2018届高三联考试卷1(数学理)

高三第二次周练（理）一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}220,A x x x x =--≤∈Z ，则集合A 非空子集的个数为 A.14 B.15 C.16 D.172. 已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且10100S =，则7a 的值为A.11B.12C.13D.143. 下列命题中的假命题是（ ）A. B.C.D.4.若01,1a b c <<>>，则A ．1ab c ⎛⎫< ⎪⎝⎭B ．c a c b a b ->- C ．11a a c b --< D ．log log c b a a < 5. 在平行四边形ABCD 中，AD =1，60BAD ∠=︒，E 为CD 的中点．若1=⋅BE AC ，则AB 的长为（ ） A ．14B ．12C ．1D ．26. 设函数，若，则实数a 的值为（ ）A. B. C. 或 D.7. 直线3x + 4y + 2 = 0与圆x 2 + y 2 + 4x = 0交于A ，B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程是 （ ）A 4x －3y －2 = 0B 4x －3y －8 = 0C 4x - 3y + 8= 0D 4x +3y + 8 = 0 8. 设、，已知，，且（，），则的最大值是（ ）A. 1B. 2C.D.9. 若将函数)0)(2cos(3)2sin()(πϕϕϕ<<+++=x x x f 的图象向左平移4π个单位长度，平移后的图象关于点)0,2(π对称，则函数)cos()(ϕ+=x x g 在]6,2[ππ-上的最小值（ ） A ．21-B ．23-C ．22 D ．21 10．已知直线l ⊥平面α,直线m ⊂平面β,下面四个命题 (1)α∥β⇒l ⊥m (2) α⊥β⇒l ∥m(3) l ∥m ⇒α⊥β (4) l ⊥m ⇒α∥β中正确的两个命题是( ) A.(1)与(3) B.(3) 与(4) C.(2)与 (4) D.(1)与(2)11. 已知函数(),0,ln ,0x e x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩（e 为自然对数的底数），若关于x 的方程()0f x a +=有两个不相等的实根，则a 的取值范围是 A.1a >-B.11a -<<C.01a <≤D.1a <12.在数列{}n a 中，已知)1*n a n +=∀∈N ，则数列{}n a 满足：()1*n n a a n +<∀∈N 的充要条件为A.11>-aB.13>aC.1113或<->a aD.113-<<a 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.设变量x 、y 满足约束条件22,1,1,x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩则3z x y =-的最大值为______.14. 已知数列{}n a ，若数列{}13n n a -的前n 项和11655n n T =⨯-，则5a 的值为________.15. .已知向量||||b b a =-，|||2|b b a =-，则向量b a ,的夹角为___________________ 16.已知若对任意一个单位向量e ，满足：()2+⋅≤a b e 成立，则⋅a b 的最大值是. 三、解答题:17. 如图，在ABC ∆中，P 是BC 边上的一点，60APC ∠=︒，AB =4APPB +=.（1）求BP 的长； （2）若4AC =，求cos ACP ∠的值.18. 四棱锥-P ABCD 中，底面A B C D 是平行四边形，2,60BC AB ABC =∠=︒，=PA PB ，点M 为AB 的中点。

（Ⅰ）在棱PD 上作点N ，使得AN ∥平面PMC（Ⅱ）若⊥P B A C ，且直线PC 与平面PAB 所成的角是45︒，求二面角--M PC A 的余弦值19. 在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,， 60=C ，b c 32=. （1）求角B A ,的大小；（2）若D 为边AC 上一点，且4=a ，BCD ∆的面积为3，求BD 的长.20. 已知圆心在x 轴上的圆C 过点和，圆D 的方程为2＋y 2＝4.(1)求圆C 的方程；(2)由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求的取值范围．21.已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前四项和413714,,,S a a a =且成等比. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11{}n n n T n a a +为数列的前项和，若*1n n T a n N λ+≤∈对一切恒成立，求实数λ的最大值.22. 已知函数()()21ln 112f x x x ax a x =-+-+(其中a ∈R )，且曲线()y f x =在1x =处的切线与x 轴平行. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（III ）若122x x +=，试比较()()12f x f x +与1的大小关系．理科数学参考答案及评分标准1.B2. D3.C4.D5. B6.B7C 8.A 9. D10.A 11.c 12.B13.5 14.16 15. 30 16.117. 解：（1）由已知，得120APB ∠=︒………………………………………………1分又AB =4AP BP +=， 在ABP ∆中，由余弦定理，得(()()222424cos120BP BP BP BP =+--⨯⨯-︒，……………………4分整理，得2440BP BP -+=.解得2BP =.…………………………………………6分（2）由（1）知，2AP =， 所以在ACP ∆中，由正弦定理.得sin 60sin AC APACP=︒∠，…………………………8分解得4sin 25ACP ∠==.………………………………………………………9分因为2<AP AC <，从而ACP APC ∠<，即ACP ∠是锐角，……11分所以3cos 5ACP ∠==.……………………………………………………12分18.（Ⅰ）点N 为PD 中点．下证：取PD 中点N ，PC 中点Q ，连结AN ，QN ，MQ ， 在∆PCD 中，,N Q 分别是所在边PD ，PC 的中点， 则NQ CD ∥且1=2NQ CD ．----------1分 因为点M 为AB 中点，=AB CD ， 所以NQ AM ∥且NQ AM =．---------2分所以四边形AMQN 是平行四边形， 所以AN MQ ∥．----------3分又因为⊄AN 平面PMC ，MQ ⊂平面PMC ， 所以AN ∥平面PMC ．---------4分（Ⅱ）在∆ABC 中，2=BC AB ，60ABC ∠=︒， 设=AB a ，则2=BC a ，由余弦定理有：2222cos60AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒=，则222=+BC AB AC ，由勾股定理的逆定理可得：⊥AC AB ．----------5分 又因为⊥PB AC ，PB AB B = ，,PB AB ⊂平面PAB ，所以平面⊥AC PAB ． 因为PM PAB ⊂平面，所以⊥AC PM ．因为=PA PB ，点M 为线段AB 的中点，所以⊥PM AB ， 因此,,PM AB AC 两两垂直．------------6分以A 为原点，分别以,AB AC 所在直线为,x y 轴，建立空间直角坐标系．因为直线PC 与平面PAB 的所成角是45︒， 所以45CPA ∠=︒，所以Rt CAP ∆是等腰直角三角形，所以==PA CA ．---------7分则()0,0,0A ，,0,02a M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22a P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(),0C ，MP ⎛= ⎝⎭，,02a MC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ．-----------8分 设平面PMC 的一个法向量为()1,,x y z =n ，则110,0,n MP n MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0,z x =⎧⎪⎨-+=⎪⎩得()1n = ， 同理可得，平面PAC的一个法向量为()2=n ，--------10分xD则121212cos ,13n n n n ⋅<>==-n n ．------------11分 由图可得所求二面角的平面角为锐角， 所以二面角--M PC A的余弦值为13．---------------12分19. (1) 75,45A B ︒︒==(2) BD =2021 (1) 1n a n =+ (2) max 16λ=22.（1）()()ln 2f x x ax a '=-+-----------1分 由题意得()10f '=----------2分 则1a =，且验证()10f ≠----------3分 所以1a =成立----------4分（2）由（1）得：()21ln 12f x x x x =-+，定义域为()0,+∞，---------5分 令()g x =()ln 1f x x x '=-+ 则()1(1)0,1g g x x'==----------6分 当()0,1x ∈时，()0g x '> 当()1,x ∈+∞时，()0g x '< 则()g x 的最大值为()10g =则对于任意的()0,x ∈+∞，都有()0f x '≤---------7分()f x 的单调区间为()0,+∞---------8分（3）()21ln 12f x x x x =-+．由122x x +=得，212x x =-，()()()()1211121f x f x f x f x +-=+--．9分 令()()()21F x f x f x =+--=()()2ln 2ln 221x x x x x x +---+-，02x <<．()F x '=()ln ln 222x x x ---+，10分令()()G x F x '=，()()()22111222x G x x x x x -'=+-=--． 当02x <<时，()0G x '≥，()G x 单调递增，即()F x '单调递增．11分又()10F '=，所以当01x <≤时，()0F x '≤，()F x 单调递减；当12x <<时，()0F x '>，()F x 递增．所以()()min 10F x F ==，即()0F x ≥，所以()()121f x f x +≥．12分。