XRD(2-晶体学基础)(1)

1．倒易点阵的定义？ 2．倒易点阵的重要性质？
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<100>等效晶向
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（三）晶面和晶面间距 1、晶面
➢ 在布拉菲格子中作一簇平行的平面，这些相互平行、 等间距的平面可以将所有的格点包括无遗。
➢ 这些相互平行的平面称为晶体的晶面 ➢ 同一布拉菲格子中可以存在位相不同的的晶面
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（hkl）：表示一组相互平行的晶面， 称为晶面指数或米勒指数。
（hkl）是平面在三个坐标轴上截距倒数的互质比。 晶格中一组晶面不仅平行，并且等距；
一组晶面必包含了所有格点而无遗漏。
同一个格子，两组不同的晶面
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例
以晶胞参数a,b,c为三个对应晶轴的度量单位，晶面ABC在 坐标轴上的截距分别为2、3、6； 其倒数为1/2、 1/3 、 1/6，
h:k:l = 1/2 :1/3 : 1/6
=3:2:1
故: 该晶面的晶面指数 （hkl）为(321)。
带轴。
凡属于[uvw]晶带的晶面，其面指数（hkl）必符合关系：
hu+kv+lw=0
晶带定律
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二、倒易点阵（倒点阵）
倒点阵可以直观地解释衍射图的成因， 它是虚拟的、抽象的教学工具。
晶体学中的正点阵（空间点阵），通过某种联系，将其 抽象出另外一套结点的集合，得到倒点阵。
➢ 晶体点阵中的一个晶面（hkl），在倒点阵中将用 一个点Phkl表示。该点与其对应的晶面有倒易关系。
E、当晶面指数中某个位置上的指数为0时， 表示该晶面与对应的晶轴平行。 如（100）(001）。
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2、晶面间距dhkl
晶面间距是指两个相邻的平行晶面间的垂直距离。 通常用dhkl 或简写为d来表示。
晶面间距d与晶胞参数关系的通用表达式
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由于不同晶系的对称性特点不同， 所以简化后的晶面间距d的表达关系式也不同
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3、晶胞
晶胞：能充分反映晶体的周期性和对称性的最小重复单元。 晶胞参数：表征晶胞大小和形状的一组参数
（a、b、c，α、β、γ）
晶胞选取原则：
(1) 能充分表示出晶体的对称性； (2) a, b, c要尽可能相等； (3) α,β,γ要尽可能等于90°； (4) 单元体积要尽可能小。
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按照晶胞参数之间的关系，晶体被分为7大晶系
由于晶体的对称性，晶体中某些晶向上的原子排列情况完全 相同，因而晶体沿这些晶向的宏观性质也完全相同，这些晶 向称为等效晶向。
[100]
[001] [010] [100]
[010] [001]
例：在立方晶系中，沿立方边的 晶列一共有6个不同的晶向，由于 晶格的对称性，这6个晶向并没有 什么区别，晶体在这些方向上的 性质是完全相同的，统称这些方 向为等效晶向，写成<100>。
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几点注意
A、当晶面交于晶轴的负端时，对应的指数就是负的，并将负号 标在数字的上面。
B、晶面指数中h、k、l分别代表与X、Y、Z轴的关系，它们之间 不能随意变换。
C、一个晶面指数实际上是代表某个方向上的一组面，而不是一 个面。
D、对于高对称性的晶体来说，结晶学上等价的面具有相同的指 数，这些结晶学上的等价面就构成一个 晶面族{hkl}。
➢ 晶体中三维空间点阵经过倒易关系可以转化为 三维倒点阵。
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倒点阵的定义
以
ar ,
r b
,
cr
表示正点阵基矢，以
uur a *,
uur b *,
uur c*
表示另一个点
阵 阵基的矢基矢ar。, br如, cr果通唯过一定地义求式出1第（二或个定点义阵式基2矢）au可u*r ,以buu*r由, cu正ur* 点，
H、K、L称为衍射指数，可以有公约数，如（330）、（202） 而晶面指数的h、k、l是互质的，此时H=nh、K=nk、L=nl （HKL）平面 ∥（hkl）平面，但（HKL）的晶面间距是（hkl）
晶面间距的1/n ：
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倒点阵矢量的重要性质
1.倒点阵矢量的长度等于正
点阵中对应晶面间距的倒数
︳uRvhkl ︳=1/dhkl
用一个点来代表基元的空间位置（例如：基元的重心），这 些呈周期性无限分布的几何点的集合形成了空间点阵。
格点：代表基元空间位置的点称为格点 一切格点是等价的，每个格点的周围环境相同
（因为一切基元的组成、位相和取向都相同）
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晶体结构=空间点阵 +基元
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按基元中包含的原子种类对晶格分类
单式晶格
基元中只包含一个原子 Na；Au、Ag、Cu等
到一个直线点阵； 5、由于晶体的点阵性质，所有这些直线点阵中的点形成三维点阵，
称为倒易点阵。
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说明
倒点阵是正点阵经过数学关系抽象出来的另一套结点 的组合，纯粹是一种虚构的教学工具。利用倒点阵可 以直观地解释衍射图的成因。
正点阵中的一个晶面对应倒点阵中的一个倒结点
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第一章 习题2
§2 X-ray衍射晶体学基础
晶列所确定的方向称为晶向。
每组平行直线可以将 所有的格点包括无遗
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晶向指数[uvw]
晶向指数实质上是晶向在三 个坐标轴上投影的互质整数， 代表一族晶列的取向。
OP的晶向 指数为 [123]
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一般晶向指数较小（指绝对值） 的晶列上个点分布较密，而晶 向指数较大的晶列上格点分布 较稀疏。
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等效晶向 <uvw>
§2 X-ray衍射晶体学基础 一、几何晶体学概述 二、倒易点阵
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一、几何晶体学
（一）晶体及空间点阵 1、晶体：由相同的基本结构单元
（基元）在空间作周期性 重复排列的固体。
单个原子或离子或 若干个原子的基团
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2、空间点阵（空间格子或布拉菲格子）
在研究晶体结构时一般只抽象出晶体的重复规律。 这种抽象的图形，称为空间点阵。
2. 倒点阵矢量方向与正点阵中对应晶面垂直
uv R hkl
//
N(晶面法线)
或
uRvhkl ⊥（hkl）
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1、在倒点阵中建立坐标系，一般取倒点阵坐标原点与正点阵的坐标 原点重合;
2、图中N代表正点阵中平面(hkl) 的法线，在虚线上等间距排列的 点为倒易阵点HKL，即nh nk nl；
3、相邻两倒易点阵结点间的距离为1/dhkl; 4、晶体中有无数组平面点阵，对每一平面点阵族都可按上图那样得
那么第二个点阵是第一个点阵的倒点阵。定义式1定义式2
v a* =
v b
v c,
v b*
=
v c
v a
,
v c*
=
vv ab
V
V
V
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说明
正点阵基本平移矢量：
ar ,
r b
,
cr
uur uur uur 倒点阵基本平移矢量： a *, b *, c *
倒点阵的 定义形式
定义式1
或
定义式2
v a* =
v b
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在7大晶系中，只可能存在14种布拉菲格子
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14种布拉菲格子
简单格子 体心格子 面心格子 底心格子
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晶胞的两个要素
晶胞的形状和大小：晶胞参数决定 晶胞的内容：原子的种类、数量、在晶胞中的相对位置
➢ 描述晶胞内原子的位置要用分数坐标
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（二）晶向及晶向指数
晶体的晶列：由于晶格的周期性，布拉菲格子中的格点可以分列在 一系列平行等间距的直线上，这些直线即晶列。
v c
,
v b*
=
v c
v a
,
v c*
=
vv ab
V
V
V
可以从
ar
,
r b
,
cr
唯一地求出
uur uur uur a *,b *, c *
，从正点阵得到了唯一的倒点阵
正点阵和倒点阵互为倒易关系
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倒点阵矢量（倒格矢）
在倒点阵中，从原点0 * 到坐标为H、K、L的倒结点的 矢量称为倒点阵矢量（也称为倒格矢），用 表示
对称程度越低，晶面间距的计算的公式越复杂
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点阵中所有的晶面都有自己的面间距，一般的规律是: 在空间点阵中，晶面的晶面指数越小，其晶面间距越 大，晶面的结点密度越大，它的X射线衍射强度越大， 它的重要性越大。
✓晶面间距愈大，该晶面 上的原子排列愈密集； ✓晶面间距愈小，该晶面 上的原子排列愈稀疏。
原子形成的网格与格点形成的网格相同
简单晶格
复式晶格
基元中包含两个或以上原子
每一种同类原子形成的网格与布拉菲格子有 相同的几何结构，整个晶格可看作是由若干个不 同种类原子所形成的布拉菲格子相互套构而成。
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空间点阵要素
A、结点：空间点阵中的点 B、行列：结点在直线上的排列。 C、面网：结点在平面上的排列。 D、单位点阵：空间点阵中的一个最小重复单元。 E、点阵参数：晶格常数
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立方晶格的几种主要晶面标记
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晶面族
在立方晶系中，由于原子的排列具有高度的对称性，往往存在 有许多原子排列完全相同但在空间位向不同（即不平行）的晶 面，这些晶面总称为晶面族。其用大括号表示，即{hkl}。
（hkl）代表一组互相平行等间距的晶面。 {hkl} 表示由对称性联系起来的空间等同晶面； 代表原子排列完全相同，只是空间位向不同的各组晶面。
晶面间距在X射线衍射分析中十分重要
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（三）晶带
晶体中平行于同一晶向的所有晶面的总体称为晶带。 而此晶向称为此晶带的晶带轴，并以相同的晶向指数来表示。
晶体中若干晶面族{hkl}同时
与一个晶向[uvw]平行，即这