中考数学一轮专项集训(全真题汇编)——方法技巧训练三：几何中与角平分线有关的计算或证明
初中九年级数学中考复习方法技巧专题：角平分线练习题真题含解析
初中九年级数学中考复习方法技巧专题：角平分线练习题【方法解读】1.与角平分线有关的判定和性质：(1)角平分线的判定和性质.(2)角平分线的夹角:①三角形两内角的平分线的夹角等于90。
与第三角一半的和;②三角形两外角的平分线的夹角等于90。
与第三角一半的差;③三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三角的一半.(3)三角形的内心及其性质.(4)圆中孤、圆心角、圆周角之间的关系.2.与角平分线有关的图形或辅助线:(1)角平分线“加”平行线构成等腰三角形.(2)角平分线“加”垂线构成等腰三角形. (3)过角平分线上的点作边的垂线.1.(2018 -黑龙江］如图F7-1,匕8=/C=90\羽是BC的中点平分ZADG且NAOC110。
,则NAM8的度数是( )图F7 -1A.30。
B.35。
C.450D.6O02.(2018 -陕西］如图F7-2,在△A8C 中^4C=8,ZABC=60°,ZC=45°^4D±BG垂足为 D.ZABC 的平分线交 AD 于点E,则AE的长为 ()A•沌 B.2V2D.3V23.(2018 •达州］如图F7-3,AABC的周长为19,点D.E在边BC上，匕A8C的平分线垂直于A氏垂足为N、/ACB的平分线垂直于AD,垂足为M.若8C=7.则初V的长为( )人3 A ・-2 B.2C图F7-3D.34.如图F74在直角梯形AMD中,DC//A戏例8=90。
&丄8CM=BC,NA"的平分线分别交AZMC于点时则芸的值是 (A.\/2-lB.2+V2C./2+1D.725.(2017 -滨州］如图F7-5,点P为定角ZAOB的平分线上的一个定点，且/MPN与NAO8互补.若ZMPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA.OB相交于MJV两点，则以下结论:⑴PM=PN恒成立;⑵OM+ON的值不变;(3)四边形PMON 的面积不变；(4)MN的长不变.其中正确的个数为A.4B.3C.2D.16.(2016 -宁夏］如图F7-6,在平行四边形ABCD中,ZR4D的平分线AE交BC于点氏且BE=3,若平行四边形ABCD的周长是16,则EC等于7.(2017 -十堰］如图F7-7,AABC内接于OO,ZACB=90°,ZACB的平分线交OO于点。
2024贵州中考数学一轮知识点复习 微专题 遇角平分线如何添加辅助线(课件)
M
第2题图
方法二 作边的平行线，构造等腰三角形
方法解读 方法二：过点P作PE∥OB，交OA于点E，则OE＝PE，△OEP为等腰 三角形；
注：还可过点P作OA的平行线．
若F是射线OA上的点，过点F作FG∥OP交BO延长线于点G，则OG＝ OF，△OGF为等腰三角形．反之，若已知△OGF为等腰三角形，可 证FG∥OP.
微专题 遇角平分线如何添加辅助线
方法一 作边的垂线，构造全等三角形
方法解读 如图，P是∠AOB的平分线上一点．
方法一：过点P作PC⊥OA于点 C，作PD⊥OB于点D，则PC＝PD， Rt△COP≌Rt△DOP.
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC 于点D，过点D作DE⊥AB，交AB于点E.若AB＝6，则△DEB的周长为 ___6___．
第6题图
7. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC， BD⊥AD，若BD＝2，则AE的长为___4__．
第7题图
3. 如图，在▱ABCD中，AD＝5，AB＝4，∠ADC的平分线DE交BC于 点E，则BE的长为_____1_．
第3题图
4. 如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝6，BD平分∠ABC，则 CD 的值
AD
为___2___．
第4题图
5. 如图，已知A、B、C、D四点共圆，且AB为直径，AC平分∠BAD， 连接OC，则OC与AD的位置关系是_O__C_∥__A_D___．
第1题图
2. 如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上的中点，点F是CD边上一
点，AE平分∠BAF.求证：AB＋CF＝AF.
证明：如解图，过点E作EM⊥AF交AF于点M.
2024长沙中考数学一轮复习 微专题 遇到角平分线如何添加辅助线(课件)
方法二 利用角平分线构造全等三角形
方法解读 如图，点 P 是∠MON 的平分线上一点，点 A 是射线 OM 上任意一点．
【结论】△BOP≌△AOP.
方法应用 4. 如图，在△ABC 中，∠BAC＝120°，AC＝AB，CD 平分∠ACB 交 AB 于点 D.若 AC＝2，求 BD 的长．
第 4 题图
第 8 题图
解：如解图，过点 A 作 AE∥BD 交 CB 的延长线于点 E，
【结论】PQ＝OQ, △POQ 是等腰三角形．
情形 2：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 D 是 OA 上的一点． 【结论】OE＝OD，△EOD 是等腰三角形.
方法应用 6. 如图，△ABC 的面积为 6，AP 垂直∠ABC 的平分线 BP 于点 P，求 △PBC 的面积．
第 6 题图
解：如解图，延长 AP 交 BC 于点 E， ∵AP 垂直∠ABC 的平分线 BP 于点 P，
方法一 过角平分线上的点向角两边作垂线
方法解读 如图，点 P 是∠MON 的平分线上一点，PA⊥OM 于点 A.
【结论】PB＝PA，Rt△AOP≌Rt△BOP.
方法应用 1. 如图，在四边形 ABCD 中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线 BD 平分∠ABC，求△BCD 的面积．
第1题图
解：如解图，过点 D 作 DE⊥BC 交 BC 于点 E， ∵BD 平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB， ∴DE＝DA＝3， ∴S△BCD＝12×5×3＝125.
第 5 题图
解：如解图，在 AD 上取一点 E，使得 AE＝AB，连接 CE，
∵AB＝AE，AC＝AC，AC 平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠EAC，
E
∴△BAC≌△EAC，
中考数学复习----《角的平分线与线段的垂直平分线》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《角的平分线与线段的垂直平分线》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.角平分线的定义：角的内部把角平均分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。
2.角平分线的性质：①平分角。
②角平分线上任意一点到角两边的距离相等。
3.角平分线的判定：角的内部到角两边相等的点一定在角平分线上。
4.角平分线的尺规作图：具体步骤：①以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、N。
如图①。
②分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P。
如图②。
③连接OP，OP即为角的平分线。
5.线段的垂直平分线的定义：过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。
6.垂直平分线的性质：①垂直且平分线段。
②垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
7.垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。
8.垂直平分线的吃规作图：具体步骤：①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。
如图①②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。
如图②练习题1、（2022•鄂尔多斯）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（）A．2 B．2C．4 D．4+2【分析】过点E作EH⊥OA于点H，根据角平分线的性质可得EH＝EC，再根据平行线的性质可得∠ADE的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可得DE的长度，再证明OD＝DE，即可求出OD的长．【解答】解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，∴EH＝EC，∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，∵DE∥OB，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2HE＝2EC，∵EC＝2，∴DE＝4，∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，∴∠DEO＝15°，∴∠AOE＝∠DEO，∴OD＝DE＝4，故选：C．2、（2022•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S △ACD＝．【分析】过D点作DH⊥AC于H，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DH＝1，然后根据三角形面积公式计算．【解答】解：过D点作DH⊥AC于H，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DE＝DH＝1，∴S△ACD＝×2×1＝1．故答案为：1．3、（2022•黑龙江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝．【分析】过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出AB，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，然后根据△ABC的面积列式计算即可得解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵AD平分∠CAB，∴CD＝DE，∴S△ABC＝AC•CD+AB•DE＝AC•BC，即×6•CD+×10•CD＝×6×8，解得CD＝3．故答案为：3．4、（2022•宜昌）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（）A．25 B．22 C．19 D．18【分析】根据题意可知MN垂直平分BC，即可得到DB＝DC，然后即可得到AB+BD+AD ＝AB+DC+AD＝AB+AC，从而可以求得△ABD的周长．【解答】解：由题意可得，MN垂直平分BC，∴DB＝DC，∵△ABD的周长是AB+BD+AD，∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，∵AB＝7，AC＝12，∴AB+AC＝19，∴△ABD的周长是19，故选：C．5、（2022•湖北）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：①四边形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC•EF＝CF•CD；④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据题意分别证明各个结论来判断即可．【解答】解：根据题意知，EF垂直平分AC，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴AE＝AF＝CF＝CE，即四边形AECF是菱形，故①结论正确；∵∠AFB＝∠FAO+∠ACB，AF＝FC，∴∠FAO＝∠ACB，∴∠AFB＝2∠ACB，故②结论正确；∵S四边形AECF＝CF•CD＝AC•OE×2＝AC•EF，故③结论不正确；若AF平分∠BAC，则∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝90°＝30°，∴AF＝2BF，∵CF＝AF，∴CF＝2BF，故④结论正确；故选：B．33．（2022•鄂尔多斯）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BD＝CD，进一步即可求出△ADC的周长．【解答】解：∵边BC的垂直平分线DE交AB于点D，∴BD＝CD，∵AB＝3.7，AC＝2.3，∴△ADC的周长为AD+CD+AC＝AB+AC＝6，故答案为：6．34．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC 于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，从而可得∠EAC＝∠C，然后利用三角形内角和定理可得∠EAC+∠C＝80°，进行计算即可解答．【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，∴∠EAC＝∠C＝40°，故答案为：40°．。
【数学中考一轮复习】角平分线常考模型(含答案)
专项训练角平分线常考模型模型一角平分线＋垂直一边方法点拨:若PA⊥OM于点A，如图所示，可以过P点作PB⊥ON于点B，则PB＝PA.可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线，垂线段相等”，显然这个基本图形中可以利用角平分线的性质定理，也可以得到一组全等三角形；注意:题目一般只有一条垂线，需要自行补出另一条垂线，甚至只给一条角平分线，自行添加两条垂线.1.如图所示，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是（）A.3B.4C.5D.62.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若AC＝3，BC＝4，则S△ABD ：S△ACD为（）A.5:4B.5:3C.4:3D.3:43.如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠AFD＝90°，AB＝10，DF＝2，则S△ABD＝_________.模型二角平分线＋斜线方法点拨:若点A是射线OM上任意一点，如图，可以在ON上截取OB＝OA，连接PB，构变式模型:采用截长补短法构造全等三角形如图所示，在△ABC中，BC＞BA，BO是∠ABC的平分线.（截长法）在BC上截取线段BE＝BA，连接OE，则△BEO≌△BAO；（补短法）延长BA至点D，使BD＝BC，连接OD，则△BDO≌△BCO.解题通法:遇到角平分线时，通常过角平分线上的一点向两边作垂线或在角平分线的两端取相等的线段（截长或补短）构造全等三角形.4.如图所示，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠1＝∠2，求证:AB＝AC＋CD.5.如图所示，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，∠ABD＝∠DBC.（1）点D到∠ABC的两边BA，BC的距离是否相等？（2）求∠A＋∠C的度数.模型三角平分线＋垂线方法点拨:若AP⊥OP于点P如图所示，可延长AP交ON于点B构造△AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”，实际上这是“两线合一”的一种情形，这个图形中隐含着全等和等腰三角形.6.如图所示，在△ABC中，∠ABC＝60°、D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE＝DF＝3，则线段BE的长为（）A.3B.2C.3D.237.如图所示，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝5，BC＝3，则CD的长是___________.8.如图所示，已知，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线，且CE⊥BD交BD延长线于点E.（1）若AD＝1，求DC；（2）求证:BD＝2CE.模型四角平分线＋平行线方法点拨:若过点P作PQ∥ON交OM于点Q，如图所示，可以构造△POQ是等腰三角形，可记为“角平分线＋平行线，等腰三角形必呈现”，这个基本图形很常见，其变式有以下四种:解题通法:遇到角平分线及平行线，除了可以得到角度的关系，还可以得到等腰三角形.9.如图所示，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC，交AB于点E，若AB＝7cm，AE＝4cm.则DE的长为_________cm.10.如图所示，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE＝6，DC＝8，DE＝20，则FG＝___________.11.如图所示，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.（1）△BDO是等腰三角形吗？请说明理由.（2）若AB＝10，AC＝6，求△ADE的周长.模型五角平分线＋对角互补方法点拨:若∠A＋∠C＝180°，BD是∠ABC的平分线，则AD＝CD.12.已知:如图所示，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°,∠B＜90°，求证:DB＝DC.13.感知:如图1所示，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知:DB＝DC.探究:如图2所示，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，求证:DB＝DC.14.如图所示，四边形ABCD中，∠ABC＋∠D＝180°，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD.试说明:（1）△CBE≌△CDF；（2）AB＋DF＝AF.模型六 夹角模型方法点拨:BP ，CP 分别是∠ABC ，∠ACB 的角平分线，则:∠P ＝90°＋21∠A. BP ，CP 分别是∠ABC ，∠ACE 的角平分线，则:∠P ＝21∠A. BP ，CP 分别是∠CBD ，∠BCE 的角平分线，则:∠P ＝90°-21∠A.15.如图所示，点O 在△ABC 内，且到三边的距离相等.若∠A ＝40°，则∠BOC 等于（ ）A.110°B.115°C.125°D.130°16.如图所示，BE ⊥AC 于点D ，且AB ＝CB ，BD ＝ED ，若∠ABC ＝54°，则∠E ＝_________.17.如图所示，点O 是△ABC 边AC 上的一个动点，过O 点作直线MN ∥BC.设MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F. （1）求证:OE ＝OF ；（2）若CE ＝8，CF ＝6，求OC 的长.跟踪训练1.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，若CD＝4，AB＝14，则＝（）S△ABDA.56B.28C.14D.122.如图所示，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，若DE＝2，则AB的长为（）A.6B.2＋4C.2＋23D.2＋233.如图所示，已知△ABC的周长是10，点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC于D.若OD＝2，则△ABC的面积是（）A.20B.12C.10D.84.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D.若BD＝5，DC＝3，则AC的长为A.6B.43C.53-2D.85.已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示.若DE＝2，则DF＝__________.6.如图所示，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB边上有一点E，CE，DE分别是∠BCD 和∠ADC的角平分线，如果△CDE的面积是12，CD＝8，那么AB的长度为__________.7.如图所示，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACF，DE过点I，且DE∥BC.BD＝8cm，CE＝5cm，则DE等于__________.8.如图所示，点E是∠AOB平分线上的一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C，D是垂足，连接CD交OE于点F，∠AOB＝60°.（1）求证:△OCD是等边三角形；（2）若S＝83，EF＝2，求DF的长.△ODE9.如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E. （1）求证:∠AEC＝∠ACE；（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求BD的长.10.（1）如图①所示，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB，AC于点E，F，试猜想EF，BE，CF之间有怎样的关系，并说明理由；（2）如图，若将图①中∠ACB的平分线改为外角∠ACD的平分线，其他条件不变，请直接写出EF，BE，CF之间的关系____________.11.如图所示，在平行四边形ABCD中，CM平分∠BCD交AD于点M.（1）若CD＝2，求DM的长；（2）若M是AD的中点，连接BM，求证:BM平分∠ABC.参考答案1.D2.B3.104.证明：延长AC 至点E ，使AE ＝AB ，连接 DE ，∵AB ＝AE ，∠1＝∠2，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△AED （SAS ）.∴∠B ＝∠E ，∵∠ACD ＝∠E ＋∠CDE ，∠ACD ＝2∠B ，∴∠ACD ＝2∠E. ∴∠E ＝∠CDE.∴CD ＝CE.∴AB ＝AE ＝AC ＋CE ＝AC ＋CD. 5.解:（1）过D 作出DE ⊥BA 于E ，DF ⊥BC 于F.如图所示.结论:DE ＝DF.理由:∵∠ABD ＝∠DBC ，DE ⊥BA 于E ，DF ⊥BC 于F ，∴DE ＝DF.（2）在Rt △DEA 和Rt △DFC 中，⎩⎨⎧，DF ＝DE ，DC ＝AD ∴Rt △DEA ≌Rt △DFC （HL ）∴∠C ＝∠EAD.∵∠BAD ＋∠EAD ＝180°，∴∠BAD ＋∠C ＝180°. 6.C 7.228.解:（1）如图1所示，过点D 作DH ⊥BC 于H ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠BCA ＝45°.∴DH ＝CH.（2）证明：如图2所示，延长CE ，BA 相交于点F ，∵∠EBF ＋∠F ＝90°，∠ACF ＋∠＝90°，∴∠EBF ＝∠AC.在△ABD 和△ACF 中⎪⎩⎪⎨⎧，CAF ＝∠BAC ∠AC ＝AB ，ACF ＝∠EBF ∠∴ABD ≌ACF （ASA ）∴BD ＝CF.在△BCE 和△BF 中，⎪⎩⎪⎨⎧，FEB ＝∠CEB ∠，BE ＝BE ，CBF ＝∠EBF ∠∴△BCE ≌△BFE （ASA ）.∴CE ＝EF.∴BD ＝2CE.9.3 10.611.解:（1）△BDO 是等腰三角形∵BO 平分∠ABC ，∴∠DBO ＝∠CBO∵DE ∥BC ，∴∠CBO ＝∠DOB.∴∠DBO ＝∠DOB.∴BD ＝DO.∴△BDO 是等腰三角形；（2）同理△CEO 是等腰三角形，∵BD ＝OD ，CE ＝OE ，∴△ADE 的周长＝AD ＋AE ＋DE ＝AB ＋AC ＝10＋6＝16.12.证明:作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF.∵∠B ＋∠ACD ＝180°，∠ACD ＋∠FCD ＝180°，∴∠B ＝∠FCD.在△DFC 和△DEB 中，⎪⎩⎪⎨⎧，DE ＝DF ，B ＝∠FCD ∠，DEB ＝∠F ∠∴△DFC ≌△DEB （AAS ）.∴DC ＝DB.13.证明：过点D 作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F.∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ，∠F ＝∠DEB ＝90°.∵∠EBD ＋∠ACD ＝180°，∠ACD ＋∠FCD ＝180°，∴∠EBD ＝∠FCD.在△DFC 和△DEB 中，⎪⎩⎪⎨⎧，DE ＝DF ，EBD ＝∠FCD ∠，DEB ＝∠F ∠∴△DFC ≌△DEB （AAS ）.∴DC ＝DB.14.解:（1）∵AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴CE ＝CF.∵∠ABC ＋∠D ＝180°，∠ABC ＋∠EBC ＝180°，∴∠EBC ＝∠D.在△CBE 与△CDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧︒∠∠，CF ＝CE 90＝CFD ＝CEB ∠，D ＝EBC ∠，∴△CBE ≌△CDF （AAS ）；（2）在Rt △ACE 与Rt △ACF 中，⎩⎨⎧，AC ＝AC CF ＝CE ∴△CE ≌△ACF （HL ）.∴AE ＝AF.∴AB ＋DF ＝AB ＋BE ＝AE ＝AF.15.A 16.27°17.解:（1）证明:∵MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ，∴∠2＝∠5，∠4＝∠6.∵MN ∥BC ，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∴EO ＝CO ，FO ＝CO.∴OE ＝OF ；（2）∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，∴∠2＋∠4＝∠5＋∠6＝90°.∵CE ＝8，CF ＝6，∴EF ＝2268+＝10.∴OC ＝21EF ＝5. 跟踪训练1.B2.D3.C4.A5.46.67.3cm8.解:（1）证明:∵点E 是∠AOB 平分线上的一点， EC ⊥OB ， ED ⊥OA ，∴ED ＝CE.在Rt △ODE 与Rt △OCE 中，⎩⎨⎧，OE ＝OE ，CE ＝ED ∴Rt △ODE ≌Rt △OCE （HL ）.∴OD ＝OC. ∴∠AOB ＝60°，∴△OCD 是等边三角形；（2）∵△OCD 是等边三角形，OF 是∠COD 的平分线，∴OE ⊥DC ，∴∠AOB ＝60°，∴∠AOE ＝∠BOE ＝30°.∵∠ODF ＝60°，ED ⊥OA ，∴∠EDF ＝30°.∴DE ＝2EF ＝4.∵∠AOE ＝30°， DE ⊥AO ，∴OE ＝2DE ＝8.∵S △ODE ＝83＝21×OE ×DF ，∴DF ＝23. 9.解:（1）证明:∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠ACD ＋∠A ＝∠B ＋∠A ＝90°. ∴∠ACD ＝∠B.∵CE 平分∠BCD ，∴∠BCE ＝∠DCE.∴∠B ＋∴BCE ＝∠ACD ＋∠DCE.即∠AEC ＝∠ACE ；（2）∵∠AEC ＝∠B ＋∠BCE ，∠AEC ＝2∠B ，∴∠B ＝∠BCE.又∵∠ACD ＝∠B ，∠BCE ＝∠DCE ，∴∠ACD ＝∠BCE ＝∠DCE.又∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝30°，∠B ＝30°.∴Rt △ACD 中，AC ＝2AD ＝2.∴Rt △ABC 中，AB ＝2AC ＝4.∴BD ＝AB-AD ＝4-1＝3.10.解: （1）EF ＝BE ＋CF ，理由: ∵BO 平分∠ABC ， CO 平分∠ACB ，∴∠EBO ＝∠OBC ，∠FCO ＝∠OCB.∵EF//BC ，∴∠EOB ＝∠OBC ，∠FOC ＝∠OCB.∴∠EBO ＝∠EOB ，∠FOC ＝∠FCO. ∴BE ＝OE ，CF ＝OF.∴EF ＝OE ＋OF ＝BE ＋CF ；（2）EF ＝BE-CF ，理由:∵BO 平分∠ABC ， CO 平分∠ACD ，∴∠EBO ＝∠OBC ，∠FCO ＝∠OCD. ∵EF// BC ，∴∠EOB ＝∠OBC ，∠FOC ＝∠OCD.∴∠EBO ＝∠EOB ，∠FOC ＝∠FCO.∴BE ＝OE ，CF ＝OF.∴EF ＝OE-OF ＝BE-CF.故答案为:EF ＝BE-CF.11.解:（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD// BC.∴∠BCM ＝∠DMC.∵CM 平分∠BCD ，∴∠BCM ＝∠DCM.∴∠DMC ＝∠DCM.∴DM ＝DC ＝2；（2）如图，延长BA ， CM ，交于点E ，则∠AME ＝∠DMC ，∵BE// CD ，∴∠D ＝∠EAM ，∠E ＝∠DCM.∵M 是AD 的中点，∴DM ＝AM.∴△CDM ≌△EAM （ASA ）.∴E М＝CM.∵CM平分∠BCD，∴∠BCM＝∠DCM.∴∠E＝∠BCM.∴BE＝BC. ∴BM平分∠ABC.。
中考数学专题训练(附详细解析)：角平分线
中考数学专题训练（附详细解析）角平分线1、（专题•雅安）如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，且∠C=80°，则∠D的度数为（）2、（专题•遂宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．3、（专题•咸宁）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（）4、（专题•曲靖）如图，直线AB 、CD 相交于点O ，若∠BOD=40°，OA 平分∠COE ，则∠AOE= 40° ．5、（专题成都市）如图，B 30∠=，若AB ∥CD ，CB 平分ACD ∠，则ACD=∠______度.答案：60°解析：∠ACD=2∠BCD=2∠ABC=60°6、（专题安徽省14分、23 ）我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”。
如图1，四边形ABCD 即为“准等腰梯形”。
其中∠B=∠C 。
（1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD 中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD 分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）。
（2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD 中，∠B=∠C ，E 为边BC 上一点，若AB ∥DE ，AE ∥DC ，求证：ECBE DC AB（3）在由不平行于BC 的直线截ΔPBC 所得的四边形ABCD 中，∠BAD与∠ADC 的平分线交于点E ，若EB=EC ，请问当点E 在四边形ABCD内部时（即图3所示情形），四边形ABCD 是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E 不在四边形ABCD 内部时，情况又将如何？写出你的结论（不必说明理由）7、（专题•湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．==10ADB=AB DE=8、（专题•温州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．。
角平分线常见解题技巧
角平分线常见解题技巧角平分线常见解题技巧角平分线是指将一个角的两条边平分成两段的直线，即从角的顶点引出一条直线，使其把角的两边分成相等的两部分。
在解题中，角平分线有着重要的作用，下面将介绍一些常见的解题技巧。
一、利用相似三角形求解在很多情况下，我们需要求出角平分线所形成的两个三角形之间的比值关系。
这时可以利用相似三角形来求解。
具体方法如下：1. 在图中标出已知条件，并找出要求的未知量。
2. 利用已知条件和定义推导出其他关系式。
3. 根据相似三角形的性质，列出各个三角形之间的比值关系式。
4. 解方程求得未知量。
二、利用垂直平分线求解在某些情况下，我们可以利用垂直平分线来求解。
具体方法如下：1. 在图中标出已知条件，并找出要求的未知量。
2. 找到垂直于该垂直平分线的另一条直线，并标记交点。
3. 利用垂直平分线和交点推导出其他关系式。
4. 解方程求得未知量。
三、利用角平分线定理求解角平分线定理是指：在一个三角形中，如果一条直线从一个角的顶点引出，且将这个角的两边平分成相等的两部分，则这条直线所在线段的长度与另外两个边的长度之比相等。
具体方法如下：1. 在图中标出已知条件，并找出要求的未知量。
2. 根据角平分线定理列出关系式。
3. 解方程求得未知量。
四、利用三角形内切圆求解在某些情况下，我们可以利用三角形内切圆来求解。
具体方法如下：1. 在图中标出已知条件，并找出要求的未知量。
2. 找到三角形内切圆，并标记其圆心和半径。
3. 利用内切圆和已知条件推导出其他关系式。
4. 解方程求得未知量。
五、利用特殊情况求解在某些特殊情况下，我们可以利用特殊性质来求解。
具体方法如下：1. 在图中标出已知条件，并找出要求的未知量。
2. 利用特殊性质推导出其他关系式。
3. 解方程求得未知量。
总结：以上就是常见的角平分线解题技巧。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的方法来求解。
同时，我们还需要注意一些细节问题，如图形的相似性、角度的单位等。
湖南省2024年数学中考第一轮复习微专题9 角平分线常见问题及辅助线作法课件
A.16
B.20
C.40
D.80
)
5.(2023·郴州桂阳县模拟)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=20,DC= AD,BD平分
∠ABC,则点D到AB的距离等于_______.
5
6.(2023·永州道县模拟)如图,已知四边形ABCD中,对角线BD平分∠ABC,∠DCB=
52
117°,∠ABC=50°,∠BAD+∠CAD=180°,那么∠DAC为________度.
湖南2024年数学中考第一轮复习
微专题9 角平分线常见
问题及辅助线作法
类型1 相遇平行线,联想等腰三角形性质
特点
过角平分线上的一点作角一边的平行线,从而构造等腰三角形
示例
结论
点P是∠MON的平分线上一点,过点P作PQ∥ON交OM于点Q,则△QOP
为等腰三角形
【针对训练】
1.如图,在△ABC中,已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F.过点F作DE∥BC,
∴AE⊥BE;
(2)过点E作EF∥AD,如图所示:
∴∠DAE=∠AEF,
∵AE平分∠BAD,
∴∠DAE=∠BAE,
∴∠BAE=∠AEF,∴AF=EF,
∵AD∥BC,∴EF∥BC,
同理可证得:BF=EF,
∴AF=BF,
∴点F是AB的中点,∴点E是CD的中点,
∴DE=CE.
类型2 相遇角两边的垂线,联想角平分线定理
且AE平分∠BAD,BE平分∠ABC.求证:
(1)AE⊥BE;
(2)DE=CE.
【证明】(1)∵AD∥BC,
∴∠ABC+∠BAD=180°,
∵AE平分∠BAD,BE平分∠ABC,
2020中考数学总复习：角平分线问题-解题技巧总结精选全文
设直线 CD 的解析式为 y=kx+b,分别代入 C(0,9),D 2,0 ,
则
= 9,
= -2,
解得
∴直线 CD 的解析式为 y=-2x+9.
0 = + ,
=
9,
2
9
类型二 角平分线+角平分线的垂线
等腰三角形
如图T4-5,当题目中有垂直于角平分线的线段PA时,通过延长AP交ON于点B,
5
8
A.2
B.3
C.
D.
10
3
15
4
图T4-21
)
[答案] C
[解析]如图,过 E 作 ED⊥AB 于 D,EM⊥BC 于 M,EN⊥AC 于 N,
3
易得四边形 BMED 是正方形,AD=AN,CM=CN.由勾股定理得 AC=10,sin∠ACB= .
5
设 BD=BM=x,则 AD=AN=6-x,MC=NC=8-x.
∵EF=5,∴BC=BE+CF+EF=2AB+EF=2AB+5=11,∴AB=3.故答案为8或3.
图②
13.如图T4-15,在△ABC中,AD平分∠BAC,BD⊥AD,过D作DE∥AC,交AB于E,若
AB=5,则DE=
[答案]
.
5
2
[解析]∵AC∥ED,AD 平分∠EAC,
∴∠CAD=∠ADE,∠CAD=∠EAD,
OD⊥BC于点D,若△ABC的面积为45 cm2,则OD= 17.5 cm ;若∠BOC=110°,则
∠A=
40
°.
图T4-20
18.如图 T4-21,在 Rt△ ABC 中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8,∠BAC,∠ACB 的平分线相
2024年中考数学总复习第一部分考点精练第四单元三角形微专题遇到角平分线如何添加辅助线
在△DCE和△DCF中，EDC FDC ,
CD CD
∴△DCE≌△DCF(SAS)，
∴CE＝CF，∴BC＝BF＋CF＝AB＋CE.
第5题解图
第5题解图
微专题 遇到角平分线如何添加辅助线
∴∠解 题FD关C键＝点180°－∠DFC－∠DCF＝60°. ∵在B∠CE上D截C取＝B∠F＝ADABB，＝连18接0D°F－，∠通过AB证D明－△∠ABAD＝≌1△80F°BD－和20°－
△DCE≌△DCF，利用等量代换求证．
100°＝60°，∴∠FDC＝∠EDC.
微专题
遇到角平分线如 何添加辅助线
微专题 遇到角平分线如何添加辅助线
1.
如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，过点D分别
作DE∥BC交AC于点E，作DF⊥BC于点F，若DF＝4，DE＝5，
则△CDE的面积为( B )
A. 8
B. 10
C. 12
D. 20
第1题图
微专题 遇到角平分线如何添加辅助线
2. 如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝6，BD平分∠ABC，则 CD
AD
的值为____2____．
第2题图
微专题 遇到角平分线如何添加辅助线
3. 如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，CE⊥BE，若AE＝2， 则BC的长为____4____．
第3题图
微专题 遇到角平分线如何添加辅助线
4. 如图，⊙O 是△ABC的外接圆，∠ABC＝120°，∠ABC的平
2
＝20°，
第5题解图
第5题图
微专题 遇到角平分线如何添加辅助线
AB FB
在△ABD和△FBD中，1 2 ,
BD BD
∴△ABD≌△FBD(SAS)，
中考数学复习题方法技巧专题七角平分线训练(含答案)
方法技巧专题(七) 角平分线训练【方法解读】1.与角平分线有关的判定和性质:(1)角平分线的判定和性质.(2)角平分线的夹角:①三角形两内角的平分线的夹角等于90°与第三角一半的和;②三角形两外角的平分线的夹角等于90°与第三角一半的差;③三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三角的一半.(3)三角形的内心及其性质.(4)圆中弧、圆心角、圆周角之间的关系.2.与角平分线有关的图形或辅助线:(1)角平分线“加”平行线构成等腰三角形.(2)角平分线“加”垂线构成等腰三角形.(3)过角平分线上的点作边的垂线.1.[2018·黑龙江] 如图F7-1,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC,且∠ADC=110°,则∠MAB的度数是 ()图F7-1A.30°B.35°C.45°D.60°2.[2018·陕西] 如图F7-2,在△ABC中,AC=8,∠ABC=60°,∠C=45°,AD⊥BC,垂足为D,∠ABC的平分线交AD于点E,则AE的长为()图F7-2A.B.2C.D.33.[2018·达州] 如图F7-3,△ABC的周长为19,点D,E在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为N,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为M.若BC=7,则MN的长为()图F7-3A.B.2C.D.34.如图F7-4,在直角梯形ABCD中,DC∥AB,∠DAB=90°,AC⊥BC,AC=BC,∠ABC的平分线分别交AD,AC于点E,F,则的值是()图F7-4A.-1B.2+C.+1D.5.[2017·滨州] 如图F7-5,点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点,且∠MPN与∠AOB互补.若∠MPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA,OB相交于M,N两点,则以下结论:(1)PM=PN恒成立;(2)OM+ON的值不变;(3)四边形PMON的面积不变;(4)MN的长不变.其中正确的个数为()图F7-5A.4B.3C.2D.16.[2016·宁夏] 如图F7-6,在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线AE交BC于点E,且BE=3,若平行四边形ABCD的周长是16,则EC等于.图F7-67.[2017·十堰] 如图F7-7,△ABC内接于☉O,∠ACB=90°,∠ACB的平分线交☉O于点D,若AC=6,BD=5,则BC的长为.图F7-78.如图F7-8,在矩形ABCD中,∠ABC的平分线BE与AD交于点E,∠BED的平分线EF与DC交于点F,若AB=9,DF=2FC,则BC= .(结果保留根号)图F7-89.如图F7-9,已知☉O的直径AB=5,AC,AE为弦,且AC=4,AC平分∠BAE,求AE的长.图F7-910.[2017·盐城] 如图F7-10,矩形ABCD中,∠ABD,∠CDB的平分线BE,DF分别交边AD,BC于点E,F.(1)求证:四边形BEDF为平行四边形.(2)当∠ABE为多少度时,四边形BEDF是菱形?请说明理由.图F7-1011.[2017·临沂] 如图F7-11,∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D,∠ABC的平分线交AD于点E.(1)求证:DE=DB;(2)若∠BAC=90°,BD=4,求△ABC外接圆的半径.图F7-1112.如图F7-12,BD是△ABC的角平分线,它的垂直平分线分别交AB,BD,BC于点E,F,G,连结ED,DG.(1)请判断四边形EBGD的形状,并说明理由;(2)若∠ABC=30°,∠C=45°,ED=2,点H是BD上的一个动点,求HG+HC的最小值.图F7-12参考答案1.B2.C[解析] ∵BE平分∠ABD,∠ABC=60°,∴∠ABE=∠EBD=30°.∵AD⊥BC,∴∠BDA=90°.∴DE=BE.∵∠BAD=90°-60°=30°,∴∠BAD=∠ABE=30°,∴AE=BE=2DE,∴AE=AD.在Rt△ACD中,sin C=,∴AD=AC sin C=8×=4,∴AE=×4=.故选C.3.C[解析] ∵△ABC的周长为19,BC=7,∴AB+AC=12.∵∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为N,∴BA=BE,N是AE的中点.∵∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为M,∴AC=DC,M是AD的中点,∴DE=AB+AC-BC=5.∵MN是△ADE的中位线,∴MN=DE=.故选C.4.C[解析] 如图,过点F作FG⊥AD于点G.依题意可知△ABC是等腰直角三角形,∴△AFG也是等腰直角三角形.设FG=1,则AG=1,AF=.∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=22.5°.∴∠AEB=90°-∠ABE=67.5°,∠AFE=∠CAB+∠ABE=67.5°.∴∠AEB=∠AFE,∴AE=AF=,∴EG=-1.∵FG⊥AD,∠DAB=90°,∴FG∥AB.∴===+1.故选C.5.B[解析] 结论(1),如图,过点P分别作OA,OB的垂线段,由于∠PEO=∠PFO=90°,因此∠AOB与∠EPF互补,由已知“∠MPN与∠AOB互补”,可得∠MPN=∠EPF,可得∠MPE=∠NPF.根据“角平分线上一点到角两边距离相等”,可证PE=PF,即可证得Rt△PME≌Rt△PNF,因此对于结论(1),“PM=PN”由全等即可证得是成立的;结论(2),也可以由全等得到ME=NF,即可证得OM+ON=OE+OF,由于OE+OF保持不变,因此OM+ON的值也保持不变;结论(3),由“Rt△PME≌Rt△PNF”可得这两个三角形的面积相等,因此四边形PMON的面积与四边形PEOF的面积始终相等,因此结论(3)是正确的;结论(4),如图,连结EF,对于△PMN与△PEF,这两个三角形都是等腰三角形,且顶角相等,但由于腰长不等,因此这两个三角形不可能全等,所以底边MN与EF不可能相等.所以MN的长是变化的.故选B.6.27.8[解析] 连结DA,因为∠ACB=90°,所以AB为☉O的直径,所以∠ADB=90°.因为CD平分∠ACB,所以BD=AD.在△ABD 中,AB===10.在△ABC中,BC===8.8.6+3[解析] 如图,延长EF和BC,交于点G.矩形ABCD中,∠ABC的平分线BE与AD交于点E,所以∠ABE=∠GBE=45°,所以在Rt△ABE中,∠ABE=∠AEB=45°,所以AB=AE=9.在Rt△ABE中,根据勾股定理,得BE===9.又因为∠BED的平分线EF与DC相交于点F,所以∠BEG=∠DEF.因为AD∥BC,所以∠G=∠DEF,所以∠BEG=∠G,所以BG=BE=9.由∠G=∠DEF,∠EFD=∠GFC,可得△EFD∽△GFC,所以===.设CG=x,DE=2x,则AD=9+2x=BC.因为BG=BC+CG,所以9=9+2x+x,解得x=3-3,所以BC=9+2x=9+2(3-3)=6+3.9.解:如图,连结BC,BE,OC,OC交BE于点G.因为∠BAE=2∠BAC=∠BOC,且∠BAE+∠ABE=90°,所以∠OGB=90°,即OC⊥BE,所以BG=EG,AE=2OG.设OG=x,则CG=-x,BC=3,由勾股定理可得OB2-OG2=BC2-CG2,即-x2=9--x2,解得x=,故AE=2x=.10.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,BC∥AD,∴∠ABD=∠CDB.∵BE平分∠ABD,DF平分∠CDB,∴∠EBD=∠ABD,∠FDB=∠CDB.∴∠EBD=∠FDB.∴BE∥DF.又∵BC∥AD,∴四边形BEDF是平行四边形. (2)当∠ABE=30°时,四边形BEDF是菱形.理由如下:∵BE平分∠ABD,∠ABE=30°,∴∠ABD=60°,∠DBE=30°.∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,∴∠ADB=90°-∠ABD=90°-60°=30°.∴∠DBE=∠ADB,∴DE=BE.∵四边形BEDF是平行四边形,∴四边形BEDF是菱形.11.解:(1)证明:∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.又∵∠CBD=∠CAD,∴∠BAD=∠CBD.∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∠ABE,∴∠DBE=∠CBE+∠CBD=∠ABE+∠BAD.又∵∠BED=∠ABE+∠BAD,∴∠DBE=∠BED,∴DE=BD.(2)如图,连结CD.∵∠BAC=90°,∴BC是直径,∴∠BDC=90°.∵AD平分∠BAC,BD=4,∴BD=CD=4,∴BC==4,∴△ABC外接圆的半径为2.12.解:(1)四边形EBGD是菱形.理由:∵EG垂直平分BD,∴EB=ED,GB=GD,∴∠EBD=∠EDB.∵BD平分∠ABC,∴∠EBD=∠DBC,∴∠EDF=∠GBF.在△EFD和△GFB中,∴△EFD≌△GFB,∴ED=BG,∴BE=ED=DG=GB,∴四边形EBGD是菱形.(2)如图,分别过点E,D作EM⊥BC于点M,DN⊥BC于点N,连结EC交BD于点H,此时HG+HC最小,在Rt△EBM中,∵∠EMB=90°,∠EBM=30°,EB=ED=2,∴EM=BE=.∵DE∥BC,EM⊥BC,DN⊥BC,∴EM∥DN,EM=DN=,MN=DE=2.在Rt△DNC中,∵∠DNC=90°,∠DCN=45°,∴∠NDC=∠NCD=45°,∴DN=NC=,∴MC=3.在Rt△EMC中,∵∠EMC=90°,EM=,MC=3,∴EC===10.∵HG+HC=EH+HC=EC,∴HG+HC的最小值为10.。
备考2024年中考数学一轮复习-图形的性质_三角形_角平分线的性质-综合题专训及答案
备考2024年中考数学一轮复习-图形的性质_三角形_角平分线的性质-综合题专训及答案角平分线的性质综合题专训1、(2017葫芦岛.中考真卷) 如图，∠MAN=60°，AP平分∠MAN，点B是射线AP上一定点，点C在直线AN上运动，连接BC，将∠ABC（0°＜∠ABC＜120°）的两边射线BC和BA分别绕点B顺时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线AM交于点D和点E．（1）如图1，当点C在射线AN上时，①请判断线段BC与BD的数量关系，直接写出结论；②请探究线段AC，AD和BE之间的数量关系，写出结论并证明；（2）如图2，当点C在射线AN的反向延长线上时，BC交射线AM于点F，若AB=4，AC= ，请直接写出线段AD和DF的长．(2013盐城.中考真卷) 实践操作如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法）（1）作∠BAC的平分线，交BC于点O；（2）以O为圆心，OC为半径作圆．（3）在你所作的图中，AB与⊙O的位置关系是；（直接写出答案）（4）若AC=5，BC=12，求⊙O的半径．3、(2012扬州.中考真卷) 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD垂直于过点C的切线，垂足为D．（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若AC=2 ，CD=2，求⊙O的直径．4、(2017靖江.中考模拟) 如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC（1）求证：BC平分∠PBD；（2）求证：PC2=PA•PB；（3）若PA=2，PC=2 ，求阴影部分的面积（结果保留π）(2017徐州.中考模拟) 平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积．6、(2017白银.中考模拟) 在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．7、(2017永嘉.中考模拟) 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB上一点，以BD为直径的⊙O和AB相切于点P．（1）求证：BP平分∠ABC；（2）若PC=1，AP=3，求BC的长．8、(2013温州.中考真卷) 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．(2016福州.中考真卷) 如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM 沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．10、(2016滨州.中考真卷) 如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC 于点E，F，G，连接ED，DG．（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=2 ，点H是BD上的一个动点，求HG+HC的最小值．11、(2018番禺.中考模拟) 如图，在Rt△ABC中，，角平分线交BC于O，以OB为半径作⊙O.（1）判定直线AC是否是⊙O的切线，并说明理由;（2）连接AO交⊙O于点E，其延长线交⊙O于点D，，求的值; （3）在（2）的条件下，设的半径为3，求AC的长.12、(2014贵港.中考真卷) 如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且CE=CD，过点E作EF⊥AC交AD于点F，连接BE．（1）求证：DF=AE；（2）当AB=2时，求BE2的值．13、(2020杭州.中考模拟) 数学阅读：古希腊数学家海伦曾提出一个利用三角形三边之长求面积的公式：若一个三角形的三边长分别为a、b、c，则这个三角形的面积为S=，其中p= （a+b+c）.这个公式称为“海伦公式”.数学应用：如图1，在△ABC中，已知AB=9，AC=8，BC=7.（1）请运用海伦公式求△ABC的面积；（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高h2，求h1+h2的值；（3）如图2，AD、BE为△ABC的两条角平分线，它们的交点为I，求△ABI的面积.14、(2020城.中考模拟) 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A 出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．15、(2020惠州.中考模拟) 如图，在中，，是的角平分线．以为圆心，为半径作．（1）求证：..是的切线；（2）已知交于点，延长交于点，，求的值．（3）在（2）的条件下，设的半径为，求的长．角平分线的性质综合题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。
+2025年中考数学一轮复习(广西)+微专题(七) 与角平分线有关的辅助线+++课件+
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3．截长补短
情形1：已知点P是∠MON的平分线上一点，A是射线OM上任意一点(截
长法)．
结论：△OPB≌△OPA.
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情形2：已知在△ABC中，AD平分∠BAC(补短法)．
结论：△AFD≌△ACD.
【解析】作EH⊥AC于点H，EH＝EB＝1，∠BEF＝∠HEF＝∠OFC＝
∠BFE，∴BF＝BE.
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4．如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，垂足
为D，且PD＝4，则OD的长为 8＋4 .
【解析】过点P作PC∥OB交OA于点C，PE⊥OA于点E，∵OP是∠AOB
2
＝2，求AD的长．
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解：在AD上截取AE＝AB＝4，连接CE，
∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠EAC，
∴△BAC≌△EAC(SAS)，
∴∠B＝∠AEC，EC＝BC＝2，
1
1
∵∠D＝ ∠B，∴∠D＝ ∠AEC，
2
2
∵∠D＋∠ECD＝∠AEC，
∴∠D＝∠ECD，∴DE＝CE＝2，∴AD＝AE＋DE＝6.
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微专题(七)
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与角平分线有关的辅助线
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方法一：利用角平分线性质构造对称图形
1．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AB交AC于点E，CE＝6，
DE＝5，过点D作DF⊥AB于点F，若DF＝4，则△ACD的面积为( B )
中考数学一轮复习全等三角形角平分线辅助知识点及练习题及答案
中考数学一轮复习全等三角形角平分线辅助知识点及练习题及答案一、全等三角形角平分线辅助1．已知点C 是∠MAN 平分线上一点，∠BCD 的两边CB 、CD 分别与射线AM 、AN 相交于B ，D 两点，且∠ABC +∠ADC ＝180°．过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E ．（1）如图1，当点E 在线段AB 上时，求证：BC ＝DC ；（2）如图2，当点E 在线段AB 的延长线上时，探究线段AB 、AD 与BE 之间的等量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN ＝60°，连接BD ，作∠ABD 的平分线BF 交AD 于点F ，交AC 于点O ，连接DO 并延长交AB 于点G ．若BG ＝1，DF ＝2，求线段DB 的长．2．如图，ABC 的外角∠DAC 的平分线交BC 边的垂直平分线于P 点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ．（1）求证：BD ＝CE ；（2）若AB ＝6cm ，AC ＝10cm ，求AD 的长．3．问题呈现：下图是小明复习全等三角形时遇到的一个问题并引发的思考，请帮助小明完成以下学习任务．请根据小明的思路，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：（1）如图②，在四边形ABCD 中，AB AD BC =+，DAB ∠的平分线和ABC ∠的平分线交于CD 边上点P ．求证：PC PD =；（2）在（1）的条件下，如图③，若10AB =，1tan 2PAB ∠=．当PBC 有一个内角是45︒时，PAD △的面积是 ．4．直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，①当∠ABO＝60°时，求∠AEB的度数；②点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出∠AEB的大小；（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO 的度数．5．在平面直角坐标中，等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠CAB=90°，A（0，a），B（b，0）．（1）如图1，若2a b -+（a-2）2=0，求△ABO 的面积；（2）如图2，AC 与x 轴交于D 点，BC 与y 轴交于E 点，连接DE ，AD=CD ，求证：∠ADB=∠CDE ；（3）如图3，在（1）的条件下，若以P （0，-6）为直角顶点，PC 为腰作等腰Rt △PQC ，连接BQ ，求证：AP ∥BQ ．6．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，AD+AB=2AE ，求证：∠ADC+∠B=180º7．如图所示，90B C ∠=∠=，E 是BC 的中点，DE 平分ADC ∠．（1）求证：AE 是DAB ∠的平分线；（2）若2cm,BAD=60CD =∠，求AD 的长．8．如图所示，在四边形ABCD 中，AC 平分,DAB CD CB ∠=，求证：180B D ∠+∠=．9．已知：ABC ∆中，D 为BC 的中点，AG 平分,BAC CG AG ∠⊥于G ，连结DG ，若6,4AB AC ==，求DG 的长．10．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，M 为边BC 上的点，连结AM.如果将△ABM 沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，求点M 到AC 的距离.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形角平分线辅助1．（1）见解析；（2）AD ﹣AB ＝2BE ，理由见解析；（3）3．【分析】（1）过点C 作CF ⊥AD ，根据角平分线的性质得到CE ＝CF ，证明△BCE ≌△DCF ，根据全等三角形的性质证明结论；（2）过点C 作CF ⊥AD ，根据角平分线的性质得到CE ＝CF ，AE ＝AF ，证明△BCE ≌△DCF ，得到DF ＝BE ，结合图形解答即可；（3）在BD 上截取BH ＝BG ，连接OH ，证明△OBH ≌△OBG ，根据全等三角形的性质得到∠OHB ＝∠OGB ，根据角平分线的判定定理得到∠ODH ＝∠ODF ，证明△ODH ≌△ODF ，得到DH ＝DF ，计算即可．【详解】（1）证明：如图1，过点C 作CF ⊥AD ，垂足为F ，∵AC 平分∠MAN ，CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴CE ＝CF ，∵∠CBE +∠ADC ＝180°，∠CDF +∠ADC ＝180°，∴∠CBE ＝∠CDF ，在△BCE 和△DCF 中，90CBE CDF CEB CFD CE CF ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△DCF （AAS ）∴BC ＝DC ；（2）解：AD ﹣AB ＝2BE ，理由如下：如图2，过点C 作CF ⊥AD ，垂足为F ，∵AC 平分∠MAN ，CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴CE ＝CF ，AE ＝AF ，∵∠ABC +∠ADC ＝180°，∠ABC +∠CBE ＝180°，∴∠CDF ＝∠CBE ，在△BCE 和△DCF 中，90CBE CDF CEB CFD CE CF ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△DCF （AAS ），∴DF ＝BE ，∴AD ＝AF +DF ＝AE +DF ＝AB +BE +DF ＝AB +2BE ，∴AD ﹣AB ＝2BE ；（3）解：如图3，在BD 上截取BH ＝BG ，连接OH ，∵BH ＝BG ，∠OBH ＝∠OBG ，OB ＝OB在△OBH 和△OBG 中，BH BG OBH OBG OB OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OBH ≌△OBG （SAS ）∴∠OHB ＝∠OGB ，∵AO 是∠MAN 的平分线，BO 是∠ABD 的平分线，∴点O 到AD ，AB ，BD 的距离相等，∴∠ODH ＝∠ODF ，∵∠OHB ＝∠ODH +∠DOH ，∠OGB ＝∠ODF +∠DAB ，∴∠DOH ＝∠DAB ＝60°，∴∠GOH ＝120°，∴∠BOG ＝∠BOH ＝60°，∴∠DOF ＝∠BOG ＝60°，∴∠DOH ＝∠DOF ，在△ODH 和△ODF 中，DOH DOF OD OD ODH ODF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ODH ≌△ODF （ASA ），∴DH ＝DF ，∴DB ＝DH +BH ＝DF +BG ＝2+1＝3．【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，关键是依照基础示例引出正确辅助线．2．（1）证明见解析；（2）2【分析】（1）连接BP 、CP ，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP CP =，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 DP EP =，然后利用“HL ”证明Rt BDP ∆和Rt CEP 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）利用“HL ”证明Rt ADP ∆和Rt AEP 全等，根据全等三角形对应边相等可得AD AE =，再根据AB 、AC 的长度表示出AD 、CE ，然后解方程即可．【详解】（1）证明：连接BP 、CP ，点P 在BC 的垂直平分线上，BP CP ∴=， AP 是DAC ∠的平分线，DP EP ，在Rt BDP ∆和Rt CEP 中，BPCP DP EP ，Rt BDPRt CEP(HL)， BD CE ∴=；（2）解：在Rt ADP ∆和Rt AEP 中，APAP DP EP ，Rt ADPRt AEP(HL)， AD AE ∴=，6AB cm =，10AC cm =，610AD AE ，即610AD AD ，解得AD 2cm =．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．3．问题呈现：见解析；结论应用：（1）见解析；（2）403或8 【分析】问题呈现：由“SAS ”可证△MOP ≌△NOP ，可得PM ＝PN ；结论应用：（1）在AB 上截取AE ＝AD ，连接PE ，由“SAS ”可证△ADP ≌△AEP ，△BPC ≌△BPE ，可得PD ＝PE ＝PC ；（2）延长AP ，BC 交于点H ，由“ASA ”可证△ADP ≌△HCP ，可得CP ＝DP ，AD ＝CH ，S △ADP ＝S △CPH ，分三种情况讨论，由角平分线的性质和锐角三角函数可求解．【详解】问题呈现：证明：∵OC 平分AOB ∠，∴AOC BOC ∠=∠．在POM 和PON △中， OP OP POM PON OM ON =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．∴POM PON △≌△．结论应用：在AB 上截取AE AD =，∵AP 平分DAB ∠，∴DAP BAP ∠=∠，∵AP AP =，∴ADP AEP △≌△．∴PE PD =．∵AB AD BC=+，∴BE BC=，∵BP平分ABC∠，∴ABP CBP∠=∠．∵BP BP=．∴PBE PBC△≌△．∴PE PC=．∴PC PD=．（2）由（1）可证∠D＝∠AEP，∠PCB＝∠PEB，∵∠AEP+∠PEB＝180°，∴∠PCB+∠D＝180°，∴AD∥BC，∵AB＝10，tan∠PAB＝PBPA＝12，∴PA＝2PB，∵PA2+PB2＝AB2，∴PB＝25，PA＝45，如图③，延长AP，BC交于点H，∵AD∥BC，∴∠DAP＝∠H，∴∠H＝∠BAP，∴AB＝BH＝10，又∵PB平分∠ABC，∴BP⊥AP，AP＝PH＝5∵∠DAP＝∠H，AP＝PH，∠DPA＝∠CPH，∴△ADP≌△HCP（ASA），∴CP＝DP，AD＝CH，S△ADP＝S△CPH，若∠PBC＝45°时，则∠PBC＝∠H＝45°，∴PB＝PH（不合题意舍去），若∠BPC＝45°时，则∠HPC＝∠BPC＝45°，如图④，过点C作CN⊥BP于N，CM⊥PH于M，∴CM ＝CN ，∵S △PBH ＝12×BP ×PH ＝12×BP ×CN +12×PH ×CM ， ∴CM ＝CN ＝453， ∴S △PCH ＝12×45×453＝403＝S △ADP ； 若∠PCB ＝45°时，如图⑤，过点P 作PF ⊥BC 于F ，∵∠PAB ＝∠H ，∴tan H ＝tan ∠PAB ＝12， ∴12PF FH ， ∴FH ＝2PF ， ∵PF 2+FH 2＝PH 2＝80，∴PF ＝4，FH ＝8，∵PF ⊥BC ，∠BCP ＝45°，∴∠PCB ＝∠FPC ＝45°，∴CF ＝PF ＝4，∴CH ＝4，∴S △ADP ＝S △CPH ＝12×4×4＝8， 故答案为：8或403． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．4．（1）①135°②∠AEB的大小不会发生变化，∠AEB＝135°，详见解析（2）∠ABO＝60°或45°【分析】（1）①根据三角形内角和定理、角分线定义，即可求解；②方法同①，只是把度数转化为角表示出来，即可解答；（2）根据三角形内角和定理及一个外角等于与它不相邻的两个内角和，利用角的和差计算即可求得结果，要对谁是谁的3倍分类讨论..【详解】（1）如图1，①∵MN⊥PQ，∴∠AOB＝90°，∵∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°，∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，∴∠ABE＝12∠ABO＝30°，∠BAE＝12∠BAO＝15°，∴∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝135°．②∠AEB的大小不会发生变化．理由如下：同①，得∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝180°﹣12∠ABO﹣12∠BAO＝180°﹣12（∠ABO+∠BAO）＝180°﹣12×90°＝135°．（2）∠ABO的度数为60°．理由如下：如图2，∵∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，∴∠OAE+∠OAF＝12（∠BAO+∠GAO）＝90°，即∠EAF＝90°，又∵∠BOA＝90°，∴∠GAO＞90°，①∵∠E＝13∠EAF＝30°，∠EOQ＝45°，∠OAE+∠E＝∠EOQ＝45°，∴∠OAE＝15°，∠OAE＝12∠BAO＝12（90﹣∠ABO）∴∠ABO＝60°．②∵∠F＝3∠E，∠EAF=90°∴∠E+∠F=90°∴∠E=22.5°∴∠EFA=90-22.5°=67.5°∵∠EOQ＝∠EOM= ∠AOE= 45°，∴∠BAO＝180°-(180°-45°-67.5°)×2=45°∴∠ABO=90°-45°=45°【点睛】本题考查了三角形内角和定理及外角的性质、角分线定义，解决本题的关键是灵活运用三角形内角和外角的关系.5．（1）△ABO的面积=4；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）根据绝对值和偶次方的非负性求出a，b，根据三角形的面积公式计算；（2）作AF平分∠BAC交BD于F点，分别证明△ACE≌△BAF，△CED≌△AFD，根据全等三角形的性质证明；（3）过C点作CM⊥y轴于M点，过D点作DN⊥y轴于N点，证明△ACM≌△BAO，根据全等三角形的性质得到CM=AO=2，AM=BO=4，证明四边形ONQB为平行四边形，得到答案．【详解】解：（1）∵2a b+（a-2）2=0，∴2a-b=0，a-2=0，解得，a=2，b=4，∴A（0，2），B（4，0），∴OA=2，OB=4，∴△ABO的面积=12×2×4=4；（2）作AF平分∠BAC交BD于F点，∵AB=AC，∠CAB=90°，∴∠C=∠ABC=∠DAF=∠BAF=45°，∵∠CAE+∠BAO=∠ABF+∠BAO=90°，∴∠CAE=∠ABF ，在△ACE 和△BAF 中，CAE ABF AC AB ACE BAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ACE ≌△BAF （ASA ），∴CE=AF ，在△CED 和△AFD 中，CD AD C DAF CE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CED ≌△AFD （SAS ）∴∠CDE=∠ADB ；（3）过C 点作CM ⊥y 轴于M 点，过D 点作DN ⊥y 轴于N 点，则∠AMC=∠BOA=90°，∵∠CAM+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，∴∠CAM=∠ABO ，在△ACM 和△BAO 中，CAM ABO CMA AOB AC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACM ≌△BAO （AAS ），∴CM=AO=2，AM=BO=4，∵A （0，2），P （0，-6），∴AP=8，∴PM=AP-AM=4，在△PCM 和△QPN 中，CPM PQN PMC QNP PC PQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△PCM ≌△QPN （AAS ），∴NQ=PM=4，∴四边形ONQB 为平行四边形，∴AP ∥BQ ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，非负数的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．6．见解析.【分析】延长AD过C作CF垂直AD于F，由条件可证△AFC≌△AEC，得到CF＝CE．再由条件AD＋AB＝2AE可证BE＝DF，所以△CDF≌△CEB，由全等的性质可得∠B＝∠FDC，问题得证．【详解】证明：延长AD过C作CF垂直AD于F，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC＝∠EAC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠AFC＝∠AEC＝90°，AC=AC，∴△AFC≌△AEC(AAS)，∴AF＝AE，CF＝CE，∵AD+AB=2AE，又∵AD＝AF−DF，AB＝AE＋BE，AF＝AE，∴2AE＝AE＋BE＋AE−DF，∴BE＝DF，在△CDF和△CBE中，CF CECFD CEBDF BE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△CDF≌△CBE（SAS），∴∠B＝∠FDC，∵∠ADC＋∠FDC＝180°，∴∠ADC+∠B=180º．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是牢记三角形全等的判定定理． 7．（1）详见解析；（2）8cm.【解析】【分析】（1）过点E 分别作EF AD ⊥于F ，由角平分线的性质就可以得出EF=EC ，根据HL 得AEB AEF ∆∆≌，即可得出结论；（2）根据角平分线和平行线的性质求出30CED DAE ∠=∠=︒ ，根据含30°角的直角三角形的性质即可求解.【详解】（1）证明：过点E 分别作EF AD ⊥于F ，∴∠DFE=∠AFE=90°．∵∠B=∠C=90°，∴∠B=∠AFE=∠DFE=∠C=90°．∴CB ⊥AB ，CB ⊥CD ．∵DE 平分∠ADC ．∴∠EDC=∠EDF ，CE=EF ．∵E 是BC 的中点，∴CE=BE ，∴BE=EF ．在Rt △AEB 和Rt △AEF 中，EB=EF AE=AE ⎧⎨⎩， ∴Rt △AEB ≌Rt △AEF （HL ），∴∠EAB=∠EAF ，∴AE 是∠DAB 的平分线；（2）解：∵∠B=∠C=90°，∴AB ∥CD ，∴∠BAD+∠ADC=180°，∵∠BAD=60°，DE 平分ADC ∠，AE 是∠DAB 的平分线，60ADE CDE ∠=∠=︒∴ ，30DAE ∠=︒ ，A 90DE =︒∠，∵∠C=90°∴ A 30D E =︒∠，C 30DE =︒∠ ，248AD DE CD cm ∴===.故答案为（1）详见解析；（2）8cm.【点睛】本题考查角平分线的性质，线段中点的定义，全等三角形的判定与性质的运用，含30°角的直角三角形，证明三角形全等是解（1）题的关键，掌握含30°角的直角三角形的性质是解（2）题的关键．8．详见解析【解析】【分析】过点C 分别作CE AB ⊥于E ，CF AD ⊥于F ，由条件可得出△CDF ≌△CEB ，可得∠B=∠FDC ，进而可证明∠B+∠ADC=180°．【详解】证明：过点C 分别作CE AB ⊥于E ，CF AD ⊥于F ，∵AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF AD ⊥于F ，∴CF=CE ，在Rt △CDF 与Rt △CEB 中，CF=CE CD=CB⎧⎨⎩ ∴CBE CDF ∆∆≌， CBE CDF ∴∠=∠，180ADC CDF ∠+∠=︒，A C 180B D ∴∠+∠=︒ .【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL 证明△CDF ≌△CEB 进而得出∠B=∠FDC ．9．1DG =【分析】延长CG 交AB 于点E. 根据等腰三角形的判定与性质得CG=EG ，AE=AC,再根据三角形中位线的性质得出DG=12BE=12（AB-AC ），从而得出DG 的长． 【详解】 解：延长CG 交AB 于点E ．AG 平分BAC ∠，CG AG ⊥于G ，CG EG ∴=，4AE AC ==，2BE AB AC ∴=-=，∵CG EG ，D 为BC 的中点，112DG BE ∴==． 故答案为1DG =.【点睛】本题考查 等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理，根据题意作出辅助线，利用三角形中位线定理求解是解题的关键．10．点M 到AC 的距离为2【解析】【分析】利用图形翻折前后图形不发生变化，从而得出AB=AB′=3，DM=MN ，再利用三角形面积分割前后不发生变化，求出点M 到AC 的距离即可．【详解】∵△ABM 沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，假设这个点是B′， 作MN ⊥AC ，MD ⊥AB ，垂足分别为N ，D ，又∵Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，∴AB=AB′=3，DM=MN ，AB′=B′C=3，S △BAC =S △BAM +S △MAC ，即12×3×6=12×MD×3+12×6×MN ， ∴MD=2，所以点M 到AC 的距离是2．【点睛】本题考查了翻折变换(折叠问题)，发现DM=MN ，以及A B=AB′=B′C=3，结合面积不变得出等式是解决问题的关键．。