浙江省温州市高中数学 2.5等比数列前n项和(2)导学案(无答案)新人教a版必修5
高中数学人教A版必修5第二章2.5等比数列的前n项和教案
等比数列的前n项和一、教学目标1、掌握等比数列的前n项和公式,能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。
2、通过等比数列的前n项和公式的推导过程,体会错位相减法以及分类讨论的思想方法。
3、通过对等比数列的学习,发展数学应用意识,逐步认识数学的科学价值、应用价值,发展数学的理性思维。
二、教学重点与难点重点:掌握等比数列的前n项和公式,能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。
难点:错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。
三、教学设想本节课采用问题导学式课堂教学模式,即在教学过程中,在教师的启发引导下,以学生独立自主和合作交流为前提,以“正弦定理的发现”为基本探究内容,以四周世界和生活实际为参照对象,为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会,让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动,将自己所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。
让学生在“活动”中学习,在“主动”中发展,在“合作”中增知,在“探四、教学过程(一)创设问题情景课前给出复习:等比数列的定义及性质课首给出引例:某建筑队,由于资金短缺,向某砖厂赊借红砖盖房,可砖厂厂长很风趣,提出了这样一个条件:在一个月(30天)内,砖厂每天向建筑队提供10000块砖,为了还本付息,建筑队第一天要向厂方返还1块砖,第二天返还2块砖,第三天返还4块砖,即每天返还的砖数是前一天的2倍,请问,假如你是建筑队队长,你会接受这个条件吗?请在座的同学思考讨论一下,建筑队长能否向砖厂借砖?[设计一个学生比较感爱好的实际问题,吸引学生注重力,使其马上进入到研究者的角色中来!](二)启发引导学生数学地观察问题,构建数学模型。
学生直觉认为队长可以向砖厂借砖,教师引导学生自主探求,得出:队长30天借到的砖:465230)301(3021'30=⨯+=+++= S (万) 队长需要还的砖:=++++=292302221 S ?[直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!]教师紧接着把如何求=++++=292302221 S ?的问题让学生探究,292302221++++= S ①若用公比2乘以上面等式的两边,得到302923022222++++= S ②若②式减去①式,可以消去相同的项,得到:1073741823123030=-=S (分) ≈1073(万) > 465(万)答案:穷人不能向富人借钱(三)引导学生用“特例到一般”的研究方法,猜想数学规律。
高二新课程数学《2.5等比数列的前n项和》导学案(新人教A版)必修五
2.5等比数列的前n 项和班级: 组名: 姓名: 设计人:乔晓丽 审核人:魏帅举 领导审批:【学习目标】1.掌握等比数列前n 项和公式及其获取思路;2.会用等比数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题【研讨互动 问题生成】 1.等比数列的前n 项和公式1 2.等比数列的前n 项和公式2 【合作探究 问题解决】当1≠q 时,qq a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ②当q=1时,1na S n =当已知1a , q, n 时用公式①;当已知1a , q, n a 时,用公式② 【点睛师例 巩固提高】例1. 求和:132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S例2.求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn前n 项的和.例3.求数列的前n 项和:231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ,…例4.求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.【要点归纳 反思总结】等比数列求和的公式 【多元评价】自我评价: 小组成员评价: 小组长评价: 学科长评价: 学术助理评价: 【课后训练】1.在等比数列{}n a 中,5,6144117=+=⋅a a a a ,则=1020a a ( ) 2.等比数列{}n a 中,已知121264a a a =,则46a a 的值为3.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列,其中a 1=2,a 5=8,则a 3的值为4.设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ,若63S S =3 ,则 69S S =5.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若242S S =,则公比为6.已知等比数列{a n }的公比为2,前4项的和是1,则前8项的和为7.已知等比数列{}n a 的首项为8,n S 是其前n 项的和,某同学经计算得S 2=20,S 3=36,S 4=65,后来该同学发现了其中一个数算错了,则该数为8.已知数列{}n a 的前n 项和n n S aq =(0a ≠,1q ≠,q 为非零常数),则数列{}n a 为( )A.等差数列B.等比数列C.既不等比也不等差D.既是等差又是等比9. 若a n >0,q=2,且a 1·a 2·a 3…a 30=230,则a 3·a 6·a 9…a 30=_____. 10.已知1, a 1, a 2, 4成等差数列,1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列,则=+221b a a ______.11.等比数列{n a }的公比0q >, 2a =1,216n n n a a a +++=则数列{n a }的4S = 12.等比数列{}n a 的前n 项和n S =22-+⋅a a n ,则n a =_______. 13.已知数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,a n+2=)(31321++∈-N n a a n n (1)求证:{a n+1-a n }是等比数列。
高中数学人教A版必修5《等比数列的前n项和》导学案(第一课时)
尚志博学 厚道求真 第 1 页 共 1 页 高一数学◆必修 5◆导学案2.5《等比数列的前n 项和》导学案※ 学习目标:1. 等比数列前n 项和公式的推导;2. 等比数列的前n 项和公式的应用※学习重点、难点:重点:等比数列前n 项和公式的理解、推导及应用. 难点:等比数列前n 项和公式的灵活运用学习过程 (一)课前准备复习1:等比数列的定义是什么?通项公式是什么?复习2:等比数列的主要性质有哪些?(二)自主学习,合作探究探究: 等比数列的前n 项和 故事:“国王对国际象棋的发明者的奖励”新知:等比数列的前n 项和公式设等比数列123,,,n a a a a 它的前n 项和是n S =123n a a a a +++,公比为q ≠0,公式的推导方法:则22111111n n n nS a a q a q a q a q qS --⎧=++++⎪⎨=⎪⎩(1)n q S ∴-=当1q ≠时,n S = ①或n S = ②当q =1时,n S =(三)展示反馈,精讲点拨例1: 已知等比数列12,14,18,……….,①前8项的和; ② 前多少项的和是6364; ③求第5项到第10项的和; ④求此数列前2n 项中所有偶数项的和例2:已知等比数列{n a }(1) 若q S a 求公比,23,231==; (2)若211,216,21===n n S a a ,求n 与q.例3: 求和2311n-+a+a +a ++a(四)当堂检测1. 已知{n a }是等比数列,公比为q (1)若,31,321==q a 则n s = ; (2)若,1,11==q a 则n s = . 2.判断是非 ① )2(1)21(1)2(1684211---⨯=-+-+-+--n n ( ) ② 21)21(12222132--⨯=+++++n n( )③ 若c ≠0且c ≠1则22226421])(1[cc c cc c c n n--=++++ ( ) 课堂小结:你的收获?思考:(1)求和.23n x+2x +3x ++nx(2)“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”这 首中国,诗的答案是多少?。
高中数学 2.5《等比数列的前n项和》(2)教案 新人教A数学必修5
2.5等比数列的前n 项和(2)教学目标1.进一步掌握等比数列的前n 项和公式。
2.会用等比数列的前n 项和公式及通项公式解决求基本元素n n S a n q a ,,,,1的有关问题。
教学重点: 等比数列的通项公式及前n 项和公式的灵活应用。
教学难点灵活应用公式解决有关问题. 教学方法: 启发引导式教学法 教学过程 I .设置情境1.等比数列的通项公式是 。
2.等比数列的前n 项和公式的两种形式分别是 和 。
II .探索与研究例1.在等比数列{}n a 中,已知510=S ,1520=S ,求30S 。
例2.设等比数列{}na 的前n 项和a S nn+=3,求常数a 的值。
例3.已知等比数列{}na 中,1691-=a ,916-=n a ,144781-=n S ,求公比q与项数n 。
例4.设等比数列的首项为)0(>a a ,公比为)0(>q q ,前n 项和为80,其中最大的一项为54,又它的前n 2项和为6560,求a 和q 。
例5.求nn nxx x S +++= 22例6.求数列1,1+3,1+3+9,…,11393n -++++,…的前n 项和。
三小结四.作业 A.1.在等比数列{}na 中1030140S S +=,301013S S =,求20S2.在等比数列{}n a 中,14,a =5q =,求使725n S >最小的n 的值。
B .3.求和:++++)1()1(22y x y x )1,1,0)(1(≠≠≠++y x x yx n n【探究】设数列{}n a 中121,,a a a -321,,,n n aa a a ---是首项为1,公比为13的等比数列,求: (1){}n a 的通项公式。
(2){}n a 的前n 项和n S 。
中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术,下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
高中数学25《等比数列的前n项和》导学案新人教A版必修
2.5《等比数列的前n 项和(1)》导学案【学习目标】1. 掌握等比数列的前n 项和公式;2. 能用等比数列的前n 项和公式解决实际问题. 【重点难点】重点:等比数列前n 项和公式的推导过程和思想难点:在具体的问题情境中,如何灵活运用这些公式解决相应的实际问题 【知识链接】(预习教材P 55 ~ P 56,找出疑惑之处)复习1:什么是数列前n 项和?等差数列的数列前n 项和公式是什么?复习2:已知等比数列中,33a =,681a =,求910,a a .【学习过程】 ※学习探究探究任务:等比数列的前n 项和 故事:“国王对国际象棋的发明者的奖励”新知:等比数列的前n 项和公式设等比数列123,,,n a a a a 它的前n 项和是n S =123n a a a a +++,公比为q ≠0,公式的推导方法一:则22111111n n n nS a a q a q a q a q qS --⎧=++++⎪⎨=⎪⎩(1)n q S ∴-= 当1q ≠时,n S =①或n S =②当q =1时,n S = 公式的推导方法二:由等比数列的定义,32121n n a a aq a a a -====,有231121n n n n n a a a S a q a a a S a -+++-==+++-,即1n n nS a q S a -=-. ∴1(1)n n q S a a q -=-(结论同上)公式的推导方法三:n S =123n a a a a +++=11231()n a q a a a a -++++=11n a qS -+=1()n n a q S a +-.∴1(1)n n q S a a q -=-(结论同上)试试:求等比数列12,14,18,…的前8项的和.※典型例题 例1已知a 1=27,a 9=1243,q <0,求这个等比数列前5项的和.变式:13a =,548a =.求此等比数列的前5项和.例2某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今年起,大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?※动手试试练1.等比数列中,33139,.22a S a q ==,求及练2.一个球从100m 高出处自由落下,每次着地后又弹回到原来高度的一半再落下,当它第10次着地时,共经过的路程是多少?(精确到1m )【学习反思】 ※学习小结1. 等比数列的前n 项和公式;2. 等比数列的前n 项和公式的推导方法;3. “知三求二”问题,即:已知等比数列之1,,,,n n a a q n S 五个量中任意的三个,列方程组可以求出其余的两个.※知识拓展1. 若1q ≠-,*m N ∈,则232,,,m m m m m S S S S S --⋅⋅⋅构成新的等比数列,公比为m q .2. 若三个数成等比数列,且已知积时,可设这三个数为,,aa aq q. 若四个同符号的数成等比数列,可设这四个数为33,,,a aaq aq q q.3. 证明等比数列的方法有:(1)定义法:1n n aq a +=;(2)中项法:212n n n a a a ++=.4. 数列的前n 项和构成一个新的数列,可用递推公式111(1)nn n S a S S a n -=⎧⎨=+>⎩表示.【基础达标】※自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:1. 数列1,a ,2a ,3a ,…,1n a -,…的前n 项和为( ).A. 11n a a --B. 111n a a +--C.211n a a+-- D. 以上都不对2. 等比数列中,已知1220a a +=,3440a a +=,则56a a +=( ). A. 30 B. 60 C. 80 D. 1603. 设{}n a 是由正数组成的等比数列,公比为2,且30123302a a a a ⋅⋅⋅=,那么36930a a a a ⋅⋅⋅=( ). A. 102 B. 202 C. 1 D. 6024. 等比数列的各项都是正数,若1581,16a a ==,则它的前5项和为.5. 等比数列的前n 项和3n n S a =+,则a =. 【拓展提升】1. 等比数列中,已知1441,64,.a a q S =-=求及2. 在等比数列{}n a 中,162533,32a a a a +==,求6S .。
高中数学新人教A版必修5教案 2.5 等比数列的前n项和2
2.5 等比数列的前n 项和教学过程 推进新课 [合作探究]师 在对一般形式推导之前,我们先思考一个特殊的简单情形:1+q+q 2+…+q n=? 师 这个式子更突出表现了等比数列的特征,请同学们注意观察. 生 观察、独立思考、合作交流、自主探究.师 若将上式左边的每一项乘以公比q ,就出现了什么样的结果呢? 生 q+q 2+…+q n +qn +1.生 每一项就成了它后面相邻的一项. 师 对上面的问题的解决有什么帮助吗? 师 生共同探索: 如果记S n =1+q+q 2+…+q n, 那么qS n =q+q 2+…+q n +qn +1.要想得到S n ,只要将两式相减,就立即有(1-q)S n =1-q n. 师 提问学生如何处理,适时提醒学生注意q 的取值.生 如果q≠1,则有qq S n--=11.师 当然,我们还要考虑一下如果q =1问题是什么样的结果. 生 如果q =1,那么S n =n .师 上面我们先思考了一个特殊的简单情形,那么,对于等比数列的一般情形我们怎样思考? 课件展示:a 1+a 2+a 3+…+a n =?[教师精讲]师 在上面的特殊简单情形解决过程中,蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法,那就是“错位相减,消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法”. 师 在解决等比数列的一般情形时,我们还可以使用“错位相减法”. 如果记S n =a 1+a 2+a 3+…+a n , 那么qS n =a 1q+a 2q+a 3q+…+a n q,要想得到S n ,只要将两式相减,就立即有(1-q)S n =a 1-a n q.师 再次提醒学生注意q 的取值. 如果q≠1,则有qqa a S n n --=11.师 上述过程如果我们略加变化一下,还可以得到如下的过程: 如果记S n =a 1+a 1q+a 1q 2+…+a 1q n -1, 那么qS n =a 1q+a 1q 2+…+a 1q n -1+a 1q n,要想得到S n ,只要将两式相减,就立即有(1-q)S n =a 1-a 1q n.如果q≠1,则有qq a S n n --=1)1(1.师 上述推导过程,只是形式上的不同,其本质没有什么差别,都是用的“错位相减法”. 形式上,前一个出现的是等比数列的五个基本量:a 1,q,a n ,S n ,n 中a 1,q,a n ,S n 四个;后者出现的是a 1,q,S n ,n 四个,这将为我们今后运用公式求等比数列的前n 项的和提供了选择的余地. 值得重视的是:上述结论都是在“如果q≠1”的前提下得到的.言下之意,就是只有当等比数列的公比q≠1时,我们才能用上述公式.师 现在请同学们想一想,对于等比数列的一般情形,如果q =1问题是什么样的结果呢? 生 独立思考、合作交流. 生 如果q =1,S n =na 1. 师 完全正确.如果q =1,那么S n =na n 正确吗?怎么解释?生 正确.q =1时,等比数列的各项相等,它的前n 项的和等于它的任一项的n 倍. 师 对了,这就是认清了问题的本质.师 等比数列的前n 项和公式的推导还有其他的方法,下面我们一起再来探讨一下:[合作探究]思路一:根据等比数列的定义,我们有:q a a a a a a a a n n =====-1342312..., 再由合比定理,则得q a a a a a a a a n n=++++++++-1321432......,即q a S a S nn n =--1,从而就有(1-q)S n =a 1-a n q.(以下从略)思路二:由S n =a 1+a 2+a 3+…+a n 得S n =a 1+a 1q+a 2q+…+a n -1q=a 1+q(a 1+a 2+…+a n -1)=a 1+q(S n -a n ), 从而得(1-q)S n =a 1-a n q. (以下从略)师 探究中我们们应该发现,S n -S n -1=a n 是一个非常有用的关系,应该引起大家足够的重视.在这个关系式中,n 的取值应该满足什么条件? 生 n > 1.师 对的,请同学们今后多多关注这个关系式:S n -S n -1=a n ,n > 1. 师 综合上面的探究过程,我们得出:⎪⎩⎪⎨⎧≠--==1,1)1(,1,11q q q a q na S n n 或者1,1,1,11≠⎪⎩⎪⎨⎧--=q q q a a q na n[例题剖析]【例题1】 求下列等比数列的前8项的和:(1)21,41,81,…; (2)a 1=27,a 9=2431,q <0.[合作探究] 师生共同分析:由(1)所给条件,可得211=a ,21=q ,求n =8时的和,直接用公式即可. 由(2)所给条件,需要从24319=a 中获取求和的条件,才能进一步求n =8时的和.而a 9=a 1q 8,所以由条件可得q 8=19a a =272431⨯,再由q <0,可得31-=q ,将所得的值代入公式就可以了.生 写出解答:(1)因为211=a ,21=q ,所以当n =8时,256255211)21(1[2188=--=S .(2)由a 1=27,24319=a ,可得272431198⨯==a a q ,又由q <0,可得31-=q ,于是当n =8时,811640)31(1)2724311(2718=--⨯-=S . 【例题2】 某商场今年销售计算机5 000台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今年起,大约几年可使总销售量达到30 000台(结果保留到个位)?师 根据题意,从中发现等比关系,从中抽象出等比数列,并明确这是一个已知S n =30 000求n 的问题.生 理解题意,从中发现等比关系,并找出等比数列中的基本量,列式,计算.解:根据题意,每年的销售量比上一年增加的百分率相同,所以,从今年起,每年销售量组成一个等比数列{a n },其中a 1=5 000,q=1+10%=1.1,S n =30 000.于是得到300001.11)1.11(5000=--n , 整理得1.1n=1.6,两边取对数,得n lg1.1=lg1.6, 用计算器算得1.1lg 6.1lg =n ≈041.02.0≈5(年). 答:大约5年可以使总销售量达到30 000台. 练习:教材第66页,练习第1、2、3题.课堂小结本节学习了如下内容:1.等比数列前n 项和公式的推导;特别是在推导过程中,学到了“错位相减法”.2.等比数列前n 项和公式的应用.因为公式涉及到等比数列的基本量中的4个量,一般需要知道其中的3个,才能求出另外一个量.另外应该注意的是,由于公式有两个形式,在应用中应该根据题意所给的条件,适当选择运用哪一个公式.在使用等比数列求和公式时,注意q 的取值是至关重要的一个环节,需要放在第一位来思考.布置作业课本第69页习题2.5 A组第1、2、3题.板书设计等比数列前n项和公式的推导与应用等比数列的前n项和公式情境问题的推导一般情形的推导例1练习:(学生板演) 例2练习:(学生板演)第二课时教学过程推进新课[例题剖析]师出示投影胶片2:课本第70页B组题第4题:例1 思考以下问题:(1)依教育储蓄的方式,每月存50元,连续存3年,到期(3年)或6年时一次可支取本息共多少元?(2)依教育储蓄的方式,每月存a元,连续存3年,到期(3年)或6年时一次可支取本息共多少元?(3)依教育储蓄的方式,每月存50元,连续存3年,到期(3年)时一次可支取本息比同档次的“零存整取”多收益多少元?(4)欲在3年后一次支取教育储蓄本息合计1万元,每月应存入多少元?(5)欲在3年后一次支取教育储蓄本息合计a万元,每月应存入多少元?(6)依教育储蓄方式,原打算每月存100元,连续存6年,可是到了4年时,学生需要提前支取全部本息,一次可支取本息共多少元?(7)依教育储蓄方式,原打算每月存a元,连续存6年,可是到了b年时,学生需要提前支取全部本息,一次可支取本息共多少元?(8)不用教育储蓄方式,而用其他的储蓄方式,以每月可存100元,6年后使用为例,探讨以现行的利率标准可能的最大收益,将得到的结果与教育储蓄比较.[合作探究]师要解决上面的这些问题,我们必须要了解一点银行的业务知识,据调查,银行整存整取定期储蓄存款利率计算公式是这样的:若每月固定存a元,连续存n个月,则计算利息的公式为2)1(nna+×月利率.师你能解释这个公式的含义吗?生独立思考、合作交流、自主探究.师 (在学生充分探究后揭示)设月利率为q,则这个公式实际上是数列:a q,2a q,3a q,…,na q,…的前n项和.这个数列的项不正是依次月数的利息数?这个数列具有什么特征呢?生发现等差关系.师用我们的数学语言来说,这是个首项为a q,公差为a q的等差数列,而不是一个等比数列.从这个公式中我们知道,银行整存整取定期储蓄存款利率计算不是按复利(利生息——利滚利)计算的.我们把这样的计算利息的方法叫做按单利(利不生息——利不滚利)计算.这是我们在计算时必须弄明白的,否则,我们计算的结果就会与银行计算的实际结果不一致. 师我们还需要了解银行的三年期、五年期的整存整取的存款利率,以及三年期零存整取的存款利率和利息税率:三年期整存整取存款年利率为2.52%,月利率为0.21%;五年整存整取存款年利率为2.79%,月利率为0.232 5%;三年期零存整取存款年利率为1.89%,月利率为0.157 5%;利息税率为20%.师下面我们来看第一个问题的结果.生计算,报告结果.师生共同解答:(1)解:因为三年期整存整取存款年利率为2.52%,月利率为0.21%,故依教育储蓄的方式,每月存50元,连续存3年,到期一次可支取本息共236 )365050(⨯⨯+×0.21%+1 800=1 869.93(元).因为五年整存整取存款年利率为 2.79%,月利率为0.232 5%,故依教育储蓄的方式,若每月存入每月存50元,连续存6年,到期一次可支取本息共272)725050(⨯⨯+×0.232 5%+3 600=3 905.50(元).(2)每月存入每月存a 元,连续存3年,到期一次可支取本息共236)36(⨯⨯+a a ×0.21%+36a (元).若每月存入每月存a 元,连续存6年,到期一次可支取本息共272)72(⨯⨯+a a ×0.232 5%+72a (元).(3)因为三年期零存整取存款年利率为1.89%,月利率为0.157 5%,故每月存50元,连续存3年,到期一次可支取本息共236)365050(⨯⨯+×0.157 5%×80%+1 800=1 841.96(元).比教育储蓄的方式少收益27.97(元).(4)设每月应存入x 元,由教育储蓄的计算公式得236)36(⨯⨯+x x ×0.21%+36x=10 000.解得x≈267.39(元),即每月应存入267.39(元). (5)设每月应存入x 元,由教育储蓄的计算公式得236)36(⨯⨯+x x ×0.21%+36x=10 000a .解得x=3986.3710000a=267.39a ,即每月应存入267.39a (元).(6)根据银行出台的教育储蓄《管理办法》,需要提前支取的,在提供证明的情况下,按实际存期和开户日同期同档次整存整取定期储蓄存款利率计付利息,并免征储蓄存款利息所得税.故该学生支取时,应按照三年期整存整取存款年利率为2.52%,月利率为0.21%进行计算.由计算公式得248)48100100(⨯⨯+×0.21%+4 800=5 046.96(元).(7)与第6小题类似,应根据实际存期进行同档次计算.一到两年的按一年期整存整取计息.一年期整存整取存款年利率为1.98%,月利率为0.165%,故当b =1或2时,由计算公式得212)12(bb a a ⨯⨯+×0.165%+12ab (元).当b =3或4或5时,应按照三年期整存整取存款年利率为2.52%,月利率为0.21%进行计算.根据计算公式得212 )12(bbaa⨯⨯+×0.21%+12ab(元).(8)此题可以选择多种储蓄方式,学生可能提供多个结果,只要他们计算方式符合规定的储蓄方式即可.教师可以组织学生讨论,然后选择一个最佳答案.[概括总结]师在我们上述探究问题的过程中,我们学到了许多课本上没有的东西,增长了一些银行存款的知识.我们可以用这些知识去规划一下自己将来接受教育的存款计划,并与家长商量,看能不能付诸于现实;我们也可以为身边的亲朋好友当个小参谋,把你学到的知识讲解给他们听一听,看他们能不能接受你的意见和建议.从生产实际和社会生活中,我们还能寻找到更多的探究题材,只要我们做个有心人,我们学到的知识就能与生产实际与社会生活紧密的结合起来.说明:此例文字量大,阅读理解能力要求较高,但是弄通问题的基本含义后,因为其蕴含的数学知识和方法并不深奥,计算量也不大,所以可以说是一个非常好的探究性问题.可以猜想,这也是普通高中新课程标准推崇它作为一个典型例题的理由.师下面的问题需要我们用更多的数学知识才能解决它.出示投影胶片3:例2 你能估计函数y=9-x2在第一象限的图象与x轴、y轴围成的区域的面积吗?出示多媒体图片1:师如图,为了估计函数y=9-x2在第一象限的图象与x轴、y轴围成的区域的面积x,把x轴上的区间[0,3]分成n等份.从各分点作y轴平行线与图象相交,再从各交点向左作x轴平行线,构成(n-1)个矩形.下面用程序来计算这(n-1)个矩形的面积的和S.SUM=0K=1I N PUT请输入将[0,3]分成的份数n:”;NWHILE k<=N-1AN =(9-(k*3/n )^2)*3/NSUM=SUM=ANPRI N T k,AN ,SUMK=k=1WE ND E ND阅读程序,回答下列问题:(1)程序中的AN ,SUM 分别表示什么,为什么?(2)请根据程序分别计算当n =6,11,16时,各个矩形的面积的和(不必在计算机上运行程序). 师 你能回答第一个问题吗?生 AN 表示第k个矩形的面积,SUM 表示前k个矩形面积的和. 生 当把x 轴上的区间[0,3]分成n 等份时,各等份的长都是n3. 理由是:各分点的横坐标分别是n 3,n 23⨯ ,…,nn )1(3-⨯. 从各分点作y 轴平行线与y=9-x 2图象相交,交点的纵坐标分别是2)3(9n -,2)23(9n ⨯- ,…,2])1(3[9nn -⨯-.它们分别是各个相应矩形的高,所以各个矩形面积分别是n n 3])3(9[2⨯-,n n 3])23(9[2⨯⨯-,…, nn n 3)])1(3[(92⨯⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⨯-. 师 对学生的思考给予高度的赞扬.师 当我们把x 轴上的区间[0,3]分成n 等份时,按照上面的作图方法,我们得到了函数y=9-x 2在第一象限的图象与x 轴、y 轴围成的区域内的n -1个矩形. 师 想一想,这个由各个矩形面积组成的数列的前n -1项和如何求. 生 自主探究. 列式:nn n n n n n S n 3])1(3[9...3])23(9[3])3(9[2221⨯⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⨯-++⨯⨯-+⨯-=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⨯-++⨯-+-]))1(3(9[...])23(9[])3(9[3222n n n n n=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+++--])1(...21[)3()1(932222n n n n . 师 引导学生整理所列出的式子,得到上述最后一道式子.师 求和时遇到了12+22+…+n 2的计算问题,这也是一个求数列前n 项和的问题.关于这个问题,我们只要求大家知道,这是求数列:12,22,32,…,n 2,…的前n 项和的问题.由于这个数列不是等差数列,也不是等比数列,因此不能用已经推导出来的等差数列前n 项和公式与等比数列前n 项和公式.而这个和的计算,要求同学们记得它的计算公式. 即要求记住:12+22+…+n 2=6)12)(1(++n n n .关于这个公式的推导过程,我们可以作为知识拓展的材料,放在课外进行探究性学习. 师 运用这个公式,请把上面的n -1个矩形面积的和计算出来. 生 继续运算.S n -1=n 3 {9(n -1)-( n 3)2[12+22+…+(n -1)2]} =n 3[9(n -1)-( n 3)26)12()1(--n n n ] =222)134(9n n n --.师 明确一下计算结果,再继续带领学生一起理解第2小题的含义并得出结果.师 根据程序,当n =6时,5个矩形的面积的和就是输入N =6,SUM 的最后一个输出值,SUM =15.625.那么当n =11时,10个矩形的面积的和就是N =11时,SUM 的最后一个输出值,即SUM=16.736;当n =16时,我们就得到15个矩形面积的和SUM=17.139. 当n =17时,SUM 的最后一个输出值是多少? 生 n =17时,SUM 的最后一个输出值SUM=17.190. 师 你是怎么计算n =17时,SUM 的最后一个输出值的呢?生 是用上面推导出来的计算公式:2212)134(9nn n S n --=-. 当n =500时,SUM 的最后一个输出值SUM=? 当n =1 000时,SUM 的最后一个输出值SUM=?生 用公式2212)134(9n n n S n --=-,不难算出n =500时,SUM=17.973;n =1 000时,SUM=17.986. 师 在计算n =500与n =1 000时的最后一个输出值SUM 时,为什么用上面推导出来的公式而不用程序中的步骤呢?师 这是因为公式2212)134(9nn n S n --=-用起来很方便,只要给出上一个n 的值,就可以代入公式,一下子得出结果.另一方面,程序设计的是一个递推的循环结构.它在上机运行时,对于每个给定的n ,都要从k=1依次循环到k=N -1,这是同学们在没有上机条件时很难做到而又没有必要做到的事.师 至此,你能估计出函数y=9-x 2在第一象限的图象与x 轴、y 轴围成的区域的面积了? 生 由n =500与n =1 000时的最后一个输出值SUM ,可以估计,这个面积大约是18. 师 一个非常准确的结果![教师精讲]师 通过本例的探索,我们来归纳一下收获:1.本例中,程序使用了S n 的递推公式,即⎩⎨⎧+==-)1(,111>n a S S a S n n n这个递推公式的推导,同学们可以自己去思考一下; 2.需要同学们必须想到的是,这个公式还有一个非常重要的作用,那就是:它给我们提供了求数列的首项和第n 项的办法,即⎩⎨⎧+==-)1(,111>n S S a S a n n n 3.关于估计函数y=9-x 2在第一象限的图象与x 轴、y 轴围成的区域的面积,这里采用的是无限逼近的思想,即[0,3]区间分得越细,前k 个矩形面积的和SUM 就越接近函数y=9-x 2在第一象限的图象与x 轴、y 轴围成的区域的面积.教材中已经在用旁白告诉我们,用微积分的知识可得x =18,而我们的估计值也是18,可见我们的估计非常准确.课堂小结本节学习了如下内容:1.教育储蓄中的有关计算.2.用计算机程序计算数列的和.布置作业课本第69页习题2.5第4、5题.板书设计求数列前n项和知识的运用问题情境导引例1 例2。
高中数学 2.5等比数列的前n项和说课教案 新人教A版必修5(1)
《等比数列的前n项和公式》说课《等比数列前n项和》是人教版必修5第二章数列中第五节第一课时的内容。
下面,我从教材分析,情境创设、公式推导,公式应用,教学反思等几个方面,谈谈自己的管窥之见,与各位老师探讨。
教材分析等比数列的前n项和是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、是进一步学习数列知识和解决一类求和问题的重要基础和有力工具。
它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式推导过程中所蕴涵的类比、分类讨论、方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
学情分析就学生而言,等差、等比数列的定义和通项公式,等差数列的前n项和的公式是学生在学习之前已经具备的知识基础。
学生具体研究学习了等差数列前n项和公式的推导方法,具备了一定的探究能力。
基于此,学生会产生思考,等比数列前n项和公式应该如何推导,公式是从什么新的角度建构?其重要性和普遍性体现在哪里?应该说学生从内心来讲,有想探究等比数列前n项和公式的欲望和驱动力。
教学目标在知识方面:理解等比数列的前n项和公式的推导方法,掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题。
在能力方面:提高学生的建模意识,体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法,渗透方程思想、分类讨论思想,优化思维品质。
在情感方面:培养学生将数学学习放眼生活,用生活眼光看数学的思维品质。
重点难点重点:使学生掌握等比数列的前n项和公式,用等比数列的前n项和公式解决实际问题。
难点:由研究等比数列的结构特点推导等比数列的前n项和公式。
情境创设《数学课程标准》中明确指出:教材应注意创设情境,从具体实例出发,展现数学知识的发生、发展过程,使学生能够从中发现问题、提出问题,经历数学的发现和创造过程,了解知识的来龙去脉.是对课堂教学实践的要求.我选择的问题情景是国王赏麦的故事. 国际象棋起源于古代印度,关于国际象棋有这样一个传说: 相传古印度宰相达依尔,发明了国际象棋。
高中数学必修5人教新课标a版2.5等比数列的前n项和(第2课时)教案
2.5等比数列的前n 项和(2)教案教材分析:本节知识是必修5第二章第5节的学习内容,是在学习完等差数列前n 项和的基础上再次学习的一种求和的思想与方法。
本节课的求和思想为一般的数列求和作了准备。
●教学目标知识与技能:掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思教学目标:知识与技能:会用等比数列的通项公式和前n 项和公式解决有关等比数列的qn a a S n n ,,,,1中知道三个数求另外两个数的一些简单问题;提高分析、解决问题能力过程与方法:通过公式的灵活运用,进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想. 情感态度与价值观:通过公式推导的教学,对学生进行思维的严谨性的训练,培养他们实事求是的科学态度.●教学重点进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式●教学难点灵活使用公式解决问题学情分析:在学生学习完等比数列的前n 项和公式的基础上,进一步加强前n 项和的应用.在实际问题的应用中需要教师的指导。
特别是分类讨论思想的进一步应用。
●教学过程一.课题导入首先回忆一下前一节课所学主要内容:等比数列的前n 项和公式: 当1≠q 时,q q a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11② 当q=1时,1na S n =当已知1a , q, n 时用公式①;当已知1a , q, n a 时,用公式②二.讲授新课1、等比数列前n 项,前2n 项,前3n 项的和分别是Sn ,S2n ,S3n ,求证:)S S (S S S n 3n 2n 2n 22n +=+2、设a 为常数,求数列a ,2a2,3a3,…,nan ,…的前n 项和;(三.例题讲解例1已知等比数列{}n a 中, 4820,1640S S =-=-,求12S .设问1:能否根据条件求1a 和q ? 如何求? 一定要求q 吗?(基本量的确定)设问2:等比数列中每隔4项的和组成什么数列? (探究等比数列内在的联系)设问3:若题变: 数列{}n a 是等比数列,且2,,(0)n n S a S b ab ==≠求3n S222322,()()n n n n n n n n n S S b a b a a ab b q S S S S q b b a S a a a ----+===+-=+-= 引导学生归纳:若{}n a 是等比数列,公比为q,则每隔n 项的和组成一个首项为n S ,公比为n q 的等比数列.(学生类比等差数列相关结论) [说明]解题首先考虑的是通法,先确定基本量1,a q 然后再求和,其次分析题目的特点、内在结构,探索规律,并从特殊向一般推广,注意培养学生思维的严谨性.例2.某商店采用分期付款元的方式促销一款价格每台为6000电的脑.商规店定,购买时先支付货款的31,剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款,且结算欠款的利息.已知欠款的月利率为0.5%到第一个月底,货主在第一次还款之前,他欠商店多少元?假设货主每月还商店a 元,写出在第i(i=1,2,Λ36)个月末还款后,货主对商店欠款数的表达式. 每月的还款额为多少元(精确到0.01)?引导学生,认真阅读题目,理解题意,月底等额还款,即每月末还款数一样,月底还款后的欠款数i y 与第i-1个月底还款后的欠款数1i y -的关系是第1(10.05%)i i y y a -=+-,(学生分析)三年内还清转化为数学语言是: 360y =解(1)因为购买电脑时,货主欠商店32的货款,即600032⨯=4000(元),又按月利率0.5%到第一个月底的欠款数应为4000(1+0.5%)=4020(元).即到第一个月底,欠款余额为4020元.(2)设第i 个月底还款后的欠款数为y i ,则有y 1=4000(1+0.5%)-ay 2=y 1(1+0.5%)-a=4000(1+0.5%)2-a (1+0.5%)-a y 3=y 2(1+0.5%)-ay 3=y 2(1+0.5%)-a=4000(1+0.5%)3-a (1+0.5%)2-a (1+0.5%)-a K Ky i =y 1-i (1+0.5%)-a =4000(1+0.5%)i -a (1+0.5%)1-i-a (1+0.5%)2-i - L -a ,整理得 y i =4000(1+0.5%)i -%5.01%)5.01(-+i a .(i =1,2,,Λ36)(3)因为y 36=0,所以4000(1+0.5%)36-%5.01%)5.01(36-+a =0即每月还款数a =69.1211%)5.01(%5.0%)5.01(40003636≈-+⋅+(元)所以每月的款额为121.69元.[说明] 解应用题先要认真阅读题目,一般分为粗读,细读,精读,准确理解题意,尤其是一些关键词:”等额还款”,”月利率”,”第i 个月末还款后欠款表达式”等;理解题意后,引导学生将文字语言向数字语言转化,建立数学模型,再用数学知识解决问题,并使原问题得到尽可能圆满的解答.例3.求Sn=(x+y 1)+(x2+21y )+…+(xn+n y 1)(y 0≠)。
高二人教A版必修5系列教案:2.5等比数列的前N项和
数列求通项教学设计一、目标分析1.知识目标使学生掌握等差、等比数列求通项的公式法,特殊数列求通项的累加、累乘法,一般数列已知前n项和求通项的做法和构造新数列的一般方法。
2.能力目标培养学生观察、归纳能力,在学习过程中,体会归纳思想和化归思想并加深认识;通过累加、累乘及构造等比数列的方法探究,培养学生分析探索能力,增强运用公式解决实际问题的能力等.3.情感目标通过教师引导学生经历直观感知、操作确认等交流探索活动,激发学生的学习兴趣,使学生经历数学思维的过程,获得成功的体验.二、教学重点、难点重点等差等比数列公式的灵活运用,累加、累乘法的选择,已知n S求通项的几种形式及新数列的构造方法。
难点累加法、累乘法的运用,新数列的构造和运用。
三、教学模式与教法、学法采用问题启发、讲练结合、归纳总结相结合的教学方法,让学生掌握并灵活应用数列求通项的几种常用方法。
教师的教法讲练结合及时总结反馈.学生的学法积极主动交流,合作交流展示。
四、教具:投影仪、多媒体课件、白板。
五、教学基本流(一)成果展示(二)课标展示(三)合作探究(四)典例探究(五)小结反思六、教学过程七、板书设计:八、教学反思:后附学案设计课题:数列求通项【课标展示】教学目标:掌握数列求通项的六种常用方法:观察法、公式法、已知S n 求a n 、累加法、累乘法、构造等比数列的方法。
重难点:已知S n 求a n 、累加法、构造等比数列的方法。
【知识梳理】1.等差数列的通项公式:1 ; .n n m a a a a =+=+等差数列的性质:在等差数列{an}中,若m +n =p +q(m ,n ,p ,q ∈N*),则——————.2.等比数列的通项公式:1 ; .n n m a a a a =⋅=⋅等比数列的性质: 若m +n =p +q (m ,n ,p ,q ∈N *),则a m ·a n = . 3.a n 与S n 的关系:11 ;2 .n n a n a ==≥=当时,当时, 【学情检测】(1).归纳数列1,-3,5,-7,9,……的通项公式________________________. (2).已知数列{}n a 中,117,2n n a a a +=-=+,则11a = .(3).已知{}n a 是等差数列,且39524,8a a a a +==-,则该数列的公差d= . (4).在等比数列{a n }中,a 2=4,a 5=-12,则q= ;a n = .(5).在递增等比数列中,a 1a 9=64,a 3+a 7=20.求a 11=___________________. (6).已知数列{}n a 满足112,2n n a a a n +==+,则5a = . (7). 已知数列{}n a 满足1,111=-=-a nn a a n n ,则5a = . 思考:对于上面的第6,7题,如果要求的是第n 项,应该如何处理?方法总结:1.观察归纳法:_________.2.公式法: ____________. 3.累加法:______________4.累乘法:_____________.[课后反馈]1.已知一个等差数列的前几项为:-1,3,7,11,则第n 项为 .2.在等比数列}{n a 中,已知972,494==a a ,则n a = .3.已知数列Λ,3219,1617,815,413试写出其一个通项公式: . 4.已知数列}{n a 前项和1322++-=n n S n ,则=n a _____________.5.已知数列}{n a 前项和22+=n n a S ,则=n a _____________.。
高中数学等比数列前n项和(2)导学案(无答案)新人教A版必修5
2.5 等比数列前n 项和(2)【学习目标】1. 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式;2. 会用公式解决有关等比数列的1,,,,n n S a a n q 中知道三个数求另外两个数的一些简单问题. 【重点难点】重点.掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式;难点. 运用方程思想解决有关等比数列的1,,,,n n S a a n q 中知道三个数求两问题 【学习过程】 一、自主学习:任务1: (预习教材,找出疑惑之处) 等比数列的前n 项和公式.当1q ≠时,n S = = 当q =1时,n S = 任务2: 等比数列的通项公式. n a = = 二、合作探究归纳展示探究1:探究任务:等比数列的前n 项和与通项关系 问题:等比数列的前n 项和 n S =1231n n a a a a a -+++++, 1n S -=1231n a a a a -++++ (n ≥2),∴ 1n n S S --= , 当n =1时, 1S = . 反思:等比数列前n 项和n S 与通项n a 的关系是什么? 三、讨论交流点拨提升例1 数列{}n a 的前n 项和1n n S a =-(a ≠0,a ≠1),试证明数列{}n a 是等比数列.变式:已知数列{}n a 的前n 项和n S ,且142n n S a +=+, 11a =,设12n n n b a a +=-,求证:数列{}n b 是等比数列.例2 等比数列前n 项,前2n 项,前3n 项的和分别是n S ,2n S ,3n S ,求证:n S ,2n n S S -,32n n S S -也成等比.变式:在等比数列中,已知248,60n n S S ==,求3n S .四、学能展示课堂闯关 知识拓展1. 等差数列中,m n m n S S S mnd +=++;2. 等比数列中,n m m n n m m n S S q S S q S +=+=+.1. 等比数列{}n a 中,33S =,69S =,则9S =( ). A. 21 B. 12 C. 18 D. 242. 在等比数列中,14a =,q =2,使4000n S >的最小n 值是( ). A. 11 B. 10 C. 12 D. 93. 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的,二进制即“逢二进一”.如(1101)2表示二进制的数, 将它转换成十进制的形式是32101212021213⨯+⨯+⨯+⨯=,那么将二进制数(11111111)2转换成十进制的形式是( ). A. 922- B. 821- C. 822- D. 721-4. 在等比数列中,若332422S a S a +=+,则公比q = .5. 在等比数列中,11a =,512n a =-,341n S =-, 则q = ,n = . 五、学后反思1. 等比数列的前n 项和与通项关系;2. 等比数列前n 项,前2n 项,前3n 项的和分别是n S ,2n S , 3n S ,则数列n S ,2n n S S -,32n n S S -也成为等比数列.【课后作业】1. 等比数列的前n 项和12nn s =-,求通项n a .2. 设a 为常数,求数列a ,2a 2,3a 3,…,na n,…的前n 项和;。
(浙江专版)高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和学案新人教A版必修5
2.5 等比数列的前n 项和第一课时 等比数列的前n 项和[新知初探]1.等比数列的前n 项和公式 S n =⎩⎪⎨⎪⎧na 1q =,a 11-q n1-qqS n =⎩⎪⎨⎪⎧na 1q =,a 1-a n q1-qq[点睛] 在应用公式求和时,应注意到S n =11-q的使用条件为q ≠1,而当q =1时应按常数列求和,即S n =na 1.2.等比数列前n 项和的性质 (1)等比数列{a n }中,若项数为2n ,则S 偶S 奇=q ;若项数为2n +1,则S 奇-a 1S 偶=q . (2)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n …成等比数列(其中S n ,S 2n-S n ,S 3n -S 2n …均不为0).(3)若一个非常数列{a n }的前n 项和S n =Aq n -A (A ≠0,q ≠0,n ∈N *),则数列{a n }为等比数列,即S n =Aq n-A (A ≠0,q ≠0,q ≠1,n ∈N *)⇔数列{a n }为等比数列.[小试身手]1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)求等比数列{a n }的前n 项和时可直接套用公式S n =a 1-q n1-q来求( )(2)首项为a 的数列既是等差数列又是等比数列,则其前n 项和为S n =na ( ) (3)若某数列的前n 项和公式为S n =-aq n+a (a ≠0,q ≠0且q ≠1,n ∈N *),则此数列一定是等比数列( )解析:(1)错误.在求等比数列前n 项和时,首先应看公比q 是否为1,若q ≠1,可直接套用,否则应讨论求和.(2)正确.若数列既是等差数列,又是等比数列,则是非零常数列,所以前n 项和为S n=na .(3)正确.根据等比数列前n 项和公式S n =a 1-q n1-q(q ≠0且q ≠1)变形为:S n =a 11-q -a 11-q q n (q ≠0且q ≠1),若令a =a 11-q,则和式可变形为S n =a -aq n. 答案:(1)× (2)√ (3)√2.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=2,a 2=4,那么S 10等于( ) A .210+2 B .29-2 C .210-2D .211-2解析:选 D 等比数列的公比q =a 2a 1=42=2,所以前10项和S 10=a 1-q 101-q=-2101-2=211-2,选D.3.等比数列{a n }中,公比q =-2,S 5=44,则a 1的值为( ) A .4 B .-4 C .2D .-2解析:选A 由S 5=a 1[1--5]1--=44,得a 1=4.4.设等比数列{a n }的公比q =2,前n 项和为S n ,则S 4a 2等于( ) A .2 B .4 C.152D.172解析:选C S 4a 2=a 1-q 41-q ×1a 1q=1-q 4-q q =152.[典例] 在等比数列{a n }中,公比为q ,前n 项和为S n . (1)a 1=8,a n =14,S n =634,求n ;(2)S 3=72,S 6=632,求a n 及S n .[解] (1)显然q ≠1,由S n =a 1-a n q1-q ,即8-14q 1-q =634,∴q =12.又a n =a 1q n -1,即8×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1=14,∴n =6.(2)法一:由S 6≠2S 3知q ≠1,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1-q31-q =72, ①a 1-q 61-q=632, ②②÷①,得1+q 3=9,∴q 3=8,即q =2. 代入①得a 1=12,∴a n =a 1q n -1=12×2n -1=2n -2,S n =a 1-q n1-q=2n -1-12. 法二:由S 3=a 1+a 2+a 3,S 6=S 3+a 4+a 5+a 6=S 3+q 3(a 1+a 2+a 3)=S 3+q 3S 3=(1+q 3)S 3. ∴1+q 3=S 6S 3=9,∴q 3=8,即q =2.代入①得a 1=12,∴a n =a 1q n -1=12×2n -1=2n -2,S n =a 1-q n1-q=2n -1-12.[活学活用]已知a 6-a 4=24,a 3·a 5=64,求S 8.解:法一:由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 5-a 1q 3=24,a 1q 2a 1q 4=64,化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3q 2-=24, ①a 1q 3=±8, ②①÷②,得q 2-1=±3,负值舍去, ∴q 2=4,∴q =2或q =-2. 当q =2时,代入①得a 1=1. ∴S 8=a 1-q 81-q=255.当q =-2时,代入①得a 1=-1. ∴S 8=a 1-q 81-q=2553. 综上知S 8=255或2553.法二:由等比数列的性质得a 3·a 5=a 24=64,∴a 4=±8. 当a 4=8时,∵a 6-a 4=24,∴a 6=32,∴q 2=a 6a 4=4, ∴q =±2.当a 4=-8时,a 6-a 4=24,∴a 6=16. ∴q 2=a 6a 4=-2,无解.故q =±2.当q =2时,a 1=a 4q 3=1,S 8=a 1-q 81-q =255.当q =-2时,a 1=a 4q 3=-1,S 8=a 1-q 81-q =2553.综上知,S 8=255或2553.[典例] 等比数列{a n }的前n 项和S n =48,前2n 项和S 2n =60,则前3n 项和S 3n =________.[解析] 法一:设公比为q ,由已知易知q ≠1,由⎩⎪⎨⎪⎧a 1-qn1-q =48,a1-q 2n1-q=60⇒⎩⎪⎨⎪⎧q n =14,a 11-q =64,所以S 3n =a 1-q3n1-q=a 11-q ·[1-(q n )3]=64×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-164=63. 法二:由S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 成等比数列,得(S 2n -S n )2=S n ·(S 3n -S 2n ),即(60-48)2=48(S 3n -60)⇒S 3n =63.[答案] 63[活学活用]1.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 6S 3=3,则S 9S 6=( ) A .2 B.73 C.83D .3解析:选B 由等比数列的性质:S 3,S 6-S 3,S 9-S 6仍成等比数列,于是,由S 6=3S 3,可推出S 9-S 6=4S 3,S 9=7S 3,∴S 9S 6=73.故选B.2.一个项数为偶数的等比数列{a n },全部各项之和为偶数项之和的4倍,前3项之积为64,求数列的通项公式.解:设数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,所有奇数项、偶数项之和分别记作S 奇,S 偶,由题意可知,S 奇+S 偶=4S 偶,即S 奇=3S 偶.因为数列{a n }的项数为偶数,所以有q =S 偶S 奇=13. 又因为a 1·a 1q ·a 1q 2=64,所以a 31·q 3=64,即a 1=12,故所求通项公式为a n =12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n -1.[典例] (1)已知{a n }是等比数列,a 2=2,a 5=4,则a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1=( )A .16(1-4-n) B .16(1-2-n) C.323(1-4-n) D.323(1-2-n) (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和,S n =(-1)n a n -12n ,n ∈N *,则①a 3=________;②S 1+S 2+…+S 100=________. [解析] (1)由a 5=a 2q 3,得q 3=18,所以q =12,而数列{a n a n +1}也为等比数列,首项a 1·a 2=8,公比q 2=14,所以a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1 =-4-n1-14=323(1-4-n). (2)①∵a n =S n -S n -1=(-1)n a n -12n -(-1)n -1a n -1+12n -1(n ≥2),∴a n =(-1)na n -(-1)n -1a n -1+12n .当n 为偶数时,a n -1=-12n ,当n 为奇数时,2a n +a n -1=12n ,∴当n =4时,a 3=-124=-116.②根据以上{a n }的关系式及递推式可求得.a 1=-122,a 3=-124,a 5=-126, a 7=-128,a 2=122,a 4=124,a 6=126,a 8=128.∴a 2-a 1=12,a 4-a 3=123,a 6-a 5=125,…,∴S 1+S 2+…+S 100=(a 2-a 1)+(a 4-a 3)+…+(a 100-a 99)-⎝ ⎛⎭⎪⎫12+122+123+…+12100=⎝ ⎛⎭⎪⎫12+123+…+1299-⎝ ⎛⎭⎪⎫12+122+…+12100=13⎝ ⎛⎭⎪⎫12100-1.[答案] (1)C (2)①-116 ②13⎝ ⎛⎭⎪⎫12100-1[活学活用]1.公差不为0的等差数列{a n }的部分项ak 1,ak 2,ak 3,…构成等比数列,且k 1=1,k 2=2,k 3=6,则k 4=________.解析:设等差数列{a n }的公差为d ,因为a 1,a 2,a 6成等比数列,所以a 22=a 1·a 6, 即(a 1+d )2=a 1·(a 1+5d ),所以d =3a 1,所以a 2=4a 1,所以等比数列ak 1,ak 2,ak 3,…的公比q =4, 所以ak 4=a 1·q 3=a 1·43=64a 1.又ak 4=a 1+(k 4-1)·d =a 1+(k 4-1)·(3a 1), 所以a 1+(k 4-1)·(3a 1)=64a 1,a 1≠0, 所以3k 4-2=64,所以k 4=22. 答案:222.(浙江高考)设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 2=4,a n +1=2S n +1,n ∈N *. (1)求通项公式a n ;(2)求数列{|a n -n -2|}的前n 项和.解:(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 2=4,a 2=2a 1+1,则⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,a 2=3.又当n ≥2时,由a n +1-a n =(2S n +1)-(2S n -1+1)=2a n ,得a n +1=3a n , 所以数列{a n }的通项公式为a n =3n -1,n ∈N *.(2)设b n =|3n -1-n -2|,n ∈N *,则b 1=2,b 2=1.当n ≥3时,由于3n -1>n +2,故b n =3n -1-n -2,n ≥3.设数列{b n }的前n 项和为T n ,则T 1=2,T 2=3, 当n ≥3时,T n =3+-3n -21-3-n +n -2=3n -n 2-5n +112,因为当n =2时,也符合T n =3n-n 2-5n +112.所以T n =⎩⎪⎨⎪⎧2, n =1,3n -n 2-5n +112,n ≥2,n ∈N *.层级一 学业水平达标1.设{a n }是公比为q 的等比数列,S n 是它的前n 项和,若{S n }是等差数列,则q 等于( ) A .1 B .0 C .1或0D .-1解析:选A 因为S n -S n -1=a n ,又{S n }是等差数列,所以a n 为定值,即数列{a n }为常数列,所以q =a na n -1=1. 2.已知数列{a n }是公比为3的等比数列,其前n 项和S n =3n+k (n ∈N *),则实数k 为( ) A .0 B .1 C .-1D .2解析:选C 由数列{a n }的前n 项和S n =3n+k (n ∈N *), 当n =1时,a 1=S 1=3+k ; 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=3n +k -(3n -1+k )=2×3n -1.因为数列{a n }是公比为3的等比数列,所以a 1=2×31-1=3+k ,解得k =-1.3.已知等比数列的公比为2,且前5项和为1,那么前10项和等于( ) A .31 B .33 C .35D .37解析:选B 根据等比数列性质得S 10-S 5S 5=q 5, ∴S 10-11=25,∴S 10=33.4.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1+a 3=52,且a 2+a 4=54,则S na n =( )A .4n -1B .4n-1 C .2n -1D .2n-1解析:选D 设等比数列{a n }的公比为q ,则⎩⎪⎨⎪⎧a1+q2=52,a 1q+q2=54,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=2,q =12,∴S na n=a 1-qn1-qa 1q n -1=2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12n 1-122×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1=2n-1.故选D.5.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,S 5=2,S 10=6,则a 16+a 17+a 18+a 19+a 20等于( ) A .8 B .12 C .16D .24解析:选C 设等比数列{a n }的公比为q ,因为S 2n -S n =q nS n ,所以S 10-S 5=q 5S 5,所以6-2=2q 5,所以q 5=2,所以a 16+a 17+a 18+a 19+a 20=a 1q 15+a 2q 15+a 3q 15+a 4q 15+a 5q 15=q 15(a 1+a 2+a 3+a 4+a 5)=q 15S 5=23×2=16.6.等比数列{a n }共有2n 项,它的全部各项的和是奇数项的和的3倍,则公比q =________.解析:设{a n }的公比为q ,则奇数项也构成等比数列,其公比为q 2,首项为a 1, 偶数项之和与奇数项之和分别为S 偶,S 奇, 由题意S 偶+S 奇=3S 奇, 即S 偶=2S 奇,因为数列{a n }的项数为偶数, 所以q =S 偶S 奇=2. 答案:27.等比数列{a n }中,若a 1+a 3+…+a 99=150,且公比q =2,则数列{a n }的前100项和为________.解析:由a 2+a 4+…+a 100a 1+a 3+…+a 99=q ,q =2,得a 2+a 4+…+a 100150=2⇒a 2+a 4+…+a 100=300,则数列{a n }的前100项的和S 100=(a 1+a 3+…+a 99)+(a 2+a 4+…+a 100)=150+300=450.答案:4508.在等比数列{a n }中,a 1+a 2+…+a 6=10,1a 1+1a 2+…+1a 6=5,则a 1·a 2·…·a 6=________.解析:由等比数列的前n 项和公式,a 1+a 2+…+a 6=a 1-a 6q 1-q =10,1a 1+1a 2+…+1a 6=1a 1-1a 6·1q 1-1q=a 6q -a 1a 1a 6q -1=5,把a 1-a 6q =10(1-q )代入,得a 1a 6=2,又a 1·a 2·…·a 6=(a 1·a 6)3=23=8.答案:89.设等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 2=6,6a 1+a 3=30,求a n 和S n .解:设{a n }的公比为q ,由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q =6,6a 1+a 1q 2=30,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=3,q =2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=2,q =3.当a 1=3,q =2时,a n =3×2n -1,S n =3(2n-1); 当a 1=2,q =3时,a n =2×3n -1,S n =3n-1.10.已知{a n }为递减的等比数列,且{a 1,a 2,a 3-4,-3,-2,0,1,2,3,4}.(1)求数列{a n }的通项公式; (2)当b n =1--n2a n 时,求证:b 1+b 2+b 3+…+b 2n -1<163.解:(1)∵{a n }是递减的等比数列, ∴数列{a n }的公比q 是正数, 又∵{a 1,a 2,a 3-4,-3,-2,0,1,2,3,4},∴a 1=4,a 2=2,a 3=1.∴q =a 2a 1=24=12,∴a n =a 1qn -1=82n . (2)证明:由已知得b n =8[1--n]2n +1,当n =2k (k ∈N *)时,b n =0,当n =2k -1(k ∈N *)时,b n =a n .即b n =⎩⎪⎨⎪⎧0,n =2k ,k ∈N *,a n ,n =2k -1,k ∈N*,∴b 1+b 2+b 3+…+b 2n -2+b 2n -1=a 1+a 3+…+a 2n -1=4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1-14=163⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫14n <163. 层级二 应试能力达标1.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,且8a 2+a 5=0,则S 5S 2等于( ) A .11 B .5 C .-8D .-11解析:选D 设{a n }的公比为q .因为8a 2+a 5=0. 所以8a 2+a 2·q 3=0.所以a 2(8+q 3)=0. 因为a 2≠0,所以q 3=-8.所以q =-2.所以S 5S 2=a 1-q51-q a 1-q 21-q=1-q 51-q 2=1+321-4=33-3=-11.故选D. 2.已知{a n }是首项为1的等比数列,S n 是{a n }的前n 项和,且9S 3=S 6,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5 C.3116D.158解析:选C 由题意,q ≠1,由9S 3=S 6,得9×a 1-q 31-q=a 1-q 61-q,解得q =2,故a n =a 1qn -1=2n -1,1a n =⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1,∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项,12为公比的等比数列,其前5项和为1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫1251-12=3116.3.在等比数列{a n }中,若a 1+a 2+…+a n =2n-1,则a 21+a 22+…+a 2n =( )A .(2n -1)2B.13(4n-1) C.13(2n-1) D .4n-1解析:选B 由a 1+a 2+…+a n =2n-1,得a 1=1,a 2=2,所以{a n }是以1为首项,2为公比的等比数列,所以{a 2n }是以1为首项,4为公比的等比数列,所以a 21+a 22+…+a 2n =-4n1-4=13(4n-1). 4.一座七层的塔,每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍,一共点381盏灯,则底层所点灯的盏数是( )A .190B .191C .192D .193解析:选C 设最下面一层灯的盏数为a 1,则公比q =12,n =7,由a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫1271-12=381,解得a 1=192.5.设数列{a n }是首项为1,公比为-2的等比数列,则a 1+|a 2|+a 3+|a 4|=________. 解析:依题意得a 1=1,a 2=-2,a 3=4,a 4=-8,所以a 1+|a 2|+a 3+|a 4|=15. 答案:156.设数列{a n }的前n 项和为S n ,点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ,S n n (n ∈N *)均在直线y =x +12上.若b n =则数列{b n }的前n 项和T n =________.解析:依题意得S n n =n +12,即S n =n 2+12n .当n ≥2时,a n =S n -S n -1=⎝⎛⎭⎪⎫n 2+12n -[(n -1)2+12(n -1)]=2n -12;当n =1时,a 1=S 1=32,符合a n =2n -12,所以a n =2n -12(n ∈N *),则b n =32n,由b n +1b n =3n +32n =32=9,可知{b n }为等比数列,b 1=32×1=9,故T n =-9n1-9=9n +1-98. 答案:9n +1-987.某地本年度旅游业收入估计为400万元,由于该地出台了一系列措施,进一步发展旅游业,预计今后旅游业的收入每年会比上一年增加14.(1)求n 年内旅游业的总收入;(2)试估计大约几年后,旅游业的总收入超过8 000万元.解:(1)设第n 年的旅游业收入估计为a n 万元, 则a 1=400,a n +1=⎝ ⎛⎭⎪⎫1+14a n =54a n , ∴a n +1a n =54,∴数列{a n }是公比为54的等比数列, ∴S n =a 1-qn1-q=400⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫54n 1-54=1 600⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n -1, 即n 年内旅游业总收入为1 600⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n -1万元.(2)由(1)知S n =1 600⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n -1,令S n >8 000,即1 600⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n -1>8 000,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫54n >6,∴lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫54n>lg 6, ∴n >lg 6lg 54≈8.029 6.∴大约第9年后,旅游业总收入超过8 000万元.8.在数列{a n }中,若a n =⎩⎪⎨⎪⎧1,n =1,a n -1+12,n ≥2,求数列{a n }的前n 项和.解:当n =1时,S 1=a 1=1. 当n ≥2时,若a =0,有a n =⎩⎪⎨⎪⎧1,n =1,12,n ≥2,则S n =1+12(n -1)=n +12.若a =1,有a n =⎩⎪⎨⎪⎧1,n =1,32,n ≥2,则S n =1+32(n -1)=3n -12.若a ≠0且a ≠1,则S n =1+⎝ ⎛⎭⎪⎫12+a +⎝ ⎛⎭⎪⎫12+a 2+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫12+a n -1 =1+12(n -1)+(a +a 2+…+a n -1)=n +12+a -a n 1-a.综上所述,S n=⎩⎪⎨⎪⎧1,n =1,n +12,a =0且n ≥2,3n -12,a =1且n ≥2,n +12+a -a n1-a,a ≠0且a ≠1且n ≥2.第二课时 数列求和(习题课)[小试身手]1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列,且公比不等于1,则其前n 项和S n =a 1-a n +11-q( ) (2)当n ≥2时,1n 2-1=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1-1n +1( )(3)求S n =a +2a 2+3a 3+…+na n之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得( )(4)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n +2n -1的前n 项和为n 2+12n ( )(5)若数列a 1,a 2-a 1,…,a n -a n -1是首项为1,公比为3的等比数列,则数列{a n }的通项公式是a n =3n-12( )解析:(1)正确.公比不等于1的等比数列的前n 项和S n =a 1-q n1-q=a 1-a n +11-q.(2)正确.化简即得. (3)错误.a 的值不能确定.(4)错误.设数列的通项公式为a n =12n +2n -1,则用分组转化法求和,S n =⎝⎛⎭⎪⎫12+122+…+12n +()2+4+…+2n -n =12⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12n 1-12++2n n2-n=1-12n +n +n 2-n =1-12n +n 2.(5)正确.由题意a n =a 1+a 2-a 1+…+a n -1-a n -2+a n -a n -1=1-3n1-3=3n-12.答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√2.已知{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和,若a 1=12,S 2=a 3,则S 40=( )A .290B .390C .410D .430解析:选C 设数列{a n }的公差为d .∵S 2=a 3,∴2a 1+d =a 1+2d ,∴d =12,∴S 40=40×12+40×392×12=410.3.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=2,且a n +2a n +1+a n +2=0(n ∈N *),则S 2 016=________.解析:设等比数列{a n }的公比为q ,则a n +2a n +1+a n +2=a n (1+2q +q 2)=0,∵a n ≠0,∴q 2+2q +1=0.解得q =-1,∴S 2 016=0. 答案:04.已知数列{a n }的通项公式a n =2n-12n ,其前n 项和S n =32164,则项数n 等于________.解析:a n =2n-12n =1-12n ,∴S n =n -12⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12n 1-12=n -1+12n =32164=5+164,∴n =6. 答案:6[典例] 已知数列{c n }:112,214,318,…,试求{c n }的前n 项和.[解] 令{c n }的前n 项和为S n , 则S n =112+214+318+…+⎣⎢⎡⎦⎥⎤n +⎝ ⎛⎭⎪⎫12n =(1+2+3+…+n )+⎣⎢⎡⎦⎥⎤12+14+18+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫12n=n n +2+12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1-12=n n +2+1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.即数列{c n }的前n 项和为S n =n 2+n2+1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.[活学活用]1.数列{(-1)nn }的前n 项和为S n ,则S 2 016等于( ) A .1 008 B .-1 008 C .2 016D .-2 016解析:选A S 2 016=(-1+2)+(-3+4)+…+(-2 015+2 016)=1 008. 2.数列{a n }的通项a n =n 2⎝⎛⎭⎪⎫cos 2n π3-sin 2n π3,其前n 项和为S n ,则S 30为________.解析:∵a n =n 2⎝⎛⎭⎪⎫cos 2n π3-sin 2n π3=n 2cos 2n π3, ∴S 30=12·cos 2π3+22·cos 4π3+32·cos 2π+…+302·cos 20π=-12×12-12×22+32-12×42-12×52+62+…-12×282-12×292+302=-12[(12+22-2×32)+(42+52-2×62)+…+(282+292-2×302)]=-12[(12-32)+(42-62)+…+(282-302)+(22-32)+(52-62)+…+(292-302)]=-12[-2(4+10+16+…+58)-(5+11+17+…+59)]=-12⎣⎢⎡⎦⎥⎤-2×+2×10-+2×10=470.答案:470[典例] 已知等比数列{a n }的各项均为正数,且2a 1+3a 2=1,a 23=9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =-log 3a n ,求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n +1的前n 项和T n .[解] (1)设数列{a n }的公比为q ,由a 23=9a 2a 6得a 23=9a 24,∴q 2=19.由条件可知q >0,故q =13.由2a 1+3a 2=1得2a 1+3a 1q =1,∴a 1=13.故数列{a n }的通项公式为a n =13n .(2)∵a n =13n ,∴b n =-log 313n =2n ,∴1b n b n +1=14n n +=14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +1, ∴T n =14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12+⎝ ⎛⎭⎪⎫12-13+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +1=14⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1n +1=nn +.n +=k 1n +k +n =n -n +④若{a n 是公差为的等差数列,则[活学活用]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 3=15,a 5+a 9=30. (1)求a n 及S n ;(2)若数列{b n }满足b n (S n -n )=2(n ∈N *),数列{b n }的前n 项和为T n ,求证:T n <2. 解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 2+a 3=15,a 5+a 9=30⇒⎩⎪⎨⎪⎧3a 1+3d =15,2a 1+12d =30⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1=3,d =2,则a n =3+2(n -1)=2n +1,S n =3n +2n n -2=n 2+2n .(2)证明:由题意可得b n =2S n -n =2n 2+n =2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +1,∴T n =b 1+b 2+…+b n=2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12+⎝ ⎛⎭⎪⎫12-13+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +1 =2⎝⎛⎭⎪⎫1-1n +1<2.[典例] 已知数列{a n }的首项a 1=3,a n +1=na n +1,n =1,2,3,….(1)证明:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n -1是等比数列;(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n 的前n 项和S n .[解] (1)证明:由a n +1=2a na n +1, 所以1a n +1=a n +12a n =12+12×1a n, 所以1a n +1-1=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n -1,又a 1=23,所以1a 1-1=12,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n -1是以12为首项,12为公比的等比数列.(2)由(1)得1a n -1=12×12n -1=12n ,即1a n =12n +1,所以n a n =n2n +n . 设T n =12+222+323+…+n2n ,①则12T n =122+223+…+n -12n +n2n +1,② 由①-②得12T n =12+122+…+12n -n 2n +1=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12n 1-12-n 2n +1=1-12n -n 2n +1,T n =2-12n -1-n2n . 又1+2+3+…+n =n n +2,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n 的前n 项和S n =2-2+n 2n +n n +2=n 2+n +42-n +22n.[活学活用]数列{a n }满足a 1=1,na n +1=(n +1)a n +n (n +1),n ∈N *. (1)证明:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列;(2)设b n =3n·a n ,求数列{b n }的前n 项和S n . 解:(1)证明:由已知可得a n +1n +1=a n n +1,即a n +1n +1-a nn=1. 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11=1为首项,1为公差的等差数列.(2)由(1)得a n n=1+(n -1)·1=n ,所以a n =n 2. 从而b n =n ·3n.S n =1·31+2·32+3·33+…+n ·3n ,①3S n =1·32+2·33+…+(n -1)·3n +n ·3n +1.②①-②得-2S n =31+32+…+3n -n ·3n +1=-3n1-3-n ·3n +1=-2nn +1-32.所以S n =n -n +1+34.层级一 学业水平达标1.已知a n =(-1)n,数列{a n }的前n 项和为S n ,则S 9与S 10的值分别是( ) A .1,1 B .-1,-1 C .1,0D .-1,0解析:选D S 9=-1+1-1+1-1+1-1+1-1=-1,S 10=S 9+a 10=-1+1=0.2.数列{a n }的通项公式是a n =1n +n +1,若前n 项和为10,则项数为( )A .11B .99C .120D .121解析:选C ∵a n =1n +n +1=n +1-n ,∴S n =a 1+a 2+…+a n=(2-1)+(3-2)+…+(n +1-n ) =n +1-1,令n +1-1=10,得n =120.3.等差数列{a n }中,a 1=1,a n ,a n +1是方程x 2-(2n +1)x +1b n=0的两个根,则数列{b n }前n 项和S n =( )A.12n +1B.1n +1C.n 2n +1 D.nn +1解析:选D 因为a n ,a n +1是方程x 2-(2n +1)x +1b n=0的两个根,所以a n +a n +1=2n +1,又因为数列{a n }为等差数列,所以a n +a n +1=a 1+a 2n =1+a 2n =2n +1,所以a 2n =2n ,所以a n =n .a n a n +1=n (n +1)=1b n,所以b n =1n n +=1n -1n +1,所以数列{b n }前n 项和S n =1-12+12-13+…+1n -1n +1=1-1n +1=nn +1. 4.在数列{a n }中,已知S n =1-5+9-13+17-21+…+(-1)n -1(4n -3),则S 15+S 22-S 31的值( )A .13B .-76C .46D .76解析:选B ∵S 15=(-4)×7+(-1)14(4×15-3)=29.S 22=(-4)×11=-44.S 31=(-4)×15+(-1)30(4×31-3)=61.∴S 15+S 22-S 31=29-44-61=-76.5.数列1,1+2,1+2+22,…,1+2+22+…+2n -1,…的前99项和为( )A .2100-101 B .299-101 C .2100-99D .299-99解析:选A 由数列可知a n =1+2+22+…+2n -1=1-2n1-2=2n-1,所以,前99项的和为S 99=(2-1)+(22-1)+…+(299-1)=2+22+…+299-99=-2991-2-99=2100-101.6.已知等比数列{a n }的公比q ≠1,且a 1=1,3a 3=2a 2+a 4,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n +1的前4项和为________.解析:∵等比数列{a n }中,a 1=1,3a 3=2a 2+a 4,∴3q 2=2q +q 3.又∵q ≠1,∴q =2,∴a n =2n -1,∴1a n a n +1=⎝ ⎛⎭⎪⎫122n -1,即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n +1是首项为12,公比为14的等比数列, ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n +1的前4项和为12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫1441-14=85128. 答案:851287.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 6S 3=3,则S 9S 6=________. 解析:S 6S 3=3,故q ≠1, ∴a 1-q 61-q×1-q a 1-q3=1+q 3=3, 即q 3=2.所以S 9S 6=a 1-q 91-q ×1-q a 1-q 6=1-231-22=73.答案:738.对于数列{a n },定义数列{a n +1-a n }为数列{a n }的“差数列”,若a 1=2,{a n }的“差数列”的通项公式为2n,则数列{a n }的前n 项和S n =________.解析:∵a n +1-a n =2n ,∴a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 2-a 1)+a 1 =2n -1+2n -2+…+22+2+2=2-2n1-2+2=2n -2+2=2n.∴S n =2-2n +11-2=2n +1-2.答案:2n +1-29.已知{a n }是递增的等差数列,a 1=2,a 22=a 4+8. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =a n +2a n ,求数列{b n }的前n 项和S n .解:(1)设数列{a n }的公差为d ,d >0.由题意得(2+d )2=2+3d +8,解得d =2. 故a n =a 1+(n -1)·d =2+(n -1)·2=2n . (2)∵b n =a n +2a n =2n +22n,∴S n =b 1+b 2+…+b n=(2+22)+(4+24)+…+(2n +22n) =(2+4+…+2n )+(22+24+ (22)) =+2n n2+-4n1-4=n (n +1)+4n +1-43. 10.在等差数列{a n }中,a 3=4,a 7=8. (1)求数列{a n }的通项公式a n ;(2)令b n =a n2n -1,求数列{b n }的前n 项和T n .解:(1)因为d =a 7-a 37-3=1,所以a n =a 3+(n -3)d =n +1.(2)b n =a n 2n -1=n +12n -1,T n =b 1+b 2+…+b n =2+32+422+…+n +12n -1.①12T n =22+322+…+n 2n -1+n +12n ,② 由①-②得12T n =2+12+122+…+12n -1-n +12n=⎝ ⎛⎭⎪⎫1+12+122+…+12n -1+1-n +12n=1-12n1-12+1-n +12n =2⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12n +1-n +12n=3-n +32n,所以T n =6-n +32n -1.层级二 应试能力达标1.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,S n =2a n +1,则S n =( ) A .2n -1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n -1D.12n -1解析:选B 因为a n +1=S n +1-S n ,所以由S n =2a n +1,得S n =2(S n +1-S n ),整理得3S n =2S n +1,所以S n +1S n =32,所以数列{S n }是以S 1=a 1=1为首项,32为公比的等比数列,故S n =⎝ ⎛⎭⎪⎫32n-1.2.已知数列{a n }:12,13+23,14+24+34,15+25+35+45,…,那么数列{b n }=⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n +1前n 项的和为( )A .4⎝⎛⎭⎪⎫1-1n +1 B .4⎝ ⎛⎭⎪⎫12-1n +1C .1-1n +1D.12-1n +1解析:选A ∵a n =1+2+3+…+nn +1=n n +2n +1=n2, ∴b n =1a n a n +1=4nn +=4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +1. ∴S n =4⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12+12-13+13-14+…+1n -1n +1=4⎝⎛⎭⎪⎫1-1n +1. 3.某厂去年的总产值是a 亿元,假设今后五年的年产值平均增长率是10%,则从今年起到第5年年末该厂的总产值是( )A .11×(1.15-1)a 亿元 B .10×(1.15-1)a 亿元 C .11×(1.14-1)a 亿元D .10×(1.14-1)a 亿元解析:选A 由题意可知,今年年末的总产值为1.1a ,从今年起每年年末的总产值构成一个等比数列,首项为1.1a ,公比为1.1.所以其前5项和为S 5=1.1a-1.151-1.1=11×(1.15-1)a 亿元,故选A.4.已知是{a n }等差数列,公差d 不为零,前n 项和是S n ,若a 3,a 4,a 8成等比数列,则( )A .a 1d >0,dS 4>0B .a 1d >0,dS 4<0C .a 1d <0,dS 4<0D .a 1d <0,dS 4>0解析:选C ∵在等差数列{a n }中,a 3,a 4,a 8成等比数列, ∴(a 1+3d )2=(a 1+2d )(a 1+7d )⇒a 1=-53d ,∴S 4=2(a 1+a 4)=2(a 1+a 1+3d )=-23d ,∴a 1d =-53d 2<0,dS 4=-23d 2<0,故选C.5.求和:S n =1+⎝ ⎛⎭⎪⎫1+12+⎝ ⎛⎭⎪⎫1+12+14+1+12+14+18+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫1+12+14+…+12n -1=________.解析:被求和式的第k 项为:a k =1+12+14+…+12k -1=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 1-12=2⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12k . 所以S n =2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12+⎝ ⎛⎭⎪⎫1-122+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12n =2⎣⎢⎡⎦⎥⎤n -⎝ ⎛⎭⎪⎫12+122+123+ (12)=2⎣⎢⎡⎦⎥⎤n -12⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12n1-12=2⎣⎢⎡⎦⎥⎤n -⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12n =2n +12n -1-2. 答案:2n +12n -1-26.已知等比数列{a n }及等差数列{b n },其中b 1=0,公差d ≠0.将这两个数列的对应项相加,得一新数列1,1,2,…,则这个新数列的前10项和为________.解析:设数列{a n }的公比为q ,则{a n }的前三项分别为1,q ,q 2,{b n }的前三项分别为0,d,2d ,于是⎩⎪⎨⎪⎧q +d =1,q 2+2d =2,解得⎩⎪⎨⎪⎧q =0,d =1(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧q =2,d =-1.于是新数列的前10项和为(a 1+b 1)+(a 2+b 2)+…+(a 10+b 10)=(a 1+a 2+…+a 10)+(b 1+b 2+…+b 10)=1-2101-2+10×0+-2×(-1)=978.答案:9787.已知数列{a n }的前n 项和S n ,满足S n =n (n -6),数列{b n }满足b 2=3,b n +1=3b n (n ∈N *)(1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)记数列{c n }满足c n =⎩⎪⎨⎪⎧a n ,n 为奇数,b n ,n 为偶数,求数列{c n }的前n 项和T n .解:(1)当n =1时,a 1=S 1=-5,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n 2-6n -(n -1)2+6(n -1)=2n -7, ∵n =1也适合上式,∴a n =2n -7.∵b n +1=3b n (n ∈N *),且b 2≠0,∴b n +1b n=3, ∴{b n }为等比数列,∴b n =3n -1,(2)由(1)得,c n =⎩⎪⎨⎪⎧2n -7,n 为奇数,3n -1,n 为偶数.当n 为偶数时,T n =c 1+c 2+…+c n =n2-5+2n-2+-9n21-9=n n -2+n-8.当n 为奇数时,T n =c 1+c 2+…+c n =n +12-5+2n-2+-9n -121-9=n +n -2+n -1-8.综上所述:T n=⎩⎪⎨⎪⎧n n -2+n-8,n 为偶数,n +n -2+n -1-8,n 为奇数.8.设数列{a n }的前n 项和记为S n, 且S n =2-a n ,n ∈N *,设函数f (x )=log 12x ,且满足b n =f (a n )-3.(1)求出数列{a n },{b n }的通项公式;(2)记c n =a n ·b n ,{c n }的前n 项和为T n ,求T n 的最小值. 解:(1)当n =1时,S 1=2-a 1得a 1=1.当n ≥2时,a n =S n -S n -1=(2-a n )-(2-a n -1)=-a n +a n -1,可得a n =12a n -1,∴{a n }是首项为1,公比为12的等比数列,∴a n =⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1.由题意得b n =f (a n )-3=n -3= ⎛⎭⎪⎫12n -1-3=n -4.(2)由(1)得c n =(n -4)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1.法一:∵c 1=-3<0,c 2=-1<0,c 3=-14<0,c 4=0,当n ≥5时,c n >0.∴{c n }的前n 项和T n 的最小值为T 3=T 4=-174.法二:T n =-3×⎝ ⎛⎭⎪⎫120-2×⎝ ⎛⎭⎪⎫121-1×⎝ ⎛⎭⎪⎫122+…+(n -4)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1,∴12T n =-3×⎝ ⎛⎭⎪⎫121-2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122-…+(n -5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1+(n -4)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n, ∴12T n =-3+⎝ ⎛⎭⎪⎫121+⎝ ⎛⎭⎪⎫122+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1-(n -4)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n =-3+12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -11-12-(n -4)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n=-2-n -22n.∴T n =-4-n -22n -1.∵T n +1-T n =⎝⎛⎭⎪⎫-4-n -12n -⎝⎛⎭⎪⎫-4-n -22n -1=n -32n ,当n ≤2时,T n +1<T n ,当n =3时,T n +1=T n ,当n ≥4时,T n +1>T n . ∴{c n }的前n 项和T n 的是小值为T 3=T 4=-174.(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.等比数列{a n }的公比q =-14,a 1=2,则数列{a n }是( )A .递增数列B .递减数列C .常数数列D .摆动数列解析:选D 因为等比数列{a n }的公比为q =-14,a 1=2,故a 2<0,a 3>0,…,所以数列{a n }是摆动数列.2.若互不相等的实数a ,b ,c 成等差数列,a 是b ,c 的等比中项,且a +3b +c =10,则a 的值是( )A .1B .-1C .-3D .-4解析:选D 由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧2b =a +c ,a 2=bc ,a +3b +c =10,解得a =-4,b =2,c =8.3.在数列{a n }中,a 1=13,a n =(-1)n·2a n -1(n ≥2),则a 5等于( )A .-163B.163C .-83D.83解析:选B ∵a 1=13,a n =(-1)n·2a n -1,∴a 2=(-1)2×2×13=23,a 3=(-1)3×2×23=-43, a 4=(-1)4×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫-43=-83,a 5=(-1)5×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫-83=163.4.在等比数列{a n }中,已知前n 项和S n =5n +1+a ,则a 的值为( )A .-1B .1C .5D .-5解析:选D 因为S n =5n +1+a =5×5n+a ,由等比数列的前n 项和S n =a 1-qn1-q=a 11-q-a 11-q·q n,可知其常数项与q n的系数互为相反数,所以a =-5.5.已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=⎩⎪⎨⎪⎧2a n ,n 为正奇数,a n +1,n 为正偶数,则254是该数列的( )A .第8项B .第10项C .第12项D .第14项解析:选D 当n 为正奇数时,a n +1=2a n ,则a 2=2a 1=2,当n 为正偶数时,a n +1=a n +1,得a 3=3,依次类推得a 4=6,a 5=7,a 6=14,a 7=15,…,归纳可得数列{a n }的通项公式a n=⎩⎨⎧n 为正奇数,2,n 为正偶数,则2=254,n =14,故选D.6.已知数列{a n }是等差数列,其前n 项和为S n ,若a 1a 2a 3=15,且3S 1S 3+15S 3S 5+5S 5S 1=35,则a 2=( )A .2 B.12C .3 D.13解析:选C ∵S 1=a 1,S 3=3a 2,S 5=5a 3,∴1a 1a 2+1a 2a 3+1a 1a 3=35,∵a 1a 2a 3=15,∴35=a 315+a 115+a 215=a 25,∴a 2=3.故选C. 7.如果数列a 1,a 2-a 1,a 3-a 2,…,a n -a n -1,…是首项为1、公比为13的等比数列,那么a n =( )A.32⎝ ⎛⎭⎪⎫1-13nB.32⎝ ⎛⎭⎪⎫1-13n -1 C.23⎝⎛⎭⎪⎫1-13nD.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1-13n -1 解析:选A 由题知a 1=1,q =13,则a n -a n -1=1×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n -1.设数列a 1,a 2-a 1,…,a n -a n -1的前n 项和为S n , ∴S n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n -1)=a n .又∵S n =1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-13n 1-13=32⎝⎛⎭⎪⎫1-13n ,∴a n =32⎝⎛⎭⎪⎫1-13n .8.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,a 1=-2 014,S 2 0072 007-S 2 0052 005=2,则S 2 016的值为( )A .-2 016B .2 016C .2 015D .-2 015解析:选B 因为S n 为等差数列{a n }的前n 项和,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列.设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的公差为d ′,则由S 2 0072 007-S 2 0052 005=2,得2d ′=2,解得d ′=1,所以S 2 0162 016=S 11+2 015d ′=a 1+2 015d ′=-2 014+2 015=1,所以S 2 016=2 016.二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.把答案填在题中横线上)9.已知{a n }是等差数列,S n 为其前n 项和,n ∈N *.若a 3=16,S 20=20,则a 1=________,d =________,S 10=________.解析:由已知得,⎩⎪⎨⎪⎧a 1+2d =16,20a 1+-2×d =20,解得a 1=20,d =-2,∴S 10=10×20+10×92×(-2)=110.答案:20 -2 11010.(浙江高考)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4,a n +1=2S n +1,n ∈N *,则a 1=________,S 5=________.解析:∵a n +1=2S n +1,∴S n +1-S n =2S n +1, ∴S n +1=3S n +1,∴S n +1+12=3⎝⎛⎭⎪⎫S n +12,∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n +12是公比为3的等比数列,∴S 2+12S 1+12=3.又S 2=4,∴S 1=1,∴a 1=1, ∴S 5+12=⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1+12×34=32×34=2432,∴S 5=121. 答案:1 12111.已知数列{a n }的通项公式为a n =2 015-3n ,则使a n >0成立的最大正整数n 的值为________.解析:由a n =2 015-3n >0,得n <2 0153=67123,又∵n ∈N *,∴n 的最大值为671.。
高中数学 2.5等比数列的前n项和公式(二)导学案(无答案)新人教必修5
§2.5 等比数列的前n 项和学习目标:进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式,体会它与函数之间的关系;掌握等比数列前n 项和的几个重要性质。
重点、难点:等比数列前n 项和的性质以及性质的简单应用。
【课前导学】阅读教材1. 证明数列{}n a 是等比数列就是证明___ ;或________ 。
2. 等差数列{}n a 的前n 项公式为n S = = = 。
3. 等比数列{}n a 的前n 项公式:当1q =时,n S = ;当1q ≠时,n S = = = 。
4. (1)在公差为d 的等差数列{}n a 中,232,,m m m m m S S S S S --也成等差数列。
(2)在公比为q 的等比数列{}n a 中,232,,m m m m m S S S S S --仍构成 数列。
【课内探究】例1、某商场今年销售计算机4000台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今年起,大约几年可使总销售量达到24000台?(lg1.10.04,lg1.60.20≈≈)例2、数列{}n a 的前n 项和1n nS a =-(0,1a a ≠≠), 试证明数列{}n a 是等比数列.变式:(1)在等比数列{}n a 中,n S 是其前n 项的和,求证71472114,,S S S S S --也成等比数列。
(2)在等比数列{}n a 中,已知51015=10,=50,S S S 求。
【反馈检测】1、设f (n )=2+24+27+…+23n +1 (n ∈N *),则f (n )等于( )A.27(8n -1)B.27(8n +1-1)C.27(8n +2-1)D.27(8n +3-1) 2、等比数列的前n 项和为3n n S a =-,则a = .3、等比数列{a n }中,前n 项和为S n ,S 3=2,S 6=6,则a 10+a 11+a 12=________.4、等比数列{a n }共2n 项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q =________.5、记等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3=2,S 6=18,则S 10S 5等于( ) A .-3 B .5 C .-31 D .336、一个弹性球从100米高处自由落下,每次着地后又跳回到 原来高度的一半再落下,则第10次着地时所经过的路程和是 (结果保留到个位) ( )A .300米B .299米C .199米D .166米7、在等比数列{a n }中,已知S 30=13S 10,S 10+S 30=140,求S 20的值.8、某市2013年共有1万辆燃油型公交车,有关部门计划于2014年 投入128辆电力型公交车,随后电力型公交车每年的投入比上一年 增加50%,试问:(1)该市在2020年应该投入多少辆电力型公交车?(2)到哪一年底,电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13? (lg 657=2.82,lg 2=0.30,lg 3=0.48)。
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2.5 等比数列前n 项和(2) 【学习目标】
1. 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式;
2. 会用公式解决有关等比数列的1,,,,n n S a a n q 中知道三个数求另外两个数的一些简单问题. 【重点难点】
重点.掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式;
难点. 运用方程思想解决有关等比数列的1,,,,n n S a a n q 中知道三个数求两问题 【学习过程】 一、自主学习:
任务1: (预习教材,找出疑惑之处) 等比数列的前n 项和公式. 当1q ≠时,n S = = 当q=1时,n S =
任务2: 等比数列的通项公式.
n a = =
二、合作探究归纳展示
探究1:探究任务:等比数列的前n 项和与通项关系 问题:等比数列的前n 项和
n S =1231n n a a a a a -+++++, 1n S -=1231n a a a a -+++
+ (n ≥2),
∴ 1n n S S --= ,
当n =1时, 1S = . 反思:
等比数列前n 项和n S 与通项n a 的关系是什么? 三、讨论交流点拨提升
例1 数列{}n a 的前n 项和1n n S a =-(a ≠0,a ≠1),试证明数列{}n a 是等比数列. 变式:已知数列{}n a 的前n 项和n S ,且142n n S a +=+, 11a =,设12n n n b a a +=-, 求证:数列{}n b 是等比数列.
例2 等比数列前n 项,前2n 项,前3n 项的和分别是n S ,2n S ,3n S ,求证:n S ,
2n n S S -,32n n S S -也成等比.
变式:在等比数列中,已知248,60n n S S ==,求3n S .
四、学能展示课堂闯关 知识拓展
1. 等差数列中,m n m n S S S mnd +=++;
2. 等比数列中,n m m n n m m n S S q S S q S +=+=+.
1. 等比数列{}n a 中,33S =,69S =,则9S =( ). A. 21 B. 12 C. 18 D. 24
2. 在等比数列中,14a =,q =2,使4000n S >的最小n 值是( ). A. 11 B. 10 C. 12 D. 9
3. 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的,二进制即“逢二进一”.如(1101)2表示二进制的数, 将它转换成十进制的形式是32101212021213⨯+⨯+⨯+⨯=,那
么将二进制数(11111111)2转换成十进制的形式是( ). A. 922- B. 821- C. 822- D. 721-
4. 在等比数列中,若332422S a S a +=+,则公比q = .
5. 在等比数列中,11a =,512n a =-,341n S =-, 则q = ,n = . 五、学后反思
1. 等比数列的前n 项和与通项关系;
2. 等比数列前n 项,前2n 项,前3n 项的和分别是n S ,2n S , 3n S ,则数列n S ,
2n n S S -,32n n S S -也成为等比数列.
【课后作业】
1. 等比数列的前n 项和12n
n s =-,求通项n a .
2. 设a 为常数,求数列a ,2a 2,3a 3,…,na n ,…的前n 项和;。