格点中的面积课件
五年级上册数学课件-2 格点与面积
① ③
②
1cm2
④
面积跟什么有关？
边点数
内点数
1cm2
① ③
②
边点与面积的关系
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第1个边点 第2个边点 第3个边点 第4个边点 第5个边点
没面积 没面积 0.5平方厘米 0.5平方厘米 0.5平方厘米
…… ……
内点与面积的关系
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1cm2
1cm2
④
( 16 -2)×0.5+17×1 =14×0Байду номын сангаас5+17×1 =7+17 =24（平方厘米）
生活中可以没有诗歌，但不能没有诗意；行进中可以没有道路，但不能没有前进的脚步；工作中可以没有经验，但不能没有学习，人生中可以 没有闪光，但不能有污迹。 冰冻三尺，非一日之寒，成大事者不拘小节。 思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。 成功的科学家往往是兴趣广泛的人，他们的独创精神来自他们的博学。 任何为失败找借口的人虽然他的心灵上得到了安慰，但是他将永远的拥有失败。 人们不相信聪明人会做蠢事：人的权利竟是丧失到了如此地步。 萤火虫的光点虽然微弱，但亮着便是向黑暗挑战。 萤火虫的光点虽然微弱，但亮着便是向黑暗挑战。 “不可能”只存在于蠢人的字典里。 树立必信的信念，不要轻易说“我不行”。志在成功，你才能成功。 世界上20%的人是吃小亏而占大便宜，而80%的人是占小一便宜吃大亏，大多数成功人士都源于那20%。 失去金钱的人损失甚少，失去健康的人损失极多，失去勇气的人损失一切。 成长是一场和自己的比赛，不要担心别人会做得比你好，你只需要每天都做得比前一天好就可以了。
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你把所有的都看透了，别人就看不透你了 重复别人所说的话，只需要教育；而要挑战别人所说的话，则需要头脑。——玛丽佩蒂博恩普尔 你有你的生命观，我有我的生命观，我不干涉你。只要我能，我就感化你。如果不能，那我就认命。 不要太肯定自己的看法，这样子比较少后悔。 进取用汗水谱写着自己奋斗和希望之歌。 读书也像开矿一样，“沙里淘金”。 有时候，不是对方不在乎你，而是你把对方看得太重。
第十一讲 格点与面积
第十一讲格点与面积请看下图，这是两个画在方格纸中的多边形，图（a）的多边形的所有顶点都在方格纸上的横、纵两组平行线垂直相交的交点上.图（b）中的多边形的顶点至少有一个顶点不在方格纸上那些横、纵两组平行线垂直相交的交点上.（比如A点）像图（a）这样的多边形，我们称它为格点多边形.什么是格点？平常我们用的方格纸的方格（每个小方格都是一个小正方形）都是由横、纵两组平行线垂直相交构成的，其中相邻两条平行线的距离都是相等的（通常规定是1个单位），在这样的方格纸上，横、纵两组平行线垂直相交的交点称为格点.以格点为顶点画出的多边形称为格点多边形.像图（b）这样的多边形虽然除A点之外所有顶点都是格点，但我们还不能把它称为格点多边形.显然易见，格点多边形面积的大小，与格点数目（包括边界上的）的多少有着密切的关系.一般看来，格点多边形的面积越大（小），它所包含格点数目（包括边界上的）就越多（少）.是否存在这两者之间关系的精确的计算公式？通过它只计数格点数目（包括边界上的）的多少就能准确地计算出格点多边形面积的大小？下面让我们共同探索这个规律.例1 如下图，计算下列各个格点多边形的面积.分析本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了.解：第（1）图是正方形，边长是4，所以面积是4×4=16（面积单位）.第（2）图是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5×3=15（面积单位）.第（3）图是三角形，底是5，高是4，所以面积是5×4÷2=10（面积单位）.第（4）图是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5×3=15（面积单位）.第（5）图是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是（3+5）×3÷2=12（面积单位）.第（6）图是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是（3＋6）×4÷2=18（面积单位）.例2 如下图（a），计算这个格点多边形的面积.分析这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下图（b），这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积,就是所要求的三角形面积.解：矩形面积是6×4=24.直角三角形Ｉ的面积是：6×2÷2＝6.直角三角形Ⅱ的面积是：4×2÷2=4，直角三角形Ⅲ的面积是：4×2÷2=4.所求三角形的面积是：24-（6＋4＋4）=10（面积单位）.例3 如右图，计算这个格点多边形的面积.分析这是个不规则的多边形，可以仿照例2的方法，用矩形面积减去四个直角三角形的面积，如下页图（a）所示.另一种方法可以把所求的四边形分割成几块，只要所分成的每个图形的面积好求，那么整个四边形的面积就能求了，如图（b）所示.解法1：矩形面积是4×3=12.直角三角形Ⅰ的面积是：2×1÷2=1.直角三角形Ⅱ的面积是：3÷1÷2=1.5.直角三角形Ⅲ的面积是：2×1÷2=1.直角三角形Ⅳ的面积是：2×2÷2=2.所以，所求四边形的面积是12-（1+1.5+1+2）=12-5.5=6.5（面积单位）.解法2：根据图（b）所示切割的情况，四边形被切成上、下、左、右四个三角形和中间一个矩形，它们的面积分别是：3×1÷2=1.5；3×1÷2=1.5；2×1÷2=1；1×1÷2=0.5；2×1=2.所以整个四边形的面积是：1.5+1.5+1+0.5+2=6.5（面积单位）.从解法2可以看到，把一个图形切割的方法虽然各有不同，但要遵循的原则是：切割的块数越少越好，而且每块面积都易于求出.为探寻图形面积与格点数目的关系，特研究下面例4.例4 如下页图，计算图（A）与图（B）的面积.解：用切割方法（如下图所示）.图（A）面积为：4×1+4×2÷2=8（面积单位）.图（B）面积为：3×1÷2+2×2+（1+2）×2÷2+2×1÷2=8（面积单位）.说明：从计算上我们看到图A与图B面积相等.除此之外，它们还有另两个共同特点：一是图A与图B周界上的格点数相等，都是8个.二是它们所包含在图形内的格点数也相等，都是5个.这个结论给了我们一个启发：难道两个图形如果周界上的格点数相同.图形内所包含的格点数也相同，就一定能断定这两个图形面积相等吗？为此让我们做进一步的探索.例5 如下图，计算下列各格点多边形的面积，统计每个图形周界上的格点数与图形内包含的格点数.解：列表如下：我们对表内数据分析发现：任何一个格点多边形的面积都等于周界上的格点数除以2减1再加上图形内包含的格点数.如果用S表示面积，用N表示图形内的格点数，用L表示周界上的格点数，再列成下表，它们之间的关系就更清楚了.这就是说：图形内的格点数与它周界上的格点数的一半的和（N+L/2）与它的面积S的差永远恰好是1.例6 如下图，将图中有关数据填入下表：以后，在我们求格点多边形面积时，可以直接应用公式：S=N+L/2-1这个公式表示：格点多边形的面积等于图形内的格点数加上周界上的格点数的一半减1.上述这个计算格点多边形的面积公式，是通过几个实例分析，归纳出来的，作为数学公式还须进行严格的证明.但限于同学们的知识水平，这个证明不在此进行了.例7 本讲开始提到的多边形如右图面积是多少？用上述公式很快就可以求出了.解：图形内部格点数N=21.图形周界上的格点数L=9.图形面积S=N+L/2-1=21+4.5-1=24.5（面积单位）.以上我们所研究的格点多边形都是属于正方形格点问题.也就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形.下面我们进行另外一种格点多边形的研究，即三角形格点问题.所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形.例8 如下页图（a），有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.计算三角.形ABC的面积.解法1：如图（b）所示，在△ABC内连接相邻的三个点成△DEF，再连接DC、EA、FB 后是△ABC可看成是由△DEF分别延长FD、DE、EF边一倍、一倍、二倍而成的，不难得到S △ACD=2， S△AEB=3， S△FBC=4，所以S△=1+2+3+4=10（面积单位）.解法 2：如下图（c）所示，作辅助线把图Ⅰ′、Ⅱ′、Ⅲ′分别移拼到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，这样可以通过数小正三角形的方法，求出△ABC的面积为10.解法3：如上图（d）所示：作辅助线可知：平行四边形ARBE中有6个小正三角形，而△ABE的面积是平行四边形ARBE面积的一半，即S△ABE=3，平行四边形ADCH中有4个小正三角形，而△ADC的面积是平行四边形ADCH面积的一半，即S△ADC=2.平行四边形FBGC中有8个小正三角形，而△FBC的面积是平行四边形FBGC的一半，即：S△FBC=4.所以三角形ABC的面积是1+2+3+4=10（面积单位）.关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S表示面积，N表示图形内包含的格点数，L表示图形周界上的格点数，那么：S=2×N+L-2，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2.例如例8中，N=4，L=4；所以S=2×N+L-2=2×4+4-2=10（面积单位）.例9如右图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算△ABC的面积.解：因为N=5；L=3：所以S=2×N+L-2=2×5+3-2=11（面积单位）.例10 如右图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的正三角形，计算四边形ABCD 的面积.解：因为N=9；L=4；所以S=2×N+L-2=2×9+4-2=20（面积单位）.习题十一1.求下列各个格点多边形的面积.2.求下列格点多边形的面积（每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形）.习题十一解答1.①∵ L=12；N=10，∴S=N+L/2-1=10+6-1=15（面积单位）.②∵L=10；N=16，∴S=N+L/2-1=16+5-1=20（面积单位）.③∵ L=6，N=12，∴S=N+L/2-l=12+3-1=14（面积单位）.④∵L=10；N=13，∴S=N+L/2-1=13+5-1=17（面积单位）.2.①∵L=7；N=7，∴S=2×N+L-2=2×7+7-2=19（面积单位）.②∵L=5；N=8，∴S=2×N+L-2=2×8+5-2=19（面积单位）.③∵L=6；N=8，∴S=2×N+L-2=2×8+6-2=20（面积单位）.④∵ L=7； N=8；∴S=2×N+L-2=2×8+7-2=21（面积单位）.。
格点与面积
格点与面积第四讲格点与面积【例1】图1中是用橡皮筋钉在钉板上围成的几个图形，每两个相邻点之间分析图1中每相邻点之间的距离都是1厘米，相邻四个点围成的小方格面积就是1平方厘米，相邻三个点围成的小三角形面积就是0.5平方厘米。
解进行分割（图2）。
（1）的面积是6平方厘米，（2）的面积是12平方厘米，（3）的面积是3平方厘米，（4）的面积是9平方厘米，（5）的面积是5.5平方厘米。
说明图2中的图形，都是以格点为顶点的多边形，称为格点多变形，格点多边形的面积越大（小），它所包含的格点（包括边界上的）就越多（少）。
【例2】计算图3（1）中三角形的面积。
图3分析图中三角形是斜着的，先将它扩展成长方形，如图3（2），这个长方形由4个三角形组成，分别求出：①、②、③3个三角形的面积，再用长方形面积减去这3个三角形的面积和，即可求出原三角形的面积。
解三角形①的面积：3X24-2=3三角形②的面积：2X24-2=2三角形③的面积：4X14-2=2 长方形面积：4X3=12三角形④的面积:12-3-2-2=5【例3】图4中每两个相邻点之间的距离都是1厘米，求出各个图形的面积,图4分析按照例1的分析方法，进行分裂。
解A的面积是2平方厘米，B的面积是4. 5平方厘米，C的面积是5. 5平方厘米，D的面积是7平方厘米，E的面积是2平方厘米。
填表:n c r vv-fl B } 分析 现在小方格的面积是2,即比例2扩大了两倍，可以用例2的公式，也可 以直接计算，先把图4分割，如图6,然后数一数三角形的个数。
图6解A 的面积是5平方厘米，B 的面积是10平方厘米，C 的面积是12平方厘米,寻找规律: 图形 A : 4-2+1-1=2 图形 B : 9-2+1-1=4.5 图形 C: 9-2+2-1=5.5 图形 D: 10 - 2+3-1=7 图形 E : 6-2+0-1=2 于是，图形的面积与格点数有如下关系: 图形的面积=边上点数十2+内部点数-1 【例4】 图5中每相邻三个点围成的面积是1平方厘米，求各图的面积。
(完整版)第3讲格点与面积
第3讲格点与面积格点按其特征可分为正方形格点和正三角形格点两种．如下图：在格点中的图形有些是学过的图形，如长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等，如果是不规则的多边形，一般可以借助割补法、分割法及相关的公式来解题。
例题与方法例1下图是一个方格图。
图中有长方形、三角形、平行四边形和梯形各一个。
请你利用方格网计算出它们的面积各是多少(如图所示阴影部分的小正方形的面积是1平方厘米)。
例2在图中正方形格点中，这个宝塔图形的面积是多少(单位：厘米)?例3观察下面四个图形，计算下列各多边形的面积，并统计图形四周的格点数和图形内的格点数。
例4下图中是一个四角形，每个小正方形的面积均为1平方厘米。
求图中阴影部分的面积。
例5下面是一个以小正三角形(每条边都相等的三角形)为格点的图形，共有21个点，其中每相邻的3个“∴”，和“∴”所构成的都是面积为1的等边三角形。
请你计算图中三角形的面积。
总结与提示本讲主要介绍了正方形格点和正三角形格点的面积计算，很多图形的面积计算都可以利用分割的方法求出每一小块的面积，然后再加起来，或用总面积减去图形周围部分的面积求出。
毕克定理提供给我们一种全新的方法，关键要找到两个重要条件：一个是内部的格点数，即被图形所围住的格点的数量；另一个是四周的格点数，即在格点图形边上的格点数量。
正确使用这种方法，可以迅速地解决许多难以直接计算的多边形面积。
思考与练习(每题12.5分，共100分)1．求下面各图形的面积。
2．求下图中的各图形的面积。
3．求下图中各图形的面积。
4．下图是一个5×5的方格，每个小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点为格点。
请你在图中选择七个点，要求其中任意三个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用线段连接后所围成的面积尽可能大。
那么，所围图形的面积是多少平方厘米?5．下图中每相邻3个点所形成的三角形面积均为1，试计算多边形ABCDE 的面积。
6．下面是一个5×5的方格，求出图中阴影部分面积的和(每小格的面积是1平方厘米)。
第3讲 格点与面积
格点与面积
例1 下图是一个格点图，图中有长方形、三角形、平行四边形和梯形各一个。
请你利用方格网计算出他们的面积各是多少（如图所示阴影部分的小正方形的面积是1平方厘米）
例2 在图中正方形格点中，这个宝塔图形的面积是多少（单位：厘米）
例3 观察下面四个多边形，计算下列多边形的面积，并统计每个多边形四周的格点数和图形内的格点数
例4 下图中是一个四角形，每个小正方形的面积均为1平方厘米。
求图中阴影部分的面积？
例5 下面是一个正三角形格点图，共有21个点，其中每相邻的3个点，∵和∴构成的都是面积为1的等边三角形。
请你计算图中三角形的面积？
思考与练习
1.求下面各图形的面积
2.求下图中的各图形的面积
3.求下图中各图形的面积
4.下面是一个5×5的方格图，每个小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点为格点。
请你在图中选择七个格点，要求其中任意三个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用线段顺次连接后所围成的面积尽可能大。
那么，所围图形的面积是多少平方厘米？
5.下图中每相邻3个点所形成的三角形面积均为1，试计算多边形ABCDE的面积
6.下面是一个5×5的方格图，求出图中阴影部分面积的和（每小格的面积是1平方厘米）
7.在下面5×10的方格图中，连接格点，画出4个面积为7的图形，要求每个图形形状都不相同（每个小方格的面积都是1）
8.如下图所示，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米。
M是AB中点，N是CD 的中点，P是EF的中点。
问：三角形MNP的面积是多少平方厘米？。
【详解】四年级下第04讲_格点图形面积计算
第四讲 格点图形面积计算1. 例题1答案：7平方厘米；5平方厘米；11平方厘米详解：如图所示，用分割法、添补法．三个图形的面积分别是：4111127⨯+⨯+⨯=平方厘米； 4⨯⨯÷32⨯⨯÷2. 例题2答案：6；12；4；7；9详解：①：326⨯=平方厘米；②：4312⨯=平方厘米；③：224⨯=平方厘米；3. 例题3答案：6.5平方厘米 详解：内部格点：3个，边界格点：9个．面积=3921 6.5+÷-=平方厘米．4. 例题4答案：34平方厘米详解：内部格点：7个；边界格点：22个．面积：7222234⨯+-=平方厘米．5.例题5答案：19.5平方厘米；31.5平方厘米④： ⑤： 121212+17⨯+⨯+⨯= 或：441313137⨯-⨯-⨯-⨯= 2339⨯+= 或：441212139⨯-⨯-⨯-⨯=详解：可以分割、添补，也可以用公式法：（1）内部格点：4个；边界格点：7个．面积：()7241319.5÷+-⨯=平方厘米；（2）内部格点：8个；边界格点：7个．面积：()7281331.5÷+-⨯=平方厘米．6. 例题6答案：28平方厘米；56平方厘米详解：可以分割、添补，也可以用公式法：（1）内部格点：4个；边界格点：8个．面积：()4282228⨯+-⨯=平方厘米；（2）内部格点：3个；边界格点：10个．面积：()32102456⨯+-⨯=平方厘米．7. 练习1答案：3平方厘米；10平方厘米详解：如图，分别用分割法、添补法．8. 练习2答案：12；20；5；18 详解：①：3412⨯=平方厘米； ②：直接数，每层4个，共5层，4520⨯=9. 练习3答案：13 简答：内部格点：1个，边界格点：13个．面积=()11321213+÷-⨯=．10. 练习4答案：17平方厘米简答：内部格点：1个；边界格点：17个．面积：1217217⨯+-=平方厘米． ③： ④：1112125⨯+⨯+⨯= 122312818⨯+⨯+⨯+=11.作业1答案：6；6.5简答：可用分割或添补法完成．12.作业2答案：7；12简答：使用割补法分别计算．13.作业3答案：56简答：大正三角形的面积是254100⨯=平方厘米，利用添补法可得．14.作业4答案：29简答：综合利用分割法与添补法．也可以用正方形格点图形面积公式计算．注意每个最小正方形面积是2．15.作业5答案：44简答：综合利用分割法与添补法．也可以用三角形格点图形面积公式计算．注意每个最小正三角形面积是2．。
数格点_算面积
请把自己的 想法说给同 学听听。
Ⅰ Ⅳ ⅡⅢ
如右图将图形分割成
4块进行计算
解：把图形分割成如下图所示的四块：
图形Ⅰ的面积是：3；图形Ⅱ的面积是：3；
图形Ⅲ的面积是：3；图形Ⅳ的面积是：9。
∴图形ABCDE的面积为3+3+3+9=18。
试一试：
如下图，一个三角形的面积为1，计算ABCDE的面积多少？
O
如果第一步为“左”或“右”，那么转 A
B
化为第（ 1）题，各有 6种路线。一共是
8+6×2=20（种）。
S ABCD
第二层：凹多边形
自主探索：
下图是一个 10×10的正方形，求正方形内的四
边形的面积是多少？
因为ABCD不是凸四边形，所以
请把自己的想 法说给同学听 听。
如在原题图上取格点E，则三角形BCE 及四边形AECD就都是凸的图形了。
②用拼割方法得：ABCD的面积=长方形的面积-四角上的四个
三角形的面积=96-(622+332+432+452)=54(6+4.5+6+10)=27.5
(面积单位)
H
B
G
A
E
D
F
2、下图中每个小正方形的面积都是 1，那么图中这只“狗” 多占的面积是几？
解：图形内部格点数 为59，图形周界上格 点数为 19。所以图形 的面积为： 59+19÷2-1=67.5( 面 积单位)。
（1）19 解：由三角形格点面积公式得， n=8，m=5。
A
E
解：因为不是凸四边形，所
以如在原题图上取格点，则
三角形及四边形都是凸的图
第一讲格点与面积
第一讲格点与面积问
学习锦囊在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．
回顾与反思这是等差数列问题的应用题。通过细心观察,深入分析，我们可以探索得出一些题目中隐含着一个等差数列，然后可以运用等差数列求和的公式求得结果。
基础练习
1. 12个同学聚会，如果见面时每个人都和其余的人握手一次，那么一共握手多少次？
2.小红看一本书，第一天看了3页，以后每天都比前一天多看2页，10天刚好看完，这本书总共多少页？
例42001年10月1日是星期一，那么，2002年1月1日是星期几？
一个星期是7天，因此7天为一个周期。10月1日是星期一，是第一个周期的第一天，再过7天即10月8日也是星期一。计算天数时为了方便，我们采用“算尾不算头”的方法，例如10月8日就用（8－1）÷7=1.没有余数说明8号仍是星期一。题中说从2001年10月1日到2002年1月1日，经过几天这才是这道题的关键。
2．777777+888888+999999的个位数字是几？
例33200被13除的余数是几？
3200表示200个3相乘，那么我们可以从1个3被13除，2个3被13除……，它们的余数中找到周期规律
31÷13=0……334÷13=6……3
五年级上册数学课件-2 格点与面积
1cm2
1cm2
1cm2Biblioteka 1cm21cm2当仁不让于师。——《论语·卫灵公》 快乐不是因为拥有的多而是计较的少。 千万人的失败，都有是失败在做事不彻底，往往做到离成功只差一步就终止不做了。 我们每一个人都应该有更多的同情，更多的爱，比维持我们生存需要的多得多，我们应该把它分散给别人，追求是生命之光。 人生道路上既有坦道，又有泥泞；既有美景，又有陷阱，只有坚定信念又勇往直前的人才能到达胜利的终点。 人生，就要活得漂亮，走得铿锵。自己不奋斗，终归是摆设。无论你是谁，宁可做拼搏的失败者，也不要做安于现状的平凡人。 生命的道路上永远没有捷径可言，只有脚踏实地走下去。 不是某人使我烦恼，而是我拿某人的言行来烦恼自己。 仁远乎哉？我欲仁，斯仁至矣——《论语·述而》 对于攀登者来说，失掉往昔的足迹并不可惜，迷失了继续前时的方向却很危险。 做最好的今天，回顾最好的昨天，迎接最美好的明天。 没有失败，只有暂时停止的成功。
人生终有许多选择。每一步都要慎重。但是一次选择不能决定一切。不要犹豫，作出选择就不要后悔。只要我们能不屈不挠地奋斗，胜利就在 前方。 一句“好孩子”能让学生看到自己的进步与价值，而一句“坏孩子”学生会丧失进去的信心和斗志，甚至毁灭一生。——王玉章 游手好闲会使人心智生锈。 驾驭命运的舵是奋斗。不抱有一丝幻想，不放弃一点机会，不停止一日努力。 本来无望的事，大胆尝试，往往能成功。 命是弱者的借口，运是强者的谦辞，辉煌肯定有，就看怎么走。 希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 多用心去倾听别人怎么说，不要急着表达你自己的看法。
1cm2
① ③
②
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④
面积跟什么有关？
边点数
内点数
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四年级第18讲-格点与面积(一)-教师版
格点与面积例1 知识纵横1、概念在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点。
一个多边形的顶点如果全在格点上，那么这个多边形就叫做格点多边形。
格点多边形分为正方形格点多边形和三角形格点多边形。
2、毕克定理（正方形格点公式）：格点多边形单位面积的数量=边上点数÷2+内部点数-1，S=L ÷2+N-1(用“S”表示格点多边形单位面积的数量，用“N”表示格点多边形内部的格点数，用“L”表示格点多边形边上的格点数)3、毕克定理(三角形格点公式)：格点多边形单位面积的数量=(边上点数÷2+内部点数-1)×2，S=(L÷2+N-1)×2判断下列图形中，哪些图形是格点多边形？是的，请在括号里打“√”。
【答案】见解析。
【解析】判断下列几个图形中，哪些图形是格点多边形，请在序号上打“√”。
【答案】见解析。
【解析】判断下列几个图形，哪些图形是正方形格点多边形？哪些图形是三角形格点多边形？(请在横线上填序号)正方形格点多边形：；三角形格点多边形：。
【答案】见解析。
【解析】试一试1例2试一试2请选择正确的格点图任意画出一个正方形格点多边形和一个三角形格点多边形。
【答案】答案不唯一。
【解析】例3下面4幅图中，相邻四点围成的正方形的面积为1。
观察，然后填空。
（用“S”表示格点多边形单位面积的数量，用“L”表示格点多边形边上的格点数，用“N”表示格点多边形内部的格点数。
）【答案】见解析。
【解析】试一试3下图中每个小正方形的面积均为2平方厘米，“乡村小屋”的面积是多少平方厘米？【答案】36平方厘米。
【解析】方法一：方法二：下面4幅图中，相邻三点围成的等边三角形的面积为1。
观察然后填空。
【答案】见解析。
【解析】例4试一试4在下图中，每相邻三点构成一个面积为2平方厘米的等边三角形，下图中格点多边形的面积是多少平方厘米？【答案】见解析。
初中数学精品课件：《格点多边形的面积计算》
格点多边形的面积计算
如图，多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格 子线的交错点）上，这样的多边形称为格点多边形.
1.怎么计算格点多边形的面积？ 2.有没有更简便的方法呢？ 3.格点多边形的面积与格点多边形内的格点数和边界 上的格点数有没有关系呢？
记S表示格点多边形的面积，a表示格点多边形内的 格点数，b表示格点多边形边界上的格点数.
3
4
3
5
3
6
3
7
模型：S=0.5b+2
④ 面积S
4 4.5 5 5.5
内部格点数a
0每 1增 2加
1 3
边界格点数b b b b b
面积S
S=0.5b-1 增 S=0.5b 加 S=0.5b+1 1
S=0.5b+2
归纳：S=a+0.5b-1（其中S表示格点多边形的面 积，a表示格点多边形内的格点数，b表示格点多 边形边界上的格点数.）
0
8
模型：S=0.5b-1
④
面积S
0.5 增
加
10 1.5 . 35
活动二 当a=1时，请你作出三至四个边界格点数不 同的格点多边形，再进行归纳、猜想和建模.
温馨提醒：你可以先暂停一下， 等你在你的方格纸上做出了符合 要求的格点多边形，再开始观看.
①
②
③
④
图形序号 ① ② ③ ④
内部格点数a 边界格点数b
1
4
1
5
1
6
1
8
模型：S=0.5b
面积S 2 2.5 3 4
活动三 当a=2时，请你作出三至四个边界格点数不 同的格点多边形，再进行归纳、猜想和建模.
格点与面积
④
利用拼补:
5×5 = 25 4× (2×3÷2 )= 12 25 －12 = 13
利用分割:
4× (3×2÷2 )= 12 1× 1 = 1 12+1= 13
例5.图中有三个正方形,分别计算正方形①、
正方形② 和正方形③的面积;并观察三个正方 形的面积之间有什么关系
思考:三个正方形面积
由水平线和垂直线 相交而成的方格纸中, 水平线和垂直线的交 点称面积为相格等点的每个小正方形 称为面积单位
每个小正方形的边长称为
一个单位长度
这是一个 面积单位
这都是单位 长度
注意: 单位长度必
须是由水平线 或垂直线连接 而成。
长
宽 图一
高 图二底
高 图三 底
上底 高
下底图四
格点与面积
求长方形面积？
长方形面积 长宽
三角形面积 底高 2
平行四边形面积 底高
梯形面积 (上底 下底)高 2
例2.计算图中三角形的面积.
长方形的面积为: 45 20
②
①
④
③
三角形①的面积为: 24 2 4
三角形②的面积为: 23 2 3
三角形③的面积为: 25 2 5
所以三角形④的面积为:
20 - (4+3+5 )= 20 - 12 = 8
③ ①
正方形①的面积: 2×2＝ 4 正方形②的面积: 2×2＝ 4
正方形③的面积:
②
4× (2×2÷2) ＝ 8
思考:三个正方形面积关系
正方形①的面积+正方形②的面积 ＝正方形③的面积:
分割是把要求的图形分割成几个基 本图形,分别来求面积,然后相加.
四年级下第4讲《格点图形面积计算》教学课件
例题讲解
mathematics
例题1：图中每个最小正方形的面积都是1平方厘米，那么三个阴影图形的面积分别是多少 平方厘米? 分析：这几个多边形都不规则，我们能不能把它们切成很多规则的小块，一块一块地求
面积呢？或者给它们添补一些规则的小块，使得它们变成规则可求的大图形.
例题讲解
类似地，在最小正三角形面积为1的三角形网格中，三角形格点图形也有面积计算公式: 三角形格点多边形面积=边界格点数+内部格点数×2-2 仔细比较这两个公式，可以发现：三角形格点的公式正好是正方形格点公式的2倍， 大家想一下，为什么是这样呢？
这种方法我们也称为毕 克定理！
例题讲解
mathematics
mathematics
练习1：图中相邻两格点间的距离均为1厘米，那么阴影图形的面积分别是多少平方厘米?
例题讲解
mathematics
通过例1中的第1小题我们学会了将大块不规则图形“分割”成许多规则的图形，这种方法称 为“分割法”，但是不一定每个图形都很容易分割；第2小题我们学会了把不好算的图形“添 补”成规则的大图形，计算时用大图形的面积减去空白部分的面积,这种方法称为“添补法”. 分割法，正所谓“大事化小”，把不规则的大图形化为规则的小图形. 添补法则正好相反，是“以小见大”，把不规则图形周围添上规则的小图形，使总面积便于计 算. 使用割、补法的时候，一般应该从图形的顶点出发，尽量沿着格线划分，以便与小方格的面积 找到联系或者利用垂直等性质. 接下来我们用分割、添补的方法计算一下三角形格点图形的面积.
例题4：如图，每个最小等边三角形的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘 米? 分析：尝试着用格点图形面积公式计算一下吧！先数数边界格点、内部格点分别有多少
格点面积
4、右图是一个方格网，计算阴影 部分的面积．
D
A
F
1cm C 1cm
EB
竞赛题选讲
补： 如图是 一个5×5的网格, 每个小方格的面积 都是1,阴影部分是 类似数字"2"的图 形,那么阴影部分 的面积是多 少?(2013希望杯 初赛)
哥哥说：“我的地一圈只有15棵树，而弟弟的地一 圈有17棵树，弟弟的面积大！”
皮（毕）克定理：
若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界 上有L个格点，则它的面积为：
(周界格点数÷2+内部格点数－1） ×单位正方形面积
补：求下图中格点多边形的面积（每相邻四个点 围成的小方格的面积为1平方厘米）。
19
求格点图形面积的方法：
一、直接求 二、分块求 三、大减小
1、分成相同小块 2、分成学过的图形
1、如图，每相邻三个点所形成的 三角形都是面积为1的等边三角形， 计算 ABC的面积．
A
C B
2、求下列格点多边形的面积(每相邻三 个点“∵”或“∴”形成面积为1的等 边三角形)．
3、把大正三角形每边八等分，组成如右图所 示的三角形网．如果大三角形的面积是128， 求图中粗线所围成的三角形的面积．
高
米
底 6厘米 平行四边形面积=底×高
1 厘 米
1厘米2厘米 Βιβλιοθήκη 底3 厘高米
下底 5厘米 (2+5)×3÷2=10.5平方厘米
梯形面积=（上底+下底）×高÷2
1 厘 米
1厘米
3 厘
高
米
底 5厘米 3×5÷2=7.5平方厘米 三角形面积=底×高÷2
组一：（正方形格点）
2、如图，计算各个格点多边形的面 积
格点面积（一）
格点⾯积（⼀）年级四年级学科奥数版本通⽤版课程标题格点型⾯积（⼀）编稿⽼师李允⼀校林卉⼆校张琦锋审核⾼旭东什么是格点?格点与⾯积之间⼜有什么关系？这⼀讲我们就来探讨这些问题。
定义：画在⽅格纸上的多边形，多边形的所有顶点都在⽅格纸上的横、纵两组平⾏线垂直相交的交点上，这样的多边形，我们称它为格点多边形。
或者，在纸上画出两组不垂直的平⾏线，连结它们的交点所构成的三⾓形都是等边三⾓形，以这样的点为顶点画出的多边形也称为格点多边形。
分类：我们现在最常接触到的，就是正⽅形格点问题和三⾓形格点问题。
1. 正⽅形格点问题指的是正⽅形的格点都是由两组互相垂直相交的平⾏线的交点构成的.每⼀个⼩⽅格都是⼀个⼩正⽅形。
2. 所谓三⾓形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三⾓形都是等边三⾓形，以这样的点为顶点画出的多边形为三⾓形格点多边形。
计算格点多边形⾯积常⽤的⽅法： 1. “割补法”或“扩展法”。
2. 公式法：毕克定理（若⼀个格点多边形内部有N 个格点，它的边界上有L 个格点，则它的⾯积为：S ＝N ＋2L－1）例1 判断下列图形中哪些是格点多边形。
分析与解：根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线，顶点要在格点上。
所以只有（1）是格点多边形。
例2第⼀届保良局亚洲区城市⼩学数学邀请赛在1996年7⽉21⽇开幕，下⾯的图形中，每⼀⼩⽅格的⾯积是1，那么7，2，1三个数字所占的⾯积之和是。
分析与解：7，2，1所占的⾯积分别为7.5，10和7.5 ，所以它们所占的⾯积之和为25。
例3根据下列图形，⽤N表⽰多边形内部的格点，L表⽰多边形周界上的格点，S表⽰多边形的⾯积，填写下表：图形图形内的格点数（N）边界上的格点数（L）⾯积（S）图（1）图（2）图（3）图（4）图（5）分析与解：如下表：图形图形内的格点数（N）边界上的格点数（L）⾯积（S）图（1）9 16 16图（2）8 16 15图（3）10 12 15图（4）7 12 12图（5）13 12 18根据表格，我们能发现如下规律：S ＝N ＋2L－1。
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● ● ● ●1ຫໍສະໝຸດ ● ●21
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1
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2
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0 .5 ●
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全名:George Pick
国籍:奥地利
1 S N L 1 2
格点多边形的面积S和多边形内部 的格点数N，它的边上的格点数L之间 存在一定的数量关系
1 S= N L 1 2
---皮克定理
说出下列图形的面积。你是怎样知道的？
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下面的格点中，画出了一个“小鸟” 的图案 .已知每个小正方形的边长为 1, 你能 求出“小鸟”所占的面积是多少吗？
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图一
图二
图三
图四
知识拓展：
姓名:乔治·皮克 (1859~1943)
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2
1 .5
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你能以格点连线为边，尽可能多地画出面积为2的多边形，
并找出这些多边形的规律吗？
问题一：
你会求图中格点多边形的面积吗？请试一试！
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智慧乐园：格点中的面积
授课教师：张 莉
b
a a
a
h
s ab
s aa
h
s ah
b
h
a
s ah
a
a ( a b) h s 2
图一
图二
格点中相邻的上下或者左右两点之间的距离是1，每一格
的面积是多少？
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格点中相邻的上下或者左右两点之间的距离是1,你能算
出下面图形的面积是多少吗？
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问题二：
设格点多边形的面积为S，多边形内部的格点数为N，
它的边上的格点数为L，那么S与N、L三者之间有怎样的 数量关系呢？你能找到规律吗？
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