体积最大.设球O 的半径为R ,顶点P 在底面内的射影为1O .因为AB BC ⊥,所以1O 为斜边AC 的中点,则1522AC AO ===,如图所示.由三楼锥P ABC -的体积113ABC V S PO ∆=⋅得1118632PO =⨯⨯⨯⨯ ,解得1PO =在1Rt AOO ∆中,有22211AO AO OO =+,即2225)R R =+,解得R =O 的表面积2244180S R πππ===球 .【点睛】本题考查了球与几何体的综合问题,考查空间想象能力以及化归和计算能力,(1)当三棱锥的三条侧棱两两垂直时,并且侧棱长为,,a b c ,那么外接球的直径2R =(2)当有一条侧棱垂直于底面时,先找底面外接圆的圆心,过圆心做底面的垂线,球心在垂线上,根据垂直关系建立R 的方程.二、填空题13.已知实数x y , 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩,则目标函数3z x y =-的最小值为______.【答案】1【解析】首先画出可行域,然后作出初始目标函数,最后求3z x y =-的最小值. 【详解】作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,由图可得(1,2),(3,1),(4,2)A B C ,平移直线30x y -=,可知过A 、C 时分别取得最小值与最大值,所以1310x y -剟,所以min 1z =.【点睛】本题考查了线性规划,考查了目标函数的几何意义,考查了分析问题解决问题的能力,属于简单题型. 14.已知()4121x a x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中含3x 的项的系数为5,则a =_________. 【答案】2【解析】首先原式展开为()()()44412111x x x a x x⋅-+⋅-+-,然后分别求每一项中含有3x 的系数,最后求a . 【详解】由题意知原式展开为()()()44412111x x x a x x⋅-+⋅-+-, 所以412(1)x a x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中含3x 的项为224334412C ()()C ()x x x a x x ⋅-+-+-,即3(134)a x -,由已知条件知1345a -=,解得2a = . 【点睛】本题考查了二项式定理的综合问题,意在考查二项式定理指定项的求法,属于基础题.15.已知()f x 是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数,其导函数为()f x ',8f π⎛⎫=⎪⎝⎭当x 0,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()sin 22()cos 20f x x f x x '+>,则不等式()21f x sin x <的解集为______.【答案】,88ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】首先根据已知构造函数,()()sin 2g x f x x =⋅ ,根据导数可知函数()g x 单调递增,即()()sin 218f x x g x g π⎛⎫⋅<⇔< ⎪⎝⎭,再结合奇偶性得到不等式的解集. 【详解】令()() 2g x f x sin x =,则()()()' 22 2g x f x sin x f x cos x =+当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()()'0g x g x >, 单调递增,且sin 18842g f πππ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为()sin 21f x x <等价于()sin 2sin 288f x x f ππ⎛⎫⎛⎫<⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即g(x)<g(8π), 又()()sin 2g x f x x =为偶函数,所以8x π<,故88x ππ-<<,故不等式()21f x sin x <的解集为,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ . 【点睛】本题考查了函数的奇偶性,函数与方程,函数与不等式,导数的应用,涉及函数与方程思想,数形结合思想和转化化归思想,考查逻辑思维能力,等价转化能力,运算求解能力,综合性较强,本题的关键是构造函数()() 2g x f x sin x =,根据导数分析函数的单调性,并且判断()g x 是偶函数.16.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ,准线为l 。
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2020届河南省安阳市高三年级第一次模拟数学(理)试题一、单选题1.已知集合{| 3 3}A x x x =≥≤-或,{}|2,1xB y y x ==≥,则()R A B =I ð( ) A .{|23}x x ≤< B .{|2}x x > C .{|3}x x ≥ D .{|23}x x <≤【答案】A【解析】对集合进行,A B 进行化简,再进行集合运算,即可得答案. 【详解】由题意得(3,3),{|2}R A B y y =-=≥ð,故()[2,3)R A B ⋂=ð. 故选:A. 【点睛】本题考查集合的补集、交集运算,考查运算求解能力,属于基础题. 2.已知复数z 满足(3)1i z i +=+,则z 的虚部为( ) A .i - B .iC .–1D .1【答案】C【解析】利用复数的四则运算可得2z i =--,即可得答案. 【详解】∵(3)1i z i +=+,∴131iz i i++==-, ∴2z i =--,∴复数z 的虚部为1-. 故选:C. 【点睛】本题考查复数的四则运算、虚部概念,考查运算求解能力,属于基础题.3.已知函数3(1),1()ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩,若()()f a f b >,则下列不等关系正确的是( )A .221111a b <++ B C .2a ab <D .()()22ln 1ln 1a b +>+【解析】利用函数的单调性得到,a b 的大小关系,再利用不等式的性质,即可得答案. 【详解】∵()f x 在R 上单调递增,且()()f a f b >,∴a b >.∵,a b 的符号无法判断,故2a 与2b ,2a 与ab 的大小不确定, 对A ,当1,1a b ==-时,221111a b =++,故A 错误; 对C ,当1,1a b ==-时,21,1a ab ==-,故C 错误; 对D ,当1,1a b ==-时,()()22ln 1ln 1a b +=+,故D 错误; 对B ,对a b >,则33a b >,故B 正确. 故选:B. 【点睛】本题考查分段函数的单调性、不等式性质的运用,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,属于基础题.4.国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是( )A .12个月的PMI 值不低于50%的频率为13B .12个月的PMI 值的平均值低于50%C .12个月的PMI 值的众数为49.4%D .12个月的PMI 值的中位数为50.3% 【答案】D【解析】根据图形中的信息,可得频率、平均值的估计、众数、中位数,从而得到答案.对A ,从图中数据变化看,PMI 值不低于50%的月份有4个,所以12个月的PMI 值不低于50%的频率为41123=,故A 正确; 对B ,由图可以看出,PMI 值的平均值低于50%,故B 正确; 对C ,12个月的PMI 值的众数为49.4%,故C 正确,; 对D ,12个月的PMI 值的中位数为49.6%,故D 错误 故选:D. 【点睛】本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算,考查数据处理能力,属于基础题. 5.已知数列{}n a 满足12n n a a +-=,且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ,则n S 的最小值为( ) A .–10 B .14- C .–18 D .–20【答案】D【解析】利用等比中项性质可得等差数列的首项,进而求得n S ,再利用二次函数的性质,可得当4n =或5时,n S 取到最小值. 【详解】根据题意,可知{}n a 为等差数列,公差2d =,由134,,a a a 成等比数列,可得2314a a a =,∴1112()4(6)a a a ++=,解得18a =-.∴22(1)981829()224n n n S n n n n -=-+⨯=-=--. 根据单调性,可知当4n =或5时,n S 取到最小值,最小值为20-. 故选:D. 【点睛】本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前n 项和的最值,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意当4n =或5时同时取到最值.6.已知cos(2019)3πα+=-,则sin(2)2πα-=( )A .79B .59C .59-D .79-【答案】C【解析】利用诱导公式得cos(2019)cos παα+=-,sin(2)cos 22παα-=,再利用倍角公式,即可得答案. 【详解】由cos(2019)πα+=可得cos()πα+=∴cos α=,∴225sin(2)cos22cos 121299πααα-==-=⨯-=-. 故选:C. 【点睛】本题考查诱导公式、倍角公式,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意三角函数的符号.7.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ,过右顶点A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M 点,MF 的中点恰好在双曲线C 上,则C 的离心率为( ) A1 BCD【答案】A【解析】设(,)M a b ,则MF 的中点坐标为(,)22a c b+,代入双曲线的方程可得,,a b c 的关系,再转化成关于,a c 的齐次方程,求出ca的值,即可得答案. 【详解】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为(,0)A a ,右焦点为(c,0)F ,M 所在直线为x a =,不妨设(,)M a b ,∴MF 的中点坐标为(,)22a cb +.代入方程可得2222221a c b a b+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=, ∴22()544a c a +=,∴2240e e +-=,∴1e =(负值舍去).故选:A. 【点睛】本题考查双曲线的离心率,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意构造,a c 的齐次方程.8.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为11,则图中的判断条件可以为( )A .1?S >-B .0?S <C .–1?S <D .0?S >【答案】B【解析】根据程序框图知当11=i 时,循环终止,此时1lg110S =-<,即可得答案. 【详解】1i =,1S =.运行第一次,11lg 1lg30,33S i =+=->=,不成立,运行第二次,131lg lg 1lg50,535S i =++=->=,不成立,运行第三次,1351lg lg lg 1lg70,7357S i =+++=->=,不成立,运行第四次,13571lg lg lg lg 1lg90,93579S i =++++=->=,不成立,运行第五次,135791lg lg lg lg lg 1lg110,11357911S i =+++++=-<=,成立,输出i 的值为11,结束. 故选:B. 【点睛】本题考查补充程序框图判断框的条件,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意模拟程序一步一步执行的求解策略. 9.已知各项都是正数的数列{}n a 满足()*12n n a Na n n +-=∈,若当且仅当4n =时,na n取得最小值,则( ) A .1012a << B .11220a <<C .112a =D .120a =【答案】B【解析】根据递推关系,利用累加法求出21n a n n a =-+,进而得到11n a a n n n=-+,再利用对勾函数的单调性,即可得答案. 【详解】由题意得当2n ≥时,122n n a a n --=-,122124,,2n n a a n a a ---=--=L ,累加得21n a a n n -=-,故21n a n n a =-+,当1n =时,该式也成立,则11n a an n n=-+ 因为当且仅当4n =时,na n取得最小值, 10a >, 所以由“对勾两数”的单调性可知4343a a <且4545a a <, ∴11413143a a -+<-+且11415145a a-+<-+,解得11220a <<. 故选:B. 【点睛】本题考查累加法求数列通项公式、对勾函数的应用,考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意n 为整数的特殊性.10.过抛物线()2:20E x py p =>的焦点F 作两条互相垂直的弦AB ,CD ,设P 为抛物线上的一动点,(1,2)Q ,若111||||4AB CD +=,则||||PF PQ +的最小值是( ) A .1 B .2C .3D .4【答案】C【解析】设直线AB 的方程为2p y kx =+,代入22x py =得:2220x pkx p --=,由根与系数的关系得2A B x x pk +=,2A B x x p =-,从而得到()2||21AB p k =+,同理可得21||2(1)CD p k=+,再利用111||||4AB CD +=求得p 的值,当Q ,P ,M 三点共线时,即可得答案. 【详解】根据题意,可知抛物线的焦点为(0,)2p,则直线AB 的斜率存在且不为0, 设直线AB 的方程为2p y kx =+,代入22x py =得:2220x pkx p --=. 由根与系数的关系得2A B x x pk +=,2A B x x p =-,所以()2||21AB p k=+.又直线CD 的方程为12p y x k =-+,同理21||2(1)CD p k=+, 所以221111111||||2(1)242(1)AB C p k p kD p +=+==++,所以24p =.故24x y =.过点P 作PM 垂直于准线,M 为垂足, 则由抛物线的定义可得||||PF PM =.所以||||||||||3PF PQ PM PQ MQ +=+≥=,当Q ,P ,M 三点共线时,等号成立. 故选:C. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意取最值的条件.11.已知四棱锥E ABCD -,底面ABCD 是边长为1的正方形,1ED =,平面ECD ⊥平面ABCD ,当点C 到平面ABE 的距离最大时,该四棱锥的体积为( ) A.6B .13C.3D .1【答案】B【解析】过点E 作EH CD ⊥,垂足为H ,过H 作HF AB ⊥,垂足为F ,连接EF .因为//CD 平面ABE ,所以点C 到平面ABE 的距离等于点H 到平面ABE 的距离h .设(0)2CDE πθθ∠=<≤,将h 表示成关于θ的函数,再求函数的最值,即可得答案.【详解】过点E 作EH CD ⊥,垂足为H ,过H 作HF AB ⊥,垂足为F ,连接EF .因为平面ECD ⊥平面ABCD ,所以EH ⊥平面ABCD , 所以EH HF ⊥.因为底面ABCD 是边长为1的正方形,//HF AD ,所以1HFAD ==.因为//CD 平面ABE ,所以点C 到平面ABE 的距离等于点H 到平面ABE 的距离. 易证平面EFH⊥平面ABE ,所以点H 到平面ABE 的距离,即为H 到EF 的距离h . 不妨设(0)2CDE πθθ∠=<≤,则sin EH θ=,21sin EF θ=+.因为1122EHF S EF h EH FH =⋅⋅=⋅⋅V ,所以21sin sin h θθ⋅+=, 所以22211sin 1sin h θθ==≤++,当2πθ=时,等号成立. 此时EH 与ED 重合,所以1EH =,2111133E ABCD V -=⨯⨯=. 故选:B.【点睛】本题考查空间中点到面的距离的最值,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查空间想象能力和运算求解能力,求解时注意辅助线及面面垂直的应用.12.已知不等式ln (ln4)0x x x k k +-+<的解集中仅有2个整数,则实数k 的取值范围是( ) A .20,ln 23⎛⎫ ⎪⎝⎭ B .342ln ,ln 2433⎛⎫⎪⎝⎭ C .34ln,43⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D .342ln,ln 2433⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】原不等式等价于(1)ln4ln k x x x x +<-,设()(1),()ln4ln g x k x f x x x x =+=-,利用导数研究函数()f x 的图象特征,再利用图象可得0k >,且(2)(2)(3)(3)g f g f <⎧⎨≥⎩,解不等式,即可得答案.【详解】原不等式等价于(1)ln4ln k x x x x +<-,设()(1),()ln4ln g x k x f x x x x =+=-,4()ln 4(1ln )ln 1f x x x'∴=-+=-,令()0f x '=,得4x e=. 当40x e<<时,()0f x '>,()f x 单调递增; 当4ex >时,()0f x '<,()f x 单调递减. 又(4)0,0f x =→时,()0f x →因此()f x 与()g x 的图像如下, 当0k ≤时,显然不满足条件,当0k >时,只需满足(2)(2)(3)(3)g f g f <⎧⎨≥⎩,(21)2ln 42ln 2(31)3ln 43ln 3k k +<-⎧∴⎨+≥-⎩,342ln ln 2433k ∴≤<.故选:D.【点睛】本题考查根据不等式的整数解个数求参数的取值范围,考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意借助函数图象的直观性进行分析问题.二、填空题13.已知向量(1,1)a =r,||b =r(2)2a b a +⋅=r r r,则||a b -=r r__________. 【答案】3【解析】由题意得2a b ⋅=-r r ,a r ||=,再代入||a b -==r r 中,计算即可得答案. 【详解】由题意可得a r ||=2(2)24a b a a b a a b ⋅=+=++⋅⋅r r r r r r r r,∴42a b =⋅+r r ,解得2a b ⋅=-r r,∴||3a b =-===r r.故答案为:3. 【点睛】本题考查向量模的计算,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查运算求解能力,求解时注意向量数量积公式的运用.14.5(1)(1)ax x +-的展开式中,3x 的系数是20,则a =_________. 【答案】1-【解析】对多项式展开得55(1)(1)ax x x -+-,再研究5(1)x -的通项得,当3r =和2r =时,可得3x 的系数为332255(1)(1)aC C -+-,再解关于a 的方程,即可得答案.【详解】因为555(1)(1)(1)(1)ax x ax x x +-=-+-,而5(1)x -展开式的通项公式为展开式的通项公式为515,05C (,1,),1r r r r T x r -+==-L . 所以5(1)(1)ax x +-的展开式中3x 的系数为332255(1)(1)20aC C -+-=,解得1a =-.故答案为:1-. 【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系数,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意系数的符号.15.将底面直径为4大值为__________.【解析】由题意欲使圆柱侧面积最大,需使圆柱内接于圆锥.设圆柱的高为h ,底面半径为r2r=,将侧面积表示成关于r 的函数,再利用一元二次函数的性质求最值. 【详解】欲使圆柱侧面积最大,需使圆柱内接于圆锥.设圆柱的高为h ,底面半径为r ,则2r=,所以h =.∴222(1)12S rh r r r ππ⎫⎡⎤===--+≤⎪⎣⎦⎭侧,当1r =时,S 侧.. 【点睛】本题考查圆柱的侧面积的最值,考查函数与方程思想、转化与化归思想、,考查空间想象能力和运算求解能力,求解时注意将问题转化为函数的最值问题.16.2019年暑假期间,河南有一新开发的景区在各大媒体循环播放广告,观众甲首次看到该景区的广告后,不来此景区的概率为1114,从第二次看到广告起,若前一次不来此景区,则这次来此景区的概率是13,若前一次来此景区,则这次来此景区的概率是25.记观众甲第n 次看到广告后不来此景区的概率为n P ,若当2n ≥时,n P M ≤恒成立,则M 的最小值为__________. 【答案】137210【解析】设n P 为观众甲第n 次看到广告后不来此景区的概率,根据题意可得914n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为1914P -,公比为115的等比数列,求出{}n P 的通项公式,再判断其单调性,即可得答案. 【详解】根据题意,n P 为观众甲第n 次看到广告后不来此景区的概率, 则()1112313135155n n n n P P P P ---=⋅+-⋅=+, 所以1919141514n n P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭, 所以914n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为1914P -,公比为115的等比数列, 所以11199111141415715n n n P P --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 即191114715n n P -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,显然数列{}n P 单调递减, 所以当2n ≥时,291113714715210n P P ≤=+⨯=, 所以137210M ≥,所以M 的最小值为137210. 【点睛】本题考查概率与数列的综合题,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意寻找递推关系是解题的关键.三、解答题17.如图,在平面四边形ABCD 中,45DCB ∠=︒,120ABD ∠=︒,ABC α∠=,103AD =.(1)求ABD △的面积的最大值,(2)在ABD △的面积取得最大值的条件下,若52BC =tan 2α的值.【答案】(1)2532)12【解析】(1)利用余弦定理、结合基本不等式可得·100BA BD ≤,再利用三角形的面积公式,即可得答案;(2)利用正弦定理求出105CBD ∠=︒,进而得到α的值,再利用半角公式,即可求得tan2α的值.【详解】(1)在ABD △中,由余弦定理可得2222cos120AD BA BD BA BD =+-⋅︒, 所以223003BA BD BA BD BA BD =++⋅≥⋅,所以·100BA BD ≤,当且仅当10BA BD ==时,等号成立. 所以1sin1202532ABD S BA BD =⋅︒≤V , 故ABD △的面积的最大值为253.(2)在BCD V 中,由题意可得45BCD ∠=︒,10BD =.由正弦定理可得sin sin BC BDCDB BCD=∠∠,所以252sin 12sin 102BC BCD CDB BD ⨯⋅∠∠===. 又BD BC >,所以CDB ∠为锐角,所以30CDB ∠=︒,所以105CBD ∠=︒, 所以135α=︒.所以tantan67.52α=︒因为22tan67.5tan13511tan 67.5︒︒==--︒,所以tantan67.5122α=︒=+(负值舍去).【点睛】本题考查正余弦定理的应用、三角恒等变换中的半角公式、基本不等式的应用,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力.18.如图,在斜三棱柱111ABC A B C -中,平面ABC ⊥平面11A ACC ,12CC =,ABC V ,1ACC △,均为正三角形,E 为AB 的中点.(1)证明:1//AC 平面1B CE ,(2)求直线1AC 与平面11B BAA 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析(2)5【解析】(1)如图,连接1BC ,交1B C 于点M ,连接ME ,则1//ME AC ,再利用线面平行的判定定理,即可证明线面平行;(2)设O 是AC 的中点,连接1OC ,OB ,分别以射线OB ,OA ,1OC 的方向为x ,y ,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,求出平面11B BAA的一个法向量为1)m =-r,设直线1AC 与平面11B BAA 所成的角为θ,代入公式1||sin ||||AC m AC m θ⋅=⋅u u u r ru u u r r 运算,即可得答案. 【详解】(1)如图,连接1BC ,交1B C 于点M ,连接ME ,则1//ME AC . 因为1AC ⊄平面1B CE ,ME ⊂平面1B CE ,所以1//AC 平面1B CE . (2)设O 是AC 的中点,连接1OC ,OB .因为1ACC △为正三角形,所以1OC AC ⊥,又平面ABC ⊥平面11A ACC ,平面ABC I 平面11A ACC AC =, 所以1OC ⊥平面ABC .由已知得2AC =.如图,分别以射线OB ,OA ,1OC 的方向为x ,y ,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,则有(0,1,0)A,B,1C,1A ,故1(0,1AC =-u u u u r,1,0)AB =-u u u r,1AA =u u u r , 设平面11B BAA 的一个法向量为(, , )m x y z =r ,则100AB m AA m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v vu u u v v ,所以00y y -=+=⎪⎩令1x =,则1)m =-r.设直线1AC 与平面11B BAA 所成的角为θ,则1||sin ||||AC m AC m θ⋅===⋅u u u r ru u u r r, 故直线1AC 与平面11B BAA所成角的正弦值为5.【点睛】本题考查线面平行的证明、线面角的向量求解,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查空间想象能力和运算求解能力,求解时注意在建系之前,要证明三条直线两两互相垂直.19.近几年一种新奇水果深受广大消费者的喜爱,一位农户发挥聪明才智,把这种露天种植的新奇水果搬到了大棚里,收到了很好的经济效益.根据资料显示,产出的新奇水果的箱数x (单位:十箱)与成本y (单位:千元)的关系如下: x 1 3 4 6 7 y 56.577.58y 与x 可用回归方程$$ˆlg y bx a =+(其中$a ,b $为常数)进行模拟. (1)若该农户产出的该新奇水果的价格为150元/箱,试预测该新奇水果100箱的利润是多少元.(利润=售价-成本)(2)据统计,10月份的连续16天中该农户每天为甲地可配送的该新奇水果的箱数的频率分布直方图如图,用这16天的情况来估计相应的概率.一个运输户拟购置n 辆小货车专门运输该农户为甲地配送的该新奇水果,一辆货车每天只能运营一趟,每辆车每趟最多只能装载40箱该新奇水果,满载发车,否则不发车.若发车,则每辆车每趟可获利500元,若未发车,则每辆车每天平均亏损200元。试比较3n =和4n =时此项业务每天的利润平均值的大小.参考数据与公式:设lg t x =,则线性回归直线$$ˆlg y bx a =+中,()()()121ˆnii i ni i tty y b t t ==--=-∑∑,$ˆay bt =-. 【答案】(1)6636(2)概率见解析,购置3辆小货车的利润平均值大于购置4辆小货车的利润平均值【解析】(1)根据题意,先求出y 关于t 的线性回归方程,进而求得y 关于x 的线性回归方程,再将10x =代入回归方程,即可得答案;(2)根据频率分布直方图,可得该农户每天可配送的该新奇水果的箱数的概率分情况,再设该运输户购3辆车和购4辆车时每天的利润分别为1Y ,2Y 元,写出两个随机变量的分布列,并求出期望进行大小比较,即可得答案. 【详解】(1)根据题意,()()()515211.53ˆ 3.40.45i i i i i tt y y bt t ==--===-∑∑, 所以ˆˆ 6.8 3.40.54 4.964ay bt =-=-⨯=,所以ˆ 3.4 4.964y t =+. 又lg t x =,所以ˆ 3.4lg 4.964yx =+. 所以10x =时,ˆ 3.4 4.9648.364y =+=(千元),即该新奇水果100箱的成本为8364元,故该新奇水果100箱的利润1500083646636-=.(2)根据频率分布直方图,可知该农户每天可配送的该新奇水果的箱数的概率分布表为:设该运输户购3辆车和购4辆车时每天的利润分别为1Y ,2Y 元.则1Y 的可能取值为1500,800,100,其分布列为故()1511920015008001008488E Y =⨯+⨯+⨯=. 则2Y 的可能取值为2000,1300,600,100-,其分布列为故()21111830020001300600(100)82488E Y =⨯+⨯+⨯+⨯-=. 故()()21E Y E Y <,即购置3辆小货车的利润平均值大于购置4辆小货车的利润平均值. 【点睛】本题考查最小二乘法和换元法求回归方程、离菜型随机变量的分布列和均值,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查数据处理能力,求解时注意对题意的理解和非线性回归方程的求解方法.20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左,右焦点分别为1F ,2F ,12||2F F =,M是椭圆E 上的一个动点,且12MF F △ (1)求椭圆E 的标准方程,(2)若(,0)A a ,(0,)B b ,四边形ABCD 内接于椭圆E ,//AB CD ,记直线AD ,BC 的斜率分别为1k ,2k ,求证:12k k 为定值.【答案】(1)22143x y +=(2)证明见解析【解析】(1)设椭圆E 的半焦距为c ,由题意可知,当M 为椭圆E 的上顶点或下顶点时,12MF F △,,a b c ,即可得答案;(2)根据题意可知(2,0)A,B ,因为//AB CD ,所以可设直线CD的方程为()()1122(,,,2y x m m D x y C x y =-+≠,将直线代入曲线的方程,利用韦达定理得到12,x x 的关系,再代入斜率公式可证得12k k 为定值. 【详解】(1)设椭圆E 的半焦距为c ,由题意可知,当M 为椭圆E 的上顶点或下顶点时,12MF F △所以2221122c c b a b c =⎧⎪⎪⨯⨯=⎨⎪=+⎪⎩,所以2a =,b =故椭圆E 的标准方程为22143x y +=.(2)根据题意可知(2,0)A,B ,因为//AB CD ,所以可设直线CD的方程为()()1122(,,,2y x m m D x y C x y =-+≠.由221432x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩,消去y可得2264120x m -+-=,所以123x x +=,即123x x =-.直线AD的斜率11111222x my k x x +==--, 直线BC的斜率222222x m y k x x +--==, 所以121212222x m x m k k x x ++-=⋅-()()121211233(4222x x x x x m m x x +++=-()1221233(422x x x m m x x ⎫-+-+-⎪⎝⎭=- ()1221233422x x x x x -=-34=,故12k k 为定值. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、椭圆中的定值问题,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意坐标法的运用. 21.已知直线–1y x =是曲线()ln f x a x =的切线. (1)求函数()f x 的解析式,(2)若34ln2t ≤-,证明:对于任意0m >,()()h x mx f x t =+有且仅有一个零点.【答案】(1)()ln f x x =(2)证明见解析【解析】(1)对函数求导,并设切点()000,P x y ,利用点既在曲线上、又在切线上,列出方程组,解得01x a ==,即可得答案;(2)当x 充分小时()0h x <,当x 充分大时()0h x >,可得()h x 至少有一个零点. 再证明零点的唯一性,即对函数求导得211()164h x m ⎫'=-+⎪⎭,对m 分116m ≥和1016m <<两种情况讨论,即可得答案. 【详解】(1)根据题意,()af x x'=,设直线1y x =-与曲线()ln f x a x =相切于点()000,P x y . 根据题意,可得0001ln 1a x a x x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩,解之得01x a ==,所以()ln f x x =.(2)由(1)可知()ln (0)h x mx x t x =-+>,则当x 充分小时()0h x <,当x 充分大时()0h x >,∴()h x 至少有一个零点.∵2111()164h x m m x ⎫'=+=-+-⎪⎭, ①若116m ≥,则()0h x '≥,()h x 在(0,)+∞上单调递增,∴()h x 有唯一零点. ②若1016m <<令211()0416h x m ⎫'=-+-=⎪⎭,得()h x 有两个极值点,∵()1212,x x x x <,14>,∴1016x <<. ∴()h x 在1(0,)x 上单调递增,在12(,)x x 上单调递减,在2(,)x +∞上单调递增. ∴极大值为()1111111ln ln h x mx x t x x t x ⎛⎫=+=--+⎪⎪⎭.11ln x t =-++,又()11110h x x '=+=>, ∴()1h x 在(0,16)上单调递增,∴()1(16)ln163ln16334ln20h x h t <=-+≤-+-=, ∴()h x 有唯一零点.综上可知,对于任意0m >,()()h x mx f x t =-++有且仅有一个零点.【点睛】本题考查导数的几何意义的运用、利用导数证明函数的零点个数,考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意零点存在定理的运用.22.以直角坐标系xOy 的原点为极坐标系的极点,x 轴的正半轴为极轴.已知曲线1C 的极坐标方程为4cos 8sin ρθθ=+,P 是1C 上一动点,2OP OQ =u u u r u u u r,Q 的轨迹为2C .(1)求曲线2C 的极坐标方程,并化为直角坐标方程,(2)若点(0,1)M ,直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩(t 为参数),直线l 与曲线2C 的交点为A ,B ,当||||MA MB +取最小值时,求直线l 的普通方程.【答案】(1)2cos 4sin ρθθ=+,22(1)(2)5x y -+-=(2)–10x y +=【解析】(1)设点P ,Q 的极坐标分别为()0,ρθ,(,)ρθ),利用012ρρ=这一关系,可得Q 的极坐标方程,再化成普通方程,即可得答案; (2)设点A ,B 对应的参数分别为1t ,2t ,则12||,||MA t MB t ==,将直线l 的参数方程cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩,(t 为参数),代入2C 的直角坐标方程,利用韦达定理,从而将问题转化为三角函数的最值问题,求出此时的α值,即可得答案.【详解】(1)设点P ,Q 的极坐标分别为()0,ρθ,(,)ρθ), 因为012cos 4sin 2ρρθθ==+, 所以曲线2C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=+,两边同乘以ρ,得224cos sin ρρθρθ=+,所以2C 的直角坐标方程为2224x y x y +=+,即22(1)(2)5x y -+-=. (2)设点A ,B 对应的参数分别为1t ,2t ,则12||,||MA t MB t ==,将直线l 的参数方程cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩,(t 为参数), 代入2C 的直角坐标方程()()22–125x y +-=中,整理得22(cos sin )30t t αα-+-=.由根与系数的关系得12122(cos sin ),3t t t t αα+=+=-.∴1212||||MA MB t t t t +=+=-===≥( 当且仅当sin 21α=-时,等号成立)∴当||||MA MB +取得最小值时,直线l 的普通方程为–10x y +=.【点睛】本题考查极坐标方程、普通方程、参数方程的互化、直线参数方程的几何意义,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力.23.已知,,a b c R +∈,x R ∀∈,不等式|1||2|x x a b c ---≤++恒成立. (1)求证:22213a b c ++≥(2)求证≥【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】(1)先根据绝对值不等式求得|1||2|x x ---的最大值,从而得到1a b c ++≥,再利用基本不等式进行证明;(2)利用基本不等式222a b ab +≥变形得222()2a b a b ++≥,两边开平方得到新的不等式,利用同理可得另外两个不等式,再进行不等式相加,即可得答案.【详解】(1)∵|1||2||12|1x x x x ---≤--+=,∴1a b c ++≥.∵222a b ab +≥,222b c bc +≥,222c a ac +≥,∴222222222a b c ab bc ac ≥++++,∴2222222333222()1a b c a b c ab bc ac a b c ++≥+++++=++≥, ∴22213a b c ++≥. (2)∵222a b ab +≥,()2222222()a ba ab b a b +≥++=+,即222()2a b a b ++≥||()22a b a b ≥+=+.)2b c ≥+)2c a ≥+.)a b c ≥++≥【点睛】 本题考查绝对值不等式、应用基本不等式证明不等式,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和推理论证能力.。