2020年高考数学(理)全真模拟卷(四)(全国版含答案解析)
2020年高考数学全真模拟试卷(四)(含答案解析)
2020年高考数学全真模拟试卷（四）第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.已知在△ABC 中，AB=，AC=BC=，若O 为△ABC 的外心且满足AO x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r，则6x y +=（ ）A. 1B. 3C. 5D. 62.已知AB u u u v=(2,3)，AC u u u v =(3，t )，||BC uuu r =1，则AB BC ⋅u u u r u u u r =A. -3B. -2C. 2D. 33.若函数321y x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（ ） A. 1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭B. 1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. 1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭4. “43m =”是“直线420x my m -+-=与圆224x y +=相切”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.设A ，B ，C 是半径为1的圆上三点，若AB =AB AC ⋅u u u r u u u r的最大值为（ ）A.B.32C. 36.若复数2(1i z ii =-是虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ）A. 1i +B. 1i -C. 1i -+D. 1i --7.已知数列{a n }中，12a =，111n n a a ＋－－3=，若n a 1000≤，则n 的最大取值为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 78.若非零向量a r ，b r 满足||||a b =r r ，向量2a b +r r 与b r 垂直，则a r 与b r 的夹角为（ ） A. 150°B. 120°C. 60°D. 30°9.已知2333211,,log 32a b cπ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a，b，c的大小关系为( )A. a b c>> B. a c b>>C. c a b>> D. c b a>>10.在△ABC中，5sin13A=，3cos5B=，则cos C=（）A.5665B.3365- C.5665或1665- D.1665-11.已知函数()sin3cosf x a x x=-的图像的一条对称轴为直线56xπ=，且12()()4f x f x⋅=-，则12x x+的最小值为( )A.3π- B. 0 C.3πD.23π12.某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A.23B.43C.13D.16第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.设正三棱锥P -ABC 的高为H ，且此棱锥的内切球的半径R =17H ，则22H PA ＝_______．14.下列四个结论中，错误的序号是___________.①以直角坐标系中x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的方程为22sin()2804a πρρθ-++-=，若曲线C 上总存在两，则实数a 的取值范围是()()3,11,3--⋃；②在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域宽度越宽，说明模型拟合精度越高；③设随机变量~(2,),~(3,)B p B p ξη，若5(1)9P ξ≥=，则6(2)27P η≥=；④已知n 为满足1232727272727(3)S a C C C C a =++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≥能被9整除的正数a 的最小值，则1()nx x -的展开式中，系数最大的项为第6项. 15.已知0,,0,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()2sin 2cos 2cos 1sin αβαβ=+，则下列结论正确的是（ ） A. 22παβ-=B. 22παβ+=C. 2παβ+=D. 2παβ-=16.边长为2正三角形ABC 中，点P 满足1()3AP AB AC =+u u u v u u u v u u u v，则BP BC ⋅=u u u v u u u v ______. 三、解答题（本题共7道小题，每小题10分，共70分）17.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D 、E 分别是AC 、BB 1的中点.（Ⅰ）证明：BD ∥平面AEC 1；（Ⅱ）若这个三棱柱的底面是等边三角形，侧面都是正方形，求二面角1A EC B --的余弦值.18.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为522525x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝，＝－（t 为参数）． （1）求C 与l 的直角坐标方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 垂直的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值． 19.在△ABC 中，3sin 2sin ,tan 35A B C ==.（1）求cos2C ；（2）若1AC BC -=，求△ABC 的周长.20.已知函数()y f x =与函数xy a =(0,a >且1)a ≠图象关于y x =对称 （Ⅰ）若当[]0,2x ∈时，函数(3)f ax -恒有意义，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）当2a =时，求函数())(2)g x f x f x =⋅最小值． 21.已知函数()2cos 3cos )f x x x x =+． （I ）求函数()f x 的最小正周期和对称中心坐标； （II ）讨论()f x 在区间[0,]2π上的单调性．22.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan ()a b A a b => . （Ⅰ）求证：△ABC 是直角三角形；（Ⅱ）若10c =，求△ABC 的周长的取值范围.23..某大型工厂有5台大型机器，在1个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障的概率为12．已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每台机器不出现故障或出现故障时有工人维修，就能使该厂获得10万元的利润，否则将亏损3万元．该工厂每月需支付给每名维修工人1.5万元的工资．（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修，则称工厂能正常运行．若该厂只有2名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；（2）已知该厂现有4名维修工人．（ⅰ）记该厂每月获利为X万元，求X的分布列与数学期望；（ⅱ）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘1名维修工人？试卷答案1.B【分析】由余弦定理可得，2cos6BAC∠=，再根据数量积的定义可求出AO AB⋅u u u r u u u r，AC AB⋅u uu r u u u r，然后依据AO x AB y AC=+u u u r u u u r u u u r，利用数量积运算性质计算AO AB⋅u u u r u u u r，即可求出。
2020届高三第二次模拟考试卷 理科数学(四) 解析版
2020届高三第二次模拟考试卷理 科 数 学（四）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U =R ，(2){21}x x A x -=<，{ln(1)}B x y x ==-，则()U A B =I ð（ ）A ．{1}x x ≥B ．{1}x x ≤C ．{01}x x <≤D ．{12}x x ≤<【答案】D【解析】由题意可知{02}A x x =<<，{1}B x x =<， 所以(){02}{1}{12}U A B x x x x x x =<<≥=≤<I I ð，故选D ． 2．已知函数()()xf x a a =∈R ，则“104a <≤”是“对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<- 成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】“对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立”等价于“函数()()x f x a a =∈R 在R 上为减函数”，即01a <<，显然“104a <≤”是“任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立”的充分不必要条件，故选A ． 3．已知 1.12a =，0.45b =，5ln2c =，则（ ） A ．b c a >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．a b c >>【答案】D【解析】 1.10221a =>=，0.40551b =>=， ∵101122048a ==，1045625b ==，∴1a b >>， 又5lnln 12e <=，∴a b c >>，故选D ． 4．已知复数z 满足i i ()z m m =+∈R ，若z 的虚部为1，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】∵i i z m =+，∴i 1i imz m +==-， 由于z 的虚部为1，故1m -=，∴1i z =+，复数z 在复平面内对应的点为(1,1)，故复数z 在复平面内对应的点在第一象限，故选A ． 5．已知1cos sin 5αα-=，则πcos(2)2α-=（ ） A ．2425-B ．45-C ．2425D ．45【答案】C【解析】由1cos sin 5αα-=，得11sin 225α-=， 所以24sin 225α=，所以π24cos(2)sin 2225αα-==，故选C ． 6．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3π4A =，3tan 4C =，2b =，则ABC△的面积S =（ ） A ．6 B ．4C．D．【答案】A【解析】在ABC △中，因为3tan 4C =，所以3sin 5C =，4cos 5C =， 又3π4A =，所以3πsin sin()sin()sin )4B A C C C C =+=+=-=，由正弦定理sin sin b c B C =，得232510c=，解得62c =， 故ABC △的面积1sin 62S bc A ==，故选A ．7．在ABC △中，已知92AB AC ⋅=u u u r u u u r ，3AC =u u ur ，3AB =u u u r ，M ，N 分别是BC 边上的三等分点，则AM AN ⋅u u u u r u u u r的值是（ ）A ．112B ．132C ．6D ．7【答案】B【解析】不妨设2133AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r ，1233AN AB AC =+u u u r u u u r u u u r，所以222112252()()3333999AM AN AB AC AB AC AB AB AC AC⋅=+⋅+=+⋅+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r 22222525913()(33)999922AB AC AB AC =++⋅=⨯++⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r ， 故选B ．8．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项和为n T ，若12a =，且11242n n n S S a ++=++，则使得120n T n >-成立的n 的最小值是（ ） A ．5 B ．6 C ．8 D ．9【答案】A【解析】由11242n n n S S a ++=++，化简可得132n n S S +=+， 则当2n ≥时，132n n S S -=+，两式相减得13n n a a +=， 当1n =时，12132a a a +=+，又12a =，所以2163a a ==，故{}n a 是以3为公比，2为首项的等比数列， 所以数列{}n a 的通项公式123n n a -=⨯．根据等比数列的前n 项和公式可得2(13)3113nn n S -==--，从而数列{}n S 的前n 项和11233(13)331322n n n n T S S S S n n +-=++++=-=---L ．所以120n T n >-，即13312022n n n +-->-，化简可得1324322n +>，即1532433n +>=，解得4n >． 故使得120n T n >-成立的n 的最小值是5，故选A ．9．如图，以棱长为1的正方体的顶点A 为球心，以2为半径作一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为（ ）A ．3π4B ．2πC ．3π2D ．9π4【答案】C【解析】正方体的表面被该球面所截得的弧长是相等的三部分，如图， 上底面被球面截得的弧长是以1A 为圆心，1为半径的圆周长的14， 所以所有弧长之和为2π3π342⨯=，故选C ．10．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且122F F c =，点A 在椭圆上，1120AF F F ⋅=u u u r u u u u r ，212AF AF c ⋅=u u u r u u u u r，则椭圆的离心率e 为（ ）A ．33B ．312C ．512D ．22【答案】C【解析】假设点A 位于x 轴的上方，由1120AF F F ⋅=u u u r u u u u r 可得2(,)bA c a-， 所以21(0,)b AF a =-u u u r ，22(2,)b AF c a=-u u u u r ，所以42122b AF AF c a⋅==u u u r u u u u r ，所以2b ac =，即22a c ac -=，所以21e e -=，解得152e -±=， 因为01e <<，则512e -=，故选C ． 11．已知函数3()()3(0)f x x a x a a =--+>在[1,]b -上的值域为[22,0]a --，则b 的取值范围 是（ ） A ．[0,3] B ．[0,2]C ．[2,3]D ．(1,3]-【答案】A【解析】由题意，得2()3()33(1)(1)f x x a x a x a '=--=-+--． 由()0f x '=，得1x a =+或1x a =-，所以当11a x a -<<+时，()0f x '<；当1x a <-或1x a >+时，()0f x '>， 所以函数()f x 在(1,1)a a -+上单调递减，在(,1)a -∞-，(1,)a ++∞上单调递增． 又(1)22f a a +=--，(1)22f a a -=-+．若(1)22f a -=--，即3(1)322a a a --++=--，则1a =，此时3()(1)31f x x x =--+，且()4f x =-时，1x =-或2x =； 由()0f x =，解得0x =或3x =．因为函数()f x 在[1,]b -上的值域为[4,0]-，要使函数()f x 在[1,]b -上的值域为[22,0]a --， 需1a b +≤，此时1[1,]a b -∈-，所以(1)22(1)0f a f a ->--⎧⎨-≤⎩，即3(1)322220a a a a ⎧--++>--⎨-+≤⎩，无解．综上所述，b 的取值范围是[0,3]，故选A ．12．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足0x ≥时，12log (1),[0,1)()13,[1,)x x f x x x +∈⎧⎪=⎨⎪--∈+∞⎩，则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为（ ） A ．21a -B ．21a --C ．12a --D ．12a -【答案】D【解析】因为()f x 为R 上的奇函数，所以当0x <时，12log (1),(1,0)()()13,(,1]x x f x f x x x --+∈-⎧⎪=--=⎨⎪-+--∈-∞-⎩， 画出函数()y f x =的图象和直线(01)y a a =<<，如图．由图可知，函数()y f x =与直线(01)y a a =<<共有5个交点， 设其横坐标从左到右分别为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，则1232x x +=-，4532x x +=， 而132log (1)x a --+=，即23log (1)x a -=，可得312ax =-，所以1234512ax x x x x ++++=-，故选D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，满足2n n S n =+，则数列{}n a 的公差d = ． 【答案】8【解析】由2n n S n =+，知24n S n n =-，则依据21()22n d dS n a n =+-，知8d =． 14．若点(,)P x y 是不等式组0333x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域Ω内的一动点，且不等式20x y a -+≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】[3,)+∞【解析】将不等式20x y a -+≥化为2a y x ≥-，只需求出2y x -的最大值即可．令2z y x =-，作出不等式组0333x y x y⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域如图中阴影部分所示，平移直线2y x =，可知在(0,3)处2z y x =-取得最大值3， 则实数a 的取值范围是[3,)+∞． 15．51(2)x x++展开式中2x 的系数为 ． 【答案】120【解析】5101(2)()x x x x++=+，则1010222211010C C r r r r r r T x x x ---+=⋅=， 令10222r -=，则3r =，故2x 的系数为310C 120=，故答案为120． 16．图甲是应用分形几何学作出的一个分形规律图，按照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图．我们采用“坐标”来表示图乙各行中的白圈、黑圈的个数（横坐标表示白圈的个数，纵坐标表示黑圈的个数）．比如第一行记为(0,1)，第二行记为(1,2)，第三行记为(4,5)，照此下去，第()n n ∈*N 行中白圈与黑圈的“坐标”为 ．【答案】113131(,)22n n ---+【解析】由图甲所示的分形规律知，1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，记某行白圈x 个，黑圈y 个“坐标”为(,)x y ，则第一行记为(0,1)，第二行记为(1,2)，第三行记为(4,5)，第四行记为(13,14)，第五行记为(40,41)，……，各行黑圈乘以2，分别是2，4，10，28，82，L ，即11+，31+，91+，271+，811+，L ，所以第n 行的黑圈数为1312n -+，而第n 行共有13n -个圈，故第n 行的白圈数为1113131322n n n ---+--=， 故第()n n ∈*N 行中白圈与黑圈的“坐标”为113131(,)22n n ---+．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）在ABC △中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2sin 3tan c B a A =．（1）求222b c a+的值； （2）若2a =，求ABC △面积的最大值． 【答案】（1）4；（27．【解析】（1）由2sin 3tan c B a A =，得3sin cos 3sin c B A a A =， 结合正弦定理得22cos 3bc A a =，故2222232b c a bc a bc +-⨯=，2224b c a +=，得2224b c a +=．（2）由（1）及2a =，知2216b c +=，故2226cos 2b c a A bc bc+-==．又222b c bc +≥，故8bc ≥，当且仅当b c =时取等号，∴63cos 84A ≥=， 由6cos A bc =，得6cos bc A =，且π(0,)2A ∈，∴1sin 3tan 2ABC S bc A A ==△， ∵2222222sin cos sin 11tan 1cos cos cos A A A A A A A++=+==， ∴21167tan 11cos 93A A =-≤-=， ∴3tan 7ABC S A =≤△ABC △7．18．（12分）如图，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E ，M 分别是BC ，PD 的中点，直线EM 与平面PAD 所成角的正弦值为155，点F 在PC 上移动．（1）证明：无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF ⊥平面PAD ； （2）求点F 恰为PC 的中点时，二面角C AF E --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）155． 【解析】（1）∵底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，∴ABC △是正三角形， ∵E 是BC 的中点，∴AE BC ⊥， 又AD BC ∥，∴AE AD ⊥，∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴PA AE ⊥， 又PA AD A =I ，∴AE ⊥平面PAD ，即无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF ⊥平面PAD ．（2）由（1）得，AE ，AD ，AP 两两垂直，以AE ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．连接AM ，∵AE ⊥平面PAD ，∴AME ∠就是直线EM 与平面PAD 所成的角， 在AME Rt △中，15sin 5AME ∠=，则62AE AM =，设2AB a =，则3AE a =，得2AM a =．又2AD AB a ==，设2PA b =，∴(0,,)M a b ，∴222AM a b a =+=， 从而b a =，∴2PA AD a ==，则(0,0,0)A ，(3,,0)B a a -，(3,,0)C a a ，(0,2,0)D a ，(0,0,2)P a ，(3,0,0)E a ，3(,,)2a aF a ， ∴(3,0,0)AE a =u u u r ，3(,,)22a a AF a =u u u r ，设(,,)x y z =n 是平面AEF 的法向量，则3003002ax AE ax ayAF az ⎧=⎧⋅=⎪⎪⎨⎨⋅=++=⎪⎪⎩u u u r u u u r n n ， 取z a =，得(0,2,)a a =-n 为平面AEF 的一个法向量．连接BD ，易知BD ⊥平面ACF ，∴(3,3,0)BD a a =-u u u r是平面ACF 的一个法向量，∴215cos ,523BD BD a a BD⋅===-⋅⋅u u u ru u u r u u u r n n n ， 由图知二面角C AF E --为锐角，∴二面角C AF E --的余弦值为15． 19．（12分）某市需对某环城快速车道进行限速，为了调查该道路的车速情况，于某个时段随机对100辆车的速度进行取样，根据测量的车速制成如图所示的条形图：经计算，样本的平均值85μ=，标准差 2.2σ≈，以频率作为概率的估计值．已知车速过慢与过快都被认为是需矫正速度，现规定车速小于3μσ-或车速大于2μσ+需矫正速度． （1）从该快速车道上的所有车辆中任取1辆，求该车辆需矫正速度的概率；（2）从样本中任取2辆车，求这2辆车均需矫正速度的概率；（3）从该快速车道上的所有车辆中任取2辆，记其中需矫正速度的车辆数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 【答案】（1）120；（2）1495；（3）分布列见解析，1()10E ξ=． 【解析】（1）记事件A 为“从该快速车道上的所有车辆中任取1辆，该车辆需矫正速度”，X 为所取车辆的车速．已知378.4μσ-≈，289.4μσ+≈，由条形图可知，所求的概率为()(3)(2)P A P X P X μσμσ=<-+>+141(78.4)(89.4)10010020P X P X =<+>=+=． （2）记事件B 为“从样本中任取2辆车，这2辆车均需矫正速度”． 由题设可知样本容量为100，又需矫正速度的车辆数为5，故所求概率为252100C 1()C 495P B ==．（3）需矫正速度的车辆数ξ服从二项分布，即1(2,)20B ξ:． 则0022119361(0)C ()()2020400P ξ===；111211919(1)C ()()2020200P ξ===；22021191(2)C ()()2020400P ξ===， 因此ξ的分布列为故数学期望11()22010E ξ=⨯=． 20．（12分）已知抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点为F ，圆2222:3C x y p +=，1C 与2C 的交点为A ，B ，且74FA FB ⋅=-u u u r u u u r ．（1）求1C ，2C 的方程；（2）过焦点F 作倾斜角为锐角的直线，分别交1C 于M ，N 两点，交2C 于P ，Q 两点，求PQ MN的取值范围． 【答案】（1）22y x =，223x y +=；（2）11(0,2． 【解析】（1）由222232x y p y px ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，得22230x px p +-=，解得x p =或3x p =-（舍去），所以2y =，不妨设(2)A p ，(,2)B p ，又(,0)2p F ，所以7(2)(,2)224p p FA FB ⋅=⋅-=-u u u r u u u r ，解得21p =，所以1p =．故抛物线1C 的方程为22y x =，圆2C 的方程为223x y +=．（2）由（1）知，抛物线1C 的焦点1(,0)2F ，设直线方程为12x my =+，即102x my --=，则圆2C 的圆心到直线的距离2121d m =+214231PQ m =-+．将12x my =+代入22y x =，得2210y my --=，2440Δm =+>， 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，所以121221y y my y +=⎧⎨=-⎩， 所以221212(1)MN m y y m =+-=+．22221111423122(1)12(1)1PQ MN m m m m=⋅-=-++++ 令211t m=+，01t <<， 则231121222PQ t t t t MN =-=-23()12f t t t =-，01t <<， 则()3(8)0f t t t '=->，所以函数()f t 在(0,1)上单调递增，所以0()11f t <<，所以PQ MN 的取值范围是11． 21．（12分）已知函数1()ln (1)f x x a x=+-，a ∈R ． （1）若()0f x ≥，求实数a 的取值集合；（2）证明：212ln (2)xe x x e x x+≥-++-． 【答案】（1）{1}；（2）证明见解析． 【解析】（1）由已知，有221()a x af x x x x-'=-=， 当0a ≤时，1()ln 202f a =-+<，与条件()0f x ≥矛盾． 当0a >时，若(0,)x a ∈，则()0f x '<，()f x 单调递减；若(,)x a ∈+∞，则()0f x '>，()f x 单调递增．∴()f x 在(0,)+∞上有最大值1()ln (1)ln 1f a a a a a a=+-=+-，由()0f x ≥，知ln 10a a +-≥， 令()ln 1(0)g x x x x =-+>，则11()1x g x x x-'=-=， 当(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减． ∴()g x 在(0,)+∞上有最大值(1)0g =，∴()ln 10g x x x =-+≤，∴ln 10a a -+≤， ∴ln 10a a -+=，∴1a =．综上，当()0f x ≥时，实数a 的取值集合为{1}． （2）由（1）可知，当1a =时，()0f x ≥，即1ln 1x x≥-在(0,)+∞上恒成立， ∴要证212ln (2)xe x x e x x+≥-++-，只需证当0x >时，2(2)10x e x e x ----≥． 令2()(2)1(0)x h x e x e x x =----≥，则()2(2)xh x e x e '=---．令()2(2)xu x e x e =---，则()2xu x e '=-， 令()0u x '=，得ln 2x =．当(0,ln 2)x ∈时，()0u x '<，()u x 单调递减；当(ln 2,)x ∈+∞时，()0u x '>，()u x 单调递增， 即()h x '在(0,ln 2)上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增． 而(0)1(2)30h e e '=--=->，(ln 2)(1)0h h ''<=， ∴存在0(0,ln 2)x ∈，使得0()0h x '=．当0(0,)x x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当0(,1)x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增．又(0)110h =-=，(1)1(2)10h e e =----=，∴对任意0x >，()0h x ≥恒成立，2(2)10x e x e x ----≥． 综上所述，212ln (2)xe x x e x x+≥-++-成立．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是3cos 3sin 2x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πsin()04ρθ-=，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）求线段AB 中点的极坐标（0ρ≥，02πθ≤<）．【答案】（1）24sin 50ρρθ--=；（2）π)4．【解析】（1）将曲线C 的参数方程消去参数ϕ，得22(2)9x y +-=，所以曲线C 的普通方程为22(2)9x y +-=．将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入22(2)9x y +-=，得24sin 50ρρθ--=，所以曲线C 的极坐标方程为24sin 50ρρθ--=．（2）因为πsin()04ρθ-=，所以ππsin coscos sin 044ρθρθ-=， 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以直线l 的直角坐标方程为0x y -=，联立方程，得22(2)9x y x y ⎧+-=⎨-=⎩，消去y ，得22450x x --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122x x +=，所以12122y y x x +=+=，所以1212x x +=，1212y y +=， 所以线段AB 中点的直角坐标为(1,1)，则其极坐标为π)4． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()331f x x a x =-++，()412g x x x =--+． （1）求不等式()6g x <的解集；（2）若存在1x ，2x ∈R ，使得1()f x 和2()g x 互为相反数，求a 的取值范围．【答案】（1）7{3}5x x -<<；（2）135[,]1212-． 【解析】（1）由题意可得33,21()51,24133,4x x g x x x x x ⎧⎪-+≤-⎪⎪=---<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，当2x ≤-时，由336x -+<，得1x >-，无解；当124x -<<时，由516x --<，得75x >-，即7154x -<<； 当14x ≥时，由336x -<，得3x <，即134x ≤<．综上，()6g x <的解集为7{3}5x x -<<． （2）因为存在1x ，2x ∈R ，使得12()()f x g x =-成立， 所以{(),}{(),}y y f x x y y g x x =∈=-∈≠∅R R I ． 由（1）可知，9()[,)4g x ∈-+∞，则9()(,]4g x -∈-∞， 又()331(33)(31)31f x x a x x a x a =-++≥--+=+，所以9314a +≤，解得1351212a -≤≤， 故a 的取值范围为135[,]1212-．。
2020高三二轮数学模拟卷理(4)答案
2020年普通高等学校招生全国统一考试高考仿真模拟卷(四)(时间：120分钟；满分：150分)第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M＝{x|1≤x＜3}，N＝{1，2}，则M∩N＝( )A．{1} B．{1，2}C．{2} D．[1，2]2．若复数z满足(z－1)i＝4＋2i，则|z|＝( )A．25 B.17C．5 D．173．某市A，B，C，D四所中学报名参加某高校2017年自主招生考试的学生人数如下表所示：考试的学生中随机抽取50名参加问卷调查．则A，B，C，D四所中学抽取的学生人数分别为( )A．15，20，10，5 B．15，20，5，10C．20，15，10，5 D．20，15，5，104．等比数列{a n}的前n项和为S n，则“a2＜0且a5＜0”是“数列{S n}单调递减”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ＝3，则△ABC 的面积为( )A.34B.34 C.32D.326．设a ＝log 123，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130.2，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c7．若非零向量a 、b 满足|a |＝2|b |＝4，(a －2b )·a ＝0，则a 在b 方向上的投影为( ) A ．4 B ．8 C.14D.188．执行如图所示的程序框图，若输出的n ＝7，则输入的整数K 的最大值是( )A ．18B ．50C ．78D ．3069．已知一个封闭的长方体容器中装有两个大小相同的铁球，若该长方体容器的三个相邻侧面的面积分别为6，8，12，则铁球的直径最大只能为( )A. 3 B ．2 C.5D ．410．P 为圆C 1：x 2＋y 2＝9上任意一点，Q 为圆C 2：x 2＋y 2＝25上任意一点，PQ 中点组成的区域为M ，在C 2内部任取一点，则该点落在区域M 上的概率为( )A.1325B.35C.1225πD.35π 11．已知F 是双曲线C ：x 2a2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过点F 作垂直于x 轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点M ，若|FM |＝2a ，记该双曲线的离心率为e ，则e 2＝( )A.1＋172B.1＋174C.2＋52D.2＋5412．已知函数f (x )＝x 2＋(a ＋8)x ＋a 2＋a －12(a <0)，且f (a 2－4)＝f (2a －8)，则f （n ）－4a n ＋1(n ∈N *)的最小值为( )A.374B.358C.283D.274题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知函数f (x )＝tan x ＋sin x ＋2 017，若f (m )＝2，则f (－m )＝________.14．已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －5≥0，x ＋y －7≤0，x －2≥0若z ＝x ＋ay 的最小值为4，则实数a的值为________．15．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n －1，则数列b n ＝a 2n －7a n ＋6的最小值为________．16.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为4，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为________．(容器壁的厚度忽略不计，结果保留)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝cos x (23sin x ＋cos x )－sin 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，不等式f (x )≥m 有解，求实数m 的取值范围．18．(本小题满分12分)某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛．经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队(每队3人)进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分．假设甲队中每人答对的概率均为34，乙队中3人答对的概率分别为45，34，23，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分．(1)求ξ的分布列和数学期望；(2)求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．19．(本小题满分12分)如图1，正方形ABCD 的边长为4，AB ＝AE ＝BF ＝12EF ，AB∥EF ，把四边形ABCD 沿AB 折起，使得AD ⊥底面AEFB ，G 是EF 的中点，如图2.(1)求证：AG⊥平面BCE；(2)求二面角C AE F的余弦值．20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ln x，g(x)＝e x，h(x)＝ax2＋bx＋c.(1)若a＝1，b＝c＝0，求函数F(x)＝f(x)h(x)的单调区间；(2)若a＝c＝0，b>0，且G(x)＝g(x)－h(x)≥m(m∈R)对任意的x∈R都成立，求mb的最大值．21．(本小题满分12分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)在第一象限内的点P(2，t)到焦点F 的距离为52.(1)若N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，过点N ，P 的直线l 1与抛物线相交于另一点Q ，求|QF ||PF |的值；(2)若直线l 2与抛物线C 相交于A ，B 两点，与圆M ：(x －a )2＋y 2＝1相交于D ，E 两点，O 为坐标原点，OA ⊥OB ，试问：是否存在实数a ，使得|DE |为定值？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程已知在一个极坐标系中点C 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求出以C 为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)并画出图形； (2)在直角坐标系中，以圆C 所在极坐标系的极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，点P 是圆C 上任意一点，Q ()5，－3，M 是线段PQ 的中点，当点P 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹的普通方程．23．(本小题满分10分)选修45：不等式选讲 设函数f (x )＝|x －a |，a ∈R.(1)若a ＝1，解不等式f (x )≥12(x ＋1)；(2)记函数g (x )＝f (x )－|x －2|的值域为A ，若A ⊆[－1，3]，求a 的取值范围．高考仿真模拟卷(四)答案1．解析：选B.因为M ＝{x |1≤x ＜3}，N ＝{1，2}，所以M ∩N ＝{1，2}．故选B. 2．解析：选C.由(z －1)i ＝4＋2i ，得z －1＝4＋2ii ＝2－4i ，所以z ＝3－4i ，所以|z |＝5.3．解析：选D.由题意知，四所中学报名参加某高校2017年自主招生考试的学生总人数为100，抽取的学生人数与学生总人数的比值为50100＝12.所以应从A ，B ，C ，D 四所中学抽取的学生人数分别为20，15，5，10.4．解析：选C.因为a 5＝a 2q 3＜0，a 2＜0，所以q ＞0，所以a n ＜0恒成立，所以S n －S n －1＝a n ＜0，{S n }单调递减，故为充分条件；S n －S n －1＝a n ＜0⇒a 2＜0，a 5＜0，故为必要条件．故选C.5．解析：选B.依题意得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，C ＝60°，因此△ABC 的面积等于12ab sin C ＝12×3×32＝34.6．解析：选A.因为a ＝log 123<log 122＝－1，0<b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130.2<1，c ＝2>1，所以a <b <c .7．解析：选A.由(a －2b )·a ＝a 2－2a ·b ＝0，得a ·b ＝a 22＝|a |22＝8，从而a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝82＝4，故选A.8．解析：选C.第一次循环S ＝2，n ＝2，第二次循环S ＝6，n ＝3，第三次循环S ＝2，n ＝4，第四次循环S ＝18，n ＝5，第五次循环S ＝14，n ＝6，第六次循环S ＝78，n ＝7，需满足S ≥K ，此时输出n ＝7，所以18<K ≤78，所以整数K 的最大值为78.9．解析：选B.设长方体三条棱的长分别为a ，b ，c ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝6bc ＝8ac ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝2c ＝4.再结合题意可得，铁球的直径最大只能为2. 故选B.10．解析：选B.设Q (x 0，y 0)，中点M (x ，y )，则P (2x －x 0，2y －y 0)代入x 2＋y 2＝9，得(2x －x 0)2＋(2y －y 0)2＝9，化简得：⎝⎛⎭⎪⎫x －x 022＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y 022＝94，又x 20＋y 20＝25表示以原点为圆心半径为5的圆，故易知M 的轨迹是在以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，y 02为圆心，以32为半径的圆绕原点一周所形成的图形，即在以原点为圆心，宽度为3的圆环带上，即应有x 2＋y 2＝r 2(1≤r ≤4)，那么在C 2内部任取一点落在M 内的概率为16π－π25π＝1525＝35.故选B.11．解析：选A.由题意得，F (c ，0)，该双曲线的一条渐近线为y ＝－bax ，将x ＝c 代入y ＝－b a x 得y ＝－bca，所以bc a＝2a ，即bc ＝2a 2，所以4a 4＝b 2c 2＝c 2(c 2－a 2)，所以e 4－e 2－4＝0，解得e 2＝1＋172，故选A.12．解析：选A.二次函数f (x )＝x 2＋(a ＋8)x ＋a 2＋a －12图象的对称轴为直线x ＝－a ＋82，由f (a 2－4)＝f (2a －8)及二次函数的图象，可以得出a 2－4＋2a －82＝－a ＋82，解得a ＝－4或a ＝1，又a <0，所以a ＝－4，所以f (x )＝x 2＋4x ，所以f （n ）－4a n ＋1＝n 2＋4n ＋16n ＋1＝（n ＋1）2＋2（n ＋1）＋13n ＋1＝n ＋1＋13n ＋1＋2≥2（n ＋1）·13n ＋1＋2＝213＋2，又n ∈N *，所以当且仅当n ＋1＝13n ＋1，即n ＝13－1时等号成立，当n ＝2时，f （n ）－4a n ＋1＝283，n ＝3时，f （n ）－4a n ＋1＝294＋2＝374<283，所以最小值为374，故选A. 13．解析：因为函数f (x )＝tan x ＋sin x ＋2 017，所以f (－x )＝－tan x －sin x ＋2 017，从而f (－x )＋f (x )＝4 034，又f (m )＝2，所以f (－m )＝4 032.答案：4 03214．解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，假设z ＝x ＋ay 在点C (2，1)处取得最小值，则2＋a ＝4，a ＝2，此时y ＝－12x ＋12z ，其在点C (2，1)处取得最小值，符合题意．假设z ＝x ＋ay 在点B (2，5)处取得最小值，则2＋5a ＝4，a ＝25，此时y ＝－52x ＋52z ，其在点C 处取得最小值，不符合题意．假设z ＝x ＋ay 在点A (8，－1)处取得最小值，则8－a ＝4，a ＝4，此时y ＝－14x ＋14z ，其在点A 处取得最小值，符合题意．所以a 的值为2或4.答案：2或415．解析：由S n ＝2n －1，得a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－2n －1＋1＝2n －1，a 1＝1适合上式，所以a n ＝2n－1.则b n ＝a 2n－7an ＋6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －722－254. 所以当n ＝3时(b n )min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－722－254＝－6.故答案为－6. 答案：－616．解析：该球形容器最小时，十字立方体与球内接，此时球直径2R 等于由两个正四棱柱组合而成的几何体的对角线，即2R ＝42＋42＋22＝6，球形容器的表面积为4πR 2＝36π. 答案：36π 17．解：(1)f (x )＝23sin x cos x ＋cos 2x －sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以函数f (x )的最小正周期T ＝π.(2)由题意可知，不等式f (x )≥m 有解，即m ≤f (x )max .因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，故当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值，且最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2.从而可得m ≤2 .18．解：(1)由题意知，ξ的所有可能取值为0，10，20，30. P (ξ＝0)＝15×14×13＝160，P (ξ＝10)＝45×14×13＋15×34×13＋15×14×23＝960＝320，P (ξ＝20)＝45×34×13＋45×14×23＋15×34×23＝2660＝1330，P (ξ＝30)＝45×34×23＝25.所以ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×160＋10×320＋20×1330＋30×25＝1336.(2)记“甲队得30分，乙队得0分”为事件A ，“甲队得20分，乙队得10分”为事件B ，则A ，B 互斥．又P (A )＝⎝⎛⎭⎫343×160＝91 280， P (B )＝C 23⎝⎛⎭⎫342×14×320＝811 280，故甲、乙两队总得分之和为30分且甲队获胜的概率为P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝901 280＝9128. 19．解：(1)证明：连接BG ，因为BC ∥AD ，AD ⊥底面AEFB ，所以BC ⊥底面AEFB ，又AG ⊂底面AEFB ，所以BC ⊥AG ，因为AB ＝12EF ，且AB ∥EF ，所以AB 綊EG ，因为AB＝AE ，所以四边形ABGE 为菱形，所以AG ⊥BE ，又BC ∩BE ＝B ，BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，所以AG ⊥平面BCE .(2)由(1)知四边形ABGE 为菱形，AG ⊥BE ，AE ＝EG ＝BG ＝AB ＝4， 设AG ∩BE ＝O ，所以OE ＝OB ＝23，OA ＝OG ＝2， 以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则O (0，0，0)，A (－2，0，0)，E (0，－23，0)，F (4，23，0)，C (0，23，4)，D (－2，0，4)，所以AC →＝(2，23，4)，AE →＝(2，－23，0)，设平面ACE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧AC →·n ＝0，AE →·n ＝0，所以⎩⎨⎧2x ＋23y ＋4z ＝0，2x －23y ＝0，令y ＝1，则x ＝3，z ＝－3，即平面ACE 的一个法向量为n ＝(3，1，－3)，易知平面AEF 的一个法向量为AD →＝(0，0，4)，设二面角C -AE -F 的大小为θ，由图易知θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos θ＝|n ·AD →||n |·|AD →|＝437×4＝217.20．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )h (x )＝x 2ln x ，F ′(x )＝2x ln x ＋x (x >0)． 令F ′(x )>0，得x >1e，故F (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞；令F ′(x )<0，得0<x <1e，故F (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，1e .(2)由题意知，G (x )＝e x －bx ，故G ′(x )＝e x －b ， 又b >0，令G ′(x )＝e x －b ＝0，得x ＝ln b ，故当x ∈(－∞，ln b )时，G ′(x )<0，此时G (x )单调递减；当x ∈(ln b ，＋∞)时，G ′(x )>0，此时G (x )单调递增．故G (x )min ＝b －b ln b ，所以m ≤b －b ln b ，则mb ≤b 2－b 2ln b . 设r (b )＝b 2－b 2ln b (b >0)，则r ′(b )＝2b －(2b ln b ＋b )＝b －2b ln b ，由于b >0，令r ′(b )＝0，得ln b ＝12，b ＝e ，当b ∈(0，e)时，r ′(b )>0，r (b )单调递增；当b ∈(e ，＋∞)时，r ′(b )<0，r (b )单调递减，所以r (b )max ＝e 2，即当b ＝e ，m ＝12e 时，mb 取得最大值e2.21．解：(1)因为点P (2，t )到焦点F 的距离为52，所以2＋p 2＝52，解得p ＝1，故抛物线C 的方程为y 2＝2x ，P (2，2)，所以l 1的方程为y ＝45x ＋25，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝45x ＋25，y 2＝2x ，可解得x Q ＝18，又|QF |＝x Q ＋12＝58，|PF |＝52，所以|QF ||PF |＝5852＝14.(2)设直线l 2的方程为x ＝ny ＋m (m ≠0)，代入抛物线方程可得y 2－2ny －2m ＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2n ，y 1y 2＝－2m ，① 由OA ⊥OB 得，(ny 1＋m )(ny 2＋m )＋y 1y 2＝0， 整理得(n 2＋1)y 1y 2＋nm (y 1＋y 2)＋m 2＝0，②将①代入②解得m ＝2或m ＝0(舍去)，满足Δ＝4n 2＋8m >0， 所以直线l 2：x ＝ny ＋2，因为圆心M (a ，0)到直线l 2的距离d ＝|a －2|1＋n 2， 所以|DE |＝2 12－（a －2）21＋n 2，显然当a ＝2时，|DE |＝2，所以存在实数a ＝2，使得|DE |为定值． 22．解：(1)如图，设圆C 上任意一点A (ρ，θ)，则∠AOC ＝θ－π3或π3－θ.由余弦定理得4＋ρ2－4ρcos(θ－π3)＝4，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3.作图如图所示．(2)在直角坐标系中，点C 的坐标为(1，3)，可设圆C 上任意一点P (1＋2cos α，3＋2sin α)，又令M (x ，y )，由Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点，得M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝6＋2cos α2y ＝2sin α2(α为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos αy ＝sin α(α为参数)，所以点M 的轨迹的普通方程为(x －3)2＋y 2＝1.23．解：(1)由于a ＝1，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x <1.x －1，x ≥1.当x <1时，由f (x )≥12(x ＋1)，得1－x ≥12(x ＋1)，解得x ≤13；当x ≥1时，由f (x )≥12(x ＋1)，得x －1≥12(x ＋1)，解得x ≥3.综上，不等式f (x )≥12(x ＋1)的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，13∪[3，＋∞)． (2)当a <2时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，x ≤a ，2x －2－a ，a <x <2，2－a ，x ≥2，g (x )的值域A ＝[a －2，2－a ]，由A ⊆[－1，3]，得⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－1，2－a ≤3，解得a ≥1，又a <2，故1≤a <2； 当a ≥2时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，x ≤2，－2x ＋2＋a ，2－a ，x ≥a ，2<x <a ，g (x )的值域A ＝[2－a ，a －2]，由A ⊆[－1，3]，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥－1，a －2≤3，解得a ≤3，又a ≥2，故2≤a ≤3. 综上，a 的取值范围为[1，3]．。
2020高考全国卷数学(理)模拟卷(四)
2020高考全国卷数学（理）模拟卷（四）1、设全集 U R =,集合{}1A x x =, {}2|230 B x x x =--≥,则U A C B ⋂= ( )A. {}|1x x ≤-B.{}|1x x ≤ C. {|11}x x -<≤ D.{}|13x x <<2、设复数z 满足则11zi z+=-,则z 等于( ) A. 1B.C.D. 23、等比数列{}n a 的前n 项和为13n n S a b -=⋅+,则ab= ( ) A.-3 B.-1 C.1 D.34、曲线y =21y x =-及x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A.512 B. 1112C. 16D. 125、在平面直角坐标系中,圆22:1O x y +=被直线y kx b =+ (0k >)角a 始边是x 轴的非负半轴,终边过点2(,)P kb ,则tan a 的最小值( )A.2B. 1C.D. 26、实数 ,x y 满足不等式组00220y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩,若y W x -=+11,则有( ) A.112W ≤< B. 1123W -≤≤C. 12W ≥-D. 113W -≤≤7、如下图,该程序运行后输出的结果为( )A.5B.6C.9D.10 8、如图,已知平面四边形ABCD ,AB BC ⊥,2AB BC AD ===,3CD =,AC 与BD 交于点O ,记 1I OA OB =⋅u u u r u u u r ,2I OB OC =⋅u u u r u u u r ,3I OC OD =⋅u u u r u u u r,则( )A. 123I I I <<B. 132I I I <<C. 312I I I <<D. 213I I I <<9、将石子摆成如图的梯形形状.称数列5,9,14,20,…为“梯形数”.根据图形的构成,此数列的第2018项与5的差,即20185a -=( )A.1012×2018B.1012×2017C.2020×2016D.2020×201510、已知椭圆221:113x C y +=,双曲线22222:1(,0)x y C a b a b-=>,若以1C 的长轴为直径的圆与2C 的一条渐近线交于A 、B 两点,且1C 与该渐近线的两交点将线段AB 三等分,则2C 的离心率是( )A.B. 3C.D. 511、在正方体1111ABCD A B C D -中, E 是棱1CC 的中点, F 是侧面11BCC B 内的动点,且1A F P 平面1D AE , 记我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若12AA AB ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -外接球的体积为__________．与平面11BCC B 所成的角为θ,下列说法正确的是个数是( )①点F 的轨迹是一条线段 ②1A F 与1 D E 不可能平行 ③1A F 与BE 是异面直线④tan θ≤⑤当F 与1C 不重合时,平面11A FC 不可能与平面1AED 平行A.2B.3C.4D.512、设函数()f x 在R 上存在导数()'f x ,对任意x R ∈有()()2f x f x x -+=,且在()0,+∞上,().'f x x >若()()222f a f a a --≥-,则实数a 的取值范围为( )A. [)1,+∞ B. (],1-∞ C. (,2]-∞ D. [)2,+∞13、一个几何体的三视图如图所示,則该几何体的表面积为__________.14、将函数()cos2f x x x =-的图像向左平移 m 个单位()0m >,若所得的图像关于直线6x π=对称,则 m 的最小值为__________15、若向区域{(,)|01,01}x y x y ≤≤≤≤内投点,则该点落在由直线y x =与曲线y =围成区域内的概率为__________ 16、已知数列满足: *111,,1nn n a a a n N a +==∈+,若()111,n n b n a λ+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1b λ=-,且数列{}n b 是单调递增数列,则实数λ的取值范围为__________ 17、已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边,且满足()()sin sin sin sin b c a A B C c B +-++=1.求角A 的大小2.设a =S 为ABC ∆的面积,求cos S B C +的最大值18、在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中,某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户.为了做到精准帮扶,工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查,并把调查结果转化为各户的贫困指标 x 和y ,制成图,其中“*”表示甲村贫困户,“+”表示乙村贫困户若00.6x <<,则认定该户为“绝对贫困户”,若0.60.8x ≤≤,则认定该户为“相对贫困户”,若0.81x <≤,则认定该户为“低收入户”;若100y ≥,则认定该户为“今年能脱贫户”,否则为“今年不能脱贫户”1.从甲村50户中随机选出一户,求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率;2.若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户,用ξ表示所选3户中乙村的户数,求ξ的分布列和数学期望E()ξ3.试比较这100户中,甲、乙两村指标的方差的大小(只需写出结论)19、已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形, AB CD P ,90DAB ∠=︒,PA ⊥底面ABCD ,且112PA AD DC AB ====,M 是PB 的中点.1.证明:平面PAD ⊥平面PCD2.求二面角A CM B --的余弦值.20、已知12,F F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点,点()()001,0P y y >在椭圆上,且2PF x ⊥轴, 12PF F ∆的周长为6.1.求椭圆的标准方程;2. ,E F 是椭圆C 上异于点P 的两个动点,如果直线PE 与直线PF 的倾斜角互补,证明:直线EF 的斜率为定值,并求出这个定值.21、已知函数()()12ln ,,ln x f x ax a x a R g x ea x x +-=+∈=++,其中e 为自然对数的底数.1.若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线经过(0,2)-,证明: ()()1f x g x ≤-;2.若函数()y f x =与()2ln y g x x =-的图像有且仅有一个公共点()00,P x y ,证明:074x <. 22、在直角坐标系xOy 中,曲线1C的参数方程为2{1x y ==-+ (t 为参数),以原点为极点,以x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线2C的极坐标方程为ρ=.1.求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程;2.设点()2,1M -,曲线1C 与曲线2C 交于,A B ,求MA MB ⋅的值. 23、已知()|1||21|f x x x =+--.1.求不等式()0f x >的解集;2.若x ∈R 时,不等式()f x x a ≤+恒成立,求a 的取值范围.答案以及解析1答案及解析： 答案：D 解析：2答案及解析： 答案：A 解析：3答案及解析： 答案：A解析：∵13n n S a b -=⋅+,∴11,2a S a b n ==+≥时, 2123n n n n a S S a --=-=⋅,因为数列是等比数列,∴123a b a +=⨯,即13b a =-,故选A.4答案及解析： 答案：A解析：由解析式作出如图所示简图:由图像可知封闭图形面积为曲线与x 轴围成曲边三角形OCB 的面积与ABC ∆的面积之差. 联立两函数解析式,求出交点C 的坐标为: ()1,1,则点B 的坐标为: ()1,0, 求出直线与x 轴交点A 坐标为: ()0.5,0,则曲边三角形的面积为: 12123OCBS x dx =⎰==,ABC ∆的面积为: 1111224ABC S ∆=⨯⨯=, 所以两线与x 轴围成图形的面积为: 512.故选A.5答案及解析： 答案：B 解析：6答案及解析：解析：7答案及解析： 答案：A 解析：8答案及解析： 答案：C解析：因为90AOB COD ∠=∠>o,所以0OB OC OA OB OC OD ⋅>>⋅>⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r(∵OA OC <,OB OD <)选C9答案及解析： 答案：B 解析：10答案及解析： 答案：A 解析：11答案及解析： 答案：C 解析：12答案及解析： 答案：B 解析：13答案及解析：解析：由三视图可知,该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱,其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1,圆柱的底面直径为2,高为1,所以该几何体的表面积为长方体的表面积加圆柱的侧面积再减去圆柱的上、下底面积之和,即2(344131)2238.⨯+⨯+⨯+π-π=14答案及解析： 答案：6π解析：将函数()πcos22sin 26f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭的图像向左平移 m 个单位,得到()π2sin 226g x x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图像,依题意,所得图像关于直线6x π=对称,则: πππ22π,662m k k Z ⨯+-=+∈,即()ππ26k m k Z =+∈, ∵0m >,∴当0?k =时, m 最小值6π15答案及解析： 答案：16解析：曲线围成区域面积为: 3121200211)()|326x dx x x =-=⎰16答案及解析： 答案：(),2-∞ 解析：17答案及解析：答案：1.∵()()sin sin sin sin b c a A B C c B +-++=∴根据正弦定理,知()()b c a a b c bc +-++=,即222b c a bc +-=-∴由余弦定理,得2221cos 22b c a A bc +-==-. 又(0,)A π∈,所以23A π= 2.根据a =23A π=及正弦定理可得4sin sin sin b c a B C A ====, 4sin ,4sin b B c C ∴==.11sin 4sin 4sin sin 222S bc A B C B C ∴==⨯⨯⨯=()cos sin cos S B C B C B C B C +=+=-, 故当3B C B C π=⎧⎪⎨+=⎪⎩,即6B C π==时,cos S B C +取得最大值解析：18答案及解析：答案：1.由图知,在甲村50户中,“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户,所以从甲村50户中随机选出一户,该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率为50.150P == 2.由图知,“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户,其中甲村6户,乙村4户,依题意, ξ的可能值为0,1,2,3. 从而36310201(0)1206C P C ξ====, 1246310601(1)1202C C P C ξ====, 2146310363(2)12010C C P C ξ====,3431041(3)12030C P C ξ====. 所以ξ的分布列为:故ξ的数学期望13112()0123 1.262103010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯== 3.这100户中甲村指标y 的方差大于乙村指标y 的方差解析：19答案及解析：答案：1.证明:∵PA ⊥面ABCD ,CD AD ⊥,∴由三垂线定理得:CD PD ⊥.因而, CD 与面PAD 内两条相交直线,AD PD 都垂直,∴CD ⊥面PAD ,又CD ⊂面PCD ,∴面PAD ⊥面PCD .2.作AN CM ⊥,垂足为N ,连接BN .在Rt PAB ∆中, AM MB =,又AC CB =,∴AMC BMC ∆≅∆,∴BN CM ⊥,故ANB ∠为所求二面角的平面角∵CB AC ⊥,由三垂线定理,得CB PC ⊥,在Rt PCB ∆中, CM MB =,所以CM AM =.在等腰三角形AMC 中, AN MC AC ⋅=, ∴AN =,∴2AB = ∴2222cos 23AN BN AB ANB AN BN +-∠==-⨯⨯ 故二面角A CM B --余弦值为23-. 解析：20答案及解析：答案：1.由题意, ()()121,0,1,0,1F F c -= ∵12PF F ∆,的周长为6, 122226PF PF c a c ∴++=+=2,a b ∴== 椭圆的标准方程为22143x y += 2.由1知31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 设直线PE 方程: ()312y k x =-+,联立22341232x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎩, 消y 得()()22233443241202k x k k x k ⎛⎫++-+--= ⎪⎝⎭设()(),,,E E F F E x y F x y ∵点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上 2234122134E k x k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴⋅=+ ∴22412334E k k x k --=+,32E E y kx k =+-又∵直线PF 的斜率与PE 的斜率互为相反数,在上式中以k -代k ,22412334F k k x k +-∴=+,32F F y kx k =-++ ()()222862213424234F E F E EF F E F E k k k k x x k y y k k k x x x x k --⋅+-++-+∴====--+ 即直线EF 的斜率为定值,其值为12. 解析：21答案及解析：答案：1. ()()2','13a f x a k f a x=+==, 又()210a k --=-,由32a a =+得1a =, 令()()()()1ln 0x F x g x f x e x x -=-=->,则()11'x F x e x-=-, 当()0,1x ∈时F′(x)<0,函数()F x 单调递减,当()1,x ∈+∞时F′(x)>0,函数()F x 单调递增,故函数()F x 的最小值为()11F =,即()()1f x g x ≤-2. ()()()12ln 2ln 2x G x g x x f x ex x ax -=--=-+-,由题意函数()G x 有且仅有一个零点,因为()()11211'22,''20x x G x e a G x e x x--=-+-=+>, 则()G x '为()0,+∞上的增函数,且其值域为R ,故()G x '在()0,+∞上有唯一的零点,设为t ,则当()0,x t ∈时()'0G x <,则()G x 单调递减,当(),x t ∈+∞时()'0G x >,则()G x 单调递增,从而函数()G x 在x t =处取得最小值,又函数()G x 有唯一零点0x ,则必有0t x =,所以: ()()000000001'02120021ln 20G x ex a x G x ex x ax x ⎧=--+-=⎧⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩---+=⎩消去a 整理得: ()0100221ln 0x x ex --+-=, 令()()1211ln x H x x ex -=-+-,显然0x 为其零点, 而()12120x H x x e x -⎛⎫'=-+< ⎪⎝⎭,故()H x 在()0,+∞上单调递减, 而()34737110,1ln 0424H H e ⎛⎫=>=--< ⎪⎝⎭,所以()H x 在71,4⎛⎫ ⎪⎝⎭内有且仅有一个零点,在7,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭内无零点, 即074x < 解析：22答案及解析：答案：1.曲线1:1C y x =-+;曲线222:14x C y += 2.将22{12x t y t =-=-+ (t 为参数)代入2C 的直角坐标方程,得2580t -+=,所以1285t t ⋅=; 所以1285MA MB t t ⋅=⋅=解析：23答案及解析：答案：1.由题意得|1||21|x x +>-, 所以22|1||21|x x +>-,化简得3(2)0x x -<,解得02x <<,故原不等式的解集为{|02}x x <<.2.由已知可得, ()a f x x ≥-恒成立,设()()g x f x x =-, 则2,11()2,12122,2x g x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩, 由()g x 的单调性可知, 12x =时, ()g x 取得最大值1, 所以a 的取值范围是[)1,+∞.解析：。
2020年全国高考数学(理科)仿真冲刺模拟试卷4(含答案)
注意事项: 2020年全国高考数学（理科）仿真冲刺模拟试卷1、本试卷分第I 卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自 己的姓名、考生号填写在答题卡上。
巾'2、回答第I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, C. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第n 卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
26.［天津一中］设F I 、F 2分别为双曲线22 a D. 2 y b 2a 0,b 0的左、右焦点.若在双曲线右支上存4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
在点P,满足PF 2F 1F 2 ,且F 2到直线 PF i 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程A. 3x 4y 0B .3x 5yC. 4x 3y 0D. 5x 4y 0、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 7 .［天一大联考］已知f x AsinB A 0, 0,|的图象如图所示，则函数f［金山中学］已知集合A xlx 23x x 1 ，则集A I对称中心可以为（A. B. 0,4 C .1,4D .4,2. ［湘钢一中］已知i 为虚数单位，若复数 1 ai 2 i 是纯虚数，则实数 A.B. C .D. 2C・。
03. ［玉溪一中］若向量a, 且a 2, b 1 ,则向量a 2b 与向量a 的夹角为（）A. 6,0B .D .A. B. 4. ［凯里一中］已知cos 兀614， sinC .8.［首师附中］秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入值分另1J 为4, 2,则车^出v 的值为（）A. B.C .D. 785. ［宁乡一中］函数f xx 1|2cos x 1的部分图象可能是（A. v=£B.v =vx+iA. 5B. 12C. 25D. 509.［济宁一模］已知直三棱柱ABC ABC的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和73 ,此三棱柱的高为2褥，则该三棱柱的外接球的体积为（A. 82t3三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.10.［牡丹江一中］牡丹江一中2019年将实行新课程改革，即除语、数、外三科为必考科目外，还要17.（12分）［顺义统考］已知a n 是等差数列, b n 是等比数列，且b2 2 , b5 16 , a1 2b,, a3 b4.在理、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目.已知某生的高考志愿为北京大学环境科学专业，按照17年北大高考招生选考科目要求物、化必选，为该生安排课表（上午四节、下午四节, (1)求b n 的通项公式;上午第四节和下午第一节不算相邻）,现该生某天最后两节为自习课，且数学不排下午第一节, 语文、(2)设C n a n b n ,求数列c n 的前n项和.外语不相邻，则该生该天课表有（)种.A. 444B. 1776C. 1440D. 156011.［蚌埠质检］已知F为抛物线4x的焦点，。
名师精编2020年全国高考理科数学模拟试卷4+答题卡+解析
2020年全国高考模拟理科数学卷（4）考试时间120分钟 总分150分第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设U =R ，A ={x |x 2-3x -4＞0},B ={x |x 2-4＜0},则=B A C U I )(A ．{x |x ≤-1,或x ≥2}B ．{x |-1≤x ＜2}C ．{x |-1≤x ≤4}D ．{x |x ≤4}2.若复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m 的值为（ ） A. -1 B.-2 C.1 D.23.A ．4163π-B ．403C ．8163π-D ．3234. 已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是A ．1-B ．21C ．1D ．25. 在数列{}n a 中，12341,23,456,78910,a a a a ==+=++=+++则10a = （ ） A. 495 B.500 C.505 D.5106. ABC ∆中，“角,,A B C 成等差数列”是“)sin sin cos C A A B =+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．已知实数,x y 满足21010x y x y -+≥⎧⎨--≤⎩，则22x y z x ++=的取值范围为（ ）4A ．100,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(]10,2,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭UC ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]10,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭U8. 设()()2,cos sin cos cos 2a R f x x a x x x π⎛⎫∈=-+-⎪⎝⎭满足()(0)3f f π-=，求函数()f x 在11,424ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值 （ ） A.1 B.2 C.3 D.9. 在R 上定义的函数)(x f 是偶函数，且)2()(x f x f -=，若)(x f 在区间[]2,1是减函数，则函数)(x f （ ）A.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是增函数B.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是减函数C.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是增函数D.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是减函数10. 四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中4个不共面的点，则不同的取法共有（ ）A. 150种B. 147种C. 144种D. 141种11. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，12,F F 为其左、右焦点，P 为椭圆C 上除长轴端点外的任一点，G 为12F PF ∆内一点，满足123PG PF PF =+u u u v u u u v u u u u v，12F PF ∆的内心为I ，且有12IG F F λ=u u v u u u u v（其中λ为实数），则椭圆C 的离心率e =（ ） A ．13 B ．12 C ．23D12. 在三棱锥A —BCD 中，AB ＝AC ，DB ＝DC ，4AB DB +=，AB ⊥BD ，则三棱锥 A —BCD 的外接球的体积的最小值为（ ）A. 3B. 43πC. 3D. 323π第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分. 第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分.13. 若向量12,2a =,b a b ==且-,则a b =+ 。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)样卷(四)(解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）样卷（四）一、单选题1．设i 是虚数单位，则202011i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ ）A ．iB ．i -C ．1D ．1-【答案】C【解析】根据复数的运算法则求解即可. 【详解】由于()()()21121112i i ii i i i ---===-++-，所以()()202020204505111i i i i ⨯-⎛⎫=-=-= ⎪+⎝⎭．故选：C 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，乘方运算，属于容易题.2．已知全集U =R ，集合(){}lg 11A x N x =∈-<，()(){}370B x x x =--≥，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}8,9,10B ．{}2,8,9,10C ．{}2,7,8,9,10D ．{}3,4,5,6,7【答案】B【解析】首先分别化简集合,A B ，再根据文氏图计算即可. 【详解】因为()110lg 1111110x x x x -<⎧-<⇔⇒<<⎨->⎩，所以(){}{}{}lg 111112,3,4,5,6,7,8,9,10A x N x x N x =∈-<=∈<<=，()(){}{}37037B x x x x x =--≥=≤≤，{7UB x x =>或}3x <.所以阴影部分表示的集合为{}2,8,9,10UA B ⋂=．故选：B 【点睛】本题主要考查对数不等式的解法，同时考查了集合的运算和一元二次不等式的解法，属于简单题. 3．函数()()12sin 12xxx f x -=+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】确定函数的奇偶性可排除B ，C ，再由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时的函数值的正负可排除D ，从而得正确选项． 【详解】因为()()()122112sin sin sin 122112x x xx x xf x x x x f x ------=⋅-=-⋅=⋅=+++，所以函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除选项B ，C ； 因为当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，所以可排除选项D ． 故选：A ． 【点睛】本题考查由函数解析式先把函数图象问题，解题可研究函数的性质，函数的值的大小，正负等等利用排除法得出正确选项． 4．若点()4,1P 在函数log ay x =的图象上，则πtan3a 的值为（ ）A ．0B ．3 C ．1D ．3【答案】D【解析】首先根据题意得到4a =，再利用三角函数的诱导公式计算即可. 【详解】因为点()4,1P 在函数log ay x =的图象上，所以1log 4a =，所以4a =， 所以4πtantan tan tan 33333a ππππ⎛⎫==+== ⎪⎝⎭． 故选：D 【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式，同时考查了对数的运算，属于简单题. 5．已知在ABC 中，::3:2:4sinA sinB sinC =，那么cosC 的值为（ ） A ．14-B ．14C ．23-D ．23【答案】A 【解析】【详解】::sin :sin :sin 3:2:4a b c A B C == ，不妨设3,2,4a k b k c k ===，,则()()()2223241cos 2324k k k C k k+-==-⨯⨯ ，选A.6．中国古代数学名著《九章算术》卷“商功”篇章中有这样的问题：“今有方锥，下方二丈七尺，高二丈九尺.问积几何？”（注：一丈等于十尺）.若此方锥的三视图如图所示（其中俯视图为正方形），则方锥的体积为（单位：立方尺）A ．7047B ．21141C ．7569D ．22707【答案】A【解析】由三视图还原原几何体，该几何体为正四棱锥，正四棱锥的底面边长为27尺，高为29尺，再由棱锥体积公式求解． 【详解】由三视图还原原几何体如图，该几何体为正四棱锥，正四棱锥的底面边长为27尺，高为29尺， ∴该四棱锥的体积127272970473V =⨯⨯⨯=立方尺． 故选A ． 【点睛】本题考查由三视图求面积，体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．7．若曲线()3ln 1y x =+在1x =处的切线斜率为a ，则6213x ax ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为（ ） A ．4- B ．4C ．60D ．60-【答案】C【解析】先由1x a y =='|，确定a 的取值，然后利用二项展开式的通项公式即可求得本题答案. 【详解】由题，得31y x '=+，则32a =， 所以6226(123))3(3x x ax x--=，则其二项展开式的通项公式：6663166222(3)()(3)()33rrr r rr r r T C x C x x ---+=-=- ， 令630r -=，解得2r ，所以展开式中的常数项为24262(3)()603C -=.故选：C 【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及二项式定理的应用，考查学生的运算求解能力. 8．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布.此问题中若记该女子一月中的第n 天所织布的尺数为n a ，则1417a a +的值为（ ） A ．56 B ．52 C ．28 D ．26【答案】D【解析】根据题意设出等差数列的公差d ，然后利用前30项和列方程，解方程求得d 的值，由此求得1417a a +的值. 【详解】等差数列的首项15a =，设公差为d ，故3013029303902S a d ⨯=+=，解得1629d =，故1417122926a a a d +=+=.故选D. 【点睛】本小题主要考查等差数列基本量的计算，考查中国古代数学文化，属于基础题. 9．已知直线x y a +=与圆224x y +=交于A ，B 两点，且OA OB OA OB +=-（其中O 为坐标原点），则实数a 等于（ ）A ．2B ．2-C ．2或2-D 或【答案】C【解析】根据向量运算得到OA OB ⊥，再利用点到直线的距离公式计算得到答案. 【详解】因为OA OB OA OB +=-，故222222OA OB OA OB OA OB OA OB ++⋅=+-⋅，所以OA OB ⊥，所以由题意可得圆心到直线的距离d ==2a =±．故选：C. 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，向量运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 10．已知()3cos ,2sin a x x =，()2cos ,cos b x x =-，函数()3f x a b =⋅-，下面四个结论中正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象关于直线π6x =对称 C ．函数()f x 的图象是由2cos2y x =的图象向左平移π6个单位得到的 D ．函数π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数 【答案】D【解析】由题意结合平面向量数量积的坐标表示、三角恒等变换可得()π2cos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；利用2T πω=即可判断A ；由π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭即可判断B ；由三角函数图象平移的规律可判断C ；由诱导公式可判断D ；即可得解. 【详解】由题意()232sin cos f x a b x x x =⋅-=-π2sin 22cos 26x x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，对于A ，函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故A 错误； 对于B ，ππ2cos 266π06f ⎛⎫⨯+ ⎛⎫=⎝⎝⎭⎪⎭=⎪，故B 错误； 对于C ，由2cos2y x =的图象向左平移π6个单位得到函数π2cos 23π2cos 26x y x ⎡⎤⎛⎫=+= ⎪⎢⎛⎥⎫+ ⎪⎝⎝⎣⎦⎭⎭的图象，故C 错误；对于D ，因为ππππ2cos 22cos 22sin 26662f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数，故D 正确.故选：D. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示、三角恒等变换的应用，考查了三角函数图象的变换及三角函数图象与性质的应用，属于中档题.11．下图为国家统计局网站发布的《2018年国民经济和社会发展统计公报》中居民消费价格月度涨跌幅度的折线图（注：同比是今年第n 个月与去年第n 个月之比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期之比）下列说法正确的是（ ）①2018年6月CPI 环比下降0.1%，同比上涨1.9% ②2018年3月CPI 环比下降1.1%，同比上涨2.1% ③2018年2月CPI 环比上涨0.6%，同比上涨1.4% ④2018年6月CPI 同比涨幅比上月略微扩大1.9个百分点 A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④．【答案】A【解析】对照表中数据逐项检验分析即可得出答案. 【详解】对于①. 根据图表中的数据可得：2018年6月CPI 环比下降0.1%，同比上涨1.9%，正确.对于②. 根据图表中的数据可得: 2018年3月CPI 环比下降1.1%，同比上涨2.1%，正确. 对于③. 根据图表中的数据可得: 2018年2月CPI 环比上涨1.2%，同比上涨2.9%，不正确.对于④. 根据图表中的数据可得: 2018年6月CPI 同比上涨1.9%，以与上一年度的6月对比，而不是跟前一个月对比，所以不正确. 故选：A 【点睛】本题考查折线图，准确识图读图理解题意是关键，是基础题.12．若存在一个实数t ，使得()F t t =成立，则称t 为函数()F x 的一个不动点.设函数()(1)x g x e e x a =+-（a R ∈，e 为自然对数的底数），定义在R 上的连续函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，且当0x ≤时，'()f x x <.若存在01()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()g x 的一个不动点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭B ．⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭ C ．⎛⎤ ⎥ ⎝⎦D ．⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【详解】 ∵2()()f x f x x -+= ∴令21()()2F x f x x =-， ∴221()22)1(f f x x x x =---+, ∴()()F x F x =--，即()F x 为奇函数，∵()()F x f x x '='-，且当0x ≤时，()f x x '<， ∴()0F x '<对0x <恒成立，∵()F x 为奇函数，∴()F x 在R 上单调递减， ∵1()(1)2f x f x x +≥-+， ∴22111()(1)222f x x f x x x +-≥-+-， 即()(1)F x F x ≥-，11,2x x x ≤-≤012x ∴≤，∵0x 为函数()g x 的一个不动点，∴00()g x x =，即()0x h x e a =--=在1(,]2-∞有解．∵()0x h x e '=-≤，∴()h x 在R 上单调递减．∴min 1()02h x h a ⎛⎫==≤ ⎪⎝⎭即可，∴a ≥． 故选：B点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题13．中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过抛物线28x y =的焦点和双曲线22116x y -=的顶点，则该椭圆的离心率等于______．【答案】2【解析】求出抛物线的焦点坐标和双曲线的定点坐标，则可求出椭圆的,,a b c ，进而可得离心率. 【详解】抛物线28x y =的焦点坐标为()0,2，双曲线22116x y -=的顶点坐标为()4,0，()4,0-，由题意，可知椭圆的焦点在x 轴上，设为22221(0)x ya b a b+=>>，则4a =，2b =，故c =，所以其离心率2c e a ==.【点睛】本题考查圆锥曲线的性质及运算，是基础题.14．正三棱柱111ABC A B C -中，4AB =，16AA =，若112C F FC =，12B E EB =，则异面直线1A F ，AE 所成角的正弦值为______．【答案】265【解析】首先将原三棱柱补形构造直四棱柱1111ABCD A B C D -，取12D M MD =，连接MF ，1A M ，由已知可得AE 平行于MF ，且AE MF =，从而得到1A FM ∠就是异面直线1A F 与AE 所成的角或其补角．再代入余弦定理公式计算即可得到答案.【详解】在原三棱柱基础上，补形构造直四棱柱1111ABCD A B C D -，如图，使得底面ABCD 为菱形，取12D M MD =，连接MF ，1A M ，由已知可得AE 平行于MF ，且AE MF =，所以1A FM ∠就是异面直线1A F 与AE 所成的角或其补角． 因为2214225A F MF ==+=2214442A M =+=所以由余弦定理得22211111cos 25A F MF A M A FM A F MF +-∠==⋅， 所以异面直线1A F 与AE 26． 26【点睛】本题主要考查异面直线成角问题，平移找角为解题的关键，属于中档题.15．若函数()11sin πx x f x e ea x --+=-+（x ∈R ，e 是自然对数的底数，0a >）存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为______．【答案】20,π⎛⎤⎥⎝⎦【解析】函数()11sin πx x f x e ea x --+=-+存在唯一的零点等价于函数()sin πx a x ϕ=与函数()11xx g x ee --=-的图像只有一个交点．∵()10ϕ=，()10g =，∴函数()sin πx a x ϕ=与函数()11x x g x e e --=-的图像的唯一交点为()1,0．对()g x 求导，可得()g x 的单调性及斜率范围，又()x ϕ是最小正周期为2．最大值为a 的正弦型函数，画出草图，比较()g x 与()x ϕ在x =1处斜率即可. 【详解】函数()11sin πx x f x e ea x --+=-+（x ∈R ，e 是自然对数的底数，0a >）存在唯一的零点等价于函数()sin πx a x ϕ=与函数()11xx g x e e --=-的图像只有一个交点．∵()10ϕ=，()10g =，∴函数()sin πx a x ϕ=与函数()11xx g x e e --=-的图像的唯一交点为()1,0．又∵()11xx g x e e --'=--，且10x e ->，10x e ->，∴()11x x g x ee --'=--在R 上恒小于零，即()11x x g x e e --=-在R 上为单调递减函数．又∵()1112xxg x ee --'=--≤-，当且仅当111x xe e --=，即1x =时等号成立，且()()sin π0x a x a ϕ=>是最小正周期为2．最大值为a 的正弦型函数，∴可得函数()sin πx a x ϕ=与函数()11xx g x ee --=-的大致图像如图所示．∴要使函数()sin πx a x ϕ=与函数()11xx g x ee --=-的图像只有唯一一个交点，则()()11g ϕ''≥．∵()πcos π1πa a ϕ'==-，()21g '=-， ∴π2a -≥-，解得2πa ≤．对∵0a >，∴实数a 的取值范围为20,π⎛⎤ ⎥⎝⎦． 故答案为：20,π⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题由函数的零点入手，转化成求两个已知函数交点的问题，并利用导函数判断函数的单调性，结合题意，画出()g x 与()x ϕ的图像，并根据斜率的大小，进行求解，考查整理化简，计算求值，分析作图的能力，属难题.三、双空题16．某农户建造一个室内面积为150m 2的矩形蔬菜温室．如图，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留2m 宽的空地，中间区域为菜地.当温室的长为______m 时，菜地的面积最大，最大面积是______m 2．【答案】15 96【解析】设温室的左侧边长为()x m ，则温室的后侧边长为150()m x，所以菜地的面积()()150300231563250y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=-+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用基本不等式，即可求得最大值. 【详解】设温室的左侧边长为()x m ，菜地的面积为2()y m ，则温室的后侧边长为150()m x， 所以()()150300231563250y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=-+<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 因为3003003360x x x x+≥⋅=，当且仅当3003x x =，即10x =时取等号， 所以1566096y ≤-=，即y 的最大值为96，此时温室的长为()15015m x=． 所以当温室的长为15()m 时，菜地的面积最大，最大面积为296()m ． 【点睛】本题主要考查基本不等式的实际应用，考查学生的分析问题能力和转化求解能力.四、解答题17．已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，对任意的自然数2n ≥，n a 是34n S -与1322n S --的等差中项． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ．【答案】（1）()()111122n n n a n -⎧=⎪=⎨⎛⎫--≥⎪ ⎪⎝⎭⎩；（2）1411332n n S -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.【解析】（1）已知条件用等式表示为当2n ≥时，()1323422n n n a S S -⎛⎫=-+-⎪⎝⎭，用1n +替换n 得1132(34)22n n n a S S ++⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，两式相减可得{}n a 从第二项开始成等比数列，求出通项公式，1a 不适合此式，用分段函数形式表示数列的通项公式； （2）2n ≥时，分组求和12()n n S a a a =+++，然后验证1S 也适合上式，即得n S 表达式． 【详解】解：（1）由已知，当2n ≥时，()1323422n n n a S S -⎛⎫=-+-⎪⎝⎭①， 所以1132(34)22n n n a S S ++⎛⎫=-+-⎪⎝⎭②， 由②－①得1132232n n n n a a a a ++-=-，∴112n n a a +=-． ∴2a ，3a ，…，n a 成等比数列，其中22123323423(1)4222a S a a ⎛⎫=-+-=+-+- ⎪⎝⎭，∴212a =， ∴当2n ≥时，21111222n n n a --⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又11a =不符合此式，∴()()111122n n n a n -⎧=⎪=⎨⎛⎫--≥⎪ ⎪⎝⎭⎩．（2）当2n ≥时，()11212111221112n n n nS aa a a a a -⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+++=++⋅⋅⋅+=+⎛⎫-- ⎪⎝⎭ (1)1114111132332n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+--=--⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 当1n =时，014111332S ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭也符合上述公式．∴1411332n n S -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查由n S 与n a 的关系求数列通项公式，考查分组求和法．已知n S 与n a 的关系求数列通项公式一般都是利用1n n n a S S -=-，化已知等式为{}n a 的递推式，得出数列的性质，从而求得其通项公式．但此种方法要注意1a 1S =与此法不相同，故需验证1a ． 18．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1===AD DC CB ，60ABC ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =．（1）求证：BC ⊥平面ACFE ．（2）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角的平面角为()90θθ≤︒，试求cos θ的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）71cos 2θ⎤∈⎥⎣⎦. 【解析】（1）在底面ABCD 中证明BC AC ⊥即可证得线面垂直；（2）分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，令(03FM λλ=≤≤，然后写出各点坐标，求出平面MAB 和平面FCB 的法向量，由法向量夹角与二面角的关系求得cos θ（为λ的函数），由函数知识可得最大值和最小值，即得取值范围．【详解】（1）证明：在梯形ABCD 中，∵//AB CD ，1===AD DC CB ，60ABC ∠=︒， ∴2AB =．∴2222cos603AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒=， ∴222AB AC BC =+，∴BC AC ⊥．∵平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ⋂平面ABCD AC =，BC ⊂平面ABCD ， ∴BC ⊥平面ACFE ．（2）解：分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，令(03FM λλ=≤≤，则()0,0,0C ，()3,0,0A ，()0,1,0B ，(),0,1M λ，∴()3,1,0AB =-，(),1,1BM λ=-．设()1,,n x y z =为平面MAB 的一个法向量，由110,0,n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得30,0.x y x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩取1x =，则()11,3,3n λ=． ∵()21,0,0n =是平面FCB 的一个法向量，∴()()122212cos 133134n n n n θλλ⋅===⋅++-⨯-+．∵03λ≤≤∴当0λ=时，cos θ7； 当3λ=cos θ有最大值12． ∴71cos 72θ⎤∈⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查证明线面垂直，考查二面角问题，求二面角时，可建立空间直角坐标系，得出两平面的法向量，由法向量夹角求得二面角．19．在一次数学考试中，从甲，乙两个班级各抽取10名同学的成绩进行统计分析，他们成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分为及格．（1）从两班10名同学中各抽取一人，在有人及格的情况下，求乙班同学不及格的概率； （2）从甲班10人中取一人，乙班10人中取两人，三人中及格人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）27；（2）分布列见解析，75.【解析】（1）从茎叶图知甲班有4人及格，乙班有5人及格．事件“从两班10名同学中各抽取一人，有人及格”记作A ，事件“从两班10名同学中各抽取一人，乙班同学不及格”记作B ，求出()P A 和()P A B ⋂可由条件概率公式可得结论；（2）X 的取值为0，1，2，3，分别计算概率得概率分布列，再由公式计算期望． 【详解】解：（1）甲班有4人及格，乙班有5人及格．事件“从两班10名同学中各抽取一人，有人及格”记作A ， 事件“从两班10名同学中各抽取一人，乙班同学不及格”记作B ，则()()()2021003071100P A B P B A P A ⋂===-． （2）X 的取值为0，1，2，3，()12651210102015C C P X C C ==⋅=；()111216555412121010101019145C C C C C P X C C C C ==⋅+⋅=；()121116555412121010101016245C C C C C P X C C C C ==⋅+⋅=；()21541210104345C C P X C C ==⋅=．所以X 的分布列为所以()1932127455E X ++==．【点睛】本题考查条件概率，考查随机变量的概率分布列和数学期望．考查学生的数据处理能力，运算求解能力，本题属于中档题．20．过x 轴正半轴上的动点P 作曲线C ：21y x =+的切线，切点为A ，B ，线段AB 的中点为Q ，设曲线C 与y 轴的交点为D ． （1）求ADB ∠的大小及Q 的轨迹方程；（2）当动点Q 到直线y x =的距离最小时，求PAB △的面积．【答案】（1）90ADB ∠=︒；()2220y x x =+>；（2. 【解析】（1）设过点()(),00P p p >，斜率为k 的直线l 的方程为()y k x p =-，代入21y x =+得210x kx kp -++=，由相切得2440k kp --=，同时得到切点坐标为2(,1)24k k +，设切线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则可得1212,k k k k +，同时得出切点,A B 的坐标，利用1212,k k k k +计算DA DB ⋅可得90ADB ∠=︒．再由,A B 两点坐标得中点Q 坐标，消去参数可得Q 点轨迹方程；（2）由点到直线距离公式求得Q 到直线y x =的距离后可得其最小值及此时Q 点坐标，P 点坐标，从而得直线AB 方程，代入已知抛物线方程应用韦达定理可求得弦长AB ，再求出P 到直线AB 的距离后可得三角形面积． 【详解】解：（1）设过点()(),00P p p >，斜率为k 的直线l 的方程为()y k x p =-，代入21y x =+得210x kx kp -++=，当直线和抛物线相切时，有0∆=，即2440k kp --=，此时切点坐标为2,124k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 设切线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则124k k p +=，124k k ⋅=-，相应点的坐标为211,124k k A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，222,124k k B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()0,1D ， 所以222211221212,,024242244k k k k k k k k DA DB ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以90ADB ∠=︒． 中点Q 的横坐标为12222k k x p+==，纵坐标为()22122221212212112441122288k k k k k k k k y p ++++-+==+=+=+， 所以Q 的轨迹方程为()2220y x x =+>．（2）动点Q 到直线y x =的距离为d ==≥，当且仅当14x =时取等号，此时14p =，1(,0)4P ，∴由（1）得AB 中点Q 坐标是117(,)48，设1122(,),(,)A x y B x y ，则由21122211y x y x ⎧=+⎨=+⎩得121212()()y y x x x x -=-+，所以12121211242AB y y k x x x x -==+=⨯=-，所以直线AB 的方程为1711()824y x -=-，即122y x =+，代入曲线C 的方程得21102x x --=，则1212x x +=，121x x =-．AB ===， 点1,04P ⎛⎫⎪⎝⎭到直线AB=，所以PAB △的面积为12432=． 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查切点弦中点轨迹，考查直线与抛物线相交中三角形面积问题．采取设而不求的思想结合韦达定理解决交点坐标问题．角的确定可通过向量的数量积公式求解．21．已知函数()222ln f x a x x =-（常数0a >）．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）讨论函数()f x 在区间()21,e上零点的个数（e 为自然对数的底数）． 【答案】（1）10y +=；（2）答案见解析.【解析】（1）先根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式得结果；（2）先求函数最小值，再根据最小值分类讨论，结合零点存在定理确定零点个数 【详解】（1）当1a =时，()22ln f x x x =-，∴()22f x x x'=-， ∴()10f '=． 又∵()11f =-，∴曲线()y f x =在1x =处的切线方程为10y +=．（2）∵()222ln f x a x x =-，∴()()()22222222x a x a a a x f x x x x x--+-'=-==． ∵0x >，0a >，∴当0x a <<时，()0f x '>，当x a >时，()0f x '<， ∴()f x 在()0,a 上是增函数，在(),a +∞上是减函数．∴()()()2max 2ln 10f x f a a a ==-=．讨论函数()f x 的零点情况如下：①当()22ln 10aa -<，即0a <=()f x 无零点，在()21,e 上也无零点．②当()22ln 10aa =-，即a =()f x 在()0,∞+内有唯一零点a ，而21a e <=， ∴()f x 在()21,e 内有一个零点．③当()22ln 10aa >-，即a >由于()110f =-<，()()22ln 10f a a a =->，()()()222424222ln 422f e a e e a e a e a e =-=-=-+，当220a e-<22e a <<时，2212e a e <<<<，()20f e <．由单调性可知，函数()f x 在()1,a 内有唯一零点1x ，在()2,a e 内有唯一零点2x ，则()f x 在()21,e 内有两个零点；当220a e-≥，即22e a ≥>()20f e ≥，而且221202f a e a e =⋅-=->，()110f =-<，由单调性可知()f x 在(内有唯一的一个零点，在)2e 内没有零点，所以()f x 在()21,e内只有一个零点．综上所述，当0a <<()f x 在区间()21,e 上无零点；当a =22e a ≥时，函数()f x 在区间()21,e 上有一个零点；22e a <<时，函数()f x 在区间()21,e 上有两个零点．【点睛】本题考查导数几何意义以及利用导数研究函数零点，考查综合分析求解能力，属中于档题目.22．在直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 经过坐标原点O ，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.以点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （1）求l 与1C 的极坐标方程；（2）设l 与1C 的交点为O 、A ，l 与2C 的交点为O 、B ，且AB =，求α值.【答案】（1）l 的极坐标方程为()R θαρ=∈.1C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（2）34πα= 【解析】（1）倾斜角为α的直线l 经过坐标原点O ，可以直接写出()R θαρ=∈； 利用22sin cos 1φφ+=，把曲线1C 的参数方程化为普通方程，然后再利用 222sin ,cos ,y x x y ρθρθρ===+，把普通方程化成极坐标方程；（2）设()1,A ρα，()2,B ρα，则14cos ρα=，24sin ρα=，已知AB =以有12ρρ-=运用二角差的正弦公式，可以得到sin 14πα⎛⎫-=± ⎪⎝⎭，根据倾斜角的范围，可以求出α值.【详解】解：（1）因为l 经过坐标原点，倾斜角为α，故l 的极坐标方程为()R θαρ=∈. 1C 的普通方程为()2224x y -+=，可得1C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（2）设()1,A ρα，()2,B ρα，则14cos ρα=，24sin ρα=.所以124cos sin AB ρραα=-=- 4πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 由题设sin 14πα⎛⎫-=± ⎪⎝⎭，因为0απ<<，所以34πα=. 【点睛】 本题考查了已知曲线的参数方程化成极坐标方程.重点考查了极坐标下求两点的距离. 23．已知()34f x x x =-+-．（1）如果关于x 的不等式()f x a <的解集不是空集，求参数a 的取值范围；（2）解不等式：()277f x x x ≥+-．【答案】（1）1a >；（2）(][),07,-∞⋃+∞.【解析】（1）作出函数()f x 的图象得其值域，从而得a 的范围；（2）作出函数()f x 和2()77g x x x =+-的图象，求出两图象交点坐标，后由图象可得不等式的解．【详解】解：（1）函数()34f x x x =-+-的图象如图①所示，所以()34f x x x =-+-的值域为[)1,+∞．所以关于x 的不等式()f x a <的解集不是空集的充要条件为1a >．（2）画出两个函数的图象，如图②所示．由方程22777x x x -=+-，（4x >），解得7x =(2x =-舍去)．由方程27277x x x -=+-，（3x <），解得0x =(9x =舍去)．()277f x x x ≥+-的解集为(][),07,-∞⋃+∞．【点睛】本题考查绝对值不等式，解题方法作出函数图象，通过图象得出参数范围，得出不等式的解．。
【备考2020】全国高考模拟考试数学试卷 (理科)4(含答案解析)
二〇二〇届全国高考模拟考试试卷理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，共12题，满分60分。
1．已知点11,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭和抛物线2:2C x y =，过抛物线C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点，若PA PB ⊥u u u r u u u r，则直线斜率k 为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12．执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．113．1231261823n nn n n n C C C C -+++⋯+⨯=（ ）A ．2123n + B ．()2413n- C ．123n -⨯ D ．()2313n- 4．在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,若向量OA uuu r ,OB uuu r对应的复数分别是3+i,-1+3i,则CD uuu r对应的复数是（ ） A ．2+4iB ．-2+4iC ．-4+2iD ．4-2i5．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点M 为1CC 的中点，点N 为线段1DD 上靠近1D 的三等分点，平面BMN 交1AA 于点Q ，则AQ 的长为（ ）A ．13B ．12 C ．16D ．236．已知关于x y 、的二元一次线性方程组的增广矩阵为111222a b c a b c ⎛⎫⎪⎝⎭，记121212(,),(,),(,)a a a b b b c c c ===r r r，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是（ ）A ．0a b c ++=r rr r B ．a b c r r r 、、两两平行 C ．//a b rr D ．a b c r r r 、、方向都相同7．已知2:11xp x <+，:()(3)0q x a x -->，p 为q 的充分不必要条件，则a 的范围是（ ） A ．[)1,+∞B ．()1,+∞C ．[)0,+∞D ．()1,-+∞8．下列命题正确的是（ ）A ．若lim()0n n n a b a →∞=⋅≠，则lim 0n n a →∞≠且lim 0n n b →∞≠B ．若lim(,)0n n n a b →∞=，则lim 0n n a →∞=且lim 0n n b →∞= C ．若无穷数列{}n a 有极限，且它的前n 项和为n S ，则12lim 0=lim lim lim n n n n n n S a a a →∞→∞→∞→∞=+++L D ．若无穷数列{}n a 有极限，则1lim lim n n n n a a +→∞→∞= 9．设为负实数且，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．以上都不对10．在四边形ABCD 中,已知M 是AB 边上的点,且1MA MB MC MD ====,120CMD ∠=o ,若点N 在线段CD (端点,C D 除外)上运动,则NA NB ⋅u u u r u u u r的取值范围是（ ） A ．[)1,0-B ．[)1,1-C ．3,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭11．若集合012|),{(},2,1,0{≥+-==y x y x N M 且M y x y x ∈≤--,,012}，则N 中元素的个数为（ ） A ．9B ．6C ．4D ．212．已知函数21()sin cos 2f x x x x =++，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的最大值为1B ．()f x 的最小正周期为2πC ．()y f x =的图像关于直线3x π=对称D ．()y f x =的图像关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届全国高三高考四模试题 数学理【含解析】
2020届全国高三高考四模试题 数学理【含解析】一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合{}1381xM x =≤≤，(){}23log 421N x x x =-->，则()N M ⋃=R（ ）A. []0,3B. ()0,3C. ()1,5-D. []1,5-【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的性质，分别求得集合{}|04M x x =≤≤和{|1N x x =<-或5}x >，得到{|15}N x x =-≤≤R，再结合并集的概念与运算，即可求解.【详解】由题意，集合{}{}1381|04xM x x x =≤≤=≤≤，又由()23log 421x x -->，即2450x x -->，解得1x <-或5x >， 即集合{|1N x x =<-或5}x >，则{|15}N x x =-≤≤R所以()[]{|15}1,5N M x x ⋃=-≤≤=-R.故选：D.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，以及指数函数与对数的函数的图象与性质的应用，其中解答中结合指数对数函数的性质，正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 2. 已知()12,mini m n i-=-∈R ，其中i 为虚数单位，则复数z m mi =-在复平面内对应的点在（ ） A 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 分析】根据复数相等则对应系数相等，求得m 的值，写出z m mi =-的坐标，判断即可. 【详解】()12,mini m n i-=-∈R 1(2)2mi i ni n i ∴-=-=+ 1n ∴=，2m -= 2m ∴=-22z i ∴=-+，在复平面内对应的点为(2,2)-，在第二象限.故选：B.【点睛】本题考查了复数相等的条件和复数在复平面内对应的点，属于基础题.3. 据《孙子算经》记载：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？该著作中的一种解决方法为：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得.”如图所示是解决此类问题的程序框图，若输入32n =，则输出的结果为（ ）A. 47B. 48C. 79D. 80【答案】C 【解析】 【分析】按照程序框图输入32n =，逐步执行循环到0n =，即得结果. 【详解】按照程序框图： 输入32n =，则32S =，执行第一次循环：24n =，3224S =+ 执行第一次循环：16n =，322416S =++ 执行第一次循环：8n =，3224168S =+++执行第一次循环：0n =，3224168080S =++++= 跳出循环，1S S =-，故79S =，即输出结果. 故选：C.【点睛】本题利用数学文化考查了程序框图中的循环结构，属于基础题. 4. 已知α为锐角，且3π25sin 85α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则3πtan 24α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ） A.34 B. 34-C. 43-D. 34-或43- 【答案】C 【解析】 【分析】先利用已知条件得到3π8α-为锐角，求出其余弦值，再利用二倍角公式求出3πsin 24α⎛⎫- ⎪⎝⎭和3πcos 24α⎛⎫- ⎪⎝⎭，最后利用同角三角函数的基本关系求出正切即可.【详解】由02πα<<，又3πsin 08α⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则3π8α-为锐角， 故3π5cos 85α⎛⎫-=⎪⎝⎭， 则3π3π3π4sin 22sin cos 4588ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 23π3π3cos 22cos 8145αα⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故3πsin 23π4tan 23π43c s 244o ααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-==- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭.故选：C.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系以及二倍角公式求值的问题，属于较易题. 5. 已知抛物线26x y =的焦点为F ，M ，N ，K 为此抛物线上三点，若0FM FN FK ++=，则FM FN FK ++为（ ）A. 9B. 92C. 4D.94【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得3(0,)2F 是MNK △的重心，故123332y y y ++=，再由抛物线的定义可得123333|()()()9222FM FN FK y y y ++=+++++=．【详解】解：抛物线26x y =焦点坐标3(0,)2F ，准线方程：32y =-， 设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，3(K x ，3)y0FM FN FK ++=，∴点F 是MNK △重心，则123332y y y ++=， 12392y y y ∴++=． 由抛物线的定义可知：123333()()()9222FM FN FK y y y ++=+++++=，故选：A ．【点睛】本题考查三角形的重心坐标公式，抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题． 6. 函数2π1cos 122x y x ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭的图象大致为（ ） A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】 先记()2π1cos 122xf x x ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，化简整理，由函数解析式，判定奇偶性，再判断0πx <<时，()0f x <，进而可得出结果.【详解】记()2π2121cos (sin )sin 12221121xx xxx f x x x x -⎛⎫⎛⎫=-⋅+=⋅-=⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝+⎭-+， 则()()()12212sin sin sin 2221111x x xx x x f x x x x f x -----=⋅-=-⋅+⋅-+==+，因此函数2π1cos 122xy x ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭是偶函数；故排除BC ； 当0πx <<时，11202xx +-<，sin 0x >，因此()112sin 02x x f x x +-=⋅<；排除D ；故选：A.【点睛】本题主要考查判定函数图像的识别，熟记函数的性质即可，属于常考题型.7. 《九章算术》卷五描述：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高丈.”意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的几何体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高1丈.”若该刍甍的三视图如图所示，其中网格纸上每个小正方形边长均为1丈，则该刍甍的体积（单位：立方丈）为（ ）A.52B. 5C. 10D. 20【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图，作出几何体的直观图，再利用柱体、锥体的体积公式即可求解. 【详解】根据三视图知，该几何体是三棱柱，截去两个三棱锥，如图所示：结合图中数据，计算该几何体的体积为：111231423115232V V -=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=三棱柱三棱锥.故选：B【点睛】本题考查了根据几何体的三视图求几何体的体积，考查了柱体、锥体的体积公式，需熟记公式，属于基础题.8. 为了解我国古代数学的辉煌成就，学校决定从《周髀算经》《九章算术》等10部古代数学专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，已知这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期.则所选2部专著中至多有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为（ ） A.115B.715C.815D.1415【答案】D 【解析】 【分析】根据对立事件的概率公式进行求解即可.【详解】设事件“所选2部专著中至多有一部是魏晋南北朝时期的专著”为事件A ， 所以事件“所选2部专著中2部都是魏晋南北朝时期的专著”为事件A ，因为232101()15C P A C ==，所以114()1()11515P A P A =-=-=， 故选：D【点睛】本题考查了对立事件概率公式的应用，考查了数学运算能力.9. 某厂家加工甲、乙两种通讯设备零部件，其销售利润分别为10百元/件、15百元/件.甲、乙两种零部件都需要在A ，B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备1小时，B 设备3小时；生产一件乙产品需用A 设备2小时，B 设备2小时.A ，B 两种设备每周可使用时间分别为24小时、36小时，若生产的零部件供不应求，则该企业每周利润的最大值为（ ） A. 150百元B. 195百元C. 240百元D. 300百元【答案】B 【解析】 【分析】先设该企业每周生产甲乙两种零部件分别为：x ，y 件，每周利润为z ，根据题意，得出约束条件，和目标函数，利用数形结合的方法，即可得出结果.【详解】设该企业每周生产甲乙两种零部件分别为：x ，y 件，每周利润为：z ，则由题意可得：2243236x y x y x N y N +≤⎧⎪+≤⎪⎨∈⎪⎪∈⎩，1015z x y =+，画出224323600x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩所表示的平面区域如下：因为目标函数1015z x y =+可化为21315y x z =-+，则115z 表示直线21315y x z =-+在y 轴的截距， 由图像可得，当直线21315y x z =-+过点A 时，在y 轴的截距最大，此时z 取最大值； 由2243236x y x y +=⎧⎨+=⎩解得：69x y =⎧⎨=⎩，即()6,9A ，满足2243236x y x y x N y N+≤⎧⎪+≤⎪⎨∈⎪⎪∈⎩；因此max 106159195z =⨯+⨯=. 故选：B.【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合的方法求解即可，属于常考题型.10. 已知曲线()πsin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭按向量()(),00a ϕϕ=<平移，得到的曲线()y g x =经过点π,112⎛⎫- ⎪⎝⎭，则（ ） A. 函数()y g x =的最小正周期π2T =B. 函数()y g x =在1117π,π1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 C. 曲线()y g x =关于直线π6x =对称 D. 曲线()y g x =关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】B 【解析】 【分析】先由向量平移和定点π,112⎛⎫-⎪⎝⎭求得()g x 的解析式()cos(2)6g x x π=+，再根据三角函数的周期性、单调性和对称性对选项逐一判断正误即可.【详解】设()y f x =上任一点(,)x y ''，按向量()(),00a ϕϕ=<平移后得()y g x =上点(,)x y ，则,0x x y y y ϕ'''=+=+=，故,x x y y ϕ''=-=，代入()f x 得πsin 2()6y x ϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦()sin(22)6g x x πϕ∴=-+过点π,112⎛⎫- ⎪⎝⎭，得2()22()1262k k Z πππϕπ⨯--+=-∈()4k k Z πϕπ∴=-+∈又0ϕ<，故可取4πϕ=-，()sin(2)cos(2)266g x x x πππ∴=++=+因此，A 选项中，最小正周期πT =，故A 选项错误；B 选项中，在1117π,π1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，[]22,36x πππ+∈，故函数()y g x =在1117π,π1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故B 选项正确；C 选项中，当π6x =，262x ππ+=，()0g x =，()y g x =关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故C 选项错误；D 选项中，当π3x =，5266x ππ+=，()0g x ≠，点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭不是()y g x =的对称中心，故D 选项错误.故选：B.【点睛】本题考查了三角函数的平移变换求解析式和代入验证法判断余弦型函数的性质，属于中档题.11. 已知椭圆1C ：2215x y +=，1F ，2F 分别为双曲线2C ：()22221,0x y a b a b -=>的左、右焦点，两曲线1C ，2C 的离心率互为倒数，双曲线2C 渐近线上的点M 满足10OM MF ⋅=且12F MF △的面积为32，其中O 为坐标原点，则双曲线2C 的实轴长是（ ） A. 4 B. 8C. 16D. 32【答案】C 【解析】 【分析】记椭圆1C 的离心率为1e ，双曲线2C 的离心率为2e ，根据椭圆方程，由题意，求出25e =，得出双曲线渐近线方程为12y x =±，不妨令点M 在直线12y x =上，设001,2M x x ⎛⎫⎪⎝⎭，根据题中条件，列出方程组求解，即可得出结果.【详解】记椭圆1C 的离心率为1e ，双曲线2C 的离心率为2e ，因为椭圆方程为2215x y +=，所以1512555e -==， 又两曲线1C ，2C 的离心率互为倒数，所以252e =， 所以2222222112b bc a e a a a -===-=， 因此双曲线的渐近线方程为12b y x x a =±=±， 不妨令点M 在直线12y x =上，设001,2M x x ⎛⎫⎪⎝⎭， 则001,2OM x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又1F ，2F 分别为双曲线2C ：()22221,0x y a b a b-=>的左、右焦点，所以()1,0F c -，()2,0F c ，因此1001,2MF c x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭， 因为10OM MF ⋅=，所以()2000104x c x x ⋅---=， 整理得：0504c x +=， 又12F MF △的面积为32， 所以12120011132222F MF F F x c x =⋅⋅==△S ， 由005041322c x c x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得：45c =，因此24585c a e ===， 所以双曲线2C 的实轴长是216a =. 故选：C.【点睛】本题主要考查求双曲线的实轴长，考查双曲线与椭圆的简单性质，涉及向量垂直的坐标表示，属于常考题型.12. 已知函数()[)1,2,112,1,211,,22x x x f x x x x x ⎧+∈--⎪⎪⎪⎡⎫=-∈-⎨⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎡⎤-∈⎪⎢⎥⎣⎦⎩，()2g x ax =-，[]2,2x ∈-，若对于任意[]12,2x ∈-，总存在[]02,2x ∈-，使()()01g x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. 7,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B. 7,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 77,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 77,,44⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据对于任意1[2x ∈-，2]，总存在[2x ∈-，2]，使得1()()g x f x =成立，得到函数()f x 在[2-，2]上的值域是()g x 在[2-，2]上值域的子集，然后利用求函数值域的方法求函数()f x 、()g x 在[2-，2]上的值域，并列出不等式，解此不等式组即可求得实数a 的取值范围即可． 【详解】解：当21x --时，1()f x x x=+，21()10f x x '=->，即[2-，1]-为增区间，()[4f x ∈-，2]-，当112x -<时，()2f x =-； 当122x 时，1()f x x x =-，21()10xf x '=+>，此时函数递增，则3()[2f x ∈-，3]2． 则()f x 的值域为5[2-，32][2--，3]2．对于任意1[2x ∈-，2]，总存在0[2x ∈-，2]，使得01()()g x f x =成立， 得到函数()f x 在[2-，2]上的值域是()g x 在[2-，2]上值域的子集． 对a 讨论，当0a =时，()2g x =-，显然不成立； 当0a >时，()g x 的值域为[22a --，22]a -，由5222a ---且3222a -，即74a ； 当0a <时，()g x 的值域为[22a -，22]a --，由5222a --且3222a --，即74a -， 综上，a 的取值范围是：(-∞，77][44-，)+∞．故选：D.【点睛】本题主要考查了函数恒成立问题，以及分段函数、函数的值域，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题． 二、填空题13. 若()622x a x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为20，则a 的值为______.【答案】3 【解析】 【分析】求得二项展开式的通项为62616(1)2r r r r r T C x --+=-⋅，求得2x 的系数，列出方程，即可求解.【详解】由题意，二项式62()x x-的展开式的通项为66261662()()(1)2rrr r r r r r T C x C x x---+=-=-⋅，所以2x 的系数为33342466(1)2(1)216060C a C a -⋅⋅+⨯-⋅⋅=-+，令1606020a -+=，解得3a =. 故答案为：3.【点睛】本题主要考查了二项式的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，结合题意，列出方程是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 14. 在ABC 中，π6B ∠=，E 为AB 边上一点，且2EC =，5EA =2EA EC ⋅=，则BC =______. 【答案】855【解析】 【分析】先由向量夹角公式，根据题中条件，求出cos AEC ∠，从而求出sin BEC ∠，再由正弦定理，即可得出结果.【详解】因为2EC =，5EA =2EA EC ⋅=，所以5cos EA EC AEC EA EC⋅∠==又E 为AB 边上一点，所以AEC BEC π∠+∠=， 因此5cos cos BEC AEC ∠=-∠=25sin BEC ∠= 在BEC △，由正弦定理可得：sin sin EC BCB BEC =∠∠，即21225=，解得：85BC =85. 【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，涉及向量的夹角公式，属于常考题型. 15. 给出的下列四个命题中，正确的命题序号为______.①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②设回归直线方程为0.212ˆyx =+，当变量x 每增加一个单位时，ˆy 平均增加2个单位； ③已知ξ服从正态分布()20,N σ，且()200.4P ξ-≤≤=，则()20.2P ξ>=；④变量U 与V 相对应的一组样本数据为()1,1.4，()2,2.2，()3,3，()4,3.8，由上述样本数据得到U 与V 的线性回归分析，若2R 表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，则21R =.【答案】④ 【解析】 【分析】①根据抽样方法的概念，直接判断，即可得出结果； ②根据回归直线方程的性质，即可得出结果； ③根据正态分布的性质，计算概率，即可得出结果；④根据在线性回归中，相关指数等于相关系数，计算相关系数，即可得出结果.【详解】对于①，从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样；故①错误；对于②，回归直线方程0.212ˆyx =+中，当变量x 每增加一个单位时，ˆy 平均增加0.2个单位；故②错误；对于③，若ξ服从正态分布()20,N σ，且()200.4P ξ-≤≤=，则()020.4P ξ<≤=，所以()()20.5020.1P P ξξ>=-<≤=，故③错误；对于④，在线性回归中，相关指数等于相关系数，由题意，11x =，22x =，33x =，44x =，1 1.4y =，2 2.2y =，33y =，4 3.8y =，则 2.5x =， 2.6y =，所以相关指数()()()()421442211iii iii i x x y y R r x x y y ===--==--∑∑∑2222222215 3.21.50.50.5 1.5 1.20.40.4 1.2===⨯++++++，故④正确；故答案为：④【点睛】本题主要考查统计与概率的综合，熟记抽样方法的概念，回归直线的特征，正态分布的性质，以及相关指数的计算公式即可，属于常考题型.16. 定义：设函数()y f x =在(),a b 上的导函数为()f x '，若()f x '在(),a b 上也存在导函数，则称函数()y f x =在(),a b 上存在二阶导函数，简记为()y f x ''=.若在区间(),a b 上()0f x ''<，则称函数()y f x =在区间(),a b 上为“凸函数”.已知()()2ln 1e x f x mx =+-在区间()1,1-上为“凸函数”，则实数m 的取值范围为______. 【答案】18m > 【解析】 【分析】根据题意对函数()y f x =求二阶导函数()y f x ''=，令()0f x ''<在区间()1,1-恒成立，分离参数，解得实数m 的取值范围即可. 【详解】()()2ln 1e x f x mx =+-()12121e 1ex x xe f x mx mx '∴=-=--++ ()2e 2(1e )xx f x m ''∴=-+()()2ln 1e x f x mx =+-在区间()1,1-上为“凸函数”()2e 20(1e )xx f x m ''∴=-<+在()1,1-上恒成立 2e 2(1e )xx m ∴>+()1,1-上恒成立 设2e ()()1e xx g x =+，()1,1x ∈-，则2e 11()e 2e 114e 2e 2e 1e 2x x x x x x xg x ++=≤+==++ 当且仅当0x =时取得最大值14，124m ∴>18m ∴>故答案为：18m >. 【点睛】本题考查了新定义“凸函数”，考查了分离参数法解决恒成立问题和基本不等式，属于中档题. 三、解答题 （一）必考题：17. 已知函数()()sin sin 12f x x x πππ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭（x ∈R ）的所有正数的零点构成递增数列{}n a （n *∈N ）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足324nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）34n a n =-（n *∈N ）；（2）222n n n T +=-.【解析】 【分析】（1）令()0f x =可得出14x k =+（k Z ∈），根据题意确定数列{}n a 的首项和公差，即可求得数列{}n a 的通项公式；（2）求出122nn n n b n ⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭，然后利用错位相减法可求得n T .【详解】（1）()()sin sin 1cos sin sin 24f x x x x x x πππππππ⎛⎫⎛⎫=-++=-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()0f x =，得sin 04x ππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，所以4x k πππ-=（k Z ∈）， 所以14x k =+（k Z ∈），这就是函数()y f x =的全部零点， 所以数列{}n a 是以首项为14，公差为1的等差数列， 所以()131144n a n n =+-⨯=-（n *∈N ）；（2）因为324nn n b a =+，所以122nn n n b n ⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭，则()123111111123122222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①()23411111111231222222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，②①−②得：1234111111112222222nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11122122222n n n n n T n +⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=-+⋅=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查函数的零点，考查等差数列通项公式的求法，考查错位相减法求和，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.18. 某食品加工厂对生产机器升级改造，现从机器改造前后生产的食品中各抽取100件产品作为样本，检测某项营养成分含量，根据国家食品卫生标准，若该项营养成分含量落在[)20,40内的食品视为合格品，否则为不合格品.如图所示是机器改造前样本的频率分布直方图；下表是机器改造后样本的频数分布表.营养成分含量 [)15,20[)20,25[)25,30[)30,35[)35,40[)40,45频数 2184814162（1）请估算食品加工厂在机器升级改造前食品营养成分含量的平均值；（2）工厂质检规定：不合格食品必须全部销毁合格食品分等级销售，营养成分含量落在[)25,30内的定为一等品，每件售价240元；营养成分含量落在，[)20,25或[)30,35内的定为二等品，每件售价180元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元.根据表中的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买改造后的两件该食品，设其支付的费用为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）30.2（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由每一组区间的中间值乘以该组的频率再相加，可得平均值．（2）根据样本频率分布估计总体分布，样本中一、二、三等品的频率分别为111236，，，从所有产品中随机抽一件，是一、二、三等品的概率分别为111236，，，随机变量X 的取值为240，300，360，42，480，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X 的分布列和E （X ）． 【详解】根据图1可知，机器改造前样本的频数分布表如下： 营养成分含量 [)15,20[)20,25[)25,30[)30,35[)35,40[)40,45频数 41640121810∴估计在机器升级改造前食品营养成分含量的平均值为1100（4×17.5+16×22.5+40×27.5+12×32.5+18×37.5+10×42.5）＝30.2． （2）根据样本频率分布估计总体分布，样本中合格食品有96件，则样本中一、二、三等品的频率分别为111236，，，故从所有产品中随机抽一件，是一、二、三等品的概率分别为111236，，， 随机变量X 的取值为240，300，360，420，480，P （X ＝240）＝111=6636⨯，P （X ＝300）＝12111=369C ⨯⨯，P （X ＝360）＝1211115+=263318C ⨯⨯⨯，P （X ＝420）＝12111=323C ⨯⨯，P （X ＝480）＝111=224⨯，∴随机变量X 的分布列为：E （X ）＝11511240300360420480=4003691834⨯+⨯+⨯+⨯+⨯. 【点睛】本题考查平均数、离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查频率分布直方图、频率分布表、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，AB AD =，CB CD =，PB PD =，且24PC PA ==，60APC ∠=︒.（1）求证：平面PAC ⊥平面ABCD ；（2）若底面ABCD 中，90ADC ∠=︒，30ACD ∠=︒，在PC 上是否存在点M ，使得直线BM 与平面PBD 所成的角的正弦值为11495:PM MC 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，:2PM MC =【解析】 【分析】 （1）设ACBD O =，连接PO ，由已知条件得O 为BD 的中点，利用线面垂直的判定定理证明DB ⊥面PAC ，又DB ⊂平面ABCD ，即可得出结论；（2）先利用已知条件证明PA ⊥面ABCD ，再以A 为坐标原点，过A 作AB 垂线即为y 轴，AB 为x 轴，AP 为z 轴建立如图所示的空间坐标系，写出点坐标，令PM MC λ=，求出平面PBD 的法向量，利用空间向量求线面所成角即可得出结论. 【详解】（1）证明：设ACBD O =，连接PO ，因为AB AD =，CB CD =， 所以O 为BD 的中点，BD AC ⊥，又PB PD =，BD PO ∴⊥又,ACPO O DB =∴⊥面PAC ，DB ⊂平面ABCD ，所以平面PAC ⊥平面ABCD.（2）在PAC 中，24,60PC PA APC ==∠=︒，易得90PAC ∠=︒， 即PA AC ⊥，由（1）知BD PA ⊥，∴ PA ⊥面ABCD ；以A 为坐标原点，过A 作AB 垂线即为y 轴，AB 为x 轴，AP 为z 轴建立如图所示的空间坐标系， 则()()))330,0,0,0,0,2,3,0,0,,0,3,3,022A P BD C⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()333,0,2,,222PB PD ⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭，令PM MC λ=，332332,,,,111111M BM λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫-∴= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭，设平面PBD 的法向量为(),,n x y z =，3200330202x z PB n PD n x y z ⎧-=⎧⋅=⎪∴⇒⎨⎨⋅=+-=⎩⎪⎩， 取()2,23,3n =，设直线BM 与平面PBD 所成的角为ϕ，则()6114sin cos ,95n BM n BMn BMϕ⋅===， 解得2λ=即:2PM MC =【点睛】本题主要考查了线面垂直以及面面垂直的判定定理，考查了利用空间向量解决线面所成角的问题.属于中档题. 20. 已知O ：222x y +=交x 轴于M ，N 两点，过以MN 为长轴，离心率为22的椭圆C 的左焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B ，分别交y 轴和圆O 于P ，H . （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若PA s AF =，PB tBF =.求证：s t +为定值；（3）过原点O 作直线l 的垂线交直线2x =-于点K .试探究：当点H 在圆O 上运动时（不与M ，N 重合），直线HK 与圆O 是否保持相切？若是，请证明；若不是，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）4-；（3）故直线HK 与圆O 相切，证明见详解.【解析】 【分析】（1）由题意可得2a =1c =，由221b a c =-=，可得椭圆C 的标准方程.（2）设直线l 的方程为：()1y k x =+，将直线与椭圆方程联立，求出两根之和、两根之积，再根据向量的坐标运算可得1212,11x xs t x x =-=-++，求出即可证出. （3）设()(000,2H x y x ≠±，则22002y x =-，只要证出1HK OH k k ⋅=-即可【详解】（1）由222a =，解得2a =22c e a ==，所以1c =， 所以221b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=.（2）证明，如图，由题设知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：()1y k x =+，则点()0,P k ，将直线l 代入椭圆方程2212x y +=可得()2222124220k x k x k +++-=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，2122412k x x k -∴+=+，21222212k x x k-=+， 由PA s AF =，PB tBF =， 知1212,11x x s t x x =-=-++， 故2222121222121222444212124142211212k k x x x x k k s t x x x x k k k k--++++++=-=-=-+++⎛⎫-+-+ ⎪++⎝⎭. （3）点H 在圆O 上运动时，直线HK 与圆O 相切，证明：设()(000,2H x y x ≠±，则22002y x =-， 001HF y k x ∴=+，001OK x k y +=-， ∴直线OK 的方程为001x y x y +=-， 即点00222,x K y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭， ()()()020200000000000022222222HK x y y x y x x x k x x y x y y +--+--∴====-+++，00OH y k x =，1HK OH k k ∴⋅=-，即HK OH ⊥，故直线HK 与圆O 相切.【点睛】本题考查了由离心率求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系中的定值问题，此题对计算能力要求比较高，属于难题.21. 已知函数()2ln a x f x x x =+，()12g x x x=-，其中a R ∈. （1）若方程()()f x g x =在[]1,e （e 为自然对数的底数）上存在唯一实数解，求实数a 的取值范围；（2）若在[]1,e 上存在一点0t ，使得关于x 的不等式()()2212a xf x x x x +>++成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(]21,1,2e ⎛⎫--∞+∞ ⎪⎝⎭；（2）()21,2,1e e ⎛⎫+-∞-⋃+∞ ⎪+⎝⎭. 【解析】【分析】 （1）由题意得21ln 022x a x --=，令()21ln 22x F x a x =--，由题意得只需函数()y F x =在[]1,e 上有唯一的零点；求导，分①当1a ≤时，②当2a e ≥时，③当21a e <<时三种情况分析单调性求零点，即可求出a 的取值范围；（2）把已知条件转化为00001ln 0a t a t t t +-+<在[]01,t e ∈上有解，即函数()1ln a h x x a x x x=+-+在[]1,e 上的最小值小于零，求导，分①当1a e +≥时，②当11a +≤时，③当11a e <+<时三种情况分析单调性求最值，即可求出a 的取值范围.【详解】（1）()()f x g x =，2ln 12a x x x x x∴+=-， 即21ln 022x a x --=； 令()21ln 22x F x a x =--， 由题意得只需函数()y F x =在[]1,e 上有唯一的零点；又()2a x a F x x x x-'=-=，其中[]1,e x ∈，①当1a ≤时，()0F x '≥恒成立，()F x 单调递增，又()10F =，则函数()F x 在区间[]1,e 上有唯一的零点；②当2a e ≥时，()0F x '≤恒成立，()F x 单调递减，又()10F =，则函数()F x 在区间[]1,e 上有唯一的零点；③当21a e <<时， 当1x a ≤≤()0F x '<，()F x 单调递减，又()10F =，()10F a F ∴<=，则函数()F x 在区间a ⎡⎣上有唯一的零点； a x e <≤时，()0F x '>，()F x 单调递增，则当()0F e <时符合题意， 即21022e a --<， 所以212e a ->， ∴当2212e a e -<<时， 则函数()F x 在区间a ⎡⎣上有唯一的零点；所以实数a 的取值范围是(]21,1,2e ⎛⎫--∞+∞ ⎪⎝⎭. （2）在[]1,e 上存在一点0t ，使得关于x 的不等式()()200000212a t f t t t t +>++成立， 等价于00001ln 0a t a t t t +-+<在[]01,t e ∈上有解，即函数()1ln a h x x a x x x=+-+在[]1,e 上的最小值小于零， ()()()2221111x x a a a h x x x x x+--'=---=， ①当1a e +≥时，即1a e ≥-时，()h x 在[]1,e 上单调递减，所以()h x 的最小值为()h e ，由()10a h e e a e+=+-<， 可得2211,111e e a e e e ++>>---， 故211e a >e +-； ②当11a +≤时，即0a ≤时，()h x 在[]1,e 上单调递增，所以()h x 的最小值为()1h ，由()1110h a =++<，可得2a <-；③当11a e <+<，即01a e <<-时，可得()h x 的最小值为()1h a +，()()0ln 11,0ln 1a a a a <+<∴<+<，()()()111ln 12ln 1211a h a a a a a a a a a +=++-++=+-+>++， 所以()10h a +<不成立，综上：实数a 的取值范围是()21,2,1e e ⎛⎫+-∞-⋃+∞ ⎪+⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了导数求解零点问题，利用导数求解最值问题，做题的过程中注意对已知条件的转化，考查了学生构造函数的能力以及分类讨论的思想.属于较难题.（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系中，已知曲线C 的普通方程为222690x y x y +--+=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()π6R θρ=∈. （1）求直线l 的普通方程及曲线C 的参数方程；（2）过直线l 上的任意一点G 向曲线C 引切线GQ ，当切线长GQ 最短时，求G 点的极坐标. 【答案】（1）直线l 的普通方程为30x -=，曲线C 的参数方程为1cos 3sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）；（2）G 点的极坐标为：33,)26G π 【解析】【分析】 根据极角的正切与直线斜率之间关系求直线的普通方程，根据圆心和半径写参数方程即可； 判断当CG l ⊥时GQ 最短，联立两直线方程得到G 点直角坐标，并转化成极坐标即可.【详解】解：（1）依题意得，直线l 的普通方程为33y x =， 曲线C 的普通方程为222690x y x y +--+=，即22(1)(3)1x y -+-=∴ 曲线C 的参数方程为1cos 3sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数） 综上，直线l 的普通方程为30x -=，曲线C 的参数方程为1cos 3sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）； （2）要使切线长GQ 最短，则需CG 最短，故当CG l ⊥时最短，此时直线CG 的斜率为3CG 方程为33(1)y x -=-3330x y +=， 联立直线方程303330x y x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得33333(,)44G 故G 点的极坐标为：33)6G π+. 【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化以及点坐标的互相转化，考查了普通方程与参数方程的转化，属于常考题.[选修4—5：不等式选讲]23. 已知函数()()332m f x x m =+-∈R ，且()302m f x -+≤的解集为{}22x x -≤≤.（1）求m 的值；（2）若,,x y z R +∈，且m x y z =++，求证：22243x y z ++≥. 【答案】（1）2m =；（2）证明过程见详解.【解析】【分析】（1）根据题意，得到x m ≤，再由不等式的解集，即可得出结果；（2）根据柯西不等式，由题中条件，即可得出结果.【详解】（1）由题意，不等式()302m f x -+≤可化为0x m -≤，即x m ≤，所以m x m -≤≤； 又()302m f x -+≤的解集为{}22x x -≤≤， 所以2m =；（2）由（1）得：2x y z ++=，由柯西不等式可得：()()()22222221114x y zx y z ++++≥++=， 当且仅当23x y z ===时，等号成立； 因此22243x y z ++≥. 【点睛】本题主要考查由不等式的解集求参数，考查由柯西不等式证明不等式，属于常考题型.。
2020高考数学全真模拟卷(理)含答案
利用多出来的一个月，多多练习，提升自己，加油！第Ⅰ卷（选择题：共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1、下列各式：①2003⊆｛x|x ≤2004｝；②2004∈｛x|x<2004｝；③｛2004｝｛x|x ≤2004｝；④ф∈｛x|x<2004｝（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 2、a=sin14°+cos14°, b= sin16°+cos16°, c=26,则a,b,c 的大小关系是 （ ）A 、a<b<cB 、a<c<bC 、b<c<aD 、b<a<c 3、复数ia ai222+-的模为2，则实数 a 的值是（ ）A 、3B 、3C 、3±D 、3± 4、不等式组()()⎩⎨⎧≤≤≥+++3005x y x y x 表示的平面区域的面积为（ ）A 、12B 、16C 、24D 、285、已知ΔABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足→→→→=++ABPC PB PA ，则点P 与ΔABC 的关系为（ ）A 、P 在ΔABC 的内部B 、P 在ΔABC 的外部 C 、P 在AB 边所在的直线上D 、P 在AC 边所在的直线上6、已知数列()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1122n 的前n 项和为S n ，则n n S +∞→lim 等于 （ ）A 、0B 、1C 、23 D 、27、中心在原点，准线为x=±4，离心率为0.5的椭圆方程为 （ ）A 、14322=+y xB 、13422=+y x C 、1422=+y x D 、1422=+y x8、下列四个命题中，正确命题的序号是 （ ）①“直线a 、b 是异面直线”的充分而不必要条件是“直线a 、b 不相交”；②“直线l 垂直于平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”； ③“直线a ∥直线b ” 的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”； ④“直线a ∥平面α”的必要而不充分条件是“直线a 平行于α内的一条直线”。
2020年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学(四)含答案
绝密 ★ 启用前 2020年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（四）本试题卷共2页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}2|M x x x =∈=R ，{}1,0,1N =-，则M N =I （ ） A ．{}0 B ．{}1C ．{}0,1D ．{}1,0,1-2．设i 1i 1z +=-，()21f x x x =-+，则()f z =（ ） A ．B ．i -C ．1i -+D ．1i --3．已知()()22log 111sin13x x f x xx ⎧--<<⎪=⎨π⎪⎩≥，则31322f f ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．52B ．52-C ．32-D ．12-4．已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，且96=πS ，则5tan a =（ ） A ．33B ．3C ．3-D ．33-5．执行如图所示的程序框图，如果输入的100t =，则输出的n =（ ）开始输入t输出n 结束k ≤t否是0,2,0S a n ===S S a=+31,1a a n n =-=+A ．5B ．6C ．7D ．86．已知函数()()sin ωϕ=+f x A x (0,0,)2ωϕπ>><A 在一个周期内的图象如图所示，则4π⎛⎫= ⎪⎝⎭f （ ）A ．22-B ．22C ．2D ．2-7．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（ ）A ．21;n n -B ．21;1n n -+C ．121;n n +-D ．121;1n n +-+8．若P 是圆()()22:331C x y ++-=上任一点，则点P 到直线1y kx =-距离的最大值（ ） A ．4B ．6C ．32+1D ．109．已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，若()20f -=，则满足()10xf x ->的的取值范围是（ ） A ．()(),10,3-∞-U B ．()()1,03,-+∞U C ．()(),11,3-∞-UD ．()()1,01,3-U10．已知,x y ∈R ，在平面直角坐标系xOy 中，点,)x y （为平面区域2040⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥≥y x y x 内任一点，则坐标原点与点,)x y （连线倾斜角小于3π的概率为（ ）A ．116B ．316C ．3316D ．333211．某几何体的直观图如图所示，AB 是O e 的直径，BC 垂直O e 所在的平面，且10AB BC ==，Q 为O e 上从A 出发绕圆心逆时针方向运动的一动点．若设弧AQ uuu r的长为，CQ 的长度为关于的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．设双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，122F F c =，过2F 作轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A ，已知3,2a Q c ⎛⎫⎪⎝⎭，22F Q F A >，点P 是双曲线C 右支上的动点，且11232+>PF PQ F F 恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．10,⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭B ．71,6⎛⎫⎪⎝⎭C ．710,62⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．101,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2020届全国高考三卷模拟试卷数学(理)试题(四)解析版
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A．125
B．115
C． 105
D． 95
【答案】D
【解析】根据等差数列公式得到方程组
a2
a4 2a1 4d a5 a1 4d
8
4
，计算得到答案.
【详解】
a2
a4 2a1 4d a5 a1 4d
8
4，
e
，∴
a
1
，则 a 1 ，
所以 f (ln 2) f (2) eln 22 2e eln 2 e2 2e e2 4e ，故选：A． 2
【点睛】本题主要考查分段函数的最值问题，先求出每段函数的最值，再求函数的最值，属于中档题．
9．已知函数 f (x) 2 sin( x 1) ，将 y f (x) 的图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变）， 3
再将图象向左平移1个单位，所得图象对应的函数为 g(x) ，若函数的图象在 P ，Q 两处的切线都与 x 轴平
i
1 2
i ，z2
z1i
1 2
i
，
OP
1 ，1 22
，OQ
1 ，1 22
，OP
OQ
0
。故选：B
【点睛】本题考查了复平面对应向量的运算，掌握复数和向量的对应关系是解题的关键.
4．已知数列{an} 为等差数列， Sn 为前 n 项和，若 a2 a4 4 ， a5 8 ，则 S10 （ ）
代入解析式即可求出函数值．
【详解】解：∵
f
(x)
2020年高考全真模拟卷理科数学04(含解析)
2020年高考全真模拟卷（4）数学（理）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}05,A x x x N +=<<∈，{}260B x x x =--=，则A B =I （ ） A ．{}13x x << B ．{}03x x <<C ．{}3D ．{}1,2,32．复数212ii+=-（ ） A ．iB ．-iC ．4i 5+ D ．4i 5- 3．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y ̂=b ̂x +a ̂，其中b ̂=0．76，a ̂=y ̅−b ̂x̅，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A ．11．4万元B ．11．8万元C ．12．0万元D ．12．2万元4．函数2222(1)ln 2(1)x y x x +=-⋅+的部分图象是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于,A B 两点，12,AB P =为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为（ ） A ．18B ．24C ．36D ．486．5人并排站成一行，如果甲乙两个人不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A ．12B ．36C ．72D ．1207．定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3x f x =，则()3log 54f =（ ）A ．32B ．23-C ．23D ．32-8．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b >>）的右焦点为,,F A B 是双曲线的一条渐近线上关于原点对称的两点，0AF BF ⋅=u u u v u u u v且线段AF 的中点M 落在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为（ ）AB C ．2D9．已知向量,,a b c v v v 满足1a =v ，b =v 32a b ⋅=-v v ，,30a c b c 〈--〉=o v v v v，则c v 的最大值等于（ ）A ．B C ．2D10．已知函数()()()sin cos cos sin f x x x =-，给定以下命题：①()f x 为偶函数；②()f x 为周期函数，且最小正周期为2π；③若()0x π∈，，则()0f x >恒成立． 正确的命题个数为（ ）个 A ．0B ．1C ．2D ．311．若矩形ABCD 的对角线交点为O '，周长为O 的表面上，且OO '=，则球O 的表面积的最小值为（ ）A ．3B ．3C ．32πD ．48π12．若关于x 的不等式ln 210x x kx k -++>在()2,+∞内恒成立，则满足条件的整数k 的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是 3cm ．14．()()5212x x -⋅+展开式中，含2x 项的系数为 ．15．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边长，已知60,7A a =︒=，现有以下判断： ①b c +不可能等于15； ②cos cos 7C B c b bc+=． 上述结论中，所有正确结论的编号是 ．16．已知()f x 是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数，其导函数为()f x '，8f π⎛⎫=⎪⎝⎭x 0,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin 22()cos 20f x x f x x '+>，则不等式()21f x sin x ＜的解集为 ． 三、解答题：（本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S 满足：2323n n S a n =--． （1）求证：数列{}1n a +是等比数列，并且求n a ； （2）令12333111log log log 222n n a a a c +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，令1n nd c =，求数列{}n d 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）自由购是通过自助结算方式购物的一种形式．某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：（Ⅰ）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率；（Ⅰ）从被抽取的年龄在[50,70]使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用X 表示这3人中年龄在[50,60)的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望；（Ⅰ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋．19．（本小题满分12分）如图1，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，12AB BC AD ==，E 为AD 中点，O 是AC 与BE 的交点，将ABE ∆沿BE 翻折到图2中1A BE ∆的位置得到四棱锥1A BCDE -．（1）求证：1CD A C ⊥（2）若1,2A C AB BE ==，求二面角1B A E D --的余弦值．20．（本小题满分12分）已知动圆M 过定点()2,0A 且在y 轴上截得的弦长为4． （1）求动圆M 的圆心M 的轨迹Γ的方程；（2）过点A 的动直线与曲线Γ交于,B C 两点，点D 在曲线Γ上，使得BCD ∆的重心G 在x 轴上，直线BD 交x 轴于点Q ，且点Q 在点A 的右侧，记ABG ∆的面积为1,S DGQ ∆的面积为2S ，求12S S 的最小值．21．（本小题满分12分） 已知函数()222xx f x eae ax =--，其中0a >．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()(0)0f ，处的切线方程； （Ⅰ）若函数()f x 有唯一零点，求a 的值．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为3cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点()1,0P -，直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求11PA PB+的值．23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分） 已知函数()2f x x =+．（Ⅰ）解不等式()41f x x >-+；（Ⅰ）已知()20,0a b a b +=>>，求证：()412.5x f x a b--≤+． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}05,A x x x N +=<<∈，{}260B x x x =--=，则A B =I （ ） A ．{}13x x << B ．{}03x x <<C ．{}3D ．{}1,2,3【答案】C【解析】由易知{}{}2602,3B x x x =--==-，{}{}05,1,2,3,4A x x x N +=<<∈=，所以{}{}{}1,2,3,42,33A B =-=I I ，故选C ．2．复数212ii+=-（ ） A ．iB ．-iC ．4i 5+ D ．4i 5-【答案】A 【解析】∵()()()()21222241212125i i i i ii i i i +++-++===--+，故选A ． 3．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y ̂=b ̂x +a ̂，其中b ̂=0．76，a ̂=y ̅−b ̂x̅，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A ．11．4万元 B ．11．8万元 C ．12．0万元 D ．12．2万元【答案】B 【解析】由题，，所以．试题解析：由已知，，又因为y ̂=b ̂x +a ̂，b ̂=0．76，a ̂=y −b ̂x ， 所以，即该家庭支出为万元．4．函数2222(1)ln 2(1)x y x x +=-⋅+的部分图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】函数()()22221ln 21x y x x +=-⋅+是偶函数，排除AD ；且222222(1)2,02(1)x x x x ++≥+∴≤+， 当01,0,10.x y x y <<>==时当时， 排除B ，故选C ．5．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于,A B 两点，12,AB P =为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为（ ） A ．18 B ．24C ．36D ．48【答案】C【解析】设抛物线的解析式为y2=2px （p ＞0），则焦点为F （2p ，0），对称轴为x 轴，准线为x=-2p， ∵直线l 经过抛物线的焦点，A 、B 是l 与C 的交点， 又∵AB ⊥x 轴，∴|AB|=2p=12，∴p=6， 又∵点P 在准线上，∴DP=（2p +|-2p|）=p=6，∴S △ABP=12（DP•AB ）=12×6×12=36，故选C ． 6．5人并排站成一行，如果甲乙两个人不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A ．12 B ．36C ．72D ．120【答案】C【解析】先除去甲、乙两人，将剩下的3人全排，共33A =321⨯⨯=6种不同的排法，再将甲、乙两人从4个空中选2个插入共24A =12种不同的排法，即5人并排站成一行，如果甲乙两个不相邻，那么不同的排法种数是61272⨯=，故选C ．7．定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3xf x =，则()3log 54f =（ ）A ．32B ．23-C ．23D ．32-【答案】D【解析】由题意可得：()354f log =()3log 23f +， 则()354f log =()31log 21f -+，且()()331log 21log 21f f +=--， 由于()3log 211,0-∈-，故()()31log 2333log 211log 232f f --=--=-=-，据此可得：()()3312log 21log 213f f +=-=-，()354f log =32-，故选D ．8．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b >>）的右焦点为,,F A B 是双曲线的一条渐近线上关于原点对称的两点，0AF BF ⋅=u u u v u u u v且线段AF 的中点M 落在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C ．2D 【答案】C【解析】由双曲线2222:1x y C a b-=，则其渐近线方程为b y x a =±，因为0AF BF ⋅=u u u r u u u r ，由图可知：AO BO FO c ===，不妨设A (),a b -，则B (),a b -，又(c,0)F ，可得AF 的中点坐标为M ,22c a b -⎛⎫⎪⎝⎭，所以22b b c a a -=⨯，解得：2ce a==，故选C ．9．已知向量,,a b c v v v 满足1a =v ，b =v 32a b ⋅=-v v ，,30a c b c 〈--〉=ov v v v ，则c v 的最大值等于（ ）A ．BC ．2D【答案】A【解析】OA u u u r =a r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r ，设由1a =r ，b =r ，32a b ⋅=-r r ，所以cos AOB ∠=所以150AOB ∠=o ，又,30a c b c <-->=o r r r r，则30ACB ∠=o ，即点,,,A O B C 四点共圆，要使c r最大，即OC 为圆的直径，在AOB V 中，由余弦定理可得2AB =2OA +22cos OB OA OB AOB -⨯⨯∠=7，即，又由正弦定理可得：2sin ABR AOB ==∠c r 最大值为A ． 10．已知函数()()()sin cos cos sin f x x x =-，给定以下命题：①()f x 为偶函数；②()f x 为周期函数，且最小正周期为2π；③若()0x π∈，，则()0f x >恒成立．正确的命题个数为（ ）个 A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】()()()sin cos cos sin f x x x =-定义域为R ，因为()()()()()-sin cos(-)cos sin(-)sin cos cos sin ()f x x x x x f x =-=-=，所以①正确．()()()()()2sin cos(2)cos sin(2)sin cos cos sin ()f x x x x x f x πππ+=+-+=-=，所以②正确；又()=sin(cos )cos(sin )sin 0cos10222f πππ-=-<所以③错误．故选C ．11．若矩形ABCD 的对角线交点为O '，周长为O 的表面上，且OO '=，则球O 的表面积的最小值为（ ）A ．3B ．3C ．32πD ．48π【答案】C【解析】如图，设矩形ABCD 的两邻边分别为a ，b ，则a b +=，且外接圆O 'e 的半径r =．由球的性质得，OO '⊥平面ABCD ，所以球O 的半径R ==由均值不等式得，2a b+„222()202a b a b ++=…，所以R ===a b ==O 的表面积的最小值为2432R ππ=，故选C ．12．若关于x 的不等式ln 210x x kx k -++>在()2,+∞内恒成立，则满足条件的整数k 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】根据题意，()2ln 1k x x x -<+对于2x >恒成立，ln 12x x k x +∴<-，令()ln 12x x g x x +=-，只需()min k g x <即可，()()22ln 32x x g x x -+-=-'， 令()2ln 3h x x x =-+-，()20x h x x-'=>， ()h x ∴在()2,+∞递增，()()3632ln 62ln 62ln ln 602h ⎛⎫=-=-=< ⎪⎝⎭，()()2742ln 72ln ln 70h e =-=->，故存在()06,7x ∈，使得()00h x =， 002ln 3=0x x ∴-+-即003ln =2x x -，而()g x 在()02x ，递减，()0x +∞，递增，由()06,7x ∈， ()()()000000min 00-3·+1ln -12==== 2.5,3-2-22x x x x x g x g x x x ∴∈， ()min K g x <故整数k 的最大值为2，故选A ．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是 3cm ．【答案】203【解析】由三视图知原几何体是一个棱长为的正方体挖去一四棱锥得到的，该四棱锥的底为正方体的上底，高为，如图所示：所以该几何体的体积为．14．()()5212x x -⋅+展开式中，含2x 项的系数为 ． 【答案】70【解析】()512x +展开式的通项公式为：155(2)2k k k k kk T C x C x +==⋅⋅， 令2k =，此时项数为：2222552240k k k C C x x x =⋅⋅=，令1k =，此时项数为：115122510C x x x ⋅⋅=⋅⋅=，综上可得：含2x 的项为222224*********x x x x x x ⋅==⨯--，含2x 项的系数为70． 15．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边长，已知60,7A a =︒=，现有以下判断： ①b c +不可能等于15； ②cos cos 7C B c b bc+=． 上述结论中，所有正确结论的编号是 ． 【答案】①②【解析】由60,7A a =︒=，根据余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，()()()22222214933.24b c b c bc b c bc b c b c +⎛⎫∴=+-=+-≥+-=+ ⎪⎝⎭ 14b c ∴+≤（当且仅当b c =时取等号），故①正确； 由正弦定得2sin sin sin a b cR A B C===， 所以2sin ,2sin ,2sin .a R A b R B c R C === 则cos cos cos cos 2sin cos 2sin cos C B b C c B R B C R C Bc b bc bc +++==， 即2sin()2sin 7R B C R A bc bc bc+==，故②正确；综上①②都正确．16．已知()f x 是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数，其导函数为()f x '，8f π⎛⎫=⎪⎝⎭x 0,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin 22()cos 20f x x f x x '+>，则不等式()21f x sin x ＜的解集为 ． 【答案】,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ 【解析】令()() 2g x f x sin x =，则()()()' 22 2g x f x sin x f x cos x =+，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 时，()()'0g x g x >， 单调递增，且sin 1884g f πππ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为()sin 21f x x <等价于()sin 2sin 288f x x f ππ⎛⎫⎛⎫<⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即g(x)<g(8π)， 又()()sin 2g x f x x =为偶函数，所以8x π<，故88x ππ-<<，故不等式()21f x sin x <的解集为,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭． 三、解答题：（本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S 满足：2323n n S a n =--． （1）求证：数列{}1n a +是等比数列，并且求n a ； （2）令12333111log log log 222n n a a a c +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，令1n nd c =，求数列{}n d 的前n 项和n T ． 【解析】（1）当1n =时，1113522S a a ==-，解得15a =，当2n ≥时，由2323n n S a n =--得112321n n S a n --=--， 两式相减，得1133122n n n n S S a a ---=--，即132n n a a -=+（2n ≥）， 则()1131n n a a -+=+，故数列{}1n a +是以116a +=为首项，公比为3的等比数列．（2）由（1）知123nn a +=⋅，()123331111log log log 122222n n n n a a a c n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ， 所以()1211211n c n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，则1211111111122121223111n n c c c n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L ． 18．（本小题满分12分）自由购是通过自助结算方式购物的一种形式．某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：（Ⅰ）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率；（Ⅰ）从被抽取的年龄在[50,70]使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用X 表示这3人中年龄在[50,60)的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望；（Ⅰ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋．【解析】（Ⅰ）在随机抽取的100名顾客中，年龄在[30，50)且未使用自由购的共有3+14=17人， 所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30，50)且未使用自由购的概率为17100P =． （Ⅰ）X 所有的可能取值为1，2，3，()124236115C C P X C ===，()214236325C C P X C ===，()304236135C C P X C ===． 所以X 的分布列为所以X 的数学期望为1232555EX =⨯+⨯+⨯=． （Ⅰ）在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有3121764244+++++=人， 所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为4450002200100⨯=． 19．（本小题满分12分）如图1，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，12AB BC AD ==，E 为AD 中点，O 是AC 与BE 的交点，将ABE ∆沿BE 翻折到图2中1A BE ∆的位置得到四棱锥1A BCDE -．（1）求证：1CD A C ⊥（2）若1,2A C AB BE ==，求二面角1B A E D --的余弦值． 【解析】（1）证明：由图1可知，四边形ABCE 为菱形，则AC BE =，则在图（2）中，1,BE A O BE CO ⊥⊥， 所以1BE A OC ⊥面，又BE CD ∥，所以1CD A OC ⊥面， 又1A C ⊂面1A OC ，故1CD A C ⊥． （2）解：因为BE =，所以23π∠=BAE ， 设AB=2，则11A O OC ==，又1A C AB =所以12A OC π∠=，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)O，B ，(0,1,0)C ，1(0,0,1)A，(E，(D -，则(ED =u u u r，1EA =u u u r ， 则面1A EB 的法向量为1(0,1,0)n u r=，设面1A ED 的法向量为2(,,)n x y z =u u r ，则22100n ED n EA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u vu u v u u u v，则00y z ⎧+=⎪+=， 令1x =，则y z ==2(1n =u u r ，所以cos 12,n n 〈〉u u r u u r =1212n n n n ⋅u u r u u ru u r u u r=7， 又由图可知二面角1B A E D --为钝二面角，故二面角1B A E D --的余弦值为7-．20．（本小题满分12分）已知动圆M 过定点()2,0A 且在y 轴上截得的弦长为4． （1）求动圆M 的圆心M 的轨迹Γ的方程；（2）过点A 的动直线与曲线Γ交于,B C 两点，点D 在曲线Γ上，使得BCD ∆的重心G 在x 轴上，直线BD 交x 轴于点Q ，且点Q 在点A 的右侧，记ABG ∆的面积为1,S DGQ ∆的面积为2S ，求12S S 的最小值． 【解析】（1）设圆心坐标为(),M x y=24y x =，轨迹Γ的方程为24y x =．（2）设(,)B B B x y ，(,)C C C x y ，(,)D D D x y ，(,)G G G x y ，令2(0)B y t t =≠，则2B x t = ．由于直线过点A ，则直线BC 的方程为2222t x y t-=+，代入24y x =得：222(2)80t y y t---=，即28C ty =-，即4C y t =-，即244(,)C t t -， 又由于3B C D G x x x x ++=，3B C DG y y y y ++=，且BCD ∆的重心G 在x 轴上，则03B C D G y y y y ++==，则D B C y y y =--=42t t -+，则22()D x t t =-+，则3B C D G x x x x ++==4222483t t t -+，所以224((),2)D t t t t -+-+，422248(,0)3t t G t-+，所以直线BD 的方程为22()y t t x t -=-，令0y =得：22x t =-，即2(2,0)Q t -，由于点Q 在点A 的右侧，则222t ->，即24t >，则121212BdGA y S S QG y ==4222422108228t t t t t t -+⋅---=4242()4t t t --=2-242(4)4)t t --， 令24,(0)m t m =->，则12222812S m S m m =-++=222128m m -≥-++=2-=22+， 当且仅当12m m =，即m =12S S．21．（本小题满分12分） 已知函数()222xx f x eae ax =--，其中0a >．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()(0)0f ，处的切线方程； （Ⅰ）若函数()f x 有唯一零点，求a 的值． 【解析】（Ⅰ）当1a =时，()2e2e 2xx f x x =--，()22e 2e 2x x f x '∴=--，()0002e 2e 22f '∴=--=-．又()00e 2e 01f =--=-，∴曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()12y x --=-，即210x y ++=．（Ⅰ）()22e2e 2xx f x a a '=--=()22e e x x a a --．令()e 0,xt =∈+∞，则()()()22f x g t t at a '==--．0a >Q ，∴函数()y g t =在()0,∞+仅有一个零点，∴存在()00,t ∈+∞，使得()00g t =，即存在0x 满足00e xt =时，()00f x '=，∴当()00,t t ∈，即()0,x x ∈-∞时，()0f x '<，()f x ∴在()0,x -∞上单调递减；当()0,t t ∈+∞，即()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x ∴在()0,x +∞上单调递增， 又当x →-∞时，2e 2e 0x x a -→，2ax -→+∞，()f x ∴→+∞； 当0x >时，e x x >，()22e2e 2e xx x f x a ax ∴=-->()2e 2e e e 4x x x x a a a --=-．Q 当x →+∞时，()e e 4x x a -→+∞，∴当x →+∞时，()f x →+∞， ∴由题意，函数()f x 有唯一零点时，必有()00200e 2e 20x x f x a ax =--=．①又002e e 0x x a a --=，②由①②消去a ，得00e 210xx +-=，令()e 21xh x x =+-．()e 20xh x '=+>Q ，()h x ∴单调递增．又()00h =，∴方程00e 210xx +-=有唯一解00x =，将00x =代入002e e 0x x a a --=，解得12a =， ∴当函数()f x 有唯一零点时，a 的值为12． 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为3cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点()1,0P -，直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求11PA PB+的值． 【解析】（1）因为曲线C的参数方程为3cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），所以曲线C 的普通方程为22193x y+=．因为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin cos 1,10x y ρθρθ-=∴-+=， 所以直线l 的直角坐标方程为10x y -+=．（2）由题得点()1,0P -在直线l 上，直线l的参数方程为122x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入椭圆的方程得2280t -=，所以1212+402t t t t ==-<， ∴121212121211118t t t t PA PB t t t t t t +-+=+====．23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分） 已知函数()2f x x =+．（Ⅰ）解不等式()41f x x >-+；（Ⅰ）已知()20,0a b a b +=>>，求证：()412.5x f x a b--≤+． 【解析】（Ⅰ）()41f x x >-+，即为214x x +++>，该不等式等价于如下不等式组：1）2214x x x <-⎧⎨---->⎩ 3.5x ⇒<-；2）21214x x x -≤<⎧⎨+-->⎩ x φ⇒∈；3）10.5214x x x x ≥-⎧⇒>⎨+++>⎩，所以原不等式的解集为{| 3.5x x <-或0.5}x >． （Ⅰ）()2.5 2.52 4.5x f x x x --=--+≤，()(41141141415 4.5222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()412.5x f x a b --≤+．。
2020高考数学(理)全真模拟卷4(附解析)
备战2020高考全真模拟卷4数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M ＝{0，x }，N ＝{1,2}，若M∩N ＝{2}，则M ∪N ＝( ) A ．{0，x ,1,2} B ．{2,0,1,2} C ．{0,1,2} D ．不能确定【答案】C 【解析】集合M ＝{0，x }，N ＝{1,2}，若M∩N ＝{2}，则2x =. 所以{}0,1,2M N ⋃＝. 故选C.点睛：集合的交集即为由两个集合的公共元素组成的集合，集合的并集即由两集合的所有元素组成. 2．已知复数z 满足(1+2)43i z i =+，则z 的虚部是（ ） A ．-1 B ．1C ．-2D ．2【答案】B 【解析】 由题意得：()()()()431243105i2i 12121214i i i z i i i +-+-====-++-+ ∴2i z =+ ∴z 的虚部是1 故选：B3．如图，1e u r 、2e u u r为互相垂直的两个单位向量，则a b +=r r （ ）A ．5B ．52C ．7D ．8【答案】A 【解析】 【分析】利用图形得出向量a r 、b r关于1e u r 、2e u u r 的表达式，并计算出a b +r r ，然后利用平面向量数量积来计算a b +r r 的值.【详解】由图形可得124a e e =--r u r u u r ，123b e e =-+r u r u u r ，1243a b e e ∴+=--r r u r u u r，12e e ⊥u r u u r Q ，且121e e ==u r u u r ，因此，()22212112243162495a b e e e e e e +=--=+⋅+=r r u r u u ru r u r u u r u u r .故选：A. 【点睛】本题考查平面向量模的计算，解题的关键就是将向量利用基底进行表示，考查运算求解能力，属于中等题. 4．设0,1,,0x x x a b a b ><<>且，则a 、b 的大小关系是（ ） A ．b ＜a ＜1 B ．a ＜b ＜1C ．1＜b ＜aD ．1＜a ＜b【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，因为0x >，令1x =，代入即可求解，得到答案. 【详解】由题意可知，因为0x >，令1x =，则111a b <<，即1a b <<，故选B. 【点睛】本题主要考查了指数式的运算，其中熟记指数幂的运算法则和合理赋值是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5．ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为,,a b c .已知4A π=,4b =，且ABC ∆ 的面积为2，则a =（ ）A ．23B ．10C ．22D ．6【答案】B【解析】【分析】根据面积公式可求得2c=,再根据余弦定理可求得10a=.【详解】根据三角形的面积公式可得12sin2bc A=,所以124sin24cπ=⨯⨯,所以2c=,由余弦定理可得22222cos162242102a b c bc A=+-=+-⨯⨯⨯=,所以10a=.故选:B【点睛】本题考查了三角形的面积公式以及余弦定理,本题属于基础题.6．执行如图所示的程序框图，若120.5a=，140.9b=，5log0.3c=，则输出的数是（）A．120.5B．140.9C．5log0.3D．112450.50.9log0.3++【答案】B 【解析】【分析】读懂程序框图，可知输出a ，b ，c 中最大的数，然后对,,a b c 三个数进行判断，得到答案. 【详解】由程序框图知，输出a ，b ，c 中最大的数，120.5a =，140.9b =，5log 0.3c =而21144400.50.250.9a b <==<=，0c <， 所以可知b 最大， 故选B ． 【点睛】本题考查读懂条件程序框图的功能，比较指对数的大小，属于简单题.7．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为 ( ) A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】B 【解析】试题分析：不妨设直线:1x yl c b +=，即0bx cy bc +-=⇒椭圆中心到l 的距离22||24bc b b c-=+ 12c e a ⇒==，故选B. 考点：1、直线与椭圆；2、椭圆的几何性质.【方法点晴】本题考查直线与椭圆、椭圆的几何性质，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 不妨设直线:1x yl c b+=，即0bx cy bc +-=⇒椭圆中心到l 的距离22||2142bc b c e a b c -=⇒==+，利用方程思想和数形结合思想建立方程22||24bc bb c -=+是本题的关键节点. 8．中国古代数学成就甚大，在世界科技史上占有重要的地位.“算经十书”是汉、唐千余年间陆续出现的10部数学著作，包括《周髀算经》、《九章算术》、……、《缀术》等，它们曾经是隋唐时期国子监算学科的教科书.某中学图书馆全部收藏了这10部著作，其中4部是古汉语本，6部是现代译本，若某学生要从中选择2部作为课外读物，至少有一部是现代译本的概率是（ ） A ．1315B ．23C ．815D ．13【答案】A 【解析】 【分析】求出从10部著作中选择2部古汉语本的方法数，即2部都不是现代译本的方法数，由对立事件的概率计算公式，可得结论． 【详解】解：从10部著作中选择2部著作的方法数为21045C =（种），2部都不是现代译本的方法数为246C =（种），由对立事件的概率计算公式得至少有一部是现代译本的概率14561315P =-=． 故选：A ． 【点睛】本题考查概率的计算，考查组合知识，属于基础题． 9．函数()sin f x x x =-在区间[]0,1上的最小值为（ ） A ．0 B ．sin1C ．1D ．sin11-【答案】D 【解析】分析：先求导得到函数的单调性，即得函数的最小值.详解：由题得()cos 1f x x ='-，因为x ∈[]0,1，所以()0,f x '<所以函数f(x)在[]0,1上单调递减，所以min ()(1)sin11f x f ==-，故答案为：D.点睛：(1)本题主要考查求导和利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 一般地，函数()f x 在某个区间可导 ，'()f x ＜0 ⇒()f x 在这个区间是减函数.10．一个正方体被截去一部分后所剩的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A．6B．203C．7D．223【答案】D【解析】由题意，该几何体是由一个边长为2的正方体截去一个底面积为1，高为2的一个三棱锥所得的组合体，如图，所以312221233V=-⨯⨯=，故选D．点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.11．算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图：如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为（）A．46B ．44C ．42D ．40 【答案】B 【解析】 【分析】先按每一位算筹的根数分类，再看每一位算筹的根数能组成几个数字. 【详解】按每一位算筹的根数分类一共有15种情况,如下(5,0,0),(4,1,0),(4,0,1),(3,2,0),(3,1,1),(3,0,2),(2,3,0), (2,2,1),(2,1,2),(2,3,0),(1,4,0),(1,3,1),(1,2,2),(1,1,3),(1,0,4),2根以上的算筹可以表示两个数字，运用分布乘法计数原理， 则上列情况能表示的三位数字个数分别为： 2，2，2，4，2，4，4，4，4，4，2，2，4，2，2，根据分布加法计数原理，5根算筹能表示的三位数字个数为：22242444442242244++++++++++++++=.故选B. 【点睛】本题考查分类加法计数原理和分布乘法计数原理，考查分析问题解决问题的能力.12．已知函数()y f x =为定义域R 上的奇函数，且在R 上是单调递增函数，函数()()5g x f x x =-+，数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，若()()()12945g a g a g a ++⋯+=，则129a a a ++⋯+=( ) A ．45 B ．15 C ．10 D ．0【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由奇函数的性质可得（-x ）+f （x ）=0，又由g （x ）=f （x -5）+x 且g （a 1）+g （a 2）+…+g （a 9）=45，可得f （a 1-5）+f （a 2-5）+…+f （a 9-5）+（a 1+a 2+…+a 9）=45，结合等差数列的性质可得f （a 1-5）=-f （a 9-5）=f （5-a 9），进而可得a 1-5=5-a 9，即a 1+a 9=10，进而计算可得答案． 【详解】根据题意，函数y=f （x ）为定义域R 上的奇函数，则有f （-x ）+f （x ）=0， ∵g （x ）=f （x -5）+x ，∴若g （a 1）+g （a 2）+…+g （a 9）=45，即f （a 1-5）+a 1+f （a 2-5）+a 2+…+f （a 9-5）+a 9=45， 即f （a 1-5）+f （a 2-5）+…+f （a 9-5）+（a 1+a 2+…+a 9）=45， f （a 1-5）+f （a 2-5）+…+f （a 9-5）=0， 又由y=f （x ）为定义域R 上的奇函数， 则f （a 1-5）+f （a 9-5）=0， 即f （a 1-5）=-f （a 9-5）=f （5-a 9）， ∵f （x ）在R 上是单调函数， ∴a 1-5=5-a 9， 即a 1+a 9=10，在等差数列中，a 1+a 9=10=2a 5， 即a 5=5，则a 1+a 2+…+a 9=9a 5=45； 故选A ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，涉及等差数列的性质以及应用，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
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故选 B．
【点睛】
本题考查读懂条件程序框图的功能，比较指对数的大小，属于简单题.
1
7．直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 ，则该椭圆的离
4
心率为 ( )
1
A．
3
1
B．
2
4
2
C．
3
3
D．
4
【答案】B 【解析】
试题分析：不妨设直线 l : x y 1 ，即 bx cy bc 0 椭圆中心到 l 的距离 cb
| bc | 2b b2 c2 4
e c 1 ，故选 B. a2
考点：1、直线与椭圆；2、椭圆的几何性质.
【方法点晴】本题考查直线与椭圆、椭圆的几何性质，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思
想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 不妨设直线
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置
上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作
答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
读懂程序框图，可知输出 a ， b ， c 中最大的数，然后对 a, b, c 三个数进行判断，得到答案.
【详解】
由程序框图知，输出 a ， b ， c 中最大的数，
a
1
0.5 2
，
b
0.9
1 4
，
c
log5
0.3
而0
a
2
0.5 4
1
0.25 4
b
1
0.9 4
，c
0，
所以可知 b 最大，
e1 e2 ，且 e1 e2 1，因此， a b
2 4e1 3e2
16e1
2
24e1
e2
9e2
2
5
.
故选：A.
【点睛】
本题考查平面向量模的计算，解题的关键就是将向量利用基底进行表示，考查运算求解能力，属于
A．-1
B．1
C．-2
D．2
【答案】B
【解析】
由题意得：
z
4 3i 1 2i
4 3i1 2i 1 2i1 2i
10 5i 1 4
2i
1
∴z 2i
∴ z 的虚部是 1
故选：B
3．如图， e1 、 e2 为互相垂直的两个单位向量，则 a b （
2020 年高考数学（理）全真模拟卷 4
（本试卷满分 150 分，考试用时 120 分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷
类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如
中等题.
4．设 x 0, 且a x b x 1, a, b 0 ，则 a、b 的大小关系是（
）
A．b＜a＜1
B．a＜b＜1
C．1＜b＜a
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可知，因为 x 0 ，令 x 1 ，代入即可求解，得到答案.
D．1＜a＜b
2
【详解】
由题意可知，因为 x 0 ，令 x 1 ，则 a1 b1 1 ，即 a b 1，故选 B.
【解析】
集合 M＝{0，x}，N＝{1,2}，若 M∩N＝{2}，则 x 2 .
所以 M N＝0,1, 2 .
故选 C.
点睛：集合的交集即为由两个集合的公共元素组成的集合，集合的并集即由两集合的所有元素组成.
2．已知复数 z 满足 (1+2i)z 4 3i ，则 z 的虚部是（ ）
C． 2 2
D． 6
【答案】B 【解析】 【分析】
根据面积公式可求得 c 2 ,再根据余弦定理可求得 a 10 .
【详解】
根据三角形的面积公式可得 2 1 bc sin A ,所以 2 1 4c sin ,
2
2
4
所以 c 2 ,
由余弦定理可得 a2 b2 c2 2bc cos A 16 2 2 4 2 2 10 , 2
第Ⅰ卷（选择题)
一、单选题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．已知集合 M＝{0，x}，N＝{1,2}，若 M∩N＝{2}，则 M∪N＝( )
A．{0，x,1,2}
B．{2,0,1,2}
C．{0,1,2}
D．不能确定
【答案】C
l : x y 1 ，即 bx cy bc 0 椭圆中心到 l 的距离 cb
| bc | 2b e c 1 ，利用方程思
b2 c2 4
a2
想和数形结合思想建立方程
| bc | b2 c2
2b 4 是本题的关键节点.
8．中国古代数学成就甚大，在世界科技史上占有重要的地位.“算经十书”是汉、唐千余年间陆续出现
【点睛】
本题主要考查了指数式的运算，其中熟记指数幂的运算法则和合理赋值是解答本题的关键，着重考
查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
5．ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c .已知 A , b 4 ，且 ABC 的面积为 2，则 a （ ） 4
A． 2 3
B． 10
）
A． 5
B． 5 2
C． 7
D． 8
【答案】A
【解析】
【分析】
利用图形得出向量 a 、 b 关于 e1 、 e2 的表达式，并计算出 a b b 的值.
【详解】
由图形可得 a e1 4e2 ， b 3e1 e2 ，a b 4e1 3e2 ，
所以 a 10 .
故选:B
【点睛】
本题考查了三角形的面积公式以及余弦定理,本题属于基础题.
6．执行如图所示的程序框图，若
a
1
0.5 2
，
b
1
0.9 4
，
c
log5
0.3
，则输出的数是（
）
3
1
A． 0.52
【答案】B 【解析】 【分析】
1
B． 0.94
C． log5 0.3
1
1
D． 0.52 0.94 log5 0.3