中考复习讲座18(一元二次方程的解法与根的判别式)
一元二次方程-2023年中考数学第一轮总复习课件(全国通用)
典例精讲
一元二次方程的解法
知识点二
【例2】(1)一元二次方程x2-x=0的根是_x_1_=_0_,_x_2=_1__.
(2)已知等腰三角形的三边分别为a,b,4,且a,b是关于x的一元二次方程
x2-12x+m+2=0的两个根,则m的值为( A )
A.34 B.30 C.30或34 D.30或36
(1)x(x-1)=0,
一元二次方程的解法
解方程：
(1)2(x-3)=3x(x-3). x1=3，x2=2/3
(2)2x2-4x-1＝0.
x1
2 2
6 ，x2
2 2
6
(3)x2-4x+1=0(用配方法求解)； (4)x2-6x+9=(5-2x)2.
x1 2 3，x2 2 3
x1=2，x2=8/3
查漏补缺
当堂训练
根的判别式
b2 4ac 2a
(b2-4ac≥0)
步骤
①将方程化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式；②计算Δ；
③若Δ≥0,利用求根公式解方程；若Δ＜0,则原方程无解.
理论 若ab=0,则_a_=_0_或__b_=_0_. 因式分 ①利用因式分解把方程化为两个一次式的乘积等于0；
解法 步骤②使这两个一次式分别等于0,得两个一元一次方程； ③求出两个一元一次方程的解,即一元二次方程的解.
(2)已知关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根x1,x2,则 D ()
A.x1+x2＜0 B.x1x2＜0 C.x1x2＞-1 D.x1x2＜1 (3)关于x的7一/4元二次方程x2-4x+m=0的两实数根分别为x1,x2,且x1+3x2=5, 则m的值是_____.
一元二次方程的解法及其根的判别式
§2.2 一元二次方程的解法及其根的判别式一、温故互查知识要点一元二次方程的概念及解法，根的判别式，根与系数的关系（选学）．二、题组训练一1．(2011钦州)下列方程中，有两个不相等的实数根的是 （ ）A ．x 2+1=0B ．x 2-2x +1=0C ．x 2+x +2=0D ．x 2+2x -1=02．用配方法解方程x 2-4x +2=0，下列配方正确的是（ ）A ．(x -2)2=2B ．(x +2)2=2C ．(x -2)2=-2D ．(x -2)2=63．已知关于x 的方程250x mx +-=的一个根是5，那么m = ，另一根是 .4．若关于x 的一元二次方程kx 2-3x +2=0有实数根，则k 的非负整数值是 .三、题组训练二1 解下列方程：(1) 3(x +1)2=13; (2) 3(x -5)2=2(x -5)；(3) x 2+6x -7=0； (4) x 2-4x +1=0（配方法）．例2 关于x 的一元二次方程2(4)210k x x ---= ． (1)若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；(2)在（1）的条件下，自取一个整数k 的值，再求此时方程的根.四、中考连接1．下列方程中有实数根的是( )A ．x 2+2x +3＝0B ．x 2+1＝0C ．x 2+3x +1＝0D ．x x -1= 1x -12．若关于x 的方程(a -1)x 2-2x +1=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＜2B ．a ＞2C ．a ＜2且a ≠1D ．a ＜-23．若直角三角形的两条直角边a 、b 满足(a 2+b 2)(a 2+b 2+1)=12，则此直角三角形的斜边长为 ．4．阅读材料：若一元二次方程ax 2+bx+c =0(a ≠0)的两个实数根为x 1、x 2，则两根与方程系 数之间有如下关系：x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a． 根据上述材料填空：已知x 1、x 2是方程x 2+4x +2=0的两个实数根，则1x 1 + 1x 2= ． 5．解下列方程：（1）(y +4)2=4y ； （2）2x 2+1=3x （配方法）；（3）2x (x -1)=x 2-1； （4）4x 2-(x -1)2=0．6．先阅读，然后回答问题：解方程x 2-|x |-2=0，可以按照这样的步骤进行：(1)当x ≥0时，原方程可化为x 2-x -2=0，解得x 1=2，x 2=-1（舍去）．(2)当x ≤0时，原方程可化为x 2+x -2=0，解得x 1=-2，x 2=1（舍去）．则原方程的根是_____________________．仿照上例解方程：x 2 -|x -1|-1=0．。
一元二次方程的解法、根的判别式
九年级数学复习六——一元二次方程的解法、根的判别式一、中考要求：1. 理解一元二次方程的概念，掌握它们的解法；2．掌握一元二次方程根的判别式,并能运用它解决相应问题；3．掌握一元二次方程根与系数的关系；二、知识要点：1．只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的整式方程叫做一元二次方程。
2．一元二次方程的一般形式是 。
（1）从概念分析应具备三个条件：“一元”、“二次”、“整式”方程（2）从形式上看，应先将一个方程进行整理，看是否符合一般形式。
其中尤其注意0a ≠的条件，若不能确定0a ≠时，则需分类讨论：当0a ≠时，它是一元二次方程；当0a =，0b ≠时，它是一元一次方程。
3．一元二次方程的解法有四种：直接开平方法，配方法，求根公式法和因式分解法。
4．一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式△= 。
当△＞0时，方程 实数根；当△=0时，方程 实数根；当△＜0时，方程 实数根。
5．判别式性质的应用（1）不解方程判断方程根的情况；（2）求方程中字母系数的值、范围或者相互关系。
6. 一元二次方程根与系数的关系：若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .7.一元二次方程常与分式、根式、一元一次不等式(组)、函数等知识相联系，解决综合性问题。
基础练习：1．方程3(1)0x x +=的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .2．关于x 的一元二次方程1(3)(1)30n n xn x n +++-+=中，则一次项系数是 . 3．一元二次方程2230x x --=的根是 .4．某地2005年外贸收入为2.5亿元，2007年外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为x ，则可以列出方程为 .5. 关于x 的一元二次方程225250x x p p -+-+=的一个根为1，则实数p =（ ）A ．4B ．0或2C ．1D ．1- 6．一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ）Ａ．有两个相等的实数根Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根 Ｄ．没有实数根7. 若方程kx 2－6x ＋1＝0有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是 .8．设x 1、x 2是方程3x 2＋4x －5＝0的两根,则=+2111x x 9．关于x 的方程2x 2＋(m 2－9)x ＋m ＋1＝0，当m ＝ 时，两根互为倒数；当m ＝ 时，两根互为相反数.10．若x 1 =23-是二次方程x 2＋ax ＋1＝0的一个根,则a ＝ ，该方程的另一个根x 2= .三、典例剖析：例1．解方程：（1）)4(5)4(2+=+x x ； （2）x x 4)1(2=+； （3）31022=-x x .（4）22)21(16)3(9x x -=+； （5） 用配方法解方程2x 2+7x +3=0。
中考复习——一元二次方程的根的判别式(解析版)
中考复习——一元二次方程的根的判别式一、选择题1、一元二次方程2x2-3x+1=0的根的情况是（）．A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根答案：B解答：∵Δ=b2-4ac=（-3）2-4×2×1=1＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．2、已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2，则实数k的取值范围是（）．A. k＜14B. k≤14C. k＞4D. k≤14且k≠0答案：B解答：∵关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2，∴Δ=b2-4ac≥0，∵a=1，b=-（2k+1），c=k2+2k，∴[-（2k+1）]2-4×1×（k2+2k）≥0，∴-4k≥-1，∴k≤14．选B.3、若一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限，则关于x的方程x2+kx+b=0的根的情况是（）．A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 无法确定答案：A解答：∵一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限，∴k＞0，b≤0，∴Δ=k2-4b＞0，∴方程有两个不相等的实数根．选A.4、关于x的一元二次方程x2+2（m-1）x+m2=0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2＞0，x1x2＞0，则m的取值范围是（）．A. m≤12B. m≤12且m≠0C. m＜1D. m＜1且m≠0答案：B解答：∵Δ=[2（m-1）]2-4m2=-8m+4≥0，∴m≤12．∵x1+x2=-2（m-1）＞0，x1x2=m2＞0，∴m＜1，m≠0，∴m≤12且m≠0．5、关于x的方程x2+2（m-1）x+m2-m=0有两个实数根α，β，且α2+β2=12，那么m的值为（）．A. -1B. -4C. -4或1D. -1或4答案：A解答：由题意知α+β=-2（m-1）=2-2m，αβ=m2-m，且Δ=[2（m-1）]2-4（m2-m）≥0，4（m2-2m+1）-4m2+4m≥0，4m2-8m+4-4m2+4m≥0，-4m≥-4，m≤1，由α2+β2=12可有（α+β）2-2αβ=12，（2-2m）2-2（m2-m）=12，4m2-8m+4-2m2+2m-12=0，2m2-6m-8=0，m2-3m-4=0，（m-4）（m+1）=0，解得m1=-1，m2=4，∵m ≤1故m =-1． 故答案为：A.6、关于x 的一元二次方程x 2+2mx +2n =0有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程y 2+2ny +2m =0同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；②（m -1）2+（n -1）2≥2；③-1≤2m -2n ≤1．其中正确结论的个数是（ ）．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个答案：D解答：①两个整数根且乘积为正，两个根同号，由韦达定理有，x 1·x 2=2n ＞0，y 1·y 2=2m ＞0，y 1+y 2=-2n ＜0，x 1+x 2=-2m ＜0，这两个方程的根都为负根，①正确； ②由根判别式有：Δ=b 2-4ac =4m 2-8n ≥0，Δ=b 2-4ac =4n 2-8m ≥0， ∵4m 2-8n ≥0，4n 2-8m ≥0，∴m 2-2n ≥0，n 2-2m ≥0，m 2-2m +1+n 2-2n +1=m 2-2n +n 2-2m +2≥2，（m -1）2+（n -1）2≥2，②正确；③由根与系数关系可得2m -2n =y 1y 2+y 1+y 2=（y 1+1）（y 2+1）-1，由y 1、y 2均为负整数，故（y 1+1）（y 2+1）≥0，故2m -2n ≥-1，同理可得：2n -2m =x 1x 2+x 1+x 2=（x 1+1）（x 2+1）-1，得2n -2m ≥-1，即2m -2n ≤1，故③正确． 7、若关于x 的不等式x -2a＜1的解集为x ＜1，则关于x 的一元二次方程x 2+ax +1=0根的情况是（ ）． A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根C. 无实数根D. 无法确定答案：C解答：解不等式x -2a ＜1得x ＜1+2a ， 而不等式x -2a＜1的解集为x ＜1， 所以1+2a=1，解得a =0， 又因为Δ=a 2-4=-4，所以关于x 的一元二次方程x 2+ax +1=0没有实数根．8、已知命题“关于x 的一元二次方程x 2+bx +1=0，当b ＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（ ）．A. b=-1B. b=2C. b=-2D. b=0答案：A解答：Δ=b2-4，由于当b=-1时，满足b＜0，而Δ＜0，方程没有实数解，所以当b=-1时，可说明这个命题是假命题．9、在平面直角坐标系中，已知函数y1=x2+ax+1，y2=x2+bx+2，y3=x2+cx+4，其中a，b，c 是正实数，且满足b2=ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（）A. 若M1=2，M2=2，则M3=0B. 若M1=1，M2=0，则M3=0C. 若M1=0，M2=2，则M3=0D. 若M1=0，M2=0，则M3=0答案：B解答：设3个函数的判别式分别为Δ1=a2-4，Δ2=b2-8，Δ3=c2-16，∵b2=ac，∴c=2ba，A选项，若M1=2，M2=2，则Δ1=a2-4＞0，Δ2=b2-8＞0，∵a＞2，b2＞8，∴c=2ba与4无法比较大小，∴Δ3=c2-16无法确定，故A错误；B选项，若M1=1，M2=0，则Δ1=a2-4=0，Δ2=b2-8＜0，∴a=2，0＜b2＜8，∴c=282ba＜=4，∴Δ3=c2-16＜0，∴M3=0，故B正确；C选项，若M1=0，M2=2，则Δ1=a2-4＜0，Δ2=b2-8＞0，∴0＜a＜2，b2＞8，∴C =2b a＞4，∴Δ3=c 2-16＞0， ∴M 3=2，故C 错误； D 选项，若M 1=0，M 2=0， 则Δ1=a 2-4＜0，Δ2=b 2-8＜0， ∴0＜a ＜2，0＜b 2＜8，∴c =2b a与4无法比较大小，∴Δ3=c 2-16无法确定，故D 错误． 选B.10、已知抛物线y =ax 2+bx +c （b ＞a ＞0）与x 轴最多有一个公共点． 有下列结论：①该抛物线的对称轴在y 轴左侧； ②关于x 的方程ax 2+bx +c +2=0无实数根； ③a -b +c ≥0； ④a b cb a++-的最小值为3．其中，正确结论的个数是（ ）．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个答案：D解答：∵b ＞a ＞0， ∴-2ba＜0， 所以①正确；∵抛物线与x 轴最多有一个交点， ∴b 2-4ac ≤0，∴关于x 的方程αx 2+bx +c +2=0中，Δ=b 2-4a （c +2）=b 2-4ac -8a ＜0， 所以②正确；∵a ＞0及抛物线与x 轴最多有一个交点， ∴x 取任何值时，y ≥0，∴当x =-1时，a -b +c ≥0， 所以③正确；· 当x =-2时，4a -2b +c ≥0 a +b +c ≥3b -3a a +b +c ≥3（b -a ）a b cb a++-≥3，所以④正确． 选D. 二、填空题11、若关于x 的一元二次方程（x +2）2=n 有实数根，则n 的取值范围是______． 答案：n ≥0解答：∵关于x 的一元二次方程（x +2）2=n 有实数根， ∴x 2+4x +4-n =0有实数根， ∴Δ=b 2-4ac =16-4（4-n ）=4n ≥0， ∴n ≥0， 故答案为：n ≥0．12、已知关于x 的一元二次方程x 2+k =0有两个相等的实数根，则k 值为______． 答案：3解答：∵关于x 的一元二次方程x 2+k =0有两个相等的实数根，∴Δ=（）2-4k =0，∴12-4k =0，解得k =3．13、已知x =4是一元二次方程x 2-3x +c =0的一个根，则另一个根为______． 答案：-1解答：设另一个根为t ， 根据题意得4+t =3， 解得t =-1， 即另一个根为-1．14、若一元二次方程x 2+4x +c =0有两个不相等的实数根，则c 的值可以是______（写出一个即可）． 答案：3解答：若一元二次方程x2+4x+c=0有两个不相等的实数根，则Δ=42-4c＞0，故c＜4．15、若关于x的一元二次方程（k-1）x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是______．答案：k≤5且k≠1解答：∵一元二次方程（k-1）x2+4x+1=0有实数根，∴k-1≠0，且b2-4ac=16-4（k-1）≥0，解得：k≤5且k≠1．16、已知关于x的一元二次方程x2-4x+m-1=0的实数根x1，x2，满足3x1x2-x1-x2＞2，则m 的取值范围是______．答案：3＜m≤5解答：由一元二次方程根与系数的关系，得x1x2=m-1，x1+x2=4，代入3x1x2-x1-x2＞2，得3（m-1）-4＞2，解得m＞3，又Δ=16-4（m-1）≥0，解得m≤5，综上可知：3＜m≤5．17、已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的两根为x1和x2，且（x1-2）（x1-x2）=0，则k的值是______．答案：-2或-9 4解答：∵（x1-2）（x1-x2）=0，∴x1-2=0或x1-x2=0．①如果x1-2=0，那么x1=2，将x=2代入x2+（2k+1）x+k2-2=0，得4+2（2k+1）+k2-2=0，整理，得k2+4k+4=0，解得k=-2．②如果x1-x2=0，那么（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=[-（2k+1）]2-4（k2-2）=4k+9=0，解得k=-94．又∵Δ=（2k+1）2-4（2k+1）≥0．解得：k≥-94．所以k的值为-2或-94．18、关于x的方程x2-（2m-1）x+m2-1=0的两实数根为x1，x2，且x12+x22=3，则m=______．答案：0解答：∵方程x2-（2m-1）x+m2-1=0的两实数根为x1，x2，∴x1+x2=2m-1，x1x2=m2-1，∵x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（2m-1）2-2（m2-1）=3，解得：m1=0，m2=2，∵方程有两实数根，∴Δ=（2m-1）2-4（m2-1）≥0，既m≤5 4∴m2=2（不合题意，舍去），∴m=0．19、关于x的方程mx2+x-m+1=0，有以下三个结论：①当m=0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解．其中正确的是______（填序号）．答案：①③解答：当m=0时，x=-1，方程只有一个解，①正确；当m≠0时，方程mx2+x-m+1=0是一元二次方程，1-4m（1-m）=1-4m+4m2=（2m-1）2≥0，方程有两个实数解，②错误；把mx2+x-m+1=0分解为（x+1）（mx-m+1）=0，当x=-1时，m-1-m+1=0，即x=-1是方程mx2+x-m+1=0的根，③正确；故答案为∶①③．20、对于函数y=x n+x m，我们定义y’=nx n-1+mx m-1（mn为常数）．例如y=x4+x2，则y’=4x3+2x．已知：y=13x3+（m-1）x2+m2x．（1）若方程y’=0有两个相等实数根，则m的值为______．（2）若方程y’=m-14有两个正数根，则m的取值范围为______．答案：（1）1 2（2）m≤34且m≠12解答：（1）y’=x2+2（m-1）x+m2=0方程有两个相等的实数根，则Δ=0，即Δ=4（m-1）2-4m2=-8m+4=0，则m=12．（2）y’=x2+2（m-1）x+m2=m-14，∴x2+2（m-1）x+m2-m+14=0．要使方程有两个实数根，则Δ=4（m-1）2-4（m2-m+14）≥0，∴m≤34．要使方程有正根，则当x=0时x2+2（m-1）x+m2-m+14＞0，∴m≠12．答案为m≤34且m≠12．三、解答题21、已知关于x的一元二次方程（m-1）x2+2x-1=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．答案：m＞0且m≠1．解答：∵一元二次方程有两个不等实根，∴Δ=22-4（m-1）×（-1）＞0，即m＞0，又m-1≠0，∴m≠1，∴m＞0且m≠1．22、已知关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2．（1）求m的取值范围．（2）当x1=1时，求另一个根x2的值．答案：（1）m＜9 4（2）2解答：（1）由题意得：Δ=（-3）2-4×1×m=94m0，解得：m＜94．（2）∵x1+x2=-ba=3，x1=1，∴x2=2．23、已知关于x的方程x2+（2k-1）x+k2-1=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值．答案：（1）k≤54．（2）k=-2．解答：（1）有两个实数根x1，x2，∴Δ=b2-4ac=（2k-1）2-4（k2-1）=-4k+5，∴-4k+5≥0，∴k≤54．（2）∵x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2，∴（x1+x2）2-2x1x2=16+x1x2，∴（2k-1）2=16+3（k2-1）k2-4k-12=0，∴k=-2或k=6（舍），∴k=-2．24、已知关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1，x2．（1）求m的取值范围．（2）若x1，x2满足3x1=|x2|+2，求m的值．答案：（1）m的取值范围为m≤5．（2）符合条件的m的值为4．解答：（1）∵关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1，x2，∴Δ=（-6）2-4（m+4）=20-4m≥0，解得：m≤5，∴m的取值范围为m≤5．（2）∵关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1，x2，∴x1+x2=6①，x1·x2=m+4②．∵3x1=|x2|+2，当x2≥0时，有3x1=x2+2③，联立①③解得：x1=2，x2=4，∴8=m+4，m=4．当x2＜0时，有3x1=-x2+2④，联立①④解得：x1=-2，x2=8（不合题意，舍去）．∴符合条件的m的值为4．25、已知：一元二次方程12x2+kx+k-12=0．（1）求证：不论k为何实数时，此方程总有两个实数根．（2）设k＜0，当二次函数y=12x2+kx+k-12的图象与x轴的两个交点A、B间的距离为4时，求此二次函数的解析式．（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为C，过y轴上一点M（0,m）作y轴的垂线l，当m为何值时，直线l与△ABC的外接圆有公共点？答案：（1）证明见解答．（2）此二次函数的解析式是y=12x2-x-32．（3）-2≤m≤2．解答：（1）∵Δ=k2-4×12×（k-12）=k2-2k+1=（k-1）2≥0，∴关于x的一元二次方程12x2+kx+k-12=0，不论k为何实数时，此方程总有两个实数根．（2）令y=0，则12x2+kx+k-12=0，∵x A+x B=-2k，x A·x B=2k-1，∴|x A-x B=2|k-1|=4，即|k-1|=2，解得k=3（不合题意，舍去），或k=-1，∴此二次函数的解析式是y=12x2-x-32．（3）由（2）知，抛物线的解析式是y =12x 2-x -32， 易求A （-1,0），B （3,0），C （1,-2），∴AB =4，AC，BC， 显然AC 2+BC 2=AB 2，得△ABC 是等腰直角三角形，AB 为斜边，∴外接圆的直径为AB =4，∴-2≤m ≤2．26、设m 是不小于-1的实数，使得关于x 的方程x 2+2（m -2）x +m 2-3m +3=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）若11x +21x =1，求132m-的值． （2）求111mx x -+221mx x --m 2的最大值． 答案：（1（2）当m =-1时，最大值为3．解答：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=b 2-4ac =4（m -2）2-4（m 2-3m +3）=-4m +4＞0，∴m ＜1，结合题意知：-1≤m ＜1．∵x 1+x 2=-2（m -2），x 1x 2=m 2-3m +3 ∴11x +21x =1212x x x x +=()22233m m m ---+=1 解得：m 1=12，m 2=12（不合题意，舍去） ∴132m-． （2）111mx x -+221mx x --m 2 =()()1212121221m x x mx x x x x x +--++-m 2=-2（m-1）-m2=-（m+1）2+3．当m=-1时，最大值为3．。
九年级数学九年级中考第一轮复习08.一元二次方程的解法及根的判别式
A.平行四边形
C. 矩形
B. 梯形
D. 平行四边形或梯形
三.典型例题解析
例1:用配方法证明:对于任意的实数m、n,都有 m2+10n2-6mn-4n+9的值不小于5. (m-3n)2+(n-2)2+5
三.典型例题解析 已知下列n(n为正整数)个关于x的一元二次方程: x2 -1=0 (1) x2+x -2 (2) 例2 x2+2x -3=0 (3) …… x2+(n-1)x -n=0 (n) (1)请解上述一元二次方程(1)(2)(3)(n)； (2)请你指出这n个方程的根具有的共同特点 （写出一条即可）.
2
有两个不相等的实数根,求k的最小整数.
四.随堂检测反馈
2. k取什么值时, 函数y=(k-1)x2-(2k+1)x+k+1
的图象与x轴有交点.
小结与回顾
再 见
二.基础练习
2. 你能判断关于x的方程x2-kx+k-2=0根 的情况吗?
3. 抛物线y=-x2+4x-4与坐标轴有 2 个交点. 4. 抛物线y=mx2+2x+1的值恒正,则m的取值 范围是 m>1 .
二.基础练习
5.在四边形ABCD中, AB∥CD,且AB、CD的 长是关于x的方程 x2-3mx+2m2+m-1=0的两 个根,则四边形ABCD是 （ ） D
三.典型例题解析
例3:1.k取什么值时, 方程x2-2x+k=0
(1)有两个相等的实数根?
(2)有两个实数根?
(3)没有实数根?
三.典型例题解析
例4. 关于x的方程(k2+1) x2-
北师大版九年级上册第二单元一元二次方程解法复习及根的判别式应用的讲义
17．x2－15x－16=0．(最佳方法：______)
18．4x2＋1=4x．(最佳方法：______)
9．(x－1)(x＋1)－5x＋2=0．(最佳方法：______)
综合运用 一、填空题
20．若分式 x2 7x 8 的值是 0，则 x=______． x 1
21．关于 x 的方程 x2＋2ax＋a2－b2=0 的根是____________． 二、选择题
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一元二次方程的根有三种情况（根的判别式）
1、 当b2 4ac 0时, 方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
3、 当b2 4ac 0时, 方程没有实数根；
练习 1：1). 2x2＋x－6＝0； 2). x2＋4x＝2； 3). 5x2 - 4x – 12 = 0 ;
A． m 3 2
B． m 3 且 m≠1 2
C． m 3 且 m≠1 2
D． m 3 2
16．如果关于 x 的二次方程 a(1＋x2)＋2bx=c(1－x2)有两个相等的实根，那么以正数 a，b，c 为边长的三角形是
( )．
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．任意三角形
二、解答题
17．已知方程 mx2＋mx＋5=m 有相等的两实根，求方程的解．
(4)、-3x2+22x-24=0
例 2、用公式法解方程 5x2-4x=12
步骤：1.变形:化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用 a,b,c 写出各项系数; 3.计算: b2-4ac 的值; 4.代入:把有关数值代入公式计算; 例 2、用公式法解方程 4x2+4x+10=1-8x
例 3、解方程：x2-5x+12=0
专题2 一元二次方程的解法及根的判别式应用题型(学生版)
专题2一元二次方程的解法及根的判别式应用题型知识归纳理解一元二次方程的定义及一般形式，掌握一元二次方程的解法，熟练解各类一元二次方程；掌握一元二次方程根的判别式的相关知识点并熟练应用，这些是本节的重要知识点。
本专题主要对一元二次方程的解法及根的判别式应用题型进行总结，对其解法进行归纳总结，所选题型为近几年期末考试中的常考题型。
知识点梳理一、一元二次方程的定义（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．知识点梳理二．一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．知识点梳理三．一元二次方程的解（1）解一元二次方程-直接开平方法（2）解一元二次方程-配方法（3）解一元二次方程-公式法把x ＝（b 2﹣4ac ≥0）叫做一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的求根公式．（4）解一元二次方程-因式分解法（5）换元法解一元二次方程知识点梳理四．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b 2﹣4ac ）判断方程的根的情况．一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与△＝b 2﹣4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．常考题型专练一、选择题1.若关于x 的方程2x 2x m 0-+=有实数根，则m 的取值范围为()A.m ≤1B.m 1≥ C.1m > D.1m <2.若双曲线my x=在第二、四象限，那么关于x 的方程2x 2x m 0-+=的根的情况为（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.条件不足，无法判断3.当4a b +=时，关于x 的一元二次方程220ax bx -++=的根的情况为（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定4.关于x 的一元二次方程230x x k -+=有实数根，则k 的取值范围是（）A .k ≤94B.k ≥94C.94k <D.k ≤94且0k ≠5.实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则关于x 的一元二次方程210+-=ax bx 的根的情况是（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.只有一个实数根6.关于x 的一元二次方程260x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的值可能是（）A.8B.9C.10D.117.若关于x 的一元二次方程2(1)220a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值为（）A.﹣1B.0C.1D.28．下列方程中，没有实数根的是（）A ．2310x x --=B ．230x x -=C ．2210x x -+=D ．2230x x -+=9．新定义运算：a ※b ＝a 2﹣ab +b ，例如2※1＝22﹣2×1+1＝3，则方程x ※2＝5的根的情况为（）A ．没有实数根B ．有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根10．若关于x 的一元二次方程()22110m x x m -++-=有一个根为0，则m 的值是（）A ．1-B ．0C ．1D ．1或1-二、填空题1．方程22x x =的解是________．2．若实数a 、b 分别满足2430a a -+=，2430b b -+=，且a b ≠，则11a b+的值为．3．一元二次方程2430x x -+=配方为2(2)x k -=，则k 的值是．4．如果关于x 的方程22(21)0x m x m --+=有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是________．5．在平面直角坐标系中，点（3，-2）关于原点对称的点的横纵坐标是x 的方程20x bx c ++=的两根，则b c +=________．三、解答题1．解方程：22(23)(32)x x +=+．2．已知关于x 的一元二次方程22230x x m --=．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且25αβ+=，求m 的值．3．关于x 的一元二次方程()2104kkx k x +++=．(1)若该方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；(2)若该方程有两个相等的实数根，求该方程的解．4．利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料：阅读材料：若m2﹣2mm+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知a2+4ab+5b2+6b+9＝0，求a＝，b＝；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，求c的值；（3）若A＝3a2+3a﹣4，B＝2a2+4a﹣6，试比较A与B的大小关系，并说明理由．5．学习了完全平方公式以后，小明有了下面的发现：因为x2﹣2x+2＝（x2﹣2x+1）+1＝（x﹣1）2+1，不论x取什么值，（x﹣1）2≥0，所以（x﹣1）2+1≥1．因此，代数式x2﹣2x+2的值不小于1．这种把一个多项式或一个多项式中的某一部分化为一个完全平方式或几个完全平方式和的方法，称为配方法．请用配方法解决下列问题：（1）填空：①a2+6a+15＝（a+3）2+．②若（a﹣1）2+b2+4b+4＝0，则a＝，b＝．（2）已知m2+4m+n2﹣6n+13＝0，求m、n的值．（3）比较代数式3x3+2x2﹣4x﹣3与3x3+x2+2x﹣12的大小．。
根的判别式与因式分解法解一元二次方程的联系
根的判别式与因式分解法解一元二次方程的联系桃林乡沙溪附中 任德波根的判别式是判断一元二次方程根的情况，但△=b 平方-4ac 有时的结果是一个平方数，这在用公式时求它的算术平方根时可得出一个整数，于是解出根的结果是有理数。
用公式需要代入公式求解，有时数据或符号的失误导致解出的结果错误，而且速度不是最快的。
在解一元二次方程的所有方法中，用因式分解法应该是最快的且准确度较高的，如何解决用什么办法解一元二次方程，可以用根的判别式先算出结果，看是不是平方数，如果是，一般可用因式分解法，如果不是平方数，只能用公式法或配方法解。
下面举例阐述这个观点。
例1、 分析：先用判别式得1-4×（-5)=21,21不是平方数，所以不能用因式分解法解。
适合用配方法或公式法。
例2 分析：这个方程不是一元二次方程的一般式，先应转化在一般式为： 再用判别式得4—4×3×（—1）=16，16是平方数，于是此方程可用十字相乘法： 1 -1 3 1 1×1+3×(-1)=-2,刚好是一次项系数，于是可分解为(x-1)(3x+1)=0 解得x1=1,x2=-1/3此题如果算到一般式后用公式法或配方法都不是那么快且准确，特别是配方法，还要配入一次项系数一半的平方，这使计算复杂化了。
而用因式分解法，使运算更快更准确了。
通过以上两例说明，因式分解法不是万能的解法，但它可以提高解题效率，节省时间，特别是升学考试时，以120分钟完成150分值的试题，答题压力可想而知。
但只要掌握了好的方法，能提高解答效率，达到事半功倍的效果。
x 2 + x - 5 =0x + 1 - ( ) 2 2(x 2 -1) =03x -1 2 -2x =0。
中考复习：判别式与根系关系
中考解决方案判别式与根系关系内容基本要求略高要求较高要求 一元二次方程了解一元二次方程的概念，理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据 能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；能选择适当的方法解一元二次方程；会用一元二次方程根的判别式判断根的情况能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会运用一元二次方程解决简单的实际问题一、一元二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到2224()24b b acx a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：22424b b acx a a -+=±． 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．二、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,242b b acx a -±-=．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．若a ，b ，c 为有理数，且∆为完全平方式，则方程的解为有理根；若∆为完全平方式，同时24b b ac -±-是2a 的整数倍，则方程的根为整数根． 说明：⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有 两个不相等的实数根时，0∆>；有两个相等的实数根时，0∆=；没有实数根时，0∆<．⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24b ac ∆=-判定方程的根的情况（有两个 不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）．当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根．自检自查必考点中考怎么考判别式与根系关系三、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：（1）运用判别式，判定方程实数根的个数；（2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；（3）通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．考点一 利用根的判别式判定或证明方程根的个数☞考点说明：此类问题一般会以选择题或者第23题的第1问出现，同时还有可能会结合三角形边的关系，如“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”“勾股定理”等【例1】不解方程，判别一元二次方程2261x x -=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．无法确定【例2】求证：关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m -+++=有两个实数根．【例3】对任意实数m ，求证：关于x 的方程222(1)240m x mx m +-++=无实数根．【例4】若方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根，那么方程2(1)220m x mx m +-+-=（ ）．A ．没有实数根B ．有2个不同的实数根C ．有2个相等的实数根D ．实数根的个数不能确定【例5】已知a 、b 、c 是三角形的三边长，则方程222222()0b x b c a x c ++-+=根的情况（ ）A.两个不等实数根B.两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定考点二 利用根的判别式求参数的取值范围☞考点说明：一般出现的位置选择、填空，第23题第一问，求参数取值范围时，注意二次项系数不为零的条件，这是很多学生容易忘记的条件【例6】如果关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ． 1k <B ． 0k ≠C ．10k k <≠且D ． 1k >【例7】关于x 的一元二次方程2(12)2110k x k x --+-=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．中考满分必做题【例8】当m 为何值时，关于x 的方程22(4)2(1)10m x m x -+++=有实根．【例9】关于x 的方程()26860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是（ ）A ． 6B ． 7C ．8D ． 9【例10】关于x 的方程()2220ax a x -++=只有一个解（相同解算一解），则a 的值为 ． 【例11】当a 、b 为何值时，方程2222(1)34420x a x a ab b ++++++=有实根？【例12】已知关于一元二次方程()222110x k x k +-+-=有两个不相等的实数根．（1）求实数k 的取值范围；（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．【例13】已知一元二次方程220x x m -+=，（1）若方程有两个实数根，求m 的范围；（2）若方程的两个实数根为12x x ，，且1233x x +=，求m 的值．考点三 根与系数关系【例14】设12x x ，是一元二次方程2320x x --=的两个实数根，则2211223x x x x ++的值为 【例15】设1x ，2x 是一元二次方程2430x x +-=的两个根，()21222532x x x a +-+=，则a = 【例16】已知关于x 的一元二次方程2610x x k -++=的两个实数根是12x x ，，且221224x x +=，则k 的值是 ．【例17】关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x ，，且22127x x +=，则()212x x -的值是 ．【例18】已知关于x 的方程()22210x m x m +++-=（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）当m 为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．【例19】已知关于x 的一元二次方程220x x a --=．（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求a 的取值范围； （2）如果此方程的两个实数根为12x x ，，且满足1211x x +13=-，求a 的值．【例20】设12x x ，是关于x 的一元二次方程222420x ax a a +++-=的两个实数根，当a 为何值时，2212x x +有最小值？最小值是多少？考点三 一元二次方程与三角形【例21】三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程212350x x -+=的根，则该三角形的周长为 ．【例22】方程29180x x -+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为 ．【例23】已知a ，3是直角三角形的两边，第三边的长满足方程29200x x -+=，则a 的值为 ．这样的直角三角形有 个．考点四 根与系数关系【例24】设12x x 、是方程240x x +-=的两个实数根，求代数式3212510x x -+的值．1. 如果方程()()21220m x m x m +-++=，只有一个实数根，那么方程()22220m x mx m +-+-=（ ）．A ．没有实数根B ．有2个不同的实数根C ．有2个相等的实数根D ．实数根的个数不能确定2. 如果关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ． 1k <B ． 0k ≠C ．10k k <≠且D ． 1k >3. 使得关于x 的一元二次方程22(4)60x kx x --+=无实数根的最小整数k （ ）A ．-1B ．2C ．3D ．44. 如果一直角三角形的三边长分别为a 、b 、c ，90B ∠=，那么，关于x 的方程22(1)2(1)0a x cx b x --++=的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定5. 已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程()()220a b x cx a b ++++=的根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．可能有且只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根6. 一元二次方程2450x x k -+-=有两个不相等的实数根，则k 的值为 ．7. 方程2(1)(23)(3)0k x k x k --+++=有实数根，则k 为 ．8. 已知方程22(21)10m x m x +++=有实数根，则m 的范围为 ．9. 若方程222(1)450x a x a a ++++-=有实数根，正整数a 为 ．10. 已知关于x 的方程()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根，且a 、b 为实数，则32a b +=________．11. 关于x 的方程2210x k x ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为________．最容易重现的真题12.已知关于x的一元二次方程20-=有两个不相等的实数根，则m的取值范围x m为．13.如果关于x的一元二次方程22(21)10-++=有两个不相等的实数根，那么k的取值范围k x k x是．【例1】已知关于x 的方程22(21)10k x k x +-+=有两个不相等的实数根12x x ，．⑴求k 的取值范围；⑵是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．【例2】已知关于x 的方程22()210m m x mx --+=有两个不相等的实数根．⑴求m 的取值范围；⑵若m 为整数，且3m <，a 是上述方程的一个根，求代数式22212334a a a +--+的值．【例3】已知：m 、n 为整数，关于x 的二次方程2(7)30x m x n +-++=有两个不相等的实数解，2(4)60x m x n ++++=有两个相等的实数根，2(4)10x m x n --++=没有实数根，求m 、n 的值．【例4】在等腰ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，已知3a =，b 和c 是关于x 的方程21202x mx m ++-=的两个实数根，求ABC ∆的周长．【例5】已知：a 、b 、c 分别是ABC ∆的三边长，当0m >时，关于x 的一元二次方程22()()20c x m b x m a mx ++--=有两个相等的实数根，求证：ABC ∆是直角三角形．中考满分必做题【例6】已知关于方程21(21)4()02x k x k -++-=⑴求证：无论k 取何值，这个方程总有实数根；⑵若等腰ABC ∆的一边长为4，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个实数根，求这个三角形的周长．【例7】已知关于x 的方程2(2)20x k x k -++=⑴求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根； ⑵若等腰三角形ABC 的一边长1a =，另两边长b ，c 恰好是这个方程的两个根，求ABC ∆的周长．【例8】已知实数a 、b 、c 、r 、p 满足2pr >，20pc b ra -+=，求证：一元二次方程220ax bx c ++=必有实根．【例9】已知关于x 的二次方程2110x p x q ++=与2220x p x q ++=，求证：当12122()p p q q =+时，这两个方程中至少有一个方程有实数．【例10】设a 、b 、c 为互不相等的非零实数，求证：三个方程220ax bx c ++=， 220bx cx a ++=， 220cx ax b ++=，不可能都有2个相等的实数根．【例11】已知0a >，b a c >+，求证：一元二次方程20ax bx c ++=总有两个不相等的实数根．【例12】已知24b ac -是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的一个实数根，则ab 的取值范围为（ ）．A ．18ab ≥B ．18ab ≤C ．14ab ≥D ．14ab ≤14. 如果方程()()21220m x m x m +-++=，只有一个实数根，那么方程()22220m x mx m +-+-=（ ）．A ．没有实数根B ．有2个不同的实数根C ．有2个相等的实数根D ．实数根的个数不能确定15. 如果关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ． 1k <B ． 0k ≠C ．10k k <≠且D ． 1k >16. 使得关于x 的一元二次方程22(4)60x kx x --+=无实数根的最小整数k （ ）A ．-1B ．2C ．3D ．417. 如果一直角三角形的三边长分别为a 、b 、c ，90B ∠=，那么，关于x 的方程22(1)2(1)0a x cx b x --++=的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定18. 已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程()()220a b x cx a b ++++=的根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．可能有且只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根19. 一元二次方程2450x x k -+-=有两个不相等的实数根，则k 的值为 ．20. 方程2(1)(23)(3)0k x k x k --+++=有实数根，则k 为 ．最容易重现的真题21. 已知方程22(21)10m x m x +++=有实数根，则m 的范围为 ．22. 若方程222(1)450x a x a a ++++-=有实数根，正整数a 为 ．23. 已知关于x 的方程()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根，且a 、b 为实数，则32a b +=________．24. 关于x 的方程210x ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为________．25. 已知关于x 的一元二次方程20x m -=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围为 ．26. 如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ．。
中考专题一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【重点、难点、考点】重点：①判定一元二次方程根的情况，会利用判别式求待定系数的值、及取值范围。
②掌握根与系数的关系及应用难点：由判别式，根与系数的关系求字母的取值范围，或与根有关的代数式的值。
考点：中考命题的重点和热点，既可单独成题，又可与二次函数综合运用，是初中代数的重要内容之一。
【经典范例引路】例1 若关于x 的一元二次方程(m －2)2x 2＋(2m ＋1)x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）A.m<43B.m ≤43C.m>43且m ≠2D.m ≥43且m ≠2（20XX 年山西省中考试题）【解题技巧点拨】 解 C①解答此题时，学生虽然能运用判别式定理，但往往忽略“方程ax 2＋bx ＋c ＝0 作为一元二次方程时 a ≠0”的情形解题原理：对方程ax 2＋bx ＋c ＝0 （a ≠0）方程有两实根Δ方程有两相等实根Δ方程有两不等实根Δ⇔≥⎭⎬⎫⇔=⇔>000Δ<0⇔方程没有实根注意：学生在运用时，可能会由“方程有两实根”得出“Δ>0” 题型：①判定方程根的情况或判断简单的二元二次方程组是否有解，②证明一元二次方程有无实根，③求待定系数的值或取值范围，④根与系数的关系综合运用。
例2 先阅读下列第（1）题的解答过程（1）已知αβ是方程x2＋2x－7＝0的两个实数根。
求α2＋3β2＋4β的值。
解法1 ∵α、β是方程x2＋2x－7＝0的两实数根∴α2＋2α－7＝0 β2＋2β－7＝0 且α＋β＝－2∴α2＝7－2αβ2＝7－2β∴α2＋3β2＋4β＝7－2α＋3（7－2β）＋4β＝28－2（α＋β）＝28－2×（－2）＝32解法2 由求根公式得α＝－1＋22β＝－1－22∴α2＋3β2＋4β＝（－1＋22）2＋3(－1－22)2＋4(－1－22)＝9－42＋3(9＋42－4－82)＝32解法3 由已知得：α＋β＝－2 αβ＝－7∴α2＋β2＝（α＋β）2－2αβ＝18 令α2＋3β2＋4β＝A β2＋3α2＋4α＝B∴A＋B＝4（α2＋β2）＋4（α＋β）＝4×18＋4×（－2）＝64 ①A－B＝2(β2－α2)＋4(β－α)＝2(β＋α) (β－α)＋4(β－α)＝0 ②①＋②得：2A＝64 ∴A＝32请仿照上面解法中的一种或自己另外寻找一种方法解答下列各题（2）已知x1、x2是方程x2－x－9＝0的两个实数根，求代数式。
一元二次方程概念、解法、根的判别式(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：关于一元二次方程的定义中，思考次序为________，________，________．问题2：解一元二次方程的思路是设法将其转化成__________处理．主要解法有：____________，____________，____________，____________等．问题3：想一想一元二次方程的四种解法中，每种解法对应的一元二次方程的特征是什么？一元二次方程概念、解法、根的判别式一、单选题(共15道，每道6分)1.下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥（a，b，c是常数）；⑦；⑧．其中属于一元二次方程的有( )个．A.2B.3C.4D.5答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的定义2.方程的二次项、一次项系数和常数项分别是( )A.3，5，2B.C.3，-5，-2D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的一般形式3.若方程是关于x的一元二次方程，则( )A.m=±2B.m=2C.m=-2D.m=3答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的定义4.关于x的一元二次方程的一个根是0，则实数a的值为( )A.-1B.0C.1D.-1或1答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的解5.用配方法解关于x的方程，此方程可变形为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：配方法6.若一元二次方程的两个根分别是m+1与2m-4，则的值为( )A. B.4C.36D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：直接开平方法7.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：根的判别式8.若关于x的方程有实数根，则整数a的最大值是( )A.6B.7C.8D.9答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：根的判别式9.用公式法解方程，下列代入公式正确的是( )A. B.C. D.答案：D试题难度：三颗星知识点：公式法10.用公式法解方程，下列代入公式正确的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：公式法11.一元二次方程的解是( )A. B.C. D.解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式法12.方程的解为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式法13.三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程的一个根，则第三边的长为( )A.7B.3C.7或3D.无法确定答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式法14.一元二次方程的解为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式法15.对于高次方程，可以采用换元法，设将方程降次，先求出y的值，再来求解x的值，则原方程根的个数有( )A.0个B.2个C.3个D.4个答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式法。
一元二次方程及其解法、一元二次方程根的判别式 复习
∴不论m取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根
典型例题
例3：m为何值时，关于x的一元二次方程 2x2-（4m+1）x+2m2-1=0： （1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？
解：∵a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1 ∴b2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m2-1）=8m+9
典型例题
例2 ：m为任意实数，试说明关于x的方程 x2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有两个不相等 的实数根。
解：b 2 4ac m 12 43m 3
m 2 10m 37
m 2 10m 5 2 5 2 37 m 5 12 ∵不论m取任何实数，总有（m+5）2≥0 ∴b2-4ac=（m+5）2+12≥12＞0
4、求证：关于x的方程 (a2＋1)x2－2ax＋（a2＋4）＝0 没有实数根
5、已知关于x的一元二次方程 x2-（2k-1）x+k2=0有两个不相等的 实数根，求k的最大整数值
6、已知关于x的方程 x2－2mx－3m2＋8m－4＝0， 当m＞2时，试判断方程根的情况。
拓展提升
1、如果关于x的方程x2+2x＝m+9没 有实数根，试判断关于y的方程 Y2+my-2m+5＝0的根的情况． 2、已知a,b,c为△ABC的三边，且关 于x的方程 (x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(xa)=0 有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状。
2
5.开平方，求解
★一除、二移、三配、四化、五解 .
用公式法解一元二次方程的前提是:
中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用--知识讲解(基础)
中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—知识讲解（基础）【考纲要求】1.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程；2. 会解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想． 【知识网络】【考点梳理】考点一、一元二次方程 1.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式为20ax bx c ++=(a ≠0)． 2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：把方程变成2x m =的形式，当m ＞0时，方程的解为x m =m ＝0时，方程的解1,20x =；当m ＜0时，方程没有实数解．（2）配方法：通过配方把一元二次方程20ax bx c ++=变形为222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭的形式，再利用直接开平方法求得方程的解．（3）公式法：对于一元二次方程20ax bx c ++=，当240b ac -≥时，它的解为242b b acx a-±-=．（4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解． 要点诠释：直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．3．一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式为ac 4b 2-=∆． △>0⇔方程有两个不相等的实数根；△＝0⇔方程有两个相等的实数根； △<0⇔方程没有实数根．上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边． 要点诠释：△≥0⇔方程有实数根. 4．一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的两个根是21x x 、，那么ac x x a b x x 2121=⋅-=+，．考点二、分式方程 1.分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程． 要点诠释：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程.2.分式方程的解法去分母法，换元法． 3.解分式方程的一般步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； (2)解这个整式方程；(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公 分母等于零的根是原方程的增根.口诀：“一化二解三检验”. 要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．考点三、一元二次方程、分式方程的应用 1．应用问题中常用的数量关系及题型 (1)数字问题(包括日历中的数字规律)关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律． (2)体积变化问题关键是寻找其中的不变量作为等量关系. (3)打折销售问题其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝利润成本价×100%．明确这几个关系式是解决这类问题的关键． (4)关于两个或多个未知量的问题重点是寻找到多个等量关系，能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程. (5)行程问题对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题．注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇. (6)和、差、倍、分问题 增长量＝原有量×增长率； 现有量＝原有量+增长量； 现有量＝原有量-降低量．2．解应用题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系； (2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； (3)找出相等关系，并用它列出方程； (4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．要点诠释：方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意． 【典型例题】类型一、一元二次方程1．用配方法解一元二次方程：2213x x += 【思路点拨】把二次项系数化为1，常数项右移，方程两边都加上一次项系数一半的平方，再用直接开平方法解出未知数的值. 【答案与解析】移项，得2231x x -=-二次项系数化为1，得23122x x -=- 配方22233132424x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 由此可得3144x -=± 11x =，212x =【总结升华】用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程 无实数解.举一反三：【变式】用配方法解方程x 2-7x-1=0． 【答案】将方程变形为x 2-7x=1，两边加一次项系数的一半的平方，得x 2-7x+=1+，所以有=1+．直接开平方，得x-=或x-=-．所以原方程的根为 x=7+532或x=7-532．2．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根； （2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 【思路点拨】判别式大于0，二次项系数不等于0.【答案与解析】（1）证明：△=（m+2）2﹣8m =m 2﹣4m+4=（m ﹣2）2，∵不论m 为何值时，（m ﹣2）2≥0， ∴△≥0，∴方程总有实数根； （2）解：解方程得，x=，x 1=2m，x 2=1， ∵方程有两个不相等的正整数根， ∴m=1或2，∵m=2不合题意， ∴m=1．【总结升华】（1）注意隐含条件m ≠0；（2）注意整数根的限制条件的应用，求出m 的值，要验证m 的值是否符合题意.举一反三：【变式】已知关于x 的方程2(2)210x m x m +++-=．（1）求证方程有两个不相等的实数根．（2）当m 为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解． 【答案】（1）证明:因为△=)12(4)2(2--+m m =4)2(2+-m所以无论m 取何值时， △>0，所以方程有两个不相等的实数根． （2）解：因为方程的两根互为相反数，所以021=+x x ，根据方程的根与系数的关系得02=+m ，解得2-=m ，所以原方程可化为052=-x ，解得51=x ，52-=x .类型二、分式方程3．解分式方程：=﹣．【思路点拨】先去分母将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，再进行检验. 【答案与解析】解：方程两边同乘以（2x+1）（2x ﹣1），得 x+1=3(2x-1)-2(2x+1) x+1=2x-5， 解得x=6．检验：x=6是原方程的根． 故原方程的解为：x=6．【总结升华】首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根. 举一反三：【变式1】解分式方程：21233x x x -+=--． 【答案】方程两边同乘以3x -，得22(3)1x x -+-=． 2261x x -+-=． 5x =．经检验：5x =是原方程的解，所以原方程的解是5x =．【变式2】方程22123=-+--xx x 的解是x= ． 【答案】0x =.4．若解分式方程2111(1)x m x x x x x++-=++产生增根，则m 的值是（ ） A.B.C.D.【思路点拨】先把原方程化为整式方程，再把可能的增根分别代入整式方程即可求出m 的值. 【答案】D ；【解析】由题意得增根是：化简原方程为：把代入解得2m =-或1，故选择D.【总结升华】分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值. 举一反三：【变式】若关于x 的方程2332+-=--x mx x 无解，则m 的值是 ． 【答案】1.类型三、一元二次方程、分式方程的应用5．轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米.求这艘轮船在静水中的速度和水流速度.【思路点拨】在航行问题中的等量关系是“顺流速度＝静水速度＋水流速度； 逆流速度＝静水速度－水流速度”，两次航行提供了两个等量关系. 【答案与解析】设船在静水中的速度为x 千米/小时，水流速度为y 千米/小时由题意，得解得：经检验：是原方程的根x y x y ==⎧⎨⎩==⎧⎨⎩173173 答：水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为17千米/小时. 【总结升华】流水问题公式：顺流速度＝静水速度＋水流速度； 逆流速度＝静水速度－水流速度； 静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2；水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2.举一反三：【变式】甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？ 【答案】设甲班每小时种x 棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树， 由题意得：答：甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵.6．某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？【思路点拨】设该产品的成本价平均每月降低率为x ，那么两个月后的销售价格为625（1-20%）（1+6%），两个月后的成本价为500（1-x ）2，然后根据已知条件即可列出方程，解方程即可求出结果． 【答案与解析】设该产品的成本价平均每月应降低的百分数为x ． 625（1-20%）（1+6%）-500（1-x ）2=625-500 整理，得500（1-x ）2=405，（1-x ）2=0.81． 1-x=±0.9，x=1±0.9， x 1=1.9（舍去），x 2=0.1=10%．答：该产品的成本价平均每月应降低10%． 【总结升华】题目中该产品的成本价在不断变化，销售价也在不断变化，•要求变化后的销售利润不变，即利润仍要达到125元，•关键在于计算和表达变动后的销售价和成本价．中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—巩固练习（基础）【巩固练习】 一、选择题1. 用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）A ．()216x +=B ．()216x -= C ．()229x += D ．()229x -=2．关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22127x x +=，则212()x x -的值是（ ） A ．1 B ．12C ．13D ．253．关于x 的一元二次方程kx 2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞﹣1 B ．k≥﹣1 C ．k≠0 D ．k ＜1且k≠04．若关于x 的一元二次方程0235)1(22=+-++-m m x x m 的常数项为0，则m 的值等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．05．在一幅长为80cm ，宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是（ ）.A ．213014000x x +-=B ．2653500x x +-= C ．213014000x x --= D ．2653500x x --=6．甲、乙两地相距S 千米，某人从甲地出发，以v 千米/小时的速度步行，走了a 小时后改乘汽车，又过b 小时到达乙地，则汽车的速度（ ） A. B. C. D.二、填空题 7．方程﹣=0的解是 ．8．如果方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不等实根，则实数a 的取值范围是___ ___．9．某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程为 __ ．10．当m 为 时，关于x 的一元二次方程02142=-+-m x x 有两个相等的实数根；此时这两个实数根是 .11．如果分式方程1+x x =1+x m 无解, 则 m = . 12．已知关于x 的方程 x 1 － 1-x m= m 有实数根，则 m 的取值范围是 .三、解答题 13. （1）解方程：x x x x 4143412+-=---； （2）解方程：x x x x221103+++=.14．一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度.15．已知关于x 的方程x 2+（2m ﹣1）x+m 2=0有实数根， （1）求m 的取值范围；（2）若方程的一个根为1，求m 的值；（3）设α、β是方程的两个实数根，是否存在实数m 使得α2+β2﹣αβ=6成立？如果存在，请求出来，若不存在，请说明理由．16．如图，利用一面墙，用80米长的篱笆围成一个矩形场地（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750平方米？ （2）能否使所围的矩形场地面积为810平方米，为什么？ 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B ；【解析】根据配方法的步骤可知在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，整理即可得到B 项是正确的.2.【答案】C ；【解析】∵22127x x += ∴221212)22(21)7x x x x m m +-=--=（， 解得m=5（此时不满足根的判别式舍去）或m=－1.原方程化为230x x +-=，212()x x -=21212()411213.x x x x +-=+=3.【答案】D ；【解析】依题意列方程组，解得k ＜1且k≠0．故选D ． 4.【答案】B ；【解析】有题意2320,10m m m -+=-且≠，解得2m =.5.【答案】B ；【解析】（80+2x ）（50+2x ）=5400，化简得2653500+-=x x . 6.【答案】B ；【解析】由已知，此人步行的路程为av 千米，所以乘车的路程为千米。
中考中的一元二次方程与根与系数的关系
中考中的一元二次方程与根与系数的关系一、 知识梳理1.灵活运用四种解法解一元二次方程一元二次方程的一般形式:a 2x+bx+c=0(a ≠0)四种解法:直接开平方法,配方法,公式法, 因式分解法,公式法: x=42ac a±-2-b b (b 2-4ac ≥0) 2.根的判别式及应用(△=b 2-4ac)(1)判定一元二次方程根的情况.△>0⇔有两个不相等的实数根;△=0⇔有两个相等的实数根;△<0⇔没有实数根;△≥0⇔有实数根.(2)确定字母的值或取值范围.应用根的判别式,其前提为二次系数不为0;考查时,经常和根与系数的关系、函数知识相联系、判别根的情况常用配方法.3.根与系数的关系(韦达定理)的应用韦达定理:如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两根为x 1、x 2，则x 1+x 2=-b a ,x 1·x 2=c a. (1)已知一根求另一根及未知系数；(2)求与方程的根有关的代数式的值;(3)已知两根求作方程;(4)已知两数的和与积,求这两个数;(5)确定根的符号:(x 1,x 2是方程两根). 有两正根⇔12120,0,0x x x x ∆≥⎧⎪+>⎨⎪>⎩ 有两负根⇔12120,0,0x x x x ∆≥⎧⎪+<⎨⎪>⎩有一正根一负根⇔120,0x x ∆>⎧⎨<⎩有一正根一零根⇔12120,00x x x x ∆>⎧⎪+>⎨⎪=⎩ 有一负根一零根⇔12120,00x x x x ∆>⎧⎪+<⎨⎪=⎩ x 1=x 2=0⇔12120,0x x x x ∆>⎧⎨+==⎩ 应用韦达定理时,要确保一元二次方程有根,即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时,一般把求作方程的二次项系数设为1,即以x 1、x 2为根的一元二次方程为x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0;求字母系数的值时,需使二次项系数a≠0,同时满足△≥0;求代数式的值,常用整体思想,把所求代数式变形成为含有两根之和x 1+x 2,•两根之积x 1x 2的代数式的形式,整体代入.二、中考题型例析1.了解方程判定方程根的情况例1 一元二次方程4x 2+3x-2=0的根的情况是( ).A.有两个相等的实数根;B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根;D.没有实数根2.由方程根的情况求字母系数的取值范围例2若关于x的一元二次方程x2+x-3m=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是( )A.m>112B.m<112C.m>-112D.m<-1123. 解一元二次方程例3 解方程:x2+3x=10.点评:要根据方程的特点灵活选用方法解方程.4.根据与系数的关系,求与方程的根有关的代数式的值.例4 若x1,x2是一元二次方程2x2-3x+1=0的两个根,则x12+x22的值是( )A. 54B.94C.114D.7分析:本题解法不唯一,可先解方程求出两根,然后代入x12+x22,求得其值.但一般不解方程,只要将所求代数式转化成含有x1+x2和x1x2的代数式,再整体代入.点评:公式之间的恒等变换要熟练掌握.x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x25.一元二次方程的应用例5 在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图.如果要使整个挂图的面积是5 400cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程是( )A.x2+130x-1 400=0B.x2+65-350=0C.x2-130x-1 400=0D.x2-64x-1 350=0基础达标验收卷一、选择题1.一元二次方程x2-4=0的根为( ).A.x=2B.x=-2C.x1=2,x2=-2D.x=42.下列一元二次方程中,有实数根是( ).A.x2-x+1=0B.x2-2x+3=0；C.x2+x-1=0D.x2+4=03.如果关于x的方程x2+mx+1=0的两个根的差为1,那么m等于( ).A.±2B.±3C.±5D.±64.方程x2-3x+1=0根的情况是( ).A.有两个不相等的实数根;B.有两个相等的实数根C.没有实数根;D.只有一个实数根5.)用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0,则方程可变形为( ).A.(x-4)2=9B.(x+4)2=9;C.(x-8)2=16D.(x+8)2=576.下列说法中正确的是( ) [可多选]A.方程x2+2x-7=0的两实数根之和为2;B.方程2x2-3x-5=0的两实数根之积为-5 2C.方程x2-2x-7=0的两实数根的平方和为18;D.方程x2+3x-5=0的两实数根的倒数和为3 5二、填空题1.已知关于x的方程x2-3x+m=0的一个根是另一个根的2倍,则m•的值为_______.2.方程x2-2x-3=0的根是________.3.方程x2+ax-1=0有_______个实数根.4.以2+3和2-3为根的一元二次方程是_________.5.已知x1、x2是关于x的方程(a-1)x2+x+a2-1=0的两个实数根,且x1+x2=13,则x1·x2=_________.三、解答题1.)关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为1,求m的值及该方程的根.2.已知关于x的一元二次方程x2+(2m-3)x+m2=0•的两个不相等的实数根为α、β满足11αβ+=1,求m的值.3.已知关于x的方程x2-2(m+1)x+m2=0.(1)当m取什么值时,原方程没有实数根.(2)对m选取一个合适的非零整数,使原方程有两个实数根,并求这两个实数根的平方和.。
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练习：x 是什么数时，3x 6 x 8的值 和 2 x 2 1 的值相等。
2
x 3 y x 4 y 0 x 3 y 0或x 4 y 0 x 3 y或x 4 y
本题思路：代数式的值相等可列方程： 2 2 3x 6x 8 2x 1 解得 x 1或x 7.
2
2
（用因式分解法） 2 2 解⑤ 9 x 3 4 x 2 0
3x 3 2x 23x 3 2x 2 0
(5 x 13)(x 5) 0 13 x1 5, x2 5
（用直接开方法）
解⑤ 9
3 m 且m 2 4
例8 若方程 x 2 px q 0( p, q是实数 ) 没有实根 1 ①求证 p q 4 ②试写出上述命题的逆命题； ③判断②中逆命题是否正确，若 正确，请加以证明；若不正确， 举反例说明。
2
例9
⑴证明： 由题意得
2 p 4 q 4 p 2 4q 0 p2 q 0 q p 2 y
2
4m (m 5)
2
4m 16m 16 4m 20m 4m 16
4m 16 0 m 4 m0 m 0
所以 m>4.
当m 5时
所以 因为: m 4， 2 0. 当m=5时,原方程有一个实根.
2 2m 2 4m(m 5) 2 2 4(m 2) 4m 20m 2 2 4m 16m 16 4m 20m 36m 16 4(9m 4)
例3 解方程 x 解： | x | 令
2 | x | 1 0 。 y ( y 0) 2 原方程化为 | x | 2 | x | 1 0 2 y 2 y 1 0 22 2 y 1 2 2 y 0 y 1 2 x 2 1 即x1 2 1, x2 2 1
解（3）：不正确。例如，
2
1 p 1, q 1时p q 4
而方程 有实根
x 2x 1 0
x1 x2 1
例9 若 （A）-1
x 2k 1x k 5 是一个完全
2 2
平方式，则k等于（ B ）
(B)2
(C)1
2
(D)-2
解： x
2k 1 x k 5是完全平方式 2 2 x 2 k 1x k 5=0 有等根 2 2 2(k 1) 4k 50 解得 k 2.
当k
0时 2 2 (2k 4) 4 k 2 2 4k 16k 16 4k 16k 16
由 16k 16 0 得
k 1 代入原方
x 1 程组得： 原方程组有唯一解 y3 当 k 0 或 k 1时， 原方程组有
1 x 1 x 4 或 唯一实数解 y 3 y 2
知识要点3：
ax 2 bx c 0(a 0) ， 理解一元二次方程
根的判别式 b 4ac
2
① 0 原方程有两个不相等实根； ② 0 原方程有两个相等实根； ③ 0 原方程无实根。
例6：一元二次方程 ax 2 bx c 0(a 0) ，
a与c异号，则方程（ A ） （A）有两个不相等实根
（B）有两个相等实根
（C）没有实根
（D）根的情况无法判定
例7 关于x的一元二次方程 2 2 m 2 x 2m 1x 1 0 有两个不相等 实根，则m的取值范围是（ C ） 3 3 ( A)m ( B) m 4 4 3 3 ( D)m 且m 2 (C )m 且m 2 4 4 2 m 2 0 解：由题意得 2m 12 4m 22 0
2
例10: 已知关于x的二次三项式
mx 2(m 2) x (m 5)
2
在实数范围内不能分解因式，则方
程 (m 5) x 2(m 2) x m 0
2
的实根的个数为（ （A）0个 （C）2个
）
（B）1个 （D）1个或2个
解： 1 2 m 2
2
2
例4 某林场第一年造林200亩，从第一年 到第三年共造林72Biblioteka 亩，求后两年造林面积 的平均年增长率。
分析：设平均年增长率为 x
增长率 第一年
第二年 造林面积 （亩）
等量关系
三年共 造林728 亩
200
第三年
x x
2001 x
2001 x
2
解：设平均年增长率为
x
。
根据题意得
c a
2
①
答：上述方程解法不正确，解 方程①时应该分情况讨论 ： 2 b 4ac 2 当b 4 ac 0时, 0, 2 4a b x 没有平方根 , 此方程无解 2a b 2 4ac 2 当b 4 ac 0时, 0, 2 4a b b 2 4ac x 2 2a 4a b b 2 4ac x 2a
知识要点4：
⑴不解方程，判定方程根的情况； ⑵用判别式，求未知系数的值； ⑶与判别式有关的证明；
⑷判别式在方程组中的应用。
一元二次方程的解法
及其根的判别式
回民中学付灵强
（一）考试要求
1、了解一元二次方程的概念 2、会用直接开平方法，配方法，公 式法，因式分解法解一元二次方程。 3、理解一元二次方程根的判别式， 会运用判别式解决实际问题。
（二）考点导析
例1 : 选择适当方法解一元二次方程。
4 ②5 x 8 0 2 ③x 2 x 3 0 ④ x 2 2 x 4 0 2 2 ⑤ 9x 3 4x 2 0 2 ⑥ 2x 1 x2 4x 4
2
（用因式分解法） （用配方法）
解： x 3x 1 0
解：
2
x 2x 3 2 x 1 4 x 3 0或x 1 0 x 1 2 x 1 2或x 1 2 x1 3, x2 1 x1 1, x2 3
型，再求解。 ⑶公式法： 2 bx c 0 a 0, b 2 4ac 0 ax 2 b b 4ac 得 x 2a ⑷因式分解法：方程一边为零。
例2 已知 x 7 xy 12y 0，求证 x 3 y 或 x 4y 。 2 2 证明： x 7 xy 12 y 0
2 x 1 x 2 2 x 1 x 2
2
2x 1
2
x 4x 4
2
2
知识要点1：
⑴直接开平方法：由
⑵配方法：①二次项系数化为1； ②配方 ； ③把方程转化为 x a bb 0
2
bb 0 得 xa b
2
x a
2
原方程实根数为1个或 2 个,故选D.
例11、 实数k是什么值时，方程组 ② 有唯一一个实数解，并求此解。 解：把②式代入①式，整理得：
y 4x 2 y 1 0 y kx 2
2
①
k x (2k 4) x 1 0
2 2
1 x 当k 0时 4 原方程组只有一个实数 解 y 2
9 x 3 4 x 2 3 x 3 2 x 2 3 x 3 2 x 2 或 3 x 3 2 x 2 13 x1 5, x2 5
2 2
x 3 4x 2
2
2
0
（直接开平方法）
解 ⑥
2 x 1 x 2或2 x 1 x 2 1 x1 3, x2 3
1 x 2001 x 2 728 200 200
整理得 25 x 75 x 16 0
2
7225 852 16 x1 0.2 20%, x2 舍去 5
答：平均年增长率为20%。
知识要点2：
利用一元二次方程解决实际问题。
例5 阅读理解 ，分析下列方程解法是否正确。 2 解方程 ax bx c 0(a 0) 。
④x
2
2 2x 4 0
（用配方法）
（用公式法）
解： 2 2 4 4 解：2 2 2 x 2 6 x 8 16 24 2 x 2 6 2 2 2 6 x 2 x 2 6 2 6 x1 2 6 x1 2 6 , x2 2 6 x 2 6
解： a 0 b c 2 x x 0 a a 2 b b b 2 x x a 2a 2a 2 b b 2 4 ac x 2a 4a 2 b b 2 4 ac x 2a 4a 2 b b 2 4 ac x 2a
①
2x 3 2
2
2
解：①
2x 3 4 2x 3 4
2
2 x 3 2或2 x 3 2
5 1 x 或x 2 2 5 1 x1 , x2 2 2
解②
5x 8 0
2
5 x 8
2
5x 0
2
此方程无实根
③
x 2x 3 0
2
pq p p
2 2
2
1 1 p p ( p p ) 4 4
1 2 1 1 ( p ) 2 4 4 1 pq 4
p
1 解（2）逆命题： 如果 p q ；那么方 4 2 程 x 2 px q 0( p, q是实数 ) 没有实根。