含有p-Laplacian算子n阶多点边值问题在共振条件下非负解的存在性

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含Hardy位势的局部超线性p-Laplacian方程多重解的存在性

Ｉｓｌ —
ｓＩ１ ‘
对 ∈ 一致成立．
△ ｕ＝ｄｉｖ（ＩＶｕｌＶＵ）
当Ｐ不恒等于２时，本文假设非线性项满足局
部超线性条件
ｌｉｍ
『ｓｌ — Ｉｓ１
为Ｐ—Ｌａｐｌａｅｉａｎ算子．设Ｉ厂（，ｕ）∈Ｃ（ × Ｒ，Ｒ），存在ｒ＞０及Ｐ＜ｑ＜
（Ｈ１）汶为的一个正测庋子集，使得
ｌｉｍ：＋ ∞
｝ｓｌ一ＩＩ
对所有 ∈ 和 ≥ Ｌ成立，其中Ｆ（ｘ，ｓ）＝ＪＩ厂（，
收稿ｆｊ期：２０１ｌ — ｌ１一Ｏ４
旌金项 ¨：国家ｆｌ然科学基金（１１１６１０４１）资助项目
１引言与主要结果
考虑含Ｈａｒｄｙ位势的Ｐ— Ｌａｐｌａｃｉａｎ方程边值问题
ｔ）ｄｔ
条件（ＡＲ）可以推出非线性项．厂（，ｓ）是超线性的，但是很多超线性函数并不满足条件（ＡＲ）．已有文献将条件（ＡＲ）推广为更广泛的超线性
张申贵：含Ｈａｒｄｙ位势的局部超线性Ｐ— Ｌａｐｌａｃｉａｎ方程多重解的存在性
８３７
≥ 一ｈ（），对所有 ∈ 力和ｓ ∈Ｒ成立；
引理２．１。设为实Ｂａｎａｃｈ空间，Ｅ＝ｏ
，
（Ｈ２）存在常数Ｌ＞０，Ｃ＞０，当ｆｓｌ ≥ 时有

带p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题在无穷区间中解的存在性

ｏｎａｎｕｎｂｏｕｎｄｅｄｄｏｍａｉｎａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓｆｒａｃｔｉｏｎｌａｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎ；ｂｏｕｎｄａｒｙｖｌｕａｅｐｏｂｒｌｅｍ；ｉｎｉｆｎｉｔｅｉｎｔｅｒｖｌ；ｆａｉｘｅｄｐｏｉｎｔｔｈｅｏｒｅｍ
近年来，分数阶微分方程在国内外引起了极大的研究兴趣，特别是边值问题解的存在性４。．据作者所
知，目前很少有学者研究带ｐ－Ｌａｐｌａｃｉａｎ算子的分数阶微分方程边值问题解的存在性剖，尤其是无穷区间中
解的存在性研究甚少．无穷区间上的边值问题在物理学、自然科学等领域中有很多实际应用，如不稳定的气体通过半无穷带气孔媒介问题，孤立中子的电势问题等－ｌ０］．因此，对它的研究具有重要的意义．受以上文献的启发，本文主要利用Ｓｃｈａｕｄｅｒ不动点定理研究如下一类带Ｐ — Ｌａｐｌａｃｉａｎ算子的分数阶微分方程边值问题在无穷区间中解的存在性：『＋咖（＋（ｔ））；ｔ，ｕ（ｔ），：（ｔ）），ｔＥ（０，＋Ｏ０），
２．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆｃｉＳｅｎｃｅｓ．ＣｈｉｎａＵｎｉｖｅｓｉｒｔｙｏｆＭｉｎｉｎｇａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｘｕｚｈｏｕ２２１１１６，Ｃｈｉｎａ）

一类p—Laplacian差分方程两点边值问题正解的存在性

划项目（０ＬＩ２Ｊ８５）
作者简介：明明（９９）男，东莒南人，读硕士，事微分方程与差分方程边值问题研究．王１７一，山在从
８把上式从１ｓ到进行和运算，得
滨州学院学报
事实上，（）由１得．
（３）
△ （ｕ￡１）［ｚ（一）］一一ｆｔ“ ￡）Ｓ（，（）．
收稿日期：０８ｇ～８２０一Ｏ２
基金项目：国家自然科学基金资助项目（０７１８，东省自然科学基金资助项目（２０Ａ０）山东省教育厅科技计１７１１）山Ｙ０７８，
ｆ。， ∈ｌＴ＿］
Ｉ（）ｌ令Ｅ一｛：ｏＴ＋２一Ｒｌ “ ０ “ ， “［，］ △ （）一 “ Ｔ＋２（）一０，｝
Ｐ一｛ “∈ Ｅ：（）０ｔ［，２，（）≥ （）【ｌ， “ ￡ ≥ ，Ｅ０Ｔ４］ “ ￡－￡ｌ｝ “ｌ
把上式从ｔＴ＋１行和运算，由（）即可得到到进再２
１＋１＿
（一∑ （ｆｉ（）￡） ∑ （“ ）．，）
在本文中，义范数Ｉｌ— 定ｌ “ｌ则（Ｉ１Ｅ，ｌＩ．）为Ｂｎｃａａｈ空间．
定义锥Ｐ：
ｍａｘ
王明明
（．１曲阜师范大学数学系，山东曲阜２３６；７１５
２滨州学院数学与信息科学系，．山东滨州２６０）５６３

带权的p-Laplacian非线性特征值问题解的存在性

摘要：该文利用变分方法讨论了方程一△ｐ＝Ａ（）ｕ一（））＋／ｘ）＂∈ ａｘ（）一ｎ（一（，，ｔｉ
ｗｄ（）当Ｐ≠ ｑ时的可解性．Ｑ，其中Ｑ是 Ⅳ Ｎ２３中的有界光滑区（）域，权重函数
ａｘ ∈Ｌ（）（丙＿且。ｚ＞０ａ．Ｑ，满足某些条件．（）ｒ，Ｎ而）Ｑｒ Ⅳ ｐ（），－于，ｅ
维普资讯
Ｎ．ｏ６
林丽珊等：带权的ｐＬｐａｉｎ非线性特征值问题解的存在性－ａｌｃａ
９７９
＞Ａ）对应一个【上正的特征函数１ ’ 【ｎＣ（）易知（，）（２）ｐ１，１２ ∈ ２Ｑ．（）ｌ，， ∈∑ ，１２显然 ∑ 包含两条平凡谱曲线Ａ × ×Ａ，１，１应用文献［的定理３的结论易证（．式存２］．１１）２在第一条非平凡Ｐｌｕｉ曲线．ｋ谱当Ｐ≠ｑｆｘｉ一０ａｘ＝１时，方程，（，），（）ｔ二
ａｅ．．于Ｑ．
当Ｐ＝ｑｆｘ）且（，＝０时，方程（．）１１就转化为下列方程
ｌ：，＼０ “
“
（．１）２
Ｘ ∈
２．
Ｅ＝｛Ａ ∈ ，程（．）非平凡解）叫做方程（．的Ｆ￣（，方）１２有１）２ｕｉ．ｋ谱当＝时，上述的Ｆｅｕｉｋ谱为。形如（，）上ＡＡ的点的集合．其中为方程
关键词：－ａｌｃａ；ｐＬｐａｉｎ特征值问题；变分方法．

含导数项的p-Laplacian算子多点边值问题三个正解的存在性

ｌｍｅ
１问题的提出
考虑含有ＰＬｐｃｎ — ａｌｉ算子的微分方程ｍ点边ａａ
值问题
三个正解的存在性．
厂：０１ｘｏｏ）Ｒ一［＇∞）［，］［，ｏｘ＋０＋连续，
０＜ｌ＜２＜ … ＜一２＜１一２口＞０ｂ，＞０，ｉ＝１， … ，２，
Ａｂｔａｔｓｒｃ：Ｔｈｘｓｅｃｆｔｒｅｐｓｔｅｓｌｔｎｌｉｐｉｔｏｎａｙｖｌｅｐｏｌｍｆｄｆｅ— ｅｅｉｔｎｅｏｈｅｏｉｉｏｕｉｓｉａｍｕｔｏｎｓｂｕｄｒａｕｒｂｅｏｉｒｖｏｎ — ｆｅｔａｅｕｔｎｗｉＬｐａｉｎｏｅａｏｓｉｖｓｉａｅ．Ａｎｅｔｎｉｎｏｈｅｇｔ — ｉｉｓｎｉｌｑａｉｔａｐ－ａｌｃａｐｒｔｒｉｎｅｔｔｄｏｈｇｘｅｓｆｔｅＬｇｅｔＷｌａｏｌｍｆｅｏｎｈｏｍｔｌｅｎｕｆｉｎｏｄｔｎｆｒｔｅｅｉｔｎｅｏｈｅｓｔｅｓｌｔｎｓｉｄｐｉｔｔｅｒｉｕｉｚｄａｄａｓｆｉｅｔｃｎｉｉｏｈｘｓｅｃｆｔｒｅｐｉｖｕｉｓｉｘｓｉｃｏｏｉｏｏ
文章编号：０７—６３（０７０ —０１ —０１０７５２０）１０７５
含导数项的ｐＬｐａｉｎ算子多点边值－ａｌｃａ
问三个正解的存在性题
李春岭，刘锡平，贾梅，李高尚，李芳菲
（海理工大学理学院，海２０９）上上００３

一类p—laplace方程边值问题解的存在性

一类p—laplace方程边值问题解的存在性理解一类p-Laplace方程边值问题解的存在性：1. p—Laplace方程简介p—Laplace方程是一种常见的椭圆型偏微分方程，它在空间变换、热传导中也有广泛的应用。

它的解由p—Laplace方程决定：∂u/∂x+∂v/∂y=u^(p-2)f，其中p是大于等于1的任意常数，u，v是满足边界条件的函数，x，y是定义域内的坐标，f是常函数。

2. 一类p—Laplace方程边值问题的存在性一类p—Laplace方程的边值问题的存在性取决于其常数p的大小。

如果p大于1，那么该方程有唯一解；如果p小于1，那么该方程可能有无穷多解；如果p=1，则该方程常有唯一解，又有可能出现无穷多解。

3. p—Laplace方程边值问题解的存在性判定判定一类p—Laplace方程边值问题解的存在性，要仔细检查边界条件是否符合两个条件：（1）任意的边界函数都必须满足给定边界条件；（2）边界条件必须对所有满足方程组调和函数，如成反馈函数、空间变换函数等来施加有效制约。

缺一不可，边值问题解才能有存在性。

4. p＞1时一类p—Laplace方程边值问题解的存在性当p大于1时，p—Laplace方程边值问题解有唯一解。

这是因为二阶偏微分方程组只能有一个解， p大于1时，椭圆型经ene变换可以转化为二阶偏微分方程组，根据拓扑的余定理，二阶偏微分方程组必有唯一解，故这时候方程解有存在性。

5. p＜1时一类p-Laplace方程边值问题解的存在性当p小于1时，p—Laplace方程边值问题解可能有无穷多解。

这是因为当p＜1时，椭圆型经ene变换不能转化为二阶偏微分方程组，根据拓扑的余定理，任一条件的任何解，如满足给定的边界条件，都是经en变换回解法所得，因此这种情况下该方程解有无穷多解的存在性。

6. p=1时一类p—Laplace方程边值问题解的存在性当p等于1时，p—Laplace方程边值问题解存在性有两种情形：（1）如果边界条件符合两个条件（前面讲到），有唯一解；（2）另一种情形是，如果边界条件不完全符合两个条件，则可能出现无穷多解。

具P-Laplacian算子的混合边值问题正解的存在性

ｓｕｉｄｓｖｒｌｕｉｉｎｏｄｔｎｒｉｅｙａｆｅｏｎｅｒｍｎｃｎｓｔｄｅ，ｅｅａｆｃｅｔｎｉｏｓｓｃｉｗｅｅｇｖｎｂｘｄｐｉｔｈｏｅｏｏｅｉｔ
Ｋｅｒｓ尸一Ｌａａｉｎｏｅａｏ；ｏｅｆｅｏｎ；ｏｉｖｏｕｉｎｙｗｏｄ：ｐｌｃａｐｒｔｒｃｎ；ｘｄｐｉｔｐｓｔｅｓｌｔｓｉｉｏ
０ｆ（（＜ｆｒ
易知（）～＝
）＜ｏ通常样，４与一－ｏ
，其中一＋１：１．函数１
一
给出下述条件
（）＝ＯＧ：，，＝０；（）＝＋ｏ扣；：，ｏ三，
（３：，，Ｃ）＝０Ｌ＝＋ｏＣ）＝佃，ｏ；（ａ：，Ｌ＝０；
第１期
刘兴元：具ＰＬｐａｉｎ－ａｌｃ算子的混合边值问题正解的存在性ａ
７
正解的若干充分条件，与文【一１ｌ４研究的边值问题
定理
８
设（），（）成立，又ＨＨ：
ｆ＋（厂ｆ＝，＜＜ “ ｆ（（）０ｆ１））０Ｉ（）ｄ＝０ “ ０＝ｕ）
第７卷第１期
２１００年０３月
邵阳学院学报（自然科学版）
Ｊｕｎｌｆｈｏｙｎｎｅｓｙ（ａｕａＳｉｎｅＥｉｎ）ｏｒａｏａａｇＵｉｒｉＮｔｒｌｃｃｄｉＳｖｔｅｔｏ
Ｖ０．Ｎ０１１７．Ｍａ．００ｔ２１

具p-Laplacian算子时滞微分方程边值问题解的存在唯一性

＞ｏ使得任意的 ∈Ｕ，＞Ｔ，有Ｉｆ一ｌ，ｔｊ都（）ｉｓＩ。Ｅ为定义在（一ｒｏ）Ｒ）ｍ（）＜￡令［，ｏ，上的所有函数ｚ的集
合，且ｚ在［，。上连续可微且导数连续有界。Ｅ是一个Ｂｎｃ并０。）ａａｈ空间，定义其范数ｌ・ｌ为Ｉ一Ｉｌ￡Ｉｚ
ｍａｍｘＩ（），ｐＩｆ１，ｘ｛ａｚ￡Ｉｓ（））ｚ∈Ｅ。ｕｚ
一ｒＯ：手
引理１设ｚ ∈ｃ（一，ｃ）Ｒ）Ｏｏ）的连续可微函数，ｚ是边值问题（）（）Ｅ，ｏ上的［．ｏ，为［，ｏ上，则１～３在０ｏ）
一
个解，当且仅当
ｆｆ，（）
一
一ｒｆＯ， ≤ ≤
１翰。）ｆ。（ｆｆｔ。，） ≥ ｄｏ
（）５
定理１假设
ＩｔｚＩｆ（，） ≤Ｆ（，ｌＩ，ｆ２ ∈Ｅ，ｏｘｃ（一ｒ０，ｘＲ，，ｔＩ，２Ｉ（，）ｏｏ）），［，］Ｒ）
Ｊｎ２１ｕ．０２
具一ａｌｃｎ算子时滞微分方程边值问题Ｌｐａｉａ解的存在唯一性
韦煜明，王勇，艳秋，唐范江华
（广西师范大学数学科学学院，西桂林５１０）广４０４
摘
要：文主要研究无穷区间上具有户Ｌｐａｉ本一ａｌａｃｎ算子的时滞微分方程边值问题解的存在性和唯一性，利用

一类p-Laplacian方程非局部问题解的存在性

第３６卷
第６期
一
类Ｐ—Ｌａｐｌａｅｉａｎ方程非局部问题解的存在性
郑春华，刘文斌２
（１．陕西工业职业技术学院基础部，陕西咸阳７１２０００；２．中国矿业大学数学系，江苏徐州２２１１１６）
摘要：Ｐ—Ｌａｐｌａｃｉａｎ方程边值问题不仅在非牛顿流体理论等实际问题中应用广泛，而且对偏微分方程的
中相应的结果．
部问题受到了广泛重视
．文献［９］利用上下解
方法和Ｍａｗｈｉｎ连续定理讨论了方程
（（（ｔ）））＋ｔ，）＝０，０＜ｔ＜ｌ，在边值条件
一
１预备知识
定义１设ＯＬ ∈Ｃ［０，１］，且（ＯＬ）∈Ｃ［０，
（２）
在边值条件（１）下３个正解的存在性，其中，Ｐ＞１，
的，可以定义方程（２）在边值条件（１）下的上解．定义２【设Ｅ是一个Ｂａｎａｅｈ空间，ＡＣＥ是个有界开集，称
Ｅ
：Ｒ－－－Ｒ，（ Ⅱ ）＝Ｊ “ ｕ，０ ≤ｒｉ＜ｌ， ∑ｒ＜ｌ，
边值理论研究也具有很重要的意义．运用上下解方法、一集压缩映射理论及单调迭代技巧研究一类非线性
项和导数有关的Ｐ—Ｌａｐｌａｃｉａｎ方程的非局部边值问题，获得了该问题解存在的一些充分条件，同时还得到了收敛到该解的迭代序列，并在允许非线性项变号的情况下得到了其非正解和非负解的存在性，推广和完

基于非线性项变号的p-Laplacian方程两点边值问题正解的存在性

ＢＰ（．）（．）（．至少两个正解的存在性．Ｖ１１一１或１）２３
２准备知识
为了证明本文的主要结果，先给出如下定义和引理．定义２１设（ｌ１为实Ｂｎｃ间．称非空凸闭集ＰｃＥ为锥，如果满足．Ｅ，．）１１ａａｈ空
对所有的， ∈ Ｐ以及ｔ∈ ｆ，１Ｖ０ｌ．类似地，称映射是锥Ｐ上非负连续凸泛函，如果：Ｐ— ｆ， ∞ ）０＋连续并满足（￡＋（一ｔｖ１））对所有的ＵＶ∈Ｐ以及ｔ０１．， ∈『１，（）１）ｕ，札＋（一￡）（
或
（．）１１
பைடு நூலகம்
（．）１２（．１）３
ｕ０＝“ １＝０（）（）
下两个正解的存在性．其中
１＋＝１１
．
ｘ＝）
，１Ｐ＞，）。ｚ是。ｘ＝
ｘ）的反函数，且
收稿日期：２０ —３１；０８０ — ５修订日期：０９０ —８２０— ５０
近年来，关于ＰＬｐａｉｎ方程两点边值问题正解的存在性与多重性，已取得了大量的 — ａｌｃａ研究成果，参见文献『８及相关文献．其中用到的方法主要有Ｌｇｅｔｌａ１］ — ｅｇｔＷｉｉｍｓ不动点定 — ｌ
理【；ｖｒ—ｅｅｏ不动点定理［．ｕ— ｒｓｏｅｋ不动点定理［，；１ＡｅＰｔｓｎ】ｙｒ５ＧｏＫａｎｓｓｉＪｌｉ２别变分方法【和一１６０】

二维离散条件下Neumann边值P—Laplacian方程的解的存在性

Ｊｕｎ—ｍｅｊ。ＺＨＡＮＧＬｉ
Байду номын сангаас
（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓＳｈａｎｄｏｎｇＡｇｒｉｃｕｌｔｕｒａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｔａｌａｎ２７１０１８Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒｗｅｍａｉｎｌｙｄｉｓｃｕｓｓｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｓｅｃｏｎｄ—ｏｒｄｅｒｄｉｓｃｒｅｔｅＮｅｕｍａｎｎｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆＰ—Ｌａｐｌａｃｉａｎ，ｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅＭｏｕｎ￣ｉｎｐａｓｓｔｈｅｏｒｅｍ．
．
，
、
、
此时的是一个正数，ｋＥ［１，Ｔ］取整数点Ｙ（ｋ）＝），（ｋ）一Ｙ（ｋ一１）是向后差分算子Ｐ＞１，。（Ｙ）：＝ｌ，，
［ｐ－２ｙ
，
ｒ
ｒ：［１，列（ｏ， ∞）［１，Ｔ］ × Ｒ是Ｙ的连续函数，Ｆ（ｋ，）＝Ｊｏｆ（ｋ，）ｄｓ
・２８３・
本文的主要结论如下
定理１．１当方程（１．１）在满足条件（ｃ１）（Ｃ２）时有解。
２预备知识

p-Laplacian算子多点边值问题正解的存在性

ｍ一２ｍ一２
首先给出件：。条（）Ｈ ∑ ＜（化起文中１为简见，均以∑ 代替∑ ）（ ∈ｃ［， × ０∞ ，，）；；）Ｈ厂（１［，）［ ∞ ）０］０
ｒ１ｒｒ１ｒ
（）￡ｃ［１［∞）Ｊ（口））＜，（ｏｒｒｓ０当述３件立边Ｈ口）（，，，）。Ｊ（ｄｄ ∞ Ｊ。（∈ ０］０，。ｒｒｓ靠Ｊ（ｄｄ．上条成时值））＞ａ
（（（））十ａｔ￡＝０ｔ）（，）（０＜ｚ）＜１（）１
Ｍ（），Ｍ１０＝０（＝
ｏＭ￡）ｔ（＞０ｉ
（）２
式中：（）ｌ，；＜＜… ＜一＜１ ≥０，，ｍ一２当Ｐ＝，（Ｍ＝（），ｙ＝ｌｘｐ＞１０＜１一２；，＝１２ …，．２ｆｔ）ｆｕ￣Ｔ，－ｔ
子Ｔ，使得
全连续，满足 ≠ Ｔ， ∈Ｏ则下述结论成立：且ｘ戈Ｄ．
ａ．若ｌｌ１１≤ ｌｌ， ∈ Ｏｒ贝（，）．Ｔ１１Ｄ，０ｋＴ＝１ｉ
收稿日期：２０一Ｏ１０６ｌ一３
作者简介：￣
程（）１化为
Ｍ＋ａｔＭ＝０ ” （）（０＜ｔ）＜１（）３
当函数厂满足超线性或次线性条件时，马如云［证明了边值问题（）（）少存在一个正解．本文作者５］２、３至
受文献［］６启发，出边值问题（）（）给１、２存在多个正解的充分条件．
（９９）女，北荆州人，教，用数学专业１７一，湖助应

非线性项带导数的p-Laplacian边值问题解的存在性

定理１５设Ｘ和ｚ为两个Ｂｎｃｌａａｈ空间，范数为ｌｌ和ｌｌ，ＣＸ为非空有界开集，：其ｌ・ｌｌ・ｌ２ＺＭＸｎｄｍｏＭ—Ｚ为一拟线性算子， — ｚ，Ｎ： ∈［，］Ｍ一紧的．Ｏ１是如果：ＸＪ＝０为同胚映射，Ｚ一，（）＝＝且满足条件：ｉＭｘ（） ≠ＮｚＥａｏＭ，ｚ，ｎｄｍＥ（，）（）ｅＪＮ，ｎｋｒ，）０则当Ｎ—Ｎ时，０１；ｉｄｇ｛Ｑｅ０ ≠ ．ｉＭ算子方程Ｍｘ —Ｎｚ在上存在至少一个解．
第２５卷第１期
Ｖ０．５Ｎｏ１１２．
徐州工程学院学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｆｏｒａｏＸｕｈｕｎｔｔｔｏｃｎｌｇ（ｔｒｌｃｅｃｓｚｏＩｓｉｕｅｆＴｅｈｏｏｙＮａｕａＳｉｎｅＥｄｔｎｉｉ）ｏ
一
设Ｘ、ｚ为Ｂｎｃａａｈ空间，ＣＸ为有界开集，：一ｚ，２ ∈［，］连续算子，Ｏ１为如果存在Ｚ的
个子空间Ｚ，满足ｄｍＺ一ｄｍｋｒ和算子Ｒ：ｉｉｅＭ力×Ｅ，］ｏ１一Ｘ，于 ∈［，］对Ｏ１是连续紧的，且有
受文献［］２的启发，考虑下面的ｐＬｐａｉ－ａｌａｃｎ边值问题，即
（（ △（）＋厂ｔ “ ， △（）ＵＵｆ）（，（） “ ， △△（） … ， △ （）＝０，Ｅ（Ｔ）， “ ￡）ｔ０，Ｔ，

一维p-Laplacian方程边值问题多解的存在性

我们的主要结论是定理１１假设ｆ（，）足下列条件：．ｔ“ 满
（）ｔＨ１ｆ（，）∈ ｃ（Ｏ１［，］× Ｒ，；Ｒ）
（ｚＨ，ｌｉａｒ
—
。
幸１于 ∈ｏ］致成；一关ｆ［１地立－一，
（）存在常数＞０使得当 ≥ 时，（，０Ｈ。，ｆｔ）（）ｔ“ 关于 “是奇函数．Ｈｆ（，）
第１卷第４Ｏ期２０年１月０８２
应用泛函分析学报
ＡＣＴＡＡＮＡＬＹＳＩＳＦＵＮＣＴＩＯＮＡＬＩＳＡＰＰＬＩＣＡＴＡ
Ｖｏ．１１０
Ｎｏ．４
Ｄｅｅｌ．，２０ｃｒ１０８
文章编号：１０ — ３７（０８４０４ — ６０９１２２０）０ — ３６０
由于户Ｌｐａｉｎ边值问题有着广泛的应用背景，如非线性偏微分方程的径向对称解、一ａｌｃａ例多
孔介质中的气体湍流问题、性理论问题等，年来引起了人们广泛的关注．弹近已有大量文献（如［ —］１６及其中的参考文献）究了一ａｌｃｎ边值问题一个正解、个正解或三个正解的存在研Ｌｐａｉａ二性，所使用的方法有拓扑度理论、不动点定理、动点指数理论、不上下解方法．比之下，相使用临界
果．
本文的目的是利用Ｃａｋ临界点定理，ｌｒ通过构造空间
（，）的一个特殊的线性无关组，Ｏ１

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第３８卷第１期２１０２年１月
曲阜师范大学
ＪｕｎｌｏＱｆＮｒｌｏｒａｆｕｕｏｍａ
Ｖ０＿８Ｎｏ．ｌ３１
Ｊｎ０２ａ．２１
含有ＰＬｐａｉ－ａｌａｃｎ算子ｎ阶多点边值问题在共振条件下非负解的存在性
１引
言
对于二阶线性常微分方程多点边值问题可解性的研究是由Ｉｔｌｎ和Ｍｏｅｖ首先开始的，见文献［．］ｉｅｓ１．２
此后，便有了诸多关于非线性有限多点边值问题的研究．。但是在共振条件下，含有ｐＬｐｃｎ－ａｌｉ算子ｎａａ阶奇异多点边值问题却很少有人研究，本文主要运用推广到算子． Ⅳ在锥上的零点指数，讨论了含有Ｐ．
＿÷ ＫｅｒＬ．
定义２３设力为中的有界开集，．若有Ｑ）ｌ中的有界集， Ⅳ（为，且（一）），Ｑ（为中的紧集，则称 Ⅳ在上为一紧的．Ｈ＝ｊｉ则Ｈ．ｎＬｙ令Ｌ＋－Ｐ，，Ｃｄｏ为线性双射，且有有界逆算子满足
ｍ一２
（．）１１
（） ” ）０＝（＝… ＝０
’ ）＝，（）＝∑ ｏ（，（０ “１０／）ｉ “
（２１）．
其（＝Ｉｕ＞＝，＋＝ｆ０］ＲＲ续Ｒ＝，） ∈（，，中Ｍｌ－Ｐｌ古寺１：， ×“ 连，［∞；ｃ０））２；ｕ；Ｐ，［１一＋０。（１
孟令君，刘立山
（曲阜师范大学数学科学学院，７１５山东省曲阜市）２３６，
摘要：主要运用推广到算子ＬⅣ在锥上的．零点指数，讨论了含有ｐＬｐｃｎ－ｌｉ算子ｎ阶多点边值问题在ａａａ
共振条件下非负解的存在性．
关键词：多点边值问题；共振；ｏｏｖＳｂｌ空间；ｅ零点指数中图分类号＿１５８＂７．Ｏ文献标识码：Ａ文章编号：０ — ３（０２０－４－１１３７２１）１０８５０５００
振问题．
２引理及预备知识
设和ｙ为Ｂｎｃａａｈ空间，为中的一个锥．考虑算子方程ＬＮ，中ｎｄｍＬ，：ｏＣｕ＝ｕ其ｏ ≠ ＬｄｒＬａ
—ｙ为线性算子， Ⅳ为非线性算子．定义２１若为线性算子，．满足ｄｅＬｃｄ ∞ ，ＩｉＫｒ＝ｏｉＩＬ＜ｍｍｍ且ｍ￡为ｙ中的闭集，则称为指标为
零的Ｆｅｈｌｒｄｏｍ算子．
定义２２若为线性空间，：．Ｐ
十收稿日期：０１０－１２１－３２
为线性算子，Ｐ满足Ｐ＝，若Ｐ则称Ｐ为投影算子．
作者简介：令君，，９５，孟男１８一硕士生；研究方向：非线性分析及应用； — ａ：ｌ４２６．ｏＥｍｉｍｊ１＠１３ｔｍ；ｌ０刘立山，，９８，男１５．教授，博士生导师；研究方向：非线性分析及应用； — ａ：ｓａ１ｆ．ｅｕｃＥｍｉｌ＠ｍｓｑ．ｄ．ｎｌｌ．ｎFra bibliotek第１期
孟令君，含有ｐＬｐｃｎ算子ｎ阶多点边值问题在共振条件下非负解的存在性等：－ａｌｉａａ
４９
假设存在连续的投影算子Ｐ：算子：ｍ＿ｄｍＬＩ．ｏ＋
， —ｙ满足ＩＫｒ，ｅＱ＝ｍＬ则有Ｘ＝ｍＰＫｒＱ：，ｍＰ＝ｅＬＫｒＩ，Ｉ ① ｅＰ
ｍ－２
［，），（在０。）ｎｆ端点ｔ０＝处具奇异ｅ）ｃｏ１；Ｒ，。）＝或ｔ１有性；（ ∈ ［，Ｏ∈ ＋１ｍ一；＝；＜。］Ｌ２∑ １０
‘ １
ｍ一２
＜
＜ …
＜
一
：．果∑ ＝ｌ则边题（Ｖ）１ — ．）个＜１如，值问ＢＰ（１１是一共振问否称之为共．２题；则非
＝ＫｒｅＬ① ＫｒＹ＝Ｉ ① ＫｒｅＰ，ｍＱｅＱ＝Ｉ ① Ｉ容易证明Ｌ：ｏｅ — Ｉ可逆，妨定义它的逆ｍｍＱ．ｄｍＬｎＫｒＰｍ不
ｎＫｒ，ｅＰ又因为ｄｍｍＱ＝ｄｍｅＬ故存在同构映射 ‘ ＩｉＩｉＫｒ，，ｍＱ：
Ｌｐａｉａｌａ子ｎ阶多点边值问题在共振条件下解的存在性．ｃｎ算
（（ ”）ｔ）：ａｔｕｔ，） ‘ 一（）（），（）ｕ（，… ， ‘ ’ ｔ）＋ｅｔ，（１，（）（）ｔ∈ ０，）
（＋（一Ｑ）（，＝（＋，（Ｑ＋（一Ｑ）．加，）＋．Ｐ）．Ｐ）．，）＝，一一，定义２４对于日＝＋．Ｐ，．¨ 厂令＝ｎｄｍＬ，日（ｏ）Ｐ＋ＪＮ＋（一Ｑ）ＫｎｄｍＱ，Ｎ：ｏ一ｎｄｒｏａ￡且对任意的ａ，Ｌ＃Ｎ，我们定义在上￡一Ⅳ零点指数如下：，有ｕｕｉｄ［，，：＝ｄｇ，一Ａｐ１ｎ（ Ⅳ）］ｅ（ｐ，－（）ｎＢ，）Ｇ０，其中Ａ＝（ｊｉ（＋－Ｐ）＝／ｋＢ是一个包含的球，Ｊ－Ｐ）ｊ１～，Ｈ２，Ｇ７ｖ＋Ｐ：