自动控制原理第五章-1

U UG ( j ) b2 G ( s) 2 ( s j ) |s j 2 s 2j
因为G(s)是实系数有理函数，则有 G( j) | G( j) | e jG( j )
G( j) | G( j) | e jG( j ) | G( j) | e jG( j )
lim uo (t )
t
U
2 2
1 1 1 U sin t 1 j 1 j
sin(t )

结论：当电路输入为正弦信号时，其输出的稳态 响应（频率响应）也是一个正弦信号，其频率和 输入信号相同，但幅值和相角发生了变化，其变 化取决于ω。
3. 频率特性的定义

幅频特性：LTI系统在正弦输入作用下，稳态输出 振幅与输入振幅之比，用 A(ω) 表示。
A( ) Ac | G ( j ) | U | G ( j ) | U U

相频特性：稳态输出相位与输入相位之差，用(ω)
表示。
() [t G( j)] t G( j)

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《自动控制原理》 第五章 频域分析
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频率特性的概念 40
不
设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。
给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦， 曲线如下:
结论
Ar=1 ω=0.5
给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入
同频率的正弦，幅值随ω而变，相角也是ω的函数。
ω=1
ω=2
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设
G ( j )
a( ) jb( ) | G ( j ) | e jG ( j ) c( ) jd ( )
因为G(s)是实系数有理函数，则a(ω)和c(ω)是关于ω 的偶函数， b(ω)和d(ω)是关于ω的奇函数。鉴于
《自动控制原理》 第五章 频域分析
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3. 频域分析法的优点
(1) 物理意义明确。对于一阶系统和二阶系统，频域性能指 标和时域性能指标有明确的对应关系；对于高阶系统，也可 建立近似的对应关系。 (2) 可用试验方法求出系统的数学模型，易于研究机理复杂 或不明、难以建立动态模型的系统；适用于某些非线性系统。
拉氏反变换得
c(t ) b1e jt b2e jt a1e p1t a2e p2t ... ane pnt ai e pi t (b1e jt b2 e jt )
i 1 n
ct (t ) cs (t )
(t 0)
ct(t) 和 cs(t) 分别为系统的暂态分量和稳态分量。
其中：
1 T1 a0 T12 f (t )dt , 直流分量 T1 2
2 T1 2 an T1 f (t ) cosn1tdt, T1 2
2 T1 2 bn T1 f (t ) sin n1tdt, T1 2
1
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2 T1
Dirichlet条件： 1）除有限个第一类 间断点（间断点的 左右极限都存在） 外，处处连续； 2）分段单调，且单 调区间个数有效。
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引言
1. 为什么要对系统进行频域分析？

时域分析法：从微分方程或传递函数角度求解系统的时 域响应（和性能指标）。不利于工程研究之处：

计算量大，而且随系统阶次的升高而增加很大； 对于高阶系统十分不便，难以确定解析解； 不易分析系统各部分对总体性能的影响，难以确定 主要因素； 不能直观地表现出系统的主要特征。
将其进行部分分式展开后再拉氏反变换
U t U uo (t ) 2 2 e sin(t ) 2 2 1 1
arctan
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《自动控制原理》 第五章 频域分析
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uo(t) 表达式中第一项是暂态分量，第二项是稳态 分量。显然上述 RC 电路的稳态响应为
L( s)e st ds
j
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5.1 频率特性
1. 引例——RC电路 对于图5-1所示的RC电路，其传递函数为
U o ( s) 1 (Cs) 1 U i ( s) R 1 (Cs) s 1
式中，τ=RC 。
+ ui(t) 图5-1 RC电路

频率特性：LTI系统在正弦输入作用下，输出稳态 分量和输入的复数比（也就是幅相频率特性，简 称幅相特性）。 频率特性与传递函数之间的关系：

频率特性:系统频率响应和正弦输入信号之间的关系，它 和传递函数一样表示了系统或环节的动态特性。

控制系统的频率特性反映了正弦输入下系统响应的性能。 研究的数学基础是 Fourier 变换。

频域分析法:利用系统的频率特性分析和综合控制系统的 方法。在校正方法中，频率法校正最为方便。
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T1为 f(t) 的周期
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《自动控制原理》 第五章 频域分析
可以看出，周期函数 f(t) 的频谱是离散的，即 只在ω1, 2ω1, 3ω1等频率下有谱线。

当 f(t) 是非周期函数时，可以看成 T1→∞ 的周期 函数。这时基波ω 1→0，各次谐波之间的差值趋向 于无穷小，即无限接近，谐波的幅→0。所以，非 周期函数的频谱含有一切频率成分，即是由无穷 多个无穷小的谐波组成，所以它的频谱是连续的。
r (t ) U sin t U R( s) 2 s 2
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《自动控制原理》 第五章 频域分析
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因此有，
U N (s) U C ( s) G ( s) 2 2 2 s D( s ) s 2 an b1 b2 a1 a2 ... s j s j s p1 s p2 s pn
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从而有
cs (t ) b1e jt b2e jt e j (t G ( j )) e j (t G ( j )) U | G ( j ) | 2j U | G ( j ) | sin(t G ( j )) Ac sin(t )
ω=2.5
ω=4
2. 控制系统在正弦信号作用下的稳态输出 对于 n 阶的LTI闭环传递函数
C ( s) N ( s) N ( s) G( s) R(s) D(s) ( s p1 )(s p2 )(s pn )
其中 p1, p2, … pn 为 n 个互异的闭环特征根。 设输入正弦信号为
书山有路勤为径， 学海无涯苦作舟。
——《增广贤文》
学如逆水行舟， 不进则退。
—— 《增广贤文》
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《自动控制原理》 第五章 频域分析
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第五章 线性系统的频域分析

引言


5.1 频率特性
5.2 典型环节的频率特性
5.3 系统开环频率特性的绘制
5.4 频域稳定判据 5.5 稳定裕度 5.6 闭环系统的频域性能指标 5.7 频率特性的试验确定方法*
a ( ) b ( ) G ( j ) 2 c ( ) d 2 ( ) b( )c( ) a( )d ( ) G ( j ) arctan a( )c( ) b( )d ( )
2 2 12
因而，
a( ) jb( ) G ( j ) G ( j ) e jG ( j ) c( ) jd ( )



1 jt 1 f (t )e dt , f (t ) F [ F ( )] 2



F ( )e jt d
与拉普拉斯变换对照

L( s )

f (t )e st dt ,
f (t ) L1[ L( s )]
1 2 j
j
0


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R + C uo(t) -
设输入电压为正弦信号，其时域和复域描述为
ui (t ) U sin t
U i (s) U s2 2
所以有
U o ( s) G ( s) R( s) 1 U 2 s 1 s 2


频域分析法：是一种间接的研究控制系统性能的工程方 法（三大分析法之一）。它研究系统的依据是频率特性， 频率特性是控制系统的又一种数学模型。
《自动控制原理》 第五章 频域分析 3
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2. 频率响应、频率特性和频域分析法

频率响应:正弦输入信号作用下，系统输出的稳态分量。
（控制系统中的信号都可表示为不同频率正弦信号的合成）

如果输入信号不是正弦函数，而是一个非周期 函数，则通过 Fourier 变换可以表示为一系列的 正弦函数之和。任何复杂信号——例如音乐信号 等，都可由许许多多频率不同、大小不等的正弦 波复合而成。

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Fourier变换的数学描述
F ( )
(3) 可以根据开环频率特性研究闭环系统的性能，无需求解 高次代数方程。这一点，与根轨迹法有异曲同工之妙，只是 前者的自变量是频率ω，而后者的参数一般是开环增益 K。 (4) 能方便地分析系统参量对动态响应的影响，从而进一步 指出改善系统性能的途径，在系统校正中很有用（第六章 ）。
(5) 采用作图方法，简单、计算量小、非常直观（近似方法）。
e j e j sin 2j
式中，稳态输出的振幅和相位分别为
Ac U | G( j) |;
G( j )
由此可见，LTI系统在正弦输入下，输出稳态值是 和输入同频率的正弦信号。输出振幅是输入振幅的 |G(jω)|倍，输出相位与输入相位差值为∠G(jω)度。
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幅频 A(ω) 和相频 (ω) 统称幅相频率特性。
A()e j ( ) | G( j) | e jG( j ) G( j)
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《自动控制原理》 第五章 频域分析
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如果将输入、输出的正弦函数分别表示为Uej0 和 Acej，则输出与输入的复数比为
Ac e j Ac j e A( )e j ( ) | G( j ) | e jG ( j ) Ue j 0 U
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RC网络的传递函数G(s)
1 1 , 令s j, 得G( j ) A( )e j ( ) 1 s 1 j

若把输出的稳态响应和输入正弦信号用复数表示，并求 其复数比，可以得到 式中
1 G ( j ) A( )e j ( ) 1 j
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Fourier变换与周期函数的频谱
满足Dirichlet（狄里克雷）条件的任何周期函数，都可 用Fourier变换，表示为一系列的谐波（正余弦）之和
f (t ) a0 an cos n1t bn sin n1t） （
n 1
1 1 A( ) 1 j 1 2 2

( )
1 arctan 1 j
频率特性G(jω)：上述电路的稳态响应与输 A(ω)：输出信号幅值与输入信号幅值之比。 相频特性 (ω)：输出信号相角与输入信号相角之差。
2013-8-13 《自动控制原理》 第五章 频域分析 15
对于稳定的系统，其极点均具有负实部，有 lim ct (t ) 0 t 则系统在正弦信号作用下的稳态输出为
cs (t ) b1e jt b2e jt
其中，
b1 G( s) U UG( j ) ( s j ) |s j s2 2 2j