2016届高考数学二轮复习第一编专题整合突破5.1直线与圆(选择、填空题型)文

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【走向高考】(全国通用)2016高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题14 直线与圆(含解析)

【走向高考】（全国通用）2016高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题14 直线与圆一、选择题1．(文)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( )A. 2B.823 C. 3 D.833[答案] B[解析] 由l 1∥l 2知3＝a (a －2)且2a ≠6(a －2)， 2a 2≠18，求得a ＝－1，∴l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，两条平行直线l 1与l 2间的距离为d ＝|6－23|12＋－1 2＝823.故选B.(理)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0[答案] D[解析] 圆心(0,3)，又知所求直线斜率为1，∴直线方程为x －y ＋3＝0. [方法点拨] 1.两直线的位置关系2.与直线y ＝kx ＋b 平行的直线设为y ＝kx ＋b 1，垂直的直线设为y ＝－1kx ＋m (k ≠0)；与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线设为Ax ＋By ＋C 1＝0，垂直的直线设为Bx －Ay ＋C 1＝0.求两平行直线之间的距离可直接代入距离公式，也可在其中一条直线上取一点，求其到另一条直线的距离．2．(文)(2015²安徽文，8)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( )A ．－2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．2或12[答案] D[解析] 考查1.直线与圆的位置关系；2.点到直线的距离公式． ∵直线3x ＋4y ＝b 与圆心为(1,1)，半径为1的圆相切， ∴|3＋4－b |32＋42＝1⇒b ＝2或12，故选D. (理)(2015²辽宁葫芦岛市一模)已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 [答案] B[解析] 由题意知，圆心C 既在与两直线x －y ＝0与x －y －4＝0平行且距离相等的直线上，又在直线x ＋y ＝0上，设圆心C (a ，－a )，半径为r ，则由已知得|2a |2＝|2a －4|2，解得a ＝1，∴r ＝2，故选B.[方法点拨] 1.点与圆的位置关系①几何法：利用点到圆心的距离d 与半径r 的关系判断：d >r ⇔点在圆外，d ＝r ⇔点在圆上；d <r ⇔点在圆内．②代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r 2(或0)作比较，大于r 2(或0)时，点在圆外；等于r 2(或0)时，点在圆上；小于r 2(或0)时，点在圆内．2．直线与圆的位置关系直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)与圆：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)的位置关系如下表.关系，进而求得圆的半径和圆心，得出圆的方程；(2)代数法，求圆的方程必须具备三个独立条件，利用“待定系数法”求出圆心和半径．3．(文)(2014²安徽文，6)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A. (0，π6]B ．(0，π3]C. [0，π6]D ．[0，π3][答案] D[解析] 由题意可画出示意图：易知过点P 的圆的两切线为PA 与PM .PA 处倾斜角为0，在Rt △POM 中易知PO ＝2，OM ＝1，∴∠OPM ＝π6，∠OPA ＝π6，∴∠MPA ＝π3，∵直线l 倾斜角的范围是[0，π3]．[方法点拨] 本题还可以设出直线l 的方程y ＝kx ＋b ，将P 点代入得出k 与b 的关系，消去未知数b ，再将直线代入圆方程，利用Δ>0求出k 的范围，再求倾斜角的范围．1．求直线的方程常用待定系数法．2．两条直线平行与垂直的判定可用一般式进行判定，也可以用斜率判定．(理)(2015²山东理，9)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34[答案] D[解析] 由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k ，则其直线方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0，∵光线与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，∴|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，∴12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－43或k ＝－34.故选D. 4．(文)(2014²湖南文，6)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－11[答案] C[解析] 本题考查了两圆的位置关系．由条件知C 1：x 2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，圆心与半径分别为(0,0)，(3,4)，r 1＝1，r 2＝25－m ，由两圆外切的性质知，5＝1＋25－m ，∴m ＝9.[方法点拨] 圆与圆的位置关系(理)一动圆过点A (0,1)，圆心在抛物线y ＝4x 2上，且恒与定直线l 相切，则直线l 的方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝132C ．y ＝－132D ．y ＝－1[答案] D[解析] ∵A (0,1)是抛物线x 2＝4y 的焦点，又抛物线的准线为y ＝－1，∴动圆过点A ，圆心C 在抛物线上，由抛物线的定义知|CA |等于C 到准线的距离，等于⊙C 的半径，∴⊙C与定直线l ：y ＝－1总相切．5．(文)(2014²哈三中一模)直线x ＋y ＋2＝0截圆x 2＋y 2＝4所得劣弧所对圆心角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6[答案] D[解析] 弦心距d ＝|2|2＝1，半径r ＝2，∴劣弧所对的圆心角为2π3.(理)(2014²福建理，6)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件[答案] A[解析] 圆心O (0,0)到直线l ：kx －y ＋10＝0的距离d ＝11＋k2，弦长为|AB |＝21－d2＝2|k |1＋k2，∴S △OAB ＝12³|AB |²d ＝|k |k 2＋1＝12，∴k ＝±1，因此当“k ＝1”时，“S △OAB ＝12”，故充分性成立．“S △OAB ＝12”时，k 也有可能为－1，∴必要性不成立，故选A.[方法点拨] 1.直线与圆相交时主要利用半弦、半径、弦心距组成的直角三角形求解． 2．直线与圆相切时，一般用几何法体现，即使用d ＝r ，而不使用Δ＝0.6．(2015²太原市一模)已知在圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0内，过点E (1,0)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．3 5B ．6 5C ．415D ．215[答案] D[解析] 圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，圆的最长弦AC 为直径25；设圆心M (2，－1)，圆的最短弦BD ⊥ME ，∵ME ＝ 2－1 2＋－1－0 2＝2，∴BD ＝2R 2－ME 2＝23，故S 四边形ABCD ＝12AC ²BD ＝12³25³23＝215.7．(2015²重庆理，8)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210[答案] C[解析] 易知圆的标准方程C ：(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心O (2,1)，又因为直线l ：x ＋ay －1＝0是圆的对称轴，则该直线一定经过圆心，得知a ＝－1，A (－4，－1)，又因为直线AB 与圆相切，则△OAB 为直角三角形，|OA |＝ 2＋4 2＋ 1＋1 2＝210，|OB |＝2，|AB |＝OA 2－OB 2＝6.8．过点P (－2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为24的直线共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条[答案] D[解析] 过P (－2,3)与x 轴负半轴和y 轴正半轴围成的三角形面积的最小值是12，所以过一、二、三象限可作2条，过一、二、四象限可作一条，过二、三、四象限可作一条，共4条．9．(文)(2014²江西理，9)在平面直角坐标系中，A 、B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.45π B.34π C ．(6－25)π D.54π [答案] A[解析] 本题考查直线与圆的位置关系、抛物线的定义及数形结合求最值的数学思想．依题意，∠AOB ＝90°，∴原点O 在⊙C 上，又∵⊙C 与直线2x ＋y －4＝0相切，设切点为D ，则|OC |＝|CD |，∴圆C 的圆心C 的轨迹是抛物线，其中焦点为原点O ，准线为直线2x ＋y －4＝0.要使圆C 的面积有最小值，当且仅当O 、C 、D 三点共线，即圆C 的直径等于O 点到直线的距离，∴2R ＝45，∴R ＝25.S ＝πR 2＝45π.选A.(理)两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线l 1：2x －y ＋a ＝0，l 2：2x －y ＋a 2＋1＝0和圆：x 2＋y 2＋2x －4＝0相切，则a 的取值范围是( )A ．a >7或a <－3B ．a >6或a <－ 6C ．－3≤a ≤－6或6≤a ≤7D ．a ≥7或a －3 [答案] C[解析] 本题主要考查直线和圆的位置关系、补集思想及分析、理解、解决问题的能力．两条平行线与圆都相交时，由⎩⎪⎨⎪⎧ |2 －1 ＋a |5<5|2 －1 ＋a 2＋1|5<5得－6<a <6，两条直线都和圆相离时，由⎩⎪⎨⎪⎧|2 －1 ＋a |5>5|2 －1 ＋a 2＋1|5>5得a <－3，或a >7，所以两条直线和圆“相切”时a的取值范围－3≤a ≤－6或6≤a ≤7，故选C.[方法点拨] 与圆有关的最值问题主要题型有： 1．圆的半径最小时，圆面积最小．2．圆上点到定点距离最大(小)值问题，点在圆外时，最大值d ＋r ，最小值d －r (d 是圆心到定点距离)；点在圆内时，最大值d ＋r ，最小值r －d .3．圆上点到定直线距离最值，设圆心到直线距离为d ，直线与圆相离，则最大值d ＋r ，最小值d －r ；直线与圆相交，则最大值d ＋r ，最小值0.4．P (x ，y )为⊙O 上一动点，求x 、y 的表达式(如x ＋2y ，x 2＋y 2等)的取值范围，一段利用表达式的几何意义转化．二、填空题10．(文)设直线mx －y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦长为23，则m ＝________.[答案] 0[解析] 圆的半径为2，弦长为23，∴弦心距为1，即得d ＝|m ＋1|m 2＋1＝1，解得m ＝0.(理)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若sin 2A ＋sin 2B ＝12sin 2C ，则直线ax －by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝9所截得弦长为________．[答案] 27[解析] 由正弦定理得a 2＋b 2＝12c 2，∴圆心到直线距离d ＝|c |a 2＋b2＝c12c 2＝2， ∴弦长l ＝2r 2－d 2＝29－2＝27.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．[答案] (－13,13)[解析] 本题考查了直线与圆的位置关系，利用数形结合可解决此题，属中档题．要使圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，只需满足圆心到直线的距离小于1即可．即|c |122＋52<1，解|c |<13，∴－13<c <13.12．已知过点P (2,1)有且只有一条直线与圆C ：x 2＋y 2＋2ax ＋ay ＋2a 2＋a －1＝0相切，则实数a ＝________.[答案] －1[解析] 由条件知点P 在⊙C 上，∴4＋1＋4a ＋a ＋2a 2＋a －1＝0，∴a ＝－1或－2. 当a ＝－1时，x 2＋y 2－2x －y ＝0表示圆，当a ＝－2时，x 2＋y 2－4x －2y ＋5＝0不表示圆，∴a ＝－1.三、解答题13．(2015²福建文，19)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．[分析] 考查：1.抛物线标准方程；2.直线和圆的位置关系．(1)利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离相互转化；(2)欲证明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．可证明点F 到直线GA 和直线GB 的距离相等(此时需确定两条直线方程)；也可以证明∠AGF ＝∠BGF ，可转化为证明两条直线的斜率互为相反数．[解析] 法一：(1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.因为|AF |＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝22 x －1 ，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B (12，－2)．又G (－1,0)，所以k GA ＝22－02－－1 ＝223，k GB ＝－2－012－－1 ＝－223，所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．法二：(1)同法一．(2)设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r . 因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝22 x －1 ，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0.解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1,0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0，从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217.又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0，所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r .这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切． 14．(文)已知圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)经过点(1，3)． (1)求圆C 的方程；(2)是否存在经过点(－1,1)的直线l ，它与圆C 相交于A 、B 两个不同点，且满足关系OM →＝12OA →＋32OB →(O 为坐标原点)的点M 也在圆C 上，如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由．[解析] (1)由圆C ：x 2＋y 2＝r 2，再由点(1，3)在圆C 上，得r 2＝12＋(3)2＝4，所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)假设直线l 存在，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)． ①若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1 ＋1，x 2＋y 2－4＝0.消去y 得，(1＋k 2)x 2＋2k (k ＋1)x ＋k 2＋2k －3＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝－2k k ＋1 1＋k 2＝－2＋2－2k 1＋k2，x 1x 2＝k 2＋2k －31＋k 2＝1＋2k －41＋k2，y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (k ＋1)(x 1＋x 2)＋(k ＋1)2＝2k ＋41＋k2－3，因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在圆C 上，因此，得x 21＋y 21＝4，x 22＋y 22＝4，由OM →＝12OA →＋32OB →得，x 0＝x 1＋3x 22，y 0＝y 1＋3y 22，由于点M 也在圆C 上，则(x 1＋3x 22)2＋(y 1＋3y 22)2＝4，整理得x 21＋y 214＋3²x 22＋y 224＋32x 1x 2＋32y 1y 2＝4，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以1＋2k －41＋k 2＋(2k ＋41＋k2－3)＝0，从而得，k 2－2k ＋1＝0，即k ＝1，因此，直线l 的方程为 y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0.②若直线l 的斜率不存在，则A (－1，3)，B (－1，－3)，M (－1－32，3－32) (－1－32)2＋(3－32)2＝4－3≠4，故点M 不在圆上与题设矛盾，综上所知：k ＝1，直线方程为x －y ＋2＝0.(理)已知圆O ：x 2＋y 2＝2交x 轴于A 、B 两点，曲线C 是以AB 为长轴，离心率为22的椭圆，其左焦点为F .若P 是圆O 上一点，连接PF ，过原点O 作直线PF 的垂线交直线x ＝－2于点Q .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点P 的坐标为(1,1)，求证：直线PQ 与圆O 相切；(3)试探究：当点P 在圆O 上运动时(不与A ，B 重合)，直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由．[解析] (1)因为a ＝2，e ＝22，所以c ＝1，则b ＝1，即椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)因为P (1,1)，F (－1,0)，所以k PF ＝12， ∴k OQ ＝－2，所以直线OQ 的方程为y ＝－2x .又Q 在直线x ＝－2上，所以点Q (－2,4)．∴k PQ ＝－1，k OP ＝1，∴k OP ²k PQ ＝－1，即OP ⊥PQ ，故直线PQ 与圆O 相切．(3)当点P 在圆O 上运动时，直线PQ 与圆P 保持相切的位置关系，设P (x 0，y 0)，(x 0≠±2)，则y 20＝2－x 20，k PF ＝y 0x 0＋1，k OQ ＝－x 0＋1y 0， ∴直线OQ 的方程为y ＝－x 0＋1y 0x ， ∴点Q (－2，2x 0＋2y 0)， ∴k PQ ＝y 0－2x 0＋2y 0x 0＋2＝y 20－ 2x 0＋2 x 0＋2 y 0 ＝－x 20－2x 0 x 0＋2 y 0＝－x 0y 0，又k OP ＝y 0x 0. ∴k OP ²k PQ ＝－1，即OP ⊥PQ (P 不与A 、B 重合)，直线PQ 始终与圆O 相切．15．(文)(2014²石家庄市质检)已知动圆C 过定点M (0,2)，且在x 轴上截得弦长为4.设该动圆圆心的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 方程；(2)设点A 为直线l ：x －y －2＝0上任意一点，过A 作曲线C 的切线，切点分别为P 、Q ，求△APQ 面积的最小值及此时点A 的坐标．[解析] (1)设动圆圆心坐标为C (x ，y )，根据题意得x 2＋ y －2 2＝y 2＋4，化简得x 2＝4y .(2)解法一：设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝4y y ＝kx ＋b 消去y 得x 2－4kx －4b ＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝4k x 1x 2＝－4b ，且Δ＝16k 2＋16b 以点P 为切点的切线的斜率为y ′1＝12x 1，其切线方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，即y ＝12x 1x －14x 21.同理过点Q 的切线的方程为y ＝12x 2x －14x 22. 两条切线的交点A (x A ，y B )在直线x －y －2＝0上，解得⎩⎪⎨⎪⎧x A ＝x 1＋x 22＝2k y A ＝x 1x 24＝－b ，即A (2k ，－b )．则：2k ＋b －2＝0，即b ＝2－2k ，代入Δ＝16k 2＋16b ＝16k 2＋32－32k ＝16(k －1)2＋16>0，|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝41＋k 2k 2＋b ，A (2k ，－b )到直线PQ 的距离为d ＝|2k 2＋2b |k 2＋1， S △APQ ＝12|PD |²d ＝4|k 2＋b |²k 2＋b ＝4(k 2＋b )32＝4(k 2－2k ＋2)32＝4[(k －1)2＋1]32. 当k ＝1时，S △APQ 最小，其最小值为4，此时点A 的坐标为(2,0)．解法二：设A (x 0，y 0)在直线x －y －2＝0上，点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)在抛物线x 2＝4y上，则以点P 为切点的切线的斜率为y 1＝12x 1，其切线方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，即y ＝12x 1x －y 1，同理以点Q 为切点的方程为y ＝12x 2x －y 2. 设两条切线均过点A (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝12x 1x 0－y 1，y 0＝12x 2x 0－y 2.点P ，Q 的坐标均满足方程y 0＝12xx 0－y ，即直线PQ 的方程为：y ＝12x 0x －y 0，代入抛物线方程x 2＝4y 消去y 可得： x 2－2x 0x ＋4y 0＝0|PQ |＝1＋14x 20|x 1－x 2| ＝1＋14x 204x 20－16y 0A (x 0，y 0)到直线PQ 的距离为d ＝|12x 20－2y 0|14x 20＋1， S △APQ ＝12|PQ |d ＝12|x 20－4y 0|²x 20－4y 0 ＝12(x 20－4y 0) 32 ＝12(x 20－4x 0＋8) 32 ＝12[(x 0－2)2＋4] 32 当x 0＝2时，S △APQ 最小，其最小值为4，此时点A 的坐标为(2,0)．(理)已知点A (－2,0)，B (2,0)，直线PA 与直线PB 斜率之积为－34，记点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设M 、N 是曲线C 上任意两点，且|OM →－ON →|＝|OM →＋ON →|，是否存在以原点为圆心且与MN 总相切的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．[解析] (1)设P (x ，y )，则由直线PA 与直线PB 斜率之积为－34得， y x ＋2²y x －2＝－34(x ≠±2)，整理得曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1(x ≠±2)． (2)若|OM →－ON →|＝|OM →＋ON →|，则OM →⊥ON →.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．若直线MN 斜率不存在，则y 2＝－y 1，N (x 1，－y 1)．由OM →⊥ON →得y 1x 1²－y 1x 1＝－1，又x 214＋y 213＝1. 解得直线MN 方程为x ＝±127.原点O 到直线MN 的距离d ＝127. 若直线MN 斜率存在，设方程为y ＝kx ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.∴x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋3，x 1²x 2＝4m 2－124k 2＋3. (*) 由OM →⊥ON →得y 1x 1²y 2x 2＝－1，整理得(k 2＋1)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0. 代入(*)式解得7m 2＝12(k 2＋1)．此时(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0中Δ>0. 此时原点O 到直线MN 的距离 d ＝|m |k 2＋1＝127. 故原点O 到直线MN 的距离恒为d ＝127.存在以原点为圆心且与MN 总相切的圆，方程为x 2＋y 2＝127.。

【福建省】2016届高考数学年(理科)直线和圆的方程专题练习

福建省2016届高考数学（理科）-专题练习直线和圆的方程答案一、选择题．1~5．DDDCC 6．B 二、填空题．7．22()(21)1x y -++= 8．59．23180x y +-=或220x y --= 10．22()(21)5x y -+-= 三、解答题．11．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）法一：设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，则有2224,(3)(2),,b a a b rr ⎧⎪=-⎪⎪-+--=⎨⎪=解得1a =，4b =-，r =∴圆的方程为22()(14)8x y -++=．法二：过切点且与10x y +-=垂直的直线为23y x +=-，与4y x =-联立可求得圆心为(1,)4-． ∴半径r = ∴所求圆的方程为22()(14)8x y -++=．（Ⅱ）法一：设圆的一般方程为2222(4)00x y Dx Ey F D E F ++++=+->，则1144120,491007100,814920.D E F D E F D E F ++++=⎧⎪++++=⎨⎪+-++=⎩解得2D =-，4E =-，95F =-． ∴所求圆的方程为2224950x y x y +---=．法二：由()1,12A ，()7,10B ，AB 的中点坐标为(4,11)，13AB k =-，则AB 的垂分线方程为310x y --=．AC 的垂分线方程为30x y +-=．联立310,30x y x y --=⎧⎨+-=⎩得圆心为(1,2)，半径10r ==所求圆的方程为221210()(0)x y -+-=． 12．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）由题设，圆心C 是直线24y x =-和1y x =-的交点，解得点()3,2C ，于是切线的斜率必存在．设过()0,3A 的圆C 的切线方程为3y kx =+，1=，解得0k =或34-，故所求切线方程为3y =或34120x y +-=．（Ⅱ）因为圆心在直线24y x =-上，所以圆C 的方程为222()[(2)1]x a y a -+--=．设点,()M x y ，因为|2|||MA MO =，化简得22230x y y ++-=，即22()14x y ++=，所以点M 在以1(0,)D -为圆心，2为半径的圆上．由题意，点,()M x y 在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|211||2|CD -≤≤+，即13≤．整理得285120a a -≤-≤．由251280a a -+≥，得a ∈R ；由25120a a -≤，得1205a ≤≤．所以点C 的横坐标a 的取值范围是12[0,]5． 13．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）直线l 2：1202x y --=，所以l 1与l 2间的距离为1|()|a d --==即17||22a ++，又0a >，解得3a =．（Ⅱ）假设存在00(),P x y 满足条件②，则P 在与l 1，l 2平行线l '：20x y c -+=1||c +，即132c =或116，所以0013202x y -+=或0011206x y -+=；若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式，0000231||||x y x y=-++-，即00240x y-+=或320x+=；由于点P在第一象限，所以320x+=不可能．联立方程0013202x y-+=和00240x y-+=，解得3,12xy=-⎧⎪⎨=⎪⎩；（舍去）联立方程001120x y-+=和00240x y-+=，福建省2016届高考数学（理科）-专题练习直线和圆的方程答案一、选择题．1．解析直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0<k3<k2，因此k1<0<k3<k2，答案 D2．解析方程为⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋(y ＋a)2＝1－a －3a24表示圆，则1－a －3a24＞0，－2＜a ＜23．答案 D 3．解析把3x ＋y －3＝0化为6x ＋2y －6＝0，则两平行线间的距离d ＝|1－（－6）|62＋22＝72010．答案 D4．解析两圆圆心之间的距离为|O1O2|＝5，由1＜5＜2＋1＝3，所以两圆相交，答案 C5．解析设圆心⎝⎛⎭⎫t ，2t ．由题意|OC|2＝t2＋4t2，圆C 的方程为(x －t)2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t2＋4t2．令x ＝0，得y1＝0，y2＝4t ，B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫0，4t ；令y ＝0，得x1＝0，x2＝2t ，A 点的坐标为(2t ，0)，∴S △OAB ＝12|OA|·|OB|＝12×|4t|×|2t|＝4，答案 C6．解析过O 作OP ⊥MN ，P 为垂足，OP ＝OM·sin 45°≤1，OM≤1sin 45°，∴OM2≤2，∴x20＋1≤2，∴x20≤1，∴－1≤x0≤1．答案B ．二、填空题．7．解析设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ 的中点为M(x ，y)，则⎩⎨⎧x ＝4＋x02，y ＝－2＋y02，解得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝2x －4，y0＝2y ＋2.即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1．8．解析易知A(0，0)，B(1，3)且两直线互相垂直，即△APB 为直角三角形，∴|PA|·|PB|≤|PA|2＋|PB|22＝|AB|22＝102＝5．答案 5 9．解析设所求直线方程为y －4＝k(x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k|1＋k2＝|4k ＋2＋4－3k|1＋k2，∴k ＝2或k ＝－23．答案 2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝010.解析平面区域表示以O(0，0)，P(4，0)，Q(0，2)构成的三角形及其内部，覆盖它且面积最小圆是其外接圆，△OPQ 为直角三角形，故其圆心为PQ 中点(2，1)，半径为|PQ|2＝5，所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5．三、解答题．11~13．略。

高考数学二轮复习第一编专题整合突破 5.1直线与圆(选择、填空题型) 文

|c| ＝ 22＋12
5，所以 c＝±5，故所求直线的方程
为 2x＋y＋5＝0 或 2x＋y－5＝0.
2.[2015·重庆高考]若点 P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 P 处的切线方程为_x_＋__2_y_－__5_＝__0．
解析由题意，得 kOP＝21－－00＝2，则该圆在点 P 处的切线方程的斜率为－12，所以所求切线方程为 y－2＝－12(x－1)，即 x＋2y－5＝0.
大二轮·文
第一编专题整合突破
专题五解析几何
第一讲直线与圆(选择、填空题型)
命题全解密 MINGTIQUANJIEMI
1.命题点 2.交汇点 3.常用方法
直线的斜率、方程与位置关系，圆的方程及圆的性质，直线与圆的位置关系．直线与圆、直线与圆锥曲线、圆与圆锥曲线常交汇考查．求直线、圆的方程的方法，判断两直线平行与垂直的方法，判断直线与圆、圆与圆位置关系的方法．
热点探究悟道
热点一直线与方程
例 1 (1)[2015·郑州质量预测]“a＝1”是“直线 ax＋y＋1＝0 与直线(a＋2)x－3y－2＝0 垂直”的
()
A．充要条件
B．充分不必要条件
C.必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 直线 ax＋y＋1＝0 与直线(a＋2)x－3y－2＝0 垂直的充要条件为 a(a＋2)－3＝0，解得 a＝1 或 a＝－3.所以选 B.
热点二圆的方程
例 2 (1)[2015·北京高考]圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A.(x－1)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D.(x－1)2＋(y－1)2＝2 [解析] 因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径 r＝ 12＋12＝ 2，则该圆的方程为(x－1)2＋ (y－1)2＝2，选 D.

2016届高考数学(文)二轮热点专题精练专题6解析几何第1讲直线与圆(含答案)

第1讲直线与圆直线的方程及应用1.(2015贵州模拟)过点(-1,3)且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为( A )(A)x-2y+7=0 (B)2x+y-1=0(C)x-2y-5=0 (D)2x+y-5=0解析:由题意,可设所求直线方程为x-2y+C=0,又因为点(-1,3)在所求直线上,所以-1-2×3+C=0,解得C=7.故选A.2.(2015长春调研)一次函数y=-x+的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( B )(A)m>1且n<1 (B)mn<0(C)m>0且n<0 (D)m<0且n<0解析:因为y=-x+经过第一、三、四象限,故->0,<0,即m>0,n<0,但此为充要条件,因此其必要不充分条件为mn<0.故选B.3.(2015郑州模拟)直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是( D )(A)(-1,) (B)(-∞,)∪(1,+∞)(C)(-∞,1)∪(,+∞) (D)(-∞,-1)∪(,+∞)解析:如图,k AB=-1,k AC=,因此满足条件的直线l的斜率范围是(-∞,-1)∪(,+∞).故选D.4.(2015山西模拟)已知直线a2x+y+2=0与直线bx-(a2+1)y-1=0互相垂直,则|ab|的最小值为( C )(A)5 (B)4 (C)2 (D)1解析:由题意得a2b+[-(a2+1)]=0,所以b=,所以|ab|=|a×|=|a+|=|a|+||≥2.故选C.5.若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上运动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为( C )(A)(B)2(C)3(D)4解析:由题意知AB的中点M的集合为到直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0的距离都相等的直线,则点M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.设点M所在直线的方程为l:x+y+m=0(m<0),根据平行线间的距离公式得,=,即|m+7|=|m+5|,所以m=-6,即l:x+y-6=0,根据点到直线的距离公式,得中点M到原点的距离的最小值为=3.故选C.圆的方程及应用6.(2015辽宁模拟)圆心在直线y=x上,经过原点,且在x轴上截得弦长为2的圆的方程为( C )(A)(x-1)2+(y-1)2=2(B)(x-1)2+(y+1)2=2(C)(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2(D)(x-1)2+(y+1)2=2或(x+1)2+(y-1)2=2解析:由于圆心在y=x上,所以可设圆的方程为(x-a)2+(y-a)2=r2,将原点(0,0)代入圆的方程得r2=2a2,①由圆在x轴上截得弦长为2,得r2=a2+1,②由①②得所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2.7.(2015黑龙江模拟)圆心在曲线y=(x>0)上,且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为( A )(A)(x-1)2+(y-2)2=5 (B)(x-2)2+(y-1)2=5(C)(x-1)2+(y-2)2=25 (D)(x-2)2+(y-1)2=25解析:设此圆的圆心坐标为(x0,)(x0>0),则圆的半径r=≥=,当且仅当2x0=,x0=1时,等号成立,圆的面积最小,此时圆心坐标为(1,2),半径为,所以圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=5.故选A.8.以双曲线-=1的右焦点为圆心,并与其渐近线相切的圆的标准方程是.解析:双曲线的渐近线方程为y=±x,不妨取y=x,即4x-3y=0.双曲线的右焦点为(5,0),圆心到直线4x-3y=0的距离为d==4,即圆的半径为4,所以所求圆的标准方程为(x-5)2+y2=16.答案:(x-5)2+y2=16直线与圆、圆与圆的位置关系9.(2015资阳市高三适应性检测)对任意实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=4的位置关系一定是( C )(A)相离(B)相切(C)相交且不过圆心(D)相交且过圆心解析:对任意的实数k,直线y=kx+1恒过点(0,1),且点(0,1)在圆x2+y2=4内,所以对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=4的位置关系一定是相交但直线不过圆心.故选C.10.(2015惠州模拟)圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为( B )(A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离解析:两圆心的距离为,且1<<5,即|r1-r2|<d<r1+r2,因此两圆相交.故选B.11.(2015安徽模拟)已知在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2=-2y+3,直线l过点(1,0)且与直线x-y+1=0垂直.若直线l与圆C交于A,B两点,则△OAB的面积为( A )(A)1 (B)(C)2 (D)2解析:圆C的标准方程为x2+(y+1)2=4,圆心为(0,-1),半径为2,直线方程l的斜率为-1,方程为x+y-1=0.圆心C到直线l的距离d==.弦长|AB|=2=2=2,又坐标原点O到AB的距离为,所以△OAB的面积为×2×=1.故选A.12.(2015江西模拟)对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下:若两直线中至少有一条与圆相切,则称该位置关系为“平行相切”;若两直线都与圆相离,则称该位置关系为“平行相离”;否则称为“平行相交”.已知直线l1:ax+3y+6=0,l2:2x+(a+1)y+6=0,和圆C:x2+y2+2x=b2-1(b>0)的位置关系是“平行相交”,则b的取值范围为( D )(A)(,)(B)(0,)(C)(0,)(D)(,)∪(,+∞)解析:圆C的标准方程为(x+1)2+y2=b2,由两直线平行可得a(a+1)-6=0,解得a=2或a=-3,又当a=2时,直线l1与l2重合,舍去,此时两平行线方程分别为x-y-2=0和x-y+3=0;由直线x-y-2=0与圆(x+1)2+y2=b2相切,得b==,由直线x-y+3=0与圆相切,得b==,当两直线与圆都相离时,b<,所以“平行相交”时,b满足故b的取值范围是(,)∪(,+∞).13.圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a= .解析:圆的标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a,r2=2-a,则圆心(-1,1)到直线x+y+2=0的距离为=.由22+()2=2-a,得a=-4.答案:-414.(2014湖北卷)直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2= .解析:由题意得,直线l1截圆所得的劣弧长为,则圆心到直线l1的距离为,即=⇒a2=1,同理可得b2=1,则a2+b2=2.答案:2一、选择题1.(2015贵州模拟)过点P(1,3)且在x轴上的截距和在y轴上的截距相等的直线方程为( D )(A)x+y-4=0 (B)3x-y=0(C)x+y-4=0或3x+y=0 (D)x+y-4=0或3x-y=0解析:若直线过原点,设直线方程为y=kx,把点P(1,3)代入得k=3,此时直线为y=3x,即3x-y=0.若直线不经过原点,则设直线方程为+=1,即x+y=a.把点P(1,3)代入得a=4,所以直线方程为x+y=4,即x+y-4=0,故选D.2.(2015哈尔滨模拟)函数y=asin x-bcos x的一条对称轴为x=,则直线l:ax-by+c=0的倾斜角为( A )(A)135°(B)120°(C)60° (D)45°解析:由函数y=f(x)=asin x-bcos x的一条对称轴为x=知,f(0)=f(),即-b=a,因此直线l的斜率为-1,倾斜角为135°.3.(2015唐山模拟)直线l:x=my+2与圆M:x2+2x+y2+2y=0相切,则m的值为( B )(A)1或-6 (B)1或-7(C)-1或7 (D)1或-解析:圆的方程为(x+1)2+(y+1)2=2,圆心为(-1,-1),半径为,由题意直线与圆相切,即d==,解得m=-7或m=1.故选B.4.(2015贵州模拟)若点P(1,1)为圆(x-3)2+y2=9的弦MN的中点,则弦MN所在直线方程为( C )(A)2x+y-3=0 (B)x-2y+1=0(C)2x-y-1=0 (D)x+2y-3=0解析:圆(x-3)2+y2=9的圆心为A(3,0),所以AP⊥MN,AP的斜率为k==-,所以直线MN的斜率为2,所以弦MN所在直线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0,选C.5.(2015福建模拟)若不论m取何实数,直线l:mx+y-1+2m=0恒过一定点,则该定点的坐标为( A )(A)(-2,1) (B)(2,-1) (C)(-2,-1) (D)(2,1)解析:直线l的方程可化为m(x+2)+y-1=0,由得故直线l恒过定点(-2,1).故选A.6.(2015哈尔滨模拟)已知点P(1,2)和圆C:x2+y2+kx+2y+k2=0,过P作C的切线有两条,则k的取值范围是( D )(A)(-∞,+∞) (B)(-∞,)(C)(-,0) (D)(-,)解析:若x2+y2+kx+2y+k2=0表示一个圆,则k2+4-4k2=4-3k2>0,即-<k<,若过点P作圆的切线有两条,则P点在圆C:x2+y2+kx+2y+k2=0外,将P(1,2)坐标代入后得到k2+k+9>0,由于k2+k+9=(k+)2+8>0恒成立,所以k的取值范围是(-,).故选D.7.(2015河北模拟)直线x-2y-3=0与圆C:(x-2)2+(y+3)2=9交于E,F两点,则△ECF的面积为( B )(A)(B)2(C)(D)解析:由已知可得圆心到直线的距离为d=,所以|EF|=4,所以S△ECF=×4×=2.故选B.8.(2014安徽卷)过点P(-,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是( D )(A)(0,] (B)(0,] (C)[0,] (D)[0,]解析:设过点P的直线方程为y=k(x+)-1,则由直线和圆有公共点知≤1.解得0≤k≤.故直线l的倾斜角的取值范围是[0,].9.(2015江西模拟)已知两点A(1,2),B(3,1)到直线l距离分别是,-,则满足条件的直线l共有( C )(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条解析:当A,B位于直线l的同一侧时,一定存在这样的直线l,且有两条;因为|AB|==,而A到直线l与B到直线l距离之和为+-=,所以当A,B位于直线l两侧时,存在一条与AB垂直且距离A,B分别为,-的直线,综合可知满足条件的直线共有3条.10.已知直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交于A,B两点(其中a,b是实数),且△AOB是直角三角形(O是原点),则点P(a,b)与点M(0,1)之间的距离的最大值为( A )(A)+1 (B)2 (C)(D)-1解析:由题意知∠AOB为直角,则原点到直线ax+by=1的距离为d==,则+a2=1,显然M(0,1)为椭圆+a2=1的焦点,所以点P(a,b)与点M(0,1)之间的最大值为+1,选A.11.(2015佳木斯模拟)已知实数x,y满足x2+y2-4x+6y+12=0,则|2x-y-2|的最小值是( A )(A)5-(B)4-(C)-1 (D)5解析:将x2+y2-4x+6y+12=0化为(x-2)2+(y+3)2=1,|2x-y-2|=×,所以|2x-y-2|表示圆(x-2)2+(y+3)2=1上的点到直线2x-y-2=0的距离的倍,而()min=-1=-1,所以|2x-y-2|的最小值为×(-1)=5-.故选A.二、填空题12.(2015潍坊模拟)若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称,则由点(a,b)向圆所作的切线长的最小值是.解析:圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=2,所以圆心为(-1,2),半径为.因为圆关于直线2ax+by+6=0对称,所以圆心在直线2ax+by+6=0上,所以-2a+2b+6=0,即b=a-3.点(a,b)到圆心的距离为d====,所以当a=2时,d有最小值=3.此时切线长最小为==4.答案:413.当且仅当m≤r≤n时,两圆x2+y2=49与x2+y2-6x-8y+25-r2=0(r>0)有公共点,则n-m的值为.解析:整理x2+y2-6x-8y+25-r2=0,得(x-3)2+(y-4)2=r2,该圆圆心是(3,4),半径为r,要使两圆有公共点需|r-7|≤≤7+r,即2≤r≤12,进而可知m=2,n=12,所以n-m=10.答案:1014.(2015赤峰市高三统考)已知☉O:x2+y2=1,若直线y=kx+2上总存在点P,使得过点P的☉O的两条切线互相垂直,则实数k的取值范围是.解析:因为圆心为O(0,0),半径R=1.设两个切点分别为A,B,则由题意可得四边形PAOB为正方形,故有PO=R=,由题意知圆心O到直线y=kx+2的距离小于或等于PO=,即≤,即1+k2≥2,解得k≥1或k≤-1.答案:(-∞,-1]∪[1,+∞)15.(2015安徽省黄山模拟)在直角坐标系中,定义两点P(x1,y1),Q(x2,y2)之间的“直角距离为d(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|.现有以下命题:①若P,Q是x轴上两点,则d(P,Q)=|x1-x2|;②已知两点P(2,3),Q(sin2α,cos2α),则d(P,Q)为定值;③原点O到直线x-y+1=0上任意一点P的直角距离d(O,P)的最小值为;④若|PQ|表示P,Q两点间的距离,那么|PQ|≥d(P,Q);其中为真命题的是(写出所有真命题的序号).解析:①若P,Q是x轴上两点,两点纵坐标均为0,则d(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|=|x1-x2|,所以命题正确;②若两点P(2,3),Q(sin2α,cos2α),则d(P,Q)=|2-sin2α|+|3-cos2α|=2-sin2α+3-cos2α=4,所以命题正确;③设直线上任意一点为(x,x+1),则原点O到直线x-y+1=0上任意一点P的直角距离d(O,P)=|x|+|x+1|≥|x+1-x|=1,即其最小值为1,所以命题错误;④由基本不等式a2+b2≥(a+b)2,得|PQ|=≥(|x1-x2|+|y1-y2|)=d(P,Q),所以命题成立.综上所述,正确的命题为①②④.答案:①②④直线与圆、圆与圆的位置关系训练提示:(1)直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合,“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的.(2)圆的弦长的常用求法①几何法:求圆的半径为r,弦心距为d,弦长为l,则()2=r2-d2;②代数法:运用根与系数的关系及弦长公式:|AB|=|x1-x2|=.(3)①圆与直线l相切的情形——圆心到l的距离等于半径,圆心与切点的连线垂直于l.②圆与直线l相交的情形——圆心到l的距离小于半径,过圆心而垂直于l的直线平分l被圆截得的弦;连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦;过圆内一点的所有弦中,最短的是垂直于过这点的直径的那条弦,最长的是过这点的直径.(4)①判断两圆的位置关系常用几何法,即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系,一般不采用代数法.②当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或公共弦长时,只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程,然后转化为直线与圆相交求公共弦长.1.已知:圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0.(1)当a为何值时,直线l与圆C相切;(2)当直线l与圆C相交于A,B两点,且|AB|=2时,求直线l的方程.解:将圆C的方程x2+y2-8y+12=0化成标准方程为x2+(y-4)2=4,则此圆的圆心为(0,4),半径为2.(1)若直线l与圆C相切,则有=2,解得a=-.(2)过圆心C作CD⊥AB,则根据题意和圆的性质,得解得a=-7或-1.故所求直线方程为7x-y+14=0或x-y+2=0.2.已知圆M:x2+(y-2)2=1,Q是x轴上的动点,QA,QB分别切圆M于A,B两点.(1)若Q(1,0),求切线QA,QB的方程;(2)求四边形QAMB面积的最小值;(3)若|AB|=,求直线MQ的方程.解:(1)设过点Q的圆M的切线方程为x=my+1,则圆心M到切线的距离为1,即=1,解得m=-或0,所以切线QA,QB的方程分别为3x+4y-3=0和x=1.(2)因为MA⊥AQ,所以=|MA|·|QA|=|QA|==≥=.所以四边形QAMB面积的最小值为.(3)设AB与MQ交于P,则MP⊥AB,所以|MP|==.易证|MB|2=|MP||MQ|,即1=|MQ|,所以|MQ|=3,设Q(x,0),则|MQ|2=x2+22=9,所以x=±,所以Q(±,0),所以MQ的方程为2x+y-2=0或2x-y+2=0.3.在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程;(2)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.解:(1)设P(x,y),圆P的半径为r.由题设知y2+2=r2,x2+3=r2,从而y2+2=x2+3.故P点的轨迹方程为y2-x2=1.(2)设P(x0,y0),由已知得=.又P点在双曲线y2-x2=1上,从而得由得此时,圆P的半径r=.由得此时,圆P的半径r=.故圆P的方程为x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3.4.已知以点C(t,)为圆心的圆与x轴交于点O,A,与y轴交于点O,B,其中O为原点.(1)求证:△OAB的面积为定值;(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,若|OM|=|ON|,求圆C的方程.(1)证明:由题意知圆C过原点O,所以|OC|2=t2+.则圆C的方程为(x-t)2+(y-)2=t2+,令x=0,得y1=0,y2=;令y=0,得x1=0,x2=2t.所以S△OAB=|OA|×|OB|=×||×|2t|=4,即△OAB的面积为定值.(2)解:因为|OM|=|ON|,|CM|=|CN|,所以OC垂直平分线段MN.因为k MN=-2,所以k OC=,所以直线OC的方程为y=x,所以=t,解得t=2或t=-2.当t=2时,圆心C的坐标为(2,1),|OC|=,此时圆心C到直线y=-2x+4的距离d=<,圆C与直线y=-2x+4相交于两点;当t=-2时,圆心C的坐标为(-2,-1),|OC|=,此时圆心C到直线y=-2x+4的距离d=>,圆C与直线y=-2x+4不相交,所以t=-2不符合题意,应舍去.所以圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.5.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.解:(1)由题设,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3.由题意,得=1,解得k=0或k=-,故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.(2)因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1.设点M(x,y),因为MA=2MO,所以=2,化简得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.由题意,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则|2-1|≤CD≤2+1,即1≤≤3.整理,得-8≤5a2-12a≤0.由5a2-12a+8≥0,得a∈R;由5a2-12a≤0,得0≤a≤.所以点C的横坐标a的取值范围为[0,].6.在直角坐标系xOy中,以坐标原点O为圆心的圆与直线x-y=4相切.(1)求圆O的方程;(2)若圆O上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=2,求直线MN的方程;(3)圆O与x轴相交于A,B两点,圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求·的取值范围.解:(1)依题意,圆O的半径r等于原点O到直线x-y=4的距离,即r==2.所以圆O的方程为x2+y2=4.(2)由题意,可设直线MN的方程为2x-y+m=0.则圆心O到直线MN的距离d=.由垂径分弦定理得+()2=22,即m=±.所以直线MN的方程为2x-y+=0或2x-y-=0.(3)不妨设A(x1,0),B(x2,0),x1<x2.由x2=4得A(-2,0),B(2,0).设P(m,n),由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得·=m2+n2,即m2-n2=2.因为·=(-2-m,-n)·(2-m,-n)=2(n2-1). 由于点P在圆O内,故由此得n2<1.所以·的取值范围为[-2,0).。

2016高考数学新课标版二轮复习课件：专题6 第1讲直线与圆

a () (A)11 (B)10 (C)9 (D)8
解析:(1)依题意,a=2,P(0,5),
由
2x x 2
y y
0, 0,
得
x
y
0, 0,
即互相垂直的直线 2x-y=0 和 x+ay=0 相交于点 O(0,0),
于是|AB|=2|OP|=10.故选 B.
第十七页，编辑于星期六：点三十六分。
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第四页，编辑于星期六：点三十六分。
二轮·数学 2.(2015 新课标全国卷Ⅱ,理 7)过三点 A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交 y 轴于 M,N 两点,则|MN|等于( C ) (A)2 6 (B)8 (C)4 6 (D)10 解析:设圆心为 P(a,b),由点 A(1,3),C(1,-7)在圆上,知 b= 3 7 =-2,再由|PA|=|PB|,
1 a 1 4 解得 a=-2 或 a=1, 所以“a=-2”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的充分不必要条件.故选 A.
第十五页，编辑于星期六：点三十六分。
二轮·数学
方法技巧 (1)要注意几种直线方程的局限性.点斜式、两点式、斜截式要求直线
不能与x轴垂直.而截距式方程不能表示过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线.
4.圆的方程的两种形式 (1)圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) ,其中 (a,b) 为圆心, r 为半径. (2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件是 D2+E2-4F>0 ,其
中圆心为（- D ,- E ）,半径 r= D2 E2 4F .

江苏省高考数学一轮复习专题突破训练直线与圆

江苏省2016年高考一轮复习突破训练直线与圆一、填空题1、（2015年江苏高考）在平面直角坐标系xoy 中，以点（1,0）为圆心且与直线210mx y m ---=()m R ∈相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为____22(1)2x y -+=_____________。

2、（2014年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，直线032x =-+y 被圆4)1(2x 22=++-y ）（截得的弦长为 ▲ ．3、（2015届南京、盐城市高三二模）在平面直角坐标系xoy 中，已知⊙Ｃ：5)1(22=-+y x，Ａ为⊙Ｃ与x 负半轴的交点，过A 作⊙Ｃ的弦AB ，记线段AB 的中点为M.则直线AB 的斜率为。

4、（南通、扬州、连云港2015届高三第二次调研（淮安三模））在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：22(1)(6)25x y ++-=，圆2C ：222(17)(30)x y r -+-=．若圆2C 上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于点A ，B ，满足2PA AB =，则半径r 的取值范围是 ▲ ．5、（苏锡常镇四市2015届高三教学情况调研（一））在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(3)2x y +-=，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为．6、（连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015届高三第一次调研考试）已知a ，b 为正数，且直线60ax by +-=与直线()2350x b y +-+=互相平行，则23a b +的最小值为 ▲7、（南京市、盐城市2015届高三第一次模拟）在平面直角坐标系xOy 中，设直线2y x =-+与圆222(0)x y r r +=>交于,A B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足5344OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r，则r = ▲ .8、（苏州市2015届高三2月调研测试）已知圆22:(1)(1)4M x y -+-=，直线:60,l x y A+-=为直线l 上一点，若圆M 上存在两点,B C ，使得60BAC ∠=︒，则点A 的横坐标的取值范围是 9、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）已知圆22:24200C x y x y +---=，直线l 过点P （3，1），则当直线l 被圆C 截得的弦长最短时，直线l 的方程为 ▲10、（2015届江苏苏州高三9月调研）已知圆()()()22:10C x a y a a -+-=>与直线3y x =相交于,P Q 两点,则当CPQ ∆的面积最大时,此时实数a 的值为 ▲11、（南京市2014届高三第三次模拟）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝4，P 为圆C 上一点．若存在一个定圆M ，过P 作圆M 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，当P 在圆C 上运动时，使得∠APB 恒为60︒，则圆M 的方程为12、（2014江苏百校联考一）已知圆22:(2)1C x y -+=，点P 在直线:10l x y ++=上，若过点P 存在直线m 与圆C 交于A 、B 两点，且点A 为PB 的中点，则点P 横坐标0x 的取值范围是．13、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））在平面直角坐标系xOy 中，过点P (5，3)作直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，则直线l 的斜率为 ▲ 14、（无锡市2015届高三上学期期末）已知点()0,2A 位圆()22:2200M x y ax ay a +--=>外一点，圆M 上存在点T 使得45MAT?o ，则实数a 的取值范围是 .15、（宿迁市2015届高三11月摸底考试）已知光线通过点()3,4M -，被直线l ：30x y -+=反射，反射光线通过点()2,6N ，则反射光线所在直线的方程是 ▲二、解答题1、（2013年江苏高考）本小题满分14分。

新高中数学二轮核心突破专五解析几何直线与圆配套精选

专题五解析几何第1讲直线与圆高考定位考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系特别是弦长问题，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现真题感悟12021·全国Ⅲ卷在平面内，A，B是两个定点，－2＝0与直线m＋2＋4＝0平行，那么m的值是B－2 或－2 D－错误!2直线1：－＋4＝0与直线2：＋－3＝0≠0分别过定点A，B，又1，2相交于点M，那么|MA|·|MB|的最大值为________解析1由题意知m1＋m－2×1＝0，解得m＝1或－2，当m＝－2时，两直线重合，舍去；当m＝1时，满足两直线平行，所以m＝12由题意可知，直线1：－＋4＝0经过定点A0，4，直线2：＋－3＝0经过定点B3，0，注意到直线1：－＋4＝0和直线2：＋－3＝0始终垂直，点M又是两条直线的交点，那么有MA⊥MB，所以|MA|2＋|MB|2＝|AB|2＝25故|MA|·|MB|≤错误!当且仅当|MA|＝|MB|＝错误!时取“＝〞答案1A2错误!探究提高1求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性2求直线方程时应根据条件选择适宜的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意【训练1】1多项选择题光线自点2，4射入，经倾斜角为135°的直线：＝＋1反射后经过点5，0，那么反射光线还经过以下哪个点A14，2C13，2 D13，121，2是分别经过A1，1，B0，－1两点的两条平行直线，当1，2间的距离最大时，那么直线1的方程是________解析1因为直线的倾斜角为135°，所以直线的斜率＝－1，设点2，4关于直线：＝－＋1的对称点为m，n，那么错误!解得错误!所以反射光线经过点－3，－1和点5，0，那么反射光线所在直线的方程为＝错误!－5＝错误!－5，当＝13时，＝1；当＝14时，＝错误!应选BD2当直线AB与1，2垂直时，1与2间的距离最大由A1，1，B0，－1得AB＝错误!＝2∴两平行直线的斜率＝－错误!∴直线1的方程是－1＝－错误!－1，即＋2－3＝0答案1BD2＋2－3＝0热点二圆的方程【例2】12021·石家庄模拟古希腊数学家阿波罗尼斯在其巨著?圆锥曲线论?中提出“在同一平面上给出三点，假设其中一点到另外两点的距离之比是一个大于零且不等于1的常数，那么该点轨迹是一个圆〞现在，某电信公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G信号塔来构建一个特定的三角形信号覆盖区域，以实现5G 商用，甲、乙两地相距4 m，丙、甲两地距离是丙、乙两地距离的错误!倍，那么这个三角形信号覆盖区域的最大面积单位：m2是2圆C的圆心在直线＋＝0上，圆C与直线－＝0相切，且在直线－－3＝0上截得的弦长为错误!，那么圆C的方程为________解析1以甲、乙两地所在直线为轴，线段甲乙的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设甲、乙两地的坐标分别为－2，0，2，0，丙地坐标为，≠0，那么错误!＝错误!·错误!，整理得－42＋2＝12，可知丙地所在的圆的半径为r＝2错误!所以三角形信号覆盖区域的最大面积为错误!×4×2错误!＝4错误!2∵所求圆的圆心在直线＋＝0上，∴设所求圆的圆心为a，－a又∵所求圆与直线－＝0相切，∴半径r＝错误!＝错误!|a|又所求圆在直线－－3＝0上截得的弦长为错误!，圆心a，－a到直线－－3＝0的距离d＝错误!，∴d2＋错误!错误!错误!错误!错误!－错误!＝1的左、右顶点，in＝错误!－1＝2∵－错误!＝1，解得m＝1，那么B1，0，A－1，0，∴－2与轴交于A，B两点，点C的坐标为0，1当m变化时，解答以下问题：1能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；2证明过A，B，C三点的圆在轴上截得的弦长为定值1解不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：设A1，0，B2，0，那么1，2满足方程2＋m－2＝0，所以12＝－的坐标为0，1，故AC的斜率与BC的斜率之积为错误!·错误!＝－错误!，所以不能出现AC⊥BC的情况2证明BC的中点坐标为错误!，可得BC的中垂线方程为－错误!＝2错误!由1可得1＋2＝－m，所以AB的中垂线方程为＝－错误!联立错误!又错误!＋m2－2＝0，③由①②③解得＝－错误!，＝－错误!所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为错误!，半径r＝错误!故圆在轴上截得的弦长为2错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!in＝错误!＝错误!此时，|＝2，命题q：直线m－1－＋m－12＝0与直线m＋2－3m＝0垂直，那么－1×m＋－1×2＝0，解之得m＝2或m＝－1∴，即2－＋m＝0，那么圆心M到直线的距离d＝错误!＝错误!因为|BC|＝|OA|＝错误!＝2错误!，又|MC|2＝d2＋错误!错误!错误!＋5，解得m＝5或m ＝－15故直线的方程为2－＋5＝0或2－－15＝0。

2016届高考数学二轮复习 6.15 直线、圆课件

能力迁移训练
【例 1】已知三点 A(1,-1),B(2,2),C(3,0),且有一点 D 满足 CD⊥AB,CB
∥AD,则点 D 的坐标为(
)
A.(-1,0)
B.(0,-1)
C.(1,0)
D.(0,1)
分析推理要联想到利用两点连线的斜率来解决平行或垂
直问题,本题利用两点连线的斜率公式,求出 kCD,kAB,kCB,kAD,利用 CD⊥
能力目标解读
热点考题诠释
1 2 3
4
解析:由题意可知圆 C 的圆心(设其为 M)为线段 AB 的中点,且圆 C 过原点
(0,0),
∵圆 C 与直线 2x+y-4=0 相切,
∴圆 C 的圆心 M 到原点(0,0)的距离等于 M 点到直线 2x+y-4=0 的距离.
能力目标解读
热点考题诠释
1 2 3
①当直线 l 的斜率不存在时,其方程为 x=-2,点(1,2)到该直线的距离为
3,适合题意.
②当直线 l 的斜率存在时,设其为 k,则直线 l 的点斜式方程为 y=k(x+2),
可化为 kx-y+2k=0.
依题意得
|-2+2|
2 +1
5
=3,解得 k=- .
12
故此时直线 l 的方程为 5x+12y+10=0.
能力突破模型
能力迁移训练
【例 2】 (2014 四川成都七中)已知圆 C 经过点 A(2,-1),并且圆心在直
线 l1:y=-2x 上,且该圆与直线 l2:y=-x+1 相切.
(1)求圆 C 的方程;
(2)求以圆 C 内一点 B 2,-

高考数学文科二轮复习专题五第1讲直线与圆案

第1讲直线与圆高考定位 1.直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的地点关系是本讲高考的要点； 2.考察的主要内容包含求直线(圆 )的方程、点到直线的距离、直线与圆的地点关系判断、简单的弦长与切线问题，多为选择题、填空题.真题感悟1.(2016 全·国Ⅱ卷 )圆 x2＋y2－2x－ 8y＋ 13＝ 0 的圆心到直线ax＋ y－ 1＝ 0 的距离为1，则 a＝()43A. －3B.－4C.3D.2分析圆 x2＋ y2－ 2x－ 8y＋13＝ 0 化为标准方程为 (x－ 1)2＋ (y－ 4)2＝4，故圆心为 (1， 4).由题意得 d＝|a＋4－1|＝ 1，解得 a＝－4.a2＋ 13答案A2.(2016 山·东卷 ) 已知圆 M：x2＋ y2－ 2ay＝0(a＞ 0)截直线 x＋y＝ 0 所得线段的长度是 2 2，则圆M 与圆 N： (x－ 1)2＋ (y－ 1)2＝ 1 的地点关系是 ()A. 内切B. 订交C.外切D. 相离分析圆 M： x2＋ y2－ 2ay＝ 0(a>0) 可化为 x2＋ (y－ a)2＝ a2，由题意， d＝a，所以有2a2a ＝＋ 2，解得 a＝ 2. 22所以圆 M ： x2＋ (y－2) 2＝22，圆心距为2，半径和为 3，半径差为1，所以两圆订交 .答案B3.(2016 全·国Ⅰ卷 )设直线 y＝ x＋ 2a 与圆 C：x2＋ y2－ 2ay－ 2＝0 订交于 A，B 两点，若 |AB|＝ 23，则圆 C 的面积为 ________.分析圆 C 的标准方程为x2＋ (y－ a)2＝a2＋2，圆心为 C(0，a)，点 C 到直线 y＝ x＋2a 的距离为 d＝|0－a＋2a|＝|a|.又由 |AB |＝23，得232＋ |a|2＝a2＋ 2，解得 a2＝ 2，所以圆 C 的面22222积为π(a＋ 2)＝ 4π.答案4π4.(2017 天·津卷 ) 设抛物线 y2＝ 4x 的焦点为F，准线为l .已知点C 在 l 上，以 C 为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点 A.若∠ FAC＝ 120°，则圆的方程为 ________.分析由题意知该圆的半径为1，设圆心 C( －1， a)(a>0) ，则 A(0 ，a).→→又 F(1，0) ，所以 AC＝ (－ 1，0)， AF ＝ (1，－ a).→ →－1＝－1，解得 a＝ 3.由题意知 AC与 AF的夹角为 120°，得 cos 120 °＝1× 1＋ a22所以圆的方程为 (x＋ 1)2＋ (y－3)2＝ 1.答案 (x＋ 1)2＋ (y－ 3)2＝ 1考点整合1.两条直线平行与垂直的判断若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率 k1，k2存在，则 l 1∥l 2? k1＝ k2，l 1⊥ l2? k1k2＝－ 1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率能否存在.2.两个距离公式|C1－ C2|(1) 两平行直线l 1： Ax＋ By＋ C1＝ 0 与 l 2： Ax＋ By＋ C2＝ 0 间的距离d＝A2＋ B2.(2) 点( x0， y0)到直线 l ：Ax＋ By＋ C＝ 0 的距离 d＝|Ax0＋ By0＋C|A2＋ B2.3.圆的方程(1)圆的标准方程： (x－ a)2＋ (y－ b)2＝ r 2(r ＞ 0)，圆心为 (a， b)，半径为 r .(2) 圆的一般方程： x2＋ y2＋ Dx ＋Ey＋ F ＝0(D 2＋ E2－ 4F ＞ 0)，圆心为－D，－E，半径为r＝22D2＋ E2－ 4F.24.直线与圆的地点关系的判断(1)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径 r 的大小加以比较： d<r ? 订交； d＝r ? 相切； d>r?相离 .(2) 代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来构成方程组，利用鉴别式>0? 订交；＝0?相切；<0 ? 相离 .来议论地点关系：热门一【例 1】直线的方程(1) 设 a∈R，则“a＝－ 2”是直线l1：ax＋ 2y－ 1＝ 0 与直线l 2：x＋ (a＋1)y＋4＝ 0 平行的 ()A. 充足不用要条件B. 必需不充足条件C.充足必需条件(2)(2017 山·东省实验中学二模)过点D. 既不充足也不用要条件P(2， 3)的直线 l 与 x 轴、 y 轴正半轴分别交于A， B 两点，O 为坐标原点，则S△OAB的最小值为 ________.分析(1) 当 a＝－ 2 时， l 1：－ 2x＋ 2y－ 1＝ 0， l2：x－ y＋ 4＝ 0，明显 l1∥ l2 .当 l 1∥ l 2 时，由 a(a ＋ 1)＝2 且 a ＋ 1≠－ 8 得 a ＝ 1 或 a ＝－ 2，所以 a ＝－ 2 是 l 1∥ l 2 的充足不用要条件 .x y(2) 依题意，设直线 l 的方程为 a ＋ b ＝ 1(a>0， b>0). ∵点 P(2， 3)在直线 l 上 .∴ 2＋ 3＝ 1，则 ab ＝ 3a ＋ 2b ≥26ab ， a b故 ab ≥24，当且仅当 3a ＝2b(即 a ＝ 4，b ＝ 6)时取等号 .所以1S △AOB ＝ 2ab ≥ 12，即S △AOB 的最小值为12.答案(1)A(2)12研究提升1.求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝ 0 成立方程求出参数的值后，要注意代入查验，清除两条直线重合的可能性.2.求直线方程时应依据条件选择适合的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的状况能否切合题意.【训练 1】 (1)(2017 贵·阳质检 )已知直线 l 1：mx ＋ y ＋1＝ 0，l 2：(m － 3)x ＋ 2y －1＝ 0，则 “m ＝1” 是 “l 1⊥l 2”的 ( )A. 充足不用要条件B. 必需不充足条件C.充要条件D. 既不充足也不用要条件(2) 已知 l 1，l 2 是分别经过 A(1， 1)，B(0 ，－ 1) 两点的两条平行直线，当 l 1 ，l 2 间的距离最大时，则直线 l 1 的方程是 ________.分析 (1) “l ⊥ l2”的充要条件是 “m(m － 3)＋ 1×2＝0? m ＝ 1 或 m ＝2”，所以 “m ＝ 1”是 “l 1 ⊥ l2”的充1分不用要条件 .(2) 当直线 AB 与 l 1， l 2 垂直时， l 1， l 2 间的距离最大 .－ 1－1∵ A(1， 1)，B(0，－ 1)，∴ k AB ＝＝ 2.0－ 1∴两平行直线的斜率 k ＝－ 1.2∴直线 l 1 的方程是 y －1＝－ 1(x － 1)，即 x ＋ 2y － 3＝ 0.2答案 (1)A (2)x ＋ 2y － 3＝ 0热门二圆的方程【例 2－ 1】 (1)(2016 天·津卷 )已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0， 5)在圆 C 上，且圆心到直线 2x －y ＝ 0 的距离为 4 5 5，则圆 C 的方程为 ________.22x ＋ y＝ 1 的三个极点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆(2)(2015 全·国Ⅰ卷 )一个圆经过椭圆 164的标准方程为 ________.分析 (1) ∵圆 C 的圆心在 x 的正半轴上，设C(a ，0)，且 a>0.|2a － 0|5，解得 a ＝ 2.则圆心 C 到直线 2x － y ＝0 的距离 d ＝5 ＝4 5∴圆 C 的半径 r ＝ |CM |＝（ 2－ 0） 2＋（ 0－ 5） 2＝ 3，所以圆 C 的方程为 ( x －2) 2＋ y 2＝ 9.(2) 由题意知，椭圆极点的坐标为 (0，2)， (0，－ 2)， (－ 4，0)， (4， 0).由圆心在 x 轴的正半轴上知圆过极点 (0， 2)， (0，－ 2)， (4， 0).设圆的标准方程为 (x －m)2＋ y 2＝ r 2，3 m 2＋ 4＝ r 2，解得m ＝ 2，则有（ 4－ m ） 2＝ r 2，r 2＝ 25，4所以圆的标准方程为 3 2 25x － 2＋ y 2＝4.22(2) 3 2 225 答案 (1)(x － 2) ＋ y ＝ 9 x － 2 ＋ y ＝ 4研究提升 1.直接法求圆的方程，依据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，从而写出方程 .2.待定系数法求圆的方程： (1) 若已知条件与圆心 (a ， b)和半径 r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出对于 a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值； (2) 若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依照已知条件列出对于 D ， E ，F 的方程组，从而求出D ，E ，F 的值.温馨提示解答圆的方程问题，应注意数形联合，充足运用圆的几何性质 .【训练 2】 (1)(2017 河·南部分要点中学联考 )圆心在直线 x ＝ 2 上的圆与 y 轴交于两点 A(0，－4)， B(0，－ 2)，则该圆的标准方程为 ________________.(2) 圆心在直线 x － 2y ＝ 0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切，圆 C 截 x 轴所得的弦的长为 2 3，则圆 C 的标准方程为 ________.分析 (1) 易知圆心的纵坐标为－4＋（－ 2）(2，－ 3).2＝－ 3，所以圆心坐标为则半径 r ＝（ 2－0） 2＋ [（－ 3）－（－ 2） ]2＝ 5，故所求圆的标准方程为 (x － 2)2＋ (y ＋ 3)2＝ 5.a(2) 设圆心 a ，2 (a>0)，半径为a.2a 22由勾股定理得 ( 3) ＋ 2 ＝ a ，解得 a ＝ 2.所以圆心为 (2， 1)，半径为 2，所以圆 C 的标准方程为 (x－2) 2＋ (y－ 1)2＝ 4.答案(1)(x－ 2)2＋ (y＋ 3)2＝ 5(2)(x－ 2)2＋ ( y－ 1)2＝4.热门三直线与圆的地点关系命题角度1圆的切线问题【例 3－1】(2017 ·郑州调研 )在平面直角坐标系 xOy 中，以点 A(1，0)为圆心且与直线mx－y － 2m－ 1＝ 0(m∈R)相切的全部圆中，半径最大的圆的标准方程为________.分析直线 mx－ y－ 2m－ 1＝ 0 恒过定点P(2，－1)，当 AP 与直线 mx－ y－ 2m－ 1＝0 垂直，即点 P(2，－ 1)为切点时，圆的半径最大，∴半径最大的圆的半径 r＝（ 1－ 2）2＋（ 0＋ 1）2＝ 2. 故所求圆的标准方程为 (x－ 1)2＋ y2＝ 2. 答案 (x－ 1)2＋ y2＝ 2命题角度2圆的弦长有关计算【例 3－ 2】(2017 ·全国Ⅲ卷 )在直角坐标系xOy 中，曲线y＝ x2＋ mx－ 2 与 x 轴交于 A， B 两点，点 C 的坐标为 (0， 1).当 m 变化时，解答以下问题：(1)可否出现 AC⊥ BC 的状况？说明原因；(2) 证明过 A， B， C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.(1)解不可以出现 AC⊥ BC 的状况，原因以下：设 A(x1， 0)， B( x2， 0)，则 x1， x2知足方程 x2＋ mx－ 2＝ 0，所以 x1x2＝－ 2.又 C 的坐标为 (0， 1)，故 AC 的斜率与 BC 的斜率之积为－1 －11，1· 2＝－x x2所以不可以出现AC⊥ BC 的状况 .x211x2(2) 证明 BC 的中点坐标为2，2，可得 BC 的中垂线方程为y－2＝ x2x－2 .由 (1)可得 x1＋ x2＝－ m，所以 AB 的中垂线方程为 x＝－m 2 .m，①x＝－2联立y－1＝ x2 x－x2，②22又 x22＋ mx2－ 2＝ 0，③m 1 由①②③解得 x＝－， y＝－ .22所以过 A， B， C 三点的圆的圆心坐标为m1，半径 r ＝m2＋ 9－，－22.2m2故圆在 y 轴上截得的弦长为 2r 2－2＝ 3，即过 A， B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值 .研究提升 1.研究直线与圆的地点关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形联合思想解题 .2.与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离l ，构成d，及半弦长2直角三角形的三边，利用其关系来办理.【训练 3】 (1)(2017 ·州质检泉 )过点 P(－ 3， 1)，Q(a，0)的光芒经 x 轴反射后与圆 x2＋ y2＝1 相切，则 a 的值为 ______.(2)(2016 全·国Ⅲ卷 ) 已知直线l： x－3y＋6＝ 0 与圆 x2＋ y2＝ 12 交于 A，B 两点，过A， B 分别作 l 的垂线与x 轴交于 C， D 两点，则 |CD |＝________.分析(1) 点 P(－ 3， 1)对于 x 轴的对称点为P′(－3，－ 1)，所以直线P′Q 的方程为x－ (a＋ 3)y－ a＝ 0.依题意，直线P′Q 与圆 x2＋ y2＝ 1 相切 .∴|－a|2＝ 1，解得 a＝－5.21 ＋（ a＋ 3）3(2) 由圆 x2＋ y2＝ 12 知圆心 O(0 ，0)，半径 r＝23，∴圆心 (0，0)到直线 x－ 3y＋ 6＝ 0 的距离 d＝6＝ 3，|AB|＝ 212－32＝ 2 3.过 C 作 CE⊥ BD1＋ 3于 E.以下图，则|CE|＝ |AB|＝ 2 3.∵直线 l 的方程为x－3y＋ 6＝ 0，∴直线l 的倾斜角∠BPD＝ 30°，从而∠BDP ＝60°，所以|CD |＝ |CE| ＝ 2 3sin 60 °sin 60＝ 4.°答案(1)－5(2)431.解决直线方程问题应注意：(1) 要注意几种直线方程的限制性.点斜式、两点式、斜截式要求直线不可以与x 轴垂直 .而截距式方程不可以表示过原点的直线，也不可以表示垂直于坐标轴的直线.(2) 求直线方程要考虑直线斜率能否存在.(3)求解两条直线平行的问题时，在利用 A1B2－ A2B1＝ 0 成立方程求出参数的值后，要注意代入查验，清除两条直线重合的可能性 .2.求圆的方程两种主要方法：(1)直接法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的地点关系，数形联合直接求出圆心坐标、半径，从而求出圆的方程 .(2) 待定系数法：先设出圆的方程，再由条件建立系数知足的方程(组 )求得各系数，从而求出圆的方程 .3.直线与圆有关问题的两个要点点(1) 三个定理：切线的性质定理、切线长定理和垂径定理.(2)两个公式：点到直线的距离公式d＝|Ax0＋ By0＋ C|22A2＋B2，弦长公式 |AB|＝ 2 r－d (弦心距 d).4.直线 (圆 )与圆的地点关系的解题思路(1)议论直线与圆及圆与圆的地点关系时，要注意数形联合，充足利用圆的几何性质找寻解题门路，减少运算量 .研究直线与圆的地点关系主要经过圆心到直线的距离与半径的比较来实现，两个圆的地点关系的判断依照是两圆心距离与两半径差与和的比较.(2) 直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”成立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式，过圆外一点求解切线段长可转变为圆心到圆外点距离，利用勾股定理计算 .一、选择题1.(2017 昆·明诊疗 )已知命题p：“m＝－ 1”，命题 q：“直线 x－ y＝ 0 与直线 x＋ m2y＝ 0 相互垂直”，则命题 p 是命题 q 的 ()A. 充足不用要条件B. 必需不充足条件C.充要条件D. 既不充足也不用要分析“直线 x－ y＝ 0 与直线 x＋m2y＝ 0 相互垂直”的充要条件是1×1＋2(－ 1) ·m ＝ 0? m＝±1.∴命题 p 是命题 q 的充足不用要条件.答案A2.过点 (3， 1)作圆 (x－ 1)2＋ y2＝ r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A.2 x ＋ y － 5＝ 0B.2 x ＋y － 7＝ 0C.x －2y － 5＝ 0D. x － 2y － 7＝ 0分析依题意知，点 (3， 1)在圆 (x － 1)2＋ y 2＝ r 2 上，且为切点 . ∵圆心 (1，0)与切点 (3， 1)连线的斜率为1，所以切线的斜率 k ＝－ 2.2故圆的切线方程为 y － 1＝－ 2(x －3)，即 2x ＋y － 7＝ 0.答案B3.(2017 济·南调研 )若直线 x －y ＋ m ＝ 0 被圆 (x － 1)2＋ y 2＝ 5 截得的弦长为 2 3，则 m 的值为 ()A.1B.－3C.1 或－ 3D.2分析∵圆 (x － 1)2＋ y 2＝ 5 的圆心 C(1， 0)，半径 r ＝ 5.又直线 x － y ＋ m ＝ 0 被圆截得的弦长为 2 3.∴圆心 C 到直线的距离 d ＝r 2－（ 3） 2＝ 2，所以|1－ 0＋m|2 ＝ 2，∴ m ＝1 或 m ＝－ 3.21 ＋（－ 1）答案C4.(2015 全·国Ⅱ卷 )已知三点 A(1， 0)， B(0， 3)， C(2， 3)，则 △ ABC 外接圆的圆心到原点的距离为 ()5 21 A. 3 B. 32 5 4 C. 3D.3分析设圆的一般方程为x 2 ＋y 2 ＋Dx ＋Ey ＋ F ＝ 0，1＋ D ＋ F ＝ 0，D ＝－ 2，∴ 3＋ 3E ＋ F ＝ 0，∴E ＝－ 4 3，7＋ 2D ＋ 3E ＋F ＝ 0，3F ＝1，∴△ ABC 外接圆的圆心为2 3 ，1， 3所以圆心到原点的距离d ＝12＋2 32＝ 2133.答案 B5.(2017 衡·水中学模拟 )已知圆C ： (x － 1)2＋ y 2＝ 25，则过点 P(2，－ 1)的圆 C 的全部弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是 () A.10 31 B.9 21 C.1023D.9 11分析易知最长弦为圆的直径10，又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC |＝2，∴最短弦的长为 2 r2－ |PC|2＝ 2 25－2＝ 2 23，故所求四边形的面积1S＝×10×2 23＝ 10 23. 2答案C二、填空题6.(2017 广·安调研 )过点 (1， 1)的直线 l与圆 (x－ 2)2＋ (y－ 3)2＝9 订交于 A， B 两点，当 |AB|＝ 4时，直线 l 的方程为 ________.分析易知点 (1，1) 在圆内，且直线 l 的斜率 k 存在，则直线l 的方程为 y－1＝ k(x－ 1)，即 kx － y＋ 1－k＝ 0.又 |AB|＝ 4， r＝ 3，∴圆心 (2，3)到 l 的距离 d＝ 32－ 22＝ 5.所以|k－2|＝ 5，解得 k＝－1.k2＋（－ 1）22∴直线 l 的方程为 x＋ 2y－ 3＝ 0.答案x＋2y－ 3＝ 07.(2017 北·京卷 ) 已知点 P 在圆 x2＋ y2＝ 1 上，点 A 的坐标为→ →( －2， 0)， O 为原点，则 AO·AP的最大值为 ________.分析→→法一由题意知， AO＝(2 ，0)，令 P(cos α， sin α)，则 AP＝ (cos α＋2，sin α).→ →→ →AO·AP＝ (2， 0) ·(cos α＋ 2， sin α)＝ 2cos α＋ 4≤6，故 AO·AP 的最大值为 6.法二由题意知，→AO＝ (2， 0)，令 P(x， y)，－ 1≤x≤1，→ →→ →则 AO·AP＝(2 ，0) ·(x＋ 2， y)＝ 2x＋ 4≤6，故 AO·AP的最大值为 6.答案68.(2017 菏·泽二模 )已知圆 C 的方程是 x2＋ y2－ 8x－ 2y＋ 8＝ 0，直线 l：y＝ a(x－ 3)被圆 C 截得的弦长最短时，直线 l 方程为 ________.分析圆 C 的标准方程为 (x－ 4)2＋ ( y－ 1)2＝ 9，∴圆 C 的圆心 C(4， 1)，半径 r＝ 3.又直线 l ： y＝ a(x－ 3)过定点 P(3， 0)，则当直线y＝ a(x－ 3)与直线 CP 垂直时，被圆 C 截得的弦长最短.1－ 0所以 a·k CP＝ a·＝－ 1，∴ a＝－ 1.4－ 3故所求直线 l 的方程为 y＝－ (x－ 3)，即 x＋ y－ 3＝0.答案 x＋y－ 3＝ 0三、解答题9.已知点 A(3，3)，B(5， 2)到直线 l 的距离相等，且直线l 经过两直线 l 1： 3x－y－ 1＝ 0 和 l2：x＋ y－ 3＝0 的交点，求直线 l 的方程 .3x－ y－ 1＝0，解解方程组得交点 P(1， 2).x＋ y－ 3＝ 0，①若点 A， B 在直线 l 的同侧，则 l∥ AB.3－ 21而 k AB＝3－5＝－2，由点斜式得直线l 的方程为 y－2＝－1(x－ 1)，2即 x＋ 2y－5＝ 0.②若点 A， B 分别在直线 l 的异侧，则直线l 经过线段 AB 的中点5 4，2，l 的方程为y－2＝5－ 2由两点式得直线2，x－ 14－ 1即 x－ 6y＋11＝0.综上所述，直线l 的方程为x＋ 2y－ 5＝0 或 x－ 6y＋ 11＝ 0.10.(2015 全·国Ⅰ卷 )已知过点 A(0，1)且斜率为k 的直线 l 与圆 C：(x－ 2)2＋ (y－ 3)2＝ 1 交于 M，N两点 .(1)求 k 的取值范围；→→(2)若OM ·ON＝ 12，此中 O 为坐标原点，求 |MN |.解 (1)由题设，可知直线 l 的方程为 y＝ kx＋ 1，|2k－ 3＋ 1|由于 l 与 C 交于两点，所以2<1.1＋ k解得4－ 74＋ 7 3<k<3.所以 k 的取值范围为4－7，4＋ 7.33(2) 设 M( x1， y1)， N( x2， y2).将 y＝ kx＋ 1 代入方程 ( x－ 2)2＋(y－3) 2＝ 1，整理得 (1＋k2)x2－ 4(1＋ k)x＋ 7＝ 0.所以 x1＋ x2＝4（1＋ k），x1x2＝72. 1＋k21＋ k→ →OM ·ON＝ x1x2＋ y1y224k（1＋ k）＋ 8.＝ (1＋ k )x1x2＋ k(x1＋ x2)＋ 1＝21＋ k由题设可得4k（ 1＋k）＋ 8＝12，解得 k＝ 1，1＋k2所以 l 的方程为 y＝ x＋1.故圆心 C 在 l 上，所以 |MN |＝ 2.11.(2016 江·苏卷节选 )如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 M： x2＋ y2－ 12x －14y＋ 60＝ 0 及其上一点 A(2， 4).(1)设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x＝6 上，求圆 N 的标准方程；(2)设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 订交于 B， C 两点，且 |BC |＝ |OA|，求直线 l 的方程 .解 (1)圆 M 的标准方程为 (x－6)2＋ (y－7) 2＝ 25，所以圆心 M(6， 7)，半径为 5，(1)由圆心 N 在直线 x＝ 6 上，可设 N(6，y0).由于圆 N 与 x 轴相切，与圆M 外切，所以 0< y0<7 ，圆 N 的半径为y0，从而 7－y0＝5＋ y0，解得 y0＝ 1.所以，圆N 的标准方程为 (x－ 6)2＋ ( y－ 1)2＝ 1.(2)由于直线 l∥ OA，所以直线l 的斜率为4－0＝ 2. 2－ 0设直线 l 的方程为y＝ 2x＋ m，即 2x－ y＋m＝0，则圆心 M 到直线 l 的距离d＝|2 ×6－ 7＋ m||m＋ 5|＝.55由于 |BC|＝ |OA|＝22＋ 42＝25，22又|MC|＝d＋|BC|22，（m＋ 5）2所以25＝5＋ 5，解得m＝ 5 或m＝－ 15.故直线l 的方程为2x－y＋ 5＝ 0 或2x－ y－ 15＝ 0.。

2016届高考数学理命题猜想专题15直线与圆(解析版)

【考向解读】考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题.直线与圆的位置关系特别是弦长问题，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.【命题热点突破一】直线的方程及应用 1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．3．两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0， l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.(2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.例1 (1)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2(2)已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为( ) A ．0或－12B.12或－6C ．－12或12D ．0或12【答案】 (1)C (2)B所以8m 2＋44m －24＝0.所以2m 2＋11m －6＝0. 所以m ＝12或m ＝－6.【特别提醒】(1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．【变式探究】已知A (3,1)，B (－1,2)两点，若∠ACB 的平分线方程为y ＝x ＋1，则AC 所在的直线方程为( )A ．y ＝2x ＋4B ．y ＝12x －3 C ．x －2y －1＝0 D ．3x ＋y ＋1＝0 【答案】 C【命题热点突破二】圆的方程及应用1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2.2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以(－D 2，－E2)为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆．例2 (1)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ±2)2＝3 B ．(x －2)2＋(y ±3)2＝3C．(x－2)2＋(y±2)2＝4D．(x－2)2＋(y±3)2＝4(2)已知圆M的圆心在x轴上，且圆心在直线l1：x＝－2的右侧，若圆M截直线l1所得的弦长为23，且与直线l2：2x－5y－4＝0相切，则圆M的方程为()A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x＋1)2＋y2＝4C．x2＋(y－1)2＝4 D．x2＋(y＋1)2＝4【答案】(1)D(2)B【特别提醒】解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．【变式探究】(1)经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程为________________．(2)已知直线l的方程是x＋y－6＝0，A，B是直线l上的两点，且△OAB是正三角形(O为坐标原点)，则△OAB外接圆的方程是____________________．【答案】(1)(x－2)2＋(y－1)2＝10(2)(x－2)2＋(y－2)2＝8【解析】(1)由题意知K AB＝2，AB的中点为(4,0)，设圆心为C(a，b)，∵圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上．则⎩⎪⎨⎪⎧b a －4＝－12，2a －b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1∴C (2,1)，∴r ＝|CA |＝－2＋－2＝10.∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.【命题热点突破三】直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法． (1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则d <r ⇔直线与圆相交，d ＝r ⇔直线与圆相切，d >r ⇔直线与圆相离．(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，x －a 2＋y －b 2＝r 2消去y ，得关于x 的一元二次方程根的判别式Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0. 2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．设圆C 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21，圆C 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22，两圆心之间的距离为d ，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：(1)d >r 1＋r 2⇔两圆外离； (2)d ＝r 1＋r 2⇔两圆外切；(3)|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2⇔两圆相交； (4)d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内切； (5)0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内含．例3、(1)已知直线2x ＋(y －3)m －4＝0(m ∈R )恒过定点P ，若点P 平分圆x 2＋y 2－2x －4y －4＝0的弦MN ，则弦MN 所在直线的方程是( )A ．x ＋y －5＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y －1＝0D ．x －y ＋1＝0(2)已知P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A．3B.212C．22D．2【答案】(1)A(2)D(2)如图，把圆的方程化成标准形式得x2＋(y－1)2＝1，所以圆心为(0,1)，半径为r＝1，四边形PACB的面积S＝2S△PBC，所以若四边形PACB的最小面积是2，则S△PBC的最小值为1.而S△PBC＝12r·|PB|，即|PB|的最小值为2，此时|PC|最小，|PC|为圆心到直线kx＋y＋4＝0的距离d，此时d＝|5|k2＋1＝12＋22＝5，即k2＝4，因为k>0，所以k＝2.【特别提醒】(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．【变式探究】(1)已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2＝－2y＋3，直线l过点(1,0)且与直线x－y＋1＝0垂直．若直线l与圆C交于A、B两点，则△OAB的面积为() A．1B.2C．2D．2 2(2)两个圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三条公切线，则a＋b的最小值为()A．－6B．－3C．－32D．3【答案】(1)A(2)C(2)两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程分别为圆C 1：(x ＋a )2＋y 2＝4，圆C 2：x 2＋(y －b )2＝1，所以|C 1C 2|＝a 2＋b 2＝2＋1＝3，即a 2＋b 2＝9.由(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22，得(a ＋b )2≤18，所以－32≤a ＋b ≤32，当且仅当“a ＝b ”时取“＝”．所以选C.【高考真题解读】1．(2015·新课标全国Ⅰ，14)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．【答案】 ⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254【解析】由题意知圆过(4，0)，(0，2)，(0，－2)三点，(4，0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y ＋1＝－2(x －2)，令y ＝0，解得x ＝32，圆心为⎝⎛⎭⎫32，0，半径为52.故圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254.2．(2015·江苏，10)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．【答案】 (x －1)2＋y 2＝23．(2015·广东，5)平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( )A ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0D ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 【答案】 D【解析】设所求切线方程为2x ＋y ＋c ＝0，依题有|0＋0＋c |22＋12＝5，解得c ＝±5，所以所求切线的直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0，故选D.4．(2015·新课标全国Ⅱ，7)过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M 、N 两点，则|MN |＝( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10【答案】 C5．(2015·重庆，8)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210【答案】 C【解析】圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为C (2，1)，半径为r ＝2，因此2＋a ×1－1＝0，a ＝－1，即A (－4，－1)，|AB |＝|AC |2－r 2＝（－4－2）2＋（－1－1）2－4＝6，选C.6．(2015·山东，9)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34 【答案】 D7．(2014·江西，9)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.45πB.34πC ．(6－25)π D.54π 【答案】 A【解析】由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ，要使圆C 的面积最小，只需圆C 的半径或直径最小．又圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点O 到直线2x ＋y －4＝0的距离，此时2r ＝45，得r ＝25，圆C 的面积的最小值为S ＝πr 2＝45π.8．(2014·陕西，12)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为____________．【答案】 x 2＋(y －1)2＝1【解析】因为点(1，0)关于直线y ＝x 对称点的坐标为(0，1)，即圆心C 为(0，1)，又半径为1，∴圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.9．(2014·四川，14)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．【答案】 510．(2014·江苏，11)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．【答案】－3【解析】由曲线y ＝ax 2＋b x 过点P (2，－5)可得－5＝4a ＋b 2 (1)．又y ′＝2ax －bx 2，所以在点P 处的切线斜率4a －b 4＝－72 (2)．由(1)(2)解得a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.11．(2015·广东，20)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解 (1)圆C 1的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4. ∴圆C 1的圆心坐标为(3，0)． (2)设动直线l 的方程为y ＝kx .联立⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）2＋y 2＝4，y ＝kx ⇒(k 2＋1)x 2－6x ＋5＝0，则Δ＝36－4(k 2＋1)×5>0⇒k 2<45.设A ，B 两点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6k 2＋1.⇒AB 中点M 的轨迹C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3k 2＋1，y ＝3k k 2＋1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－255<k <255，即轨迹C 的方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94，53<x ≤3.。

高考数学二轮复习专题九解析几何第1讲直线与圆专

（通用版）2016年高考数学二轮复习专题九解析几何第1讲直线与圆专题强化训练理(时间：45分钟满分：60分)一、选择题1．命题p ：“a ＝－2”是命题q ：“直线ax ＋3y －1＝0与直线6x ＋4y －3＝0垂直”成立的( )A ．充要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．既非充分也非必要条件解析：选A.直线ax ＋3y －1＝0与直线6x ＋4y －3＝0垂直的充要条件是6a ＋12＝0，即a ＝－2，因此选A.2．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3，－1] B ．[－1，3] C ．[－3，1] D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析：选C.由题意可得，圆的圆心为(a ，0)，半径为2，∴|a －0＋1|12＋（－1）2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.3．已知圆C ：x 2＋y 2＝4，若点P (x 0，y 0)在圆C 外，则直线l ：x 0x ＋y 0y ＝4与圆C 的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．不能确定解析：选C.由题意：圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝4x 20＋y 20，∵P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4外，∴x 20＋y 20>4.∴d ＝4x 20＋y 20<2，∴直线l 与圆相交，故选C.4．在平面直角坐标系内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选A.圆C 的标准方程为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，所以圆心为(－a ，2a )，半径r＝2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0|－a |>2⇒a <－2|2a |>2，故选A.5．已知在圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0内，过点E (1，0)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．3 5B ．6 5C ．415D ．215解析：选D.将圆的方程化为标准方程得(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，圆心坐标为F (2，－1)，半径r ＝5，如图，显然过点E 的最长弦为过点E 的直径，即|AC |＝25，而过点E 的最短弦为垂直于EF 的弦，|EF |＝（2－1）2＋（－1－0）2＝2，|BD |＝2r 2－|EF |2＝23，∴S 四边形ABCD ＝12|AC |×|BD |＝215.6．圆心在y 轴上且过点(3，1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＋10y ＝0B ．x 2＋y 2－10y ＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0解析：选B.依题意，设圆心为(0，b )，半径为r ，则r ＝|b |，∴圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2， ∵点(3，1)在圆上，∴9＋(1－b )2＝b 2，解得b ＝5，∴圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.7．已知圆C ：x 2＋y 2＋mx －4＝0上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，则实数m 的值为( )A ．8B ．－4C ．6D ．无法确定解析：选C.圆上存在关于直线x －y ＋3＝0对称的两点，则x －y ＋3＝0过圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－m2，0，即－m2＋3＝0，∴m ＝6.8．两条直线y ＝x ＋2a ，y ＝2x ＋a 的交点P 在圆(x －1)2＋(y －1)2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( )A ．(－15，1)B ．(－∞，－15)∪(1，＋∞)C ．(－15，1]D ．(－∞，－15)∪[1，＋∞)解析：选A.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2a y ＝2x ＋a ，解得P (a ，3a )由题意得(a －1)2＋(3a －1)2<4，∴－15<a <1，故应选A.9．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：选A.设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x 02y ＝－2＋y 02，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.10．圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与圆C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0的公切线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选D.圆C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4，∴圆心C 1(－1，－1)，半径r 1＝2；圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1， ∴圆心C 2(2，1)，半径r 2＝1.∴两圆心的距离d ＝（－1－2）2＋（－1－1）2＝13，r 1＋r 2＝3，∴d >r 1＋r 2， ∴两圆外离，∴两圆有4条公切线．二、填空题11．已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0和直线x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，则m 的值为________．解析：将x ＝3－2y 代入方程x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0，得5y 2－20y ＋12＋m ＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2 ＝4，y 1y 2＝12＋m5.∵OP ⊥OQ ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，而x 1＝3－2y 1，x 2＝3－2y 2，∴x 1x 2＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2＝－27＋4m5.故－27＋4m 5＋12＋m 5＝0，解得m ＝3.答案：312．过点M (12，1)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB最小时，直线l 的方程为________．解析：由题意得，当CM ⊥AB 时，∠ACB 最小，从而直线方程为y －1＝－1－120－1(x －12)，即2x －4y ＋3＝0. 答案：2x －4y ＋3＝013．已知直线l 1与直线l 2：3x ＋4y －6＝0平行且与圆：x 2＋y 2＋2y ＝0相切，则直线l 1的方程是________．解析：圆x 2＋y 2＋2y ＝0的圆心为(0，－1)，半径为r ＝1，因为直线l 1∥l 2，所以可设直线l 1的方程为3x ＋4y ＋c ＝0，由题意得|3×0＋4×（－1）＋c |32＋42＝1，解得c ＝－1或c ＝9.所以直线l 1的方程为3x ＋4y －1＝0或3x ＋4y ＋9＝0. 答案：3x ＋4y －1＝0或3x ＋4y ＋9＝0 14．圆心在原点且圆周被直线3x ＋4y ＋15＝0分成1∶3两部分的圆的方程为________．解析：因为圆周被直线3x ＋4y ＋15＝0分成1∶3两部分，所以∠AOB ＝90°.而圆心到直线3x ＋4y ＋15＝0的距离d ＝1532＋42＝3，在△AOB 中，可求得|OA |＝3 2.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＝18.答案：x 2＋y 2＝18 三、解答题15.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解：(1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3，2)，于是切线的斜率必存在．设过A (0，3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3.由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或k ＝－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0. (2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋（2a －3）2≤3.整理，得－8≤5a 2－12a ≤0.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ；由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为[0，125]．16．已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点，直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)设Q (m ，n )是线段MN 上的点，且2|OQ |2＝1|OM |2＋1|ON |2，请将n 表示为m 的函数．解：(1)将y ＝kx 代入x 2＋(y －4)2＝4中，得(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0.(*)由Δ＝(－8k )2－4(1＋k 2)×12>0，得k 2>3，所以k 的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞)．(2)因为点M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1)，(x 2，kx 2)，则|OM |2＝(1＋k 2)x 21，|ON |2＝(1＋k 2)x 22.又|OQ |2＝m 2＋n 2＝(1＋k 2)m 2，由2|OQ |2＝1|OM |2＋1|ON |2，得 2（1＋k 2）m 2＝1（1＋k 2）x 21＋1（1＋k 2）x 22，即2m 2＝1x 21＋1x 22＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 21x 22. 由(*)式可知，x 1＋x 2＝8k 1＋k 2，x 1x 2＝121＋k2，所以m 2＝365k 2－3.因为点Q 在直线y ＝kx 上，所以k ＝n m. 代入m 2＝365k 2－3中并化简，得5n 2－3m 2＝36.由m 2＝365k 2－3及k 2>3，可知0<m2<3，即m∈(－3，0)∪(0，3)．根据题意，点Q在圆C内，则n>0，所以n＝36＋3m25＝15m2＋1805.于是，n与m的函数关系式为n＝15m2＋1805(m∈(－3，0)∪(0，3))．。

2016年高三数学二轮复习考点汇编专题1.16直线与圆(解析版)

热点16 直线与圆【热点考法】1.直线方程常考内容有直线的倾斜角、斜率、方程，两直线垂直、平行关系及交点的求解；试题的设计往往与圆锥曲线交汇命题；2.圆的方程主要考查求圆的方程及圆的性质的应用，试题主要以选择题、填空题的形式出现；3.直线与圆的的位置关系主要考查直线与圆的相交、相切、相离关系的判定与应用、弦长、面积的求法等，并与圆的几何性质交汇．【热点考向】考向一直线的方程【解决法宝】1.求直线方程的本质是确定方程中两个独立的系数，其常用方法是：①直接法：直接选用恰当的直线方程的形式，写出结果；②待定系数法：即先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有一待定系数，再由其他条件求出待定系数．2.判定两直线平行与垂直的关系时，如果直线方程中含有字母系数，一定要注意斜率不存在的情况．3.使用点到直线的距离公式时，要注意将直线方程化成一般式，再利用公式求其距离；使用x,的系数要对应相等．两平行线间的距离公式时，两直线必须是一般式且两直线方程中y例1．【黑龙江省哈尔滨三十二中2016届高三上学期期末】已知点A（1，﹣2），B（m，2），且线段AB的垂直平分线的方程是x+2y﹣2=0，则实数m的值是．【分析】由题意可得点A、B的中点（，0）在直线x+2y﹣2=0上，代入可得m的方程，解方程可得m的值．考向二圆的方程【解决法宝】圆的方程的求法：①几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求出圆的基本元素（圆心、半径）和方程；②代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．注：根据条件，设圆的方程时要尽量减少参数，这样可减少运算量．例2．【山西省太原市2016届高三模拟试题（一）】圆心在曲线2(0)y x x=>上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为【分析】由圆心在曲线2(0)y x x =>上，设圆心坐标为（a ，2a）a ＞0，根据圆与直线2x+y+1=0相切，得到圆心到直线的距离d=圆的半径r ．考向三直线与圆的位置关系【解决法宝】在解决直线与圆的位置关系问题时，一定要联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征，尽可能地简化运算，讨论直线与圆的位置关系时，一般不用0>∆，0=∆，0<∆；而用圆心到直线的距离r d <，r d =，r d >来确定直线与圆相交、相切、相离的位置关系．例3．【山东省济南市2016届高三3月高考模拟考试】已知过点()4,2的直线l 被圆0542:22=---+y x y x C 截得的弦长为6，则直线l 的方程为【分析】讨论（i ）当直线的斜率不存在时，（ii ）所求的直线的斜率为k ，根据半弦长、半径、弦心距构成的直角三角形求解.【解析】圆0542:22=---+y x y x C 的圆心坐标（1，2），半径为 10 过点()4,2的直线l 被圆0542:22=---+y x y x C 截得的弦长为6，∴圆心到所求直线的距离为：1，（i ）当直线的斜率不存在时，直线方程为02=-x ，满足圆心到直线的距离为1．（ii ）设所求的直线的斜率为k ，所求直线为：()24-=-x k y ，即042=+--k y kx ，∴114222=++--kk k ，3=∴k所求直线方程为：01043=+-y x ，故答案为：02=-x 或01043=+-y x ．【热点集训】1. 【四川省遂宁市2016届高三上学期期末】圆x 2+y 2+2x ﹣4y=0的半径为（） A ．3B ．C ．D ．5【答案】C【解析】圆x 2+y 2+2x ﹣4y=0的半径：r==．故选C ．【点评】本题考查圆的直径的求法，是基础题，解题时要认真审题．2. 【四川省遂宁市2016届高三上学期期末】直线l ：2x ﹣2y+1=0的倾斜角为（） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 【答案】B3.【山东省菏泽市2016届高三下学期一模考试】圆22(1)1x y -+=被直线0x =分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为（） A. 1:2 B. 1:3C.1:4D.1:5【答案】A 【解析】的圆心为（1，0），半径为1．圆心到直线的距离为所以较短弧长对的圆心角为较长弧长对的圆心角为故弧长之比为1:2．故答案为A4.【长春市普通高中2016届高三质量监测（二）】已知AB 为圆:O 22(1)1x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅的最小值为（）A. 1C. 2D. 【答案】A5.【四川省遂宁市2016届高三（上）期末】圆C 1：x 2+y 2+2x=0与圆C 2：x 2+y 2﹣4x+8y+4=0的位置关系是（）A ．相交B ．外切C ．内切D ．相离【答案】B6.【宁夏中卫一中2016届高三上学期期末】已知直线l ：x+ay ﹣1=0（a ∈R ）是圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y+1=0的对称轴．过点A （﹣4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|=（） A ．2B ．C ．6D ．【答案】C【解析】圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y+1=0，即（x ﹣2）2+（y ﹣1）2=4，表示以C （2，1）为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线l ：x+ay ﹣1=0经过圆C 的圆心（2，1），故有2+a ﹣1=0，∴a=﹣1，点A （﹣4，﹣1）．由于AC==2，CB=R=2，∴切线的长|AB|===6，故选C ．7.【宁夏中卫一中2016届高三上学期期末】平行于直线2x+y+1=0且与圆x 2+y 2=5相切的直线的方程是（）A ．2x+y+5=0或2x+y ﹣5=0B ．2x+y+=0或2x+y ﹣=0C ．2x ﹣y+5=0或2x ﹣y ﹣5=0D ．2x ﹣y+=0或2x ﹣y ﹣=0【答案】A8.【吉林省长春外国语学校2016届高三上学期期末】已知直线x+y=a 与圆x 2+y 2=4交于A 、B 两点，且||=||，其中O 为原点，则实数a 的值为（）A ．2B ．﹣2C ．2或﹣2D ．或﹣【答案】C 【解析】由||=||得||2=||2，•=0，⊥，三角形AOB 为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为，即=，a=±2，故选C ．9.【黑龙江省哈尔滨三十二中2016届高三上学期期末】一动圆与两圆x 2+y 2=1和x 2+y 2﹣8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线【答案】C【解析】设动圆的圆心为P ，半径为r ，而圆x 2+y 2=1的圆心为O （0，0），半径为1；圆x 2+y 2﹣8x+12=0的圆心为F （4，0），半径为2．依题意得|PF|=2+r|，|PO|=1+r ，则|PF|﹣|PO|=（2+r ）﹣（1+r ）=1＜|FO|，所以点P 的轨迹是双曲线的一支．故选C ．10.【2015届山东省枣庄市第三中学高三1月月考试题】原点到直线052=-+y x 的距离为（）A ． 1B ．3C ．2D ．5 【答案】D 【解析】52152=+-=d .11.【雅安中学2014-2015学年高三上学期“二诊”模拟试题】圆 0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是（）A 25 B. 18 C. 26 D.36 【答案】C12.【华中师大一附中2014-2015学年度上学期高三期中检测试题】已知圆的方程为08622=--+y x y x .设该圆过点（-1，4）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A ．15B ．30C ．45D ．60 【答案】B【解析】圆的标准方程为22(3)(4)25x y -+-=，过点（-1，4）的最长弦AC 所在的直线圆心，故10AC =，过点（-1，4）的最短弦BD 所在直线垂直于AC ，由勾股定理得6BD =，故四边形ABCD 的面积为1610302S =⨯⨯=． 13.【四川省遂宁市2016届高三上学期期末】直线ax+2by=1与圆x 2+y 2=1相交于A ，B 两点（其中a ，b 是实数），且△AOB 是直角三角形（O 是坐标原点），则点P （a ，b ）与点Q （0，0）之间距离的最大值为．【答案】【解析】∵△AOB 是直角三角形（O 是坐标原点）， ∴圆心到直线ax+2by=1的距离d=，即d=，整理得a 2+4b 2=2，则点P （a ，b ）与点Q （0，0）之间距离d==，∴当b=0时，点P （a ，b ）与点Q （0，0）之间距离取得最大值为，故答案为：14.【宁夏中卫一中2016届高三上学期期末】经过圆x 2+2x+y 2=0的圆心C ，且与直线x+y=0垂直的直线方程是．【答案】x ﹣y+1=015.【吉林省长春外国语学校2016届高三上学期期末】已知直线过定点P （2，1）．（1）求经过点P 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程；（2）若过点P 的直线l 与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，求△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程．【答案】（1）x+y ﹣3=0；（2）x+2y ﹣4=0．【解析】（1）∵直线过定点P （2，1）且在两坐标轴上的截距相等，设直线方程为：x+y=a ，将P （2，1）代入得：a=3，故直线方程是：x+y ﹣3=0；（2）由题意设直线的截距式方程为+=1（a ，b ＞0）， ∵直线过P （2，1），∴+=1， ∴1=+≥2，∴ab≥8，当且仅当=即a=4且b=2时取等号， ∴△AOB 的面积S=ab≥4，∴△AOB 面积的最小值为4，此时直线l 的方程为+=1，化为一般式方程可得x+2y ﹣4=0．16.【2014-2015学年山西省大同市一中高二上学期期中考试试题】已知直线l 经过两点A （2，1），B （6，3）（1）求直线l 的方程（2）圆C 的圆心在直线l 上，并且与x 轴相切于点（2，0），求圆C 的方程（3）若过B 点向（2）中圆C 引切线BS 、BT ，S 、T 分别是切点，求ST 直线的方程．【答案】（1）20x y -= （2）1)1()2(22=-+-y x （3）022=++y x17.【江苏省通州高级中学等五校2015届高三第一次联合考试试题】已知ABC ∆的三个顶点(1,0)A -，(1,0)B ，(3,2)C ，其外接圆为圆H ．（1）求圆H 的方程；（2）若直线l 过点C ，且被圆H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；【答案】（1）22(3)10x y +-=（2）3x =或4360x y --=【解析】(1) 设圆H 的方程为22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->,则有101094320D F D F D E F -+=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩解得016D F E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，22(3)10x y +-= (2) 设圆心到直线的距离为d ，则221+10d =，因此d=3，若l ⊥x 轴，直线方程为x=3，满足题意；若l 的斜率存在，设l 的方程为y=k(x －3)+2，圆心到直线的距离为解得k=43，直线方程为4360x y --=,综上3x =或4360x y --=。

2016届广东省高考数学二轮专题复习直线与圆01

直线与圆1．直线方程的五种形式(1)点斜式：y －y 1＝k (x －x 1)(直线过点P 1(x 1，y 1)，且斜率为k ，不包括y 轴和平行于y 轴的直线)．(2)斜截式：y ＝kx ＋b (b 为直线l 在y 轴上的截距，且斜率为k ，不包括y 轴和平行于y 轴的直线)．(3)两点式：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(直线过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，y 1≠y 2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．(4)截距式：x a ＋y b＝1(a 、b 分别为直线的横、纵截距，且a ≠0，b ≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．(5)一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)．2．直线的两种位置关系当不重合的两条直线l 1和l 2的斜率存在时：(1)两直线平行l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.(2)两直线垂直l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.提醒当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略．3．三种距离公式(1)A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点间的距离：AB ＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点到直线的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(其中点P (x 0，y 0)，直线方程为：Ax ＋By ＋C ＝0)． (3)两平行线间的距离：d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2(其中两平行线方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0.l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0)．提醒应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x ，y 的系数应对应相等．4．圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．5．直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法．(2)圆与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法.例1 (1)过点(5,2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是________________．(2)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为________．答案 (1)2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0 (2)823【详细分析】(1)当直线过原点时方程为2x －5y ＝0，不过原点时，可设出其截距式为x a ＋y 2a＝1，再由过点(5,2)即可解出2x ＋y －12＝0.(2)由l 1∥l 2，知3＝a (a －2)且2a ≠6(a －2)，2a 2≠18，求得a ＝－1，所以l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，两条平行直线l 1与l 2间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪6－2312＋(－1)2＝823. (1)要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．(2)求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即“斜率相等”或“互为负倒数”．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究．(1)直线l 1：kx ＋(1－k )y －3＝0和l 2：(k －1)x ＋(2k ＋3)y －2＝0互相垂直，则k ＝________.(2)过点(1,0)且倾斜角是直线x －2y －1＝0的倾斜角的两倍的直线方程是________________．答案 (1)－3或1 (2)4x －3y －4＝0【详细分析】(1)∵l 1⊥l 2，∴k (k －1)＋(1－k )(2k ＋3)＝0，解得k 1＝－3，k 2＝1.∴k ＝－3或1.(2)设直线x －2y －1＝0的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α. 由已知得tan α＝12，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－(12)2＝43，所以所求直线方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0.例2 (1)已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上．直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________________．(2)已知A (－2,0)，B (0,2)，实数k 是常数，M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上两个不同点，P 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上的动点，如果M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，则△P AB 面积的最大值是________．答案 (1)x ＋y －3＝0 (2)3＋ 2【详细分析】(1)设圆心坐标为(x 0,0)(x 0>0)，由于圆过点(1,0)，则半径r ＝|x 0－1|.圆心到直线l 的距离为d ＝|x 0－1|2.由弦长为22可知⎝ ⎛⎭⎪⎫|x 0－1|22＝(x 0－1)2－2，整理得(x 0－1)2＝4. ∴x 0－1＝±2，∴x 0＝3或x 0＝－1(舍去)．因此圆心为(3,0)，由此可求得过圆心且与直线y ＝x －1垂直的直线方程为y ＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0.(2)依题意得圆x 2＋y 2＋kx ＝0的圆心(－k 2，0)位于直线x －y －1＝0上，于是有－k 2－1＝0，即k ＝－2，因此圆心坐标是(1,0)，半径是1.由题意可得AB ＝22，直线AB 的方程是x －2＋y 2＝1，即x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到直线AB 的距离等于|1－0＋2|2＝322，点P 到直线AB 的距离的最大值是322＋1，△P AB 面积的最大值为12×22×32＋22＝3＋ 2. 圆的标准方程直接表示出了圆心和半径，而圆的一般方程则表示出了曲线与二元二次方程的关系，在求解圆的方程时，要根据所给条件选取适当的方程形式．解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．(1)已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，过点A (－1,0)的直线l 与圆C 相交于P 、Q 两点，若PQ ＝23，则直线l 的方程为________________．(2)已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且AB ＝6，则圆C 的方程为________．答案 (1)x ＝－1或4x －3y ＋4＝0 (2)x 2＋(y －1)2＝10【详细分析】(1)当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－1符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，线段PQ 的中点为M ，由于PQ ＝23，易得CM ＝1.又CM ＝|－3＋k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，此时直线l 的方程为y ＝43(x ＋1)．故所求直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0.(2)设所求圆的半径是r ，依题意得，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋(－3)2＝1，则r 2＝d 2＋(AB 2)2＝10，故圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10.考点三直线与圆、圆与圆的位置关系例3 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解 (1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，由题意，|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1.设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋(y －3)2＝2 x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则2－1≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋(2a －3)2≤3.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ；由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，125. (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系判断依据两个圆心距离与半径差与和的比较．(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．通过过圆外一点的圆的切线条数可以判断此点和圆的位置关系．过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外点距离利用勾股定理处理．(1)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于________．(2)(2013·重庆改编)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM ＋PN 的最小值为________．(3)(2013·山东改编)过点P (3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为________，△P AB 的外接圆方程为________________________．答案 (1)－33 (2)52－4 (3)2x ＋y －3＝0 (x －2)2＋(y －12)2＝54【详细分析】(1)∵S △AOB ＝12OA ·OB ·sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤12. 当∠AOB ＝π2时，S △AOB 面积最大．此时O 到AB 的距离d ＝22. 设AB 方程为y ＝k (x －2)(k <0)，即kx －y －2k ＝0.由d ＝|2k |k 2＋1＝22得k ＝－33. (也可k ＝－tan ∠OPH ＝－33)． (2)设P (x,0)，设C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么PC 1＋PC 2＝PC 1′＋PC 2≥C 1′C 2＝(2－3)2＋(－3－4)2＝5 2.而PM ＋PN ＝PC 1＋PC 2－4≥52－4.(3)易知点P (3,1)与圆心C 连线和AB 垂直，圆心为点(1,0)，点P (3,1) 与圆心连线斜率k ＝1－03－1＝12，故直线AB 斜率k AB ＝－2，结合图形易知A 点坐标为(1,1)，由点斜式得直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0.又由CA ⊥P A ，CB ⊥PB 知，A 、P 、B 、C 四点共圆，且CP 为其直径．∴△P AB 的外接圆方程为(x －2)2＋(y －12)2＝54.1．由于直线方程有多种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在具体求直线方程时，由所给的条件和采用的直线方程形式所限，可能会产生遗漏的情况，尤其在选择点斜式、斜截式时要注意斜率不存在的情况．2．确定圆的方程时，常用到圆的几个性质：(1)直线与圆相交时应用垂径定理构成直角三角形(半弦长，弦心距，圆半径)；(2)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(3)圆心在任一弦的中垂线上；(4)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(5)圆的对称性：圆关于圆心成中心对称，关于任意一条过圆心的直线成轴对称．3．直线与圆中常见的最值问题圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．4．过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0.5．两圆相交，将两圆方程联立消去二次项，得到一个二元一次方程即为两圆公共弦所在的直线方程.。

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【金版教程】2016届高考数学二轮复习第一编专题整合突破 5.1直线与圆（选择、填空题型）文一、选择题1.[2015·郑州质量预测(一)]命题p ：“a ＝－2”是命题q ：“直线ax ＋3y －1＝0与直线6x ＋4y －3＝0垂直”成立的( )A.充要条件 B ．充分非必要条件 C.必要非充分条件 D ．既非充分也非必要条件答案 A解析直线ax ＋3y －1＝0与直线6x ＋4y －3＝0垂直的充要条件是6a ＋12＝0，即a ＝－2，因此选A.2.已知直线l 1与直线l 2：3x ＋4y －6＝0平行且与圆：x 2＋y 2＋2y ＝0相切，则直线l 1的方程是( )A.3x ＋4y －1＝0B.3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －9＝0C.3x ＋4y ＋9＝0D.3x ＋4y －1＝0或3x ＋4y ＋9＝0 答案 D解析圆x 2＋y 2＋2y ＝0的圆心为(0，－1)，半径为r ＝1，因为直线l 1∥l 2，所以可设直线l 1的方程为3x ＋4y ＋c ＝0(c ≠－6)，由题意得|3×0＋4× －1 ＋c |32＋42＝1，解得c ＝－1或c ＝9.所以直线l 1的方程为3x ＋4y －1＝0或3x ＋4y ＋9＝0.故选D.3.若坐标原点在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则实数m 的取值范围是( ) A.－1<m <1 B ．－3<m < 3 C.－2<m < 2 D ．－22<m <22答案 C解析因为原点在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，所以2m 2<4，解得－2<m <2，故选C.4.对任意的实数k ，直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2－2x －2＝0的位置关系是( ) A.相离 B ．相切C.相交 D ．以上三个选项均有可能答案 C解析直线y ＝kx －1恒经过点A (0，－1)，02＋(－1)2－2×0－2＝－1<0，即A 在圆内，故直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相交，故选C.5.[2015·安徽高考]直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( )A.－2或12 B ．2或－12 C.－2或－12 D ．2或12答案 D解析圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心(1,1)到直线3x ＋4y ＝b 的距离|7－b |5＝1，所以b ＝2或b ＝12. 6.圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为( ) A.(x －2)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝1 C.(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1答案 A解析 ∵圆心(1,2)关于直线y ＝x 对称的点为(2,1)，∴圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.7.[2015·太原一模]已知在圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0内，过点E (1,0)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A.3 5 B ．6 5 C.415 D ．215答案 D解析将圆的方程化为标准方程得(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，圆心坐标为F (2，－1)，半径r ＝5，如图，显然过点E 的最长弦为过点E 的直径，即|AC |＝25，而过点E 的最短弦为垂直于EF 的弦，|EF |＝ 2－1 2＋－1－0 2＝2，|BD |＝2r 2－|EF |2＝23，∴S 四边形ABCD＝12|AC |×|BD |＝215，故选D.8.[2015·课标全国卷Ⅱ]已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53B.213C.253D.43答案 B解析解法一：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，∴⎩⎨⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1，∴△ABC 外接圆的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫1，233，故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为1＋⎝⎛⎭⎪⎫2332＝213. 解法二：∵A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，∴AB ＝BC ＝AC ＝2，△ABC 为等边三角形，故△ABC 的外接圆圆心是△ABC 的中心，又等边△ABC 的高为3，故中心为⎝⎛⎭⎪⎫1，233，故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为1＋⎝⎛⎭⎪⎫2332＝213. 9.[2015·兰州诊断]已知抛物线C 1：x 2＝2y 的焦点为F ，以F 为圆心的圆C 2交C 1于A ，B 两点，交C 1的准线于C ，D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则圆C 2的标准方程为( )A.x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝4 C.x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝2 答案 A解析由题设知抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以圆C 2的圆心坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.因为四边形ABCD 是矩形，且BD 为直径，AC 为直径，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12为圆C 2的圆心，所以点F 为该矩形的两条对角线的交点，所以点F 到直线CD 的距离与点F 到直线AB 的距离相等．又点F 到直线CD 的距离为p ＝1，所以直线AB 的方程为：y ＝32，可取A ⎝⎛⎭⎪⎫－3，32，所以圆C 2的半径r ＝|AF |＝－3－0 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－122＝2，所以圆C 2的标准方程为：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝4，故选A.10.已知点A (－2,0)，B (0,2)，若点C 是圆x 2－2ax ＋y 2＋a 2－1＝0上的动点，△ABC 面积的最小值为3－2，则a 的值为( )A.1 B ．－5 C.1或－5 D ．5答案 C解析解法一：圆的标准方程为(x －a )2＋y 2＝1，圆心M (a,0)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝|a ＋2|2，由图知圆上的点到直线AB 的最短距离为d －1＝|a ＋2|2－1，(S △ABC )min ＝12×22×|a ＋2|－22＝3－2，解得a ＝1或－5.解法二：圆的标准方程为(x －a )2＋y 2＝1，设C 的坐标为(a ＋cos θ，sin θ)，C 点到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝|a ＋cos θ－sin θ＋2|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋a ＋22，△ABC 的面积为S △ABC ＝12×22×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋a ＋22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋a ＋2，当a ≥0时，a ＋2－2＝3－2，解得a ＝1；当－2≤a <0时，|a ＋2－2|＝3－2，无解；当a <－2时，|a ＋2＋2|＝3－2，解得a ＝－5. 故a ＝1或－5.解法三：设与AB 平行且与圆相切的直线l ′的方程为x －y ＋m ＝0(m ≠2)，圆心M (a,0)到直线l ′的距离d ＝1，即|a ＋m |2＝1，解得m ＝±2－a ，两平行线l ，l ′之间的距离就是圆上的点到直线AB 的最短距离，即|m －2|2＝|±2－a －2|2，(S △ABC )min ＝12×22×|±2－a －2|2＝|±2－a －2|.当a ≥0时，|±2－a －2|＝3－2，解得a ＝1. 当a <0时，|±2－a －2|＝3－2，解得a ＝－5. 故a ＝1或－5. 二、填空题11.在平面直角坐标系xOy 中，若圆x 2＋(y －1)2＝4上存在A ，B 两点关于点P (1,2)成中心对称，则直线AB 的方程为________．答案 x ＋y －3＝0解析根据题意，直线AB 必过点P (1,2)，且和过点P (1,2)的直径垂直，因为过点P (1,2)的直径的斜率为1，所以直线AB 的斜率为－1，用点斜式可求得AB 的方程为x ＋y －3＝0.12.已知圆M 的圆心在x 轴上，且圆心在直线l 1：x ＝－2的右侧，若圆M 被直线l 1所截得的弦长为23，且与直线l 2：2x －5y －4＝0相切，则圆M 的方程为________．答案 (x ＋1)2＋y 2＝4解析由已知，可设圆M 的圆心坐标为(a,0)，半径为r ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2 2＋ 3 2＝r 2，|2a －4|4＋5＝r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，r ＝2，(a ＝－475舍去)，所以圆M 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4，故填(x ＋1)2＋y 2＝4.13.若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0(a >0)相交，公共弦的长为22，则a ＝________.答案102解析联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0，可得公共弦所在直线方程为ax ＋2ay －5＝0，故圆心(0,0)到直线ax ＋2ay －5＝0的距离为|－5|a 2＋4a2＝5a(a >0)．故222－⎝⎛⎭⎪⎫5a 2＝22，解得a 2＝52，因为a >0，所以a ＝102. 14.已知M ＝{x |x 2＋x －12<0}，任取b ∈M ，则直线l ：x ＋2y ＋b ＝0与圆C ：x 2＋y 2－2x －2y －3＝0相交的概率为________．答案 67解析由x 2＋x －12<0，得－4<x <3，故M ＝(－4,3)．圆C 的方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝5，其圆心为C (1,1)，半径为r ＝ 5.由直线l 和圆C 相交，可得圆心C 到直线l 的距离小于圆的半径，即|1＋2×1＋b |12＋22<5，整理得|b ＋3|<5，解得－8<b <2. 因为b ∈M ，所以－4<b <2.故所求事件的概率为P ＝2－－4 3－－4 ＝67，故填67.。