唐良--平面几何

1 / 62012年高中数学竞赛——平面几何攻略江苏省扬州中学 唐一良第一部分【几个著名定理】例1．以△ABC 的底边BC 为直径作半圆，分别与AB 、AC 交于点D 和E ，分别过D 、E 作BC 的垂线，垂足依次为F 、G ，线段DG 和EF 交于点M ，求证：AM ⊥BC （IMO-37国家队选拔题）例2. 如图，在锐角三角形ABC 的BC 边上有两点E 、F ，满足∠BAE=∠CAF ，作FM ⊥AB ，FN ⊥AC （M 、N 是垂足），延长AE 交三角形ABC 的外接圆于D ．证明：四边形AMDN 与三角形ABC 的面积相等．例4．若两个三角形的对应顶点的连线交于一点，则对应边所在的直线交点必共线。

（笛沙格定理）第二部分【三角形五心研究】例1．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N .作点P关于MN 的对称点P ′.试证：P ′点在△ABC 外接圆上.例2．设圆O 是△ABC 的内切圆，BC ，CA ，AB 上的切点各是D ，E ，F ，射线DO 交EF 于A ‘，同样可得B ‘，C ’，试证：直线AA ‘，BB ’，CC ‘共点。

例3．设△ABC 的三条高线为AD ，BE ，CF ，自A ，B ，C 分别作AK ⊥EF 于K ，BL ⊥DF 于L ，CN ⊥ED 于N ，证明：直线AK ，BL ，CN 相交于一点。

例4．在△ABC 中，AB=4，AC=6，BC=5，∠A 的平分线AD 交△ABC 的外接圆于K ，△ABC的外心，内心分别是O ，I ，求证：OI ⊥AK 。

例5．设点M 是△ABC 的边BC 的中点，I 是其内心，AH 是BC 边上的高，E 为直线IM 与AH 的交点，求证：AE 等于内切圆半径r 。

例6．设圆O 是△ABC 的BC 边外侧的旁切圆，D ，E ，F 分别是圆O 与BC ，CA ，AB 所在直线的切点，若OD 与EF 相交于K ，求证：AK 平分BC 。

例7．在ABC ∆中，060=∠A ，AB>AC ，点O 是外心，两条高BE ，CF 交于H 点， 点M ，N 分别在线段BH ，HF 上，且满足BM=CN ，求OHNHMH +的值。

第三部分【圆的研究】例1．(Euler 定理)设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心的距离为d ，则一条直线上；直线所作垂线的垂足在且由该点向四条的外接圆相交于一点，交所构成的四个三角形求证：四条直线两两相例.3 AB C DE F MN2 / 6d 2=R 2-2Rr ．(1992年江苏省数学竞赛)例2. 设点P 是⊙O 外一点，P AB ，PCD 是两条割线，AD ，BC 交于点Q ，延长BD ，AC 交于点R ，求证：2PQ =P 的幂+Q 的幂；2PR =P 的幂+R 的幂.【两个典型模型】：⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB ，DC 延长后交于点E ，AD ，BC 延长后交于点F ，AC ，BD 交于点P （不与O 重合），证明：OP ⊥EF ，并讨论四边形ABCD 是圆外切四边形的情形。

例3.设D ，E 是∆ABC 中AB ，AC 上的点，求证：以BE 和CD 为直径的两圆的根轴必通过∆ABC 的垂心。

例4.如图，已知两个半径不相等的⊙O 1与⊙O 2相交于M 、N 两点，且⊙O 1、⊙O 2分别与⊙O 内切于S 、T 两点。

求证：OM ⊥MN 的充分必要条件是S 、N 、T 三点共线。

（97年高中数学联赛试题）例5．四边形ABCD 内接于圆，其边AB 与DC 延长交于点P ，AD 、BC 延长交于点Q ，由Q 作该圆的两条切线QE 、QF ，切点分别为E 、F ，求证：P 、E 、F 三点共线．(1997年中国数学奥林匹克）第四部分【从调和点列到完全四边形到Apollonius 圆到极线极点】 例1如图，过圆O 外一点P 作其切线PA 、PB ，OP 与圆和AB 分别交于I 、M ，DE 为过M 的任意弦。

求证：I 为△PDE 内心。

（2001年中国西部数学奥林匹克）D3 / 6例2如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，H 为AD 上任一点，则∠ADF=∠ADE （1994年加拿大数学奥林匹克试题）例3如图，完全四边形ABCDEF 中，GJ ⊥EF 与J ，则∠BJA=∠DJC （2002年中国国家集训队选拔考试题）例4.已知：△ABC 内角平分线BE 、CF 交于I ，过I 做IQ ⊥EF 交BC 于P ，且IP=2IQ 。

求证：∠BAC=60° 例5. P 为圆O 外一点，PA 、PB 为圆O 的两条切线。

PCD 为任意一条割线，CF 平行PA 且交AB 于E 。

求证：CE=EF （2006国家集训队培训题）例6.过锐角ABC ∆的顶点A ，B ，C 的三条高分别交对边于点D ，E ，F ，过点D 平行于EF 的直线分别交AC ，AB 于点Q ，R ，直线EF 交BC 于点P ，求证：∆PQR 的外接圆过BC 的中点。

例7.在∆ABC 中，经过点B ，C 的圆与边AC ，AB 的另一个交点分别为E ，F ，BE 与CF 交于点P ，AP 与BC 交于点D ，M 是边BC的中点，D ，M 不重合，求证：D ，M ，E ，F 四点共圆。

例8.凸四边形ABCD 内接于⊙O ，延长AB ，DC 交于点E ，延长BC ，AD 交于点F ，AC ，BD 交于点P ，直线OP 交EF 于点G ，求证：CGD AGB ∠=∠例9.以锐角∆PAB 的边AB 为直径作半圆交PA 于点E ，交PB 于点D ，直线AB 与ED 交于点Q ，AD 与BE 交于点C ，直线PC 交AB 于H ，连OE ，OD ，HE ，HD ，求证：ODH OEH ∠=∠EQO ∠=例10.如图，O 、I 分别为△ABC 的外心和内心，AD 是BC 边上的高，I 在线段OD 上。

求证：△ABC 的外接圆半径等于BC 边上的旁切圆半径。

(98年全国高中联赛试题)第五部分【完全四边形】 例1. 在四边形ABCD 中两条对角线交于点O ，两组对边的延长线分别交于点E ，F ，过O 作EF 的平行线交BC ，AD 于I ，J ，求证：OI=OJB4 / 6PA ⋅PB=PC ⋅PDPA ⋅PB=PC ⋅PD∠ADB=∠ACB∠D=∠CBE或∠D+∠ABC=180D例2.在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD 。

在CD 上取一点E ，BE 与AC 相交于F ，延长DF 交BC 于G 。

求证：∠GAC=∠EAC . (99年全国高中联赛试题)例3．设凸四边形的两组对边所在直线分别交于E ，F 两点，两对角线的交点为P ，过点P 作EF PO ⊥于O ，求证：AOD BOC ∠=∠(2002年国家队选拔赛题)例4.如图，锐角三角形ABC 的外心为O ，K 是边BC 上一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与AC 交于点N ，直线CD 与AB 交于点M ．求证：若OK ⊥MN ，则A ，B ，D ，C 四点共圆．（2010年全国高中数学联赛）例 5.如图，Q P ,分别是圆内接四边形ABCD 的对角线BD AC ,的中点．若DPA BPA ∠=∠，证明：CQB AQB ∠=∠．（2011年全国高中数学联赛）第六部分【几个典型的问题】一、证明四点共圆的基本方法：(1)利用圆的定义——到同一个定点的距离相等； (2)利用圆内接四边形性质定理的逆定理——对角互补或外角等于它的内对角；(3)利用圆周角定理的逆定理——线段的同侧张角相等； (4)利用圆幂定理的逆定理——相交弦、切割线； (5)利用托勒米定理的逆定理或西姆松定理的逆定理. 例1.在锐角三角形ABC 中，以BC 为直径作圆与BC 边上的高AD 及其延长线交于M 、N ，以AB 为直径作圆与AB 边上的高CE 及其延长线交于P、Q ，求证：M 、N 、P 、Q 四点共圆.（美国1990）二、证明三点共线的基本方法：A5 / 6A 、B 、C 共线的充要条件sin(α+β)PB =sin αPC +sin βPA∠BAD+∠DAC=1800∠BCM=∠DCN 且MCN 共线→BCD 共线(1)利用“邻角互补”或对顶角定理的逆定理； (2)利用同一法；(3)利用特殊点、线的性质——如西姆松线； (4)利用梅内劳斯定理的逆定理.； (5)利用张角关系定理——由P 点出发的三条射线PA 、PB 、PC,∠APB=α,∠BPC=β,∠APC=α+β<1800.则A 、B 、C 共线的充要条件是PB )sin(βα+=PCαsin +PA βsin .例2.设P 是⊿ABC 的外接圆的BC 弧上任意一点，D 、E 分别是弧AB 、弧AC 的中点，PD 与AB 交于F ，PE 与AC 交于G ，I 是⊿ABC 的内心（如图）.求证：F 、I 、G 三点共线.三、证明三线共点的基本方法： (1)证明三条直线通过某个特殊点； (2)证明某条直线通过另两条直线的交点； (3)转化为三点共线证明；(4)利用塞瓦定理的逆定理或西姆松定理.例3． AB 是半圆O 的直径，过A 、B 引弦AC 和BD ，并过C 、D 引圆O 的切线交于点P ，过P 作PE ⊥AB 于E ，则AC 、BD 、PE 三线共点.四、与圆有关的问题与圆有关的问题常借助全等、相似、比例线段以及与圆有关的性质——圆周角、圆心角、弦切角、切线长定理、相交弦定理、切割线定理等.例4．⊙O 过△ABC 顶点A ，C ，且与AB ，BC 交于K ，N (K 与N 不同).△ABC外接圆和△BKN 外接圆相交于B 和M.求证：∠BMO =90°. (第26届IMO 第五题)AB O K NC MG6 / 6第七部分 【最近研究与进展】例1.已知：D 是ABC ∆边BC 上一点，ABD DAC ∠=∠，⊙O 过点B ，D ，分别交AB ，AD 于点E ，F ，直线BF 交DE 于点G ，M 是AG 的中点，求证：AO CM ⊥（2009年国家集训队选拔考试题）例2.在锐角ABC ∆中，AB>AC ，M 是边BC 的中点，P 是AMC∆内一点，使得MAB ∠=PAC ∠，设A B C ∆，ABP ∆，ACP∆的外心分别为O ，O 1，O 2，证明：直线AO 平分线段O 1O 2（2010年国家集训队选拔考试题）例3.设⊙O 1与⊙O 2相交，P 是其中一个交点，它们的一条外公切线切⊙O 1与⊙O 2于A ，B ，过A 垂直于BP 的直线交O 1O 2于C ，求证：AP ⊥PC （2011年国家集训队选拔考试题）例4.如图,锐角ABC ∆中,60A ∠>,H 为ABC ∆的垂心,点M 、N分别在边AB 、AC 上，60HMB HNC ∠=∠=,O 为HMN ∆的外心.点D 与A 在直线BC 的同侧，使得DBC ∆为正三角形.证明：H 、O 、D 三点共线. （2012年国家集训队选拔考试题）C2B。