力学竞赛试题2

力学竞赛试题1．质量为200g的小球
B以弹性绳在光滑水平面上与固
定点A相连。

弹性绳的劲度系数
为8 N/m，其自由伸展长度为
600mm.最初小球的位置及速度v0如图所示。

当小球的速率变为v时，它与A点的距离最大，且等于
800mm，求此时的速率v及初速率v0.
解：该题出自作业5.1.9
设小球B的质量m=0.2kg,原来与固定点A的距离r0=0.4m,当速率为v时，与A点距离r=0.8m,弹
性绳自由伸展的长度为d=0.6m.
小球B的速率由v0→v的过程中，作用在小球B上的力对过A点轴的力矩之和始终为零，因而小
球对A点的角动量守恒，有
r0mv0sin30º= rmv (最大距离时，)v
r
⊥（1）
另外,在此过程中,只有保守内力（绳的弹力）做功,因而能量守恒，
)2(
)
(2
2
1
2
2
1
2
2
1mv
d
r
k
mv+
-
=
为求解方便，将⑴⑵化简，并代入已知数据可得：
)'2(
6.1
)'1(
42
2
v
v
v
v+
=
=
解此方程组，求得：v0 ≈1.3 m/s v ≈
2．板的质量为M，受水平力
的作用，沿水平面运动，板与平面间的
摩擦系数为μ.在板上放一半径为R质
量为M2的实心圆柱，此圆柱只滚动不
滑动。

求板的加速度。

解：出自作业7.5.6.
所示，其中a c为质心对地的加速度，β为相
对质心的角加速度，f2、N2分别为板施加给
圆柱的静摩擦力和压力。

由质心定理：2(
),
1(
2
2
2
2
g
M
N
a
M
f
c
=
=2
对质心应用转动定理：)3(
2
2
2
1
2
β
R
M
R
f=1
隔离木板，其受力及运动情况如图所示，f
其中a为板对地的加速度，f1、N1分别为水平f
面施加给板的滑动摩擦力和压力。

应用牛顿第二定律（或质心定理）：
)4(
2
1
Mg
N
N+
=)5(
2
1
Ma
f
N
F=
-
-μ
圆柱在木板上只滚不滑的条件是：a = a c +βR (6)
(圆柱与板接触点对地的加速度等于质心加速度加上绕质心转动的加速度，即a c+βR，它必须等于木板
对地的加速度a,才能只滚不滑)
将（2）代入（4）求得：N1=(M+M2)g；由（1）（3）可解得，2a c=Rβ与（6）联立，可求得，a c=a/3,
代入（1）中，f2 = a M2 /3；将N1、f2代入（5）中，有
2
2
3
]
)
(
[3
2
3
1
2
)
(
M
M
g
M
M
F
a
Ma
a
M
g
M
M
F
+
+
-
=
∴
=
-
+
-μ
μ
3．质量为m的物体自倾角为θ的光滑斜面顶点处由静止而滑下，滑行了l远后与一质量为m’的物体
发生完全非弹性碰撞。

m’与劲度系数为k的轻弹簧相连。

碰撞前m’静止于斜面上，如图所示。

问两
物体碰撞后作何种运动，并解出其运动学方程。

已知m=m’=5kg,
k=490N/m,θ=30º,l=0.2m.
解:作业9.2.15.设a
伸长处，b为只有m’时的
平衡位置, o为m与m’粘
在一起时的平衡位置.以
为原点，建立图示o-x坐
标。

由平衡条件有：ao
k
g
m
m
ab
k
g
m=
+
=θ
θsin
)'
(
,
sin
'.
m
k
mg
ab
ao
ob05
.0
490
/5.0
8.9
5
/
sin=
⨯
⨯
=
=
-
=
∴θ
设m与m’碰前速度为v1，由能量守恒，2
1
2
1
sin mv
mgl=
θ，
4.1
5.0
2.0
8.9
2
sin
2
1
=
⨯
⨯
⨯
=
=θ
gl
v.设m与m’碰后共同速度为v0,由动量守恒
s
m
v
v
m
m
mv v
m
m
mv/
7.0
,
)'
(
2
1
1
'
1=
=
=
+
=
+
显然，碰撞后两小球在平衡位置o附近作简谐振动，其圆频率
7
5
2
490
2
=
=
=
⨯
m
k
ω. 设运动学方程为)
7
cos(α
+
=t
A
x（1），速度
)2(
)
7
sin(
7α
+
-
=
=t
A
v
dt
dx. 将初始条件05
.0
,0-
=
=x
t，
7.0
=
v代入得：)'2(
sin
7
7.0
,)'1(
cos
05
.0α
αA
A-
=
=
-.可解得：A=0.1118m,α= -
1.107rad..∴)
107
.1
7
cos(
1118
.0-
=t
x。