2020_2021学年新教材高中数学第四章数列测评课后提升训练(含解析)新人教A版选择性必修第二册

新教材高中数学课后提升训练：第四章测评(时间:120分钟 满分:150分)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2-n ,则可以作为这个数列的其中一项的数是( ) A.10B.15C.21D.42n=7时,a 7=72-7=42,所以42是这个数列中的一项.2.已知数列{b n }是等比数列,b 9是1和3的等差中项,则b 2b 16=( ) A.16 B.8 C.4 D.2b 9是1和3的等差中项,所以2b 9=1+3,即b 9=2.由等比数列{b n }的性质可得b 2b 16=b 92=4.3.(2019全国Ⅰ,理9)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4=0,a 5=5,则( ) A.a n =2n-5 B.a n =3n-10 C.S n =2n 2-8nD.S n =12n 2-2n{b 4=4b 1+4×32·b =0,b 5=b 1+4b =5,解得{b 1=-3,b =2.故a n =2n-5,S n =n 2-4n ,故选A .4.等差数列{a n }中,S 16>0,S 17<0,当其前n 项和取得最大值时,n=( ) A.8B.9C.16D.17,S 16>0,即a 1+a 16=a 8+a 9>0,S 17<0,即a 1+a 17=2a 9<0,所以a 9<0,a 8>0,所以等差数列{a n }为递减数列,且前8项为正数,从第9项以后为负数,所以当其前n 项和取得最大值时,n=8.故选A .5.已知数列{a n }是以2为首项,1为公差的等差数列,{b n }是以1为首项,2为公比的等比数列,则b b 1+b b 2+…+b b 10=( )A.1 033B.1 034C.2 057D.2 058a n =n+1,b n =2n-1,于是b b b =b 2b -1=2n-1+1,因此b b 1+b b 2+…+b b 10=(20+1)+(21+1)+…+(29+1)=(1+2+22+…+29)+10=1-2101-2+10=1 033.6.我国古代数学巨著《九章算术》中,有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”这个问题用今天的白话叙述为:“有一位善于织布的女子,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这位女子每天分别织布多少?”根据上面的已知条件,可求得该女子第4天所织布的尺数为( ) A .815B .1615C .2031D .4031n 天织的布为a n 尺,且数列{a n }为公比q=2的等比数列,由题意可得b 1(1-25)1-2=5,解得a 1=531.所以该女子第4天所织布的尺数为a 4=a 1q 3=4031.故选D .7.给出数阵: 0 1 ... 9 1 2 (10)︙︙︙︙9 10 (18)其中每行、每列均为等差数列,则此数阵所有数的和为( )A .495B .900C .1 000D .1 100b 1=0+1+2+…+9,b 2=1+2+3+…+10,……b 10=9+10+…+18,则{b n }是首项b 1=45,公差d=10的等差数列,所以S 10=45×10+10×92×10=900.8.对于正项数列{a n },定义:G n =b 1+2b 2+3b 3+…+bb bb为数列{a n }的“匀称值”.已知数列{a n }的“匀称值”为G n =n+2,则该数列中的a 10等于( ) A .83B .125C .94D .2110G n =b 1+2b 2+3b 3+…+bb bb,G n =n+2,∴n ·G n =n ·(n+2)=a 1+2a 2+3a 3+…+na n ,∴10×(10+2)=a 1+2a 2+3a 3+…+10a 10;9×(9+2)=a 1+2a 2+3a 3+…+9a 9,两式相减得10·a 10=21,∴a 10=2110.故选D .二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.(2020江苏镇江中学高二期末)对于数列{a n},若存在正整数k(k≥2),使得a k<a k-1,a k<a k+1,则称a k是数列{a n}的“谷值”,k是数列{a n}的“谷值点”,在数列{a n}中,若a n=|b+9b-8|,下面哪些数不能作为数列{a n}的“谷值点”?()A.3B.2C.7D.5n=|b+9b-8|,故a1=2,a2=32,a3=2,a4=74,a5=65,a6=12,a7=27,a8=98.故a2<a3,3不是“谷值点”;a1>a2,a3>a2,故2是“谷值点”;a6>a7,a8>a7,故7是“谷值点”;a6<a5,5不是“谷值点”.故选AD.10.已知等比数列{a n}的各项均为正数,公比为q,且a1>1,a6+a7>a6a7+1>2,记{a n}的前n项积为T n,则下列选项中正确的选项是()A.0<q<1B.a6>1C.T12>1D.T13>1{a n}的各项均为正数,公比为q,且a1>1,a6+a7>a6a7+1>2,所以(a6-1)(a7-1)<0,所以0<a6<1且a7>1,或a6>1且0<a7<1.当0<a6<1且a7>1时,b7b6=q>1,又a1>1,所以{a n}是递增数列,所以a6>a1>1,矛盾,当a6>1且0<a7<1时,0<b7b6<1,即0<q<1.因为a6a7+1>2,所以a6a7>1,T12=a1·a2·…·a11·a12=(a6a7)6>1,T13=b713<1.故选ABC.11.已知等比数列{a n}中,满足a1=1,q=2,S n是{a n}的前n项和,则下列说法正确的是()A.数列{a2n}是等比数列B.数列{1b b}是递增数列C.数列{log2a n}是等差数列D.数列{a n}中,S10,S20,S30仍成等比数列{a n}中,a1=1,q=2,所以a n=2n-1,S n=2n-1.于是a2n=22n-1=2×4n-1,1b b =(12)b-1,log2a n=n-1,故数列{a2n}是等比数列,数列{1b b}是递减数列,数列{log2a n}是等差数列.因为S10=210-1,S20=220-1,S30=230-1,b20b10≠b30b20,所以S10,S20,S30不成等比数列.故选AC.12.已知数列{a n }的前n 项和为S n (S n ≠0),且满足a n +4S n-1S n =0(n ≥2),a 1=14,则下列说法正确的是( )A.数列{a n }的前n 项和为S n =14b B.数列{a n }的通项公式为a n =14b (b +1) C.数列{a n }为递增数列 D.数列{1b b}为递增数列a n +4S n-1S n =0(n ≥2),∴S n -S n-1+4S n-1S n =0. ∵S n ≠0,∴1b b−1bb -1=4.因此数列{1b b}是以1b 1=4为首项,4为公差的等差数列,也是递增数列,即D 正确;所以1b b=4+4(n-1)=4n ,∴S n =14b ,即A 正确;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=14b−14(b -1)=-14b (b -1).所以a n ={14,b =1,-14b (b -1),b ≥2,即B,C 不正确; 故选AD .三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.若等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 2=0,S 5=10,数列{b n }满足b 1=0,且b n+1=a n+1+b n ,则数列{b n }的通项公式为 .{a n }的公差为d ,则{b 1+b =0,5b 1+10b =10,解得{b 1=-2,b =2.于是a n =-2+2(n-1)=2n-4.因此a n+1=2n-2.于是b n+1-b n =2n-2,b n =b 1+(b 2-b 1)+(b 3-b 2)+…+(b n -b n-1)=0+0+2+…+(2n-4)=n 2-3n+2,故数列{b n }的通项公式为b n =n 2-3n+2.n =n 2-3n+214.已知在公差不为零的正项等差数列{a n }中,S n 为其前n 项和,lg a 1,lg a 2,lg a 4也成等差数列.若a 5=10,则S 5=.{a n }的公差为d ,则d>0.由lg a 1,lg a 2,lg a 4成等差数列, 得2lg a 2=lg a 1+lg a 4,则b22=a1a4,即(a1+d)2=a1(a1+3d),d2=a1d.因为d>0,所以d=a1,a5=5a1=10,解得d=a1=2.故S5=5a1+5×42×d=30.15.我国古代数学名著《张邱建算经》有“分钱问题”:今有与人钱,初一人与三钱,次一人与四钱,次一人与五钱,以次与之,转多一钱,与讫,还敛聚与均分之,人得一百钱,问人几何?意思是:将钱分给若干人,第一人给3钱,第二人给4钱,第三人给5钱,以此类推,每人比前一人多给1钱,分完后,再把钱收回平均分给各人,结果每人分得100钱,问有多少人?则题中的人数是.n人,根据题意得3n+b(b-1)2=100n,解得n=195,所以一共有195人.16.(2020浙江余姚中学高二检测)已知n为正偶数,用数学归纳法证明“1-12+13−14+…+1b-1−1b=21 b+2+1b+4+…+12b”时,第一步的验证为;若已假设n=k(k≥2且k为偶数)时等式成立,则还需要用归纳假设证n=时等式成立.(本题第一空2分,第二空3分)n为正偶数,则归纳基础为当n=2时,左边=1-12=12,右边=2×14=12,等式成立;归纳假设为当n=k(k≥2且k为偶数)时,1-12+13−14+…+1b-1−1b=21b+2+1b+4+…+12b成立,由于n是所有正偶数,则下一个数应为n=k+2.n=2时,左边=1-12=12,右边=2×14=12,等号成立k+2四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)(2019全国Ⅱ,理19)已知数列{a n}和{b n}满足a1=1,b1=0,4a n+1=3a n-b n+4,4b n+1=3b n-a n-4.(1)证明:{a n+b n}是等比数列,{a n-b n}是等差数列;(2)求{a n}和{b n}的通项公式.4(a n+1+b n+1)=2(a n+b n),即a n+1+b n+1=12(a n+b n).又因为a1+b1=1,所以{a n+b n}是首项为1,公比为12的等比数列.由题设得4(a n+1-b n+1)=4(a n -b n )+8, 即a n+1-b n+1=a n -b n +2.又因为a 1-b 1=1,所以{a n -b n }是首项为1,公差为2的等差数列.(1)知,a n +b n =12b -1,a n -b n =2n-1.所以a n =12[(a n +b n )+(a n -b n )]=12b +n-12,b n =12[(a n +b n )-(a n -b n )]=12b -n+12.18.(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的各项均为正数,且2a 1+3a 2=1,b 52=9a 4a 8. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =a n -a n-1,求数列{b n }的前n 项和S n .设{a n }的公比为q ,则由b 52=9a 4a 8,可得(a 1q 4)2=9a 1q 3·a 1q 7,即b 12q 8=9b 12q 10,因此q 2=19.因为{a n }的各项均为正数, 所以q>0,故q=13. 又因为2a 1+3a 2=1,所以2a 1+3a 1·13=1,解得a 1=13.故a n =13·(13)b -1,即a n =(13)b.(2)由(1)得b n =a n -a n-1=(13)b−(13)b -1=-23·(13)b -1,所以{b n }是首项为-23,公比为13的等比数列,因此其前n 项和S n =-23[1-(13)b ]1-13=(13)b-1.19.(本小题满分12分)(2019北京,文16)设{a n }是等差数列,a 1=-10,且a 2+10,a 3+8,a 4+6成等比数列. (1)求{a n }的通项公式;(2)记{a n }的前n 项和为S n ,求S n 的最小值.设{a n }的公差为d.因为a 1=-10,所以a 2=-10+d ,a 3=-10+2d ,a 4=-10+3d. 因为a 2+10,a 3+8,a 4+6成等比数列, 所以(a 3+8)2=(a 2+10)(a 4+6). 所以(-2+2d )2=d (-4+3d ).解得d=2.所以a n =a 1+(n-1)d=2n-12. (2)由(1)知,a n =2n-12.所以,当n ≥7时,a n >0;当n ≤6时,a n ≤0. 所以,S n 的最小值为S 6=-30.20.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n =2a n -2n. (1)求a 1,a 2.(2)设c n =a n+1-2a n ,证明数列{c n }是等比数列. (3)求数列{b +12b b}的前n 项和T n .a 1=S 1,2a 1=S 1+2,∴a 1=S 1=2.由2a n =S n +2n,知2a n+1=S n+1+2n+1=a n+1+S n +2n+1,∴a n+1=S n +2n+1,① ∴a 2=S 1+22=2+22=6.①式知a n+1-2a n =(S n +2n+1)-(S n +2n)=2n+1-2n=2n,即c n =2n,∴b +1b b=2(常数). ∵c 1=21=2,∴{c n }是首项为2,公比为2的等比数列.c n =2n,∴b +12b b=b +12b +1.∴数列{b +12b b}的前n 项和T n =222+323+424+…+b +12b +1,12T n=223+324+…+b2b +1+b +12b ,两式相减,得12T n =222+123+124+125+…+12b +1−b +12b +2=12+123×(1-12b -1)1-12−b +12b +2=34−12b +1−b +12b +2=34−b +32b . ∴T n =32−b +32b .21.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n =a n +12n 2+32n-2(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n ={1(b b -1)(b b +1),b 为奇数,4·(12)b b,b 为偶数,且数列{b n }的前n 项和为T n ,求T 2n .由于S n =a n +12n 2+32n-2,所以当n ≥2时,S n-1=a n-1+12(n-1)2+32(n-1)-2,两式相减得a n =a n -a n-1+n+1,于是a n-1=n+1, 所以a n =n+2. (2)由(1)得b n ={1(b+1)(b +3),b 为奇数,(12)b,b 为偶数,所以T 2n =b 1+b 2+b 3+…+b 2n =(b 1+b 3+…+b 2n-1)+(b 2+b 4+…+b 2n ). 因为b 1+b 3+…+b 2n-1=12×4+14×6+16×8+…+12b ×(2b +2)=1411×2+12×3+…+1b ×(b +1)=14(1-12+12-13+…+1b -1b +1)=b 4(b +1),b 2+b 4+…+b 2n =(12)2+(14)4+…+(12)2b=14[1-(14)b ]1-14=13[1-(14)b],于是T 2n =b4(b +1)+13[1-(14)b].22.(本小题满分12分)(2019浙江,20)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=4,a 4=S 3.数列{b n }满足:对每个n ∈N *,S n +b n ,S n+1+b n ,S n+2+b n 成等比数列. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式; (2)记c n =√b b 2b b,n ∈N *,证明:c 1+c 2+…+c n <2√b ,n ∈N *.设数列{a n }的公差为d ,由题意得a 1+2d=4,a 1+3d=3a 1+3d ,解得a 1=0,d=2. 从而a n =2n-2,n ∈N *. 所以S n =n 2-n ,n ∈N *.由S n +b n ,S n+1+b n ,S n+2+b n 成等比数列得(S n+1+b n )2=(S n +b n )(S n+2+b n ). 解得b n =1b (b b +12-S n S n+2).所以b n =n 2+n ,n ∈N *. (2)c n =√b b2b b=√2b -22b (b +1)=√b -1b (b +1),n ∈N *.我们用数学归纳法证明:①当n=1时,c 1=0<2,不等式成立; ②假设n=k (k ∈N *)时不等式成立,即c 1+c 2+…+c k <2√b .那么,当n=k+1时,c 1+c 2+…+c k +c k+1<2√b +√b (b +1)(b +2)<2√b +√1b +1<2√b +√b +1+√b=2√b +2(√b +1−√b )=2√b +1,即当n=k+1时不等式也成立.根据①和②,不等式c 1+c 2+…+c n <2√b 对任意n ∈N *成立.。