暑期高一第9讲 函数与方程.目标班
高一数学教案范文：函数与方程教案
高一数学教案范文：函数与方程教案教学目标：1. 了解函数的定义和性质；2. 掌握函数的表示方法；3. 能够根据函数的性质解决实际问题；4. 了解方程的定义和基本性质；5. 能够解一元一次方程；6.能够用方程解决实际问题。
教学重点：1. 函数的定义和性质；2. 函数的表示方法；3. 方程的定义和基本性质；4. 一元一次方程的解法。
教学难点：1. 函数的性质的理解和应用；2. 方程的解法的灵活运用。
教学准备：教师准备讲义、教具以及相关习题。
教学过程：第一课时：1. 导入：教师引导学生回顾函数的概念和性质，并提醒学生函数在数学中的重要作用。
2. 观察与思考：给出一个实际问题，让学生思考如何用函数的方法来解决。
3. 学习：教师向学生讲解函数的定义和性质，并介绍函数的表示方法。
4. 实践：教师带领学生通过例题的讲解和解题实践，巩固对函数的理解和应用。
5. 小结：教师对本节课的内容进行小结，并提醒学生复习函数的知识点。
第二课时：1. 导入：教师引导学生回顾方程的概念和性质，并提醒学生方程在数学中的应用。
2. 观察与思考：给出一个实际问题，让学生思考如何用方程的方法来解决。
3. 学习：教师向学生讲解方程的定义和基本性质，并介绍一元一次方程的解法。
4. 实践：教师带领学生通过例题的讲解和解题实践，巩固对方程的理解和应用。
5. 小结：教师对本节课的内容进行小结，并提醒学生复习方程的知识点。
第三课时：1. 导入：教师引导学生回顾函数和方程的概念，并提醒学生函数和方程在数学中的联系。
2. 学习：教师讲解如何用函数和方程解决实际问题，并通过例题讲解和解题实践来加深学生的理解。
3. 实践：教师布置一些综合性的习题，让学生通过解题来巩固所学内容。
4. 总结：教师对本节课的内容进行总结，并提醒学生复习整个教学内容。
教学反思：本节课的教学过程比较严谨，通过导入、观察与思考、学习、实践、小结等环节的设计，使学生能够逐步理解函数和方程的概念，并能够灵活运用所学知识解决实际问题。
高一数学暑期班讲义之 函数的解析式和定义域(学生版)
高一课程“函数的解析式和定义域”学生姓名授课日期教师姓名授课时长本讲内容：函数的相关概念；函数的定义域的求法；函数的解析式的求法掌握目标：1.掌握函数的三种表示方法，会求简单函数的解析式．2. 会求简单函数的定义域．重点与难点：函数基本概念的理解及其解析式的求法考情分析：涉及本讲的内容仍将出现每年的高考试题中，函数的概念要求较低，以函数定义域、值域、解析式的考察为主，题型以选择题、填空题为主。
知识点一：函数的相关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数。
记作：y=f(x)，x∈A。
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。
注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；（2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。
当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。
因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。
4．区间（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示5．映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A 到集合B 的一个映射。
记作“f ：A →B ”。
函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射。
著名机构高一数学暑假目标班讲义第第1讲 集合.目标班
高一暑期讲义说明这本讲义是我们第二次讲义升级后的版本，与之前的讲义相比，有如下变化：1．我们的讲义开始区分尖子班（提高班与尖子班讲义相同）与目标班，目标班有些知识点是尖子班没有的，有些例题目标班难度更大，尖子班与目标班差别在15%左右．2．知识点进行了细化，并与例题配套，可以直接顺着讲义上知识点与例题的顺序进行讲解；3．取消了《初高衔接》一讲，将初高衔接的内容细化在各讲，并直接放在需要用到的例题后面，此部分在学生版不出现，在课件中出现．初高衔接的内容有：第一讲集合中：配方法、因式分解；第二讲函数中：解一元二次不等式；第三讲函数的单调性中：立方和与立方差公式；第九讲函数与方程中：韦达定理；4．吸收了一些优秀教师的教法，加入了大量的知识点引入、生活中的小例子引入与数学中的小例子，这些引入的内容与小例子只在教师版出现，所用语言比较通俗易懂，但有些会缺乏严谨，供老师选用；5．知识点睛中配有一些“练习”，一般是对刚刚讲过的概念的直接理解，比较简单；对于一些新知识点，配有“挑战几分钟”，供学生加强练习；6．预习讲义侧重于对新概念理解与辨析，通常不涉及具体的方法与题型的总结，与同步讲义有明显区别，例题整体难度不大．个别例题后面配有较难的备选，供老师选用；7．我们是以知识模块划分的讲次，每讲内容的量有一些区别，以下附有建议课时表：讲次讲义名称建议课时第1讲集合 3.5小时第2讲函数及其表示 4.5小时第3讲函数的单调性3小时第4讲函数的奇偶性2小时第5讲指数与指数函数3小时第6讲对数运算3小时第7讲对数函数3小时第8讲幂函数与复合函数 2.5小时第9讲函数与方程 3.5小时第10讲综合复习2小时8频讲解．1第1讲·目标班·教师版当前形势集合在近五年北京卷(理)考查5～18分高考要求内容要求层次具体要求A B C集合的含义与表示√了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．集合间基本关系√理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．在具体情境中，了解全集与空集的含义．集合基本运算√理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．能使用Venn图表达集合的关系及运算北京高考解读2008年2009年2010年（新课标）2011年（新课标）2012年（新课标）第1题5分第20题13分第1题5分第20题13分第1题5分第1题5分新课标剖析满分晋级第1讲函数1级集合集合函数2级函数及其表示函数3级函数的单调性2 第1讲·目标班·教师版3第1讲·目标班·教师版考点1：集合的概念集合的引入（说明为什么要学习集合）塔罗牌中有一张牌叫巴比塔，是一个倒了的塔，这个塔源自《圣经·旧约》，《圣经》上说，人类的祖先最初讲的是同一种语言．他们在两河流域定居下来，修起了城池．后来，他们的日子越过越好，决定修建一座可以通到天上去的高塔，这就是巴比塔．直到有一天，高高的塔顶已冲入云霄．上帝耶和华得知此事，立即从天国下凡视察．上帝一看，又惊又怒，认为这是人类虚荣心的象征．上帝心想，人们讲同样的语言，就能建起这样的巨塔，日后还有什么办不成的事情呢？于是，上帝决定让人世间的语言发生混乱，使人们互相言语不通．数学家希望建立一个所有学数学的人有一个能共同对话的平台，这个平台就是集合． 那到底什么叫集合呢？1．⑴ 集合的含义：一些能够确定的不同的对象所构成的整体叫做集合．构成集合的每个对象叫做这如：现在我们班上的所有同学，构成了一个集合，其中每个同学都是这个集合中的一个元素． ⑵ 一般情况下，集合用英文大写字母,,,A B C L 表示．元素用英文小写字母,,,a b c L 表示； ⑶ 不含任何元素的集合叫做空集，记作∅．集合含义的理解对于集合的含义，我们需要注意集合首先是一个整体，所有满足条件的对象都必须在这个集合中． “能够确定”是指有明确的可界定的规则，每一个对象是不是在范围中都能得到客观判定．理解这个要注意以下三点：①界定的规则一定是一个客观的属性，不依赖主观的感觉； 如：中国所有的比较老的人不能构成一个集合；中国所有年龄在60岁以上的人可以构成一个集合；这种类型的例子很多，如我们班同学中比较高的人不能构成一个集合，因为姚明与潘长江的标准会很不相同，但给身高一个标准就构成一个集合了，如高于160cm 的人． 再如我们班比较帅的人，比较漂亮的人，这个因为有审美观的主观差异，还有情人眼里出西施的特殊情况，所以都不能构成集合．在数学上，由于数学本身的严格，这个东西会变得简单，如方程2320x x -+=的根；小于等于3的实数都可以构成集合；②这个整体如果客观存在，即使不知道也不影响确定性． 如：我们班头发根数最多的4个人．世界第五高的山峰；知识点睛1.1 集合的概念与表示4 第1讲·目标班·教师版存在，虽然你并不知道．但它们都能构成集合．③方程210x +=的实数根能不能构成一个集合呢？我们可以判定任意一个实数都不在其中，所以它可以构成一个集合，这个集合就是什么都没有的集合，叫做空集，用∅表示．再如，小于3又大于3的集合．我们班既是男性又是女性的同学．都是空集． 下面可以构成集合的有_______．①中国人口排在第8-12位的城市；②到两定点的距离的和等于两定点间的距离的点； ③高一数学课本中的难题；④方程220x +=的实数解； 正解：①②④．2．元素与集合的关系：如果a 是集合A 中的元素，就说a 属于A ，记作a A ∈； 如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于A ，记作a A ∉．3．某些常见的数集（数集即元素是数的集合）的写法：自然数集 正整数集 整数集 有理数集实数集N *N 或N + Z Q R<教师备案> 常见数集写法的字母意义：自然数N 是Natural Number （自然数）的首字母，N 即全体非负整数构成的集合； 习惯用*N 或+N 表示正整数集，其中*N 的星是非零的意思； 整数集的Z 是德文Zahlen （数字）的首字母．有理数集的Q 是英语/德语Quotient （商）的首字母，因为有理数都可以写成两整数的商． 实数R 是Real Number(实数)的首字母．在后面的学习中，会在均值不等式部分用+R 表示正实数集，在复数中引入C 表示复数集之外，高中不会接触到其它数集的表示形式． 为什么要用一个德文首字母表示整数集呢？使用Z 作为整数集的标记，是因为19世纪德国数论很强很强，所以德国的某些数学家引入的记号后来就通行了，至于这个数学家是谁，说法不一，有人说是朗道，有人说是诺特（此人是迄今为止最牛的女数学家，没有之一）．数学中的符号使用，就两个原则．一是优先：谁先提出，得到认可，后面就跟着用．二是方便：谁的符号更实用，更方便．就会得到大家认可，从而流行．例如数字，中国、印度、希腊都有自己的系统，但现在只用阿拉伯数字，就是它方便，而且它有0（汉字的零是后来从阿拉伯数字0抄来的）．练习1： 用∈，∉填空．①1-___N ；②3-___*N ；③12__Z ；④3.14___Q ；5___Q ；⑥2___R ；⑦π___R ；答案：；∈；∉；∈；∉；∈；∈．4．元素的性质5第1讲·目标班·教师版①确定性：集合中的元素是确定的，不能模棱两可．②互异性：集合中的元素是互不相同的，相同的元素在集合中只能算作一个． ③无序性：集合中的元素是无次序关系的．<教师备案> 确定性在讲集合的概念时就已经说明了．互异性是指集合中的元素互不相同，这样给定一个集合，会有一些天然的避讳，有一些默认的事实存在，如由1a ，构成的集合中，一定满足1a ≠．因为这里没讲集合的表示法，所以元素的性质都需要结合一些实际中的问题进行讲解． 集合的互异性可以通过班上同学举例，如要从班上选出五个同学组队参加一个比赛，这里选出的五个人构成一个集合，这五个人必须是不同的五个人，必须满足互异性，把一个人重复指点五次并不能构成这个集合．集合无序性是指集合中的元素没有顺序，同样还是上面选出的五个人，把他们的姓名按照姓氏笔画顺序排列，还是按照拼音字母顺序排列，还是按照体重数量排列，都是这五个人．这个集合并没有变化．【例1】 ⑴ 若221x x +，，是一个集合中的三个元素，实数x 应满足什么条件？ ⑵设R x ∈，将对象x ，x -，2x ，33x -，44x -，24x 组成集合M ，则集合M 中元素最多时有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 ⑶下列叙述中正确的个数是（ ）①若a -∈Z ，则a ∈Z ；②若a -∉N ，则a ∈N ；③a ∈Z ，若a -∉N ，则a ∈N ；④a ∈Z ，若a ∈N ，则a -∉N ． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 【解析】 ⑴ 1x ≠±且2x ≠．⑵ A ⑶ C ．讲完集合的概念与元素的性质之后，我们自然需要知道如何把一个集合与数学的语言表示出来．下面，我们来看看集合的表示法．考点2：集合的表示法——列举法与描述法5．集合的表示法⑴ 列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示，并写在大括号“{ }”内的表示集合的方法．例如：{12345}，，，，，{12345}L ，，，，，．经典精讲知识点睛6 第1讲·目标班·教师版【注意】列举法既可以表示有限集（集合中元素个数是有限多个的），也可以表示元素呈现一定规律的无限集，如不大于100的自然数，可以表示为{0123100}L ，，，，，，自然数集可以表示成{0123}L ，，，，．有了列举法，我们就很容易将一些语言翻译成集合语言，如方程260x x +-=的解集可以写成{23}-，；直线2y x =与直线2y x =的交点集合可以写成{(00)(24)}，，，． 描述法引入列举法非常简单直观，一个对象是否在集合中很容易判断，但凡是很简单的方法往往就会有一些问题与局限性，如果一个集合中元素太多，而规律性又不强，这时把所有的元素都列出来，就很难做到了：如世界上所有高度在3000米以上的山峰，《红楼梦》中所有的人物，这两个集合用列举法表示非常困难；而所有大于3的实数构成的集合用列举法就根本表示不出来了．另外，有些集合虽然可以确定，元素个数也不多，但元素是哪些却不容易得到，如班上头发最多的四位同学，这用列举法就很难表示．再比如方程220x x a ++=（a 为参数）的解．遇到这样的集合，就需要一些新的表示方法．⑵ 描述法（又称特征性质描述法）：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，形如{|()}x A p x ∈，()p x 称为集合的特征性质，x 称为集合的代表元素．A 为x 的范围，有时也写为{|()}x p x x A ∈，． 例如：大于3的所有整数用描述法表示为{|3}x x ∈>Z ．方程260x x +-=的实根用描述法表示为2{|60}x x x ∈+-=R ．【注意】①描述法给出了一个客观的标准，用{|}表示，竖线前面表示集合描述的是谁，竖线后面表示集合中描述的元素具有什么特点．如：{3000}x x 是山峰｜的高度在米以上；{|}x x 是人物角色是《红楼梦》中出现的人；{|}x x 是人是《西游记》中出现的人，老师讲到此处时，可以调节一下课堂气氛，问一下学生：孙悟空在这个集合中吗？不在，他不是人；猪八戒在吗？不在，他也不是人．李世民在吗？在；天篷元帅在吗？……{|3}x x ∈R ≥，说明集合描述的是实数x ，这个实数具有大于等于3的特点．若元素范围为R ，在不致发生误解时，x ∈R 也可以省略，直接写成{|3}x x ≥．但对于集合{|3}x x ∈Z ≥，则x ∈Z 一定不能省略．②除了数集外，还有一类集合是点集，集合中的元素是点，竖线前面的代表元素为()x y ，． 如：2{()|}x y y x x =∈R ，，，说明集合是点集，点()x y ，满足2y x =，故集合中的点在抛物线2y x =上，即此集合表示抛物线2y x =上所有的点．③描述法需要注意集合描述与字母选取无关，即{|2}x x >与{|2}y y >表示的是同一个集合．字母只是一个代号，是浮云，后面学到函数我们还会强调这一点．就相当于不管你怎么改名字，你还是你．<教师备案> 在教学用书中有这样的说明：有些集合可以直接写出元素名称，并用花括号括起来表示这类元素的全体，如用{}奇数表示所有的奇数组成的集合．当成是一种特殊的特征性质描7第1讲·目标班·教师版述法．遇到这种写法可以向学生作个说明，但不推荐使用．为了方便起见，在后面的教师备案中，对一些非数学的概念，我们有时会采用这样的一种写法，如用{我们班同学}表示我们班所有同学表示的集合．练习2：将下列用描述法表示的集合用列举法表示出来：①2{|10}A x x =∈-=R ；②2{|10}B x x =∈-=Z ；③2{|10}C x x =∈-=N ；④22{()|0}D x y x y =+=，；⑤{()|1E x y y x ==-，，且2}y x =．答案： ①{11}-，；②{11}-，；③{1}；④{(00)}，；⑤{(12)}--，．练习3：用通俗的语言（即自然语言）描述下面集合表示的含义：①{|21}x x k k ∈=-∈R Z ，；②{|2}x x k k ∈=∈R Z ，；③21()|y x x y y x ⎧⎫=+⎧⎪⎪⎨⎨⎬=⎪⎪⎩⎩⎭，． 答案：①由所有的奇数构成的集合；②由所有的偶数构成的集合；③直线与抛物线的交点．【例2】 请指出以下几个集合间的区别，有等价集合的写出其等价集合（即给出集合的另一种写法）．2{|1}A x y x =∈=+R ，2{|1}B y y x =∈=+R ，2{()|1}C x y y x ==+，． 【解析】 A ：描述的是实数x ，x 满足x ∈R ；A =R ；B ：描述的是实数y ，211y x =+≥，{|1}B y y =≥；C ：描述的是点()x y ，，表示抛物线21y x =+上所有的点．【例3】 ⑴已知集合{1234}A =，，，，集合{()|}M a b a A b A a b A =∈∈+∈，，，，用列举法表示 集合M =_________________．⑵已知集合2010|5M a a a *⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N N ，，集合20102010|55N a a a *⎧⎫=∈∈⎨⎬--⎩⎭N N ，，则用列举法表示集合M =________，集合N =_______________．⑶集合{}|2A x x k k ==∈Z ，，{}|21B x x k k ==+∈Z ，，{}|41C x x k k ==+∈Z ，， 又a A ∈，b B ∈，则有（ ）A ．a b A +∈B ．a b B +∈C ．a b C +∈D ．a b +不属于A ，B ，C 中任意1个【解析】 ⑴ {(12)(21)(13)(31)(11)(22)}M =，，，，，，，，，，，．⑵ {0234}M =，，，，{40267010052010}N =，，，； ⑶ B【备选】 集合{}222(,,)432,,,A x y z x y z xy y z x y z =+++=++∈R 中有（ ）个元素．A ．0B ．1C ．2D ．无数【解析】 B经典精讲8 第1讲·目标班·教师版列举法与描述法是我们最常用，也是最普遍的两种集合的表示方法．前者简单直观，一个对象是否在其中一目了然，但只能表示一些比较简单的集合．后者具有普遍的意义，有时解读起来并不容易，高考压轴题有些具有集合背景，首先就需要对一个由描述法给出的集合进行解读，我们会在秋季时再看．除了这两种表示方法之后，还有两种集合的特殊的表示方法，一种是在后面讲的集合的相互关系中常常遇到，称为图示法，也叫维恩图．还有一种方法—区间表示法可以表示一类特殊的连续数集．考点3：集合的表示法——图示法与区间表示法⑶ 图示法：用平面内的一个封闭曲线的内部表示一个集合，这个区域通常叫做维恩（Venn ）图．图示法常用在表示集合的相互关系与运算中．见板块1.2与板块1.3．⑷ 区间表示法：设a b ∈R ，，且a b <，定义 名称 符号 数轴表示{|}x a x b ≤≤ 闭区间 []a b ， x ba{|}x a x b << 开区间 ()a b ， a b x {|}x a x b <≤ 左闭右开区间 [)a b ， ab x{|}x a x b <≤ 左开右闭区间(]a b ， a b x {|}x x a ≥ 一类特殊的区间[)a +∞， ax{|}x x a ≤(]a -∞，ax{|}x x a > ()a +∞， ax{|}x x a <()a -∞，ax实数集R 也可以用()-∞+∞，表示．练习4：将下面的集合表示成区间：⑴{|12}x x -<≤；⑵{|240}x x ->；⑵{|420}x x -≥．答案：⑴(12]-，；⑵(2)+∞，；⑶(2]-∞，．<教师备案> 区间是集合的一种表示方法，[12]，就表示一个集合，不需要用[12]x ∈，表示一个集合．引入区间表示法后能进一步看出描述法中的字母只是一个符号，没有本质的意义． 如：2{|1}y y x x =+∈R ，用区间表示即为[1)+∞，，与y 无关．知识点睛9第1讲·目标班·教师版在直角坐标系下，记号()23，可以用来表示区间，也可以用来表示一个点，可以根据情况区分．【例4】 把下列集合表示成区间⑴{|1}x x ≤；⑵2{|2}y y x x =-+；⑶2{|22111}y y x x x =++-<<，． 【解析】 ⑴[11]-，．⑵(1]-∞，；⑶152⎡⎫⎪⎢⎣⎭，．**************************************************************************************** 这里补充一个初高衔接的内容：配方法（学生版不出现，课件出现，以后同）配方法是针对二次函数或者换元后是二次函数的函数求取值范围或最大最小值常用的一种方法，是高中需要熟练掌握的一种方法．【例题】求出下列函数的最大值、最小值和对应的x 值．⑴2241y x x =+-；⑵2261y x x =-++；⑶2241y x x =+-，22x -≤≤；⑷2261y x x =-++，12x -≤≤．【解析】 ⑴最小值为3-，1x =-；无最大值；⑵最大值为112，此时32x =；无最小值；⑶当1x =-时，有最小值为3-；当2x =时，有最大值15；⑷当32x =，有最大值112；当1x =-时，有最小值7-．【练习】求下列函数的最值：⑴221y x x =++，11x -≤≤；⑵227y x x =---，2x -≤≤1．【解析】 ⑴最小值为78，最大值为4；⑵最大值为6-，最小值为10-．****************************************************************************************集合的关系引入我们研究问题的轨迹通常是从特殊到一般，从单个到多个．前面研究的都是单个集合，下面要研究的是集合间的关系．首先，并不是所有的集合之间都有关系，如{123}，，这个集合与{花果山的猴子}之间可能就没什么关系；实数集R 与{市场上所有卖的鸡蛋}之间可能也没什么关系．但有些集合间是有各种各样稀奇古怪的关系的．如{我们班的同学}与{我们班的女同学}就感觉有关系，下面我们就研究一下这些有关系的集合之间的关系：1.2集合的关系10 第1讲·目标班·教师版考点4：子集、真子集与集合相等1．子集：对于两个集合A B ，，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作 “A 包含于B ”（或“B 包含A ”）．规定：∅是任意集合的子集．如果集合A 中存在着不是集合B 中的元素，那么集合A 不包含于B ，记作A B Ú或B A Û．<教师备案> 从一个大的群体中选出一个部分，这个部分就是群体的一个子集．如：A ={我们班同学}，B ={我们班男同学}，C ={我们班所有戴眼镜的同学}，D ={我们班所有有头发的同学}．则B ，C ，D 都是A 的一个子集．又{猴子}是{动物}的一个子集；{小孩子}是{人}的一个子集……⊆与∈的区别：（调侃：一个横杠在里面，一个横杠在外面）⊆表示的是集合与集合的关系，左右两边都是集合；∈表示的是元素与集合的关系．子集数学上的严格的定义是：对任意的x A ∈，都有x B ∈，则称A 是B 的子集． 意味着，从A 里随便拽一个出来，都在B 里．如{12}{1234}⊆，，，，，⊆⊆⊆N Z Q R ． 可以让学生写出{123}，，的所有子集．其中{123}，，是不是子集可以重点讲解：由子集的定义：集合{123}，，中的任意一个元素都在集合{123}，，中，所以A A ⊆．再强调一下空集是任意集合的子集，写子集先写空集，即A ∅⊆．真子集引入子集分为两类，一类是“相等”关系的子集，另一类是把“相等”关系的子集去掉的子集，称为真子集．可以用韦恩图表示如下．A B Ü：A/BBAA B =：A/B在刚刚的例子中，真子集有7个，就是指一个集合的所有子集中，去掉和它相等的那个．2．真子集：如果集合A B ⊆，且存在元素x B ∈，但x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A ÜB （或B ÝA ），读作A 真包含于B （B 真包含A ）． 规定：∅是任意非空集合的真子集．<教师备案> 可以让学生写出{123}，，的所有真子集、非空真子集．它们分别比所有子集少一个、两个集合．而对于一般的子集个数的问题，我们放到同步再讲．注意：高中数学真子集统一用符号Ü表示，在立体几何中的线面关系中，因为线在面内时，线一定是面的真子集，那时会用一个新的符号⊂表示，在集合的章节里，没有这样的记号．但有时可能会在有些资料中遇到用⊂表示真子集的情况．知识点睛练习5：下列四个命题中正确的有_______．①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集；③空集的元素个数为零； ④任何一个集合必有两个或两个以上的子集．答案：③．3．集合相等：如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊆），此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，我们说集合A 与集合B 相等，记作A =B ．<教师备案> 集合相等的定义在理论性证明时比较有用，如对于两个比较抽象的集合，证明两个集合相等，一般都是通过证明一个集合中的任何一个元素都是另一个集合中的元素得到的．这类问题与已知集合相等求参数的问题我们留到在同步时再讲．【例5】 ⑴ 下面关系式中，正确的是_______．①0{}∈∅；②{}∅∅Ü；③{0}∅Ü；④{}a a ⊆；⑤{}{}a a Ü；⑥{}a ∅∈．⑵用=≠，，，茌填空：①{1}______2{|320}x x x -+=；②{12}，______2{|320}x x x -+= ③∅______2{|20}x x ∈+=R ；④{|32}x x +>______{|10}y y ->；⑤2{()|1}x y y x =+，_____2{|1}y y x =+；⑥2{|1}x y x =+_____2{|1}y y x =+； ⑦{(2,3)}______{(3,2)}；⑧{23}，______{(23)}，．【解析】 ⑴②③；<教师备案> 空集的含义：把集合想象成一个大的塑料袋，空集就是这个塑料袋中什么都没有．但{}∅不再是空集，因为这个塑料袋中还放着一个塑料袋呢．在这个集合中，∅是一个元素，但同时∅也可以作为一个集合，所以{}∅∈∅与{}∅∅Ü都正确．所以∅与{}∅的关系有很多种不同的说法，理解即可，不必太纠结．⑵①Ü；②=；③=；④Ý；⑤≠；⑥Ý；⑦≠；⑧≠．【备注】一般来说，我们只研究有关系的两个集合之间的关系，而数集与点集是两种不同类型的集合，它们之间一般没有关系，但在概念初学阶段，我们有时会出现这类的题帮助学生更好地理解它们之间的区别．【例6】 ⑴若{}|41X x x n n ==+∈Z ，，{}|43Y y y n n ==-∈Z ，，{}|81L z z n n ==+∈Z ，， 则X ，Y ，L 的关系是（ ）A ．X Y L 葺B ．X Y L 苘C ．X Y L =ÝD ．X Y L == ⑵若{|41}X x x n n ==+∈Z ，，{|21}Y x x n n ==+∈Z ，，{|41}L x x n n ==±∈Z ，，则X Y L ，，的关系是（ ）A ．X Y L 苘B ．X Y L =ÜC ．Y X L 苘D ．X L Y 苘【解析】 ⑴ C ；经典精讲⑵B ．集合的运算引入什么叫运算？在座的诸位，从小学一年级算起，直到现在，学了九年的数学．若再加上幼儿园，可能时间会更长些，有没有同学一生下来就会数学的？一生下来，你张口不是“哇”，而是“一”，有这样的吗？ 我们在这么长的学习中，其实很多次都接触到运算，那么我们都学习过哪些运算？+-⨯÷，，，，这叫四则运算；对a 求：n n a a ，，a ，1a，a -，也都是运算．到底什么叫运算呢？运算最广义的定义是：如果有一个对象或几个对象，你对它/它们进行相应的操作，得到一个新的对象，这个过程就可以理解为运算．对于今天集合间的运算，我们来学习三种：交运算、并运算、补运算．集合通过这些运算，最终得到一个新的集合，注意运算后的结果仍然是一个集合．考点5：交集、并集与补集交集的引入直观上，现在你有两个集合，这两个集合的公共部分就是一个新的集合，这就是交运算． 例：{我们班所有男生}和{我们班所有戴眼镜的同学}，它们的公共部分就是{我们班所有戴眼镜的男生}，这是一个新的集合，这个过程就是交的运算过程．而{我们班所有的男生}和{我们班所有的女生}，它们的公共部分没有任何元素，就是空集．A 与B 的交集用A B I 表示．给一些数学上的例子：例：⑴{123}{234}A B ==，，，，，，则{23}A B =I ，；⑵A B ==Z N ，，则A B =N I ；⑶{|2}A x x k k ==∈Z ，，{|21}B x x k k ==+∈Z ，，则A B =∅I ； 交集的严格数学定义即：{}|A B x x A x B =∈∈I 且．我们可以注意到A A A A =∅=∅I I ，，若A B ⊆，则A B A =I ．1．交集：对于两个给定的集合A 、B ，属于A 又属于B 的所有元素构成的集合叫做A 、B 的交集，记作“A B I ”．知识点睛1.3集合的运算集合A B I 用符号语言表示为：{}|A B x x A x B =∈∈I 且，用维恩（Venn ）图表示为：A B =∅I A B B =I A B I 为其公共部分并集的引入直观上，现在你有两个集合，你把两个集合中的元素放到一块，就得到一个新的集合． 例：{我们班所有男生}和{我们班所有女生}两个集合放一块，就是{我们班所有同学}，这个过程就叫做并的运算过程．A 与B 的并集用A B U 表示．可以给一些数学上的小例子：例：⑴{123}{456}A B ==，，，，，，则{123456}A B =U ，，，，，；⑵{|2}A x x k k ==∈Z ，表示所有偶数，{|21}B x x k k ==+∈Z ，表示所有奇数，则A B =Z U 为所有整数；⑶{|41}A x x k k ==+∈Z ，，{|43}B x x k k ==+∈Z ，，则A B =U {|21}x x k k =+∈Z ，．在并的运算过程中，注意元素相同的只需要考虑一个就行，不能重复出现，这是由集合中元素的互异性决定的．例{123}{234}A B ==，，，，，时，{1234}A B =U ，，，；A B ==Z N ，，则A B =Z U ； 我们可以注意到A A A A A =∅=U U ，，若A B ⊆，则A B B =U ．有了并的运算后，很多写法就非常简单了，如2320x x -+>的解集可以写成{|1x x <或2}x >，可以用区间与并集符号写成(1)(2)-∞+∞U ，，．2．并集：对于两个给定的集合A 、B ，由两个集合所有元素构成的集合叫做A 与B 的并集，记作“A B U ”．集合A B U 用符号语言表示为{}|A B x x A x B =∈∈U 或;用维恩（Venn ）图表示如下： 或或补集的引入一般情况下，把我们所描述对象的所有全体当作一个对象，这个对象就是全集．把在全集U 中不属于A 的那些元素构成的集合，叫到A 在U 中的补集，直观上，就是从U 中把A 挖掉剩下的部分．如：U ={我们班同学}，A ={我们班男生}，A 的补集就是{我们班女生}；U ={我们班人}，A ={我们班同学}，A 的补集就是{老师}．A 在U 中的补集记为U A ð．例：{12345}U =，，，，，{123}A =，，，则{45}U A =，ð； BAZ N ð就是所有的负整数；R Q ð就是所有的无理数； {|21}A x x k k ==+∈Z ，，则{|2}A x x k k ==∈Z Z ，ð； [55]A =-，，[01]B =，，[50)(15]A B =-U ，，ð．3．补集：①全集：如果所研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，常用U 表示． ②补集：如果给定集合A 是全集U 的一个子集，由U 中不属于A 的所有元素构成的集合，叫做A 在U 中的补集，记作“U A ð”．读作“A 在U 中的补集”．A 在U 中的补集的数学表达式是{}|U A x x U x A =∈∉，且ð． 用维恩（Venn ）图表示：【例题】用集合的运算表示下面阴影部分的集合．⑴UBA ⑵A BU⑶A BU【解析】 ⑴()U A B U ð或U UA B I痧；⑵()U A B I ð； ⑶()()U UA B B A I U I痧．也可以用()A B A B U I ð表示．读图可以：公共部分——交集；去掉谁——取谁的补集． 这样可以轻松得到更多集合的交集．如：CAB U可以表示成U A B C I I ð．【例7】 ⑴（2008年北京理科卷1）已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合U A B I ð等于（ ）A ．}{|24x x -≤≤B ．{}|34x x x 或≤≥C ．{}|21x x -<-≤D ．{}|13x x -≤≤⑵（2009年北京文科卷1）设集合{}21|2|12A x x B x x ⎧⎫=-<<=⎨⎬⎩⎭，≤，则A B =U （ ）A ．{}|12x x -<≤B ．1|12x x ⎧⎫-<⎨⎬⎩⎭≤C ．{}|2x x <D ．{}|12x x <≤⑶（2010北京理1）集合{}{}2|03|9P x x M x x =∈<,=∈Z R ≤≤，则P M =I （ ）A ．{}12,B ．{}012,,C ．{}|03x x <≤D ．{}|03x x ≤≤经典精讲。
高中数学专题函数方程教案
高中数学专题函数方程教案
一、教学目标
1. 了解函数方程的定义和基本概念；
2. 掌握函数方程的解法和计算方法；
3. 提高学生对函数方程的理解和运用能力。
二、教学重点和难点
重点：函数方程的定义和基本概念；
难点：解决函数方程的方法及计算过程。
三、教学准备
1. 教材：高中数学教材；
2. 工具：黑板、彩色粉笔、教学PPT等。
四、教学过程
1. 引入：通过几个实际问题引导学生认识函数方程的概念，引出本节课的主题；
2. 学习：结合具体例题，介绍函数方程的定义和基本性质，讲解解决函数方程的常见方法；
3. 练习：组织学生进行练习，巩固所学知识，培养学生的解题能力；
4. 拓展：引导学生应用函数方程解决更复杂的问题；
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点，梳理知识结构，加深学生印象。
五、课后作业
1. 完成课后习题，巩固所学知识；
2. 总结本节课的重点内容，准备下节课的学习。
六、教学反思
教师根据学生学习情况和反馈，及时调整教学方法和内容，确保教学效果。
2021年高考数学一轮复习 函数 第9课时 函数与方程教学案
2021年高考数学一轮复习函数第9课时函数与方程教学案一元二次函数与一元二次方程（以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点．我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标．2．函数与方程两个函数与图象交点的横坐标就是方程的解；反之，要求方程的解，也只要求函数与图象交点的横坐标．3．二分法求方程的近似解二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间，则必有，再取区间的中点，再判断的正负号，若，则根在区间中；若，则根在中；若，则即为方程的根．按照以上方法重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同（且都符合精确度要求），即可得一个近似值．例1.（1）若，则方程的根是( )A．B．－C．2 D．－2解：A．（2）设函数对都满足,且方程恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为（）A ．0B ．9C ．12D ．18解：由知的图象有对称轴，方程的6个根在 轴上对应的点关于直线对称，依次设为1231233,3,3,3,3,3t t t t t t ---+++，故6个根的和为18，答案为D ．（3）已知，（、、∈R ），则有（ ）A ．B ．C ．D ．解法一：：依题设有∴是实系数一元二次方程的一个实根；∴△＝≥0 ∴，答案为B ．解法二：去分母，移项，两边平方得：＋＝20．∴，答案为B ．（4）关于的方程 22(28)160x m x m --+-=的两个实根 、 满足 ，则实数m 的取值范围解：设22()(28)16f x x m x m =--+-，则239()3(4)160216f m m =--+-<， 即：，解得：．（5）若对于任意，函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值恒大于零, 则的取值范围是 解：设2()(2)44g a x a x x =-+-+，显然，则22(1)2440(1)2440g x x x g x x x ⎧-=-+-+>⎪⎨=-+-+>⎪⎩，即，解得：． 变式训练1： 当时，函数的值有正值也有负值，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．解：D例2.设依次是方程,，的实数根，试比较的大小 ．解：在同一坐标内作出函数，，的图象从图中可以看出，又，故变式训练2：已知函数满足，且∈[－1,1]时，，则与的图象交点的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解：由知故是周期为2的函数，在同一坐标系中作出与的图象，可以看出，交点个数为4．例3. 已知二次函数为常数，且 满足条件：，且方程有等根.（1）求的解析式；（2）是否存在实数、，使定义域和值域分别为［m ，n ］和［4m ，4n ］，如果存在，求出m 、n 的值；如果不存在，说明理由.解：（1）∵方程有等根，∴，得b=2 ．由知此函数图象的对称轴方程为，得，故 ．（2），∴4n1，即而抛物线的对称轴为 ∴时，在［m ，n ］上为增函数.若满足题设条件的m ，n 存在，则，⎩⎨⎧-==-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-2020424222n n m m nn n m m m 或或即又， ∴，这时定义域为［–2，0］，值域为［–8，0］.由以上知满足条件的m 、n 存在， ．变式训练3：已知函数 (.（1）求证：在(0,+∞)上是增函数；（2）若在(0,+∞)上恒成立，求的取值范围；（3）若在［m ，n ］上的值域是［m ，n ］(m ≠n)，求的取值范围. 解：（1）证明 任取1212122112111111()()()()x x f x f x a x a x x x x x --=---=-= ∵，∴，，∴，即，故在(0,+∞)上是增函数.（2）解： ∵在(0,+∞)上恒成立，且a ＞0,∴ 在（0，+∞）上恒成立， 令421221121)(=⋅≤+=x x x x x g ，当且仅当即x=时取等号要使在(0,+∞)上恒成立，则故的取值范围是［,+∞)．（3）解： 由（1）在定义域上是增函数.∴，即，故方程有两个不相等的正根m ，n ，注意到，故只需要(,由于，则 ．例4．若函数的图象与轴有交点，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．解：令，得：，∵ ，∴ ，即．变式训练4：对于函数，若存在∈R,使成立，则称为的不动点. 已知函数2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠（1）当时，求的不动点；（2）若对任意实数b ，函数恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围； 解：（1）当时，由题意可知，得故当当时，的不动点 ．（2）∵2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠恒有两个不动点，∴，即恒有两相异实根∴2440()b ab a b R ∆=-+>∈恒成立.于是解得故当b ∈R ，恒有两个相异的不动点时，.本节主要注意以下几个问题：1．利用函数的图象求方程的解的个数；2．一元二次方程的根的分布；3．利用函数的最值解决不等式恒成立问题。
函数与方程教案
函数与方程教案一、引言函数与方程是高中数学中的重要内容，它们是解决数学问题的基本工具。
在教学中，如何生动有效地向学生介绍函数与方程的概念，引导学生理解和掌握相关的知识和技能，是每位教师都需要思考和解决的问题。
本教案旨在通过设计合理的教学活动，帮助学生全面理解函数与方程的概念，提高他们解决实际问题的能力。
二、教学目标1. 知识目标- 掌握函数与方程的基本概念和相关术语。
- 了解函数与方程在数学和实际生活中的应用。
- 理解函数与方程之间的关系。
2. 能力目标- 能够识别并解释函数与方程的特征。
- 能够应用函数与方程解决实际问题。
- 能够运用函数与方程的知识进行分析和推理。
三、教学重点和难点1. 教学重点- 函数与方程的概念和特征。
- 函数与方程的应用。
2. 教学难点- 帮助学生理解函数与方程之间的关系。
- 引导学生解决实际问题时能够正确运用函数与方程的知识。
四、教学准备1. 教师准备- 准备教学课件和教具。
- 复习函数与方程的相关知识。
2. 学生准备- 准备教学所需的教材和笔记。
- 复习与函数与方程相关的知识。
五、教学过程本教案将采用探究式教学的方法，让学生通过实际操作和思考，主动发现函数与方程的规律和应用。
具体教学过程如下：1. 概念引入- 利用实例引导学生思考：什么是函数？什么是方程？它们有什么区别和联系？- 定义函数与方程的概念，并让学生进行归纳整理。
2. 特征分析- 设计一组数据，让学生观察并分析其中的规律。
- 引导学生发现函数和方程的特征，如自变量、因变量、线性函数、非线性函数等。
3. 应用探究- 提供一些实际问题，让学生运用函数与方程的知识解决。
- 引导学生分析问题的关键词，确定函数与方程的表达式，并进行计算。
4. 总结归纳- 引导学生总结函数与方程的定义、特征和应用。
- 提供一些练习题，巩固学生对函数与方程的理解。
六、教学评价1. 自我评价- 教师观察学生的参与程度和思维能力。
- 教师记录学生在课堂上的表现和反馈，并做好评价记录。
高中数学一年级教案：函数与方程
高中数学一年级教案：函数与方程函数与方程一、引言数学是一门重要的学科，它在不同阶段有着不同的内容和要求。
高中数学作为数学学科的一个重要阶段，在培养学生数学思维能力和解决实际问题的能力方面起着关键性的作用。
本教案将重点介绍高中数学一年级关于函数与方程的教学内容及方法。
二、函数1. 函数定义与表达式（1）函数概念：函数是一个对应关系，将自变量映射到唯一的因变量上。
（2）函数符号：y = f(x)，其中x为自变量，y为因变量。
（3）解析式表示：常见的解析式表示有多项式、指数、对数等形式。
2. 函数图象（1）坐标系：建立笛卡尔坐标系来描述函数图象。
（2）坐标系原点到曲线距离：垂直距离称为纵坐标或函数值，水平距离称为横坐标或自变量。
（3）基本图象：线性函数、二次函数等基本图象。
三、方程1. 方程定义与类型（1）方程概念：含有未知数的等式称为方程，通过求解来确定未知数的值。
（2）一元方程：只含有一个未知数的方程。
（3）二元方程：含有两个未知数的方程。
2. 解方程的方法（1）常系数一次方程求解：通过分步骤将常系数一次方程转化并用逆运算求解。
（2）二次方程求解：通过配方法、公式法或图象法来求解二次方程。
（3）绝对值方程求解：根据绝对值的性质，将绝对值移项并分类讨论。
（4）分式方程求解：通过等价变形和通分来将分式方程转换为整式的形式进行求解。
四、教学实施1. 教学目标本课教育主要培养学生的函数与方程的基本概念，建立起正确的思想方式，掌握分析和应用函数与解决相关问题的能力，同时提升学生在推理判断、问题解决中使用数学知识与技巧的能力。
具体目标包括：- 了解函数定义与表达方式；- 理解函数图象及其特点；- 理解方程概念及不同类型；- 掌握一些简单函数和一元常系数一次方程组、二次三种类型；各种类型教材所作相关题完全胜任。
2. 教学方法（1）启发式教学法：通过提出问题、引导学生发现规律并进行讨论分析，激发学生的兴趣与思考能力。
高中数学 第三章《第9课时 函数与方程》导学案 苏教版必修1-苏教版高一必修1数学学案
第9课时函数与方程1.了解方程的根与函数零点的概念,会利用零点的概念解决简单的问题.2.理解零点存在性定理,会利用零点存在性定理判断零点的存在性或者零点所在的范围.一个小朋友画了两幅图:问题1:上面的两幅图哪一个能说明此小朋友一定曾经渡过河?显然,图1说明了此小朋友曾经渡过河,但对于图2,则无法判断,用数学的角度来看,如果把小朋友运动的轨迹当作函数图象,小河看作x轴,那么问题即转化为函数图象与x轴是否存在交点.问题2:(1)什么是函数的零点,零点是点吗?(2)二次函数的零点个数如何判断?(1)对于函数y=f(x),我们把使的实数x叫作函数y=f(x)的零点.由定义可知零点是一个实数不是点.(2)在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,当时,有两个零点;当Δ=0时,有零点;当时,没有零点.问题3:函数y=f(x)的零点,方程f(x)=0的根,函数y=f(x)与x轴交点的横坐标,这三者有什么关系?函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标. 事实上,方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.问题4:(1)零点存在性定理的内容是什么?(2)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上满足零点存在性定理的条件,即存在零点,那么在(a,b)上到底有几个零点呢?(3)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且在区间(a,b)内有零点,那么你认为f(a)·f(b)与0的关系是怎样的?请举例说明.(1)零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.(2)至少有一个.(3)如图所示,可以小于0,可以等于0,也可以大于0.1.函数y=x2-2x-3的零点是.2.若函数f(x)=x2+2x+a没有零点,则实数a的取值范围是.3.观察下面函数y=f(x)的图象,作答:在区间[a,b]上(填“有”或“无”)零点;f(a)·f(b)0(填“<”或“>”).在区间[b,c]上(填“有”或“无”)零点;f(b)·f(c)0(填“<”或“>”).在区间[c,d]上(填“有”或“无”)零点;f(c)·f(d)0(填“<”或“>”).4.已知函数f(x)=2x-x2,问方程f(x)=0在区间[-1,0]内是否有解,为什么?利用零点的概念求零点判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出.(1)f(x)=;(2)f(x)=x2+2x+4;(3)f(x)=2x-3;(4)f(x)=1-log3x.零点个数的判断判断函数f(x)=ln x+x2-3的零点的个数.零点所在区间的判断函数f(x)=lg x-的零点所在的大致区间是.①(6,7);②(7,8);③(8,9);④(9,10).下列函数中存在两个零点的是.①f(x)=2x-2;②f(x)=lg(x2-2);③f(x)=x2-2x+1;④f(x)=ex-1-2.判断函数f(x)=x2-的零点的个数.方程2x+x=0在下列哪个区间内有实数根.①(-2,-1);②(0,1);③(1,2);④(-1,0).1.下列图象表示的函数中没有零点的是.2.已知函数f(x)的图象是连续不断的,有如下的x、f(x)对应值表:x 1 2 3 4 5 6f(x) 123.56 21.45 -7.82 11.57 -53.76 -126.49函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有个.3.函数f(x)为偶函数,其图象与x轴有四个交点,则该函数的所有零点之和为.4.已知函数f(x)=x3-2x2-5x+6的一个零点为1.求函数f(x)的其他零点.(2013年·重庆卷)若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间().A.(a,b)和(b,c)内B.(-∞,a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+∞)内D.(-∞,a)和(c,+∞)内考题变式(我来改编):第9课时函数与方程知识体系梳理问题2:(1)f(x)=0(2)Δ>0一个Δ<0问题4:(1)f(a)·f(b)<0基础学习交流1.-1和3由x2-2x-3=0得x=-1或x=3.2.(1,+∞)函数f(x)=x2+2x+a没有零点,即方程x2+2x+a=0没有实数根,所以Δ=4-4a<0,得a>1.3.有<有<有<根据“如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根”,即可填写.4.解:因为f(-1)=2-1-(-1)2=-<0,f(0)=20-02=1>0,而函数f(x)=2x-x2在[-1,0]上的图象是一条连续曲线,所以f(x)在区间[-1,0]内有零点,即方程f(x)=0在区间[-1,0]内有解.重点难点探究探究一:【解析】(1)令=0,解得x=-3,所以函数f(x)=的零点是-3.(2)令x2+2x+4=0,因为Δ=22-4×1×4=-12<0,所以方程x2+2x+4=0无实数根,所以函数f(x)=x2+2x+4不存在零点.(3)令2x-3=0,解得x=log23,所以函数f(x)=2x-3的零点是log23.(4)令1-log3x=0,解得x=3,所以函数f(x)=1-log3x的零点是3.【小结】求函数f(x)的零点时,通常转化为解方程f(x)=0,若方程f(x)=0有实数根,则函数f(x)存在零点,该方程的根就是函数f(x)的零点;否则,函数f(x)不存在零点.探究二:【解析】(法一)函数对应的方程为ln x+x2-3=0,即为函数y=ln x与y=3-x2的图象交点个数.在同一坐标系下,作出两函数的图象.如图,两函数图象有一个交点.从而ln x+x2-3=0有一个根,即函数y=ln x+x2-3有一个零点.(法二)∵f(1)=ln 1+12-3=-2<0,f(2)=ln 2+22-3=ln 2+1>0,∴f(1)·f(2)<0,又f(x)=ln x+x2-3在(1,2)上是不间断的,∴f(x)在(1,2)上必有零点,又f(x)在(0,+∞)上是递增的,∴零点只有一个.【小结】判断函数零点个数的主要方法:(1)利用方程根,转化为解方程,有几个根就有几个零点;(2)画出函数y=f(x)的图象,判定它与x轴的交点个数,从而判定零点的个数;(3)结合单调性,利用f(a)·f(b)<0,可判定y=f(x)在(a,b)上零点的个数;(4)转化成两个函数图象的交点问题.探究三:【解析】易知f(x)在(0,+∞)上是递增的.∵f(6)=lg 6-=lg 6-<0,f(7)=lg 7-<0,f(8)=lg 8-<0,f(9)=lg 9-1<0,f(10)=lg 10->0,∴f(9)·f(10)<0,∴f(x)=lg x-的零点所在的大致区间为(9,10).【答案】④【小结】判断函数零点所在区间的三个步骤:(1)代:将区间端点代入函数求出函数的值.(2)判:把所得函数值相乘,并进行符号判断.(3)结:若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则在该区间内无零点,若符号为负且函数连续,则在该区间内至少有一个零点.思维拓展应用应用一:②①中零点为1;②中零点为±;③中零点为1;④中零点为1+ln 2,故选②.应用二:(法一)由x2-=0,得x2=.令h(x)=x2(x≠0),g(x)=,在同一坐标系中画出h(x)和g(x)的图象,由图可知两函数图象只有一个交点.故函数f(x)=x2-只有一个零点.(法二)当x<0时,f(x)>0恒成立,当x>0时,f(x)是递增的且不间断,又f(1)=1-1=0,故f(x)只有一个零点.应用三:④令f(x)=2x+x,∵f(-1)·f(0)=(-)×1<0,∴f(x)=2x+x的零点在区间(-1,0)内,故2x+x=0在区间(-1,0)内有实数根.基础智能检测1.①观察图象可知①中图象表示的函数没有零点.2.3∵f(2)·f(3)<0,∴f(x)在[2,3]上至少有1个零点,同理f(x)在[3,4]、[4,5]上都存在至少1个零点,∴f(x)在[1,6]上的零点至少有3个.3.0因为f(x)为偶函数,所以其零点互为相反数,故四个零点之和为0.4.解:由题意,设f(x)=(x-1)(x2+mx+n)=x3+(m-1)x2+(n-m)x-n,则解得令f(x)=0,即(x-1)(x2-x-6)=0⇒(x-1)(x-3)(x+2)=0,解得x=-2,1,3.∴函数f(x)的其他零点是-2,3.全新视角拓展A因为f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,所以f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0,所以函数的两个零点分别在(a,b)和(b,c)内.思维导图构建实数x x轴有零点f(a)·f(b)<0。
高一数学教案函数与方程.doc
2.4函数与方程
教学目标：理解零点的意义，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系；会用二分发求函数零点的近似值.
教学重点：函数零点的概念击求法；利用零点做函数的草图；会用二分发求函数零点的近似值.
教学过程：
1、复习一元二次方程的解法，根的判别式；二次函数的图像和性质
2、通过实例引入零点的概念：
如果函数)(x f y =在实数α处的值为0，即0)(=αf ，则α叫作这个函数的零点.
3、提出以下问题
（1） 如何求函数的零点？
（2） 函数零点与函数图像的关系?
（3） 讨论函数的零点、方程的根、不等式的解集之间的关系？
4、二次函数零点的判定同根的判定
5、图像连续的函数的零点的性质
（1） 函数的图像是连续的，当它通过零点时（非偶次零点），函数值变号. 推论：函数在区间],[b a 上的图像是连续的，且0)()(<b f a f ，那么函数)(x f 在区间],[b a 上至少有一个零点.
（2） 相邻两个零点之间的函数值保持同号
6、应用
（1）利用函数的零点研究函数的性质作函数的简图
例1、 求函数2223+--=x x x y 的零点，并画出函数的简图.
7、通过实力讲解二分法的方法
例2、 求函数22)(23--+=x x x x f 的一个为正数的零点（误差不超过0.1） 力求讲清：程序：详见教材第78页，
练习：用二分法求函数22-=x y 的零点
课堂练习：第77页练习B,第80页练习B
小结：本节学习了函数零点的定义及求法，应掌握二分法的方法，利用函数的零点做函数的简图。
课后作业：(略)。
初升高数学暑假衔接(人教版)第09讲 函数的概念及其表示(学生版)
定义
名称
符号
数轴表示
x a x b
闭区间
[a, b]
x a x b
开区间
(a, b)
x a x b 半开半闭区间 [a, b)
x a x b 半开半闭区间 (a, b]
2、实数集 R
可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，
“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．
1、定义：在函数定义域内，对于自变量 x 的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2、性质：分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；
各段函数的定义域的交集是空集．
3、分段函数图象的画法 （1）作分段函数图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象， 再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏；
（2）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段 函数，然后作出函数的图象。
六、函数解析式的求法
1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法． （1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
一、函数的定义及概念概念 1、函数的定义：设 A，B 是非空的实数集，如果对于集合 A 中的任意一个数 x，按照某种确定的对应关系 f， 在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数， 记作：y＝f(x)，x∈A 【注意】函数的本质含义：定义域内的任意一个 x 值，必须有且仅有唯一的 y 值与之对应。
北师大版高一数学必修一《函数与方程》说课稿
北师大版高一数学必修一《函数与方程》说课稿一、前言大家好，我是XX，今天我将为大家说课北师大版高一数学必修一《函数与方程》这一单元。
本单元是高一数学必修课程中的重要内容，它是高中数学学习的基础，具有重要的理论和实践意义。
二、教材分析1. 教材总览本单元内容主要包括函数的概念与性质、函数的图像、一次函数与二次函数、函数的应用等内容。
通过本单元的学习，学生将具备较完整的函数理论基础，能够运用函数的性质和应用工具解决实际问题。
2. 教学目标本单元的教学目标主要有以下几点： - 了解函数的概念和性质，具备分析函数的能力； - 掌握一次函数和二次函数的基本概念、性质和图像； - 能够利用函数解决实际问题。
3. 教学重点和难点本单元的教学重点主要包括： - 函数的概念和性质； - 一次函数和二次函数的基本概念和性质； - 函数的应用。
教学难点主要包括： - 函数的性质的理解和应用； - 二次函数的图像和性质的分析。
三、教学过程1. 函数的概念与性质本节主要介绍函数的概念和性质。
函数是数学中一个重要的概念，通过这个概念，我们能够建立输入与输出之间的关系，帮助我们解决实际问题。
在教学过程中，我会通过一系列具体的例子和练习，引导学生理解函数的概念和性质。
2. 函数的图像本节主要介绍函数的图像。
函数的图像是函数概念的重要展示形式，通过图像我们可以更加直观地了解函数的性质和特点。
在教学过程中，我会引导学生绘制一些常见函数的图像，并进行分析和讨论。
3. 一次函数与二次函数本节主要介绍一次函数和二次函数的基本概念和性质。
一次函数和二次函数是函数中比较常见的两种类型，它们具有特定的图像和运算性质。
在教学过程中，我会通过具体的例子和练习，帮助学生理解并运用一次函数和二次函数。
4. 函数的应用本节主要介绍函数在实际问题中的应用。
函数在各个领域都有着广泛的应用，如经济学、物理学、生物学等。
在教学过程中，我会引导学生将函数应用于实际问题的解决过程，并培养学生的问题分析和解决能力。
高中一年级数学教案函数与方程
高中一年级数学教案函数与方程高中一年级数学教案：函数与方程教学目标：1. 理解函数与方程的基本概念；2. 能够分析、绘制函数图像；3. 掌握一次函数、二次函数和一元一次方程的解法；4. 能够在实际问题中应用函数与方程。
教学准备：1. 教师准备：教材、课件、黑板、白板、粉笔或者彩色笔；2. 学生准备：课本、笔记本。
教学过程：一、导入（5分钟）通过提问的方式，帮助学生回顾数学函数与方程的基础知识，引起学生的兴趣。
二、函数的定义与性质（15分钟）1. 讲解函数的概念：自变量、函数关系、因变量；2. 引导学生举例子，加深对函数的理解：例如，身高与年龄的关系、体重与身高的关系等；3. 分析函数的单调性、奇偶性等性质。
三、函数的图像（30分钟）1. 函数图像的概念：自变量与函数关系的可视化表达；2. 通过例题，帮助学生学会绘制一次函数、二次函数的图像；3. 引导学生观察函数图像的特点，如开口方向、对称轴等。
四、一次函数（30分钟）1. 一次函数的定义：y = kx + b；2. 通过实例，讲解一次函数的斜率和截距的意义；3. 引导学生学会解一次函数的交点问题，即求解一元一次方程。
五、二次函数（30分钟）1. 二次函数的定义：y = ax^2 + bx + c；2. 通过实例，帮助学生理解二次函数的图像特点，如开口方向、顶点坐标等；3. 讲解二次函数的变形，包括平移、伸缩等操作。
六、一元一次方程（30分钟）1. 一元一次方程的定义与性质；2. 通过实例，引导学生学会解一元一次方程的基本步骤；3. 教授应用题，让学生在实际问题中运用一元一次方程。
七、课堂巩固（10分钟）布置一些练习题，以检验学生对函数与方程的掌握情况。
八、课后作业（5分钟）布置相应的作业，要求学生练习函数图像的绘制和一元一次方程的解题。
教学反思：本节课主要以函数与方程为内容，重点介绍了函数的定义与性质、函数的图像绘制、一次函数、二次函数以及一元一次方程的解法。
北师大版高中高一数学必修1《函数与方程》说课稿
北师大版高中高一数学必修1《函数与方程》说课稿一、教材内容概述《函数与方程》是北师大版高中高一数学必修1教材中的一部分。
本章主要介绍了函数与方程的相关概念、性质和解法。
通过学习本章内容，学生将掌握函数的定义与性质，能够应用函数解决实际问题，并能够熟练解一元一次方程和一元二次方程。
二、教学目标1.掌握函数的定义与性质，包括定义域、值域、奇偶性等概念；2.学会绘制函数的图像，理解函数的概念和特点；3.能够应用函数解决实际问题，如函数的增减性和极值问题等；4.掌握一元一次方程和一元二次方程的解法，能够灵活运用于各类问题。
三、教学重难点1.函数的定义与性质，特别是对于奇偶函数的判断；2.函数的图像绘制方法，掌握如何根据函数的特点确定形状；3.解一元一次方程和一元二次方程的方法，培养学生的解题思维和灵活运用能力。
四、教学过程本章分为四个部分，按照以下步骤进行教学：第一节函数的概念与性质1.引入函数的概念，通过对函数的实例进行分析，让学生理解函数的含义和作用。
2.讲解函数的定义，并引导学生去寻找其他函数的例子。
3.针对函数的性质，重点讲解定义域、值域、奇偶性等概念，给出相关的例题进行练习。
第二节函数的图像1.通过绘制函数的图像，让学生直观地理解函数的变化规律和特点。
2.先从简单的线性函数图像开始，逐渐引入更复杂的函数图像。
3.讲解函数图像的平移、伸缩和翻转等变换，让学生掌握如何通过变换来绘制函数的图像。
第三节函数的应用1.引入函数在实际问题中的应用，如利润函数、速度函数等。
2.通过具体的例题，让学生学会如何利用函数解决实际问题。
3.强调函数的增减性及极值问题的求解方法，培养学生的问题解决能力。
第四节方程的解法1.介绍一元一次方程和一元二次方程的定义和基本解法。
2.分别讲解一元一次方程和一元二次方程的解方过程，并通过例题进行练习。
3.引导学生将方程解法应用于实际问题，提高解题的技巧和应用能力。
五、教学方法1.导入法：通过引入实际问题或生活场景，激发学生对函数和方程的兴趣。
高一备课组活动主题---函数与方程
高一备课组活动主题：函数与方程一、《函数与方程》在《教材》中地位：《函数与方程》是高中教材必修1的第三章内容，函数的应用无论是对函数概念本质的认识和理解还是对培养学生在实现生活中发现问题，解决问题的能力都起着很大的作用。
一方面加强了知识之间的联系，这种联系包括与方程、不等式、算法等各模块内容的横向联系，使学生体会到知识之间的有机联系，感受数学分支自身的体系，这种联系还体现在整个中学数学中多次接触、反复体会、螺旋上升的学习函数的纵向联系；另一方面，结合实际情况，建立数学模型，感受指数函数，对数函数，幂函数增长的差异及其意义，体现了函数在数学和其它学科中的重要性，因此本章内容充分体现了函数的思想价值和函数的应用价值。
二、高考考纲对《函数与方程》的要求《2012广东高考理科数学考试大纲》是这样说的：1函数与方程①结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。
② 根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解。
2、函数模型及其应用① 了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义 ②了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）在社会生活中的广泛应用。
三、课标对《函数与方程》的要求了解函数的零点与方程根的关系；了解二分法是求方程近似解的常用方法。
四、学情1、现有知识储备：（1）常见函数的图像和性质（2）常见方程的解法；（3）函数的图像变换2、现有能力特征：具有一定归纳、概括、类比、抽象思维能力3、现有情感态度：对高次或超越方程的解法具有强烈求知欲和渴望探究的积极情感态度3五、考情及典型问题高考试题中出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考查函数方程的思想1、函数3()=2+2x f x x -在区间(0,1)内的零点个数是 （ ）A 、0 B 、1 C 、2 D 、32、函数 f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是 ( )A 、(－2，－1)B 、(－1,0)C 、(0,1)D 、(1,2) 3方程223x x -+=的实数解的个数为 .4、已知函数22()(1)2f x x a x a =+-+-的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围。
高中优秀教案高一数学教案：《函数与方程》
高一数学教案：《函数与方程》高一数学教案：《函数与方程》一、教材分析本节是一般高中课程规范试验教科书数学必修1的第三章第一节，是在同学学习函数的基本性质和指、对、幂三种基本初等函数基础上的后续，呈现函数图象和性质的应用。
本节重点是通过"二分法'求方程的近似解，使同学体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识。
本课是本章节的第一节课，结合函数图象和性质向同学介绍零点概念及其存在性，为后面"二分法'的学习打下伏笔，也为后来的算法学习作好基础。
二、学情分析通过学校的学习，同学已经娴熟把握了一次方程、二次方程求根的方法、描点作图法和一次函数、二次函数、反比例函数的图象;通过高中前两章的学习，强化了描点作图法，初步把握了对勾函数、指数函数、对数函数、幂函数的图象及基本性质，具备肯定的看图识图力量,这为本节课利用函数图象，推断方程根的存在性供应了肯定的学问基础。
但是，同学对函数与方程之间的联系缺乏了解，因此我们有必要点明函数的核心地位。
三、教学目标的确定1.学问与技能：(1)能够结合详细方程(如二次方程)，说明方程的根、相应函数图象与x轴的交点横坐标以及相应函数零点的关系;(2)正确理解函数零点存在性定理：了解图象连绵不断的意义及作用;知道定理只是函数存在零点的一个充分条件;(3)能利用函数图象和性质推断某些函数的零点个数;(4)能顺当将一个方程求解问题转化为一个函数零点问题，写出与方程对应的函数;并会推断存在零点的区间(可使用计算器)。
2.过程与方法：通过同学活动、商量与探究，体验函数零点概念的形成过程，引导同学学会用转化与数形结合思想方法讨论问题，提高数学学问的综合应用力量。
3.情感看法价值观：让同学初步体会事物间相互转化以及由特别到一般的辨证思想，充分体验数学语言的严谨性，数学思想方法的科学性，让同学进一步受到数学思想方法的熏陶，激发同学的学习热忱。
高一上学期数学教学计划模板：函数与方程
高一上学期数学教学计划模板：函数与方程
高一上学期数学教学计划模板：函数与方程
伟大的数学家华罗庚曾经说过：“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生活之迷、日月之繁，无处不用数学。
”小编准备了高一上学期数学教学计划模板，具体请看以下内容。
(一)教学目标
1.知识与技能
整合函数与方程的基本知识和基本方法，进一步提升函数与方程思想.
2.过程与方法
通过学生自我回顾、反思、整理、归纳所学知识，从而构建本节的知识体系
3.情感、态度与价值观
在学习过程中，学会整合知识，提升自我学习的品质，养成合作、交流、创新的良好学习品质.
(二)教学重点与难点
重点：整合单元知识;难点：提升综合运用单元知识的能力.
(三)教学方法
动手练习与合作交流相结合，在整合知识中构建单元知识体系，在综合练习中提升综合运用单元知识的能力.
(四)教学过程
教学环节教学内容师生互动设计意图。
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当前形势函数概念与指数函数、对数函数、幂函数在近五年北京卷(理)中考查5～15分高考 要求内容 要求层次 具体要求A B C 函数的零点√结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系北京 高考 解读 2008年 2009年 2010年（新课标） 2011年（新课标） 2012年（新课标） 第2题 5分 第13题 5分第3题5分 第13题5分第6题 5分 第14题 5分第6题 5分 第8题 5分 第13题 5分第14题 5分在初中的时候我们学过二次函数如26y x x =--，我们也学过一元二次方程如260x x --=，这个一元9.1零点的个数新课标剖析满分晋级第9讲函数8级 幂函数与 复合函数初步函数9级 函数与方程函数10级 集合中的常用数学思想函数与方程二次方程和二次函数有什么关系呢？通过画二次函数的图象和解一元二次方程我们发现，一元二次方程的两个根就是二次函数图象与x 轴交点的横坐标.那我们把这两个根就叫做二次函数的零点，那到底零点的概念是什么呢？怎么样去求函数的零点呢？函数的零点与方程的根之间到底存在什么关系呢？下面我们就来具体看一下：1.函数的零点：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零，即()0f a =，则a 叫做这个函数()f x的零点．2.函数零点与方程根的关系根据函数零点的定义可知：函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数根，也就是函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标．因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程()0f x =是否有实数根，有几个实数根.【教师备案】函数的零点是点吗？分析函数零点的定义，并借助于具体的函数来认识.我们把使()0f x =成立的实数x 叫做函数()y f x =的零点，因此函数的零点不是点，是函数()y f x =与x 轴的交点的横坐标，即零点是实数.当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零.函数()f x 的零点实际上就是方程()0f x =的实根，方程()0f x =有几个实根，函数()f x 就有几个零点.例如，函数()1f x x =+，()10f x x =+=仅有一个实根1x =-，所以函数 ()1f x x =+有一个零点1-，由此可见函数()1f x x =+的零点是一个实数1-，而不是一个点.⑴()()1f x ax a =+∈R ；⑵()26f x x x =--；⑶()3f x x x =-；⑷()24122x x f x x +-=- 【解析】 ⑴当0a =时，函数无零点；当0a ≠时，函数的零点为1a-⑵函数的零点为23-，⑶函数的零点为011-，， ⑷函数的零点为6-在上面的例中我们可以直接求出函数具体的零点，而且方程有几个根就有几个零点.但是有一函数 我们是求不出具体的零点的！比如，求函数()12log 2x f x x =-的零点.我们会发现如果令()0f x =，即12l o g20xx -=，这个方程我们是不会解的.但是我们根据12log 20x x -=，可以得到12log 2x x =，在这个方程中，单纯的左边和单纯的右边我们是知道的，所以这种方程的根也可以理解为两个函数的交点，如图.虽然这种方程不能解出具体知识点睛的根，但是通过图象我们可以看出根的个数，也就是零点的个数，我们管这种求函数零点个数的思想叫做数形结合.3.零点的个数对于函数()y f x =，求零点个数一般有以下几种方法：①令()0f x =，有几个实数根就有几个零点；②将函数转化为()g x a =，先画出()g x 的图象，然后找y a =与()g x 图象的交点个数； ③将函数转化为()()g x h x =，分别画出()g x 与()h x 的图象，看两图象交点的个数.【教师备案】一般求零点的个数都是由画图解决的.【教师备案】老师在讲完零点的概念和求零点的个数问题之后就可以让学生做例1.例1主要考察直接求零点个数，例1⑴可以解方程也可以用数形结合的思想解决，例1⑵⑶⑷都是用数形结合的思想.做完例1之后，就可以让学生做例2前边的铺垫，老师可以给学生讲这个铺垫，然后再让学生自己做例2，例2是间接考察函数零点个数的问题，但其主要用的思想就是数形结合.【例1】 ⑴（2010东城二模文5）函数3()231f x x x =-+的零点个数为（ ）A ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4⑵ (2010福建理4文7)函数2230()2ln 0x x x f x x x ⎧+-=⎨-+>⎩，≤，的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3⑶ 方程223x x -+=的实数解的个数为 ．⑷方程22x x =的实数解的个数为 ．【解析】 ⑴ C ⑵ C ⑶ 2 ⑷ 3；【铺垫】如图，已知定义在R 上的函数()f x 的图象，若方程()f x a =有三个不相等的实数根，求a 的取值范围【解析】122a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，【例2】 ⑴（2011北京理13）已知函数()()32212x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪-<⎩，≥，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 . ⑵ 若函数()x f x a x a =--(0a >且1a ≠)有两个零点，则实数a 的取值范围是 ．【解析】 ⑴ (01)， ⑵ 1a >经典精讲在上边我们已经讲了函数零点的个数，我们有时可以求出函数的零点，有时也可以采用数形结合的思想把零点的个数求出来.在我们不能求出函数具体零点的情况下，我们除了知道零点的个数以外，能否把零点所在的大概区间猜一下呢？若能，怎样猜呢？下面我们就来看一下零点所在的区间：零点分析法：若函数()y f x =在闭区间[]a b ，上的图象是连续不断的曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即()()0f a f b ⋅<．则在区间(a 内，函数()y f x =至少有一个零点． 零点分析法的几何意义：在闭区间[]a b ，上有连续曲线()y f x =，且连续曲线的始点())a 与终点(())b f b ，分别在x 轴的两侧，则此连续曲线至少与x 轴有一个交点．零点的性质：相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．3log 3x x +=的解所在的区间为（ ）A ．(01)，B ．(12)，C ．(23)，D ．(34)， 【解析】C ；令()3log 3f x x x =+-，因为()3322log 21log 03f =-=<，()33log 310f ==>【教师备案】老师讲完零点所在的区间和上边的例之后，就可以让学生做例3，例3主要考察零点所在的区间【例3】 ⑴（2010天津文4）函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是( )A ．(21)--，B ．(10)-，C ．(01)，D ．(12)，⑵（2010宣武一模理4）设函数231()2x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则其零点所在的区间为（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）⑶（2010上海理17）若0x 是方程1312xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解，则0x 属于区间（ ）A ．213⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．1223⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．1132⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．103⎛⎫ ⎪⎝⎭， 【解析】⑴ C ⑵ B ⑶ C做完例3以后，这时学生就会判定零点所在的区间了，但是他们只是机械地利用()()0f a f b <，对零点所在的区间并没有深刻的理解，所以，这时老师要给学生具体再解释一下零点所在的区间： 若函数()y f x =在闭区间[]a b ，上的图象是连续不断的曲线： ①若()()0f a f b ⋅<．则在区间()a b ，内，函数()y f x =至9.2零点所在的区间经典精讲知识点睛少有一个零点．要注意这里可能不止有一个零点，如图：②若()()0f a f b ⋅>，函数在()a b ，上就一定没有零点吗？如图:③若在()a b ，上至少有一个零点，则不能说明()()0f a f b <，如②中的图 ④若在()a b ，内有奇数个零点，则不一定有()()0f a f b <，如图：⑤若在()a b ，内有一个零点且函数单调，则()()0f a f b <【教师备案】学生对零点有更深刻的理解之后就可以让学生做例4和例5.例4主要是已知零点所在的区间求参数的取值范围.例5主要是根据函数的性质和零点能够更好的理解函数.【例4】 ⑴已知函数()312f x ax a =+-在(11)-，内存在一个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．115a -<< B ．15a > C ．15a >或1a <- D ．1a <-⑵（2010宣武一模文6）设函数32()log x f x a x+=-在区间(12)，内有零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3(1log 2)--， B ．3(0log 2)，C ．3(log 21)，D ．3(1log 4)， 【解析】⑴Ｃ ⑵ C【例5】 ⑴(2010浙江文9)0x 是函数1()21x f x x=+-的一个零点，若()()10201x x x x ∈∈+∞，，，，则( ) A ．()()1200f x f x <<， B ．12()0()0f x f x <>， C ．12()0()0f x f x ><， D ．()()1200f x f x >>，⑵（2010山东理数）函数22x y x =-的图象大致是（ ）【解析】 ⑴ B ⑵ A【备选】 （2009福建卷文11）若函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，则()f x 可以是()A ．()41f x x =-B ．2()(1)f x x =-C ．()e 1x f x =-D ．1()ln 2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【解析】A⑴ (北京35中2009-2010学年度高一第一学期期中)已知函数()f x 在区间[]a b ，单调，且函数的图象是连续不断的一条曲线，又 ()()0f a f b ⋅<，则函数()f x 在区间[]a b ，上（ ）A ．可能只有一个零点,也可能有多个零点B ．可能只有一个零点,也可能没有零点C ．一定没有零点D ．必有唯一零点⑵已知函数()y f x =在R 上的图象是连续不断的一条曲线，且(1)(2)0f f ⋅>，则()y f x = （ ）A ．在区间[12]，上有2个零点B ．在区间[12]，上零点个数是偶数个C ．在区间[12]，上零点个数可能为k k ∈N ，D ．在区间[12]，上没有零点【解析】⑴ D ⑵ C**************************************************************************************** 初高衔接——韦达定理在讲根的分布之前老师可以先给学生复习一下根与系数的关系（韦达定理），韦达定理在初中阶段有所学习，但是不是中考的重点，所以初中老师对此也没有加强重视，但是韦达定理在高中的应用很强大，几乎在所有解析几何解答题中都有应用．如：①求中点问题，联立方程组，应用中点公式122x x x +=，122y y y +=．②求弦长，弦长公式d ③求所围成面积：弦长公式和点到直线的距离综合应用． ④两条线段相垂直．总之理解好题目，将不常见的问题化为学过的知识，如这个定理，以不变应万变．韦达定理说明了一元n 次方程中根与系数的关系，这里主要讲一下一元二次方程中根与系数的关系⑴ 一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果()200ax bx c a ++=≠的两实根分别是1x ，2x ，那么12b x x a +=-，12cx x a⋅=．这一关系也被称为韦达定理．9.3二次函数零点综合应用⑵ 若1x 和2x 分别是一元二次方程20ax bx c ++=()0a ≠的两个实根，则12x x -=（其中24b ac ∆=-）．注意：今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．【例题】⑴ 如果方程()2100x px p ++=>的两根之差是1，那么p 的值为（ ）A ．2B ．4 CD⑵ 二次项系数为1的一元二次方程的两根分别为11 ） A ．2210x x ++= B ．2210x x +-= C ．2210x x -+= D ．2210x x --=⑶ 已知实数a b ≠，且满足2(1)33(1)a a +=-+，23(1)3(1)b b +=-+．则a bb a+的值为（ ）A ．23B ．23-C ．2-D ．13-⑷ 设12x x ，是关于x 的方程20(0)x px q q ++=≠的两个实数根，且22112231x x x x ++=，1212110x x x x ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求p 和q ．【解析】 ⑴ D⑵ D ⑶ A⑷p =，1q =-****************************************************************************************二次函数2()f x ax bx c =++零点的分布与区间端点的关系（120a x x >，，为()f x 的零点）知识点睛【教师备案】如果班里学生对上边零点分布掌握的比较好，那可以再继续问一下学生“若在12()k k ，内有且仅有一根”这时需要满足什么条件？下面我们就对“在12()k k ，内有且仅有一根”的所有情况进行详细说明：【例6】（北京师大附中2009-2010学年度第一学期期中考试）已知关于x 的方程：()221260x a x a +-++=， ⑴ 若方程有两个不等实根，求实数a 的范围；⑵ 若方程有两个不等实根，且两根都在区间()1+∞，内，求实数a 的范围； ⑶ 设函数()()22126f x x a x a =+-++，[]11x ∈-，，记此函数的最大值为()M a ，最小值为 ()N a ，求()M a 、()N a 的解析式．【解析】⑴ 5a >或1a <-； ⑵ 实数a 的取值范围为514⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．⑶ ()()()45191a a M a a ⎧+>⎪=⎨⎪⎩≤，()()()()2924502450a N a a a a a a ⎧⎪=-++<<⎨⎪+⎩≥≤．【备选】 已知函数2()(3)1f x mx m x =+-+的零点至少有一个在原点右侧，求实数m 的范围．【解析】m 的范围是(1]-∞，．经典精讲【例7】（北京五中2010-2011学年度高一第一学期期中考试） 已知函数2()25(1)f x x ax a =-+>．⑴ 若函数()f x 的定义域和值域为[1]a ，，求实数a 的值；⑵ 若()f x 在区间(]2-∞，上是减函数，且对任意的1x ，[]211x a ∈+，， 总有12()()4f x f x -≤，求实数a 的取值范围； ⑶ 若()f x 在[13]x ∈，上有零点，求实数a 的取值范围． 【解析】⑴ 2a =； ⑵ []23a ∈，． ⑶3a ⎤∈⎦．【备选】 （人大附中2009-2010学年必修1模块考核试题）对于函数()f x ，若()f x x =，则称x 为()f x 的“不动点”；若()f f x x =⎡⎤⎣⎦，则称x 为()f x 的“周期点”，函数()f x 的“不动点”和“周期点”的集合分别记为A 和B ，即(){}|A x f x x ==，(){}|B x f f x x ==⎡⎤⎣⎦． ⑴ 求证：A B ⊆；⑵ 若()21f x ax =-()a x ∈∈R R ，，且A B =≠∅，求实数a 的取值范围． 【解析】⑴ 任取x A ∈，即有()f x x =． 则有()()f f x f x x ==⎡⎤⎣⎦，∴x B ∈．∴A B ⊆．⑵ a 的取值范围为13|44a a ⎧⎫-⎨⎬⎭⎩≤≤．【演练1】⑴已知()2x f x =，2()3g x x =-．则函数()()y f x g x =-的零点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 ⑵ （北京三十五中2010-2011学年高一年级数学月考）设函数20()20x bx c x f x x ⎧++=⎨>⎩，≤，，若(4)(0)f f -=，(2)2f -=-，则关于x 的方程()f x x=的解的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【解析】 ⑴ Ｃ ⑵ C实战演练【演练2】⑴（2010天津理2）函数()23x f x x =+的零点所在的一个区间是( )A ．(21)--，B ．(10)-，C ．(01)，D ．(12)， ⑵设函数()ln 3f x x x =+-的零点为m ，则m 所在的区间为（ ）A ．(12)， Ｂ．(23)， Ｃ．(34)， Ｄ．(45)， 【解析】⑴B ⑵B由于()f x 在其定义域上单调递增且(1)10320f =+-=-<，(2)2ln 23ln 210f =+-=-< (3)3ln33ln30f =+-=>．∴函数()f x 仅在区间(23)，有一个零点．【演练3】（2010-2011年度北方交大附中高一数学月考）已知函数22log 1()2x x f x x x x >⎧⎪=⎨--⎪⎩，，≤1，若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是_________．【解析】(01)，【演练4】（2010北京东城1月检测）若2()(2)(21)f x m x mx m =-+++的两个零点分别在区间(10)-，和区间(12)，内，则m 的取值范围是（ ）A ．1124⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ．1142⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．1142⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．1142⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】C【演练5】（北京师大二附中2010-2011学年度高一年级第一学段）已知函数2()221f x ax x a =+--在区间()11-，上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围． 【解析】a 的取值范围为(13)-，．120第9讲·目标班·教师版1.函数的零点：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零，即()0f a =，则＿＿＿叫做这个函数()f x 的零点．2.零点分析法：若函数()y f x =在闭区间[]a b ，上的图象是＿＿＿＿的曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即＿＿＿＿．则在区间()a b ，内，函数()y f x =＿＿＿＿零点． 3.零点的分布：答案： 1.a2.连续不断；()()0f a f b ⋅<；至少有一个概念要点回顾121 第9讲·目标班·教师版。