2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：6 函数的奇偶性与周期性 Word版含解析
第一轮复习06----函数的奇偶性与周期性
cos x (3) f x 2 ; x 1
函数奇偶性的非定理性结论
（ 1）f x 为奇函数，则保留奇次 方； f x ax bx cx dx e
4 3 2
（2）f x 为偶函数，则保留偶次 方；
奇 奇 奇；偶 偶 偶； 奇 奇 偶； 奇 偶 奇； 偶 奇 奇； 偶 偶 偶；
(1)试判断函数y f x 的奇偶性； 的个数，并证明你的结 论。
(2)试求方程f x 0在闭区间- 2015 ,2015上的根
面积； (3)写出- ， 内函数f x 的单调区间。
函数性质的综合应用
设函数f x 在- ， 上满足f 2 x f 2 x ,
0,7上只有f 1 f 7 x f 7 x , 且在闭区间
f 3 0.
2，f x a f x a 4，f x a f a x
减消x为周期性；加消 x为对称性；
函数周期性的应用
1，已知函数f x 在R上是奇函数， 且满足f x 4 f x , 当x 0,2
2
时，f x 2 x , 求f 2015.
第一轮复习-函数的奇偶性与周 期性
上饶中学数学组 俞振
函数的奇偶性和周期性
1，奇函数、偶函数的概 念 2，判断函数奇偶性的方 法： 定义法、运算法 3，周期性 4，常用周期函数：三角 函数
常用抽象函数非定理性结论 1，f x a f x a
3，f x a f a x
函数周期性的应用
2，定义在R上的函数f x 满足 f x 6 f x , 当 3 x 1
2020年高考数学一轮复习(新课改)第1课时系统知识——函数的单调性与最值、奇偶性、周期性
第二节函数的性质第1课时系统知识一一函数的单调性与最值、奇偶性、周期性若函数y= f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y= f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y= f(x)的单调区间.［点拨］(1)函数单调性定义中的X i , X2具有以下三个特征：一是任意性，即任意两数X i, D ”，任意”两字决不能丢；二是有大小，即X i VX2(或X1>X2)；三是同属一个单调区间，三者缺一不可.⑵若函数在区间D上单调递增(或递减),则对D内任意的两个不等自变量X1, X2的值, 都有fXL二竺或fXk 4竺<。
.X1 —X2 X1—X2 /(3)函数f(X)在给定区间上的单调性，是函数在此区间上的整体性质，不一定代表在整个定义域上有此性质.［谨记常用结论］(1) 函数f(X)与f(x)+ c(c为常数)具有相同的单调性.(2) k>0时，函数f(x)与kf(x)单调性相同；k<0时，函数f(x)与kf(x)单调性相反.1⑶若f(x)恒为正值或恒为负值，贝y f(x)与具有相反的单调性.⑷若f(x), g(x)都是增(减)函数，则当两者都恒大于零时，f(x) •(x)是增(减)函数；当两者都恒小于零时，f(x) g(x)是减(增)函数.(5)在公共定义域内，增+增=增，减+减=减，增—减=增，减—增=减.［小题练通］1. ［人教A版教材P39B组T1］函数f(x)= x2—2x的单调递增区间是______ .答案：［1 ,+^ )2. ［教材改编题］如果二次函数f(x)= x2—(a—1)x + 5在区间2, 1上是增函数，则实数a的取值范围为_________ .解析：T函数f(x) = x2—(a —1)x+ 5的对称轴为x =旦^1且在区间2，1上是增函数，a —1答案：(—R, 2］3. ［教材改编题］函数f(x)= log1 (x2—4)的单调递增区间为________ .2解析：由x2—4>0得x<—2或x>2.又u = x2—4在(一a,—2)上为减函数，在(2, + a)上为增函数，y= log 1 u为减函数，2故f(x)的单调递增区间为(一a,—2).答案：(一a,—2)4. ［易错题］设定义在［—1,7］上的函数y= f(x)的图象如图所示，则函数y= f(x)的增区间为________ .答案：［—1,1］, ［5,7］2x + k5.若函数y= 与y= log3(x—2)在(3, +a )上具有相同的单调性，贝U实数k的取值x—2范围是_________ .解析：由于y= lOg3(x—2)的定义域为(2 , + a ), 且为增函数，故函数y=空土^ = 2x —2+ 4+ k= 2 + 也在(3, + a)上也是增函数，则有4+ k v 0, x —2 x —2 x —2得k v — 4.f(X)Vf —的实数x的取值范答案：(—a, —4)6•已知函数f(x)为定义在区间［—1,1］上的增函数，则满足围为________ .—1W x W1,解析：由题设得1x<2解得—1W x<1.答案：—1,—前提设函数f(x)的定义域为1，如果存在实数M满足条件对于任意x€ I，都有f(x)W M ;存在X o€ I，使得f(X o)= M对于任意x € I，都有f(x)》M ;存在x°€ I，使得f(x^)= M结论M为最大值M为最小值1.函数的最值2.函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值•当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到.(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.［点拨］(1)对于单调函数，最大(小)值出现在定义域的边界处；(2) 对于非单调函数求最值，通常借助图象求解更方便；(3) 一般地，恒成立问题可以用求最值的方法来解决，而利用单调性是求最值的常用方法•注意以下关系：f(x)> a恒成立？f(x)min> a ；f(x) W a恒成立？f(x)max <乱解题时，要务必注意“=”的取舍.［小题练通］21. __________________________________________________________ ［人教A版教材P31例4］函数f(x)=二二在［2,6］上的最大值是___________________________ •答案：22. ［教材改编题］设函数f(x)= 2~在区间［3,4］上的最大值和最小值分别为M ,m,则晋=x—2 M 解析：易知f(x)= x—2 = 2+七，所以f(x)在区间［3,4］上单调递减,4所以M = f(3) = 2 + ---- =6,3 —2 所以m!_ 16_ 8M —6 —3.答案:3.［教材改编题喏函数f(x)=—；+ b(a>0)在；，2上的值域为••• f(X )min = f 2 = 2 , f(x)max = f(2) = 2.1—2a 十 b = 1, 即 -1+b = 2,答案：1 54.［易错题］函数y =~22 i解析：由 y = X ^ ，可得 x 2 = —-^.由 x 2>0,知—0，解得—1 w y<1,x 十 1 1 — y 1 — y故所求函数的值域为［—1,1). 答案：［—1,1) 5.函数f(x) = x ，x> 1，的最大值为x 2 + 2, x<11解析：当x > 1时，函数f(x)= -为减函数，所以f(x)在x = 1处取得最大值，为 f(1) = 1； 当x<1时，易知函数f(x) = — x 2+ 2在x = 0处取得最大值，为 f(0) = 2.故函数f(x)的最大值 为2.答案：26.已知函数 f(x)=— x 2 + 4x 十a , x € ［0,1］，若f(x)有最小值一2,贝V f(x)的最大值为解析：函数 f(x)=— x 2 + 4x 十 a =— (x — 2)2+ 4+ a , x € [0,1]，且函数 f(x)有最小值—2. 故当x = 0时，函数f(x)有最小值，当 x = 1时，函数f(x)有最大值•当 x = 0时，f(0) = a =—2,.・. f(x)=— x 2+ 4x — 2, •当 x = 1 时,f(x)max = f(1)=—十十 4X 1 — 2 = 1.答案：1［谨记常用结论］1. 函数奇偶性的几个重要结论-1解析：•/ f(x)=-三+ b(a>0)在 1，2 是增函数,a = 1, 解得 5b = 5.⑴如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0) = 0.⑵如果函数f(x)是偶函数，那么f(x) = f(|x|).(3) 既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)= 0, x€ D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集.(4) 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.2. 有关对称性的结论(1) 若函数y= f(x + a)为偶函数，则函数y= f(x)关于x = a对称.若函数y= f(x+ a)为奇函数，则函数y= f(x)关于点(a,0)对称.(2) 若f(x)= f(2a—x),则函数f(x)关于x = a 对称；若f(x) + f(2a—x) = 2b,则函数f(x) 关于点(a, b)对称.［小题练通］1. ________________ ［人教A版教材P39A组T6］已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)= x(1 + x),贝U f( —1) = .答案：—22. ［教材改编题］设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x) = x1 2 3+ 1,则f( —2)+ f(0)解析：由题意知f( —2) =—f(2) = —(22+ 1) =—5, f(0) = 0,••• f(—2) + f(0) = — 5.答案：—53. ［教材改编题］已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)= x + 1,则当x>0时，f(x)=解析：当x>0 时，一xv0,「. f(—x)=—x + 1,又f(x)为偶函数，• f(x)=—x+ 1.答案：—x+ 14. ［易错题］已知f(x) = ax2+ bx是定义在［a —1,2 a］上的偶函数，那么 a + b的值是2 1解析：T f(x)= ax2+ bx是定义在［a —1,2 a］上的偶函数，• a—1 + 2a = 0,二a=；. 31又f( —x)= f(x) ,• b= 0,二a+ b= 3.3答案:5.在函数y= xcosx, y= e x+ x2, y= lg . x2—2, y= xsin x 中，偶函数的个数是___________ 解析：y= xcos x是奇函数，y= lg x2—2和y= xsin x是偶函数，y= e x+ x2是非奇非偶函数，所以偶函数的个数是 2.答案：26.已知函数 f(x)= asin x + bln*^ +1，若 f 1 + f — 2 =6，则实数 t=________________ ，解析：令g(x)= asin x + bln 齐，则易知g(x)为奇函数，所以gg g J — 2戶0,则由 f(x)= g(x)+1,得 f 1 + f —1 = g 1 + g —1 + 2t = 2t = 6,解得 t = 3.答案：31. 周期函数对于函数y = f(x)，如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的任何值时，都有f(x + T) = f(x)，那么就称函数 y = f(x)为周期函数，称T 为这个函数的周期.2. 最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期.［谨记常用结论］定义式f(x + T)= f(x)对定义域内的x 是恒成立的.(1)若 f(x + a) = f(x + b),则函数 f(x)的周期为 T = |a — b|; 1 1f(x + a) = — f(x), f(x + a)=，f(x + a)=—匚何>0),则 f(x)为周期函数，且T = 2a 为它的一个周期.［小题练通］1.［教材改编题］设f(x)是定义在 R 上的周期为 2的函数，当 x € (— 1,1)时，f(x)= 「4x + 2,—1<x <0，则虑 L __________________ .x , 0< x<1, 2答案：12.［教材改编题］若f(x)是R 上周期为2的函数，且满足 f(1) = 1, f(2) = 2,贝U f(3) — f(4)解析：由 f(x)是 R 上周期为 2 的函数知，f(3) = f(1) = 1, f(4) = f(2) = 2,••• f(3) — f(4) =— 1.答案：—1=x ,贝y f(2 019) = __________(2)若在定义域内满足3.［教材改编题］已知f(x)是定义在R 上的函数，并且 1f(x + 2)= f x ,f(x)1 1解析：由已知，可得f(x + 4) = f[(x + 2) + 2]= —— =-—=f(x),故函数f(x)的周期为f (X + 2)4.A f(2 019) = f(4X 504+ 3) = f(3)= 3.答案：34. [易错题]函数f(x)的周期为4,且x€ (-2,2], f(x) = 2x- x2,则f(2 018) + f(2 019) + f(2 020)的值为________ .解析：由f(x)= 2x-x2, x€ (-2,2],知f(- 1)=- 3, f(0)= 0, f(2) = 0，又f(x)的周期为4,所以f(2 018) + f(2 019) + f(2 020) = f(2) + f( - 1)+ f(0) = 0 - 3+ 0=- 3.答案：—35. 已知f(x)是R上的奇函数，且对任意x€ R都有f(x+ 6)= f(x) + f(3)成立，则f(2 019)解析：•/ f(x)是R上的奇函数，••• f(0) = 0,又对任意x€ R都有f(x + 6) = f(x) + f(3),二当x=- 3 时，有f(3) = f( - 3) + f(3) = 0, • f( - 3) = 0 , f(3) = 0 , • f(x+ 6) = f(x)，周期为6. 故f(2 019) = f(3) = 0.答案：06.偶函数y= f(x)的图象关于直线x= 2对称，f(3) = 3,则f( - 1) = __________ .解析：因为f(x)的图象关于直线x= 2对称，所以f(x) = f(4- x) , f( - x) = f(4 + x),又f(- x) = f(x),所以f(x) = f(4 + x),则f( - 1) = f(4 - 1) = f(3) = 3.答案：3。
备考2020年高考数学一轮复习：06 函数的奇偶性与周期性
备考2020年高考数学一轮复习：06 函数的奇偶性与周期性一、单选题(共12题；共24分)1．（2分）已知y=f(x)(x∈R)存在导函数，若f(x)既是周期函数又是奇函数，则其导函数（）A．既是周期函数又是奇函数B．既是周期函数又是偶函数C．不是周期函数但是奇函数D．不是周期函数但是偶函数2．（2分）下列函数中，既是偶函数又在区间(0，+∞)上单调递减的是（）A．y=x3 B．y=|x|C．y=sinx D．y= 1x23．（2分）已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x+1)=f(x−3)，当x∈(−2, 0)时，f(x)=−2x，则f(1)+f(4)等于()A．-1B．−12C．12D．14．（2分）设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）= e x-1，则当x<0时，f（x）=（）A．e−x-1B．e−x+1C．- e−x-1D．- e−x+1 5．（2分）已知f(x)=ax3+bx−4其中a，b为常数，若f(−2)=2，则f(2)=（）A．2B．-6C．-10D．-46．（2分）奇函数f（x），当x＜0时，有f（x）=x（2﹣x），则f（4）的值为（）A．12B．-12C．-24D．247．（2分）若函数f(x)=xlg(mx+√x2+1)为偶函数，则m=（）A．-1B．1C．-1或1D．08．（2分）已知定义在[1−a,2a−5]上的偶函数f(x)在[0,2a−5]上单调递增，则函数f(x)的解析式不可能是()A．f(x)=x2+a B．f(x)=log a(|x|+2)C．f(x)=x a D．f(x)=−a|x|9．（2分）已知函数f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)=x2−3x，则（）A．f(tan70∘)>f(1.4)>f(−1.5)B．f(tan70∘)>f(−1.5)>f(1.4)C．f(1.4)>f(tan70∘)>f(−1.5)D．f(−1.5)>f(1.4)>f(tan70∘)10．（2分）f(x)是R上奇函数，对任意实数x都有f(x)=−f(x−32)，当x∈(12,32)时，f(x)=log2(2x−1)，则f(2018)+f(2019)=（）A．－1B．1C．0D．211．（2分）图象关于原点对称且在定义域内单调递增的函数是（）A．f(x)=cosx−1B．f(x)=x2+2C．f(x)=−1xD．f(x)=x312．（2分）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+5)=f(x−3)，如果当x∈[0,4)时，f(x)=log2(x+2)，则f(766)=（）A．3B．-3C．-2D．2二、填空题(共6题；共7分)13．（1分）已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=−e ax.若f(ln2)=8，则a=.14．（2分）设函数f（x）=e x+ae-x（a为常数）。
高考一轮复习函数的奇偶性与周期性课件
常见周期函数的举例
正弦函数和余弦函数是常见的周期函 数。例如，y=sin(x)的最小正周期为 2π，y=cos(x)的最小正周期为2π。
函数y=sin(ax)和y=cos(ax)的周期为 2π/a，其中a是常数。
函数y=tan(x)也是周期函数，它的最 小正周期为π。
函数y=tan(ax)的周期为π/a，其中a 是常数。
举一反三
通过练习多种形式的题目， 提高对奇偶性和周期性问 题的应变能力。
反思提高
反思自己在解题过程中的 不足，针对性地加强薄弱 环节的训练。
THANKS.
02
与性
周期函数的定 义
周期函数的定义
如果存在一个非零常数T，对于函数f(x)的定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)， 则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期。
周期函数的定义还可以表述为
如果存在一个非零常数T，对于函数f(x)的定义域内的任意x，当x增加T时，函数 值重复出现，即f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期。
高考一复函数的奇 偶性与周期性件
• 函数奇偶性的定义与性质 • 函数周期性的定义与性质 • 奇偶性与周期性的应用 • 高考真题解析 • 复习建议与策略
函数奇偶性的定
01
与性
奇函数与偶函数的定 义
奇函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任 意一个$x$，都有$f(-x)=-f(x)$， 则称$f(x)$为奇函数。
偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任 意一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$， 则称$f(x)$为偶函数。
奇偶函数的性 质
01
奇函数在原点有定义， 即$f(0)=0$。
2020版高考理科数学(人教版)一轮复习课件：第二章 第三节 函数的奇偶性与周期性
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基础——在批注中理解透
单纯识记无意义，深刻理解提能力
课时跟踪检测
考点——在细解中明规律
题目千变总有根，梳干理枝究其本
基础——在批注中理解透
单纯识记无意义，深刻理解提能力
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任 意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那 么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任 意一个x，都有f(－x)＝－f(x)， 关于原点对称 那么函数f(x)就叫做奇函数
口诀 奇偶性有特征，定义域要对称； 记忆 奇函数，有中心，偶函数，有对称.
考点——在细解中明规律
题目千变总有根，梳干理枝究其本
考法(一)是已知函数单调递增且为奇函数，求自变量范围， 有时也比较大小，常利用奇、偶函数图象的对称性； 看 考法(二)是已知f(x)是周期函数且为偶函数，求函数值的 范围，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的 个 自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解； 性 考法(三)是函数周自变量所在的区间，然后利用 奇偶性和单调性求解
2020高考数学总复习课时作业：函数的奇偶性与周期性 含解析
x∈[－5，－4]时，x＋4∈[－1,0]，
f(x)＝f(x＋4)＝－ .
从而，x∈[－5，－4]时，函数f(x)＝－ .
7．(2020·××市模拟)已知函数f(x)＝2x－2－x，则不等式f(2x＋1)＋f(1)≥0的解集是________.
解析：根据题意，有f(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－f(x)，则函数f(x)为奇函数，
又函数f(x)在R上为增函数，
f(2x＋1)＋f(1)≥0等价于f(2x＋1)≥－f(1)，即f(2x＋1)≥f(－1)，
答案：1－1
9．已知函数f(x)＝ 是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
A．(3，＋∞)B．(－∞，－3)
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D．(－1,3)
解析：D[由偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0，
得f(x)＝f(|x|)，
因为f(x－1)＞0，则f(|x－1|)＞f(2)，
即|x－1|＜2，解得－1＜x＜3，即x的取值范围是(－1,3)．故选D.]
2020高考数学总复习课时作业：函数的奇偶性与周期性 含解析
编 辑：__________________
时 间：__________________
第二章第3节
1．(2020·××市一模)下列函数中，既是偶函数又在(－∞，0)上单调递减的函数是()
高考数学一轮复习课时作业(六)第6讲函数的奇偶性与周期性文(2021年整理)
2019年高考数学一轮复习课时作业（六）第6讲函数的奇偶性与周期性文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019年高考数学一轮复习课时作业（六）第6讲函数的奇偶性与周期性文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019年高考数学一轮复习课时作业（六）第6讲函数的奇偶性与周期性文的全部内容。
课时作业（六)第6讲函数的奇偶性与周期性时间/ 30分钟分值/ 80分基础热身1。
已知f(x）=x3-cos x（x∈R）,则f(x) （）A。
是偶函数B。
是奇函数C. 是非奇非偶函数D. 既是奇函数又是偶函数2.［2017·洛阳二检］已知函数f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且0<x<时，f（x)=log2x，则f+f(-2）+f（-3）=（）A. —1B. 1C. —2D. 23。
[2017·河南八市重点高中三测]下列函数既是奇函数又在（-1，1）上是减函数的是（)A。
y=tan xB. y=x-1C. y=lnD. y=(3x—3—x）4。
［2017·九江三模]已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x〉0时,f（x)=2x—1,则f[f(—1）］的值为（）A。
2 B。
—2C. 1 D。
-15。
已知f（x)=ax2+(b—1)x+5是定义在［a—2,3a］上的偶函数,那么a+b的值是。
能力提升6.设f（x）—x2=g（x）,x∈R，若函数f（x)为偶函数,则g（x）的解析式可以为（）A. x3B。
cos xC. 1+x D。
x e x7。
［2017·唐山模拟]设函数y=f（x），x∈R，“y=|f（x）｜是偶函数"是“y=f(x）的图像关于原点对称”的（)A. 充分不必要条件B。
高考数学一轮复习函数的奇偶性与周期性
答案 （2）－e－x＋1
目录
｜解题技法｜
函数奇偶性的应用类型及解题奇偶性求
出f（x）的解析式，或充分利用奇偶性构造关于f（x）的方程（组），从而得到f
（x）的解析式；
（2）应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性
质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能.
在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT（k∈Z且k≠0）
也是函数的周期.
目录
1.定义在R上的奇函数f（x），满足f（x＋4）＝－f（x），且当x∈[0，2]时，f
）
A.b＜a＜c
B.c＜b＜a
C.b＜c＜a
D.a＜b＜c
解析：A 由结论3知，函数f（x）关于直线x＝1对称，当1＜x1＜x2时，[f（x1）
－f（x2）]（x1－x2）＞0，则f（x2）＞f（x1），∴函数f（x）为（1，＋∞）上的
增函数，∴a＝f
1
−
2
＝f
3
1−
2
＝f 1 +
3
2
＝f
5
2
5
，∵3＞ ＞2＞1，因此，b＜a＜
x＋2·
－x，所以f（x）＝3x＋3－x.
ቊ
两式相加得，2f（x）＝2·
3
3
()−() = 2·3− ,
答案：3x＋3－x
目录
函数的周期性
【例3】 （1）（2021·全国甲卷）设f（x）是定义域为R的奇函数，且f（1＋
x）＝f（－x）.若f
1
−
3
1
5
＝ ，则f
2020版高考数学一轮复习课后限时集训6函数的奇偶性与周期性含解析理
课后限时集训(六)(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝1＋x 2B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x ＋e xD [A 选项定义域为R ，由于f (－x )＝1＋－x 2＝1＋x 2＝f (x )，所以是偶函数．B选项定义域为{x |x ≠0}，由于f (－x )＝－x －1x＝－f (x )，所以是奇函数．C 选项定义域为R ，由于f (－x )＝2－x ＋12－x ＝12x ＋2x＝f (x )，所以是偶函数．D 选项定义域为R ，由于f (－x )＝－x＋e －x＝1ex －x ，所以是非奇非偶函数．]2．(2019·开封模拟)已知f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x＋log 2x ，则f (2 019)＝( )A ．5 B.12C ．2D ．－2D [由题意得f (2 019)＝f (4×505－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－(21＋log 21)＝－2，故选D.]3．(2019·三明模拟)函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝2x，则当x ＞0时，f (x )＝( )A ．－2xB ．2－xC ．－2－xD ．2xC [当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝2－x，又f (－x )＝－f (x )，所以－f (x )＝2－x，即f (x )＝－2－x ，故选C.]4．(2019·郑州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，0≤x ≤1，x －1，1＜x ≤2，如果对任意的n ∈N *，定义f n (x )＝，那么f 2 018(2)的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3A [由题意知，f 1(2)＝f (2)＝1，f 2(2)＝f (f (2))＝f (1)＝0，f 3(2)＝f (f (f (2)))＝f (0)＝2，f 4(2)＝f (2)＝1，因此f n (2)的值呈周期性变化，周期T ＝3.则f 2 018(2)＝f 2(2)＝0，故选A.]5．已知函数f (x )的定义域为R ，且满足下列三个条件： ①对任意的x 1，x 2∈[4,8]，当x 1＜x 2时，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＞0；②f (x ＋4)＝－f (x )；③y ＝f (x ＋4)是偶函数．若a ＝f (6)，b ＝f (11)，c ＝f (2 017)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．a ＜c ＜bD ．c ＜b ＜aB [由条件①知，函数f (x )在区间[4,8]上是增函数， 由条件②知，函数f (x )的周期T ＝8，由条件③知，函数f (x )的图象关于直线x ＝4对称． 则f (11)＝f (3)＝f (5)，f (2 017)＝f (1)＝f (7)． 由f (5)＜f (6)＜f (7)知f (11)＜f (6)＜f (2 017)， 即b ＜a ＜c .故选B.] 二、填空题6．已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，则不等式f (x －2)≥0的解集是________．{x |x ≤1或x ≥3} [由题意知偶函数f (x )在(－∞，0)上是减函数，且f (－1)＝f (1)＝0，所以f (x －2)≥0可转化为x －2≥1或x －2≤－1，解得x ≥3或x ≤1.]7．(2019·广州模拟)已知函数f (x )＝2x2x －1＋a 为奇函数，则实数a ＝________.－12 [由题意知f (－1)＝－f (1)，即2－12－1－1＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1＋a ，解得a ＝－12，经检验，符合题意．]8．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件： ①f (x )＋f (－x )＝0； ②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ＜1时，f (x )＝2x－1.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝________.2－1 [依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2， 则f (1)＋f (－1)＝0，f (－1)＝f (1)，即f (1)＝0.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋0＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (0) ＝212－1＋20－1 ＝2－1.] 三、解答题9．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x 成立． (1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期； (2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值．[解] (1)证明：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ，且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期．(2)因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2.10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． [解] (1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )，于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增， 结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．B 组 能力提升1．(2019·武汉模拟)若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x，则g (x )＝( )A ．e x －e －xB.12(e x ＋e －x) C.12(e －x －e x) D.12(e x －e －x ) D [由题意知f (－x )＋g (－x )＝e －x， 又f (x )是偶函数，g (x )是奇函数， 所以f (x )－g (x )＝e －x，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧f x －g x ＝e －x ，fx ＋g x ＝e x ，得g (x )＝e x －e－x2.故选D.]2．(2019·青岛模拟)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1C ．0D ．2D [由题意知当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 则f (x ＋1)＝f (x )．又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )，∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)．又当x <0时，f (x )＝x 3－1，∴f (－1)＝－2，∴f (6)＝2.故选D.]3．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的 x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x，则有①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0. 其中所有正确命题的序号是________．①② [由f (x ＋1)＝f (x －1)得f (x ＋2)＝f (x )，因此2是函数f (x )的周期，故①正确； 由题意知，在区间[0,1]上，函数f (x )是增函数．在区间[－1,0]上，函数f (x )是减函数，由函数的周期性知，函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；函数f (x )的最大值为2，最小值为1，故③错误．] 4．已知函数f (x )＝2|x －2|＋ax (x ∈R )有最小值． (1)求实数a 的取值范围；(2)设g (x )为定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，g (x )＝f (x )，求g (x )的解析式．[解] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2x －4，x ≥2，a －2x ＋4，x ＜2，要使函数f (x )有最小值，需⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2≥0，a －2≤0，∴－2≤a ≤2，故a 的取值范围为[－2,2]． (2)∵g (x )为定义在R 上的奇函数， ∴g (0)＝0. 设x ＞0，则－x ＜0.∴g (x )＝－g (－x )＝(a －2)x －4，∴g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2x －4，x ＞0，0，x ＝0，a －2x ＋4，x ＜0.。
高三数学一轮复习课时作业6函数的奇偶性及其性质的综合应用B文试题
课时作业(六)B [第6讲 函数的奇偶性及其性质的综合应用]制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日[时间是：35分钟 分值：80分]根底热身1．[2021·卷] 假设定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x，那么g (x )＝( )A ．e x －e －x B.12(e x ＋e －x ) C.12(e －x －e x ) D.12(e x －e －x ) 2．函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1的图象( )A ．关于点(1,0)对称B ．关于点(0,1)对称C ．关于点(－1,0)对称D ．关于点(0，－1)对称3．[2021·卷] 设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，那么y ＝f (x )的图象可能是( )4．[2021·卷] 设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x)(x ∈R )是偶函数，那么实数a 的值是________．才能提升5．函数y ＝f (x )在(0,2)上是增函数，函数y ＝f (x ＋2)是偶函数，那么以下结论正确的选项是( ) A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1) D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72 6．设偶函数f (x )满足f (x )＝2x－4(x ≥0)，那么{x |f (x －2)＞0}＝( )A ．{x |x ＜－2或者x ＞4}B ．{x |x ＜0或者x ＞4}C ．{x |x ＜0或者x ＞6}D ．{x |x ＜－2或者x ＞2}7．[2021·模拟] f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，那么f (2021)＋f (2021)的值是( )A ．－1B ．1C ．0D ．无法计算 8．关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ∈R ，x ≠0)，有以下命题： ①函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称；②在区间(－∞，0)上，f (x )是减函数；③函数y ＝f (x )的最小值是lg2；④在区间(－∞，0)上，f (x )是增函数．其中正确的选项是( )A ．①②B ．②④C ．①③D ．③9．偶函数f (x )(x ∈R )满足：f (－4)＝f (1)＝0，且在区间[0,3]与[3，＋∞)上分别递减和递增，那么不等式xf (x )<0的解集为________．10．设a 为常数，f (x )＝x 2－4x ＋3，假设函数f (x ＋a )为偶函数，那么a ＝________；f [f (a )]＝________.11．[2021·模拟] 设f (x )是偶函数，且当x >0时是单调函数，那么满足f (2x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4的所有x 之和为________． 12．(13分)设函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c是奇函数(a ，b ，c 都是整数)，且f (1)＝2，f (2)<3，f (x )在(1，＋∞)上单调递增．(1)求a ，b ，c 的值；(2)当x <0时，f (x )的单调性如何？证明你的结论．难点打破13．(12分)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )满足：①∀x ，y ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (x ·y )＝f (x )＋f (y )；②当x >1时，f (x )>0，且f (2)＝1.(1)试判断函数f (x )的奇偶性；(2)判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性；(3)求函数f (x )在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值；(4)求不等式f (3x －2)＋f (x )≥4的解集．课时作业(六)B【根底热身】1．D [解析] 因为函数f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x .又因为f (x )＋g (x )＝e x，所以g (x )＝e x －e －x 2. 2．B [解析] 令g (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，那么g (x )为奇函数，所以g (x )的图象关于原点(0,0)对称，当x ＝0时，有f (0)－1＝0，此时f (0)＝1，所以对称中心为(0,1)．3．B [解析] 由f (－x )＝f (x )可知函数为偶函数，其图象关于y 轴对称，可以结合选项排除A 、C ，再利用f (x ＋2)＝f (x )，可知函数为周期函数，且T ＝2，必满足f (4)＝f (2)，排除D ，故只能选B.4．－1 [解析] 设g (x )＝x ，h (x )＝e x ＋a e －x ，因为函数g (x )＝x 是奇函数，那么由题意知，函数h (x )＝e x ＋a e －x 为奇函数．又函数f (x )的定义域为R ，∴h (0)＝0，解得a ＝－1.【才能提升】5．B [解析] 因为y ＝f (x ＋2)是偶函数，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴f (1)＝f (3)．又f (x )在(0,2)上为增函数，∴f (x )在(2,4)上为减函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 6．B [解析] ∵f (x )＝2x －4(x ≥0)，∴令f (x )＞0，得xf (x )为偶函数且f (x －2)＞0，∴f (|x －2|)＞0，∴|x －2|＞2，解得x ＞4或者x ＜0，∴{x |x ＜0或者x ＞4}．7．C [解析] 由题意得g (－x )＝f (－x －1)，又因为f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，f (－x )＝f (x )，∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，∴f (x )＝－f (x ＋2)，∴f (x )＝f (x ＋4)，∴f (x )的周期为4，∴f (2021)＝f (1)，f (2021)＝f (3)＝f (－1)，又∵f (1)＝f (－1)＝g (0)＝0，∴f (2021)＋f (2021)＝0.8．C [解析] 由函数f (x )的定义域为()－∞，0∪()0，＋∞，且f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．当x >0时，f (x )＝lg x 2＋1x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≥lg2，函数f (x )在()－∞，－1，()0，1上为减函数，在()－1，0，()1，＋∞上为增函数．故①③正确．9．(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4) [解析] 通过f (x )(x ∈R )图象的草图(图略)得知函数f (x )(x ∈R )在(－∞，－4)，(－1,1)，(4，＋∞)上都为正，在(－4，－1)，(1,4)上为负，故不等式xf (x )<0的解集为(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)．10．2 8 [解析] 由题意得f (x ＋a )＝(x ＋a )2－4(x ＋a )＋3＝x 2＋(2a －4)x ＋a 2－4a ＋3，因为f (x ＋a )为偶函数，所以2a －4＝0，a ＝2.f [f (a )]＝f [f (2)]＝f (－1)＝8.11．－8 [解析] ∵f (x )是偶函数，f (2x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4， ∴f (|2x |)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋4， 又∵f (x )在(0，＋∞)上为单调函数，∴|2x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋4， 即2x ＝x ＋1x ＋4或者2x ＝－x ＋1x ＋4， 整理得2x 2＋7x －1＝0或者2x 2＋9x ＋1＝0，设方程2x 2＋7x －1＝0的两根为x 1，x 2，方程2x 2＋9x ＋1＝0的两根为x 3，x 4.那么(x 1＋x 2)＋(x 3＋x 4)＝－72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝－8. 12．[解答] (1)由f (1)＝2，得a ＋1b ＋c ＝2，由f (2)<3，得4a ＋12b ＋c<3.∵函数f (x )是奇函数，∴函数f (x )的定义域关于原点对称．又函数f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ∈R 且x ≠－c b ， 那么－c b ＝0，∴c ＝0，于是得f (x )＝ax b ＋1bx ，且a ＋1b ＝2，4a ＋12b <3，∴8b －32b <3，即0<b <32. 又b ∈Z ，∴b ＝1，那么a ＝1.a ＝1，b ＝1，c ＝0符合f (x )在(1，＋∞)上单调递增．(2)由(1)知f (x )＝x ＋1x.函数f (x )是奇函数，且在(1，＋∞)上单调递增，根据奇函数的对称性，可知f (x )在(－∞，－1)上单调递增；以下讨论f (x )在区间[－1,0)上的单调性．当－1≤x 1<x 2<0时，f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2，显然x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1,1－1x 1x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴函数f (x )在[－1,0)上为减函数．综上所述，函数f (x )在(－∞，－1)上是增函数，在[－1,0)上是减函数．【难点打破】13．[解答] (1)令x ＝y ＝1，那么f (1×1)＝f (1)＋f (1)，得f (1)＝0；再令x ＝y ＝－1，那么f [(－1)·(－1)]＝f (－1)＋f (－1)，得ff (x ·y )＝f (x )＋f (y )，令y ＝－1，那么f (－x )＝f (x )＋f (－1)，所以f (－x )＝f (x )．又函数f (x )的定义域关于原点对称，所以函数f (x )为偶函数．(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，那么有x 2x 1∵当x >1时，f (x )>0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1f (x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1·x 2x 1＝f (x 1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1>f (x 1)，∴函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (3)∵f (4)＝f (2×2)＝f (2)＋f (2)，又f (2)＝1，∴f (4)＝2.又由(1)(2)知函数f (x )在区间[－4,0)∪(0,4]上是偶函数且在(0,4]上是增函数，∴函数f (x )在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值为f (4)＝f (－4)＝2.(4)∵f (3x －2)＋f (x )＝f [x (3x －2)]，4＝2＋2＝f (4)＋f (4)＝f (16)，∴原不等式等价于f [x (3x －2)]≥f (16)．又函数f (x )为偶函数，且函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴原不等式又等价于|x (3x －2)|≥16，即x (3x －2)≥16或者x (3x －2)≤－16，解得x ≤－2或者x ≥83，∴不等式f (3x －2)＋f (x )≥4的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤－2或者x ≥83.制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。
高考理科数学(人教版)一轮复习讲义：第二章 第三节 函数的奇偶性与周期性 Word版含答案
第三节函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性(1)周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．并不是所有周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5.[熟记常用结论]1．奇偶性的5个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．2．周期性的4个常用结论设函数y＝f(x)，x∈R，a>0.(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；(3)若f(x＋a)＝1f(x)，则函数的周期为2a；(4)若f(x＋a)＝－1f(x)，则函数的周期为2a.3．对称性的3个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a 对称；(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．()(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．()(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．()(4)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．()(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√二、选填题1．下列函数中为偶函数的是()A．y＝x2sin x B．y＝x2cos xC．y＝|ln x| D．y＝2－x解析：选B A中函数为奇函数，B中函数为偶函数，C与D中函数均为非奇非偶函数，故选B.2．下列函数为奇函数的是()A．y＝x B．y＝e xC．y＝|x| D．y＝e x－e－x解析：选D A、B选项中的函数为非奇非偶函数；C选项中的函数为偶函数；D选项中的函数为奇函数，故选D.3．若y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y＝f(x)图象上的是()A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(a))C．(－a，－f(－a)) D．(a，f(－a))解析：选B因为(a，f(a))是函数y＝f(x)图象上的点，且y＝f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，所以点(－a，f(－a))，即(－a，－f(a))一定在y＝f(x)的图象上．4．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________． 解析：∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.答案：135．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________. 解析：∵f (x )是定义在R 上的周期为2的函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫2－12＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝－1＋2＝1. 答案：1判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x >0，x 2＋2x －1，x ＜0；(3)f (x )＝4－x 2x 2；(4)f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)(a >0且a ≠1)． 解：(1)因为f (x )有意义，则满足1－x1＋x ≥0，所以－1＜x ≤1，所以f (x )的定义域不关于原点对称， 所以f (x )为非奇非偶函数． (2)法一：定义法当x >0时，f (x )＝－x 2＋2x ＋1，－x ＜0，f (－x )＝(－x )2＋2(－x )－1＝x 2－2x －1＝－f (x )； 当x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x －1，－x >0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＋1＝－x 2－2x ＋1＝－f (x )．所以f (x )为奇函数． 法二：图象法作出函数f (x )的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f (x )为奇函数．(3)因为⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，x 2≠0，所以－2≤x ≤2且x ≠0，所以定义域关于原点对称． 又f (－x )＝4－(－x )2(－x )2＝4－x 2x 2，所以f (－x )＝f (x )．故函数f (x )为偶函数． (4)函数的定义域为R ， 因为f (－x )＋f (x )＝log a [－x ＋(－x )2＋1]＋log a (x ＋x 2＋1) ＝log a (x 2＋1－x )＋log a (x 2＋1＋x ) ＝log a [(x 2＋1－x )(x 2＋1＋x )] ＝log a (x 2＋1－x 2)＝log a 1＝0.即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．[名师微点]判断函数奇偶性的3种常用方法 (1)定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f (－x )＝±f (x )或其等价形式f (－x )±f (x )＝0是否成立．(2)图象法：(3)性质法：设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．[提醒] 分段函数奇偶性的判断，要分别从x >0或x ＜0来寻找等式f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．(1)(2019·广州调研)已知函数f (x )＝2x2x －1＋a 为奇函数，则实数a ＝________.(2)函数f (x )在R 上为奇函数，且x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________. (3)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 017)＋f (2 019)的值为________．[解析] (1)易知f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－x2－x －1＋a ＝－2x 2x －1－a ，所以2a ＝－2x 2x －1－2－x2－x －1＝－2x 2x －1－11－2x＝－1，所以a ＝－12.(2)∵f (x )为奇函数，x >0时，f (x )＝x ＋1， ∴当x ＜0时，－x >0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)＝x －1， 即x ＜0时，f (x )＝x －1.(3)由题意得，g (－x )＝f (－x －1)，∵f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数， ∴g (－x )＝－g (x )，f (－x )＝f (x )， ∴f (x －1)＝－f (x ＋1)， 即f (x －1)＋f (x ＋1)＝0.∴f (2 017)＋f (2 019)＝f (2 018－1)＋f (2 018＋1)＝0. [答案] (1)－12(2)x －1 (3)0[解题技法]与函数奇偶性有关的问题及解题策略(1)求函数的值：利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解．(2)求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用f (x )为奇函数⇔f (－x )＝－f (x )，f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (－x )，列式求解，也可利用特殊值法求解．对于在x ＝0处有定义的奇函数f (x )，可考虑列等式f (0)＝0求解．[过关训练]1．设f (x )－x 2＝g (x )，x ∈R ，若函数f (x )为偶函数，则g (x )的解析式可以为( )A ．g (x )＝x 3B ．g (x )＝cos xC ．g (x )＝1＋xD ．g (x )＝x e x解析：选B 因为f (x )＝x 2＋g (x )，且函数f (x )为偶函数，所以有(－x )2＋g (－x )＝x 2＋g (x )，即g (－x )＝g (x )，所以g (x )为偶函数，由选项可知，只有选项B 中的函数为偶函数，故选B.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )，x ＜0，g (x )＋1，x >0，若f (x )是奇函数，则g (3)的值是( )A ．1B ．3C ．－3D ．－1解析：选C ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )，x ＜0，g (x )＋1，x >0，f (x )是奇函数，∴f (－3)＝－f (3)，∴log 2(1＋3)＝－(g (3)＋1)，则g (3)＝－3.故选C.3．若关于x 的函数f (x )＝2tx 2＋2t sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋x 2x 2＋cos x (t ≠0)的最大值为a ，最小值为b ，且a＋b ＝2，则t ＝________.解析：f (x )＝2tx 2＋2t sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋x 2x 2＋cos x ＝t ＋t sin x ＋x2x 2＋cos x ，设g (x )＝t sin x ＋x 2x 2＋cos x，则g (x )为奇函数，g (x )max ＝a －t ，g (x )min ＝b －t .∵g (x )max ＋g (x )min ＝0，∴a ＋b －2t ＝0，即2－2t ＝0，解得t ＝1.答案：1(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2(1－x )，0≤x ≤1，x －1，1＜x ≤2，如果对任意的n ∈N *，定义f n (x )＝，那么f 2 019(2)的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)设定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝________.[解析] (1)∵f 1(2)＝f (2)＝1，f 2(2)＝f (1)＝0，f 3(2)＝f (0)＝2， ∴f n (2)的值具有周期性，且周期为3， ∴f 2 019(2)＝f 3×673(2)＝f 3(2)＝2，故选C.(2)∵f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数f (x )的周期T ＝2， ∵当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2， ∴f (0)＝0，f (1)＝1，∴f (0)＝f (2)＝f (4)＝…＝f (2 018)＝0， f (1)＝f (3)＝f (5)＝…＝f (2 019)＝1. 故f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝1 010. [答案] (1)C (2)1 010[解题技法]函数周期性有关问题的求解策略(1)求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期． (2)周期函数的图象具有周期性，如果发现一个函数的图象具有两个对称性(注意：对称中心在平行于x 轴的直线上，对称轴平行于y 轴)，那么这个函数一定具有周期性．[口诀记忆]函数周期三类型：一类直接定义求；二类图象题中有，图象重复是破口；三类图见两对称，隐藏周期别疏忽.[过关训练]1．[口诀第2句]已知函数f (x )的定义域为R ，当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (6)等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．2解析：选D 当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，即周期为1，则f (6)＝f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2.2．[口诀第3、4句]已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 当0≤x ＜2时，令f (x )＝x 3－x ＝x (x 2－1)＝0，所以y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标分别为x 1＝0，x 2＝1.当2≤x ＜4时，0≤x －2＜2，又f (x )的最小正周期为2，所以f (x －2)＝f (x )，所以f(x)＝(x－2)(x－1)(x－3)，所以当2≤x＜4时，y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3.同理可得，当4≤x＜6时，y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x5＝4，x6＝5.当x7＝6时，也符合要求．综上可知，共有7个交点．3．[口诀第5、6句]已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则下列不等式正确的是()A．f(log27)＜f(－5)＜f(6)B．f(log27)＜f(6)＜f(－5)C．f(－5)＜f(log27)＜f(6)D．f(－5)＜f(6)＜f(log27)解析：选C因为奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(1＋x)＝f(1－x)，f(－x)＝－f(x)，所以f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(－5)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，f(6)＝f(2)＝f(0)＝0.于是，结合题意可画出函数f(x)在[－2,4]上的大致图象，如图所示．又2＜log27＜3，所以结合图象可知－1＜f(log27)＜0，故f(－5)＜f(log27)＜f(6)，故选C.考法(一)单调性与奇偶性综合[例1](2018·石家庄质检)已知f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)单调递增，f(1)＝0，若f(x －1)>0，则x的取值范围为()A．{x|0＜x＜1或x>2}B．{x|x＜0或x>2}C．{x|x＜0或x>3} D．{x|x＜－1或x>1}[解析]因为函数f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝0，又函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以可作出函数f(x)的示意图，如图，则不等式f(x－1)>0可转化为－1＜x－1＜0或x－1>1，解得0＜x＜1或x>2，故选A.[答案] A考法(二)奇偶性与周期性综合[例2](2019·赣州月考)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为()A．(－∞，－3) B．(3，＋∞)C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)[解析]∵f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)是定义在R上的以3为周期的函数，∴f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又∵函数f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，∴f(7)＝f(2)>1，∴a>1，即a∈(1，＋∞)．故选D.[答案] D考法(三)单调性、奇偶性与周期性结合[例3](2019·达州模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且在[－1,0]上单调递减，设a＝f(－2.8)，b＝f(－1.6)，c＝f(0.5)，则a，b，c的大小关系是() A．a>b>c B．c>a>bC．b>c>a D．a>c>b[解析]∵偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，∴函数的周期为2.∴a＝f(－2.8)＝f(－0.8)，b ＝f(－1.6)＝f(0.4)＝f(－0.4)，c＝f(0.5)＝f(－0.5)．∵－0.8＜－0.5＜－0.4，且函数f(x)在[－1,0]上单调递减，∴a>c>b，故选D.[答案] D[规律探求][过关训练]1．(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A．－50B．0C．2 D．50解析：选C∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数得f(0)＝0.又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋1)＝－f(x)，若f(x)在[－1,0]上单调递减，则f(x)在[1,3]上是()A．增函数B．减函数C．先增后减的函数D．先减后增的函数解析：选D根据题意，∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴函数f(x)的周期是2.又∵f(x)在定义域R上是偶函数，在[－1,0]上是减函数，∴函数f(x)在[0,1]上是增函数，∴函数f(x)在[1,2]上是减函数，在[2,3]上是增函数，∴f(x)在[1,3]上是先减后增的函数，故选D.3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a －1|)＞f(－2)，则a的取值范围是________．解析：∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(－2)＝f(2)，∴f(2|a－1|)＞f(2)，∴2|a－1|＜2＝21 2，∴|a－1|＜12，即－12＜a－1＜12，即12＜a＜32.1 2，3 2答案：⎝⎛⎭⎫。
2020届高考数学一轮复习：课时作业6《函数的奇偶性与周期性》(含解析)
课时作业6 函数的奇偶性与周期性1．(2019·长春质检)下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( D )A ．y ＝e x ＋e －xB ．y ＝ln(|x |＋1)C ．y ＝sin x |x |D ．y ＝x －1x解析：选项A ，B 显然是偶函数，排除；选项C 是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调递增函数，不符合题意；选项D 中，y ＝x －1x 是奇函数，且y ＝x 和y ＝－1x 在(0，＋∞)上均为增函数，故y ＝x －1x 在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D 正确．2．(2019·商丘模拟)已知函数f (x )＝ln(e ＋x )＋ln(e －x )，则f (x )是( D )A ．奇函数，且在(0，e)上是增函数B ．奇函数，且在(0，e)上是减函数C ．偶函数，且在(0，e)上是增函数D ．偶函数，且在(0，e)上是减函数解析：f (x )的定义域为(－e ，e)，且f (x )＝ln(e 2－x 2)．又t ＝e 2－x 2是偶函数，且在(0，e)上是减函数，∴f (x )是偶函数，且在(0，e)上是减函数．3．(2019·南昌模拟)若定义域为R 的函数f (x )在(4，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f (x ＋4)为偶函数，则( D )A ．f (2)＞f (3)B ．f (2)＞f (5)C ．f (3)＞f (5)D ．f (3)＞f (6)解析：∵y ＝f (x ＋4)为偶函数，∴f (－x ＋4)＝f (x ＋4)，因此y ＝f (x )的图象关于直线x ＝4对称，∴f (2)＝f (6)，f (3)＝f (5)．又y ＝f (x )在(4，＋∞)上为减函数，∴f (5)＞f (6)，所以f (3)＞f (6)．4．(2019·安徽蚌埠模拟)已知单调函数f (x )，对任意的x ∈R 都有f [f (x )－2x ]＝6，则f (2)＝( C )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：设t ＝f (x )－2x ，则f (t )＝6，且f (x )＝2x ＋t ，令x ＝t ，则f (t )＝2t ＋t ＝6，∵f (x )是单调函数，f (2)＝22＋2＝6，∴t ＝2，即f (x )＝2x ＋2，则f (2)＝4＋2＝6，故选C.5．(2019·河北石家庄一模)已知奇函数f (x )在x ＞0时单调递增，且f (1)＝0，若f (x －1)＞0，则x 的取值范围为( A )A ．{x |0＜x ＜1或x ＞2}B ．{x |x ＜0或x ＞2}C ．{x |x ＜0或x ＞3}D ．{x |x ＜－1或x ＞1}解析：∵奇函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，∴函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，且f (－1)＝0，则－1＜x ＜0或x ＞1时，f (x )＞0；x ＜－1或0＜x ＜1时，f (x )＜0.∴不等式f (x －1)＞0即－1＜x －1＜0或x －1＞1，解得0＜x ＜1或x ＞2，故选A.6．(2019·惠州调研)已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f (1)＝2，则不等式f (log 2x )＞2的解集为( B )A ．(2，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22∪(2，＋∞) D ．(2，＋∞)解析：f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以f (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以f (log 2x )＞2＝f (1)⇔f (|log 2x |)＞f (1)⇔|log 2x |＞1⇔log 2x ＞1或log 2x ＜－1⇔x ＞2或0＜x ＜12.7．(2019·河南郑州一模)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2e)＝－f (x )(其中e ＝2.718 2…)，且在区间[e,2e]上是减函数，令a ＝ln22，b ＝ln33，c ＝ln55，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系(用不等号连接)为( A )A ．f (b )＞f (a )＞f (c )B ．f (b )＞f (c )＞f (a )C ．f (a )＞f (b )＞f (c )D ．f (a )＞f (c )＞f (b ) 解析：∵f (x )是R 上的奇函数，满足f (x ＋2e)＝－f (x )，∴f (x ＋2e)＝f (－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝e 对称，∵f (x )在区间[e,2e]上为减函数，∴f (x )在区间[0，e]上为增函数，又易知0＜c ＜a ＜b ＜e ，∴f (c )＜f (a )＜f (b )，故选A.8．(2019·四川师大附中模拟)设函数f (x )的定义域为D ，若f (x )满足条件：存在[a ，b ]⊆D (a ＜b )，使f (x )在[a ，b ]上的值域也是[a ，b ]，则称为“优美函数”．若函数f (x )＝log 2(4x ＋t )为“优美函数”，则t 的取值范围是( D )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ B ．(0,1)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 解析：∵函数f (x )＝log 2(4x ＋t )是定义域上的增函数，∴由题意得，若函数为“优美函数”，则f (x )＝x 有两个不相等的实根，即log 2(4x ＋t )＝x ，整理得4x ＋t ＝2x ，∴(2x )2－2x ＋t ＝0有两个不相等的实根．∵2x ＞0，令λ＝2x (λ＞0)，∴λ2－λ＋t ＝0有两个不相等的正实根，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1－4t ＞0，t ＞0，解得0＜t ＜14， 即t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，故选D. 9．(2016·江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是－25 .解析：因为f (x )的周期为2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝110，即－12＋a ＝110，所以a ＝35， 故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－25.10．(2019·泰安模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，f (x ＋2)＝－f (x )且f (x )在[－1,0]上是增函数，给出下列几个命题：①f (x )是周期函数；②f (x )的图象关于直线x ＝1对称；③f (x )在[1,2]上是减函数；④f (2)＝f (0)，其中正确命题的序号是①②③④__(请把正确命题的序号全部写出来)．解析：f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )对任意x ，y ∈R 恒成立．令x ＝y ＝0，所以f (0)＝0.令x ＋y ＝0，所以y ＝－x ，所以f (0)＝f (x )＋f (－x )．所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．因为f (x )在x ∈[－1,0]上为增函数，又f (x )为奇函数，所以f (x )在[0,1]上为增函数．由f (x ＋2)＝－f (x )⇒f (x ＋4)＝－f (x ＋2)⇒f (x ＋4)＝f (x )，所以周期T ＝4，即f (x )为周期函数．f (x ＋2)＝－f (x )⇒f (－x ＋2)＝－f (－x )．又因为f (x )为奇函数，所以f (2－x )＝f (x )，所以函数关于直线x ＝1对称．由f (x )在[0,1]上为增函数，又关于直线x ＝1对称，所以f (x )在[1,2]上为减函数．由f (x ＋2)＝－f (x )，令x ＝0得f (2)＝－f (0)＝f (0)．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数．(1)求实数m 的值； (2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解：(1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1， 所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．12．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)＜2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．解：(1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)f (x )为偶函数．证明：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)＜2等价于f (|x －1|)＜f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴0＜|x －1|＜16，解之得－15＜x ＜17且x ≠1，∴x 的取值范围是{x |－15＜x ＜17且x ≠1}．13．(2019·太原模拟)已知函数f (x )是偶函数，f (x ＋1)是奇函数，且对于任意x 1，x 2∈[0,1]，x 1≠x 2，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＜0，设a＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8211，b ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫509，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫247，则下列结论正确的是( B ) A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．b ＞c ＞aD ．c ＞a ＞b解析：由函数f (x )是偶函数，f (x ＋1)是奇函数，可知函数的周期为4，则a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8211＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫611，b ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫509＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫49，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫247＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫47.由(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0，可知函数是区间[0,1]上的减函数，据此可得b ＞a ＞c .14．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( B )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：因为f(x)是最小正周期为2的周期函数，且0≤x＜2时，f(x)＝x3－x＝x(x－1)(x＋1)，所以当0≤x＜2时，f(x)＝0有两个根，即x1＝0，x2＝1.由周期函数的性质知，当2≤x＜4时，f(x)＝0有两个根，即x3＝2，x4＝3；当4≤x≤6时，f(x)＝0有三个根，即x5＝4，x6＝5，x7＝6.故函数f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴交点的个数为7.15．(2019·河南林州一中调研)已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，满足f(x＋2)＝f(x－2)＋f(2)，且当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－4，令函数g(x)＝f(x)－m，若g(x)在区间[－10,2]上有6个零点，分别记为x1，x2，x3，x4，x5，x6，则x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝－24__.解析：∵函数y＝f(x)是R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)，由f(x＋2)＝f(x－2)＋f(2)，令x＝0，可得f(2)＝0，∵f(x＋2)＝f(x－2)，即f(x＋4)＝f(x)，∴周期T＝4.作出函数f(x)在[－10,2]上的图象及直线y＝m如图所示．由图象可知f(x)的图象在[－10,2]上有3条对称轴，分别为x＝－8，x＝－4，x＝0，∴6个零点之和为2×(－8)＋2×(－4)＋2×0＝－24.16．已知函数y＝f(x)在定义域[－1,1]上既是奇函数，又是减函数．(1)求证：对任意x1，x2∈[－1,1]，有[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)≤0；(2)若f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求实数a的取值范围．解：(1)证明：若x 1＋x 2＝0，显然原不等式成立．若x 1＋x 2＜0，则－1≤x 1＜－x 2≤1，因为f (x )在[－1,1]上是减函数且为奇函数，所以f (x 1)＞f (－x 2)＝－f (x 2)，所以f (x 1)＋f (x 2)＞0.所以[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)＜0成立．若x 1＋x 2＞0，则－1≤－x 2＜x 1≤1，同理可证f (x 1)＋f (x 2)＜0.所以[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)＜0成立．综上所述，对任意x 1，x 2∈[－1,1]，有[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)≤0恒成立．(2)因为f (1－a )＋f (1－a 2)＜0⇔f (1－a 2)＜－f (1－a )＝f (a －1)，所以由f (x )在定义域[－1,1]上是减函数，得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤1－a 2≤1，－1≤a －1≤1，1－a 2＞a －1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤a 2≤2，0≤a ≤2，a 2＋a －2＜0，解得0≤a ＜1. 故所求实数a 的取值范围是[0,1)．。
2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：6 函数的奇偶性与周期性 Word版含解析
课时作业6 函数的奇偶性与周期性一、选择题1．以下函数中 ,既是奇函数又在(0 ,＋∞)上单调递增的是( D )A ．y ＝e x ＋e －xB ．y ＝ln(|x |＋1)C ．y ＝sin x|x |D ．y ＝x －1x解析：选项A ,B 显然是偶函数 ,排除；选项C 是奇函数 ,但在(0 ,＋∞)上不是单调递增函数 ,不符合题意；选项D 中 ,y ＝x －1x 是奇函数 ,且y ＝x 和y ＝－1x 在(0 ,＋∞)上均为增函数 ,故y ＝x －1x 在(0 ,＋∞)上为增函数 ,所以选项D 正确．2．设函数f (x )为偶函数 ,当x ∈(0 ,＋∞)时 ,f (x )＝log 2x ,那么f (－2)＝( B ) A ．－12 B.12 C ．2D ．－2 解析：由得f (－2)＝f (2)＝log 22＝12.应选B.3．(2021·唐山模拟)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数 ,且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)x ≥0 g (x ) x <0那么g (f (－7))＝( D )A ．3B ．－3C ．2D ．－2解析：因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数 ,且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1) x ≥0g (x ) x <0所以f (－7)＝－f (7)＝－log 2(7＋1)＝－3 ,所以g (f (－7))＝g (－3)＝f (－3)＝－f (3)＝－log 2(3＋1)＝－2 ,应选D.4．函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R ) ,假设f (a )＝2 ,那么f (－a )的值为( B )A ．3B ．0C ．－1D ．－2解析：设F (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ,显然F (x )为奇函数 ,又F (a )＝f (a )－1＝1 ,所以F (－a )＝f (－a )－1＝－1 ,从而f (－a )＝0.5．f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数 ,当x ∈(0,1)时 ,f (x )＝3x－1 ,那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0192＝( D )A.3＋1B.3－1 C ．－3－1D ．－3＋1解析：由题可知f (x ＋2)＝f (x )＝－f (－x ) ,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0192＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 008＋32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12. 又当x ∈(0,1)时 ,f (x )＝3x－1 ,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3－1 ,那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0192＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－3＋1.6．(2021·北京石景山高三模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋xx >0sin xx ≤0.那么以下结论正确的选项是( D )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1 ,＋∞)解析：因为f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3－xx <0－sin x x ≥0＝－f (x ) ,所以f (x )是奇函数；x ≤0时f (x )＝sin x 有增有减 ,所以B 错；x >0 ,f (x )＝x 3＋x 不为周期函数 ,C 错；x >0 ,f (x )＝x 3＋x >0；x ≤0时f (x )＝sin x ∈[－1,1] ,所以f (x )的值域为[－1 ,＋∞) ,应选D.7．(2021·江西联盟质检)定义在R 上的函数f (x )＝2|x ＋m |－1(m 为实数)为偶函数 ,记a ＝f (213 ) ,b ＝f (log132) ,c ＝f (m ＋1) ,那么a ,b ,c 的大小关系为( D )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．b <c <a解析：由函数f (x )为偶函数 ,可知m ＝0 ,即f (x )＝2|x |－1 ,显然f (x )在[0 ,＋∞)上单调递增,又|213|>1 ,|log 132|＝|log 32|<1 ,m ＋1＝1 ,∴a ＝f (2 13 )>c ＝f (m ＋1)>b ＝f (log 132) ,应选D.8．(2021·广东综合模拟)函数f (x )是定义在R 上的奇函数 ,当x <0时 ,f (x )＝e x (x ＋1) ,给出以下命题：①当x >0时 ,f (x )＝e －x (x －1)；②函数f (x )有3个零点；③f (x )>0的解集为(－∞ ,－1)∪(0,1)；④∀x 1 ,x 2∈R ,都有|f (x 1)－f (x 2)|<2.正确个数为( B ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：由题意得 ,当x >0时 ,那么－x <0 ,因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数 ,所以f (x )＝－f (－x )＝－e －x (－x ＋1)＝e －x (x －1) ,所以①是正确的；令e x (x ＋1)＝0 ,可解得x ＝－1 ,当e －x (x －1)＝0时 ,可解得x ＝1 ,又函数f (x )是定义在R 上的奇函数 ,所以有f (0)＝0 ,故函数的零点有3个 ,所以②是正确的；因为当x <0时 ,由f (x )＝e x (x ＋1)>0 ,解得－1<x <0；当x >0时 ,由f (x )＝e －x (x －1)>0 ,解得x >1 ,故f (x )>0的解集为(－1,0)∪(1 ,＋∞) ,所以③是不正确的；因为当x >0时 ,由f (x )＝e －x (x －1) ,图象过点(1,0) ,又f ′(x )＝e －x (2－x ) ,可知当0<x <2时 ,f ′(x )>0 ,当x >2时 ,f ′(x )<0 ,所以函数在x ＝2处取得极大值f (2)＝1e 2 ,且当x →0时 ,函数值趋向于－1 ,当x →＋∞时 ,函数值趋向于0 ,由奇函数的图象关于原点对称可作函数f (x )的图象 ,可得－1<f (x )<1 ,所以|f (x 1)－f (x 2)|<2成立 ,所以④是正确的．综上所述正确的个数为3 ,应选B.二、填空题9．函数f (x )是奇函数 ,当x >0时 ,f (x )＝ln x ,那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2的值为－ln2.解析：由可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝ln 1e 2＝－2 ,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝f (－2)．又因为f (x )是奇函数 ,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝f (－2)＝－f (2)＝－ln2.10．假设f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 是偶函数 ,那么a ＝－32.解析：由于f (－x )＝f (x ) ,∴ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ,化简得2ax ＋3x ＝0(x ∈R ) ,那么2a ＋3＝0 ,∴a ＝－32.11．(2021·广西柳州联考)函数f (x )对任意x ∈R 都有f (x ＋6)＋f (x )＝2f (3) ,y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称且f (2)＝4 ,那么f (22)＝－4.解析：因为y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称 ,所以y ＝f (x )的图象关于点(0,0)对称 ,即函数f (x )为奇函数 ,由f (x ＋6)＋f (x )＝2f (3)得f (x ＋12)＋f (x ＋6)＝2f (3) ,所以f (x ＋12)＝f (x ) ,T ＝12 ,因此f (22)＝f (－2)＝－f (2)＝－4.12．f (x )是定义在R 上的奇函数 ,f (x ＋1)是偶函数 ,当x ∈(2,4)时 ,f (x )＝|x －3| ,那么f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0.解析：因为f (x )为奇函数 ,f (x ＋1)为偶函数 ,所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1) ,所以f (x ＋2)＝－f (x ) ,所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x ) ,所以函数f (x )的周期为4 ,所以f (4)＝f (0)＝0 ,由题知f (3)＝0 ,又f (3)＝f (－1)－f (1) ,所以ff (x ＋1)＝f (－x ＋1)中 ,令x ＝1 ,可得f (2)＝f (1)＝0 ,所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0.13．(2021·河南洛阳一中高三一模)函数y ＝f (x )满足y ＝f (－x )和y＝f (x ＋2)是偶函数 ,且f (1)＝π3 ,设F (x )＝f (x )＋f (－x ) ,那么F (3)＝ ( B )A.π3B.2π3 C ．πD.4π3解析：由y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数知f (－x )＝f (x ) ,且f (x ＋2)＝f (－x ＋2) ,那么f (x ＋2)＝f (x －2) ,那么f (x )＝f (x ＋4)．所以F (3)＝f (3)＋f (－3)＝2f (3)＝2f (－1)＝2f (1)＝2π3.应选B.14．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数 ,且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1) ,当x ∈[0,1]时 ,f (x )＝2x ,那么有①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数 ,在(2,3)上是增函数； ③函数f (x )的最|大值是1 ,最|小值是0. 其中所有正确命题的序号是①②.解析：在f (x ＋1)＝f (x －1)中 ,令x －1＝t ,那么有f (t ＋2)＝f (t ) ,因此2是函数f (x )的周期 ,故①正确；当x ∈[0,1]时 ,f (x )＝2x 是增函数 ,根据函数的奇偶性知 ,f (x )在[－1,0]上是减函数 ,根据函数的周期性知 ,函数f (x )在(1,2)上是减函数 ,在(2,3)上是增函数 ,故②正确；由②知 ,f (x )在[0,2]上的最|大值f (x )max ＝f (1)＝2 ,f (x )的最|小值f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝20＝1且f (x )是周期为2的周期函数 ,∴f (x )的最|大值是2 ,最|小值是1 ,故③错误．尖子生小题库 - -供重点班学生使用普通班学生慎用15．(2021·江西临川二中、新余四中联考)函数f (x )＝|2x －m |的图象与函数y ＝g (x )的图象关于y 轴对称 ,假设函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )在区间[1,2]上同时单调递增或同时单调递减 ,那么实数m 的取值范围是( B )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞ 12∪[4 ,＋∞) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 2 C ．[2,4]D ．[4 ,＋∞)解析：因为函数y ＝g (x )与f (x )＝|2x －m |的图象关于y 轴对称 ,所以g (x )＝|2－x －m | ,函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )在区间[1,2]上同时单调递增或同时单调递减 ,所以函数f (x )＝|2x －m |和函数g (x )＝|2－x －m |在[1,2]上单调性相同 ,因为y ＝2x －m 和函数y ＝2－x －m 的单调性相反 ,所以(2x －m )(2－x －m )≤0在[1,2]上恒成立 ,即1－m (2x ＋2－x )＋m 2≤0在[1,2]上恒成立 ,即2－x ≤m ≤2x 在[1,2]上恒成立 ,得12≤m ≤2 ,应选B.16．(2021·河南省中原名校联考)函数f (x )＝2sin 2(x ＋π4) ,g (x )＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4的图象在区间(π2－m ,π2＋m )上有且只有9个交点 ,记为(x i ,y i )(i ＝1,2 ,… ,9) ,那么∑i ＝19 (x i ＋y i )＝92π＋9.解析：由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋π4＝1 ,可得函数g (x )的图象关于点π2 ,1对称．又f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos(2x ＋π2)＝1＋sin2x ,可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1 ,故函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 1对称．故f (x )与g (x )图象的交点也关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 1对称 ,所以∑i ＝19(x i ＋y i )＝∑i ＝19x i ＋∑i ＝19y i＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4×⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π2＋π2＋[4×(2×1)＋1]＝9π2＋9.。
2020高考数学(文)一轮复习课时作业 6函数的奇偶性与周期性 含解析
由周期性可知，当x∈ 时，f(x)>0，当x∈ 时，f(x)<0，f ＝f ＝0，
又6<log2(64＋n)<log2164<log2128 ＝ ，所以当6<log2(64＋n)< ，即64＋n<64 时，an>0，因为90<64 <91，所以n≤26；
∴f(a)＋f(－a)＝2，∴f(－a)＝－2.
答案：－2
13．[2019·山西省八校第一次联考]已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x＋2)＝－ ，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f ＝________.
解析：∵f(x＋2)＝－ ，∴f(x＋4)＝f(x)，
∴f ＝f ，又2≤x≤3时，f(x)＝x，
所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．
由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．
因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，
D．f(3)<f(1)<f(－2)
解析：由题意知f(x)为偶函数，所以f(－2)＝f(2)．又x∈[0，＋∞)时，f(x)为减函数，且3>2>1，所以f(3)<f(2)<f(1)，即f(3)<f(－2)<f(1)．
答案：A
5．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()
所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，
人教A版2020版新一线高考理科数学一轮复习课后限时集训6函数的奇偶性与周期性含解析
课后限时集训(六) 函数的奇偶性与周期性(建议用时：40分钟) A 组 基础达标一、选择题1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝e x B ．y ＝sin x C ．y ＝cos xD ．y ＝ln x 2D [y ＝e x 不是偶函数，所以A 不正确；y ＝s in x 是奇函数，所以B 不正确；y ＝cos x 是偶函数，在(0，＋∞)上不是单调递增函数，所以C 不正确；y ＝l n x 2是偶函数，在(0，＋∞)上是单调递增函数，所以D 正确．故选D .]2．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)＝( ) A ．－3 B ．－54C .54D ．3A [因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.]3．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1 B [由已知得f (－1)＝－f (1)，g (－1)＝g (1)，则有⎩⎨⎧－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (1)＝4，解得g (1)＝3.]4．(2019·江西六校联考)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎨⎧log 3(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，则g [f (－8)]＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．1D ．2A [∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎨⎧log 3(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，∴f (－8)＝－f (8)＝－log 3 9＝－2，∴g [f (－8)]＝g (－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－log 3 3＝－1.故选A .] 5．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (1)＝1，则f (2 019)＝( ) A ．0 B ．1 C ．－1D ．－2B [由题意得f (x ＋4)＝f (2－(x ＋2))＝f (－x )＝－f (x )，∴f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，∴函数f (x )以8为周期，∴f (2 019)＝f (3)＝f (1)＝1，故选B .]6．(2019·皖南八校联考)偶函数f (x )在(－∞，0]上是增函数，且f (1)＝－1，则满足f (2x －3)＞－1的实数x 的取值范围是( ) A ．(1,2) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(－1,1)A [因为偶函数f (x )在(－∞，0]上是增函数， 所以函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数． 由f (1)＝－1且满足f (2x －3)＞－1＝f (1)， 等价于f (|2x －3|)＞f (1)，|2x －3|＜1，可得－1＜2x －3＜1,2＜2x ＜4,1＜x ＜2， 所以实数x 的取值范围是(1,2)，故选A .]7．(2019·广州模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x )＝f (x ＋4)，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝( )A ．1B .45C ．－1D ．－45C [由于x ∈R ，且f (－x )＝－f (x )，所以函数为奇函数，由于f (x )＝f (x ＋4)，所以函数的周期为4，log 216＜log 220＜log 232，即4＜log 220＜5,0＜log 220－4＜1， ∴0＜log 254＜1，∴f (log 220)＝f (log 220－4)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 254＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 254＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 245＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2log 245＋15 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫45＋15＝－1，故选C .]二、填空题8．(2019·山西八校联考)已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝________.52 [∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝52，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝52.]9．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 [∵f (2|a －1|)＞f (－2)＝f (2)， 又由已知可得f (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴2|a －1|＜2＝212， ∴|a －1|＜12，∴12＜a ＜32.]10．定义在实数集R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (x ＋2)＝0，且f (4－x )＝f (x )．现有以下三个命题： ①8是函数f (x )的一个周期；②f (x )的图象关于直线x ＝2对称；③f (x )是偶函数． 其中正确命题的序号是________．①②③ [∵f (x )＋f (x ＋2)＝0，∴f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x )的周期为4，故①正确；又f (4－x )＝f (x )，所以f (2＋x )＝f (2－x )，即f (x )的图象关于直线x ＝2对称，故②正确；由f (x )＝f (4－x )得f (－x )＝f (4＋x )＝f (x )，故③正确．]B 组 能力提升1．已知f (x )＝a sin x ＋b 3x ＋4，若f (lg 3)＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 13＝( )A .13 B ．－13C ．5D ．8C [因为f (x )＋f (－x )＝8，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 13＝f (－lg 3)，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 13＝8－f (lg 3)＝5，故选C .]2．(2019·衡水调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0.若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0,1]C ．[－1,1]D ．[－2,2]C [由函数图象可知f (x )是偶函数，故f (－a )＝f (a )，原不等式等价于f (a )≤f (1)，即f (|a |)≤f (1)，而函数在[0，＋∞)上单调递增，故|a |≤1，解得－1≤a ≤1.]3．(2018·洛阳一模)若函数f (x )同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”： (1)∀x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0； (2)∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0.①f (x )＝sin x ；②f (x )＝－2x 3；③f (x )＝1－x ；④f (x )＝ln(x 2＋1＋x )． 以上四个函数中，“优美函数”的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3B [由条件(1)，得f (x )是奇函数，由条件(2)，得f (x )是R 上的单调减函数．对于①，f(x)＝sin x在R上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f(x)＝－2x3既是奇函数，又在R上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f(x)＝1－x不是奇函数，故不是“优美函数”；对于④，易知f(x)在R上单调递增，故不是“优美函数”．故选B.]4．(2019·沧州模拟)已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对于任意x∈R，都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，当x1，x2∈[0,3]，且x1≠x2时，都有f(x1)－f(x2)x1－x2＞0.给出下列命题：①f(3)＝0；②直线x＝－6是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴；③函数y＝f(x)在[－9，－6]上为增函数；④函数y＝f(x)在[－9,9]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为________．①②④[∵f(x＋6)＝f(x)＋f(3)，令x＝－3得，f(－3)＝0，又f(x)为偶函数，∴f(3)＝0，即①正确；由f(3)＝0得f(x＋6)＝f(x)，又f(－x)＝f(x)，所以f(6－x)＝f(6＋x)，故f(x)关于直线x＝6对称，又f(x)的周期为6，故②正确；当x1，x2∈[0,3]，且x1≠x2时，都有f(x1)－f(x2)x1－x2＞0，所以函数y＝f(x)在[0,3]上为增函数．因为f(x)是R上的偶函数，所以函数y＝f(x)在[－3,0]上为减函数，而f(x)的周期为6，所以函数y＝f(x)在[－9，－6]上为减函数．故③错误；f(3)＝0，f(x)的周期为6，所以f(－9)＝f(－3)＝f(3)＝f(9)＝0，所以函数y＝f(x)在[－9,9]上有四个零点．故④正确．]。
2020版高考数学(理)一轮复习：第6讲~函数的奇偶性与周期性ppt课件(含答案)
课前双基巩固
4.关于函数图像的对称中心或对称轴的常用结论:
(1)若函数 f(x)满足关系式 f(a+x)=f(a-x),则函数 f(x)的图像关于直线 x=a 对称;
(2)若函数
f(x)满足关系式
f(a+x)=f(b-x),则
f(x)的图像关于直线
x=������
+������ 2
对称;
(3)若函数 f(x)满足关系式 f(a+x)=-f(b-x),则 f(x)的图像关于点
时,f(x)=2x+m,则 f(-3)=
.
即 p+q=6,故选 C.
(2)函数 f(x)为 R 上的奇函数,则 f(0)=0,即 20+m=0,所以
m=-1,当 x≥0 时,f(x)=2x-1,
所以 f(-3)=-f(3)=-(23-1)=-7.
课堂考点探究
[总结反思] 利用函数奇偶性可以解决以下问题: (1)求函数值:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. (2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出. (3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据 f(x)±f(-x)=0 得到关于参数的恒等式, 由系数的对等性得方程(组),进而得出参数的值. (4)画函数图像:利用奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图像. (5)求特殊值:利用奇函数的最大值与最小值的和为零可求一些特殊结构的函数值.
课堂考点探究
微点3 奇偶性延伸到其他对称性问题(从平移角度说说其他对称性问题)
例 3 (1)[2018·广东七校联考] 已知定义域为 R
的函数 f(x)在[2,+∞)上为增函数,且函数
y=f(x+2)为偶函数,则下列结论不成立的是
2020年高考数学复习课时作业6函数的奇偶性与周期性
时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．下列函数既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是( )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝－|x ＋1|C ．f (x )＝12(a x －a －x ) D ．f (x )＝ln 2－x 2＋x解析：选项B 不是奇函数，选项A 在[－1,1]上为增函数，选项C 单调性不确定，故选D.答案：D2．(2011·浙江五校联考)设a ，b ∈R ，则f (x )＝x |sin x ＋a |＋b 为奇函数的充要条件是( )A ．a 2＋b 2＝0B ．ab ＝0 C.b a ＝0 D ．a 2－b 2＝0解析：若f (x )是奇函数，则f (x )＋f (－x )＝0，即x |sin x ＋a |＋b －x |sin(－x )＋a |＋b ＝0，∴x (|sin x ＋a |－|sin x －a |)＋2b ＝0，∵x ，sin x 不恒为0，∴a ＝0，b ＝0，∴a 2＋b 2＝0；若a 2＋b 2＝0，则a ＝0，b ＝0，f (x )＝x |sin x |为奇函数．答案：A3．f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R ，总有f (x ＋2)＝－f (x )成立，则f (19)＝( )A ．0B ．1C ．18D ．19解析：依题意得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是以4为周期的函数，因此f (19)＝f (4×5－1)＝f (－1)＝f (1)，而f (－1＋2)＝－f (－1)，即f (1)＝－f (1)，f (1)＝0，因此f (19)＝0，选A.答案：A4．(2010·南昌调研)设f (x )是定义在R 上单调递减的奇函数，若x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则( )A ．f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0B ．f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)<0C ．f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＝0D ．f (x 1)＋f (x 2)>f (x 3)解析：依题意得f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，f (x 1)＋f (x 2)<0，同理可得f (x 2)＋f (x 3)<0，f (x 3)＋f (x 1)<0，所以2[f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)]<0，即f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)<0，故选B.答案：B5．(2011·浙江五校联考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：∵f (x )是奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－x 2＋2x ，作出f (x )的大致图象如上图中实线所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数，由f (2－a 2)>f (a )，得2－a 2>a ，即－2<a <1.答案：C6．(2010·厦门质检)已知函数f (x ＋1)是偶函数，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0恒成立，设a ＝f (－12)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b <a <cB ．c <b <aC ．b <c <aD ．a <b <c解析：由题意可知，当x >1时，函数f (x )单调递增，f (x )的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为偶函数，所以函数f (x )的大致图象如右图所示，所以f (－12)＝f (52)，f (2)<f (52)<f (3)，所以b <a <c ，故选A. 答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知函数f (x )＝ax 2＋2x 是奇函数，则实数a ＝__________.解析：由奇函数的性质f (－x )＝－f (x )得：a (－x )2＋2(－x )＝－ax 2－2x ，即2ax 2＝0，所以a ＝0.答案：08．(2010·天津模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (2)等于________．解析：∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )且f (0)＝0.又f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝f (－x )，令x ＝0得f (2)＝f (0)＝0.答案：09．(2010·黄冈中学月考)已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f (x ＋32)＝－f (x )，且函数y ＝f (x －34)是奇函数，给出以下四个命题： ①函数f (x )是周期函数；②函数f (x )的图象关于点(－34，0)对称； ③函数f (x )是偶函数；④函数f (x )在R 上是单调函数．在上述四个命题中，真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．解析：由f (x ＋32)＝－f (x )得 f (x ＋3)＝－f (x ＋32)＝f (x )． 故函数f (x )是周期为3的函数．①为真命题；因为y ＝f (x －34)为奇函数，易知y ＝f (x )的图象关于点(－34，0)对称，②为真命题； 因为y ＝f (x －34)为奇函数， 所以f (－x －34)＝－f (x －34)， 故f (－x )＝－f (－x ＋32)＝－f [－(x －94)－34] ＝f [(x －94)－34]＝f (x －3)＝f (x )， 所以f (x )为偶函数，③为真命题；④必为假命题．故填①②③.答案：①②③三、解答题(共55分)10．(15分)(2010·合肥模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝－7x x 2＋x ＋1. (1)求当x <0时，f (x )的解析式；(2)试证明函数y ＝f (x )(x ≥0)在[0,1]上为减函数．解：(1)任意x <0，则－x >0，f (－x )＝－－7(－x )(－x )2＋(－x )＋1＝7x x 2－x ＋1. ∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝7x x 2－x ＋1(x <0)． (2)任意x 1，x 2∈[0,1]，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝…＝7(x 1－x 2)(x 1x 2－1)(x 21＋x 1＋1)(x 22＋x 2＋1). 当0≤x 1<x 2≤1时，x 1－x 2<0，x 1x 2－1<0，而x 21＋x 1＋1>0，x 22＋x 2＋1>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．∴y ＝f (x )(x ≥0)在[0,1]上为减函数．11．(20分)已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，常数a ∈R ) (1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，当a ＝0时，f (x )＝x 2，(x ≠0)显然为偶函数，当a ≠0时，f (1)＝1＋a ，f (－1)＝1－a 因此f (1)≠f (－1)，且f (－1)≠－f (1)所以函数f (x )＝x 2＋a x既不是奇函数，也不是偶函数． (2)f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－a x 2， 当a ≤0，f ′(x )>0，则f (x )在[2，＋∞)上是增函数．当a >0时，由f ′(x )＝2x 3－a x 2>0，解得x >3a 2， 由f (x )在[2，＋∞)上是增函数，可知3a 2≤2.解得0<a ≤16综上可知实数a 的取值范围是(－∞，16]．——探究提升——12．(20分)已知函数f (x )＝1x 2＋|x 2－a |(常数a >0)． (1)求函数f (x )的定义域，判断f (x )的奇偶性并说明理由．(2)试研究函数f (x )在|x |≥a 时的单调性，并利用单调性的定义给出证明． 解：(1)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∴f (－x )＝1(－x )2＋|(－x )2－a | ＝1x 2＋|x 2－a |＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(2)f (x )＝⎩⎨⎧ 1x 2＋x 2－a (x ≤－a 或x ≥a )1x 2－x 2＋a (－a <x <a 且x ≠0)(a >0)．若x ≤－a 或x ≥a ，则f (x )＝1x 2＋x 2－a ， 设a ≤x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝1x 21＋x 21－1x 22－x 22 ＝(x 22－x 21)(1x 21x 22－1)． 由a ≤x 1<x 2，得x 21x 22>a 2，1x 21x 22<1a 2且x 22－x 21>0， 当1a 2<1即a >1时，f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在[a ，＋∞)上是增函数；又f (x )是偶函数，∴f (x )在(－∞，－a ]上是减函数，当1a 2≥1即0<a ≤1时，a ≤x 1<x 2≤1时， 1x 21x 22>1⇒f (x 1)>f (x 2)，1≤x 1<x 2时， 1x 21x 22<1⇒f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在[a ，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数；又f (x )是偶函数，∴f (x )在[－1，－a ]上是增函数，在(－∞，－1]上是减函数．。
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课时作业6 函数的奇偶性与周期性一、选择题1．下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( D ) A ．y ＝e x ＋e －x B ．y ＝ln(|x |＋1) C ．y ＝sin x |x |D ．y ＝x －1x解析：选项A ，B 显然是偶函数，排除；选项C 是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调递增函数，不符合题意；选项D 中，y ＝x －1x 是奇函数，且y ＝x 和y ＝－1x 在(0，＋∞)上均为增函数，故y ＝x －1x 在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D 正确．2．设函数f (x )为偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f (－2)＝( B ) A ．－12 B.12 C ．2D ．－2解析：由已知得f (－2)＝f (2)＝log 22＝12.故选B.3．(2019·唐山模拟)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x <0，则g (f (－7))＝( D ) A ．3 B ．－3 C ．2D ．－2解析：因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x <0，所以f (－7)＝－f (7)＝－log 2(7＋1)＝－3，所以g (f (－7))＝g (－3)＝f (－3)＝－f (3)＝－log 2(3＋1)＝－2，故选D.4．已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为( B )A ．3B ．0C ．－1D ．－2解析：设F (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，显然F (x )为奇函数，又F (a )＝f (a )－1＝1，所以F (－a )＝f (－a )－1＝－1，从而f (－a )＝0.5．已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0192＝( D )A.3＋1B.3－1 C ．－3－1D ．－3＋1解析：由题可知f (x ＋2)＝f (x )＝－f (－x )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0192＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 008＋32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12. 又当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x －1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0192＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－3＋1.6．(2019·北京石景山高三模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋x ，x >0，sin x ，x ≤0.则下列结论正确的是( D )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)解析：因为f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3－x ，x <0，－sin x ，x ≥0＝－f (x )，所以f (x )是奇函数；x ≤0时f (x )＝sin x 有增有减，所以B 错；x >0，f (x )＝x 3＋x 不为周期函数，C错；x>0，f(x)＝x3＋x>0；x≤0时f(x)＝sin x∈[－1,1]，所以f(x)的值域为[－1，＋∞)，故选D.7．(2019·江西联盟质检)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x＋m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(213)，b＝f(log132)，c＝f(m＋1)，则a，b，c的大小关系为(D)A．a<b<c B．a<c<bC．c<a<b D．b<c<a解析：由函数f(x)为偶函数，可知m＝0，即f(x)＝2|x|－1，显然f(x)在[0，＋∞)上单调递增，又|213|>1，|log132|＝|log32|<1，m＋1＝1，∴a＝f(213)>c＝f(m＋1)>b＝f(log132)，故选D.8．(2019·广东综合模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝e x(x＋1)，给出下列命题：①当x>0时，f(x)＝e－x(x－1)；②函数f(x)有3个零点；③f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)；④∀x1，x2∈R，都有|f(x1)－f(x2)|<2.正确个数为(B)A．4 B．3C．2 D．1解析：由题意得，当x>0时，则－x<0，因为函数f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－e－x(－x＋1)＝e－x(x－1)，所以①是正确的；令e x(x＋1)＝0，可解得x＝－1，当e－x(x－1)＝0时，可解得x＝1，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以有f(0)＝0，故函数的零点有3个，所以②是正确的；因为当x<0时，由f(x)＝e x(x＋1)>0，解得－1<x<0；当x>0时，由f(x)＝e－x(x－1)>0，解得x>1，故f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)，所以③是不正确的；因为当x>0时，由f(x)＝e－x(x－1)，图象过点(1,0)，又f′(x)＝e－x(2－x)，可知当0<x<2时，f′(x)>0，当x>2时，f′(x)<0，所以函数在x ＝2处取得极大值f (2)＝1e 2，且当x →0时，函数值趋向于－1，当x →＋∞时，函数值趋向于0，由奇函数的图象关于原点对称可作函数f (x )的图象，可得－1<f (x )<1，所以|f (x 1)－f (x 2)|<2成立，所以④是正确的．综上所述正确的个数为3，故选B.二、填空题9．已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝ln x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2的值为－ln2.解析：由已知可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝ln 1e 2＝－2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝f (－2)．又因为f (x )是奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝f (－2)＝－f (2)＝－ln2.10．若f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝－32.解析：由于f (－x )＝f (x )，∴ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得2ax ＋3x ＝0(x ∈R )，则2a ＋3＝0，∴a ＝－32.11．(2019·广西柳州联考)已知函数f (x )对任意x ∈R 都有f (x ＋6)＋f (x )＝2f (3)，y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称且f (2)＝4，则f (22)＝－4.解析：因为y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，所以y ＝f (x )的图象关于点(0,0)对称，即函数f (x )为奇函数，由f (x ＋6)＋f (x )＝2f (3)得f (x ＋12)＋f (x ＋6)＝2f (3)，所以f (x ＋12)＝f (x )，T ＝12，因此f (22)＝f (－2)＝－f (2)＝－4.12．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(2,4)时，f (x )＝|x －3|，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0.解析：因为f (x )为奇函数，f (x ＋1)为偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，所以f (4)＝f (0)＝0，由题知f (3)＝0，又f (3)＝f (－1)－f (1)，所以f (1)＝0.在f (x ＋1)＝f (－x ＋1)中，令x ＝1，可得f (2)＝f (1)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0.13．(2019·河南洛阳一中高三一模)已知函数y ＝f (x )满足y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数，且f (1)＝π3，设F (x )＝f (x )＋f (－x )，则F (3)＝ ( B )A.π3B.2π3 C ．πD.4π3解析：由y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数知f (－x )＝f (x )，且f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，则f (x ＋2)＝f (x －2)，则f (x )＝f (x ＋4)．所以F (3)＝f (3)＋f (－3)＝2f (3)＝2f (－1)＝2f (1)＝2π3.故选B.14．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x ，则有①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0. 其中所有正确命题的序号是①②.解析：在f (x ＋1)＝f (x －1)中，令x －1＝t ，则有f (t ＋2)＝f (t )，因此2是函数f (x )的周期，故①正确；当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x 是增函数，根据函数的奇偶性知，f (x )在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；由②知，f (x )在[0,2]上的最大值f (x )max ＝f (1)＝2，f (x )的最小值f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝20＝1且f (x )是周期为2的周期函数，∴f (x )的最大值是2，最小值是1，故③错误．尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用 15．(2019·江西临川二中、新余四中联考)已知函数f (x )＝|2x －m |的图象与函数y ＝g (x )的图象关于y 轴对称，若函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )在区间[1,2]上同时单调递增或同时单调递减，则实数m 的取值范围是( B )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[4，＋∞) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 C ．[2,4]D ．[4，＋∞)解析：因为函数y ＝g (x )与f (x )＝|2x －m |的图象关于y 轴对称，所以g (x )＝|2－x －m |，函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )在区间[1,2]上同时单调递增或同时单调递减，所以函数f (x )＝|2x －m |和函数g (x )＝|2－x －m |在[1,2]上单调性相同，因为y ＝2x －m 和函数y ＝2－x －m 的单调性相反，所以(2x －m )(2－x －m )≤0在[1,2]上恒成立，即1－m (2x ＋2－x )＋m 2≤0在[1,2]上恒成立，即2－x ≤m ≤2x 在[1,2]上恒成立，得12≤m ≤2，故选B.16．(2019·河南省中原名校联考)已知函数f (x )＝2sin 2(x ＋π4)，g (x )＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4的图象在区间(π2－m ，π2＋m )上有且只有9个交点，记为(x i ，y i )(i ＝1,2，…，9)，则∑i ＝19(x i ＋y i )＝92π＋9.解析：由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π4＝1，可得函数g (x )的图象关于点π2，1对称．又f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos(2x ＋π2)＝1＋sin2x ，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，故函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1对称．故f (x )与g (x )图象的交点也关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1对称，所以∑i ＝19 (x i ＋y i )＝∑i ＝19x i ＋∑i ＝19y i＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4×⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π2＋π2＋[4×(2×1)＋1]＝9π2＋9.。