系统的能控性与能观性分析及其状态反馈极点配置
能控性与能观性
假使输出矩阵C中有某一列全为零，譬如说第2列中c12, c22, …, cm2均为零，则在 t y(t)中将不包含 e 2 x20这个自由分量，亦即不包含 x2(t)这个状态变量，很明显，这 个x2(t)不可能从y(t)的测量值中推算出来，即x2(t)是不能观的状态。
系统是状态完全能控的
x 2 1 x2 b2u y c1 c2 x
1 1 b1 x x u; 0 0 1
对于式(3-5)的系统
x 1 1 x1 x2 b1u x 2 1 x2
x2不受u(t)的控制，而为不能控的系统。
对式(3-3)的系统，系统矩阵A为对角线型，其标量微分方程形式为
x 1 1 x1
x 2 2 x2 b2u
x 2
x 1
1 1 0 x x u; 0 1 b2
对于式(3-4)的系统
y c1 c2 x
x 1 1 x1 x2
c13 c23 c33
1 2 1t 1t 1t e x10 te x20 t e x30 2! x1 (t ) 1t 1t e x20 te x30 这时，状态方程的解为 x(t ) x2 (t ) x ( t ) 3 1t e x 30
从而
y1 (t ) c11 c12 y (t ) y2 (t ) c21 c22 y3 (t ) c31 c32
《现代控制理论》课后习题全部答案(最完整打印版)
第一章习题答案1-1试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
解：系统的模拟结构图如下：系统的状态方程如下：阿令，则所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为状态变量的状态方程，和以电阻上的电压作为输出量的输出方程。
解：由图，令，输出量有电路原理可知：既得写成矢量矩阵形式为：1-3参考例子1-3（P19）.1-4两输入，，两输出，的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。
解：系统的状态空间表达式如下所示：1-5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。
解：令，则有相应的模拟结构图如下：1-6（2）已知系统传递函数,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图解：1-7给定下列状态空间表达式（1）画出其模拟结构图（2）求系统的传递函数解：（2）1-8求下列矩阵的特征矢量（3）解：A的特征方程解之得：当时，解得：令得（或令，得）当时，解得：令得（或令，得）当时，解得：令得1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）（2）解：A的特征方程当时，解之得令得当时，解之得令得当时，解之得令得约旦标准型1-10已知两系统的传递函数分别为W1(s)和W2(s)试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果解：（1）串联联结（2）并联联结1-11（第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-11（第2版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-12已知差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b(即控制列阵)为（1）解法1：解法2：求T,使得得所以所以，状态空间表达式为第二章习题答案2-4用三种方法计算以下矩阵指数函数。
（2）A=解：第一种方法：令则，即。
求解得到，当时，特征矢量由，得即，可令当时，特征矢量由，得即，可令则，第二种方法，即拉氏反变换法：第三种方法，即凯莱—哈密顿定理由第一种方法可知，2-5下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A阵。
系统的能控性与能观性分析及状态反馈极点配置
实 验 报 告课程 自动控制原理 实验日期 12 月26 日 专业班级 姓名 学号实验名称 系统的能控性与能观性分析及状态反馈极点配置 评分批阅教师签字一、实验目的加深理解能观测性、能控性、稳定性、最小实现等观念，掌握状态反馈极点配置方法，掌握如何使用MATLAB 进行以下分析和实现。
1、系统的能观测性、能控性分析；2、系统的最小实现；3、进行状态反馈系统的极点配置；4、研究不同配置对系统动态特性的影响。
二、实验内容1.能控性、能观测性及系统实现（a ）了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结果。
gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf, mineral ； （b ）已知连续系统的传递函数模型，182710)(23++++=s s s as s G ，当a 分别取-1，0，1时，判别系统的能控性与能观测性；（c ）已知系统矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=2101013333.06667.10666.6A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110B ，[]201=C ，判别系统的能控性与能观测性；（d ）求系统1827101)(23++++=s s s s s G 的最小实现。
2.实验内容原系统如图1-2所示。
图中，X 1和X 2是可以测量的状态变量。
图1-2 系统结构图试设计状态反馈矩阵,使系统加入状态反馈后其动态性能指标满足给定的要求:(1) 已知：K=10，T=1秒，要求加入状态反馈后系统的动态性能指标为：σ%≤20%，ts≤1秒。
(2) 已知：K=1，T=0.05秒，要求加入状态反馈后系统的动态性能指标为：σ%≤5%，ts≤0.5秒。
状态反馈后的系统，如图1-3所示：图1-3 状态反馈后系统结构图分别观测状态反馈前后两个系统的阶跃响应曲线，并检验系统的动态性能指标是否满足设计要求。
三、实验环境 1、计算机1台；2、MATLAB6.5软件1套。
四、实验原理（或程序框图）及步骤 1、系统能控性、能观性分析设系统的状态空间表达式如下：p m n R y R u R x Du Cx y Bu Ax x∈∈∈⎩⎨⎧+=+=&（1-1）其中A 为n ×n 维状态矩阵；B 为n ×m 维输入矩阵；C 为p ×n 维输出矩阵；D 为p ×m 维传递矩阵，一般情况下为0。
极点配置与状态反馈
输出反馈对能控性、能观性的影响
定理：输出至状态微分处的反馈不改变系统 的能观性，但可能改变系统的能控性。
u
B
x x C y
A
x (A HC)x Bv
y Cx
H
示例：Y (s) U (s)
b1s b0 s2 a1s a0
A
0 1
a0 a1
,
b
b1 b2
,
c
0
1
A
hc
0 1
无直接传输系统的状态反馈
原系统
x Ax Bu
y Cx
引入状态反馈 新系统
u v Kx
x (A BK)x Bv
y Cx
v uB
x x C y
A
K
状态反馈增益矩阵K的维数？系统的特征多项式和传 递函数？
输出反馈至参考微分处
新系统
x (A HC)x Bu y Cx
传递函数 C(sI A HC)1B
Ao P1AP, bo P1b, co cP
0 1 0 0 0 0
0
0
1
0
0
1
Ao
0 0
0 0
0 0
1 0
0 1
,
bo
2 3
,
co
1
0
0
0
0
a0 a1 a2 a3 a4 4
第一能观标准型
Review
SISO系统第二能控、能观标准型1
第二能控标准型
0 1 0 0 0
0 0 0 0 a0
b1
1
0
0
0
a1
b2
Ao
0 0
1 0
0 1
系统的能控性能观测性稳定性分析
系统的能控性能观测性稳定性分析1. 能控性（Controllability）能控性是指系统输出能否通过适当的输入方式对系统进行控制。
如果一个系统是能控的，意味着通过控制器的输入信号，我们能够将系统的输出发展到我们所期望的状态。
对于一个线性时不变（LTI）系统，能控性可以通过判断其控制矩阵的秩来确定。
控制矩阵（也称为控制可达矩阵）是由系统的状态方程和控制器的输入方程组成的。
如果控制矩阵的秩等于系统的状态数量，则系统是能控的；否则，系统是无法被完全控制的。
能控性的分析可以帮助我们选择合适的控制策略和控制器设计。
当系统的能控性差时，我们可能需要通过增加或修改系统的状态变量或控制器的输入方式来提高系统的能控性。
2. 能观测性（Observability）能观测性是指系统的内部状态能否通过系统的输出信号来判断。
一个能观测的系统意味着我们可以通过观测系统的输出来估计系统的状态。
对于一个线性时不变系统，能观测性可以通过判断其观测矩阵的秩来确定。
观测矩阵（也称为观测可达矩阵）是由系统的状态方程和输出方程组成的。
如果观测矩阵的秩等于系统的状态数量，则系统是能观测的；否则，系统的一些状态是无法通过输出来观测到的。
能观测性的分析可以帮助我们选择合适的观测器设计，以实现对系统状态的估计。
当系统的能观测性差时，我们可能需要增加或改变系统的输出方程来提高系统的能观测性。
3. 稳定性（Stability）稳定性是指系统在受到扰动后是否会逐渐恢复到原来的状态。
对于线性时不变系统，稳定性可以分为几种类型：零状态稳定、有限状态稳定和无限状态稳定。
零状态稳定（Zero-state stability）是指当系统受到初始条件扰动时，输出信号会在有限时间内收敛到零。
有限状态稳定（Finite state stability）是指当系统受到初始条件扰动时，输出信号会在有限时间内收敛到一些有限值。
无限状态稳定（Infinite state stability）是指当系统受到初始条件扰动时，输出信号会在无限时间内收敛到一些有限值。
能控性和能观测性分析
.1.2 能控性判据 按定义，要求寻找到一个具体的控制律。 由 可得 矩阵指数函数 可以表示成有限项的和 记 则转化成线性方程组的求解问题
例检验由以下状态方程描述的系统的能控性： 解 能控性检验矩阵 不是满秩的，故系统不能控。
例3.1.2 倒立摆系统线性化状态空间模型的系数矩阵是 能控性检验矩阵 故系统是能控的。
3.3 能控能观性的对偶原理
由于 定理3.3.1 能控的充分必要条件是 能观 能观标准型（能控标准型的转置）是能观的
对于互为对偶的系统 系统（I）能控（能观）的充分必要条件是系统（II）能观（能控）。 优点：能观（能控）性问题可以转化为能控（能观）性问题来处理。 例 能观与能控标准型互为对偶系统(特征多项式同)
2。若 非奇异，则可以构造出将非零初始状态转移到零状态的控制律
3。若系统能控，由（1），可在任意短时间内将非零状态转移到零状态 称为能控格拉姆矩阵
定理的说明
.1.3 能控性的性质 能控性基于状态方程系数矩阵A、B定义。 定理3.1.3 等价的状态空间模型具有相同的能控性。 由T是非奇异矩阵可得结论。
在 中的零极相消 考虑 没有零极相消的充分必要条件是 ，能控！
在 中无零极相消 考虑 类似可得 是能观的充分必要条件。 例 判别系统的能控性 显然系统不能控！
例3.1.8 判断以下系统的状态和输出能控性 系统的状态能控性矩阵 由于 ，故系统不是状态完全能控的。 输出能控性矩阵 显然它是行满秩的，故输出能控。 结论：系统输出能控，但不是状态能控的。
3.2 系统的能观性
所考虑的系统 状态变量未必都可以从外部观测到！ 1。检测手段的限制； 2。一些状态变量不是物理量。 问题：如何（可否）通过输入输出信息来了解系统内部的状态？
7.5 控制系统的能控能观分析
1、能控性和能观性是现代控制理论的两个重要概念，是设计控制 、能控性和能观性是现代控制理论的两个重要概念， 器和状态估计器的基础。 器和状态估计器的基础。 系统的能控性是指系统的输入能否控制状态的变化。 能控性是指系统的输入能否控制状态的变化 系统的能控性是指系统的输入能否控制状态的变化。 系统的能观性 能观性是指系统状态的变化能否由系统的输出反映出来 系统的能观性是指系统状态的变化能否由系统的输出反映出来 对于n阶线性定常系统 对于 阶线性定常系统
系统能控能观的充要条件为传函不出现零极点相 消
第7章 小结 章
7.1 控制系统的稳定性分析 7.2 控制系统的时域分析 7.3 控制系统的根轨迹分析 7.4 控制系统的频域分析
7.5 系统的能控性和能观性分析
第7章习题 章习题
1、已知单位负反馈系统的开环传递函数，写出绘制 、已知单位负反馈系统的开环传递函数，写出绘制Bode图， 图
[例4-7] 例
A=[1 2 -1;0 1 0;0 -4 3];B=[0;1;1];C=[1 -1 1]; Co=ctrb(A,B); n=3; rc=rank(Co) if(rc==n) disp('系统状态能控 系统状态能控') 系统状态能控 else [Ac,Bc,Cc,Tc,Kc]=ctrbf(A,B,C) end Ob=obsv(A,C); ro=rank(Ob) if(ro==n) disp('系统状态能观 系统状态能观') 系统状态能观 else [Ao,Bo,Co,To,Ko]=obsvf(A,B,C) end
u(t) 系统的控制输入向量（r维）,y(t) 系统的输出向量（m维）,x(t) 系统的状态向量 系统的控制输入向量（r维 系统的输出向量（m维 （n维） 维 A 系统矩阵（系数矩阵、状态矩阵）（ ×n维） 系统矩阵（系数矩阵、状态矩阵）（ ）（n× 维 B 输入矩阵（控制矩阵） （n×r维） 输入矩阵（控制矩阵） ×维 C 输出矩阵（观测矩阵） （m×n维） 输出矩阵（观测矩阵） × 维 D 输入输出矩阵（前馈矩阵） （m×r维） 输入输出矩阵（前馈矩阵） ×维
现代控制工程-第5章能控性和能观性分析
传递函数判据
如果系统的传递函数的极点和零 点都位于复平面的左半部分，则 该系统是能控的。
能控性的应用
系统设计和ห้องสมุดไป่ตู้化
在系统设计和优化过程中，能控性分析可以帮助确定系统的可控性 和可观性，从而更好地选择和设计控制器和观测器。
控制性能评估
通过能控性分析，可以对系统的控制性能进行评估和比较，从而选 择更优的控制方案。
现代控制工程-第5章能控性 和能观性分析
目录
• 能控性分析 • 能观性分析 • 能控性和能观性的关系 • 系统设计中的能控性和能观性 • 现代控制工程其他章节概述
01
能控性分析
定义与概念
能控性定义
对于一个给定的线性时不变系统，如果存在一个状态反馈控制器，使得系统的任何初始状态都能通过 该控制器在有限的时间内被控制到任意指定的状态，则称该系统是能控的。
快速性
系统应具有快速的响应能力，以便在短时间 内达到设定值或消除外部扰动。
准确性
系统应具有高精度的输出，以满足各种控制 要求和保证产品质量。
可靠性
系统应具有高的可靠性和稳定性，以确保长 期稳定运行和减少故障率。
系统设计中的能控性和能观性考虑
能控性考虑
在系统设计中，需要考虑系统的能控性，即 能否通过输入信号控制系统的输出状态。对 于不能控制的系统，需要采取措施进行改进 或重新设计。
描述
分解性是控制系统分析中的一个重要性质。在大型复杂系统中，如果系统具有分解性， 那么我们可以将系统分解为若干个子系统，分别对子系统进行能控性和能观性分析，从
而简化系统分析和设计的难度。
04
系统设计中的能控性和能观 性
系统设计的基本原则
稳定性
实验三系统的能控性与能观性分析及状态反馈极点配置
实验三系统的能控性与能观性分析及状态反馈极点配置实验指导书一、实验目的加深理解能观测性、能控性、稳定性、最小实现等观念，掌握状态反馈极点配置方法，掌握如何使用MATLAB 进行以下分析和实现。
1、系统的能观测性、能控性分析；2、系统的最小实现；3、进行状态反馈系统的极点配置；4、研究不同配置对系统动态特性的影响。
二、实验原理、内容及步骤 1、系统能控性、能观性分析设系统的状态空间表达式如下：p m n R y R u R x DuCx y Bu Ax x ∈∈∈⎩⎨⎧+=+= （1-1）其中A 为n ×n 维状态矩阵；B 为n ×m 维输入矩阵；C 为p ×n 维输出矩阵；D 为p ×m 维传递矩阵，一般情况下为0。
系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的关系如式(1-2)所示：D B A sI C s den s num s G +-==-1)()()(()( (1-2)式(1-2)中，)(s num 表示传递函数阵的分子阵，其维数是p ×m ；)(s den 表示传递函数阵的分母多项式，按s 降幂排列的后，各项系数用向量表示。
系统的能控性、能观测性分析是多变量系统设计的基础，包括能控性、能观测性的定义和判别。
系统状态能控性定义的核心是：对于线性连续定常系统（1-1）,若存在一个分段连续的输入函数u(t)，在有限的时间（t 1-t 0）内，能把任一给定的初态x(t 0)转移至预期的终端x(t 1)，则称此状态是能控的。
若系统所有的状态都是能控的，则称该系统是状态完全能控的。
状态能控性判别方法分为2种：一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵A 是对角标准形或约当标准形的系统，状态能控性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态能控性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。
状态能控性判别式为：[]n B A AB B Rank RankQ n c==-1（1-3） 系统状态能观测性的定义：对于线性连续定常系统（1-1）,如果对t 0时刻存在t a ，t 0<t a <∞，根据[t 0,t a ]上的y(t)的测量值，能够唯一地确定系统在t 0时刻的任意初始状态x 0，则称系统在t 0时刻是状态完全能观测的，或简称系统在[t 0,t a ]区间上能观测。
天津大学2020年硕士研究生初试考试自命题科目大纲(自动控制理论)
天津大学2020年硕士研究生初试考试自命题科目大纲(自动控制理论)(考试大纲是考研学生复习的重要参考资料，是关于考试科目、题型设置及知识点要求的指导性文件，目的是为便于报考者了解、准备和参加考试，它指出了所考科目的大致考试范围，也是考研命题的重要参考依据。
祝君考上理想院校。
)一、考试的总体要求包括经典控制理论和现代控制理论两部分，主要考察学生对自动控制系统进行分析和设计的能力。
二、考试内容及比例经典控制理论部分（占60%）现代控制理论部分（占40%）：1、控制系统的数学模型系统的微分方程描述和传递函数描述，传递函数及其零点和极点，简单被控对象或系统的模型，结构图及其简化，信号流图与梅逊增益公式，简单的物理模型和电网络模型。
2、控制系统的时域分析控制系统的稳定性，劳斯与赫尔维茨稳定判据，控制系统的动态性能、稳态性能和稳态误差，典型输入下系统的响应，一阶和二阶系统的响应及其指标，高阶系统的主导极点和动态性能的估算。
3、控制系统的根轨迹分析一般根轨迹、广义根轨迹(零度根轨迹、参数根轨迹)绘制法则，利用根轨迹对系统的性能分析。
4、控制系统的频域分析系统的频率特性，幅相频率特性曲线的绘制，对数频率(渐近)特性曲线的绘制，系统的开环频率特性、闭环频率特性及其指标，系统频域指标和时域指标之间的关系，简单的延迟系统稳定性判别，奈奎斯特稳定性判据，稳定裕度。
5、控制系统的校正与综合无源、有源校正网络，串联超前校正、滞后校正，按期望频率特性进行校正，复合校正。
6、系统的状态空间分析方法系统的状态空间表达式，线性变换，状态转移矩阵，状态方程的解，系统的能控性、能观性及其判定方法，系统的能控、能观标准型和约当标准型，系统的结构分解，系统的状态空间实现与最小实现。
7、系统的状态空间设计方法系统的状态反馈和输出反馈，系统的极点配置，系统的镇定问题，能稳(能镇定)与能检测性，状态反馈解耦，状态观测器设计，基于状态观测器的综合。
线性系统的能控性和能观性
3.约当规范型矩阵
若A是约当阵，且B阵中与每个约当块最后一行相对应 的行的元素不全为零，则系统可控。反之为零一行所 对应的状态不可控。
例.判断能控性
• 4 1. x 0
0 5
x1 x2
12u
7 0 0 2
•
2. x
0
5
0
x
0
0 0 3 7
1 1 0 4 2
3.
•
x
0
e3t
0
te3t
e3t
t
x(t) e At x(0) e A(t )Bu( )d
0
x1(t)
x2
(t
)
e3t
0
te3t e3t
x1(0)
x2
(0)
t 0
e 3(t
0
)
(t
)e3(t e3(t )
)
10u(
)d
t
x1(t) e3t x1(0) te3t x2 (0) (t )e3(t )u( )d
0
t
x2 (t) e3t x2 (0) e3(t )u( )d
0
t
y(t) x1(t) e3t x1(0) te3t x2 (0) (t )e3(t )u( )d
可见：1.两个状态变量中均有输入的作用，可0 控
2.输出中有两个状态变量的出现，输出可以反映初始状态，可测
例.如图所示，1、2表示蓄水池，u1、u2表示输入流量，R1、 R2液阻，H1、H2液面高度A1、A2截面积，问 （1）仅用一个调节阀，应放在何处？ （2）仅用一个液位计，应放在何处？
Z (S ) U (S )
S
2.5 1
S2
1 1.5S
实验七系统能控性与能观性分析
实验七 系统能控性与能观性分析一、实验目的1. 通过本实验加深对系统状态的能控性和能观性的理解；2. 验证实验结果所得系统能控能观的条件与由它们的判据求得的结果完全一致。
二、实验设备同实验一。
三、实验内容1. 线性系统能控性实验;2. 线性系统能观性实验。
四、实验原理系统的能控性是指输入信号u 对各状态变量x 的控制能力。
如果对于系统任意的初始状态，可以找到一个容许的输入量，在有限的时间内把系统所有的状态变量转移到状态空间的坐标原点。
则称系统是能控的。
系统的能观性是指由系统的输出量确定系统所有初始状态的能力。
如果在有限的时间内，根据系统的输出能唯一地确定系统的初始状态，则称系统能观。
对于图7-1所示的电路系统，设i L 和u c 分别为系统的两个状态变量，如果电桥中4321R R R R ≠，则输入电压u 能控制i L 和u c 状态变量的变化，此时，状态是能控的；状态变量i L 与u c 有耦合关系，输出u c 中含有i L 的信息，因此对u c 的检测能确定i L 。
即系统能观的。
反之，当4321R R ＝R R 时，电桥中的c 点和d 点的电位始终相等， u c 不受输入u 的控制，u 只能改变i L 的大小，故系统不能控；由于输出u c 和状态变量i L 没有耦合关系，故u c 的检测不能确定i L ，即系统不能观。
1. 当4321R R R R ≠时 u L u i R R R R C R R R R R R R R L R R R R R R C R R R R R R R R L u i C L C L ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫+++-+-+-⎝⎛+-+-+++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01)11(1)(1)(1)(143214343212143421243432121(7.1) y=u c =[0 1] ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c L u i (7.2) 由上式可简写为bu Ax x+= cx y = 式中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C L u i x⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫+++-+-+- ⎝⎛+-+-+++-=)11(1)(1)(1)(143214343212143421243432121R R R R C R R R R R R R R L R R R R R R C R R R R R R R R L A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01L b 1] [0=c 由系统能控能观性判据得 ][Ab b rank =2 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡cA c rank 故系统既能控又能观。
第四章线性系统的能控性和能观性
习题4-7 已知系统的状态方程为
1 0 0 0 x 0 u 0 x 0 1 0 3 1 1
试判断系统是否可以采用状态反馈，分别配置以下 两组闭环极点：{2，2，1}；{2，2，3}。若能 配置，求出反馈阵K。
sI ( A BK) =
0
k1 3+ k2
sI ( A BK) = (s+1) [ s2 + (1+ k3) s + 3+ k2 ] 而希望的特征多项式为 (s +1)(s +2) (s +2) = (s +1) (s2 + 4s + 4) [ k2 k3] = [1 5]
19
习题4-5 受控系统的传递函数为
12
例4-11 已知系统的状态空间表达式为
0 0 5 A 1 0 0 C 0 0 1
设计输出反馈阵H，使闭环系统渐近稳定。 解： 利用能观测标准形可以判定原系统是能观测的。 列出原系统的特征多项式为 sI A = s3 + 3s2 + s 5 显然系统是不稳定的。 采用输出至输入的反馈控制，设u = r Hy，并设输 出反馈阵为
10
例4-10 已知线性定常系统的传递函数为 欲将闭环极点配置在s1= 2，s2 = 1+j，s3= 1j， 试确定状态反馈阵K。
10 G( s) s( s 1)(s 2)
解：因为给定系统的传递函数无零极点相消，所 以给定系统为能控的，能够通过状态反馈将闭环极点 配置在希望的位置上。由给定的传递函数可写出相应 的能控标准形 0 0 1 0
显然系统是不稳定的。
不管怎样选择h1和h2，都不能使闭环特征多项式的
线性系统的能控性与能观性分析
u 与 x2 有直接联系，可能能支配x2 的运动； u与 x1没有联系，不可能支配 x1的运动；
x1 通过 x2 与 u 建立起了间接联系，也有可 能能受 u 支配。
示例2：考虑线性系统 x1 5 x1 y 就是 x1，所以能够通过 y 来观测 x1 ； x2 2 x2 x2 与 y 没有任何联系（直接的或间接的）， y x 1 不能通过 y 来观测 x2 。
u(t ) 0
上面的直观示例对能控性、能观性的说明不严密，需要作出较 严格的定义，推导出可用的判据。
§2 连续系统能控性及其判据 一、能控性定义
x = A(t ) x + B(t )u
线性时变连续系统
1．状态能控： 对于上面系统的指定初始时刻 t 0 的非零初始状态 x(t0 ) x0 ，如 果能找到一个无约束的容许控制 u(t ) ，使系统状态在有限的时间区 间 [t0 , t f ] 内在u(t ) 的作用下运动到终止状态x(t f ) 0 ，则称该状态 x0 在 t 0 时刻是能控的，记作 xc 。 任意x0 0 x(t f ) 0
可以证明，时间函数矩阵 (t0 , t ) B(t )的n个行向量线性无关与下面矩阵 非奇异完全等价：
Gc (t0 , t f ) (t0 , t ) B(t ) BT (t ) T (t0 , t )dt
t0 tf
矩阵Gc (t0 , t f ) 称为能控性格拉姆（Gram）矩阵，有能控性基本判据的 另一种表达形式。 能控性格拉姆矩阵判据：系统在 t 0 时刻状态完全能控的充要条件是 能控性格拉姆矩阵 Gc (t0 , t f ) 非奇异，其中 t0 t t f 。 根据能控性格拉姆矩阵判据，可以求得使一个能控状态xc 在时间区 间 [t0 , t f ]内运动到 x(t f ) 0 的控制量：
能控性能观性与极点配置设计
注意：
•时间函数行向量线性无关的定义，在前述列向量线性无关 基础上稍加改动即可 •上述定义中，令m=1,即为过去所学的时间函数（标量）线 性无关定义
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•时间函数向量线性无关性条件 •格兰姆矩阵及其行列式 设f1(t),f2(t),…,fn(t)为m维列向量，则矩阵
G f i , f j nn
分析： •哪些状态变量与输 入信号有关？哪些 无关？ •哪些状态变量与输 出信号有关？哪些 无关？ •传递函数与哪些系 统特征值有关？与 哪些特征值无关？ •发现什么规律？
2
0
0 0
2
0 0
3
0
0 x1 0 0 x2 1 u 0 x3 0 4 x4 1
能控性与能观性的概念
5
第六章 能控性能观性与极点配置设计
•时间函数向量无关性
•时间函数向量线性无关性定义
设以定义在时间区间[t0,t1]上连续函数fij(t)为元素的矩阵
f11 t f12 t f1n t f t f t f t 22 2n 21 F t fij t nm f1 t f 2 t f n t f m1 t f m 2 t f mn t
x1 x y 0 1 1 0 2 x3 x4
Y s 试求：该系统的传递函数 G s U s
解： 因 Gs CsI A1 B
0 0 0 s 1 0 s 2 0 0 而 sI A 0 s 3 0 0 0 0 0 s 4
根据对角矩阵的逆矩阵性质，有
s 1 1 0 0 0 1 s 2 0 0 0 1 sI A 0 s 3 1 0 0 1 s 4 0 0 0
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实 验 报 告课程 自动控制原理 实验日期 12 月26 日 专业班级 姓名 学号实验名称 系统的能控性与能观性分析及状态反馈极点配置 评分批阅教师签字一、实验目的加深理解能观测性、能控性、稳定性、最小实现等观念，掌握状态反馈极点配置方法，掌握如何使用MATLAB 进行以下分析和实现。
1、系统的能观测性、能控性分析；2、系统的最小实现；3、进行状态反馈系统的极点配置；4、研究不同配置对系统动态特性的影响。
二、实验内容1.能控性、能观测性及系统实现（a ）了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结果。
gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf, mineral ； （b ）已知连续系统的传递函数模型，182710)(23++++=s s s as s G ，当a 分别取-1，0，1时，判别系统的能控性与能观测性；（c ）已知系统矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=2101013333.06667.10666.6A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110B ，[]201=C ，判别系统的能控性与能观测性；（d ）求系统1827101)(23++++=s s s s s G 的最小实现。
2.实验内容原系统如图1-2所示。
图中，X 1和X 2是可以测量的状态变量。
图1-2 系统结构图试设计状态反馈矩阵,使系统加入状态反馈后其动态性能指标满足给定的要求:(1) 已知：K=10，T=1秒，要求加入状态反馈后系统的动态性能指标为：σ%≤20%，ts≤1秒。
(2) 已知：K=1，T=0.05秒，要求加入状态反馈后系统的动态性能指标为：σ%≤5%，ts≤0.5秒。
状态反馈后的系统，如图1-3所示：图1-3 状态反馈后系统结构图分别观测状态反馈前后两个系统的阶跃响应曲线，并检验系统的动态性能指标是否满足设计要求。
三、实验环境 1、计算机1台；2、MATLAB6.5软件1套。
四、实验原理（或程序框图）及步骤 1、系统能控性、能观性分析设系统的状态空间表达式如下：p m n R y R u R x Du Cx y Bu Ax x∈∈∈⎩⎨⎧+=+=（1-1）其中A 为n ×n 维状态矩阵；B 为n ×m 维输入矩阵；C 为p ×n 维输出矩阵；D 为p ×m 维传递矩阵，一般情况下为0。
系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的关系如式(1-2)所示：D B A sI C s den s num s G +-==-1)()()(()((1-2)式(1-2)中，)(s num 表示传递函数阵的分子阵，其维数是p ×m ；)(s den 表示传递函数阵的分母多项式，按s 降幂排列的后，各项系数用向量表示。
系统的能控性、能观测性分析是多变量系统设计的基础，包括能控性、能观测性的定义和判别。
系统状态能控性定义的核心是：对于线性连续定常系统（1-1）,若存在一个分段连续的输入函数u(t)，在有限的时间（t 1-t 0）内，能把任一给定的初态x(t 0)转移至预期的终端x(t 1)，则称此状态是能控的。
若系统所有的状态都是能控的，则称该系统是状态完全能控的。
状态能控性判别方法分为2种：一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵A 是对角标准形或约当标准形的系统，状态能控性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态能控性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。
状态能控性判别式为：[]nB A AB BRank RankQ n c ==-1（1-3）系统状态能观测性的定义：对于线性连续定常系统（1-1）,如果对t 0时刻存在t a ，t 0<t a <∞，根据[t 0,t a ]上的y(t)的测量值，能够唯一地确定系统在t 0时刻的任意初始状态x 0，则称系统在t 0时刻是状态完全能观测的，或简称系统在[t 0,t a ]区间上能观测。
状态能观测性判别方法也分为2种：一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵A 是对角标准形或约当标准形的系统，状态能观性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态能观测性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。
状态能观测性判别式为：[]n CA CA CRank RankQ Tn o ==-1（1-4）系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的有(1-2)式所示关系。
已知系统的传递函数阵表述，求其满足(1-2)式所示关系的状态空间表达式，称为实现。
实现的方式不唯一，实现也不唯一。
其中，当状态矩阵A 具有最小阶次的实现称为最小实现，此时实现具有最简形式。
2、状态反馈极点配置一个受控系统只要其状态是完全能控的，则闭环系统的极点可以任意配置。
极点配置有两种方法：①采用变换矩阵T ，将状态方程转换成可控标准型，然后将期望的特征方程和加入状态反馈增益矩阵K 后的特征方程比较，令对应项的系数相等，从而决定状态反馈增益矩阵K ；②基于Carlay-Hamilton 理论，它指出矩阵状态矩阵A 满足自身的特征方程，改变矩阵特征多项式)(A Φ的值，可以推出增益矩阵K ，这种方法推出增益矩阵K 的方程式叫Ackermann 公式。
五、程序源代码 1.>> num=[1 -1];den=[1 10 27 18];[a,b,c,d]=tf2ss(num,den); >> Qc=ctrb(a,b) Qc =1 -10 73 0 1 -100 0 1>> rank(Qc)ans =3>> Qo=obsv(a,c)Qo =0 1 -11 -1 0-11 -27 -18>> rank(Qo)ans =3>> num=[1 0];den=[1 10 27 18];[a,b,c,d]=tf2ss(num,den); >> Qc=ctrb(a,b)Qc =1 -10 730 1 -100 0 1>> rank(Qc)ans =3>> Qo=obsv(a,c)Qo =0 1 01 0 0-10 -27 -18>> rank(Qo)ans =3>> num=[1 1];den=[1 10 27 18];[a,b,c,d]=tf2ss(num,den); >> Qc=ctrb(a,b)Qc =1 -10 730 1 -100 0 1>> rank(Qc)ans =3>> Qo=obsv(a,c)Qo =0 1 11 1 0-9 -27 -18>> rank(Qo)ans =22.>> a=[6.666 -10.667 -0.333;1 0 1;0 1 2];b=[0 1 1]';c=[1 0 2]; >> Qc=ctrb(a,b)Qc =0 -11.0000 -84.99201.0000 1.0000 -8.00001.0000 3.0000 7.0000>> rank(Qc)ans =3>> Qo=obsv(a,c)Qo =1.0000 02.00006.6660 -8.6670 3.667035.7686 -67.4392 -3.5528>> rank(Qo)ans =33.>> num=[1 1];den=[1 10 27 18];[A,B,C,D]=tf2ss(num,den) A =-10 -27 -181 0 00 1 0B =1C =0 1 1D =>> [Am,Bm,Cm,Dm]=minreal(A,B,C,D) 1 state removed.Am =-17.2017 -8.567718.5677 8.2017Bm =0.5774-0.5774Cm =1.0000 1.0000Dm =4.(1)>> A=[-1/1 10/1;-1 0];B=[0;1];C=[1 0]; >> p=[-5+sqrt(-75);-5-sqrt(-75)]p =-5.0000 + 8.6603i-5.0000 - 8.6603i>> k=place(A,B,p)k =8.1000 9.0000>> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D)num =0 0.0000 10.0000den =1.0000 1.0000 10.0000>> t=0:0.05:12;sys=tf(num,den);step(sys,t);grid; >> [num,den]=ss2tf(A-B*k,B,C,D)num =0 0 10.0000den =1.0000 10.0000 100.0000>> t=0:0.05:12;sys=tf(num,den);step(sys,t);grid;(2)>> A=[-1/0.05 1/0.05;-1 0];B=[0;1];C=[1 0];。