高中数学课时达标训练十七新人教A版选修8
高中数学课时达标检测十一正切函数的性质与图象含解析新人教A版必修
课时达标检测（十一） 正切函数的性质与图象一、选择题1．与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交的一条直线是( ) A ．x ＝π2B ．x ＝－π2C ．x ＝π4D ．x ＝π8答案：D 2．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象交点的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：C3．函数y ＝log 12tan x 的定义域是( ) A ．x ⎪⎪⎪ x ≤π4＋k π，k ∈Z B ．x ⎪⎪⎪ 2k π<x ≤2k π＋π4，k ∈Z C ．x ⎪⎪⎪ k π<x ≤k π＋π4，k ∈Z D ．x ⎪⎪⎪ 2k π－π2<x ≤k π＋π4，k ∈Z 答案：C 4．下列图形分别是①y ＝|tan x |，②y ＝tan x ，③y ＝tan(－x )，④y ＝tan |x |在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2内的大致图象，那么由a 到d 对应的函数关系式应是( )A ．①②③④B ．①③④②C ．③②④①D ．①②④③答案：D5．下列关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的说法正确的是( ) A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6上单调递增 B ．最小正周期是πC ．图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0成中心对称 D ．图象关于直线x ＝π6成轴对称 答案：B二、填空题6．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝1所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值是________． 答案： 37．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是单调减函数，则ω的取值范围是________． 答案：[－1,0)8．若直线x ＝k π2(|k |≤1)与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交，则k ＝________. 答案：14或－34三、解答题9．作出函数y ＝tan x ＋|tan x |的图象，并求其定义域、值域、单调区间及最小正周期．解：y ＝tan x ＋|tan x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2tan x ，tan x ≥0，0，tan x <0.其图象如图所示，由图象可知，其定义域是⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z)；值域是[0，＋∞)；单调递增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z)；最小正周期T ＝π. 10．若x ∈[－π3，π4]，求函数y ＝1cos 2x＋2tan x ＋1的最值及相应的x 值． 解：y ＝1cos 2x＋2tan x ＋1 ＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＋2tan x ＋1 ＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1.∵x ∈[－π3，π4]，∴tan x ∈[－3，1]． 故当tan x ＝－1，即x ＝－π4时，y 取最小值1； 当tan x ＝1，即x ＝π4时，y 取最大值5.11．已知－π3≤x ≤π4，f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2，求f (x )的最值及相应的x 值． 解：∵－π3≤x ≤π4，∴－3≤tan x ≤1， f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1，当tan x ＝－1即x ＝－π4时，f (x )有最小值1，π4时，f(x)有最大值5.当tan x＝1即x＝。
高中数学第一章导数及其应用1.4.1曲边梯形的面积与定积分课件新人教B版选修2_2
求出函数
的图象
与直线 所围成的平面图形的面积.
2
2
2
曲线与平行于y轴的直线和x轴 所围成的图形，通常叫做曲边梯形．
例1. 求由抛物线 y＝x2与直线 x＝1, y＝0 所围成的平面图形的面积.
阿 基 米 德 问 题
Archimedes，约公元前 287年—约公元前212年
请根据以下提示，思考问题并设定求解方案： 1.怎样分割更利于计算？ 2.用哪一种你熟悉的直边图形代替分割出来
1 2 34 567 8
1 2 34 567 8 16 15 14 13 12 11 10 9 16 15 14 13 12 11 10 9
圆面积公式的推导
分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。 C 2
r
圆面积公式的推导
C 2
＝πr
r
长方形面积 = 长 × 宽
圆的面积 = πr × r
= πr2
曲边梯形的面积
学习目标
1. 通过视察和分析，归纳出平面图形 面积的几种求法；
2. 在教师的指点下，通过分析和讨论， 总结出求简单曲边梯形面积的方法；
3. 通过平面图形的面积的求解过程， 体会转化的数学思想方法.
问题 1
求平面图形的面积有哪些常用方法？
公式法 割补法
常见图形的面积公式
矩形(长方形)
S ab
常见图形的面积公式
平行四边形
梯形
h a
S ah S 1 (a b)h
2
三角形
1 S 2 aha
常见图形的面积公式
圆
S r2
圆的面积是怎样推导出来的？
圆面积公式的推导
将圆分成若干(偶数)等分
34 56
人教版新课标高中数学A版选修2-3答案
人教版新课标高中数学A版选修2-3答案人教版新课标高中数学A版选修2-3是高中数学课程中的一个重要部分，它涵盖了概率论与统计、数列、极限与导数等重要数学概念。
这些内容对于培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力和解决问题的能力都具有重要意义。
以下是该课程部分习题的答案解析，供同学们参考。
1. 概率论与统计在概率论与统计部分，学生需要掌握随机事件的概率计算、条件概率、独立事件以及随机变量的分布等基本概念。
例如，计算两个独立事件同时发生的概率，可以通过以下公式进行：\[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \]其中，\( P(A \cap B) \) 表示两个事件同时发生的概率，\( P(A) \) 和 \( P(B) \) 分别表示事件A和事件B发生的概率。
2. 数列数列是高中数学中的一个基础概念，它涉及到等差数列、等比数列以及数列的求和等。
例如，等差数列的通项公式为：\[ a_n = a_1 + (n-1)d \]其中，\( a_n \) 表示第n项，\( a_1 \) 表示首项，\( d \) 表示公差。
3. 极限与导数极限是微积分的基础，它描述了函数在某一点附近的行为。
例如，函数 \( f(x) \) 在 \( x = a \) 处的极限可以表示为：\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \]导数则是描述函数在某一点处变化率的工具。
函数 \( f(x) \) 在\( x = a \) 处的导数表示为：\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \]这些答案仅是课程内容的一小部分，具体的习题答案需要根据具体的题目来确定。
在学习过程中，理解概念和原理比单纯记忆答案更为重要。
通过不断的练习和思考，学生可以更好地掌握这些数学知识，并在实际问题中应用它们。
2022年高中数学课时达标检测二十三平面向量数量积的坐标表示模夹角含解析新人教A版必修
课时达标检测（二十三）平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、选择题1．(山东高考)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，若向量a，b的夹角为，则实数m＝( )A．2 B.C．0D．－答案：B2．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于( )A．4 B．2C．8 D．8答案：D3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于( )A. B.C. D.答案：D4．(湖北高考)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)方向上的投影为( )A. B.C．－ D．－答案：A5．已知i与j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( )A．(－∞，－2)∪B.C.∪D.答案：A二、填空题6．已知A(1,2)，B(3,4)，|n|＝，则n|的最大值为________．答案：47.如图，已知点A(1,1)和单位圆上半部分上的动点B________．答案：8．已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是______ __．答案：∪∪三、解答题9．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.解：(1)设c＝(x，y)，∵|c|＝2，∴＝2，∴x2＋y2＝20.由c∥a和|c|＝2，可得解得或故c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0，∴2×5＋3a·b－2×＝0，整理得a·b＝－，∴cos θ＝＝－1.又θ∈[0，π]，∴θ＝π.10(1,7)(5,1)(2,1)，点M为直线OP上的一动点．(1)(2)在(1)的条件下，求cos∠AMB的值．解：(1)(x，y)，∵点M在直线OP上，∴(2,1)．∴x×1－y×2＝0，即x＝2y.(2y，y)(1,7)，(1－2y,7－y)．(5－2y,1－y)．(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)＝5y2－20y＋12.可知当y＝＝28(4,2)．(2)(4,2)，即y＝2时，(－3,5)(1，－1)，＝，＝，(－3)×1＋5×(－1)＝－8.cos∠AMB＝＝＝－.11．设平面向量a＝(cos α，sin α)(0≤α<2π)，b＝，且a与b不共线．(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；(2)若两个向量a＋b与a－b的模相等，求角α.解：(1)证明：由题意知，a＋b＝，a－b＝，∵(a＋b)·(a－b)＝cos2α－＋sin2α－＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．(2)|a|＝1，|b|＝1，由题意知(a＋b)2＝(a－b)2，化简得a·b＝0，∴－cos α＋sin α＝0，∴tan α＝，又0≤α<2π，∴α＝或α＝.。
【拔高教育】2017年高中数学课时达标训练三充分条件与必要条件新人教a版选修2_1
课时达标训练（三）充分条件与必要条件[即时达标对点练]题组1 充分、必要条件的判断1．“数列{a n }为等比数列”是“a n ＝3n (n ∈N *)”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和2x －2ay ＝1平行”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．“sin A ＝12”是“A ＝π6”的__________条件． 题组2 充要条件的证明5．函数y ＝(2－a )x(a <2且a ≠1)是增函数的充要条件是 ( )A ．1< a <2 B.32< a <2 C ．a <1 D ．a <06．求证：一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数的充要条件是b ＝0.题组3 利用充分、必要条件求参数的范围7．一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )A ．a <0B ．a >0C ．a <－1D ．a <18．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与直线mx ＋2y ＝－8互相垂直的充要条件是m ＝________．9．已知M ＝{x |(x －a )2<1}，N ＝{x | x 2－5 x －24<0}，若N 是M 的必要条件，求a 的取值范围．[能力提升综合练]1．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C ．丙是甲的充要条件D ．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件2．设0<x <π2，则“x sin 2x <1”是“x sin x <1 ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．平面α∥平面β的一个充分条件是( )A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a 、b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a 、b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α4．设{a n }是等比数列，则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．不等式(a ＋x )(1＋x )<0成立的一个充分不必要条件是－2< x <－1，则a 的取值范围是________．6．下列命题：①“x >2且y >3”是“x ＋y >5”的充要条件；②b 2－4ac <0是一元二次不等式a x 2＋b x ＋c <0解集为R 的充要条件；③“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的充分不必要条件；④“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0 ”的必要不充分条件．其中真命题的序号为________．7．已知方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．8．已知条件p ：|x －1|>a 和条件q ：2x 2－3x ＋1>0，求使p 是q 的充分不必要条件的最小正整数a .答 案即时达标对点练1. 解析：选B 当a n ＝3n 时，{a n }一定为等比数列，但当{a n }为等比数列时，不一定有a n ＝3n ，故应为必要不充分条件．2. 解析：选A 由a ＋b ＝0可知a ，b 是相反向量，它们一定平行；但当a ∥b 时，不一定有a ＋b ＝0，故应为充分不必要条件．3. 解析：选C 当a ＝0时，两直线方程分别为x ＝1和2x ＝1，显然两直线平行；反之，若两直线平行，必有1×(－2a )＝(－2a )×2，解得a ＝0，故应为充要条件．4. 解析：由sin A ＝12不一定能推得A ＝π6，例如A ＝5π6等；但由A ＝π6一定可推得sin A ＝12，所以“sin A ＝12”是“A ＝π6”的必要不充分条件．答案：必要不充分5. 解析：选C 由指数函数性质得，当y ＝(2－a )x(a <2且a ≠1)是增函数时，2－a >1，解得a <1.故选C.6. 证明：①充分性：如果b ＝0，那么f (x )＝kx ，因为f (－x )＝k (－x )＝－kx ，即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．②必要性：因为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )对任意x 均成立，即k (－x )＋b ＝－kx ＋b ，所以b ＝0.综上，一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数的充要条件是b ＝0.7. 解析：选C ∵一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一正根和一负根．由于{a|a<－1}{a|a<0}，故选C .8. 解析：x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与mx ＋2y ＝－8互相垂直⇔1·m ＋(m ＋1)·2＝0⇔m ＝－23. 答案：－239. 解：由(x －a )2<1，得a －1<x <a ＋1，由x 2－5 x －24<0，得－3<x <8.∵N 是M 的必要条件，∴M ⊆N .故a 的取值范围为[－2，7]．能力提升综合练1. 解析：选A 因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙丙， 如图．综上，有丙⇒甲，但甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．2. 解析：选B 因为0< x <π2，所以0<sin x <1.由x ·sin x <1知x sin 2x <sin x <1，因此必要性成立．由x sin 2x <1得x sin x < ，而>1，因此充分性不成立．3. 解析：选D 当满足A 、B 、C 三个选项中的任意一个选项的条件时，都有可能推出平面α与β相交，而得不出α∥β，它们均不能成为α∥β的充分条件．只有D 符合．4. 解析：选C { a n }为等比数列，a n ＝a 1·q n －1，由a 1<a 2<a 3，得a 1<a 1 q <a 1 q 2，即a 1>0，q >1或a 1<0，0< q <1，则数列{ a n }为递增数列．反之也成立．5. 解析：根据充分条件，必要条件与集合间的包含关系，应有(－2，－1){ x |( a ＋x )(1＋x )<0}，故有a >2.答案：(2，＋∞)6. 解析：①x >2且y >3时，x ＋y >5成立，反之不一定，如x ＝0，y ＝6.所以“x >2且y >3”是“x ＋y >5”的充分不必要条件；②不等式解集为R 的充要条件是a <0且b 2－4ac <0，故②为假命题；③当a ＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则a 1＝21，∴a ＝2.因此，“a ＝2”是“两直线平行”的充要条件；④lg x ＋lg y ＝lg(xy )＝0，∴xy ＝1且x >0，y >0.所以“lg x ＋lg y ＝0”成立，xy ＝1必然成立，反之不然．因此“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0”的必要不充分条件．综上可知，真命题是④.答案：④7. 解：令f (x )＝x 2＋(2k －1)x ＋k 2，则方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0有两个大于1的实数根 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2k －1）2－4k 2≥0，－2k －12>1，f （1）>0⇔k <－2. 因此k <－2是使方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0有两个大于1的实数根的充要条件．8. 解：依题意a >0.由条件p ：|x －1|>a ，得x －1<－a 或x －1>a ，∴x <1－a 或x >1＋a .由条件q ：2x 2－3x ＋1>0，得x <12或x >1. 要使p 是q 的充分不必要条件，即“若p ，则q ”为真命题，逆命题为假命题，应有⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤12，1＋a >1或⎩⎪⎨⎪⎧1－a <12，1＋a ≥1，解得a ≥12.令a ＝1，则p ：x <0或x >2， 此时必有x <12或x >1. 即p ⇒q ，反之不成立．∴最小正整数a ＝1.。
两条直线平行和垂直的判定3种常见考法归类(50题)(教师版)2025学年高二数学(人教A版选修一)
专题2.1.2 两条直线平行和垂直的判定3种常见考法归类（50题）题型一 两条直线平行的判定及应用（一）两条直线平行的概念辨析（二）两条直线平行关系的判定（三）已知两条直线平行求参数题型二 两条直线垂直的判定及应用（一）两条直线垂直的概念辨析（二）两条直线垂直关系的判定（三）已知两直线垂直求参数题型三 直线平行、垂直的判定在几何中的应用对于两条不重合的直线12121212对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点(1)1212l l k k ⇔= 成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②1l 与2l 不重合．(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，1l 与2l 的倾斜角都是90 ，则12l l .(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：1212l l k k ⇔=或1l ，2l 斜率都不存在.题型一 两条直线平行的判定及应用（一）两条直线平行的概念辨析1．（2024·高二课时练习）下列说法正确的是（ ）A ．两条直线的斜率相等是这两条直线平行的充要条件B ．两条直线的倾斜角不相等是这两条直线相交的充要条件C ．两条直线平行是这两条直线的倾斜角相等的充要条件D ．两条直线平行是这两条直线的法向量平行的充要条件【答案】B【分析】根据直线平行和相交的条件依次判断即可.【详解】当两条直线的斜率相等且截距也相等时，两直线重合，故A 错误；的倾斜角不相等，则两直线必定相交，反之也成立，故B 正确；倾斜角相等时，两直线可能重合，故C 错误；法向量平行时，两直线可能重合，故D 错误.故答案为：B2．（2024·北京·高二人大附中校考期中）若1l 与2l 为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为1a ，2a ，斜率分别为1k ，2k ，则下列命题①若12l l ∥，则斜率12k k =； ②若斜率12k k =，则12l l ∥；③若12l l ∥，则倾斜角12a a =；④若倾斜角12a a =，则12l l ∥，其中正确命题的个数是（ ）.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】根据两条直线平行的判定方法与结论即可判断．【详解】由于1l 与2l 为两条不重合的直线且斜率分别为1k ，2k ，所以1212l l k k ⇔= ，故①②正确；由于1l 与2l 为两条不重合的直线且倾斜角分别为1a ，2a ，所以12l l ∥⇔12a a =，故③④正确，所以正确的命题个数是4．故选：D ．3．【多选】（2024·新疆喀什·高二新疆维吾尔自治区喀什第六中学校考期中）若1l 与2l 为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（ ）A ．若12//l l ，则它们的斜率相等B ．若1l 与2l 的斜率相等，则12//l l C ．若12//l l ，则它们的倾斜角相等D ．若1l 与2l 的倾斜角相等，则12//l l 【答案】BCD【分析】由两直线斜率不存在可知A 错误；根据两直线平行与斜率和倾斜角的关系可知BCD 正确.【详解】对于A ，当1l 和2l 倾斜角均为2p 时，12//l l ，但两直线斜率不存在，A 错误；对于B ，若1l 和2l 斜率相等，则两直线倾斜角相等，可知12//l l ，B 正确；对于C ，若12//l l ，可知两直线倾斜角相等，C 正确；对于D ，若两直线倾斜角相等，则两直线斜率相等或两直线斜率均不存在，可知12//l l ，D 正确.故选：BCD.（二）两条直线平行关系的判定解题策略：1．判断两条不重合的直线是否平行的步骤2.两条直线平行的判定及应用k 1＝k 2⇔l 1∥l 2是针对斜率都存在且不重合的直线而言的，对于斜率不存在或可能不存在的直线，要注意利用图形． 4．（2024·江苏·高二假期作业）判断下列各题中直线1l 与2l 是否平行．(1)1l 经过点(1,2)A --，(2,1)B ，2l 经过点(3,4)M ，(1,1)N --；(2)1l 经过点(3,2)A -，(3,10)B -，2l 经过点(5,2)M -，(5,5)N ．【答案】(1)不平行(2)平行【分析】（1）求出1l k 、2l k ，即可判断；（2）求出1l 、2l 的方程，即可判断.【详解】（1）因为1l 经过点(1,2)A --，(2,1)B ，所以121112l k --==--，又2l 经过点(3,4)M ，(1,1)N --，所以2145134l k --==--，因为12l l k k ¹，所以1l 与2l 不平行；（2）直线1l 经过点(3,2)A -，(3,10)B -的方程为3x =-，直线2l 经过点(5,2)M -，(5,5)N 的方程为5x =，故直线1l 和直线2l 平行；5.（2023·江苏·高二假期作业）判断下列各组直线是否平行，并说明理由．(1)1l 经过点(2,3),(4,0)A B -，2l 经过点(3,1),(2,2)M N --；(2)1l 的斜率为10-，2l 经过点(10,2),(20,3)A B .【答案】(1)不平行，理由见解析(2)不平行，理由见解析【详解】（1）设直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，因为1l 经过点(2,3),(4,0)A B -，2l 经过点(3,1),(2,2)M N --，所以13012(4)2k -==--，21213(2)k -==---，所以12k k ¹，所以1l 与2l 不平行；（2）设直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，则110k =-，因为2l 经过点(10,2),(20,3)A B ，所以2321201010k -==-，所以12k k ¹，所以1l 与2l 不平行.6．（2024·高二课前预习）根据下列给定的条件，判定直线1l 与直线2l 是否平行或重合：（1）1l 经过点()2,3A ，()4,0B -；2l 经过点()3,1M -，()2,2N -；( )（2）1l 的斜率为12-，2l 经过点()4,2A ，()2,3B ；()（3）1l 平行于y 轴，2l 经过点()0,2P -，()0,5Q ；()（4）1l 经过点()0,1E ，()2,1F --，2l 经过点()3,4G ，()2,3H ．( )【答案】不平行平行或重合平行重合【分析】根据过两点的直线的斜率公式，计算直线的斜率，根据斜率的关系，并注意直线是否重合，可判断（1）（2）（4）；当两直线斜率都不存在时，看它们是否重合，即可判断（3）.【详解】（1）()301242AB k -==--，()21123MN k -==---，AB MN k k ¹，所以1l 与2l 不平行．（2）1l 的斜率112k =-，2l 的斜率2321242k -==--，即12k k =，无法判断两直线是否重合，所以1l 与2l 平行或重合．（3）由题意，知1l 的斜率不存在，且不是y 轴，2l 的斜率也不存在，恰好是y 轴，所以12l l //．（4）由题意，知11120EF k --==--，34123GH k -==-，所以1l 与2l 平行或重合．需进一步研究E ，F ，G ，H 四点是否共线，()()41132FG k --==--．所以E ，F ，G ，H 四点共线，所以1l 与2l 重合．7.（2023·全国·高二专题练习）判断下列不同的直线1l 与2l 是否平行.（1）1l 的斜率为2，2l 经过()1,2A ，()4,8B 两点；（2）1l 经过()3,3P ，()5,3Q -两点，2l 平行于x 轴，但不经过P ，Q 两点；（3）1l 经过()1,0M -，()5,2N --两点，2l 经过()4,3R -，()0,5S 两点．【答案】（1）平行；（2）平行；（3）平行.【详解】（1）2l 经过()1,2A ，()4,8B 两点，则282241l k -==-，则12l l k k =，可得两直线平行.（2）1l 经过()3,3P ，()5,3Q -两点，可得1l 平行于x 轴，2l 平行于x 轴，但不经过P ，Q 两点，所以12l l //；（3）1l 经过()1,0M -，()5,2N --两点，1021152l k +==-+，2l 经过()4,3R -，()0,5S 两点，则2351402l k -==--，所以12l l //.8.（23-24高二·江苏·课后作业）分别根据下列各点的坐标，判断各组中直线AB 与CD 是否平行：(1)()3,1A -，()1,1B -，()3,5C -，()5,1D ；(2)()2,4A -，()4B -，()0,1C ，()4,1D ；(3)()2,3A ，()2,1B -，()1,4C -，()11D -,；(4)()1,2--A ，()2,1B ，()3,4C ，()1,1D --．【答案】(1)平行(2)平行(3)平行(4)不平行【分析】（1）求出AB ，CD ，BC 斜率，再判断两直线不重合得平行；（2）由斜率相等，及不重合得结论；（3）由两直线斜率都不存在，且不重合得平行；（4）由斜率不相等得不平行．【详解】（1）1113(1)2AB k --==---，511352CD AB k k -==-=--，5123(1)BC k -==----，,,A B C 不共线，因此AB 与CD 平行．（2）0AB k =，0CD k =，又两直线不重合，直线AB 与CD 平行，（3）直线AB ，CD 的斜率都不存在，且不重合，因此平行；（4）21112AB k --==--,145134CD AB k k --==¹--，直线AB 与CD 不平行，9.（23-24高二上·福建泉州·期末）记平面直角坐标系内的直线1l 、2l 与x 轴正半轴方向所成的角的正切值分别为1k 、2k ，则“12l l //”是“12k k =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【答案】A【分析】根据直线的位置关系结合充分、必要条件分析判断.【详解】由题意可知：12,k k 已经存在，若1l ∥2l ，则12k k =，即充分性成立；若12k k =，则12,l l 可能重合，即必要性均不成立；综上所述：“12l l //”是“12k k =”的充分不必要条件.故选：A ．10．（2024·高二课时练习）过点()1,2A 和点()1,2B -的直线与直线3y =的位置关系是（ ）A ．相交B ．平行C ．重合D ．以上都不对【答案】B【分析】先求出直线方程，再结合斜率直接判断两直线位置关系即可.【详解】过点()1,2A 和点()1,2B -的直线方程为2y =，斜率为0，又因为直线3y =斜率为0，所以两直线平行.故选：B11．（2024·全国·高二专题练习）判断(1,3),(3,7),(4,9)A B C 三点是否共线，并说明理由．【答案】共线，理由见解析.【分析】根据直线斜率公式进行求解即可.【详解】这三点共线，理由如下：由直线斜率公式可得：73932,23141AB AC k k --====--，直线,AB AC 的斜率相同，所以这两直线平行，但这两直线都通过同一点(1,3)A ，所以这三点共线.（三）已知两条直线平行求参数解题策略:利用斜率公式解决两直线平行问题解决这类问题的关键是充分利用几何图形的性质，并将该性质用式子表示出来，最后解决问题．这里就是利用两直线平行与斜率的关系求解的．12．（2024·广东广州·高二广州市培正中学校考期中）已知直线1l 的倾斜角为30°，直线12l l //，则直线2l 的斜率为（ ）A B ．C D ．【答案】C【分析】利用直线的斜率公式与直线平行的性质求解即可.【详解】因为直线1l 的倾斜角为30°，所以1tan 30l k =°=，又12l l //，所以21l l k k ==故选：C.13．（2024·江苏·高二假期作业）已知过(2,)A m -和(,4)B m 的直线与斜率为－2的直线平行，则m 的值是（ ）A ．－8B ．0C ．2D ．10【答案】A【分析】由两点的斜率公式表示出直线AB 的斜率AB k ，再由两直线平行斜率相等列出等式，即可解出答案.【详解】由题意可知，422AB mk m -==-+，解得8m =-．故选：A14.（2024秋·河南濮阳·高二校考阶段练习）若直线1l 与直线2l 平行，直线1l 的斜率为2l 的倾斜角为___________.【答案】56p【详解】解：因为直线1l 与直线2l 平行，直线1l 的斜率为所以直线2l 的斜率与直线1l 的斜率相等，即直线2l 的斜率为设直线2l 的倾斜角为()0a a p £<，则tan a =所以56p a =，即直线2l 的倾斜角为56p ，故答案为：56p.15．（2024·江苏·高二假期作业）已知直线1l 的倾斜角为45°，直线2l 的斜率为23k m =-，若1l ∥2l ，则m 的值为________．【答案】2±/2或2-/2-或2【分析】由直线倾斜角由斜率的关系可知直线1l 的斜率为1tan 45k =°，再由两直线平行，斜率相等列出等式，即可求出答案.【详解】由题意知23tan 45m -=°，解得2m =±.故答案为：2±16.（23-24高二上·全国·课后作业）已知A (－2，m )，B (m ，4)，M (m ＋2，3)，N (1，1)，若AB ∥MN ，则m 的值为 .【答案】0或1【分析】分当直线AB 的斜率不存在，直线MN 的斜率不存在及两直线的斜率都存在时进行求解即可，注意检验下两直线不重合.【详解】解：当m ＝－2时，直线AB 的斜率不存在，而直线MN 的斜率存在，MN 与AB 不平行，不合题意；当m ＝－1时，直线MN 的斜率不存在，而直线AB 的斜率存在，MN 与AB 不平行，不合题意；当m ≠－2，且m ≠－1时，k AB ＝44(-2)2m mm m ---+，k MN ＝312211m m -+-+.因为AB ∥MN ，所以k AB ＝k MN ，即4221m m m -++＝，解得m ＝0或m ＝1. 当m ＝0或1时，由图形知，两直线不重合. 综上，m 的值为0或1.故答案为：0或117.（2024高三上·广东·学业考试）已知直线12l l //，它们的斜率分别记作12,k k ，若12,k k 是方程2210x ax ++=的两个根，则a 的值（ ）A ．1B ．1-C ．1或1-D ．无法确定【答案】C【分析】利用直线平行得到12k k =，从而得到二次方程判别式为零，由此得解.【详解】因为12l l //，所以12k k =，因为12,k k 是方程2210x ax ++=的两个根，所以2440a D =-=，解得1a =±.故选：C.1-，那么它们互相垂直，即12121l l k k ⊥⇔⋅=-.对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点(1)12121l l k k ⊥⇔⋅=-成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②10k ¹且20k ¹.(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．(3)判定两条直线垂直的一般结论为：12121l l k k ⊥⇔⋅=-或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．题型二 两条直线垂直的判定及应用（一）两条直线垂直的概念辨析18．【多选】（2024·高二课时练习）下列说法中，正确的有（ ）A ．斜率均不存在的两条直线可能重合B ．若直线12l l ⊥，则这两条直线的斜率的乘积为1-C ．若两条直线的斜率的乘积为1-，则这两条直线垂直D ．两条直线12,l l ，若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，则12l l ⊥【答案】ACD【分析】利用直线重合与垂直的性质，同时考虑直线斜率不存在的情况，对选项逐一分析判断即可.【详解】对于A ，若12:0:2,0l l x x ==，则12,l l 斜率均不存在，但两者重合，故A 正确；对于BD ，若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，则这两条直线互相垂直，但此时乘积不为1-，故B 错误；D 正确；对于C ，根据直线垂直的性质可知，两直线的斜率存在，且乘积为1-时，这两条直线垂直，故C 正确.故选：ACD.19．【多选】（2024·高二课时练习）下列说法中正确的有（ ）A ．若两直线平行，则两直线的斜率相等B ．若两直线的斜率相等，则两直线平行C ．若两直线的斜率乘积等于1-，则两直线垂直D ．若两直线垂直，则两直线的斜率乘积等于1-【答案】BC【分析】根据直线斜率与位置关系的相关知识直接判断即可.【详解】对于A ，两直线平行，可以是斜率都不存在，所以A 错误；对于B ，若两直线的斜率相等，则两直线平行，所以B 正确；对于C ，若两直线的斜率乘积等于1-，则两直线垂直，故C 正确；对于D ，若两直线垂直，可能是一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在，则不是两直线的斜率乘积等于1-，故D 错误；故选：BC20．【多选】（2024·山东济南·高二校考期中）若1l 与2l 为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是12,a a ，斜率分别为12,k k ，则下列命题正确的是（ ）A ．若斜率12k k =，则 12l l ∥B ．若121k k =-，则12l l ⊥C ．若倾斜角12a a =，则 12l l ∥D ．若12πa a +=，则12l l ⊥【答案】ABC【分析】根据两直线倾斜角和斜率与直线平行和垂直的关系分别判断选项ABC ，举反例可判断D.【详解】对于A, 若两直线斜率12k k =，则它们的倾斜角12a a =，则12l l ∥，正确；对于B ，由两直线垂直的条件可知，若121k k =-，则12l l ⊥，正确；对于C,由两直线平行的条件可知，若倾斜角12a a =，则 12l l ∥，正确；对于D, 若12πa a +=，不妨取12π2π33,a a ==，则1122tan tan k k a a ====121k k =-，12,l l 不垂直，D 错误，故选：ABC21.（2024·上海长宁·高二上海市第三女子中学校考期中）“两条直线的斜率乘积为1-”是“两条直线互相垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A【详解】当两条直线斜率乘积为1-时，两条直线互相垂直，充分性成立；当两条直线互相垂直时，其中一条直线可能斜率不存在，必要性不成立；\“两条直线的斜率乘积为1-”是“两条直线互相垂直”的充分不必要条件.故选：A.（二）两条直线垂直关系的判定解题策略：1.使用斜率判定两条直线垂直的注意事项(1)直线垂直只有两种情形，即一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0和k 1k 2＝－1.(2)当点的坐标中含有参数时，需注意两点连线的斜率是否存在．2.利用斜率公式来判定两直线垂直的方法(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步．(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．(3)三求：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论． 22．【多选】（2024·浙江杭州·高二杭师大附中校考期中）下列直线12,l l 互相垂直的是（ ）A ．1l 的斜率为23-，2l 经过点(1,1)A ，10,2B æö-ç÷èøB ．1l 的倾斜角为45°，2l 经过点(2,1),(3,6)P Q ---C ．1l 经过点(1,0),(4,5)M N -，2l 经过点(6,0),(1,3)R S --D ．1l 的斜率为2，2l 经过点(1,2),(4,8)U V 【答案】ABC【分析】由倾斜角与斜率的关系求出直线斜率，由两点坐标求出直线斜率，分别判断两直线斜率之积是否为1-，从而可选出正确答案.【详解】2l 的斜率为1132012k --==-，因为23132-´=-，所以12l l ⊥成立，故A 正确；1l 的斜率为1tan 451k =°=，2l 的斜率为()()26151325----===---k ，由121k k =-，则12l l ⊥成立，故B 正确；1l 的斜率为155413k -==--，2l 的斜率为()2303165k -==---，由121k k =-则12l l ⊥成立，故C 正确；2l 的斜率为82241k -==-，由221´¹-，所以12l l ⊥不成立，故D 错误.故选：ABC ．23．（2024·江苏·高二假期作业）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由．(1)1l 经过点(3,4),(1,3),A B --2l 经过点(4,3),(3,1)M N --；(2)1l 经过点(3,4),(3,10),A B 2l 经过点(10,40),(10,40)M N -．【答案】(1)不垂直，理由见解析(2)垂直，理由见解析【分析】（1）由题知直线1l ，2l 的斜率存在，分别计算出1l 、2l 的斜率，即可判断（1）组直线不垂直；（2）由题知1l x ⊥轴，2l x 轴，即可判断（2）组直线垂直.【详解】（1）由题知直线1l ，2l 的斜率存在，分别设为12,k k ，()()1347134k --==--，()()2134347k --==--，121k k \⋅=，∴1l 与2l 不垂直．（2）由题意知1l 的倾斜角为90°，则1l x ⊥轴；由题知直线2l 的斜率存在，设为3k ，34040010(10)k -==--，则2l x 轴，∴12l l ⊥．24．（2024·广东·高二校联考阶段练习）判断下列直线1l 与2l 是否垂直：(1)1l 的倾斜角为2π3，2l 经过(4,M -，(5,N 两点；(2)1l 的斜率为32-，2l 经过()3,2P -，()6,4Q -两点；(3)1l 的斜率为13-，2l 的倾斜角为a ，a 为锐角，且3tan 24a =-.【答案】(1)12l l ⊥(2)1l 与2l 不垂直(3)12l l ⊥【分析】（1）1l 的斜率为2πtan3=2l 的斜率，判断斜率的乘积是否为1-即可；（2）根据过两点的斜率公式可求2l 的斜率，判断斜率的乘积是否为1-即可；（3）根据二倍角的正切公式求出tan a 的值，判断斜率的乘积是否为1-即可.（1）因为1l 的倾斜角为2π3，所以1l 的斜率为2πtan 3=.因为2l 经过(4,M -，(5,N 两点，所以2l =因为1=-，所以12l l ⊥.（2）因为2l 经过()3,2P -，()6,4Q -两点，所以2l 的斜率为()422633--=---.因为1l 的斜率为32-，且32123æö-´-¹-ç÷èø，所以1l 与2l 不垂直.（3）记2l 的斜率为k ，因为3tan 24a =-，所以22314k k =--，解得3k =或13k =-.因为a 为锐角，所以3k =.因为1l 的斜率为13-，且1313æö´-=-ç÷èø，所以12l l ⊥.25．（2024·福建三明·高二校联考期中）已知直线1l 经过()3,2A -，()1,2B -两点，直线2l 倾斜角为45°，那么1l 与2l （ ）A ．平行B ．垂直C ．重合D ．相交但不垂直【答案】B【分析】根据两点求出直线1l 的斜率，根据倾斜角求出直线2l 的斜率，可知斜率乘积为1-，从而得到垂直关系.【详解】由题意可得：直线1l 的斜率()122131k --==---，直线2l 的斜率2tan451k =°=，∵121k k =-，则1l 与2l 垂直.故选：B.26.【多选】（2024·广西柳州·高二校考阶段练习）若()4,2A -，()6,4B -，()12,6C ，()2,12D ，下面结论中正确的是（ ）A ．//AB CDB ．AB AD ⊥C ．AC BD =D ．//AC BD 【答案】ABC 【详解】423645AB k --==-+，12632125CD k -==--，且C 不在直线AB 上，∴//AB CD ，故A 正确；又∵1225243AD k -==+，∴1AB AD k k ⋅=-，∴AB AD ⊥，故B 正确；∵()16,4AC =uuu r ，()4,16BD =-uuu r ，∴AC =，BD =，∴AC BD =，故C 正确；又∵6211244AC k -==+，124426BD k +==--，∴1AC BD k k =-⋅∴AC BD ⊥，故D 错误．故选:ABC ．27．【多选】（2024·江苏·高二假期作业）以(1,1),(2,1),(1,4)A B C --为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ）A ．23AB k =-B ．14BC k =-C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形【答案】AC【分析】对于AB ，利用斜率公式计算判断，对于C ，通过计算AB AC k k ⋅判断，对于D ，通过计算AB BC k k ⋅判断.【详解】对于A ，因为(1,1),(2,1)A B --，所以1(1)2123AB k --==---，所以A 正确，对于B ，因为(2,1),(1,4)B C -，所以1415214BC k --==-¹--，所以B 错误，对于C ，因为23AB k =-，143112AC k -==--，所以22133AB AC k k ⋅=-´=-，所以AB AC ⊥，所以ABC V 以A 点为直角顶点的直角三角形，所以C 正确，对于D ，因为23AB k =-，5BC k =-，所以1AB BC k k ⋅¹-，所以D 错误，故选：AC28.（2024·全国·模拟预测）已知两条直线1l 和2l ，其斜率分别是一元二次方程220241k k +=的两不等实数根，则其位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．重合D ．异面【答案】B【分析】由斜率乘积判断两直线的位置关系可得．【详解】由题意，设两条直线1l 和2l 的斜率分别为12,k k ，且为一元二次方程22024 1 k k +=的两不等实数根，则211k k ⋅=-，所以12l l ⊥.故选：B 29．（2024·上海奉贤·高二校考阶段练习）已知直线12,l l 的斜率是方程220x px --=的两个根，则（ ）A ．12l l ⊥B ．12//l l C ．1l 与2l 相交但不垂直D ．1l 与2l 的位置关系不确定【答案】C【分析】由122k k =-可知两直线不垂直，且12k k ¹知两直线不平行，由此可得结论.【详解】设直线12,l l 的斜率为12,k k ，则122k k =-，121k k ¹-Q ，12,l l \不垂直，A 错误；若12k k =，则21210k k k =³，与122k k =-矛盾，12k k \¹，12,l l \不平行，B 错误；12,l l Q 不平行，也不垂直，12,l l \相交但不垂直，C 正确，D 错误.故选：C.（三）已知两直线垂直求参数解题策略：解决由垂直关系求参数问题的思路由两条直线垂直求参数的值，一般的解题思路是利用斜率的坐标公式表示出斜率，令斜率之积为-1求解,但在解题过程中要注意讨论直线与x 轴垂直的情况,此时一条直线的斜率为零，另一条直线的斜率不存在.对于斜率不存在的直线，可令直线上两点的横坐标相等,即可求解30.（2023·全国·高二专题练习）过点(,1)A m ，(1,)B m -的直线与过点(1,2)P ，(5,0)Q -的直线垂直，则m 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．12D ．12-【答案】A【详解】两条直线垂直，则：120111(5)m m --´=-+--，解得2m =-，故选：A ．31．（2024·甘肃兰州·高二兰州五十九中校考开学考试）已知经过点()2,0A -和点()1,3B a 的直线1l 与经过点()0,1P -和点(),2Q a a -的直线2l 互相垂直，则实数a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．0或1D ．1-或1【答案】C【分析】求出直线1l 的斜率为1k a =，分0a ¹、0a =两种情况讨论，在0a ¹时，由两直线斜率之积为1-可求得实数a 的值；在0a =时，直接验证12l l ⊥.综合可得结果.【详解】直线1l 的斜率()13012a k a -==--．①当0a ¹时，直线2l 的斜率()221120a a k a a----==-．因为12l l ⊥，所以121k k =-，即121a a a -⋅=-，解得1a =．②当0a =时，()0,1P -、()0,0Q ，此时直线2l 为y 轴，又()2,0A -、()10B ,，则直线1l 为x 轴，显然12l l ⊥．综上可知，0a =或1.故选：C.32.（2024·黑龙江佳木斯·高二富锦市第一中学校考阶段练习）已知直线1l 经过()3,7A ，()2,8B 两点，且直线21l l ⊥，则直线2l 的倾斜角为（ ）A ．30°B ．45°C ．135°D ．150°【答案】B【详解】设直线2l 的倾斜角为a ，因为直线1l 的斜率178132l k -==--，由12l l ⊥，得121l l k k ⋅=-，所以21l k =，即tan 1a =，又0180a °£<°，则45a =°，所以直线2l 的倾斜角为45°．故选：B ．33．（2024·高二课时练习）已知直线l 的倾斜角为135°，直线1l 经过点(3,2)A ，(,1)B a -，且1l 与l 垂直，直线22:1l y x b=-+与直线1l 平行，则a b +等于（ ）A ．4-B ．2-C ．0D ．2【答案】B【分析】由直线l 的倾斜角为135°，1l 与l 垂直可得1l k ，再由直线2l 与直线1l 平行求得b ，由1l 过,A B 求得a ，进而求a b +.【详解】由题意知：tan1351l k =°=-，而1l 与l 垂直，即11l k =，又直线22:1l y x b =-+与直线1l 平行，则21b-=，故2b =-，又1l 经过点(3,2)A ，(,1)B a -，则11213l k a --==-，解得0a =，所以2a b +=-.故选：B.34.（23-24高二上·甘肃兰州·阶段练习）若直线1l 与2l 的斜率1k 、2k 是关于k 的方程224k k b --=的两根，若12l l ⊥，则b =（ ）A ．2B ．－2C ．0D ．－4【答案】B【分析】由直线垂直得121k k =-，结合韦达定理得参数值．【详解】12121l l k k ⊥Þ=-，方程224k k b --=为2240k k b ++=，所以1212b k k ==-，2b =-，此时1680b D =->满足题意．故选：B ．35．（2024·青海海东·高二校考期中）已知点()2,2A -，()6,4B ，()5,2H ，H 是ABC V 的垂心．则点C 的坐标为（ ）A ．()6,2B ．()2,2-C ．()4,2--D ．()6,2-【答案】D【分析】先设点C 的坐标,再求出直线BH AH ，的斜率，则可求出直线AC 的斜率和直线BC 的倾斜角，联立方程组求出C 的坐标；【详解】设C 点标为(),x y ，直线AH 斜率22052AH k -==+，∴BC AH ⊥，而点B 的横坐标为6，则6x =，直线BH 的斜率42265BH k -==-，∴直线AC 斜率21622AC y k -==-+，∴=2y -，∴点C 的坐标为(6,2)-．故选:D .36.（2024·甘肃武威·高二民勤县第一中学校考开学考试）已知三角形三个顶点的坐标分别为()4,2A ，()1,2B -，()2,4C -，则BC 边上的高的斜率为（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【答案】C【详解】()1,2B -Q ，()2,4C -，()42221BC k --\==---设BC 边上的高的斜率为k ，则1BC k k ⋅=-，12k \=故选：C37.（2024·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末）已知点()1,1A 和()2,4B ，点P 在y 轴上，且APB Ð为直角，则点P 坐标为（ ）A ．()0,2B ．()0,2或()0,3C ．()0,2或()0,4D ．()0,3【答案】B【详解】由题意，设点()0,P y ，APB ÐQ 为直角，AP BP \⊥，由141,12AP BP y y k y k --==-=，()4112AP BP y k k y -æö\⋅=-=-ç÷èø，解得3y =或2，所以点P 的坐标为()0,2或()0,3故选：B38．（2024·江苏·高二假期作业）已知两点(2,0)A ，(3,4)B ，直线l 过点B ，交y 轴于点(0,)C y ，O 是坐标原点，且O ，A ，B ，C 四点共圆，那么y 的值是________．【答案】194/4.75【分析】由题易知OC OA ⊥，即AC 为圆的直径，即AB BC ⊥,由1AB BC k k ⋅=-列出方程，即可求出答案.【详解】由题易知OC OA ⊥，即AC 为圆的直径，即AB BC ⊥,∴1AB BC k k ⋅=-，即40413230y--´=---，解得194y =．故答案：194.39．（2024·江苏·高二假期作业）已知()1,1M -，()2,2N ，()3,0P ．(1)求点Q 的坐标，满足PQ MN ⊥，PN MQ ∥；(2)若点Q 在x 轴上，且NQP NPQ Ð=Ð，求直线MQ 的倾斜角．【答案】(1)()0,1Q (2)90°【分析】（1）根据两直线的垂直关系和平行关系即可求出结果；（2）根据条件可得NQ NP k k =-即可求出结果.【详解】（1）设(,)Q x y ，由已知得2(1)321MN k --==-，又PQ MN ⊥，可得1MN PQ k k ⋅=-，即31(3)3yx x ´=-¹-． ①由已知得02232PN k -==--，又PN MQ ∥，可得PN MQ k k =，即()1211y x x +=-¹-． ②联立①②解得0,1x y ==，∴(0,1)Q ．（2）设(,0)Q x ，∵NQP NPQ Ð=Ð，∴NQ NP k k =-，又∵22NQ k x =-，2NP k =-，∴222x=-，解得1x =．∴(1,0)Q ，又∵(1,1)M -，∴MQ x ⊥轴，故直线MQ 的倾斜角为90°．40．【多选】（2024·广西贵港·高二校考阶段练习）已知等腰直角三角形ABC 的直角顶点为()3,3C ，点A 的坐标为()0,4，则点B 的坐标可能为（ ）A ．()2,0B ．()6,4C ．()4,6D ．()0,2【答案】AC【分析】根据三角形ABC 为等腰直角三角形列方程组，即可求解.【详解】设(),B x y ，由题意可得=，可化为()()22360 3310x y x y --=ìïí-+-=ïî，解得:20x y =ìí=î或46x y =ìí=î，即()2,0B 或()4,6B ．故选：AC题型三 直线平行、垂直的判定在几何中的应用解题策略：1.利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤2.平行和垂直的综合应用(1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定．(2)由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形．41．（2024·全国·高二期中）已知5,111(),()2)3,(A B C -，，三点，则△ABC 为__________ 三角形.【答案】直角【分析】根据直线斜率关系即得.【详解】如图，猜想,AB BC ABC ⊥V 是直角三角形，由题可得边AB 所在直线的斜率12AB k =-,边BC 所在直线的斜率2BC k =，由1AB BC k k =-，得,AB BC ⊥即90ABC Ð= ，所以ABC V 是直角三角形.故答案为：直角.42．（2024·河南商丘·高二校联考期中）若()5,1A -，()1,1B ，()2,3C ，则ABC V 的外接圆面积为______．【答案】254p【分析】由斜率得AB BC ⊥，从而可得AC 是直角三角形的斜边，也是ABC V 的外接圆的直径，求得AC 长后得圆半径，从而得圆面积．【详解】111512--==--AB k ，31221BC k -==-，1AB BC k k ⋅=-，∴AB BC ⊥，AC 是直角三角形的斜边，也是ABC V 的外接圆的直径，5=，外接圆半径为522AC r ==，圆表面积为22544()252S r p p p ==´=．故答案为：254p ．43．（2024·高二课时练习）以(2,1),(4,2),(2,6),(3,1)A B C D ---为顶点的四边形是（ ）A ．平行四边形，但不是矩形B ．矩形C ．梯形，但不是直角梯形D ．直角梯形【答案】D【分析】先在坐标系内画出ABCD 点，再根据对边和邻边的位置关系判断四边形ABCD 的形状.【详解】在坐标系中画出ABCD 点，大致如上图，其中11622,2,,//3224AD BC AD BC k k k k AD BC +-==-==-\=-+-，211,1,422AB AB BC k k k AB BC +===-⊥+g ，==所以四边形ABCD 是直角梯形；故选：D.44.（2024高二上·全国·专题练习）已知四边形MNPQ 的顶点()()()()1,1,3,1,4,0,2,2M N P Q -，则四边形MNPQ 的形状为.【答案】矩形【分析】分别求出直线,,,MN PQ MQ NP 的斜率，根据斜率判断对应直线得位置关系，即可得出结论.【详解】解：()11201,11324MN PQ k k ---==-==---Q ，且P 不在直线MN 上，//MN PQ \.又()01211,12143MQ NP k k ---====--Q ，且N 不在直线上，//MQ NP \，\四边形MNPQ 为平行四边形.又1,MN MQ k k MN MQ ⋅=-\⊥Q .\平行四边形MNPQ 为矩形.故答案为：矩形.45.（2024·山东滨州·高一校考阶段练习）已知点()4,3A -，()2,5B ，()6,3C ，()3,0D -，试判定四边形ABCD的形状．【答案】直角梯形【详解】由斜率公式可得：5312(4)30313630333(4)351622AB CDADBC k k k k -==---==---==-----==--AB CD k k =，//AD BCAB CDk k \¹Q AD \与BC 不平行又1(3)13AB AD k k ⋅=´-=-Q ，AB AD \⊥，故四边形ABCD 是直角梯形．46．（2024·高二课时练习）（拓广探索）在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为(0,0)O ，(1,)P t ，(12,2)Q t t -+，(2,2)R t -，其中0t >．则四边形OPQR 的形状为______.【答案】矩形【分析】根据点的坐标计算斜率，利用斜率相等得到直线平行，再根据矩形的判定，即可得到答案；【详解】由斜率公式得010Op t k t -==-，RQ 2(2)2(12)1t t k t t t -+-===----，20120OR k t t-==---，PQ 2211212t t k t t t +-===----，所以OP RQ k k =，QR PQ k k =，从而//OP RQ ，//OR PQ ．所以四边形OPQR 为平行四边形．又1OP QR k k ⋅=-，所以OP OR ⊥，故四边形OPQR 为矩形．故答案为：矩形.47．（2024·江苏·高二假期作业）已知ABC V 的顶点为(5,1)A -，(1,1)B ，(2,)C m ，是否存在R m Î使ABC V 为直角三角形，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．【答案】存在，7m =-或3m =或2m =±【分析】对ABC V 的直角进行讨论，利用两直线垂直的斜率关系即可求出结果.【详解】若A 为直角，则AC AB ⊥，∴1AC AB k k ⋅=-，即11112515m ++⋅=---，解得7m =-；若B 为直角，则BC AB ⊥，∴1BC AB k k ⋅=-，即11112115m -+⋅=---，解得3m =；若C 为直角，则AC BC ⊥，∴1AC BC k k ⋅=-，即1112521m m +-⋅=---，解得2m =±．综上所述，存在7m =-或3m =或2m =±，使ABC V 为直角三角形．48．（2024·高二课时练习）已知(1,3),(5,1),(3,7)A B C ，A ，B ，C ，D 四点构成的四边形是平行四边形，求点D 的坐标.【答案】(7,5)或(1,9)-或(3,3)-.【分析】由题意分类讨论，根据直线的斜率即可求出点D 的坐标.【详解】由题，(1,3),(5,1),(3,7)A B C ，所以kAC =2，12AB k =-，kBC =－3，设D 的坐标为（x ，y ），分以下三种情况：①当BC 为对角线时，有kCD =kAB ，kBD =kAC ，所以，125BD y k x -==-，71=32CD y x k -=--，得x =7，y =5，即(7,5)D ②当AC 为对角线时，有kCD =kAB ，kAD =kBC ，所以，331AD y k x -==--，71=32CD y x k -=--得x =－1，y =9，即(1,9)D -③当AB 为对角线时，有kBD =kAC ，kAD =kBC 所以132351BD AD y y k k x x --====---，，得x =3，y =－3，即(3,3)D -所以D 的坐标为(7,5)或(1,9)-或(3,3)-.49．（2024·全国·高二专题练习）用坐标法证明：菱形的对角线互相垂直.【答案】证明见解析【分析】建立坐标系，根据AB AD =得出1AC BD k k =-⋅，从而证明菱形的对角线互相垂直.【详解】以AB 为x 轴，过A 作AB 的垂线为y 轴，如图，建立平面直角坐标系，设各点坐标分别为(0,0),(,0),(,),(,),,,AC BD c c A B b D a c C a b c k k a b a b+==+-。
高中数学新人教A版选修2-1课件：第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质
> 0.
即 A=0(直线与抛物线的对称轴平行,即相交);
≠ 0,
(2)直线与抛物线相切⇔有一个公共点,即
= 0.
≠ 0,
(3)直线与抛物线相离⇔没有公共点,即
< 0.
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探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练2设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l
③当Δ<0时,即k>1时,l与C没有公共点,此时直线l与C相离.
综上所述,(1)当k=1或k=0时,直线l与C有一个公共点;
(2)当k<1,且k≠0时,直线l与C有两个公共点;
(3)当k>1时,直线l与C没有公共点.
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反思感悟方程思想解决直线与抛物线的位置关系
题,通过我们学过的数学知识进行求解.利用抛物线模型解决问题
时,关键是建立坐标系得到抛物线的标准方程,一般都是将抛物线
的顶点作为坐标原点,将对称轴作为x轴或y轴建立坐标系,其次要注
意抛物线上关键点的坐标,并善于运用抛物线的对称性进行求解.
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变式训练3如图是抛物线形拱桥,当水面到直线l时,拱顶离水面2
图形
对称轴
x轴
焦点
F
顶点
原点(0,0)
准线
x=-2
离心率
e=1
p
2
x轴
,0
p
开口方向 向右
p
F - ,0
2
p
y轴
F 0,
p
y轴
人教A版高中数学选修1-1课时提升作业十七2.3.2.2精讲优练课型Word版含答案
所以抛物线的标准方程为 答案 :x 2=4y 或 x 2=-20y
x 2=4y 或 x2=-20y.
三、解答题 ( 每小题 10 分 , 共 20 分 )
9.(1) 设抛物线 y 2=4x 被直线 y=2x+k 截得的弦长为 3 , 求 k 的值 . (2) 以 (1) 中的弦为底边 , 以 x 轴上的点 P 为顶点作三角形 , 当三角形的面积为 9 时 , 求 P 点坐 标.
由方程组
消去 y 后 , 整理得 k2x 2+(-8k 2+4k-1)x+16k 2-16k+4=0. 因为 A(4,2),B(x B,y B) 的坐标是上述方程组的解 ,
所以 4· xB=
(2) 当△ OAB的面积等于
时 , 求 k 的值 .
【解析】 (1) 如图所示 , 由
2
消去 x 得 ,ky +y-k=0.
设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 由根与系数的关系得 y1y 2=-1,y 1+y 2=- . 因为 A,B 在抛物线 y2=-x 上 , 所以 =-x 1, =-x 2, 所以 · =x 1x2.
所以所求抛物线的准线方程为 x=-1. 5.(2019 ·西安高二检测 ) 设抛物线 C:y 2=4x 的焦点为 F, 直线 l 过点 F 且与 C 交于 A,B 两点 .
若|AF|=3|BF|, 则 l 的方程为 (
)
A.y=x-1 或 y=-x+1
B.y= (x-1) 或 y=- (x-1)
C.y= (x-1) 或 y=- (x-1) D.y= (x-1) 或 y=- (x-1) 【解析】选 C.由题意 , 可设 |BF|=x, 则 |AF|=3x, 设直线 l 与抛物线的准线相交于点 M,则由抛
【师说】高中数学 第3章 空间向量与立体几何 17空间向量的数乘运算课时作业 新人教A版选修2-1
其中是真命题的序号是__________(把所有真命题的序号都填上)．
解析：根据共线向量的定义，若 ∥ ，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故①错； ∥ 且 ， 有公共点A，所以②正确；由于a＝4e1－ e2＝－4 ＝－4b，所以a∥b.故③正确；易知④也正确．
解析：∵A，B，C，D四点共面，
∴ ＝m ＋n ＋p ，且m＋n＋p＝1.
由条件知 ＝(－2x) ＋(－3y) ＋(－4z) ，
∴(－2x)＋(－3y)＋(－4z)＝1，
∴2x＋3y＋4z＝－1.
答案：－1
9．非零向量e1，e2不共线，使ke1＋e2与e1＋ke2共线的k的值是________．
解析：若ke1＋e2，e1＋ke2共线，则ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，所以 ∴k＝±1.
A. ＝3 －2 －
B. ＋ ＋ ＋ ＝0
C. ＋ ＋ ＝0
D. ＝ － ＋
解面．
答案：C
6．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中， ＝ ，若 ＝x ＋y( ＋ )，则( )
A．x＝1，y＝ B．x＝ ，y＝1
C．x＝1，y＝ D．x＝1，y＝
从而得m＝ ，即 ＝ ，∴ ＝ .
14．如图，H为四棱锥P－ABCD的棱PC的三等分点，且PH＝ HC，点G在AH上，AG＝mAH.四边形ABCD为平行四边形，若G，B，P，D四点共面，求实数m的值．
解析：连接BD，BG.
∵ ＝ － 且 ＝ ，
∴ ＝ － .
∵ ＝ ＋ ，∴ ＝ ＋ － ＝－ ＋ ＋ .
解析： ＝ ＋ ＝ ＋
＝ ＋ ( － )＝－ a＋ b＋c.
2021年高中数学课时达标训练八新人教A版选修
2021年高中数学课时达标训练八新人教A 版选修 题组1 直线与椭圆的位置关系 1．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不能确定 2．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是________． 题组2 直线与椭圆的相交弦问题3．椭圆x 225＋y 24＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．若|AB |＝8，则|AF 1|＋|BF 1|的值为( )A ．10B ．12C ．16D ．184．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________． 5．已知中心在原点，一个焦点为F (0，50)的椭圆被直线l ：y ＝3x －2截得的弦的中点横坐标为12，求此椭圆的方程． 题组3 与椭圆有关的最值问题6．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3，0)，||＝1，且＝0，则||的最小值是________．7．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则的最大值为________． 8．如图，点A 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴位于y 轴下方的端点，过点A 且斜率为1的直线交椭圆于点B ，若P 在y 轴上，且BP ∥x 轴，(1)若点P 的坐标为(0，1)，求椭圆C 的标准方程；(2)若点P 的坐标为(0，t )，求t 的取值范围．[能力提升综合练]1．若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数( )A ．至多一个B ．2个C ．1个D ．0个2．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是( )A ．[4－23，4＋2 3 ]B ．[4－3，4＋ 3 ]C ．[4－22，4＋2 2 ]D ．[4－2，4＋ 2 ]3．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若＝( ) A. 2 B ．2 C. 3 D ．3 4．椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．5．已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1，过点(0，2)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点． (1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)O 为坐标原点，求△OAB 的面积．6．已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线y ＝x ＋m 相交于不同的两点M ，N ，问是否存在实数m 使|AM |＝|AN |；若存在求出m 的值；若不存在说明理由．答 案即时达标对点练1. 解析：选A 因为直线y ＝kx ＋1过定点(0，1)，且点(0，1)在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故直线y ＝kx ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1相交．2. 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2m ＋y 23＝1，y ＝x ＋2，得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0.又∵直线与椭圆有两个公共点，∴Δ＝(4m )2－4m (m ＋3)＝16 m 2－4m 2－12m＝12m 2－12m >0，解得m >1或m <0.又∵m >0且m ≠3，∴m >1且m ≠3.答案：(1，3)∪(3，＋∞)3. 解析：选B ∵|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＝4a ，∴|AF 1|＋|BF 1|＝4×5－8＝12.4. 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1， 消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6.∴弦长|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 54[]（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝ 54（4＋24）＝35. 答案：355. 解：设所求椭圆的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)． 弦两端点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由y 2a 2＋x 2b2＝1及y ＝3x －2得 (a 2＋9b 2)x 2－12b 2x ＋b 2(4－a 2)＝0，x 1＋x 2＝12b 2a 2＋9b 2，由已知x 1＋x 22＝12， 即12b 2a 2＋9b 2＝1， 所以a 2＝3b 2.又c 2＝a 2－b 2＝50，所以得a 2＝75，b 2＝25，所以椭圆的方程为y 275＋x 225＝1. 6. 解析：易知点A (3，0)是椭圆的右焦点．答案： 3 7. 解析：由x 24＋y 23＝1可得F (－1，0)． 设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2， 当且仅当x ＝2时，取得最大值6.答案：68. 解：∵直线AB 的斜率为1，∴∠BAP ＝45°，(1)∵P (0，1)，即b ＝2，且B (3，1)．∵B 在椭圆上，∴9a 2＋14＝1，得a 2＝12， ∴椭圆C 的标准方程为x 212＋y 24＝1. (2)由点P 的坐标为(0，t )及点A 位于x 轴下方，得点A 的坐标为(0，t －3)， ∴t －3＝－b ，即b ＝3－t .显然点B 的坐标是(3，t )，将它代入椭圆方程得，9a 2＋t 2（3－t ）2＝1，解得a 2＝3（3－t ）23－2t . ∵a 2>b 2>0，∴3（3－t ）23－2t>(3－t )2>0. ∴33－2t >1，即33－2t －1＝2t 3－2t >0，∴所求t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32. 能力提升综合练 1. 解析：选B 因为直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，所以4m 2＋n 2 >2，即m 2＋n 2<4， 所以n 2<4－m 2， 则m 29＋n 24<m 29＋4－m 24＝1－536m 2<1. 所以点(m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1内部， 故过点(m ，n )的直线与椭圆有2个交点．2. 解析：选A 方程可化为x 23＋y 28＝1，故椭圆焦点在y 轴上，又a ＝22，b ＝3，所以－3≤m ≤3，故4－23≤2m ＋4≤23＋4.3. 解析：选A 设点A (2，n )，B (x 0，y 0)．由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2，b 2＝1， ∴c 2＝1，即c ＝1.∴右焦点F (1，0)．∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0.∴x 0＝43，y 0＝13n . 将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1，得12×⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 2＝1. 解得n 2＝1，∴||＝（2－1）2＋n 2＝1＋1＝ 2.4. 解析：直线y ＝3(x ＋c )过点F 1，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2.在Rt △MF 1F 2中，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2c c ＋3c＝3－1.答案：3－15. 解：(1)由已知得a ＝2，b ＝1，所以c ＝a 2－b 2＝ 3.所以椭圆G 的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)， 离心率为e ＝c a ＝32. (2)设l 的方程为y ＝kx ＋2，即kx －y ＋2＝0， 由l 与圆x 2＋y 2＝1相切得21＋k 2＝1，解得k ＝± 3.将y ＝±3x ＋2代入x 2＋4y 2－4＝0， 得13x 2±163x ＋12＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝±16313，x 1x 2＝1213， |AB |＝2（x 1－x 2）2＝2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫163132－4×1213＝2413. 又O 到AB 的距离d ＝1.∴S △OAB ＝12×|AB |×1＝1213. 6解：(1)依题意可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1， 则右焦点F (a 2－1，0)．由题设|a 2－1＋22|2＝3， 解得a 2＝3，故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1. (2)设P 为弦MN 的中点， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 23＋y 2＝1， 得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0.由于直线与椭圆有两个交点， 所以Δ>0，即－2<m <2，所以x P ＝x M ＋x N 2＝－3m 4，从而y P ＝x P ＋m ＝m 4，所以k AP ＝y P ＋1x P ＝m 4＋1－3m 4， 又|AM |＝|AN |，所以AP ⊥MN ，所以m 4＋1－3m 4＝－1，解得m ＝2， 所以不存在实数m 使|AM |＝|AN |.。
高中数学 课时达标训练(十五)一元二次不等式的解法(含解析)新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数
课时达标训练(十五) 一元二次不等式的解法[即时达标对点练]题组1 一元二次不等式的解法1．不等式－x 2－5x ＋6≥0的解集为( ) A ．{x |x ≥6或x ≤－1} B ．{x |－1≤x ≤6} C ．{x |－6≤x ≤1}D ．{x |x ≤－6或x ≥1}解析：选C －x 2－5x ＋6≥0可化为x 2＋5x －6≤0.方程x 2＋5x －6＝0的两根为1，－6，又y ＝x 2＋5x －6的图象开口向上，所以x 2＋5x －6≤0的解集为{x |－6≤x ≤1}．2．若0<t <1，则不等式(x －t )⎝⎛⎭⎪⎫x －1t <0的解集为________．解析：∵0<t <1，∴1t>1，所以(x －t )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1t <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪t <x <1t .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪t <x <1t3．不等式x (3－x )≥x (x ＋2)＋1的解集是________． 解析：原不等式即为3x －x 2≥x 2＋2x ＋1， 可化为2x 2－x ＋1≤0， 由于判别式Δ＝－7<0，所以方程2x 2－x ＋1＝0无实数根， 因此原不等式的解集是∅. 答案：∅4．解下列不等式： (1)2＋3x －2x 2>0； (2)x (3－x )≤x (x ＋2)－1； (3)x 2－2x ＋3>0.解：(1)原不等式可化为2x 2－3x －2<0， ∴(2x ＋1)(x －2)<0，故原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x <2.(2)原不等式可化为2x 2－x －1≥0. ∴(2x ＋1)(x －1)≥0，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－12或x ≥1.(3)∵Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0， 故原不等式的解集是R.题组2 解含参数的一元二次不等式 5．解关于x 的不等式x 2－x －a (a －1)>0. 解：原不等式可以化为：(x ＋a －1)(x －a )>0， ∴当a >－(a －1)即a >12时，原不等式的解集为{}x |x >a 或x <1－a ； 当a ＝－(a －1)即a ＝12时，由⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122>0，得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠12.当a <－(a －1)即a <12时，原不等式的解集为{}x |x <a 或x >1－a .6．解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a <0)． 解：原不等式移项得ax 2＋(a －2)x －2≥0， 化简为(x ＋1)(ax －2)≥0.∵a <0，∴(x ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫x －2a ≤0.当－2<a <0时，2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，x ＝－1；当a <－2时，－1≤x ≤2a.综上所述，当－2<a <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，解集为{}x |x ＝－1；当a <－2时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤2a . 题组3 三个“二次”之间的关系问题7．已知不等式ax 2＋3x －2>0的解集为{}x |1<x <b ，则a ，b 的值等于( )A ．a ＝1，b ＝－2B ．a ＝2，b ＝－1C ．a ＝－1，b ＝2D ．a ＝－2，b ＝1解析：选C 因为不等式ax 2＋3x －2>0的解集为{}x |1<x <b ，所以方程ax 2＋3x －2＝0的两个根分别为1和b ，根据根与系数的关系，得1＋b ＝－3a ，b ＝－2a，所以a ＝－1，b ＝2.8．若不等式ax 2＋bx ＋2<0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，则a ＋b 的值为( )A ．14B ．－10C ．10D ．－14 解析：选D 由已知得，ax 2＋bx ＋2＝0的解为－12，13，∴⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－12＋13，2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.9．已知ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－13<x <12，试求a ，c 的值，并解不等式－cx 2＋2x－a >0.解：由ax2＋2x ＋c >0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－13<x <12，知a <0，且方程ax 2＋2x ＋c ＝0的两根为x 1＝－13，x 2＝12，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－13＋12＝－2a ，－13×12＝c a ，解得a ＝－12，c ＝2.此时，－cx 2＋2x －a >0，即2x 2－2x －12<0， 其解集为{}x |－2<x <3.[能力提升综合练]1．不等式x 2－|x |－2<0的解集是( ) A.{}x |－2<x <2 B.{}x |x <－2或x >2 C.{}x |－1<x <1 D.{}x |x <－1或x >1解析：选A 令t ＝|x |，则原不等式可化为t 2－t －2<0，即(t －2)(t ＋1)<0. ∵t ＝|x |≥0，∴t －2<0，∴t <2. ∴|x |<2，得－2<x <2.2．当a <0时，不等式42x 2＋ax －a 2<0的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7，－a 6B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6，a 7C.⎝ ⎛⎭⎪⎫a7，－2a 7 D ．∅解析：选A 不等式化为(6x ＋a )(7x －a )<0， ∵a <0，∴－a 6>a7，故选A.3．不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{}x |－2<x <1，则函数y ＝f (－x )的图象为下列中的( )解析：选B 由根与系数的关系知1a ＝－2＋1＝－1，－ca＝－2，∴a ＝－1，c ＝－2.∴f (x )＝－x 2－x ＋2.∴f (－x )＝－x 2＋x ＋2，故选B.4．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >12，则f (10x)>0的解集为( )A.{}x |x <－1或x >－lg 2B.{}x |－1<x <－lg 2C.{}x |x >－lg 2D.{}x |x <－lg 2解析：选D 由题意知，一元二次不等式f (x )>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，即－1<10x <12⇒x <－lg 2，所以选D.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________．解析：由题意有⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，2x <0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>2x ，2x ≥0， 解得－1<x <0或0≤x <2－1.∴所求x 的取值范围为(－1，2－1)． 答案：(－1，2－1)6．设0<b <1＋a .若关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2的解集中的整数解恰有3个，则a 的取值范围为________．解析：原不等式转化为[(1－a )x －b ][(1＋a )x －b ]>0.①当a ≤1时，结合不等式解集形式知不符合题意；②当a >1时，b 1－a <x <b a ＋1，由题意知0<ba ＋1<1，∴要使原不等式解集中的整数解恰有3个，则需－3≤b1－a <－2.整理，得2a －2<b ≤3a －3.结合题意b <1＋a ，有2a －2<1＋a ，∴a <3，从而有1<a <3.综上可得a ∈(1，3)．答案：(1，3)7．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3， ∴原不等式可化为a 2－6a －3<0， 解得3－23<a <3＋2 3.∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a 6－a3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.8．已知关于x 的不等式ax 2－3x ＋2>0的解集为{x |x <1或x >b }． (1)求a ，b 的值；(2)解关于x 的不等式：ax 2－(ac ＋b )x ＋bx <0.解：(1)∵不等式ax 2－3x ＋2>0的解集为{x |x <1或x >b }， ∴a >0，且方程ax 2－3x ＋2＝0的两个根是1和b . 由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a，1·b ＝2a ，解得a ＝1，b ＝2.(2)∵a ＝1，b ＝2，∴ax 2－(ac ＋b )x ＋bx <0，即x 2－(c ＋2)x ＋2x <0，即x (x －c )<0. ∴当c >0时，解得0<x <c ； 当c ＝0时，不等式无解； 当c <0时，解得c <x <0.综上，当c >0时，不等式的解集是(0，c )；当c ＝0时，不等式的解集是∅；当c <0时，不等式的解集是(c,0)．。
人教A版高中数学选修1-1课时提升作业(八) 1.4.3 含有一个量词的命题的否定 探究导学课型 Word版含答案
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课时提升作业(八)含有一个量词的命题的否定(15分钟30分)一、选择题(每小题4分，共12分)1.(2014·安徽高考)命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是( )A.∀x∈R，|x|+x2<0B.∀x∈R，|x|+x2≤0C.∃x0∈R，|x0|+<0D.∃x0∈R，|x0|+≥0【解析】选C.命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是“∃x0∈R，|x0|+<0”.2.(2015·全国卷Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则p为( )A.∀n∈N，n2>2nB.∃n∈N，n2≤2nC.∀n∈N，n2≤2nD.∃n∈N，n2=2n【解析】选C.p：∀n∈N，n2≤2n.【补偿训练】命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则p是( )A.有些三角形不是等腰三角形B.所有三角形是等边三角形C.所有三角形不是等腰三角形D.所有三角形是等腰三角形【解析】选C. p是“所有三角形不是等腰三角形”.3.(2015·中山高二检测)已知命题p：∀x∈R，2x2+2x+<0，命题q：∃x0∈R，sinx0-cosx0=，则下列判断中正确的是( )A.p是真命题B.q是假命题C.p是假命题D. q是假命题【解题指南】先判断p，q的真假，再得p，q真假，进而得结论.【解析】选D.因为2x2+2x+=2≥0，所以p是假命题，p为真命题.又sinx0-cosx0=sin≤，故q是真命题，q为假命题.所以选D.二、填空题(每小题4分，共8分)4.(2015·烟台高二检测)已知命题p：∀x>2，x3-8>0，那么p是________.【解题指南】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可.【解析】命题p为全称命题，其否定为特称命题，则p：∃x0>2，-8≤0.答案：∃x0>2，-8≤05.(2015·资阳高二检测)已知命题p：∃x0∈R，+ax0+a<0.若命题p是假命题，则实数a 的取值范围是________.【解析】因为若命题p：∃x0∈R，+ax0+a<0是假命题，则p是真命题，说明x2+ax+a ≥0恒成立，所以Δ=a2-4a≤0，解得0≤a≤4.答案：【补偿训练】(2014·烟台高二检测)已知命题p：任意x∈R，ax2-2x+3≥0，如果命题p 是真命题，求实数a的取值范围.【解析】因为命题p是真命题，所以p是假命题.又当p是真命题，即ax2-2x+3≥0恒成立时，应有解得a≥，所以当p是假命题时，a<.所以实数a的取值范围是.三、解答题6.(10分)写出下列命题的否定，并判断真假.(1)p：一切分数都是有理数.(2)q：直线l垂直于平面α，则对任意l′⊂α，l⊥l′.(3)r：若a n=-2n+10，则存在n∈N，使S n<0(S n是{a n}的前n项和).(4)s：∀x∈Q，使得x2+x+1是有理数.【解析】(1)p：存在一个分数不是有理数，假命题.(2)q：直线l垂直于平面α，则∃l′⊂α，l与l′不垂直，假命题.(3)r：若a n=-2n+10，则∀n∈N，有S n≥0，假命题.(4)s：∃x0∈Q，使+x0+1不是有理数，假命题.(15分钟30分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015·天津高二检测)已知命题p：∀b∈.答案：(-∞，1]三、解答题5.(10分)已知函数f(x)=x2，g(x)=-m.(1)x∈，求f(x)的值域.(2)若对∀x∈，g(x)≥1成立，求实数m的取值范围.(3)若对∀x1∈，∃x2∈，使得g(x1)≤f(x2)成立，求实数m的取值范围.【解题指南】(1)直接根据二次函数的性质，确定函数的单调性，从而可得函数的最值，即可求得函数的值域.(2)根据对∀x∈，g(x)≥1成立，等价于g(x)在上的最小值大于或等于1，而g(x)在上单调递减，利用其单调性建立关于m的不等关系，即可求得实数m的取值范围.(3)对∀x1∈，∃x2∈，使得g(x1)≤f(x2)成立，等价于g(x)在上的最大值小于或等于f(x)在上的最大值9，从而建立关于m的不等式，由此可求结论.【解析】(1)当x∈时，函数f(x)=x2∈，所以f(x)的值域为.(2)对∀x∈，g(x)≥1成立，等价于g(x)在上的最小值大于或等于1.而g(x)在上单调递减，所以-m≥1，即m≤-.(3)对∀x1∈，∃x2∈，使得g(x1)≤f(x2)成立，等价于g(x)在上的最大值小于或等于f(x)在上的最大值9，由1-m≤9，所以m≥-8.关闭Word文档返回原板块。
【教育专用】2017_2018学年高中数学课时达标训练九新人教A版选修1_1
课时达标训练（九）[即时达标对点练]题组1 双曲线的标准方程1．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为( ) A ．3 2 B ．4 2 C ．3 3 D ．4 32．已知双曲线的a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为( )A.x 225－y 224＝1 B.y 225－x 224＝1 C.x 225－y 224＝1或 y 225－x 224＝1 D.x 225－y 224＝0或 y 225－x 224＝0 3．若方程y 24－x 2m ＋1＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1，3) B ．(－1，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－1)4．焦点分别为(－2，0)，(2，0)且经过点(2，3)的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1 B.x 23－y 2＝1 C ．y 2－x 23＝1 D.x 22－y 22＝1 题组2 双曲线定义的应用5．已知F 1(－8，3)，F 2(2，3)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝10，则P 点的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．直线D ．一条射线6．双曲线 x 225－y 29＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，双曲线上一点P 到焦点F 1的距离是12，则点P 到焦点F 2的距离是( )A ．17B ．7C ．7或17D ．2或22 7．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2s －y 2t＝1(s ，t >0)有相同的焦点F 1和F 2，而P 是这两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是( )A ．m －s B.12(m －s )C ．m 2－s 2 D.m －s题组3 与双曲线有关的轨迹问题8．已知动圆M 过定点B (－4，0)，且和定圆(x －4)2＋y 2＝16相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 24－y 212＝1(x >0)B.x 24－y 212＝1(x <0) C.x 24－y 212＝1 D.y 24－x 212＝1 9．△ABC 的一边的两个顶点B (－a ，0)，C (a ，0)(a >0)，另两边的斜率之积等于m (m ≠0)．求顶点A 的轨迹方程，并且根据m 的取值情况讨论轨迹的图形．[能力提升综合练]1．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标为(0，3)，则k 的值是( )A ．1B ．－1 C.653 D ．－653 2．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( ) A.12 B ．1或－2 C ．1或12D ．1 3．已知定点A ，B 且|AB |＝4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，则|PA |的最小值为( ) A.12 B.32 C.72D ．5 4．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0，2)，则该双曲线的方程是( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y 22＝1 5．已知方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示的曲线为C .给出以下四个判断： ①当1<t <4时，曲线C 表示椭圆；②当t >4或t <1时， 曲线C 表示双曲线；③若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52；④若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则t >4.其中判断正确的是________(只填正确命题的序号)．6．若双曲线x 2－4y 2＝4的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2的直线交右支于A 、B 两点，若|AB |＝5，则△AF 1B 的周长为________．7．双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上．若PF 1⊥PF 2，求点P 到x轴的距离．8．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1，F 2为左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判别△MF 1F 2的形状．答 案即时达标对点练1. 解析：选D 由双曲线x 210－y 22＝1可知， a ＝10，b ＝2，c 2＝a 2＋b 2＝12.∴c ＝23，∴焦距为2c ＝4 3.2. 解析：选C 由于焦点所在轴不确定，∴有两种情况．又∵a ＝5，c ＝7，∴b 2＝72－52＝24.3. 解析：选B 依题意，应有m ＋1>0，即m >－1.4. 解析：选A 由双曲线定义知，2a ＝（2＋2）2＋32－（2－2）2＋32＝5－3＝2，∴a ＝1.又c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，因此所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1. 5. 解析：选D F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|＝10，所以满足条件|PF 1|－|PF 2|＝10的点P 的轨迹应为一条射线．6. 解析：选D 依题意及双曲线定义知，|||PF 1|－|PF 2|＝10，即12－|PF 2|＝±10，∴|PF 2|＝2或22，故选D.7. 解析：选A 不妨设点P 是两曲线在第一象限内的交点，由题意得 ⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，|PF 1|－|PF 2|＝2s ，解得⎩⎨⎧|PF 1|＝m ＋s ，|PF 2|＝m －s ，则|PF 1|·|PF 2|＝(m ＋s )(m －s )＝m －s .8. 解析：选C 设动圆M 的半径为r ，依题意有|MB |＝r ，另设A (4，0)，则有|MA |＝r ±4，即|MA |－|MB |＝±4，亦即动圆圆心M 到两定点A 、B 的距离之差的绝对值等于常数4，又4<|AB |，因此动点M 的轨迹为双曲线，且c ＝4，2a ＝4，∴a ＝2，a 2＝4，b 2＝c 2－a 2＝12，故轨迹方程是x 24－y 212＝1.9. 解：设顶点A 的坐标为(x ，y )，则k AB ＝yx ＋a ，k AC ＝yx －a .由题意，得y x ＋a ·yx －a ＝m ，即x 2a 2－y 2ma 2＝1(y ≠0)． 当m >0时，轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线(两顶点除外)；当m <0且m ≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x 轴的两个交点)，其中当－1<m <0时，椭圆焦点在x 轴上；当m <－1时，椭圆的焦点在y 轴上；当m ＝－1时，轨迹是圆心在原点，半径为a 的圆(除去与x 轴的两个交点)．能力提升综合练1. 解析：选B 原方程可化为x 21k－y 28k ＝1，由焦点坐标是(0，3)可知c ＝3，且焦点在y 轴上，∴k <0.c 2＝－1k －8k ＝－9k ＝9，∴k ＝－1.2. 解析：选D 由于a >0，0<a 2<4，且4－a 2＝a ＋2，所以可解得a ＝1，故选D.3. 解析：选C 如图所示，点P 是以A ，B 为焦点的双曲线的右支上的点，当P 在M 处时，|PA |最小，最小值为a ＋c ＝32＋2＝72.4. 解析：选B 由题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 25－a 2＝1， 又由中点坐标公式可得P (5，4)，∴5a 2－165－a 2＝1，解得a 2＝1. 5. 解析：①错误，当t ＝52时，曲线C 表示圆；②正确，若C 为双曲线，则(4－t )(t －1)<0，∴t <1或t >4; ③正确，若C 为焦点在x 轴上的椭圆，则4－t >t －1>0.∴1<t <52； ④正确，若曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧4－t <0，t －1>0，∴t >4. 答案：②③④6. 解析：由双曲线定义可知|AF 1|＝2a ＋|AF 2|＝4＋|AF 2|；|BF 1|＝2a ＋|BF 2|＝4＋|BF 2|，∴|AF 1|＋|BF 1|＝8＋|AF 2|＋|BF 2|＝8＋|AB |＝13.△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝18.答案：187. 解：设点P 为(x 0，y 0)，而F 1(－5，0)，F 2(5，0)，即(－5－x 0)(5－x 0)＋(－y 0)·(－y 0)＝0，整理，得x 20＋y 20＝25. ①∵P (x 0，y 0)在双曲线上，∴x 209－y 2016＝1. ② 联立①②，得y 20＝25625，即|y 0|＝165. 因此点P 到x 轴的距离为165. 8. 解：(1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝5， 故设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1， 则有⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得a 2＝3，b 2＝2，所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1. (2)不妨设点M 在右支上，则有|MF 1|－|MF 2|＝23，又|MF 1|＋|MF 2|＝63，故解得|MF 1|＝43，|MF 2|＝2 3.又|F 1F 2|＝25，因此在△MF 1F 2中，边MF 1最长，因为cos ∠MF 2F 1＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2－|MF 1|22·|MF 2|·|F 1F 2|<0， 所以∠MF 2F 1为钝角，故△MF 1F 2为钝角三角形．。
高中数学课时达标训练十新人教A版选修3
课时达标训练（十）[即时达标对点练]题组1 根据双曲线的标准方程研究几何性质1．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( ) A ．－14 B ．－4C ．4 D.142．双曲线x 225－y 24＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±25xB ．y ＝±52xC ．y ＝±425xD ．y ＝±254x3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( )A. 3B. 2C.52 D.22题组2 由双曲线的几何性质求标准方程4．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 210－y 26＝1 D.x 26－y 210＝1 5．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )A ．x 2－y 2＝8 B ．x 2－y 2＝4 C ．y 2－x 2＝8 D ．y 2－x 2＝46．已知双曲线两顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ，求双曲线的标准方程．题组3 求双曲线的离心率7．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得(|PF 1|－|PF 2|)2＝b 2－3ab ，则该双曲线的离心率为( )A. 2B.15 C ．4 D.178．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，以线段F 1F 2为边作等边三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率e ＝________．题组4 直线与双曲线的位置关系9．已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P (1，0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l的条数为( )A ．4B ．3C ．2D ．110．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是________．[能力提升综合练]1．如图，ax －y ＋b ＝0和bx 2＋ay 2＝ab (ab ≠0)所表示的曲线只可能是( )2．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴长相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为( )A ．x 2－y 2＝2 B ．x 2－y 2＝ 2 C ．x 2－y 2＝1 D ．x 2－y 2＝123．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x4．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝25．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________．6．已知双曲线E 的中心为原点，F (3，0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为________．7．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a ，0)，(0，b )两点，且原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率． 8．中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的半长轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求△F 1PF 2的面积．答 案 即时达标对点练1. 解析：选A 由双曲线方程mx 2＋y 2＝1，知m <0，则双曲线方程可化为y 2－x 2－1m＝1，则a 2＝1，a ＝1.又虚轴长是实轴长的2倍，∴b ＝2， ∴－1m＝b 2＝4，∴m ＝－14.2. 解析：选A 由x 225－y 24＝0，得y 2＝425x 2，即y ＝±25x .3. 解析：选B 由题意可知， 此双曲线为等轴双曲线．等轴双曲线的实轴与虚轴相等，则a ＝b ，c ＝a 2＋b 2＝2a ，于是e ＝ca＝ 2.4. 解析：选A 由题意知c ＝4，焦点在x 轴上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋1＝e 2＝4，所以b a ＝3，又由a 2＋b 2＝4a 2＝c 2＝16，得a 2＝4，b 2＝12.所以双曲线方程为x 24－y 212＝1.5. 解析：选A 令y ＝0得，x ＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4，0)， ∴c ＝4，a 2＝12c 2＝12×16＝8，故选A.6. 解：设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y29＝λ(λ≠0)，当λ>0时，a 2＝4λ， ∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94.当λ<0时，a 2＝－9λ， ∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的标准方程为x 29－y 2814＝1和y 29－x 24＝1.7. 解析：选D 由双曲线的定义知， (|PF 1|－|PF 2|)2＝4a 2，所以4a 2＝b 2－3ab ，即b 2a 2－3·ba＝4，解得ba＝4(－1舍去)．因为双曲线的离心率e ＝ca＝1＋b 2a2， 所以e ＝17，故选D.8. 解析：依题意知，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)， 不妨设M 在x 轴上方，则M (0，3c )，所以MF 1的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c2，32c ，代入双曲线方程可得c 24a 2－3c 24b 2＝1，又c 2＝a 2＋b 2，所以c 24a 2－3c 24（c 2－a 2）＝1， 整理得e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝4＋23(e 2＝4－23<1舍去)， 所以e ＝3＋1. 答案：3＋19. 解析：选B ∵双曲线方程为x 2－y 24＝1，故P (1，0)为双曲线右顶点，∴过P 点且与双曲线只有一个公共点的直线共3条(一条切线和两条与渐近线平行的直线)．10. 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝6，y ＝kx ＋2，得x 2－(kx ＋2)2＝6.则(1－k 2)x 2－4kx －10＝0有两个不同的正根．则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝40－24k 2>0，x 1＋x 2＝4k 1－k 2>0，x 1x 2＝－101－k 2>0，得－153<k <－1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，－1 能力提升综合练1. 解析：选C 直线方程可化为y ＝ax ＋b ，曲线方程可化为x 2a ＋y 2b＝1，若a >0，b >0，则曲线表示椭圆，可排除A 、B 、D ，若a >0，b <0，C 符合．2. 解析：选A 设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ>0)，渐近线方程为y ＝±x ，焦点到渐近线的距离c2＝2，∴c ＝2.∵2λ＝c 2＝4，∴λ＝2. 3. 解析：选C 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，所以双曲线的渐近线方程为y＝±b a x .又离心率为e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝52，所以b a ＝12，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±12x .4. 解析：选C 双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，设直线AB ：y ＝2x 与椭圆C 1的一个交点为C (第一象限的交点)，则|OC |＝a3，∵tan ∠COx ＝2，∴sin ∠COx ＝25，cos ∠COx ＝15，则C 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫a 35，2a 35，代入椭圆方程得a 245a 2＋4a 245b2＝1，∴a 2＝11b 2.∵5＝a 2－b 2，∴b 2＝12.5. 解析：由题可得直线的斜率为3，要使直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，只要b a ≥3，∴e2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≥4.答案：[2，＋∞)6. 解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则有：⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式作差得，y 1－y 2x 1－x 2＝b 2（x 1＋x 2）a 2（y 1＋y 2）＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以4b 2＝5a 2，代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5， 所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1.答案：x 24－y 25＝17. 解：由l 过两点(a ，0)，(0，b )， 设l 的方程为bx ＋ay －ab ＝0. 由原点到l 的距离为34c ，得ab a 2＋b2＝34c . 将b ＝c 2－a 2代入，平方后整理，得16⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 22－16×a 2c 2＋3＝0.令a 2c 2＝x ，则16x 2－16x ＋3＝0，解得x ＝34或x ＝14.因为e ＝ca，有e ＝1x .故e ＝233或e ＝2. 因为0<a <b ，故e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a2>2，所以离心率e 为2. 8. 解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线方程为x 2m 2－y 2n 2＝1(a ，b ，m ，n >0，且a >b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝4，7·13a ＝3·13m ，解得a ＝7，m ＝3，所以b ＝6，n ＝2，所以椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.(2)不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，所以|PF 1|＝10，|PF 2|＝4， 所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝45，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12×10×4×35＝12.。
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学 习 资 料 专 题课时达标训练（十七）[即时达标对点练]题组1 求函数的极值1．函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2x 取极小值时，x 的值是( )A ．2B ．－1和2C ．－1D ．－3 2．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)有( ) A ．极大值5，极小值－27 B ．极大值5，极小值－11 C ．极大值5，无极小值 D ．极小值－27，无极大值3．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫－3，－12内单调递增；②函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3内单调递减；③函数y ＝f (x )在区间(4，5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； ⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．其中正确的结论为________． 题组2 已知函数的极值求参数4．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a ，b 的值分别为( ) A ．1，－3 B ．1，3 C ．－1，3 D ．－1，－35．若函数f (x )＝x 2－2bx ＋3a 在区间(0，1)内有极小值，则实数b 的取值范围是( ) A ．b <1 B ．b >1 C ．0<b <1 D ．b <126．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________．题组3 含参数的函数的极值问题7．设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的极值．8．已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．[能力提升综合练]1．函数f (x )＝－x 3＋x 2＋x －2的零点个数及分布情况为( ) A ．一个零点，在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13内 B ．二个零点，分别在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13，(0，＋∞)内C ．三个零点，分别在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13，⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1，(1，＋∞)内D ．三个零点，分别在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13，(0，1)，(1，＋∞)内 2.设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )·f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)3．若函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0，1)内有极小值没有极大值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，3) B ．(－∞，3)C ．(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，324．设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( )A ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．－x 0是f (－x )的极小值点C ．－x 0是－f (x )的极小值点D ．－x 0是－f (－x )的极小值点5．已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝________． 6.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 的极大值为5，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示，则a ＝________，b ＝________，c ＝________.7．已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．答 案 即时达标对点练 1. 解析：选C f ′(x )＝－x 2＋x ＋2＝－(x ＋1)(x －2)，则在区间(－∞，－1)和(2，＋∞)上，f ′(x )<0，在区间(－1，2)上，f ′(x )>0，故当x ＝－1时，f (x )取极小值．2. 解析：选C 由y ′＝3x 2－6x －9＝0，得x ＝－1或x ＝3.当x <－1或x >3时，y ′>0；当－1<x <3时，y ′<0.∴当x ＝－1时，函数有极大值5；3∉(－2，2)，故无极小值． 3. 解析：由图象知，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0， 所以f (x )在(－∞，－2)上为减函数，同理，f (x )在(2，4)上为减函数，在(－2，2)上是增函数，在(4，＋∞)上为增函数， 所以可排除①和②，可选择③.由于函数在x ＝2的左侧递增，右侧递减， 所以x ＝2时，函数有极大值；而在x ＝－12的左右两侧，函数的导数都是正数，故函数在x ＝－12的左右两侧均为增函数，所以x ＝－12不是函数的极值点．排除④和⑤.答案：③4. 解析：选A f ′(x )＝3ax 2＋b ， 由题意知f ′(1)＝0，f (1)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝0，a ＋b ＝－2，∴a ＝1，b ＝－3. 5. 解析：选C f ′(x )＝2x －2b ＝2(x －b )，令f ′(x )＝0，解得x ＝b ，由于函数f (x )在区间(0，1)内有极小值，则有0<b <1.当0<x <b 时，f ′(x )<0；当b <x <1时，f ′(x )>0，符合题意．所以实数b 的取值范围是0<b <1.6. 解析：f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)， ∵函数f (x )既有极大值又有极小值， ∴方程f ′(x )＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝36a 2－36(a ＋2)>0.即a 2－a －2>0，解之得a >2或a <－1. 答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)7. 解：(1)因为f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，故f ′(x )＝a x －12x 2＋32.由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)， f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝（3x ＋1）（x －1）2x2. 令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(因x 2＝－13不在定义域内，舍去)．当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，1)上为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数． 故f (x )在x ＝1处取得极小值，且f (1)＝3.8. 解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax.(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x(x >0)，因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)， 即x ＋y －2＝0. (2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0知：①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a ，又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．能力提升综合练1. 解析：选A 利用导数法易得函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13内递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1内递增，在(1，＋∞)内递减，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－5927<0，f (1)＝－1<0，故函数图象与x 轴仅有一个交点，且交点横坐标在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13内．2. 解析：选D 由图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．3. 解析：选D f ′(x )＝3x 2－2a ， ∵f (x )在(0，1)内有极小值没有极大值，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′（0）<0，f ′（1）>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2a <0，3－2a >0.即0<a <32.4. 解析：选D 取函数f (x )＝x 3－x ，则x ＝－33为f (x )的极大值点，但f (3)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，排除A.取函数f (x )＝－(x －1)2，则x ＝1是f (x )的极大值点，但－1不是f (－x )的极小值点，排除B ；－f (x )＝(x －1)2，－1不是－f (x )的极小值点，排除C.故选D.5. 解析：设f (x )＝x 3－3x ＋c ，对f (x )求导可得，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，可得x ＝±1，易知f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减．若f (1)＝1－3＋c ＝0，可得c ＝2；若f (－1)＝－1＋3＋c ＝0，可得c ＝－2.答案：－2或2 6. 解析：由题图得依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝5，f ′（1）＝0，f ′（2）＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝5，3a ＋2b ＋c ＝0，12a ＋4b ＋c ＝0.解得a ＝2，b ＝－9，c ＝12. 答案：2 －9 127. 解：(1)f ′(x )＝e x(ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8，从而a ＝4，b ＝4. (2)由(1)知，f (x )＝4e x(x ＋1)－x 2－4x ，f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎪⎫e x－12.令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．8．求函数f (x )＝x 3－3x 2－a (a ∈R )的极值，并讨论a 为何值时函数f (x )恰有一个零点． 解：f ′(x )＝3x 2－6x ，函数f (x )的定义域为R ， 由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：因此，函数在x ＝0处有极大值，极大值为f (0)＝－a ； 在x ＝2处有极小值，极小值为f (2)＝－4－a .函数y ＝f (x )恰有一个零点即y ＝f (x )的图象与x 轴只有一个交点(如图)，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （2）>0或⎩⎪⎨⎪⎧f （0）<0，f （2）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a >0，－4－a >0或⎩⎪⎨⎪⎧－a <0，－4－a <0，解得a <－4或a >0，所以当a >0或a <－4时，函数f (x )恰有一个零点．。