2020届高考数学山东省二轮复习训练习题：第二板块第1讲第4讲数学文化

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山东省2020届高三数学下学期二轮质量检测试题

高三数学下学期二轮质量检测试题一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知集合M ＝{x |－4<x <2}，N ＝{x |x 2－x －6<0}，则M ∩N 等于( ) A.{x |－4<x <3} B.{x |－4<x <－2} C.{x |－2<x <2}D.{x |2<x <3}2.设复数z 满足|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( ) A.(x ＋1)2＋y 2＝1 B.(x －1)2＋y 2＝1 C.x 2＋(y －1)2＝1 D.x 2＋(y ＋1)2＝13.若a >b ，则( )A.ln(a －b )>0B.3a <3bC.a 3－b 3>0D.|a |>|b |4.已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos(－α)，sin(－α))，那么“a ·b ＝0”是“α＝k π＋π4(k ∈Z )”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点.若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( ) A.324 B.322 C.2 2 D.3 26.已知正项等比数列{a n }满足：a 2a 8＝16a 5，a 3＋a 5＝20，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝32，则1m ＋4n 的最小值为( ) A.34 B.910 C.32 D.957.已知四棱锥M －ABCD ，MA ⊥平面ABCD ，AB ⊥BC ，∠BCD ＋∠BAD ＝180°，MA ＝2，BC ＝26，∠ABM ＝30°.若四面体MACD 的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( ) A.20π B.22π C.40π D.44π8.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝π3，AD →＝2DB →，P 为CD 上一点，且满足AP →＝mAC →＋12AB →，若△ABC 的面积为23，则|AP |的最小值为( )A. 2B. 3C.3D.43二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9.如图，在以下四个正方体中，直线AB 与平面CDE 垂直的是( )10.“科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量.2007～2018年，某企业连续12年累计研发投入达4 100亿元，我们将研发投入与经营投入的比值记为研发投入占营收比，这12年间的研发投入(单位：十亿元)用图中的条形图表示，研发投入占营收比用图中的折线图表示.根据折线图和条形图，下列结论正确的有( )A.2012年至2013年研发投入占营收比增量相比2017年至2018年研发投入占营收比增量大B.2013年至2014年研发投入增量相比2015年至2016年研发投入增量小C.该企业连续12年来研发投入逐年增加D.该企业连续12年来研发投入占营收比逐年增加11.将函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1的图象向左平移π3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g (x )的图象，则下列关于函数g (x )的说法正确的是( ) A.最大值为3，图象关于直线x ＝π12对称 B.图象关于y 轴对称 C.最小正周期为πD.图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称12.已知函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则下列判断正确的是( )A.函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－12内单调递增B.当x ＝－2时，函数y ＝f (x )取得极小值C.函数y ＝f (x )在区间(－2,2)内单调递增D.当x ＝3时，函数y ＝f (x )有极小值三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人.若高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为________.14.已知(2－x 2)(1＋ax )3的展开式的所有项系数之和为27，则实数a ＝________，展开式中含x 2的项的系数是________.15. “中国梦”的英文翻译为“ChinaDream”，其中China 又可以简写为CN ，从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有________种. 16.若函数f (x )＝a ln x (a ∈R )与函数g (x )＝x 在公共点处有共同的切线，则实数a 的值为________.四、解答题（本题共6小题，共70分）17.（10分）已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋n －1. (1)设b n ＝a n ＋n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求S n .18.（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3b 2＋3c 2－42bc ＝3a 2. (1)求sin A ；(2)若3c sin A ＝2a sin B ，△ABC 的面积为2，求△ABC 的周长.19.（12分）已知如图1直角梯形ABCD ，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，E 为AB 的中点，沿EC 将梯形ABCD 折起(如图2)，使平面BED ⊥平面AECD .(1)证明：BE ⊥平面AECD ；(2)在线段CD 上是否存在点F ，使得平面FAB 与平面EBC 所成的锐二面角的余弦值为23，若存在，求出点F 的位置；若不存在，请说明理由.20.（12分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，且椭圆C 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，22.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且与圆：x 2＋y 2＝2交于E ，F 两点，求|AB |·|EF |2的取值范围.21.（12分）某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额(单位：千元)，网购次数和支付方式等进行了问卷调査.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[0，30]内，按[0，5]，(5，10]，(10，15]，(15，20]，(20，25]，(25，30]分成6组，其频率分布直方图如图所示.(1)估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；(2)将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；男女总计网购迷20非网购迷 45总计100(3)调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：网购总次数支付宝支付次数银行卡支付次数微信支付次数将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为ξ，求ξ的期望.附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .临界值表：22.（12分）已知函数f (x )＝x －1＋a e x. (1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝－1时，设－1<x 1<0，x 2>0且f (x 1)＋f (x 2)＝－5，证明：x 1－2x 2>－4＋1e .参考答案一、单选 1.答案 C解析 ∵N ＝{x |－2<x <3}，M ＝{x |－4<x <2}， ∴M ∩N ＝{x |－2<x <2}，故选C. 2.答案 C解析 ∵z 在复平面内对应的点为(x ，y )， ∴z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ). 3.答案 C解析由函数y ＝ln x 的图象(图略)知，当0<a －b <1时，ln(a －b )<0，故A 不正确；因为函数y ＝3x 在R 上单调递增，所以当a >b 时，3a >3b ，故B 不正确；因为函数y ＝x 3在R 上单调递增，所以当a >b 时，a 3>b 3，即a 3－b 3>0，故C 正确；当b <a <0时，|a |<|b |，故D 不正确.故选C.∵|z －i|＝1，∴|x ＋(y －1)i|＝1，∴x 2＋(y －1)2＝1.故选C. 4.答案 B解析 ∵a ·b ＝0＝cos α·cos(－α)＋sin α·sin(－α)＝cos 2a －sin 2α＝cos 2α， ∴2α＝2k π±π2(k ∈Z )，解得α＝k π±π4(k ∈Z )，∴a ·b ＝0是α＝k π＋π4(k ∈Z )的必要不充分条件，故选B. 5.答案 A解析不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6，所以|OF |＝ 6. 6.答案 A解析因为数列{a n }是正项等比数列，a 2a 8＝a 25＝16a 5，所以a 5＝16，又a 3＋a 5＝20，所以a 3＝4，所以q ＝2，a 1＝1，所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1，因为a m a n ＝32，所以2m －12n －1＝210，即m ＋n ＝12，所以1m ＋4n ＝112(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝112⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥112⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2n m ·4m n ＝34(m >0，n >0)，当且仅当n ＝2m ，即m ＝4，n ＝8时“＝”成立，所以1m ＋4n 的最小值为34.又tan∠POF ＝b a ＝22，所以等腰△POF 的高h ＝62×22＝32，所以S △PFO ＝12×6×32＝324.7.答案 C解析因为∠BCD ＋∠BAD ＝180°，所以A ，B ，C ，D 四点共圆，∠ADC ＝∠ABC ＝90°.由tan 30°＝2AB ，得AB ＝23，所以AC ＝(23)2＋(26)2＝6.设AC 的中点为E ，MC 的中点为O ，则OE ∥MA ，因为MA ⊥平面ABCD ，所以OE ⊥平面ABCD . 点O 到M ，A ，C ，D 四点距离相等，易知点O 为四面体MACD 外接球的球心，所以OC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝10，所以该球的表面积S ＝4π·OC 2＝40π. 8.答案 B解析设|AB →|＝3a ，|AC →|＝b ，则△ABC 的面积为12×3ab sin π3＝23，解得ab ＝83，由AP →＝mAC →＋12AB →＝mAC →＋34AD →，且C ，P ，D 三点共线，可知m ＋34＝1，即m ＝14，故AP →＝14AC →＋34AD →.以AB 所在直线为x 轴，以A 为坐标原点，过A 作AB 的垂线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，0)，D (2a ，0)，B (3a ，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ，32b ，则AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ，32b ，AD →＝(2a ，0)，AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18b ＋32a ，38b ，则|AP →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18b ＋32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫38b 2＝164b 2＋94a 2＋38ab ＋364b 2＝116b 2＋94a 2＋1 ≥2116b 2×94a 2＋1＝34ab ＋1＝3.⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当116b 2＝94a 2即b ＝6a 时取“＝” 故||AP 的最小值为 3. 二、多选 9.答案 BD解析在A 中，AB 与CE 的夹角为45°，所以直线AB 与平面CDE 不垂直，故A 不符合；在B 中，AB ⊥CE ，AB ⊥DE ，CE ∩DE ＝E ，所以AB ⊥平面CDE ，故B 符合；在C 中，AB 与EC 的夹角为60°，所以直线AB 与平面CDE 不垂直，故C 不符合；在D 中，AB ⊥DE ，AB ⊥CE ，DE ∩CE ＝E ，所以AB ⊥平面CDE ，故D 符合. 10.答案 ABC解析对于选项A,2012年至2013年研发投入占营收比增量为2%,2017年至2018年研发投入占营收比增量为0.3%，所以该选项正确；对于选项B,2013年至2014年研发投入增量为2,2015年至2016年研发投入增量为19，所以该选项正确；对于选项C ，该企业连续12年来研发投入逐年增加，所以该选项是正确的；对于选项D ，该企业连续12年来研发投入占营收比不是逐年增加，如2009年就比2008年的研发投入占营收比下降了.所以该选项是错误的. 11.答案 BCD解析将函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1的图象向左平移π3个单位长度，得到y ＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π3－1＝3cos(2x ＋π)－1＝－3cos 2x －1的图象；再向上平移1个单位长度，得到函数g (x )＝－3cos 2x 的图象，对于函数g (x )，它的最大值为3，由于当x ＝π12时，g (x )＝－32，不是最值，故g (x )的图象不关于直线x ＝π12对称，故A 错误；由于该函数为偶函数，故它的图象关于y 轴对称，故B 正确；它的最小正周期为2π2＝π，故C 正确；当x ＝π4时，g (x )＝0，故函数g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称，故D 正确. 12.答案 BC解析对于A ，函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－12内有增有减，故A 不正确；对于B ，当x ＝－2时，函数y ＝f (x )取得极小值，故B 正确；对于C ，当x ∈(－2,2)时，恒有f ′(x )>0，则函数y ＝f (x )在区间(－2,2)上单调递增，故C 正确；对于D ，当x ＝3时，f ′(x )≠0，故D 不正确. 三、填空 13.答案 1 200解析由题意知高三年级抽取了100－24－26＝50(人)，所以该校学生总人数为600÷50100＝1 200. 14.答案 2 23解析由已知可得，(2－12)(1＋a )3＝27，则a ＝2.所以(2－x 2)(1＋ax )3＝(2－x 2)(1＋2x )3＝(2－x 2)(1＋6x ＋12x 2＋8x 3)，所以展开式中含x 2的项的系数是2×12－1＝23. 15.答案 600解析根据题意，分2步进行分析：先从其他5个字母中任取4个，有C 45＝5(种)选法，再将“ea”看成一个整体，与选出的4个字母全排列，有A 55＝120(种)情况，则不同的排列有5×120＝600(种). 16.答案 e 2解析函数f (x )＝a ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x ，g ′(x )＝12x ，设曲线f (x )＝a ln x 与曲线g (x )＝x 的公共点为(x 0，y 0)，由于在公共点处有共同的切线，∴a x 0＝12x 0，解得x 0＝4a 2，a >0.由f (x 0)＝g (x 0)，可得a ln x 0＝x 0.联立⎩⎨⎧x 0＝4a 2，a ln x 0＝x 0，解得a ＝e2.四、解答题17.(1)证明数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋n －1. 由b n ＝a n ＋n ，那么b n ＋1＝a n ＋1＋n ＋1，∴b n ＋1b n ＝a n ＋1＋n ＋1a n ＋n ＝2a n ＋n －1＋n ＋1a n ＋n＝2；即公比q ＝2，b 1＝a 1＋1＝2，∴数列{b n }是首项为2，公比为2的等比数列. (2)解由(1)可得b n ＝2n ， ∴a n ＋n ＝2n ，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －n ， ∴数列{a n }的前n 项和为S n ＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n －n＝(21＋22＋…＋2n )－(1＋2＋3＋…＋n ) ＝2n ＋1－2－n 22－n2.18.解 (1)因为3b 2＋3c 2－42bc ＝3a 2，所以b 2＋c 2－a 2＝423bc ，在△ABC 中，由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝223，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－89＝13.(2)因为3c sin A ＝2a sin B ，所以3ac ＝2ab ，即b ＝3c2.因为△ABC 的面积为2，所以12bc sin A ＝2，即2×2×3＝2，解得c ＝2. 所以b ＝32，在△ABC 中，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝6，所以a ＝6，所以△ABC 的周长为2＋32＋ 6. 19.(1)证明连接AC ，则AC ⊥DE ，又平面BDE ⊥平面AECD ，平面BDE ∩平面AECD ＝DE ，AC ⊂平面AECD ，所以AC ⊥平面BDE ，所以AC ⊥BE .又BE ⊥CE ，AC ∩CE ＝C ，AC ，CE ⊂平面AECD ，所以BE ⊥平面AECD .(2)解如图，由(1)得BE ⊥平面AECD ，所以BE ⊥AE .所以EA ，EB ，EC 两两垂直，分别以EA →，EB →，EC →方向为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系E －xyz 如图所示，则E (0，0，0)，A (2，0，0)，B (0，2，0)，设F (a ，0，2)，0≤a ≤2，所以AF →＝(a －2，0，2)，BF →＝(a ，－2，2)，设平面FAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧AF →·n ＝(a －2)x ＋2z ＝0，BF →·n ＝ax －2y ＋2z ＝0，取x ＝2，得n ＝(2，2，2－a ). 取平面EBC 的法向量为m ＝(1，0，0).所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝2a 2－4a ＋12＝23，所以线段CD 上存在点F ，且F 为CD 中点时，使得平面FAB 与平面EBC 所成的锐二面角的余弦值为23.20.解 (1)由已知可得c a ＝33，所以a 2＝32b 2，所以椭圆C 的方程为x 232b2＋y 2b 2＝1，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，22代入方程得b 2＝2，即a 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 23＋y 22＝1. (2)由(1)知椭圆的右焦点为(1，0).①若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝1，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－233，E (1，1)，F (1，－1)，所以|AB |＝433，|EF |2＝4，|AB |·|EF |2＝1633； ②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线l 与椭圆方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 22＝1，y ＝k (x －1)，可得(2＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0，则x 1＋x 2＝6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2，所以|AB |＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 22＋3k 22－4×3k 2－62＋3k 2＝43(k 2＋1)2＋3k 2，因为圆心(0，0)到直线l 的距离d ＝|k |k 2＋1，所以|EF |2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫2－k 2k 2＋1＝4(k 2＋2)k 2＋1，所以|AB |·|EF |2＝43(k 2＋1)2＋3k 2·4(k 2＋2)k 2＋1＝163(k 2＋2)2＋3k 2＝1633·k 2＋2k 2＋23＝1633⎝⎛⎭⎪⎫1＋43k 2＋23，因为k 2∈[0，＋∞)，所以|AB |·|EF |2∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1633，163，综上，|AB |·|EF |2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1633，163.21.解 (1)在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为(0.01＋0.02＋0.04)×5＝0.35，后2个小矩形的面积之和为(0.04＋0.03)×5＝0.35，所以中位数位于区间(15，20]内. 设直方图的面积平分线为15＋x ，则0.06x ＝0.5－0.35＝0.15，得x ＝2.5，所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为17.5千元.(2)由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为0.35×100＝35，所以“网购迷”共有35人，由列联表知，其中女性有20人，则男性有15人. 所以补全的列联表如下：因为K 2＝100(45×20－15×20)260×40×35×65＝60091≈6.593>5.024，查表得P (K 2≥5.024)＝0.025，所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”.(3)由表知，甲，乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为12，23. 设甲、乙两人采用支付宝支付的次数分别为X ，Y ，由题意知，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23.所以E (X )＝2×12＝1，E (Y )＝2×23＝43. 因为ξ＝X ＋Y ，则E (ξ)＝E (X )＋E (Y )＝73，所以ξ的期望为73.22.(1)解 f ′(x )＝1＋a e x ，当a ≥0时，f ′(x )>0，则f (x )在R 上单调递增.当a <0时，令f ′(x )>0，得x <ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，则f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，令f ′(x )<0，得x >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，则f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞.综上所述，当a ≥0时，f (x )在R 上单调递增；当a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上单调递减. (2)证明方法一设g (x )＝f (x )＋2x ＝－e x ＋3x －1，则g ′(x )＝－e x ＋3，由g ′(x )<0得x >ln 3；由g ′(x )>0得x <ln 3，故g (x )max ＝g (ln 3)＝3ln 3－4<0，从而得g (x )＝f (x )＋2x <0， ∵f (x 1)＋f (x 2)＝－5，∴f (x 2)＋2x 2＝－5－f (x 1)＋2x 2<0，即x 1－2x 2>－4＋1e .方法二 ∵f (x 1)＋f (x 2)＝－5， ∴x 1＝1e x ＋2e x －x 2－3， ∴x 1－2x 2＝1e x ＋2e x －3x 2－3，设g (x )＝e x －3x ，则g ′(x )＝e x －3，由g ′(x )<0得x <ln 3，由g ′(x )>0得x >ln 3，故g (x )min ＝g (ln 3)＝3－3ln 3. ∵－1<x 1<0，x 2>0，∴x 1－2x 2>e －1＋3－3ln 3－3＝1e －3ln 3，∵3ln 3＝ln 27<4， ∴x 1－2x 2>－4＋1e .。

2020-2021学年山东省高考二模考试数学试题（文）及答案解析

2020-2021学年⼭东省⾼考⼆模考试数学试题（⽂）及答案解析⼭东省⾼三下学期⼆模考试⾼三数学（⽂科）试题第Ⅰ卷（共50分）⼀、选择题：本⼤题共10个⼩题,每⼩题5分,共50分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1.设全集U R =，集合{}2|20M x x x =+->，11|()22x N x -?=≥，则()U M N =I e（） A ．[]2,0-B ．[]2,1-C ．[]0,1D ．[]0,22.若复数(1)(3)mi i ++（i 是虚数单位，m R ∈）是纯虚数，则复数31m ii+-的模等于（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.已知平⾯向量a r 和b r 的夹⾓为60?，(2,0)a =r ，||1b =r ，则|2|a b +=r r（）A ．20B ．12C ．D ．4.已知3cos 5α=，cos()10αβ-=，且02πβα<<<，那么β=（）A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 5.设3log 6a =，4log 8b =，5log 10c =，则（） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．b a c >>6.某产品的⼴告费⽤x 万元与销售额y 万元的统计数据如表：根据上表可得回归⽅程9.4y x a =+，据此模型预测，⼴告费⽤为6万元时的销售额为（）万元 A ．63.6B ．65.5C ．72D ．67.77.下列说法正确的是（）A ．命题“x R ?∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ?∈，210x x ++>”B ．命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的否命题是：“若2320x x -+=，则1x ≠或2x ≠”C ．直线1l ：210ax y ++=，2l ：220x ay ++=，12//ll 的充要条件是12a = D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题是真命题8.已知双曲线22221x y a b-=（a >，0b >）的两条渐进线与抛物线24y x =的准线分别交于A ，B两点，O 为坐标原点，若AOB S ?=e =（）A ．32B ．2C ．2 D9.已知某空间⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的体积为（）A ．403B ．343C ．4210+D ．436 10.已知函数|ln |,0,()(2),2,x x e f x f e x e x e <≤?=?-<f x b -=+（b R ∈）的四个实根从⼩到⼤依次为1x ，2x ，3x ，4x ，对于满⾜条件的任意⼀组实根，下列判断中⼀定成⽴的是（） A ．122x x += B ．2234(21)e x x e <<-C ．340(2)(2)1e x e x <--<D ．2121x x e <<第Ⅱ卷（共100分）⼆、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.已知函数221,1,()log (1),1,x x f x x x ?-≤=?->?则7(())3f f = ．12.在长为5的线段AB 上任取⼀点P ，以AP 为边长作等边三⾓形，3和3的概率为．13.设x，y满⾜约束条件360,20,0,0,x yx yx y--≤-+≥≥≥则22x y+的最⼤值为．14.执⾏如图所⽰的程序框图，则输出的结果是．15.若对任意的x D∈，均有()()()g x f x h x≤≤成⽴，则称函数()f x为函数()g x到函数()h x在区间D上的“任性函数”．已知函数()f x kx=，2()2g x x x=-，()(1)(ln1)h x x x=++，且()f x 是()g x到()h x在区间[]1,e上的“任性函数”，则实数k的取值范围是．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共75分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.）16.某⾷品⼚为了检查甲、⼄两条⾃动包装流⽔线的⽣产情况，随机在这两条流⽔线上各抽取40件产品作为样本，并称出它们的重量（单位：克），重量值落在[495,510)内的产品为合格品，否则为不合格品，统计结果如表：（Ⅰ）求甲流⽔线样本合格的频率；（Ⅱ）从⼄流⽔线上重量值落在[]505,515内的产品中任取2个产品，求这2件产品中恰好只有⼀件合格的概率．17.已知函数()4sin cos()33f x x x π=++，0,6x π??∈. （Ⅰ）求函数()f x 的值域；（Ⅱ）已知锐⾓ABC ?的两边长a ，b 分别为函数()f x 的最⼩值与最⼤值，且ABC ?的外接圆半径为32，求ABC ?的⾯积． 18.如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，E 为SA 的中点，2SB =，3BC =，13SC =．（Ⅰ）求证：//SC 平⾯BDE ；（Ⅱ）求证：平⾯ABCD ⊥平⾯SAB ．19.已知等⽐数列{}n a 的前n 项和为n S ，且163n n S a +=+（a N +∈）．（Ⅰ）求a 的值及数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设122233(1)(221)(log 2)(log 1)n n n n n n b a a --++=++，求{}n b 的前n 项和n T ． 20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点，左右焦点分别为1F 、2F ，圆222x y +=与直线0x y b ++=相交所得弦长为2．（Ⅰ）求椭圆C 的标准⽅程；（Ⅱ）设Q 是椭圆C 上不在x 轴上的⼀个动点，Q 为坐标原点，过点2F 作OQ 的平⾏线交椭圆C 于M 、N 两个不同的点，求||||MN OQ 的取值范围． 21.已知函数21()2ln (2)2f x x a x a x =-+-，a R ∈．（Ⅰ）当1a =-时，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）当0a <时，讨论函数()f x 单调性；（Ⅲ）是否存在实数a ，对任意的m ，(0,)n ∈+∞，且m n ≠，有()()f m f n a m n->-恒成⽴？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．⾼三数学（⽂科）试题答案⼀、选择题1-5:ACDCA 6-10:BDDBB⼆、填空题13 12.2513.52 14.8 15.[]2,2e - 三、解答题16.解：（Ⅰ）由表知甲流⽔线样本中合格品数为814830++=，故甲流⽔线样本中合格品的频率为300.7540=．（Ⅱ）⼄流⽔线上重量值落在[]505,515内的合格产品件数为0.025404??=，不合格产品件数为0.015402??=．设合格产品的编号为a ，b ，c ，d ，不合格产品的编号为e ，f ．抽取2件产品的基本事件空间为{(,)a b Ω=，(,)a c ，(,)a d ，(,)a e ，(,)a f ，(,)b c ，(,)b d ，(,)b e ，(,)b f ，(,)c d ，(,)c e ，(,)c f ，(,)d e ，(,)d f ，}(,)e f 共15个．⽤A 表⽰“２件产品恰好只有⼀件合格”这⼀基本事件，则{(,)A a e =，(,)a f ，(,)b e ，(,)b f ，(,)c e ，(,)c f ，(,)d e ，}(,)d f 共8个，故所求概率815P =． 17.解：（Ⅰ）1()4sin (cos )22f x x x x =?-+22sin cos x x x =-+sin 22x x =2sin(2)3x π=+，∵06x π≤≤，∴22333ππ≤+≤，sin(2)13x π≤+≤，∴函数()f x的值域为2??．（Ⅱ）依题意a =2b =，ABC ?的外接圆半径4r =，sin 2a A r ===，sin 232b B r ===，cos 3A =，1cos 3B =，sin sin()sin cos cos sin 3C A B A B A B =+=+=，∴11sin 2223ABC S ab C ?==?=． 18.证明：（Ⅰ）连接AC 交BD 于F ，则F 为AC 中点，连接EF ，∵E 为SA 的中点，F 为AC 中点，∴//EF SC ，⼜EF ?⾯BDE ，SC ?⾯BDE ，∴//SC 平⾯BDE ．（Ⅱ）∵2SB =，3BC =，13SC =，∴222SB BC SC +=，∴BC SB ⊥，⼜四边形ABCD 为矩形，∴BC AB ⊥，⼜AB 、SB 在平⾯SAB 内且相交，∴BC ⊥平⾯SAB ，⼜BC ?平⾯ABCD ，∴平⾯ABCD ⊥平⾯SAB ．19.解：（Ⅰ）∵等⽐数列{}n a 满⾜163n n S a +=+（a N +∈），1n =时，169a a =+；2n ≥时，1166()3(3)23n n n n n n a S S a a +-=-=+-+=?.∴13n n a -=，1n =时也成⽴，∴169a ?=+，解得3a =-，∴13n n a -=.（Ⅱ）122233(1)(221)(log 2)(log 1)n n n n n n b a a --++=++1222(1)(221)(1)n n n n n --++=+12211(1)(1)n n n -??=-+??+?? .当n 为奇数时，22222221111111()()11223(1)(1)n T n n n ??=+-++++=+??++??…；当n 为偶数时，n T =22222221111111()()11223(1)(1)n n n ??+-++-+=-??++??…. 综上，1211(1)(1)n n T n -=+-+． 20.解：（Ⅰ）由已知可得：圆⼼到直线0x y b ++=的距离为11=，所以b =，⼜椭圆C经过点，所以221413a b+=，得到a = 所以椭圆C 的标准⽅程为22132x y +=．（Ⅱ）设00(,)Q x y ，11(,)M x y ，22(,)N x y ，OQ 的⽅程为x my =，则MN 的⽅程为1x my =+.由22,1,32x my x y =+=??得222226,236,23m x m y m ?=??+??=?+?即22022026,236.23m x m y m ?=??+?=+所以0||||OQ y ==由221,1,32x my x y =++=??，得22(23)440m y my ++-=，所以122423m y y m +=-+，122423y y m =-+，12||||MN y y =-====所以||||MNOQ====，因为2 11m+≥，所以21011m<≤+，即212231m<+≤+，即213221m≤<++，所以||23||MNOQ≤<，即||||MNOQ的取值范围为[,2) 3．21.解：（Ⅰ）当1 a=-时，21()2ln32f x x x x=+-，2232(1)(2)x x x xf x xx x x-+--=+-==．当01x<<或2x>时，'()0f x>，()f x单调递增；当12x<<时，'()f x<，()f x单调递减，所以1x=时，5()(1)2f x f==-极⼤值；2x=时，()(2)2ln24 f x f==-极⼩值．（Ⅱ）当0a<时，2'()(2)ax=-+-2(2)2x a x ax+--=(2)()x x ax-+=，①当2a->，即2a<-时，由'()0f x>可得02x<<或x a>-，此时()f x单调递增；由'()0 f x<可得2x a<<-，此时()f x单调递减；②当2a-=，即2a=-时，'()0f x≥在(0,)+∞上恒成⽴，此时()f x单调递增；③当2a-<，即20a-<<时，由'()0f x>可得0x ax>，此时()f x单调递增；由'()0f x<可得2a x-<<，此时()f x单调递减．综上：当2a <-时，()f x 增区间为(0,2)，(,)a -+∞，减区间为(2,)a -；当2a =-时，()f x 增区间为(0,)+∞，⽆减区间；当20a -<<时，()f x 增区间为(0,)a -，(2,)+∞，减区间为(,2)a -．（Ⅲ）假设存在实数a ，对任意的m ，(0,)n ∈+∞，且m n ≠，有()()1f m f n a m ->-恒成⽴，不妨设0m n >>，则由()()1f m f n a m ->-恒成⽴可得：()()f m am f n an ->-恒成⽴，令()()g x f x ax =-，则()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以'()0g x ≥恒成⽴，即'()0f x a -≥恒成⽴，∴2(2)0ax a a x-+--≥，即2220x x a x --≥恒成⽴，⼜0x >，∴2220x x a --≥在0x >时恒成⽴，∴2min11(2)22a x x ??≤-=-??，∴当12a ≤-时，对任意的m ，(0,)n ∈+∞，且m n ≠，有()()1f m f n a m ->-恒成⽴.。

山东省2020届高三数学二模试卷

山东省2020届高三数学二模试卷含解析一、单选题（共8题；共16分）1.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.2.已知集合，则（）A. B. C. D.3.设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（）A. B.C. D.4.设，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.5.已知正方形的边长为（）A. 3B. -3C. 6D. -66.函数y= 的图象大致是（）A. B.C. D.7.已知O，A，B，C为平面内的四点，其中A，B，C三点共线，点O在直线外，且满足.其中，则的最小值为（）A. 21B. 25C. 27D. 348.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.椭球是椭圆绕其长轴旋转所成的旋转体，如图，将底面半径都为.高都为的半椭球和已被挖去了圆锥的圆柱（被挖去的圆锥以圆柱的上底面为底面，下底面的圆心为顶点）放置于同一平面上，用平行于平面且与平面任意距离d处的平面截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环，可以证明圆= 圆环总成立.据此，椭圆的短半轴长为2，长半轴长为4的椭球的体积是（）A. B. C. D.二、多选题（共4题；共12分）9.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中错误的是（）A. 消耗1升汽油乙车最多可行驶5千米.B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多.C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油.D. 某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油.10.设，分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则关于该双曲线的下列结论正确的是（）A. 渐近线方程为B. 渐近线方程为C. 离心率为D. 离心率为11.已知函数的图象的一条对称轴为，则下列结论中正确的是（）A. 是最小正周期为的奇函数B. 是图像的一个对称中心C. 在上单调递增D. 先将函数图象上各点的纵坐标缩短为原来的，然后把所得函数图象再向左平移个单位长度，即可得到函数的图象.12.如图，点M是正方体中的侧面上的一个动点，则下列结论正确的是（）A. 点M存在无数个位置满足B. 若正方体的棱长为1，三棱锥的体积最大值为C. 在线段上存在点M，使异面直线与所成的角是D. 点M存在无数个位置满足到直线和直线的距离相等.三、填空题（共3题；共3分）13.古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为________14.已知点A，B，C，D均在球O的球面上，，，若三棱锥体积的最大值是，则球O的表面积为________15.设是定义在R上且周期为6的周期函数，若函数的图象关于点对称，函数在区间（其中）上的零点的个数的最小值为，则________四、双空题（共1题；共1分）16.动圆E与圆外切，并与直线相切，则动圆圆心E的轨迹方程为________，过点作倾斜角互补的两条直线，分别与圆心E的轨迹相交于A，B两点，则直线的斜率为________.五、解答题（共6题；共61分）17.已知△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，________，求△的周长L和面积S.在① ，，② ，，③ ，这三个条件中，任选一个补充在上面问题中的横线处，并加以解答.18.已知为等差数列，，，为等比数列，且，.（1）求，的通项公式；（2）记，求数列的前n项和.19.如图所示，在等腰梯形中，∥，，直角梯形所在的平面垂直于平面，且，.（1）证明：平面平面；（2）点在线段上，试确定点的位置，使平面与平面所成的二面角的余弦值为.20.已知椭圆经过点，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）设直线与椭圆C相交于A，B两点，若以，为邻边的平行四边形的顶点P在椭圆C上，求证：平行四边形的面积为定值.21.在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区200名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位：天）人数17 41 62 50 26 3 1附：0.05 0.025 0.0103.841 5.024 6.635，其中（1）求这200名患者的潜伏期的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述200名患者中抽取40人得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期天潜伏期天总计50岁以上（含50岁）2050岁以下9总计40（3）以这200名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立.为了深入硏究，该研究团队在该地区随机调查了10名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？22.已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明曲线分别在点和点处的切线为不同的直线；（3）已知过点能作曲线的三条切线，求m，n所满足的条件.答案解析部分一、单选题1.【答案】B【解析】【解答】解：由于角的终边经过点，则，．故答案为：B．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得和的值，可得的值．2.【答案】C【解析】【解答】解：集合则.故答案为：C.【分析】先化简集合B，再根据交集的定义即可求出.3.【答案】A【解析】【解答】解：∵z在复平面内对应的点为，∴，又，.故答案为：A.【分析】由z在复平面内对应的点为，可得，然后代入，即可得答案.4.【答案】D【解析】【解答】解：，，，∴.故答案为：D.【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解.5.【答案】A【解析】【解答】解：因为正方形的边长为3，，则.故答案为：A.【分析】直接根据向量的三角形法则把所求问题转化为已知长度和夹角的向量来表示，即可求解结论.6.【答案】D【解析】【解答】解：当x＞0时，y=xlnx，y′=1+lnx，即0＜x＜时，函数y单调递减，当x＞，函数y单调递增，因为函数y为偶函数，故选：D【分析】根据掌握函数的奇偶性和函数的单调性即可判断．7.【答案】B【解析】【解答】解：根据题意，A，B，C三点共线，点O在直线外，．设，，则，，消去得，（当且仅当时等式成立）.故答案为：B.【分析】根据题意，易得，则，根据基本不等式的应用运算，易得的最小值.8.【答案】C【解析】【解答】解：∵圆= 圆环总成立，∴半椭球的体积为：，∴椭球的体积，∵椭球体短轴长为2，长半轴长为4，∴该椭球体的体积.故答案为：C.【分析】由圆= 圆环总成立，求出椭球的体积，代入b与a的值得答案.二、多选题9.【答案】A,B,C【解析】【解答】解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，∴当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，A错误，符合题意；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，B错误，符合题意；对于C，由图象可知当速度为80km/h 时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km 时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，C错误，符合题意；对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，D正确，不符合题意.故答案为：ABC.【分析】过横轴上某一点做纵轴的平行线，这条线和三条折线的交点的意思是相同速度下的三个车的不同的燃油效率，过纵轴上某一点做横轴的平行线，这条线和三条折线的交点的意思是相同燃油效率下的三个车的不同的速度，利用这一点就可以很快解决问题．涉及到将图形语言转化为数学语言的能力和简单的逻辑推理能力.10.【答案】A,C【解析】【解答】解：设，由，可得，由到直线的距离等于双曲线的实轴长，设的中点，由等腰三角形的性质可得，，即有，，即，可得，即有，则双曲线的渐近线方程为，即；离心率．故答案为：AC．【分析】设，运用双曲线的定义和等腰三角形的性质可得关于a，b，c的方程，再由隐含条件即可得到a与b的关系，求出双曲线的渐近线方程及离心率即可．11.【答案】B,D【解析】【解答】解：，当时，取到最值，即解得，．A：，故不是奇函数，A不符合题意；B：，则是图像的一个对称中心，B符合题意；C：当时，，又在上先增后减，则在上先增后减，C不符合题意；D. 将函数图象上各点的纵坐标缩短为原来的，然后把所得函数图象再向左平移个单位长度，得，D符合题意.故答案为：BD.【分析】化简函数，将代入得函数最值，可求得，进而可得，通过计算，可判断A；通过计算，可判断B；当时，，可得在上的单调性，可判断C；通过振幅变换和平移变换，可判断D12.【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A.连接，由正方体的性质可得，则面当点上时，有，故点M存在无数个位置满足，A符合题意；B.由已知，当点M与点重合时，点M到面的距离最大，则三棱锥的体积最大值为，B符合题意；C. 连接，因为则为异面直线与所成的角设正方体棱长为1，，则，点到线的距离为，，解得，所以在线段上不存在点M，使异面直线与所成的角是，C不符合题意；D. 连接，过M作交于N，由面，面，得，则为点到直线的距离，为点到直线的距离，由已知，则点M在以为焦点，以为准线的抛物线上，故这样的点M有无数个，D符合题意.故答案为：ABD.【分析】通过证明面，可得当点上时，有，可判断A；由已知，当点与点重合时，点到面的距离最大，计算可判断B；C. 连接，因为，则为异面直线与所成的角，利用余弦定理算出的距离，可判断C；连接，过M作交于N，得到，则点在以为焦点，以为准线的抛物线上，可判断D.三、填空题13.【答案】【解析】【解答】解：古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火土之间相生相克的关系，现从五种不同属性的物质中任取两种，基本事件总数，取出的两种物质恰是相克关系包含的基本事件有：水克火，木克土，火克金，土克水，金克木，共5种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为．故答案为：．【分析】基本事件总数，利用列举法求出取出的两种物质恰是相克关系包含的基本事件有5种，由此能求出取出的两种物质恰是相克关系的概率．14.【答案】【解析】【解答】解：设的外接圆的半径为，∵，，则，为直角三角形，且，∵三棱锥体积的最大值是，，，，均在球的球面上，∴到平面的最大距离，设球的半径为，则，即解得，∴球的表面积为.故答案为：.【分析】设的外接圆的半径为r，可得为直角三角形，可求出，由已知得D到平面的最大距离h，设球O的半径为R，则，由此能求出R，从而能求出球O的表面积.15.【答案】，，或（表示不超过x的最大整数）【解析】【解答】将的图象向左平移1个单位，得到的图象，因为函数的图象关于点对称，即有的图象关于原点对称，即为定义在上的奇函数，可得，又为周期为6的周期函数，可得．可令，则，即，可得，当时，在上，有；当时，在上，有；当时，在上，有；当时，在上，有，，…，可得即，或（表示不超过的最大整数）故答案为：，或（表示不超过的最大整数）【分析】由图象平移可知，为定义在R上的奇函数，可得，又为周期为6的周期函数，可得，分别求得时，的值，归纳即可得到所求通项．四、双空题16.【答案】；-1【解析】【解答】解：如图，由题意可知，，则，∴点到直线的距离等于到点的距离，∴动圆圆心的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，则其轨迹方程为；点坐标为，设，由已知设：，即：，代入抛物线的方程得：，即，则，故，设，即，代入抛物线的方程得：，即，则：，故，，直线AB的斜率，∴直线AB的斜率为−1．故答案为：；−1．【分析】由已知可得点到直线的距离等于到点的距离，即动圆圆心的轨迹是以M为焦点，以为准线的抛物线，则轨迹方程可求；设出直线的方程，与抛物线方程联立，求出的坐标，利用斜率公式，即可求得直线的斜率五、解答题17.【答案】解: 选① 因为，，且，，所以，，在△中，，即，所以，由正弦定理得，，因为，所以，所以△的周长，△的面积.选② 因为，所以由正弦定理得，因为，所以. 又因为.由余弦定理得所以. 解得. 所以.所以△的周长.△的面积.选③ 因为，，所以由余弦定理得，.即. 解得或（舍去）.所以△的周长，因为，所以，所以△的面积，【解析】【分析】选择①：根据条件求出，，则可求出，再根据正弦定理可求出，进而可得周长面积；选择②：，，．由正弦定理可得：．由余弦定理可得：，联立解得：，进而可得周长面积；选择③：由余弦定理可得，则周长可求，再根据可得，通过面积公式可得面积18.【答案】（1）解：设等差数列的公差为d，由题意得，解得，所以数列的通项公式，即.设等比数列的公比为，由，，得，，解得，所以数列的通项公式；（2）解：由（1）知，则，，两式相减得，所以【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为d，由等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到；设等比数列的公比为q，由等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到；（2）求得，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．19.【答案】（1）解：因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以，在△中，，，，由余弦定理得，，所以，所以.又，，所以平面，又平面，所以平面平面（2）解：以C为坐标原点，以，所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，，，，，，，，设，则.设平面的一个法向量为，则，即，取，得.设平面的一个法向量为，由，得，令，得，因为平面与平面所成的二面角的余弦值为，所以，整理得，解得或（舍去），所以点M为线段中点时，平面与平面所成的二面角的余弦值为.【解析】【分析】（1）推导出平面，，，从而平面，由此能证明平面平面；（2）以为坐标原点，以，所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点为线段中点时，平面与平面所成的二面角的余弦值．20.【答案】（1）解：因为椭圆过点，代入椭圆方程，可得①，又因为离心率为，所以，从而②，联立①②，解得，，所以椭圆为；（2）解：把代入椭圆方程，得，所以，设，，则，所以，因为四边形是平行四边形，所以，所以P点坐标为.又因为点P在椭圆上，所以，即.因为.又点O到直线的距离，所以平行四边形的面积，即平行四边形的面积为定值.【解析】【分析】（1）由题意可得关于的方程组，求得的值，则椭圆方程可求；（2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及四边形是平行四边形，可得点坐标，把P点坐标代入椭圆方程，得到，利用弦长公式求得，再由点到直线的距离公式求出点O到直线l的距离，代入三角形面积公式即可证明平行四边形的面积为定值21.【答案】（1）解：（天）.（2）解：根据题意，补充完整的列联表如下：潜伏期天潜伏期天总计50岁以上（含50岁）15 5 2050岁以下9 11 20总计24 16 40则，经查表，得，所以没有的把握认为潜伏期与患者年龄有关；（3）解：由题意可知，该地区每名患者潜伏期超过6天发生的概率为.设调查的10名患者中潜伏期超过6天的人数为X，由于该地区人数较多，则近似服从二项分布，即，， (10)由，得化简得，又，所以，即这10名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是4人.【解析】【分析】（1）利用平均值的定义求解即可；（2）根据题目所给的数据填写2×2列联表，根据公式计算，对照题目中的表格，得出统计结论；（3）先求出该地区每名患者潜伏期超过6天发生的概率，设调查的10名患者中潜伏期超过6天的人数为X，由于该地区人数较多，则X近似服从二项分布，即，，…，10，由得：，即这10名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是4人．22.【答案】（1）解：因为，所以，所以当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减；（2）解：因为，所以，.又因为，.所以曲线在点处的切线方程为；曲线在点处的切线方程为.因为.所以.所以两条切线不可能相同.（3）解：设直线l过点与曲线在点处相切，设直线，则消去，得.因为过点能作曲线的三条切线，所以关于的方程有三个不等实根.设，则有三个零点.又，①若，则，所以在上单调递增，至多一个零点，故不符合题意；②若，则当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以的极大值为，极小值为. 又有三个零点，所以，即，所以；③若，则当时，，单调递增；当，，单调递减；当时，，单调递增，所以的极大值为，极小值为.又有三个零点，所以，即，所以，综上所述，当时，；当时，.【解析】【分析】（1）对求导，根据的符号判断的单调性；（2）先分别求出曲线分别在点和点处的切线方程，然后根据条件证明两者为不同的直线的方程；（3）先设直线过点与曲线在点处相切，再设直线，根据两者联立得到方程，要求此方程有三个不等实根即可．然后构造函数，研究该函数有3个零点的条件即可.。

2020届山东省泰安市高三第二轮复习质量检测考试数学试题(解析版)

2020届山东省泰安市高三第二轮复习质量检测考试数学试题一、单选题1．若集合()(){}120A x x x =+-<，{}ln 0B x x =>，则A B =（）A ．{}12x x << B ．{}11x x -<<C ．{}12x x -<<D ．{}21x x -<<【答案】A【解析】分别化简集合A 和B ，然后直接求解A B 即可【详解】∵()(){}{}12012A x x x x x =+-<=-<<，{}{}ln 01B x x x x =>=>，∴{}12A B x x ⋂=<<. 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题 2．已知12iz i-=+，则z =（） A ．1355i - B ．1355i + C ．1355i -- D ．1355i -+ 【答案】B【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，再由共轭复数的概念得结论. 【详解】∵()()()()21212213222555i i i i i i z i i i i -----+====-++-， ∴1355z i =+. 故选：B . 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题． 3．已知直线l 过点P (3，0)，圆22:40C x y x +-=，则（） A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．l 与C 的位置关系不确定【答案】A【解析】代入计算得到点P 在圆内，得到答案. 【详解】2240x y x +-=，即()2224x y -+=，()223204-+<，故点P 在圆内，故l 与C相交. 故选：A. 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，确定点P 在圆内是解题的关键.4．已知()20121nn n px b b x b x b x -=+++⋅⋅⋅+，若123,4b b =-=，则p =（） A ．1 B ．12C ．13D ．14【答案】C【解析】根据二项式定理得到13b pn =-=-，()22142n n b p -==，解得答案. 【详解】()1npx -展开式的通项为：()()()11n rr rrrr n n T C px C px -+=⋅⋅-=⋅-，故()113n b C p pn =⋅-=-=-，()2222142n n n b C p p -=⋅==，解得9n =，13p =.故选：C. 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.5．中国古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，并认为：“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”.从五种不同属性的物质中随机抽取2种，则抽到的两种物质不相生的概率为（） A ．15B ．14C ．13D ．12【答案】D【解析】总共有10种结果，其中相生的有5种，由古典概型的计算公式计算出概率即可【详解】从五种不同属性的物质中随机抽取2种，共2510C =种，而相生的有5种，则抽到的两种物质不相生的概率511102P =-= 故选：D 【点睛】本题考查的是计算古典概型的概率，较简单.6．命题[]2:2,1,0p x x x m ∃∈-+-≤成立的充要条件是（）A ．0m ≥B ．14m ≥-C ．124m -≤≤ D ．2m ≥【答案】B【解析】根据题意2min ()m x x ≥+，设221124y x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，计算得到答案. 【详解】[]2,1x ∃∈-，20x x m +-≤，则2m x x ≥+，故2min ()m x x ≥+，设221124y x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，[]2,1x ∈-，故当12x =-时，函数有最小值为14-. 故14m ≥-. 故选：B. 【点睛】本题考查了充要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力，转化为求函数的最小值是解题的关键.7．在直角三角形ABC 中，,22ACB AC BC π∠===，点P 是斜边AB 上一点，且BP =2PA ，则CP CA CP CB ⋅+⋅=（） A ．4- B ．2-C ．2D ．4【答案】D【解析】如图所示：以CB 为x 轴，CA 为y 轴建立直角坐标系，计算得到答案. 【详解】如图所示：以CB 为x 轴，CA 为y 轴建立直角坐标系，则()0,2A ，()2,0B ，24,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()()242484,0,2,2,04333333CP CA CP CB ⎛⎫⎛⎫⋅+⋅=⋅+⋅=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.【点睛】本题考查了向量的数量积的计算，建立直角坐标系可以简化运算，是解题的关键. 8．已知函数()()212xxa f x x e e ax =--+只有一个极值点，则实数a 的取值范围是（） A ．0a ≤或12a ≥ B ．0a ≤或13a ≥C ．0a ≤D ．0a ≥或13a ≤-【答案】A【解析】讨论0a =，0a ≠两种情况，变换得到x x xe e a-=-，设()x x g x e e -=-，求导得到单调性，画出函数()g x 和xy a=的图像，根据图像得到答案. 【详解】()()212x x af x x e e ax =--+，则()'20x x f x xe ae a =-+=，故0x x a x ae e-+=，当0a =时，()'x fx xe =，函数在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，()'00f =，故函数有唯一极大值点，满足；当0a ≠时，即x x xe e a-=-，设()x x g x e e -=-，则()'2xxg x e e-=+≥恒成立，且()'02g =，画出函数()g x 和xy a=图像，如图所示：根图像知：当12a ≤时，即0a <或12a ≥时，满足条件.综上所述：0a ≤或12a ≥. 故选：A.【点睛】本题考查了根据极值点求参数，变换x x xe e a-=-，画出函数图像是解题的关键.二、多选题9．“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm )服从正态分布，其密度曲线函数为()()()2100200,,102x f x x π--=∈-∞+∞，则下列说法正确的是（）A ．该地水稻的平均株高为100cmB ．该地水稻株高的方差为10C ．随机测量一株水稻，其株高在120cm 以上的概率比株高在70cm 以下的概率大D ．随机测量一株水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)(单位：cm )的概率一样大【答案】AC【解析】根据函数解析式得到100μ=，2100σ=，故A 正确B 错误，根据正态分布的对称性得到C 正确D 错误，得到答案. 【详解】()()2100200102x f x eπ--=，故100μ=，2100σ=，故A 正确B 错误；()()()1208070p x p x p x >=<><，故C 正确；根据正态分布的对称性知：()()()100110901008090p x p x p x <<=<<><<，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查了正态分布，意在考查学生对于正态分布的理解和应用.10．如图，正方体ABCD —1111D C B A 的棱长为2，线段11B D 上有两个动点,M N ，且1MN =，则下列结论正确的是（）A ．AC BM ⊥B ．MN ∥平面ABCDC ．三棱锥A —BMN 的体积为定值D ．△AMN 的面积与△BMN 的面积相等【答案】ABC【解析】如图所示，连接BD ，根据AC ⊥平面11BDD B 得到AC BM ⊥，A 正确，//MN BD ，故MN ∥平面ABCD ，B 正确，计算2A MNB V -=，C 正确，1BMN S =△，1AMN S >△，D 错误，得到答案.【详解】如图所示：连接BD ，易知AC BD ⊥，1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，故1AC DD ⊥，故AC ⊥平面11BDD B ，BM ⊂平面11BDD B ，故AC BM ⊥，A 正确；易知11//D B BD ，故//MN BD ，故MN ∥平面ABCD ，B 正确；11121223323A MNB BMN V S AO -=⋅=⨯⨯⨯=△为定值，故C 正确；1BMN S =△，122AMN hS MN h =⋅=△，其中h 为点A 到直线11B D 的距离，根据图像知2h >，故1AMN S >△，故D 错误；故选：ABC.【点睛】本题考查了立体几何中直线垂直，线面平行，体积的计算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.11．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，双曲线的左焦点在直线50x y ++=上，A 、B 分别是双曲线的左、右顶点，点P 为双曲线右支上位于第一象限的动点，PA ，PB 的斜率分别为12,k k ，则12k k +的取值可能为（） A ．34B ．1C ．43D ．2【答案】CD【解析】计算得到双曲线方程为2214x y -=，则()2,0A -，()2,0B ，设()00,P x y ，1202k y k x =+，根据渐近线方程知：00102y x <<，代入计算得到答案. 【详解】根据题意知：12ba=，5c=，故2a=，1b=，双曲线方程为2214xy-=，则()2,0A-，()2,0B，设()00,P x y，则2214xy-=，00x>，y>，000002120022242y y x y xx x xk ky=+==+--+，根据渐近线方程知：012yx<<，故01212xk ky=>+.故选：CD.【点睛】本题考查了双曲线中斜率的计算，确定012yx<<是解题的关键.12．在平面直角坐标系xOy中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动(无滑动滚动)，点D恰好经过坐标原点，设顶点(),B x y的轨迹方程是()y f x=，则对函数()y f x=的判断正确的是（）A．函数()()22g x f x=-[]39-，上有两个零点B．函数()y f x=是偶函数C．函数()y f x=在[]86--，上单调递增D．对任意的x∈R，都有()()14f xf x+=-【答案】AB【解析】根据题意中的轨迹，画出函数图像，根据图像判断每个选项得到答案.【详解】当以A点为中心滚动时，B点轨迹为()2,0-为圆心，2为半径的14圆弧；当以D点为中心滚动时，B点轨迹为()0,0为圆心，2214圆弧；当以C 点为中心滚动时，B 点轨迹为()2,0为圆心，2为半径的14圆弧；当以B 点为中心滚动时，B 点不动，然后周期循环，周期为8. 画出函数图像，如图所示：()()00220g f =-=，()()()88220220g f f =-=-=，A 正确；根据图像和周期知B 正确；函数()y f x =在[]0,2上单调递减，故在[]86--，上单调递减，C 错误；取2x =-，易知()()122f f ≠--，故D 错误.故选：AB.【点睛】本题考查了轨迹方程，意在考查学生的计算能力和转化能力，画出图像确定周期是解题的关键.三、填空题13．函数cos 434y x x =+的单调递增区间为______.【答案】(),26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【解析】化简得到2sin 46y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，取242262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，解得答案. 【详解】cos 4342sin 46y x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，取242262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，解得(),26212k k x k Z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦. 故答案为：(),26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了三角函数的单调区间，意在考查学生的计算能力.14．北京大兴国际机场为4F 级国际机场、大型国际枢纽机场、国家发展新动力源，于2019年9月25日正式通航.目前建有“三纵一横”4条跑道，分别叫西一跑道、西二跑道、东一跑道、北一跑道，如图所示；若有2架飞往不同目的地的飞机要从以上不同跑道同时起飞，且西一跑道、西二跑道至少有一道被选取，则共有______种不同的安排方法.(用数字作答).【答案】10【解析】根据题意，共有2412A =种选择，排除西一跑道、西二跑道都没有的2种选择，得到答案. 【详解】不考虑西一跑道、西二跑道共有2412A =种选择，排除西一跑道、西二跑道都没有的222A =种选择，共有10种选择.故答案为：10. 【点睛】本题考查了排列的应用，利用排除法可以简化运算，是解题的关键.15．已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为________．【答案】144π【解析】易知当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球O 的半径为R ，列方程求解即可.【详解】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球O 的半径为R ，此时V O －ABC ＝V C －AOB ＝×R 2×R ＝R 3＝36，故R ＝6，则球O 的表面积为S ＝4πR 2＝144π.故答案为144π. 【点睛】本题主要考查了三棱锥体积的求解,球的几何特征和面积公式，属于基础题.四、双空题16．已知抛物线()2:20C x py p =>的准线方程为1y =-，直线:3440l x y -+=与抛物线C 和圆2220x y y +-=从左至右的交点依次为A 、B 、E 、F ，则抛物线C 的方程为______，EF AB=______.【答案】24x y = 16【解析】计算2p =，故抛物线方程为24x y =，联立方程得到114y =，24y =，计算14AB =，4EF =，得到答案.【详解】根据题意知12p-=-，故2p =，故抛物线方程为24x y =，设焦点为()0,1M ， 2220x y y +-=，即()2211x y +-=，直线:3440l x y -+=过圆心，联立方程243440x y x y ⎧=⎨-+=⎩，得到241740y y -+=，解得114y =，24y =.故1111144AB AM =-=+-=，14114EF FM =-=+-=，故16EF AB =. 故答案为：24x y =；16.【点睛】本题考查了抛物线方程，抛物线中的弦长问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.五、解答题17．在①5462a b b =+，②()35144a a b b +=+，③24235b S a b =三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.设{}n a 是公比大于0的等比数列，其前n 项和为{},n n S b 是等差数列.已知11a =，32214352,S S a a a b b -=+=+，__________.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设112233n n n T a b a b a b a b =+++⋅⋅⋅+，求n T . 【答案】（1）1,.n n n a b n -=2=（2）()12 1.n n T n =-⋅+【解析】（1）直接利用等差数列等比数列公式计算得到答案.（2）2nn n a b n =⋅，利用错位相减法计算得到答案.【详解】（1）方案一：选条件①：设等比数列{}n a 的公比为q ，132211,2a S S a a =-=+，220q q ∴--=，解得2q 或1q =-，0q >，2q ∴=，12n na .设等差数列{}n b 的公差为d ，435546,2a b b a b b =+=+，1126831316b d b d +=⎧∴⎨+=⎩，解得111b d =⎧⎨=⎩，n b n ∴=，12,n n n a b n -∴==.方案二：选条件②：设等比数列{}n a 的公比为q ，132211,2a S S a a =-=+，220q q ∴--=，解得2q 或1q =-，0q >，2q ∴=，12n na .设等差数列{}n b 的公差为d ，()4353514,4a b b a a b b =++=+，11268235b d b d +=⎧∴⎨+=⎩，解得111b d =⎧⎨=⎩，n b n ∴=，12,.n n n a b n -∴==方案三：选条件③，设等比数列{}n a 的公比为q ，132211,2a S S a a =-=+，220q q ∴--=，解得2q 或1q =-，0q >，2q ∴=，12n na .设等差数列{}n b 的公差为d ，4352423,5a b b b S a b =+=，112680b d b d +=⎧∴⎨-=⎩，解得111b d =⎧⎨=⎩，n b n ∴=，12,.n n n a b n -∴==（2）12,n n n a b n -==，1122n n n T a b a b a b ∴=++⋅⋅⋅+()01211222122n n n n --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯，()12121222122n n n T n n -∴=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯，12112222n nn T n -∴-=+++⋅⋅⋅+-⨯12221212nn n n n n -=-⨯=--⨯-，()12 1.n n T n ∴=-⋅+【点睛】本题考查了等差数列等比数列通项公式，错位相减法求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.18．如图，在△ABC 中，5:5:3,1sin 5AD DC BD A ===，，0BA BD ⋅=（1）求BC 的长度；（2）若E 为AC 上靠近A 的四等分点，求sin DBE ∠. 【答案】（1）2BC =（2310【解析】（1）计算得到5cos ADB ∠=35DC =，利用余弦定理计算得到答案.（2）根据余弦定理得到5BE =，利用正弦定理计算得到答案. 【详解】（1）0BA BD ∴⋅=，BA BD ∴⊥，在ABD ∆中，1BD =，sin A =，AD ∴=，cos ADB ∠=:5:3AD DC =，DC ∴=，在BCD ∆中，cos 5BDC ∠=-，222=2cos BC CD BD CD BD BDC ∴+-⨯⨯⨯∠9=121555⎛+-⨯⨯- ⎝⎭=4 2BC ∴=.（2）由（1）知AB =2，14AE AC ==cos A =， ABE ∆中，2222cos BE AB AE AB AE A =+-⨯⨯⨯44225=+-⨯85=，5BE ∴=，在sin =55BDE DE BDE ∆=∠中，，sin sin DE BE DBE BDE =∠∠，sin sin 10DE BDE DBE BE ⨯∠∴∠==. 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力和应用能力. 19．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中AB AC ⊥，，侧面11ABB A 是正方形，3,AB AC ==（1）证明：平面11AB C ⊥平面11A BC ；（2）若16AM AC =，求二面角11M BC A --的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）3π 【解析】（1）证明11A C ⊥平面11ABB A 得到111AB AC ⊥，证明1AB ⊥平面11A BC 得到答案.（2）如图，以1A 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -，求得平面1MBC 的一个法向量为61,,15n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，1AB 是平面11A BC 的一个法向量，计算向量夹角得到答案.【详解】（1）三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，111AA AC ∴⊥，AB AC ⊥，1111A C A B ∴⊥，又111,AA A B ⊂平面111111,ABB A AA A B A ⋂=，11A C ∴⊥平面11ABB A ，又1AB ⊂平面11ABB A ，111AB AC ∴⊥，又侧面11ABB A 为正方形，11A B AB ∴⊥，又111,A C A B ⊂平面11A BC ，1111A B A C A =，1AB ∴⊥平面11A BC ，又1AB ⊂平面11AB C ，∴平面11AB C ⊥平面11A BC .（2）如图，以1A 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -，则()()()()()110,0,3,0,3,3,0,3,0,36,0,0,36,0,3A B B C C ，()()136,0,0,0,3,3AC AB ∴==-，()()10,3,0,36,3,3AB BC ==--，MB AB AM ∴=-16AB AC =-62⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面1MBC 的一个法向量为(),,1n x y =，则100n MB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得6155x y ==，61,,155n ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭，又1AB 是平面11A BC 的一个法向量，13315cos ,2321825n AB -∴==-⨯，12,3n AB π∴=， ∴二面角11M BC A --的大小为3π.【点睛】本题考查了面面垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 20．某人玩掷正方体骰子走跳棋的游戏，已知骰子每面朝上的概率都是16，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，……，第100站.一枚棋子开始在第0站，选手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，若掷出朝上的点数为1或2，棋子向前跳两站；若掷出其余点数，则棋子向前跳一站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束；设游戏过程中棋子出现在第n 站的概率为n P .（1）当游戏开始时，若抛掷均匀骰子3次后，求棋子所走站数之和X 的分布列与数学期望；（2）证明：()()1111983n n n n P P P P n +--=--≤≤；（3）若最终棋子落在第99站，则记选手落败，若最终棋子落在第100站，则记选手获胜，请分析这个游戏是否公平.【答案】（1）详见解析（2）证明见解析；（3）游戏不公平，详见解析【解析】（1）随机变量X 的所有可能取值为3，4，5，6，计算概率得到分布列，计算得到数学期望.（2）根据题意得到112133n n n P P P +-=+，化简得到()1113n n n n P P P P +--=--.（3）计算得到9998972133P P P =+，10099P P <，得到答案. 【详解】（1）随机变量X 的所有可能取值为3，4，5，6，()()3213282143,4327339P X P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()2323212115,6339327P X C P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯====⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，随机变量X 的分布列为：()842134564279927E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）由题意知，当198n ≤≤时，棋子要到第()1n +站，有两种情况：①由第n 站跳1站得到，其概率为23n P ； ②由第()1n -站跳2站得到，其概率为113n P -112133n n n P P P +-∴=+，()111211333n n n n n n n P P P P P P P +--∴-=+-=--， ()()1111983n n n n P P P P n +-∴-=--≤≤，（3）由（2）知，当棋子落到第99站游戏结束的概率为9998972133P P P =+，当棋子落到第100站游戏结束的概率为1009813P P =， 10099P P <，∴最终棋子落在第99站的概率大于落在第100站的概率， ∴游戏不公平.【点睛】本题考查了分布列和数学期望，数列的递推公式，概率的计算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率e 满足223220e e -+=，以坐标原点为圆心，椭圆C 的长轴长为半径的圆与直线2450x y -+=相切.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P (0，1)的动直线l (直线l 的斜率存在)与椭圆C 相交于A ，B 两点，问在y 轴上是否存在与点P 不同的定点Q ，使得APQ BPQSQA QB S=恒成立？若存在，求出定点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=（2）存在；定点()0,2Q【解析】（1）根据点到直线距离公式计算得到2a =，计算2e =，得到答案. （2）设()()()()11220,1,,,,Q m m A x y B x y ≠，直线l 的方程为1y kx =+，联立方程得到12122242,2121k x x x x k k +=-=-++，sin sin APQ BPQS QA PQA SQB PQB∠=∠，得到QA QB k k =-，计算得到答案. 【详解】（1）由题意知0045241a -+=+，2a ∴=，由223220e e -+=，解得22e =或2e =，故2c =2b ∴= ∴椭圆C 的方程为22142x y +=.（2）存在，假设y 轴上存在与点P 不同的定点Q ，使得APQ BPQSQA QB S=恒成立，设()()()()11220,1,,,,Q m m A x y B x y ≠，直线l 的方程为1y kx =+，由221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2221420k x kx ++-=，12122242,2121k x x x x k k ∴+=-=-++， ()222168213280k k k ∆=++=+>， 1sin sin 21sin sin 2APQ BPQQP QA PQA S QA PQA S QB PQB QP QB PQB ∆∆∠∠==∠∠， APQ BPQS QA QBS=，sin sin PQA PQB ∴∠=∠，PQA PQB ∴∠=∠，QA QB k k ∴=-，1212y m y mx x --∴=-，()()121212m x x kx x ∴-+=，即()2242122121k m k k k --=-++，解得2m =，∴存在定点()0,2Q ，使得APQBPQS QA QB S ∆∆=恒成立. 【点睛】本题考查了椭圆方程，椭圆中的定点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 22．已知函数()()()11,0xx f x x e x e x -=++-≥.（1）证明：()1011x f x x e x ⎛⎫≤≤+-⎪+⎝⎭；（2）若()32cos 2x x g x ax x x x e ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，当[]()()0,1,x f x g x ∈≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）(],3-∞-【解析】（1）()()xxf x x e e-'=-，得到()0f x '≥，()00f =得到()0f x ≥，整理得到()()221x e x ≥+，即1x e x ≥+，令()()10xx e x x ϕ=--≥，证明()0x ϕ≥得到答案.（2）当[]0,1x ∈时，要证()()f x g x ≥即证()32112cos 02xx x eax x x -⎛⎫+-+++≥ ⎪⎝⎭，令()22cos 2x G x x =+，证明()G x 在[]01，上是减函数，得当3a ≤-时，()()f x g x ≤在[]01，上恒成立，再证明3a >-时，()()f x g x ≥在[]01，上不恒成立，得到答案.【详解】（1）()()xxf x x e e-'=-，当0x ≥时，1,1xx ee -≥≤，()0f x '∴≥，()f x ∴在[)0+∞，上是增函数，又()00f =，()0f x ∴≥.由()111x f x x e x ⎛⎫≤+-⎪+⎝⎭整理得()()221x e x ≥+，即1x e x ≥+，令()()10xx e x x ϕ=--≥，即()'10xx e ϕ=-≥，()x ϕ∴在[)0+∞，上是增函数，又()0x ϕ=，()0x ϕ∴≥，1x e x ∴≥+，()111x f x x e x ⎛⎫∴≤+- ⎪+⎝⎭，综上，()1011x f x x e x ⎛⎫≤≤+-⎪+⎝⎭. （2）当[]0,1x ∈时，要证()()f x g x ≥，即证()()3112cos 2xxx x x e x e ax x x x e -⎛⎫++-≥+++ ⎪⎝⎭，只需证明()32112cos 02xx x eax x x -⎛⎫+-+++≥ ⎪⎝⎭.由（1）可知：当[]0,1x ∈时，()()()110xx f x x e x e -=++-≥，即()211xx ex -+≥-，()332112cos 112cos 22xx x x eax x x x ax x x-⎛⎫∴+-+++≥----- ⎪⎝⎭第 21 页共 21 页 212cos 2x x a x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭，令()22cos 2x G x x =+，则()2sin G x x x '=-，令()2sin H x x x =-，则()12cos H x x '=-，当[]0,1x ∈时，()0H x '<，()G x '∴在[]01，上是减函数，故当[]0,1x ∈时，()()00G x G ''≤=，()G x ∴在[]01，上是减函数，()()0=2G x G ∴≤，()13a G x a ∴++≤+，故当3a ≤-时，()()f x g x ≤在[]01，上恒成立.当3a >-时，由（1）可知：()221x e x ≥+，即()2111x x e x -+≤+， ()3321112cos 12cos 212x x x x e ax x x ax x x x-⎛⎫∴+-+++≤---- ⎪+⎝⎭ 32cos 12x x ax x x x -=---+212cos 12x x a x x ⎛⎫=-+++ ⎪+⎝⎭，令()()2112cos 121x I x a x a G x x x=+++=++++，则()()()211I x G x x -''=++，当[]0,1x ∈时，()0I x '<，()I x ∴在[]01，上是减函数，()I x ∴在[]01，上的值域为[]12cos1,3a a +++.3a >-，30a ∴+>，∴存在[]00,1x ∈，使得()00I x >，此时()()00f x g x <故3a >-时，()()f x g x ≥在[]01，上不恒成立.综上，实数a 的取值范围是(],3-∞-.【点睛】本题考查了利用导数证明不等式，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。

【数学】山东省泰安市2020届高三第二轮复习质量检测数学试题答案

槡，２ａ＝０－０＋４５槡４＋１
∴ ａ＝２
由槡２ｅ２－３２ｅ＋２＝０
解得槡或槡（舍）分ｅ
＝
２２
ｅ＝２
２
槡 ∴ ｂ＝２
椭圆的方程为分 ∴
Ｃ
ｘ２４
＋
ｙ２２
＝１．
４
７
高三第二轮复习质量检测数学试题参考答案第页（共页）公
１
７
分＝１－２ｎ－ｎ × ２ｎ＝２ｎ－１－ｎ × ２ｎ１－２
９
（）· 分 ∴ Ｔｎ＝ｎ－１２ｎ＋１．１０
方案二：选条件：②
（）设等比数列｛｝的公比为１
ａｎ
ｑ．
， ∵ ａ１＝１Ｓ３－Ｓ２＝ａ２＋２ａ１
解得或 ∴ ｑ２－ｑ－２＝０ｑ＝２ｑ＝－１
∵ ｑ＞０
∴ ｑ＝２
分 ∴ ａｎ＝２ｎ－１．２
设等差数列｛｝的公差为ｂｎ
ｃｏｓ∠ＢＤＣ
＝
－
５５
∴ ＢＣ２＝ＣＤ２＋ＢＤ２－２ × ＣＤ × ＢＤ × ｃｏｓ∠ＢＤＣ
槡（槡）＝
９５
＋
１
－
２
×
３５
５
×
１
×
－
５５
分＝４
∴ ＢＣ＝２６
（）由（）知Leabharlann ，槡，槡２１ＡＢ＝２
ＡＥ＝
１４
令（）（），则（）， φ ｘ＝ｅｘ－ｘ－１ｘ≥０
φ′ ｘ＝ｅｘ－１≥０

2020版高考理科数学突破二轮复习新课标通用讲义：专题八第1讲数学文化 Word版含答案

第1讲数学文化函数中的数学文化题[典型例题]中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．定义：图象能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，给出下列命题：①对于任意一个圆O，其“太极函数”有无数个；②函数f(x)＝ln(x2＋x2＋1)可以是某个圆的“太极函数”；③正弦函数y＝sin x可以同时是无数个圆的“太极函数”；④函数y＝f(x)是“太极函数”的充要条件为函数y＝f(x)的图象是中心对称图形．其中正确的命题为()A．①③B．①③④C．②③D．①④【解析】过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分，故对于任意一个圆O，其“太极函数”有无数个，故①正确；函数f(x)＝ln(x2＋x2＋1)的图象如图1所示，故其不可能为圆的“太极函数”，故②错误；将圆的圆心放在正弦函数y ＝sin x 图象的对称中心上，则正弦函数y ＝sin x 是该圆的“太极函数”，从而正弦函数y ＝sin x 可以同时是无数个圆的“太极函数”，故③正确；函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形，则y ＝f (x )是“太极函数”，但函数y ＝f (x )是“太极函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图2所示，故④错误．故选A ．【答案】 A中华太极图，悠悠千古昭著于世，像朝日那样辉煌宏丽，又像明月那样清亮壮美．它是我们华夏先祖的智慧结晶，它是中国传统文化的骄傲象征，它更是中华民族献给人类文明的无价之宝．试题通过太极图展示了数学文化的民族性与世界性．[对点训练] (2019·福建泉州两校联考)我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．”其意思为：“今有人持金出五关，第1关所收税金为持金的12，第2关所收税金为剩余持金的13，第3关所收税金为剩余持金的14，第4关所收税金为剩余持金的15，第5关所收税金为剩余持金的16，5关所收税金之和恰好重1斤．”则在此问题中，第5关所收税金为( )A ．136斤 B ．130斤 C ．125斤 D ．120斤解析：选C ．设此人持金x 斤，根据题意知第1关所收税金为x 2斤；第2关所收税金为x 6斤；第3关所收税金为x 12斤；第4关所收税金为x 20斤；第5关所收税金为x 30斤．易知x 2＋x 6＋x 12＋x 20＋x 30＝1，解得x ＝65.则第5关所收税金为125斤．故选C ．数列中的数学文化题[典型例题](1)(2019·湖南长沙雅礼中学模拟)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”设该金箠由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金箠截成长度相等的10段，记第i 段的重量为a i (i ＝1，2，…，10)，且a 1<a 2<…<a 10，若48a i ＝5M ，则i ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7(2)(2019·河北辛集中学期中)中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里．”其意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里．”若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的总路程为( )A ．17532里 B ．1 050里 C ．22 57532里 D ．2 100里【解析】 (1)由题意知，由细到粗每段的重量组成一个等差数列，记为{a n }，设公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝2，a 9＋a 10＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝2，2a 1＋17d ＝4⇒⎩⎨⎧a 1＝1516，d ＝18. 所以该金箠的总重量 M ＝10×1516＋10×92×18＝15. 因为48a i ＝5M ，所以有48[1516＋(i －1)×18]＝75，解得i ＝6，故选C ．(2)由题意可知，马每天行走的路程组成一个等比数列，设该数列为{a n }，则该匹马首日行走的路程为a 1，公比为12，则有a 1[1－(12)7]1－12＝700，则a 1＝350×128127，则a 1[1－(12)14]1－12＝22 57532(里)．故选C ．【答案】 (1)C (2)C(1)数列中的数学文化题一般以我国古代数学名著中的等差数列和等比数列问题为背景，考查等差数列和等比数列的概念、通项公式和前n 项和公式．(2)解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，掌握等比(差)数列的概念、通项公式和前n 项和公式．[对点训练]1．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为：已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？(“钱”是古代的一种重量单位)在这个问题中，丙所得为( )A ．76钱 B ．56钱 C ．23钱 D ．1钱解析：选D ．因为甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，设每人所得依次为a －2d 、a －d 、a 、a ＋d 、a ＋2d ，则a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5，解得a ＝1，即丙所得为1钱，故选D ．2．(一题多解)《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何．其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿( )A ．507斗粟 B ．107斗粟 C ．157斗粟 D ．207斗粟解：选C ．法一：设羊、马、牛主人赔偿的粟的斗数分别为a 1，a 2，a 3，则这3个数依次成等比数列，公比q ＝2，所以a 1＋2a 1＋4a 1＝5，解得a 1＝57，故a 3＝207，a 3－a 1＝207－57＝157，故选C ．法二：羊、马、牛主人赔偿的比例是1∶2∶4，故牛主人应赔偿5×47＝207(斗)，羊主人应赔偿5×17＝57(斗)，故牛主人比羊主人多赔偿了207－57＝157(斗)，故选C ．三角函数中的数学文化题[典型例题]《数书九章》中给出了“已知三角形三边长求三角形面积的求法”，填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代人具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”．若把这段文字写成公式，即S ＝14⎣⎡⎦⎤c 2a 2－⎝⎛⎭⎫c 2＋a 2－b 222，现有周长为22＋5的△ABC 满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝(2－1)∶5∶(2＋1)，用上面给出的公式求得△ABC 的面积为( )A ．32 B ．34 C ．52 D ．54【解析】由正弦定理得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝(2－1)∶5∶(2＋1)，可设三角形的三边分别为a ＝(2－1)x ，b ＝5x ，c ＝(2＋1)x ，由题意得(2－1)x ＋5x ＋(2＋1)x ＝(22＋5)x ＝22＋5，则x ＝1，故由三角形的面积公式可得△ABC 的面积S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2＋1)2(2－1)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋22＋3－22－522＝34，故选B ．【答案】 B我国南宋数学家秦九韶发现的“三斜求积术”虽然与海伦公式(S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )，其中p ＝12(a ＋b ＋c ))在形式上不一样，但两者完全等价，它填补了我国传统数学的一项空白，从中可以看出我国古代已经具有很高的数学水平，人教A 版《必修5》教材对此有专门介绍．本题取材于教材中出现的“三斜求积”公式，考查了运算求解能力，同时也传播了中华优秀传统文化．[对点训练](2019·济南市学习质量评估)我国《物权法》规定：建造建筑物，不得违反国家有关工程建设标准，妨碍相邻建筑物的通风、采光和日照．已知某小区的住宅楼的底部均在同一水平面上，且楼高均为45 m，依据规定，该小区内住宅楼楼间距应不小于52 m．若该小区内某居民在距离楼底27 m高处的某阳台观测点，测得该小区内正对面住宅楼楼顶的仰角与楼底的俯角之和为45°，则该小区的住宅楼楼间距实际为________m.解析：设两住宅楼楼间距实际为x m．如图，根据题意可得，tan∠DCA＝27x，tan∠DCB＝45－27x＝18x，又∠DCA＋∠DCB＝45°，所以tan(∠DCA＋∠DCB)＝27x＋18x1－27x·18x＝1，整理得x2－45x－27×18＝0，解得x＝54或x＝－9(舍去)．所以该小区住宅楼楼间距实际为54 m.答案：54立体几何中的数学文化题[典型例题](1)(2019·高考浙江卷)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是()A．158B．162C．182D．324(2) (2018·郑州第二次质量预测)我国古代数学专著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“鳖臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥．某“鳖臑”的三视图(图中网格纸上每个小正方形的边长为1)如图所示，已知该几何体的高为22，则该几何体外接球的表面积为________．【解析】 (1)如图，该柱体是一个五棱柱，棱柱的高为6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3.则底面面积S ＝2＋62×3＋4＋62×3＝27. 因此，该柱体的体积V ＝27×6＝162.故选B ．(2)由该几何体的三视图还原其直观图，并放入长方体中，如图中的三棱锥A -BCD 所示，其中AB ＝22，BC ＝CD ＝2，易知长方体的外接球即三棱锥A BCD 的外接球，设外接球的直径为2R ，所以4R 2＝(22)2＋(2)2＋(2)2＝8＋2＋2＝12，则R 2＝3，因此外接球的表面积S ＝4πR 2＝12π.【答案】 (1)B (2)12π立体几何中的数学文化题一般以我国古代发现的球的体积公式、圆柱的体积公式、圆锥的体积公式、圆台的体积公式和“牟合方盖”“阳马”“鳖臑”“堑堵”“刍薨”等中国古代几何名词为背景考查空间几何体的三视图、几何体的体积与表面积等． [对点训练]1．《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆堢壔，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一．”这里所说的圆堢壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”，意思是圆柱体的体积为V ＝112×底面圆的周长的平方×高，由此可推得圆周率π的取值为( )A ．3B ．3.1C ．3.14D ．3.2解析：选A ．设圆柱体的底面半径为r ，高为h ，由圆柱的体积公式得体积为V ＝πr 2h .由题意知V ＝112×(2πr )2×h ，所以πr 2h ＝112×(2πr )2×h ，解得π＝3.故选A ． 2．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，与题中描绘的器具形状一样(大小不同)的器具的三视图如图所示(单位：寸)．若在某地下雨天时利用该器具接的雨水的深度为6寸，则这一天该地的平均降雨量约为(注：平均降雨量等于器具中积水的体积除以器具口的面积．参考公式：圆台的体积V ＝13πh (R 2＋r 2＋R ·r )，其中R ，r 分别表示上、下底面的半径，h 为高)( )A ．2寸B ．3寸C ．4寸D ．5寸解析：选A ．由三视图可知，该器具的上底面半径为12寸，下底面半径为6寸，高为12寸．因为所接雨水的深度为6寸，所以水面半径为12×(12＋6)＝9(寸)，则盆中水的体积为13π×6×(62＋92＋6×9)＝342π(立方寸)，所以这一天该地的平均降雨量约为342ππ×122≈2(寸)，故选A ．算法中的数学文化题[典型例题](1)公元三世纪中期，数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并因此创立了割圆术．利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n为(参考数据：sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5)()A．12B．24C．36 D．48(2)我国古代的劳动人民曾创造了灿烂的中华文明，戍边的官兵通过在烽火台上举火向国内报告，烽火台上点火表示数字1，不点火表示数字0，这蕴含了进位制的思想．图中的程序框图的算法思路就源于我国古代戍边官兵的“烽火传信”．执行该程序框图，若输入a＝110011，k＝2，n＝7，则输出的b＝()A．19 B．31C．51 D．63【解析】(1)按照程序框图执行，n＝6，S＝3sin 60°＝332，不满足条件S≥3.10，执行循环；n＝12，S＝6sin 30°＝3，不满足条件S≥3.10，执行循环；n＝24，S＝12sin 15°≈12×0.258 8＝3.105 6，满足条件S≥3.10，跳出循环，输出n的值为24，故选B．(2)按照程序框图执行，b依次为0，1，3，3，3，19，51，当b＝51时，i＝i＋1＝7，跳出循环，故输出b＝51.故选C．【答案】(1)B(2)C辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、进位制和割圆术都是课本上出现的算法案例．其中，更相减损术和秦九韶算法是中国古代的优秀算法，课本上的进位制案例原本不渗透中国古代数学文化，但命题人巧妙地将烽火戍边的故事作为背景，强化了试题的“文化育人”功能．[对点训练]《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之．”翻译为现代语言如下：第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步；第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．现给出“更相减损术”的程序框图如图所示，如果输入的a＝114，b＝30，则输出的n为()A．3 B．6C．7 D．30解析：选C．a＝114，b＝30，k＝1，n＝0，a，b都是偶数，a＝57，b＝15，k＝2，a，b 不满足都为偶数，a＝b不成立，a>b成立，a＝57－15＝42，n＝0＋1＝1；a＝b不成立，a>b 成立，a＝42－15＝27，n＝1＋1＝2；a＝b不成立，a>b成立，a＝27－15＝12，n＝2＋1＝3；a＝b不成立，a>b不成立，a＝15，b＝12，a＝15－12＝3，n＝3＋1＝4；a＝b不成立，a>b不成立，a ＝12，b ＝3，a ＝12－3＝9，n ＝4＋1＝5；a ＝b 不成立，a >b 成立，a ＝9－3＝6，n ＝5＋1＝6；a ＝b 不成立，a >b 成立，a ＝6－3＝3，n ＝6＋1＝7；a ＝b 成立，输出的kb ＝6，n ＝7.概率中的数学文化题[典型例题](1)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，田忌获胜的概率是( )A ．13B ．14C ．15D ．16(2)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被函数y ＝3sin π6x 的图象分割为两个对称的鱼形图案，如图所示，其中小圆的半径均为1，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A ．136B ．118C ．112D ．19【解析】 (1)从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，对阵情况如下表：齐王的马上上上中中中下下下田忌的马上中下上中下上中下双方马的对阵中，有3种对抗情况田忌能赢，所以田忌获胜的概率P ＝39＝13.故选A ．(2)函数y ＝3sin π6x 的图象与x 轴相交于点(6，0)和点(－6，0)，则大圆的半径为6，面积为36π，而小圆的半径为1，两个小圆的面积和为2π，所以所求的概率是2π36π＝118.故选B ．【答案】 (1)A (2)B(1)本例(1)选取田忌赛马这一为人熟知的故事作为背景，考查了古典概型，趣味性很强，利于缓解考生在考场的紧张心理，体现了对考生的人文关怀．(2)本例(2)以中国优秀传统文化太极图为背景，考查几何概型，角度新颖，所给图形有利于考生分析问题和解决问题，给出了如何将抽象的数学问题形象化的范例．[对点训练]1．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中做出了重大贡献．哥德巴赫猜想是“任一大于2的偶数都可写成两个质数的和”，如32＝13＋19.在不超过32的质数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )A ．111B ．211C ．355D ．455解析：选C ．不超过32的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，共11个，随机选取两个不同的数，共有C 211＝55种不同的选法，因为7＋23＝11＋19＝13＋17＝30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种选法，所以概率为355，故选C ．2．(2019·广州市综合检测(一))刘徽是我国魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”．所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法．如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O ，圆O 的半径为2，现随机向圆O 内投放a 粒豆子，其中有b 粒豆子落在正十二边形内(a ，b ∈N *，b <a )，则圆周率的近似值为( )A ．b aB ．a bC ．3a bD ．3b a解析：选C ．依题意可得360°12＝30°，则正十二边形的面积为12×12×2×2×sin 30°＝12.又圆的半径为2，所以圆的面积为4π，现向圆内随机投放a 粒豆子，有b 粒豆子落在正十二边形内，根据几何概型可得124π＝b a ，则π＝3ab，选C ．一、选择题1．“干支纪年法”是中国自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．天干、地支互相配合，配成六十组为一周，周而复始，依次循环．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号为天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥为地支．如：公元1984年为农历甲子年、公元1985年为农历乙丑年，公元1986年为农历丙寅年．则2049年为农历( )A ．己亥年B ．己巳年C ．己卯年D ．戊辰年解析：选B ．法一：由公元1984年为农历甲子年、公元1985年为农历乙丑年，公元1986年为农历丙寅年，可知以公元纪年的尾数在天干中找出对应该尾数的天干，再将公元纪年除以12，用除不尽的余数在地支中查出对应该余数的地支，这样就得到了公元纪年的干支纪年.2049年对应的天干为“己”，因其除以12的余数为9，所以2049年对应的地支为“巳”，故2049年为农历己巳年．故选B ．法二：易知(年份－3)除以10所得的余数对应天干，则2 049－3＝2 046，2 046除以10所得的余数是6，即对应的天干为“己”．(年份－3)除以12所得的余数对应地支，则2 049－3＝2 046，2 046除以12所得的余数是6，即对应的地支为“巳”，所以2049年为农历己巳年．故选B ．2．北宋数学家沈括的主要成就之一为隙积术，所谓隙积，即“积之有隙”者，如累棋、层坛之类，这种长方台形状的物体垛积．设隙积共n 层，上底由a ×b 个物体组成，以下各层的长、宽依次增加一个物体，最下层(即下底)由c ×d 个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式为s ＝n 6[(2a ＋c )b ＋(2c ＋a )d ]＋n6(c －a )，其中a 是上底长，b 是上底宽，c 是下底长，d 是下底宽，n 为层数．已知由若干个相同小球粘黏组成的隙积的三视图如图所示，则该隙积中所有小球的个数为( )A ．83B ．84C ．85D ．86解析：选C ．由三视图知，n ＝5，a ＝3，b ＝1，c ＝7，d ＝5，代入公式s ＝n6[(2a ＋c )b ＋(2c＋a )d ]＋n6(c －a )得s ＝85，故选C ．3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其意思为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，走了六天后(第六天刚好用完)到达目的地．”若将此问题改为“第6天到达目的地”，则此人第二天至少走了( )A ．96里B ．48里C ．72里D ．24里解析：选A ．根据题意知，此人每天行走的路程构成了公比为12的等比数列．设第一天走a 1里，则第二天走a 2＝12a 1(里)．易知a 1[1－⎝⎛⎭⎫126]1－12≥378，则a 1≥192.则第二天至少走96里．故选A ．4．《数术记遗》相传是汉末徐岳(约公元2世纪)所著，该书主要记述了：积算(即筹算)、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算、计数共14种计算方法．某研究性学习小组3人分工搜集整理该14种计算方法的相关资料，其中一人4种，其余两人每人5种，则不同的分配方法种数是( )A ．C 414C 510C 55A 33A 22B ．C 414C 510C 55A 22C 55A 33 C ．C 414C 510C 55A 22D ．C 414C 510C 55解析：选A ．先将14种计算方法分为三组，方法有C 414C 510C 55A 22种，再分配给3个人，方法有C 414C 510C 55A 22×A 33种．故选A ． 5．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(ɡuǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是( )A ．五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸解析：选B ．设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列{a n }，公差为d ，a 1＝15，a 13＝135，则15＋12d ＝135，解得d ＝10.所以a 2＝15＋10＝25，所以小暑的晷长是25寸．故选B ．6．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是( )A ．π15B ．2π5C ．2π15D ．4π15解析：选C ．因为该直角三角形两直角边长分别为5步和12步，所以其斜边长为13步，设其内切圆的半径为r ，则12×5×12＝12(5＋12＋13)r ，解得r ＝2.由几何概型的概率公式，得此点取自内切圆内的概率P ＝4π12×5×12＝2π15.故选C ．7．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤 000 0 艮 001 1 坎 010 2 巽0113依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是( )A ．33B ．34C ．36D ．35解析：选B ．由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B ．8．《九章算术》中有如下问题：“今有卖牛二、羊五，以买一十三豕，有余钱一千；卖牛三、豕三，以买九羊，钱适足；卖六羊、八豕，以买五牛，钱不足六百，问牛、羊、豕价各几何？”依上文，设牛、羊、豕每头价格分别为x 元、y 元、z 元，设计如图所示的程序框图，则输出的x ，y ，z 的值分别是( )A ．1 3009，600，1 1203B ．1 200，500，300C ．1 100，400，600D ．300，500，1 200解析：选B ．根据程序框图得：①y ＝300，z ＝4603，x ＝6 4009，i ＝1，满足i <3；②y ＝400，z ＝6803，x ＝8 6009，i ＝2，满足i <3；③y ＝500，z ＝300，x ＝1 200，i ＝3，不满足i <3；故输出的x ＝1 200，y ＝500，z ＝300.故选B ．9．(2019·洛阳市统考)如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影)，设直角三角形有一个内角为30°，若向弦图内随机抛掷200颗米粒(大小忽略不计，取3≈1.732)，则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为( )A ．20B ．27C ．54D ．64解析：选B ．设大正方形的边长为2，则小正方形的边长为3－1，所以向弦图内随机投掷一颗米粒，落入小正方形(阴影)内的概率为(3－1)24＝1－32，向弦图内随机抛掷200颗米粒，落入小正方形(阴影)内的米粒数大约为200×(1－32)≈27，故选B ． 10．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈7264L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A ．227B ．258C ．15750D ．355113解析：选A ．依题意，设圆锥的底面半径为r ，则V ＝13πr 2h ≈7264L 2h ＝7264(2πr )2h ，化简得π≈227.故选A ．11．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之．亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并，以高乘之，六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为( )A ．392B ．752C ．39D ．6018解析：选B ．设下底面的长为x ⎝⎛⎭⎫92≤x <9，则下底面的宽为18－2x 2＝9－x .由题可知上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，所以其体积V ＝16×3×[(3×2＋x )×2＋(2x ＋3)(9－x )]＝－x 2＋17x 2＋392，故当x ＝92时，体积取得最大值，最大值为－⎝⎛⎭⎫922＋92×172＋392＝752.故选B ．12．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，如图所示，鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且BD ⊥CD ，AB ＝BD ＝CD ，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f (x )，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选A ．如图，作PQ ⊥BC 于Q ，作QR ⊥BD 于R ，连接PR ，则PQ ∥AB ，QR ∥CD .因为PQ ⊥BD ，又PQ ∩QR ＝Q ，所以BD ⊥平面PQR ，所以BD ⊥PR ，即PR 为△PBD 中BD 边上的高．设AB ＝BD ＝CD ＝1，则CP AC ＝x 3＝PQ 1，即PQ ＝x3，又QR 1＝BQ BC ＝APAC ＝3－x 3，所以QR ＝3－x 3，所以PR ＝PQ 2＋QR 2＝⎝⎛⎭⎫x 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x 32＝332x 2－23x ＋3，所以f (x )＝362x 2－23x ＋3＝66⎝⎛⎭⎫x －322＋34，故选A ．二、填空题13．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n ，3)＝12n 2＋12n ；正方形数 N (n ，4)＝n 2；五边形数 N (n ，5)＝32n 2－12n ；六边形数 N (n ，6)＝2n 2－n ； ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10，24)＝________．解析：易知n 2前的系数为12(k －2)，而n 前的系数为12(4－k )．则N (n ，k )＝12(k －2)n 2＋12(4－k )n ，故N (10，24)＝12×(24－2)×102＋12×(4－24)×10＝1 000.答案：1 00014. (2019·湖南师大附中模拟)庄子说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话描述的是一个数列问题，现用程序框图描述，如图所示，若输入某个正整数n 后，输出的S ∈⎝⎛⎭⎫1516，6364，则输入的n 的值为________．解析：框图中首先给累加变量S 赋值0，给循环变量k 赋值1，输入n 的值后，执行循环体，S ＝12，k ＝1＋1＝2.若2>n 不成立，执行循环体，S ＝34，k ＝2＋1＝3.若3>n 不成立，执行循环体，S ＝78，k ＝3＋1＝4.。

山东省2022高三数学二轮专题复习检测题+答案解析(附后)

山东省2022高三数学二轮专题复习检测题（立体几何、直线与圆的方程、圆锥曲线）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设e 是椭圆的离心率，且，则实数k 的取值范围是( )A. B.C.D.2.两圆和的位置关系是( )A. 相离 B. 相交C. 内切D. 外切3.已知直线与直线垂直，则实数( )A.B. 0或C. 0或D. 4.已知棱长为1的正方体中，E ，F 分别为，的中点，则异面直线EF 与BD 所成的角为( )A.B.C. D.5.如图，在菱形ABCD 中，，，E 是AB 的中点，将沿直线DE 翻折至的位置，使得面面BCDE ，则点到直线DB 的距离为( )A. B. C.D.6.设P 是圆上的动点，则点P 到直线的距离的最大值为 ( )A.B. C.D.7.直线l 过点且与以点为端点的线段恒相交，则l 的斜率取值范围是.( )A. B.C.D.8.已知集合，，其中，若中有且仅有两个元素，则r的取值范围为( )A. B. C. D.二、多选题：本题共5小题，共25分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知，分别为直线，的方向向量不重合，，分别为平面，的法向量不重合，则下列说法中正确的有( )A. B. C. D.10.在同一平面直角坐标系中，表示直线：与：的图象可能正确的是( )A. B.C. D.11.已知圆C：，直线l：，则下列结论正确的是( )A. 当时，直线l与圆C相交B. 为圆C上的点，则的最大值为9C. 若圆C上有且仅有两个不同的点到直线l的距离为1，则m的取值范围是D. 若直线l上存在一点P，圆C上存在两点A、B，使，则m的取值范围是12.已知圆M：，则下列四个命题中正确的命题有( )A. 若圆M与y轴相切，则B. 圆M的圆心到原点的距离的最小值为C. 若直线平分圆M的周长，则D. 圆M与圆可能外切13.已知圆O：和圆C：现给出如下结论，其中正确的是( )A. 圆O与圆C有四条公切线B.过C且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或C. 过C且与圆O相切的直线方程为D. P、Q分别为圆O和圆C上的动点，则的最大值为，最小值为三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。

2020届高考数学山东省二轮复习训练习题：第二板块第1讲第2讲平面向量 Word版含解析

第2讲平面向量一、选择题1.(2019河南新乡二模)已知a=(1,2),b=(m,m+3),c=(m-2,-1),若a ∥b,则b ·c=( ) A.-7B.-3C.3D.7答案 B 若a ∥b,则1×(m+3)-2m=0,∴m=3,∴b ·c=m(m-2)-(m+3)=-3.故选B.2.(2019安徽江淮十校5月联考)已知向量a,b 满足|b|=2|a|=1,a ⊥(a-b),则|2a+b|=( ) A.3 B.√3C.√6D.6答案 B 由a ⊥(a-b)且|b|=2|a|=1,得a ·(a-b)=a 2-a ·b=14-a ·b=0,所以a ·b=14,|2a+b|=2+4a ·b +b 2=√4×(12)2+4×14+12=√3.故选B.3.已知向量a=(1,1),2a+b=(4,2),则向量a,b 的夹角的余弦值为( ) A.3√1010B.-3√1010C.√22D.-√22答案 C 因为向量a=(1,1),2a+b=(4,2),所以b=(2,0),则向量a,b 的夹角的余弦值为√2×2=√22. 4.(2019广东六校第一次联考)在△ABC 中,D 为AB 的中点,点E 满足EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.56AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -56AC⃗⃗⃗⃗⃗ C.56AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC⃗⃗⃗⃗⃗ D.43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +56AC⃗⃗⃗⃗⃗ 答案 A 因为D 为AB 的中点,点E 满足EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =43CB⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =43CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =43(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =56AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故选A. 5.如图,在圆C 中,点A,B 在圆上,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的值( )A.只与圆C 的半径有半B.既与圆C 的半径有关,又与弦AB 的长度有关C.只与弦AB 的长度有关D.是与圆C 的半径和弦AB 的长度均无关的定值答案 C 如图,过圆心C 作CD ⊥AB,垂足为D,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos ∠CAB=12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2.所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的值只与弦AB 的长度有关.6.已知在平面直角坐标系xOy 中,P 1(3,1),P 2(-1,3),P 1,P 2,P 3三点共线且向量OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量a=(1,-1)共线,若OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-λ)OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ=( ) A.-3B.3C.1D.-1答案 D 设OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y),则由题意知x+y=0,于是OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 3=(x,-x).已知OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-λ)OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则有(x,-x)=λ(3,1)+(1-λ)(-1,3)=(4λ-1,3-2λ),即{4λ-1=x,3-2λ=-x,所以4λ-1+3-2λ=0,解得λ=-1.7.已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1),点C(-1,0),D(4,5),则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为( ) A.-3√22B.-3√5C.3√22D.3√5答案 C 因为点C(-1,0),D(4,5),所以CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,5),又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1),所以向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5√2=3√22. 8.(2019湖南湘潭模拟)在△ABC 中,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,AB=2,AC=1,E,F 为BC 的三等分点,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.89 B.109C.259D.269答案 B 由|AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,以A 为坐标原点,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴,y 轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C(0,1),不妨设E (43,13),F (23,23),则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(43,13)·(23,23)=89+29=109.9.(2019广东揭阳模拟)已知O 是△ABC 内一点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2且∠BAC=60°,则△OBC 的面积为( ) A.√33B.√3C.√32D.23答案 A ∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴O 是△ABC 的重心,于是S △OBC =13S △ABC .∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2,∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos ∠BAC=2,∵∠BAC=60°, ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=4. ∴S △ABC =12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |·sin ∠BAC=√3, ∴△OBC 的面积为√33,故选A.10.(多选)已知等边三角形ABC 内接于☉O,D 为线段OA 的中点,则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16BC⃗⃗⃗⃗⃗ B.43BA ⃗⃗⃗⃗⃗ -16BC⃗⃗⃗⃗⃗ C.BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AE ⃗⃗⃗⃗⃗ D.23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案 AC 如图所示,设BC 的中点为E,则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AE⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=BA ⃗⃗⃗⃗⃗ -13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13·12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 故选AC.二、填空题11.已知点A(-1,2),B(2,8),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为 .答案 (-2,-4)解析设点C,D 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2). 由题意得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1,y 1-2),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,6), DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1-x 2,2-y 2),BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,-6).因为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以有{x 1+1=1,y 1-2=2和{-1-x 2=1,2-y 2=2.解得{x 1=0,y 1=4和{x 2=-2,y 2=0.所以点C,D 的坐标分别为(0,4),(-2,0),从而CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-4).12.(2019山东师大附中二模改编)已知向量a,b,其中|a|=√3,|b|=2,且(a-b)⊥a,则向量a 和b 的夹角是 ,a ·(a+b)= . 答案 π6 6解析由题意,设向量a,b 的夹角为θ.因为|a|=√3,|b|=2,且(a-b)⊥a,所以(a-b)·a=|a|2-a ·b=|a|2-|a||b|cos θ=3-2√3·cos θ=0,解得cos θ=√32.又因为0≤θ≤π,所以θ=π6.则a ·(a+b)=|a|2+|a|·|b|·cos θ=3+2√3×√32=6.13.如图,在正方形ABCD 中,M 是BC 的中点,若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μBD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ= .答案 53解析 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(λ-μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ2+μ)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以{λ-μ=1,λ2+μ=1,解得λ=43,μ=13.所以λ+μ=53.14.在如图所示的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 .答案 -6解析解法一:连接OA.∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -3AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )-3(OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=3(ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ), ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2)=3×(2×1×cos 120°-12)=3×(-2)=-6.解法二:在△ABC 中,不妨设∠A=90°,取特殊情况ON ⊥AC,以A 为坐标原点,AB,AC 所在直线分别为x 轴,y 轴建立如图所示的平面直角坐标系.因为∠MON=120°,ON=2,OM=1,所以O (2,√32),C (0,3√32),M (52,0),B (152,0). 故BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-152,3√32)·(12,-√32)=-154-94=-6.命题拓展预测1.在△ABC 中,E,F 分别为AB,AC 的中点,P 为线段EF 上的任一点,实数x,y 满足PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +x PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y PC⃗⃗⃗⃗⃗ =0.设△ABC,△PBC,△PCA,△PAB 的面积分别为S,S 1,S 2,S 3,记S i S =λi (i=1,2,3),则λ2λ3取到最大值时,2x+y 的值为( ) A.-1B.1C.-32 D .32答案 D 由题意,可得EF 是△ABC 的中位线,∴P 到BC 的距离等于△ABC 中BC 边上的高的一半,可得S 1=12S=S 2+S 3,λ2+λ3=12,由此可得λ2λ3≤(λ2+λ32)2=116,当且仅当S 2=S 3,即P 为EF的中点时,等号成立,此时PE⃗⃗⃗⃗⃗ +PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 由向量加法的平行四边形法则可得,PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,两式相加,得2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +x PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y PC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴根据平面向量基本定理,得x=y=12,从而得到2x+y=32.综上所述,当λ2λ3取到最大值时,2x+y 的值为32.2.如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A(√3,1)在以原点O 为圆心的圆上.已知圆O 与y 轴正半轴的交点为P,延长AP 到点B,使得∠AOB=90°,则BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ = ,|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |= .答案 2 2√3解析由题可得圆O 的半径r=√3+1=2,所以P(0,2),则AP 所在直线方程为y-2=0-√3(x-0),即y=-√33x+2. 设B (x,-√33x +2),则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1),OB⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,-√33x +2). 由∠AOB=90°可得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以√3x-√33x+2=2√33x+2=0, 解得x=-√3,所以B(-√3,3),所以BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,-1), 所以BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3×√3+1×(-1)=2, |BP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|(2√3,0)|=2√3.。

2020年山东省泰安市高考数学二模试卷(二)(有答案解析)

A. 2
B.
C.
D. -2
3. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1+a3＝6，S10＝100，则 a5＝（）
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
4. 为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得
分制成如图所示的茎叶图，有以下结论：
①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；
6.答案：C
解析：解：由 x，y 满足约束条件
作
出可行域如图，解得 A（2，2），B（0，2），化目标函数 z=2x+y 为 y=-2x+z，由图可知，当直线 y=-2x+z 过 B 时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最小值为 2；当直线 y=-2x+z 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大， z 有最大值为 6． ∴z 的取值范围是[2，6]．故选：C．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
8.答案：D
第 7 页，共 16 页
解析：解：数列{an}的奇数项依次成公差为 d 的等差数列，偶数项依次成公比为 q 的等比数列， a1=1，a2=2，a3+a4=7，a5+a6=13，可得 1+d+2q=7，1+2d+2q2=13，解得 d=q=2，则 a7+a8=1+3×2+2×23=23，故选：D．设等差数列的公差为 d，等比数列的公比为 q，由通项公式可得 d，q 的方程组，解方程可得 d，q，进而得到所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

2020届高考数学山东版二轮习题：第二板块第1讲第4讲数学文化 Word版含解析

姓名，年级：时间：第4讲数学文化一、选择题1。

(2019湖北重点高中协作体期中)我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”一题,现有类似的题:粮仓开仓收粮,粮农送来米1 534石,验得米夹谷,抽样取米一把，数得254粒夹谷28粒,则这批米内夹谷约为（)A。

134石B。

169石C。

338石D.454石答案 B 由题意可知这批米内夹谷约为1 534×28≈169（石）。

故选B。

2542.（2019广东梅州二模）《中国诗词大会》的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛,班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示.若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号,小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号,其他学生得到“诗词爱好者”的称号,根据该次比赛的成绩,按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手"称号的人数为（）A。

2 B。

4 C。

5 D.6答案 B 由茎叶图可得，获得“诗词能手”称号的有16名学生，根据该次比赛的成绩,按照称号的不同用分层抽样的方法抽选10名学生,则抽选的学生中=4,故选B。

获得“诗词能手”称号的人数为10×16403。

我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气,每个节气晷(ɡuǐ）长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测量影子的长度).二十四个节气及晷长变化如图所示,相邻两个节气晷长的变化量相同,周而复始.若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸）,则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是（）A 。

五寸 B.二尺五寸 C 。

三尺五寸 D.四尺五寸答案 B 设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列{a n }，公差为d,a 1=15，a 13=135，则15+12d=135,解得d=10。

所以a 2=15+10=25，所以小暑的晷长是25寸,即二尺五寸，故选B.4。

2020版高考数学二轮复习教程第二编专题八数学文化与创新应用第1讲数学文化及核心素养类试题练习理

第1讲数学文化及核心素养类试题「考情研析」数学文化与数学知识相结合，有效考查考生的阅读理解能力、抽象概括能力、转化与化归能力，既体现了对数学应用性的考查，也体现了我国数学文化的源远流长．高考中多以选择题的形式出现，难度中等。

核心知识回顾1。

以古代数学书籍《九章算术》《数书九章》等书为背景的数学文化类题目．2．与高等数学相衔接的题目，如几类特殊的函数：取整函数、狄利克雷函数、符号函数．3．以课本阅读和课后习题为背景的数学文化类题目：辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、二进制、割圆术、阿氏圆等．4．以中外一些经典的数学问题为背景的题目，如：回文数、匹克定理、哥尼斯堡七桥问题、四色猜想等经典数学小问题．热点考向探究考向1 算法中的数学文化例1 (2019·哈尔滨市第三中学高三第二次模拟)我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为:一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取,如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位:尺）,则①②③处可分别填入的是（)A．i<20，S＝S－1i,i＝2iB．i≤20，S＝S－错误!，i＝2i C．i<20，S＝错误!,i＝i＋1D．i≤20,S＝S2，i＝i＋1答案D解析根据题意可知,第一天S＝错误!，所以满足S＝错误!，不满足S＝S－错误!，故排除A，B；由框图可知，计算第二十天的剩余时，有S＝错误!，且i＝21，所以循环条件应该是i≤20.故选D.以古代秦九韶算法,更相减损术、割圆术等为背景，将数学文化嵌入到程序框图，既强调了算法的历史，又展示了算法的思想,解题时要弄明白计数变量和累加变量的变化规律，理解程序框图的算法功能．我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”设每层外周枚数为a,如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为( )A．121 B．81 C．74 D．49答案B解析满足a≤32，第一次循环：S＝1，n＝2，a＝8;满足a≤32，第二次循环：S＝9，n＝3，a＝16；满足a≤32，第三次循环：S＝25,n ＝4,a＝24；满足a≤32，第四次循环：S＝49，n＝5，a＝32；满足a≤32，第五次循环:S＝81，n＝6，a＝40.不满足a≤32，输出S.故选B.考向2 数列中的数学文化例2 (2019·陕西省高三第三次教学质量检测)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角"中,第n 行的所有数字之和为2n－1，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前15项和为( ）A．110 B．114 C．124 D．125答案B解析由题意,n次二项式系数对应的杨辉三角形的第n＋1行，令x＝1，可得二项展开式的二项式系数的和2n，其中第1行为20，第2行为21,第3行为22，…以此类推，即每一行的数字之和构成首项为1,公比为2的等比数列,则杨辉三角形中前n行的数字之和为S n ＝错误!＝2n－1，若除去所有为1的项，则剩下的每一行的数字的个数为1,2，3，4，…，可以看成构成一个首项为1，公差为2的等差数列，则T n＝错误!,令错误!＝15，解得n＝5，所以前15项的和表示前7行的数列之和减去所有的1，即(27－1）－13＝114，即前15项的数字之和为114，故选B。

山东省济南市2020届高三数学二模试题(含解析)

设球心为 O
，则 O
在
PO1
上，故
R2
h
R 2
12
，化简得到
R
h 2
1 2h
，
y
双勾函数
x 1 2 2x
在
2,
Rmin
上单调递增，故
5 4 ，故 Smin
4
R2 min
25 4
.
故选：D.
【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个
数学家棣莫弗发现：[r(cos i sin ]n rn cos n i sin n , (n N ) ，我们称这个结论为
棣莫弗定理．由棣莫弗定理可知，“
n
为偶数”是“复数
cos
4
i
sin
4
m
为纯虚数的是（
）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
p2 0.1587 ，优秀概率 p3 0.0228 ，D 错误，得到答案.
【详解】数学成绩 X 服从正态分布 N (100,100) ，则数学成绩的期望为 100，数学成绩的标
准差为 10，故 A 正确 B 错误；
1 P 100 10 100 10
p1 1
及格率为
2
0.8413
，C 正确；
下列说法正确的是（） A. 圆锥的高为 1
B. 三角形 PAB 为等腰三角形
C. 三角形 PAB 面积的最大值为 3
D. 直线 PA 与圆锥底面所成角的大小为 6
【答案】ABD

山东省泰安市2020届高三第二轮复习质量检测数学

… （）分中 ∴ ２Ｔｎ＝１ × ２１＋２ × ２２＋＋ｎ－１ × ２ｎ－１＋ｎ × ２ｎ … 彩高 ∴ －Ｔｎ＝１＋２１＋２２＋＋２ｎ－１－ｎ × ２ｎ
７
高三第二轮复习质量检测数学试题参考答案第页（共页）精
：
１
７
分＝１－２ｎ－ｎ × ２ｎ＝２ｎ－１－ｎ × ２ｎ１－２
（）证明：（）（）；２
Ｐｎ＋１
－Ｐｎ
＝
－
１３
Ｐｎ－Ｐｎ－１
１≤ｎ≤９８
（３）若最终棋子落在第９９站，则记选手落败，若最终棋子落在第１００站，则记选手获
胜，请分析这个游戏是否公平．
２１．（１２分）
已知椭圆
：Ｃ
ｘ２ａ２
＋
ｙ２ｂ２
（＝１ａ
＞
ｂ
＞０）的离心率
ｅ
满足
１２．在的恰Ａｙ．＝平正好ｆ３４（面方经ｘ）直形过，则坐角ＡＢ对标坐Ｃ函Ｄ原标数沿点系Ｂ，．ｙｘｘ设＝Ｏ１轴顶ｙｆ（滚中点ｘ）动，的Ｂ如（（判无图ｘ，断滑ｙ放）正动的置确滚Ｃ轨的的．动迹边是４３）方长，程点为是Ｄ２
Ｄ．２
Ａ．
Ｂ．Ｃ．
函函函零数数数点
ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－２槡２在［－３，９］上有两个
１０．ＣｆＡＢＤ（确如Ｂ．．．．ｘ１）该随的Ｄ该随图１＝地机是地机，上１正０水测水测有方１槡稻量稻量两２体株一的一π个高株平株Ａｅ动Ｂ－的水均水（Ｃ点ｘ－Ｄ２方稻株稻１０００Ｍ０－）差，高，２，其其，ＡＮ为为ｘ１株株，∈Ｂ且１１１高高（００Ｃ０Ｍ１－在在ｃＤＮ∞ｍ１（１８＝，的２００１＋，ｃ棱，９ｍ∞则０长）以）下和，为上则列在的下２结（，概１列线论０率０说段正，比１法１株０正）高确（单在的位是７０：ｃｃｍｍ）以的下概的率概一率样大大

(江苏专用)高考数学二轮复习第一篇第4练数学文化试题理-人教版高三全册数学试题

第4练数学文化[明晰考情] 1.命题角度：近几年，为充分发挥高考的育人功能和积极导向作用，在数学中出现了数学文化的内容，内容不拘一格，古今中外文化兼有.2.题目难度：中档难度.考点一算法、数列中的数学文化方法技巧(1)和算法结合的数学文化，要读懂流程图，按流程图依次执行；(2)数学文化中蕴含的数列，要寻找数列前几项，寻找规律，抽象出数列模型.1.《X邱建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现一月(按30天计)共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织布的尺数为________.答案16 29解析依题意设每天多织d尺，依题意得S30＝30×5＋30×292d＝390，解得d＝1629.2.如图所示的流程图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该流程图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a为________.答案 2解析由题意可知输出的a是18,14的最大公约数2.3.20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n，按照以下的规律进行变换：如果n是个奇数，则下一步变成3n＋1；如果n是个偶数，则下一步变成n2，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确的说是落入底部的4－2－1循环，而永远也跳不出这个圈子，下面流程图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i值为6，则输入的n值为________.答案 5或32解析当n ＝5时，执行流程图，i ＝1，n ＝16，i ＝2，n ＝8，i ＝3，n ＝4，i ＝4，n ＝2，i ＝5， n ＝1，i ＝6，结束循环，输出i ＝6；当n ＝32时，执行流程图，i ＝1，n ＝16，i ＝2，n ＝8，i ＝3，n ＝4，i ＝4，n ＝2，i ＝5， n ＝1，i ＝6，结束循环，输出i ＝6.易知当n ＝4时，不符合，故n ＝5或n ＝32.4.名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个流程图，若输入的a ，b 分别为5,2，则输出的n ＝________.答案 4解析当n ＝1时，a ＝152，b ＝4，满足进行循环的条件，当n ＝2时，a ＝454，b ＝8，满足进行循环的条件，当n ＝3时，a ＝1358，b ＝16，满足进行循环的条件，当n ＝4时，a ＝40516，b ＝32，不满足进行循环的条件，退出循环.故输出的n 值为4.5.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i 段的重量为a i (i ＝1,2，…，10)，且a 1<a 2<…<a 10，若48a i ＝5M ，则i ＝________. 答案 6解析由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，记为{a n }，设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝2，a 9＋a 10＝4，解得a 1＝1516，d ＝18，所以该金杖的总重量M ＝10×1516＋10×92×18＝15，因为48a i ＝5M ，所以48⎣⎢⎡⎦⎥⎤1516＋(i －1)×18＝75，即39＋6i ＝75，解得i ＝6.6.(2018·某某)我国古代数学著作《X 邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x ，y ，z ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝100，5x ＋3y ＋13z ＝100，当z ＝81时，x ＝____________，y ＝________.答案 8 11解析方法一由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋81＝100，5x ＋3y ＋13×81＝100，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝19，5x ＋3y ＝73，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝11.方法二 100－81＝19(只)， 81÷3＝27(元)， 100－27＝73(元).假设剩余的19只鸡全是鸡翁，则 5×19＝95(元). 因为95－73＝22(元)，所以鸡母：22÷(5－3)＝11(只)，鸡翁：19－11＝8(只).考点二三角函数与几何中的数学文化方法技巧从题目叙述中分析蕴含的图形及数量关系，通过分析图形特征建立数学模型，转化为三角函数或几何问题.7.我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是________步. 答案 6解析由于该直角三角形的两直角边长分别是8和15，则得其斜边长为17，设其内切圆半径为r ，则有8r 2＋15r 2＋17r 2＝12×8×15(等积法)，解得r ＝3，故其直径为6步.8.如图是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tan α＝________.答案 34解析由题意得，大正方形的边长为10，小正方形的边长为 2，∴2＝10cos α－10sin α， ∴cos α－sin α＝15，又α为锐角，易求得tan α＝34.9.我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高，“幂”是面积.意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为1的梯形，且当实数t 取[0,3]上的任意值时，直线y ＝t 被图1和图2所截得的两线段长始终相等，则图1的面积为________.答案 92解析类比祖暅原理可得两个图形的面积相等，梯形面积为S ＝12(1＋2)×3＝92，所以图1的面积为92.10.《算数书》竹简于上世纪八十年代在某某省江陵县X 家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为________. 答案258解析由题意可知：L ＝2πr ，即r ＝L 2π，圆锥体积V ＝13Sh ＝13πr 2h ＝13π·⎝ ⎛⎭⎪⎫L 2π2h ＝112πL 2h ≈275L 2h ，故112π≈275，π≈258. 11.我国古代数学名著《X 邱建算经》中有如下问题：“今有粟二百五十斛委注平地，下周五丈四尺，问高几何？”意思是：现在有粟米250斛，把它们自然地堆放在平地上，形成一个圆锥形的谷堆，其底面周长为5丈4尺，则谷堆的高为多少？(注：1斛≈1.62立方尺，π≈3)若使该问题中的谷堆内接于一个球状的外罩，则该外罩的直径约为________尺. 答案 21.2解析设谷堆的高为h 尺，底面半径为r 尺，则2πr ＝54，r ≈9. 粟米250斛，则体积为250×1.62＝13×π×92×h ，h ≈5.谷堆内接于一个球状的外罩，设球的半径为R 尺. 则R 2＝(h －R )2＋r 2，解得R ≈10.6(尺).∴2R ≈21.2(尺).12.卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2； ③c 1a 1<c 2a 2；④c 1a 2>a 1c 2.其中正确的式子的序号是________. 答案 ②④解析 ①由题图知2a 1>2a 2,2c 1>2c 2，即a 1>a 2，c 1>c 2，∴a 1＋c 1>a 2＋c 2，∴①不正确. ②∵a 1－c 1＝PF ，a 2－c 2＝PF ， ∴a 1－c 1＝a 2－c 2，∴②正确.④∵a 1>a 2>0，c 1>c 2>0，∴a 21>a 22，c 21>c 22. 又∵a 1－c 1＝a 2－c 2，即a 1＋c 2＝a 2＋c 1，即a 21＋c 22＋2a 1c 2＝a 22＋c 21＋2a 2c 1， ∴a 21－c 21＋c 22－a 22＋2a 1c 2＝2a 2c 1，即(a 1－c 1)(a 1＋c 1)－(a 2－c 2)(a 2＋c 2)＋2a 1c 2＝2a 2c 1，整理得(a 1－c 1)(a 1－a 2＋c 1－c 2)＋2a 1c 2＝2a 2c 1. ∵a 1>c 1，a 1>a 2，c 1>c 2，∴2a 1c 2<2a 2c 1，即c 1a 2>a 1c 2，∴④正确. ③∵c 1a 2>a 1c 2，a 1>0，a 2>0，∴c 1a 2a 1a 2>a 1c 2a 1a 2，即c 1a 1>c 2a 2， ∴③不正确.正确式子的序号是②④. 考点三概率统计与推理证明中的数学文化方法技巧 (1)概率统计和数学文化的结合，关键是构建数学模型；(2)推理证明和实际问题结合，要根据已知条件进行逻辑推理，得到相应结论.13.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1560石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷32粒，则这批米内夹谷约为________石. 答案 195解析由系统抽样的含义，该批米内夹谷约为32256×1 560＝195(石).14.数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343,12521等，两位数的回文数有11,22,33，…，99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是________. 答案 49解析三位数的回文数为ABA ，A 共有1到9共9种可能，即1B 1,2B 2,3B 3，…， B 共有0到9共10种可能，即A 0A ，A 1A ，A 2A ，A 3A ，…，共有9×10＝90(个)；其中偶数为A 是偶数，共4种可能，即2B 2,4B 4,6B 6,8B 8，B 共有0到9共10种可能，即A 0A ，A 1A ，A 2A ，A 3A ，…，其有4×10＝40(个)，∴三位数的回文数中，偶数的概率P ＝4090＝49.15.我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1,2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图).一般地，将连续的正整数1,2,3，…，n 2填入n ×n 的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上数的和为N n (如：在3阶幻方中，N 3＝15)，则N 10＝________.答案 505解析 n 阶幻方共有n 2个数，其和为1＋2＋…＋n 2＝n 2()n 2＋12，∵n 阶幻方共有n 行，∴每行的和为n 2(n 2＋1)2n＝n (n 2＋1)2，即N n ＝n (n 2＋1)2，∴N 10＝10×(102＋1)2＝505.16.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：有一水池一丈见方，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐(如图所示)，问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为________.答案2129解析如图所示，设水深为x 尺，由题意得(x ＋2)2＝x 2＋52，求解关于实数x 的方程，可得x ＝214，即水深为214尺，又葭长为294尺，则所求问题的概率为P ＝2129.17.庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”.庙会大多在春节、元宵节等节日举行.庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”(游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”).今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”.游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是________. 答案甲解析由四人的预测可得下表：中奖人预测结果甲乙丙丁甲 √ × × × 乙 √ × √ √ 丙 × × √ √ 丁×√×√由分析可知，中奖者是甲.1.南北朝时期的数学古籍《X 邱建算经》有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差(即等差)降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给.问：每等人比下等人多得几斤？”________. 答案778解析设第十等人得金a 1斤，第九等人得金a 2斤，以此类推，第一等人得金a 10斤，则数列{a n }构成等差数列，设公差为d ，则每一等人比下一等人多得d 斤金，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 8＋a 9＋a 10＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋24d ＝4，解得d ＝778，∴每一等人比下一等人多得778斤金. 2.朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”.其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天？”在该问题中前5天共分发了________升大米. 答案 3300解析设第n 天派出的人数为a n ，则{a n }是以64为首项，7为公差的等差数列，则第n 天修筑堤坝的人数为S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝64n ＋n (n －1)2×7，所以前5天共分发的大米数为3(S 1＋S 2＋S 3＋S 4＋S 5)＝3[(1＋2＋3＋4＋5)×64＋(1＋3＋6＋10)×7]＝3300.3.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第________天相逢. 答案 4解析由题意可知，大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，前n 天打洞之和为2n－12－1＝2n－1；同理，小老鼠前n 天打洞的距离为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝2－12n －1，∴2n－1＋2－12n －1＝10，解得n ∈(3,4)，取n ＝4. 即两鼠在第4天相逢.4.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸.(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸) 答案 3解析如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸.∵积水深9寸，∴水面半径为12(14＋6)＝10(寸)，则盆中水的体积为13π×9(62＋102＋6×10)＝588π(立方寸).∴平地降雨量等于588ππ×142＝3(寸).5.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒”“李白街上走，提壶去买酒.遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒.借问此壶中，原有多少酒？”，如图为该问题的流程图，若输出的S 值为0，则开始输入的S 值为________.答案 78解析模拟程序的运行，可得当i ＝1时，S ＝2S －1，i ＝1满足条件i <3，执行循环体；当i ＝2时，S ＝2(2S －1)－1，i ＝2满足条件i <3，执行循环体；当i ＝3时，S ＝2[2(2S －1)－1]－1，i ＝3不满足条件i <3，退出循环体，输出S ＝0，∴2[2(2S －1)－1]－1＝0，∴S ＝78. 6.我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形.设直角三角形中一个锐角的正切值为 3.在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是________.答案 25解析不妨设两条直角边为3,1，故斜边，即大正方形的边长为32＋12＝10，小正方形边长为2，故概率为2×210×10＝25. 7.欧阳修在《卖油翁》中写道“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为4cm 的圆面，中间有边长为1cm 的正方形孔.现随机向铜钱上滴一滴油(油滴的大小忽略不计)，则油滴落入孔中的概率为________.答案 14π解析由题意可得直径为4 cm 的圆的面积为π×⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4π(cm 2)，而边长为1 cm 的正方形的面积为1×1＝1(cm 2)，根据几何概型概率公式可得油滴落入孔中的概率为P ＝14π. 8.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为________平方尺.答案 138π解析设四棱锥的外接球半径为r ，则(2r )2＝72＋52＋82＝138，∴这个四棱锥的外接球的表面积为4πr 2＝138π.9.原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”，当时有位父亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，那么孩子已经出生________天.答案 510解析由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为1×73＋3×72＋2×7＋6＝510.10.《书章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二所得与下三人等，问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种质量单位).这个问题中，甲所得为________钱.答案 43解析设甲、乙、丙、丁、戊所得质量分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，则a －2d ＋a －d ＝a ＋a ＋d ＋a ＋2d ，即a ＝－6d ，又a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5a ＝5，∴a ＝1.则a －2d ＝a －2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6＝4a 3＝43. 11.《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖，周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能装多少斛米.”则该圆柱形容器能装米约_____斛.(古制1丈＝10尺，1斛≈1.62立方尺，圆周率π≈3)答案 2700解析由题意，得2πr ＝54，r ≈9，圆柱形容器体积为πr 2h ≈3×92×18，所以此容器约能装3×92×181.62＝2700(斛)米. 12.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面用点或小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数，将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }.可以推测：(1)b 2018是数列{a n }中的第________项；(2)b 2k －1＝________.(用k 表示)答案 (1)5045 (2)5k (5k －1)2解析由题意可得a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，n ∈N *，故b 1＝a 4，b 2＝a 5，b 3＝a 9，b 4＝a 10，b 5＝a 14，b 6＝a 15，由上述规律可知，b 2k ＝a 5k ＝5k (5k ＋1)2(k ∈N *)， b 2k －1＝a 5k －1＝(5k －1)(5k －1＋1)2＝5k (5k －1)2，故b 2 018＝b 2×1 009＝a 5×1 009＝a 5 045，即b 2 018是数列{a n }中的第5 045项.。

山东省滨州市2020届高三二模数学试题含答案

山东省滨州市2020届高三第二次高考模拟考试数学试题 2020.5本试卷共4页,共22小题,满分150分,考试用时120分钟。

注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,回答非选择题时,将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知角α的终边经过点()-4,3,P 则sin α+cos α=7.5A − 117...555BCD −2.已知集合1{1234){2},|x A B y y x A −==∈=，，，，则AB =.{1,2}.{2,4}.{1,2,4}.A B C D ∅3.设复数z 满足|34i |2,z z −+=在复平面内对应的点为(),,y x 则()()224+.34A x y −+=22.(3)(4)4B x y ++−= ()()()()2222.342.342C x y D x y −+=−+++=4.设30.11510.3,26,,5log c l b og α===则a,b,c 的大小关系是 .A a b c >> ..B c a bD c b a >>>>5.已知正方形ABCD 的边长为32,DE EC AE BD ⋅=⋅= A.3 B.-3 C.6 D.-66.函数2ln ||||x x y x =的图象大致是7.已知O,A,B,C 为平面α内的四点,其中A,B,C 三点共线,点O 在直线AB 外,且满足12.OA OB OC x y=+其中x>0.y>0,则+8x y 的最小值为 A.21 B.25 C.27 D.348.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异”即夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等。

2020届高考数学山东版二轮习题：专题二第1讲等差数列与等比数列 Word版含解析

姓名，年级：时间：专题二数列第1讲等差数列与等比数列一、选择题1.（2019河南开封定位考试）等比数列｛a n}的前n项和为S n，若a3+4S2=0,则公比q=( )A.-1B.1 C。

—2 D。

2答案 C 因为a3+4S2=0，所以a1q2+4a1+4a1q=0，因为a1≠0,所以q2+4q+4=0，即（q+2）2=0，所以q=-2，故选C。

2.(2019四川八校双教研联考）在公差不为0的等差数列{a n｝中，4a3+a11-3a5=10，a4=（)则15A。

—1 B.0C.1 D。

2答案 C 解法一：设数列{a n｝的公差为d(d≠0),由4a3+a11-3a5=10,得4(a1+2d)+（a1+10d)—3（a1+4d)=10,即2a1+6d=10,即a1+3d=5，故a4=5，所以1a4=1，5故选C。

解法二:设数列{a n}的公差为d（d≠0），因为a n=a m+(n-m)d，所以由a4=1，4a3+a11—3a5=10,得4（a4-d)+(a4+7d）—3(a4+d）=10,整理得a4=5，所以15故选C.解法三：由等差数列的性质，得2a7+3a3-3a5=10，得4a5+a3-3a5=10，即a5+a3=10,a4=1,故选C.则2a4=10,即a4=5，所以153。

（多选)已知数列{a n｝是等比数列,则下列命题正确的是（)A.数列｛|a n|｝是等比数列B 。

数列｛a n a n+1}是等比数列 C.数列{1a n}是等比数列D.数列｛lg a n 2｝是等比数列答案 ABC 因为数列{a n }是等比数列，所以a n+1a n=q （q 为常数).对于A ，|a n+1||a n |=|a n+1a n|=|q|，所以数列{|a n ｜}是等比数列，A 正确;对于B,a n+1a n+2a n a n+1=q 2，所以数列｛a n a n+1}是等比数列，B 正确；对于C,1a n+11a n=a nan+1=1q ,所以数列{1a n}是等比数列,C正确;对于D ，lg a n+12lg a n2=2lg a n+12lg a n=lg a n+1lg a n，不一定是常数，所以D 错误。

2020届新高考数学模拟仿真卷(山东卷)第2卷

2020届新高考数学模拟仿真卷(山东卷)第2卷1、已知,R a b ∈，i 是虚数单位，若i a -与2i b +互为共轭复数，则()2i a b +=( ) A ．54i - B ．54i + C ．34i -D ．34i +2、已知全集R U =,集合2{|20},{1,0,1,2}A x x x B =--≥=-,则图中阴影部分所表示的集合为( )A.{1,0,1,2}-B.{1,0,1}-C.{0,1,2}D.{0,1}3、函数2e()131xx f x =++的图象大致为( )A. B.C. D.4、在ABC ∆中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，CE 的延长线交AB 于点F,则（）A. 1162DF AB AC =--u u u r u u ur u u u rB. 1134DF AB AC =--u u u r u u ur u u u rC. 3142DF AB AC =-+u u u r u u ur u u u rD. 1126DF AB AC =--u u u r u u ur u u u r5、为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（）A.向左平行移动π3个单位长度B.向右平行移动π3个单位长度 C.向左平行移动π6个单位长度 D.向右平行移动π6个单位长度6、若()626012623x a a x a x a x -=+++⋯+，则1236a a a a +++⋯+等于（） A.-1B.1C. -64D.-637、已知函数21,0,(),0,x x x f x e x -⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若对任意[1,1]x ∈-,不等式2[(12)42][()]a f a x a f x --+≥恒成立,其中0a >,则a 的取值范围是( )A.1(0,]3B.1[,)2+∞ C.3[,)7+∞ D.13[,]378、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左,右顶点分别为12,A A ,c 为椭圆C 的半焦距,过1A 的直线与圆222x y c +=切与点N,与双曲线2222:1x y E a b-=在第一象限交于点M,满足12MA MA ⊥,若椭圆C 的离心率为1e ,双曲线E 的离心率为2e ,则211e e +的值为( )A.165B.5C.65D.259、下图是国家统计局2019年4月11日发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.(注:2019年2月与2018年2月相比较称同比,2019年2月与2019年1月相比较称环比),根据该折线图,下列结论正确的是( )A.2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨B.2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌C.2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大D.2019年3月全国居民消费价格环比变化最快10、已知2log (1),1()1(),12x x x f x x ->⎧⎪=⎨≤⎪⎩,则下列结论正确的是( )A.2 ((1))f f= B.1((1))2f f-= C.1((0))2f f= D.2020(())20192019f f=11、已知双曲线C过点(3,2)且渐近线为3y x=±,则下列结论正确的是( )A.C的方程为2213xy-=B.C的离心率为3C.曲线2e1xy-=-经过C的一个焦点D.直线210x y--=与C有两个公共点12、已知,,A B C三点均在球O的表面上,2AB BC CA===,且球心O到平面ABC的距离等于球半径的13,则下列结论正确的是( )A.球O的表面积为6πB.球O的内接正方体的棱长为1C.球O的外切正方体的棱长为43D.球O的内接正四面体的棱长为213、若函数()lnf x x a x=-的图象在点(1,1)处的切线方程为21y x=-,则实数a=_________.14、某工程队有6项工程需要先后单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成后才能进行,工程丁必须在工程丙完成后立即进行.那么安排这6项工程的不同排法种数是__________(用数字作答).15、已知等比数列{}n a的前n项和为n S,且131,3a S==,则5S=_________。

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第4讲数学文化一、选择题1.(2019湖北重点高中协作体期中)我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”一题,现有类似的题:粮仓开仓收粮,粮农送来米1534石,验得米夹谷,抽样取米一把,数得254粒夹谷28粒,则这批米内夹谷约为()A.134石B.169石C.338石D.454石答案B由题意可知这批米内夹谷约为1534×28≈169(石).故选B.2542.(2019广东梅州二模)《中国诗词大会》的播出引发了全民的读书热,某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛,班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示.若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号,小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号,其他学生得到“诗词爱好者”的称号,根据该次比赛的成绩,按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生,则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为()A.2B.4C.5D.6答案B由茎叶图可得,获得“诗词能手”称号的有16名学生,根据该次比赛的成绩,按照称号的不同用分层抽样的方法抽选10名学生,则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人=4,故选B.数为10×16403.我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载:一年有二十四个节气,每个节气晷(ɡuǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测量影子的长度).二十四个节气及晷长变化如图所示,相邻两个节气晷长的变化量相同,周而复始.若冬至晷长一丈三尺五寸,夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺,一尺等于十寸),则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是()A.五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸答案 B 设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列{a n },公差为d,a 1=15,a 13=135,则15+12d=135,解得d=10.所以a 2=15+10=25,所以小暑的晷长是25寸,即二尺五寸,故选B. 4.刘徽是一个伟大的数学家,他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的数学遗产,他所提出的割圆术可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点,则此点取自该圆内接正六边形的概率是( )A.3√34π B.3√32π C.12πD.14π答案 B 如图,在单位圆中作其内接正六边形,则所求概率P=S 正六边形S 圆=√34×12×6π×12=3√32π.5.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形的面积的“三斜求积”公式:设△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,则△ABC 的面积S=√14[c 2a 2-(c2+a 2-b 22)2].若a 2sin C=4sin A,(a+c)2=12+b 2,则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为( ) A.√3 B.2 C.3 D.√6答案 A 根据正弦定理及a 2sin C=4sin A,得ac=4. 再结合(a+c)2=12+b 2,得a 2+c 2-b 2=4, 则S=√14[c 2a 2-(c 2+a 2-b 22)2]=√16-44=√3,故选A.6.如图,《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?意思是:有一根竹子,原高一丈(1丈=10尺),现被风折断,尖端落在地上,竹尖与竹根的距离为三尺,问折断处离地面的高度为( )A.5.45尺B.4.55尺C.4.2尺 D .5.8尺答案 B 如图,已知AC+AB=10,BC=3,AB 2-AC 2=BC 2=9,∴(AB+AC)(AB-AC)=9,解得AB-AC=0.9, ∴{AB +AC =10,AB -AC =0.9,解得{AB =5.45,AC =4.55. ∴折断处离地面的高度为4.55尺.故选B.7.(2019贵州铜仁一中期末)在如图所示的图形中,每个三角形上各有一个数字,若六个三角形上的数字之和为20,则称该图形是“和谐图形”.已知其中四个三角形上的数字之和为14.现从1,2,3,4,5中任取两个数字标在另外两个三角形上,则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为( )A.310B.15C.110 D .320答案 B 由题意可知,若该图形为“和谐图形”,则另外两个三角形上的数字之和恰为20-14=6.从1,2,3,4,5中任取两个数字的所有情况有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10种,而其中数字之和为6的情况有(1,5),(2,4),共2种,所以所求概率P=15.故选B.8.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表,它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.其中《方田》章有弧田面积计算问题,术曰:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一.其大意是弧田面积计算公式为:弧田面积=12(弦×矢+矢×矢).弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形,公式中的“弦”指的是弧田弦的长,“矢”指的是弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差.现有一弧田,其弧田弦AB 等于6米,其弧田弧所在圆为圆O,若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为72平方米,则cos ∠AOB=( ) A.125B.325 C .15 D.725答案 D如图,AB=6米,设CD=x 米(x>0),则12(6x+x 2)=72,解得x=1.设OA=y 米,则(y-1)2+9=y 2,解得y=5. 由余弦定理得cos ∠AOB=25+25-362×5×5=725,故选D.9.(2019浙江杭州仿真试卷)《九章算术》是中国古典数学重要的著作,其给出了很多几何体的体积计算方法.如图所示的几何体中,上底面A 1B 1C 1D 1与下底面ABCD 相互平行,且四边形ABCD 与A 1B 1C 1D 1均为长方形.《九章算术》中称如图所示的几何体为“刍童”.如果AB=a,BC=b,A 1B 1=c,B 1C 1=d,且两底面之间的距离为h,记“刍童”的体积为V,那么( )A.V=ℎ6[(2c+a)d+(2a+c)b] B.V=ℎ3[(2c+a)d+(2a+c)b] C.V=ℎ6[(c+2a)d+(a+2c)b] D.V=ℎ3[(c+2a)d+(a+2c)b]答案 A 讨论特殊情况下的几何体体积,当a=c,b=d 时,显然几何体为棱柱,故此时V=abh,排除B,D.当c=d=0时,显然几何体为棱锥,故此时V=13abh,排除C,故选A.10.2002年国际数学家大会在北京召开,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计而成的.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).若小正方形的边长为2,大正方形的边长为10,直角三角形中较小的锐角为θ,则sin (θ+π2)-cos (θ+π3)=( )A.4+3√310 B.4-3√310 C.-4+3√310 D.-4-3√310答案 A 设直角三角形中较短的直角边长为a,则a 2+(a+2)2=102,解得a=6,∴sin θ=610=35,cos θ=810=45,sin (θ+π2)-cos (θ+π3)=cos θ-12cos θ+√32sin θ=12cos θ+√32sin θ=12×45+√32×35=4+3√310. 二、填空题11.如图所示,某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆,根据图中数据可知该椭圆的离心率为 .答案 35解析由题图知2b=16.4,2a=20.5,则b a =45,则离心率e=√1-(45)2=35.12.(2019山东安丘、诸城、五莲、兰山模拟)《周髀算经》中有一个问题:从冬至之日起,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列,若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺,芒种的日影子长为4.5尺,则冬至的日影子长为尺. 答案 15.5解析设此等差数列{a n }的公差为d,则a 1+a 4+a 7=3a 1+9d=37.5,a 1+11d=4.5,解得d=-1,a 1=15.5. 13.将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥P-ABC 为鳖臑,PA ⊥平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱锥P-ABC 的四个顶点都在球O 的球面上,则球O 的体积为 . 答案20√5π3解析如图,在长方体中可找到符合题意的三棱锥P-ABC,则球O 的直径2R=PC=√PA 2+AC 2=√20=2√5,所以R=√5.故球O 的体积V=43πR 3=20√5π3.14.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有蒲生一日,长三尺.莞生一日,长一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?”意思是:“今有蒲草第1天长高3尺,莞草第1天长高1尺.以后,蒲草每天长高前一天的一半,莞草每天长高前一天的2倍.问第几天蒲草和莞草的高度相同?”根据上述的已知条件,可求得第天时,蒲草和莞草的高度相同.(结果采取“只入不舍”的原则取整数,相关数据:lg 3≈0.477 1,lg 2≈0.301 0) 答案 3解析由题意得,蒲草的高度组成首项为a 1=3,公比为12的等比数列{a n },设其前n 项和为A n ;莞草的高度组成首项为b 1=1,公比为2的等比数列{b n },设其前n 项和为B n ,则A n =3(1-12n )1-12,B n =2n -12-1,令3(1-12n )1-12=2n -12-1,化简得2n +62n =7(n ∈N *),解得2n =6,所以n=lg6lg2=1+lg3lg2≈3,即第3天时蒲草和莞草的高度相同.命题拓展预测1.一项针对三线以上城市30~50岁男性消费水平的调查显示,对于最近一年内是否购买过以下七类商品,全体被调查者以及其中包括的1980年及以后出生(80后)的被调查者、1980年以前出生(80前)的被调查者回答“是”的比例如下表所示:全体被调查者80后被调查者80前被调查者电子产品56.9%66.0%48.5%服装23.0%24.9%21.2%手表14.3%19.4%9.7%运动、户外用品10.4%11.1%9.7%珠宝首饰8.6%10.8% 6.5%箱包8.1%11.3% 5.1%个护与化妆品 6.6% 6.0%7.2%以上皆无25.3%17.9%32.1%根据表格中数据判断,以下分析错误的是()A.三线以上城市30~50岁男性购买比例最高的商品是电子产品B.从整体上看,80后购买这些商品的意愿高于80前C.80前超过三成一年内从未购买过表格中七类商品D.被调查的三线以上城市30~50岁男性中80后人数与80前人数的比例大约为2∶1答案D对于选项A,从表中的数据可得三线以上城市30~50岁男性购买电子产品的比例为56.9%,为最高值,所以A正确;对于选项B,从表中后两列的数据可以看出,前6项均是80后的意愿高于80前的意愿,所以B 正确;对于选项C,从表中的最后一列可看出,80前一年内从未购买过表格中七类商品的比例为32.1%,所以C正确;对于选项D,根据表中数据不能得到被调查的三线以上城市30~50岁男性中80后人数与80前人数的比例,所以D不正确.故选D.2.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑、白两个鱼形纹组成的圆形图案,充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.定义:图象能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O的一个“太极函数”.给出命题:①对于任意一个圆O,其“太极函数”有无数个;②函数f(x)=ln(x2+2+1)可以是某个圆的“太极函数”;③正弦函数y=sin x可以同时是无数个圆的“太极函数”;④函数y=f(x)是“太极函数”的充要条件为函数y=f(x)的图象是中心对称图形.其中正确的命题为()A.①③B.①③④C.②③D.①④答案A过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分,故对于任意一个圆O,其“太极函数”有无数个,故①正确;函数f(x)=ln(x2+√x2+1)的大致图象如图所示,故其不可能为圆的“太极函数”,故②错误;将圆的圆心放在正弦函数y=sin x图象的对称中心上,则图象可以将圆的周长和面积等分成两部分,所以正弦函数y=sin x是该圆的“太极函数”,从而正弦函数y=sin x可以同时是无数个圆的“太极函数”,故③正确;函数y=f(x)的图象是中心对称图形,则y=f(x)是“太极函数”,但函数y=f(x)是“太极函数”时,图象不一定是中心对称图形,如图,故④错误,故选A.。