高数课件14凹凸性

f ( x )
二阶导数变号， 则( x0 , f ( x0 ))是拐点
例5
求曲线 y 3 x 的拐点.
2 3 5 3
1 4 解 当x 0时, y x , y x , 3 9 x 0是不可导点, y, y均不存在.
但在( ,0)内, y 0, 曲线在( ,0]上是凹的 ; 在(0,)内, y 0, 曲线在[0,)上是凸的.
如果对(a , b)内任意两点 x1 , x2 , 恒有 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) , 2 2 那末称 f ( x )在(a , b)内的图形是凸的 ;
如果f ( x )在[a , b]内连续, 且在 (a , b) 内的图形是凹 (或凸)的, 那末称 f ( x )在[a , b] 内的图形是凹(或凸)的 ;
x
f ( x )
f ( x)
( ,0)
0 0
拐点

凹的
( 0, 2 ) 3
凸的
2
3 0
( 2 ,) 3
凹的
(0,1)
拐点 ( 2 , 11 ) 3 27
凹凸区间为( ,0],
[0, 2 ], 3
[ 2 ,). 3
方法2: 设函数 f ( x ) 在 x0 的邻域内三阶可导且 ,
(1) x0两近旁f ( x )变号,点( x0 , f ( x0 ))即为拐点 ; (2) x0两近旁f ( x )不变号,点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.
例2 求曲线 y 3 x 4 4 x 3 1 的拐点及
凹、凸的区间.
解
D : ( , )
3 2
2 y 36 x( x ). y 12 x 12 x , 3 2 令y 0, 得 x1 0, x2 . 3
=1
n
f ( x0 )
f ( pi xi ) pi f ( xi )
i 1 i 1 n
x0
=1
四、小结
曲线的弯曲方向——凹凸性;
凹凸性的判定. 改变弯曲方向的点——拐点; 拐点的求法1, 2.
思考题
设 f ( x ) 在(a , b ) 内二阶可导，且 f ( x 0 ) 0 ， 其中 x 0 ( a , b ) ，则( x 0 , f ( x 0 )) 是否一定为 曲线 f ( x ) 的拐点？举例说明.
由1 2 f (1 ) f ( 2 ) 0 2 f ( x0 ) [ f ( x1 ) f ( x2 )] 0
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 即 f 2 2 这就证明了 f ( x )在(a , b)内是上凸的 同理可证（1）
三、曲线的拐点及其求法
1.定义
连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.
注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.
2.拐点的求法
定理 2 如果 f ( x )在( x0 , x0 ) 内存在二阶导 数,则点 x0 , f ( x0 ) 是拐点的必要条件是 f " ( x0 ) 0 .
证
记 g( x ) f ( x )
则g
( n 3 )
( x0 ) f
( n)
( x0 ) 0
由高阶导数判定极值的方法知
g( x )在x0处取得极值
不妨设为极小值
在x0的左、右两侧邻近，有 f ( x ) f ( x0 ) 0 x x0时 f ( x ) f ( x0 ) 0 x x0时 f ( x ) f ( x0 ) 0
点(0,0)是曲线 y 3 x的拐点.
x et 例6 求曲线 (0 t ) 的拐点 t y e sin t t t 解 dy e sin t e cos t sin t cos t dx et 2 d y d dy d (sin t cos t ) dt 2 ( ) dt dx dx dx dx
证 f ( x ) 二阶可导, f ( x ) 存在且连续,
又 ( x0 , f ( x0 ) )是拐点,
则 f ( x ) [ f ( x )]在x0两边变号,
条件, f ( x )在x0取得极值,由可导函数取得极值的
f ( x ) 0.
, 方法1: 设函数f ( x )在x0的邻域内二阶可导 且f ( x0 ) 0,
y cos x sin x . 3 7 , x2 . 令 y 0, 得 x1 4 4 7 3 f ( ) 2 0, f ( ) 2 0, 4 4
3 7 在[0,2]内曲线有拐点为 ( ,0), ( ,0). 4 4
i 1

d y 2 0 dx
2
若f ( x ) 0, 则f ( pi xi ) pi f ( xi )
i 1 i 1
n
n
证 记 x0 pi xi 则min{ xi } x0 max{ xi }
i 1
n
——Jensen不等式
由Taylor公式，得
f ( ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2 f ( x ) 0 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
注意: 若 f ( x0 ) 不存在, 点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能
是连续曲线 y f ( x ) 的拐点.
例4 假定f(x)在x=x0处具有直到n阶的连续导数，且 f ( x0 ) f ( x0 ) f ( n1) ( x0 ) 0, 但 f ( n ) ( x0 ) 0 这里n为奇数≥3， 则( x0 , f ( x0 ))是拐点
f ( x0 ) 0, 而 f ( x0 ) 0 , 那末 ( x0 , f ( x0 )) 是曲 线 y f ( x ) 的拐点.
例3 求曲线 y sin x cos x ([0,2]内) 的拐点. 解 y cos x sin x , y sin x cos x ,
f ( xi ) f ( x0 ) f ( x0 )( xi x0 ) ( i 1,2,, n)
各式乘以 pi 再相加，得
n n n i 1 i 1 i 1
pi f ( xi ) i 1

n
f ( x0 ) pi f ( x0 )[ pi xi x0 pi ]
一、曲线凹凸的定义
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
y
C
B
A
o
x
y
y f ( x)
y
y f ( x)
o
x1
x2 x
o
x1
x2
x
图形上任意弧段位 于所张弦的下方
图形上任意弧段位 于所张弦的上方
定义 设f ( x )在(a , b )内连续, 如果对(a , b)内任意 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 两点 x1 , x2 , 恒有 f ( ) , 2 2 那末称 f ( x )在(a , b )内的图形是凹的 ;
曲线的凹凸与拐点
前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于 了解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不 能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯 曲方向。 y B L1 如右图所示L1 ，L2 ，L3 L2 L3 虽然都是从A点单调上升到 B点，但它们的弯曲方向却 不一样。 A o x L1 是“凸”弧，L2是“凹”弧 ，L3既有凸弧，也有 凹弧， 这和我们日常习惯对凹凸的称呼是一致的。
注 定理的结论可推广到任意区间上
例1 判断曲线 y x 3 的凹凸性.
解 y 3 x 2 , y 6x ,
当x 0时， y 0,
曲线 在(,0]为凸的；
当x 0时， y 0,
曲线 在[0,)为凹的；
注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界 . 点
二、曲线凹凸的判定
y
y f (x )
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
f ( x ) 递增
y 0
f ( x ) 递减
b x y 0
定理1 如果 f ( x ) 在 [a , b] 上连续, 在 (a , b) 内具有
二阶导数 , 若在 (a , b ) 内 (1) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凹的 ; ( 2) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凸的 .
(cos t sin t )e
d y 令 2 0 dx
2
t
cos t sin t t

4
当0 t 时 4

d y 2 0 dx
2
当 t 时 4 1 4 是拐点 4 (e , e ) 2 n 例7 设 p1 , p2 ,, pn是一组正数，且 pi 1
思考题解答
因为 f ( x 0 ) 0 只是( x 0 , f ( x 0 )) 为拐点 的必要条件，
故( x0 , f ( x0 )) 不一定是拐点.
例 f ( x) x4
x ( , )
f (0) 0
但( 0,0) 并不是曲线 f ( x ) 的拐点.
证明
( 2)x1 , x2 (a , b), x1 x2 x1 x2 记 x0 , h x0 x1 x2 x0 2 对f ( x )在[ x1 , x0 ],[ x0 , x2 ]上 分别应用L—定理，得 f ( x0 ) f ( x1 ) f (1 )h ( x1 1 x0 )