2.2.3.2 圆与圆的位置关系 课件(北师大必修2)

[一点通]
判断两圆的位置关系有几何法和代数法两
种方法，几何法比代数法简便，解题时一般用几何法．
用几何法判断两圆位置关系的操作步骤
(1)将两圆的方程化为标准方程． (2)求两圆的圆心坐标和半径R、r. (3)求两圆的圆心距d. (4)比较d与|R－r|、R＋r的大小关系．
1．两圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和x2＋y2－4x＋2y＋＝0的
当| 50－k－1|＝5，即 50－k＝6， k＝14时，两圆内切． 当14<k<34时，则4< 50－k<6， 即r2－r1<|C1C2|<r1＋r2，时，两圆相交． 当34<k<50时，则 50－k<4， 即 50－k＋1<|C1C2|时，两圆相离．
[例2]
＋2y－8＝0.
已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x
其圆心为C1(1，－5)，半径r1＝5 2. 圆心C1到直线x－2y＋4＝0的距离 |1－2×－5＋4| d＝ ＝3 5， 2 1＋－2 设公共弦长为2l，由勾股定理r2＝d2＋l2，得50＝45 ＋l2，解得l＝ 5，所以公共弦长2l＝2 5.
[一点通]
(1)求圆的弦长，一般运用垂径定理构造直角三角形，
(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为 x－2y＋4＝0. (3)法一：两方程联立，得方程组
x2＋y2－2x＋10y－24＝0， 2 x ＋y2＋2x＋2y－8＝0.
① ② ③
两式相减得x＝2y－4，
把③代入②得 y2－2y＝0，∴y1＝0，y2＝2.
x ＝－4， 1 ∴ y1＝0， x ＝0， 2 或 y2＝2.
[例1]
已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，
圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，则m为何值时， (1)圆C1与圆C2外切； (2)圆C1与圆C2内切． [思路点拨] 两圆外切时，|C1C2|＝r1＋r2；内切
时，|C1C2|＝|r1－r2|.
[精解详析] 圆C1，圆C2的方程，经配方后为
利用半径、弦心距先求半弦长，即得弦长． (2)求两圆的公共弦长及公共弦所在直线方程一般 不用求交点的方法，常用如下方法：
4．两圆x2＋y2＋4x－4y＝0和x2＋y2＋2x－12＝0的相交 弦方程为 A．x＋2y－6＝0 C．x－2y＋6＝0 B．x－3y＋5＝0 D．x＋3y－8＝0 ( )
解析：两圆方程相减得：
2．求两圆的公共弦所在的直线方程，只需把两个
圆的方程相减即可．而在求两圆的公共弦长时，则应注 意数形结合思想方法的灵活运用. 3.过圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆x2＋y2＋D2x＋ E2y＋F2＝0交点的圆方程可设为(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1) ＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，这就是过两圆交 点的圆系方程，特别地，λ＝－1时，为两圆公共弦的方 程．
F1－F2＝0表示两圆的公共弦所在的直线方程．
②方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(ax＋by＋c)＝0，
表示过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与直线ax＋by＋c＝0
交点的圆．
6．(2011· 江西九江检测)求与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋
ห้องสมุดไป่ตู้
y2－12x－12y＋54＝0都相切，且半径最小的圆的标
(2)常见的圆系方程有：
①设两相交圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2
＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，则C3：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋
λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)表示过两相交圆交点
的圆(不包括C2)；当λ＝－1时，(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋
C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？
解：将两圆的一般方程化为标准方程： C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1， C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k. 所以圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1； 圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝ 50－k(k<50)． 从而|C1C2|＝ －2－12＋3－72＝5， 当1＋ 50－k＝5，即k＝34时，两圆外切．
7．(2012· 福建三明市高一检测)已知圆C：(x－3)2＋ (y－4)2＝4， (1)若直线l1过定点A(1,0)，且与圆C相切，求l1的 方程；
(2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x＋y－2＝0
上，且与圆C外切，求圆D的方程． 解：(1)①若直线l1的斜率不存在，即直线是x＝1， 符合题意．②若直线l1斜率存在，设直线l1为y＝ k(x－1)，即kx－y－k＝0.
准方程． 解：如图x2＋y2－12x－12y＋54＝0化为标准方程为 (x－6)2＋(y－6)2＝18.
圆心(6,6)到直线x＋y－2＝0的距离为 |6＋6－2| d＝ ＝5 2， 2 ∴所求圆的圆心在过点(6,6)且与直线x＋y－2＝0垂 直的直线上，并且直径为2r＝5 2－3 2＝2 2，
∴所求圆的圆心在直线y＝x上，且圆心到直线x＋y－2 ＝0的距离为 2. |a＋a－2| 设圆心为(a，a)，则 ＝ 2 ⇒a＝2或a＝0，但 2 圆心应在直线x＋y－2＝0上方， ∴a＝2. ∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.
所以交点坐标为(－4,0)和(0,2)． ∴两圆的公共弦长为 －4－02＋0－22＝2 5.
法二：两方程联立，得方程组
x2＋y2－2x＋10y－24＝0， 2 x ＋y2＋2x＋2y－8＝0，
两式相减得x－2y＋4＝0，即为两圆相交弦所在直线的 方程． 由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，
a＝1.
答案：1
[例3]
过两圆x2＋y2－4＝0和x2－4x＋y2＝0的交点，且
圆心在直线x－ 3y－6＝0上的圆的方程． [思路点拨] 求出交点，再求圆心和半径得圆的方程．
[精解详析]
法一：
x2＋y2－4＝0， 由 2 2 x ＋y －4x＝0， x＝1， 得 y＝ 3， x＝1， 或 y＝－ 3，
2x－4y＋12＝0， 即x－2y＋6＝0. 故两圆相交弦方程为x－2y＋6＝0. 答案：C
5．(2011· 天津高考)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6
＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝________. 解析：两圆公共弦所在直线方程ay＝1， 再由圆心(0,0)到直线ay＝1的距离等于1且a>0，得
解得a＝3，或a＝－2， ∴D(3，－1)或D(－2,4)． ∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝9或(x＋2)2＋ (y－4)2＝9.
1．讨论圆与圆的位置关系问题，一般有两种方 法，即代数法和几何法，代数法有时比较麻烦且只提 供交点的个数；几何法就比较简洁，只要将圆心距d 与|r1－r2|，r1＋r2比较即可得出位置关系．
2 2
2λ ∵圆心( ，0)在直线x－ 3y－6＝0上， 1＋λ 2λ ∴ －6＝0. 1＋λ 3 解得λ＝－2. ∴所求圆的方程为x2＋y2－12x＋8＝0.
[一点通] (1)法一是求出两已知圆的交点、所求圆的圆心及半 径，得出了圆的方程．法二是利用了过两曲线系方程的 特点，利用待定系数法求出λ得出圆的方程，需特别指出 的是法二中若取λ＝－1，则曲线系方程变成直线的方程， 此方程即为经过两圆交点的直线方程．
位置关系是
A．相切 C．内含 B．外离 D．相交
(
)
解析：两圆的圆心和半径分别为O1(1，－2)，r1＝1， 1 O2(2，－1)，r2＝ ，则圆心距d＝|O1O2|＝ 2 1 1 2 2 1－2 ＋－2＋1 ＝ 2，由1－ 2 <d<1＋ 2 ，得两圆相 交．
答案：D
2．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－3)2＋y2＝m相离，则
(1)试判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度． [思路点拨] 先把两圆方程化为标准方程，判断两圆 的位置关系，作差求公共弦所在直线方程，求公共弦的长
度．
[精解详析]
(1)将两圆方程配方化为标准方程，
C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10. 则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝5 2； 圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝ 10. 又|C1C2|＝2 5，r1＋r2＝5 2＋ 10.r1－r2＝5 2－ 10. ∴r1－r2<|C1C2|<r1＋r2，∴两圆相交．
C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9；C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.其 中C1(m，－2)，C2(－1，m)，r1＝3，r2＝2. (1)如果C1与C2外切，则有 m＋12＋m＋22 ＝3＋2， 即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25. ∴m2＋3m－10＝0，解得m＝－5，或m＝2.
(2)如果C1与C2内切，则有 m＋12＋m＋22＝ 3－2，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝1， ∴m2＋3m＋2＝0，解得m＝－2，或m＝－1. ∴当m＝－5或m＝2时，圆C1与圆C2外切； 当m＝－2或m＝－1时，圆C1与圆C2内切．
实数m的取值范围是 A．[0，＋∞) C．(0,4) B．(0，＋∞) D．(0,4] ( )
解析：由条件知C1(0,0)，r1＝1，C2(3,0)，r2＝ m(m>0)， ∵两圆相离，∴|C1C2|>r1＋r2，即3>1＋ m>0，∴0<m<4. m ，∴m<4.又
答案：C
3．实数k为何值时，圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，圆
由题意知，圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径 |3k－4－k| 3 2，即 ＝2，解之得k＝4. 2 k ＋1 所求直线l1的方程为x＝1或3x－4y－3＝0.