初中面积例题“二次开发”
初中数学教材例题与习题“二次开发”的策略研究
初中数学教材例题与习题“二次开发”的策略研究一、问题的提出现实教学过程中，教师对教材例题与习题的处理都是简单的、表面的，对教材例题与习题“二次开发”的意识不强，在备课中不能对例题、习题进行深层次的挖掘、拓展、再创造，在授课时也往往出现一笔带过、草草了事的教学现状。
而教材例题与习题的“二次开发”能促使学生的学习方式由“重结论轻过程”向“过程与结果”并重的方向发展，使学生挖掘隐含问题的本质属性，从而达到“做一题，通一类，会一片”的解题境界。
正如数学教育家波利亚指出的：“一个有责任心的教师穷于应付繁琐的数学内容和过量的题目，还不如适当选择某些有意义但又不太复杂的题目去帮助学生发掘题目的各个方面，在指导学生的解题过程中，提高他们的才智和解题能力。
”二、核心概念界定教材例题与习题的“二次开发”：主要是指教师和学生在课程实施过程中依据课程标准对教材中的例题与习题的背景、条件和结论、解法以及题目中的基本图形进行再度发展和创新，从而使之更好地适应具体的教育教学情景和学生的学习需求。
它以既有教材为依托，基于教材，又超越教材，可以从三个向度上展开：一是对既有教材例题与习题灵活地、创造性地、个性化地运用; 二是对其它教学素材资源的选择、整合和优化; 三是自主开发其它新的教学资源。
三、理论依据1.再创造理论荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔认为：数学知识既不是教出来的，也不是学出来的，而是研究出来的。
他强调学生学习数学是一个经验、理解和反思的过程，强调以学生为主体的学习活动对学生理解数学的重要性，强调激发学生主动学习的重要性，并认为做数学是学生理解数学的重要条件。
弗赖登塔尔说的“再创造”，其核心是数学过程再现，是通过教师精心设计、创设问题情景，通过学生自己动手实验研究、合作商讨，来探索问题的结果并进行组织的学习方式。
2.波利亚解题思想美国著名数学教育家G·波利亚认为：学习任何东西的最好的途径是自己去发现。
为了有效地学习，学生应当在给定的条件下，尽量多地自己发现要学习的材料。
人教版初三数学上册 二次函数应用题 面积问题 讲义
面积问题解题技巧：1、用含有x的式子表示矩形的长和宽2、根据矩形面积公式列出方程3、根据“边长大于0”和题目限制条件得出x的取值范围例1、在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB、BC两边），设AB=x（m）（1）求这个花园面积S的解析式，并指出x的取值范围（2）若花园的面积为192m2，求x的值（3）求花园面积S的最大值（4）若在P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值1、学校有一块长为30米，宽为20米的长方形空地，准备在这块空地上修筑两条互相垂直的通道，将这块空地分成四个小长方形，在这些小长方形空地上种植花草。
设道路的宽都是x米（1）请你用含x的代数式表示花草的种植面积y（2）当x=1.5米时，y是多少？2、如图，在一幅长50cm，宽30cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为ycm2，金色纸边的宽为xcm（1）求y与x的关系式（2）当5≤x≤10，求y的最大值3、如图，某学校要修建一个矩形ABCD的花圃，花圃的一边AD靠教学楼，其它三边用总长为24米的篱笆围成，设AB边的长为x（单位：米），矩形花圃ABCD的面积为S（单位：平方米）（1）求S与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围（2）当x取多少时，矩形花圃ABCD的面积最大，最大面积为多少？4、如图，用一段长为24米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园ABCD，中间开一个宽6米的入口，墙的最大长度为12米，设BC的长度为x米（1）求菜园的面积y（平方米）与x（米）的关系式（2）当x取多少时，取得最大面积？这个最大面积是多少？5、某养鸡场要用100米的篱笆搭4间鸡舍，如图所示，其中一面靠墙（墙足够长）。
若设另一面篱笆的长为x米，则整个鸡舍的面积S（平方米）与x（米）之间的函数关系式是__________，鸡舍的最大面积为________平方米6、用一根长度为100cm的细绳围成一个矩形（1）求这个矩形面积S的解析式（2）当矩形的面积为525cm2时，求矩形的长和宽（3）能围成面积为639cm2的矩形吗？若能，求出矩形的长和宽，若不能，请说明理由（4）能用它围成的矩形面积的最大值是多少？7、在综合实践课上，小明要用如图所示的矩形硬纸板做一个装垃圾的无盖纸盒。
初中数学课本例题的“二次开发”
初中数学课本例题的“二次开发”作者：涂传钊来源：《中学教学参考·理科版》2017年第08期[摘要]课本例题是中考命题的源泉与方向。
对课本例题，从多角度深入挖掘其内涵，实现其本身应有的教育功能最大化，具有实际意义。
[关键词]课本例题；二次开发；初中数学[中图分类号]G633.6 [文献标识码]A [文章编号]1674-6058（2017）23-0001-02数学课本中的例题是教育专家经过仔细推敲、打磨的结晶，具有很强的示范性，是对课本知识概念的强化与延伸，是体现数学思想与方法的重要载体。
课本例题的典型性与权威性不容忽视，它深受命题者的青睐，是中考命题的源泉与方向。
因此，钻研教材，立足课本例题，多角度深入挖掘其丰富内涵，实现其本身应有的教育功能最大化，显得特别有意义。
那么，如何实现课本例题的“活”用，让例题教学的实效性增强呢？笔者从二十多年的教学经历出发，谈谈自己对课本例题的“二次开发”经验，以期能够与同仁产生共鸣，起抛砖引玉作用。
一、“二次开发”课本例题的原则笔者认为，要恰当地处理课本例题，发挥其应有的教学功能，提高教学效率，必须遵循一定的原则。
（1）目标性原则。
每堂课都有教学目标，“开发”课本例题应该围绕教学目标进行，不能偏离它。
（2）科学性原则。
课本例题的选择有高度的科学性与逻辑性，教师对例题的“二次开发”也不能偏离学生学习的实际，偏离例题的科学性与逻辑性。
（3）主体性原则。
课本例题的“二次开发”应尽可能地体现学生的主体地位，让学生参与到具体内容的学习中，实现学生学会学习，真正体验到例题“二次开发”的乐趣。
二、“二次开发”课本例题的途径在原有例题教学的基础上，适度对某些例题进行合理“开发”，能够重塑学生的知识结构，让学生的数学解题达到举一反三、触类旁通的效果。
以下，笔者从一题多解、变式教学、捕捉生成三个方面谈谈自己“二次开发”课本例题的做法。
1.深化一题多解，拓展思维能力一题多解是数学教学中拓展学生思维空间的重要途径。
人教版初三数学上册二次函数的面积计算问题
B
y 3 x2 2 3 x
3
3
C
A
O
x （3）SPAB23(x12)289 3
P M1
93
当x＝－ 2 时，△PAB的面积有最大值，最大值为 8
P( 1 , 3) 24
再 见！
1底×高 2
ABC ABD ACD
1
1
AD h AD h
2
12
2
1
AD(hh)
2
1
2
1 ah
A
底
2
a h2
C
B h1 D
高h
Байду номын сангаас
我们如果把△ABC 放到直角坐标系中，
A(x A,
,
yA),B(xB,
y ), B
C(x , C
y ),D(x ,
C
D
y ), D
底 AD ： yA yD 高：hxC xB
= 底×高 2
12ah12(yAyD)(xcxB)
二、割补法
谈谈本节课你的收获是什么？
练习1．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连结OA， 将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB． （1）求点B的坐标； （2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式； （3）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方， 那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及 △PAB的最大面积；若没有，请说明理由．
；（3，0）
（2）设抛物线y＝x 2－2x＋k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；
（3）在第四象限的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的
初三二次函数与几何图形面积(有答案)
在动点变化过程中，会产生的几何图形的形状发生改变，由此可引出求该图形的面积，建立面积与动点坐标，或动点的运动时间的函数关系。
面积的求法主要有两种：①直接求面积；②割补法求面积；无论哪种求法，都需要用参数表示线段的长度。
【例1】 （改编题）如图，抛物线233y mx mx =+-（0m >）与y 轴交于点C ,与x 轴交于A 、B 两点，点A 在点B 的左侧，且1tan 3OCB ∠=．⑴求此抛物线的解析式；⑵如果点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，设D 点的横坐标为x ，ACD ∆的面积为S ，求S 与x 的关系式，并求当S 最大时，点D 的坐标；【答案】⑴239344y x x =+- ⑵方法一：如图，连接OD ，可求(40)A -，设点239(3)44D x x x +-，，则ACD AOD DOC AOC S S S S ∆∆∆∆=+-21394(3)244OAD S x x ∆=⨯⨯--+13()2OCD S x ∆=⨯⨯-14362AOC S ∆=⨯⨯=∴2362S x x =--，当2x =-时，S 取得最大值为6此时点D 的坐标为9(2)2--， 方法二：过点D 作DN x ⊥轴于点N ，交AC 于点M 转化：ACD AMD DMC S S S ∆∆∆=+，下略【注意】本题由综合题改编而来，去掉了平行四边形的存在性问题，就“三角形的面积与动点之间的关系”例题精讲二次函数与几何图形面积yxO DCB AAB CD OxyNMyxO DCB A的问题，本题具有一定的代表性，给出的两种解法，都是采用的割补法，如果学生程度不怎么好，建议只讲第二种方法。
转化的目的：构造水平和竖直方向上的底和高，使求解更方便，更简单【例2】 已知：如图，抛物线2334y x =-+与x 轴交于点A 、点B ，与直线34y x b =-+相交于点B 、点C ，直线34y x b =-+与y 轴交于点E ．⑴求直线BC 的解析式．⑵若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A ，B 重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出MNB ∆的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB ∆的面积最大，最大面积是多少？【答案】⑴3342y x =-+⑵过点N 作NP ⊥MB 于点P ∵EO ⊥MB ， ∴NP ∥EO ∴△BNP ∽△BEO ∴BE BN ＝EONP 由直线y ＝－43x ＋23可得：E （0，23） 在△BEO 中，∵OB ＝2，EO ＝23，∴BE ＝25∴252t ＝23NP ，∴NP ＝56t ∴S ＝21·(4－t )·56t ＝－53t2＋512t ＝－53(t －2)2＋512（0＜t ＜4） ∵此抛物线开口向下，∴当t ＝2时，S 最大＝512∴当点M 运动2秒时，△MNB 的面积最大，最大面积是512 【注意】构造在求解三角形面积的时候，如果需要构造三角形的高，应优先考虑，水平和竖直方向进行构造，求高的途径可以有：①相似三角形对边成比例；②锐角三角函数；③勾股定理【例3】 如图①，梯形ABCD 中，90C ∠=︒．动点E 、F 同时从点B 出发，点E 沿折线BA AD DC --运动到点C 时停止运动，点F 沿BC 运动到点C 时停止运动，它们运动时的速度都是1cm/s ．设E 、F 出发t s 时，EBF ∆的面积为y 2cm ．已知y 与t 的函数图象如图②所示，其中曲线OM 为抛物线的一部分，MN 、NP 为线段．请根据图中的信息，解答下列问题： ⑴梯形上底的长______AD =cm ，梯形ABCD 的面积＝__________cm 2；⑵当点E 在BA 、DC 上运动时，分别求出y 与t 的函数关系式（注明自变量的取值范围）； ⑶当t 为何值时，EBF ∆与梯形ABCD 的面积之比为1:2【答案】⑴2 14⑵当05t <≤时，点E 在BA 上运动，如图① 过E 作EG ⊥BC 于G ，过A 作AH ⊥BC 于H 由△EBG ∽△ABH 得EBEG ＝AB AH即tEG ＝54，∴EG ＝54t ∴y ＝21BF ·EG ＝21t ·54t ＝52t2 即y ＝52t2（0≤t≤5） 当7≤t＜11时，点E 在DC 上运动，如图②y ＝21BC ·EC ＝21×5×(11－t)＝－25t ＋255 即y ＝－25t ＋255（5≤t＜11） ⑶若△EBF 与梯形ABCD 的面积之比为1 :2，则y ＝7当0＜t≤5时，得52t2＝7，解得t ＝270当7≤t＜11时，得－25t ＋255＝7，解得t ＝541故当t ＝270或541时，△EBF 与梯形ABCD 的面积之比为1 :2 【注意】简单的“分段函数”是初中数学在考查函数知识的热点内容之一，整体难度不会很大，主要考查学生的思维是否缜密，考虑问题是否全面，其实就是分类讨论思想【例4】 如图，已知直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，2OA AB ==，3OC =，过点B 作BD BC ⊥，交OA 于点D ．将DBC ∠绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分图①BCEA DF 图①G HBCEA D图②H别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于E 和F ． ⑴求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； ⑵当BE 经过⑴中抛物线的顶点时，求CF 的长；⑶连结EF ，设BEF ∆与BFC ∆的面积之差为S ，问：当CF 为何值时S 最小，并求出这个最小值．【答案】⑴由题意得A （0，2），B （2，2），C （3，0）设所求抛物线的解析式为y ＝ax2＋bx ＋c则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝24a ＋2b ＋c ＝29a ＋3b ＋c ＝0解得⎩⎨⎧a ＝－32b ＝34c ＝2∴抛物线的解析式为y ＝－32x2＋34x ＋2 ⑵设抛物线的顶点为G ，则G （1，38），过点G 作GH ⊥AB 于H则AH ＝BH ＝1，GH ＝38－2＝32∵EA ⊥AB ，GH ⊥AB ，∴EA ∥GH ∴GH 是△BEA 的中位线，∴EA ＝2GH ＝34过点B 作BM ⊥OC 于M ，则BM ＝OA ＝AB∵∠EBF ＝∠ABM ＝90°，∴∠EBA ＝∠FBM ＝90°－∠ABF ∴Rt △EBA ≌Rt △FBM ，∴FM ＝EA ＝34∵CM ＝OC －OM ＝3－2＝1，∴CF ＝FM ＋CM ＝37⑶设CF ＝a ，则FM ＝a －1或1－a∴BF 2＝FM 2＋BM 2＝(a －1)2＋22＝a2－2a ＋5∵△EBA ≌△FBM ，∴BE ＝BF 则S △BEF＝21BE ·BF ＝21BF 2＝21(a2－2a ＋5) 又∵S △BFC＝21FC ·BM ＝21×a ×2＝a ∴S＝21(a2－2a ＋5)－a ＝21a2－2a ＋25 即S＝21(a －2)2＋21∴当a ＝2（在0＜a ＜3范围内）时，S 最小值＝21 【注意】本题把“几何旋转”模型引入到坐标系中考查，严格意义上讲应该是一道几何问题，与二次函数的图象的关联程度不大，只有最后在求面积的时候，会考查到求二次函数的最值问题【例5】 如图1，在Rt △AOB 中，OB ＝8，tan ∠OBA ＝43，若以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点C 在x 轴负半轴上，且OB ＝4OC ，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 经过A 、B 、C 三点 ⑴求该抛物线的解析式⑵设抛物线的顶点为D ，求四边形OADB 的面积⑶如图2，动点P 、Q 同时从点O 出发，其中点P 以每秒2个长度单位的速度沿折线OAB 按O →A →B 的路线运动，点Q 以每秒4个单位长度的速度沿折线按O →B →A 的路线运动，当P 、Q 两点相遇时，它们都停止运动，设t 秒时△OPQ 的面积为S ①求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围②判断在①的过程中，t 为何值时，△OPQ 的面积最大，最大面积是多少？【答案】⑴即y ＝32x 2－38x －8 ⑵S 四边形OADB＝S 梯形OEDB＋S △ADE ＝21×(8＋332)×2＋21×4×332＝40 ⑶①∵AB2＝OA2＋OB2＝62＋82＝100，∴AB ＝10 设t 秒时，P 、Q 两点相遇，则： 2t －6＋4t －8＝10，解得：t ＝4（s ） 点P 在OA 上运动的时间为：6÷2＝3（s ） 点Q 在OB 上运动的时间为：8÷4＝2（s ）当0≤t ≤2时，如图2，点P 在OA 上，点Q 在OB 上， OP ＝2t ，OQ ＝4t∴S ＝21OP ·OQ ＝21×2t ×4t ＝4t2 即S 关于t 的函数关系式为：S ＝4t2（0≤t ≤2） 当2＜t ≤3时，如图3，点P 在OA 上，点Q 在BA 上， OP ＝2t ，BQ ＝4t －8 过点Q 作QF ⊥OB 于F ， 由△QFB ∽△AOB 得：BQ FB ＝BAOB即84-t FB ＝108，∴FB ＝54(4t －8)，∴OF ＝8－54(4t －8) ∴S ＝21OP ·OF ＝21×2t ×[8－54(4t －8)]＝－516t2＋572t 即S 关于t 的函数关系式为：S ＝－516t2＋572t （2＜t ≤3） 当3＜t ≤4时，如图4，P 、Q 两点都在AB 上，AP ＝2t －6，BQ ＝4t －8，PQ ＝AB －(AP ＋BQ )＝10－(2t －6＋4t －8)＝24－6t △AOB 的AB 边上的高＝1086⨯＝524 ∴S ＝21×(24－6t )×524＝－572t ＋5288即S 关于t 的函数关系式为：S ＝－572t ＋5288（3＜t ≤4） ②当0≤t ≤2时，S 最大＝4×22＝16当2＜t ≤3时，S ＝－516t2＋572t ＝－516(t －49)2＋581当t ＝49时，S 最大＝581当3＜t ≤4时，S 最大＝－572×3＋5288＝572综上所述，当t ＝49时，△OPQ 的面积最大，最大面积为581 【注意】本题第三问还是有一定的难度，难点在于通过分类讨论，表示三角形的面积，计算量很大。
二次函数面积专题
专题十：一元二次方程应用——面积专题
1、某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条一样宽的道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有四位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少?使图中的草坪面积为540米2.
2、有一根1m长的铁丝，怎样用它围成一个面积为0.06m2的长方形？
3、 如图，用长为18m 的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积
为81m 2,矩形的长、宽分别为多少？
4、如图，有一面积为2150m 的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长m 18），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为m 35，求鸡场的长与宽各为多少米？
5、如图，从一块长8厘米、宽6厘米的铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方框四周的宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半。
求这个宽度
6．在一幅长为80cm ，宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一
条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，
如果要便整个挂图的面积为5400cm 2，求这个宽度。
2024海南中考数学二轮重点专题研究 二次函数综合 类型二 二次函数与面积问题(课件)
42
4
4
E
第2题图
∵a＝－34＜0，且－2＜t＜4， ∴ 当t＝1时，△ADP面积有最大值，最大值为247， 此时点P的坐标为(1，－145)．
E
第2题图
第 2 题图
(1)求该抛物线的函数表达式； 解：∵ 抛物线y＝ax2＋bx－3经过点A(－2，0)，D(4，－3)，
∴
41a6－ a＋2b4－ b－3＝ 3＝0－3，
解得a＝14 b＝－1
，
∴ 该抛物线的函数表达式为
y＝14x2－x－3;
第2题图
(2)当－2＜t＜4时，连接AP，DP，求△ADP面积的最大值，并求出此时 点P的坐标． 解：∵ A(－2，0)，D(4，－3)， 设直线AD的函数表达式为y＝kx＋b1(k≠0)， ∴4－k＋2kb＋1＝b1－＝30，解得bk1＝＝－－121， ∴ 直线AD的函数关系式为y＝－12x－1，
例2题图①
(2)如图②，点 D 是抛物线的顶点，连接 OD，CD，求△OCD 的面积； 解：∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4， ∴D(1，－4)， ∴S△OCD＝12OC·|xD|＝12×3×1＝32；
例2题图②
(3)如图③，点 P 是第四象限抛物线上的一点，连接 BC，BP，CP，设点 P 的横坐标为 t. ①用含 t 的式子表示△BCP 的面积；
E
例2题图③
【补全法】 解：如解图③，易得G点坐标为(3，－3)， S △PCG＝12·| yP－yG|·CG ＝1×3×(t2－2t)
2 ＝3t2－3t，
2 S △B PG＝12B G·| x G－x P|
G
例2题图③
＝12×3×(3－t) ＝92－32t， S△OBC＝12·OB·OC ＝12×3×3 ＝92
浅谈初中数学教材例题习题“二次开发”的策略
浅谈初中数学教材例题习题“二次开发”的策略作者：李刚来源：《读写算》2013年第45期在新的课改程理念下，数学教材不再被看成像“圣经”一样，是教师上课诵读、宣讲的对象，而是看成教学的材料和学生主动建构意义的对象。
这就要求教师在教学设计中，结合学生的认知特点和心理规律，有效地分析教材、整合教材、创生教材，对教材进行再加工、再创造，使教材发挥其课程资源的应有功能，以提高课堂教学实效。
二次开发教材的重要原则是，做到既尊重教材又超越教材，促使教材真正成为师生共同成长的有效载体。
如何进行例习题再利用教学，真正发挥例习题应有的教学价值呢？我在课堂教学中，注重课本例习题的探究，在探究课本例习题的过程中让学生去发现、思考、释疑。
现例举例习题常见设计进行说明：1、增加或改变知识点，把结论适当延伸。
例题1：如图⊙o1和⊙o2外切于点A，BC是⊙o1和⊙o2的公切线，B、C是切点，求证：AB⊥AC。
分析：讲解例题时，可启发学生用多种方法进行求证，特别强调“切线与过切点的半径垂直”，为解决问题做好知识准备。
再利用设计1：如图，延长例题1中的BA交⊙o2于E，延长CA交⊙o1于D，连BD、CE。
求证BD2=DA·DC。
分析：本题实际上是例题1的延伸。
这道题的设计源于课本又高于课本，有助于考查学生运用所学知识分析问题、解决问题的能力。
本题的结论可启发学生利用例题结论结合切线的性质通过相似三角形求证。
再利用设计2：如图，在上题基础上，过点D作⊙o2的切线DF，切点为F，求证：DB=DF。
分析：对于这一问学生可能不易找到正确的解题途径，但通过分析，利用第一问结论再结合切割线定理便可得到证法。
并由此归纳：证明两条线段相等除运用全等三角形、等腰三角形的有关知识外，还可以运用比例线段的知识进行分析求证。
从不变中求变化，从变化中求规律，可以培养学生探究数学问题的能力。
2、变换例题中的条件或结论例题2，如图所示，某校小农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用一堵旧墙，其余各面用木棍围成栅栏，该校计划用木棍围出总长为24m的栅栏.设每间羊圈的长为x（m），三间羊圈总面积S；（1）写出S与X之间的函数关系及自变量x的取值范围。
数学教材的二次开发课例——二元一次不等式表示的平面区域
教学 经纬 …一 ・
数 学 教 材 的 二 次 示 的平 面 区域
江 苏常 州市 第一 中 学（ １ ０ ３ 刘 素珍 ２３ ０ ）
笔 者所 在教研组 申请 了省级 课题 “ 数学教 材 的二 次 开发”， 课题研究过 程 中正好 参加 了市里 的青 年教 师基
数 ， 此 问题 有 两 个 变 元 ， 且 没 有 出 现 变 元 之 间 的 制 但 而
的重 点难 点 内容 ， 生难 免产 生疑 惑 ： 学 为什 么要 研究 二 元一次不 等式表示 什 么？颇有 “ 学 习” 被 本节 内容 的味
道．
疑惑二 ： 这个引例能最大程 度 的激发学 生 的参 与热 情 吗？本 引例是 一个 生产 问题 ， 立 足于 现实 生 活 ， 虽 但
２ ２ 中学教 学参考（ 中旬 ）２ １ ． 总第 １ ６ ０２３ １ 期
约关 系 ， 能消去 变元 ， 不 从代 数 的角度 同学 感觉无 路 可
走了 ， 你还有其它 的角度 吗？ 评注 ： 加密 １ 然 只是 简单 的几句 话 ， 虽 却把 最 值 问 题 的一般思维方 向呈现 出来 ， 非常 自然 的过 渡 到对不 等 式 ＞２ ｘ的几何意义 的研究 ．
毕 竟 不 是 学 生 的 最 近 触 碰 区 ． 引 例 中 的 关 系 式 ４ ＋ 而 ｘ ＜ １ 后 续 的研 究 中 需要 把 它 变 成 ｙ （ ０ ４ ０在 ＜ １ － ｘ研 究 ， 且
点 的上下方位置也须通过 简单 的运算才 能判 断． 是否 可
以把引例改 编成 学 生实 践 中的 问题 呢？是否 可 以把 引
时较长 ， 且建立模 型的过程并不 能作为本 节课 的核心 内
容． 围绕这个疑 惑 ， 笔者反复对 引例 的作用进 行 了探 讨．
初中数学新教材例题“二次开发”策略的研究
初中数学新教材例题“二次开发”策略的研究作者：周银来源：《中学数学杂志(初中版) 》2012年第03期例题教学是数学课堂教学的主要环节，切实加强各种例题的教学，对于学生理解和掌握好数学知识，培养能力，陶冶情操等都具有举足轻重的作用.其实，教材所呈现的很多知识都是死的，例题的“二次开发”就是为了使教材知识在教学中活起来.新教材例题的“二次开发”，主要是指依据课程标准对教材中的例题进行适度增删，调整和加工，从而使它更好的适应具体的教育教学情景和学生的学习需求.因此，“二次开发”好教材中的例题才能有效地引导学生思考，才能使教学顺利进行，才能提高课堂教学的效率.下面是多年来我们就开展“初中数学新教材例题‘二次开发’的策略的研究”的一些做法和体会，希望能和读者一起交流．1 准备阶段1.1 前期调查课题组成员曾利用课外时间和每周四下午的集体备课时间，围绕学校的教研计划，对广大师生展开前期调查，我们的调查包括教师和学生，调查学生对老师上课全部用书本上的例题的看法，学生方面反馈回来的信息是：很乏味，上课不认真听课也没关系，反正课后不懂可以自己回家看书；教师方面反馈回来的信息是：很别扭，数学本身就枯燥，以书讲书，效果不好.鉴于这种情况，课题组的老师对“初中数学新教材例题‘二次开发’的策略的研究”这个问题进行了认真探讨，初步形成了较完整的认识．1.2 制定研究方法本课题研究主要采用行动研究法，辅之调查法、文献法、比较研究法等研究方法．1.3 收集例题阶段每周四下午均有开展教研活动，这给收集例题带来了很大便利.从开课教师的说课、上课，其它老师的评课，还有我们自已平时的备课中，我们收集到了许许多多有关课堂教学的例题.我们对这些例题进行了整理、分析，归类，对不同类型的例题我们研究出了不同的处理方法．2 “二次开发”新教材例题必须遵守的原则要处理好初中数学教材中的例题，达到自如驾驭教材，提高课堂效率的目的，就要遵循一定的原则：2.1 目标性原则：每一节课的教学目标是课堂教学的出发点和归宿，在课堂教学中起着导航的作用.教师对例题的“二次开发”必须围绕教学目标进行，开发后的内容要体现目标性原则，不同的教学目标决定着不同的“开发”方法．2.2 科学性和现实性原则：数学知识具有严格的逻辑性和高度的科学性，“二次开发”的例题必须具有科学性.教师选择和创造的例题要与学生的生活实际相结合，对于某些陈旧的、不适合社会发展的内容要删除，要把某些新进展的、具有时代性的内容编成例题，从而充实学生的学习生活，充实教材内容．2.3 主体性原则：教师“二次开发”例题必须尊重学生，根据学生的具体情况，在内容的呈现形式上要适合学生的年龄特点，满足学生的需要，不同地区、不同基础的学生应该采用不同的处理方式，做到因材施教.“二次开发”例题时还要注意培养他们解题的技能技巧，提高他们的数学学习能力，使学生学会学习．3 “二次开发”新教材例题的策略首先要尊重教材，毕竟专家在编写教材时是经过从理论到实践的多重思考与验证的，教材中有许许多多现成的例题，它们能很好地实现教学目标，很好地促进学生的数学学习，对于这类例题，我们可以根据以往积累的成功经验直接传授给学生.当然，在牢牢把握课时教学目标的前提下，可对教材中的某些例题作出合理“开发”. “开发”后的例题是教师心中的教材，这教材不是原教材的复印，而是根据教学的目标任务、教材内容以及学生的实际情况、运用恰当的教学方法与教学策略进行优化整合的.只有这样经过优化整合的教材，才能使它有效地内化为学生的知识、能力与观念.例题的再次“开发”，往往能促使学生的学习由“重结论轻过程”转向“过程与结论并重”的方向发展，从而使学生达到“举一反三”的效果．综观在教学实践中作出的探索，对于那些需要“加工”的例题，我们就如何“开发”例题方面总结出以下几种方法：3.1 “开发”例题中的数字这是数学教师在上课时常用的方法，特别是在讲解计算型的题目时，如：合并同类项时，举例2a+3a，我们给改成5a+6a或7b+2b，继而再改成-2a+3a，然后再总结合并同类项的规律，这对教学效果是没有任何影响的，同时这样随意改动，自已也觉得得心应手，会给自已增加自信心，自然也就提高了课堂教学效果．3.2 “开发”例题的背景有时为了激发学生的学习兴趣，活跃课堂气氛，不要忽视了课堂情感的投入，在上课时可以对题目的背景进行适当更改.教师有意识地进行题目背景的更换，使知识溶入在不同的背景中，选择的背景是学生熟悉的事物和情景，这会让数学教学因贴近生活而变得更加可亲.让学生用数学的眼光去观察和思考发生在身边的现象，使数学课程更具现实性.比如对处在福建省寿宁县山区中的学生，在上抛物线的图象时，我们就可以结合本地的一些生活资源，以本地知名的木拱廊桥为例，向当地学生介绍抛物线的特点，学生自然能倍感亲切和自豪，学习兴趣也就更加浓厚了．3.3 “开发”例题的题设和结论教材中的许多例题都有一定的代表性，教师上课时常以它为载体，对例题的题设和结论进行变式和改编，这对提高学生的发散思维能力，锻炼他们思维的灵活性是大有裨益的.现就以初中数学试卷中常出现的一道几何题为例，选几种“开发”例题题设和结论的方法加以说明．图1例1 如图1，△ABD和△AEC均为等边三角形，B、A、C三点在同一直线上，连接BE、CD.求证：BE=CD．方法1：改变例题的题设：只将“B、A、C三点在同一直线上”改为“△ABD和△AEC分别绕点A旋转”，其余部分不改．方法2：改变例题的题设：只将“等边三角形”改成“等腰直角三角形”，继而改成是“等腰三角形”，“正方形”，“任意正多边形”，其余部分不改．方法3：改变例题的结论：只将“求证：BE=CD”改成“求出∠BHD的度数”，其余部分不改．3.4 拓展例题的知识范围有的例题仅仅针对一个知识点，解决一个问题，但是在实际教学时有时可能会根据实际情况，需要“借题发挥”，对例题的知识范围进行拓展.例如在学习“变化中的三角形”这节课时，分析了三角形的面积公式S＝12ah中，“高h为6不变，底a变化时，有S＝12ah＝12×6a＝3a，点明变量S怎样随着自变量a的变化而变化.在学生掌握了这个例题之后及时渗透行程等常用公式中因变量怎样随着自变量的变化而变化的例子，教学效果非常好．3.5 “开发”例题的解题思路对于课本例、习题不能浅尝辄止，在深刻理解题意的基础上，还要多层次地挖掘题目的潜能，做好一题多解的工作，这样便能由一例而通一类，提高学生的解题能力.下面就以一道规律题为例，谈谈例题的解题思路的“开发”．图2例2 如图2，某公园有一座三角形喷水池，园林工人要在它的每条边上摆放花篮，如果每条边上摆2个花篮，需要3个花篮；如果每条边上摆3个花篮，需要6个花篮；……，那么要在每条边上摆n个花篮，需要花篮总数是多少？思路1：从数之间的关系找规律，3，6，9，12，……，后面每个数依次多3，第一个图为S=3，当每边有n个花篮时S比第一个图的S多3（n-2）个花篮，因此得S=3+3（n-2）=3（n-1）．思路2：从图形中找规律，每边花篮数分别为2，3，4，……，而需要的总花篮数为3，6，9，12，……，每个数都为3的倍数，因此得每边有n个花篮时S为3（n-1）．思路3：从图形的组成中找规律，象火柴梗一样，把一个顶点看成是某一边的头一个点，一边有（n-1）个花篮，三边共有3（n-1）个花篮．……3.6 不“开发”例题而“开发”例题的教学方法与教学策略在平时的的教学中不但要积累成功的经验，还要总结失败的教训，并以此为鉴，才能使自已的教育教学水平得到提高.有时即使不改变例题而改变教学方法与教学策略，也能使我们的课堂教学起到事半功倍的效果.比如，教师在处理北师大版数学教材八年级上册P132“做一做”时，若把引例（2）教学进行调整，把原来的“做一做”中的“给定的∠α，∠β”改成“同桌甲任给一个∠α，同桌乙任给一个∠β”，其余条件不变，然后探索这样的两个三角形是否相似？虽只是小小的改动，但学生学习的积极性调动起来了，他们人人参与，探索后再交流汇总，这样“两角对应相等的两个三角形相似”这个定理的教学便可水到渠成，提高了课堂效率．3.7 创造全新的例题在教材处理过程中不能只盯着课本中的题目，应选择和创造一些与学生的生活实际相结合的例题，增加一些书本上没有但是今后又要用到的知识，以促进学生今后的发展.如在上因式分解时可增加“十字相乘法”等的相关例题，二次函数补充“交点式”等等．4 实施新教材例题“二次开发”的策略的实践阶段我们要开展好“二次开发” 例题这项活动，就要关注好以下几个阶段：4.1 例题的选取阶段题目涉及的知识要点应覆盖本节课的内容，要有一定的代表性，所选例题要能体现“通法通用”，要遵循思维的认知规律，从易到难，循序渐进，不追求偏、怪、难，也不要贪多，要重视一题多解、一题多变，注重培养学生的解题能力．4.2 指导学生分析阶段教师引导学生研读例题，启发学生积极思考例题中的有关问题，包括看懂例题、理解概念、分析问题、得出解题思路、完善解题步骤．4.3 教师的讲解阶段数学例题的讲解分计算题、作图题、证明题等，对不同类型的题目一般采用不同的方法，即使是同一种类型的题目也可以用多种思考的方法.下面就以证明题为例：首先是直接证明，直接证明有综合法和分析法两种：综合法是一种由已知走向求证，即从数学题的已知条件出发，经过逐步逻辑推理，最后达到待证的结论或需求问题的证明方法.综合法的特点是从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，实际上是寻找它的必要条件.分析法与综合法刚好相反，这是由求证走向已知，即从数学题的待证结论或需求出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件.分析法的特点是：从“未知”看“需知”，执果索因，逐步靠拢“已知”.其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件.其次是间接证明，间接证明有两种思路：反证法和举反例的方法．4.4 提高总结阶段例题解答之后，要引导学生反思解题过程，总结解题的经验教训，对一些常用的教学方法，解题策略予以归纳概括，提示学生今后注意运用.对于学生易错又不容易改正的习题要引导学生做好用好错题集.错题集的格式：5 实施“二次开发”新教材例题策略的效果近几年来我校的数学成绩在本地总是遥遥领先，这与开展“初中数学新教材例题‘二次开发’的策略的研究”活动有很大关系.在数学课堂教学中有时对例题进行适当改动，或调整对例题的授课方式方法，有助于提高学生的学习积极性，学生的学习兴趣提高了很多，大部分同学感觉上数学课比以前有意思多了，他们课堂上积极性提高了，成绩也就自然提高了.当然，也有少数一些基础较差的同学在学习中表现不够突出，他们虽然改变了以往“坐不住”的现象，但成绩提高不明显，有些甚至有退步的现象，这是值得我们注意的地方．6 实施“二次开发”新教材例题策略后的反思目前教师已经有了主动驾驭教材的热情和意识，一般会对例题作出相应的“二次开发”，但是还要注意：要真正用好教材，用好例题，在教学中要时刻树立通过自己的实践来验证和完善教材的意识，让教材为我所用.经过这一段时间的实践，我深深体会到有三点要引起关注：（1）在新教材例题的“二次开发”过程中会不会因为不断地回想起以往的教学经验，而让“习惯做法”影响了我们对教材的理解？如果课后总是觉得知识讲得不到位，然后在以后的教学中费力地去补充、拓展、加深，那是因为我们更着眼于对知识本身的处理，而没有在如何调动学生的积极情感方面下功夫？应该把教学的“支点”放在如何使学生乐学、善学，使之由客体变为主体，使之积极的，目的明确地、主动热情地参与到教学活动中来．（2）学生要成长，教师也要成长，教师大多是在传统教学模式下成长起来的.新课程带给教师的是全新的教育理念，为了不断适应新课改的需要，教师间的交流、合作就显得尤为重要，教师要多参加各项继续教育，要不断钻研，给自已充电，才能更有效地去指导学生的学习.所以要把教学中成功（失败）的经验、教学心得、教学反思、论文等及时地积累下来，作为自已成长的记录，让自已不断成长．（3）这种“二次开发”新教材例题的策略虽然有很多优势，但它还不很完善，也有缺陷，还有些需要改进的地方，面对新课程，要积极探索，不断挖掘教材知识背后所蕴涵的思维方式、方法，展示出知识产生、形成、创新和发展的过程，创造性地运用教材.努力在知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观三方面平衡，在摸索中前进，在反思中提高，更好地把握教材、处理教材．。
什么是课程二次开发[一所初中学校的国家课程二次开发之路]
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什么是课程二次开发[一所初中学校的国家课程二次开发之路]１１月初，宾王中学年轻教师陈淑婷正在学校学术委员会主任的带领下，申报义乌市教育科研规划课题。
这次，他们申报的课题是《在“初中道德与法治”课中渗透心理健康教育的实践研究》。
课题方案已基本完成，陈淑婷松了一口气。
宾王中学是一所以“初唐四杰”之一的骆宾王名字命名的浙江省义乌市初中学校，在这所学校，申报各级课题已经成为学校教师的常规工作。
一所初中学校为何会有做科研的动力？靠硬件建设，成不了名校时光回到学校建校的上世纪９０年代。
宾王中学的前身是义乌市城北中学。
学校开办之初，定位不高，办学规模也不大，仅是一所十几个班的公立初级中学。
１９９３年８月招收了初一年级的６个班。
由于地域较为偏远，办学条件有限，当时学校的优质生源大批量流失，直接给学校办学带来了困难和挫折。
学校经历了搬迁新校区和更名宾王中学后，日渐发展。
校领导意识到，一所学校仅靠硬件建设成不了名校。
学校苦练内功，规范内部管理、强化教师专业能力，倾力打造学校班子队伍、教学一线的名优教师队伍建设，积极开展提升教师专业技术的比武活动，一大批年轻有为的市级学科带头人、市级以上教坛新秀脱颖而出。
从一所６个班、１９名教师的城郊学校，到如今发展为４８个班级、２４００余名在校生、２３０余位教职工的现代化学校，除了学校科学严谨的管理制度外，宾王中学校长龚待忠认为，离不开师德高尚、业务精良的优秀教师队伍。
学校现有高级教师３５人，市学科带人头１３人，市级以上教坛新秀３１人，市级以上优质课评比优胜者６１人。
进入新时代，学校如何在办学品味上高位突破？学校领导班子提出了“国家课程校本化探索的构想”。
“向天歌”课程：初中国家课程二次开发被提上日程。
什么是“国家课程二次开发”？在龚待忠看来，是学校站在课程标准的高度审视教材，站在学生的角度把握教材，根据学校、教师和学生的实际情况调整教学内容和教学目标，根据教师的教学风格和学生的基本学情，改进教学模式和教学方法，并对课程资源进行综合开发。
几何问题面积
P B Q C
学了本节课你有函数的应用----面积问题
学校准备在校园里利用围墙 的一段，再砌三面墙， 的一段，再砌三面墙，围成 一个矩形植物园， 一个矩形植物园，现在已备 足可以砌100m长的墙的材 足可以砌 长的墙的材 怎样砌法。 料。怎样砌法。才能使矩形 植物园的面积最大？ 植物园的面积最大？
例1、如图，一边靠学校院墙， 如图，一边靠学校院墙， 其他三边用12 m长的篱笆围成 其他三边用12 m长的篱笆围成 一个矩形花圃，设矩形ABCD 一个矩形花圃，设矩形ABCD 的边AB=x m，面积为S 的边AB=x m，面积为S㎡。 写出S （1）写出S与x之间的函数关 系式； 系式； 取何值时，面积S （2）当x取何值时，面积S最 最大值是多少？ 大，最大值是多少？ C B
若用一段长12m的铝合金型 若用一段长12m的铝合金型 材做一个如图所示的矩形窗 那么当矩形的长、 框，那么当矩形的长、宽分 别为多少时， 别为多少时，才能使该窗户 的透光面积最大？ 的透光面积最大？
课时训练
1、如图，在△ABC中∠B=90º，AB=12cm，BC=24cm， 动点P从A开始沿AB边以2cm/s的速度向B运动，动 点Q从B开始沿BC边以4cm/s的速度向C运动，如果P、 Q分别从A、B同时出发。 （1）写出△PBQ的面积S与运动时间t之间的函数 关系式，并写出自变量t的取值范围； （2）当t为何值时，△PBQ的面积S最大，最大值 是多少？ A
最新九年级中考数学专题： 二次函数综合题(面积问题)含答案
2023年九年级中考数学专题： 二次函数综合题（面积问题） 1．如图，过1,0A 、()3,0B 作x 轴的垂线，分别交直线y ＝4－x 于C 、D 两点．抛物线2y ax bx c =++经过O 、C 、D 三点．(1)求抛物线的表达式；(2)点M 为直线OD 上的一个动点，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，问是否存在这样的点M ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M 的横坐标；若不存在，请说明理由；(3)若△AOC 沿CD 方向平移（点C 在线段CD 上，且不与点D 重合），在平移的过程中△AOC 与△OBD 重叠部分的面积记为S ，试求S 的最大值．2．综合与探究如图，已知抛物线()220y ax x c a =++≠与x 轴负半轴交于点()1,0A -，与y 轴交于点()0,3C ，抛物线的顶点为D ，直线y ＝x ＋b 与抛物线交于A ，F 两点，过点D 作DE △y 轴交直线AF 于点E ．(1)求抛物线和直线AF 的解析式；(2)在直线AF 上方的抛物线上有一点P ，使3PAE PDE S S =△△，求点P 的坐标；(3)若点M 为抛物线上一动点，试探究在直线AF 上是否存在一点N ，使得以D ，E ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴相交于点(1,0),(3,0)A B -，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)在第四象限的抛物线上是否存在一点M ，使27MBC S =若存在，求出点M 坐标；若不存在，请说明理由．(3)连接AC ，在抛物线上是否存在一点P ，使得ACP OCB ∠=∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，已知抛物线的顶点坐标为A （1，4），抛物线与y 轴交于点B （0，3），与x 轴交于C ，D 两点．点P 是抛物线上的一个动点．(1)求此抛物线的表达式．(2)求C ，D 两点坐标及△BCD 的面积．(3)若点P 在x 轴下方的抛物线上．满足13PCD BCD SS =，求点P 的坐标．5．如图，抛物线234y x bx c =-++与x 轴交于点(4,0)A ，与y 轴交于点(0,3)B ，点(,0)M m 为线段OA 上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．(1)求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴；(2)如果以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，求m的值；(3)若BPN△与OPM面积相等，直接写出点M的坐标．6．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1，0)和点B(−3，0)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的函数解析式．(2)点N为第二象限内抛物线上的动点，求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．(3)若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形?若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．已知：如图，在Rt ABC∠=︒，8AC=cm，CD为AB边上的高，点Q从点AAB=cm，4∆中，90ACB出发，沿AC方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2t s t<<．cm/s．设运动时间为()(04)解答下列问题：∥；(1)当t为何值时，PQ BC(2)当PQ中点在CD上时，求t的值；(3)设四边形QPBC的面积为2)(S cm，求S与t的函数关系式，并求S最小值；=，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．(4)是否存在某一时刻t，使得PQ PC8．如图，抛物线23=++与x轴交于A，B两点，其中A（－2，0），点D（4，3）为该抛物线上一y ax bx点．(1)B点坐标为______；(2)直线x=n交直线AD于点K，交抛物线于点P，且点P在点K上方，连接P A、PD．△请直接写出线段PK长（用含n的代数式表示）△求△P AD面积的最大值；(3)将直线AD绕点A逆时针旋转90°得到直线l，若点Q是直线l上的点，且△ADQ=45°，请直接写出点Q 坐标______．B，与y轴交于点C，连接AC，有一动点9．已知抛物线23y ax bx=++的图象与x轴相交于点A和点(1,0)D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，AB＝4，设点D的横坐标为m．(1)求抛物线的解析式；(2)连接AE 、CE ，当ACE 的面积最大时，点D 的坐标是 ；(3)当2m =-时，在平面内是否存在点Q ，使以B ，C ，E ，Q 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．10．在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图像与x 轴交于()30A -,，()10B ,两点，与y 轴交于点C ．(1)求a ，b 的值；(2)点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使ACP △的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；(3)点Q 是直线AC 上方抛物线上一动点，过点Q 作QE x ⊥轴于点E ，是否存在点Q ．使以点B 、Q 、E 为顶点的三角形与AOC △相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由．11．在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ．(1)如图△，若动点Q 从点C 出发，在对角线CA 上以每秒3cm 的速度向A 点匀速移动，同时动点P 从点B 出发，在BC 上以每秒2cm 的速度向点C 匀速移动，运动时间为t 秒()03t ≤<，t 取何值时，四边形ABPQ 的面积最小？(2)如图△，若点Q 在对角线CA 上，CQ ＝4cm ，动点P 从点B 出发，以每秒1cm 的速度沿BC 运动至点C 停止．设点P 运动了t 秒，当t 为何值时，以Q 、P 、C 为顶点的三角形是等腰三角形？12．如图，等腰直角三角形OAB的直角顶点O在坐标原点，直角边OA，OB分别在y轴和x轴上，点C的3,4，且AC平行于x轴．坐标为()(1)求直线AB的解析式；(2)求过B，C两点的抛物线2=-++的解析式；y x bx c(3)抛物线2=-++与x轴的另一个交点为D，试判定OC与BD的大小关系；y x bx c(4)若点M是抛物线上的动点，当ABM的面积与ABC的面积相等时，求点M的坐标．13．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标（3，0），抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），点D为抛物线顶点，对称轴x＝1与x轴交于点E，连接BC、EC．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是BC下方异于点D的抛物线上一动点，若S△PBC＝S△EBC，求此时点P的坐标；(3)点Q是抛物线上一动点，点M是平面上一点，若以点B、C、Q、M为顶点的四边形为矩形，直接写出满足条件的点Q的横坐标．14．如图，已知二次函数23=+-的图象与x轴交于点A（－1，0），B（3，0），直线AC与y轴交y ax bx于点C，与抛物线交于点D，且△ABD的面积为10．(1)求抛物线和直线AC 的函数表达式；(2)若抛物线上的动点E 在直线AC 的下方，求△ACE 面积的最大值，并求出此时点E 的坐标；(3)设P 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q 在抛物线的对称轴上，当△BPQ 为等边三角形时，求直线AP 的函数表达式．15．图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点(1,0)B ，与y 轴交于点(0,3)C ，其对称轴为1x =-．(1)求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；(2)若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴上．△当P A △NA ，且P A ＝NA 时，求此时点P 的坐标；△求四边形P ABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．16．图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于A ，B 两点（点A 位于点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，M 是抛物线的顶点且横坐标为1，点C 的坐标为（0，3），P 为线段MB 上一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)过点P 作PD x ⊥轴于点D ．若PD m =，PCD ∆的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；(3)是否存在点P 满足DC PC =，若存在，请求出点P 坐标，若不存在，请说明理由．17．如图，抛物线经过点(10)A -，，(03)C ，两点，对称轴为52x =．(1)求抛物线的表达式；(2)若过点C 的直线l 的表达式为3y kx =+，当直线l 与抛物线有两个不同交点时，求k 的取值范围；(3)在（2）条件下，当直线l 与BC 垂直时，与对称轴交于点E ．此时抛物线上是否存在点P ，使得ABP ABE S S =△△，若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，抛物线2y x bx c =-++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，直线BC 的表达式为3y x =-+．(1)求抛物线的表达式；(2)动点D 在直线BC 上方的二次函数图象上，连接,DC DB ，设BCD △的面积为S ，求S 的最大值；(3)当点E 为抛物线的顶点时，在x 轴上是否存在一点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形与BCE 相似？若存在，请求出点Q 的坐标．19．如图，抛物线2y x bx c =-++经过()4,0A ，()1,0C -两点，与y 轴交于点B ，P 为抛物线上的动点，连接AB ，BC ，P A ，PC ，PC 与AB 相交于点Q ．(1)求抛物线的解析式；(2)若P 为第一象限抛物线上的动点，设APQ 的面积为1S ，BCQ △的面积为2S ，当215S S -=时，求点P 的坐标；(3)是否存在点P ，使45PAB CBO ∠+∠=︒，若存在，直接写出点P 的坐标：若不存在，说明理由．20．如图，抛物线24y ax bx =+-经过点()1,0C -，点()4,0B ，交y 轴于点A ，点H 是该抛物线上第四象限内的一个动点，HE △x 轴于点E ，交线段AB 于点D ，HQ △y 轴，交y 轴于点Q ．(1)求抛物线的函数解析式．(2)若四边形HQOE 是正方形，求该正方形的面积．(3)连接OD 、AC ，抛物线上是否存在点H ，使得以点O 、A 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，请直接写出点H 的坐标，若不存在，请说明理由．答案1．(1)y =-43x 2+133x(2)存在满足条件的点M ，点M 的横坐标为：32 (3)132．(1)2y x 2x 3=-++，1y x =+(2)(2P(3)()10,1N ，()22,3N ，3N ⎝⎭，4N ⎝⎭3．(1)2y x 2x 3=-++(2)存在，(6,21)M -(3)存在，(4,5)P -4．(1)2(1)4y x =--+(2)C (-1，0)；D (3，0)；6(3)()11-或()11-5．(1)239344y x x =-++；对称轴为直线32x =； (2)当2m =时，以点P 、N 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形；(3)M （1，0）6．(1)抛物线的函数解析式为y =-x 2-2x +3；(2)△BCN 的面积最大值为278，N (−32，154)； (3)存在，P 的坐标是（-5，-12）或（3，-12）或（-1，4）．7．(1)2t =； (2)83t =s ；(3)22)S t -+S 取得最小值为 (4)存在某一时刻43t =s ，使得PQ PC =8．(1)（6，0）(2)△211242n n -++；△274(3)（1，－6）或（－5，6）9．(1)223y x x =--+； (2)3322⎛⎫- ⎪⎝⎭，； (3)当Q 点为(3,0)或(1,0)-或(3,6)-时，以B ，C ，E ，Q 为顶点的四边形为平行四边形．10．(1)2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(2)存在，点35,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)存在，点(2,2)Q -或321(,)48-11．(1)284cm 5 (2)当t 为4或1.6或5.5时，以Q ，P ，C 为顶点的三角形是等腰三角形12．(1)4y x =-+(2)234y x x =-++(3)BD OC =(4)(21-)或(21)或(1，6)13．(1)y =x 2-2x -3(2)(2，-3)(3)1或-214．(1)223y x x =--；y ＝x ＋1； (2)258，315,24E ⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)y x =或y =15．(1)223y x x =--+， (1,4)-(2)△()1,2P ；△758， 315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭16．(1)2y x 2x 3=-++ (2)213(04)42S m m m =-+<≤(3)不存在17．(1)215322y x x =-++ (2)52k ≠(3)存在，点P 的坐标为8⎫-⎪⎪⎝⎭或8⎫-⎪⎪⎝⎭18．(1)2y x 2x 3=-++ (2)278(3)存在；Q 的坐标为(0,0)或(9,0)19．(1)234y x x =-++ (2)16P （，）或26P（，） (3)()3,4P20．(1)234y x x =--(2)6+(3)存在，点H 的坐标为1684,525⎛⎫- ⎪⎝⎭或521,24⎛⎫- ⎪⎝⎭。
2024海南中考数学二轮重点专题研究 微专题 二次函数与面积问题(课件)
例题解图④
设 R(x，－x2－2x＋3)(x<－1)，则 F(x，－3x＋3)，
∴R F ＝－3x ＋3－(－x 2－2x ＋3)＝x 2－x ＝9.
解得 x1＝1－2 37，x2＝1＋2 37(不合题意，舍去)，
当 x＝1－2 37时，y＝3
37－15， 2
例题图②
解：存在；
如解图，过点M作MN∥y轴，交AC于点N，连接MA，MC，BC，
令 y＝0，则－x2－2x＋3＝0，
解得 x1＝1，x2＝－3，
M
∴A(－3，0)，B(1，0)，令 x＝0，则 y＝3，
∴C(0，3)，
N
∴AB＝4，OC＝3，
例题图②
∴S
△AB
C＝12A
B·OC＝1×4×3＝6， 2
例题图②
＝ 1MN·OA 2
＝ 1×(－x2－3x)×3 2
＝ －32(x＋32)2＋287. ∵－32＜0，－3<x<0，
M
N
例题图②
∴当 x＝－32时，S△MAC 的值最大，即四边形 MABC 的面积最大，
此时 y＝－(－3)2－2×(－3)＋3＝15.
2
2
4
M
∴当四边形 MABC 的面积最大时，
微专题 二次函数与面积问题
例
抛物线 y＝－x2－2x＋3 与 x 轴交于 A，B 两点，
与 y 轴交于点 C，直线 y＝x＋3 与抛物线交于 A，C 两点．
(1)如图①，若点 P 为抛物线上一点，且点 P 的横坐标为－2，连接 PA， PC，求△PAC 的面积； 【思维教练】由抛物线解析式可以得出点C的坐标，根据点P的横坐标 为2及三角形的面积公式即可求解．
一九年级数学 元二次方程的应用---面积问题
整体设计思想：
将复杂的问题进行“化繁为简”，先解决同 类的简单问题，获得经验后再解决复杂问题，从 而实现深度学习。
整体设计思路：
如图，在一块长32米,宽20米的长方形草地上修5 条宽一样的道路,余下草坪面积为540平方米，求道路 的宽是多少米?
如图，在一块长32米,宽20米的长方形草地上修2 条宽一样的道路,余下草坪面积为540平方米，求道路 的宽是多少米?
法一：（常规方法）
32
矩形面积-道路面积=540米2。 x
20
32 ×20 －（32x + 20x －x2）＝x 540
矩形面积
道路面积
草地
法二：图形平移
32
20
32 -x x
32 x 20 x 540.
20-x x
如图，在一块长32米,宽20米的长方形草地上修3
条宽一样的道路,余下草坪面积为540平方米，求道路
的宽是多少米?
32
32
x
20
20
20-x
32-2x
2x
如图，在一块长32米,宽20米的长方形草地上修5 条宽一样的道路,余下草坪面积为540平方米，求道路 的宽是多少米?
如图，在一块长32米,宽20米的长方形草地上修了 1条宽处处一样的道路,余下草坪面积为540平方米，求 道路的宽是多少米?Fra bibliotek谢谢！
数学人教版九年级上册一元二次方程的应用-面积问题2
x x
8cm
活动2：学校生物小组有一块长32米，宽20米的矩形试
验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横
各开辟一条等宽的小道。要使种植面积为540平方米， 小道的宽应是多少？
(32 x)
(20 x)
20
32
变式训练：若上题纵向的小路要修两条，其他条件 不变，你还能求出小路的宽吗？ （只要求解、设， 列出方程）
一元二次方程的应用-面积问题2
广州市花都区九潭初级中学 董杰
学习目标
1．能正确利用面积关系找出等量关系，列出方程， 并注意要检验方程的解是否符合题意 2．进一步体会一元二次方程在实际生活中的应用， 经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数 学应用意识
活动1：一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下 图，它的长为8cm，宽为6cm；如果镜框中央长方 2 c m 形图案的面积为24 ，则花边有多宽?
解:设高为xcm,可列方程为 （40－2x)(25 -2x)=450
乙
有关面积问题：
常见的图形有下列几种：
归纳小结
回顾前面这节课的学习内容，你能总结一 下利用面积公式建立一元二次方程解决实际问题的 基本步骤吗？需要注意哪些问题？
20
பைடு நூலகம்
32
解：设道路宽为 х m，则草坪的长为
m ，宽为 (322 х） m (20 ，由题意得： х）
( 32 2 х )( 20 х ) 540
巩固练习：如下左图，有一张长40cm，宽25cm的长方 形硬纸片，裁去角上四个相同的小正方形之后，折成如 右图乙所示的无盖纸盒。若纸盒的底面积是450cm2，那 么纸盒的高是多少？（只要求解、设，列出方程）
2023年九年级中考数学高频考点突破--二次函数面积问题
2023年中考数学高频考点突破--二次函数面积问题一、综合题1．小莉的爸爸一面利用墙（墙的最大可用长度为11m），其余三面用长为40m的塑料网围成矩形鸡圈（其俯视图如图所示矩形ABCD），设鸡圈的一边AB长为xm，面积ym2．（1）写出y与x的函数关系式；（2）如果要围成鸡圈的面积为192m2的花圃，AB的长是多少？2．如图，已知二次函数y=ax2−4x+c的图象经过点A（-1，0）和点D（5，0）.（1）求该二次函数的解析式；（2）直接写出该抛物线的对称轴及顶点C的坐标；（3）点B是该抛物线与y轴的交点，求四边形ABCD的面积.3．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形花园ABCD，其中AD⩽MN，已知矩形花园的一边靠墙，另三边一共用了50米木栏.（1）若a=10，所围成的矩形花园的面积为92平方米，求所利用旧墙AD的长.（2）求矩形花园ABCD面积的最大值.4．某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用20m长的篱笆围成一个矩形ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm．（1）若花园的面积96m2，求x的值；（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是11m和5m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．5．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣13x+1与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△DBO∽△EBC；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．6．如图，有长为30m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为9m）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽AB为x m，面积为S m2．（1）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）如果围成花圃的面积为63m2，那么AB应确定多长？7．如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）经过点A（4，﹣5），与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为点D．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；（3）如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO=∠ABC，求点E的坐标．8．已知一直角三角形两条直角边的和等于8，若其中一直角边为x.（1）写出这个直角三角形的面积S关于x的函数解析式；（2）当两条直角边各为多少时这个直角三角形的面积最大？9．如图，△OAP是等腰直角三角形，∠OAP＝90°，点A在第四象限，点P坐标为（8，0），抛物线y＝ax2+bx+c经过原点O和A、P两点．（1）求抛物线的函数关系式．（2）点B是y轴正半轴上一点，连接AB，过点B作AB的垂线交抛物线于C、D 两点，且BC＝AB，求点B坐标；（3）在（2）的条件下，点M是线段BC上一点，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，求△CBN面积的最大值．10．空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为100米．（1）已知a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米．如图1，求所利用旧墙AD的长；（2）已知0＜α＜50，且空地足够大，如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值．11．某农场准备围建一个矩形养鸡场，其中一边靠墙（墙的长度为15米），其余部分用篱笆围成，在墙所对的边留一道1米宽的门，已知篱笆的总长度为23米．（1）设图中AB（与墙垂直的边）长为x米，则AD的长为米（请用含x 的代数式表示）；（2）若整个鸡场的总面积为y米2，求y的最大值．12．如图，用20m的篱笆围成一个矩形的花圃．设连墙的一边为x（m），矩形的面积为y（m2）．（1）写出y关于x的函数解析式；（2）当x=3时，矩形的面积为多少？13．已知，如图，抛物线y=−34x2+3与x轴交于A、B两点，与直线y=−34x+b交于B、C两点，直线y=−34x+b与y轴交于点E.（1）求直线BC的解析式：（2）若点M在线段AB.上以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动(不与点A、B重合)，同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从点B向点C方向运动，设运动的时间为t秒，oMNB的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求t取何值时，S最大?最大值是多少?14．已知二次函数y=a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）（a，m为常数，且a≠0）．（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点．（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，与y轴交于D点．①当△ABC的面积为1时，求a的值．②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．15．矩形管在我们日常生活中应用广泛，石油、天然气的运输，制造建筑结构网架，制造公路桥梁等领域均有应用．如图，若矩形管ABCD的两边长AB=20cm,AD=6cm，（1）若点PQ分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y(cm2)．求△PBQ面积的最大值；（2）若点P在边AB上，从点A出发，沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，点Q在边BC上，从BC中点出发，沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动，当点P运动到AB中点时，点Q开始向上运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P运动时间为t秒，△PBQ的面积为mcm2．求m与t的函数关系式．16．已知矩形ABCD的周长为20，设AB的长为x，矩形的面积为S．（1）写出S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）当矩形ABCD的面积为24时，求AB的长；（3）当AB的长为多少时，矩形ABCD的面积最大？最大面积是多少？17．如图，某农场拟建矩形饲养室ABCD，矩形一边DC利用长为28米现有墙体，另外三边用56米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的AB和BC边各有一个2m宽的门，设DC长为x米，总占地面积为y米2。
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初中面积例题“二次开发”初探
【摘要】以北京师范大学版初中数学课程标准为例，就面积例题、习题教学的现状，进行列举和分析，并结合教学实践中的相关案例，紧紧围绕教材例题、习题“二次开发”的策略研究，运用例题、习题题目背景“二次开发”的策略，例题、习题题目条件与结论“二次开发”的策略，例题、习题题目基本图形“二次开发”的策略进行引导，寻求改进例题、习题处理的方法，以发挥其潜能。
【关键词】北师大版；面积例题习题；二次开发；初探
一、问题的提出
新课程改革要求教师树立新的课程观、教学观和教材观，提倡对教材进行创造性地使用。
然而，在教学实践中，教师对于如何创造性地使用例题以及如何提高例题的有效性还存在很多的疑问。
在此背景下，对教材中例题二次开发进行研究就有了必要性和重要性。
因此初中数学面积例题的二次开发势在必行。
二、如何践行“二次开发”
1.数学学科思想显性化
例题中蕴藏着许多隐而不彰的东西，它们渗透在例题的字里行间，隐含于知识的运用过程中，那就是对待事物的态度、处理事情的方法等等，这些就是科学的情感、态度价值观。
在面积教学过程中，教师不能只注重知识的传授，还应该关注学生的心理体验，要通过课堂教学这一平台，让学生获得积极的情感体验，养成良好的
学习习惯，获得积极的成功理念。
所以挖掘教材中这些素材与信息，对学生开展合适的教育。
简而言之，教师要树立对例题主动进行二次开发的创新意识。
以下具体说明：
如图，东梅中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆，这个生物园的最大面积是多少？
解：设垂直于教学楼的一边长为x米，则平行于教学楼的一边为（40-2x）米，围成生物园的面积为y，由题意知y=（40-2x）x 整理得y=-2（x-10）2+200，且0< x <20
因此当x=10时，y有最大值，最大值为200
即这这个生物园的最大面积为200平方米。
这是一道实用性非常强的面积例题，主要是考察学生对一元二次方程在面积问题的运用能力，大多数教师在对此例的解题思路和知识点向对学生讲解后会立即讲解下一个例题，这样的并没有把这道出来例题的功效完全发挥出来。
教师应该在这道例题的基础上展开适当的扩展，如可以把题目改为：“东梅中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，为了防止践踏，四边都要用竹篱笆围住. 问这个生物园的最大面积是多少？”其实改变后题目考查的知识点仍然是一元二次方程，整体的思路也相差无几，是所谓的“换汤不换药”。
但是能有效地检验出学生对例题的掌握情况后的题目，如若学生对改变感到无从下手，教师必须再一次对学生进行此知识点的讲解。
2.知识生成条理化
在对学生讲解面积例题时要考虑到学生的学习水平差异和接受能力，面积例题存在着抽象，公式繁杂的特点，对归纳纳能力差的差的同学而言学习面积例题会感到十分吃力，因此老师在讲解面积例题时可以例题的解题思路和知识点做一个条理化的归纳与总结，使得学生以后对再面对此类题型时有解题思路。
例：某建筑物的窗户如下图所示，他的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗户总长（图中所有黑线的长度和）为15m，当x等于多少时，窗户通过的光线最多（精确到0.01）？此时，窗户的面积是多少？
此题在考察用二次函数解决实际面积问题，这类题型在考试中数见不鲜。
但是这类题难度较大，学生想要掌握起来比较困难。
无论什么锁只要有匹配的钥匙就能打开，数学题目也是如此，只要有明确的思路就能解开。
这道例题涉及二次方程和圆形、矩形的面积求法，教师先对此类题目进行分析，使学生了解此题实际上是问当x为多少时矩形和半圆的面积之和多大。
教师在讲完此题后可对各个图形的面积求法进行复习归纳，从而加深学生对基础知识的记忆。
3.深度广度适切化
俗话说“条条大路通罗马”。
解答一道题目的方法也不止一种。
对于灵活多变的面积例题来说，解题的思路和方法是不止一个的，在讲解此类例题时教师应积极引导学生转变角度去思考。
不要拘泥
于教材上对于例题的解答，培养学的创造性思维。
例：如图，左右两个都是边长为2的正方形，中间的是矩形，求阴影部分的面积。
解析：左边正方形中阴影面积：4-π，中间阴影面积即是矩形面积为2，右边阴影面积为半径为2的圆面积的四分之一，即为π。
图中阴影部分的面积为三部分阴影之和，即为6。
例题的解答是在面积问题中常见拆解法，此方法和很容易想到，使用起来可行度很高，但是不是此题只有此一种解法呢？答案是否定的，这题还可以使用割补法，将右边的阴影割下补到左边的空白处，这时阴影就是一个长为3宽为2的矩形了，是不是很快就能算出面积为6呢！方法比例题的方法更快算出结果。
因此教师在交接此类面积例题时要鼓励学生另辟蹊径，多问问学生“同学们，这道题我们还能用什么方法解答呢？”这激发学有助于生的学习热情，提高例题有效性。
结束语：
本研究对教材二次开发进行理论和实践上的分析和探讨，望对于帮助广大教师和学生有效开展教材二次开发，有所帮助。
参考文献：
[1]曹福海等.初中代数教学研究.教育科学出版社，2001
[2]周银.《初中数学新教材例题“二次开发”策略的研究》。