新教材高中数学第八章立体几何初步8.1基本立体图形(第1课时)棱柱、棱锥、棱台的结构特征应用案巩固提升新
(教案)8.1基本立体图形(1)Word版含解析
8.1 基本几何图形第1课时棱柱、棱锥、棱台本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课是第1课时，本节课主要学习棱柱、棱锥、棱台的概念及结构特征。
教材首先让学生观察现实世界中实物的图片,引导学生将观察到的实物进行归纳、分类抽象、概括,得出柱体、锥体、台体的结构特征,在此基础上给出由它们组合而成的简单几何体的结构特征.空间几何体是新课程立体几何部分的起始课程,它在土木建筑、机械设计、航海测绘等大量实际问题中都有广泛的应用,新课程从对空间几何体的整体观察入手,再研究组成空间几何体的点、直线和平面.这种安排降低了立体几何学习入门难的门槛,强调几何直观,淡化几何论证,可以激发学生学习立体几何的兴趣。
课程目标学科素养A.能根据几何结构特征对空间物体进行分类；B.从实物中概括出棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征；C.会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征；D.会表示有关几何体以及棱柱、棱锥、棱台的分类。
1.数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征；2.逻辑推理：从实物中概括出棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征；3..直观想象：棱柱、棱锥、棱台的分类；1.教学重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出棱柱、棱锥、棱台的结构特征；2.教学难点：棱柱、棱锥、棱台的结构特征的概括。
多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、复习回顾，温故知新1.通过生活中的图片引入，初步感受空间几何体。
二、探索新知观察1:观察生活的具体实物，你能抽象出它们的空间图形吗？空间几何体的定义:如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其它因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．思考1：如图，下面这些图片中的物体具有怎样的形状？在日常生活中，我们把这些物体的形状叫做什么？如何描述它们的形状？【答案】纸箱、金字塔、茶叶盒、水晶萤石、储物箱等物体围成它们的面都是平面图形，并且都是平面多边形；纸杯、腰鼓、奶粉罐、篮球和足球、铅锤围成它们的面不全是平面图形，有些面是曲面。
新教材人教版高中数学必修1 第八章 8.1 第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
探究一
探究二
思维辨析
随堂演练
课堂篇探究学习
1.有两个面平行的多面体不可能是( )
A.棱柱 B.棱锥
C.棱台 D.以上都不正确
答案:B
解析:因为棱锥的任意两个面都相交,不可能有两个面平行,所以不
可能是棱锥.
2.棱台不具备的性质是( )
A.两底面相似
B.侧面都是梯形
C.所有棱都相等 D.侧棱延长后都交于一点
概 侧棱:相邻侧面的公共边;
念 顶点:侧面与底面的公共顶点
分 类
①依据:底面多边形的边数; ②举例:三棱柱(底面是三角形)、四棱柱
(底面是四边形)……
用表示底面各顶 点的字母表示.
如图棱柱可记作: 棱柱 ABCDEFA'B'C'D'E'F'
课前篇自主预习
一
二
三
四
(2)棱柱的分类
直棱柱:侧棱垂直 正棱柱:底面是正多边形的直棱柱 棱柱 于底面的棱柱 一般的直棱柱
课堂篇探究学习
探究一
探究二
思维辨析
随堂演练
变式训练下列说法正确的有
(填序号).
①棱柱的侧面都是平行四边形;②棱锥的侧面为三角形,且所有侧
面都有一个公共点;③棱台的侧面有的是平行四边形,有的是梯形;
④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点;⑤多面体至少有四个面.
答案:①②④⑤
解析:棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形成的几何体,
课堂篇探究学习
探究一
探究二
思维辨析
随堂演练
多面体表面距离最短问题 例2如图,在三棱锥V-ABC 中,VA=VB=VC=4,∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,过点A作截面△AEF, 求△AEF周长的最小值.
8.1 基本立体图形(第1课时)棱柱、棱锥、棱台的结构特征【优创课堂】2022-2023学年高一数学
A.该几何体是一个多面体
B.该几何体有9条棱，5个顶点
C.该几何体有7个面
D.该几何体是旋转体
答案：D.
).
例析
例1.将下列各类几何体之间的关系用图表示出来：
多面体，长方体，棱柱，棱锥，棱台，直棱柱，四面体，平行六面体.
解：如图所示：
练习
题型一：棱柱的结构特点
举反例 通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不
吻合，给予排除
练习
题型二：棱锥、棱台的结构特点
例2.下面是关于棱锥、棱台的四种说法：
①棱锥的侧面只能是三角形；②棱台的侧面一定不会是平行四边形；③由四
个面围成的封闭图形只能是三棱锥；④棱锥被平面截成的两部分不可能都是
棱锥.
其中说法错误的是（
A.①
形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.这个多边形面叫做棱锥的底面；有公
共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；
各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.
探索新知
棱锥用表示顶点和底面各顶点的字母来表示，如图中的棱锥记作棱锥
− .棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形……，我们把这样的棱
棱、顶点.
棱台用表示底面各顶点的字母来表示，如图中的棱台记作棱台 − ’ ’ ’ ’ .
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱
台……
新知探索
辨析1：判断正误.
（1）一个多面体至少有六条棱.
(
)
（2）封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.
(
)
答案：√，√.
锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……，其中三棱锥又叫四面体.底面是正
8.1 基本几何图形 第1课时 棱柱、棱锥、棱台(课件)2022-2023学年高一下学期数学(人教A
重点：掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征； 难点：棱柱、棱锥和棱台的侧面展开图问题.
学科素养
1.数学抽象：多面体与旋转体等概念的理解； 2.逻辑推理：棱柱、棱锥、棱台的结构特点； 3.直观想象：判断空间几何体； 4.数学建模：通过平面展开图将空间问题转化为平面问题解决，体现了转 化的思想方法.
相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为.
练习： 1．下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的 公共边折叠围成一个正方体的是( )
2．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面” 表示，如图是一个正方体的表面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图 中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是( )
（2）棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形. 底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥 ……其中三棱锥又叫四面体。
棱锥也用顶点和底面各顶点字母表示，如棱锥S-ABCD。 （3）棱台：用一个平行于棱锥底面的平面区截棱锥，底面于截面之间的部分 叫做棱台。 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，棱台也有侧面、侧棱、 顶点。
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、 五棱台……
用各顶点字母表示棱柱，如棱台ABCDEF-A’B’C’D’E’F’。
思考：
1．面数最少的多面体是什么？ 提示：围成一个多面体至少要四个面，所以面数最少 的多面体是四面体，如三棱锥就是四面体． 2．棱柱的侧面一定是平行四边形吗？ 提示：根据棱柱的概念可知，棱柱的侧面一定是平行 四边形．
题型一 棱柱、棱锥、棱台的结构特点 例1 (1)下列命题中正确的是________．(填序号) ①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱； ②棱柱的一对互相平行的平面均可看作底面； ③三棱锥的任何一个面都可看作底面； ④棱台各侧棱的延长线交于一点． (2)关于如图所示几何体的正确说法的序号为________．
高中数学第八章立体几何初步基本立体图形第1课时棱柱棱锥棱台的结构特征课后提能训练新人教A版必修第二册
第八章 8.1 第1课时A级——基础过关练1．(2021年武汉月考)(多选)观察如下所示的四个几何体,其中判断正确的是( )A．①是棱柱B．②不是棱锥C．③不是棱锥D．④是棱台【答案】ACD【解析】结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱,②是棱锥,④是棱台,③不是棱锥．2．(多选)下列命题中错误的是( )A．有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱C．用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台D．有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱【答案】ACD【解析】在A中,如图的几何体,有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体不是棱柱,故A错误；在B中,由棱柱的定义知B正确；在C中,用一个平行于底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台,故C错误；在D中,如图的几何体,有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体不是棱柱,故D错误．故选ACD.3．如图所示,在三棱台A′B′C′－ABC中,截去三棱锥A′－ABC,则剩余部分是( )A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．组合体【答案】B【解析】余下部分是四棱锥A′－BCC′B′.4．下列三种叙述,正确的有( )①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】①中的平面不一定平行于底面,故①错；②③可用如图的反例检验,故②③错．故选A.5．下列图形中,不能折成三棱柱的是( )【答案】C【解析】C中,两个底面均在上面,因此不能折成三棱柱,其余均能折成三棱柱．6．四棱柱有________条侧棱,________个顶点．【答案】4 8【解析】四棱柱有4条侧棱,8个顶点(可以结合正方体观察求得)．7．对如图所示的几何体描述正确的是________(写出正确结论的序号)．①这是一个六面体；②这是一个四棱台；③这是一个四棱柱；④此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱而得到；⑤此几何体可由四棱柱截去一个小三棱柱而得到．【答案】①③④⑤【解析】在①中,∵这个几何体有六个面,∴这是个六面体,故①正确；在②中,∵这个几何体的侧棱延长后不能交于同一点,所以这不是个四棱台,故②错误；在③中,如果把这个几何体的正面或背面作为底面就会发现这是一个四棱柱,故③正确；在④中,如图1所示,此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱而得到,故④正确；在⑤中,如图2所示,此几何体可由四棱柱截去一个小三棱柱而得到,故⑤正确．故选①③④⑤.图1 图28．如图,M是棱长为2 cm的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点,沿正方体表面从点A 到点M的最短路程是________cm.【答案】13【解析】由题意,若以BC为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm,3 cm,故两点之间的距离是13 cm.若以BB1为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4,故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.9．如图,在边长为2a的正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P.(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)这个几何体共有几个面,每个面的三角形有何特点？(3)每个面的三角形面积为多少？解：(1)如图,折起后的几何体是三棱锥．(2)这个几何体共有4个面,其中△DEF为等腰三角形,△PEF为等腰直角三角形,△DPE和△DPF 均为直角三角形．(3)S △PEF ＝12a 2,S △DPF ＝S △DPE ＝12×2a ·a ＝a 2,S △DEF ＝S 正方形ABCD －S △PEF －S △DPF －S △DPE ＝(2a )2－12a 2－a 2－a 2＝32a 2. 10．如图所示,长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是,则该图形是几棱柱？为什么？(2)用平面BCNM 把这个长方体分成两部分,各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是,则该图形是几棱柱,并用符号表示；如果不是,请说明理由．解：(1)是棱柱,并且是四棱柱,因为长方体相对的两个面是互相平行的四边形(作底面),其余各面都是矩形(作侧面),且相邻侧面的公共边互相平行,符合棱柱的定义．(2)截面BCNM 的上方部分是三棱柱BB 1M －CC 1N ,下方部分是四棱柱ABMA 1－DCND 1.B 级——能力提升练11．下列命题中,真命题是( )A ．顶点在底面上的投影到底面各顶点的距离相等的三棱锥是正三棱锥B ．底面是正三角形,各侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥C ．顶点在底面上的投影为底面三角形的垂心的三棱锥是正三棱锥D ．底面是正三角形,并且侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥【答案】D【解析】对于选项A,到三角形各顶点距离相等的点为三角形外心,该三角形不一定为正三角形,故该命题是假命题；对于选项B,如图所示,△ABC 为正三角形,若PA ＝PB ＝AB ＝BC ＝AC ≠PC ,△PAB ,△PBC ,△PAC 都是等腰三角形,但它不是正三棱锥,故该命题是假命题；对于选项C,顶点在底面上的投影为底面三角形的垂心,底面为任意三角形皆可,故该命题是假命题；对于选项D,顶点在底面上的投影是底面三角形的外心,又因为底面三角形为正三角形,所以外心即为中心,故该命题是真命题．故选D.12．(2021年焦作模拟)如图所示都是正方体的表面展开图,还原成正方体后,其中两个完全一样的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④【答案】B 【解析】在图②③中,5不动,把图形折起,则2,5为对面,1,4为对面,3,6为对面,故图②③完全一样,而图①④则不同．13．五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个五棱柱的对角线共有________条．【答案】10【解析】在上底面选一个顶点,同时在下底面选一个顶点,且这两个顶点不在同一侧面上,这样上底面每个顶点对应两条对角线,所以共有10条．14．给出两块正三角形纸片(如图所示),要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型,另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型,请设计一种剪拼方案,分别用虚线标示在图中,并作简要说明．解：如图1所示,沿正三角形三边中点连线折起,可拼得一个底面为正三角形的三棱锥．图1 图2如图2所示,在正三角形三个角上剪出三个相同的四边形,其较长的一组邻边边长为三角形边长的14,有一组对角为直角,余下部分按虚线折成,可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱,而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底．C 级——探索创新练15．(2021年哈尔滨月考)如图,在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AB ＝3,BC ＝4,A 1A ＝5,现有一只甲壳虫从点A 出发沿长方体表面爬行到点C 1来获取食物,试画出它的最短爬行路线,并求其路程的最小值．解：把长方体的部分面展开,如图,有三种情况．对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC1的长分别为90,74,80,由此可见乙是最短线路,所以甲壳虫可以先在长方形ABB1A1内由A到E,再在长方形BCC1B1内由E到C1,也可以先在长方形AA1D1D内由A到F,再在长方形DCC1D1内由F到C1,其最短路程为74.。
基本立体图形 立体几何初步PPT课件(第一课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征)
(底面是四边形)……，例如底面是五边形的棱柱可表示为五棱柱 ABCDE-A′B′C′D′E′.
必修第一册·人教数学B版
(3)特殊的棱柱： 直棱柱：侧棱 垂直 于底面的棱柱； 斜棱柱：侧棱 不垂直 于底面的棱柱； 正棱柱：底面是 正多边形 的 直 棱柱； 平行六面体：底面是 平行四边形 的四棱柱．
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8．1 基本立体图形 第一课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
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内容标准
学科素养
1.了解空间几何体的分类及其相关概念． 2.理解棱柱、棱锥、棱台的定义，知道这三种几何体的结构特 征，能够识别和区分这些几何体.
数学抽象 直观想象
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课前 • 自主探究
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课堂 • 互动探究
课后 • 素养培优
课时 • 跟踪训练
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[教材提炼] 知识点一 空间几何体 预习教材，思考问题 (1)观察纸箱、金字塔、茶叶盒、水晶石等有什么相同的特点？ [提示] 围成它们的每个面都是平面图形，并且都是平面多边形． (2)观察纸杯、奶粉罐、腰鼓、篮球等几何体有什么相同的特点？ [提示] 围成它们的面不全是平面图形，有些面是曲面．
(底面是四边形)……，其中三棱锥又叫四面体．
棱锥用表示顶点和底面各顶点的字母来表示，例如三棱锥可表示为：三棱锥 S-ABC.
(3)特殊的棱锥 正棱锥：底面是 正多边形 ，并且顶点与底面中心的连线 垂直 于底面的棱锥．
第1课时 棱柱、棱锥、棱台(优秀经典公开课课件)
4 ． 棱 柱 的 侧 棱 最 少 有 ________ 条 ， 棱 柱 的 各 侧 棱 之 间 的 大 小 关 系 是 ________．
解析 棱柱的侧棱最少有三条，这样的棱柱是三棱柱，棱柱的所有侧棱长相 等．
答案 三 相等
02
课堂案 题型探究
题型一 棱柱的结构特征 [例 1] 下列关于棱柱的说法中，错误的是( ) A．三棱柱的底面为三角形 B．一个棱柱至少有五个面 C．若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等 D．五棱柱有 5 条侧棱、5 个侧面，侧面为平行四边形
[答案] (1)A (2)0
[规律方法]
判断棱锥、棱台形状的两个方法
(1)举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法
不正确．
(2)直接法
棱锥
棱台
定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面
看侧棱 相交于一点
延长后相交于一点
[触类旁通] 2．下面描述中，不是棱锥的结构特征的为( ) A．三棱锥的四个面是三角形 B．棱锥都有两个面是互相平行的多边形 C．棱锥的侧面都是三角形 D．棱锥的侧棱相交于一点
的_公__共__边___； 按侧棱与底面的关系： 顶点：侧面与底 (1)把侧棱__垂__直__于____底面的棱
面的 _公__共__顶__点___
柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于 底面的棱柱叫___斜__棱__柱___．
(2)底面是正多边形的直棱柱叫
做__正__棱__柱____
棱锥
有一个面是 __多__边__形____， 其余各面都 是有一个公 共顶点的 __三__角__形____， 由这些面所 围成的多面 体叫做棱锥
[触类旁通] 4．如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？
人教A版高中数学必修第二册精品课件 第8章 立体几何初步 第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
分类:按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱
柱……
(2)特殊的棱柱:
侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱;
侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱;
底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱;
底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体.
3.下列几何体是棱柱的有(
A.5个
答案:D
B.4个
C.3个
)
D.2个
三、棱锥的概念及结构特征
相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多
面体叫做棱柱
相关概念:两个互相平行的面叫做棱柱的底面,它们是全等的
多边形;其余各面叫做棱柱的侧面,它们都是平行四边形;相邻
侧面的公共边叫做棱柱的侧棱;侧面与底面的公共顶点叫做
棱柱的顶点
图形及表示
棱柱用表示底面各顶点的字母来表示.
如图,可记作棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'
提示:(2)(4)(5)(6)中的物体,围成它们的面不全是平面图形,有
些是曲面;(1)(3)中的物体,围成它们的每个面都是平面图形.
2.(1)如果只考虑物体的形状和大小,而不考虑其他因素,那么
由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.
(2)一般地,由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围
成多面体的各个多边形叫做多面体的面;两个面的公共边叫
(2)底面是正多边形,并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱
锥叫做正棱锥
3.(1)棱锥最少有
(2)五棱锥一共有
答案:(1)4 (2)10
个面.
条棱.
四、棱台的概念及结构特征
1.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的
8.1 第一课时 棱柱、棱锥、棱台
图形及表示
相关概念 特殊情形
棱柱
有两个面互
底面(底)：两
直棱柱：侧
相平行，其余
个互相平行
棱垂直于底
各面都是四
的面
面的棱柱
边形，并且相
侧面：除底面
斜棱柱：侧
邻两个四边
外，其余各面
形的公共边
记作：棱柱
棱不垂直于 侧棱：相邻侧
都互相平行， ABCDEF- 面的公共边 底面的棱柱
由这些面所
A′B′C′D′
正棱柱：底 顶点：侧面与
[答案] D
判断一个几何体是不是棱柱，关键看它是否具备棱柱的 三个本质特征：
(1)有两个面互相平行； (2)其余各面都是平行四边形； (3)每相邻两个四边形的公共边都互相平行． [注意] 以上三个本质特征缺一不可．
[跟踪训练]
(多选)下列关于棱柱的说法正确的是
()
A．所有的棱柱两个底面都平行
B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面都是四边形，每
2．下列棱锥有 6 个面的是 A．三棱锥 C．五棱锥
B．四棱锥 D．六棱锥
()
解析：由棱锥的结构特征可知，五棱锥有 6 个面．故选 C．
答案：C
3．下面属于多面体的是______(将正确答案的序号填在横线上)． ①建筑用的方砖；②埃及的金字塔；③茶杯；④球． 解析：由多面体的结构特征可知，①②是多面体，而③④是 旋转体． 答案：①②
[名师点津]
1．棱柱、棱锥、棱台的关系 在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用 下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例)．
2．各种棱柱之间的关系 (1)棱柱的分类
棱柱直棱柱正 一棱 般柱 的直 底棱面柱为正多边形 斜棱柱
高中数学 第八章 立体几何初步 8.1 第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征习题(含解析)新人教A版
第八章立体几何初步8.1基本立体图形第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征课后篇巩固提升基础达标练1.(多选题)关于简单几何体的结构特征,下列说法正确的是()A.棱柱的侧棱长都相等B.棱锥的侧棱长都相等C.三棱台的上、下底面是相似三角形D.有的棱台的侧棱长都相等,棱锥的侧棱相交于一点但长度不一定相等.2.下面多面体中,是棱柱的有()A.1个B.2个C.3个D.4个,知这4个图都满足.3.如图,在三棱台A'B'C'-ABC中,截去三棱锥A'-ABC,则剩余部分是() A.三棱锥 B.四棱锥C.三棱柱D.三棱台A'-BCC'B'.4.下列说法错误的有()①有一个面是多边形,其余各面都是三角形,由这些面围成的多面体是棱锥;②如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形,那么这个棱锥可能为六棱锥;③如果一个棱柱的所有面都是长方形,那么这个棱柱是长方体.A.0个B.1个C.2个D.3个,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥,即其余各面的三角形必须有公共的顶点,故①错误;当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360°时,各侧面构成平面图形,故②错误;若每个侧面都是长方形,则说明侧棱与底面垂直,又底面也是长方形,符合长方体的定义,故③正确.5.在下列四个平面图形中,每个小四边形皆为正方形,其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的图形是(),看哪一个可以折叠围成正方体即可.6.如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A.棱柱B.棱台C.棱柱与棱锥的组合体D.不能确定.∵平面AA1D1D∥平面BB1C1C,∴有水的部分始终有两个平面平行,而其余各面都是平行四边形(水面与两平行平面的交线),因此呈棱柱形状.7.一个棱柱有10个顶点,所有的侧棱长的和为60 cm,则每条侧棱长为cm.棱柱有2n个顶点,因为此棱柱有10个顶点,所以此棱柱为五棱柱.又棱柱的侧棱都相等,五条侧棱长的和为60 cm,可知每条侧棱长为12 cm.8.一个几何体的表面展开平面图如图.(1)该几何体是哪种几何体;(2)该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面?与“你”字面相对的是哪个面?该几何体是四棱台.(2)与“祝”字面相对的面是“前”字面,与“你”字面相对的面是“程”字面.9.按下列条件分割三棱台ABC-A1B1C1(不需要画图,各写出一种分割方法即可).(1)一个三棱柱和一个多面体;(2)三个三棱锥.在AC上取点D,使DC=A1C1,在BC上取点E,使EC=B1C1,连接A1D,B1E,DE,则得三棱柱A1B1C1-DEC 与一个多面体A1B1BEDA.(答案不唯一)(2)连接AB1,AC1,BC1,则可分割成三棱锥A-A1B1C1,三棱锥A-BCC1,三棱锥A-BB1C1.(答案不唯一)能力提升练1.(2020检测)一个棱锥的各条棱都相等,那么这个棱锥必不是()A.三棱锥B.四棱锥C.五棱锥D.六棱锥,正六边形共由6个等边三角形构成,设每个等边三角形的边长为r,正六棱锥的高为h,正六棱锥的侧棱长为l,由正六棱锥的高h、底面正六边形的边长r、侧棱长l构成直角三角形得,h2+r2=l2,故侧棱长l和底面正六边形的边长r不可能相等.故选D.2.(2020某某某某检测)设集合M={正四棱柱},N={长方体},P={直四棱柱},Q={正方体},则这四个集合之间的关系是()A.P⊆N⊆M⊆QB.Q⊆M⊆N⊆PC.P⊆M⊆N⊆QD.Q⊆N⊆M⊆P,正方体是特殊的正四棱柱,正四棱柱是特殊的长方体,长方体是特殊的直四棱柱,所以{正方体}⊆{正四棱柱}⊆{长方体}⊆{直四棱柱},故选B.3.(2020全国高一课时练习)下图代表未折叠正方体的展开图,将其折叠起来,变成正方体后的图形是(),变成正方体后的图形中,相邻的平面中三条线段是平行线,排除A,C;相邻平面只有两个是空白面,排除D;故选B.4.(2020某某黄冈检测)下列说法正确的有个.①棱台的侧棱都相等;②正棱锥的侧面是等边三角形;③底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.错误,根据棱台的定义可知,棱台的侧棱不一定都相等,故此说法是错误的;②错误,正棱锥的侧面都是等腰三角形,不一定是等边三角形,故错误;③错误,由已知条件知,此三棱锥的三个侧面未必全等,所以不一定是正三棱锥.如图所示的三棱锥中有AB=AD=BD=BC=CD,满足底面△BCD为等边三角形,三个侧面△ABD,△ABC,△ACD都是等腰三角形,但AC长度不一定,三个侧面不一定全等,故错误.5.如图,在边长为2a的正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P.问:(1)折起后形成的几何体是什么几何体?(2)这个几何体共有几个面,每个面的三角形有何特点?(3)每个面的三角形面积为多少?如图,折起后的几何体是三棱锥.(2)这个几何体共有4个面,其中△DEF为等腰三角形,△PEF为等腰直角三角形,△DPE和△DPF 均为直角三角形.(3)S△PEF=a2,S△DPF=S△DPE=×2a×a=a2,S△DEF=S正方形ABCD-S△PEF-S△DPF-S△DPE=(2a)2-a2-a2-a2=a2.素养培优练如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=4,A1A=5,现有一只甲壳虫从点A出发沿长方体表面爬行到点C1来获取食物,试画出它的最短爬行路线,并求其路程的最小值.,如图,有三种情况.对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC1的长分别为,由此可见乙是最短线路,所以甲壳虫可以先在长方形ABB1A1内由A到E BE=,再在长方形BCC1B1内由E到C1,也可以先在长方形AA1D1D内由A到F D1F=,再在长方形DCC1D1内由F到C1,其最短路程为.。
基本立体图形 课时1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征 高一数学(人教A版2019必修第二册)
图示及相关概念
底面：两个互相平行的面.侧面：底面以外的其余各面.侧棱：相邻侧面的公共边.顶点：侧面与底面的公共顶点
分类
按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱
2.棱锥的结构特征
定义
有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫作棱锥
[解析] 由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面，中间部分有8个面，下部分有9个面，共有 （个）面.
作中间部分的横截面，由题意知，该截面为各顶点都在边长为1的正方形上的正八边形 ，如图，设其边长为 ，则正八边形的边长为半正多面体的棱长.连接 ，过点 ， 分别作 ， ，垂足分别为 ， ，则 .又 ，所以 ，解得 ，所以半正多面体的棱长为 .
第八章 立体几何初步
8.1 基本立体图形
课时1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
学习目标
1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征.（数学建模）
2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.（逻辑推理）
3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算.（数学运算）
B
[解析] （1）①中的平面不一定平行于底面，所以不一定是棱台，故①错误；②③可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点的几何体不是棱台，故②③错误.
（2）由棱锥的定义，知棱锥的各个侧面都是三角形，故①正确；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面，故②正确；棱锥的侧棱交于一点，不平行，故③错误.
二、棱锥、棱台的结构特征
例3 （1）有下列三种说法：①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.其中正确的说法有( ).A.0个B.1个C.2个D.3个
新人教A版高中数学必修2课件：8.1 第一课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
分类 由几棱锥截得，如三棱台、四棱台……
[微思考] (1)棱柱的侧面一定是平行四边形吗？ 提示：根据棱柱的概念可知，棱柱的侧面一定是平行四边形． (2)棱台的上、下底面互相平行，各侧棱延长线一定相交于一点吗？ 提示：根据棱台的定义可知其侧棱延长线一定交于一点．
(二)基本知能小试 1．判断正误：
(1)棱柱的底面互相平行． (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥． (3)长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体． 2．下面多面体中，是棱柱的有
第八章|立体几何初步
8．1 基本立体图形
第一课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
明确目标
发展素养
1.利用实物模型、计算机软件等 1.通过对棱柱、棱锥、棱台的结构特征的
观察空间图形，认识棱柱、 理解，培养直观想象、数学抽象素养．
棱锥、棱台的结构特征． 2.通过认识棱柱、棱锥、棱台的关系，及
2.能运用这些结构特征描述现实 利用它们的结构特征描述简单物体的结构，
[解] (1)平面展开图如图所示：
(2)沿长方体的一条棱剪开，使 A 和 C1 展在同一平面上， 求线段 AC1 的长即可，有如图所示的三种剪法：
①若将 C1D1 剪开，使面 AB1 与面 A1C1 共面，可求得 AC1 ＝ 42＋5＋32＝ 80＝4 5.
②若将 AD 剪开，使面 AC 与面 BC1 共面，可求得 AC1＝ 32＋5＋42＝ 90＝3 10.
(2)A 中的几何体不是由棱锥截来的，且上、下底面不是相似的图形，所以 A 不 是棱台；B 不是棱台；C 中的几何体是棱锥；D 中的几何体前、后两个面平行，其他 面是平行四边形，且每相邻两个平行四边形的公共边平行，所以 D 是棱柱．判断正 确的是 C、D.
8.1 第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征(课件)高一数学同步精品课堂(新教材人教版必修第二册)
如图，在以 O 为顶点的三棱锥中，过点 O 的三条棱，任意两条棱的夹角 都是 30°，在一条棱上有 A，B 两点，OA＝4，OB＝3，以 A，B 为端点用一 条绳子紧绕三棱锥的侧面一周(绳和侧面无摩擦)，求在 A，B 之间的最短绳长．
解：作出三棱锥的侧面展开图，如图．A，B 两点之间的最短绳 长就是线段 AB 的长度．因为 OA＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，所以 AB＝5，即 A，B 之间的最短绳长为 5.
探究归纳 2
对多面体形状的认识
【例 2】如图，四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 被平面 BCEF 所截得的两部分分别是怎样的几何体？若几 何体 ABCD-A1FED1 是棱柱，指出它的底面和侧面．
解：所截两部分分别是四棱柱和三棱柱，几何体 ABCD -A1FED1 是四棱柱，它的底面是平面 ABFA1 和平面 DCED1，侧面为平面 ABCD， 平面 BCEF，平面 ADD1A1 和平面 A1D1EF，侧面均为平行四边形．
A 解析：①错误，底面为正六边形的棱柱相对的两个侧面互相 平行，但不能作为底面；
②错误，如图所示的几何体各面均为三角形，却不是三棱锥；
③错误，因为不能保证侧棱所在直线相交于同一点； ④错误，四棱锥只有一个顶点，就是各侧面的公共顶点．
棱柱、棱锥、棱台的定义是识别和区分多面体结构特征的关键．因 此，在解决多面体的结构特征问题时，先看是否满足定义，再看它们 是否具备各自的性质：侧面、底面形状、侧棱、棱之间的关系等．判 断时要充分发挥空间想象能力，必要时可借助于几何模型．
用一个平行于棱
锥底面 的平面去
棱台 截棱锥，底面和截
面之间的那部分
多面体叫做棱台
如图可记作：棱台
ABCD A′B′C′D′
棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积
=
1 2
na h'
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③棱台的表面积 棱台的表面积 = 侧面积+底面积.
h'
棱台
1.正棱台的上底面的周长为c'，下底面的周长为c，斜高为h'，
正棱台的侧面积是
1 S正棱台侧 = 2
c + c'
h'
例题讲解 LOGO
例1 如图，四面体P-ABC各棱长均为a，求它的表面积.
解：∵∆PBC是正三角形，其边长为a，
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1. 多面体的展开图和表面积
问题1展在开初图中已 面经积学与过其正表方面体积和有长什方么体关的系表？面积，你知道正方体和长方体的展 开图的样子吗？
几何体表面积 展开图
平面图形面积
空间问题
平面问题
转化思想
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多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．
也就是说求多面体的表面积关 键在于知道展开图是怎么样的！
（429年~500年）
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探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系：
A
C
B
A
C
B
如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积 是棱锥的体积的3倍．
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②棱锥的体积公式 一般地，如果棱锥的底面面积为S，高为h，那么这个棱锥的体积
棱锥的高是指从顶点向底面作垂线， 顶点与垂足之间的距离.
注意：三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换，四面体的每一个面都可以作为底面，可以 求点到面的距离. ——等体积法
探究新知 ③棱台的体积公式
LOGO
由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个棱锥的
高中数学第八章立体几何初步8.1基本立体图形第1课时棱柱、棱锥、棱台a必修第二册a高一第二册数学
2．对于棱柱的定义注意以下三个方面： (1)有两个面互相平行，各侧棱都平行，各侧面都是平行四 边形． (2)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一 定是棱柱． (3)从运动的观点看，棱柱可以看成是一个平面多边形，从 一个位置沿一条不与其共面的直线运动到另一位置时，形成的几 何体．
A．棱柱
B．棱台
C．棱柱与棱锥的组合体 D．不能确定
解析：符合棱柱的定义．
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内容(nèiróng)总结
第八章
No Image
12/7/2021
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[变式训练 1] 如图，已知长方体 ABCD-A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ (2)用平面 BCFE 把这个长方体分成两部分后，各部分形成 的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，请说明理 由．
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解：(1)是棱柱，并且是四棱柱．因为以长方体相对的两个 面作为底面，则底面都是四边形，其余各面都是矩形，矩形当 然是平行四边形，并且几何体的四条侧棱互相平行．
(2)截面 BCFE 上方的部分是棱柱，且是三棱柱 BEB1-CFC1， 其中△BEB1 和△CFC1 是底面．
截 面 BCFE 下 方 的 部 分 也 是 棱 柱 ， 且 是 四 棱 柱 ABEA1-DCFD1，其中四边形 ABEA1 和四边形 DCFD1 是底面．
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类型二
解析：用平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面和底面之 间的部分叫做棱台，A，B，D 正确，选 C.
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课堂达标练经典
第八章 §8.1 第1课时 棱柱、棱锥、棱台
第1课时棱柱、棱锥、棱台[学习目标] 1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征．(重点)2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算．(难点)导语立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学分支，在解决实际问题中有着广泛的应用．我们将从对空间几何体的整体观察入手，从我们身边熟悉的几何体出发，研究它们的结构特征，学习它们的表示方法，了解它们的表面积和体积的计算方法；借助长方体，从构成立体图形的基本元素——点、线、面入手，研究它们的性质以及相互之间的位置关系，特别是对直线、平面的平行与垂直的关系展开研究，从而进一步认识空间几何体的性质，今天，我们先来了解空间几何体的结构特征．一、空间几何体、多面体、旋转体的定义问题1观察下列物体，它们有什么特点？提示可以发现，纸箱、金字塔、茶叶罐、水晶萤石、储物箱等物体有相同的特点：围成它们的每个面都是平面图形，并且都是平面多边形；纸杯、腰鼓、奶粉罐、篮球和足球、铅锤等物体也有相同的特点：围成它们的面不全是平面图形，有些面是曲面．知识梳理1．空间几何体：如果我们只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．2．多面体、旋转体类别多面体旋转体定义一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体图形相关概念面：围成多面体的各个多边形；棱：两个面的公共边；顶点：棱与棱的公共点轴：形成旋转体所绕的定直线二、棱柱的结构特征知识梳理1．棱柱的结构特征棱柱定义有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱图形及表示图中的棱柱记作棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′相关概念底面：两个互相平行的面；侧面：其余各面；侧棱：相邻侧面的公共边；顶点：侧面与底面的公共顶点分类按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……2．几个特殊的棱柱(1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱(如图①③)；(2)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱(如图②④)；(3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱(如图③)；(4)平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体(如图④)．例1(1)(多选)下列关于棱柱的说法，正确的是()A．所有的面都是平行四边形B．每个面都不会是三角形C．两底面互相平行，并且各侧棱也互相平行D．被平面截成的两部分可以都是棱柱答案CD解析A错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；B错误，棱柱的底面可以是三角形；C正确，由棱柱的定义易知；D正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱．(2)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点．①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．解①是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义．②截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1. 反思感悟棱柱结构的辨析方法(1)扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是是否符合棱柱的定义．①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是平行四边形．②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除．跟踪训练1下列命题中正确的是()A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形答案 D解析A项，如图，满足有两个面互相平行，其余各面都是四边形，但该几何体不是棱柱，故A不正确；B项，正六棱柱中有四对互相平行的面，但只有一对面为底面，故B不正确；C项，长方体、正方体的底面都是平行四边形，故C不正确，D正确．三、棱锥的结构特征问题2图中的多面体具有怎样的特点？提示通过观察图形我们可以发现，共同特点是均由平面图形围成，其中一个面为多边形，其余各面都是三角形，且这些三角形有一个公共顶点．知识梳理棱锥定义有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥图形及表示图中的棱锥记作棱锥S—ABCD 相关概念底面：多边形面；侧面：有公共顶点的各个三角形面；侧棱：相邻侧面的公共边；顶点：各侧面的公共顶点分类(1)按底面多边形的边数来分，可以分为：三棱锥、四棱锥……，其中三棱锥又叫四面体；(2)底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥例2(多选)下列说法中，正确的是()A．棱锥的各个侧面都是三角形B．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面C．棱锥的侧棱互相平行D．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥答案AB解析由棱锥的定义知，棱锥的各个侧面都是三角形，故A正确；四面体是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面，故B正确；棱锥的侧棱交于一点，不平行，故C错误；棱锥的侧面是有一个公共顶点的三角形，如图所示的几何体均满足条件，但都不是棱锥，故D错误．反思感悟类比棱柱结构的辨析方法，棱锥结构的辨析方法有2种(1)直接法(扣定义)：①看面：即观察这个多面体有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形；②看线：即观察侧棱是否相交于一点．(2)举反例．跟踪训练2下列说法中正确的是()A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥B．各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥C．各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥D．底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥答案 D解析对于A，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，A错误；对于B，各侧面都是面积相等的等腰三角形，但无法保证各个等腰三角形全等且腰长均为侧棱长，B错误；对于C，各侧面都是全等的等腰三角形，但无法保证等腰三角形的腰长为侧棱长，C错误；对于D，底面是正多边形，各侧面是全等三角形，则可以保证顶点在底面的射影为底面中心，满足正棱锥定义，D正确．四、棱台的结构特征问题3如果用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，想象一下，截得的下部分具有怎样的特点？提示截得的下部分上、下两个面互相平行且相似，各侧面为梯形．知识梳理棱台定义用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台图形及表示图中的棱台记作棱台ABCD—A′B′C′D′相关概念上底面：平行于原棱锥底面的截面；下底面：原棱锥的底面；侧面：其余各面；侧棱：相邻侧面的公共边；顶点：侧面与上、下底面的公共顶点分类由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……例3(多选)下列选项中，不正确的是()A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台D．棱台的侧棱延长后必交于一点答案ABC解析A中的平面不一定平行于底面，故A错；B，C可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故B，C错；由棱台的定义知，D正确．反思感悟判断棱锥、棱台形状的两个方法(1)举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点跟踪训练3下面四个几何体中，为棱台的是()答案 C解析A项中的几何体的两个底面不平行，不是棱台；B项中的几何体是棱锥；C项中的几何体符合棱台的定义，是棱台；D项中的几何体的棱AA′，BB′，CC′，DD′没有交于一点，则D项中的几何体不是棱台．1．知识清单：(1)多面体、旋转体的定义．(2)棱柱、棱锥、棱台的结构特征．2．方法归纳：举反例法，定义法．3．常见误区：棱台的结构特征认识不清．1．下列多面体中，是棱柱的有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案 D解析根据棱柱的定义进行判定知，这4个图都满足棱柱的定义，都是棱柱．2．有一个多面体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为()A．四棱柱B．四棱锥C．三棱柱D．三棱锥答案 B解析根据棱锥的定义可知该几何体是四棱锥．3．(多选)下列说法不正确的是()A．棱台的两个底面相似B．棱台的侧棱长都相等C．棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形答案BCD解析由棱台的定义知A正确，B，C不正确；棱柱的侧棱都相等且互相平行，且侧面是平行四边形，但侧面并不一定全等，D不正确．4．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________ cm.答案12解析棱柱有10个顶点，则该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，且侧棱长都相等，故侧棱长为60＝12(cm)．51．有两个面互相平行的多面体不可能是()A．棱柱B．棱锥C．棱台D．以上都错答案 B解析由棱锥的结构特征可得．2．下列关于棱柱的说法中，错误的是()A．三棱柱的底面为三角形B．一个棱柱至少有五个面C．若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等D．五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形答案 C解析显然A正确；面数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确；当棱柱是斜棱柱时，则侧面是不全全等的平行四边形，故C错误；D正确．3．下列说法正确的是()A．连接多面体的任意两个顶点，便可得到其一条面对角线B．多面体最少有四个面C．棱锥的截面不可能是正方形D．多面体由它的几个面构成答案 B解析连接多面体同一面上的两个顶点，可以得到此多面体的棱或面的对角线，故A错误；面数最少的多面体为四面体，故B正确；正四棱锥平行于底面的截面是正方形，故C错误；多面体由它的几个面及这几个面围成的空间部分构成，故D错误．4．设集合M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}，Q＝{正方体}，则这四个集合之间的关系是()A．P N M Q B．Q M N PC．P M N Q D．Q N M P答案 B解析根据定义知，正方体是特殊的正四棱柱，正四棱柱是特殊的长方体，长方体是特殊的直四棱柱，所以{正方体}{正四棱柱}{长方体}{直四棱柱}，故选B.5．(多选)一个几何体有6个顶点，则这个几何体可能是()A．三棱柱B．三棱台C．五棱锥D．四面体答案ABC解析对于A，三棱柱的顶点是上下两个三角形的顶点，有6个，满足题意；对于B，三棱台的顶点是上下两个三角形的顶点，有6个，满足题意；对于C，五棱锥的顶点是底面五边形的顶点及一个各侧棱的交点，有6个，满足题意；对于D，四面体的顶点个数为4，不满足题意．6．(多选)下列说法错误的是()A．棱台的侧面可以是平行四边形B．底面是正三角形，且各侧棱相等的三棱锥是正三棱锥C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体答案AC解析棱台的侧面一定是梯形，不可能是平行四边形，故A错误；根据棱锥的概念知，B正确；当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360°时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确．7.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位是________．答案北8．在正方体上任意选择4个顶点，则由这四个顶点围成的几何体可以是________．答案正三棱锥(或正四面体)(答案不唯一)9.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？ (2)若正方形边长为2a ，则每个面的面积为多少？ 解 (1)如图，折起后的几何体是三棱锥．(2)S △PEF ＝12a 2，S △DPF ＝S △DPE ＝12×2a ×a ＝a 2，S △DEF ＝S正方形ABCD －S △DPF －S △DPE －S △PEF ＝2a ×2a －a 2－a 2－12a 2＝32a 2.10．试从正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的八个顶点中任取若干个，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥； (2)四个面都是等边三角形的三棱锥； (3)三棱柱．解 (1)如图①所示，三棱锥A 1－AB 1D 1(答案不唯一)． (2)如图②所示，三棱锥B 1－ACD 1(答案不唯一)． (3)如图③所示，三棱柱A 1B 1D 1－ABD (答案不唯一)．11．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数为( ) A ．20 B ．15 C ．12 D ．10 答案 D解析 如图，在五棱柱ABCDE －A 1B 1C 1D 1E 1中，从顶点A 出发的对角线有两条，AC 1，AD 1，同理从顶点B ，C ，D ，E 出发的对角线均有两条，共2×5＝10(条)．12．如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是( )A ．A 1B 1＝2，AB ＝3，B 1C 1＝3，BC ＝4B ．A 1B 1＝1，AB ＝2，B 1C 1＝1.5，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝3 C ．A 1B 1＝1，AB ＝2，B 1C 1＝1.5，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝4D ．AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，CA ＝C 1A 1 答案 C解析 选项A 中A 1B 1AB ≠B 1C 1BC ，故A 不符合题意；选项B 中B 1C 1BC ≠A 1C 1AC ，故B 不符合题意；选项C 中A 1B 1AB ＝B 1C 1BC ＝A 1C 1AC ，故C 符合题意；选项D 中满足这个条件的可能是一个三棱柱，不可能是三棱台．13．(多选)下列说法正确的有( ) A ．在棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B ．由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥 C ．棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥D ．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可能有4个 答案 ABD解析 A 项，由棱柱的定义知A 正确；B 项，由四个平面围成的封闭图形是四面体，也就是三棱锥，故B 正确；C 项，如图(1)，四棱锥被△ACP 所在的平面截成的两部分都是棱锥，故C 错误；D 项，如图(2)，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中取四棱锥A 1－ABCD ，则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形．图(1)图(2)14．(多选)正方体截面的形状有可能为()A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形答案ABD解析在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面ACD1为正三角形，平行于底面的所有截面都是正方形，分别取AB，BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A六条棱的中点，顺次连接这六个点所得的六边形为正六边形，所以选项A，B，D正确．若截面为五边形，则必有两组对边平行，所以不可能为正五边形，故选项C错误．15.如图，在三棱锥V－ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面AEF，则△AEF周长的最小值为________．答案4 2解析将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长即为所求△AEF周长的最小值．∵∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，∴∠AVA1＝90°.又VA＝VA1＝4，∴AA1＝4 2.∴△AEF周长的最小值为4 2.16.经过三棱柱的三个顶点作截面，可以将三棱柱分割成几个三棱锥？试在如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中设计出分割方案．(请设计尽可能多的方案)解一个三棱柱可以分割成3个三棱锥，有如下六种方案：。
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新教材高中数学第八章立体几何初步8.1基本立体图形（第1课时）棱柱、棱锥、棱台的结构特征应用案巩固提升新人教A 版必
修第二册
[A 基础达标]
1．下列说法正确的是( )
A ．棱柱的底面一定是平行四边形
B ．棱锥的底面一定是三角形
C ．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
D ．棱柱被平面分成的两部分可能都是棱柱
解析：选D.棱柱和棱锥的底面可以是任意多边形，故选项A 、B 均不正确；可沿棱锥的侧棱将其分割成两个棱锥，故C 错误；用平行于棱柱底面的平面可将棱柱分割成两个棱柱．
2．具备下列条件的多面体是棱台的是( )
A ．两底面是相似多边形的多面体
B ．侧面是梯形的多面体
C ．两底面平行的多面体
D ．两底面平行，侧棱延长后交于一点的多面体
解析：选D.由棱台的定义可知，棱台的两底面平行，侧棱延长后交于一点．
3．如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是( )
A ．A 1
B 1＝2，AB ＝3，B 1
C 1＝3，BC ＝4
B ．A 1B 1＝1，AB ＝2，B 1
C 1＝1.5，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝3
C ．A 1B 1＝1，AB ＝2，B 1C 1＝1.5，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝4
D ．AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，CA ＝C 1A 1
解析：选C.根据棱台是由棱锥截成的进行判断．
选项A 中A 1B 1AB ≠B 1C 1BC ，故A 不正确；选项B 中B 1C 1BC ≠A 1C 1AC ，故B 不正确；选项C 中A 1B 1AB ＝B 1C 1BC ＝A 1C 1AC
，故C 正确；选项D 中满足这个条件的可能是一个三棱柱，不是三棱台．故选C. 4．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是( )
A．三棱锥B．四棱锥
C．五棱锥D．六棱锥
解析：选D.由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥．
5．下列图形中，不能折成三棱柱的是( )
解析：选C.C中，两个底面均在上面，因此不能折成三棱柱，其余均能折成三棱柱．6．四棱柱有________条侧棱，________个顶点．
解析：四棱柱有4条侧棱，8个顶点(可以结合正方体观察求得)．
答案：4 8
7．一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．解析：面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．
答案：5 6 9
8．在下面的四个平面图形中，是侧棱都相等的四面体的展开图的为__________．(填序号)
解析：由于③④中的图组不成四面体，只有①②可以．
答案：①②
9．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：
(1)由6个平行四边形围成的几何体；
(2)由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；
(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．
解：(1)这是一个上、下底面是平行四边形，4个侧面也是平行四边形的四棱柱．
(2)这是一个六棱锥．
(3)这是一个三棱台．
10．画出如图所示的几何体的表面展开图．
解：表面展开图如图所示：(答案不唯一)
[B 能力提升]
11．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱共有对角线( )
A．20条B．15条
C．12条D．10条
解析：选D.如图，在五棱柱ABCDE A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角
线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共有2×5
＝10(条)．
12．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面( )
A．至多有一个是直角三角形
B．至多有两个是直角三角形
C．可能都是直角三角形
D．必然都是非直角三角形
解析：选C.注意到答案特征是研究侧面最多有几个直角三角形，这是
一道开放性试题，需要研究在什么情况下侧面的直角三角形最多．在如图所
示的长方体中，三棱锥AA1C1D1的三个侧面都是直角三角形．
13．长方体ABCDA1B1C1D1的长、宽、高分别为3，2，1，从A到C1沿长
方体的表面的最短距离为________．
解析：结合长方体的三种展开图不难求得AC1的长分别是：32，25，26，显然最小值是3 2.
答案：3 2
14．如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面BCEF把这个长方体分成两部分，各部分几何体的形状是什么？
解：(1)是棱柱．是四棱柱．因为长方体中相对的两个面是平行的，其余的每个面都是矩形(四边形)，且每相邻的两个矩形的公共边都平行，符合棱柱的结构特征，所以是棱柱．
(2)各部分几何体都是棱柱，分别为棱柱BB1FCC1E和棱柱ABFA1DCED1.
[C 拓展探究]
15．如图，在一个长方体的容器中装有少量水，现在将容器绕着其底部
的一条棱倾斜，在倾斜的过程中：
(1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四
边形，对吗？
(2)水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？
(3)如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，试着讨论水面和水的形状．
解：(1)不对，水面的形状就是用一个与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状，因而是矩形，不可能是其他非矩形的平行四边形．
(2)不对，水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后，剩余部分的几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱；但不可能是棱台或棱锥．
(3)用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形，因而水面的形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形；水的形状可以是棱锥，棱柱，但不可能是棱台．。