三角函数章末归纳整合2

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b2＋c2－a2 a2＋c2－b2 利用公式 cos A＝ ，cos B＝ ，cos C 2bc 2ac a2＋b2－c2 ＝ ，可将有关三角形中的角的关系化为边的关 2ab 系，然后充分利用代数知识来解决问题．
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【例3】 在三角形 ABC 中，a，b，c 分别是角ห้องสมุดไป่ตู้A，B，C 对边的长， cos B b 且满足 ＝－ . cos C 2a＋c (1)求角 B 的值；
规律方法 利用正弦定理解三角形，若已知三角形的两边 和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边 和角时，可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形 并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确 取舍．
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专题二
余弦定理及其应用
余弦定理反映了a，b，c，A，B，C元素间的动态结构， 揭示了任意三角形的边、角关系． 1．余弦定理指明了任意三角形的三边与其中一角的具体关 系，因此也是解三角形的重要工具． 2．在余弦定理中，每一个等式中都包含四个量，因此，已知 其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量． 3．利用余弦定理，可以解决以下两类有关解三角形的问题： ①已知三边，求三个角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．
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3．正弦定理、余弦定理常用作为解斜三角形的工具，有时也 用于立体几何中的有关三角形的边、角的计算中．在三角 形中，常与三角函数的有关公式相联系，解决相关问 题．另外，解三角形问题易于与多种知识综合且在实际中 应用广泛，因而是高考考查的一个热点，题型一般是选择 题、填空题，也可能是中档难度的解答题． 4．在近几年的高考中大多数省份都在此知识点命题，估计今 后几年高考中，此知识点仍是考查的重点、热点，学习时 应引起重视．
∵a<b，∴B>A＝30° ，∴B 为 60° 120° 或 . (1)当 B＝60° 时，C＝180° －60° －30° ＝90° . 此时，c＝ a2＋b2＝ 1＋3＝2. (2)当 B＝120° 时，C＝180° －120° －30° ＝30° .此时，c＝a＝1.
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cos B b cos B b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，代入 ＝－ ，得 ＝ cos C cos C 2a＋c sin B － ， 2sin A＋sin C 即：2sin Acos B＋sin Ccos B＋sin Bcos C＝0， 2sin Acos B＋sin (C＋B)＝0. 在△ABC 中，有 A＋B＋C＝π，即：sin A＝sin (B＋C)， ∴2sin Acos B＋sin A＝0. 1 2π ∵sin A≠0，∴cos B＝－ ⇒B＝ . 2 3
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专题三
正、余弦定理的综合应用
(1)在解三角形时，常常将正弦定理与余弦定理结合使 用，要注意恰当地选择定理，简化运算过程，提高解题 速度，同时，要注意与平面几何中的有关性质、定理结 合起来，挖掘题目中的隐含条件． (2)利用正弦、余弦定理证明有关三角形的三角函数恒 等式和判定三角形的类型，主要是将已知条件中的边、 角关系转化为角的关系或边的关系．一般地，利用公式 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C可将边的关系转 化为角的三角函数关系，然后利用三角函数恒等式进行 化简，其中往往用到三角形内角和定理A＋B＋C＝π.
(参考数据： 3＝1.73，sin 75° ＝0.97，cos 75° ＝0.26，tan 75° ＝3.73，sin 53° ＝0.80，cos 53° ＝0.60，tan 53° ＝1.33，sin 38° ＝0.62，cos 38＝0.79，tan 38° ＝0.78)
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，c＝4( 3＋1)，解此三 【例2】 在△ABC 中，已知 a＝8，B＝60° 角形．
[思路探索] 先用余弦定理求出b，然后利用余弦定理的 推论或正弦定理求出相应角的余弦值或正弦值，最后确定 角的大小． 解 由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accos B＝
82＋[4( 3＋1)]2－2×8×4( 3＋1)· 60° cos ＝ 1 64＋16(4＋2 3)－64( 3＋1)× ＝96，∴b＝4 6. 2
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专题一
正弦定理及其应用
a b c 公式 ＝ ＝ 反映了三角形的边角关系．由正弦定 sin A sin B sin C a b b c 理的推导过程知，该公式实际表示： ＝ ， ＝ ， sin A sin B sin B sin C a c ＝ .上述的每一个等式都表示了三角形的两个角和它们 sin A sin C 的对边的关系，对于每一个等式，可知三求一，于是正弦定理可 以用来解决两类解三角形的问题：
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BD CD＝sin∠DBC× ≈3.9.故景点 C 与景点 D 之间的距离 sin∠DCB 约为 3.9 km.
规律方法 正弦定理和余弦定理都是解三角形的重要工具， 在实际问题的求解中应用广泛，一般地，求解此类问题的关 键是明确边角关系，构造或选取恰当的三角形，使得边角之 间的关系归纳在一个或几个三角形中，以便于求解．
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【例4】 如图所示，某市郊外景区内有一 条笔直的公路a经过三个景点A、B、C. 景区管委会又开发了风景优美的景点 D.经测量景点D位于景点A的北偏东 30°方向上8 km处，位于景点B的正北 方向，还位于景点C的北偏西75°方向 上．已知AB＝5 km. (1)景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路， 不考虑其他因素，求出这条公路的长； (2)求景点C与景点D之间的距离．(结果精确到0.1 km)
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高考命题趋势
运用正弦定理、余弦定理解决应用问题，是考查学生数学 1． 应用意识的重要素材，而在三角形中，运用定理与三角函 数知识相结合，求值、证明三角恒等式也是常考题型，一 般以中、低档题目出现． 此版块不会出现较难的题，学习中只需要把握好基础知 2． 识、基本技能与方法即可，没有必要去研究偏难、偏怪的 题目．
(1)已知两角和任意一边，求另两边和另一角； (2)已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．
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【例1】 在△ABC 中，a＝1，b＝ 3，A＝30° ，求边 c 的长．
解
a b bsin A 3 由 ＝ ，得 sin B＝ ＝ . sin A sin B a 2
2 ∴sin A＝ ，∵b>a，c>a，∴a 最小，即 A 为锐角．因此 A＝45° . 2 故 C＝180° －A－B＝180° －45° －60° ＝75° .
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规律方法 利用余弦定理解三角形的注意点 1．由于余弦函数在区间(0，π)内是单调的，因此由余弦 定理的推论可知，已知三角形三边长，或已知三角形三边 长的比，就能唯一确定这个三角形三个内角的大小． 2．余弦定理中边长是平方的关系，因此，利用余弦定理 求边长，实质是解一元二次方程．如已知a，b，A，由余 弦定理有a2＝b2＋c2－2bccos A，即c2－(2bcos A)c＋(b2－ a2)＝0，则边长c的值即方程的根，个数不确定．解题时， 应根据已知条件对方程的根进行取舍．
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法一
b2＋c2－a2 96＋16 3＋12－64 2 由 cos A＝ ＝ ＝ ， 2bc 2 2×4 6×4 3＋1
∵0° <A<180° ，∴A＝45° . 故 C＝180° －A－B＝180° －45° －60° ＝75° . 法二 a b 8 4 6 由正弦定理 ＝ ，∴ ＝ ， sin A sin B sin A sin 60°
3>8，应舍去， 所以 x＝4 3－3≈3.9，即这条公路的长约为 3.9 km.
AD AB (2)在△ABD 中，由正弦定理得 ＝ ，所以 sin∠ABD sin∠ADB AD 4 sin∠ABD＝sin∠CBD＝ · sin∠ADB＝ ＝0.8，所以 cos∠CBD AB 5 ＝0.6.在△CBD 中，sin∠DCB＝sin(∠CBD＋∠BDC)＝ sin(∠CBD＋75° )＝0.8×0.26＋0.6×0.97＝0.79，由正弦定理得
[思路探索] (1)以BD为边的三角形为△ABD和△BCD，在 △ABD中，一角和另外两边易得，所以，可在△ABD中利用余 弦定理求解DB.(2)以CD为边的两个三角形中的其他边不易全部 求得，而角的关系易得，考虑应用正弦定理求解．
解 (1)设 BD＝x km，则在△ABD 中，由余弦定理得 52＝82＋x2 3x＋39＝0， 解得 x＝4 3± 3.因为 4 3＋ －2×8xcos 30° 即 x2－8 ，
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(2)由余弦定理有： b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)， 19＝5
2
1 －2ac1－ ⇒ac＝6. 2 a＝2， ⇒ c＝3 a＝3， 或 c＝2.
ac＝6， 由 a＋c＝5
(1)三角形中的边角关系是最基本的数量关系，而正、余 弦定理又是反映三角形这种数量关系最重要的两个定理， 它们在天文测量、航海和地理测量等问题中有着广泛的应 用． (2)解决实际问题时，先将实际问题中的数量关系归结为 数学问题，利用已学过的几何图形的性质，作必要的辅助 线，将已知元素、未知元素集中到同一个三角形中，正确 地选择正弦定理、余弦定理，使解题过程简洁，按照题目 中已有的精确度进行计算，并注明单位．
(2)若 b＝ 19，a＋c＝5，求 a，c 的值．
cos B b [思路探索] (1) ＝－ 正弦定理,三角函数关系两角和正 cos C 2a＋c 弦,cos B 的值―→B 的值． (2)利用余弦定理找出 a，c 的关系．
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解
a b c (1)由正弦定理有： ＝ ＝ ＝2R⇒a＝2Rsin A， sinA sinB sin C
规律方法 已知两边及一边对角解三角形的方法及注意事项 (1)解三角形时往往同时用到正弦定理与余弦定理，此时要根 据题目条件优先选择使用哪个定理． (2)一般地，使用正、余弦定理求边，使用余弦定理求角．若 使用正弦定理求角，有时要讨论解的个数问题．
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专题四
解三角形在实际问题中的应用