2017_2018学年高中数学第二章数列第12课时等比数列的性质课件新人教B版必修5
《等比数列性质》课件
等比数列的性质
等比数列的性质取决于公比的正负情况。
公比为正的情况
1 单调性
2
当公比大于1时，数列呈现递增趋势；当 公比小于1但大于0时，数列呈现递减趋势。
公比为负的情况
极限值
当公比大于1时，数列趋于正无穷；当公 比小于1但大于0时，数列趋于0。Biblioteka 1 单调性2 极限值
无论公比是多少，等比数列都不会出现单 调性。
无论公比是多少，等比数列都不会收敛于 一个确定的极限值。
等比数列的无穷级数
等比数列的无穷级数指的是将数列的所有项相加，即求和。 如果公比的绝对值小于1，那么等比数列的无穷级数将收敛，其和可以通过以下公式计算： S∞ = a1 / (1 - r)
等比数列在几何意义上的应用
等比数列在图形中的应用
等比数列可以用来生成一些有趣的图形，如分形。分形是一种具有自相似性质的图形，无论放大或缩 小，形状都保持一致。
《等比数列性质》PPT课件
什么是等比数列
等比数列是一种数列，其中每一项与前一项的比值保持不变。它可以用以下 的通项公式来表示： an = a1 × r(n-1) 其中，a1表示等比数列的首项，r表示公比，而an表示第n项。
等比数列的通项公式与前n项和公式
等比数列的通项公式允许我们计算数列中的任何一项。而前n项和公式则可以帮助我们计算数列前n项 的和。 通项公式：an = a1 × r(n-1) 前n项和公式：Sn = a1 × (1 - rn) / (1 - r)
黄金分割的生成与应用
黄金分割是一种与等比数列相关的数学概念，在建筑、艺术、自然界等领域中有广泛的应用。它具有 特殊的美学意义。
相关练习题目
等比数列的计算 填空题 选择题 解析题
等比数列的性质_课件-课件ppt
自测自评
()
解析：利用等比数列的定义验证即可． 答案：A
2．已知{an}是等比数列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋ a4a6＝25，那a3＋a5的值等于( )
A．5
B．10
C．15
D．20
解析：a2a4＝a23，a4a6＝a52，故得(a3＋a5)2＝25， ∴a3＋a5＝±5，又 an＞0， 即 a3＋a5＝5. 答案：A
从而a1＋a3＝5， a1a3＝4.
解之，得 a1＝1，a3＝4 或 a1＝4，a3＝1， 当 a1＝1 时，q＝2；当 a1＝4 时，q＝12. 故 an＝2n－1 或 an＝23－n. 法二：由等比数列的定义知 a2＝a1q， a3＝a1q2，代入已知得
法二：由等比数列的定义知 a2＝a1q， a3＝a1q2，代入已知得
解析：在等比数列{an}中，a7·a11＝a4·a14＝6.① 又 a4＋a14＝5.② 由①、②组成方程组得
a4＝2，
或a4＝3，
a14＝3
a14＝2.
∵aa2100＝aa144＝23或32.
答案：C
等比数列的性质
求an.
已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，
解析：法一：∵a1a3＝a22， ∴a1a2a3＝a32＝8，∴a2＝2，
1．准确掌握等比数列的通项公式与定义，由此得 出一些等比数列的性质，掌握推导性质的方法比记忆性 质更重要．
2．适当记忆一些性质利用性质提高解题速度与解 题的正确率，如用等比数列的性质：若m＋n＝p＋k，则 aman＝apak，可以解决许多相关问题．
3．等比数列的一些项组成的新的等比数列也经常 遇到，要准确判断用好定义与通项公式．
跟踪训练
等比数列的性质PPT教学课件
1．在准确掌握等比数列பைடு நூலகம்定义及通项公式的前 提下认识等比数列的性质，可以提高解题速度与解题 的准确率．
2．对于等比数列基本量之间的运算应先考虑是 否能用性质解决，然后再考虑是否能列出关于 a1，d 的方程组．
1．已知{an}是等比数列，a6＝2，a3＝14，则公比 q 等于(
)
A．－12
B．－2
等差、等比数列的综合问题
已知数列{an}与等比数列{bn}满足 bn＝2an，n∈N*. (1)判断{an}是什么数列，并给予证明； (2)若 a8＋a13＝12，求 b1·b2·…·b20 的值．
【思路探究】 (1)怎样判断一个数列是等差数列还是等比 数列？若{an}是等差数列，需要证明 an－an－1 为常数，由 bn＝2an 你能产生 an 的表达式吗？
(2)等比数列与等差数列的“下标和”性质是怎样描述的？ 它在具体题目中应怎样运用？
【自主解答】 (1)数列{an}是等差数列．证明如下： ∵bn＝2an，∴log2bn＝an. ∴an－1＝log2bn－1(n≥2)． ∴an－an－1＝log2bbn－n 1. ∵数列{bn}为等比数列， ∴bbn－n 1为常数，log2bbn－n 1也为常数． ∴数列{an}为等差数列．
方程思想在等比数列中的应用
(12 分)等比数列{an}是递增数列，若 a5－a1＝60， a4－a2＝24，求公比 q.
【思路点拨】 用 a1，q 分别表示 a2，a4，a5，解方程组求 出 q，注意所求值是否需要舍去．
【规范解答】 由已知得aa11qq34－ －aa11q＝＝6204，， ②
①
(2013·福建高考)已知等差数列{an}的公差 d＝1，前 n 项和为 Sn.
等比数列的性质 课件
∴q＝2 或 q＝12.
∴qa＝1＝21，，
a1＝4， 或q＝12.
∴an＝2n－1 或 an＝4×12n－1＝23－n.
法二：从而aa11＋ a3＝a3＝ 4，5， 解得 a1＝1，a3＝4，或 a1＝4，a3＝1. 当 a1＝1 时，q＝2；当 a1＝4 时，q＝12. 故 an＝2n－1 或 an＝23－n.
2．等比数列的项的对称性
有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的 积(若有中间项则等于中间项的平方)，即 a1·an＝a2·an－1 ＝ak·__a_n_－_k＋_1_
＝a2 n+1 (n 为正奇数)．
2
3．等比数列的“子数列”的性质
若数列{an}是公比为 q 的等比数列，则 (1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公比为 q 的等比数列； (2)奇数项数列{a2n－1}是公比为 q2 的等比数列；偶数项数列{a2n}是公 比为 q2 的等比数列；
∴{an＋1－an}为等比数列，其中首项为 a2－a1＝2a1＋1－a1＝a1＋1＝2， 公比 q＝2. 则 an＋1－an＝2·2n－1＝2n. ∴2an＋1－an＝2n，∴an＝2n－1.
形如 an＋1＝can＋d(c≠1，cd≠0)的递推关系，利用待定系数法可化为 an＋1－1－d c＝can－1－d c，当 a1－1－d c≠0 时，数列an－1－d c为等比 数列．从而把一个非等比数列问题转化为等比数列问题．
[解析] 设第 n 个图形的边长为 an. 由题意知，从第 2 个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形边长 的13，所以数列{an}是首项为 1，公比为13的等比数列，故 an＝13n－1. 第 1 个图形的边数为 3，因为从第 2 个图形起，每一个图形的边数均 为上一个图形边数的 4 倍，所以第 n 个图形的边数为 3×4n－1.因此， 第 n 个图形的周长13n－1×(3×4n－1)＝3×43n－1.
《等比数列的性质》课件
欢迎大家来到今天的课程，我们将一起探索等比数列的性质。等比数列是数 学中非常重要的一个概念，它不仅在实际问题中有广泛应用，同时也是计算 机算法分析和音乐学中来自重要基础。什么是等比数列？
等比数列是一种特殊的数列，每一项与前一项的比相等。通项公式为 $a_n = a_1 q^{n-1}$，其中 $a_1$ 为首项，$q$ 为公比。
等比数列的性质
当$q > 1$时，数列为递增数列； 当$0 < q < 1$时，数列为递减数列； 当$q = -1$时，数列为交错数列； 当$q < -1$且$n$为偶数时，数列为单调递增的正数数列。
$\d frac{a_{m }}{a_{n}} = q^{m-n}$
$S_n = \d frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，当$q \neq 1$时成立。 • 公比$q$的取值范围： • 比值公式： • 前$n$项和公式：
等比数列的应用
复利问题、电路中的 应用
等比数列在复利问题以及 电路中能够提供有效的计 算方法和分析工具。
计算机算法的时间复 杂度分析
等比数列可以帮助我们分 析和评估计算机算法的时 间复杂度。
音乐领域中的应用
上下行音程的音高可以用 等比数列来表示，为音乐 理论和演奏提供了重要工 具。
思考题
在一个等比数列中，有两个数 $a$ 和 $b$，它们的乘积等于 $ab^m$。请问，这个数列的公比的取值范 围是多少？
等比数列性质ppt课件
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规律技巧 本例主要考查等比数列的性质及解方程组 的能力，当然若将条件化为a1，q的形式，亦可求解，只不 过麻烦一些罢了，因此，在解题时，要灵活运用性质解题.
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变式训练 1 (1)在等比数列{an}中，已知 a7a12＝5，求 a8a9a10a11. (2){an}为等比数列，且 a1a9＝64，a3＋a7＝20，求 a11.
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解 设所求之数为a－d，a，a＋d，则由题设，得 a－d＋a＋a＋d＝15， a＋32＝a－d＋1a＋d＋9， 解此方程组得ad＝＝52，， 或ad＝＝5－，10. (舍去) ∴所求三数为3,5,7.
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规律技巧 此类问题一般设成等差数列的数为未知数， 然后利用等比数列知识建立等式求解.另外，对本题若设所 求三数为a，b，c，则列出三个方程求解，运算过程将很复 杂.因此，在计算过程中，设的未知数个数应尽可能少.
若{bn}是公比为q′的等比数列，则数列{anbn}是公比为 qq′的等比数列；
数列{a1n}是公比为1q的等比数列； 数列{|an|}是公比为|q|的等比数列．
3
(3)在数列{an}中每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来顺序 组成新数列，则新数列仍为等比数列且公比为qk＋1.
(4)数列{an}是各项均为正数的等比数列时，数列{lgan} 是公差为lgq的等差数列．
1
等比数列还有如下性质 等比数列{an}的首项为a1，公比为q. (1)当q>1，a1>0，或0<q<1，a1<0时，数列为递增数列； 当q>1，a1<0，或0<q<1，a1>0时，数列为递减数列； 当q＝1时，数列为常数列； 当q<0时，数列为摆动数列．
2
《高二数学等比数列》课件
02
01
04
等比数列与其他数列的联系与区别
等差数列和等比数列都是线性数列，具有特定的规律性。
定义关联
等差数列是等比数列的一种特例，当公比为1时，等比数列退化为等差数列。
增长趋势
等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，等比数列的通项公式为$a_n=a_1q^{n-1}$，其中$d$是公差，$q$是公比。
通项公式相似
项的变化
在等差数列中，任意两项之差是一个常数，而在等比数列中，任意两项之比是一个常数。
增长模式
等差数列是均匀增加或减少的，而等比数列则是以固定比例增加或减少。
通项公式差异
等差数列的通项公式仅包含常数和线性函数，而等比数列的通项公式包含指数函数。
联系实例
设有一等差数列${3, 7, 11, 15, ...}$，当公差$d=4$时，该等差数列可以看作是等比数列${3, 7, 15, 29, ...}$的特例，其中公比$q=5$。
详细描述
数列1，-2，4，-8，16是等比数列，因为其满足等比数列的性质，即公比为-2，首项为1，项数为5。
举例
总结词
01
通过具体实例说明等比数列的判定方法
详细描述
02
通过具体的实例来演示如何应用定义和性质进行等比数列的判定，包括计算比值、应用性质等步骤。
举例
03
数列3，6，12，24，48是等比数列，可以通过计算相邻两项的比值来验证（6/3=2，12/6=2，24/12=2，48/24=2），同时也可以应用等比数列的性质来验证（公比为2，首项为3，项数为5）。
06
总结与展望
等比数列的定义与性质
等比数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项之间的比值是常数。
等比数列的性质课件
A．5 2
B．7
C．6
D．4 2
[解题过程] a1·a2·a3＝a23＝5 a7·a8·a9＝a83＝10 a4·a5·a6＝a53 又∵a52＝a2·a8，∴a53＝(a2·a8)32 ∴a4·a5·a6＝(a23a83)12＝(5×10)12＝5 2.故选 A.
答案： A [题后感悟] 有关等比数列的计算问题，要灵活应用等比数 列的性质，以减少运算量．
1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质的由来． 2.理解等比数列的性质并能应用． 3.掌握等比数列的性质并能综合运用.
1.对等比数列性质的考查是本课时的热点． 2.本课时内容常与等差数列、函数、不等式结合命题． 3.多以选择题和填空题的形式考查.
等差数列的常用性质
性质1 性质2 性质3 性质4 性质5
(1)该市历年所建中低价房的累计面积 (以2009年为累计的第一年)将首次不 少于4 750万平方米？ (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例 首次大于85%.
本题主要考查构建数学模型解决实际问题，通过阅读之后， 找出题目中的相关信息，构造等差数列和等比数列．
[规范作答] (1)设中低价房面积构成数列{an}，由题意 可知，{an}是等差数列，其中 a1＝250，d＝50，
解析： ∵a22＝a1a3，代入已知， 得 a23＝8，∴a2＝2.
设前三项为2q，2,2q，则有2q＋2＋2q＝7.
整理，得 2q2－5q＋2＝0，
∴q＝2 或 q＝12.
∴aq1＝＝21，，
a1＝4， 或q＝12.
an＝2n－1 或 an＝4·12n－1.
已 知 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 {an} 中 ， a1·a2·a3 ＝ 5 ， a7·a8·a9＝10，则 a4·a5·a6＝( )
2017_2018学年高中数学第二章数列2.4等比数列2.4.1等比数列课件新人教A版必修5
题型一
题型二
题型三
题型四
反思a1和q是等比数列的基本量,只要求出这两个基本量,其他量 便可迎刃而解(如本题求an).此类问题求解的通法是根据条件,利用 等比数列通项公式,建立关于a1和q的方程组,求出a1和q.其中解这类 方程组常用的技巧是两个方程相除.
3.等比数列与指数函数的关系
剖析等比数列的通项公式可整理为 an= 时,y= 数列
������1 ������ ������������(������≠1)是一个不为零的常数 1 与指数函数qx 的乘积.表示 ������ ������ ������1 ������ ������ ������ 中的各项的点是函数y= 1 ������������的图象上的孤立的点.如 ������ ������
3.等比中项 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a 与b的等比中项. 知识拓展等比中项的性质: (1)若G是a与b的等比中项,则a与b的符号相同,符号相反的两个实 数不存在等比中项. G=± ������������ , 即等比中项有两个,且互为相反数.
(2)当G2=ab时,G不一定是a与b的等比中项.例如02=5×0,但0,0,5 不是等比数列. 【做一做3】 4与9的等比中项为( ). A.6 B.-6 C.±6 D.36 答案:C
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 在等比数列{an}中, (1)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n;
(2)a3=2,a2+a4=
20 , 求������������ . 3
解 (1)设等比数列{an}的公比为 q,则 q≠0. ������2 + ������5 = ������1 ������ + ������1 ������ 4 = 18, ① 因为 ������3 + ������6 = ������1 ������ 2 + ������1 ������ 5 = 9, ② 由
2017-2018学年高中数学 第二章 数列 2.3 等比数列名师讲义 新人教B版必修5
2.3 等比数列2．3.1 等比数列第一课时 等比数列的概念及通项公式(1)等比数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等比数列？ (2)等比数列的通项公式是什么？(3)等比中项的定义是什么？如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)．＝a n －1(＝a n.以为零，当q ＝1时，等比数列为常数列，非零的常数列是特殊的等比数列．2．等比数列的通项公式等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q (q ≠0)，则通项公式为：a n ＝a 1q n －1.3．等比中项如果三个数x ，G ，y 组成等比数列，则G 叫做x ，y 的等比中项．如果G 是x 和y 的等比中项，那么G x ＝yG，即G 2＝xy .[点睛] (1)G 是x 与y 的等比中项，则x 与y 的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项．G ＝±xy ，即等比中项有两个，且互为相反数．(2)当G 2＝xy 时，G 不一定是x 与y 的等比中项．例如02＝5×0，但0,0,5不是等比数列．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列( ) (2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零( ) (3)常数列一定为等比数列( ) (4)任何两个数都有等比中项( )解析：(1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列． (2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零． (3)错误，当常数列不为零时，该数列才是等比数列．(4)错误．当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项． 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 2．下列数列为等比数列的是( ) A ．2,22,3×22，… B.1a ，1a 2，1a3，…C ．s －1，(s －1)2，(s －1)3，…D ．0,0,0，…解析：选B A 、C 、D 不是等比数列，A 中不满足定义，C 、D 中项可为0，不符合 定义．3．等比数列的首项为98，末项为13，公比为23，则这个数列的项数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B ∵13＝98·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，∴827＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1， ∴n －1＝3，∴n ＝4.4．在等比数列{a n }中，a 4＝27，q ＝－3，则a 7＝________. 解析：a 7＝a 4·q 3＝27×(－3)3＝－729. 答案：－729[典例] (1)在等比数列{a n }中，a 1＝2，q ＝2，a n ＝32，则项数n 为( )A ．3B ．4C ．5D ．6(2)已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.[解析] (1)因为a n ＝a 1qn －1，所以12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125，解得n ＝5.(2)由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1⇒2q 2－5q ＋2＝0⇒q ＝2或12，由a 25＝a 10＝a 1q 9>0⇒a 1>0，又数列{a n }递增，所以q ＝2.a 25＝a 10⇒(a 1q 4)2＝a 1q 9⇒a 1＝q ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n.[答案] (1)C (2)2n[活学活用] 在等比数列{a n }中， (1)a 4＝2，a 7＝8，求a n ；(2)a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n .解：(1)因为⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2， ①a 1q 6＝8， ②由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q3＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝2253n-.(2)法一：因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18， ③a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9， ④由④③得q ＝12，从而a 1＝32. 又a n ＝1，所以32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝1，即26－n＝20，所以n ＝6.法二：因为a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，所以q ＝12.由a 1q ＋a 1q 4＝18，得a 1＝32. 由a n ＝a 1qn －1＝1，得n ＝6.[典例] (1)在等比数列{a n }中，a 1＝8，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项是( )A ．±4B ．4C ．±14D.14(2)已知b 是a ，c 的等比中项，求证：ab ＋bc 是a 2＋b 2与b 2＋c 2的等比中项． [解析] (1)由a n ＝18×2n －1＝2n －4知，a 4＝1，a 8＝24，所以a 4与a 8的等比中项为±4.答案：A(2)证明：因为b 是a ，c 的等比中项， 所以b 2＝ac ，且a ，b ，c 均不为零，又(a 2＋b 2)(b 2＋c 2)＝a 2b 2＋a 2c 2＋b 4＋b 2c 2＝a 2b 2＋2a 2c 2＋b 2c 2，(ab ＋bc )2＝a 2b 2＋2ab 2c ＋b 2c 2＝a 2b 2＋2a 2c 2＋b 2c 2，所以(ab ＋bc )2＝(a 2＋b 2)(b 2＋c 2)， 即ab ＋bc 是a 2＋b 2与b 2＋c 2的等比中项．1．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B ．b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9D ．b ＝－3，ac ＝－9解析：选B 因为b 2＝(－1)×(－9)＝9，且b 与首项－1同号， 所以b ＝－3，且a ，c 必同号． 所以ac ＝b 2＝9.2．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝________. 解析：由已知可得(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)， 解得a ＝5，所以a 1＝4，a 2＝6，所以q ＝a 2a 1＝64＝32，所以a n ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.答案：4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1n n n ＋1n ＋n 列．证明：[法一 定义法] ∵a n >0，∴a n ＋3>0. 又∵a n ＋1＝2a n ＋3， ∴a n ＋1＋3a n ＋3＝2a n ＋3＋3a n ＋3＝a n ＋a n ＋3＝2.∴数列{a n ＋3}是首项为a 1＋3，公比为2的等比数列． [法二 等比中项法] ∵a n >0，∴a n ＋3>0. 又∵a n ＋1＝2a n ＋3， ∴a n ＋2＝4a n ＋9. ∴(a n ＋2＋3)(a n ＋3) ＝(4a n ＋12)(a n ＋3) ＝(2a n ＋6)2＝(a n ＋1＋3)2.即a n ＋3，a n ＋1＋3，a n ＋2＋3成等比数列， ∴数列{a n ＋3}是等比数列．[活学活用](1)已知各项均不为0的数列{a n }中，a 1，a 2，a 3成等差数列，a 2，a 3，a 4成等比数列，a 3，a 4，a 5的倒数成等差数列，证明：a 1，a 3，a 5成等比数列．(2)已知数列{a n }是首项为2，公差为－1的等差数列，令b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ，求证数列{b n }是等比数列，并求其通项公式．证明：(1)由已知，有2a 2＝a 1＋a 3，① a 23＝a 2·a 4，② 2a 4＝1a 3＋1a 5.③ 由③得2a 4＝a 3＋a 5a 3·a 5，所以a 4＝2a 3·a 5a 3＋a 5.④ 由①得a 2＝a 1＋a 32.⑤将④⑤代入②，得a 23＝a 1＋a 32·2a 3·a 5a 3＋a 5. ∴a 3＝a 1＋a 3a 5a 3＋a 5，即a 3(a 3＋a 5)＝a 5(a 1＋a 3)．化简，得a 23＝a 1·a 5.又a 1，a 3，a 5均不为0，所以a 1，a 3，a 5成等比数列． (2)依题意a n ＝2＋(n －1)×(－1)＝3－n ，于是b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123－n.而b n b n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫124－n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2. ∴数列{b n }是公比为2的等比数列，通项公式为b n ＝2n －3.层级一 学业水平达标1．2＋3和2－3的等比中项是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．2解析：选C 设2＋3和2－3的等比中项为G ，则G 2＝(2＋3)(2－3)＝1，∴G ＝±1. 2．在首项a 1＝1，公比q ＝2的等比数列{a n }中，当a n ＝64时，项数n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：选 D 因为a n ＝a 1qn －1，所以1×2n －1＝64，即2n －1＝26，得n －1＝6，解得n ＝7.3．设等差数列{a n }的公差d 不为0，a 1＝9d ，若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则k 等于( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选B ∵a n ＝(n ＋8)d ，又∵a 2k ＝a 1·a 2k ，∴[(k ＋8)d ]2＝9d ·(2k ＋8)d ，解得k ＝－2(舍去)或k ＝4.4．等比数列{a n }的公比为q ，且|q |≠1，a 1＝－1，若a m ＝a 1·a 2·a 3·a 4·a 5，则m 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11D ．12解析：选 C ∵a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3·a 1q 4＝a 51·q 10＝－q 10，a m ＝a 1q m －1＝ －qm －1，∴－q 10＝－q m －1，∴10＝m －1，∴m ＝11.5．等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5＞a 2，则a n 等于( ) A ．(－2)n －1B ．－(－2n －1)C ．(－2)nD ．－(－2)n解析：选A 设公比为q ，则a 1q 4＝－8a 1q ， 又a 1≠0，q ≠0，所以q 3＝－8，q ＝－2， 又a 5＞a 2，所以a 2＜0，a 5＞0， 从而a 1＞0，即a 1＝1，故a n ＝(－2)n －1.6．等比数列{a n }中，a 1＝－2，a 3＝－8，则a n ＝________.解析：∵a 3a 1＝q 2，∴q 2＝－8－2＝4，即q ＝±2.当q ＝－2时，a n ＝a 1q n －1＝－2×(－2)n －1＝(－2)n；当q ＝2时，a n ＝a 1qn －1＝－2×2n －1＝－2n.答案：(－2)n或－2n7．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则a 4＝________. 解析：设公比为q ，则a 1q 2＝3，a 1q 9＝384， 所以q 7＝128，q ＝2，故a 4＝a 3q ＝3×2＝6. 答案：68．已知三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则此时的三个数成等差数列，则原来的三个数的和等于________．解析：依题意设原来的三个数依次为aq ，a ，aq .∵a q·a ·aq ＝512，∴a ＝8.又∵第一个数与第三个数各减去2后的三个数成等差数列，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a q－2＋(aq －2)＝2a ，∴2q 2－5q ＋2＝0，∴q ＝2或q ＝12，∴原来的三个数为4,8,16或16,8,4.∵4＋8＋16＝16＋8＋4＝28，∴原来的三个数的和等于28.答案：289．在等比数列{a n }中，已知a 3＋a 6＝36，a 4＋a 7＝18，a n ＝12，求n .解：设等比数列{a n }的公比为q .∵a 4＋a 7＝a 3q ＋a 6q ＝(a 3＋a 6)q ，∴q ＝1836＝12.∵a 4＋a 7＝18，∴a 4(1＋q 3)＝18. ∴a 4＝16，a n ＝a 4·qn －4＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －4.由16·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －4＝12，得n －4＝5，∴n ＝9.10．已知递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2和a 4的等差中项，求a n . 解：设等比数列{a n }的公比为q .依题意，知2(a 3＋2)＝a 2＋a 4， ∴a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＋4＝28， ∴a 3＝8，a 2＋a 4＝20，∴8q ＋8q ＝20，解得q ＝2或q ＝12(舍去)． 又a 1＝a 3q2＝2，∴a n ＝2n.层级二 应试能力达标1．设a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，其公比为2，则2a 1＋a 22a 3＋a 4的值为( )A.14 B.12 C.18D ．1解析：选A 原式＝2a 1＋a 2q 2a 1＋a 2＝1q 2＝14.2．在等比数列{a n }中，已知a 1＝13，a 5＝3，则a 3＝( )A ．1B ．3C ．±1D ．±3解析：选A 由a 5＝a 1·q 4＝3，所以q 4＝9，得q 2＝3，a 3＝a 1·q 2＝13×3＝1.3．设a 1＝2，数列{1＋2a n }是公比为3的等比数列，则a 6等于( )A ．607.5B ．608C ．607D ．159 解析：选C ∵1＋2a n ＝(1＋2a 1)×3n －1，∴1＋2a 6＝5×35，∴a 6＝5×243－12＝607.4．如图给出了一个“三角形数阵”．已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，14 12，14 34，38，316…记第i 行第j 列的数为a ij (i ，j ∈N ＋)，则a 53的值为( ) A.116 B.18 C.516D.54解析：选C 第一列构成首项为14，公差为14的等差数列，所以a 51＝14＋(5－1)×14＝54.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为54，公比为12的等比数列，所以a 53＝54×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝516.5．已知等比数列{a n }中，a 1＝2，且a 4a 6＝4a 27，则a 3＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由等比数列的性质并结合已知条件得a 25＝4·a 25q 4. ∴q 4＝14，q 2＝12，∴a 3＝a 1q 2＝2×12＝1.答案：16．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2S n －3，则{a n }的通项公式是________． 解析：由a n ＝2S n －3得a n －1＝2S n －1－3(n ≥2)，两式相减得a n －a n －1＝2a n (n ≥2)， ∴a n ＝－a n －1(n ≥2)，a na n －1＝－1(n ≥2)． 故{a n }是公比为－1的等比数列，令n ＝1得a 1＝2a 1－3，∴a 1＝3，故a n ＝3·(－1)n －1.答案：a n ＝3·(－1)n －17．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2－a n ，求证：数列{a n }是等比数列． 证明：∵S n ＝2－a n ，∴S n ＋1＝2－a n ＋1.∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(2－a n ＋1)－(2－a n )＝a n －a n ＋1. ∴a n ＋1＝12a n .又∵S 1＝2－a 1， ∴a 1＝1≠0.又由a n ＋1＝12a n 知a n ≠0，∴a n ＋1a n ＝12. ∴数列{a n }是等比数列．8．已知数列{a n }满足a 1＝73，a n ＋1＝3a n －4n ＋2(n ∈N ＋)．(1)求a 2，a 3的值；(2)证明数列{a n －2n }是等比数列，并求出数列{a n }的通项公式．解：(1)由已知得a 2＝3a 1－4＋2＝3×73－4＋2＝5，a 3＝3a 2－4×2＋2＝3×5－8＋2＝9.(2)证明：∵a n ＋1＝3a n －4n ＋2，∴a n ＋1－2n －2＝3a n －6n ， 即a n ＋1－2(n ＋1)＝3(a n －2n )． 由(1)知a 1－2＝73－2＝13，∴a n －2n ≠0，n ∈N ＋.∴a n ＋1－n ＋a n －2n＝3，∴数列{a n －2n }是首项为13，公比为3的等比数列．∴a n －2n ＝13×3n －1，∴a n ＝3n －2＋2n .第二课时 等比数列的性质[新知初探]等比数列的性质(1)若数列{a n }，{b n }是项数相同的等比数列，则{a n ·b n }也是等比数列．特别地，若{a n }是等比数列，c 是不等于0的常数，则{c ·a n }也是等比数列．(2)在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q .(3)数列{a n }是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项的积． (4)在等比数列{a n }中，每隔k 项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为qk ＋1.(5)当m ，n ，p (m ，n ，p ∈N ＋)成等差数列时，a m ，a n ，a p 成等比数列．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积( ) (2)当q >1时，{a n }为递增数列( ) (3)当q ＝1时，{a n }为常数列( )解析：(1)正确，根据等比数列的定义可以判定该说法正确． (2)错误，当q >1，a 1>0时，{a n }才为递增数列．(3)正确，当q ＝1时，数列中的每一项都相等，所以为常数列． 答案：(1)√ (2)× (3)√2．由公比为q 的等比数列a 1，a 2，…依次相邻两项的乘积组成的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，…是( )A ．等差数列B ．以q 为公比的等比数列C ．以q 2为公比的等比数列 D ．以2q 为公比的等比数列 解析：选C 因为a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n＝q 2为常数，所以该数列为以q 2为公比的等比数列． 3．已知等比数列{a n }中，a 4＝7，a 6＝21，则a 8的值为( ) A ．35 B ．63 C ．21 3D ．±21 3解析：选B ∵{a n }成等比数列． ∴a 4，a 6，a 8成等比数列 ∴a 26＝a 4·a 8，即a 8＝2127＝63.4．在等比数列{a n }中，各项都是正数，a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝4，则a 4＋a 8＝________. 解析：∵a 6a 10＝a 28，a 3a 5＝a 24，∴a 24＋a 28＝41， 又a 4a 8＝4，∴(a 4＋a 8)2＝a 24＋a 28＋2a 4a 8＝41＋8＝49， ∵数列各项都是正数， ∴a 4＋a 8＝7. 答案：7[典例] (1)在1与100之间插入n 个正数，使这n ＋2个数成等比数列，则插入的n 个数的积为( )A ．10nB ．n 10C ．100nD ．n 100(2)在等比数列{a n }中，a 3＝16，a 1a 2a 3…a 10＝265，则a 7等于________． [解析] (1)设这n ＋2个数为a 1，a 2，…，a n ＋1，a n ＋2， 则a 2·a 3·…·a n ＋1＝(a 1a n ＋2)n 2＝(100)n2＝10n.(2)因为a 1a 2a 3…a 10＝(a 3a 8)5＝265，所以a 3a 8＝213， 又因为a 3＝16＝24，所以a 8＝29. 因为a 8＝a 3·q 5，所以q ＝2. 所以a 7＝a 8q＝256. [答案] (1)A (2)2561．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5D ．－7解析：选D 因为数列{a n }为等比数列，所以a 5a 6＝a 4a 7＝－8，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4，所以q 3＝－12或q 3＝－2，故a 1＋a 10＝a 4q3＋a 7·q 3＝－7.2．在等比数列{a n }中，已知a 4a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比为整数，则a 10＝________. 解析：由a 4·a 7＝－512，得a 3·a 8＝－512.由⎩⎪⎨⎪⎧a 3·a 8＝－512，a 3＋a 8＝124，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝－4，a 8＝128或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝128，a 8＝－4.(舍去)．所以q ＝5a 8a 3＝－2.所以a 10＝a 3q 7＝－4×(－2)7＝512. 答案：512[典例] (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是________．(2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数．[解析] (1)设这四个数分别为a ，aq ，aq 2，aq 3，则a －1，aq －1，aq 2－4，aq 3－13成等差数列．即⎩⎪⎨⎪⎧aq －＝a －＋aq 2－，aq 2－＝aq －＋aq 3－，整理得⎩⎪⎨⎪⎧a q －2＝3，aqq －2＝6，解得a ＝3，q ＝2.因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45.答案：45(2)解：法一：设前三个数为aq，a ，aq ，则a q·a ·aq ＝216， 所以a 3＝216.所以a ＝6. 因此前三个数为6q，6,6q .由题意知第4个数为12q －6. 所以6＋6q ＋12q －6＝12，解得q ＝23.故所求的四个数为9,6,4,2.法二：设后三个数为4－d,4,4＋d ，则第一个数为14(4－d )2，由题意知14(4－d )2×(4－d )×4＝216，解得4－d ＝6.所以d ＝－2.故所求得的四个数为9,6,4,2.…a q 2，a q，a ，aq ，aq 2…在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为( )A ．－4或352B ．4或352C ．4D ．1712解析：选B 设插入的第一个数为a ，则插入的另一个数为a 22.由a ，a 22，20成等差数列得2×a 22＝a ＋20.∴a 2－a －20＝0，解得a ＝－4或a ＝5. 当a ＝－4时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝4.当a ＝5时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝352.[典例] 某工厂2016年1月的生产总值为a 万元，计划从2016年2月起，每月生产总值比上一个月增长m %，那么到2017年8月底该厂的生产总值为多少万元？[解] 设从2016年1月开始，第n 个月该厂的生产总值是a n 万元，则a n ＋1＝a n ＋a n m %， ∴a n ＋1a n＝1＋m %. ∴数列{a n }是首项a 1＝a ，公比q ＝1＋m %的等比数列．∴a n ＝a (1＋m %)n －1.∴2017年8月底该厂的生产总值为a 20＝a (1＋m %)20－1＝a (1＋m %)19(万元)．如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点 A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…， A 5A 6＝a 7 ，则 a 7＝________.解析：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22n ，故a 7＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14. 答案：14层级一 学业水平达标1．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24B ．0C ．12D ．24解析：选A 由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.2．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解析：选D 设等比数列的公比为q ，因为a 6a 3＝a 9a 6＝q 3， 即a 26＝a 3a 9，所以a 3，a 6，a 9成等比数列．故选D.3．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( ) A.56 B.65 C.23D.32解析：选D 设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6.∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q＋6q ＝5.解得q ＝26，∴a 5a 7＝1q 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32.4．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q 为( )A.13 B ．3 C ．±13D ．±3解析：选B 设等差数列为{a n }，公差为d ，d ≠0. 则a 23＝a 2·a 6，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )·(a 1＋5d )， 化简得d 2＝－2a 1d ， ∵d ≠0，∴d ＝－2a 1，∴a 2＝－a 1，a 3＝－3a 1，∴q ＝a 3a 2＝3.5．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1·a 15的值为( ) A ．100 B ．－100 C ．10 000D ．－10 000解析：选C ∵a 3a 8a 13＝a 38，∴lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝3lg a 8＝6.∴a 8＝100.又a 1a 15＝a 28＝10 000，故选C.6．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，成等比数列，则此未知数是________．解析：设此三数为3，a ，b ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3＋b ，a －2＝3b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15，b ＝27.所以这个未知数为3或27.答案：3或277．设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝________.解析：由题意得a 4＝12，a 5＝32，∴q ＝a 5a 4＝3.∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32×32＝18.答案：188．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，2为公比的等比数列{a n }(1≤n ≤10，n ∈N ＋)，则第10个正方形的面积S ＝a 210＝22·29＝211＝2 048. 答案：2 0489．在由实数组成的等比数列{a n }中，a 3＋a 7＋a 11＝28，a 2·a 7·a 12＝512，求q . 解：法一：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 7q －4＋a 7＋a 7q 4＝28， ①a 7q －5·a 7·a 7q 5＝512， ②由②得a 37＝512，即a 7＝8. 将其代入①得2q 8－5q 4＋2＝0.解得q 4＝12或q 4＝2，即q ＝±142或q ＝±42.法二：∵a 3a 11＝a 2a 12＝a 27， ∴a 37＝512，即a 7＝8.于是有⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 11＝20，a 3a 11＝64，即a 3和a 11是方程x 2－20x ＋64＝0的两根，解此方程得x ＝4或x ＝16. 因此⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝4，a 11＝16或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝16，a 11＝4.又∵a 11＝a 3·q 8， ∴q ＝±⎝⎛⎭⎪⎫a 11a 318＝±418＝±42或q ＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫1418＝±142.10．在正项等比数列{a n }中，a 1a 5－2a 3a 5＋a 3a 7＝36，a 2a 4＋2a 2a 6＋a 4a 6＝100，求数列{a n }的通项公式．解：∵a 1a 5＝a 23，a 3a 7＝a 25， ∴由题意，得a 23－2a 3a 5＋a 25＝36， 同理得a 23＋2a 3a 5＋a 25＝100，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3－a 52＝36，a 3＋a 52＝100.即⎩⎪⎨⎪⎧a 3－a 5＝±6，a 3＋a 5＝10.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝2，a 5＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝8，a 5＝2.分别解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，q ＝12.∴a n ＝2n －2或a n ＝26－n.层级二 应试能力达标1．在等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则( ) A ．a 1＝1 B ．a 3＝1 C ．a 4＝1D ．a 5＝1解析：选B 由题意，可得a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝1，即(a 1·a 5)·(a 2·a 4)·a 3＝1，又a 1·a 5＝a 2·a 4＝a 23，所以a 53＝1，得a 3＝1.2．已知等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16解析：选C 等比数列{a n }中，a 3a 11＝a 27＝4a 7，解得a 7＝4，等差数列{b n }中，b 5＋b 9＝2b 7＝2a 7＝8.3．已知数列{a n }为等差数列，a 1，a 2，a 3成等比数列，a 1＝1，则a 2 016＝( )A ．5B ．1C ．0D ．－1解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，则由a 1，a 2，a 3成等比数列得(1＋d )2＝1＋2d ，解得d ＝0，所以a 2 016＝a 1＝1.4．设各项为正数的等比数列{a n }中，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，则a 3·a 6·a 9·…·a 30＝( )A ．230B ．210C ．220D ．215解析：选C ∵a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230， ∴a 301·q1＋2＋3＋…＋29＝a 301·q 29×302＝230，∴a 1＝2－272，∴a 3·a 6·a 9·…·a 30＝a 103·(q 3)9×102＝(2－272×22)10×(23)45＝220.5．在等比数列{a n }中，若a 7＝－2，则此数列的前13项之积等于________． 解析：由于{a n }是等比数列，∴a 1a 13＝a 2a 12＝a 3a 11＝a 4a 10＝a 5a 9＝a 6a 8＝a 27， ∴a 1a 2a 3…a 13＝(a 27)6·a 7＝a 137， 而a 7＝－2.∴a 1a 2a 3…a 13＝(－2)13＝－213. 答案：－2136．已知－7，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－4，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则a 2－a 1b 2＝________. 解析：由题意，知a 2－a 1＝－1－－3＝2，b 22＝(－4)×(－1)＝4.又因为b 2是等比数列中的第三项，所以b 2与第一项同号，即b 2＝－2，所以a 2－a 1b 2＝2－2＝－1. 答案：－17．已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0，由{a n }中的部分项组成的数列ab 1，ab 2，…，ab n ，…为等比数列，其中b 1＝1，b 2＝5，b 3＝17.求数列{b n }的通项公式．解：依题意a 25＝a 1a 17，即(a 1＋4d )2＝a 1(a 1＋16d )，所以a 1d ＝2d 2，因为d ≠0，所以a 1＝2d ，数列{ab n }的公比q ＝a 5a 1＝a 1＋4da 1＝3，所以ab n ＝a 13n －1，①又ab n ＝a 1＋(b n －1)d ＝b n ＋12a 1，②由①②得a 1·3n －1＝b n ＋12·a 1.因为a 1＝2d ≠0，所以b n ＝2×3n －1－1.8．一个等比数列的第3项与第4项分别是12和18，数列中的a 3，a 7与a 5有怎样的关系？在任一个等比数列{a n }中，a 2n ＝a n －3·a n ＋3(n ＞3)成立吗？把3换成k ，即a 2n ＝a n －k a n ＋k ，这里的k 应满足怎样的条件？解：设这个数列的首项为a 1，公比为q ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝12，a 1q 3＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝32，a 1＝163.所以a n ＝163×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，则a 3＝163×⎝ ⎛⎭⎪⎫322，a 5＝163×⎝ ⎛⎭⎪⎫324，a 7＝163×⎝ ⎛⎭⎪⎫326，可知a 3a 7＝a 25. 在任一个等比数列{a n }中，a 2n ＝a n －3a n ＋3(n ＞3)一定成立．在等比数列{a n }中，a 2n ＝a n －k ·a n ＋k 要成立， 只需满足n ＞k ＞0，且k ∈N ＋即可．2．3.2 等比数列的前n 项和第一课时 等比数列的前n 项和[新知初探]等比数列的前n 项和公式 S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1q ＝，a 11－q n1－qqS n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1q ＝，a 1－a n q1－qq[点睛] 在应用公式求和时，应注意到Sn ＝1n1－q的使用条件为q ≠1，而当q ＝1时应按常数列求和，即S n ＝na 1.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)求等比数列{a n }的前n 项和时可直接套用公式S n ＝a 1－q n1－q来求( )(2)首项为a 的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n 项和为S n ＝na ( ) (3)若某数列的前n 项和公式为S n ＝－aq n＋a (a ≠0，q ≠0且q ≠1，n ∈N ＋)，则此数列一定是等比数列( )解析：(1)错误．在求等比数列前n 项和时，首先应看公比q 是否为1，若q ≠1，可直接套用，否则应讨论求和．(2)正确．若数列既是等差数列，又是等比数列，则是非零常数列，所以前n 项和为S n ＝na .(3)正确．根据等比数列前n 项和公式S n ＝a 1－q n1－q(q ≠0且q ≠1)变形为：S n ＝a 11－q －a 11－q q n (q ≠0且q ≠1)，若令a ＝a 11－q，则和式可变形为S n ＝a －aq n. 答案：(1)× (2)√ (3)√2．等比数列{a n }中，公比q ＝－2，S 5＝44，则a 1的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．2D ．－2解析：选A 由S 5＝a 1[1－－5]1－－＝44，得a 1＝4. 3．数列{2n －1}的前99项和为( )A ．2100－1 B ．1－2100C ．299－1 D ．1－299解析：选C 数列{2n －1}为等比数列，首项为1，公比为2，故其前99项和为S 99＝1－2991－2＝299－1.4．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( ) A ．2 B ．4 C.152D.172解析：选C S 4a 2＝a 1－q 41－q ×1a 1q＝1－q 4－q q ＝152.[典例] 在等比数列{a n }中，公比为q ，前n 项和为S n . (1)a 1＝8，a n ＝14，S n ＝634，求n ；(2)S 3＝72，S 6＝632，求a n 及S n .[解] (1)显然q ≠1，由S n ＝a 1－a n q1－q ，即8－14q 1－q ＝634，∴q ＝12.又a n ＝a 1q n －1，即8×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝14，∴n ＝6.(2)法一：由S 6≠2S 3知q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1－q31－q ＝72， ①a 1－q 61－q＝632， ②②÷①，得1＋q 3＝9，∴q 3＝8，即q ＝2. 代入①得a 1＝12，∴a n ＝a 1q n －1＝12×2n －1＝2n －2，S n ＝a 1－q n1－q＝2n －1－12. 法二：由S 3＝a 1＋a 2＋a 3，S 6＝S 3＋a 4＋a 5＋a 6＝S 3＋q 3(a 1＋a 2＋a 3)＝S 3＋q 3S 3＝(1＋q 3)S 3. ∴1＋q 3＝S 6S 3＝9，∴q 3＝8，即q ＝2.代入①得a 1＝12，∴a n ＝a 1q n －1＝12×2n －1＝2n －2，S n ＝a 1－q n1－q＝2n －1－12.[活学活用]已知a 6－a 4＝24，a 3·a 5＝64，求S 8.解：法一：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 5－a 1q 3＝24，a 1q 2a 1q 4＝64，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3q 2－＝24， ①a 1q 3＝±8， ②①÷②，得q 2－1＝±3，负值舍去， ∴q 2＝4，∴q ＝2或q ＝－2. 当q ＝2时，代入①得a 1＝1. ∴S 8＝a 1－q 81－q＝255.当q ＝－2时，代入①得a 1＝－1. ∴S 8＝a 1－q 81－q＝2553.综上知S 8＝255或2553.法二：由等比数列的性质得a 3·a 5＝a 24＝64，∴a 4＝±8. 当a 4＝8时，∵a 6－a 4＝24，∴a 6＝32，∴q 2＝a 6a 4＝4， ∴q ＝±2.当a 4＝－8时，a 6－a 4＝24，∴a 6＝16. ∴q 2＝a 6a 4＝－2，无解．故q ＝±2.当q ＝2时，a 1＝a 4q 3＝1，S 8＝a 1－q 81－q ＝255.当q ＝－2时，a 1＝a 4q 3＝－1，S 8＝a 1－q 81－q ＝2553.综上知，S 8＝255或2553.[典例] n n 2n S 3n ＝________.[解析] 法一：设公比为q ，由已知易知q ≠1，由⎩⎪⎨⎪⎧a 11－q n1－q＝48，a1－q 2n1－q＝60⇒⎩⎪⎨⎪⎧q n ＝14，a 11－q ＝64，所以S 3n ＝a 1－q3n1－q＝a 11－q ·[1－(q n )3]＝64×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－164＝63. 法二：由S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列，得(S 2n －S n )2＝S n ·(S 3n －S 2n )，即(60－48)2＝48(S 3n －60)⇒S 3n ＝63.[答案] 63[活学活用]1．若等比数列{a n }的公比为13，且a 1＋a 3＋…＋a 99＝60，则{a n }的前100项和为______．解析：令X ＝a 1＋a 3＋…＋a 99＝60，Y ＝a 2＋a 4＋…＋a 100， 则S 100＝X ＋Y ，由等比数列前n 项和性质知：Y X ＝q ＝13，所以Y ＝20，即S 100＝X ＋Y ＝80. 答案：802．一个项数为偶数的等比数列{a n }，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求数列的通项公式．解：设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，所有奇数项、偶数项之和分别记作S 奇，S 偶，由题意可知，S 奇＋S 偶＝4S 偶，即S 奇＝3S 偶．因为数列{a n }的项数为偶数，所以有q ＝S 偶S 奇＝13. 又因为a 1·a 1q ·a 1q 2＝64，所以a 31·q 3＝64，即a 1＝12，故所求通项公式为a n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.[典例] (1)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝4，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )A ．16(1－4－n) B ．16(1－2－n) C.323(1－4－n) D.323(1－2－n )(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)na n －12n ，n ∈N ＋，则①a 3＝________；②S 1＋S 2＋…＋S 100＝________. [解析] (1)由a 5＝a 2q 3，得q 3＝18，所以q ＝12，而数列{a n a n ＋1}也为等比数列，首项a 1·a 2＝8，公比q 2＝14，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝－4－n1－14＝323(1－4－n)． (2)①∵a n ＝S n －S n －1＝(－1)n a n －12n －(－1)n －1a n －1＋12n －1(n ≥2)，∴a n ＝(－1)na n －(－1)n －1a n －1＋12n .当n 为偶数时，a n －1＝－12n ，当n 为奇数时，2a n ＋a n －1＝12n ，∴当n ＝4时，a 3＝－124＝－116.②根据以上{a n }的关系式及递推式可求得．a 1＝－122，a 3＝－124，a 5＝－126，a 7＝－128， a 2＝122，a 4＝124，a 6＝126，a 8＝128.∴a 2－a 1＝12，a 4－a 3＝123，a 6－a 5＝125，…，∴S 1＋S 2＋…＋S 100＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 100－a 99)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋123＋…＋12100＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋123＋…＋1299－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12100＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12100－1.[答案] (1)C (2)①－116 ②13⎝ ⎛⎭⎪⎫12100－1(1)分析题设条件．[活学活用]1．公差不为0的等差数列{a n }的部分项ak 1，ak 2，ak 3，…构成等比数列，且k 1＝1，k 2＝2，k 3＝6，则k 4＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 1，a 2，a 6成等比数列，所以a 22＝a 1·a 6， 即(a 1＋d )2＝a 1·(a 1＋5d )，所以d ＝3a 1，所以a 2＝4a 1，所以等比数列ak 1，ak 2，ak 3，…的公比q ＝4， 所以ak 4＝a 1·q 3＝a 1·43＝64a 1.又ak 4＝a 1＋(k 4－1)·d ＝a 1＋(k 4－1)·(3a 1)， 所以a 1＋(k 4－1)·(3a 1)＝64a 1，a 1≠0， 所以3k 4－2＝64，所以k 4＝22. 答案：222．设数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，n ∈N ＋. (1)求{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)已知{b n }是等差数列，T n 为其前n 项和，且b 1＝a 2，b 3＝a 1＋a 2＋a 3，求T 20. 解：(1)由题设知{a n }是首项为1，公比为3的等比数列， 所以a n ＝3n －1，S n ＝1－3n1－3＝12(3n－1)．(2)b 1＝a 2＝3，b 3＝1＋3＋9＝13，b 3－b 1＝10＝2d ， 所以公差d ＝5，故T 20＝20×3＋20×192×5＝1 010.层级一 学业水平达标1．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q 等于( ) A ．1 B ．0 C ．1或0D ．－1解析：选A 因为S n －S n －1＝a n ，又{S n }是等差数列，所以a n 为定值，即数列{a n }为常数列，所以q ＝a na n －1＝1. 2．已知数列{a n }是公比为3的等比数列，其前n 项和S n ＝3n＋k (n ∈N ＋)，则实数k 为( ) A ．0 B ．1 C ．－1D ．2解析：选C 由数列{a n }的前n 项和S n ＝3n＋k (n ∈N ＋)， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋k ； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋k －(3n －1＋k )＝2×3n －1.因为数列{a n }是公比为3的等比数列，所以a 1＝2×31－1＝3＋k ，解得k ＝－1.3．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于( ) A ．31 B ．33 C ．35D ．37解析：选B 根据等比数列性质得S 10－S 5S 5＝q 5， ∴S 10－11＝25，∴S 10＝33.4．在等比数列{a n }中，a 3＝32，其前三项的和S 3＝92，则数列{a n }的公比q ＝( )A ．－12B.12 C ．－12或1D.12或1 解析：选C 由题意，可得a 1q 2＝32，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝92，两式相除，得1＋q ＋q 2q 2＝3，解得q ＝－12或1.5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝2，S 10＝6，则a 16＋a 17＋a 18＋a 19＋a 20等于( ) A ．8 B ．12 C ．16D ．24解析：选C 设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 2n －S n ＝q nS n ，所以S 10－S 5＝q 5S 5，所以6－2＝2q 5，所以q 5＝2，所以a 16＋a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝a 1q 15＋a 2q 15＋a 3q 15＋a 4q 15＋a 5q 15＝q 15(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)＝q 15S 5＝23×2＝16.6．等比数列{a n }共有2n 项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q ＝________. 解析：设{a n }的公比为q ，则奇数项也构成等比数列，其公比为q 2，首项为a 1， 偶数项之和与奇数项之和分别为S 偶，S 奇， 由题意S 偶＋S 奇＝3S 奇， 即S 偶＝2S 奇，因为数列{a n }的项数为偶数，所以q ＝S 偶S 奇＝2. 答案：27．等比数列{a n }中，若a 1＋a 3＋…＋a 99＝150，且公比q ＝2，则数列{a n }的前100项和为________．解析：由a 2＋a 4＋…＋a 100a 1＋a 3＋…＋a 99＝q ，q ＝2，得a 2＋a 4＋…＋a 100150＝2⇒a 2＋a 4＋…＋a 100＝300，则数列{a n }的前100项的和S 100＝(a 1＋a 3＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋…＋a 100)＝150＋300＝450.答案：4508．设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________.解析：∵S 4＝a 1－q41－q，a 4＝a 1q 3，∴S 4a 4＝1－q 4q 3－q＝15. 答案：159．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .解：设{a n }的公比为q ，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝3.当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1，S n ＝3(2n－1)； 当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1，S n ＝3n－1.10．已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13.(1)S n 为数列{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n2；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式． 解：(1)证明：因为a n ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝13n ，S n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝1－13n 2，所以S n ＝1－a n2.(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n n ＋2.所以{b n }的通项公式为b n ＝－n n ＋2.层级二 应试能力达标1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( ) A ．11 B ．5 C ．－8D ．－11解析：选D 设{a n }的公比为q .因为8a 2＋a 5＝0. 所以8a 2＋a 2·q 3＝0.所以a 2(8＋q 3)＝0. 因为a 2≠0，所以q 3＝－8.所以q ＝－2.所以S 5S 2＝a 1－q51－q a 1－q 21－q ＝1－q 51－q 2＝1＋321－4＝33－3＝－11. 故选D.2．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5 C.3116D.158解析：选C 由题意，q ≠1，由9S 3＝S 6，得9×a 1－q 31－q＝a 1－q 61－q，解得q ＝2，故a n ＝a 1qn －1＝2n －1，1a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，其前5项和为1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.3．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝( ) A ．(2n－1)2B.13(4n－1) C.13(2n－1) D ．4n－1解析：选B 由a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n－1，得a 1＝1，a 2＝2，所以{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，所以{a 2n }是以1为首项，4为公比的等比数列，所以a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝－4n1－4＝13(4n－1)． 4．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．193解析：选C 设最下面一层灯的盏数为a 1，则公比q ＝12，n ＝7，由a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1271－12＝381，解得a 1＝192.5．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________. 解析：依题意得a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝4，a 4＝－8，所以a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝15. 答案：156．设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n (n ∈N ＋)均在直线y ＝x ＋12上．若b n ＝3a n ＋12，则数列{b n }的前n 项和T n ＝________.解析：依题意得S n n ＝n ＋12，即S n ＝n 2＋12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎪⎫n 2＋12n －[(n －1)2＋12(n －1)]＝2n －12；当n ＝1时，a 1＝S 1＝32，符合a n ＝2n －12，所以a n ＝2n －12(n ∈N ＋)，则b n＝3a n ＋12＝32n ，由b n ＋1b n ＝3n＋32n ＝32＝9，可知{b n }为等比数列，b 1＝32×1＝9，故T n ＝－9n1－9＝9n ＋1－98. 答案：9n ＋1－987．已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{2a n }的前n 项和S n . 解：(1)由题设，知公差d ≠0， 由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列， 得1＋2d 1＝1＋8d1＋2d， 解得d ＝1，或d ＝0(舍去)． 故{a n }的通项a n ＝1＋(n －1)×1＝n .。
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(2)an＝am· qn m(m，n∈N*)． (3)当m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)时，有am· an＝ap· aq.但 am＋an≠ap＋aq. (4)数列{an}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积 相等，且等于首末两项之积，即a1· an＝a2· an－1＝a3· an－2＝…＝ am· an－m＋1.
类型二 等比数列的设项方法 【例2】 互不相等的三个数之积为－8，这三个数适当排 列后可成等比数列，也可成等差数列，求这三个数排成的等比 数列．
思维启迪：首先由三个数适当排列后成等比数列，求出 这三个数中的一个，再由三个数适当排列成等差数列．讨论 后求出这三个数．
a 解析：设排成等比数列后的三数为q，a，aq， 由三数之积为－8，得a＝－2. 又三个数互不相等，则此顺序一定不成等差数列，故能排 成等差数列的情况只有两种： 2 4 ①若－q为等差中项．则－2q＋(－2)＝－q. 解得q＝－2或q＝1(舍去)． 2 ②若－2q为等差中项．则－q＋(－2)＝－4q， 1 解得q＝－2或q＝1(舍去)． 故所求等比数列为1，－2,4或4，－2,1.
思维启迪：可以利用通项公式计算，也可以运用等比数列 的性质计算．
3 【例1】 解析：解法一：∵a2a10＝a2 ， ∴ a a a ＝ a 6 2 6 10 6＝1. ∴a6＝1.∴a3a9＝a2 6＝1. 15 解法二：设公比为q，则a2a6a10＝a1q· a1q5· a1q9＝a3 1q ＝1， ∴a1q5＝1. ∴a3a9＝a1q2· a1q8＝(a1q5)2＝1.
[类题通法] a (1)三个数成等比数列的设法为：q，a，aq. (2)此题用到“分类讨论\”的数学方法，使用时必须做到以 下两个点： ①明确分类标准(如概念、性质、运算等)； ②分类做到不重不漏．
变式训练2 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三 个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个 数与第三个数的和是12，求这四个数．
[类题通法] 在等比数列的有关运算中，常涉及到次数较高的指数运 算，若按常规解法，往往是建立a1和q的方程(组)，这样解起来 比较麻烦．而采用等比数列性质，进行整体变换，会起到化繁 为简的效果．
变式训练1 已知正数等比数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝7， a1· a2· a3＝8，求an.
解析：∵a1a2a3＝a3 2＝8，∴a2＝2， a1＋a3＝5 a1＝1 a1＝4 ∴ .∴ 或 a3＝4 a1· a3＝4 a3＝1 当a1＝1，a3＝4时，q＝2，此时an＝2n－1， 1 当a1＝4，a3＝1时，q＝2 1 － 此时，an＝42n 1
1说基础· 名师导读 知识点 等比数列的性质 已知等比数列{an}中，首项为a1，公比为q(q≠0)，则an＝ a1· qn－1. (1)当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，数列{an}是递增数列； 当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，数列{an}是递减数列；当q＝1 时，数列{an}是常数列；当q<0时，数列{an}是摆动数列(它所有 的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异 号)．
a＋d2 解析：解法一：设四个数依次为a－d，a，a＋d， a . a＋d2 a－d＋ ＝16 a 由条件得 ， a＋a＋d＝12
a＝4 解得 d＝4 a＝9 或 d＝－6
.
所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16； 当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1. 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
(7)当数列{an}是各项都为正数的等比数列时，数列{lgan}是 公差为lgq的等差数列． (8)在数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为 qk(或qk2)的等比数列． (9)若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列，则am，an，ap成 等比数列．
讲重点 等差数列与等比数列的区别与联系 等差数列与等比数列的区别与联系如下表所示：
－
(5)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数 列；若数列{bn}是公比为q′的等比数列，则数列{an· bn}是公比 1 1 为q· q′的等比数列；数列 a 是公比为q的等比数列；数列{|an|} n 是公比为|q|的等比数列． (6)在数列{an}中，每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来的顺序 排列，所得数列仍为等比数列，且公比为qk＋1.
2a a 解法二：设四个数依次为 q －a，q，a，aq(a≠0)， 2a a＝3 q －a＋aq＝16 a＝8 由条件得 .解得 或 1 . q＝3 q＝2 a＋a＝12 q 当a＝8，q＝2时，所求四个数为0,4,8,16； 1 当a＝3，q＝3时，所求四个数为15,9,3,1. 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
联系
(1)都强调每一项与其前一项的关系；(2)结果 都必须是常数；(3)数列都可以由a1，d或a1， q确定；(4)若{an}为正项等比数列，则 {logman}为等差数列，其中m>0，且m≠1； (5)若{an}为等差数列，则{ban}为等比数列； (6)非零常数列既是等差数列1】 已知等比数列{an}中，a2a6a10＝1，求a3a9.
等差数列 (1)强调每一项与前一项的 差； (2)a1和d可以为0； 区 别 等比数列 (2)强调每一项与前 一项的比； (2)a1与q均不为0； (3)两个同号实数(不 (3)任意两个实数的等差中 为0)的等比中项有两 项唯一； 个值； (4)当m＋n＝p＋ (4)当m＋n＝p＋q(m，n， q(m，n，p，q∈N*) * p，q∈N )时， 时， am＋an＝ap＋aq. aman＝apaq.