北京市东城区2018-2019第一学期期末数学理科含答案
D_北京市东城区2019届高三第一学期期末数学理科试题(精品解析)
2018-2019学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合A={x|-2＜x≤0}，B={-2，-1，0，1，2}，则A∩B=（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用交集运算得答案．【详解】∵集合表示到0的所有实数，集合表示5个整数的集合，∴，故选C．【点睛】本题主要考查了交集的概念及其运算，是基础题．2.下列复数为纯虚数的是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用复数的运算对每个选项逐一求解即可得答案.【详解】∵，，，，∴为纯虚数的是，故选D．【点睛】本题主要考查了复数的基本运算及基本概念，是基础题3.下列函数中，是奇函数且存在零点的是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性及函数的零点可判断为奇函数，且存在零点为，为非奇非偶函数，为偶函数，不存在零点，故得解．【详解】对于选项A：为奇函数，且存在零点为x=0，与题意相符；对于选项B：为非奇非偶函数，与题意不符；对于选项C：为偶函数，与题意不符；对于选项D：不存在零点，与题意不符，故选：A．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性及函数的零点，熟练掌握常见初等函数的性质是解题的关键，属于简单题．4.执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的等于（ ）A. 3B. 12C. 60D. 360【答案】C【解析】【分析】通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果．【详解】模拟执行程序，可得，，，，，满足条件，执行循环体，，，满足条件，执行循环体，，，不满足条件，退出循环，输出的值为60．故选C．【点睛】本题考查程序框图的应用，解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时，常采用写出几次的结果找规律，属于基础题．5.“”是“函数的图像关于直线对称”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的对称性求出函数的对称轴为，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】若函数的图象关于直线，则，得，当时，，即“”是“函数的图象关于直线对称”的充分不必要条件，故选A．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的对称性求出的取值范围是解决本题的关键．6.某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为（ ）A. 2B.C.D. 3【答案】D【解析】【分析】由三棱锥的三视图知该三棱锥是三棱锥，其中底面，，，，由此能求出在该三棱锥中，最长的棱长．【详解】由三棱锥的三视图知该三棱锥是如图所示的三棱锥，其中底面，，，，∴，∴在该三棱锥中，最长的棱长为，故选D．【点睛】本题考查三棱锥中最长棱长的求法，考查三棱锥性质及其三视图等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是基础题．7.在极坐标系中，下列方程为圆的切线方程的是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求出圆的直角坐标方程为，圆心为，半径，将每个选项分别利用直角坐标表示，根据直线与圆的位置关系能求出结果．【详解】圆，即，∴圆的直角坐标方程为，即，圆心为，半径，在A中，即，圆心到的距离，故不是圆的切线，故A错误；在B中，是圆，不是直线，故B错误；在C中，即，圆心到的距离，故是圆的切线，故C正确；在D中，即，圆心到的距离，故不是圆的切线，故D错误．故选C．【点睛】本题考查圆的切线方程的判断，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和E2，则的值所在的区间为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出．【详解】，∴，，∴，，∴，∵，，，∴，∴的值所在的区间为，故选B．【点睛】本题考查了对数的运用以及运算，熟练掌握对数的运算性质是解题的关键，属于基础题.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.若满足，则的最小值为______．【答案】4【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义即可得到结论．【详解】作出，满足对应的平面区域，由，得，平移直线，由，解得由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小，此时，故答案为4．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.10.已知双曲线-=1的一个焦点为，则m=______．【答案】3【解析】【分析】由双曲线的焦点坐标可得的值，列出关于的方程，解出即可．【详解】双曲线的一个焦点为，即，解得，故答案为3．【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，注意分析、的关系，属于基础题.11.若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=-1，b1=2，a3+b2=-1，试写出一组满足条件的数列{a n}和{b n}的通项公式：a n=______，b n=______．【答案】(1). -n(2). 2【解析】【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得，，即可得到所求通项公式，注意答案不唯一．【详解】等差数列的公差设为，等比数列的公比设为，，，，可得，即为，可取，可得，则，，故答案为，2．【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．12.在菱形ABCD中，若，则的值为______．【答案】【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分，则，结合平面向量的数量积公式计算即可．【详解】菱形中，，由可得则，故答案为．【点睛】本题考查了平面向量的数量积计算问题，由菱形的性质得到是解题的关键，属于基础题．13.函数在区间上的最大值为______．【答案】【解析】【分析】利用两角差的正弦与余弦公式化简，根据在上，结合三角函数的性质可得最大值．【详解】函数；∵，∴当时，取得最大值为，故答案为.【点睛】本题主要考查了两角和与差公式的应用和计算能力，得到是解题的关键，属于基础题．14.已知函数f（x）为定义域为R，设F f（x）=．①若f（x）=，则F f（1）=______；②若f（x）=e a-|x|-1，且对任意x∈R，F f（x）=f（x），则实数a的取值范围为______．【答案】(1). (2).【解析】【分析】①通过的范围，可得，代入可得所求值；②由题意可得恒成立，运用绝对值不等式的性质和参数分离，以及函数的最值求法，可得的范围．【详解】①若，由，可得，成立，即有，则；②若，且对任意，，可得恒成立，即为，即有，可得，即，由的最小值为，则，故答案为，．【点睛】本题主要考查分段函数的运用：求函数值和解析式，考查变形能力和转化思想，注意运用参数分离和绝对值不等式的性质，将问题转化为恒成立是解决②的关键，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.在△ABC中，．（1）求∠B的大小；（2）若△ABC的面积为a2，求cos A的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理可得，结合范围，可求的值；（2）利用三角形的面积公式可求的值，根据余弦定理可求的值，进而可求的值．【详解】（1）在△ABC中，由正弦定理可得：，所以：，又，．（2）因为△ABC的面积为，∴2，由余弦定理，，所以．．【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题16.某中学有学生500人，学校为了解学生的课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，获得了他们某一个月课外阅读时间的数据（单位：小时），将数据分为5组：[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]，整理得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的x的值；（2）试估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（3）已知课外阅读时间在[10，12）的样本学生中有3名女生，现从阅读时间在[10，12）的样本学生中随机抽取3人，记X为抽到女生的人数，求X的分布列与数学期望E（X）．【答案】（1）0.15；（2）150；（3）见解析【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图，通过概率和为1，即可求解；（2）利用分布直方图求解即可；（3）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，求出概率得到分布列，然后求解期望．【详解】（1）由，可得0.15（2），即课外阅读时间不小于16个小时的学生样本的频率为0.30.500×0.30=150，所以可估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16个小时的学生人数为150．（3）课外阅读时间在[10，12）的学生样本的频率为0.08×2=0.16，50×0.16=8，即阅读时间在[10，12）的学生样本人数为8，8名学生为3名女生，5名男生，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，； ；；．所以X的分布列为：X0123P故的期望【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，频率分布直方图的应用，考查计算能力，属于中档题.17.如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，E，F分别为AD，BC的中点，AE=EF，．将四边形ABFE沿EF折起，使平面ABFE⊥平面EFCD（如图2），G是BF的中点．（1）证明：AC⊥EG；（2）在线段BC上是否存在一点H，使得DH∥平面ABFE？若存在，求的值；若不存在，说明理由；（3）求二面角D-AC-F的大小．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）推导出，，，从而平面，进而，四边形为正方形，，由此能证明平面，从而；（2）由，，两两垂直，建立空间直角坐标系，由此利用向量法能求出在线段上存在一点，使得平面，并能求出的值；（3）求出平面的法向理和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的大小．【详解】证明：（1）在图1中，，可得△AEF为等腰直角三角形，AE⊥EF．因为AD∥BC，所以EF⊥BF，EF⊥FC．因为平面ABFE⊥平面EFCD，且两平面交于EF，CF⊂平面CDEF，所以CF⊥平面ABFE．又EG⊂平面ABFE，故CF⊥EG；由G为中点，可知四边形AEFG为正方形，所以AF⊥EG；又AF∩FC=F，所以EG⊥平面AFC．又AC⊂平面AFC，所以AC⊥EG（2）由（1）知：FE，FC，FB两两垂直，如图建立空间直角坐标系F-xyz，设FE=1，则F（0，0，0），C（0，2，0），B（0，0，2），D（1，1，0）．设H是线段BC上一点，．因此点．由（1）知为平面ABFE的法向量，=（0，2，0），因为平面ABFE，所以平面，当且仅当，即，解得．．（3）设A（1，0，1），E（1，0，0），G（0，0，1）．由（1）可得，是平面的法向量，．，设平面ACD的法向量为n=（x，y，z），由即令x=1，则y=1，z=1．于是n=（1，1，1）．所以．所以二面角D-AC-F的大小为90°【点睛】本题主要考查线线垂直的证明，考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.已知函数f（x）=axe x-x2-2x．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）当x＞0时，若曲线y=f（x）在直线y=-x的上方，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据题意，求出函数的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，求出切点的坐标，由直线的点斜式方程分析可得答案；（2）根据题意，原问题可以转化为恒成立，设，求出的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得其最大值，分析可得答案．【详解】（1）当时，，其导数，．又因为，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为；（2）根据题意，当时，“曲线y=f（x）在直线的上方”等价于“恒成立”，又由x＞0，则，则原问题等价于恒成立；设，则，又由，则，则函数在区间上递减，又由，则有，若恒成立，必有，即的取值范围为．【点睛】本题考查利用导数分析函数的切线方程以及最值，考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解，属于中档题.19.已知椭圆过点P（2，1）．（1）求椭圆C的方程，并求其离心率；（2）过点P作x轴的垂线l，设点A为第四象限内一点且在椭圆C上（点A不在直线l上），点A关于l的对称点为A'，直线A'P与C交于另一点B．设O为原点，判断直线AB与直线OP的位置关系，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）将点代入椭圆方程，求出，结合离心率公式即可求得椭圆的离心率；（2）设直线，，设点的坐标为，，分别求出，，根据斜率公式，以及两直线的位置关系与斜率的关系即可得结果.【详解】（1）由椭圆方程椭圆过点P（2，1），可得．所以，所以椭圆C的方程为+=1，离心率e==，（2）直线AB与直线OP平行．证明如下：设直线，，设点A的坐标为（x1，y1），B（x2，y2），由得，∴，∴同理，所以，由，有，因为A在第四象限，所以，且A不在直线OP上．∴，又，故，所以直线与直线平行．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了斜率和直线平行的关系，是中档题．20.对给定的d∈N*，记由数列构成的集合．（1）若数列{a n}∈Ω（2），写出a3的所有可能取值；（2）对于集合Ω（d），若d≥2．求证：存在整数k，使得对Ω（d）中的任意数列{a n}，整数k不是数列{a n}中的项；（3）已知数列{a n}，{b n}∈Ω（d），记{a n}，{b n}的前n项和分别为A n，B n．若|a n+1|≤|b n+1|，求证：A n≤B n．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）推导出，，，，由此能求出的所有可能取值；（2）先应用数学归纳法证明数列，则具有，（）的形式，由此能证明取整数，则整数均不是数列中的项；（3）由，得：，从而，由此利用累加法得，从而，同理，由此能证明．【详解】（1）由于数列{a n}∈Ω（2），即d=2，a1=1．由已知有|a2|=|a1+d|=|1+2|=3，所以a2=±3，|a3|=|a2+d|=|a2+2|，将a2=±3代入得a3的所有可能取值为-5，-1，1，5．证明：（2）先应用数学归纳法证明数列：若{a n}∈Ω（d），则a n具有md±1，（m∈Z）的形式．①当n=1时，a1=0•d+1，因此n=1时结论成立．②假设当n=k（k∈N*）时结论成立，即存在整数m0，使得a k=m0d0±1成立．当n=k+1时，|a n+1|=|m0d0±1+d0|=|（m0+1）d0±1|，a k+1=（m0+1）d±1，或a k+1=-（m0+1）±1，所以当n=k+1时结论也成立．由①②可知，若数列{a n}∈Ω（d）对任意n∈N*，a n具有md±1（m∈Z）的形式．由于a n具有md±1（m∈Z）的形式，以及d≥2，可得a n不是d的整数倍．故取整数k=d，则整数k均不是数列{a n}中的项（3）由|a n+1|=|a n+d|，可得：=，所以有=+2a n d+d2，=+2a n-1d+d2，，…=，以上各式相加可得，即A n =-，同理B n =-，当时，有，∵d ∈N *，∴≤，∴≤-，∴【点睛】本题考查数列的第项的所有可能取值的求法，考查数列不等式的证明，考查数学归纳法、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．。
2018-2019学年北京市东城区高一(上)期末数学试卷
2018-2019学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（3分）已知集合A＝{x|x2﹣1＞0}，那么下列结论正确的是（）A．0∈A B．1∈A C．﹣1∈A D．1∉A2．（3分）命题“∀x∈（0，），tan x＞0”的否定是（）A．∃x0∈（0，），tan x0≤0B．∃x0∉（0，），tan x0≤0C．∀x∈（0，），tan x≤0D．∃x0∈（0，），tan x0＞03．（3分）下列结论成立的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＞b，c＜d，则a+c＞b+d D．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c 4．（3分）在单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为（）A．πB．πC．9πD．10π5．（3分）函数的零点所在区间是（）A．B．C．D．6．（3分）sin1，sin2，sin3的大小关系是（）A．sin1＜sin2＜sin3B．sin3＜sin2＜sin1C．sin2＜sin3＜sin1D．sin3＜sin1＜sin27．（3分）设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x+1|≤1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（3分）若实数x，y满足2x+y＝1，则x•y的最大值为（）A．1B．C．D．9．（3分）已知函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＝2x+1+1，当﹣1≤x≤1时，f （﹣x）＝﹣f（x），当x＞时，f（x+）＝，则f（2019）＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．210．（3分）已知非空集合A，B满足以下两个条件（i）A∪B＝{1，2，3，4，5，6}，A∩B＝∅；（ii）若x∈A，则x+1∈B．则有序集合对（A，B）的个数为（）A．12B．13C．14D．15二、填空题共5小题，每小题4分，共20分，11．（4分）＝．12．（4分）函数f（x）＝的定义域为．13．（4分）（）+log925﹣log315＝．14．（4分）已知函数f（x）满足下列性质：（i）定义域为R，值域为[1，+∞）；（ii）在区间（﹣∞，0）上是减函数；（ⅲ）图象关于x＝2对称．请写出满足条件的f（x）的解析式（写出一个即可）．15．（4分）已知函数f（x）＝．（i）f（2）＝．（ii）若方程f（x）＝x+a有且只有一个实根，则实数a的取值范围是．三、解答题共6小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（8分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣x﹣12≤0}，非空集合B＝{x|m﹣1≤x≤2m+3}．（Ⅰ）求当m＝﹣3时，∁U（A∪B）；（Ⅱ）若B⊆A，求实数m的取值范围．17．（8分）已知函数f（x）＝1+（﹣2≤x≤2）．（Ⅰ）画出f（x）的图象；（Ⅱ）根据图象写出f（x）的值域、单调区间．18．（8分）在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点P（﹣，），以角α的终边为始边，逆时针旋转得到角β．（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos（α+β）的值．19．（10分）函数的部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，令F（x）＝f（x）+g（x），求函数F（x）的单调递增区间．20．（8分）2018年10月24日，世界上最长的跨海大桥一港珠澳大桥正式通车．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到220辆/千米时，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为100千米/时，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤220时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）f（x）＝x•v（x）可以达到最大？并求出最大值．21．（8分）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（﹣1）＝﹣1，当a，b∈[﹣1，1]，a+b≠0时，有＞0成立．（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣1，1上的最大值；（Ⅱ）若对任意的a∈[﹣1，1]都有f（x）≥2m2﹣am﹣4，求实数m的取值范围．2018-2019学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】解：由x2﹣1＞0，解得x＞1，或x＜﹣1．∴A＝（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．可得0，1，﹣1∉A，故选：D．2．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x∈（0，），tan x＞0，则￢p为∃x0∈（0，），tan x0≤0．故选：A．3．【解答】解：对于A．当c＜0时，不成立；对于B．取a＝﹣1，b＝﹣2，不成立；对于C．∵a＞b，c＜d，∴a﹣c＞b﹣d，因此不成立；对于D．∵c＞d，∴﹣d＞﹣c，又a＞b，∴a﹣d＞b﹣c，因此成立．故选：D．4．【解答】解：l＝＝＝，故选：B．5．【解答】解：根据题意，函数，分析易得函数f（x）为减函数，且f（）＝8﹣＞0，f（1）＝4﹣2＝2＞0，f（）＝﹣＜0，f（2）＝2﹣4＝﹣2＜0，则函数的零点所在区间是（1，）；故选：C．6．【解答】解：由sin2＝sin（π﹣2），sin3＝sin（π﹣3），∵0＜π﹣3＜1＜π﹣2，sin x在第一象限为增函数，∴sin（π﹣3）＜sin1＜sin（π﹣2）．故得sin3＜sin1＜sin2故选：D．7．【解答】解：由2﹣x≥0得x≤2，由|x+1|≤1得﹣1≤x+1≤1，得﹣2≤x≤0．则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的必要不充分条件，故选：B．8．【解答】解：∵实数x，y满足2x+y＝1，∴y＝1﹣2x，∴xy＝x（1﹣2x）＝﹣2x2+x＝﹣2（x﹣）2+≤，当x＝，y＝时取等号，故选：C．9．【解答】解：根据题意，函数f（x）的定义域为R，且当x＜0时，f（x）＝2x+1+1，则f （﹣1）＝2，当x＞时，f（x+）＝，即f（x+1）＝＝f（x），即f（x+1）＝f（x），则函数f（x）为周期为1的周期函数；则f（2019）＝f（1），当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）＝﹣f（x），则有f（1）＝﹣f（1），又由f（﹣1）＝2，则f（1）＝﹣f（1）＝﹣2；故选：A．10．【解答】解：由题意分类讨论可得：若A＝{1}，则B＝{2，3，4，5，6}；若A＝{2}，则B＝{1，3，4，5，6}；若A＝{3}，则B＝{1，2，4，5，6}；若A＝{4}，则B＝{1，2，3，5，6}；若A＝{5}，则B＝{2，3，4，1，6}；若A＝{6}，则B＝{2，3，4，5，1}，舍去．若A＝{1，3}，则B＝{2，4，5，6}；若A＝{1，4}，则B＝{2，3，5，6}；若A＝{1，5}，则B＝{2，3，4，6}；若A＝{2，4}，则B＝{1，3，5，6}；若A＝{2，5}，则B＝{1，3，4，6}；若A＝{3，5}，则B＝{1，2，4，6}；若A＝{1，3，5}，则B＝{2，4，6}．综上可得：有序集合对（A，B）的个数为12．故选：A．二、填空题共5小题，每小题4分，共20分，11．【解答】解：＝﹣sin＝﹣sin（π﹣）＝﹣sin＝﹣故答案为﹣12．【解答】解：函数的定义域为：{x|}，解得0＜x≤e．故答案为：（0，e]．13．【解答】解：原式＝＝3+log35﹣1﹣log35＝2．故答案为：2．14．【解答】解：f（x）＝（x﹣2）2+1满足上述3条性质．故答案为：f（x）＝（x﹣2）2+1．15．【解答】解：（i）f（2）＝2f（1）＝4f（0）＝4×1＝4，（ii）当0＜x≤1时，﹣1＜x﹣1≤0，f（x）＝2f（x﹣1）＝2×＝，当1＜x≤2时，0＜x﹣1≤1，f（x）＝2f（x﹣1）＝2×＝（）x﹣4，当2＜x≤3时，1＜x﹣1≤2，f（x）＝2f（x﹣1）＝2×＝（）x﹣5＝（）x﹣6，作出函数f（x）的图象如图，其中f（0）＝1，f（1）＝2f（0）＝2，f（3）＝2f（2）＝4，f（4）＝2f（3）＝8，设直线g（x）＝x+a，当g（x）＝x+a分别过（0，1），A（1，2），B（2，4）时，则g（0）＝a＝1，g（1）＝+a＝2，得a＝，g（2）＝3+a＝4，得a＝1，由图象知要使方程f（x）＝x+a有且只有一个实根，则g（x）在A，B之间的区域，即≤a＜1，即实数a的取值范围是[，1），故答案为：4，[，1）．三、解答题共6小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．【解答】解：（Ⅰ）A＝{x|x2﹣x﹣12≤0}＝{x|﹣3≤x≤4}，当m＝﹣3时，B＝{x|﹣4≤x≤﹣3}．则A∪B＝{x|﹣4≤x≤4}，∁U（A∪B）＝{x|x＞4或x＜﹣4}．（Ⅱ）若B⊆A，则，得，即﹣2≤m≤，即实数m的取值范围是[﹣2，]．17．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝，f（x）的图象；（Ⅱ）由图象知f（x）的值域为[1，3]，f（x）的单调递减区间为[﹣2，0]，无增区间．18．【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点P（﹣，），∴tanα＝＝﹣．（Ⅱ）以角α的终边为始边，逆时针旋转得到角β，∴β＝α+．由（Ⅰ）利用任意角的三角函数的定义可得cosα＝﹣，sinα＝，∴sn2α＝2sinαcosα＝﹣，cos2α＝2cos2α﹣1＝﹣．∴cos（α+β）＝cos（2α+）＝sin2αcos﹣cos2αsin＝（cos2α﹣sin2α）＝．19．【解答】解：（Ⅰ）因为T＝＝4（﹣）＝2π，所以ω＝1．又因为sin（+φ）＝1，所以+φ＝+2kπ，k∈Z，即φ＝+2kπ，k∈Z．因为﹣＜φ＜，所以φ＝．所以f（x）的解析式是f（x）＝sin（x+）．……………（6分）（Ⅱ）由已知g（x）＝sin[（x+）+]＝sin（x+）＝cos x，所以F（x）＝f（x）+g（x）＝sin（x+）+cos x＝sin x+cos x+cos x＝sin x+cos x ＝sin（x+）．函数y＝sin x的单调递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，所以F（x）的单调递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．………（13分）20．【解答】解：（I）当20≤x≤220时，设v（x）＝kx+b，则，解得：，∴v（x）＝．（II）由（I）得f（x）＝．当0≤x≤20时，f（x）≤f（20）＝2000；当20＜x≤220时，f（x）＝﹣（x﹣110）2+6050，∴当x＝110时，f（x）的最大值为f（110）＝6050．∴车流密度为110辆/千米时，车流量最大，最大值为6050辆/时．21．【解答】解：（Ⅰ）任取x1，x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，则﹣x2∈[﹣1，1]，∵f（x）为奇函数，∴f（x1）﹣f（x2）＝f（x1）+f（﹣x2）＝•（x1﹣x2），由已知得＞0，x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．∴f（x）在[﹣1，1]上单调递增，可得f（x）在[﹣1，1]上的最大值为f（1）＝﹣f（﹣1）＝1；（Ⅱ）若对任意的a∈[﹣1，1]都有f（x）≥2m2﹣am﹣4成立，∵f（﹣1）＝﹣1，f（x）在[﹣1，1]上单调递增，∴在[﹣1，1]上，﹣1≤f（x）≤1，即2m2﹣am﹣4≤﹣1，∴2m2﹣am﹣3≤0对a∈[﹣1，1]恒成立，设g（a）＝﹣m•a+2m2﹣3≤0，①若m＝0，则g（a）＝﹣3≤0，自然对a∈[﹣1，1]恒成立．②若m≠0，则g（a）为a的一次函数，若g（a）≤0对a∈[﹣1，1]恒成立，则必须g（﹣1）≤0，且g（1）≤0，即m+2m2﹣3≤0，且﹣m+2m2﹣3≤0，∴﹣1≤m≤1．∴m的取值范围是[﹣1，1]．第11页（共11页）。
北京市东城区2019届高三上学期期末考试数学理试卷 Word版含解析
2018-2019学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合A={x|-2＜x≤0}，B={-2，-1，0，1，2}，则A∩B=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用交集运算得答案．【详解】∵集合表示到0的所有实数，集合表示5个整数的集合，∴，故选C．【点睛】本题主要考查了交集的概念及其运算，是基础题．2.下列复数为纯虚数的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用复数的运算对每个选项逐一求解即可得答案.【详解】∵，，，，∴为纯虚数的是，故选D．【点睛】本题主要考查了复数的基本运算及基本概念，是基础题3.下列函数中，是奇函数且存在零点的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性及函数的零点可判断为奇函数，且存在零点为，为非奇非偶函数，为偶函数，不存在零点，故得解．【详解】对于选项A：为奇函数，且存在零点为x=0，与题意相符；对于选项B：为非奇非偶函数，与题意不符；对于选项C：为偶函数，与题意不符；对于选项D：不存在零点，与题意不符，故选：A．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性及函数的零点，熟练掌握常见初等函数的性质是解题的关键，属于简单题．4.执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的等于（）A. 3B. 12C. 60D. 360【答案】C【解析】【分析】通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果．【详解】模拟执行程序，可得，，，，，满足条件，执行循环体，，，满足条件，执行循环体，，，不满足条件，退出循环，输出的值为60．故选C．【点睛】本题考查程序框图的应用，解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时，常采用写出几次的结果找规律，属于基础题．5.“”是“函数的图像关于直线对称”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的对称性求出函数的对称轴为，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】若函数的图象关于直线，则，得，当时，，即“”是“函数的图象关于直线对称”的充分不必要条件，故选A．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的对称性求出的取值范围是解决本题的关键．6.某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为（）A. 2B.C.D. 3【答案】D【解析】【分析】。
2018-2019学年北京市东城区八年级第一学期期末数学试卷(含答案)
东城区2018-2019学年度第一学期期末教学统一检测 初二数学 2019.1一、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1.生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm ，数据0.00000032用科学记数法表示正确的是（ ）A ．73.210⨯ B ．83.210⨯ C ．73.210-⨯ D ．83.210-⨯ 2．若分式11a -有意义，则a 的取值范围是 A ．1a ≠B ．0a ≠C ．1a ≠且0a ≠D ．一切实数3．下列运算中，正确的是（ ） A ．235325x x x +=B ．C ．D ． 33()ab a b =4. 2017年12月15日，北京2022年冬奥会会徽“冬梦”正式发布. 以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是( )A B C D 5. 3月14日是国际数学日，当天淇淇和嘉嘉想玩个数学游戏，他们的 对话内容如图所示，下列选项错误．．的是（ ） A ．4446+-= B ．004446++=C ．34446++=D ．14446-÷+=6.下列二次根式中，是最简二次根式的是 （ ） A.23B. 32C.34 D.33x7．已知2,3m n a a ==，则32m n a +的值是（ ） A ．6B ．24C ．36D ．728.如图，已知∠1=∠2，AC =AD ，要使△ABC ≌△AED ，还需添加一 个条件，那么在①AB =AE ， ②BC =ED ， ③∠C =∠D ， ④∠B =∠E ，这四个关系中可以选择的是A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④9. 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠C ＝30°，AD ⊥BC 于D ，BE 是∠ABC 的平分线，且交AD 于P ，如果AP ＝2，则AC 的长为( )A ．2B ．4C ．6D ．810. 定义运算“※”：,,aa b a bb b a b b aa ⎧>⎪⎪-=⎨⎪<⎪-⎩※ ．若2x =5※，则x 的值为（ ）A ．52 B ．52或10 C ．10 D ．52或152二、 填空题（本题共6小题，11-15小题每小题2分，16小题4分，共14分）11. 分解因式：228ax a -= ． 12. 多项式（mx +8）（2-3x )展开后不含x 项，则m = ．13．当x 的值为 时，分式242x x --的值为0.14. 课本上有这样一道例题：请你思考只要CD 垂直平分AB ，那么△ABC 就是等腰三角形的依据是____________. 15． 如图，在△ABC 中，点D 是AB 边的中点，过点D 作边AB 的垂线l ，E 是l 上任意一点，且AC ＝5，BC ＝8，则△AEC 的周长最小值为__________. 16． 已知在△ABC 中，AB =AC ．（1）若∠A =36º，在△ABC 中画一条线段，能得到2个等腰三角形（不．包括．．△ABC ），这2个等腰三角形的顶角的度数分别是 ___________； （2）若∠A ≠36º， 当∠A =___________时，在等腰△ABC 中画一条线段，能得到2个等腰三角形（不包括．．．△ABC ）.（写出两个答案即可） 三、解答题（本题共12小题，共56分）17．(本小题4分)计算：()-219+2-π-2⎛⎫ ⎪⎝⎭．18. （本小题6分）计算：(1) -； (2) )3)(3()2(2-+--x x x ．19. (本小题3分)在三个整式xy x 22+，xy y 22+，2x 中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．20. （本小题4分） 解分式方程：271326x x x +=++21． （本小题4分）先化简22169(1)24a a a a -+-÷--，然后a 在﹣2，0， 1，2，3中选择一个合适的数代入并求值．yx22. （本小题4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的三个顶点的坐标分别是A （2，3）， B （1，0）， C （1，2）． （1）在图中作出△ABC 关于y 轴对称的△111A B C ；（2）如果要使以B 、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 全等，写出所有符合条件的点D 坐标.23. （本小题5分）如图，点B ,F ,C ,E 在直线l 上(F ,C 之间不能直接测量)，点A ,D 在l 异侧，测得 AB ＝DE ，AB ∥DE ，∠A ＝∠D ． (1)求证：△ABC ≌△DEF ；(2)若BE =10m ，BF =3m ，求FC 的长度．24.（本小题5分）列方程解应用题：B ACDEFlACB港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，是被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作. 开通后从香港到珠海的车程由原来的180千米缩短到50千米，港珠澳大桥的设计时速比按原来路程行驶的平均时速多40千米，若开通后按设计时速行驶，行驶完全程时间仅为原来路程行驶完全程时间的1/6，求港珠澳大桥的设计时速是多少.25. （本小题5分）如图，AE是△ACD的角平分线，B在DA延长线上，AE∥BC，F为BC中点，判断AE与AF的位置关系并证明.26. （本小题4分）阅读下列材料,然后回答问题:观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121212)12)(12()12(1121-=--=-+-⨯=+. 232323)23)(23()23(1231-=--=-+-⨯=+.（一）错误!未找到引用源。
北京市东城区2018-2019第一学期高三期末数学理科(word解析)
8.0 级和 7.5 级，若它们释放的能量分别为 E1 和 E2，则������2的值所在的区间为（ ）
A. (1,2)
B. (5,6)
C. (7,8)
D. (15,16)
二、填空题（本大题共 6 小题，共 30.0 分） ������ ≤ 2 ������ ≤ 2������ 若 x，y 满足 ������ + ������ ≥ 3，则 x+2y 的最小值为______．
17. 如图 1，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，BC=2AD，E，F 分别为 AD，BC 的中点， AE=EF，������������ = 2������������．将四边形 ABFE 沿 EF 折起，使平面 ABFE⊥平面 EFCD（如
图 2），G 是 BF 的中点． （Ⅰ）证明：AC⊥EG；
2018-2019 学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷 （理科）
一、选择题（本大题共 8 小题，共 40.0 分） 1. 若集合 A={x|-2＜x≤0}，B={-2，-1，0，1，2}，则 A∩B=（ ）
A. { ‒ 2, ‒ 1}
2.
B. { ‒ 2,0}
C. { ‒ 1,0}
D. { ‒ 2, ‒ 1,0}
8.
B. ������ = 2������������������������
C. ������������������������������ =‒ 1
D. ������������������������������ =‒ 1
地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量 E（单位：焦耳）与 地震里氏震级 M 之间的关系为 lgE=4.8+1.5M．已知两次地震的里氏震级分别为
北京市东城区2018-2019学年八年级上期末数学试卷含答案
北京市东城区2018-2019学年上学期初中八年级期末考试数学试卷本试卷共100分，考试时长100分钟。
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。
1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是2. 下列计算正确的是A. x+x 2=x 3B. x 2·x 3=x 6C. （x 3）2=x 6D. x 9÷x 3=x 33. 下列式子为最简二次根式的是A.3B.4C.8D.214. 如果2-x 有意义，那么x 的取值范围是A. x>2B. x≥2C. x≤2D. x<25. 如图在△ABC 中，∠ACB=90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于点D ，如果AC=3cm ，那么AE+DE 等于A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm6. 如图，所示的图形面积由以下哪个公式表示 A. a 2-b 2=a （a-b ）+b （a-b ）B. （a-b ）2=a 2-2ab+b 2C. （a+b ）2=a 2+2ab+b 2D. a 2-b 2=（a-b ）（a+b ）7. 若分式112--x x 的值为0，则x 的值为A. x=1B. x=-1C. x=±1D. x≠18. 若x-x 1=1，则x 2+21x的值是 A. 3B. 2C. 1D. 49. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，AC 的垂直平分线分别交AC ，AD ，AB 于点E ，O ，F ，连接OC ，OB ，则图中全等的三角形有A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对10. 如图，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD+PE 最小，则这个最小值为A. 3B. 23C. 26D.6二、填空题（本题共14分，11-15题每小题2分，16题4分）11. 中国女药学家屠呦呦获2019年诺贝尔医学奖，她的突出贡献是创制新型抗疟药青蒿素和双氢青蒿素，这是中国医学界迄今为止获得的最高奖项.已知显微镜下的某种疟原虫平均长度为0.0000015米，该长度用科学记数法表示为____米.12. 如图，AB=AC ，点E ，点D 分别在AC ，AB 上，要使△ABE ≌△ACD ，应添加的条件是______.（添加一个条件即可）13. 若x 2+2（m-3）x+16是一个完全平方式，那么m 应为_______.14. 如图，Rt △ABC 的斜边AB 的中垂线MN 与AC 交于点M ，∠A=15°，BM=2，则△AMB 的面积为______.15. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，3），在坐标轴上找一点P ，使得△AOP 是等腰三角形，则这样的点P 共有_______个. 16. 观察下列关于自然数的等式： 32-4×12=5 ①52-4×22=9 ② 72-4×32=13 ③根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：_________________；（2）写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示）______________________.三、解答题（本题共56分）解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程。
2018-2019学年东城区高三上学期期末理科数学试卷及答案
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合A ＝{x|−2＜x ≤0}，B ＝{−2，−1，0，1，2}，则A ∩B ＝（ ）A 、{−2，−1}B 、{−2，0}C 、{−1，0}D 、{−2，−1，0}2．下列复数为纯虚数的是（ ）A 、1＋i 2B 、i ＋i 2C 、1−i1D 、(1−i)2 3．下列函数中，是奇函数且存在零点的是（ ）A 、y ＝x 3＋xB 、y ＝log 2xC 、y ＝2x 2−3D 、y ＝x2 4．执行如图所示的程序框图，如果输入n ＝5，m ＝3，则输出p 的等于（ ）A 、3B 、12C 、60D 、3605．“m ＝π125”是“函数f(x)＝cos(2x ＋6π)的图象关于直线x ＝m 对称”的（ ）A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件6．某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为（ ）A 、2B 、5C 、22D 、37．在极坐标系中，下列方程为圆ρ＝2sin θ的切线方程的是（ ）A 、ρcos θ＝2B 、ρ＝2cos θC 、ρcos θ＝−1D 、ρsin θ＝−18．地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lgE ＝4.8＋1.5M ．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E 1和E 2，则21E E 的值所在的区间为（ ） A 、（1，2） B 、（5，6）C 、（7，8）D 、（15，16）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．若x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤322y x x y x ，则x ＋2y 的最小值为________．10．已知双曲线m x 2−my 32＝1的一个焦点为（23，0），则m ＝_______． 11．若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝−1，b 1＝2，a 3＋b 2＝−1，试写出一组满足条件的数列{a n }和{b n }的通项公式：a n ＝_______，b n ＝_________．12．在菱形ABCD 中，若BD ＝3，则•的值为_________．13．函数f(x)＝sin(x −6π)＋cos(x −3π)在区间[−6π，32π]上的最大值为________． 14．已知函数f （x ）为定义域为R ，设F f （x ）＝⎩⎨⎧>≤1|)(|,11|)(|),(x f x f x f ． ①若f （x ）＝221xx +，则F f （1）＝_________； ②若f （x ）＝e −1，且对任意x ∈R ，F f （x ）＝f （x ），则实数a 的取值范围为________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．在△ABC 中，2csinAcosB ＝asinC ．（Ⅰ）求∠B 的大小；（Ⅱ）若△ABC 的面积为a 2，求cosA 的值．16．某中学有学生500人，学校为了解学生的课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，获得了他们某一个月课外阅读时间的数据（单位：小时），将数据分为5组：[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]，整理得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求频率分布直方图中的x 的值；（Ⅱ）试估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（Ⅲ）已知课外阅读时间在[10，12）的样本学生中有3名女生，现从阅读时间在[10，12）的样本学生中随机抽取3人，记X 为抽到女生的人数，求X 的分布列与数学期望E （X ）．17．如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝2AD ，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，AE ＝EF ，AF ＝2AE ．将四边形ABFE 沿EF 折起，使平面ABFE ⊥平面EFCD （如图2），G 是BF 的中点．（Ⅰ）证明：AC ⊥EG ；（Ⅱ）在线段BC 上是否存在一点H ，使得DH ∥平面ABFE ？若存在，求BCBH 的值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求二面角D −AC −F 的大小．18．已知函数f（x）＝axe x−x2−2x．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）当x＞0时，若曲线y＝f（x）在直线y＝−x的上方，求实数a的取值范围．19．已知椭圆C ：22ax ＋22y ＝1过点P （2，1）． （Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求其离心率；（Ⅱ）过点P 作x 轴的垂线l ，设点A 为第四象限内一点且在椭圆C 上（点A 不在直线l 上），点A 关于l 的对称点为A'，直线A'P 与C 交于另一点B ．设O 为原点，判断直线AB 与直线OP 的位置关系，并说明理由．20．对给定的d ∈N*，记由数列构成的集合Ω(d)＝{{a n }| a 1＝1 ， |a 1+n |＝|a n ＋d| ，n ∈N*}．（Ⅰ）若数列{a n }∈Ω（2），写出a 3的所有可能取值；（Ⅱ）对于集合Ω（d ），若d ≥2．求证：存在整数k ，使得对Ω（d ）中的任意数列{a n }，整数k 不是数列{a n }中的项；（Ⅲ）已知数列{a n }，{b n }∈Ω（d ），记{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ．若|a 1+n |≤|b 1+n |，求证：A n ≤B n ．。
北京市东城区2018-2019第一学期高三期末数学理科(word解析)
2018-2019学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 若集合A ={x |-2＜x ≤0}，B ={-2，-1，0，1，2}，则A ∩B =（ ）A. B. C. D. 2. 下列复数为纯虚数的是（ ）A.B.C.D.3.下列函数中，是奇函数且存在零点的是（ ）A.B.C.D.4.执行如图所示的程序框图，如果输入n =5，m =3，则输出p 的等于（ ）A. 3B. 12C. 60D. 3605.“”是“函数的图象关于直线x =m 对称”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度 为（ ） A. 2 B. C. D. 37. 在极坐标系中，下列方程为圆ρ=2sinθ的切线方程的是（）A. B. C. D.8. 地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和E2，则的值所在的区间为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 若x，y满足，则x+2y的最小值为______．10. 已知双曲线-=1的一个焦点为（2，0），则m=______．11. 若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=-1，b1=2，a3+b2=-1，试写出一组满足条件的数列{a n}和{b n}的通项公式：a n=______，b n=______．12. 在菱形ABCD中，若，则的值为______．13. 函数在区间，上的最大值为______．14. 已知函数f（x）为定义域为R，设F f（x）=．①若f（x）=，则F f（1）=______；②若f（x）=e a-|x|-1，且对任意x∈R，F f（x）=f（x），则实数a的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15. 在△ABC中，．（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积为a2，求cos A的值．16. 某中学有学生500人，学校为了解学生的课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，获得了他们某一个月课外阅读时间的数据（单位：小时），将数据分为5组：[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]，整理得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求频率分布直方图中的x的值；（Ⅱ）试估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（Ⅲ）已知课外阅读时间在[10，12）的样本学生中有3名女生，现从阅读时间在[10，12）的样本学生中随机抽取3人，记X为抽到女生的人数，求X的分布列与数学期望E（X）．第2页，共15页17. 如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，E，F分别为AD，BC的中点，AE=EF，．将四边形ABFE沿EF折起，使平面ABFE⊥平面EFCD（如图2），G是BF的中点．（Ⅰ）证明：AC⊥EG；（Ⅱ）在线段BC上是否存在一点H，使得DH∥平面ABFE？若存在，求的值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求二面角D-AC-F的大小．18. 已知函数f（x）=axe x-x2-2x．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）当x＞0时，若曲线y=f（x）在直线y=-x的上方，求实数a的取值范围．19. 已知椭圆：过点P（2，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求其离心率；（Ⅱ）过点P作x轴的垂线l，设点A为第四象限内一点且在椭圆C上（点A不在直线l上），点A关于l的对称点为A'，直线A'P与C交于另一点B．设O为原点，判断直线AB与直线OP的位置关系，并说明理由．20. 对给定的d∈N*，记由数列构成的集合，，∈．（Ⅰ）若数列{a n}∈Ω（2），写出a3的所有可能取值；（Ⅱ）对于集合Ω（d），若d≥2．求证：存在整数k，使得对Ω（d）中的任意数列{a n}，整数k不是数列{a n}中的项；（Ⅲ）已知数列{a n}，{b n}∈Ω（d），记{a n}，{b n}的前n项和分别为A n，B n．若|a n+1|≤|b n+1|，求证：A n≤B n．第4页，共15页1.C解：∵集合A表示-2到0的所有实数，集合B表示5个整数的集合，∴A∩B={-1，0}，故选：C．直接利用交集运算得答案．本题考查了交集及其运算，是基础题．2.D解：∵1+i2=1-1=0，i+i2=i-1，，（1-i）2=1-2i+i2=-2i．∴为纯虚数的是（1-i）2．故选：D．直接利用复数的运算求解即可得答案，本题考查了复数的基本概念，是基础题．3.A解：对于选项A：y=x3+x为奇函数，且存在零点为x=0，与题意相符，对于选项B：y=iog2x为非奇非偶函数，与题意不符，对于选项C：y=2x2-3为偶函数，与题意不符，对于选项D：y=不存在零点，与题意不符，故选：A．由函数的奇偶性及函数的零点可判断y=x3+x为奇函数，且存在零点为x=0，y=iog2x为非奇非偶函数，y=2x2-3为偶函数，y=不存在零点，故得解．本题考查了函数的奇偶性及函数的零点，属简单题．4.C解：模拟执行程序，可得n=5，m=3，k=1，p=1，p=3，满足条件k＜m，执行循环体，k=2，p=12，第6页，共15页满足条件k ＜m ，执行循环体，k=3，p=60， 不满足条件k ＜m ，退出循环，输出p 的值为60． 故选：C ．通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果． 本题考查程序框图的应用，解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时，常采用写出几次的结果找规律，属于基础题． 5.A解：若函数的图象关于直线x=m ，则2m+=kπ， 得m=-+， 当k=1时，m=，即“”是“函数的图象关于直线x=m 对称”的充分不必要条件， 故选：A ．结合三角函数的对称性以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的对称性求出m 的取值范围是解决本题的关键． 6.D解：由三棱锥的三视图知该三棱锥是如图所示的三棱锥P-ABC ，其中PA ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，PA=AC=2，BC=1， ∴PB===3，∴在该三棱锥中，最长的棱长为PB=3． 故选：D ．由三棱锥的三视图知该三棱锥是三棱锥P-ABC ，其中PA ⊥底面ABC，AC⊥BC，PA=AC=2，BC=1，由此能求出在该三棱锥中，最长的棱长．本题考查三棱锥中最长棱长的求法，考查三棱锥性质及其三视图等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是基础题．7.C解：圆ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，∴圆的直角坐标方程为x2+y2=2y，即x2+（y-1）2=1，圆心为（0，1），半径r=1，在A中，ρcosθ=2即x=2，圆心（0，1）到x=2的距离d=2＞r=1，故ρcosθ=2不是圆的切线，故A错误；在B中，ρ=2cosθ是圆，不是直线，故B错误；在C中，ρcosθ=-1即x=-1，圆心（0，1）到x=-1的距离d=1=r=1，故ρcosθ=-1是圆的切线，故C正确；在D中，ρsinθ=-1即y=-1，圆心（0，1）到y=-1的距离d=2＞r=1，故ρsinθ=-1不是圆的切线，故D错误．故选：C．求出圆的直角坐标方程为x2+y2=2y，即x2+（y-1）2=1，圆心为（0，1），半径r=1，由此能求出结果．本题考查圆的切线方程的判断，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.B解：lgE=4.8+1.5M，∴lgE1=4.8+1.5×8=16.8，lgE2=4.8+1.5×7.5=16.05，∴E1=1016.8，E2=1016.05，∴=100.75，∵100.75＞90.75=31.5=3×＞5，∴的值所在的区间为（5，6），故选：B．先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出．本题考查了对数的运用以及运算，熟练掌握对数的运算性质是解题的关键．9.4解：作出x，y满足对应的平面区域，由z=x+2y，得y=-x+，平移直线y=-x+，由，解得A（2，1）由图象可知当直线经过点A（2，1）时，直线y=-x+的截距最小，此时z最小，此时z=2+2×1=4．故答案为：4．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．10.3解：双曲线-=1的一个焦点为（2，0），即c=，解得m=3，故答案为：3．由双曲线的焦点坐标可得c的值，进而由双曲线的几何性质列出方程，解可得m的值．本题考查双曲线的标准方程，注意分析a、b的关系．11.-n 2第8页，共15页解：等差数列{a n}的公差设为d，等比数列{b n}的公比设为q，a1=-1，b1=2，a3+b2=-1，可得-1+2d+2q=-1，即为d=-q，可取d=-1，可得q=1，则a n=-1-（n-1）=-n；b n=2．故答案为：-n，2．设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得d，q，即可得到所求通项公式，注意答案不唯一．本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．12.解：菱形ABCD中，，则=•=||×||×cos ∠CBD=||×||=×=．故答案为：．根据菱形的对角线互相垂直且平分，利用平面向量的数量积公式计算即可．本题考查了平面向量的数量积计算问题，是基础题．13.解：函数=sinxcos -cosxsin+cosxcos +sinxsin=sinx；∵x ∈上∴当x=时，f（x）取得最大值为sin =．故答案为：利用和与差公式化简，根据x 在上，结合三角函数的性质可得最大值．本题考查了和与差公式的应用和计算能力．属于基础题．14.（-∞，ln2]解：①若f（x）=，由|f（x）|≤1，可得x2≤1+x2，成立，即有F f（x）=f（x）=，则F f（1）=；②若f（x）=e a-|x|-1，且对任意x∈R，F f（x）=f（x），可得|f（x）|≤1恒成立，即为-1≤e a-|x|-1≤1，即有0≤e a-|x|≤2，可得a-|x|≤ln2，即a≤|x|+ln2，由|x|+ln2的最小值为ln2，则a≤ln2．故答案为：，（-∞，ln2]．①通过|f（x）|的范围，可得F f（x）=f（x），代入可得所求值；②由题意可得|f（x）|≤1恒成立，运用绝对值不等式的性质和参数分离，以及函数的最值求法，可得a的范围．本题考查分段函数的运用：求函数值和解析式，考查变形能力和转化思想，注意运用参数分离和绝对值不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．第10页，共15页15.（本题满分为13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理可得：c sin A=a sin C，所以：cos B==，又0＜∠B＜π，所以∠ ．…（5分）（Ⅱ）因为△ABC的面积为a2=ac sin，∴c=2，由余弦定理，，所以．所以．…（13分）（Ⅰ）由正弦定理可得cosB=，结合范围0＜∠B＜π，可求B的值．（Ⅱ）利用三角形的面积公式可求c的值，根据余弦定理可求b的值，进而可求cosA的值．本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.（共13分）解：（Ⅰ）由0.05×2+0.08×2+0.10×2+0.12×2+2x=1，可得x=0.15…（3分）（Ⅱ）0.10×2+0.05×2=0.30，即课外阅读时间不小于16个小时的学生样本的频率为0.30.500×0.30=150，所以可估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16个小时的学生人数为150．…（6分）（Ⅲ）课外阅读时间在[10，12）的学生样本的频率为0.08×2=0.16，50×0.16=8，即阅读时间在[10，12）的学生样本人数为8，8名学生为3名女生，5名男生，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，；；；．所以X的分布列为：故X的期望…（13分）（Ⅰ）利用频率分布直方图，通过概率和为1，即可求解x=0.15．（Ⅱ）利用分布直方图求解即可．（Ⅲ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，求出概率得到分布列，然后求解期望．本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，频率分布直方图的应用，考查计算能力．17.证明：（Ⅰ）在图1中，，，可得△AEF为等腰直角三角形，AE⊥EF．因为AD∥BC，所以EF⊥BF，EF⊥FC．因为平面ABFE⊥平面EFCD，且两平面交于EF，CF⊂平面CDEF，所以CF⊥平面ABFE．又EG⊂平面ABFE，故CF⊥EG；由G为中点，可知四边形AEFG为正方形，所以AF⊥EG；又AF∩FC=F，所以EG⊥平面AFC．又AC⊂平面AFC，所以AC⊥EG…（4分）解：（II）由（Ⅰ）知：FE，FC，FB两两垂直，如图建立空间直角坐标系F-xyz，设FE=1，则F（0，0，0），C（0，2，0），B（0，0，2），D（1，1，0）．设H是线段BC上一点，则存在∈，使得．因此点，，，，，．由（Ⅰ）知为平面ABFE的法向量，=（0，2，0），因为DH⊄平面ABFE，所以∥平面当且仅当，即（-1，2λ-1，2-2λ）•（0，2，0）=0.解得．所以在线段上存在点使得∥平面，此时．…（9分）（III）设A（1，0，1），E（1，0，0），G（0，0，1）．由（I）可得，是平面的法向量，，，．，，，，，，设平面ACD的法向量为n=（x，y，z），由即令x=1，则y=1，z=1．于是n=（1，1，1）．所以＜，＞．所以二面角D-AC-F的大小为90°…（14分）（Ⅰ）推导出AE⊥EF，EF⊥BF，EF⊥FC，从而CF⊥平面ABFE，进而CF⊥EG，四边形AEFG为正方形，AF⊥EG，由此能证明EG⊥平面AFC，从而AC⊥EG．（II）由FE，FC，FB两两垂直，建立空间直角坐标系F-xyz，由此利用向量法能求出在线段BC上存在一点H，使得DH∥平面ABFE，并能求出的值．（III）求出平面AFC的法向理和平面ACD的法向量，利用向量法能求出二面角D-AC-F的大小．本题考查线线垂直的证明，考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=xe x-x2-2x，其导数f'（x）=e x（x+1）-2x-2，f'（0）=-1．又因为f（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=-x；（Ⅱ）根据题意，当x＞0时，“曲线y=f（x）在直线y=-x的上方”等价于“axe x-x2-2x ＞-x恒成立”，又由x＞0，则axe x-x2-2x＞-x⇒ae x-x-1＞0⇒a＞，则原问题等价于a＞恒成立；设g（x）=，则g′（x）=-，又由x＞0，则g′（x）＜0，则函数g（x）在区间（0，+∞）上递减，又由g（0）==1，则有＜1，若a＞恒成立，必有a≥1，即a的取值范围为[1，+∞）．（Ⅰ）根据题意，求出函数的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，求出切点的坐标，由直线的点斜式方程分析可得答案；（Ⅱ）根据题意，原问题可以转化为a＞恒成立，设g（x）=，求出g（x）的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得其最大值，分析可得答案．本题考查利用导数分析函数的切线方程以及最值，涉及函数恒成立问题，注意将恒成立问题转化为最值问题．19.解：（Ⅰ）由椭圆方程椭圆：过点P（2，1），可得a2=8．所以c2=a2-2=8-2=6，所以椭圆C的方程为+=1，离心率e==，（Ⅱ）直线AB与直线OP平行．证明如下：设直线PA：y-1=k（x-2），PB：y-1=-k（x-2），设点A的坐标为（x1，y1），B（x2，y2），由得（4k2+1）x2+8k（1-2k）x+16k2-16k-4=0，∴2x1=，∴x1=同理x2=，所以x1-x2=-，由y1=kx1-2k+1，y2=-kx1+2k+1有y1-y2=k（x1+x2）-4k=-，因为A在第四象限，所以k≠0，且A不在直线OP上．∴k AB==，又k OP=，故k AB=k OP，所以直线AB与直线OP平行．（Ⅰ）将点P代入椭圆方程，求出a，结合离心率公式即可求得椭圆的离心率；（Ⅱ）设直线PA：y-1=k（x-2），PB：y-1=-k（x-2），设点A的坐标为（x1，y1），B（x2，y2），分别求出x1-x2，y1-y2，根据斜率公式，以及两直线的位置关系与斜率的关系本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了斜率和直线平行的关系，是中档题．20.（共14分）解：（Ⅰ）由于数列{a n}∈Ω（2），即d=2，a1=1．由已知有|a2|=|a1+d|=|1+2|=3，所以a2=±3，|a3|=|a2+d|=|a2+2|，将a2=±3代入得a3的所有可能取值为-5，-1，1，5．…（4分）证明：（Ⅱ）先应用数学归纳法证明数列：若{a n}∈Ω（d），则a n具有md±1，（m∈Z）的形式．①当n=1时，a1=0•d+1，因此n=1时结论成立．②假设当n=k（k∈N*）时结论成立，即存在整数m0，使得a k=m0d0±1成立．当n=k+1时，|a n+1|=|m0d0±1+d0|=|（m0+1）d0±1|，a k+1=（m0+1）d±1，或a k+1=-（m0+1）±1，所以当n=k+1时结论也成立．由①②可知，若数列{a n}∈Ω（d）对任意n∈N*，a n具有md±1（m∈Z）的形式．由于a n具有md±1（m∈Z）的形式，以及d≥2，可得a n不是d的整数倍．故取整数k=d，则整数k均不是数列{a n}中的项…（9分）（Ⅲ）由|a n+1|=|a n+d|，可得：=，所以有=+2a n d+d2，=+2a n-1d+d2，，…=，以上各式相加可得，即A n=-，同理B n=-，当|a n+1|≤|b n+1|时，有，∵d∈N*，∴≤，∴≤-，∴A n≤B n．…（14分）（Ⅰ）推导出d=2，a1=1，a2=±3，|a3|=|a2+d|=|a2+2|，由此能求出a3的所有可能取值．（Ⅱ）先应用数学归纳法证明数列{a n}∈Ω（d），则a n具有md±1，（m∈Z）的形式．由此能证明取整数k=d，则整数k均不是数列{a n}中的项．（Ⅲ）由|a n+1|=|a n+d|，得：=，从而=+2a n d+d2，由此利用累加法得，从而A n=-，同理B n=-，由此能证明A n≤B n．本题考查数列的第3项的所有可能取值的求法，考查数列不等式的证明，考查数学归纳法、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．。
2018-2019学年北京市东城区高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2018-2019学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A＝{x|﹣2＜x≤0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1}B．{﹣2，0}C．{﹣1，0}D．{﹣2，﹣1，0} 2．（5分）下列复数为纯虚数的是（）A．1+i2B．i+i2C．D．（1﹣i）23．（5分）下列函数中，是奇函数且存在零点的是（）A．y＝x3+x B．y＝log2x C．y＝2x2﹣3D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n＝5，m＝3，则输出p的等于（）A．3B．12C．60D．3605．（5分）“”是“函数的图象关于直线x＝m对称”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为（）A．2B．C．D．37．（5分）在极坐标系中，下列方程为圆ρ＝2sinθ的切线方程的是（）A．ρcosθ＝2B．ρ＝2cosθC．ρcosθ＝﹣1D．ρsinθ＝﹣1 8．（5分）地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和E2，则的值所在的区间为（）A．（1，2）B．（5，6）C．（7，8）D．（15，16）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若x，y满足，则x+2y的最小值为．10．（5分）已知双曲线﹣＝1的一个焦点为（2，0），则m＝．11．（5分）若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1＝﹣1，b1＝2，a3+b2＝﹣1，试写出一组满足条件的数列{a n}和{b n}的通项公式：a n＝，b n＝．12．（5分）在菱形ABCD中，若，则的值为．13．（5分）函数在区间上的最大值为．14．（5分）已知函数f（x）为定义域为R，设F f（x）＝．①若f（x）＝，则F f（1）＝；②若f（x）＝e a﹣|x|﹣1，且对任意x∈R，F f（x）＝f（x），则实数a的取值范围为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，．（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积为a2，求cos A的值．16．（13分）某中学有学生500人，学校为了解学生的课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，获得了他们某一个月课外阅读时间的数据（单位：小时），将数据分为5组：[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]，整理得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求频率分布直方图中的x的值；（Ⅱ）试估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（Ⅲ）已知课外阅读时间在[10，12）的样本学生中有3名女生，现从阅读时间在[10，12）的样本学生中随机抽取3人，记X为抽到女生的人数，求X的分布列与数学期望E（X）．17．（14分）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，E，F分别为AD，BC的中点，AE＝EF，．将四边形ABFE沿EF折起，使平面ABFE⊥平面EFCD（如图2），G是BF的中点．（Ⅰ）证明：AC⊥EG；（Ⅱ）在线段BC上是否存在一点H，使得DH∥平面ABFE？若存在，求的值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求二面角D﹣AC﹣F的大小．18．（13分）已知函数f（x）＝axe x﹣x2﹣2x．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）当x＞0时，若曲线y＝f（x）在直线y＝﹣x的上方，求实数a的取值范围．19．（13分）已知椭圆过点P（2，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求其离心率；（Ⅱ）过点P作x轴的垂线l，设点A为第四象限内一点且在椭圆C上（点A不在直线l 上），点A关于l的对称点为A'，直线A'P与C交于另一点B．设O为原点，判断直线AB与直线OP的位置关系，并说明理由．20．（14分）对给定的d∈N*，记由数列构成的集合．（Ⅰ）若数列{a n}∈Ω（2），写出a3的所有可能取值；（Ⅱ）对于集合Ω（d），若d≥2．求证：存在整数k，使得对Ω（d）中的任意数列{a n}，整数k不是数列{a n}中的项；（Ⅲ）已知数列{a n}，{b n}∈Ω（d），记{a n}，{b n}的前n项和分别为A n，B n．若|a n+1|≤|b n+1|，求证：A n≤B n．2018-2019学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】解：∵集合A表示﹣2到0的所有实数，集合B表示5个整数的集合，∴A∩B＝{﹣1，0}，故选：C．2．【解答】解：∵1+i2＝1﹣1＝0，i+i2＝i﹣1，，（1﹣i）2＝1﹣2i+i2＝﹣2i．∴为纯虚数的是（1﹣i）2．故选：D．3．【解答】解：对于选项A：y＝x3+x为奇函数，且存在零点为x＝0，与题意相符，对于选项B：y＝iog2x为非奇非偶函数，与题意不符，对于选项C：y＝2x2﹣3为偶函数，与题意不符，对于选项D：y＝不存在零点，与题意不符，故选：A．4．【解答】解：模拟执行程序，可得n＝5，m＝3，k＝1，p＝1，p＝3，满足条件k＜m，执行循环体，k＝2，p＝12，满足条件k＜m，执行循环体，k＝3，p＝60，不满足条件k＜m，退出循环，输出p的值为60．故选：C．5．【解答】解：若函数的图象关于直线x＝m，则2m+＝kπ，得m＝﹣+，当k＝1时，m＝，即“”是“函数的图象关于直线x＝m对称”的充分不必要条件，故选：A．6．【解答】解：由三棱锥的三视图知该三棱锥是如图所示的三棱锥P﹣ABC，其中P A⊥底面ABC，AC⊥BC，P A＝AC＝2，BC＝1，∴PB＝＝＝3，∴在该三棱锥中，最长的棱长为PB＝3．故选：D．7．【解答】解：圆ρ＝2sinθ，即ρ2＝2ρsinθ，∴圆的直角坐标方程为x2+y2＝2y，即x2+（y﹣1）2＝1，圆心为（0，1），半径r＝1，在A中，ρcosθ＝2即x＝2，圆心（0，1）到x＝2的距离d＝2＞r＝1，故ρcosθ＝2不是圆的切线，故A错误；在B中，ρ＝2cosθ是圆，不是直线，故B错误；在C中，ρcosθ＝﹣1即x＝﹣1，圆心（0，1）到x＝﹣1的距离d＝1＝r＝1，故ρcosθ＝﹣1是圆的切线，故C正确；在D中，ρsinθ＝﹣1即y＝﹣1，圆心（0，1）到y＝﹣1的距离d＝2＞r＝1，故ρsinθ＝﹣1不是圆的切线，故D错误．故选：C．8．【解答】解：lgE＝4.8+1.5M，∴lgE1＝4.8+1.5×8＝16.8，lgE2＝4.8+1.5×7.5＝16.05，∴E1＝1016.8，E2＝1016.05，∴＝100.75，∵100.75＞90.75＝31.5＝3×＞5，∴的值所在的区间为（5，6），故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】解：作出x，y满足对应的平面区域，由z＝x+2y，得y＝﹣x+，平移直线y＝﹣x+，由，解得A（2，1）由图象可知当直线经过点A（2，1）时，直线y＝﹣x+的截距最小，此时z最小，此时z＝2+2×1＝4．故答案为：4．10．【解答】解：双曲线﹣＝1的一个焦点为（2，0），即c＝，解得m＝3，故答案为：3．11．【解答】解：等差数列{a n}的公差设为d，等比数列{b n}的公比设为q，a1＝﹣1，b1＝2，a3+b2＝﹣1，可得﹣1+2d+2q＝﹣1，即为d＝﹣q，可取d＝﹣1，可得q＝1，则a n＝﹣1﹣（n﹣1）＝﹣n；b n＝2．故答案为：﹣n，2．12．【解答】解：菱形ABCD中，，则＝•＝||×||×cos∠CBD＝||×||＝×＝．故答案为：．13．【解答】解：函数＝sin x cos﹣cos x sin+cos x cos +sin x sin＝sin x；∵x∈上∴当x＝时，f（x）取得最大值为sin＝．故答案为：14．【解答】解：①若f（x）＝，由|f（x）|≤1，可得x2≤1+x2，成立，即有F f（x）＝f（x）＝，则F f（1）＝；②若f（x）＝e a﹣|x|﹣1，且对任意x∈R，F f（x）＝f（x），可得|f（x）|≤1恒成立，即为﹣1≤e a﹣|x|﹣1≤1，即有0≤e a﹣|x|≤2，可得a﹣|x|≤ln2，即a≤|x|+ln2，由|x|+ln2的最小值为ln2，则a≤ln2．故答案为：，（﹣∞，ln2]．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【解答】（本题满分为13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理可得：c sin A＝a sin C，所以：cos B＝＝，又0＜∠B＜π，．…（5分）（Ⅱ）因为△ABC的面积为a2＝ac sin，∴c＝2，．．…（13分）16．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）由0.05×2+0.08×2+0.10×2+0.12×2+2x＝1，可得x＝0.15…（3分）（Ⅱ）0.10×2+0.05×2＝0.30，即课外阅读时间不小于16个小时的学生样本的频率为0.30.500×0.30＝150，所以可估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16个小时的学生人数为150．…（6分）（Ⅲ）课外阅读时间在[10，12）的学生样本的频率为0.08×2＝0.16，50×0.16＝8，即阅读时间在[10，12）的学生样本人数为8，8名学生为3名女生，5名男生，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，；；；．所以X的分布列为：故X的期望…（13分）17．【解答】证明：（Ⅰ）在图1中，，可得△AEF为等腰直角三角形，AE⊥EF．因为AD∥BC，所以EF⊥BF，EF⊥FC．因为平面ABFE⊥平面EFCD，且两平面交于EF，CF⊂平面CDEF，所以CF⊥平面ABFE．又EG⊂平面ABFE，故CF⊥EG；由G为中点，可知四边形AEFG为正方形，所以AF⊥EG；又AF∩FC＝F，所以EG⊥平面AFC．又AC⊂平面AFC，所以AC⊥EG…（4分）解：（II）由（Ⅰ）知：FE，FC，FB两两垂直，如图建立空间直角坐标系F﹣xyz，设FE＝1，则F（0，0，0），C（0，2，0），B（0，0，2），D（1，1，0）．设H是线段BC上一点，．．由（Ⅰ）知为平面ABFE的法向量，＝（0，2，0），因为DH⊄平面ABFE，，即（﹣1，2λ﹣1，2﹣2λ）•（0，2，0）＝0.．．…（9分）（III）设A（1，0，1），E（1，0，0），G（0，0，1）．由（I）可得，．，设平面ACD的法向量为n＝（x，y，z），由令x＝1，则y＝1，z＝1．于是n＝（1，1，1）．．所以二面角D﹣AC﹣F的大小为90°…（14分）18．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝xe x﹣x2﹣2x，其导数f'（x）＝e x（x+1）﹣2x ﹣2，f'（0）＝﹣1．又因为f（0）＝0，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣x；（Ⅱ）根据题意，当x＞0时，“曲线y＝f（x）在直线y＝﹣x的上方”等价于“axe x﹣x2﹣2x＞﹣x恒成立”，又由x＞0，则axe x﹣x2﹣2x＞﹣x⇒ae x﹣x﹣1＞0⇒a＞，则原问题等价于a＞恒成立；设g（x）＝，则g′（x）＝﹣，又由x＞0，则g′（x）＜0，则函数g（x）在区间（0，+∞）上递减，又由g（0）＝＝1，则有＜1，若a＞恒成立，必有a≥1，即a的取值范围为[1，+∞）．19．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆方程椭圆过点P（2，1），可得a2＝8．所以c2＝a2﹣2＝8﹣2＝6，所以椭圆C的方程为+＝1，离心率e＝＝，（Ⅱ）直线AB与直线OP平行．证明如下：设直线P A：y﹣1＝k（x﹣2），PB：y﹣1＝﹣k（x﹣2），设点A的坐标为（x1，y1），B（x2，y2），由得（4k2+1）x2+8k（1﹣2k）x+16k2﹣16k﹣4＝0，∴2x1＝，∴x1＝同理x2＝，所以x1﹣x2＝﹣，由y1＝kx1﹣2k+1，y2＝﹣kx1+2k+1有y1﹣y2＝k（x1+x2）﹣4k＝﹣，因为A在第四象限，所以k≠0，且A不在直线OP上．∴k AB＝＝，又k OP＝，故k AB＝k OP，所以直线AB与直线OP平行．20．【解答】（共14分）解：（Ⅰ）由于数列{a n}∈Ω（2），即d＝2，a1＝1．由已知有|a2|＝|a1+d|＝|1+2|＝3，所以a2＝±3，|a3|＝|a2+d|＝|a2+2|，将a2＝±3代入得a3的所有可能取值为﹣5，﹣1，1，5．…（4分）证明：（Ⅱ）先应用数学归纳法证明数列：若{a n}∈Ω（d），则a n具有md±1，（m∈Z）的形式．①当n＝1时，a1＝0•d+1，因此n＝1时结论成立．②假设当n＝k（k∈N*）时结论成立，即存在整数m0，使得a k＝m0d0±1成立．当n＝k+1时，|a n+1|＝|m0d0±1+d0|＝|（m0+1）d0±1|，a k+1＝（m0+1）d±1，或a k+1＝﹣（m0+1）±1，所以当n＝k+1时结论也成立．由①②可知，若数列{a n}∈Ω（d）对任意n∈N*，a n具有md±1（m∈Z）的形式．由于a n具有md±1（m∈Z）的形式，以及d≥2，可得a n不是d的整数倍．故取整数k＝d，则整数k均不是数列{a n}中的项…（9分）（Ⅲ）由|a n+1|＝|a n+d|，可得：＝，所以有＝+2a n d+d2，＝+2a n﹣1d+d2，，…＝，以上各式相加可得，即A n＝﹣，同理B n＝﹣，当|a n+1|≤|b n+1|时，有，∵d∈N*，∴≤，∴≤﹣，∴A n≤B n．…（14分）。
北京市东城区2018-2019学年度第一学期期末数学试题及答案
东城区2018-2019学年度第一学期期末教学目标检测初三数学试卷 2019.1一、选择题（本题共32分，每小题4分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的． 1．已知tan 1A =，则锐角A 的度数是A ．030 B ．045C ．060D ．0752. 下面图形中，为中心对称图形的是A． B ． C ．D ．3．已知⊙1O 和⊙2O 的半径分别为2和5，且圆心距127O O =，则这两圆的位置关系是 A ．外切 B ．内切 C ．相交 D ．相离4．下列事件中是必然事件的是 A ．北京一月一日刮西北风 B ．当x 是实数时，20x ≥C ．抛掷一枚硬币，出现正面向上D ．一个电影院某天的上座率超过50%5．如图，已知P A ，PB 分别切⊙O 于点A 、B ，60P ∠=，8PA =，那么弦长是 A ．4B ．8C ．D ．6．如图，圆锥形烟囱帽的底面直径为80，母线长为50，则烟囱帽的侧面 积是 A ．4000π B ． 3600π C ．2000π D ．1000π 7．已知△ABC 和△A′B′C′是位似图形．△A′B′C′的周长是△ABC 的一半，AB ＝8cm ，则A′B′ 等于A ．64cmB ．16cmC ．12cmD ．4cmB（第10题）8．下列命题：①若a+b+c=0，则b 2－4ac ＜0；②若b=2a+3c ，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根；③若b 2－4ac>0，则二次函数2y ax bx c =++的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3. ④若b>a+c ，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根. 其中正确的是A ．②④B ．①③C ．②③D ．③④二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．点P （2，3）关于原点对称的点的坐标是 ．10．如图，若将飞镖投中一个被平均分成6份的圆形靶子，则落在阴影部分的概率是 ．11. 如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC=120°，AB=AC=4. 则⊙O 的直径= .12. 己知菱形ABCD 的边长是6，点E 在直线AD 上，DE ＝3，连接BE与对角线AC 相交于点M ，则AMMC的值是 .三、解答题：（本题共30分，每小题5分） 13.计算：0tan 602sin 452cos30+-14. 如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB ＝8，OC ⊥AB 于C ，求OC 的长．15. 如图，已知CD 是ABC Rt △斜边上的高，43AC BC ==，，算cos BCD ∠的值．16. 如图，在Rt OAB △中，90OAB ∠=，且点B 的坐标为（4，2）．（1）画出OAB △绕点O 逆时针旋转90后的11OA B △; （2）求点A 旋转到点1A 所经过的路线长．17．二次函数2y ax bx c =++的部分对应值如下表：（1）二次函数图象所对应的顶点坐标为 . （2）当4x =时,=y .（3）由二次函数的图象可知，当函数值0y <时，x 的取值范围是 .ＡC（第11题）18. 彤彤和朵朵玩纸牌游戏．下图是同一副扑克中的4张扑克牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，彤彤先从中抽出一张，朵朵从剩余的3张牌中也抽出一张．彤彤说：若抽出的两张牌的数字都是偶数，你获胜；否则，我获胜． （1）请用树状图（或列表）表示出两人抽牌可能出现的所有结果； （2）若按彤彤说的规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由．四、解答题：（本题共20分，每小题5分，）19. 如图，小明为了测量一铁塔的高度CD ，他先在A 处测得塔顶C 的仰角为︒30，再向塔的方向直行40米到达B 处，又测得塔顶C 的仰角为︒60，请你帮助小明计算出这座铁塔的高度．（小明的身高忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：41.12≈ 1.73≈，24.25≈）20．如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体(看成一点)的路线是抛物线23315y x x =-++的一部分. （1）求演员弹跳离地面的最大高度；（2）已知人梯高BC ＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．21． 已知:如图, BD 是半圆O 的直径,A 是BD 延长线上的一点，BC ⊥AE ，交AE 的延长线于点C , 交半圆O 于点E ，且E 为DF 的中点. （1）求证：AC 是半圆O的切线；（2）若6ADAE ==，，求BC 的长．C ︒30 ︒60 A B DNBNBN22．如图，在直角坐标平面xOy 中，抛物线1C 的顶点为A （-1,-4），且过点B （－3,0） （1）写出抛物线1C 与x 轴的另一个交点M 的坐标；（2）将抛物线1C 向右平移2个单位得抛物线2C ，求抛物线2C 的解析式；（3）写出阴影部分的面积S .五、解答题：（本题共22分，第23、24题每题7分，第25题8分）23．已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB DC ，（或它们的延长线）于点M N ，． 当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时（如图1），易证BM DN MN +=． （1）当M A N ∠绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图2），线段BM DN ，和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM DN ，和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．图1 图224．如图，抛物线212y x mx n =++交x 轴于A 、B 点A 的横坐标是-3，点B 的横坐标是1．(1) 求m 、n 的值； (2）求直线PC 的解析式；(3）请探究以点A为圆心、直径为5的圆与直线PC 的位置关系，并说明理由．(1.41≈1.73≈，2.24≈)25．如图，是一个放在平面直角坐标系中的矩形，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，3,4OA OC ==，平行于对角线AC 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位的速度运动，设直线m 与矩形OABC 的两边分别交于点M 、N ，直线运动的时间为t （秒）. (1) 写出点B 的坐标； （2）t 为何值时，12MN AC =; (3)设△OMN 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围； 当t 为何值时，S 有最大值？并求S 的最大值．OABC O A x C y东城区2018-2019学年度第一学期期末教学目标检测初三数学参考答案 2019.1一、 选择题：（本题共32分，每小题4分）二、填空题：（本题共16分，每小题4分） 9. （-2，-3） 10.1211. 8 12. 223或三、 解答题：（本题共30分，每小题5分）22325⨯-==13.解:分分14.解： 连结OA,……………1分∵OC ⊥AB,AB ＝8， ∴由垂径定理，12AC BC AB ===4.…………3分 223.5Rt OCA OC AC OC ∆=+∴===2在中，由勾股定理，OA 分.15.:435.2 CD AB .34cos ,54cos cos .55ABC AC BC AB BCD A AC ABC A AB BCD A ==∴=∴∠=∠==∴∠==解在Rt △中，，，由勾股定理，分是边上的高，分在Rt △中,分16．解：(1)图略………3分(2) 点A 旋转到点A 1所经过的路线长=ππ2418090=⨯…………5分 17．（1）（1，-4）………2分（2）5y = …………4分 （3）135 x -<<分18.解：(1) 树状图为：ＡC共有12种可能结果． ············································································ 2分 （2）游戏公平． ·············································································· 3分 ∵ 两张牌的数字都是偶数有6种结果：（6，10），（6，12），（10，6），（10，12），（12，6），（12，10）．∴ 彤彤获胜的概率P =126=21． ···························································· 4分 朵朵获胜的概率也为21． ····································································· 5分∴ 游戏公平．四、解答题：（本题共20分，每小题5分，） 19．解：∵∠CBD=600，∠CAB ＝30°，∴∠ACB=300 ．∴AB=BC=40．……………2分在Rt △BDC 中， 0sin 60CDBC=∴0sin 604034.6CD BC =⋅==≈（米）………4分 答：这座铁塔的高度约为34.6米．…………5分 20．解：（1）223351931()5524y x x x =-++=--+∵，∴函数的最大值是．……3分 答：演员弹跳的最大高度是米． （2）2344341 3.45x y BC ==-⨯+⨯+==当时，， 所以这次表演成功．……5分21.解：（1）连接OE ,∵E 为DF 的中点，305－＜194194C︒30︒60 A B DN∴DE EF =．∴ OBE CBE ∠=∠.∵OE OB =， ∴OEB OBE ∠=∠. ∴ OEB CBE ∠=∠.∴OE ∥BC .∵BC ⊥AC ， ∴∠C=90°.∴ ∠AEO =∠C =90°. 即OE ⊥AC . 又OE 为半圆O 的半径，∴ AC 是半圆O 的切线.………………… 2分 （2）设O的半径为x ， ∵OE AC ⊥，∴222(6)x x +-=.∴3x =.………………3分 ∴12AB AD OD OB =++=. ∵OE ∥BC ，∴AOE ABC △∽△.…………4分∴AO OEAB BC =. 即9312BC= ∴4BC =.……………5分22.解： (1) M(1,0) ……………1分（2）设抛物线1C 的解析式为2(1)4y a x =+-，将点B （-3,0）代入得1a =, ∴2(1)4y x =+-.∵将抛物线1C 向右平移2个单位得抛物线2C ， ∴抛物线2C 的解析式为2(1)4y x =--.………3分（3）S=8 …………5分 五、解答题：（本题共22分，第23、24题每题7分，第25题8分） 23．解：（1）BM DN MN +=成立．…………2分 如图，在MB 的延长线上，截得BE=DN ，连接AE 易证：ABE ADN △≌△ ∴AE=AN.∴∠EAB=∠NAD.000090,45,45.45.BAD NAM BAM NAD EAB BAM ∠=∠=∴∠+∠=∴∠+∠=∴EAM NAM ∠=∠.又AM 为公共边，∴AEM ANM △≌△……………5分 ME MN ∴=.ME BE BM DN BM ∴=+=+ DN BM MN ∴+=.（2）DN BM MN -=……………7分24．解： (1)由已知条件可知： 抛物线212y x mx n =++经过A (-3，0)、B (1，0)两点．∴ 903,210.2m n m n ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩ 1,32m n =⎧⎪⎨=-⎪⎩解得 ……………………2分 ∴ 21322y x x =+- .(2) ∵21322y x x =+-，∴ P (-1，-2)，C 3(0,)2-．设直线PC 的解析式是y kx b =+，则2,3.2k b b -=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩ 解得1,232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴ 直线PC 的解析式是1322y x =-.……………3分(3) 如图，过点A 作AE ⊥PC ，垂足为E ．设直线PC 与x 轴交于点D ，则点D 的坐标为(3，0). 在Rt △O CD 中，∵ O C =32，3OD =，∴CD =． ∵ O A =3，3OD =，∴AD =6． ∵ ∠C O D =∠AED =90o ，∠CD O 公用， ∴ △C O D ∽△AED ．∴ OC CD AE AD=， 即3226AE =． ∴AE ． ∵2.688 2.5>，∴ 以点A 为圆心、直径为5的圆与直线PC 相离．…………… 7分25．解：（1）点B 的坐标是（3,4）……………1（2）当0＜t ≤3时，(图1)∵MN//AC,且1.2MN AC =∴M 是OA 的中点. ∴t=1.5秒. 当3＜t ＜6 时，（图2） 设直线m 与x 轴交点为D ，∵MN//AC,且1.2MN AC =∴M 是AB 的中点.可证：△A MD ≌△BMN ． ∴BN=AD=t-3. ∴△BMN ∽△BAC ．∴BN MNBC AC =． ∴3132t -=． ∴ 4.5t =秒.1.5.3t AC =1当秒或t=4.5秒时，MN=分2(3) 当0＜t ≤3时，OM =t ．（图3） 由△OMN ∽△OAC ，得OCONOA OM =， ∴ ON =43t ，S=223t ． ······························· 4分 当3＜t ＜6时，(图4) ∵ OD =t ，∴ AD = t-3．易知四边形ADNC 是平行四边形，∴ CN =AD =t-3，BN =6-t ． 由△BMN ∽△BAC ，可得BM =43BN =8-43t ，∴ AM =-4+43t ． S=矩形OABC 的面积-Rt △OAM 的面积- Rt △MBN 的面积- Rt △NCO 的面积=12-34(4)23t -+-214(8)(6)3t t ⨯---4(3)2t -=2243t t -+．当0＜t ≤3时，∵ 抛物线S=223t 的开口向上，在对称轴t=0的右边， S 随t 的增大而增大， ∴ 当t=3时，S 可取到最大值2233⨯=6；东城09，1 第 11 页 共 11 页 11当3＜t ＜6时，∵ 抛物线S=2243t t -+的开口向下，它的顶点是（3，6），∴ S ＜6．……… 8分综上，当t=3时，S 有最大值6．图4。
2018-2019学年北京市东城区九年级(上)期末数学试卷含答案解析
2018-2019学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．（2分）（2016•曲阜市校级自主招生）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2分）（2018秋•东城区期末）三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是（）A．B．C．D．3．（2分）（2018秋•东城区期末）反比例函数y的图象位于（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限4．（2分）（2019•河北区模拟）如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOB＝72°，则∠ACB 的度数为（）A．18°B．30°C．36°D．72°5．（2分）（2018秋•东城区期末）在平面直角坐标系xoy中，△OAB各顶点的坐标分别为：O（0，0），A（1，2），B（3，0），以原点O为位似中心，相似比为2，将△OAB放大，若B点的对应点B′的坐标为（﹣6，0），则A点的对应点A′坐标为（）A．（﹣2，﹣4）B．（﹣4，﹣2）C．（﹣1，﹣4）D．（1，﹣4）6．（2分）（2018秋•东城区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在DC边上，连接AE，交BD于点F，若DE：EC＝3：1，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4B．9：16C．9：1D．3：17．（2分）（2018秋•东城区期末）将抛物线y1绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（）A．y＝﹣2x2+1B．y＝﹣2x2﹣1C．D．8．（2分）（2018秋•东城区期末）下表显示的是某种大豆在相同条件下的发芽试验结果：下面有三个推断：①当n为400时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为0.955，所以大豆发芽的概率是0.955；②随着试验时大豆的粒数的增加，大豆发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计大豆发芽的概率是0.95；③若大豆粒数n为4000，估计大豆发芽的粒数大约为3800粒．其中推断合理的是（）A．①②③B．①②C．①③D．②③二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）（2018秋•东城区期末）港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车．大桥在设计理念、建造技术、施工组织、管理模式等方面进行一系列创新，标志着我国岛隧工程设计施工管理水平走在了世界前列．大桥全长近55km．汽车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式为10．（2分）（2018秋•东城区期末）如图，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一棵大树的影长为8米，则这棵树的高度为米．11．（2分）（2018秋•东城区期末）请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y轴的交点坐标为（0，3）．此二次函数的解析式可以是．12．（2分）（2018秋•东城区期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD ＝8，OE＝3，则⊙O的半径为．13．（2分）（2018秋•东城区期末）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为18cm，BD的长为9cm，则的长为cm．14．（2分）（2018秋•东城区期末）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC＝105°，则∠C的度数是．15．（2分）（2018秋•东城区期末）如图，以等边△ABC的一边AB为直径的半圆O交AC于点D，交BC于点E，若AB＝4，则阴影部分的面积是．16．（2分）（2019•武侯区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C 逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若BC＝4，∠ABC ＝60°，则线段MN的最大值为．三.解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.0或117．（5分）（2018秋•东城区期末）计算：4sin30°cos45°tan30°+2sin60°18．（5分）（2018秋•东城区期末）下面是小明设计的“作平行四边形的高”的尺规作图过程已知：平行四边形ABCD．求作：AE⊥BC，垂足为点E．作法：如图，①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；②作直线PQ，交AB于点O；③以点O为圆心，OA长为半径做圆，交线段BC于点E；④连接AE．所以线段AE就是所求作的高．根据小明设计的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：∵AP＝BP，AQ＝，∴PQ为线段AB的垂直平分线．∴O为AB中点．∵AB为直径，⊙O与线段BC交于点E，∴∠AEB＝°．（）（填推理的依据）∴AE⊥BC．19．（5分）（2018秋•东城区期末）如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD，（1）求证：△ABC∽△ACD；（2）若AD＝2，AB＝5．求AC的长．20．（5分）（2018秋•东城区期末）京剧脸谱是京剧艺术独特的表现形式．京剧表演中，经常用脸谱象征人物的性格，品质，甚至角色和命运．如红脸代表忠心耿直，黑脸代表强悍勇猛．现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“红脸”，另外一张卡片的正面图案为“黑脸”，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率．（图案为“红脸”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“黑脸”的卡片记为B）21．（5分）（2018秋•东城区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）自变量x的部分取值及对应的函数值y如表所示：（1）写出此二次函数图象的对称轴；（2）求此二次函数的表达式．22．（5分）（2018秋•东城区期末）如图，一次函数y＝x+4的图象与反比例函数y（k为常数且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B两点，与x轴交于点C．（1）求a，k的值及点B的坐标；（2）若点P在x轴上，且S△ACP S△BOC，直接写出点P的坐标．23．（6分）（2018秋•东城区期末）某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA 喷出，OA长为1.5米．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3米．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足函数关系y＝ax2+x+c（a≠0）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）求水流喷出的最大高度．24．（6分）（2018秋•东城区期末）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB上一点，以AE为直径作⊙O与BC相切于点D，连接ED并延长交AC的延长线于点F．（1）求证：AE＝AF；（2）若AE＝5，AC＝4，求BE的长．25．（6分）（2018秋•东城区期末）有这样一个问题：探究函数y的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数y的图象与性质进行了探究．下面是小彤探究的过程，请补充完整：（1）函数y的自变量x的取值范围是；（2）下表是y与x的几组对应值：则m的值为；（3）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；（4）观察图象，写出该函数的一条性质；（5）若函数y的图象上有三个点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），且x1＜3＜x2＜x3，则y1、y2、y3之间的大小关系为；26．（6分）（2018秋•东城区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的表达式为y＝﹣2x2+4mx ﹣2m2+2m，线段AB的两个端点分别为A（1，2），B（3，2）．（1）若抛物线经过原点，求出m的值；（2）求抛物线顶点C的坐标（用含有m的代数式表示）；（3）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求出m的取值范围．27．（7分）（2018秋•东城区期末）如图，M为正方形ABCD内一点，点N在AD边上，且∠BMN＝90°，MN＝2MB．点E为MN的中点，点P为DE的中点，连接MP并延长到点F，使得PF＝PM，连接DF．（1）依题意补全图形；（2）求证：DF＝BM；（3）连接AM，用等式表示线段PM和AM的数量关系并证明．28．（7分）（2018秋•东城区期末）对于平面直角坐标系xOy中的图形M及以原点为圆心，1为半径的⊙O，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为⊙O上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M到⊙O的“圆距离”，记作d（M﹣O）（1）记线段AB为图形M，其中A（﹣1，2），B（1，2），求d（M﹣O）；（2）记函数y＝kx+4（k＞0）的图象为图形M，且d（M﹣O）≥1，直接写出k的取值范围；（3）记△CDE为图形M，其中C（t﹣2，﹣2），D（t+2，﹣2），E（t，4），且d （M﹣O）＝1，直接写出t的值．2018-2019学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．（2分）（2016•曲阜市校级自主招生）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是中心对称图形，本选项错误；B、不是中心对称图形，本选项错误；C、不是中心对称图形，本选项错误；D、是中心对称图形，本选项正确．故选：D．2．（2分）（2018秋•东城区期末）三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是（）A．B．C．D．【解答】解：由图可得，直角三角形的斜边长5，∴sinα ，故选：A．3．（2分）（2018秋•东城区期末）反比例函数y的图象位于（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限【解答】解：∵反比例函数y中k＝6＞0，∴此函数的图象位于一、三象限．故选：B．4．（2分）（2019•河北区模拟）如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOB＝72°，则∠ACB 的度数为（）A．18°B．30°C．36°D．72°【解答】解：∵∠AOB＝72°，∴∠ACB＝36°．故选：C．5．（2分）（2018秋•东城区期末）在平面直角坐标系xoy中，△OAB各顶点的坐标分别为：O（0，0），A（1，2），B（3，0），以原点O为位似中心，相似比为2，将△OAB放大，若B点的对应点B′的坐标为（﹣6，0），则A点的对应点A′坐标为（）A．（﹣2，﹣4）B．（﹣4，﹣2）C．（﹣1，﹣4）D．（1，﹣4）【解答】解：如图所示：∵相似比为2，∴A'（﹣2，﹣4），故选：A．6．（2分）（2018秋•东城区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在DC边上，连接AE，交BD于点F，若DE：EC＝3：1，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4B．9：16C．9：1D．3：1【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴△DEF∽△BAF，∵DE：EC＝3：1，∴DE+DC＝DE：AB＝3：4，∴（）2．故选：B．7．（2分）（2018秋•东城区期末）将抛物线y1绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（）A．y＝﹣2x2+1B．y＝﹣2x2﹣1C．D．【解答】解：抛物线y1的顶点坐标为（0，1），点关于原点O的对称点的坐标为（0，﹣1），此时旋转后抛物线的开口方向相反，所以旋转后的抛物线的解析式为y x2﹣1．故选：D．8．（2分）（2018秋•东城区期末）下表显示的是某种大豆在相同条件下的发芽试验结果：下面有三个推断：①当n为400时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为0.955，所以大豆发芽的概率是0.955；②随着试验时大豆的粒数的增加，大豆发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计大豆发芽的概率是0.95；③若大豆粒数n为4000，估计大豆发芽的粒数大约为3800粒．其中推断合理的是（）A．①②③B．①②C．①③D．②③【解答】解：①当n＝400时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为0.955，所以大豆发芽的概率大约是0.955，此推断错误；②根据上表当每批粒数足够大时，频率逐渐接近于0.950，所以估计大豆发芽的概率是0.95，此推断正确；③若n为4000，估计大豆发芽的粒数大约为4000×0.950＝3800粒，此结论正确．故选：D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）（2018秋•东城区期末）港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车．大桥在设计理念、建造技术、施工组织、管理模式等方面进行一系列创新，标志着我国岛隧工程设计施工管理水平走在了世界前列．大桥全长近55km．汽车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式为【解答】解：∵大桥全长近55km，∴汽车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式为，故答案为：．10．（2分）（2018秋•东城区期末）如图，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一棵大树的影长为8米，则这棵树的高度为 6.4米．【解答】解：∵同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，，∴，∴BC＝6.4米．故答案为6.4．11．（2分）（2018秋•东城区期末）请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y轴的交点坐标为（0，3）．此二次函数的解析式可以是y＝﹣x2+3（答案不唯一）．【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c．∵抛物线开口向下，∴a＜0．∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），∴c＝3．取a＝﹣1，b＝0时，二次函数的解析式为y＝﹣x2+3．故答案为：y＝﹣x2+3（答案不唯一）．12．（2分）（2018秋•东城区期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD ＝8，OE＝3，则⊙O的半径为5．【解答】解：连接OD，∵CD⊥AB于点E，直径AB过O，∴DE＝CE CD8＝4，∠OED＝90°，由勾股定理得：OD5，即⊙O的半径为5．故答案为：5．13．（2分）（2018秋•东城区期末）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为18cm，BD的长为9cm，则的长为πcm．【解答】解：∵AB＝18cm，BD＝9cm，∴AD＝9cm，∴的长．故答案为．14．（2分）（2018秋•东城区期末）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC＝105°，则∠C的度数是45°．【解答】解：∵∠AOC的度数为105°，由旋转可得∠AOD＝∠BOC＝40°，∴∠AOB＝105°﹣40°＝65°，∵△AOD中，AO＝DO，∴∠A（180°﹣40°）＝70°，∴△ABO中，∠B＝180°﹣70°﹣65°＝45°，由旋转可得，∠C＝∠B＝45°，故答案为：45°．15．（2分）（2018秋•东城区期末）如图，以等边△ABC的一边AB为直径的半圆O交AC于点D，交BC于点E，若AB＝4，则阴影部分的面积是．【解答】解：如图，连接OD，OE，DE．∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，∵OA＝OD＝OB＝OE＝2，∴△AOD，∠EOB都是等边三角形，∴∠AOD＝∠EOB＝60°，∴∠DOE＝60°，△DOE是等边三角形，∴∠DOE＝∠EOB，∴弓形DE与弓形BE的面积相等，∵CD＝DE＝CE＝2，∴△CDE是等边三角形，∴S阴＝S△CDE22，故答案为．16．（2分）（2019•武侯区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C 逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若BC＝4，∠ABC ＝60°，则线段MN的最大值为6．【解答】解：连接CN．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝4，∠B＝60°，∴∠A＝30°，∴AB＝A′B′＝2BC＝8，∵NB′＝NA′，∴CN A′B′＝4，∵CM＝BM＝2，∴MN≤CN+CM＝6，∴MN的最大值为6，故答案为6．三.解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.0或117．（5分）（2018秋•东城区期末）计算：4sin30°cos45°tan30°+2sin60°【解答】解：4sin30°cos45°tan30°+2sin60°＝42＝2﹣1﹣1．18．（5分）（2018秋•东城区期末）下面是小明设计的“作平行四边形的高”的尺规作图过程已知：平行四边形ABCD．求作：AE⊥BC，垂足为点E．作法：如图，①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；②作直线PQ，交AB于点O；③以点O为圆心，OA长为半径做圆，交线段BC于点E；④连接AE．所以线段AE就是所求作的高．根据小明设计的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：∵AP＝BP，AQ＝BQ，∴PQ为线段AB的垂直平分线．∴O为AB中点．∵AB为直径，⊙O与线段BC交于点E，∴∠AEB＝90°．（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）∴AE⊥BC．【解答】解：（1）图形如图所示：（2）理由：连接AQ，BQ，AP，BP．∵AP＝BP，AQ＝BQ，∴PQ为线段AB的垂直平分线，∴O为AB中点，∵AB为直径，⊙O与线段BC交于点E，∴∠AEB＝90°．（直径所对的圆周角是直角），∴AE⊥BC．故答案为：BQ，90，（直径所对的圆周角是直角）．19．（5分）（2018秋•东城区期末）如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD，（1）求证：△ABC∽△ACD；（2）若AD＝2，AB＝5．求AC的长．【解答】解：（1）∵∠ABC＝∠ACD，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD（2）解：△ABC∽△ACD∴，∵AD＝2，AB＝5，∴，∴AC．20．（5分）（2018秋•东城区期末）京剧脸谱是京剧艺术独特的表现形式．京剧表演中，经常用脸谱象征人物的性格，品质，甚至角色和命运．如红脸代表忠心耿直，黑脸代表强悍勇猛．现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“红脸”，另外一张卡片的正面图案为“黑脸”，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率．（图案为“红脸”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“黑脸”的卡片记为B）【解答】解：画树状图为：由树状图可知，所有可能出现的结果共有9种，其中两次抽取的卡片上都是“红脸”的结果有4种，所以P（两张都是“红脸”），答：抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率是．21．（5分）（2018秋•东城区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）自变量x的部分取值及对应的函数值y如表所示：（1）写出此二次函数图象的对称轴；（2）求此二次函数的表达式．【解答】解：（1）∵当x＝﹣2时，y＝3；当x＝0时，y＝3，∴二次函数图象的对称轴为直线x，即x＝﹣1．（2）将（﹣1，2），（0，3），（1，6）代入y＝ax2+bx+c，得：，解得：，∴此二次函数的表达式为y＝x2+2x+3．22．（5分）（2018秋•东城区期末）如图，一次函数y＝x+4的图象与反比例函数y（k为常数且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B两点，与x轴交于点C．（1）求a，k的值及点B的坐标；（2）若点P在x轴上，且S△ACP S△BOC，直接写出点P的坐标．【解答】解：（1）把点A（﹣1，a）代入y＝x+4，得a＝3，∴A（﹣1，3）把A（﹣1，3）代入反比例函数y∴k＝﹣3；∴反比例函数的表达式为y联立两个函数的表达式得解得或∴点B的坐标为B（﹣3，1）；（2）当y＝x+4＝0时，得x＝﹣4∴点C（﹣4，0）设点P的坐标为（x，0）∵S△ACP S△BOC，∴3×|x+4|4×1解得x1＝﹣6，x2＝﹣2∴点P（﹣6，0）或（﹣2，0）．23．（6分）（2018秋•东城区期末）某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA 喷出，OA长为1.5米．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3米．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足函数关系y＝ax2+x+c（a≠0）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）求水流喷出的最大高度．【解答】解：（1）由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），把上述两个点坐标代入二次函数表达式得：，解得：，则函数表达式为：y x2+x；（2）a＜0，故函数有最大值，∴当x＝1时，y取得最大值，此时y＝2，答：水流喷出的最大高度为2米．24．（6分）（2018秋•东城区期末）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB上一点，以AE为直径作⊙O与BC相切于点D，连接ED并延长交AC的延长线于点F．（1）求证：AE＝AF；（2）若AE＝5，AC＝4，求BE的长．【解答】证明：（1）连接OD，∵BC切⊙O于点D，∴OD⊥BC，∴∠ODC＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴OD∥AC，∴∠ODE＝∠F，∵OE＝OD，∴∠OED＝∠ODE，∴∠OED＝∠F，∴AE＝AF；（2）∵OD∥AC∴△BOD∽△BAC，∴，∵AE＝5，AC＝4，即，∴BE．25．（6分）（2018秋•东城区期末）有这样一个问题：探究函数y的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数y的图象与性质进行了探究．下面是小彤探究的过程，请补充完整：（1）函数y的自变量x的取值范围是x≠3；（2）下表是y与x的几组对应值：则m的值为；（3）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；（4）观察图象，写出该函数的一条性质当x＞3时y随x的增大而减小（答案不唯一）；（5）若函数y的图象上有三个点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），且x1＜3＜x2＜x3，则y1、y2、y3之间的大小关系为y1＜y3＜y2；【解答】解：（1）∵x﹣3≠0，∴x≠3；（2）当x＝﹣1时，y；（3）如图所示：（4）由图象可得，当x＞3时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；（5）由图象可得，当x1＜3时，y1＜1；当0＜x2＜x3时，1＜y3＜y2．∴y1、y2、y3之间的大小关系为y1＜y3＜y2．故答案为：x≠3；；当x＞3时，y随x的增大而减小；y1＜y3＜y2．26．（6分）（2018秋•东城区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的表达式为y＝﹣2x2+4mx ﹣2m2+2m，线段AB的两个端点分别为A（1，2），B（3，2）．（1）若抛物线经过原点，求出m的值；（2）求抛物线顶点C的坐标（用含有m的代数式表示）；（3）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求出m的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣2x2+4mx﹣2m2+2m经过原点，∴﹣2m2+2m＝0，解得m1＝0，m2＝1；（2）∵y＝﹣2x2+4mx﹣2m2+2m＝﹣2（x2﹣2mx+m2）+2m＝﹣2（x﹣m）2+2m，∴顶点C的坐标为（m，2m）；（3）由顶点C的坐标可知，抛物线的顶点C在直线y＝2x上移动．当抛物线过点A时，m＝2或1；当抛物线过点B时，m＝2或5．所以m＝2时，抛物线与线段AB有两个公共点，不符合题意．结合函数的图象可知，m的取值范围为1≤m≤5且m≠2．27．（7分）（2018秋•东城区期末）如图，M为正方形ABCD内一点，点N在AD边上，且∠BMN＝90°，MN＝2MB．点E为MN的中点，点P为DE的中点，连接MP并延长到点F，使得PF＝PM，连接DF．（1）依题意补全图形；（2）求证：DF＝BM；（3）连接AM，用等式表示线段PM和AM的数量关系并证明．【解答】解：（1）如右图所示；（2）∵点P为线段DE的中点，∴DP＝EP在△MPE和△FPD中，∴△MPE≌△FPD（SAS），∴DF＝EM，∵E为MN的中点，∴MN＝2ME，∵MN＝2MB，∴MB＝ME＝DF，∴DF＝BM；（3）结论：，证明：连接AF，由（2）可知：△MPE≌△FPD，∴∠DFP＝∠EMP，∴DF∥ME，∴∠FDN＝∠MND，在正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝90°，又∵∠BMN＝90°，∴∠MBA+∠MNA＝180°，又∵∠MNA+∠MND＝180°，∴∠MBA＝∠MND，∴∠FDN＝∠MBA，在△F AD和△MAB中，，∴△F AD≌△MAB（SAS），∴∠F AD＝∠MAB，F A＝MA，∴∠F AM＝∠DAB＝90°，∴△F AM为等腰直角三角形，∴又∵FM＝2PM，∴．28．（7分）（2018秋•东城区期末）对于平面直角坐标系xOy中的图形M及以原点为圆心，1为半径的⊙O，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为⊙O上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M到⊙O的“圆距离”，记作d（M﹣O）（1）记线段AB为图形M，其中A（﹣1，2），B（1，2），求d（M﹣O）；（2）记函数y＝kx+4（k＞0）的图象为图形M，且d（M﹣O）≥1，直接写出k的取值范围；（3）记△CDE为图形M，其中C（t﹣2，﹣2），D（t+2，﹣2），E（t，4），且d （M﹣O）＝1，直接写出t的值．【解答】解：（1）如下图所示由题意得：点A、点B关于y轴对称，则：PQ＝1，即：d（M﹣O）＝1；（2）如下图所示，当d（M﹣O）＝1时，过点O作OP⊥MN，交圆于点Q，由题意得：OM＝4，即：PQ＝1，则OP＝2，sin∠OMP，即：∠NMO＝30°，则ON＝OM•tan30°，点N的坐标为（，0），把点N的坐标代入直线表达式得：0k+4，解得：k，而k＞0，故：＜；（3）①当t＜0时，如下图所示，过点O作OP⊥ED交于点D，过点E作x轴的垂线交于点G、交CD于点N，则DN＝2，EN＝6，tan∠NED，即：∠DEN＝30°，∴∠EDN＝∠EHG＝60°＝∠OHP，由题意得：OP＝2，OH，则：HG t，GE＝4，tan∠EHG，解得：t，②当t＞0时，同理可得：t，③当t＝0时，d（M﹣O）＝1，即当d（M﹣O）＝1时，t的值为0或或．第31页（共31页）。
东城区2018-2019学年八年级第一学期数学期末考试数学试题及参考答案
东城区2018-2019学年度第一学期期末数学测试及参考答案2019.1一、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1.生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm ，数据0.00000032用科学记数法表示正确的是（ ）A ．73.210⨯ B ．83.210⨯ C ．73.210-⨯ D ．83.210-⨯ 2．若分式11a -有意义，则a 的取值范围是 A ．1a ≠B ．0a ≠C ．1a ≠且0a ≠D ．一切实数3．下列运算中，正确的是（ ） A ．235325x x x +=B ．C ．D ． 33()ab a b =4. 2017年12月15日，北京2022年冬奥会会徽“冬梦”正式发布. 以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是( )A B C D5. 3月14日是国际数学日，当天淇淇和嘉嘉想玩个数学游戏，他们的 对话内容如图所示，下列选项错误．．的是（ ）A ．446+=B ．04446++=C ．46=D ．1446-=6.下列二次根式中，是最简二次根式的是 （ ）A.B. C.D. 7．已知，则的值是（ ）A ．6B ．24C ．36D ．728.如图，已知∠1=∠2，AC =AD ，要使△ABC ≌△AED ，还需添加一 个条件，那么在①AB =AE ， ②BC =ED ， ③∠C =∠D ， ④∠B =∠E ，这四个关系中可以选择的是A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④9. 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠C ＝30°，AD ⊥BC 于D ，BE 是∠ABC 的平分线，且交AD 于P ，如果AP ＝2，则AC 的长为( )A ．2B ．4C ．6D ．810. 定义运算“※”：,,aa b a bb b a b b aa ⎧>⎪⎪-=⎨⎪<⎪-⎩※ ．若2x =5※，则x 的值为（ ）A ．52 B ．52或10 C ．10 D ．52或152二、 填空题（本题共6小题，11-15小题每小题2分，16小题4分，共14分）11. 分解因式：228ax a -= ． 12. 多项式（mx +8）（2-3x )展开后不含x 项，则m = ．13．当x 的值为 时，分式242x x --的值为0.23323433x 2,3m na a ==32m n a +14. 课本上有这样一道例题：请你思考只要CD垂直平分AB，那么△ABC就是等腰三角形的依据是____________.15．如图，在△ABC中，点D是AB边的中点，过点D作边AB的垂线l，E是l上任意一点，且AC＝5，BC＝8，则△AEC的周长最小值为__________.16．已知在△ABC中，AB=AC．（1）若∠A=36º，在△ABC中画一条线段，能得到2个等腰三角形（不包括．．．△ABC），这2个等腰三角形的顶角的度数分别是___________；（2）若∠A≠36º，当∠A=___________时，在等腰△ABC中画一条线段，能得到2个等腰三角形（不包括．．．△ABC）.（写出两个答案即可）三、解答题（本题共12小题，共56分）17．(本小题4分)()-2012-π-2⎛⎫⎪⎝⎭．18. （本小题6分）计算：(1)-；(2) )3)(3()2(2-+--xxx．19. (本小题3分)在三个整式xyx22+，xyy22+，2x中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使yx 所得整式可以因式分解，并进行因式分解．20. （本小题4分） 解分式方程：21． （本小题4分）先化简22169(1)24a a a a -+-÷--，然后a 在﹣2，0， 1，2，3中选择一个合适的数代入并求值．22. （本小题4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的三个顶点的坐标分别是A （2，3）， B （1，0）， C （1，2）． （1）在图中作出△ABC 关于y 轴对称的△111A B C ；（2）如果要使以B 、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 全等，写出所有符合条件的点D 坐标.23. （本小题5分）如图，点B ,F ,C ,E 在直线l 上(F ,C 之间不能直接测量)，点A ,D 在l 异侧，测得 AB ＝DE ，AB ∥DE ，∠A ＝∠D ． (1)求证：△ABC ≌△DEF ；(2)若BE =10m ，BF =3m ，求FC 的长度．271326x x x +=++lACB24.（本小题5分）列方程解应用题：港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，是被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作. 开通后从香港到珠海的车程由原来的180千米缩短到50千米，港珠澳大桥的设计时速比按原来路程行驶的平均时速多40千米，若开通后按设计时速行驶，行驶完全程时间仅为原来路程行驶完全程时间的1/6，求港珠澳大桥的设计时速是多少.25. （本小题5分）如图，AE 是△ACD 的角平分线，B 在DA 延长线上，AE ∥BC ，F 为BC 中点，判断AE 与AF 的位置关系并证明.26. （本小题4分）阅读下列材料,然后回答问题:观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121212)12)(12()12(1121-=--=-+-⨯=+. 232323)23)(23()23(1231-=--=-+-⨯=+.（一）还可以用以下方法化简：22(二)（1)请用不同的方法化简.①参照（一）式得＝______________________________________________；②参照（二）式得＝_________________________________________；（2）从计算结果中找出规律，并利用这一规律选择．．下面两个问题中的一个．．加以解决： 1.求.......1)+的值； 352+352+352+2.化简：. 27．（本小题6分）（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图（1），等边△ABC 边长为2，过AB 边上一点P 作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，且AP=CQ ，连接PQ 交AC 于D ，求DE 的长.小明同学经过认真思考后认为，可以通过过点P 作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题.请根据小明同学的思路直接写出DE 的长. （2）【类比探究】老师引导同学继续研究：1.等边△ABC 边长为2，当P 为BA 的延长线上一点时,作PE ⊥CA 的延长线于点E ，Q 为边BC 上一点，且AP=CQ ，连接PQ 交AC 于D .请你在图（2）中补全图形并求DE 的长.2. 已知等边△ABC ，当P 为AB 的延长线上一点时,作PE ⊥射线AC 于点E ， Q 为（○1BC 边上；○2BC 的延长线上；○3CB 的延长线上）一点，且AP =CQ ，连接PQ 交直线AC 于点D ，能使得DE 的长度保持不变.(将答案的编号填在横线上)图（1） 图（2） （备用图）28. （本小题6分）在平面直角坐标系xOy 中，△ABO 为等边三角形，O 为坐标原点，点A 关于y 轴的对称点为D ，连接AD ，BD ，OD ，其中AD ，BD 分别交y 轴于点E ，P . （1）如图1，若点B 在x 轴的负半轴上时，直接写出BDO ∠的度数；（2）如图2，将△ABO 绕点O 旋转，且点A 始终在第二象限，此时AO 与y 轴正半轴夹角为α，60︒<α<90︒，依题意补全图形，并求出BDO ∠的度数；（用含α的式子表示）（3）在第（2）问的条件下，用等式表示线段BP ，PE ，PO 之间的数量关系.（直接写出结果）12121...571351131-+++++++++n n C B A C B A图1 图2东城区2018-2019学年度第一学期期末数学测试答案一、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）二、 填空题（本题共6小题，11-15题每小题2分，16小题4分，共14分）11．2(2)(2)a xx +-；12．12；13．-2；14．线段垂直平分线上的点与这条线段两端点距离相等，等腰三角形定义； 15．13；16.（1）36°，108°；（2）°1807，90°，108°.三、 解答题（本题共12小题，共56分）17．解：原式=3+14- …………………………3分 =0 . …………………………4分 18．解：（1）原式=2…………………………2分 = …………………………3分 （2）原式=22449x x x -+-+ …………………………2分=413x -+. …………………………3分19. 解：22)2(x xy x ++---------------------------------------------1分 xy x 222+=-------------------------------------------------2分)(2y x x +=．----------------------------------------------3分或或 或 其他情况参照给分． 20. 解：去分母，得：222(2)();y xy x x y ++=+2222(2)(2)()();x xy y xy x y x y x y +-+=-=+-2222(2)(2)()().y xy x xy y x y x y x +-+=-=+-4x +2(x +3)=7 . ……………………………………………………1分 化简，得：6x +6=7 . …………………………………………………2分解得：16x =. …………………………………………3分 检验：把16x =代入最简公分母，2（x +3）≠0.所以16x =是原分式方程的解.…………………………………………4分21. 解：原式=23(3)2(2)(+2)a a a a a --÷-- ……………………2分 =23(2)(+2)2(3)a a a a a --⨯-- =+23a a -. ……………………3分 当0a =时，+23a a -=2-3. ………………………4分注意：如a 取﹣2， 2，3没分.22．解：（1）图略；………………………1分（2）(0,3) ， ( 0,-1) ， (2,-1) . ………………………4分23. 解：(1)证明：∵AB ∥DE ，∴∠ABC ＝∠DEF ，---------------------------------------------------1分 又∵AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，------------------------------------------2分 ∴△ABC ≌△DEF ．---------------------------------------------------3分（2）解：∵△ABC ≌△DEF ，∴BC ＝EF . -------------------------------------------------------------4分 ∴BF ＋FC ＝EC ＋FC. ∴BF= EC.∵BE =10m ，BF =3m ，∴43310=--=FC m ．-------------------------------------------------------5分24．解：设港珠澳大桥的设计时速是x 千米/时，按原来路程行驶的平均时速是（x -40）千米/时. ………………………1分依题意，得501180640x x =-. ………………………3分 解方程，得100x =. ………………………4分 经检验：100x =是原方程的解，且符合题意.QPF EDCBA答：港珠澳大桥的设计时速是每小时100千米. ………………………5分25. 解：AE 与AF 的位置关系是垂直. ………………………1分证明：∵ AE 是△ACD 的角平分线，∴ 12DAE CAE DAC ∠=∠=∠. ………………………2分 ∵ AE ∥BC ，∴ ,DAE B EAC ACB ∠=∠∠=∠. ∴=B ACB ∠∠.∴ AB =AC . ………………………3分 又∵ F 为BC 中点， ∴ 1==2BAF CAF CAB ∠∠∠. ………………………4分 ∵ 180CAB CAD ∠+∠=︒ ∴ 90CAF CAE ∠+∠=︒.∴ AE ⊥AF . ………………………5分26. 解：（1）………………………1分…………2分（2）1. 2018； 2.. ………………………4分27. 解：（1）DE=1. ………………………1分(2) 1. 正确补全图形. ……………2分 过点P 作PF ∥BC 交CA 的延长线与点F . ∴ ∠PF A =∠C .∵ △ABC 是等边三角形， ∴ 可证 △APF 为等边三角形. ∴ AP =PF .又∵ PE ⊥CA 的延长线于点E ，11 ∴ AE =FE =12AF . ……………3分 ∵ AP=CQ ，∴ PF =QC .∵ ∠FDP =∠CDQ ，∴ △FDP ≌△CDQ .∴ FD =CD =12CF . ……………4分 ∵ DE =DF -EF =1111222CF AF AC -==. ……………5分 2. ○2. ……………6分 28． 解：（1）120°； ……………1分（2）正确画出图形. ……………2分∵ ,60AOE DOE AOB α∠=∠=∠=︒,∴ 3602603002BOD αα∠=︒--︒=︒-. …………3分 ∵ BO =BD ,∴ ∠OBD =∠ODB .∴ 180602BOD BDO α︒-∠∠==-︒. ……………4分 （3）2PE BP PO =+. ……………6分 说明：本试卷中的试题都只给出了一种解法，对于其他解法请参照评分标准相应给分.F P D E B A O。
东城区2018-2019第一学期期末数学理科答案终稿
东城区2018-2019学年度第一学期期末教学统一检测高三数学（理科）参考答案及评分标准 2019.1一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）A （4）B （5）A （6）D （7）C （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）4 （10（11）2n - （答案不唯一） （12）32（13 （14）12(,l n 2]-∞ 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解:sin sin sin cos sin ABC a C c A a C B c A ==(Ⅰ)在△中，由正弦定理得所以，=0B <∠<π又，=.4B π∠所以 .............................5分21sin ,.24S =ABC ac a c π==(Ⅱ)因为的面积所以△22282,.2b a a a b =+-⋅⋅=由余弦定理所以，222cos10A==所以.............................13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）由0.0520.0820.1020.12221x⨯+⨯+⨯+⨯+=，可得0.15x=. .............................3分（Ⅱ）0.1020.0520.30⨯+⨯=，即课外阅读时间不小于16个小时的学生样本的频率为0.30.5000.30150⨯=，所以可估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16个小时的学生人数为150..............................6分（Ⅲ）课外阅读时间在[10,12)的学生样本的频率为0.0820.16⨯=，500.168⨯=,即阅读时间在[10,12)的学生样本人数为8，8名学生为3名女生，5名男生，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，35385(0)28CP XC===；12353815(1)28C CP XC===；21353815(2)56C CP XC===；33381(3)56CP XC===.所以X 的分布列为：故X 的期望5151519()0123282856568E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. .............................13分（17）（共14分）解：(Ⅰ)在图1中，,,AE EF AF == 可得△AEF 为等腰直角三角形，AE EF ⊥.因为ADBC ，所以,.EF BF EF FC ⊥⊥ 因为平面ABFE ⊥平面,EFCD EF 且两平面交于，CF CDEF ⊂平面， 所以CF ABFE ⊥平面.又EG ABFE ⊂平面，故CF EG ⊥；由G 为中点，可知四边形AEFG 为正方形，AF EG ⊥所以； 又AFFC F =，EG AFC.⊥所以平面AC AFC ⊂又平面，.AC EG ⊥所以 .............................4分（II ）由(Ⅰ)知：FE ，FC ，FB 两两垂直，F xyz -如图建立空间直角坐标系，设1FE =，则(0,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,1,0).F C B DH BC 设是线段上一点，[0,1].BH BC λλ∈=则存在使得(0,2,22)(1,21,22).H DH λλλλ-=---因此点，(0,2,0).FC ABFE FC =由（Ⅰ）知为平面的法向量，DH ABFE ⊄因为平面，0DH ABFE DH FC ⋅=所以平面当且仅当，(12122)(0,2,0)=0.λλ⋅即-,-,-1=.2λ解得1.2BH BC H DH ABFE BC =所以在线段上存在点使得平面此时， ..........................9分 （III ）(1,0,1)(1,0,0)(0,0,1).A E G 设，，由(I)可得,(1,0,1).EG AFC EG =-是平面的法向量，(0,1,1),(1,1,0),AD CD =-=-设平面ACD 的法向量为(,,)x y z =n ，由0,0AD CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n 00.y z x y -=⎧⎨-=⎩，即1,1, 1.x y z ===令则(1,1,1).于是n =cos ,0.EG EG EG ⋅<>==所以n n n所以二面角90.D AC F --的大小为 .............................14分（18）（共13分）解：(Ⅰ) 当1a =时，2()e 2x f x x x x =--，所以()e (1)22xf x x x '=+--，(0)1f '=-.又因为(0)0f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =-． .................4分(Ⅱ)当0x > 时，“曲线()y f x =在直线y x =-的上方”等价于“2e 2x ax x x x -->-恒成立”，即0x >时e 10xa x -->恒成立，由于e 0x>，所以等价于当0x >时，1e xx a +>恒成立. 令1(),0e x x g x x +=≥，则()e xxg x -'=.当0x ≥时，有()0.g x '≤所以g (x )在区间[0,)+∞单调递减.1(0)1()[0,)0,1e xx g g x x +=+∞><故是在区间上的最大值从而对任意恒成立.， 综上，实数a 的取值范围为[1,)+∞. .............................13分（19）（共13分）解：（Ⅰ）由椭圆方程222:1(21)2x y C a +=过点,，可得28a =. 所以椭圆C 的方程为22182x y +=，离心率e == .........................4分（Ⅱ）直线AB 与直线OP 平行.证明如下：设直线():12PA y k x -=-，():12PB y k x -=--，(,)(,).A AB B A x y B x y 设点的坐标为点的坐标为，由2218221x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，得()222418(12)161640.k x k k x k k ++-+--=22228(12)16(12)8822,2.414141A A k k k k k k x x k k k ----+=-=--=+++则同理2288k 241B k x k +-=+，所以216k.41A Bx x k --=+ 21A A y kx k =-+由，21B B y kx k =-++，()28441A B A B k y y k x x k k --=+-=+有， 因为A 在第四象限，所以0k ≠，且A 不在直线OP 上.1.21,.2A B AB A B op AB OP y y k x x k k k -==-==又故 所以直线与直线OP 平行. .............................13分（20）（共14分）解：（Ⅰ）由于数列{}Ω(2)n a ∈，即2d =，1 1.a =由已知有21123a a d =+=+=，所以23a =±，3222a a d a =+=+，将23a =±代入得3a 的所有可能取值为5,1,1,5.-- ..............................4分 （Ⅱ）先应用数学归纳法证明数列:{}()1()n n a d a md m ∈Ω±∈Z 若数列则具有的形式.，①当1n =时，101a d =⋅+，因此1n =时结论成立.②假设当n k k *=∈N （）时结论成立，即存在整数0m ，使得001k a m d =±成立.当1n k =+时，1000001(1)1k a m d d m d +=±+=+±，10(1)1k a m d +=+±，或10(1) 1.k a m d +=-+±所以当1n k =+时结论也成立.由①②可知，若数列{}Ω()n a d ∈，n n a *∈N 对任意，具有1()md m ±∈Z 的形式. AB由于n a 具有1()md m ±∈Z 的形式，以及2d ≥，可得n a 不是d 的整数倍. 故取整数k d =，则整数k 均不是数列{}n a 中的项. .............................9分（Ⅲ）由1n n a a d +=+可得：22212.n n n a a a d d +=++所以有22212n n n a a a d d +=++，222112n n n a a a d d --=++，2221222n n n a a a d d ---=++，2222112.a a a d d =++以上各式相加可得22112n n a d n S d +-=+， 即22221111..2222n n n n a b nd nd A B d d d d++++=-=-同理当11n n a b ++≤时，有22+1+1n n a b ≤， 由于d *∈N ，所以22+1122n n a b d d +≤，于是222211112222n n a b nd nd d d d d ++++--≤，.n n A B ≤即成立 .............................14分。
北京东城区2018-2019高三第一学期期末数学(理科)试卷及答案
x y ≥ 3，
x2
(10)已知双曲线
y2
1的一个焦点为(，2 则3, 0)
m 3m
.
m ______ .
(11)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足 a1 1, b1 2 ， a3 b2 1，试写出一组满足条件的
数列{an}和{bn}的通项公式： an
(19)（本小题 13 分）
已知椭圆 C :
x2 a2
y2 2
1 过点 P(2,1) .
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程，并求其离心率； （Ⅱ）过点 P 作 x 轴的垂线 l ，设点 A 为第四象限内一点且在椭圆 C 上（点 A 不关于 l 的对称点为 A ，直线 AP 与 C 交于另一点 B .设 O 为原点，判断直线 AB 与直线 OP 的位置关系，并说明理由.
布列与数学期望 E( X ) .
(17)（本小题 14 分）
如图 1，在四边形 ABCD 中， AD P BC ， BC 2 AD , E , F 分别为 AD, BC 的中点， AE EF ， AF 2AE .将四边形 ABFE 沿 EF 折起，使平面 ABFE 平面 EFCD (如图 2)， G 是 BF 的中点. (Ⅰ)证明： AC EG ； (Ⅱ)在线段 BC 上是否存在一点 H ，使得 DH P 平 面 ABFE ？若存在，求 BH 的值；若不存
设H是线段上B一C点 ，
uuur uuur 则存在使得[0,1] BH BC .
uuuur 因此点H (0, 2, 2 2)，DH (1, 2 1, 2 2) .
uuur 由（Ⅰ）知为FC平面的法A向BF量E
uuur ，FC (0, 2, 0) .
东城区2018-2019学年七年级第一学期数学期末考试试题及答案
东城区2018-2019学年度第一学期期末教学统一检测初一数学2019.1一、 选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个.1.1.在在 -5，-2.3-2.3，，0，0.890.89，，143-五个数中，负数共有五个数中，负数共有A. 2个B.3个C.4个 D. 5个2.3-的绝对值是的绝对值是A．3- B．13-C．13D．33.3.如图，点如图，点P在直线l外，点A，B在直线l上，P A=3,PB=6,点P到直线l的距离可能是的距离可能是A.2B. 3C.5D. 74.4.下列四组数中，满足方程下列四组数中，满足方程的是的是A.1,xy=ìí=îB.1,2xy=-ìí=îC.2,xy=ìí=îD.5.5.多项式多项式23+2m na b ab-可以进一步合并同类项，则m，n的值分别是的值分别是A．1,1m n== B．1,2m n==C．2,1m n==D．2,2m n==6．数轴上点A表示的数是1，从点A出发，沿数轴向左移动2个单位长度到达点B，则点B 表示的数是表示的数是A.-1B.-2C.2D.3.37. 一副三角尺如图摆放，图中不．含．15°角的是5°角的是A23x y+=3xy=ìí=îC D8. 已知x ，y 是有理数，若2(2)+30x y -+=，则xy 的值是的值是A.9-B.8-C ．6-D ．99.9.已知已知x 是自然数，且满足x ＜2，则符合条件的x 的值是的值是A.1,0-B.0,1C.-1,1D 0,1C.-1,1D．．-1-1，，0,110.10.圆柱的侧面展开图是长方形，其长为圆柱的侧面展开图是长方形，其长为4π，宽为2π，则该圆柱底面的半径，则该圆柱底面的半径A.1B.4A.1B.4C.C.1或2 D ．2或4二、填空题（本题共16分，每小题2分） 11.2-的相反数是的相反数是..12.12.港珠澳大桥于港珠澳大桥于2018年10月24日上午9时正式通车，全长55公里，造价超过1269亿元亿元 人民币人民币..将1269用科学记数法表示应为用科学记数法表示应为. . 13.写出一个次数不超过2，且含有字母a ，b 的整式：的整式：. .14.14.在直角三角形在直角三角形ABC 中，90ACB =°∠，CD 与AB 垂直，且交点为D 图中A ∠的余角是的余角是. . （写出所有符合条件的角）（写出所有符合条件的角）15.15.若若是方程的解，则的值是的值是. . 16.16.若一个角的补角是其余角的若一个角的补角是其余角的3倍，则这个角的度数是倍，则这个角的度数是. .17.17.已知线段已知线段AB =6cm, 点C 在直线AB 上，BC =2cm,2cm,点点D 为线段AC 的中点，则线段DB 的长为cm.18.18.如图，长方形纸条的长为如图，长方形纸条的长为60cm.60cm.先将纸条折叠，使折痕与长边垂直先将纸条折叠，使折痕与长边垂直先将纸条折叠，使折痕与长边垂直, , 在重叠部分垂直于长边剪一刀，便得到三张小纸条若使三张小纸条的面积比为1：2：3，则共有种方法，则共有种方法. .2x =53()x a x a +=+a二、 解答题（本题共54分，第19-25题，每小题5分，第26-27题，每小题6分，第28题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 19.19.计算计算：（1）()5+2-3´. （2）211(1)[2(1)]33-¸´--.20.20.先化简，再求值：先化简，再求值：22222()2+x y xy x y xy --，其中-1x =，2y =.21.21.解方程解方程解方程::4610+2x x -=.22.22.解方程组解方程组21,2316.x y x y -=ìí+=î 23.23.解方程解方程解方程::.24. a , b 均为有理数.(1)若a, b 在数轴上的对应点的位置如图1所示，则a+b 0，a-b 0；（用“＞”，“＜”，或“=”填空）”填空）(2)若a 在数轴上的对应点的位置如图2所示，且a+b ≥0.请在数轴上画出b 的对应点所在的范围.（把相应部分用~~~ 描粗）描粗）231143x x +--=25.25.定义一种新运算定义一种新运算Å：3A B A B Å=-.(1) 计算1(2)Å-的值；的值；(2)(2)若若 2235 3 A a ab B a ab =++=-，，且a ，b 互为倒数，求A B Å的值的值.. 26.26.如图，已知线段如图，已知线段a ，b 及MAN ∠.（1）求作：BAC 三角形,使得点B ,C 分别在射线AM ,AN 上，且AB a =，AC b =.要求：利用圆规和直尺画图，不写作法，保留作图痕迹要求：利用圆规和直尺画图，不写作法，保留作图痕迹. .（2）在（）在（11）中所作图中，过点B 向直线AC 画垂线段，与直线AC 交点为D .（3）在（）在（11）中所作图中，画出BAC∠的平分线交边BC 于点E .（4）在（）在（11）中所图中，若=140BAC °∠，求DAE ∠的度数的度数. .27.27.某网店“双十一购物节”期间举行大型促销活动，具体活动详情如下：某网店“双十一购物节”期间举行大型促销活动，具体活动详情如下：某网店“双十一购物节”期间举行大型促销活动，具体活动详情如下：购物总金额购物总金额 优惠方式优惠方式 快递费快递费 不超过100元 无优惠无优惠 10元 超过100元但不足500元全单8折10元 不低于500元其中500元打8折，超过500元的部分打7折包邮包邮（1）若客户甲的购物总金额为80元，实际支付元；元，实际支付元； （2）客户乙实际支付370元，他的购物总金额是多少元元，他的购物总金额是多少元? ?（3）若客户甲的购物总金额不超过100元，客户乙的购物总金额与元，客户乙的购物总金额与（（2）中相同两人购物总金额之和超过了500元，于是两人决定合作于是两人决定合作,,结果实际支付比各自单独支付共少支付42元.列方程或方程组求甲的购物总金额是多少元列方程或方程组求甲的购物总金额是多少元. .28.28.阅读下面材料，并完成问题：阅读下面材料，并完成问题：我们把不超过数的最大整数称为的整数部分，记作，把称为的小数部分，记作,即{}01x ≤＜,.如，,; 又如，{}()3.7=-3.740.3---=. （1）{}1.6=，[]1.6- =. . （2）若[]{}2x x =，求x 的值.思路分析：因为{}01x ≤＜，所以{}0x ≤2＜2. 因为是整数部分，可以对赋值.解：当时，代入已知条件，可求得，则;当时，代入已知条件，可求得，则.综上所述，，或.仿照上面的解法，若{}[]21x x =-，求x 的值. （3）若，求x 的值.东城区2018-2019学年度第一学期期末教学统一检测x x []x []x x -x {}x []{}x x x =+[]1.31={}1.30.3=[]{}1.3 1.3 1.3=+[]3.74-=-[]x []x []0x ={}0x =0x =[]1x ={}12x =32x =0x =32x =[]{}312x x x +=+初一数学参考答案及评分标准2019.1一、选择题（本题共30分，每小题3分） 1. B 2. D 3. A 4. D 5. B 6.A 7. C 8. D 9. B 10. C 二、填空题（本题共16分，每小题2分）11.212．31.26910´13.答案不唯一，如22a b + 14 ∠ACD ,∠B 15. 216. 45°17. 2或418.3 三、解答题（本题共54分，第19-25题，每小题5分，第26-27题，每小题6分，第28题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.()()19.15+2-3 =5+-6112´=- （）解：分分()2112(1)[2(1)]332=3123=23-¸´--´´ 分分22222222220.2()2+=222+31,2,=4. 5x y xy x y xy x y xy x y xy xy x y ----=-=-= 解：分 因为，因为， 所以，原式所以，原式分 21.42106168.5x x x x -=+== 解：移项得，，合并同类项得，合并同类项得，22， 系数化为系数化为系数化为11得，分22.22.解：解：21,2316.x y x y -=ìí+=î①②由①得，21x y =+，③ 把③代入②得，()221316,y y ++= 解得 ，2y =.把2y =代入③，解得5x =.所以,方程组的解是52.x y =ìí=î，……………………5分23.3(2)4(31)1236124123121264922159x x x x x x x x +--=+-+=-=---==- 解：去分母得，，去括号得，，移项得，，合并同类项得，，系数化为得，分24.解：（1）＞，＜;……………………3分(2)(2)…………………………………………5分25.25.解：解：解：(1)(1)1(2)13(2)7Å-=-´-=；……………………2分(2)A B Å 22(353)3()a ab a ab =++--2235333a ab a ab =++-+83ab =+因为a ，b 互为倒数，互为倒数，所以838311ab +=+=. …………………………………………5分26.解：(1)、(2)、(3)作图如下:………………………………………………………………4分（4）因为∠BAC =140°,AE 平分∠BAC ， 所以∠BAE=∠CAE=70°.所以∠DAE =180°-∠CAE =180°-70° =110°.……………………6分27.解：（1）90元；……………………2分（2）()370-370-10100.8=450¸（元）答：客户乙的购物总金额是450元,……………………4分(3)设甲的购物总金额为x 元.根据题意列方程得，()[]103705000.8(50)0.7423804000.735420.327190.x x x x x x ++-´+-´=éùëû+--+===，去括号得，，移项，合并同类项得，，系数化为得，答：甲的购物总金额是90元.……………………6分 28.解：（1）0.6，2-；……………………2分(){}[]22 1.x x =-当[]1x =时，{}0x =，则1x =； 当[]2x =时，{}0.5x =，则 2.5x =； 综上所述，1x =，或 2.5x =.……………………4分()[]{}[]{}[]{}[]{}3,312213.x x x x x x x x x =++=+++=因为所以，，即 当[]0x =时，{}13x =，求得，13x =.……………………7分。
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（1）C
（2）D
（3）A
（4）B
（5）A
（6）D
（7）C
（8）B
二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）
（9） 4
（10） 3
（11） n 2 （答案不唯一）
3
（12）
2
（13） 3
1
（14）
(, ln 2]
2
三、解答题（共 6 小题，共 80 分）
东城区 2018-2019 学年度第一学期期末教学统一检测
高三数学 （理科）
本试卷共 4 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作 答无效。考试结束后，将答题卡一并交回。
第一部分（选择题共 40 分）
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项。
由余弦定理所 ，以b2 a2 8a2 2 a 2 2a 2 , 2
b 5a.
所以cos A 5a2 8a2 a2 3 10 . 2 5a 2 2a 10
.............................13 分
（16）（共 13 分） 解：（Ⅰ）由 0.05 2 0.08 2 0.10 2 0.12 2 2x 1，
x
m
对称”的
(A) 充分而不必要条件 (C) 充分必要条件
(B) 必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
(6) 某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的
长度为
(A) 2
(B) 5
2
2
主主主主主主
1
主主主主主主
(C) 2 2
(D) 3
主主主
(7)在极坐标系中，下列方程为圆 =2 sin 的切线方程的是
（Ⅲ）已知数列{an}，{bn} (d ) ，记{an}，{bn} 的前 n 项和分别为 An , Bn .若 an1 bn1 ，求证：
An≤Bn .
东城区 2018-2019 学年度第一学期期末教学统一检测
高三数学（理科）参考答案及评分标准
2019.1
一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
(A) y x3 x (C) y 2x2 3
(B) y log2 x (D) y 2
x
(4)执行如图所示的程序框图，若输入的 n 5, m 3 ，则输出的 p 值为
(A) 360 (C) 36
(B) 60 (D)12
(5)“
m
5 cos(2x
)
6 的图象关于直线
得了他们某一个月课外阅读时间的数据（单位：小时），将数据分为 5 组：[10,12) ， [12,14) ， [14,16) ，[16,18) ，[18, 20] ，整理得到如图所示的频率分布直方图.
（Ⅰ）求频率分布直方图中的 x 的值； （Ⅱ）试估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于 16 小时的学生人数； （Ⅲ）已知课外阅读时间在[10,12) 的样本学生中有 3 名女生，现从阅读时间在[10,12) 的样本学
.
x y ≥ 3，
x2
(10)已知双曲线
y2
1的一个焦点为(，2 则3, 0)
m 3m
m ______ .
(11)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足 a1 1, b1 2 ， a3 b2 1，试写出一组满足条件的
数列{an}和{bn}的通项公式： an
， bn
.
(12)在菱形 ABCD 中，若 BD 3 ，则 CB DB 的值为
三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (15)（本小题 13 分）
在△ABC 中， 2c sin Acos B a sin C. （Ⅰ）求 B 的大小； ( Ⅱ)若的 △面A，B积求C为的值. a2 cosA
(16)（本小题 13 分） 某中学有学生 500 人，学校为了解学生的课外阅读时间，从中随机抽取了 50 名学生，获
，FC (0, 2, 0) .
因为D平H面 ABFE， 所以D平H面当且仅A当BFE
DH FC 0 ，
即(- 1,2-1,2- 2) (0, 2, 0) = 0.
解得= 1 . 2
所以在线段B上C存在点使得H平面此D时H
ABFE，
BH 1 . ..........................9 分 BC 2
又 EG 平面ABFE ，故 CF EG ；
由 G 为中点，可知四边形 AEFG 为正方形， 所以AF EG ；
又 AF FC F ， 所以EG 平面AFC .
又A平C面 AFC ， 所以AC EG .
.............................4 分
（II）由(Ⅰ)知： FE ， FC ， FB 两两垂直， 如图建立空间直角坐标系F xyz ，
.............................6 分 （Ⅲ）课外阅读时间在[10,12) 的学生样本的频率为 0.08 2 0.16 ，
50 0.16 8 ,即阅读时间在[10,12) 的学生样本人数为 8， 8 名学生为 3 名女生，5 名男生， 随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3，
y x
z y
0， 0.
令x则 1 , y 1, z 1. 于是n = (1,1,1).
所以cos
EG, n
EG n
0.
EG n
所以二面角 D AC F 的大小为90.
.............................14 分
（18）（共 13 分）
解：(Ⅰ) 当 a 1时， f (x) xex x2 2x ，所以 f (x) ex (x 1) 2x 2 ， f (0) 1 . 又因为 f (0) 0 ， 所以曲线 y f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y x ． .................4 分
1 15 28
2 15 56
3
1 56
9 8
.
.............................13 分
（17）（共 14 分）
解：(Ⅰ)在图 1 中， AE EF, AF 2AE, 可得△ AEF 为等腰直角三角形， AE EF . 因为 AD BC ，所以 EF BF, EF FC. 因为平面 ABFE 平面 EFCD，且两平面交于EF, CF 平面CDEF ， 所以 CF 平面ABFE .
P( X 0) C53 5 ； P( X 1) C31C52 15 ；
C83 28
C83 28
P(X
2)
C32C51 C83
15 56
；
P(X
3)
C33 C83
1 56
.
所以 X 的分布列为：
X
0
1
2
3
P
5
15
15
1
28
28
56
56
故
X
的期望
E(X
)
0
5 28
（III） 设A(1, 0,1)，E，(1, 0, 0) G(0, 0,1).
由(I)可得, EG 是平面A的F法C向量
，EG (1, 0,1).
AD (0,1, 1), CD (1, 1, 0),
设平面 ACD 的法向量为 n (x, y, z) ，
由
n n
AD CD
0, 即 0，
可得 x 0.15 . （Ⅱ） 0.10 2 0.05 2 0.30 ，
.............................3 分
即课外阅读时间不小于 16 个小时的学生样本的频率为 0.30 . 500 0.30 150 ， 所以可估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于 16 个小时的学生人数为 150.
释放的能量分别为 E1 和
E2 ，则
E1 E2
的值所在的区间为
(A) (1, 2)
(B) (5, 6)
(C) (7,8)
(D) (15,16)
第二部分（非选择题 共 110 分）
2、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
x ≤ 2,
（9）若
x,
y
满足
y
≤
2x,
则 x 2 y 的最小值为
(Ⅰ)证明： AC EG ；
(Ⅱ)在线段 BC 上是否存在一点 H
，使得 DH
平 面 ABFE
BH
？若存在，求
的值；若不存
BC
在，说明理由；
(Ⅲ)求二面角 D AC F 的大小.
(18)（本小题 13 分）
已知函数 f (x) axex x2 2x ． (Ⅰ) 当 a 1 时，求曲线 y f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程； (Ⅱ) 当 x 0 时，若曲线 y f (x) 在直线 y x 的上方，求实数 a 的取值范围．
(A) cos 2 (C) cos 1
(B) 2 cos （D） sin 1
(8)地震里氏震级是地震强度大小的一种度量.地震释放的能量 E (单位：焦耳)与地震里氏震级 M 之间的关系为 lg E 4.8 1.5M .已知两次地震的里氏震级分别为 8.0 级和 7.5 级，若它们
(1)已知集合 A {x 2 x 0}, B {2, 1, 0,1, 2}，则 A B
(A){2, 1} (C){1, 0}
(B){2, 0} (D){2, 1, 0}
(2)下列复数为纯虚数的是
(A)1 i2
(B) i i2
(C) 1 1 i
(D) (1 i)2
(3)下列函数中，是奇函数且存在零点的是