第三章 排队网络

Network of Transmission Lines
Assume that Poisson arrivals of rate packets/sec enter the first queue, and that all packets have equal length. Therefore, the first queue is M/D/1 and the average packet delay there is given by P-K formula. However, at the second queue the interarrival times must be greater than or equal to 1/ (the packet transmission time). Furthermore, because the packet transmission times are equal at both queues, each packet arriving at the second queue will complete transmission at or before the time the next packet arrivals, so there is no waiting at t
For instance, the balance equations of a complex system can be derived by “guessing“ the reversed process. The departure process (output) of a queue can often most simply be analyzed by studying the reversed process.
Burke定理
该公式告诉我们，两个串联的队列，只要满 足独立性的要求，就可以看成是两个完全独 立的具有相同到达率的M/M/1队列。
第三部分
Kleinrock独立性近似
排队网络
前面我们的讨论都是假定到达过程和服务间 隔相互独立，而在实际的数据通信网中，每 节点都有一个队列，各节点的队列组成一个 排队的网络。
P Pij , i, j
* ij
反向链的特征
反向链是非周期的和不可约的，它与正向链具 有相同的稳态分布。
稳态概率分布看作该过程访问各状态的时间比例，则显 然正向链和反向链的稳态状态占用的时间分布是相等 的。
一个链是时间可逆的充分必要条件是下列局部 平衡方程成立：
pi Pij p j Pji
Burke定理
证明：系统的离开过程是速率为的Poisson过程 Since the arrivals in forward time form a Poisson process, the departures in backward time form a Poisson process Since the backward process is statistically the same as the forward process, the (forward) departure process is Poisson
Burke定理的物理意义
实际上，Burke定理叙述了这样一个事实，即 在平稳状态下，M/M/s排队系统在顺时针方向 的状态转移与在逆时针方向的状态转移遵循同 一概率规律(统计上无法区分，即时间可逆排 队系统)，因此顺时针方向的离开过程就相当 于逆时针方向的到达过程。因此，M/M/s排队 系统的离开过程与到达过程相等
证明：
如果 pi Pij p j Pji ，则根据马氏链的反向链仍 pi P*ij p j Pji 然是一个马氏链的特点有 Pij* Pij , i, j 则有 那么该链是一个时间可逆的。 Pij* Pij , i, j 如果该链是一个时间可逆的，则有 又由于马氏链的反向链仍然是一个马氏链，所以 pi P*ij p j Pji ，则有 pi Pij p j Pji 有
第三章 排队网络
盛敏 西安电子科技大学 信息科学研究所
msheng@
第一部分
时间可逆及逆过程
逆过程
可逆过程
对于一个不可约的稳态随机过程Xt，我们 将Xt*称为其逆过程 被反过来放映”） 这里的值并不重要，它仅仅用来表明逆 过程的起始时刻点而已。
X t X t
例题
由Burke定理知，队列1当前的用户数与过去的离 开过程相互独立，也就是与队列2的过去到达过 程无关。所以,队列1当前的用户数与队列2当前 的用户数无关。因此有：系统中队列1有n个用 户，队列2有m个用户的概率为 P{队列1中有n个用户，队列2中有m个用户} ＝P{队列1中用n个用户} P{队列2中用m个用户} m ＝ pn1 pn 2 1n 1 1 2 1 2
马尔可夫链的时间可逆性
命题：一个不可约的非周期的离散时间的马 尔可夫链的反向链（逆过程）也是一个马尔 可夫链。 证明：
设Xn，Xn+1，……，是一个不可约非周期的离散 时间的马尔可夫链，其状态转移概率为Pij稳态 概率分布为pj>0,j>＝0。
马尔可夫链的时间可逆性
Pij PX m j | X m 1 i, X m 2 i2 , X m k ik
Burke定理
在时刻t, 系统中顾客数独立于t时刻以前用户离开系统的时间序 列
The departures prior to t in the forward process are also the arrivals after t in the reversed process. The arrival process in the reversed system is independent Poisson, so the future arrival process does not depend on the current number in the system, which in forward system terms means that the past departure process does not depend on the current number in the system.
逆过程
通常情况下，逆过程Xt*和原过程Xt是不同 的。如图所示的一个循环过程。在正向过 程Xt中，状态的出现顺序是1-2-3-1（蓝 色），而在逆过程中，状态出现的序列为 1-3-2-1（红色）。显然这两者是两个不 同的过程。 1 2
3
时间可逆
如果一个随机过程（Xt1, Xt2,…,Xtn）其逆（反 向）过程（XT-t1, XT-t2,…,XT-tn）的联合分布函数 与正向过程的联合分布函数一致，则称该随机过 程为时间可逆的随机过程。 直观地来说：如果过程Xt是时间可逆的，那么对 于外部观察者而言，他将无法区分“这个电影”是 在正着放映还是在反着放映。
p n1 1n (1 1 )
1 / 1
由Burke定理可知，队列1的输出是速率 的 Poisson过程，并根据假定知，队列2的服务 时间与到达过程独立，因此队列2可以看成 为孤立的M/M/1队列，因而有队列2中用户数 m 为m的概率为p n 2 2 (1 2 ) 2 / 2
时间可逆性
M/M/1, M/M/n, M/M/, M/M/m/m都是时间可逆的
第二部分
Burke定理
Burke定理
对具有到达率为 的M/M/1，M/M/m, M/M/∞ 系统，假定系统开始时就处于稳态 （或初始状态是根据稳态分布而选定的）， 有下列结论：
1. 系统的离开过程是速率为的Poisson过程。 2. 在时刻t, 系统中顾客数独立于t时刻以前用户 离开系统的时间序列。
pj pi
Pji ,
pi Pij* p j Pji
马尔可夫链的时间可逆性
The reversed Markov process Xt* behaves as the original one if it has the same transition rates. Thus, the condition for the reversibility is
Interarrival times at various queues become strongly correlated with packet lengths Service times at various queues are not independent Queueing models become analytically intractable
Burke定理的直观理解
考虑M/M/1排队系统的离开过程。很明显，当服务者处 于服务状态时，顾客是按照速率为μ的泊松过程离开 的；当服务者处于休闲状态时不会有顾客离开。由于服 务者繁忙的概率为ρ，休闲的概率为1- ρ ，因此不难想 象，顾客的离开过程应是速率为μ的泊松过程与速率为0 的泊松过程的叠加，其叠加概率分别为ρ和1-ρ。 又由于M/M/1排队系统的队列长度应服从几何分布，即 具有无记忆性，因此上述速率为μ的泊松过程与速率为0 的泊松过程相互独立。由此可知该离开过程是一个速率 为λ 的泊松过程。
PX m j , X m 1 iPX m 2 i2 , X m k ik | X m j , X m 1 i PX m 1 iPX m 2 i2 , X m k ik | X m 1 i PX m j , X m 1 i PX m 1 i
PX m j | X m 1 i
Burke定理
Burke定理
系统中当前顾客数与离开系统的顾客流之间 的关系是相互独立。 我们可能会认为：系统最近有一个非常繁忙 的离开流，意味着系统现在会有大量顾客在 排队，是一个繁忙系统。然而，Burke定理 表明这是不正确的，该定理指出一个繁忙的 离开流，没有说明任何当前系统的状态信 息。