微积分习题课
合集下载
习题课高等数学微积分
举例
例如，对于函数$y = x^2$，其微分为$dy = 2xDelta x$；对于函数$y = sin x$，其微分为$dy = cos xDelta x$。
复合函数、隐函数求导法则
复合函数求导法则
如果函数$u = g(x)$在点$x$可导，并且函数$y = f(u)$在点$u = g(x)$可导，那么复合函数$y = f[g(x)]$在点$x$也可导，且其导数为$frac{dy}{dx} = frac{dy}{du} cdot frac{du}{dx}$或 $frac{d}{dx}f[g(x)] = f'(u)g'(x)$。
两种方法的比较与
选择
根据被积函数的特点选择合适的 积分方法。
有理函数和三角函数积分举例
有理函数的积分
通过部分分式分解将有理函数转化为简单分式的和， 再分别求不定积分。
三角函数的积分
掌握三角函数的基本积分公式，能够处理包含三角函 数的不定积分。
举例分析
通过具体例子展示有理函数和三角函数积分的求解过 程。
通过求解不等式或利用已知函数的收敛域来确定幂级数的 收敛域。
函数项级数一致收敛性判别法
一致收敛性的定义
给出函数项级数一致收敛的定义及性质。
判别法
魏尔斯特拉斯判别法、狄利克雷判别法、阿 贝尔判别法等，用于判断函数项级数的一致
收敛性。
无穷乘积与无穷级数关系探讨
无穷乘积的定义及性质
给出无穷乘积的定义及基本性质。
泰勒级数
如果函数$f(x)$在点$x_0$处具有无穷阶导 数，且其泰勒公式的余项$R_n(x)$在$n to infty$时趋于零，则称$f(x)$在点$x_0$处可 展成泰勒级数，即 $f(x)=sum_{n=0}^{infty}frac{f^{(n)}(x_0) }{n!}(x-x_0)^n$。
例如，对于函数$y = x^2$，其微分为$dy = 2xDelta x$；对于函数$y = sin x$，其微分为$dy = cos xDelta x$。
复合函数、隐函数求导法则
复合函数求导法则
如果函数$u = g(x)$在点$x$可导，并且函数$y = f(u)$在点$u = g(x)$可导，那么复合函数$y = f[g(x)]$在点$x$也可导，且其导数为$frac{dy}{dx} = frac{dy}{du} cdot frac{du}{dx}$或 $frac{d}{dx}f[g(x)] = f'(u)g'(x)$。
两种方法的比较与
选择
根据被积函数的特点选择合适的 积分方法。
有理函数和三角函数积分举例
有理函数的积分
通过部分分式分解将有理函数转化为简单分式的和， 再分别求不定积分。
三角函数的积分
掌握三角函数的基本积分公式，能够处理包含三角函 数的不定积分。
举例分析
通过具体例子展示有理函数和三角函数积分的求解过 程。
通过求解不等式或利用已知函数的收敛域来确定幂级数的 收敛域。
函数项级数一致收敛性判别法
一致收敛性的定义
给出函数项级数一致收敛的定义及性质。
判别法
魏尔斯特拉斯判别法、狄利克雷判别法、阿 贝尔判别法等，用于判断函数项级数的一致
收敛性。
无穷乘积与无穷级数关系探讨
无穷乘积的定义及性质
给出无穷乘积的定义及基本性质。
泰勒级数
如果函数$f(x)$在点$x_0$处具有无穷阶导 数，且其泰勒公式的余项$R_n(x)$在$n to infty$时趋于零，则称$f(x)$在点$x_0$处可 展成泰勒级数，即 $f(x)=sum_{n=0}^{infty}frac{f^{(n)}(x_0) }{n!}(x-x_0)^n$。
微积分B(2)第二次习题课题目(第六周)
微积分B（2）第二次习题课题目（第六周）一、隐函数求导、方向导数与梯度1.（1）设函数),(y x f z=是由方程2222=+++z y x xyz 确定的,则函数),(y x f z =在点)1,0,1(-的微分dz =（2）设方程⎪⎩⎪⎨⎧==--0),(0),(y z xy G z y x y F 可以确定隐函数)(),(y z z y x x ==，求dy dz dy dx ,.（3）．),(y x f z =，xy v x y u ==,2，求vzu z ∂∂∂∂,。
（4）),,(z y x f u =，若)cos ,cos ,(cos γβα=l ，其中1cos cos cos 222=++γβα，求u l22 ∂∂2.设(,,)f x y z 可微，123,,l l l 为3中互相垂直的三个单位向量，求证：222222123(()()(()(f f f f f f x y z∂∂∂∂∂∂++=++∂∂∂∂∂∂l l l .二、微分学的几何应用3．给出zx yz xy e z++=确定的隐函数),(y x f z =存在的一个充分条件是，曲面),(y x f z =在点)0,1,1(处的切平面方程，),(y x f z =在点)1,1(处的梯度。
4.设直线L ：⎩⎨⎧=--+=++030z ay x b y x 在平面π上，且平面π又与曲面S:22y x z +=相切于点(1,-2,5)。
求a,b 的值。
5.求过直线:L ⎩⎨⎧=++-=--101523z y x z y x ,且与曲面S :2022222=+-z y x 相切的平面的方程.6．过曲面:S 632),,(222=++=z y x z y x F 上点)1,1,1(P 处指向外侧的法向量为n ,求函数zy x u 2286+=在点P 处沿方向n 的方向导数.7.（1）求螺旋线⎪⎩⎪⎨⎧===θθθk z a y a x sin cos 在2πθ=处的切线方程是( )和法平面方程是()（2）求曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++021244222z y x z y x 在)1,1,1(M 处的切线方程和法平面方程。
微积分习题课06答案
1
2
3.
ay12
by22
cy
2 3
1
再对上述积分做广义球坐标变换 y1
1 a
sin
cos
，y2
1 b
sin
sin
，y3
1 cos 得
c
I
1 er r 2 sindrdd 4 1 r 2er dr 4 (e 2) 。
abc 0r1,0 ,02
abc 0
abc
由于 abc det A 。因此 I 4 (e 2) 。 解答完毕。 det A
1． 计算二重积分 xydxdy ，这里 D 为闭圆盘 x2 y2 a2 。 D
解：由对称性有 xydxdy 4
xydxdy 。利用极坐标我们做如下计算
D
x2 y2 a2 , x0, y0
xydxdy
2 d
a
r cosr sinrdr
2 cos sind
a r 3dr a4 。
再将内层积分的被积函数分解为两个简单分式之差
(1
1 x2 z 2 )(1
y2z2)
x2
1
y2
1
x2 x2
z
2
y2 1 y2z2
， x
y 。于是
0 (1
dz x2 z 2 )(1
y2z2)
x2
1
y2
xd(xz) 0 1 x2z2
ydyz
0 1 y2z2
2(x
。（*）
y)
| | 2
a2 x2 y2 dxdy 。
x2 y2 ax
由于被积函数和积分区域的形状，我们考虑作极坐标变换 x r cos ， y r sin 。注意
微积分课后题答案习题详解
第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立. 证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。
3. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； (2) lim n →∞2!nn =0.证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+ 而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=，所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. （2）因为22222240!1231n n n n n<=<-，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x n =11n e +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。
微积分B(2)第1次习题课参考答案(极限、连续、可微)_168607827
=
lim cos 2θ
ρ →0
=
0,
θ = π, 4
−1,
θ = π, 2
所以极限 不存在． lim (x, y)→(0,0)
x2 x2
− +
y2 y2
方法 3：因为 ， ，所以极限 不存在． x2
lim
x→0
lim
y→0
x2
− +
y2 y2
=1
lim lim
y→0 x→0
x2 x2
− +
y2 y2
(0, 0) ∂y
=
lim
y→0
f
(0, y) − y
f
(0, 0)
=
lim
y→0
f
(0, y
y)
= lim y→0
f
(0, y) y2
⋅
y
=
A×0
=
0
因为 ，所以 lim x→0 y→0
f
(x, y) − f (0, 0) x2 + y2
=
lim
x→0 y→0
f (x, y) x2 + y2
⋅
x2 + y2 = A× 0 = 0
1
ye xy + exy
=
∂ ∂y
y
−
y 1 + exy
=1−
1 + exy (1 +
− xyexy exy )2
所以 ， ． ∂z ∂x
(0,0)
=0
∂2z ∂y∂x
=1− 1 = 1 22
(0,0)
（ ）已知 ，求 ． 3
z = ln(2 + x2 + y4 )
微积分中值定理习题课
ek f ( ) ek kf ( ) 0
[e kx f ( x ) (e kx ) f ( x )]x 0
[e
kx
f ( x )]x 0.
1
设f (x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且
f (a ) f (b) 0, f ( x ) 0, x (a , b). 证明: f ( ) k. 对任意的实数k, 存在点 (a b), 使 f ( ) 证 设g( x ) ekx f ( x ) [e kx f ( x )]x 0 ; 则(1) g( x )在[a, b]上连续 ;(2) g( x )在(a, b)内可导
设函数 f (x)在[0, 3]上连续,在(0, 3)内可导, 且f (0) f (1) f ( 2) 3, f ( 3) 1. 试证必存在 (0,3), 使f ( ) 0. x 在 f[( 在 [0, 2]上连续 , 证 因为 因为 ff(( (x)在 cx , )3] 上连续 , c)) [0, 1 3] f上连续 ( 3), 且 ,f 所以 且在 2]上必有最大值 M和最小值 必存在 ,于是 在(c,[0, 3)内可导 , 所以由Rolle 定理知,m m (cf,3 (0 (M , ), m f f 1) 0 M (( )) 0,3 使 . , m f ( 2) M . f (0) f (1) f ( 2) m M. 故 3 由介值定理知,至少存在一点 c [0,2], 使
综上, 存在 (a, b), 使得h( ) 0.
6分
4
考研数学(一、二、三)11分
(1) 证明拉格朗日中值定理: 若函数 f (x)在
[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 则存在 (a , b ), 使得f (b) f (a ) f ( )(b a ). (2) 证明: 若函数f ( x )在x 0处连续, 在(0, ) ( x ) A, 则f (0)存在, ( 0)内可导, 且 lim f
微积分课后题答案习题详解
微积分课后题答案习题详解IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立.证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。
3. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； (2) lim n →∞2!n n =0.证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+ 而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=， 所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. （2）因为22222240!1231n n n n n<=<-，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在.(1) x n =11n e +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。
6习题课高等数学微积分课件
2、一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
形如 g( y)dy f ( x)dx
解法 g( y)dy f ( x)dx
分离变量法
(2) 齐次方程 形如 dy f ( y) dx x
解法 作变量代换 u y x
(3) 可化为齐次的方程
形如 dy f ( ax by c )
定理 2：如果 y1( x)与 y2 ( x)是方程(1)的两个线性
无关的特解, 那么 y C1 y1 C2 y2 就是方程(1)的通 解.
（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:
形如 y P( x) y Q( x) y f ( x)
(2)Leabharlann 定理 3 设 y*是(2)的一个特解, Y 是与(2)对应
(1) y(n) f ( x) 型
解法 接连积分n次，得通解．
(2) y f ( x, y) 型
特点 不显含未知函数 y. 解法 令 y P( x), y P, 代入原方程, 得 P f ( x, P( x)).
(3) y f ( y, y) 型
特点 不显含自变量 x. 解法 令 y P( x), y P dp ,
形如
x yn (n)
p x y n1 (n1) 1
pn1 xy
pn y
f (x)
的方程(其中 p1 , p2 pn为常
数)，
叫欧拉方程.
欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换
x et 或 t ln x 可化为常系数微分方程.
8、幂级数解法
当微分方程的解不能用初等函数或其积分 表达时, 常用幂级数解法.
的齐次方程(1)的通解, 那么 y Y y* 是二阶
非齐次线性微分方程(2)的通解.
微积分A(1)第2次习题课答案
2
+
n ，显然有 n +n
2
1 n(1 + n) 1 n(1 + n) 1 + n ⋅ < an < 2 ⋅ = 2 2 2n n +n n
两边取极限，由夹逼准则得到
n n
lim ∑
n→∞
1 k = 。 2 k +1 n + k
2
n
1 1 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ n −1⎞ （5） ⎜1 − ⎟ = ⎜ → , n → +∞ = ⎟ = n n −1 e ⎝ n⎠ ⎝ n ⎠ 1 ⎞ 1 ⎞ ⎛ ⎛ ⎛ n ⎞ ⎟ ⎟ ⋅ ⎜1 + ⎜1 + ⎟ ⎜ ⎝ n −1⎠ ⎝ n −1⎠ ⎝ n −1⎠
2 4 n →+∞
(1 + x
2n−1
(1 − x)(1 + x)(1 + x 2 )(1 + x 4 ) ) = lim n →+∞ 1− x (1 − x 2 ) 1 = lim = n →+∞ 1 − x 1− x
n
二、无穷大量 2.(教材 19 页第 6 题) 若 lim an = a ≠ 0 ， lim bn = ∞ . 证明： lim an bn = ∞ .
*
,只要 n, m > N ，就有 | an − am |< ε 。
,只要 n, m > N ，就有 | an − am |< ε 。
（1）利用 Cauchy 收敛准则证明单调有界数列收敛； （2）利用区间套定理证明单调有界数列收敛。 证明： （1）假设 {a n } 为单调递增有上界的数列，但发散。 由 Cauchy 收敛准则，∃ε 0 > 0 ，∀N ∈
+
n ，显然有 n +n
2
1 n(1 + n) 1 n(1 + n) 1 + n ⋅ < an < 2 ⋅ = 2 2 2n n +n n
两边取极限，由夹逼准则得到
n n
lim ∑
n→∞
1 k = 。 2 k +1 n + k
2
n
1 1 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ n −1⎞ （5） ⎜1 − ⎟ = ⎜ → , n → +∞ = ⎟ = n n −1 e ⎝ n⎠ ⎝ n ⎠ 1 ⎞ 1 ⎞ ⎛ ⎛ ⎛ n ⎞ ⎟ ⎟ ⋅ ⎜1 + ⎜1 + ⎟ ⎜ ⎝ n −1⎠ ⎝ n −1⎠ ⎝ n −1⎠
2 4 n →+∞
(1 + x
2n−1
(1 − x)(1 + x)(1 + x 2 )(1 + x 4 ) ) = lim n →+∞ 1− x (1 − x 2 ) 1 = lim = n →+∞ 1 − x 1− x
n
二、无穷大量 2.(教材 19 页第 6 题) 若 lim an = a ≠ 0 ， lim bn = ∞ . 证明： lim an bn = ∞ .
*
,只要 n, m > N ，就有 | an − am |< ε 。
,只要 n, m > N ，就有 | an − am |< ε 。
（1）利用 Cauchy 收敛准则证明单调有界数列收敛； （2）利用区间套定理证明单调有界数列收敛。 证明： （1）假设 {a n } 为单调递增有上界的数列，但发散。 由 Cauchy 收敛准则，∃ε 0 > 0 ，∀N ∈
微积分习题课参考答案(三重积分概念、性质、计算,重积分应用)_883402960
3
2 2
Ω
2 2
2 2
2
2
I = ∫∫∫ f ( x, y, z )dV =
Ω
x2 + y 2 1
∫∫
≤
dx ∫ 2
2 − x2 + y 2
x + y2
f ( x, y, z )dz
= ∫ dx ∫
−1
1
1− x 2
− 1− x
dy ∫ 2 2
2 − x2 + y 2
x + y2
f ( x, y, z )dz
Ω1 Ω2
， w( x, − y, z) = w( x, y, z) ，
2 2
．（化三重积分为累次积分） 设函数 f ( x, y, z) 连续， Ω 由曲面 z = x + y 和曲面 z = 2 − x + y 围成，将三重积分 I = ∫∫∫ f ( x, y, z )dV 分别在直角坐标系、柱坐标系和球坐 标系下化为累次积分． x + y ≤ z ≤ 2 − x + y , 解：在直角坐标系中，积分域 Ω 可以表示为 Ω : 所以 x + y ≤1,
4
2π
2z
0
( r 2 + z ) ⋅ rd r 256π 3
= 4π ∫ z 2 dz =
．
9
． （交换积分次序） 设 D = {( x, y) 1≤ x
u
0 2
+ y2
sin( z x + y ) 1 ≤ 4} ，求极限 I = lim 2π ∫ dz ∫∫ x + y dxdy ．
u
2 2
u →+∞
Ω Ω
2 2
Ω
2 2
2 2
2
2
I = ∫∫∫ f ( x, y, z )dV =
Ω
x2 + y 2 1
∫∫
≤
dx ∫ 2
2 − x2 + y 2
x + y2
f ( x, y, z )dz
= ∫ dx ∫
−1
1
1− x 2
− 1− x
dy ∫ 2 2
2 − x2 + y 2
x + y2
f ( x, y, z )dz
Ω1 Ω2
， w( x, − y, z) = w( x, y, z) ，
2 2
．（化三重积分为累次积分） 设函数 f ( x, y, z) 连续， Ω 由曲面 z = x + y 和曲面 z = 2 − x + y 围成，将三重积分 I = ∫∫∫ f ( x, y, z )dV 分别在直角坐标系、柱坐标系和球坐 标系下化为累次积分． x + y ≤ z ≤ 2 − x + y , 解：在直角坐标系中，积分域 Ω 可以表示为 Ω : 所以 x + y ≤1,
4
2π
2z
0
( r 2 + z ) ⋅ rd r 256π 3
= 4π ∫ z 2 dz =
．
9
． （交换积分次序） 设 D = {( x, y) 1≤ x
u
0 2
+ y2
sin( z x + y ) 1 ≤ 4} ，求极限 I = lim 2π ∫ dz ∫∫ x + y dxdy ．
u
2 2
u →+∞
Ω Ω
清华大学微积分A习题课_6一致连续 函数的可积性 定积分的性质 不定积分
n
“ ”. 用反证法. 假设 f ( x) 在 I 上非一致连续，即 0 0, 0, x, y I ，满足 | x y | ，但
f ( x) f ( y ) 0 ．
取 1, x1 , y1 I ,| x1 y1 | 1, 有 f ( x1 ) f ( y1 ) 0 . 取
n
lim[ f ( xn ) f ( yn )] 0 ,与已知条件矛盾.故函数 f ( x) 在区间 I 上一致连续.
n
二、函数的可积性. 5. 已知 f ( x)) R[a, b] . 证明：因为 f ( x) 在 [a, b] 上可积，所以 f ( x) 在 [a, b] 上有界，设 M sup {| f ( x) |} ．
1 1 , x2 , y2 I ,| x2 y2 | , 有 f ( x2 ) f ( y2 ) 0 . 2 2 1 1 , xn , yn I ,| xn yn | , 有 f ( xn ) f ( yn ) 0 . n n
取
从 而 在 区 间 I 上 构 造 出 两 个 数 列 { xn } 与 { yn } . 显 然 lim( xn yn ) 0 ， 但
i 1
n
由于
f ( x) 可积，当划分直径趋向于零时， i xi 0 ，于是
i 1
n
ie
i 1
n
f
xi 0 ，
故函数 exp[ f ( x)] 在 [a, b] 上可积． 6. 证明：当 f ( x) 0 时， w
a x b
对于区间 [a, b] 的任意划分 T {x0 , x1 , x2 ,, xn } ， 记
“ ”. 用反证法. 假设 f ( x) 在 I 上非一致连续，即 0 0, 0, x, y I ，满足 | x y | ，但
f ( x) f ( y ) 0 ．
取 1, x1 , y1 I ,| x1 y1 | 1, 有 f ( x1 ) f ( y1 ) 0 . 取
n
lim[ f ( xn ) f ( yn )] 0 ,与已知条件矛盾.故函数 f ( x) 在区间 I 上一致连续.
n
二、函数的可积性. 5. 已知 f ( x)) R[a, b] . 证明：因为 f ( x) 在 [a, b] 上可积，所以 f ( x) 在 [a, b] 上有界，设 M sup {| f ( x) |} ．
1 1 , x2 , y2 I ,| x2 y2 | , 有 f ( x2 ) f ( y2 ) 0 . 2 2 1 1 , xn , yn I ,| xn yn | , 有 f ( xn ) f ( yn ) 0 . n n
取
从 而 在 区 间 I 上 构 造 出 两 个 数 列 { xn } 与 { yn } . 显 然 lim( xn yn ) 0 ， 但
i 1
n
由于
f ( x) 可积，当划分直径趋向于零时， i xi 0 ，于是
i 1
n
ie
i 1
n
f
xi 0 ，
故函数 exp[ f ( x)] 在 [a, b] 上可积． 6. 证明：当 f ( x) 0 时， w
a x b
对于区间 [a, b] 的任意划分 T {x0 , x1 , x2 ,, xn } ， 记
清华大学微积分习题课(Stolz定理、数列极限、函数极限)
（ ）求极限 ． 4
lim
x→0
2 1
+ +
1
ex
4
ex
+
sin x
x
Page 1 of 3
2/3
3．求下列极限
（ ）求 ．1
1
lim(1 + sin x)2x
x→0
（ ） ． x2 −1x2
3
lim
x→∞
x2
+
1
4．求下列极限
（ ）求 2
lim(sin 1 + cos 1 )x .
x→∞
f (x) g(x)
τ = Tf ∈Q
f (x) g(x)
x→∞
Tg
什么关系？
．证明：若 ，且 ≤ ，则 11
f (x) = a1 sin x + a2 sin 2x + ⋯ + an sin nx
| f (x) | | sin x |
≤ ． a1 + 2a2 + ⋯ + nan 1
Page 2 of 3
．已知 ，求证： ． 1
lim
n→∞
an
=
+∞
lim a1 + a2 + ⋯ + an = +∞
n→∞
n
．已知数列 单调，且 ，证明： ． 2
{an }
lim a1 + a2 + ⋯ + an = A
n→∞
n
lim
n→∞
an
=
A
3．证明：数列
{an
}
没有收敛子列等价于
lim
n→∞
清华大学微积分习题课参考答案(微分法、方向导数与梯度、泰勒公式)
(x
+
y)
+
f
(x
−
y)
+
∫ x+y x− y
g (t )dt
其中函数
f
具有二阶导数
g
具有一阶导
数，求 ， ． ∂2u , ∂2u ∂x2 ∂y2
∂2u ∂x∂y
解：因为 ， ∂u ∂x
=
f
′(x +
y) +
f
′(x
−
y) +
g(x
+
y) −
g(x −
y)
， ∂u
∂y
=
f ′(x +
y) −
f ′(x −
． x(z
+
y)x
−1
(
∂z ∂y
+ 1)
=
x
所以 ． ∂z ∂y
(1,2)
=
0
（ ）设函数 由方程 确定，求 ． 2
z = z(x, y)
x + y − z = ez
∂z
∂x（1,0）
解：将 y 看作常数， z 看作是 x 的函数，在 x + y − z = ez 两端关于 x 求导，得
． 1 −
r2 cos2 θ
−
∂f ∂x
r
cosθ
−
∂f ∂y
r sinθ
， ∂2u = ∂2 f
∂z2 ∂z2
微积分 B(2)
第 2 次习题课（By ） Huzm
6 / 12
所以
∂2u ∂r 2
+
1 r2
∂2u ∂θ 2
+
1 r
微积分B(2)第6次习题课题目(第一型曲线、曲面积分)_78270257
x2 + y2 = 2x
（1）柱面介于锥面之间的面积 S1 ； （2）锥面在柱面内的面积 S2 ．
7．（面积分的几何意义、计算）
求球面 x2 + y2 + z2 = a2 (a > 0) 介于平面 z = a 与平面 z = a 之间部分的面积 S ．
4
2
8．（面积分的性质、几何意义）
设曲面 为球面 ，计算曲面积分 ． Σ
x2 + y2 + z2 = a2
∫∫ I = ( x2 + y2 + z2 )dS
Σ2 3 4
9．（面积分的性质、几何意义）
设曲面 为球面 ，计算曲面积分 ． Σ
(x − a)2 + ( y − b)2 + (z − c)2 = R2
I = ∫∫ (x + y + z)dS
Σ
10．（面积分的性质、几何意义）
的方程为
x
+
2y
=1，计算曲线积分 I
=
∫
C
x
+
1 2y
． + 2 dl
3．（线积分性质、几何意义）
设曲线 的方程为 计算曲线积分 ． C
x2 + y2 x+ y+
+z z=
2= 0,
1,
I = ∫ x2dl
C
4．（线积分性质、几何意义）
设椭圆周 的周长为 ，计算曲线积分 ． L : x2 + xy + y2 =1
微积分 B（2）
第 6 次习题课（By ） Huzm
1/2
微积分 B(2)第 6 次习题课
题目
微积分B(1)第11次习题课(数项级数)答案
n →∞ n
．证明：级数 ∑ u 收敛的充分必要条件是： lim u 证：必要性：因为 lim S = lim ∑ a 存在，所以 lim u = lim( S − S ) = lim S − lim S = 0 ，且 lim S
∞
2
n
n =1
． = 0 ，且 ∑ (u
∞ n =1 2n
2 n −1
2 2 2 3 2 n n n +1 n 2 2 2 3 2 n n n +1 n 2 2 n n
．一般级数的判敛，并指出是否绝对收敛 1) （1） ∑ (−n ； 解： p ≤ 0 时发散； 0 < p ≤1 时条件收敛； p > 1 时绝对收敛． （2） ∑ (1−+1)a ； 解： a > 1 时绝对收敛； −1 < a ≤1 时发散． n −1 1 （3） ∑ (−1) n ； +1 n n −1 1 1 2 解： n ，由于 Leibniz 形级数 = − +1 n n ( n + 1) n
n =1 ∞ n=2 ∞ n=2
（13）1 + a + ab + a b + a b + a b + ⋯ + a b + a b + ⋯ a, b > 0 ． 解：加括号成为级数 (1 + a) + (ab + a b) + (a b + a b ) + ⋯ + (a b + a b ) + ⋯ = (1 + a) + ab(1 + a ) + a b (1 + a ) + ⋯ + a b (1 + a) + ⋯ ， 这是几何级数，公比为 ab ，所以 ab < 1 时收敛，其它情形发散． 因为正项级数收敛当且仅当它以某种方式加括号后收敛，所以原级数当 ab < 1 时收敛， 其它情形发散．
．证明：级数 ∑ u 收敛的充分必要条件是： lim u 证：必要性：因为 lim S = lim ∑ a 存在，所以 lim u = lim( S − S ) = lim S − lim S = 0 ，且 lim S
∞
2
n
n =1
． = 0 ，且 ∑ (u
∞ n =1 2n
2 n −1
2 2 2 3 2 n n n +1 n 2 2 2 3 2 n n n +1 n 2 2 n n
．一般级数的判敛，并指出是否绝对收敛 1) （1） ∑ (−n ； 解： p ≤ 0 时发散； 0 < p ≤1 时条件收敛； p > 1 时绝对收敛． （2） ∑ (1−+1)a ； 解： a > 1 时绝对收敛； −1 < a ≤1 时发散． n −1 1 （3） ∑ (−1) n ； +1 n n −1 1 1 2 解： n ，由于 Leibniz 形级数 = − +1 n n ( n + 1) n
n =1 ∞ n=2 ∞ n=2
（13）1 + a + ab + a b + a b + a b + ⋯ + a b + a b + ⋯ a, b > 0 ． 解：加括号成为级数 (1 + a) + (ab + a b) + (a b + a b ) + ⋯ + (a b + a b ) + ⋯ = (1 + a) + ab(1 + a ) + a b (1 + a ) + ⋯ + a b (1 + a) + ⋯ ， 这是几何级数，公比为 ab ，所以 ab < 1 时收敛，其它情形发散． 因为正项级数收敛当且仅当它以某种方式加括号后收敛，所以原级数当 ab < 1 时收敛， 其它情形发散．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《高等数学》 高等数学》 上
例8
设 f ( x ) 在区间 [a , b] 上连续， 上连续，且 f ( x ) > 0. b b dx ≥ (b − a )2 . 证明 ∫ f ( x )dx ⋅ ∫ a a f ( x)
F ( x ) = ∫ f ( t )dt ∫
证
作辅助函数
x a
x
Q F ′( x ) = f ( x ) ∫ =∫
2 2
原式 = ∫ ( x − 1) [ ∫ e
1 2
x
dy , 求 ∫ ( x − 1)2 f ( x )dx .
1 0
− y2 +2 y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
0
dy ]dx
2
+2 x
dx
令 ( x − 1)2 = u
e 0 −u 1 − ∫ ue du = − (e − 2). 6 1 6
《高等数学》 高等数学》 上
C
)
π
π
（D） . （C） ； 4 2 d x 2、 2、 ∫ ln( t 2 + 1) dt =（ A ） dx 0 （A）ln( x 2 + 1) ； （B）ln( t 2 + 1) ； （C） 2 x ln( x 2 + 1) ； （D）2t ln( t 2 + 1) .
《高等数学》 高等数学》 上
π 2 π 6
cos 2 t dt sin t
《高等数学》 高等数学》 上
例3 求 ∫ ln sin 2 xdx .
π 4 0
解
I = ∫ ln sin 2 xdx = ∫ 4 ln( 2 sin x cos x )dx
令 2x = t,
π 4 0 π 4 0
∫
π 4 0
1 ln sin 2 xdx = ∫ ln sin tdt . 2 π
3
−1
1+ 2x
五、 设 f ( x ) 在[0， [0，1]上有二阶连续导数 1]上有二阶连续导数， 上有二阶连续导数，证明： 证明： 1 1 1 1 '' [ ] f ( x ) dx = f ( 0 ) + f ( 1 ) − x ( 1 − x ) f ( x )dx . ∫0 ∫ 0 2 2
∫a
x
f ( t )dt 就是
f ( x ) 在[a , b]上的一个原函数.
《高等数学》 高等数学》 上
定理 3（微积分基本公式） 微积分基本公式） 如果 F ( x ) 是连续函数
f ( x ) 在区间[a , b]上的一个原函数， 上的一个原函数，则
∫a f ( x )dx = F (b) − F (a )
π 2 0 0
π = ln 2 + ∫ ln sin xdx + ∫ ln sin xdx 4 π π = ln 2 + ∫ ln sin xdx = ln 2 + 2 I 4 4 π ∴ I = − ln 2. 4
π 4 0 π 2 0 π 2 π 4
= ∫ (ln 2 + ln sin x + ln cos x )dx
3、lim
x→0
∫
x
0
sin t 2 dt
3
x （A）0 ； （B）1 ； 1 （D）∞ . （C） ； 3 1 4.、定积分 ∫ e x dx 的值是（ 的值是（ D ）
0
=(
C
)
（A）e ； （C）e ；
1 2
1 （B） ； 2
（D）2 .
《高等数学》 高等数学》 上
5、 知 f (0) = 1 , f ( 2) = 3 , f ' ( 2) = 5 , 则 ∫ xf '' ( x )dx = （B ） 0
反常积分 反常积分
定积分的 定积分的 计算法 计算法
∫
牛顿莱布尼茨公式 牛顿 牛顿莱布尼茨公式 牛顿 b
a
f ( x )dx = F (b ) − F (a )
《高等数学》 高等数学》 上
1、问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积A） 实例2 （求变速直线运动的路程） 求变速直线运动的路程）
2、定积分的定义
《高等数学》 高等数学》 上
例4
求∫
解
原式 = 0 + ∫ ln(1 − x )dx
1 2 1 − 2 0 − 0
1 2 1 − 2
sin x 2 [ 8 + ln (1 − x ) ]dx . x +1
= ∫ 1 ln(1 − x )dx − ∫ ln(1 − x )dx
1 2 2
3 3 1 = ln + ln . 2 2 2
dx ； 5、 5、∫ −∞ x 2 + 4 x + 9 π ； 5、 5
6、 ；. 6、∫1 2 x 3x − 2x − 1 π 3 6、 6、 − arcsin ； 2 4
4、 4、1；
三、 ± 2e
− y2
sin x 2 .
《高等数学》 高等数学》 上
四、求下列定积分： 求下列定积分： 4 dx ； 1、 1、 ∫ 1 x (1 + x) 3、 3、 ∫ x 2 − 2 x − 3 dx ；
−2
4 1 、 2 ln ； 3 5 71 3、 3、 ； 3
+∞
x dx ； 2、 2、 ∫ arcsin 0 1+ x 4 2、 2、 π − 3 ； 3 1 dx 4、 ； 4、 ∫ 1
《高等数学》 高等数学》 上
例5
x2 , x ≤ 1 1 2 解 Q min{ , x } = 1 , x >1 x x 2 1 2 原式 = 2 ∫ min{ , x }dx 0 x
= 2 ∫ x dx + 2 ∫
1 2 0 2 1
1 2 求 ∫ min{ , x }dx . −2 x
例7 设 f ( x ) 在 [0, π] 上连续, 证明 : π xf (sin x ) π π f (sin x ) ∫0 1 + cos 2 x dx = 2 ∫0 1 + cos 2 x dx. 证 令 x = π − t, dx = − dt ,
0 π xf (sin x ) f (sin x ) = π∫ dx − ∫ dx 2 2 0 1 + cos x 0 1 + cos x π xf (sin x ) π f (sin x ) 即 2∫ dx = π ∫ dx 2 2 0 1 + cos x 0 1 + cos x π
2
是偶函数,
1 2 dx = + 2 ln 2. x 3
《高等数学》 高等数学》 上
例6 设 f ( x ) = ∫ e 0
x
− y2 +2 y
解
x 11 1 3 − y +2 y 1 = [ ( x − 1) ∫ e dy ]0 − ∫ ( x − 1)3 e − x 0 0 3 3 1 1 = − ∫ ( x − 1)2 e −( x −1) +1d [( x − 1)2 ] 6 0
换元公式
（2）分部积分法
∫
b
a
udv = [uv ] − ∫ vdu
b a b a
分部积分公式
《高等数学》 高等数学》 上
７、反常积分
(1)无穷限的反常积分 (2)无界函数的反常积分
当极限存在时， 收敛；当极限不存在 当极限存在时，称反常积分收敛 积分收敛； 时，称反常 称反常积分发散 积分发散.
b
也可写成
∫
b
a
f ( x )dx = [ F ( x )]b a.
牛顿—莱布尼茨公式
表明 : 一个连续函数在区间 [a , b] 上的定积分等于 它的任一原函数在区间 [a , b] 上的增量 .
《高等数学》 高等数学》 上
6、定积分的计算法
（1）换元法
b
∫a f ( x )dx = ∫α
β
f [ϕ ( t )]ϕ ′( t )dt
（A） 12； 12； （C）7；
（B）8； （D）6.
《高等数学》 高等数学》 上
7、下列积分中， 下列积分中，值为零的是（ 值为零的是（D） （A） ∫ x dx ；
1
（C） ∫ dx ；
−1 1
2
−1
（ D） ∫ x 2 sin xdx .
−1 1 −1
(B (B） ∫ x 3 dx ；
2
dx 8、广义积分 ∫ =（ C ） 2 2 x + x−2 （A） ln 4 ； （B ）0 ； 1 （C） ln 4 ； （D）发散. 发散. 3
2
1 ,x≥0 2 1 + x 6、设 f ( x ) = ，则定积分 ∫0 f ( x − 1)dx 1 ,x<0 1 + e x =（A） 1 2 （A） 1 + ln(1 + ) ； （B ） 2 − ln(1 + e ) + ln 3 ； e 1 1 （C） 1 + ln(1 + ) + ln 2 ; （D） 1 − ln(1 + ) . e e
+∞
《高等数学》 高等数学》 上
二、证明不等式: 证明不等式: 1 1 dx π 2 ≤∫ ≤ , ( n > 2) n 0 2 6 1− x
三、求下列函数的导数： 求下列函数的导数： y x 2 sin t 2 dt = 1 ， 确定 y 为 x 的 由方程 ∫ e t dt + ∫ 0 0 t dy 函数， 函数，求 . dx