《走向高考》2015年高中数学人教B版(基础巩固+能力提升+精品解析)同步练习选修2-33.1
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 7-2基本不等式课后强化作业 新人教B版
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 7-2基本不等式课后强化作业 新人教B 版基础巩固强化一、选择题1．(2013·某某一中月考)已知a 、b 是实数，则“a >1，b >1”是“a ＋b >2且ab >1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案]A[解析]∵a >1，b >1，∴a ＋b >2，且ab >1；当a ＝103，b ＝910时，a ＋b >2且ab >1，但“a >1，b >1”不成立，故选A.2．已知函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，若x <0时，有a x >1，则不等式f (1－1x )>1的解集为( )A ．(11－a ，＋∞)B ．(1，1a )C ．(－∞，11－a )D ．(1，11－a) [答案]D[解析]依题意得0<a <1，于是由f (1－1x )>1得log a (1－1x )>log a a,0<1－1x <a ，由此解得1<x <11－a ，因此不等式f (1－1x )>1的解集是(1，11－a)，选D.3．(文)已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3 [答案]C[解析]∵2＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤1，排除A 、B ； ∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝4－2ab ≥2，排除D ，选C.[点评] 用特值检验法易得．令a ＝1，b ＝1排除A ；令a ＝2，b ＝0，排除B 、D ，故选C.(理)(2014·枣阳一中诊断)已知2x ＋8y ＝1(x >0，y >0)，则x ＋y 的最小值为( )A ．12B ．14C ．16D ．18 [答案]D[解析]x ＋y ＝(x ＋y )(2x ＋8y )＝2＋8＋2y x ＋8xy≥10＋22y x ·8xy＝18. 当且仅当x ＝6，y ＝12时取等号．故选D.4．(文)(2013·某某鱼台一中质检)若a >b >0，则下列不等式一定不成立的是( ) A.1a <1bB ．log 2a >log 2bC ．a 2＋b 2≤2a ＋2b －2D ．b <ab <a ＋b2<a[答案]C[解析]y ＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，a >b >0，∴1a <1b ，故A 成立；∵y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，∴log 2a >log 2b ，∴B 成立；∵a >b >0，∴a ＝2a 2>a ＋b2>ab >b 2＝b ，∴D 成立；∵a 2＋b 2－2a －2b ＋2＝(a －1)2＋(b －1)2>0，∴a 2＋b 2>2a ＋2b －2，∴C 不成立．(理)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( ) A.1a ＋1b有最大值4 B ．ab 有最小值14C.a ＋b 有最大值 2 D ．a 2＋b 2有最小值22[答案]C[解析]由基本不等式，得ab ≤a 2＋b 22＝(a ＋b )2－2ab 2＝12－ab ，所以ab ≤14，故B 错；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，故A 错；由基本不等式得a ＋b 2≤a ＋b2＝12，即a ＋b ≤2，故C 正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，故D 错．故选C.5．(2013·某某市检测)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )，若a ⊥b ，则9x ＋3y 的最小值为( )A ．2B ．2 3C ．6D ．9 [答案]C[解析]由题意知a ·b ＝4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝6，等号成立时，x ＝12，y ＝2，故选C.6．(2013·某某二模)在R 上定义运算：⎝ ⎛⎭⎪⎫ab cd ＝ad －bc .若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a －2a ＋1x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为()A ．－12B ．－32C.13D.32 [答案]D[解析]原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1，即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意实数x 恒成立，∵x 2－x －1＝(x －12)2－54≥－54，∴－54≥a 2－a －2，∴－12≤a ≤32.故选D.二、填空题7．(文)设圆x 2＋y 2＝1的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，则AB 的最小值为______． [答案]2[解析]由条件知切线在两轴上的截距存在，且不为零，故设切线方程为x a ＋yb ＝1，则ab a 2＋b 2＝1，∴a 2b 2＝a 2＋b 2≥2ab ，切线与两轴交于点A (a,0)和(0，b )，不妨设a >0，b >0，∴ab ≥2，则AB ＝|AB |＝a 2＋b 2≥2ab ≥2.(理)已知c 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的半焦距，则ca ＋b 的取值X 围是________．[答案][22，1)[解析]由题设条件知，a ＋b >c ，∴ca ＋b <1，∵a 2＋b 2＝c 2，∴(c a ＋b )2＝c 2a 2＋b 2＋2ab ≥c 22(a 2＋b 2)＝12， ∴c a ＋b ≥22，22≤c a ＋b <1.8．(2013·某某)已知函数f (x )＝4x ＋ax (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.[答案]36[解析]∵f (x )＝4x ＋ax≥24x ·ax＝4a ， 当且仅当4x ＝ax ，即4x 2＝a 时f (x )取得最小值．又∵x ＝3，∴a ＝4×32＝36.9．(文)(2013·豫西五校联考)已知a ，b ∈R ，且ab ＝50，则|a ＋2b |的最小值是________． [答案]20[解析]依题意得，a ，b 同号，于是有|a ＋2b |＝|a |＋|2b |≥2|a |·|2b |＝22|ab |＝2100＝20，当且仅当|a |＝|2b |＝10时取等号，因此|a ＋2b |的最小值是20.(理)在等式“1＝1()＋9()”的两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则填入的两个数是________．[答案]4和12[解析]设两个括号中的正整数分别为x ，y ，则x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，x ＋y ＝(x ＋y )(1x ＋9y )＝10＋y x ＋9xy≥10＋2y x ·9x y ＝16，等号在y x ＝9x y，即y ＝3x 时成立，由⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋9y＝1y ＝3x解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12. 三、解答题10．若直线ax ＋by ＋1＝0(a >0，b >0)平分圆x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0，求1a ＋4b 的最小值．[解析]由x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0得(x ＋4)2＋(y ＋1)2＝16， ∴圆的圆心坐标为(－4，－1)， ∴－4a －b ＋1＝0，即4a ＋b ＝1， ∴1a ＋4b ＝b ＋4a ab ＝1ab， 由1＝4a ＋b ≥24ab ＝4ab ，得ab ≤116，∴1ab ≥16，∴1a ＋4b的最小值为16. 能力拓展提升一、选择题11．(文)已知－1<a <0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a，比较A 、B 、C 的大小结果为( ) A ．A <B <C B ．B <A <C C ．A <C <B D ．B <C <A [答案]B[解析]不妨设a ＝－12，则A ＝54，B ＝34，C ＝2，由此猜想B <A <C .由－1<a <0得1＋a >0，A －B ＝(1＋a 2)－(1－a 2)＝2a 2>0得A >B ，C －A ＝11＋a －(1＋a 2)＝－a (a 2＋a ＋1)1＋a＝－a ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋122＋341＋a>0，得C >A ，∴B <A <C .(理)(2012·某某一模)若实数x 、y 满足4x ＋4y ＝2x ＋1＋2y ＋1，则t ＝2x ＋2y 的取值X 围是( ) A ．0<t ≤2 B ．0<t ≤4 C ．2<t ≤4 D ．t ≥4 [答案]C[解析]设a ＝2x ，b ＝2y ，则a >0，b >0，由条件得a 2＋b 2＝2(a ＋b )，∵a 2＋b 2≥(a ＋b )22，∴(a ＋b )2≤4(a ＋b )，∴a ＋b ≤4， 又(a ＋b )2－2(a ＋b )＝2ab >0，∴a ＋b >2，∴2<a ＋b ≤4.12．(文)若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9 [答案]D[解析]f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ＝0的一根为x ＝1，即12－2a －2b ＝0. ∴a ＋b ＝6，∴ab ≤(a ＋b2)2＝9，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”号成立．(理)已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( ) A.32B.53 C.256D ．不存在 [答案]A[解析]由已知a n >0，a 7＝a 6＋2a 5，设{a n }的公比为q ，则a 6q ＝a 6＋2a 6q ，∴q 2－q －2＝0，∵q >0，∴q ＝2，∵a m a n ＝4a 1，∴a 21·q m ＋n －2＝16a 21，∴m ＋n －2＝4， ∴m ＋n ＝6，∴1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝16⎣⎡⎦⎤5＋n m ＋4m n ≥16⎝⎛⎭⎫5＋2n m ·4m n ＝32，等号在n m ＝4m n ，即n ＝2m ＝4时成立．13．(2013·江南十校联考)已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 [答案]B[解析]由已知得ab ＝1，m ＋n ＝a ＋b ＋1a ＋1b ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时，m ＋n 取得最小值4.故选B.二、解答题 14．(文)某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个正八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200 m 2的十字型区域．现计划在正方形MNPQ 上建一花坛，造价为4200元/m 2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m 2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m 2.(1)设总造价为S 元，AD 的长为x m ，试建立S 关于x 的函数关系式； (2)计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区． [解析](1)设DQ ＝y ，则x 2＋4xy ＝200，∴y ＝200－x 24x .S ＝4200x 2＋210×4xy ＋80×4×12y 2＝38000＋4000x 2＋400000x 2(0<x <102)．(2)S ＝38000＋4000x 2＋400000x 2≥38000＋216×108＝118000，当且仅当4000x 2＝400000x 2，即x ＝10时，S min ＝118000(元)，答：计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲小区．(理)某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量Q (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为Q ＝3x ＋1x ＋1(x ≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将年利润W (万元)表示为年广告费x (万元)的函数；(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？[解析](1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q ＋3)万元，每万件销售价为32Q ＋3Q ×150%＋xQ×50%， ∴年销售收入为(32Q ＋3Q ×150%＋xQ ×50%)·Q＝32(32Q ＋3)＋12x ， ∴年利润W ＝32(32Q ＋3)＋12x －(32Q ＋3)－x＝12(32Q ＋3－x )＝－x 2＋98x ＋352(x ＋1)(x ≥0)． (2)令x ＋1＝t (t ≥1)，则W ＝－(t －1)2＋98(t －1)＋352t ＝50－⎝⎛⎭⎫t 2＋32t . ∵t ≥1，∴t 2＋32t≥2t 2·32t＝8，即W ≤42， 当且仅当t 2＝32t ，即t ＝8时，W 有最大值42，此时x ＝7.即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元． 15．(文)已知α、β都是锐角，且sin β＝sin αcos(α＋β)． (1)当α＋β＝π4，求tan β的值；(2)当tan β取最大值时，求tan(α＋β)的值． [解析](1)∵由条件知，sin β＝22sin ⎝⎛⎭⎫π4－β， 整理得32sin β－12cos β＝0，∵β为锐角，∴tan β＝13.(2)由已知得sin β＝sin αcos αcos β－sin 2αsin β， ∴tan β＝sin αcos α－sin 2αtan β， ∴tan β＝sin αcos α1＋sin 2α＝sin αcos α2sin 2α＋cos 2α＝tan α2tan 2α＋1＝12tan α＋1tan α≤122＝24.当且仅当1tan α＝2tan α时，取“＝”号，∴tan α＝22时，tan β取得最大值24， 此时，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝ 2.(理)函数f (x )对一切实数x 、y 均有f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x 成立，且f (1)＝0. (1)求f (0)； (2)求f (x )；(3)当0<x <2时，不等式f (x )>ax －5恒成立，求a 的取值X 围． [解析](1)令x ＝1，y ＝0，得f (1＋0)－f (0)＝(1＋2×0＋1)·1＝2， ∴f (0)＝f (1)－2＝－2.(2)令y ＝0，f (x ＋0)－f (0)＝(x ＋2×0＋1)·x ＝x 2＋x ， ∴f (x )＝x 2＋x －2.(3)f (x )>ax －5化为x 2＋x －2>ax －5， ax <x 2＋x ＋3，∵x ∈(0,2)， ∴a <x 2＋x ＋3x ＝1＋x ＋3x.当x >0时，1＋x ＋3x ≥1＋23，当且仅当x ＝3x ，即x ＝3时取等号，∵3∈(0,2)，∴(1＋x ＋3x)min ＝1＋2 3.∴a <1＋2 3.考纲要求1．了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 补充材料1．证明不等式常用的方法：比较法(作差法和作商法)、综合法、分析法、反证法、放缩法、换元法(三角代换法)、单调性法、判别式法、几何法(利用几何意义)．2．条件最值是基本不等式的一个重要应用．应用基本不等式求最值时，①通过对所给式进行巧妙分拆、变形、组合、添加系数使之能够出现定值是解题的关键．②必须指出等号成立的条件．利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等 . (1)“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的两个因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．3．基本不等式的常见变式及有关结论 (1)a 2＋b 2≥2ab (a 、b ∈R )； a 2＋b 2≥(a ＋b )22(a 、b ∈R )；ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a 、b ∈R )⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a 、b ∈R )，以上各等号在a ＝b 时成立． (2)a b ＋b a ≥2(a 、b 同号)，特别地1a ＋a ≥2(a >0)，1a ＋a ≤－2(a <0)． a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b (a 、b ∈R ＋)． 备选习题1．已知R 1、R 2是阻值不同的两个电阻，现分别按图①②连接，设相应的总阻值分别为R A 、R B ，则R A 与R B 的大小关系是( )A ．R A >RB B ．R A ＝R BC ．R A <R BD ．不确定 [答案]A[解析]R A ＝R 1＋R 22，R B ＝2R 1R 2R 1＋R 2，R A －R B ＝R 1＋R 22－2R 1R 2R 1＋R 2＝(R 1＋R 2)2－4R 1R 22(R 1＋R 2)＝(R 1－R 2)22(R 1＋R 2)>0，所以R A >R B . 2．(2013·某某模拟)已知a >0，b >0，若不等式2a ＋1b ≥m 2a ＋b恒成立，则m 的最大值等于( )A ．10B ．9C ．8D ．7[答案]B[解析]由条件知m ≤(a ＋2b )(2a ＋b )ab恒成立， ∵(a ＋2b )(2a ＋b )ab ＝2(a 2＋b 2)＋5ab ab≥4ab ＋5ab ab＝9. 等号在a ＝b 时成立，∴m ≤9，故选B.3．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12成立，则a 的最小值为( ) A ．0 B ．－2 C ．－52D ．－3 [答案]C[分析] 将不等式进行变形，变为不等式的一边为参数，另一边为含x 的代数式a ≥－x－1x ，x ∈⎝⎛⎦⎤0，12，a 只要大于或等于y ＝－x －1x，x ∈⎝⎛⎦⎤0，12的最大值就满足题设要求． [解析]若x 2＋ax ＋1≥0，x ∈⎝⎛⎦⎤0，12恒成立，则a ≥－x －1x，x ∈⎝⎛⎦⎤0，12恒成立． 令y ＝－x －1x ，x ∈⎝⎛⎦⎤0，12，则y ′＝－1＋1x 2，当x ∈⎝⎛⎦⎤0，12时y ′>0， ∴y ＝－x －1x ，x ∈⎝⎛⎦⎤0，12为增函数，∴y max ＝y ′|x ＝12＝－52， 当a ≥－52时，a ≥－x －1x恒成立， 即x 2＋ax ＋1≥0，x ∈⎝⎛⎦⎤0，12恒成立，∴选C.4．(2013·某某调研)若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y＝1，并且x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值X 围是( )A ．(－∞，－2)∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C ．(－2,4)D ．(－4,2)[答案]D[解析]x ＋2y ＝(x ＋2y )(2x ＋1y )＝2＋4y x ＋x y ＋2≥8，当且仅当4y x ＝x y，即y ＝2，x ＝4时等号成立．∵x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，∴m 2＋2m <8，∴m 2＋2m －8<0，解得－4<m <2，故选D.5．设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则1a ＋2b的最小值是________． [答案]8[解析]AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)，∵AB →与AC →共线，∴2(a －1)＋b ＋1＝0，即2a ＋b ＝1.∵a >0，b >0，∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(2a ＋b )＝4＋b a ＋4a b≥4＋2b a ·4a b ＝8，当且仅当b a ＝4a b，即b ＝12，a ＝14时等号成立．。
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 2-8函数与方程、函数模型及其应用课后强化作业 新人教B版
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 2-8函数与方程、函数模型及其应用课后强化作业 新人教B 版基础巩固强化一、选择题1．(文)(2013·某某调研)函数f (x )＝log 3x ＋x －2的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) [答案]B[解析]解法1：函数f (x )＝log 3x ＋x －2的定义域为(0，＋∞)，并且在(0，＋∞)上递增、连续，又f (1)＝－1<0，f (2)＝log 32>0，∴函数f (x )＝log 3x ＋x －2有唯一的零点且零点在区间(1,2)内．解法2：作出函数y ＝log 3x 与y ＝－x ＋2的图象(图略)，不难看出其交点的横坐标在区间(1,2)内，故选B.(理)已知函数f (x )＝(12)x －x 13，在下列区间中，含有函数f (x )零点的是( )A ．(0，13)B ．(13，12)C ．(12，1) D ．(1,2)[答案]B[解析]f (0)＝1>0，f (13)＝(12)13 －(13)13 >0，f (12)＝(12)12 －(12)13<0，∵f (13)·f (12)<0，且函数f (x )的图象为连续曲线， ∴函数f (x )在(13，12)内有零点．[点评] 一个简单的零点存在性判断题涵盖了幂函数、指数函数的单调性与零点存在性定理，难度不大，但有一定的综合性，要多加强这种小题训练，做题不一定多，但却能将应掌握的知识都训练到．2．(文)函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案]C[解析]在同一坐标系内作出函数y ＝|x －2|与y ＝ln x 的图象，∵lne ＝1，e<3，∴由图象可见两函数图象有两个交点，∴函数f (x )有两个零点．(理)(2013·某某统考)已知x 1，x 2是函数f (x )＝e －x －|ln x |的两个零点，则( ) A.1e<x 1x 2<1 B ．1<x 1x 2<e C ．1<x 1x 2<10 D ．e<x 1x 2<10 [答案]A[解析]在同一坐标系中画出函数y ＝e －x 与y ＝|ln x |的图象(图略)，结合图象不难看出，在x 1，x 2中，其中一个属于区间(0,1)，另一个属于区间(1，＋∞)．不妨设x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)，则有e －x 1＝|ln x 1|＝－ln x 1∈(e －1,1)，e －x 2＝|ln x 2|＝ln x 2∈(0，e －1)，e －x 2－e －x 1＝ln x 2＋ln x 1＝ln(x 1x 2)∈(－1,0)．于是有e －1<x 1x 2<e 0，即1e<x 1x 2<1，选A.3．(2013·某某月考)已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )A ．x 1<x 2<x 3B ．x 2<x 1<x 3C ．x 1<x 3<x 2D ．x 3<x 2<x 1 [答案]A[解析]令f (x )＝x ＋2x ＝0，因为2x 恒大于零，所以要使得x ＋2x ＝0，x 必须小于零，即x 1小于零；令g (x )＝x ＋ln x ＝0，要使得ln x 有意义，则x 必须大于零，又x ＋ln x ＝0，所以ln x <0，解得0<x <1，即0<x 2<1；令h (x )＝x －x －1＝0，得x ＝x ＋1>1，即x 3>1，从而可知x 1<x 2<x 3.4．(2013·某某师大附中月考)已知f (x )＝(13)x －log 3x ，实数a 、b 、c 满足f (a )·f (b )·f (c )＜0，且0＜a ＜b ＜c ，若实数x 0是函数f (x )的一个零点，那么下列不等式中，不可能．．．成立的是( ) A ．x 0<a B ．x 0>b C ．x 0<c D ．x 0>c [答案]D[解析]∵f (x )单调递减，x 0是f (x )的一个零点，∴当x <x 0时，f (x )＝(13)x －log 3x >0，当x >x 0时，f (x )＝(13)x －log 3x <0，∵f (a )·f (b )·f (c )＜0，且0<a <b <c ，所以x 0>c 不可能成立．5．(2013·某某模拟)在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：x 0.50 0.99 2.01 3.98 y－0.990.010.982.00则对x ，y 最适合的拟合函数是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝log 2x [答案]D[解析]根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B 、C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．故选D.6.如图，A 、B 、C 、D 是四个采矿点，图中的直线和线段均表示公路，四边形ABQP 、BCRQ 、CDSR 近似于正方形，A 、B 、C 、D 四个采矿点的采矿量之比为6:2:3:4，且运矿费用与路程和采矿量的乘积成正比．现从P 、Q 、R 、S 中选一个中转站，要使中转费用最少，则应选( )A ．P 点B ．Q 点C ．R 点D ．S 点 [答案]B[解析]设图中每个小正方形的边长均为1，A 、B 、C 、D 四个采矿点的采矿量分别为6a,2a,3a,4a (a >0)，设s i (i ＝1,2,3,4)表示运矿费用的总和，则只需比较中转站在不同位置时s i (i ＝1,2,3,4)的大小．如果选在P 点，s 1＝6a ＋2a ×2＋3a ×3＋4a ×4＝35a ，如果选在Q 点，s 2＝6a ×2＋2a ＋3a ×2＋4a ×3＝32a ，如果选在R 处，s 3＝6a ×3＋2a ×2＋3a ＋4a ×2＝33a ，如果选在S 处，s 4＝6a ×4＋2a ×3＋3a ×2＋4a ＝40a ，显然，中转站选在Q 点时，中转费用最少．二、填空题7．(2012·某某)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．[答案]9[解析]本题考查二次函数的值域、一元二次不等式的解法等知识． ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝(x ＋a 2)2＋b －a 24的最小值为b －a 24，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24，∴f (x )＝(x ＋a 2)2. ∴f (x )<c ，即x 2＋ax ＋b <c ，则(x ＋a2)2<c ，∴c >0且－a 2－c <x <－a2＋c ，∴(－a 2＋c )－(－a2－c )＝6，∴2c ＝6，∴c ＝9.8．(2013·某某模拟)已知函数f (x )＝|x |＋|2－x |，若函数g (x )＝f (x )－a 的零点个数不为0，则a 的最小值为________．[答案]2[解析]由题意知g (x )有零点，∴a 在f (x )的值域内， ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2x ， x <0，2， 0≤x ≤2，2x －2， x >2.∴f (x )≥2，∴a ≥2， ∴a 的最小值为2.9．某农场，可以全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗等农作物，且产品全部供应距农场d (km)(d <200km)的中心城市，其产销资料如表：当距离d 达到n (km)以上时，四种农作物中以全部种植稻米的经济效益最高．(经济效益＝市场销售价值－生产成本－运输成本)，则n 的值为________.[解析]设单位面积全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗的经济效益分别为y 1、y 2、y 3、y 4，则y 1＝50－0.6d ，y 2＝15－0.3d ，y 3＝40－0.4d ，y 4＝18－0.3d ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 3≥y 1，y 3≥y 2，y 3≥y 4，d <200.⇒50≤d <200，故n ＝50.三、解答题10．(文)(2013·某某省内江市一模)某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y (件)与销售单价x (元)满足y ＝－x ＋120.(1)销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ (2)若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x 的X 围． [解析](1)设该商场获得利润为W 元，则 W ＝(x －60)(－x ＋120)＝－x 2＋180x －7200， 由题意可知60≤x ≤87，∵函数W ＝－x 2＋180x －7200在区间[60,87]上是增函数， ∴当x ＝87时，W max ＝－(87－90)2＋900＝891.∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元． (2)由W ≥500，得－x 2＋180x －7200≥500， ∴70≤x ≤110，又∵60≤x ≤87，∴70≤x ≤87，所以，销售单价x 的取值X 围是[70,87]．(理)(2013·东北三省第一次大联考)某工厂有214名工人，现要生产1500件产品，每件产品由3个A 型零件与1个B 型零件配套组成，每个工人加工5个A 型零件与3个B 型零件所需时间相同，现将全部工人分为两组，分别加工一种零件，同时开始加工，设加工A 型零件的工人有x 人，在单位时间内每人加工A 型零件5k (k ∈N *)个，加工完A 型零件所需时间为g (x )，加工完B 型零件所需时间为h (x )．(1)试比较g (x )与h (x )大小，并写出完成总任务的时间f (x )的表达式； (2)怎样分组才能使完成任务所需时间最少？[解析](1)由题意知，A 型零件共需要4500个，B 型零件共需要1500个，加工B 型零件的工人有(214－x )人，单位时间内每人加工B 型零件3k 个，所以g (x )＝45005kx ＝900kx ，h (x )＝15003k (214－x )＝500k (214－x )，g (x )－h (x )＝900kx －500k (214－x )＝200k ·963－7xx (214－x )，∵0<x <214，且x ∈N *，∴当1≤x ≤137时，g (x )>h (x )，当138≤x ≤213时，g (x )<h (x )，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧900kx ，(1≤x ≤137，k ∈N *)，500k (214－x )，(138≤x ≤213，k ∈N *).(2)即求当x 为何值时，f (x )取最小值，又900kx (1≤x ≤137)为减函数，500k (214－x )(138≤x ≤213)为增函数，而f (137)f (138)＝900137k ·76k500<1，∴x ＝137时，f (x )取最小值． 即加工A 零件的工人137人，加工B 零件的工人77人时，完成任务所需时间最少.能力拓展提升一、选择题11．(文)(2013·威海模拟)已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下对应值表：A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个 [答案]C[解析]由表知，f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)<0，f (4)·f (5)<0，∴f (x )在(2,3)，(3,4)，(4,5)内必有零点，∴选C.(理)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ＋2x －6 (x >0)－x (x ＋1)(x ≤0)的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案]D[解析]令－x (x ＋1)＝0得x ＝0或－1，满足x ≤0； 当x >0时，∵ln x 与2x －6都是增函数， ∴f (x )＝ln x ＋2x －6(x >0)为增函数， ∵f (1)＝－4<0，f (3)＝ln3>0，∴f (x )在(0，＋∞)上有且仅有一个零点， 故f (x )共有3个零点．12．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2x ＋100 [答案]C[解析]观察前四个月的数据规律，(1,100)，(2,200)，(3,400)，(4,790)，接近(4,800)，可以发现这些数据变化规律符合指数型函数模型的增长规律，故选C.[点评] 也可以将x ＝1,2,3,4，依次代入四个选项中，通过对比差异大小来作判断，但计算量比较大．13．(文)已知a 是函数f (x )＝2x －log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)<0C ．f (x 0)>0D ．f (x 0)的符号不确定 [答案]B [解析]分别作出y ＝2x 与y ＝log 12x 的图象如图，当0<x 0<a 时，y ＝2x 的图象在y ＝log 12x 图象的下方，所以，f (x 0)<0.(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1 (x ≤0)f (x －1)＋1 (x >0)，把函数g (x )＝f (x )－x 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为( )A ．a n ＝n (n －1)2(n ∈N *)B ．a n ＝n (n －1)(n ∈N *)C ．a n ＝n －1(n ∈N *)D ．a n ＝2n －2(n ∈N *) [答案]C[解析]当x ≤0时，f (x )＝2x －1；当0<x ≤1时，f (x )＝f (x －1)＋1＝2x －1－1＋1＝2x －1； 当1<x ≤2时，f (x )＝f (x －1)＋1＝f (x －2)＋2＝2x －2－1＋2＝2x －2＋1；… ∴当x ≤0时，g (x )的零点为x ＝0；当0<x ≤1时，g (x )的零点为x ＝1；当1<x ≤2时，g (x )的零点为x ＝2；…当n －1<x ≤n (n ∈N *)时，g (x )的零点为n ， 故a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2，…，a n ＝n －1. 14．(文)(2013·潍坊模拟)一X正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x，y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y＝f(x)，则y＝f(x)的图象是()[答案]A[解析]由条件知2xy＝20，∴xy＝10，，(2≤x≤10)，故选A.∴y＝10x(理)(2013·某某模拟)如图(1)是反映某条公共汽车线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y与乘客量x之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图(2)(3)所示．给出以下说法：①图(2)的建议是：提高技术，并提高票价； ②图(2)的建议是：降低成本，并保持票价不变； ③图(3)的建议是：提高票价，并保持成本不变； ④图(3)的建议是：提高票价，并降低成本． 其中所有正确说法的序号是( ) A ．①③B ．①④ C ．②③D ．②④ [答案]C[解析](2)图中直线AB 向上平移，当x ＝0时，y 值为成本值，∴成本降低，由平移知，票价不变；(3)图中，直线AB 绕A 点旋转，当x ＝0时，y 值不变，说明成本保持不变，直线斜率变大，说明票价提高了．故选C.二、解答题15．(文)(2013·某某诊断)因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一鱼塘中，为了治污，根据环保部门的建议，现决定在鱼塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂．已知每投放a (1≤a ≤4，且a ∈R )个单位的药剂，它在水中释放的浓度y (g/L)随着时间x (天)变化的函数关系式近似为y ＝a ·f (x )，其中f (x )＝⎩⎨⎧168－x －1(0≤x ≤4)5－12x (4<x ≤10)，若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4(g/L)时，它才能起到有效治污的作用．(1)若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？(2)若一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a 个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a 的最小值．(精确到0.1，参考数据：2取1.4)[解析](1)因为a ＝4，所以y ＝⎩⎨⎧648－x－4(0≤x ≤4)20－2x (4<x ≤10).则当0≤x ≤4时，由648－x －4≥4，解得x ≥0，所以此时0≤x ≤4；当4<x ≤10时，由20－2x ≥4，解得x ≤8，所以此时4<x ≤8.综上，可得0≤x ≤8，即一次投放4个单位的药剂，有效治污时间可达8天． (2)当6≤x ≤10时，y ＝2×(5－12x )＋a [168－(x －6)－1]＝10－x ＋16a 14－x －a ＝(14－x )＋16a4－x－a －4，因为14－x ∈[4,8]，1≤a ≤4，所以4a ∈[4,8]，故当且仅当14－x ＝4a 时，y 取得最小值8a －a －4.令8a －a －4≥4，解得24－162≤a ≤4，所以a 的最小值为24－162≈1.6.(理)X 林在李明的农场附近建了一个小型工厂，由于工厂生产须占用农场的部分资源，因此李明每年向X 林索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入．工厂在不赔付农场的情况下，工厂的年利润x (元)与年产量t (t)满足函数关系x ＝2000t ，若工厂每生产一吨产品必须赔付农场s 元(以下称s 为赔付价格)．(1)将工厂的年利润w (元)表示为年产量t (t)的函数，并求出工厂获得最大利润的年产量；(2)若农场每年受工厂生产影响的经济损失金额y ＝0.002t 2(元)，在工厂按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，农场要在索赔中获得最大净收入，应向X 林的工厂要求赔付价格s 是多少？[解析](1)工厂的实际年利润为：w ＝2000t －st (t ≥0)．w ＝2000t －st ＝－s (t －1000s )2＋10002s， 当t ＝(1000s)2时，w 取得最大值． 所以工厂取得最大年利润的年产量t ＝(1000s)2(t)． (2)设农场净收入为v 元，则v ＝st －0.002t 2.将t ＝(1000s)2代入上式， 得v ＝10002s －2×10003s 4. 又v ′＝－10002s 2＋8×10003s 5＝10002(8000－s 3)s 5， 令v ′＝0，得s ＝20.当0<s <20时，v ′>0；当s >20时，v ′<0.所以当s ＝20时，v 取得最大值．因此李明向X 林要求赔付价格s 为20元/吨时，获得最大净收入．考纲要求1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．补充材料1．解决与函数零点有关的问题主要方法有：(1)零点存在性定理；(2)解方程f (x )＝0；(3)数形结合．2．用二分法求方程近似解用二分法求方程f (x )＝0近似解的一般步骤：第一步：确定一个区间[a ，b ]，使得f (a )·f (b )<0，令a 0＝a ，b 0＝b .第二步：取区间(a 0，b 0)的中点x 0＝12(a 0＋b 0)． 第三步：计算f (x 0)的值，得到下列相关结论．(1)若f (x 0)＝0，则x 0就是方程f (x )＝0的一个根，计算终止；(2)若f (a 0)·f (x 0)<0，则方程f (x )＝0的一个根位于区间(a 0，x 0)中，令a 1＝a 0，b 1＝x 0；(3)若f (x 0)·f (b 0)<0，则方程f (x )＝0的一个根位于区间(x 0，b 0)中，令a 1＝x 0，b 1＝b 0.第四步：取区间(a 1，b 1)的中点x 1＝12(a 1＋b 1)，重复第二、第三步，……直到第n 次，方程f (x )＝0的一个根总在区间(a n ，b n )中．第五步：当|a n －b n |<ε，(ε是规定的精确度)时，区间(a n ，b n )内的任何一个值精确到ε就是方程f (x )＝0的一个近似根．注意：二分法只适用于求函数f (x )的变号零点．备选习题1．(2012·某某一中检测)已知函数f (x )＝|lg(x －1)|，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋b 的取值X 围是( )A ．[4，＋∞)B ．(4，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)[答案]B[解析]解法1：不妨设a <b ，∵f (x )＝|lg(x －1)|，f (a )＝f (b )，∴1<a ≤2，b >2，∴f (a )＝－lg(a －1)，f (b )＝lg(b －1)，∴－lg(a －1)＝lg(b －1)，∴(a －1)(b －1)＝1，∴a ＋b ＝(a －1)＋(b －1)＋2>2(a －1)(b －1)＋2＝4.解法2：结合f (x )的图象得－lg(b －1)＝lg(a －1)，得lg(a －1)＋lg(b －1)＝0，所以(a －1)(b－1)＝1，化简得，a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝(1a ＋1b )(a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2＝4，当a ＝b 时取“＝”，而由已知a ≠b ，故选B.2.(2013·某某)函数y ＝f (x )的图象如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝…＝f (x n )x n，则n 的取值X 围为( ) A ．{2,3} B ．{2,3,4}C ．{3,4}D ．{3,4,5}[答案]B[解析]如图所示f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝…＝f (x n )x n.可以看作点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))，…，(x n ，f (x n ))与原点(0,0)连线的斜率．对于l 1，l 2，l 3满足条件的x 分别有2个、3个、4个，故选B.3．(2013·某某模拟)若函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x －m 在[0，π2]上有零点，则实数m 的取值X 围为( )A ．[1,2＋2]B ．[－1,2]C ．[－1,2＋2]D ．[1,3][答案]A[解析]由题意知m ＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x ＝1＋sin2x ＋cos2x ＋1＝2＋2sin(2x ＋π4)．因为0≤x ≤π2，所以π4≤2x ＋π4≤5π4，所以m ∈[1,2＋2]，故选A. 4．(2013·某某调研)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (x ＋5)＝16，当x ∈(－1,4]时，f (x )＝x 2－2x ，则函数f (x )在[0,2013]上的零点个数是________．[答案]604[解析]由f (x )＋f (x ＋5)＝16，可知f (x －5)＋f (x )＝16，则f (x ＋5)－f (x －5)＝0，所以f (x )是以10为周期的周期函数．∵x ∈(－1,4]时，x 2∈[0,16]，2x ∈(12，16]，∴x 2－2x <16，∴x ∈(－1,4]时，f (x )<16.∴当x ∈(4,9]时，x －5∈(－1,4]，∴f (x －5)<16，f (x )＝16－f (x ＋5)＝16－f (x －5)>0，∴f (x )在(4,9]上无零点，因此在一个周期(－1,9]上，函数f (x )＝x 2－2x 在区间(－1,4]内有3个零点，在(4,9]区间内无零点，故f (x )在一个周期内仅有3个零点，由于区间(3,2013]中包含201个周期，且在区间[0,3]内也存在一个零点x ＝2，故f (x )在[0,2013]上的零点个数为3×201＋1＝604.。
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 1-2命题、量词、逻辑联接词课后强化作业 新人教B版
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习1-2命题、量词、逻辑联接词课后强化作业新人教B版基础巩固强化一、选择题1．(2013·某某某某一中期中)下列命题中，不是真命题的为()A．“若b2－4ac>0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根”的逆否命题B．“四边相等的四边形是正方形”的逆命题C．“x2＝9则x＝3”的否命题D．“对顶角相等”的逆命题[答案]D[解析]A中原命题为真命题，故逆否命题为真；B中逆命题为“正方形的四条边相等”，它是真命题；C中否命题为“若x2≠9，则x≠3”显然为真命题；D中逆命题为“若两个角相等，则这两个角互为对顶角”显然为假，故选D.2．(文)下列命题中为假命题的是()A．∀x∈R,2x－1>0B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2[答案]B[解析]由指数函数值域知2x－1>0恒成立；当x＝1时，lg x＝0<1；∵直线y＝2与y＝tan x 的图象有交点，∴方程tan x＝2有解；∴A、C、D都是真命题，当x＝1∈N*时，(x－1)2>0不成立，∴B为假命题．(理)下列命题中是真命题的为()A．∀x∈R，x2<x＋1B．∀x∈R，x2≥x＋1C．∃x∈R，∀y∈R，xy2＝y2D．∀x∈R，∃y∈R，x>y2[答案]C[解析]令f(x)＝x2－x－1，∵Δ>0，∴f(x)的图象与x轴有交点，∴f(x)的值有正有负，故A、B假；令x＝－1，则对任意y∈R都有x<y2，故D假．当x＝1时，∀y∈R，xy2＝y2，故C 真．3．(文)命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋1>0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0[答案]C[解析]依题意得，命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“存在x∈R，x3－x2＋1>0”，选C.(理)(2013·东北三省第一次大联考)已知命题p：∃x0∈R＋，log2x0＝1，则綈p是() A．∀x∈R＋，log2x≠1B．∀x∉R＋，log2x≠1C．∃x0∈R＋，log2x0≠1 D．∃x0∉R＋，log2x0≠1[答案]A[解析]∃x0∈R＋的否定为∀x∈R＋，“＝”的否定为“≠”，∴綈p：∀x∈R＋，log2x≠1.4．(文)(2014·汉台区期中)已知命题“∀a，b∈R，若ab>0，则a>0”，则它的否命题是()A．∀a，b∈R，若ab<0，则a<0B．∀a，b∈R，若ab≤0，则a≤0C．∃a，b∈R，若ab<0，则a<0D．∃a，b∈R，若ab≤0，则a≤0[答案]B[解析]条件ab>0的否定为ab≤0；结论a>0的否定为a≤0，故选B.(理)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数[答案]C[解析]“都是”的否定是“不都是”，故其逆否命题是：“若x＋y不是偶数，则x与y 不都是偶数”．5．(2013·某某呼和浩特一模)已知命题p ：∀x ∈R ，x >sin x ，则p 的否定形式为( ) A ．綈p ：∃x ∈R ，x <sin x B ．綈p ：∀x ∈R ，x ≤sin x C ．綈p ：∃x ∈R ，x ≤sin x D ．綈p ：∀x ∈R ，x <sin x [答案]C[解析]由全称命题的否定是存在性命题知选C. 6．(文)(2013·四中期中)下列命题中是假命题的是( ) A ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数 B ．∀a >0，f (x )＝ln x －a 有零点C ．∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin βD ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上递减 [答案]A[解析]当φ＝π2时，f (x )＝sin(2x ＋π2)＝cos2x 为偶函数，所以A 错误，选A.(理)(2013·某某皖南八校联考)下列命题中，真命题是( ) A ．∃x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12B ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos xC ．∀x ∈(0，＋∞)，e x >1＋xD ．∃x ∈R ，x 2＋x ＝－1 [答案]C[解析]∵对任意x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝1，∴A 假；当x ＝π4时，sin x ＝cos x ，∴B 假；对于函数y ＝x 2＋x ＋1，∵Δ＝－3<0，∴y >0恒成立，∴D 假；对于函数y ＝e x －x －1，∵y ′＝e x －1，当x >0时，y ′>0，∴y ＝e x －x －1在(0，＋∞)上为增函数，∴y >e 0－0－1＝0，即e x >1＋x 恒成立，∴C 真．二、填空题7．设p ：函数f (x )＝2|x －a |在区间(4，＋∞)上单调递增；q ：log a 2<1.如果“非p ”是真命题，“p 或q ”也是真命题，那么实数a 的取值X 围是________．[答案](4，＋∞)[解析]∵“非p ”为真命题，∴p 为假命题，又p 或q 为真命题，∴q 为真命题．若a >1，由log a 2<1知a >2，又f (x )＝2|x －a |在(a ，＋∞)上单调递增，且p 为假命题，∴a >4，因此得，a >4；若0<a <1，则p 、q 都是真命题，不合题意． 综上，a 的取值X 围是(4，＋∞)．8．(文)若命题“∃x ∈R ，使得x 2＋(1－a )x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值X 围是________．[答案](－∞，－1)∪(3，＋∞)[解析]由题意可知，Δ＝(1－a )2－4>0，解得a <－1或a >3.(理)已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，12x 2－ln x －a ≥0”与命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0－8－6a ＝0”都是真命题，则实数a 的取值X 围是________．[答案](－∞，－4]∪[－2，12][解析]若p 真，则∀x ∈[1,2]，(12x 2－ln x )min ≥a ，∵y ＝12x 2－ln x 的导数y ′＝x －1x ≥0在[1,2]上恒成立，∴当x ＝1时，y min ＝12，∴a ≤12；若q 真，则(2a )2－4×(－8－6a )＝4(a ＋2)(a ＋4)≥0， ∴a ≤－4或a ≥－2.∴实数a 的取值X 围为(－∞，－4]∪[－2，12]．9．(2012·某某部分重点中学教学检测)给出下列命题： ①y ＝1是幂函数；②函数f (x )＝2x －log 2x 的零点有1个； ③x －1(x －2)≥0的解集为[2，＋∞)； ④“x <1”是“x <2”的充分不必要条件； ⑤函数y ＝x 3是在O (0,0)处的切线是x 轴．其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)． [答案]④⑤[解析]y ＝1不是幂函数，①是假命题；作出函数y ＝2x 与y ＝log 2x 的图象，由两图象没有交点知函数f (x )＝2x －log 2x 没有零点，②错误；x ＝1是不等式x －1(x －2)≥0的解，③错误；x <1⇒x <2，而x <2⇒/ x <1，④正确；y ′＝(x 3)′＝3x 2，∴切线的斜率k ＝0，过原点的切线方程为y ＝0，⑤正确．10．给出下列三个结论：①命题“若a >b ，则a 2>b 2”的逆命题为假命题；②已知直线l 1：ax ＋2y －1＝0，l 2：x ＋by ＋2＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab ＝－2；③已知命题p ：∃x ∈(－∞，0)，2x <3x ；命题q ：∀x ∈(0，π2)，cos x <1，则(綈p )∧q 为真命题．其中正确结论的序号是________．(填上所有正确结论的序号)． [答案]①③[解析]①显然正确．②中l 1⊥l 2⇔a ＋2b ＝0，但a ＋2b ＝0与ab ＝－2不等价，∵当a ＝b＝0时，ab ＝－2不成立，故②错；对于③，在x ∈(－∞，0)上，y ＝2x 的图象恒在y ＝3x 的上方，所以不存在这样的x 使得2x <3x 成立，命题p 为假命题，命题q 为真命题，所以(綈p )∧q 为真命题，故③正确.能力拓展提升一、选择题11．(文)(2013·某某某某期中)已知命题p ：∀x ∈R,3x >0，则( ) A ．綈p ：∃x 0∈R,3x 0≤0 B ．綈p ：∀x ∈R,3x ≤0 C ．綈p ：∃x 0∈R,3x 0<0 D ．綈p ：∀x ∈R,3x <0 [答案]A[解析]全称命题的否定是特称命题，所以綈p ：∃x 0∈R,3x 0≤0，选A. (理)(2012·某某第一次质检)下列命题： ①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；③“若a >b >0且c <0，则c a >cb”的逆否命题是真命题；④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥1，命题q ：∃x ∈R ，x 2－x －1≤0，则命题p ∧(綈q )是真命题．其中真命题为( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④ [答案]A[解析]由x 2＋2x >4x －3推得x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2>0恒成立，故①正确；根据基本不等式可知要使不等式log 2x ＋log x 2≥2成立需要log 2x >0，∴x >1，故②正确；由a >b >0得0<1a <1b ，又c <0，可得c a >cb ，则可知其逆否命题为真命题，故③正确；命题p 是真命题，命题q 是真命题，所以p ∧(綈q )为假命题，故④错误．所以选A.12．(2013·某某刑台一模)若函数f (x )＝x 2＋a x (a ∈R )，则下列结论正确的是( )A ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数B ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数C ．∃a ∈R ，f (x )是偶函数D ．∃a ∈R ，f (x )是奇函数 [答案]C[解析]对于A ，只有当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数，否则不成立； 对于B ，当a ≤0时不成立；对于D ，不存在a (a ∈R )，使f (x )是奇函数，因此只有C 是正确的，即当a ＝0时，有f (x )＝x 2是一个偶函数，因此存在这样的a ，使f (x )是偶函数．13．(2013·某某某某质检)f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，∀x 1∈[－1,2]，∃x 0∈[－1,2]，使g (x 1)＝f (x 0)，则a 的取值X 围是( )A ．(0，12]B ．[12，3]C ．[3，＋∞)D ．(0,3] [答案]A[解析]由于函数g (x )在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x 0∈[－1,2]使得g (x 1)＝f (x 0)，因此问题等价于函数g (x )的值域是函数f (x )值域的子集．函数f (x )的值域是[－1,3]，函数g (x )的值域是[2－a,2＋2a ]，则有2－a ≥－1且2＋2a ≤3，即a ≤12，又a >0，故a 的取值X 围是(0，12]．二、填空题14．(2013·某某某某一模)给出下列四个结论：①命题“∃x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”；②函数f (x )＝x －sin x (x ∈R )有3个零点；③对于任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时，f ′(x )>g ′(x )．其中正确结论的序号是________．(填写所有正确结论的序号) [答案]①③[解析]①显然正确；②由y ＝x 与y ＝sin x 的图象可知，函数f (x )＝x －sin x (x ∈R )有1个零点，②不正确；对于③，由题设知f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，又奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反，∴x <0时，f ′(x )>0，g ′(x )<0，∴f ′(x )>g ′(x )，③正确．15．(文)下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p ∧(綈q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab ＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为______．(把你认为正确结论的序号都填上)[答案]①③[解析]①中命题p 为真命题，命题q 为真命题， 所以p ∧(綈q )为假命题，故①正确； ②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确； ③正确．所以正确结论的序号为①③.(理)已知命题“如果|a |≤1，那么关于x 的不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集为∅”，它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有________个．[答案]2[解析]由|a |≤1，得－1≤a ≤1， 且Δ＝(a ＋2)2＋4(a 2－4) ＝5(a ＋25)2－45－12≤5(1＋25)2－645<0，∴原命题为真，逆否命题亦为真．反之，如a ＝－2时，所给不等式的解集即为空集， 但a ∉[－1,1]，所以逆命题为假，故否命题亦为假． 三、解答题16．(文)已知命题p ：在x ∈[1,2]时，不等式x 2＋ax －2>0恒成立；命题q ：函数f (x )＝log13(x 2－2ax ＋3a )是区间[1，＋∞)上的减函数．若命题“p ∨q ”是真命题，某某数a 的取值X 围．[解析]∵x ∈[1,2]时，不等式x 2＋ax －2>0恒成立， ∴a >2－x 2x ＝2x －x 在x ∈[1,2]上恒成立，令g (x )＝2x －x ，则g (x )在[1,2]上是减函数，∴g (x )max ＝g (1)＝1， ∴a >1.即若命题p 真，则a >1.又∵函数f (x )＝log 13(x 2－2ax ＋3a )是区间[1，＋∞)上的减函数，∴u (x )＝x 2－2ax ＋3a 是[1，＋∞)上的增函数，且u (x )＝x 2－2ax ＋3a >0在[1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1，u (1)>0，∴－1<a ≤1， 即若命题q 真，则－1<a ≤1. 若命题“p ∨q ”是真命题，则a >－1.(理)(2014·颖上一中月考)已知动圆C 过点A (－2，0)，且与圆M ：(x －2)2＋y 2＝64相内切．(1)求动圆C 的圆心C 的轨迹方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m (其中k ，m ∈Z )与(1)中所求轨迹交于不同两点B ，D ，与双曲线x 24－y 212＝1交于不同两点E ，F ，问是否存在直线l ，使得向量DF →＋BE →＝0，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．[解析](1)圆M ：(x －2)2＋y 2＝64的圆心M 的坐标为(2,0)，半径R ＝8. ∵|AM |＝4<R ，∴点A (－2,0)在圆M 内．设动圆C 的半径为r ，圆心为C (x ，y )，依题意得r ＝|CA |，且|CM |＝R －r ，即|CM|＋|CA|＝8>|AM|.∴圆心C的轨迹是中心在原点，以A、M两点为焦点，长轴长为8的椭圆，设其方程为x2 a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则a＝4，c＝2，∴b2＝a2－c2＝12.∴所求动圆的圆心C的轨迹方程为x216＋y212＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y＝kx＋m，x216＋y212＝1，消去y化简整理得：(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－48＝0，设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝－8km3＋4k2Δ1＝(8km)2－4(3＋4k2)(4m2－48)>0①由⎩⎪⎨⎪⎧y＝kx＋m，x24－y212＝1，消去y化简整理得：(3－k2)x2－2kmx－m2－12＝0.设E(x3，y3)，F(x4，y4)，则x3＋x4＝2km3－k2，Δ2＝(－2km)2＋4(3－k2)(m2＋12)>0②∵DF→＝(x4－x2，y4－y2)，BE→＝(x3－x1，y3－y1)，且DF→＋BE→＝0，∴(x4－x2)＋(x3－x1)＝0，即x1＋x2＝x3＋x4，∴－8km3＋4k2＝2km3－k2，∴km＝0或－43＋4k2＝13－k2.解得k＝0或m＝0.当k＝0时，由①、②得－23<m<23，∵m∈Z，∴m的值为－3，－2，－1,0,1,2,3；当m＝0时，由①、②得－3<k<3，∵k∈Z，∴k＝－1,0,1.∴满足条件的直线共有9条．考纲要求1．理解命题的概念．2．了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．简单的逻辑联结词了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义． 4．全称量词与存在量词(1)理解全称量词与存在量词的意义． (2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 补充材料1．抓住3个考点：一是含逻辑联结词的命题真假判断；二是全称命题与特称命题的真假判断；三是含逻辑联结词的复合命题及全称(特称)命题的否定形式．2．正确分析命题的条件与结论． 3．四种命题及其关系(1)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，则另一个叫做原命题的逆命题．(2)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，其中一个叫做原命题，则另一个叫做原命题的否命题．(3)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题．把其中一个叫做原命题，则另一个叫做原命题的逆否命题．备选习题1．下列命题中是真命题的是( )A ．若向量a ，b 满足a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若a <b ，则1a >1bC ．若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列D ．∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝43成立[答案]D[解析]对于A ，当a ⊥b 时，a ·b ＝0也成立，此时不一定是a ＝0或b ＝0； 对于B ，当a ＝0，b ＝1时，该命题就不成立；对于C ，b 2＝ac 是a ，b ，c 成等比数列的必要不充分条件；对于D ，因为sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[－2，2]，且43∈[－2，2]，所以该命题正确．2．(2013·某某乐清市白象中学月考)如果命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题，那么( )A ．命题p 不一定是假命题B ．命题q 不一定是真命题C ．命题q 一定是真命题D ．命题p 与q 的真值相同[答案]C[解析]∵“非p ”是真命题，∴p 为假命题，又∵“p 或q ”为真命题，∴q 为真命题．3．下列有关命题的说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x 2＝1，则x ≠1”B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1<0”D ．命题“若x ＝y ，则cos x ＝cos y ”的逆否命题为真命题[答案]D[解析]A 中，否命题应为若x 2≠1，则x ≠1；B 中，x ＝－1⇒x 2－5x －6＝0，反之则不成立，应为充分不必要条件；C 中，命题的否定应为∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0.4．已知命题p ：∃x ∈[0，π2]，cos2x ＋cos x －m ＝0为真命题，则实数m 的取值X 围是( ) A ．[－98，－1] B ．[－98，2] C ．[－1,2] D ．[－98，＋∞) [答案]C[解析]依题意：cos2x ＋cos x －m ＝0在x ∈[0，π2]上有解，即cos2x ＋cos x ＝m 在x ∈[0，π2]上有解．令f (x )＝cos2x ＋cos x ＝2cos 2x ＋cos x －1＝2(cos x ＋14)2－98，由于x ∈[0，π2]，所以cos x ∈[0,1]，于是f (x )∈[－1,2]，因此实数m 的取值X 围是[－1,2]．5．(2013·某某市模块检测)已知函数f M (x )的定义域为实数集R ，满足f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈M ，0，x ∉M .(M 是R 的非空真子集)，在R 上有两个非空真子集A ，B ，且A ∩B ＝∅，则F (x )＝f A ∪B (x )＋1f A (x )＋f B (x )＋1的值域为( )A ．(0，23] B ．{1} C ．{12，23，1} D ．[13，1] [答案]B[解析]若x ∈A ，则f A (x )＝1，f B (x )＝0，f A ∪B (x )＝1，F (x )＝1；若x ∈B ，则f A (x )＝0，f B (x )＝1，f A ∪B (x )＝1，F (x )＝1；若x ∉A ，x ∉B ，则f A (x )＝0，f B (x )＝0，f A ∪B (x )＝0，F (x )＝1.故选B.。
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 8-7圆锥曲线的综合问题课后强化作业 新人教B版
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 8-7圆锥曲线的综合问题课后强化作业 新人教B 版基础巩固强化一、选择题1．椭圆x 24＋y 23＝1的离心率为e ，点(1，e)是圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是( )A ．3x ＋2y －4＝0B ．4x ＋6y －7＝0C ．3x －2y －2＝0D ．4x －6y －1＝0 [答案]B[解析]依题意得e ＝12，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，12)的连线的斜率为2－122－1＝32，则所求直线的斜率等于－23，所以所求直线方程是y －12＝－23(x －1)，即4x ＋6y －7＝0，选B.2．已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于( )A ．3B ．4C ．32D ．4 2 [答案]C[解析]设A (x 1,3－x 21)，B (x 2,3－x 22)，由于A 、B 关于直线x ＋y ＝0对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 22－3，3－x 21＝－x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－2，x 2＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝－2，设直线AB 的斜率为k AB ，∴|AB |＝1＋k 2AB |x 1－x 2|＝3 2.故选C.3．设F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A 是抛物线C 1与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的一个公共点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为( )A ．2 B. 3 C.52D. 5 [答案]D[解析]由题意可知，抛物线C 1的焦点为F (p 2，0)，因为AF ⊥x 轴，则A (p2，±p )，不妨取A (p 2，p )，则双曲线C 2的渐近线的斜率为p p 2＝b a ，∴ba＝2，令a ＝1，则b ＝2，c ＝a 2＋b 2＝5，∴e ＝ca＝ 5.4．(文)(2013·新课标Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．23D ．4 [答案]C[解析]设P 点坐标为(x 0，y 0)，则由抛物线的焦半径公式得|PF |＝x 0＋2＝42，x 0＝32，代入抛物线的方程，得|y 0|＝26，S △POF ＝12|y 0|·|OF |＝23，选C.(理)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则|AF ||BF |的值为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 [答案]C[解析]由题意设直线l 的方程为y ＝3(x －p 2)，即x ＝y 3＋p2，代入抛物线方程y 2＝2px中，整理得3y 2－2py －3p 2＝0，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则y A ＝3p ，y B ＝－33p ，所以|AF ||BF |＝|y Ay B|＝3. 5．(2013·某某五校联考)已知点M (－3,0)、N (3,0)、B (1,0)，动圆C 与直线MN 相切于点B ，分别过点M 、N 且与圆C 相切的两条直线相交于点P ，则点P 的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1(x >1)B ．x 2－y 210＝1(x >0) C ．x 2－y 28＝1(x >0) D ．x 2－y 210＝1(x >1) [答案]A[解析]如图，设两切线分别与圆相切于点S 、T ，则|PM |－|PN |＝(|PS |＋|SM |)－(|PT |＋|TN |)＝|SM |－|TN |＝|BM |－|BN |＝2＝2a ，所以所求曲线为双曲线的右支，∴a ＝1，c ＝3，∴b 2＝8，故点P 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x >0)，由题意知，P 点不可能与B 点重合，∴x >1.6．(文)(2013·某某莱州一中质检)点P 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上，F 1、F 2是双曲线的两个焦点，∠F 1PF 2＝90°，且△F 1PF 2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [答案]D[解析]由条件知⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，(1)2|PF 1|＝|PF 2|＋|F 1F 2|， (2)|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2. (3)由①得|PF 1|＝|PF 2|＋2a 代入(2)，解得|PF 2|＝2c －4a ，∴|PF 1|＝2c －2a .代入(3)中得(2c －4a )2＋(2c －2a )2＝4c 2，展开整理得c 2－6ac ＋5a 2＝0，两边同除以a 2得e 2－6e ＋5＝0，∵e>1，∴e ＝5.(理)(2013·某某一中、某某师大附中月考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，双曲线x 22－y 22＝1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为( )A.x 28＋y 22＝1B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1 [答案]D[解析]双曲线x 22－y 22＝1的渐近线方程为y ＝±x ，由e ＝32可得a ＝2b ，∴椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1，而渐近线y ＝±x 与椭圆的四个交点为顶点的四边形为正方形，设在第一象限的小正方形边长为m ，则m 2＝4⇒m ＝2，从而点(2,2)在椭圆上，即：224b 2＋22b 2＝1⇒b 2＝5，于是a 2＝20，椭圆方程为x 220＋y 25＝1，应选D.二、填空题7．(文)已知过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e 的取值X 围是________．[答案](1，2)[解析]由条件知，渐近线的倾斜角小于45°，即b a <1，∴c 2－a 2a 2<1，∴c 2a 2<2，即e 2<2，∵e>1，∴1<e< 2.(理)(2013·某某一中月考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的右焦点F ，若过F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有1个交点，则此双曲线的离心率e 的取值X 围是________．[答案][2，＋∞)[解析]由条件知ba ≥tan60°＝3，∴c 2－a 2a 2≥3，∴e ≥2.8．(2013·某某某某四中)椭圆2x 2＋y 2＝1上的点到直线y ＝3x －4的距离的最小值是________．[答案]2－104[解析]设与直线y ＝3x －4平行的椭圆的切线方程为y ＝3x ＋c ，代入2x 2＋y 2＝1得5x 2＋23cx ＋c 2－1＝0，由Δ＝12c 2－20(c 2－1)＝0，得c ＝±102，可知直线y ＝3x －102与y ＝3x －4距离最近，此两直线距离为d ＝2－104. 9．(2013·某某一中期末)以抛物线：y 2＝20x的焦点为圆心，且与双曲线：x 216－y 29＝1的两条渐近线都相切的圆的方程为________．[答案](x －5)2＋y 2＝9[解析]抛物线y 2＝20x 的焦点F (5,0)，双曲线x 216－y 29＝1的渐近线方程为y ＝±34x ，故圆的半径R ＝|3×5－0|5＝3，∴圆方程为(x －5)2＋y 2＝9.三、解答题10．(文)(2013·某某市模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，由4个点M (－a ，b )、N (a ，b )、F 2和F 1组成了一个高为3，面积为33的等腰梯形．(1)求椭圆的方程；(2)过点F 1的直线与椭圆交于两点A 、B ，求△F 2AB 面积的最大值． [解析](1)由条件，得b ＝3，且(2a ＋2c )32＝33， 所以a ＋c ＝3.又a 2－c 2＝3，解得a ＝2，c ＝1， 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)显然，直线的斜率不能为0，设直线方程为x ＝my －1，直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x ＝my －1，消去x 得(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0.∵直线过椭圆内的点，无论m 为何值，直线与椭圆总相交， ∴y 1＋y 2＝6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4.∴S △F 2AB ＝12|F 1F 2||y 1－y 2|＝|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12m 2＋1(3m 2＋4)2＝4m 2＋1(m 2＋1＋13)2＝41m 2＋1＋23＋19(m 2＋1).令t ＝m 2＋1≥1，设y ＝t ＋19t ，易知t ∈(0，13)时，函数单调递减，t ∈(13，＋∞)函数单调递增，所以，当t ＝m 2＋1＝1，即m ＝0时，y min ＝109，S △F 2AB 取最大值3. (理)(2013·某某一中月考)在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .(1)求k 的取值X 围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数k ，使得向量OP →＋OQ →与AB →共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．[解析](1)由已知条件，知直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程，得x 22＋(kx ＋2)2＝1，整理得(12＋k 2)x 2＋22kx ＋1＝0.①由直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q ， 得Δ＝8k 2－4(12＋k 2)＝4k 2－2＞0，解得k <－22或k >22， 即k 的取值X 围为(－∞，－22)∪(22，＋∞)． (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则OP →＋OQ →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)． 由方程①，知x 1＋x 2＝－42k1＋2k 2.②又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋22＝221＋2k 2.③ 由A (2，0)，B (0,1)，得AB →＝(－2，1)．所以OP →＋OQ →与AB →共线等价于x 1＋x 2＝－2(y 1＋y 2)， 将②③代入，解得k ＝22. 由(1)知k ＜－22或k ＞22， 故不存在符合题意的常数k .能力拓展提升一、解答题 11．(文)(2012·某某调研)已知抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，过它的顶点O 作两条互相垂直的弦OA ，OB .(1)证明直线AB 过定点；(2)求抛物线顶点O 在AB 上射影M 的轨迹方程．[解析](1)不妨设A (2px 21，2px 1)，B (2px 22，2px 2)(x 1≠x 2)，则直线AB 的斜率是1x 1＋x 2， 于是l AB ：y －2px 2＝1x 1＋x 2(x －2px 22)，即(x 1＋x 2)y ＝2px 1x 2＋x ， 又∵OA ⊥OB ，∴1x 1·1x 2＝－1.因此，直线方程为(x 1＋x 2)y ＝－2p ＋x ，令y ＝0得x ＝2p ， ∴l AB 恒过定点(2p,0)．(2)由(1)的结论可知，AB 过定点N (2p,0)．设M (x ，y )，当AB 斜率存在时，由K OM ·K AB ＝－1可知， y x ·y x －2p＝－1，即(x －p )2＋y 2＝p 2. 当AB ⊥x 轴时，点M 与点N 重合，方程也满足．∴点M 的轨迹方程是(x －p )2＋y 2＝p 2.它表示以点(p,0)为圆心，p 为半径的圆(去掉坐标原点)．(理)(2013·东北三校联考)已知点E (m,0)为抛物线y 2＝4x 内一个定点，过E 斜率分别为k 1、k 2的两条直线交抛物线于点A 、B 、C 、D ，且M 、N 分别是AB 、CD 的中点．(1)若m ＝1，k 1k 2＝－1，求三角形EMN 面积的最小值； (2)若k 1＋k 2＝1，求证：直线MN 过定点．[解析](1)当m ＝1时，E 为抛物线y 2＝4x 的焦点， 设AB 方程为y ＝k 1(x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －1)，y 2＝4x ，得k 1y 2－4y －4k 1＝0，y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4.AB 中点M (x 1＋x 22，y 1＋y 22)，∴M (2k 21＋1，2k 1)；同理，点N (2k 21＋1，－2k 1)． ∵k 1k 2＝－1，∴AB ⊥CD ， ∴S △EMN ＝12|EM |·|EN |＝12(2k 21)2＋(2k 1)2·(2k 21)2＋(－2k 1)2＝2k 21＋1k 21＋2≥22＋2＝4，当且仅当k 21＝1k 21，即k 1＝±1时，△EMN 的面积取最小值4. (2)设AB 方程为y ＝k 1(x －m )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －m )，y 2＝4x ，得k 1y 2－4y －4k 1m ＝0，y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4m ，AB 中点M (x 1＋x 22，y 1＋y 22)，∴M (2k 21＋m ，2k 1)；同理，点N (2k 22＋m ，2k 2)．∵k 1＋k 2＝1，∴k MN ＝y M －y N x M －x N ＝k 1k 2k 1＋k 2＝k 1k 2，∴l MN ：y －2k 1＝k 1k 2[x －(2k 21＋m )]，即y ＝k 1k 2(x －m )＋2，∴直线MN 恒过定点(m,2)．12．已知动点P 到定点F (2，0)的距离与点P 到定直线l ：x ＝22的距离之比为22. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设M 、N 是直线l 上的两个点，点E 与点F 关于原点O 对称，若EM →·FN →＝0，求|MN |的最小值．[解析](1)设点P (x ，y )， 依题意有，(x －2)2＋y 2|x －22|＝22，整理得x 24＋y 22＝1， 所以动点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)∵点E 与点F 关于原点O 对称， ∴点E 的坐标为(－2，0)． ∵M 、N 是直线l 上的两个点，∴可设M (22，y 1)，N (22，y 2)(不妨设y 1>y 2)． ∵EM →·FN →＝0，∴(32，y 1)·(2，y 2)＝0， ∴6＋y 1y 2＝0，即y 2＝－6y 1.由于y 1>y 2，∴y 1>0，y 2<0. ∴|MN |＝y 1－y 2＝y 1＋6y 1≥2y 1·6y 1＝2 6. 当且仅当y 1＝6，y 2＝－6时，等号成立．故|MN |的最小值为2 6.13．(文)(2013·某某大学附中月考)已知抛物线y 2＝4x ，过点M (0,2)的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，且直线l 与x 轴交于点C .(1)求证：|MA |，|MC |，|MB |成等比数列；(2)设MA →＝αAC →，AB →＝βBC →，试问α＋β是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．[解析](1)证明：设直线l 的方程为y ＝kx ＋2(k ≠0)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝4x得k 2x 2＋(4k －4)x ＋4＝0.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (－2k ，0)，则x 1＋x 2＝－4k －4k 2，x 1·x 2＝4k 2.②∴|MA |·|MB |＝1＋k 2|x 1－0|·1＋k 2|x 2－0|＝4(1＋k 2)k 2， 而|MC |2＝(1＋k 2|－2k －0|)2＝4(1＋k 2)k 2，∴|MC |2＝|MA |·|MB |≠0，即|MA |，|MC |，|MB |成等比数列．(2)由MA →＝αAC →，MB →＝βBC →得(x 1，y 1－2)＝α(－x 1－2k ，－y 1)，(x 2，y 2－2)＝β(－x 2－2k ，－y 2)，即得α＝－kx 1kx 1＋2，β＝－kx 2kx 2＋2，则α＋β＝－2k 2x 1x 2－2k (x 1＋x 2)k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4.将②代入得α＋β＝－1，故α＋β为定值，且定值为－1.(理)(2013·东城联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构在的三角形的面积为523.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知动直线y ＝k (x ＋1)与椭圆C 相交于A 、B 两点． ①若线段AB 中点的横坐标为－12，求斜率k 的值；②若点M (－73，0)，求证：MA →·MB →为定值．[解析](1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)满足a 2＝b 2＋c 2，c a ＝63，12×b ×2c ＝523，解得a 2＝5，b 2＝53，则椭圆方程为x 25＋y 253＝1. (2)①将y ＝k (x ＋1)代入x 25＋y 253＝1中得，(1＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0，Δ＝36k 4－4(3k 2＋1)(3k 2－5)＝48k 2＋20>0， x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1.因为AB 中点的横坐标为－12，所以－3k 23k 2＋1＝－12，解得k ＝±33.②证明：由①知x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1，x 1x 2＝3k 2－53k 2＋1，所以MA →·MB →＝(x 1＋73，y 1)(x 2＋73，y 2)＝(x 1＋73)(x 2＋73)＋y 1y 2＝(x 1＋73)(x 2＋73)＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(73＋k 2)(x 1＋x 2)＋499＋k 2＝(1＋k 2)3k 2－53k 2＋1＋(73＋k 2)(－6k 23k 2＋1)＋499＋k 2＝－3k 4－16k 2－53k 2＋1＋499＋k2＝49. ∴MA →·MB →为定值．14．(文)已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F 与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于P ，Q 两点．(1)求椭圆的方程；(2)当直线l 的斜率为1时，求△POQ 的面积；(3)在线段OF 上是否存在点M (m,0)，使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值X 围；若不存在，请说明理由．[解析](1)由已知，椭圆方程可设为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，∴b ＝c ＝1，a ＝ 2.所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)右焦点F (1,0)，直线l 的方程为y ＝x －1. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2，y ＝x －1，消去x 得，3y 2＋2y －1＝0， 解得y 1＝－1，y 2＝13.∴S △POQ ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12|y 1－y 2|＝23.(3)假设在线段OF 上存在点M (m,0)(0<m <1)，使得以MP 、MQ 为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x 轴不垂直，所以设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2y ＝k (x －1)可得，(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.∴x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.MP →＝(x 1－m ，y 1)，MQ →＝(x 2－m ，y 2)，PQ →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．其中x 2－x 1≠0以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形⇔(MP →＋MQ →)⊥PQ →⇔(MP →＋MQ →)·PQ →＝0 ⇔(x 1＋x 2－2m ，y 1＋y 2)·(x 2－x 1，y 2－y 1)＝0 ⇔(x 1＋x 2－2m )(x 2－x 1)＋(y 1＋y 2)(y 2－y 1)＝0 ⇔(x 1＋x 2－2m )＋k (y 1＋y 2)＝0⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 21＋2k 2－2m ＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 21＋2k 2－2＝0 ⇔2k 2－(2＋4k 2)m ＝0⇔m ＝k 21＋2k 2(k ≠0)． ∴0<m <12.(理)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，坐标原点到直线AB 的距离为32，其中A (0，－b )，B (a,0)．(1)求双曲线的标准方程；(2)设F 是双曲线的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线的右支交于不同的两点P 、Q ，点M 为线段PQ 的中点．若点M 在直线x ＝－2上的射影为N ，满足PN →·QN →＝0，且|PQ →|＝10，求直线l 的方程．[解析](1)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ca＝2，ab a 2＋b 2＝32，a 2＋b 2＝c 2.解得a ＝1，b ＝3，c ＝2. 所以，所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1.(2)当直线l ⊥x 轴时，|PQ →|＝6，不合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 23＝1(x >0)，y ＝k (x －2)，消去y 得， (3－k 2)x 2＋4k 2x －4k 2－3＝0.①因为直线与双曲线的右支交于不同两点，所以3－k 2≠0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则x 1、x 2是方程①的两个正根，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k 2k 2－3>0，x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3>0，Δ＝(4k 2)2－4(3－k 2)(－4k 2－3)>0，所以k 2>3.②因为PN →·QN →＝0，则PN ⊥QN ，又M 为PQ 的中点，|PQ →|＝10，所以|PM |＝|MN |＝|MQ |＝12|PQ |＝5. 又|MN |＝x 0＋2＝5，∴x 0＝3，而x 0＝x 1＋x 22＝2k 2k 2－3＝3，∴k 2＝9，解得k ＝±3.∵k ＝±3满足②式，∴k ＝±3符合题意． 所以直线l 的方程为y ＝±3(x －2)． 即3x －y －6＝0或3x ＋y －6＝0.考纲要求1．了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2．理解直线与圆锥曲线的位置关系． 3．理解数形结合思想的应用．补充材料 1．向量法向量的坐标可以用其起点、终点的坐标表示，因此向量与解析几何保持着天然的联系．通过向量的坐标可以把解析几何的很多问题向量化，利用向量的共线、垂直、夹角、距离等公式巧妙地解决解析几何问题．2．点差法涉及到直线被圆锥曲线截得弦的中点问题(即中点弦问题)时，常用根与系数的关系及点差法求解．(1)点差法的一个基本步骤是：点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都在圆锥曲线f (x ·y )＝0上，∴f (x 1，y 1)＝0，f (x 2，y 2)＝0，两式相减f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0，然后变形构造出y 2－y 1x 2－x 1及x 1＋x 2和y 1＋y 2，再结合已知条件求解．(2)中点弦问题除了用点差法外，求弦长时应注意是否过焦点，遇到AO ⊥BO 的情况，常用AO →·BO →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0解决，有时中点弦问题还可以利用对称、特例法解决．3．要重视解题过程中思想方法的提炼及解题规律的总结 (1)方程思想解析几何题大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此直线与圆锥曲线相交的弦长问题常归纳为对方程解的讨论．利用韦达定理进行整体处理，以简化解题运算量．(2)函数思想对于圆锥曲线上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线段的长度及a 、b 、c 、e 、p 之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时就很有效．(3)坐标法坐标法是解析几何的基本方法，因此要加强坐标法的训练． (4)对称思想由于圆锥曲线和圆都具有对称性质，所以可使分散的条件相对集中，减少一些变量和未知量，简化计算，提高解题速度，促成问题的解决．(5)数形结合解析几何是数形结合的典X ，解决解析几何问题应充分利用图形的直观和曲线的几何性质，才能简化解答过程．(6)参数思想一些解析几何问题，在解题过程中可先引入适当的参数(如斜率k ，点的坐标，圆锥曲线方程中的系数等)，把所研究问题转化为参数的函数或不等式、方程等来解决．备选习题 1.如图，有公共左顶点和公共左焦点F 的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a 1和a 2，半焦距分别为c 1和c 2.则下列结论不正确的是( )A ．a 1＋c 1>a 2＋c 2B ．a 1－c 1＝a 2－c 2C ．a 1c 2<a 2c 1D ．a 1c 2>a 2c 1 [答案]D[解析]依题意得，a 1>a 2，c 1>c 2，a 1＋c 1＞a 2＋c 2；两个椭圆的左焦点到左顶点的距离相等，即有a 1－c 1＝a 2－c 2；由a 1>a 2，得1a 1<1a 2，又a 1－c 1＝a 2－c 2，因此a 1－c 1a 1<a 2－c 2a 2，即有c 2a 2<c 1a 1，a 1c 2<a 2c 1.因此，不正确的结论是D ，选D. 2．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M (1，m )(m ＞0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a－y2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是( )A.125B.19C.15D.13 [答案]B[解析]∵M (1，m )到焦点距离为5，∴M 到准线距离为5， 又x M ＝1，∴p2＝4，∴p ＝8，∴y 2＝16x ，当x ＝1时，y ＝±4，∵m >0，∴m ＝4，即M (1,4)， 双曲线左顶点A (－a ，0)，∴k MA ＝41＋a， 又双曲线的一条渐近线方程为y ＝1ax ， 由题意知41＋a＝1a ，∴a ＝19.3．设点F ⎝⎛⎭⎫0，32，动圆P 经过点F 且和直线y ＝－32相切，记动圆的圆心P 的轨迹为曲线W .(1)求曲线W 的方程；(2)过点F 作互相垂直的直线l 1，l 2分别交曲线W 于A 、B 和C 、D .求四边形ACBD 面积的最小值．[解析](1)过点P 作PN 垂直于直线y ＝－32于点N ，依题意得|PF |＝|PN |，所以动点P 的轨迹是以F (0，32)为焦点，直线y ＝－32为准线的抛物线，即曲线W 的方程是x 2＝6y .(2)如图所示，依题意，直线l 1，l 2的斜率存在且不为0，设直线l 1的方程为y ＝kx ＋32，由l 1⊥l 2，得l 2的方程为 y ＝－1k x ＋32.将y ＝kx ＋32代入x 2＝6y ，化简得，x 2－6kx －9＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6k ，x 1x 2＝－9， 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝6(k 2＋1)．同理，可得|CD |＝6(1k 2＋1)，所以四边形ACBD 的面积S ＝12|AB |·|CD |＝18(k 2＋1)(1k 2＋1)＝18(k 2＋1k 2＋2)≥72.当且仅当k 2＝1k 2，即k ＝±1时，S min ＝72，故四边形ACBD 面积的最小值是72.4．(2013·某某模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设点F (12，0)，直线l ：x ＝－12，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹C 的方程；(2)设圆M 过A (1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长|TS |是否为定值？请说明理由．[解析](1)依题意知，点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP，∴RQ是线段FP的垂直平分线．∵|PQ|是点Q到直线l的距离．点Q在线段FP的垂直平分线上，∴|PQ|＝|QF|.故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y2＝2x(x>0)．(2)弦长|TS|为定值．理由如下：取曲线C上点M(x0，y0)，M到y轴的距离为d＝|x0|＝x0，圆的半径r＝|MA|＝(x0－1)2＋y20，则|TS|＝2r2－d2＝2y20－2x0＋1，，因为点M在曲线C上，所以x0＝y202所以|TS|＝2y20－y20＋1＝2，是定值．。
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 10-4事件与概率课后强化作业 新人教B版
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 10-4事件与概率课后强化作业 新人教B 版基础巩固强化一、选择题1．袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个 ①恰有1个白球和全是白球； ②至少有1个白球和全是黑球； ③至少有1个白球和至少有2个白球； ④至少有1个白球和至少有1个黑球． 在上述事件中，是对立事件的为( )A ．①B ．②C ．③D ．④ [答案]B[解析]∵“至少一个白球”和“全是黑球”不可能同时发生，且必有一个发生． 2．(2013·新课标全国Ⅰ)从1、2、3、4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )A.12B.13C.14D.16 [答案]B[解析]从1、2、3、4中任取两个不同的数共有6种不同结果，满足差的绝对值为2的结果有(1,3)和(2,4)两种，所以概率为P ＝26＝13，选B.3．(文)甲、乙两人随意入住两个房间，则甲乙两人恰住在同一间房的概率为( ) A.13 B.12 C.14 D ．1 [答案]B[解析]将两个房间编号为(1,2)，则所有可能入住方法有：甲住1号房，乙住2号房，甲住2号房，乙住1号房，甲、乙都住1号房，甲、乙都住2号房，共4种等可能的结果，其中甲、乙恰住在同一房间的情形有2种，∴所求概率P ＝12.(理)一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为( )A.9100B.25C.3100D.425[答案]D[解析]0～9这十个数字键，任意敲击两次共有10×10＝100种不同结果，在0～9中是3的倍数的数字有0,3,6,9，敲击两次都是3的倍数共有4×4＝16种不同结果，∴P ＝16100＝425.4．(2013·东北三省四市教研协作体诊断)下图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在[30,35)、[35,40)、[40,45]的上网人数呈现递减的等差数列分布，则年龄在[35,40)的网民出现的频率为( )A ．0.04B ．0.06C ．0.2D ．0.3 [答案]C[解析]因为分布在[20,25)的频率为0.01×5＝0.05，分布在[25,30)的频率为0.07×5＝0.35，所以分布在[30,35)、[35,40)、[40,45]的频率之和为1－0.05－0.35＝0.6，又因为年龄在[30,35)、[35,40)、[40,45]的上网人数呈现递减的等差数列分布，由等差数列的性质可得年龄在[35,40)的网民出现的频率为0.2.5．(文)(2013·某某)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )A.23B.25C.35D.910 [答案]D[解析]从五位大学生中选三人共有10种等可能选法，事件“甲或乙被录用”的对立事件为“甲、乙都未被录用”即“丙、丁、戊被录用”，只有一种等可能情况，所以P ＝1－110＝910. (理)(2013·冀州中学检测)甲和乙等五名志愿者被随机地分到A 、B 、C 、D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲和乙不在同一岗位服务的概率为( )A.110B.910C.14D.48625 [答案]B[解析]当甲乙二人在同一岗位时，采用捆绑法将甲乙看作一人，此时的分配方案有A 44种，五人任意分配到四个岗位有C 25A 44种，所以甲乙在一起的概率为A 44C 25A 44＝110，甲乙不在一起的概率为1－110＝910.6．已知α、β、γ是不重合平面，a 、b 是不重合的直线，下列说法正确的是( ) A ．“若a ∥b ，a ⊥α，则b ⊥α”是随机事件 B ．“若a ∥b ，a ⊂α，则b ∥α”是必然事件 C ．“若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β”是必然事件 D ．“若a ⊥α，a ∩b ＝P ，则b ⊥α”是不可能事件 [答案]D [解析]⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α，故A 错；⎭⎬⎫a ∥b a ⊂α⇒b ∥α或b ⊂α，故B 错；当α⊥γ，β⊥γ时，α与β可能平行，也可能相交(包括垂直)，故C 错；如果两条直线垂直于同一个平面，则此二直线必平行，故D 为真命题．二、填空题7．(2013·某某六校联考)从5名学生中选2名学生参加周六、周日社会实践活动，学生甲被选中而学生乙未被选中的概率是________．[答案]310[解析](文)设5名学生分别为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5(其中甲是a 1，乙是a 2)，从5名学生中选2名的选法有(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 1，a 5)，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 2，a 5)，(a 3，a 4)，(a 3，a 5)，(a 4，a 5)，共10种，学生甲被选中而学生乙未被选中的选法有(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 1，a 5)，共3种，故所求概率为310.(理)从5名学生中任选2名有C 25＝10种不同选法，其中学生甲被选中，而乙未被选中的方法数有C 13＝3种，∴所求概率P ＝310.8．(2013·某某统考)将一颗骰子投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点的概率为________．[答案]712[解析]圆心(2,0)到直线ax －by ＝0的距离d ＝|2a |a 2＋b 2，当d <2时，直线与圆相交，解|2a |a 2＋b 2≤2得b ≥a ，满足题意的b ≥a 共有21种情况，又易知将一颗骰子投掷两次分别得到点数a 、b 的基本情况共有36种，因此直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为P ＝2136＝712.9．(2013·某某模拟)已知盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出2粒都是黑子的概率是17，从中取出2粒都是白子的概率是1235，现从中任意取出2粒，恰好是同一色的概率是________．[答案]1735[解析]从中取出2粒棋子，“都是黑棋子”记为事件A ，“都是白棋子”记为事件B ，则A 、B 为互斥事件．所求概率为P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735.三、解答题10．(2013·某某一中一模)对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：(1)求出表中M ，p 及图中a 的值；(2)若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；(3)在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率．[解析](1)由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，10M ＝0.25，所以M ＝40.因为频数之和为40，所以10＋24＋m ＋2＝40，m ＝4. p ＝m M ＝440＝0.10. 因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商， 所以a ＝2440×5＝0.12.(2)因为该校高三学生有240人，分组[10,15)内的频率是0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为240×0.25＝60人． (3)(文)所取样本中参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m ＋2＝4＋2＝6人， 设在区间[20,25)内的人为a 1，a 2，a 3，a 4，在区间[25,30)内的人为b 1，b 2.则任选2人有(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，a 4)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 4，b 1)，(a 4，b 2)，(b 1，b 2)共15种情况，而两人都在[25,30)内只能是(b 1，b 2)一种，所以所求概率为P ＝1－115＝1415.(理)所取样本中参加社区服务次数不少于20次的共有6人，其中次数在区间[25,30)内的有2人，从中任选2人，共有C 26＝15种不同选法，其中至多有一人次数落在区间[25,30)内的有15－1＝14种，∴所求概率P ＝1415.能力拓展提升一、选择题11．(文)(2013·黄冈一模)设集合A ＝B ＝{1,2,3,4,5,6}，分别从集合A 和B 中随机取数x 和y ，确定平面上的一个点P (x ，y )，我们记“点P (x ，y )满足条件x 2＋y 2≤16”为事件C ，则C 的概率为( )A.29B.112C.16D.12 [答案]A[解析]分别从集合A 和B 中随机取数x 和y ，得到(x ，y )的可能结果有36种情况，满足x 2＋y 2≤16的(x ，y )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)这8种情况，故所求概率为P (C )＝836＝29，故选A.(理)(2013·某某一模)将一枚骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a ，第二次出现的点数记为b ，设两条直线l 1：ax ＋by ＝2，l 2：x ＋2y ＝2平行的概率为P 1，相交的概率为P 2，则点P (36P 1,36P 2)与圆C ：x 2＋y 2＝2013的位置关系是( )A ．点P 在圆C 上B ．点P 在圆C 外 C ．点P 在圆C 内D ．不能确定 [答案]C[解析]易知当且仅当a b ≠12时两条直线相交，而a b ＝12的情况有三种：a ＝1，b ＝2，此时两直线重合；a ＝2，b ＝4，此时两直线平行；a ＝3，b ＝6，此时两直线平行，而投掷两次的所有情况有36种，所以两条直线平行的概率P 1＝236＝118.两条直线相交的概率P 2＝1－336＝1112，∴点P (2,33)，点P 与圆心(0,0)的距离为d ＝(2－0)2＋(33－0)2＝1093<2013，故点P在圆C 内．12．(文)(2013·某某名校检测)一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A.4π81B.81－4π81 C.127D.827 [答案]C[解析]由已知条件可知，蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P ＝1333＝127.(理)(2013·某某师大附中月考)如果一个n 位十进制数a 1a 2a 3…a n 的数位上的数字满足“小大小大…小大”的顺序，且满足：a 1<a 2，a 2>a 3，a 3<a 4，a 4>a 5，a 5<a 6，…，我们称这种数为“波浪数”；从1,2,3,4,5组成的无重复的五位数中任取一个五位数abcde ，这个数为“波浪数”的概率是( )A.215B.415C.25D.815 [答案]A[解析]显然b ，d 中必有一个数字为5，由对称性，不妨先设b ＝5，则d ≥3. 若d ＝4，则a ，c ，e 是1,2,3的任意排列都满足，有A 33＝6种； 若d ＝3，则c ，e 是1,2的任意排列，且a ＝4，有2种；则满足条件的概率是：2(A 33＋A 22)A 55＝215. 二、填空题13．(2013·潍坊模拟)连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，记“两次向上的数字之和等于m ”为事件A ，则P (A )最大时，m ＝________.[答案]7[解析]连续抛掷一枚骰子2次，共有36个基本事件，两次向上的点数之和及次数如表：14．(文)(2013·某某三校调研)一个袋子中装有六个大小形状完全相同的小球，其中一个编号为1，两个编号为2，三个编号为3.现从中任取一球，记下编号后放回，再任取一球，则两次取出的球的编号之和等于4的概率是________．[答案]518[解析]列举可知，共有36种情况，和为4的情况有10种，所以所求概率P ＝1036＝518.(理)(2013·某某)现在某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m 、n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．[答案]2063[解析]取到的两个数都是奇数的情况有4×5＝20种，任意选取两个数的所有的情况有7×9＝63种，故P ＝2063.三、解答题15．(文)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ∈{－1,0,1,2}，y ∈{－1,0,1}，求向量a ∥b 的概率； (2)若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率．[解析](1)设“a ∥b ”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y .基本事件有：(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)．共包含12个基本事件；其中A ＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件． 故P (A )＝212＝16.(2)设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得 a ·b <0，即2x ＋y <0，且x ≠2y .Ω＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤2－1≤y ≤1，B ＝(x ，y )⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤2，－1≤y ≤1，2x ＋y <0，x ≠2y .，作出可行域如图，可得P (B )＝μB μΩ＝12×(12＋32)×23×2＝13.(理)已知直线l 1：x －2y －1＝0，直线l 2：ax －by ＋1＝0，其中a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}． (1)求直线l 1∥l 2的概率；(2)求直线l 1与l 2的交点位于第一象限的概率．[解析](1)由题知，直线l 1的斜率为k 1＝12，直线l 2的概率为k 2＝ab .记事件A 为“直线l 1∩l 2＝∅”．a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}的基本事件空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，…，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(2,6)，…，(5,6)，(6,6)}，其中共有36个基本事件．若l 1∥l 2，即k 1＝k 2，则有b ＝2a .满足条件的实数对(a ，b )有(1,2)、(2,4)、(3,6)，共3种情形． 所以P (A )＝336＝112.即直线l 1∥l 2的概率为112.(2)设事件B 为“直线l 1与l 2的交点位于第一象限”，由于直线l 1与l 2有交点，所以b ≠2a .由⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＋1＝0，x －2y －1＝0，解得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b ＋2b －2a ，y ＝a ＋1b －2a .因为直线l 1与l 2的交点位于第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＋2b －2a >0，a ＋1b －2a >0.解得b >2a .∵a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}， ∴基本事件总数共有36种．满足b >2a 的有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，共6种，∴P ＝636＝16，即直线l 1与l 2交点在第一象限的概率为16.16．(文)(2013·某某市调研)某学校为了增强学生对数学史的了解，提高学生学习数学的积极性，举行了一次数学史知识竞赛，其中一道题是连线题，要求将4名数学家与他们所著的4本著作一对一连线，规定：每连对一条得5分，连错一条得－2分．其参赛者随机用4条线把数学家与著作一对一全部连接起来．(1)求该参赛者恰好连对一条的概率； (2)求该参赛者得分不低于6分的概率．[解析]记4名数学家分别为a ，b ，c ，d ，对应的4本著作分别为A ，B ，C ，D ，根据题意，不同的连线方法共对应下列24种情况：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d A B C D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d A B D C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d A C B D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d A C D B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d A D B C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d A D C B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d B A C D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d B A D C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d B C A D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d B C D A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d B D A C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d B D C A⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d C A B D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d C A D B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d C B A D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d C B D A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d C D A B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d C D B A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d D A B C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d D A C B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d D B A C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d D B C A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d D C A B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d D C B A 其中恰好连对一条的情形有如下8种：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d A C D B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d A D B C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d B C A D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d B D C A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d C A B D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d C B D A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d D A C B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d D B A C 恰好连对两条的情形有如下6种：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d A B D C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d A C B D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d A D C B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d B A C D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d C B A D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d D B C A 全部连对的情形只有1种：⎝⎛⎭⎪⎫a b c d A B C D(1)恰好连对1条的概率为824＝13.(2)得分不低于6分即全部连对或恰好连对2条的概率为1＋624＝724.(理)(2013·某某理，17)某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．1 7 92 0 1 53 0(1)根据茎叶图计算样本均值；(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．[解析](1)样本均值为x －＝17＋19＋20＋21＋25＋306＝22(2)由(1)知样本中优秀工人有2名，占的比例为26＝13，故推断该车间12名工人中有12×13＝4名优秀工人．(3)设事件A ：从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人，则P (A )＝C 14C 18C 212＝1633.考纲要求1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．2．了解两个互斥事件的概率加法公式． 补充材料 1．事件(1)必然事件：在一定的条件S 下一定会发生的事件，叫做必然事件． (2)不可能事件：在一定的条件S 下一定不会发生的事件叫做不可能事件．(3)确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件，简称确定事件． (4)随机事件：在条件S 下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S 的随机事件，简称随机事件．确定事件和随机事件统称为事件．(5)基本事件：在试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件(除不可能事件外)可以用它们来表示，这样的事件称为基本事件．2．模型化方法事件可以用集合来表示，基本事件相当于集合中的元素，所有基本事件构成的集合相当于全集，事件相当于全集的子集．几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合交集为空集；事件A 的对立事件B 所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集．3．模拟思想与统计思想(1)概率的统计定义告诉我们，求一个事件的概率的基本方法是通过大量重复试验的频率值来估计概率值，而大量重复试验可用随机模拟方法来实现．(2)小概率事件在一次试验中，几乎不可能发生．在一次试验中，概率大的事件比概率小的事件发生的可能性更大．4．复习概率这一章，一定要把弄清随机试验的基本事件，事件及其关系作为头等任务抓好落实．备选习题1．(2013·某某中学模拟)如图，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数y ＝x 2图象下方的点构成的区域．在D 中随机投一点，则该点落入E 中的概率为( )A.15B.14C.13D.12 [答案]C[解析]⎠⎛2－2x 2d x ＝13x 3|2－2＝163，所以P ＝16316＝13，选C.2．在区间[0,1]上任意取两个实数a ，b ，则函数f (x )＝13x 3＋ax －b 在区间[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为( )A.79B.59C.49D.29 [答案]A[解析]由已知a 、b 在区间[0,1]上，所以f ′(x )＝x 2＋a ≥0，函数f (x )在[－1,1]内是增函数， ∵f (x )在[－1,1]上有且仅有一个零点，∴⎩⎨⎧f (－1)＝－13－a －b ≤0，f (1)＝13＋a －b ≥0，即⎩⎨⎧a ＋b ＋13≥0，a －b ＋13≥0.在坐标平面aOb 中，画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，与不等式组⎩⎨⎧a ＋b ＋13≥0，a －b ＋13≥0，表示的平面区域，易知，这两个不等式组表示的平面区域的公共区域的面积等于12－12×(1－13)×23＝79，而不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，表示的平面区域的面积为1，因此所求的概率等于79，选A. 3．(2013·某某)集合A ＝{2,3}，B ＝{1,2,3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )A.23B.12C.13D.16 [答案]C[解析]从A ，B 中各任意取一个数记为(x ，y )，则有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6个基本事件．而这两数之和为4的有(2,2)，(3,1)，共2个基本事件．故所求的概率为26＝13. 4．把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2，只有一个解的概率为________．[答案]1112[解析]点(a ，b )取值的集合共有6×6＝36(个)元素．方程组只有一个解等价于直线ax ＋by ＝3与x ＋2y ＝2相交，即a 1≠b2，即b ≠2a ，而满足b ＝2a 的点只有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3个，故方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝3x ＋2y ＝2只有一个解的概率为3336＝1112.5．(2013·某某三中月考)已知A 、B 、C 三个箱子中各装有2个完全相同的球，每个箱子里的球，有一个球标着1，另一个球标着2.现从A 、B 、C 三个箱子中各摸出1个球．(1)若用数组(x ，y ，z )中的x 、y 、z 分别表示从A 、B 、C 三个箱子中摸出的球的，请写出数组(x ，y ，z )的所有情形，并回答一共有多少种；(2)如果请您猜测摸出的这三个球的之和，猜中有奖．那么猜什么数获奖的可能性最大？请说明理由．[解析](1)数组(x ，y ，z )的所有情形为：(1,1,1)，(1,1,2)，(1,2,1)，(1,2,2)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,2,1)，(2,2,2)，共8种．答：一共有8种．(2)记“所摸出的三个球之和为i ”为事件A i (i ＝3,4,5,6)，易知，事件A 3包含有1个基本事件，事件A 4包含有3个基本事件，事件A 5包含有3个基本事件，事件A 6包含有1个基本事件，所以，P (A 3)＝18，P (A 4)＝38，P (A 5)＝38，P (A 6)＝18.故所摸出的两球之和为4、为5的概率相等且最大． 答：猜4或5获奖的可能性最大．。
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 9-5线面、面面垂直的判定与性质课后强化作业 新人教B版
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 9-5线面、面面垂直的判定与性质课后强化作业 新人教B 版基础巩固强化一、选择题1．(文)(2013·某某模拟)已知直线m 、n 和平面α、β，若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂α，要使n ⊥β，则应增加的条件是( )A ．m ∥nB ．n ⊥mC ．n ∥αD ．n ⊥α [答案]B[解析]两个平面互相垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面，故选B.(理)(2014·某某模拟)已知两条不同的直线a ，b 和两个不同的平面α，β，且a ⊥α，b ⊥β，那么α⊥β是a ⊥b 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案]C⎭⎬⎫⎭⎪⎬⎪⎫[解析] α⊥β a ⊥α⇒a ∥β或a ⊂βb ⊥β⇒a ⊥b ；⎭⎬⎫⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ⊥b ⇒b ∥α或b ⊂α b ⊥β⇒α⊥β.2．(文)已知一个平面α，那么对于空间内的任意一条直线a ，在平面α内一定存在一条直线b ，使得a 与b ( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．垂直 [答案]D[解析]当a 与α相交时，平面内不存在直线与a 平行；当a ∥α时，平面内不存在直线与a 相交；当a ⊂平面α时，平面α内不存在直线与a 异面；无论a 在何位置，a 在平面α内总有射影a ′，当b ⊂α，b ⊥a ′时，有b ⊥a ，故选D.(理)设两个平面α，β，直线l ，下列三个条件：①l ⊥α；②l ∥β；③α⊥β.以其中的两个作为前提，另一个作为结论，构成的三个命题中，正确命题的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0 [答案]C[解析] ⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αl ∥β⇒α⊥β； ⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl ⊥α⇒/ l ∥β，此时可能l ⊂β，⎭⎪⎬⎪⎫l ∥βα⊥β⇒/ l ⊥α，此时l 与α还可能平行、斜交，故选C.3．(文)若l 为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题： ①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β； ③l ∥α，l ⊥β⇒α⊥β. 其中的真命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 [答案]C[解析]①中α与β可能平行，故①错，②③正确．(理)设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中，正确的命题是( )A ．m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ⇒α⊥βB ．α∥β，m ⊥α，n ∥β⇒m ⊥nC ．α⊥β，m ⊥α，n ∥β⇒m ⊥nD ．α⊥β，α∩β＝m ，n ⊥m ⇒n ⊥β [答案]B[解析]如下图(1)满足m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ，但β∥α，故A 错；⎭⎬⎫⎭⎪⎬⎪⎫α∥βm ⊥α⇒m ⊥β n ∥β⇒m ⊥n ，故B 对；如图(2)满足α⊥β，m⊥α，n∥β，但m∥n，故C错；如图(3)α⊥β，α∩β＝m，AB⊥m于B，BC⊥m于B，直线AC为直线n，显然满足D的条件，但不能得出n⊥β.故D错．∴选B.4．下面是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是()A.12 B ．3 C.32 D ．2 [答案]A[解析]由三视图知，该几何体是一个横放的四棱锥P －ABCD ，其底面ABCD 为直角梯形，AB ＝1，CD ＝2，高BC ＝1，棱锥的高PC ＝1，∴体积V ＝13×[12×(1＋2)×1]×1＝12.5．(文)(2012·某某理，6)设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案]A[解析]①∵α∩β＝m ，b ⊂β，α⊥β，b ⊥m ，∴b ⊥α，又∵a ⊂α，∴b ⊥a .②当a ⊂α，a ∥m 时，∵b ⊥m ，∴b ⊥a ，而此时平面α与平面β不一定垂直，故选A.(理)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，A 1D 与BC 1所成的角为π2，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )A.63 B.12 C.155 D.32[答案]B[解析]连接B 1C ，∴B 1C ∥A 1D ，∵A 1D 与BC 1所成的角为π2，∴B 1C ⊥BC 1，∴长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，取B 1D 1的中点M ，连接C 1M ，BM ，∴C 1M ⊥平面BB 1D 1D ，∴∠C 1BM 为BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角，∵AB ＝BC ＝2，∴C 1M ＝2，BC 1＝22， ∴sin ∠C 1BM ＝C 1M C 1B ＝12，故选B.6．(文)(2013·某某调研)如图，在立体图形D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE[答案]C[解析]要判断两个平面的垂直关系，就需找一个平面内的一条直线与另一个平面垂直．因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.所以选C.(理)正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为()A.33B．1 C. 2 D. 3[答案]D[解析]依题可知∠B1AB＝60°，平面A1B1C1D1∥平面ABCD，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴B1B即为所求距离，在△ABB1中得，B1B＝ 3.故选D.二、填空题7．设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③z是直线，x、y是平面；④x、y、z 均为平面，其中使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”为真命题的序号是________．[答案]②③[解析]当x、y为直线，z为平面时，有x⊥z，y⊥z⇒x∥y；当x、y为平面，z为直线时，有x⊥z，y⊥z⇒x∥y，故②③正确．[点评] 由正方体交于同一个顶点的三条棱和三个面知①④均使命题为假命题． 8．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题： ①若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β； ②若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β； ③若m ⊥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β； ④若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥n .其中正确的命题是(填上所有正确命题的序号)________． [答案]①④⎭⎬⎫⎭⎪⎬⎪⎫[解析] ①m ⊥α m ⊥n⇒n ⊂α或n ∥αn ⊥β⇒α⊥β；②如图，m 为B 1C 1，n 为A 1B 1，α为平面ADD 1A 1，β为平面ABCD ，满足②的条件，故②错；③在上图中，将A 1B 1、B 1C 1改为m 、n ，满足m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，故③错；⎭⎬⎫⎭⎪⎬⎪⎫④n ⊥β α⊥β⇒n ∥α或n ⊂α m ⊥α⇒m ⊥n .9．(2012·某某联考)已知四棱锥P －ABCD 的顶点都在球O 的球面上，底面ABCD 是矩形，平面P AD ⊥底面ABCD ，△P AD 为正三角形，AB ＝2AD ＝4，则球O 的表面积为________．[答案]643π[解析]过P 作PE ∥AB 交球面于E ，连结BE 、CE ，则BE ∥AP ，CE ∥DP ，∴三棱柱APD －BEC 为正三棱柱，∵△P AD 为正三角形，∴△P AD 外接圆的半径为233，∴球O 的半径R ＝22＋(233)2＝43，∴球O 的表面积S ＝4πR 2＝643π.三、解答题 10.底面是平行四边形，侧棱垂直于底面的棱柱称为直平行六面体．如图，在直平行六面体AC 1中，四边形ABCD 是菱形，∠DAB ＝60°，AC ∩BD ＝O ，AB ＝AA 1.(1)求证：C 1O ∥平面AB 1D 1； (2)求证：平面AB 1D 1⊥平面ACC 1A 1. [证明](1)连接A 1C 1交B 1D 1于O 1，连接AO 1.在平行四边形AA1C1C中，C1O1∥AO，C1O1＝AO，∴四边形AOC1O1为平行四边形，∴C1O∥AO1.∵C1O⊄平面AB1D1，AO1⊂平面AB1D1，∴C1O∥平面AB1D1.(2)在直平行六面体AC1中，A1A⊥平面A1B1C1D1，∴A1A⊥B1D1.∵四边形A1B1C1D1为菱形，∴B1D1⊥A1C1.∵A1C1∩AA1＝A1，A1C1⊂平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，∴B1D1⊥平面ACC1A1.∵B1D1⊂平面AB1D1，∴平面AB1D1⊥平面ACC1A1.能力拓展提升一、解答题11．(文)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱BB1，DD1和CC1的中点．(1)求证：C1F∥平面DEG；(2)求三棱锥D1－A1AE的体积；(3)试在棱CD上求一点M，使D1M⊥平面DEG.[解析](1)证明：∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，F ，G 分别为棱DD 1和CC 1的中点， ∴DF ∥GC 1，且DF ＝GC 1.∴四边形DGC 1F 是平行四边形．∴C 1F ∥DG . 又C 1F ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ， ∴C 1F ∥平面DEG .(2)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有A 1D 1⊥平面AA 1E . ∴A 1D 1是三棱锥D 1－A 1AE 的高，A 1D 1＝1. ∴VD 1－A 1AE ＝13·S △A 1AE ·D 1A 1＝13×12×1×1×1＝16. (3)当M 为棱CD 的中点时，有D 1M ⊥平面DEG . 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有BC ⊥平面CDD 1C 1， 又∵D 1M ⊂平面CDD 1C 1，BC ∥EG ，∴EG ⊥D 1M . 又∵tan ∠GDC ＝tan ∠MD 1D ＝12，∴∠GDC ＝∠MD 1D ，∴∠MD 1D ＋∠D 1DG ＝∠GDC ＋∠D 1DG ＝90°，∴D 1M ⊥DG . 又DG ∩EG ＝G ，∴D 1M ⊥平面DEG . (理)如图，已知在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥DC，AB∥DC，DC＝DD1＝2AD＝2AB＝2.(1)求证：DB⊥平面B1BCC1；(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使得D1E∥平面A1BD，并说明理由．[解析](1)证明：∵AB∥DC，AD⊥DC，∴AB⊥AD，在Rt△ABD中，AB＝AD＝1，∴BD ＝2，易求BC＝2，又∵CD＝2，∴BD⊥BC.又BD⊥BB1，B1B∩BC＝B，∴BD⊥平面B1BCC1.(2)DC的中点即为E点．∵DE∥AB，DE＝AB，∴四边形ABED是平行四边形．∴AD綊BE.又AD綊A1D1，∴BE綊A1D1，∴四边形A1D1EB是平行四边形．∴D1E∥A1B.∵D 1E ⊄平面A 1BD ，A 1B ⊂平面A 1BD ，∴D 1E ∥平面A 1BD .12．(文)(2013·某某第二次质检)如图，在几何体ABCDE 中，AB ＝AD ＝2，AB ⊥AD ，AE ⊥平面ABD .M 为线段BD 的中点，MC ∥AE ，AE ＝MC ＝ 2.(1)求证：平面BCD ⊥平面CDE ；(2)若N 为线段DE 的中点，求证：平面AMN ∥平面BEC .[解析](1)∵AB ＝AD ＝2，AB ⊥AD ，M 为线段BD 的中点，∴AM ＝12BD ＝2，AM ⊥BD .∵MC ＝2，∴MC ＝12BD ，∴BC ⊥CD .∵AE ⊥平面ABD ，MC ∥AE ，∴MC ⊥平面ABD . ∴平面ABD ⊥平面CBD ，∴AM ⊥平面CBD . 又MC 綊AE ，∴四边形AMCE 为平行四边形， ∴EC ∥AM ，∴EC ⊥平面CBD ，∴BC ⊥EC ， ∵EC ∩CD ＝C ，∴BC ⊥平面CDE ， ∴平面BCD ⊥平面CDE .(2)∵M 为BD 中点，N 为ED 中点， ∴MN ∥BE 且BE ∩EC ＝E ， 由(1)知EC ∥AM 且AM ∩MN ＝M ， ∴平面AMN ∥平面BEC .(理)如图，在四面体P ABC 中，PC ⊥AB 、P A ⊥BC ，点D 、E 、F 、G 分别是棱AP 、AC 、BC 、PB 的中点．(1)求证：DE∥平面BCP；(2)求证：四边形DEFG为矩形；(3)是否存在点Q，到四面体P ABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．[解析](1)因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DE∥PC，又因为DE⊄平面BCP，PC⊂平面BCP，所以DE∥平面BCP.(2)因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF，所以四边形DEFG为平行四边形，又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG，所以四边形DEFG为矩形．(3)存在点Q满足条件，理由如下：连接DF，EG，设Q为EG的中点，由(2)知，DF∩EG＝Q，且QD＝QE＝QF＝QG＝12EG，分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN.与(2)同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QM＝QN＝12 EG，所以Q为满足条件的点．13．(2013·某某期末)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2，E是棱CD上的一点．(1)求证：AD1⊥平面A1B1D；(2)求证：B1E⊥AD1；(3)若E是棱CD的中点，在棱AA1上是否存在点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求出线段AP的长；若不存在，请说明理由．[解析](1)证明：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，因为A1B1⊥平面A1D1DA，所以A1B1⊥AD1.在矩形A1D1DA中，因为AA1＝AD＝2，所以AD1⊥A1D.所以AD1⊥平面A1B1D.(2)证明：因为E∈CD，所以B1E⊂平面A1B1CD，由(1)可知，AD1⊥平面A1B1CD，所以B1E⊥AD1.(3)解：当点P是棱AA1的中点时，有DP∥平面B1AE.理由如下：在AB1上取中点M，连接PM，ME.因为P是棱AA1的中点，M是AB1的中点，所以PM∥A1B1，且PM＝12A1B1.又DE∥A1B1，且DE＝12A1B1，所以PM∥DE，且PM＝DE，所以四边形PMED是平行四边形，所以DP∥ME.又DP⊄平面B1AE，ME⊂平面B1AE，所以DP∥平面B1AE.此时，AP＝12A1A＝1.14．(文)(2013·某某)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.(1)证明：BE ⊥平面BB 1C 1C ； (2)求点B 1 到平面EA 1C 1 的距离．[解析](1)证明：如图，过点B 作CD 的垂线交CD 于点F ，则BF ＝AD ＝2，EF ＝AB －DE ＝1，FC ＝2.在Rt △BFE 中，BE ＝ 3. 在Rt △CFB 中，BC ＝ 6.在△BEC 中，因为BE 2＋BC 2＝9＝EC 2，故BE ⊥BC . 由BB 1⊥平面ABCD 得BE ⊥BB 1， 所以BE ⊥平面BB 1C 1C .(2)解：三棱锥E －A 1B 1C 1的体积V ＝13AA 1·S △A 1B 1C 1＝ 2.在Rt △A 1D 1C 1中，A 1C 1＝A 1D 21＋D 1C 21＝3 2.同理，EC 1＝EC 2＋CC 21＝3 2.故S△A1C1E＝3 5.设点B1到平面EA1C1的距离为d，则三棱锥B1－A1C1E的体积V＝13·d·S△A1C1E＝5d，从而5d＝2，d＝105.即点B1到平面EA1C1的距离为105.(理)(2013·某某大学附中月考)如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°.点E、F 分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC＝O.沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置．使平面PEF⊥平面ABFED.(1)求证：BD⊥平面POA；(2)当PB取得最小值时，求四棱锥P－BDEF的体积．[解析](1)证明：∵菱形ABCD的对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴BD⊥AO，∵EF⊥AC，∴CO⊥EF，∴折起后PO⊥EF，∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED＝EF，且PO⊂平面PEF，∴PO⊥平面ABFED，∵BD⊂平面ABFED，∴PO⊥BD.∵AO∩PO＝O，∴BD⊥平面POA.(2)设AC∩BD＝H，∵∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形，∴BH＝2，HC＝23，设PO ＝OC＝x，则OH＝23－x，OB＝BH2＋OH2＝x2－43x＋16，∴PB2＝PO2＋OB2＝x2＋x2－43x＋16＝2(x－3)2＋10，∵0<x≤23，∴当x＝3时，PB2取到最小值10，∴PB min ＝10，此时CO CH ＝12.∴S 梯形BFED ＝(1－14)S △BCD ＝34×34×42＝33，∴V 四棱锥P －BFED ＝13S 梯形BFED ·PO ＝13×33×3＝3.考纲要求以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理．补充材料1．与垂直有关的综合问题(1)对于三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化． (2)对于垂直与平行结合的问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用． (3)对于垂直与体积结合的问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积．2．特殊点在平面上的射影(1)△ABC 所在平面外一点P 在平面ABC 内射影为O ， ①若P A ＝PB ＝PC ，则O 为△ABC 外心；②若P 到△ABC 三边距离相等，则O 为△ABC 内心或旁心； ③若P A 、PB 、PC 两两垂直，则O 为△ABC 的垂心． (2)∠ACB 所在平面外一点P 在平面ACB 内射影为O ①若∠PCA ＝∠PCB ，则O 在∠BCA 的平分线上；②若P 到∠BCA 两边距离相等，则O 在∠BCA 的平分线上． 3．线面角与二面角的找法(1)求平面α的斜线l 与平面α所成的角，可从斜线上找(或取)一点P ，过该点作平面α的垂线，连结斜足A 和垂足B ，则∠P AB 即所找的线面角，找垂足的位置时，常根据面面垂直的性质定理找．(2)二面角的平面角的找法①在二面角的棱上取一点，过该点分别在二面角的两个半平面内作棱的垂线，两射线的夹角，即二面角的平面角．②作棱的垂面，垂面与两个半平面的交线夹角，即二面角的平面角．③在二面角的一个半平面内取一点A ，过A 向另一个半平面所在平面作垂线，垂足为B ，再由B 向棱作垂线，垂足为C ，则∠ACB 就是二面角的平面角或其补角．1.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC[答案]D[解析]在平面图形中CD⊥BD，折起后仍有CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB.又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC.所以平面ABC⊥平面ADC.2．(2013·某某师大附中四模)设m、n是空间两条直线，α、β是空间两个平面，则下列选项中不正确．．．的是()A．当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件B．当m⊂α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件C．当m⊂α时，“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件D．当m⊂α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件[答案]C[解析]C中，当n∥α时，直线m，n的位置关系可能平行，可能异面．若m∥n，则n∥α或者n⊂α，所以n∥α是m∥n的既不充分也不必要条件，所以选C.3．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面结论中不成立．．．的是()①BC∥平面PDF；②DF⊥平面P AE；③平面PDF⊥平面ABC；④平面P AE⊥平面ABC；⑤平面PDF⊥平面P AE.[解析]∵D、F分别为AB、CA中点，∴DF∥BC. ∴BC∥平面PDF，故①正确．又∵P－ABC为正四面体，∴P在底面ABC内的射影O在AE上．∴PO⊥平面ABC.∴PO⊥DF.又∵E为BC中点，∴AE⊥BC，∴AE⊥DF.又∵PO∩AE＝O，∴DF⊥平面P AE，故②正确．又∵PO⊂平面P AE，PO⊥平面ABC，∴平面P AE⊥平面ABC，故④正确．∵DF⊥平面P AE，DF⊂平面PDF，∴平面PDF⊥平面P AE，∴⑤正确．∴不成立的是③.4.如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，EC＝CA＝2BD，M是EA 的中点．求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA.[证明](1)如图所示，取EC中点F，连接DF.∵EC⊥平面ABC，BD∥EC，∴BD⊥平面ABC，∴BD⊥AB，∵BD∥EC，BD＝12EC＝FC，∴EC⊥BC.∴四边形FCBD是矩形，∴DF⊥EC.又BA＝BC＝DF，∴Rt△DEF Rt△ADB，∴DE＝DA.(2)如图所示，取AC中点N，连接MN、NB，∵M是EA的中点，∴MN綊12EC.由BD綊12EC，且BD⊥平面ABC，可得四边形MNBD是矩形，于是DM⊥MN.∵DE＝DA，M是EA的中点，∴DM⊥EA.又EA∩MN＝M，∴DM⊥平面ECA，而DM⊂平面BDM，∴平面ECA⊥平面BDM.5.已知点P是菱形ABCD外一点，∠DAB＝60°，其边长为a，侧面P AD是正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD的中点．(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边中点，能否在棱PC上找一点F，使平面DEF⊥平面ABCD.并证明你的结论．[分析](1)要证AD⊥PB，∵△P AD为正三角形，G为AD中点，∴AD⊥PG，故只需证明AD⊥平面PBG即可．(2)假设存在点F使平面DEF⊥平面ABCD，则平面DEF必过平面ABCD的垂线，由于PG⊥平面ABCD，而PG不可能在平面DEF内，故需过直线DE作平面PBG的平行平面，由此可得点F的位置．[解析](1)证明：连接BG、PG.∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°.∴BG⊥AD.又△P AD为正三角形，且G是AD中点，∴PG⊥AD.∵PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PBG.又PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB.(2)当F是PC中点时，平面DEF⊥平面ABCD.证明如下：取PC的中点F，连接DE、EF、DF.在△PBC中，EF∥PB.在菱形ABCD中，BG∥DE.∴平面DEF∥平面PGB.∵平面P AD⊥平面ABCD，PG⊥AD. ∴PG⊥平面ABCD.又PG⊂平面PGB.∴平面PGB⊥平面ABCD.∴平面DEF⊥平面ABCD.。
走向高考高三数学一轮人教B基础巩固：第章 第节 抛物线
第八章 第六节一、选择题1．(2015·石家庄五校联考)若抛物线y ＝ax 2的准线的方程是y ＝2，则实数a 的值是( ) A.18 B ．－18C ．8D ．－8[答案] B[解析] 由条件知，－14a ＝2，∴a ＝－18.2．(2014·合肥质检)已知点M (1,0)，直线l ：x ＝－1，点B 是l 上的动点，过点B 垂直于y 轴的直线与线段BM 的垂直平分线交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．抛物线B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．直线 [答案] A[解析] P 在BM 的垂直平分线上，故|PB |＝|PM |.又PB ⊥l ，因而点P 到直线l 的距离等于P 到M 的距离，所以点P 的轨迹是抛物线． 3．(文)直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为( )A ．48B ．56C ．64D ．72 [答案] A[解析] 由题意不妨设A 在第一象限，联立y ＝x －3和y 2＝4x 可得A (9,6)，B (1，－2)，而抛物线的准线方程是x ＝－1，所以|AP |＝10，|QB |＝2，|PQ |＝8，故S 梯形APQB ＝12(|AP |＋|QB |)·|PQ |＝48，故选A.(理)(2013·郑州质量预测)过抛物线y 2＝8x 的焦点F 作倾斜角为135°的直线交抛物线于A 、B 两点，则弦AB 的长为( )A ．4B ．8C ．12D ．16 [答案] D[解析] 抛物线y 2＝8x 的焦点F 的坐标为(2,0)，直线AB 的倾斜角为135°，故直线AB 的方程为y ＝－x ＋2，代入抛物线方程y 2＝8x ，得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦AB 的长|AB |＝x 1＋x 2＋4＝12＋4＝16.4．(2014·湖北武汉调研)已知O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4[答案] C[解析] 设P 点坐标为(x 0，y 0)，则由抛物线的焦半径公式得|PF |＝x 0＋2＝42，x 0＝32，代入抛物线的方程，得|y 0|＝26，S △POF ＝12|y 0|·|OF |＝23，选C.5．(文)(2014·辽宁五校联考)已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．2B ．12C.32 D ．52[答案] C[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋1 ＝4，∴x 1＋x 2＝3，∴x 1＋x 22＝32，即AB 中点C 的横坐标是32.(理)(2014·武昌模拟)直线y ＝k (x －2)交抛物线y 2＝8x 于A ，B 两点，若AB 中点的横坐标为3，则弦AB 的长为( )A ．6B ．10C ．215D ．16 [答案] B[解析] 将y ＝k (x －2)代入y 2＝8x 中消去y 得，k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝4k 2＋8k 2＝6，∴k ＝±2，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝5·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5·36－4×4＝10.6．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.115 D ．3716[答案] A[解析] 直线l 2：x ＝－1为抛物线y 2＝4x 的准线，由抛物线的定义知，P 到l 2的距离等于P 到抛物线的焦点F (1,0)的距离，故本题化为在抛物线y 2＝4x 上找一个点P ，使得P 到点F (1,0)和直线l 2的距离之和最小，最小值为F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，即d min ＝|4－0＋6|5＝2，故选A.[点评] 与抛物线有关的最值问题常见题型． (1)点在抛物线外，利用两点间线段最短求最小值．①(2013·甘肃天水调研)已知P 为抛物线y ＝14x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是(2,0)，则|P A |＋|PM |的最小值是________．[答案]5－1[解析] 如图，抛物线y ＝14x 2，即x 2＝4y 的焦点F (0,1)，记点P 在抛物线的准线l ：y ＝－1上的射影为P ′，根据抛物线的定义知，|PP ′|＝|PF |，则|PP ′|＋|P A |＝|PF |＋|P A |≥|AF |＝22＋12＝ 5.所以(|P A |＋|PM |)min＝(|P A |＋|PP ′|－1)min ＝5－1.(2)定点在抛物线内，利用点到直线的垂线段最短求最小值．②(2013·河南洛阳、安阳统考)点P 在抛物线x 2＝4y 的图象上，F 为其焦点，点A (－1,3)，若使|PF |＋|P A |最小，则相应P 的坐标为________．[答案] (－1，14)[解析] 由抛物线定义可知PF 的长等于点P 到抛物线准线的距离，所以过点A 作抛物线准线的垂线，与抛物线的交点(－1，14)即为所求点P 的坐标，此时|PF |＋|P A |最小．③已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又定点A (3,2)，求|P A |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．[分析]抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，求|P A|＋|PF|的问题可转化为|P A|＋d的问题，运用三点共线可使问题得到解决．[解析]将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±6，∵6>2，∴点A在抛物线内部．设抛物线上点P到准线l：x＝－1的距离为d，2由定义，知|P A|＋|PF|＝|P A|＋d，，当P A⊥l时，|P A|＋d最小，最小值为72即|P A|＋|PF|的最小值为7，2此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，即点P的坐标为(2,2)．(3)抛物线上动点到定直线与抛物线准线(或焦点)距离和(或差)的最值转化为点到直线距离最小．④已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是()A. 3 B． 5C．2 D．5－1[答案] D[解析]由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d ＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离，故d ＋|PF |的最小值为|2＋3|22＋(－1)2＝5，所以d ＋|PF |－1的最小值为5－1.(4)利用直角三角形斜边大于直角边求最小值．⑤(2014·陕西质检)已知点M (－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ |－|QF |的最小值是( )A.72 B ．3 C.52 D ．2[答案] C[解析] 如图，|MQ ′|－|Q ′F |＝|MQ ′|－|Q ′A ′|＝|MA ′|＝|NA |＝|NQ |－|AQ |≤|MQ |－|AQ |＝|MQ |－|QF |.(其中l 是抛物线的准线，QA ⊥l ，垂足为A ，Q ′M ⊥l 垂足为A ′，MN ⊥QN )，∵抛物线的准线方程为x ＝－12，∴|QM |－|QF |≥|x Q ＋3|－|x Q ＋12|＝3－12＝52，选C.(5)与其他曲线有关的抛物线最值问题．⑥(2014·忻州联考)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是________．[答案]17－1[解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心为C (0,4)，设点P 到抛物线的准线距离为d ，根据抛物线的定义有d ＝|PF |，∴|PQ |＋d ＝|PQ |＋|PF |≥(|PC |－1)＋|PF |≥|CF |－1＝17－1.(6)与平面向量交汇命题．⑦已知点A (2,0)、B (4,0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 上运动，则AP →·BP →取得最小值时的点P 的坐标是______．[答案] (0,0)[解析] 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 24，y ，则AP →＝⎝⎛⎭⎫－y 24－2，y ，BP →＝⎝⎛⎭⎫－y 24－4，y ，AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫－y 24－2⎝⎛⎭⎫－y 24－4＋y 2＝y 416＋52y 2＋8≥8，当且仅当y ＝0时取等号，此时点P 的坐标为(0,0)．(7)利用三角形两边之和大于第三边．⑧(2013·郑州第一次质量检测)已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( )A.34 B.32 C ．1 D ．2[答案] D[解析] 由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过点A 作AA 1⊥l 交l 于点A 1，过点B 作BB 1⊥l 交l 于点B 1，设弦AB 的中点为M ，过点M 作MM 1⊥l 交l 于点M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.因为|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，当直线AB 过点F 时，等号成立，所以|AA 1|＋|BB 1|＝|AF |＋|BF |≥6,2|MM 1|≥6，|MM 1|≥3，故点M 到x 轴的距离d ≥2，选D.(8)转化为二次函数最值或用基本不等式求最值． 二、填空题7．若点(3,1)是抛物线y 2＝2px 的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝________.[答案] 2[解析] 设弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减得，y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝2，∵y 1＋y 2＝2，∴p ＝2.8．(2013·福州期末)若抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，动点P 在曲线y 2＝－4x (y ≥0)上，则△P AB 的面积的最小值为________．[答案] 2 2[解析] 由题意得F (1,0)，直线AB 的方程为y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x ，得x 2－6x ＋1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1， ∴|AB |＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝8.设P (－y 204，y 0)，则点P 到直线AB 的距离为|y 204＋y 0＋1|2，∴△P AB 的面积S ＝|y 20＋4y 0＋4|2＝(y 0＋2)22≥22，即△P AB 的面积的最小值是2 2.9．(2014·山东广饶一中期末)抛物线y 2＝8x 的顶点为O ，A (1,0)，过焦点且倾斜角为π4的直线l 与抛物线交于M ，N 两点，则△AMN 的面积是________．[答案] 4 2[解析] 焦点F (2,0)，直线l ：x ＝y ＋2，代入抛物线y 2＝8x ，消去x ，得y 2－8y －16＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－16.∴|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝8 2.故△AMN的面积S ＝12×1×|y 1－y 2|＝4 2.三、解答题10．(2015·豫南九校联考)已知动圆M 过定点F (1,0)且与直线x ＝－1相切，圆心M 的轨迹为H .(1)求曲线H 的方程；(2)一条直线AB 经过点F 交曲线H 于A 、B 两点，点C 为x ＝－1上的动点，是否存在这样的点C ，使得△ABC 是正三角形？若存在，求点C 的坐标；否则，说明理由．[解析] (1)设M (x ，y )，由题意知M 到定点F 的距离等于到定直线x ＝－1的距离， 所以M 的轨迹是以F 为焦点的抛物线，p2＝1，∴p ＝2，∴曲线H 的方程为y 2＝4x .(2)设直线AB ：x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (－1，n )，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4my －4＝0， ∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4， ∴x 1＋x 2＝4m 2＋2，x 1x 2＝1.则M 的坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，即M (2m 2＋1,2m )．由k CM ·k AB ＝2m －n 2m 2＋2·1m ＝－1得n ＝2m 3＋4m ，则C (－1，2m 3＋4m )．∵|CM |＝(2m 2＋2)2＋(2m 3＋2m )2 ＝2(m 2＋1)m 2＋1，|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝4(1＋m 2)， ∵|CM |＝32|AB |，∴m ＝±2. ∴存在这样的点C (－1，±82)，使△ABC 为正三角形.一、选择题11．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )A ．1B ．3C ．－4D ．－8[答案] C[解析] 由已知可设P (4，y 1)，Q (－2，y 2)．∵点P ，Q 在抛物线x 2＝2y 上， ∴42＝2y 1，(－2)2＝2y 2， ∴y 1＝8，y 2＝2.∴P (4,8)，Q (－2,2)．又∵抛物线方程可化为y ＝12x 2，∴y ′＝x .∴过点P 的切线斜率为k 1＝4， 切线方程为y ＝4x －8，又∵过点Q 的切线斜率为k 2＝－2， ∴过点Q 的切线方程为y ＝－2x －2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －8，y ＝－2x －2，解得x ＝1，y ＝－4.∴点A 的纵坐标为－4.12．(文)如图，抛物线C 1：y 2＝4x 和圆C 2：(x －1)2＋y 2＝1，直线l 经过C 1的焦点F ，依次交C 1，C 2于A ，B ，C ，D 四点，则AB →·CD →的值为( )A.34 B ．1 C ．2 D ．4[答案] B[解析] 法一：抛物线C 1的焦点F 也是圆C 2的圆心(1,0)． 可用特殊法：当l 与x 轴垂直时， |AD |＝4，|BC |＝2， |AB |＝|CD |＝1，∴AB →·CD →＝|AB →||CD →|＝1.故选B.法二：由抛物线的定义知，|AB →|＝|AF →|－1＝x A ， |CD →|＝|DF →|－1＝x D ， |AB →||CD →|＝x A ·x D ＝p 24＝1.∴AB →·CD →＝|AB →||CD →|＝1.故选B.(理)直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2＝1从左到右的交点依次为A 、B 、C 、D ，则|AB ||CD |的值为( )A ．16B ．116C ．4D ．14[答案] B[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋4＝0，x 2＝4y得x 2－3x －4＝0，∴x A ＝－1，x D ＝4，y A ＝14，y D ＝4，∵直线3x －4y ＋4＝0恰过抛物线的焦点F (0,1)． ∴|AF |＝y A ＋1＝54，|DF |＝y D ＋1＝5，∴|AB ||CD |＝|AF |－1|DF |－1＝116.故选B. 13．(文)(2014·山东淄博一模)过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线交其于A ，B 两点，A 在第一象限，B 在第四象限，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22B ． 2 C.322D ．2 2[答案] C[解析] 设A (x 0，y 0)，由|AF |＝1＋x 0＝3，得x 0＝2，∴A (2,22)，直线AB 的方程为y ＝22(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得B (12，－2)．∴S △AOB ＝12×1×|22－(－2)|＝322.(理)(2014·课标全国Ⅱ理)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334B ．938C.6332 D ．94[答案] D[解析] 由已知得F (34，0)，故直线AB 的方程为y ＝tan30°·(x －34)，即y ＝33x －34.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x －34， ①y 2＝3x ， ②将①代入②并整理得13x 2－72x ＋316＝0，∴x 1＋x 2＝212，∴线段|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12.又原点(0,0)到直线AB 的距离为d ＝3413＋1＝38. ∴S △OAB ＝12|AB |d ＝12×12×38＝94.14．(2014·课标全国Ⅰ理)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A.72 B ．52C ．3D ．2[答案] C[解析] 抛物线的焦点是F (2,0)，过点Q 作抛物线的准线的垂线，垂足是A ，则|QA |＝|QF |，抛物线的准线与x 轴的交点为G ，因为FP →＝4FQ →，∴|PQ →||PF →|＝34，由于△QAP ∽△FGP ，所以可得|QA ||FG |＝|PQ →||PF →|＝34，所以|QA |＝3，所以|QF |＝3. 二、填空题15．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．[答案] x ＝－1[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝x －p2，消去x 得，y 2－2py －p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2p ，由条件知，y 1＋y 2＝4，∴p ＝2，∴抛物线的准线方程为x ＝－1.16．(2014·湖南理)如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a 、b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C 、F 两点，则ba＝________.[答案]2＋1[解析] 由题可得C (a 2，－a )，F (a2＋b ，b )，∵C 、F 在抛物线y 2＝2px 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝pa ，b 2＝2p (a 2＋b )，∴b 2－2ab －a 2＝0， ∴ba＝2＋1，故填2＋1. 三、解答题17．(文)(2014·北京西城区期末)已知A ，B 是抛物线W ：y ＝x 2上的两个点，点A 的坐标为(1,1)，直线AB 的斜率为k ，O 为坐标原点．(1)若抛物线W 的焦点在直线AB 的下方，求k 的取值范围；(2)设C 为W 上一点，且AB ⊥AC ，过B ，C 两点分别作W 的切线，记两切线的交点为D ，求|OD |的最小值．[解析] (1)抛物线y ＝x 2的焦点为(0，14)．由题意，得直线AB 的方程为y －1＝k (x －1)，令x ＝0，得y ＝1－k ，即直线AB 与y 轴相交于点(0,1－k )． 因为抛物线W 的焦点在直线AB 的下方， 所以1－k >14，解得k <34.(2)由题意，设B (x 1，x 21)，C (x 2，x 22)，D (x 3，y 3)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －1)y ＝x 2消去y ，得x 2－kx ＋k －1＝0，由根与系数的关系，得1＋x 1＝k ，所以x 1＝k －1. 同理，得AC 的方程为y －1＝－1k (x －1)，x 2＝－1k －1.对函数y ＝x 2求导，得y ′＝2x ，所以抛物线y ＝x 2在点B 处的切线斜率为2x 1，所以切线BD 的方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，即y ＝2x 1x －x 21. 同理，抛物线y ＝x 2在点C 处的切线CD 的方程为y ＝2x 2x －x 22. 联立两条切线的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 1x －x 21y ＝2x 2x －x 22，解得x 3＝x 1＋x 22＝12(k －1k －2)，y 3＝x 1x 2＝1k －k ，所以点D 的坐标为(12(k －1k －2)，1k －k )．因此点D 在定直线2x ＋y ＋2＝0上．因为点O 到直线2x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|2×0＋0＋2|22＋12＝255，所以|OD |≥255，当且仅当点D (－45，－25)时等号成立． 由y 3＝1k －k ＝－25，得k ＝1±265，验证知符合题意．所以当k ＝1±265时，|OD |有最小值255.(理)(2014·开封摸底考试)已知圆(x －a )2＋(y ＋1－r )2＝r 2(r >0)过点F (0,1)，圆心M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)设P 为直线l ：x －y －2＝0上的点，过点P 作曲线C 的两条切线P A ，PB ，当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；(3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值． [解析] (1)依题意，由圆过定点F 可知C 的方程为x 2＝4y . (2)抛物线C 的方程为y ＝14x 2，求导得y ′＝12x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(其中y 1＝x 214，y 2＝x 224)，则切线P A ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线P A 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即x 1x －2y －2y 1＝0.同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0.因为切线P A ，PB 均过点P (x 0，y 0)，所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0， 所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0的两组解． 所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0. (3)由抛物线定义可知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1， 所以|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 0x －2y －2y 0＝0x 2＝4y，消去x 整理得y 2＋(2y 0－x 20)y ＋y 20＝0， 由一元二次方程根与系数的关系可得y 1＋y 2＝x 20－2y 0，y 1y 2＝y 20， 所以|AF |·|BF |＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝y 20＋x 20－2y 0＋1. 又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝y 0＋2，所以y 20＋x 20－2y 0＋1＝2y 20＋2y 0＋5＝2(y 0＋12)2＋92， 所以当y 0＝－12时，|AF |·|BF |取得最小值，且最小值为92.18．(文)已知动圆过定点F (0,2)，且与定直线L ：y ＝－2相切．(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)若AB 是轨迹C 的动弦，且AB 过F (0,2)，分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，证明：AQ ⊥BQ .[解析] (1)依题意，圆心的轨迹是以F (0,2)为焦点，L ：y ＝－2为准线的抛物线， 因为抛物线焦点到准线距离等于4， 所以圆心的轨迹方程是x 2＝8y . (2)证明：因为直线AB 与x 轴不垂直， 设AB ：y ＝kx ＋2.A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y ＝18x 2，可得x 2－8kx －16＝0，∴x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－16.抛物线方程为y ＝18x 2，求导得y ′＝14x .所以过抛物线上A 、B 两点的切线斜率分别是k 1＝14x 1，k 2＝14x 2，k 1k 2＝14x 1·14x 2＝116x 1·x 2＝－1.所以AQ ⊥BQ .(理)(2013·长春三校调研)在直角坐标系xOy 中，点M (2，－12)，点F 为抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)的焦点，线段MF 恰被抛物线C 平分．(1)求m 的值；(2)过点M 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，设直线F A 、FM 、FB 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，问k 1、k 2、k 3能否成公差不为零的等差数列？若能，求直线l 的方程；若不能，请说明理由．[解析] (1)由题得抛物线C 的焦点F 的坐标为(0，14m )，线段MF 的中点N (1，18m －14)在抛物线C 上，∴18m －14＝m,8m 2＋2m －1＝0，∴m ＝14(m ＝－12舍去)． (2)由(1)知抛物线C ：x 2＝4y ，F (0,1)．设直线l 的方程为y ＋12＝k (x －2)，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋12＝k (x －2)，x 2＝4y ，得x 2－4kx ＋8k ＋2＝0， Δ＝16k 2－4(8k ＋2)>0，∴k <2－62或k >2＋62. ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8k ＋2. 假设k 1、k 2、k 3能成公差不为零的等差数列，则k 1＋k 3＝2k 2. 而k 1＋k 3＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝x 2y 1＋x 1y 2－x 2－x 1x 1x 2＝x 2x 214＋x 1x 224－x 2－x 1x 1x 2＝(x 1x 24－1)(x 1＋x 2)x 1x 2＝(8k ＋24－1)·4k 8k ＋2＝4k 2－k 4k ＋1，k 2＝－34，∴4k 2－k 4k ＋1＝－32，8k 2＋10k ＋3＝0，解得k ＝－12(符合题意)或k ＝－34(不合题意，舍去)．∴直线l 的方程为y ＋12＝－12(x －2)，即x ＋2y －1＝0.∴k 1、k 2、k 3能成公差不为零的等差数列，此时直线l 的方程为x ＋2y －1＝0.。
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 12-2坐标系与参数方程课后强化作业 新人教B版
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 12-2坐标系与参数方程课后强化作业 新人教B 版基础巩固强化一、选择题1．(文)(2013·某某理，7)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1 [答案]B[解析]由题意可知，圆ρ＝2cos θ可化为普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.所以圆的垂直于x 轴的两条切线方程分别为x ＝0和x ＝2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2，故选B.(理)(2013·西城期末)在极坐标系中，已知点P (2，π6)，则过点P 且平行于极轴的直线的方程是( )A ．ρsin θ＝1B ．ρsin θ＝ 3C ．ρcos θ＝1D ．ρcos θ＝ 3 [答案]A[解析]点P (2，π6)的直角坐标为(3，1)，∵所求直线平行于极轴，∴所求直线的斜率k ＝0.所求直线的普通方程为y ＝1，化为极坐标方程为ρsin θ＝1，故选A.2．(文)抛物线x 2－2y －6x sin θ－9cos 2θ＋8cos θ＋9＝0的顶点的轨迹是(其中θ∈R )( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线 [答案]B[解析]原方程变形为：y ＝12(x －3sin θ)2＋4cos θ.设抛物线的顶点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sin θy ＝4cos θ，消去参数θ得轨迹方程为x 29＋y 216＝1.它是椭圆．(理)已知点P (x ，y )满足(x －4cos θ)2＋(y －4sin θ)2＝4(θ∈R )，则点P (x ，y )所在区域的面积为( )A ．36πB ．32πC ．20πD ．16π [答案]B[解析]圆心坐标为(4cos θ，4sin θ)，显然圆心在以原点为圆心、半径等于4的圆上，圆(x －4cos θ)2＋(y －4sin θ)2＝4(θ∈R )绕着上述圆旋转一周得到的图形是一个圆环，圆环的外径是6，内径是2，∴选B.3．在平面直角坐标系中，经伸缩变换后曲线方程x 2＋y 2＝16变换为椭圆方程x ′2＋y ′216＝1，此伸缩变换公式是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14x ′y ＝y ′B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4x ′y ＝y ′C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x ′y ＝y ′D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4x ′y ＝8y ′[答案]B[解析]设此伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，代入x ′2＋y ′216＝1， 得(λx )2＋(μy )216＝1， 即16λ2x 2＋μ2y 2＝16，与x 2＋y 2＝16比较得⎩⎪⎨⎪⎧16λ2＝1(λ>0)，μ2＝1(μ>0)，故⎩⎪⎨⎪⎧λ＝14，μ＝1，故所求变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝14x ，y ′＝y .故选B.4．直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t sin50°－1y ＝－t cos50°(t 为参数)，则直线的倾斜角为( ) A ．40° B ．50° C ．140° D ．130° [答案]C[解析]将直线的参数方程变形得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t cos140°y ＝－t sin140°，∴倾斜角为140°.5．在极坐标系下，直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2与曲线ρ＝2的公共点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．2或0 [答案]B[分析] 讨论极坐标方程表示的曲线的位置关系，交点个数等问题，一般是化为直角坐标方程求解．对于熟知曲线形状、位置的曲线方程，也可以直接画草图，数形结合讨论．[解析]方程ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， ∴x ＋y ＝2，方程ρ＝2，即x 2＋y 2＝2，显然直线与圆相切，∴选B.6．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ＋1.(t ∈R )，圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋1y ＝sin θ(θ∈[0,2π))，则圆心C 到直线l 的距离为( ) A ．0 B ．2 C.2D.22[答案]C[解析]化直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝t ＋1(t ∈R )为普通方程为x －y ＋1＝0，化圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋1，y ＝sin θ.(θ∈[0,2π))为普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，则圆心C (1,0)到直线l 的距离为|1－0＋1|12＋(－1)2＝ 2.二、填空题7．在极坐标系中，直线ρsin(θ－π4)＝22与圆ρ＝2cos θ的位置关系是________．[答案]相离[解析]直线的直角坐标方程为x －y ＋1＝0，圆的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，其圆心C (1,0)，半径r ＝1.因为圆心到直线的距离d ＝22＝2>1，故直线与圆相离． 8．(文)已知曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ(ρ≥0,0≤θ<π2)，则曲线C 1与C 2交点的极坐标为________．[答案]⎝⎛⎭⎫23，π6 [解析]化为直角坐标方程为x ＝3和x 2＋y 2＝4x (y ≥0)，故交点为(3，3)，其极坐标为⎝⎛⎭⎫23，π6. [点评] 可直接解⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ，得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝23，θ＝π6.(理)(2013·某某某某一模)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t ＋1(t 为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρsin θ－ρcos θ＝3，则C 1与C 2的交点在直角坐标系中的坐标为________．[答案](2,5)[解析]将曲线C 1的参数方程和曲线C 2的极坐标方程分别转化为直角坐标方程C 1：y ＝x 2＋1，C 2：y －x ＝3，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2＋1，y －x ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5，故交点坐标为(2,5)．9．(文)(2013·某某某某调研)已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ＋2(θ为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＋ρcos θ＝1，则直线l 被圆C 所截得的弦长是________．[答案] 2[解析]圆C 的参数方程化为普通方程为x 2＋(y －2)2＝1， 直线l 的极坐标方程化为平面直角坐标方程为x ＋y ＝1， 圆心到直线的距离d ＝|0＋2－1|2＝22，故圆C 截直线l 所得的弦长为212－d 2＝ 2.(理)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4t ，y ＝－1－3t .(t 为参数)被曲线ρ＝2cos(θ＋π4)所截的弦长为________．[答案]75[解析]由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4t ，y ＝－1－3t .得直线方程为3x ＋4y ＋1＝0，∵ρ＝2cos(θ＋π4)＝cos θ－sin θ，∴ρ2＝ρcos θ－ρsin θ，∴x 2＋y 2＝x －y ， 即(x －12)2＋(y ＋12)2＝12.圆心到直线的距离d ＝110，∴弦长＝2×12－1100＝75. 三、解答题10．(2013·某某五校协作体联考)已知直线l 是过点P (－1，2)，方向向量为n ＝(－1，3)的直线，圆C 的方程为ρ＝2cos(θ＋π3)．(1)求直线l 的参数方程；(2)设直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，求|PM |·|PN |的值． [解析](1)∵n ＝(－1，3)，∴直线的倾斜角α＝2π3.∴直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos 2π3，y ＝2＋t sin 2π3(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝－1－12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)．(2)∵ρ＝2(12cos θ＋32sin θ)＝cos θ＋3sin θ，∴ρ2＝ρcos θ＋3ρsin θ.∴x 2＋y 2－x ＋3y ＝0，将直线的参数方程代入得t 2＋(3＋23)t ＋6＋23＝0. ∴|t 1t 2|＝6＋23，即|PM |·|PN |＝6＋2 3.能力拓展提升一、填空题11．(文)(2013·某某理，15)设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．[答案]ρcos 2θ－sin θ＝0[解析]由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2得曲线在直角坐标系下的方程为y ＝x 2.由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ.(理)(2013·某某理，14)已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos t y ＝2sin t(t 为参数)，C 在点(1,1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为________．[答案]ρsin(θ＋π4)＝ 2[解析]∵曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t ，(t 为参数)，∴其普通方程为x 2＋y 2＝2.又点(1,1)在曲线C 上，∴曲线l 的斜率k ＝－1.故l 的方程为x ＋y －2＝0，化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 即ρsin(θ＋π4)＝ 2.12．(2013·某某理，15)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________．[答案]⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)[解析]由三角函数定义知yx＝tan θ(x ≠0)，y ＝x tan θ，由x 2＋y 2－x ＝0得，x 2＋x 2tan 2θ－x ＝0，x ＝11＋tan 2θ＝cos 2θ， 则y ＝x tan θ＝cos 2θtan θ＝sin θcos θ， 又θ＝π2时，x ＝0，y ＝0也适合题意，故参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．[解法探究] 因为直线OP 与圆的交点为P ，所以点P 与直径两端点构成直角三角形，故可通过解直角三角形求得参数方程．将圆x 2＋y 2－x ＝0配方得，(x －12)2＋y 2＝14，∴圆的直径为1.设P (x ，y )，则|OP |＝cos θ， x ＝|OP |cos θ＝cos 2θ， y ＝|OP |sin θ＝sin θcos θ.∴圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ，(θ为参数)．二、解答题13．曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋4t ，y ＝2＋3t (t 为参数)．(1)将C 1化为直角坐标方程；(2)曲线C 1与C 2是否相交？若相交，求出弦长，若不相交，请说明理由． [解析](1)∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，∴x 2＋y 2＝4x ， 所以C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0. (2)C 2的直角坐标方程为3x －4y －1＝0， C 1表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆． 圆心C 1(2,0)到直线C 2的距离 d ＝|3×2－4×0－1|32＋42＝1<2.所以C 1与C 2相交． 相交弦长|AB |＝222－12＝2 3.14．已知圆M ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ.(θ为参数)的圆心F 是抛物线E ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt .的焦点，过F 的直线交抛物线于A 、B 两点，求|AF |·|FB |的取值X 围．[解析]圆M ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ.的普通方程是(x －1)2＋y 2＝1，所以F (1,0)．抛物线E ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt .的普通方程是y 2＝2px ，所以p2＝1，p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x .设过焦点F 的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θ，y ＝t sin θ.(t 为参数)，代入y 2＝4x ，得t 2sin 2θ－4t cos θ－4＝0. 所以|AF |·|FB |＝|t 1t 2|＝4sin 2θ.因为0<sin 2θ≤1，所以|AF |·|FB |的取值X 围是[4，＋∞)．15．(文)(2013·某某六校联考)已知圆C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 2的极坐标方程为ρ＝2cos(θ＋π3)．(1)将圆C 1的参数方程化为普通方程，将圆C 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)圆C 1、C 2是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．[解析](1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝sin φ，得x 2＋y 2＝1，又∵ρ＝2cos(θ＋π3)＝cos θ－3sin θ，∴ρ2＝ρcos θ－3ρsin θ. ∴x 2＋y 2－x ＋3y ＝0， 即(x －12)2＋(y ＋32)2＝1.(2)圆心距d ＝(0－12)2＋(0＋32)2＝1<2，得两圆相交．设交点为A ，B ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－x ＋3y ＝0得A (1,0)，B (－12，－32)，∴|AB |＝(1＋12)2＋(0＋32)2＝ 3.(理)(2013·某某某某一模)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝22a ，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos φ，y ＝－1＋sin φ，(φ为参数，0≤φ≤π)．(1)求C 1的直角坐标方程；(2)当C 1与C 2有两个不同公共点时，某某数a 的取值X 围． [解析](1)将曲线C 1的极坐标方程变形，ρ(22sinθ＋22cosθ)＝22a，即ρcosθ＋ρsinθ＝a，∴曲线C1的直角坐标方程为x＋y－a＝0.(2)曲线C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝1(－1≤y≤0)，为半圆弧，如图所示，曲线C1为一组平行于直线x＋y＝0的直线，当直线C1与C2相切时，由|－1－1－a|2＝1得a＝－2±2，舍去a＝－2－2，得a＝－2＋2，当直线C1过A(0，－1)、B(－1,0)两点时，a＝－1.∴由图可知，当－1≤a<－2＋2时，曲线C1与曲线C2有两个公共点．考纲要求1．了解坐标系的作用．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2．了解极坐标的基本概念．会在极坐标系中用极坐标来刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程．4．了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别．5．了解参数方程，了解参数的意义．6．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．补充材料1．极坐标系的概念在平面内取一个定点O 为极点，引一条射线Ox 为极轴，再选定一个长度单位和角度单位(通常取弧度)及正方向(通常取逆时针方向)，就建立了一个极坐标系．对于极坐标系内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，用θ表示以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序实数对(ρ，θ)就叫做点M 的极坐标．如无特别说明时，ρ≥0，θ∈R .2．在极坐标系中，(ρ，θ＋2k π)，k ∈Z 与(ρ，θ)代表同一个点，为了使极坐标与平面上的点(除极点外)建立一一对应关系，规定ρ≥0,0≤θ<2π.曲线上的点的极坐标不一定满足曲线的极坐标方程，但曲线上一点P 的无数个极坐标中，必有一个适合曲线的极坐标方程．极坐标方程θ＝θ1表示一条射线并非直线，只有当允许ρ<0时，θ＝θ1才表示一条直线． 3．极坐标与直角坐标互化条件：(1)极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；(2)极轴与x 轴的正半轴重合；(3)两种坐标系中取相同的长度单位4．只有在a 2＋b 2＝1时，直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt .(t 为参数)中的参数t 才表示由M (x 0，y 0)指向N (x ，y )的有向线段的数量，而在a 2＋b 2≠1时，MN ＝a 2＋b 2·t .5．消参后应将原参数的取值X 围相应地转化为变量x (或y )的取值X 围． 备选习题1．(2013·某某某某测评)若直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋2t ，y ＝－1－t (t 为参数)被曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数，θ∈R )所截，则截得的弦的长度是( )A.355B.655C.322D ．6 2 [答案]B[解析]∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2t ，y ＝－1－t ，∴x ＋2y ＋3＝0.∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ，∴(x －1)2＋(y －1)2＝9， ∴圆心(1,1)到直线x ＋2y ＋3＝0的距离d ＝|1＋2＋3|5＝655，弦长为232－(655)2＝655，故选B.2．设点A 的极坐标为(2，π6)，直线l 过点A 且与极轴所成的角为π3，则直线l 的极坐标方程为________．[答案]填ρcos(θ＋π6)＝1、3ρcos θ－ρsin θ－2＝0、ρsin(π3－θ)＝1、ρsin(θ－4π3)＝1中任意一个均可[解析]∵点A 的极坐标为(2，π6)，∴点A 的平面直角坐标为(3，1)，又∵直线l 过点A 且与极轴所成的角为π3，∴直线l 的方程为y －1＝(x －3)tan π3，即3x －y －2＝0，∴直线l 的极坐标方程为3ρcos θ－ρsin θ－2＝0，可整理得ρcos(θ＋π6)＝1或ρsin(π3－θ)＝1或ρsin(θ－4π3)＝1.[点评] 一般地，在极坐标系下，给出点的坐标，曲线的方程，讨论某种关系或求某些几何量时，通常都是化为直角坐标(方程)求解．如果直接用极坐标(方程)求解，通常是解一个斜三角形．3．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α.(α为参数)．M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.[解析](1)设P (x ，y )，则由条件知M (x 2，y2)．由于M 点在C 1上，所以⎩⎨⎧x2＝2cos α，y2＝2＋2sin α.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3＝23，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3＝4 3.所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.4．已知直线l 经过点P (12，1)，倾斜角α＝π6，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－π4)．(1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．[解析](1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6，(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝12＋32t ，y ＝1＋12t .(t 为参数)．由ρ＝2cos(θ－π4)得ρ＝cos θ＋sin θ，所以ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，得(x －12)2＋(y －12)2＝12.(2)把⎩⎨⎧x ＝12＋32t y ＝1＋12t 代入(x －12)2＋(y －12)2＝12中得t 2＋12t －14＝0.由根与系数的关系得t 1t 2＝－14，由参数t 的几何意义得：|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝14.5．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，(a >b >0，φ为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线C 1上的点M (1，32)对应的参数φ＝π3，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D (1，π3)． (1)求曲线C 1、C 2的方程；(2)若点A (ρ1，θ)，B (ρ2，θ＋π2)在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值．[解析](1)将M (1，32)及对应的参数φ＝π3，代入 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，得⎩⎨⎧1＝a cos π3，32＝b sin π3.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1， 所以曲线C 1的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ.(φ为参数)，或x 24＋y 2＝1.设圆C 2的半径为R ，由题意，圆C 2的方程为ρ＝2R cos θ(或(x －R )2＋y 2＝R 2)． 将点D (1，π3)代入ρ＝2R cos θ，得1＝2R cos π3，即R ＝1.(或由D (1，π3)，得点D 的直角坐标(12，32)，代入(x －R )2＋y 2＝R 2，得R ＝1)，所以曲线C 2的方程为ρ＝2cos θ(或(x －1)2＋y 2＝1)． (2)因为点A (ρ1，θ)，B (ρ2，θ＋π2)在曲线C 1上，所以ρ21cos 2θ4＋ρ21sin 2θ＝1，ρ22sin 2θ4＋ρ22cos 2θ＝1， 所以1ρ21＋1ρ22＝(cos 2θ4＋sin 2θ)＋(sin 2θ4＋cos 2θ)＝54.。
【试题库】(人教B版)(数学)(一轮复习)【走向高考·2015】阶段性测试题五
阶段性测试题五(平面向量)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2014·韶关市曲江一中月考)设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22 C ．a －b 与b 垂直 D ．a ∥b[答案] C[解析] ∵|a |＝1，|b |＝22，a ·b ＝12，∴A 、B 错；∵1×12－0×12≠0，∴a ∥b 不成立；∵(a －b )·b ＝(12，－12)·(12，12)＝14－14＝0，选C.2．(2014·威海期中)已知|a |＝1，|b |＝2，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －b |＝( )A ．2B ．4C ．2 2D ．8 [答案] A[解析] 由条件知|a |2＝1，|b |2＝4，a ·b ＝1， ∴|2a －b |2＝4|a |2＋|b |2－4a ·b ＝4，∴|2a －b |＝2.3．(文)(2014·抚顺市六校联合体期中)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )．若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( )A ．－2B ．0C ．1D ．2[答案] D[解析] ∵a ＋b ＝(3,1＋x )，4b －2a ＝(6,4x －2)，a ＋b 与4b －2a 平行，∴3(4x －2)－6(1＋x )＝0，∴x ＝2.(理)(2014·湖南省五市十校联考)已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，向量m ＝(a ＋c ，a －b )，n ＝(b ，a －c )，若m ∥n ，则∠C ＝( )A.π6B.π3C.π2D.2π3[答案] B[解析] ∵m ∥n ，∴(a ＋c )(a －c )－b (a －b )＝0，∴a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝π3.4．(文)(2014·安徽程集中学期中)已知向量a 、b 满足|a |＝1，|a ＋b |＝7，〈a ，b 〉＝π3，则|b |等于( )A ．2B ．3 C.3 D ．4 [答案] A[解析] 设|b |＝m ，则a ·b ＝m cos π3＝m2，|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝1＋m 2＋m ＝7，∴m 2＋m －6＝0，∵m >0，∴m ＝2.(理)(2014·哈六中期中)已知向量a 、b 满足，|a |＝2，a ⊥(a －2b )，2|a2－b |＝3|b |，则|b |的值为( )A ．1B ．2 C.3 D ．2 3[答案] B[解析] 设|b |＝m ，∵a ⊥(a －2b )，∴a ·(a －2b )＝|a |2－2a ·b ＝4－2a ·b ＝0，∴a ·b ＝2，将2|a 2－b |＝3|b |两边平方得，4(|a |24＋|b |2－a ·b )＝3|b |2，即4(1＋m 2－2)＝3m 2，∴m 2＝4，∴m ＝2.5．(2014·北京海淀期中)在平面直角坐标系xOy 中，已知点O (0,0)，A (0,1)，B (1，－2)，C (m,0)，若OB→∥AC →，则实数m 的值为( ) A ．－2 B ．－12 C.12 D ．2[答案] C[解析] 因为，在平面直角坐标系xOy 中，点O (0,0)，A (0,1)，B (1，－2)，C (m,0)，所以，OB →＝(1，－2)，AC →＝(m ，－1)，又OB →∥AC →，所以，m 1－－1－2，m ＝12，选C.6．(2014·北京朝阳区期中)已知平面向量a ＝(1，－2)，b ＝(2,1)，c ＝(－4，－2)，则下列结论中错误．．的是( ) A ．向量c 与向量b 共线B ．若c ＝λ1a ＋λ2b (λ1、λ2∈R )，则λ1＝0，λ2＝－2C ．对同一平面内任意向量d ，都存在实数k 1、k 2，使得d ＝k 1b ＋k 2cD ．向量a 在向量b 方向上的投影为0 [答案] C[解析] ∵c ＝－2b ，∴向量c 与向量b 共线，∴选项A 正确；由c ＝λ1a ＋λ2b 可知，⎩⎪⎨⎪⎧ －4＝λ1＋2λ2－2＝－2λ1＋λ2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝0，λ2＝－2，∴选项B正确；向量c 与向量b 共线，所以由平面向量的基本定理可知，它们的线性组合不能表示出同一平面内的任意向量，∴选项C 错误；a ·b ＝0，所以a ⊥b ，夹角是90°，向量a 在向量b 方向上的投影为|a |cos90°＝0，∴D 正确．7．(2014·抚顺二中期中)已知向量a ＝(cos75°，sin75°)，b ＝(cos15°，sin15°)，则a －b 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[答案] C[解析] 解法1：∵a －b ＝(cos75°－cos15°，sin75°－sin15°)， ∴|a －b |2＝(cos75°－cos15°)2＋(sin75°－sin15°)2＝2－2(cos75°cos15°＋sin75°sin15°)＝2－2cos60°＝1，∴|a －b |＝1，又|b |＝1，(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°－1＝cos60°－1＝－12， ∴cos 〈a －b ，b 〉＝(a －b )·b |a －b |·|b |＝－121×1＝－12，∴〈a －b ，b 〉＝120°.解法2：作单位圆如图，∠AOx ＝75°，∠BOx ＝15°，则OA →＝a ，OB→＝b ，BA →＝OA →－OB →＝a －b ，∴△AOB 为正三角形，∴∠ABO ＝60°，从而OB →与BA →所成的角为120°， 即b 与a －b 所成的角为120°.[点评] 数形结合解答本题显得特别简捷．8．(2014·泸州市一诊)△ABC 中，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( )A.13 B.23 C ．－23 D ．－13[答案] B[解析] ∵AD →＝2DB →，∴AD →＝23AB →＝23(CB →－CA →)，∴CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →， ∴λ＝23.9．(2014·泉州实验中学期中)已知平面向量m 、n 的夹角为π6，且|m |＝3，|n |＝2，在△ABC 中，AB →＝2m ＋2n ，AC →＝2m －6n ，D 为BC 中点，则|AD→|＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 [答案] B[解析] 由条件知，m ·n ＝|m |·|n |·cos π6＝3，|m |2＝3，|n |2＝4，∵D 为BC 的中点，∴AD →＝12(AB →＋AC →)＝2m －2n ，∴|AD →|2＝4(|m |2＋|n |2－2m ·n )＝4×(3＋4－2×3)＝4.10．(文)(2014·开滦二中期中)已知△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝43，点P 为BC 边所在直线上的一个动点，则AP →·(AB →＋AC →)满足( )A ．最大值为16B ．最小值为4C ．为定值8D ．与P 的位置有关[答案] C[解析] 设BC 边中点为D ，〈AP →，AD →〉＝α，则|AD →|＝|AP →|·cos α，∵AB ＝AC ＝4，BC ＝43，∴∠BAC ＝120°，∴0°≤α≤60°， ∴AP →·(AB →＋AC →)＝AP →·2AD →＝2|AP →|·|AD →|·cos α ＝2|AD→|2＝8. (理)(2014·河南淇县一中模拟)已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为( ) A ．－2 B ．－8116 C ．1 D ．0[答案] A[解析] 由条件知，A 1(－1,0)，F 2(2,0)，∵P 在双曲线右支上，∴P 在上半支与下半支上结论相同，设P (x 0，3x 20－3)，x 0≥1，∴P A 1→·PF 2→＝(－1－x 0，－3x 20－3)·(2－x 0，－3x 20－3)＝(－1－x 0)(2－x 0)＋(3x 20－3)＝4x 20－x 0－5＝4(x 0－18)2－8116，∴当x 0＝1时，(P A 1→·PF 2→)min＝－2，故选A. 11．(2014·枣庄市期中)如图，OA →，OB →分别为x 轴，y 轴非负半轴上的单位向量，点C 在x 轴上且在点A 的右侧，D 、E 分别为△ABC 的边AB 、BC 上的点．若OE →与OA →＋OB →共线.DE →与OA →共线，则OD →·BC →的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2[答案] B[解析] 由条件设OE→＝λ(OA →＋OB →)，DE →＝μOA →， ∴OE→＝(λ，λ)，DE →＝(μ，0)， ∴OD →＝OE →＋ED →＝(λ，λ)＋(－μ，0)＝(λ－μ，λ)，BC →＝(x 0，－1)，x 0>1，∵BD →与BA →共线，BD →＝OD →－OB →＝(λ－μ，λ－1)，BA →＝OA →－OB →＝(1，－1)，∴λ－μ1＝λ－1－1，∴2λ－μ＝1，∵BE→与BC →共线，BE →＝OE →－OB →＝(λ，λ－1)，∴x 0λ＝－1λ－1，∴x 0＝λ1－λ.∴OD →·BC →＝(λ－μ)x 0－λ＝(λ－μ)λ1－λ－λ＝(1－λ)·λ1－λ－λ＝0.故选B.12．(文)(2014·哈六中期中)已知四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAC ＝45°，AD ＝2，AB ＝2，BC ＝1，P 是边AB 所在直线上的动点，则|PC→＋2PD →|的最小值为( ) A ．2 B ．4 C.522 D.252[答案] C[解析] ∵AB ＝2，BC ＝1，∠BAC ＝45°，∴AB ·sin ∠BAC ＝BC ，∴AC ⊥BC ，以C 为原点直线BC 与AC 分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系如图，则C (0,0)，B (－1,0)，A (0,1)，D (2,1)，∵P 在直线AB ：y －x ＝1上，∴设P (x 0,1＋x 0)，则PC →＋2PD →＝(－x 0，－1－x 0)＋2(2－x 0，－x 0)＝(4－3x 0，－1－3x 0)，∴|PC →＋2PD →|2＝(4－3x 0)2＋(－1－3x 0)2＝18x 20－18x 0＋17＝18(x 0－12)2＋252，∴当x 0＝12时，|PC →＋2PD →|min＝522，故选C. (理)(2014·海南省文昌市检测)如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，OD ＝3，点P 为△BCD 内(含边界)的动点，设OP →＝αOC →＋βOD →(α，β∈R )，则α＋β的最大值等于( )A.14B.43 C.13 D ．1[答案] B[解析] 以O 为原点，OA 、OC 分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则由条件知，C (0,1)，A (1,0)，B (1,1)，D (3,0)，OP →＝αOC →＋βOD →＝(3β，α)，设P (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3β，y ＝α，∵P 在△BCD 内，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，x ＋2y －3≤0，y ≤1.∴⎩⎪⎨⎪⎧β＋α－1≥0，3β＋2α－3≤0，α≤1.作出可行域如图，作直线l 0：α＋β＝0，平移l 0可知当移到经过点A (1，13)时，α＋β取最大值43，故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)13．(文)(2014·江西白鹭洲中学期中)已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(2，－2)，若a ∥b ，则实数x 的值为________．[答案] －1[解析] ∵a ∥b ，∴x 2＝1－2，∴x ＝－1. (理)(2014·鄂南高中、黄冈中学、襄阳四中联考)设x 、y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(3，－6)，且a ⊥c ，b ∥c ，则(a ＋b )·c ＝________.[答案] 15[解析] ∵a ⊥c ，∴a ·c ＝3x －6＝0，∴x ＝2，∵b ∥c ，∴13＝y －6，∴y ＝－2，∴b ·c ＝(1，－2)·(3，－6)＝15，∴(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ＝15.14．(2014·三亚市一中月考)已知向量a 与向量b 的夹角为120°，若向量c ＝a ＋b ，且a ⊥c ，则|a ||b |的值为________． [答案] 12[解析] ∵〈a ，b 〉＝120°，a ⊥c ，c ＝a ＋b ，∴a ·c ＝a ·(a ＋b )＝|a |2＋a ·b ＝|a |2－12|a |·|b |＝0， ∴|a ||b |＝12. 15．(文)(2014·天津市六校联考)已知OB →＝(2,0)，OC →＝(2,2)，CA→＝(2,1)，则OA→与OB →夹角的正弦值为________． [答案] 35[解析] OA→＝OC →＋CA →＝(4,3)， cos 〈OA →，OB →〉＝OA →·OB →|OA→||OB →|＝85×2＝45， ∴sin 〈OA →，OB →〉＝35.(理)(2014·福建安溪一中、养正中学联考)在△ABC 中，已知a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 所对的边，S 为△ABC 的面积．若向量p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(1，S )满足p ∥q ，则∠C ＝________.[答案] π4[解析] ∵p ∥q ，∴41＝a 2＋b 2－c 2S，∴a 2＋b 2－c 2＝4S ，又a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，S ＝12ab sin C ， ∴2ab cos C ＝2ab sin C ，∴sin C ＝cos C ，又0<C <π，∴C ＝π4.16．(文)(2014·河南淇县一中模拟)若向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且α－β＝k π(k ∈Z )，则a 与b 一定满足：①a 与b 夹角等于α－β；②|a |＝|b |；③a ∥b ；④a ⊥b .其中正确结论的序号为________．[答案] ②③[解析] 由条件知|a |＝|b |＝1，∴②正确；又a 、b 对应点A 、B都在单位圆上，且OA→与OB →共线，∴a ∥b ，但〈a ，b 〉不一定等于α－β，∴③对①错；a ·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝cos k π≠0，故④错．(理)(2014·河北冀州中学期中)给定两个长度为1的平面向量OA→和OB →，它们的夹角为90°，点C 在以O 为圆心的劣弧AB 上运动，若OC→＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则xy 的取值范围是________． [答案] [0，12][解析] 以O 为原点，OA→，OB →为基向量建立平面直角坐标系，则A (1,0)，B (0,1)，OC→＝xOA →＋yOB →＝(x ，y )，且|OC →|2＝x 2＋y 2＝1，∴xy ≤x 2＋y 22＝12，特别的当C 与A (或B )重合时，xy ＝0，∴0≤xy ≤12.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分12分)(文)(2014·浙江台州中学期中)在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知sin C ＝2sin(B ＋C )cos B .(1)判断△ABC 的形状；(2)设向量m ＝(a ＋c ，b )，n ＝(b ＋a ，c －a )，若m ∥n ，求∠A .[解析] (1)在△ABC 中，∵sin(A ＋B )＝sin C ，sin(B ＋C )＝sin A ， ∴sin(A ＋B )＝2sin A cos B ，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，∴sin(A －B )＝0，∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．(2)∵m ∥n ，∴(a ＋c )(c －a )－b (b ＋a )＝0，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴cos C ＝－12. ∵0<C <π，∴C ＝2π3，又△ABC 为等腰三角形，∴∠A ＝π6.(理)(2014·宝鸡市质检)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，q ＝(2a,1)，p ＝(2b －c ，cos C )且q ∥p .(1)求sin A 的值；(2)求三角函数式－2cos2C 1＋tan C＋1的取值范围． [解析] (1)∵q ＝(2a,1)，p ＝(2b －c ，cos C )且q ∥p ，∴2b －c ＝2a cos C由正弦定理得2sin A cos C ＝2sin B －sin C ，又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，∴12sin C ＝cos A sin C ，∵sin C ≠0，∴cos A ＝12，又∵0<A <π，∴A ＝π3，∴sin A ＝32.(2)原式＝－2cos2C 1＋tan C ＋1＝1－2(cos 2C －sin 2C )1＋sin C cos C＝1－2cos 2C ＋2sin C cos C ＝sin2C －cos2C ＝2sin(2C －π4)．∵0<C <2π3，∴－π4<2C －π4<13π12， ∴－22<sin(2C －π4)≤1， ∴－1<2sin(2C －π4)≤2，即三角函数式－2cos2C 1＋tan C＋1的取值范围为(－1，2]． 18．(本小题满分12分)(文)(2014·江西临川十中期中)已知O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →. (1)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点都共线；(2)若t 1＝a 2，当OM→⊥AB →且△ABM 的面积为12时，求a 的值． [解析] (1)证明：∵当t 1＝1时，AM →＝OM →－OA →＝t 2AB →， ∴不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点共线．(2)当t 1＝a 2时，OM →＝(4t 2,4t 2＋2a 2)． 又∵AB →＝(4,4)，OM →⊥AB →，∴4t 2×4＋(4t 2＋2a 2)×4＝0，∴t 2＝－14a 2.∴OM→＝(－a 2，a 2)． 又∵|AB→|＝42，点M 到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－a 2－a 2＋2|2＝2|a 2－1|·S △ABM ＝12，∴12|AB →|·d ＝12×42×2|a 2－1|＝12，解得a ＝±2，故所求a 的值为±2.(理)(2014·山东省德州市期中)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形OABC 是等腰梯形，A (6,0)，C (1，3)，点M 满足OM →＝12OA →，点P 在线段BC 上运动(包括端点)，如图．(1)求∠OCM 的余弦值；(2)是否存在实数λ，使(OA→－λOP →)⊥CM →，若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．[解析] (1)由题意可得OA →＝(6,0)，OC →＝(1，3)，OM →＝12OA →＝(3,0)，CM→＝(2，－3)，CO →＝(－1，－3)， ∴cos ∠OCM ＝cos 〈CO →，CM →〉＝CO →·CM →|CO →||CM →|＝714. (2)设P (t ，3)，其中1≤t ≤5，λOP→＝(λt ，3λ)，OA→－λOP →＝(6－λt ，－3λ)，CM →＝(2，－3)， 若(OA →－λOP →)⊥CM →，则(OA →－λOP →)·CM→＝0， 即12－2λt ＋3λ＝0⇒(2t －3)λ＝12，若t ＝32，则λ不存在，若t ≠32，则λ＝122t －3， ∵t ∈[1，32)∪(32，5]，故λ∈(－∞，－12]∪[127，＋∞)．19．(本小题满分12分)(文)(2014·抚顺二中期中)在△ABC 中，设内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(cos A ，sin A )，向量n ＝(2－sin A ，cos A )，|m ＋n |＝2.(1)求角A 的大小；(2)若b ＝42，且c ＝2a ，求△ABC 的面积．[解析] (1)∵|m ＋n |2＝(cos A ＋2－sin A )2＋(sin A ＋cos A )2＝4＋22(cos A －sin A )＝4＋4cos(π4＋A )，∴4＋4cos(π4＋A )＝4，∴cos(π4＋A )＝0，∵A ∈(0，π)，∴π4＋A ＝π2，∴A ＝π4.(2)由余弦定理知：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即a 2＝(42)2＋(2a )2－2×42×2a cos π4， ∴a 2－82a ＋32＝0，解得a ＝42，∴c ＝8，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×42×8×22＝16.(理)(2014·陕西工大附中四模)已知向量a ＝(cos x ，cos x )，b ＝(sin x ，－cos x )，设函数f (x )＝2a ·b ＋1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间[π8，3π4]上的最小值和最大值．[解析] (1)f (x )＝2(cos x sin x －cos 2x )＋1＝sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π4)．因此，函数f (x )的最小正周期为π.(2)因为f (x )＝2sin(2x －π4)在区间[π8，3π8]上为增函数，在区间[3π8，3π4]上为减函数，又f (π8)＝0，f (3π8)＝2，f (3π4)＝2sin(3π2－π4)＝－2cos π4＝－1，故函数f (x )在区间[π8，3π4]上的最大值为2，最小值为－1.20．(本小题满分12分)(文)(2014·哈六中期中)已知△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若m ＝(2a －c ，cos C )，n ＝(b ，cos B )，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)求a ＋c b 的取值范围．[解析] (1)∵m ∥n ，∴(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，∴2sin A cos B ＝sin B cos C ＋sin C cos B ，即2sin A cos B ＝sin A ，∵sin A ≠0，∴cos B ＝12，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)由正弦定理得a ＋c b ＝sin A ＋sin C sin B ＝233(sin A ＋sin C )，∵C ＋A ＝2π3，∴sin C ＝sin(2π3－A )＝32cos A ＋12sin A ，∴a ＋c b ＝2sin(A ＋π6)，∵A ∈(0，2π3)，∴A ＋π6∈(π6，5π6)，∴a ＋c b ∈(1,2]．(理)(2014·河北冀州中学期中)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知m ＝(cos 3A 2，sin 3A 2)，n ＝(cos A 2，sin A 2)，且满足|m ＋n |＝ 3.(1)求角A 的大小；(2)若|AC→|＋|AB →|＝3|BC →|，试判断△ABC 的形状． [解析] (1)由|m ＋n |＝3，得m 2＋n 2＋2m ·n ＝3，即1＋1＋2(cos 3A 2cos A 2＋sin 3A 2sin A 2)＝3，∴cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)∵|AC→|＋|AB →|＝3|BC →|，∴sin B ＋sin C ＝3sin A ， ∴sin B ＋sin(2π3－B )＝3×32， 即32sin B ＋12cos B ＝32，∴sin(B ＋π6)＝32.∵0<B <2π3，∴π6<B ＋π6<5π6，∴B ＋π6＝π3或2π3，故B ＝π6或π2.当B ＝π6时，C ＝π2；当B ＝π2时，C ＝π6.故△ABC 是直角三角形．21．(本小题满分12分)(2014·河南淇县一中模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的两点A 、B .(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB→的值； (2)如果OA →·OB→＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点． [解析] (1)由题意知抛物线焦点为(1,0)，设l ：x ＝ty ＋1， 代入抛物线y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4， ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.(2)证明：∵直线l 与抛物线交于不同两点，∴直线l 与x 轴不平行，故可设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x 中，消去x 得，y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b .令b 2－4b ＝－4，∴b 2－4b ＋4＝0，∴b ＝2，∴直线l 过定点(2,0)．22．(本小题满分14分)(文)(2014·成都七中模拟)已知O 为坐标原点，OA →＝(2sin 2x,1)，OB →＝(1，－23sin x cos x ＋1)，f (x )＝OA →·OB →＋m .(1)若f (x )的定义域为[－π2，π]，求y ＝f (x )的单调递增区间；(2)若f (x )的定义域为[π2，π]，值域为[2,5]，求m 的值．[解析] (1)f (x )＝2sin 2x －23sin x cos x ＋1＋m＝1－cos2x －3sin2x ＋1＋m ＝－2sin(2x ＋π6)＋2＋m ，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )得，k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，∴y ＝f (x )在R 上的单调递增区间为[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )，又f (x )的定义域为[－π2，π]，∴y ＝f (x )的增区间为[－π2，－π3]，[π6，2π3]．(2)当π2≤x ≤π时，7π6≤2x ＋π6≤13π6，∴－1≤sin(2x ＋π6)≤12，∴1＋m ≤f (x )≤4＋m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＝2，4＋m ＝5，∴m ＝1. (理)(2014·浙江省五校联考)已知函数f (x )＝(3sin ωx ＋cos ωx )cos ωx －12，其中ω>0，f (x )的最小正周期为4π.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．[解析] f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin2ωx ＋12cos2ωx ＝sin(2ωx ＋π6)．∵2π2ω＝4π，∴ω＝14，f (x )＝sin(x 2＋π6)．(1)由2k π－π2≤x 2＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )得：4k π－4π3≤x ≤4k π＋2π3(k ∈Z )．∴f (x )的单调递增区间是[4k π－4π3，4k π＋2π3](k ∈Z )．(2)由正弦定理得，(2sin A －sin C )cos B ＝sin B ·cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，∵sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A >0，∴cos B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π3，∴0<A <2π3，π6<A 2＋π6<π2，∴f (A )∈(12，1)．。
《走向高考》2015年高中数学人教B版(基础巩固+能力提升+精品解析)同步练习选修2-22.3
第二章 2.3一、选择题1．用数学归纳法证明1＋q ＋q 2＋…＋q n ＋1＝q n ＋2－q q －1(n ∈N *，q ≠1)，在验证n ＝1等式成立时，等式左边的式子是( )A ．1B ．1＋qC ．1＋q ＋q 2D ．1＋q ＋q 2＋q 3[答案] C[解析] 左边＝1＋q ＋q 1＋1＝1＋q ＋q 2.故选C.2．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)，从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边的式子之比是( )A.12k ＋1 B ．12(2k ＋1)C.2k ＋1k ＋1 D ．2k ＋3k ＋1[答案] B [解析] (k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)…(k ＋1＋k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)…(2k )(k ＋2)(k ＋3)…(2k )(2k ＋1)(2k ＋2)＝12(2k ＋1).故选B.3．用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1314(n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n＝k ＋1时不等式左边( )A ．增加了一项12(k ＋1)B ．增加了两项12k ＋1＋12k ＋2C ．增加了B 中两项但减少了一项1k ＋1D ．以上各种情况均不对 [答案] C[解析] n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2∴增加了12k ＋1＋12k ＋2，减少了一项1k ＋1.故选C.4．(2014·秦安县西川中学高二期中)用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1时，左边所得的项为( )A ．1B ．1＋a ＋a 2C ．1＋aD ．1＋a ＋a 2＋a 3[答案] B[解析] 因为当n ＝1时，a n ＋1＝a 2，所以此时式子左边＝1＋a ＋a 2.故应选B.5．某个与正整数n 有关的命题，如果当n ＝k (k ∈N *)时该命题成立，则可推得n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知n ＝5时命题不成立，那么可推得( )A ．当n ＝4时该命题不成立B ．当n ＝6时该命题不成立C ．当n ＝4时该命题成立D ．当n ＝6时该命题成立 [答案] A[解析] 由命题及其逆否命题的等价性知选A. 6．等式12＋22＋32＋…＋n 2＝12(5n 2－7n ＋4)( )A ．n 为任何正整数都成立B ．仅当n ＝1,2,3时成立C ．当n ＝4时成立，n ＝5时不成立D ．仅当n ＝4时不成立 [答案] B[解析] 经验证，n ＝1,2,3时成立，n ＝4,5，…不成立．故选B.7．用数学归纳法证明某命题时，左式为12＋cos α＋cos3α＋…＋cos(2n －1)α(α≠k π，k ∈Z ，n ∈N *)，在验证n ＝1时，左边所得的代数式为( )A.12B.12＋cos α C.12＋cos α＋cos3αD.12＋cos α＋cos3α＋cos5α [答案] B[解析] 令n ＝1，左式＝12＋cos α.故选B.8．(2014·揭阳一中高二期中)用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3[答案] A[解析] 因为从n ＝k 到n ＝k ＋1的过渡，增加了(k ＋1)3，减少了k 3，故利用归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，证明余下的项9k 2＋27k ＋27能被9整除．二、填空题9．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N ＋)”的过程中，第二步n ＝k 时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到________．[答案] 1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k ＋1－110．用数学归纳法证明当n ∈N ＋时，1＋2＋22＋23＋ (25)－1是31的倍数时，当n ＝1时原式为__________，从k →k ＋1时需增添的项是________．[答案] 1＋2＋22＋23＋24 25k ＋25k ＋1＋25k ＋2＋25k ＋3＋25k ＋411．使不等式2n ＞n 2＋1对任意n ≥k 的自然数都成立的最小k 值为________． [答案] 5[解析] 25＝32,52＋1＝26，对n ≥5的所有自然数n,2n ＞n 2＋1都成立，自己用数学归纳法证明之．三、解答题12．用数学归纳法证明：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3·5·…·(2n －1)(n ∈N *)． [证明] (1)当n ＝1时，等式左边＝2，右边＝2×1＝2，∴等式成立． (2)假设n ＝k (k ∈N *)时等式成立．即(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )＝2k ·1·3·5·…·(2k －1)成立． 那么当n ＝k ＋1时，(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2)＝2(k ＋1)·(k ＋2)·(k ＋3)·…·(k ＋k )·(2k ＋1)＝2k ＋1·1·3·5·…·(2k －1)[2·(k ＋1)－1]即n ＝k ＋1时等式成立．由(1)、(2)可知，对任何n ∈N *等式均成立.一、选择题1．用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3…(2n －1)(n ∈N ＋)”，则“从k 到k ＋1”左端需乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D ．2k ＋3k ＋1[答案] B[解析] n ＝k 时左式＝(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)n ＝k ＋1时左式＝(k ＋2)(k ＋3)…(2k ＋1)(2k ＋2)故“从k 到k ＋1”左端需乘(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1)．故选B.2．已知数列{a n }，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝2a n ＋a n －1(k ∈N *)，用数学归纳法证明a 4n 能被4整除时，假设a 4k 能被4整除，应证( )A ．a 4k ＋1能被4整除B ．a 4k ＋2能被4整除C ．a 4k ＋3能被4整除D ．a 4k ＋4能被4整除[答案] D[解析] 在数列{a 4n }中，相邻两项下标差为4，所以a 4k 后一项为a 4k ＋4.故选D. 3．凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形的对角线的条数f (n ＋1)为( ) A ．f (n )＋n ＋1 B ．f (n )＋n C ．f (n )＋n －1 D ．f (n )＋n －2[答案] C[解析] 由凸n 边形变为凸n ＋1边形后，应加一项，这个顶点与不相邻的(n －2)个顶点连成(n －2)条对角线，同时，原来的凸n 边形的那条边也变为对角线，故有f (n ＋1)＝f (n )＋(n －2)＋1.故选C.4．(2014·湖北重点中学高二期中联考)用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3…(2n －1)(n ∈N *)时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”左边需增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D ．2k ＋3k ＋1[答案] B[解析] n ＝k 时，等式为(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )＝2k ·1·3·…·(2k －1)，n ＝k ＋1时，等式左边为(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)…(k ＋1＋k ＋1)＝(k ＋2)(k ＋3)…(2k )·(2k ＋1)·(2k ＋2)，右边为2k ＋1·1·3·…·(2k －1)(2k ＋1)．左边需增乘2(2k ＋1)，故选B.二、填空题5．用数学归纳法证明关于n 的恒等式时，当n ＝k 时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k (3k＋1)＝k (k ＋1)2，则当n ＝k ＋1时，待证表达式应为________．[答案] 1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＋(k ＋1)(3k ＋4)＝(k ＋1)(k ＋2)2 6．用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下：①当n ＝1时，左边＝20＝1，右边＝21－1＝1，不等式成立； ②假设n ＝k 时，等式成立， 即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1.则当n ＝k ＋1时， 1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，所以n ＝k ＋1时等式成立．由此可知对任意正整数n ，等式都成立． 以上证明错在何处？____________. [答案] 没有用上归纳假设[解析] 由数学归纳法证明步骤易知其错误所在．7．设S 1＝12，S 2＝12＋22＋12，…，S n ＝12＋22＋32＋…＋n 2＋…＋22＋12.用数学归纳法证明S n ＝n (2n ＋1)2时，第二步从k 到k ＋1应添加的项为________．[答案] (k ＋2)·2k ＋12[解析] S k ＋1－S k ＝(k ＋1)(2k ＋1＋1)2－k (2k ＋1)2＝(k ＋2)·2k ＋12.三、解答题8．在数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，当n ∈N *时，满足a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，且设b n ＝a 4n ，求证：{b n }的各项均为3的倍数．[证明] (1)∵a 1＝a 2＝1， 故a 3＝a 1＋a 2＝2，a 4＝a 3＋a 2＝3.∴b 1＝a 4＝3，当n ＝1时，b 1能被3整除． (2)假设n ＝k 时，即b k ＝a 4k 是3的倍数． 则n ＝k ＋1时，b k ＋1＝a 4(k ＋1)＝a (4k ＋4)＝a 4k ＋3＋a 4k ＋2 ＝a 4k ＋2＋a 4k ＋1＋a 4k ＋1＋a 4k ＝3a 4k ＋1＋2a 4k .由归纳假设，a 4k 是3的倍数，故可知b k ＋1是3的倍数． ∴n ＝k ＋1时命题正确．综合(1)、(2)可知，对于任意正整数n ，数列{b n }的各项都是3的倍数．9．(2013·大庆实验中学高二期中)数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)． (1)计算a 1、a 2、a 3，并猜想a n 的通项公式； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．[证明] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1； 当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴a 2＝32；当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴a 3＝74.由此猜想a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)(2)证明：①当n ＝1时，a 1＝1结论成立， ②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时结论成立， 即a k ＝2k －12k －1，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1，∴2a k ＋1＝2＋a k ∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2k ＋1－12k ＝2k ＋1－12(k ＋1)－1，∴当n ＝k ＋1时结论成立，于是对于一切的自然数n ∈N *，a n ＝2n －12n －1成立．。
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 9-4线面、面面平行的判定与性质课后强化作业 新人教B版
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习9-4线面、面面平行的判定与性质课后强化作业新人教B版基础巩固强化一、选择题1．(文)已知平面α∩β＝l，m是α内不同于l的直线，那么下列命题中错误．．的是() A．若m∥β，则m∥l B．若m∥l，则m∥βC．若m⊥β，则m⊥l D．若m⊥l，则m⊥β[答案]D[解析]A符合直线与平面平行的性质定理；B符合直线与平面平行的判定定理；C符合直线与平面垂直的性质；对于D，只有α⊥β时，才能成立．(理)设m、n表示不同直线，α、β表示不同平面，则下列命题中正确的是()A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥βD．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β[答案]D[解析]A选项不正确，n还有可能在平面α内，B选项不正确，平面α还有可能与平面β相交，C选项不正确，n也有可能在平面β内，选项D正确．2．(文)设m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是() A．若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥βB．若m∥α，m∥n，则n∥αC．若m∥α，n∥α，则m∥nD．若m，n为两条异面直线，且m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β[答案]D[解析]选项A中的直线m，n可能不相交；选项B中直线n可能在平面α内；选项C中直线m，n的位置可能是平行、相交或异面．(理)已知m，n，l为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nB．l⊥β，α⊥β⇒l∥αC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．α∥β，l⊥α⇒l⊥β[答案]D[解析]对于选项A，m，n平行或异面；对于选项B，可能出现l⊂α这种情形；对于选项C，可能出现n⊂α这种情形．故选D.3．(2013·聊城东阿一中摸底)若直线m，n和平面α，β，则下列四个命题中，正确的是() A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α[答案]D[解析]选项A中，两条直线同时平行于同一个平面，则两直线的位置关系有相交、平行、异面三种；选项B中，只有m，n相交时成立；选项C中，只有m垂直于交线时成立，故选D.4．(文)已知直线l、m，平面α、β，则下列命题中的假命题是()A．若α∥β，l⊂α，则l∥βB．若α∥β，l⊥α，则l⊥βC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β[答案]C[解析]对于选项C，直线l与m可能构成异面直线，故选C.(理)若a不平行于平面α，且a⊄α，则下列结论成立的是()A．α内的所有直线与a异面B．α内与a平行的直线不存在C．α内存在唯一的直线与a平行D．α内的直线与a都相交[答案]B[解析]由条件知a与α相交，故在平面α内的直线与a相交或异面，不存在与a平行的直线．5．(文)(2013·某某某某十校期末)设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则下列命题中正确的是()A．若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥αB．若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l∥mC．若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥nD．若l⊥m，l⊥n，则n∥m[答案]C[解析]m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，需要m与n相交才有l⊥α，A错误；若m⊂α，n⊥α，l⊥n，l与m可能平行、相交，也可能异面，B错误；若l⊥m，l⊥n，n与m可能平行、相交，也可能异面，D错误．(理)(2013·某某某某一模)已知α，β是空间中两个不同平面，m，n是空间中两条不同直线，则下列命题中错误的是()A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β[答案]B[解析]选项B中不能判定m∥n，m与n的位置关系还有可能为异面．6．下列命题中，是假命题的是()A．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面B．平面α∥平面β，a⊂α，过β内的一点B有唯一的一条直线b，使b∥aC．α∥β，γ∥δ，α、β与γ、δ的交线分别为a、b和c、d，则a∥b∥c∥dD．一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件[答案]D[解析]三角形的任意两边必相交，故三角形所在的平面与这个平面平行，从而第三边也与这个平面平行，∴A真；假设在β内经过B点有两条直线b、c都与a平行，则b∥c，与b、c都过B点矛盾，故B真；∵γ∥δ，α∩γ＝a，α∩δ＝b，∴a∥b，同理c∥d；又α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝c，∴a∥c，∴a∥b∥c∥d，故C真；正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与平面AA1D1D 和平面CC1D1D所成角相等，但平面AA1D1D∩平面CC1D1D＝DD1，故D假．二、填空题7．(2014·扶沟中学模拟)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.[答案]M∈线段FH[分析]由H、N分别为CD、BC中点知HN∥BD，又MN∥平面B1BDD1，因此点M 应使平面MHN∥平面B1BDD1，而点M在平面EFGH内，从而HM为平面HMN与平面EFGH 的交线，而DD1为平面B1BDD1与平面EFGH的交线，由面面平行的性质定理知，应有HM ∥DD1，故M在直线HF上可符合要求．[解析]因为HN∥BD，HF∥DD1，所以平面NHF∥平面B1BDD1，又平面NHF∩平面EFGH ＝FH.故线段FH上任意点M与N相连，有MN∥平面B1BDD1，故填M∈线段FH.8．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．[答案] 2[解析]∵EF∥平面AB1C，平面ABCD经过直线EF与平面AB1C相交于AC，∴EF∥AC，∵E为AD的中点，∴F为CD的中点，∴EF ＝12AC ＝12×22＝ 2.9．已知两条不重合的直线m 、n ，两个不重合的平面α、β，有下列命题： ①若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α；②若n ⊥α，m ⊥β，且n ∥m ，则α∥β； ③若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ④若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂β，n ⊥m ，则n ⊥α. 其中正确命题的序号是________． [答案]②④[解析]对于①，直线m 可能位于平面α内，此时不能得出m ∥α，因此①不正确；对于②，由n ⊥α，m ∥n ，得m ⊥α，又m ⊥β，所以α∥β，因此②正确；对于③，直线m ，n 可能是两条平行直线，此时不一定能得出α∥β，因此③不正确；对于④，由“如果两个平面相互垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面”可知，④正确．综上所述，其中正确命题的序号是②④.三、解答题 10．(文)(2013·某某模拟)如图，P 为▱ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别为AB ，PC 的中点，平面P AD ∩平面PBC ＝l .(1)判断BC 与l 的位置关系，并证明你的结论； (2)判断MN 与平面P AD 的位置关系，并证明你的结论． [解析](1)结论：BC ∥l ，因为AD ∥BC ，BC ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ， 所以BC ∥平面P AD .又因为BC⊂平面PBC，平面P AD∩平面PBC＝l，所以BC∥l.(2)结论：MN∥平面P AD.设Q为CD的中点，如右图所示，连接NQ，MQ，则NQ∥PD，MQ∥AD.又因为NQ∩MQ＝Q，所以平面MNQ∥平面P AD.又因为MN⊂平面MNQ，所以MN∥平面P AD.[点评]本题(1)将线面平行的判定定理和性质定理交替使用，实现了线线平行的证明；本题(2)巧妙地将线面平行的证明转化为面面平行，进而由面面平行的性质，得出结论的证明．(理)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．[解析](1)如图(1)，取AA 1的中点M ，连接EM ，BM .因为E 是DD 1的中点，四边形ADD 1A 1为正方形，所以EM ∥AD .又在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ⊥平面ABB 1A 1，所以EM ⊥平面ABB 1A 1，从而BM 为直线BE 在平面ABB 1A 1上的射影，∠EBM 为BE 和平面ABB 1A 1所成的角．设正方体的棱长为2，则EM ＝AD ＝2，BE ＝22＋22＋12＝3.于是，在Rt △BEM 中，sin∠EBM ＝EM BE ＝23，即直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23.(2)在棱C 1D 1上存在点F ，使B 1F ∥平面A 1BE .如图(2)，分别取C 1D 1和CD 的中点F 、G ，连接B 1F 、EG 、BG 、CD 1、FG .因为A 1D 1∥B 1C 1∥BC ，且A 1D 1＝BC ，所以四边形A 1BCD 1是平行四边形，因此D 1C ∥A 1B .又E 、G 分别为D 1D 、CD 的中点， 所以EG ∥D 1C ，从而EG ∥A 1B .这说明A 1、B 、G 、E 共面．所以BG ⊂平面A 1BE .因为四边形C 1CDD 1与B 1BCC 1皆为正方形，F 、G 分别为C 1D 1和CD 的中点，所以FG ∥C 1C ∥B 1B ，且FG ＝C 1C ＝B 1B ，因此四边形B 1BGF 是平行四边形，所以B 1F ∥BG ，又B 1F ⊄平面A 1BE ，BG ⊂平面A 1BE ， 故B 1F ∥平面A 1BE .能力拓展提升一、解答题 11.(2013·某某三校调研)如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ＝DC ＝12AB ＝1，M 是PB 的中点．(1)求证：AM ＝CM ；(2)若N 是PC 的中点，求证：DN ∥平面AMC . [解析](1)在直角梯形ABCD 中，AD ＝DC ＝12AB ＝1，∴AC ＝2，BC ＝2，∴BC ⊥AC ，又P A ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥P A ， 又P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥PC . 在Rt △P AB 中，M 为PB 的中点，则AM ＝12PB ，在Rt △PBC 中，M 为PB 的中点，则CM ＝12PB ，∴AM ＝CM .(2)如图，连接DB 交AC 于点F ， ∵DC 綊12AB ，∴DF ＝12FB .取PM 的中点G ，连接DG ，FM ，则DG ∥FM ， 又DG ⊄平面AMC ，FM ⊂平面AMC ， ∴DG ∥平面AMC .连接GN ，则GN ∥MC ，∴GN ∥平面AMC ， 又GN ∩DG ＝G ，∴平面DNG ∥平面AMC ， 又DN ⊂平面DNG ，∴DN ∥平面AMC .12．(文)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AB ⊥BB 1，AC ＝BC ＝BB 1＝2，D 为AB 的中点，且CD ⊥DA 1.(1)求证：BB 1⊥平面ABC ； (2)求证：BC 1∥平面CA 1D ； (3)求三棱锥B 1－A 1DC 的体积．[解析](1)∵AC ＝BC ，D 为AB 的中点，∴CD ⊥AB ， 又∵CD ⊥DA 1，∴CD ⊥平面ABB 1A 1，∴CD ⊥BB 1，又BB 1⊥AB ，AB ∩CD ＝D ， ∴BB 1⊥平面ABC .(2)连接BC 1，连接AC 1交CA 1于E ，连接DE ，易知E 是AC 1的中点，又D 是AB 的中点，则DE ∥BC 1，又DE ⊂平面CA 1D ，BC 1⊄平面CA 1D ，∴BC 1∥平面CA 1D .(3)由(1)知CD ⊥平面AA 1B 1B ， 故CD 是三棱锥C －A 1B 1D 的高，在Rt △ACB 中，AC ＝BC ＝2，∴AB ＝22，CD ＝2， 又BB 1＝2，∴VB 1－A 1DC ＝VC －A 1B 1D ＝13S △A 1B 1D ·CD＝16A 1B 1×B 1B ×CD ＝16×22×2×2＝43. (理)在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，棱AB 、BB ′、B ′C ′、C ′D ′的中点分别为E 、F 、G 、H ，如图所示．(1)求证：AD′∥平面EFG；(2)求证：A′C⊥平面EFG；(3)判断点A、D′、H、F是否共面，并说明理由．[解析](1)证明：连结BC′.在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝C′D′，AB∥C′D′.所以四边形ABC′D′是平行四边形．所以AD′∥BC′.因为F、G分别是BB′、B′C′的中点，所以FG∥BC′，所以FG∥AD′.因为EF、AD′是异面直线，所以AD′⊄平面EFG.因为FG⊂平面EFG，所以AD′∥平面EFG.(2)证明：连结B′C.在正方体ABCD－A′B′C′D′中，A′B′⊥平面BCC′B′，BC′⊂平面BCC′B′，所以A′B′⊥BC′.在正方体BCC′B′中，B′C⊥BC′，因为A′B′⊂平面A′B′C，B′C⊂平面A′B′C，A′B′∩B′C＝B′，所以BC′⊥平面A′B′C.因为A′C⊂平面A′B′C，所以BC′⊥A′C.因为FG∥BC′，所以A′C⊥FG.同理可证：A′C⊥EF.因为EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EF∩FG＝F，所以A′C⊥平面EFG.(3)点A、D′、H、F不共面．理由如下：假设A、D′、H、F共面．连结C′F、AF、HF.由(1)知，AD′∥BC′，因为BC′⊂平面BCC′B′，AD′⊄平面BCC′B′.所以AD′∥平面BCC′B′.因为C′∈D′H，所以平面AD′HF∩平面BCC′B′＝C′F. 因为AD′⊂平面AD′HF，所以AD′∥C′F.所以C′F∥BC′，而C′F与BC′相交，矛盾．所以A，D′、H、F点不共面．13．(文)(2013·丰台期末)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，点M，N 分别为A1C1与A1B的中点．(1)求证：MN∥平面BCC1B1；(2)求证：平面A1BC⊥平面A1ABB1.[证明](1)连接BC1，∵点M，N分别为A1C1与A1B的中点，∴MN∥BC1.∵MN⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴MN∥平面BCC1B1.(2)∵AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC.又∵AB⊥BC，AA1∩AB＝A，∴BC⊥平面A1ABB1.∵BC⊂平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面A1ABB1.(理)(2013·某某)如图，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥P A，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：CE∥平面P AD；(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.[解析](1)解法一：取P A的中点H，连接EH，DH. 因为E为PB的中点，所以EH∥AB，EH＝12AB.又AB∥CD，CD＝12AB，所以EH∥CD，EH＝CD. 因此四边形DCEH是平行四边形．所以CE∥DH. 又DH⊂平面P AD，CE⊄平面P AD，因此CE∥平面P AD.解法二：连接CF.因为F为AB的中点，所以AF＝12AB.又CD＝12AB，所以AF＝CD.又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形．因此CF∥AD.又CF⊄平面P AD，所以CF∥平面P AD.因为E、F分别为PB、AB的中点，所以EF∥P A.又EF⊄平面P AD，所以EF∥平面P AD.因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面P AD.又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面P AD.(2)证明：因为E、F分别为PB、AB的中点，所以EF∥P A.又AB⊥P A，所以AB⊥EF.同理可证AB⊥FG.又EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，因此AB⊥平面EFG.又M、N分别为PD、PC的中点，所以MN∥CD.又AB∥CD，所以MN∥AB.因此MN⊥平面EFG.又MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.14．(文)(2013·某某模拟)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．[解析]存在点E，且E为AB的中点．下面给出证明：如图，取BB1的中点F，连接DF，则DF∥B1C1.∵AB的中点为E，连接EF，则EF∥AB1.B1C1与AB1是相交直线，∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.(理)(2013·某某一模)如图，多面体ABC－A1B1C1中，三角形ABC是边长为4的正三角形，AA1∥BB1∥CC1，AA1⊥平面ABC，AA1＝BB1＝2CC1＝4.(1)若O是AB的中点，求证：OC1⊥A1B1；(2)在线段AB1上是否存在一点D，使得CD∥平面A1B1C1？若存在，确定点D的位置；若不存在，请说明理由．[解析](1)取线段A1B1的中点E，连接OE，C1E，CO，已知等边三角形ABC的边长为4，AA1＝BB1＝2CC1＝4，AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1∥CC1，∴四边形AA1B1B是正方形，OE⊥AB，CO⊥AB.∵CO∩OE＝O，∴AB⊥平面EOCC1，又A1B1∥AB，OC1⊂平面EOCC1，∴OC1⊥A1B1.(2)设OE∩AB1＝D，连接CD，则点D是AB1的中点，∴ED∥AA1，ED＝12AA1，又∵CC1∥AA1，CC1＝12AA1，∴四边形CC1ED是平行四边形，∴CD∥C1E，∴CD∥平面A1B1C1，即存在点D，使得CD∥平面A1B1C1，且点D是AB1的中点．考纲要求1．认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．补充材料1．探索性问题的一般分析步骤：第一步，假设结论成立．第二步，把结论当作条件与已知条件结合，经过推理论证探求应具备的条件．第三步，给出明确答案，并予以证明．2．注意事项证明线面平行时，一定要指出直线在平面外；用判定定理证明二面平行时，一定要指出两直线相交．备选习题1．已知直线l、m，平面α，且m⊂α，则l∥m是l∥α的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]D[解析]由l∥m可知l∥α或l⊂α，所以“l∥m”不是“l∥α”的充分条件，l∥α且m⊂α，则直线l∥m或直线l与m异面，所以“l∥m”也不是“l∥α”的必要条件，故选D.2．已知m、n、l1、l2表示不同直线，α、β表示不同平面．若m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是()A．m∥β且l1∥αB．m∥β且n∥βC．m∥β且n∥l1D．m∥l1且n∥l2[答案]D[解析]由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”结合选项D可推知α∥β，因此选D.3．(2013·某某天门一模)给出下列命题，其中正确的两个命题是()①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行；②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面；③直线m⊥平面α，直线n⊥直线m，则n∥α；④a，b是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a，b都平行且与a，b的距离相等．A．①与②B．②与③C．③与④D．②与④[答案]D[解析]直线上有两点到平面的距离相等，则此直线可能与平面平行，也可能和平面相交；直线m⊥平面α，直线m⊥直线n，则直线n可能平行于平面α，也可能在平面α内，因此①③为假命题．4.如图，在三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，点E 、F 、H 、K 分别为AC ′、CB ′、A ′B 、B ′C ′的中点，G 为△ABC 的重心．从K 、H 、G 、B ′中取一点作为P ，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF 平行，则P 为( )A ．KB ．HC ．GD ．B ′ [答案]C[解析]假如平面PEF 与侧棱BB ′平行则和三条侧棱都平行，不满足题意，而FK ∥BB ′，排除A ；假如P 为B ′点，则平面PEF 即平面A ′B ′C ，此平面只与一条侧棱AB 平行，排除D.若P 为H 点，则HF 为△BA ′C ′的中位线，∴HF ∥A ′C ′；EF 为△ABC ′的中位线，∴EF ∥AB ，HE 为△AB ′C ′的中位线，∴HE ∥B ′C ′，显然不合题意，排除B.[点评] 此题中，∵EF 是△ABC ′的中位线，∴EF ∥AB ∥A ′B ′，故点P 只要使得平面PEF 与其他各棱均不平行即可，故选G 点．5．(2012·某某一模)过两平行平面α、β外的一点P 作两条直线，分别交α于A 、C 两点，交β于B 、D 两点，若P A ＝6，AC ＝9，PB ＝8，则BD ＝________.[答案]12[解析]由面面平行的性质定理可知AC ∥BD ，又由平行线分线段成比例定理可得P APB＝AC BD ，即68＝9BD，得BD ＝12. 6．(2013·某某模拟)如图，已知四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥DC ，∠ABC ＝45°，DC ＝1，AB ＝2，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝1.(1)求证：AB∥平面PCD；(2)求证：BC⊥平面P AC；(3)若M是PC的中点，求三棱锥M－ACD的体积．[解析](1)由已知底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，又AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB∥平面PCD.(2)在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，则四边形ADCE为矩形，∴AE＝DC＝1又AB＝2，∴BE＝1，在Rt△BEC中，∠ABC＝45°，∴CE＝BE＝1，CB＝2，∴AD＝CE＝1，则AC＝AD2＋CD2＝2，AC2＋BC2＝AB2，∴BC⊥AC.又P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BC，又P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.(2)∵M是PC中点，∴M到平面ADC的距离是P到平面ADC距离的一半．∴V M－ACD＝13S△ACD ·(12P A)＝13×(12×1×1)×12＝112.。
走向高考高三数学一轮人教B基础巩固：第章 第节 推理与证明
第十一章第三节一、选择题1．(文)观察下列各式：55＝3125, 56＝15625, 57＝78125，…，则52015的末四位数字为() A．3125B．5625C．0625D．8125[答案] D[解析]因为58＝390625,59＝1953125.所以5n(n≥5)的末四位数字周期为4，2015＝503×4＋3，故52015的末四位数字为8125，故选D.(理)将正整数排成下表：123 45678910111213141516……则在表中数字2014出现在()A．第44行第78列B．第45行第78列C．第44行第77列D．第45行第77列[答案] B[解析]第n行有2n－1个数字，前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1936,452＝2025，且1936<2014,2025>2014，∴2014在第45行．2014－1936＝78，∴2014在第78列，选B.2．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16…这样的数称为“正方形数”．如图，可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式是()①13＝3＋10；②25＝9＋16；③36＝15＋21；④49＝18＋31；⑤64＝28＋36.A．①④B．②⑤C．③⑤D．②③[答案] C[解析] 这些“三角形数”依次是1,3,6,10,15,21,28,36,45，…且“正方形数”是“三角形数”中相邻两数之和，很容易得到：15＋21＝36,28＋36＝64，只有③⑤是对的．3.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝a ，CD ＝b (a >b )．若EF ∥AB ，EF 到CD 与AB 的距离之比为m n ，则可推算出：EF ＝ma ＋nbm ＋n ，试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形ABCD 中，延长梯形两腰AD 、BC 相交于O 点，设△OAB 、△OCD 的面积分别为S 1、S 2，EF ∥AB ，且EF 到CD 与AB 的距离之比为m n ，则△OEF 的面积S 0与S 1、S 2的关系是( )A ．S 0＝mS 1＋nS 2m ＋nB ．S 0＝nS 1＋mS 2m ＋nC.S 0＝m S 1＋n S 2m ＋nD.S 0＝n S 1＋m S 2m ＋n[答案] C[解析] 根据面积比等于相似比的平方求解．4．定义A *B ，B *C ，C *D ，D *A 的运算分别对应图中的(1)(2)(3)(4)，那么下图中(A)(B)所对应的运算结果可能是( )A ．B *D ，A *D B ．B *D ，A *C C ．B *C ，A *D D ．C *D ，A *D[答案] B[解析] 观察图形及对应运算分析可知，基本元素为A →|，B →□，C →——，D →○，从而可知图(A)对应B *D ，图B 对应A *C .5．(2014·湖南长沙一模)在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14.推广到空间可以得到类似结论，已知正四面体P －ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( )A.18 B ．19C.127 D ．164[答案] C[解析] 从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，可知选C.证明如下：如图，设正四面体的棱长为a ，E 为等边三角形ABC 的中心，O 为内切球与外接球球心．则AE ＝33a ，DE ＝63a ， 设OA ＝R ，OE ＝r ， 则OA 2＝AE 2＋OE 2， 即R 2＝(63a －R )2＋(33a )2， ∴R ＝64a ，r ＝612a ， ∴正四面体的外接球和内切球的半径之比是r R ＝13，故正四面体P －ABC 的内切球体积V 1与外接球体积V 2之比等于(r R )3＝127.6．(文)若定义在区间D 上的函数f (x )，对于D 上的任意n 个值x 1、x 2、…、x n ，总满足f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )≥nf ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，则称f (x )为D 上的凹函数，现已知f (x )＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凹函数，则在锐角三角形ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C 的最小值是( )A ．3B ．23C ．3 3D ． 3[答案] C[解析] 根据f (x )＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凹函数，再结合凹函数定义得，tan A ＋tan B ＋tan C ≥3tan ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋B ＋C 3＝3tan π3＝3 3.故所求的最小值为3 3.(理)观察等式：sin 230°＋cos 260°＋sin30°cos60°＝34，sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°＝34和sin 215°＋cos 245°＋sin15°cos45°＝34，…，由此得出以下推广命题，则推广不正确的是( )A ．sin 2α＋cos 2β＋sin αcos β＝34B ．sin 2(α－30°)＋cos 2α＋sin(α－30°)cos α＝34C ．sin 2(α－15°)＋cos 2(α＋15°)＋sin(α－15°)cos(α＋15°)＝34D ．sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34[答案] A[解析] 观察已知等式不难发现，60°－30°＝50°－20°＝45°－15°＝30°，推广后的命题应具备此关系，但A 中α与β无联系，从而推断错误的命题为A.选A.二、填空题7．(2013·山西四校联考)已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4，…，类比得x ＋axn ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝________.[答案] n n[解析] 第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝11＝1，第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝22＝4，第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33＝27，归纳可知a ＝n n .8．(文)(2014·温州适应性测试)已知cos π3＝12，cos π5cos 2π5＝14， cos π7cos 2π7cos 3π7＝18， ……(1)根据以上等式，可猜想出的一般结论是________；(2)若数列{a n }中，a 1＝cos π3，a 2＝cos π5cos 2π5，a 3＝cos π7·cos 2π7cos 3π7，…，前n 项和S n ＝10231024，则n ＝________.[答案] (1)cos π2n ＋1·cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n (n ∈N *) (2)10[解析] (1)从题中所给的几个等式可知，第n 个等式的左边应有n 个余弦相乘，且分母均为2n ＋1，分子分别为π，2π，…，n π，右边应为12n ，故可以猜想出结论为cos π2n ＋1·cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n (n ∈N *)． (2)由(1)可知a n ＝12n ，故S n ＝12[1－(12)n ]1－12＝1－12n ＝2n －12n ＝10231024，∴n ＝10.(理)考察下列一组不等式：23＋53>22·5＋2·52,24＋54>23·5＋2·53,252＋552>22·512＋212·52，….将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为________________________．[答案] a m ＋n ＋b m ＋n >a m b n ＋a n b m (a ，b >0，a ≠b ，m ，n >0)[解析] 由“23＋53>22·5＋2·52”，“24＋54>23·5＋2·53”，“252＋552>22·512＋212·5”，可得推广形式的最基本的印象：应具有“□□＋□□>□□·□□＋□□·□□”的形式．再分析底数间的关系，可得较细致的印象：应具有“a □＋b □>a □·b □＋a □·b □”的形式．再分析指数间的关系，可得准确的推广形式：a m ＋n ＋b m ＋n >a m b n ＋a n b m (a ，b >0，a ≠b ，m ，n >0)．9．(2014·福建漳州质检)对于等差数列{a n }有如下命题：“若数列{a n }是等差数列，a 1＝0，s ，t 是互不相等的正整数，则有(s －1)a t －(t －1)a s ＝0”．类比此命题，给出等比数列{b n }相应的一个正确命题是________．[答案] 若数列{b n }是等比数列，b 1＝1，s ，t 是互不相等的正整数，则有b s －1tb t －1s＝1[解析] 在等差数列{a n }中，设d 为公差，因为a 1＝0， 所以a t ＝(t －1)d ，a s ＝(s －1)d ， 所以a t a s ＝t －1s －1，即(s －1)a t －(t －1)a s ＝0.类比此法，在等比数列{b n }中， 设q 是公比，b t ＝b 1q t －1，b s ＝b 1q s －1，则当b 1＝1时，有b s －1tb t －1s ＝1.三、解答题10．已知直线AP ⊥平面ABC ，底面△ABC 是锐角三角形，若H 是A 在平面BPC 上的射影，求证：H 不可能是△BPC 的垂心．[分析] 由于本题是证H 不可能是△BPC 的垂心，因此可从问题的反面出发，假设H 是△BPC 的垂心，然后推出一个矛盾的结论．[证明] 假设H 是△BPC 的垂心，连接CH 延长交BP 于E ，则CE ⊥PB .又AH ⊥平面BPC .故PB ⊥AH . 所以PB ⊥平面ACE .则AC ⊥BP .由P A ⊥平面ABC 知AC ⊥AP ，故直线AC ⊥平面ABP ，则AC ⊥AB .即∠BAC ＝90°，这与△ABC 是锐角三角形矛盾，所以H 不可能是△BPC 的垂心.一、选择题11．已知结论：“在三边长都相等的△ABC 中，若D 是BC 的中点，G 是△ABC 外接圆的圆心，则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD 中，若M 是△BCD 的三边中线的交点，O 为四面体ABCD 外接球的球心，则AOOM＝______.”( )A ．2B ．3C ．4D ．9[答案] B[解析] 如图，易知球心O 在线段AM 上，不妨设四面体ABCD 的边长为1，外接球的半径为R ，则BM ＝32×23＝33， AM ＝12－(33)2＝63， R ＝(63－R )2＋(33)2，解得R ＝64. 于是，AO OM ＝6463－64＝3. 12．规定一机器狗每秒钟只能前进或后退一步，现程序设计师让机器狗以“前进3步，然后再退2步”的规律移动．如果将此机器狗放在数轴原点，面向正方向，以1步的距离为1个单位长度移动，令P (n )表示第n s 时机器狗所在的位置坐标，且P (0)＝0，则下列结论中正确的是( )A ．P (2012)＝404B ．P (2013)＝404C ．P (2014)＝405D ．P (2015)＝405[答案] A[解析] 显然每5s 前进一个单位，且P (1)＝1，P (2)＝2，P (3)＝3，P (4)＝2，P (5)＝1， ∴P (2012)＝P (5×402＋2)＝402＋2＝404，P (2013)＝405，P (2014)＝404，P (2015)＝403，故选A. 二、填空题13．(2014·浙江嘉兴一中摸底)记定义在R 上的函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )．如果存在x 0∈[a ，b ]，使得f (b )－f (a )＝f ′(x 0)(b －a )成立，则称x 0为函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的“中值点”．那么函数f (x )＝x 3－3x 在区间[－2，2]上的“中值点”为________．[答案] ±233[解析] 由f (x )＝x 3－3x 求导可得f ′(x )＝3x 2－3，设x 0为函数f (x )在区间[－2,2]上的“中值点”，则f ′(x 0)＝f (2)－f (－2)2－(－2)＝1，即3x 20－3＝1，解得x 0＝±233. 14．(2014·新课标Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市． 由此可判断乙去过的城市为________． [答案] A[解析] 由丙可知，乙至少去过一个城市．由甲可知，甲去过A ，C 且比乙多，且乙没有去过C 城市，故乙只去过A 城市． 15．(文)(2013·临沂二模)对于大于或等于2的自然数n 的二次方幂有如下分解方式：22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7，…，根据上述分解规律，对任意自然数n ，当n ≥2时，有____________．[答案] n 2＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)(理)(2014·山东潍坊期中)如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则△A 2B 2C 2是________三角形．[答案] 钝角[解析] 由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧sin A 2＝cos A 1＝sin (π2－A 1)，sin B 2＝cos B 1＝sin (π2－B 1)，sin C 2＝cos C 1＝sin (π2－C 1)，得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1.那么，A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为180°相矛盾．所以假设不成立，又显然△A 2B 2C 2不是直角三角形，所以△A 2B 2C 2是钝角三角形． 16．(文)观察下列几个三角恒等式：①tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝1； ②tan5°tan100°＋tan100°tan(－15°)＋tan(－15°)tan5°＝1； ③tan13°tan35°＋tan35°tan42°＋tan42°tan13°＝1.一般地，若tan α，tan β，tan γ都有意义，你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为______________________．[答案] 当α＋β＋γ＝90°时，tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1[解析] 所给三角恒等式都为tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1的结构形式，且α，β，γ之间满足α＋β＋γ＝90°.(理)(2013·福州模拟)对一个边长为1的正方形进行如下操作：第一步，将它分割成3×3方格，接着用中心和四个角的5个小正方形，构成如图①所示的几何图形，其面积S 1＝59；第二步，将图①的5个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作，得到图②；依此类推，到第n 步，所得图形的面积S n ＝(59)n .若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中，则到第n 步，所得几何体的体积V n ＝________.[答案] (13)n[解析] 将棱长为1的正方体分割成3×3×3＝27个全等的小正方体，拿去分别与中间小正方体的六个面重合的6个小正方体和分别与中间小正方体有1条棱重合的12个小正方体，则余下的9个小正方体体积V 1＝13，第二步，将余下的9个小正方体作同样的操作，则余下的9×9个小正方体的体积V 2＝(13)2，故到第n 步，所得几何体的体积V n ＝(13)n .三、解答题17．(文)已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a . [证明] 要证b 2－ac <3a ，只需证b 2－ac <3a 2，因为a ＋b ＋c ＝0，只需证b 2＋a (a ＋b )<3a 2，只需证2a 2－ab －b 2>0， 只需证(a －b )(2a ＋b )>0，只需证(a －b )(a －c )>0. 因为a >b >c ，所以a －b >0，a －c >0，所以(a －b )(a －c )>0，显然成立，故原不等式成立． (理)已知：a >0，b >0，a ＋b ＝1.求证：a ＋12＋b ＋12≤2. [证明] 要证a ＋12＋b ＋12≤2，只需证a ＋12＋b ＋12＋2(a ＋12)(b ＋12)≤4，又a ＋b ＝1，故只需证(a ＋12)(b ＋12)≤1，只需证(a ＋12)(b ＋12)≤1，只需证ab ≤14.∵a >0，b >0,1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14，故原不等式成立．18．(文)设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．[解析] f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33，同理可得：f (－1)＋f (2)＝33，f (－2)＋f (3)＝33， 注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1. 归纳猜想得：当x 1＋x 2＝1时，均有f (x 1)＋f (x 2)＝33. 证明如下： 设x 1＋x 2＝1，f (x 1)＋f (x 2)＝13x 1＋3＋13x 2＋3＝(3x 1＋3)＋(3x 2＋3)(3x 1＋3)(3x 2＋3)＝3x 1＋3x 2＋233x 1＋x 2＋3(3x 1＋3x 2)＋3＝3x 1＋3x 2＋233(3x 1＋3x 2＋23)＝33.(理)(2014·天津红桥区一模)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－a n －(12)n －1＋2(n 为正整数)．(1)令b n ＝2n a n ，求证数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)令c n ＝n ＋1n a n ，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，试比较T n 与5n2n ＋1的大小，并予以证明．[解析] (1)在S n ＝－a n －(12)n －1＋2中，令n ＝1，可得S 1＝－a 1－1＋2＝a 1，即a 1＝12，当n ≥2时，S n －1＝－a n －1－(12)n －2＋2，∴a n ＝S n －S n －1＝－a n ＋a n －1＋(12)n －1，∴2a n ＝a n －1＋(12)n －1，即2n a n ＝2n －1a n －1＋1.∵b n ＝2n a n ，∴b n ＝b n －1＋1，即当n ≥2时，b n －b n －1＝1， 又b 1＝2a 1＝1，∴数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列， 于是b n ＝1＋(n －1)·1＝n ＝2n a n ，∴a n ＝n2n .(2)由(1)得c n ＝n ＋1n a n ＝(n ＋1)(12)n ， 所以T n ＝2×12＋3×(12)2＋4×(12)3＋…＋(n ＋1)(12)n 12T n ＝2×(12)2＋3×(12)3＋4×(12)4＋…＋(n ＋1)(12)n ＋1 由①－②得12T n ＝1＋(12)2＋(12)3＋…＋(12)n －(n ＋1)(12)n ＋1 ＝1＋14[1－(12)n －1]1－12－(n ＋1)(12)n ＋1＝32－n ＋32n ＋1，∴T n ＝3－n ＋32n ， T n －5n 2n ＋1＝3－n ＋32n －5n 2n ＋1＝(n ＋3)(2n －2n －1)2n (2n ＋1)， 于是确定T n 与5n 2n ＋1的大小关系等价于比较2n 与2n ＋1的大小， 2<2×1＋1；22<2×2＋1；23>2×3＋1；24>2×4＋1；25>2×5； 猜想：当n ≥3时，2n >2n ＋1.证明如下：证法1：(1)当n ＝3时，由猜想显然成立．(2)假设n ＝k 时猜想成立．即2k >2k ＋1，则n ＝k ＋1时，2k ＋1＝2·2k >2(2k ＋1)＝4k ＋2＝2(k ＋1)＋1＋(2k －1)>2(k ＋1)＋1， 所以当n ＝k ＋1时猜想也成立，综合(1)(2)可知，对一切n ≥3的正整数，都有2n >2n ＋1. 证法2：当n ≥3时，2n ＝(1＋1)n ＝C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＋C n n ≥C 0n ＋C 1n ＋C n －1n ＋C n n＝2n ＋2>2n ＋1， 综上所述，当n ＝1,2时，T n <5n 2n ＋1，当n ≥3时，T n >5n 2n ＋1.。
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 10-7二项式定理课后强化作业 新人教B版
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 10-7二项式定理课后强化作业 新人教B 版基础巩固强化一、选择题1．(2013·新课标Ⅱ理，5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 [答案]D[解析]因为(1＋x )5的二项展开式的通项为C r 5x r (0≤r ≤5，r ∈Z )，则含x 2的项为C 25x 2＋ax ·C 15x ＝(10＋5a )x 2，所以10＋5a ＝5，a ＝－1.2．(2013·某某某某一模)二项式(x 2－13x )8的展开式中的常数项是( )A ．28B ．－7C ．7D ．－28 [答案]C[解析]二项式(x 2－13x )8展开式中的通项为T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r (－13x )r ＝(－1)r C r 82r －8x 8－4r 3，令8－4r 3＝0得r ＝6，∴常数项是(－1)6C 6822＝7，故选C.3．(2013·某某模拟)(2－x )8展开式中不含x 4项的系数的和为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 [答案]B[解析]展开式中所有各项系数的和为(2－1)8＝1，其中x 4项的系数为1，∴选B. 4．在(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中，含x 4项的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的( )A ．第11项B ．第13项C ．第18项D ．第20项 [答案]D[解析](1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中，含x 4项的系数为C 45＋C 46＋C 47＝C 15＋C 26＋C 37＝5＋6×52＋7×6×53×2＝55，以－2为首项，3为公差的等差数列的通项公式a n ＝－2＋3(n－1)＝3n －5，令a n ＝55，即3n －5＝55，n ＝20，故选D.5．(2013·某某模拟)在二项式(x 2＋x ＋1)(x －1)5的展开式中，含x 4项的系数是( ) A ．－25 B ．－5 C ．5 D ．25[答案]B[解析](x 2＋x ＋1)(x －1)5＝(x 3－1)(x －1)4，其展开式中x 4项的系数为：－1＋C 34(－1)3＝－5.6．(2013·某某理，7)使(3x ＋1x x)n (n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 [答案]B[解析](3x ＋1x x )n 展开式中的第r ＋1项为T r ＋1＝C r n (3x )n －r x －32r ＝C r n 3n －r xn －52r ，若展开式中含常数项，则存在n ∈N ＋，r ∈N ，使n －52r ＝0，∴r ＝2k ，k ∈N *，n ＝5k .故最小的n 值为5，故选B. 二、填空题7．(2013·日照模拟)已知关于x 的二项式(x ＋a 3x)n 的展开式中二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为________．[答案]2[解析]由条件得2n ＝32，∴n ＝5，∴T r ＋1＝C r 5(x )5－r ·(a 3x )r ＝a r C r 5x 52－5r6 ，令52－5r 6＝0得r ＝3，∴a 3C 35＝80，∴a ＝2.8．若(2x ＋3)3＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋a 3(x ＋2)3，则a 0＋a 1＋2a 2＋3a 3＝________. [答案]5[解析]法1：令x ＝－2得a 0＝－1. 令x ＝0得27＝a 0＋2a 1＋4a 2＋8a 3. 因此a 1＋2a 2＋4a 3＝14.∵C 03(2x )3·30＝a 3·x 3.∴a 3＝8.∴a 1＋2a 2＋3a 3＝14－a 3＝6. ∴a 0＋a 1＋2a 2＋3a 3＝－1＋6＝5.法2：由于2x ＋3＝2(x ＋2)－1，故(2x ＋3)3＝[2(x ＋2)－1]3＝8(x ＋2)3－4C 13(x ＋2)2＋2C 23(x ＋2)－1， 故a 3＝8，a 2＝－12，a 1＝6，a 0＝－1. 故a 0＋a 1＋2a 2＋3a 3＝－1＋6－24＋24＝5.9．若a ＝⎠⎛0π(sin x ＋cos x )d x ，则二项式(a x ＋1x )8展开式中含x 项的系数是________．[答案]1792[解析]a ＝⎠⎛0π(sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x )|π0＝2. ∵(2x ＋1x )8展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8(2x )8－r ·(1x )r ＝28－r ·C r 8·x 4－3r 2，令4－3r2＝1得，r ＝2，∴T 3＝26·C 28x ＝1792x ， 故所求系数为1792.10．(2013·某某模拟)已知等比数列{a n }的第5项是二项式(x －13x )6展开式的常数项，则a 3a 7＝________.[答案]259[解析](x －13x )6的展开式的通项是T r ＋1＝C r 6·(x )6－r ·(－13x )r ＝C r 6·(－13)r ·x 3－3r 2 .令3－3r 2＝0得r ＝2，因此(x －13x )6的展开式中的常数项是C 26·(－13)2＝53，即有a 5＝53， a 3a 7＝(a 5)2＝(53)2＝259.能力拓展提升一、选择题11．(2013·新课标Ⅰ理，9)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8 [答案]B[解析]由题意可知，a ＝C m 2m ，b ＝C m2m ＋1，又∵13a ＝7b ，∴13·(2m )！m ！m ！＝7·(2m ＋1)！m ！(m ＋1)！，即137＝2m ＋1m ＋1.解得m ＝6.故选B. 12．(2013·某某一模)(3y ＋x )5展开式的第三项为10，则y 关于x 的函数图象的大致形状为( )[答案]D[解析]由题意得C 25(3y )5－2(x )2＝10，∴xy ＝1，x >0，y >0，∴y ＝1x ，x >0.故选D. 13．若(x ＋y )9按x 的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x ＋y ＝1，xy <0，则x 的取值X 围是( )A ．(－∞，15)B ．[45，＋∞)C ．(－∞，－45] D ．(1，＋∞)[答案]D[解析]二项式(x ＋y )9的展开式的通项是T r＋1＝C r 9·x 9－r ·y r .依题意有⎩⎨⎧C 19·x 9－1·y ≤C 29·x 9－2·y 2，x ＋y ＝1，xy <0.由此得⎩⎪⎨⎪⎧x 8·(1－x )－4x 7·(1－x )2≤0，x (1－x )<0.由此解得x >1，即x 的取值X 围是(1，＋∞)，选D.14．(2013·某某某某质检)若(x 2－1x )n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________．[答案]255[解析]T 6＝C 5n (x 2)n －5(－1x )5＝－C 5n x 2n －15，令2n －15＝1得，n ＝8， 令x ＝1，a 0＋a 1＋…＋a n ＝(－2)8＝256， 令x ＝0得，a 0＝1， ∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝255.15．设a 为函数y ＝sin x ＋3cos x (x ∈R )的最大值，则二项式(a x －1x)6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案]－192[解析]y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的最大值为a ＝2，二项式⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的展开式中第r ＋1项T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r＝(－1)r ·26－r ·C r 6x 3－r ，令3－r ＝2，则r ＝1，∴x 2项的系数为(－1)1×25×C 16＝－192. 16．(2013·某某某某期末)若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝________.[答案]364[解析]令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36； 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1， ∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12；令x ＝0，则a 0＝1，∴a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12－1＝364.考纲要求1．能用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．1．赋值法：在某些二项式定理的有关求“系数和”的问题中，常用对字母取特值的方法解题．2．求二项展开式中的指定项要牢牢抓住通项公式，代入求解或列方程求解，要特别注意项数与指数都是整数．3．求展开式系数最大项：如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R *)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1从而解出k 来，即为所求．对于(a －bx )x (a ，b ∈R ＋)，求展开式中系数最大的项，还要考虑符号．4．关于组合式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种解法． 备选习题1．(2013·某某江门调研)二项式(ax －36)3的展开式的第二项的系数为－32，则⎠⎛－2a x 2d x 的值为( )A ．3 B.73 C ．3或73 D ．3或－103[答案]C[解析]二项式(ax －36)3的展开式的第二项为 T 2＝C 13(ax )2(－36)＝－32a 2x 2， ∴a 2＝1，即a ＝±1.则⎠⎜⎛－2－1x 2d x ＝13x 3|－1－2＝73，⎠⎛1－2x 2d x ＝13x 3|1－2＝3，故选C. 2．(2012·某某，5)设a ∈Z ，且0≤a <13，若512012＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．12 [答案]A[解析]本题考查二项展开式的应用．512012＝(52－1)2012＝C 020********－C 12012522011＋C 22012522010＋…＋C 20112012×52×(－1)2011＋C 20122012×(－1)2012，若想被13整除需加12，∴a ＝12. 3．(2013·某某某某一模)已知(x －ax )8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是________．[答案]1或38[解析]由题意知C 48·(－a )4＝1120， 解得a ＝±2，令x ＝1，得展开式中各项系数的和为(1－a )8＝1或38.4．(2013·某某师大附中月考)(x －1x )6的展开式中，系数最大的项为第________项．[答案]3或5[解析](x －1x )6的展开式中系数与二项式系数只有符号差异，又中间项的二项式系数最大，中间项为第4项其系数为负，则第3,5项系数最大．。
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 6-1数列的概念课后强化作业 新人教B版
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 6-1数列的概念课后强化作业 新人教B 版基础巩固强化一、选择题1．数列{a n }的通项公式a n ＝2n3n ＋1，则这个数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．摆动数列 D ．常数列 [答案]A[解析]a n ＝23－29n ＋3，∵n ∈N *，∴a n 随n 的增大而增大，故选A.[点评] 上面解答过程利用了反比例函数y ＝－1x 的单调性，也可以直接验证a n ＋1－a n >0.2．(文)设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则对任意正整数n ，S n ＝( ) A.n [(－1)n －1]2 B.(－1)n －1＋12C.(－1)n ＋12D.(－1)n －12[答案]D[解析]因为数列{(－1)n}是首项与公比均为－1的等比数列，所以S n ＝－1－(－1)n ×(－1)1－(－1)＝(－1)n －12，选D.[点评] 直接检验，S 1＝－1，排除B ，C ；S 3＝－1，排除A ，故选D.(理)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 3nn ＋1(n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使S n <－4成立的最小自然数n 等于( )A ．83B ．82C ．81D ．80 [答案]C[解析]∵a n ＝log 3nn ＋1＝log 3n －log 3(n ＋1)，∵S n ＝log 31－log 32＋log 32－log 33＋…＋log 3n －log 3(n ＋1)＝－log 3(n ＋1)<－4，解得n >34－1＝80.3．(文)已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈R )，则a 2014＝( ) A ．0 B ．－ 3 C.3D.32[答案]A[解析]∵a 1＝0，∴a 2＝－3，a 3＝3，a 4＝0，a 5＝－3，a 6＝3，∴数列{a n }的周期为3，∴a 2014＝a 1＝0，故选A.(理)(2013·麻城实验高中月考)设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n，记数列{a n }的前n项之积为πn ，则π2012的值为( )A ．－12B ．－1C.12D ．1 [答案]D[解析]∵a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n ，∴a 1＝2，a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2，故数列{a n }是周期为3的周期数列，且a 1a 2a 3＝－1，又2012＝670×3＋2，∴π2012＝(－1)670×2×12＝1.4．在数列{a n }中，已知a n ＋1＋a n －1＝2a n (n ∈N ＋，n ≥2)，若平面上的三个不共线的向量OA →、OB →、OC →，满足OC →＝a 1007OA →＋a 1008OB →，三点A 、B 、C 共线，且直线不过O 点，则S 2014等于( )A ．1007B ．1008C ．2014D ．2015 [答案]A[解析]由条件知{a n }成等差数列， ∵A 、B 、C 共线，∴a 1007＋a 1008＝1，∴S 2014＝2014(a 1＋a 2014)2＝1007(a 1007＋a 1008)＝1007.5．(文)已知数列{a n }中，a 1＝1，且1a n ＋1＝1a n＋3(n ∈N *)，则a 2015＝( )A ．6042B ．6048 C.16043D.16047 [答案]C [解析]∵1a n ＋1－1a n ＝3，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝1，公差为3的等差数列，∴1a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，∴a n ＝13n －2，∴a 2015＝16043.(理)(2013·某某某某市第一中学二模)数列11、21、12、31、22、13、41、32、23、14、…依次排列到第a 2010项属于的X 围是( )A ．(0，110)B ．[110，1)C ．[1,10]D ．(10，＋∞) [答案]B[解析]分子分母和为k ＋1的有k 项，由1＋2＋3＋…＋n ≤2010得，n ≤62，且1＋2＋3＋…＋62＝1953,2010－1953＝57，∴a 2010项为和为64的第57项，即757∈[110，1)，故选B.6．将数列{3n －1}按“第n 组有n 个数”的规则分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第100组中的第一个数是( )A ．34950B ．35000C ．35010D ．35050 [答案]A[解析]由“第n 组有n 个数”的规则分组中，各组数的个数构成一个以1为首项，公差为1的等差数列，前99组数的个数共有(1＋99)992＝4950个，故第100组中的第1个数是34950，选A.二、填空题7．(文)(2013·东城区综合练习)若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列．已知数列{1x n}为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝________.[答案]20[解析]由题意，若{a n }为调和数列，则{1a n }为等差数列，∵{1x n}为调和数列，∴数列{x n }为等差数列，由等差数列的性质可知，x 5＋x 16＝x 1＋x 20＝x 2＋x 19＝…＝x 10＋x 11＝20010＝20. (理)(2013·某某测试)数列{a n }满足：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.[答案]3n[解析]a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3，把n 换成n －1得，a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＝(n －2)·3n ＋3，两式相减得a n ＝3n .8．设关于x 的不等式x 2－x <2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.[答案]n 2＋n (n ∈N *)[解析]由x 2－x <2nx (n ∈N *)得0<x <2n ＋1，则a n ＝2n ，所以S n ＝n 2＋n .9．(2013·某某调研)对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.[答案]2n ＋1－2[解析]由已知a n ＋1－a n ＝2n ，a 1＝2得a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，…，a n －a n －1＝2n －1，由累加法得a n ＝2＋2＋22＋…＋2n －1＝2n ，从而S n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.三、解答题10．已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{}的增减性．[解析](1)S n ＝n 2＋1，∴a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋1)－[(n －1)2＋1]＝2n －1(n ≥2)， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2， ∵b n ＝2a n ＋1，∴b 1＝2a 1＋1＝23，n ≥2时，b n ＝2(2n －1)＋1＝1n，∴b n＝⎩⎨⎧23 (n ＝1)，1n(n ≥2).(2)由题设知，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，T 2n ＋1＝b 1＋b 2＋…＋b 2n ＋1， ∴＝T 2n ＋1－T n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1，∴＋1－＝(b n ＋2＋b n ＋3＋…＋b 2n ＋3)－(b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1)＝b 2n ＋2＋b 2n ＋3－b n ＋1＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1<12n ＋2＋12n ＋2－1n ＋1＝0， ∴＋1<，即数列{}为递减数列.能力拓展提升一、选择题11．(2013·日照市阶段训练)已知数列{a n }，若点(n ，a n )(n ∈N *)在经过点A (8,4)的定直线l 上，则数列{a n }的前15项和S 15＝( )A ．12B ．32C ．60D ．120 [答案]C[解析]解法1：∵点(n ，a n )在定直线l 上，∴{a n }为等差数列，由条件知(8，a 8)在直线l 上，l 经过(8,4)，∴a 8＝4，∴S 15＝15a 8＝60.解法2：可设定直线为y －4＝k (x －8)，知a n －4＝k (n －8)，得a n ＝k (n －8)＋4，则{a n }是等差数列，S 15＝15·(a 1＋a 15)2＝15·a 8＝15×4＝60.12．(2013·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、某某中学联考)如果数列a 1，a 2a 1，a 3a 2，…，a n a n －1，…是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 5等于( ) A ．32 B ．64 C ．－32 D ．－64 [答案]A [解析]由条件知a na n －1＝(－2)n －1(n ≥2)，∴a 5＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4＝1×(－2)·(－2)2·(－2)3·(－2)4＝(－2)10＝32.13．(文)(2013·池州一模)数列{a n }的通项公式a n ＝2n ·sin(n π2－π3)＋3n cos n π2，前n 项和为S n ，则S 2013＝( )A ．1005B ．－1005C ．2013D ．－2013 [答案]B[解析]a n ＝2n sin(n π2－π3)＋3n cos n π2＝n sin n π2.由函数y ＝sin π2x 的周期是4，且a 1＝1，a 2＝2×0＝0，a 3＝3×(－1)＝－3，a 4＝4×0＝0，归纳可知数列{a n }的每相邻四项之和是一个常数－2，所以S 2013＝2013－14×(－2)＋1＝－1005，故选B.(理)(2013·某某模拟)已知数列{a n }中，a 1＝45，a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，0≤a n ≤12，2a n－1，12<a n≤1，则a 2012等于( )A.45B.35C.25D.15 [答案]C[解析]∵a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，0≤a n ≤12，2a n－1，12<a n≤1，又a 1＝45，∴a 2＝2×45－1＝35，a 3＝2×35－1＝15，a 4＝2×15＝25，a 5＝2×25＝45，∴数列{a n }以4为周期， ∵20124＝503，∴a 2012＝a 4＝25. 二、填空题14．(文)数列{a n }中，a 1＝35，a n ＋1－a n ＝2n －1(n ∈N *)，则a nn 的最小值是________．[答案]10[解析]由a n ＋1－a n ＝2n －1可知，当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋(a n －2－a n －3)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝[2(n －1)－1]＋[2(n －2)－1]＋[2(n －3)－1]＋…＋(2×1－1)＋35＝2[1＋2＋3＋…＋(n －1)]－(n －1)＋35＝n 2－2n ＋36.∴a n n ＝n 2－2n ＋36n ＝n ＋36n－2≥2×n ·36n－2＝10， 当且仅当n ＝6时，取等号．(理)已知f (x )＝sin πx2，a n ＝f (n )＋f ′(n )，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2013＝________.[答案]1[解析]f ′(x )＝π2cos πx 2，a n ＝sin n π2＋π2cos n π2，∴a 1＝1，a 2＝－π2，a 3＝－1，a 4＝π2，且{a n }的周期为4，又2013＝503×4＋1且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，∴S 2013＝503×0＋a 1＝1. 三、解答题15．(文)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且3a n ＋1＋2S n ＝3(n 为正整数)． (1)求出数列{a n }的通项公式；(2)若对任意正整数n ，k ≤S n 恒成立，某某数k 的最大值． [解析](1)∵3a n ＋1＋2S n ＝3，① ∴当n ≥2时，3a n ＋2S n －1＝3，② 由①－②得，3a n ＋1－3a n ＋2a n ＝0. ∴a n ＋1a n ＝13(n ≥2)． 又∵a 1＝1,3a 2＋2a 1＝3，解得a 2＝13.∴数列{a n }是首项为1，公比q ＝13的等比数列．∴a n ＝a 1q n －1＝⎝⎛⎭⎫13n －1(n 为正整数)． (2)由(1)知，S n ＝32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n由题意可知，对于任意的正整数n ，恒有 k ≤32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n ， ∵数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1－⎝⎛⎭⎫13n 单调递增，当n ＝1时，数列取最小项为23，∴必有k ≤1，即实数k 的最大值为1.(理)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx 的图象过点(－4n,0)，且f ′(0)＝2n ，n ∈N *. (1)求f (x )的解析式；(2)若数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′(1a n )，且a 1＝4，求数列{a n }的通项公式；(3)记b n ＝a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和T n ，求证：43≤T n <2.[解析](1)由题意及f ′(x )＝2ax ＋b 得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2n ，16n 2a －4nb ＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝2n ，即f (x )＝12x 2＋2nx (n ∈N *)．(2)由条件得1a n ＋1＝1a n ＋2n ，∴1a n ＋1－1a n ＝2n ，累加得1a n －14＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝[2＋2(n －1)]×(n －1)2＝n 2－n ，∴1a n ＝(n －12)2， 所以a n ＝1(n －12)2＝4(2n －1)2(n ∈N *)． (3)b n ＝a n a n ＋1＝4(2n －1)(2n ＋1)＝2(12n －1－12n ＋1)，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝2[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝2(1－12n ＋1)<2. ∵2n ＋1≥3，故2(1－12n ＋1)≥43，∴43≤T n <2.16．(文)(2013·某某莱州一中质检)已知数列{a n }的相邻两项a n ，a n ＋1满足a n ＋a n ＋1＝2n ，且a 1＝1.(1)求证{a n －13×2n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和S n .[解析](1)由a n ＋a n ＋1＝2n ，得a n ＋1－13×2n ＋1＝－(a n －13×2n )，故数列{a n －13×2n }是首项为a 1－23＝13，公比为－1的等比数列．(2)由(1)知，a n －13×2n ＝13×(－1)n －1，即a n ＝13[2n －(－1)n ]，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝13{(2＋22＋23＋…＋2n )－[(－1)＋(－1)2＋…＋(－1)n ]} ＝13[2n ＋1－2－(－1)n －12] ＝13·2n －1－16(－1)n －12. (理)(2013·某某市部分中学联考)在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12an＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若存在n ∈N *，使得a n ≤(n ＋1)λ成立，某某数λ的最小值． [解析](1)令b n ＝na n ，{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝12b n ＋1，∴S n －1＝12b n (n ≥2)，两式相减得b n ＋1b n＝3，又b 1＝a 1＝1，在条件式中令n ＝1,2得a 2＝1，a 3＝2，∴b 2＝2a 2＝2，∴b n ＝b 2×3n －2＝2×3n －2.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， (n ＝1)，2n ·3n －2， (n ≥2).(2)a n ≤(n ＋1)λ⇔λ≥a nn ＋1， 由(1)可知当n ≥2时，a nn ＋1＝2·3n －2n (n ＋1)，设f (n )＝n (n ＋1)2·3n －2(n ≥2，n ∈N *)， 则f (n ＋1)－f (n )＝(n ＋1)(1－n )3n －1<0，∴1f (n ＋1)>1f (n )(n ≥2)， 又1f (2)＝13及a 12＝12， 所以所某某数λ的最小值为13.考纲要求了解数列的概念，了解数列是自变量为正整数的一类函数． 了解数列的几种简单表示方法(列表、图象、通项公式)． 补充材料1．求数列的通项公式常见的有以下三种类型 (1)已知数列的前几项，写出一个通项公式．依据数列的排列规律，求出项与项数的关系．一般步骤是：①定符号，②定分子、分母，③观察前后项的数值特征找规律，④综合写出项与项数的关系．要特别注意以下数列特点： ①自然数列，自然数的平方列． ②奇数列，偶数列．③a n ＝(－1)n ，a n ＝12[1＋(－1)n ]．④a n ＝sin n π2，a n ＝cos n π2. ⑤a n ＝k 9(10n －1)(k ＝1,2，…，9)． 要注意理顺其大小规律如：2，－83，4，－325，…先变化为：42，－83，164，－325，…. (2)已知数列的递推关系求其通项公式：一般是采用“归纳—猜想—证明”，有时也通过变形转化为等差、等比数列进行处理．(3)已知数列的前n 项和求通项公式，用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)求解．2．注意数列的两个性质(1)单调性——若a n ＋1>a n ，则{a n }为递增数列；若a n ＋1<a n ，则{a n }为递减数列．(2)周期性——若a n ＋k ＝a n (n ∈N *，k 为非零常数)，则{a n }为周期数列，k 为{a n }的一个周期．3．数列求和方法(1)公式法①直接用等差、等比数列的求和公式求．②了解一些常见的数列的前n 项和．1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)； 1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2；12＋22＋32＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)． (2)倒序相加法如果一个数列{a n }，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的．(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和可用“乘公比，错位相减”法进行，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的．(4)裂项相消法如果数列的通项可以表达成两项之差，各项随n 的变化而变化，前后项相加可以相互抵消就用裂项相加相消法．(5)分组求和法当一个数列的通项由几个项构成，各个项构成等差或等比数列时，可分为几个数列分别求和再相加．4．函数思想在数列中的应用(1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此可用函数的知识，函数的思想方法来解决．(2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用：①作差；②作商；③结合函数图象等方法．备选习题1．设a 1，a 2，…，a 50是从－1，0,1这三个整数中取值的数列，若a 1＋a 2＋…＋a 50＝9，且(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，则a 1，a 2，…，a 50中数字1的个数为( )A ．24B ．15C ．14D ．11[答案]A[解析]⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋…＋a 50＝9，(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，⇒a 21＋a 22＋…＋a 250＝39. 故a 1，a 2，…，a 50中有11个零，设有x 个1，y 个－1，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝39，x －y ＝9，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24，y ＝15.故选A. 2．已知定义在R 上的函数f (x )，g (x )满足f (x )g (x )＝a x ，且f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，若有穷数列{f (n )g (n )}(n ∈N *)的前n 项和等于3132，则n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7[答案]B[解析]f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )⇒f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2<0 ⇒[f (x )g (x )]′<0⇒0<a <1， f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52⇒a ＋a －1＝52⇒2a 2－5a ＋2＝0 ⇒a ＝12或a ＝2(舍去)，∴f (n )g (n )＝(12)n ， ∴{f (n )g (n )}(n ∈N *)是以12为首项，12为公比的等比数列． ∴12[1－(12)n ]1－12＝3132， ∴(12)n ＝132，∴n ＝5.故选B. 3．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，那么a 2014的值是( )A ．2012×2013B ．2013×2014C ．2010×2011D ．2011×2012[答案]B[解析]解法1：a 1＝0，a 2＝2，a 3＝6，a 4＝12，考虑到所给结论都是相邻两整数乘积的形式，可变形为：a 1＝0×1，a 2＝1×2，a 3＝2×3，a 4＝3×4，猜想a 2014＝2013×2014，故选B.解法2：a n －a n －1＝2(n －1)，a n －1－a n －2＝2(n －2)，…a 3－a 2＝2×2，a 2－a 1＝2×1.∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2[(n －1)＋(n －2)＋…＋1]．＝2(n －1)(n －1＋1)2＝n (n －1)． ∴a 2014＝2013×2014.。
走向高考高三数学一轮人教B基础巩固：第章 第节 算法与框图
第十一章 第一节一、选择题1．(文)(2015·山西忻州四校联考)执行如图所示的程序框图，当输出值为4时，输入x 的值为( )A ．2B ．±2C ．－2或－3D ．2或－3[答案] D[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，x 2＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x <1，1－x ＝4.∴x ＝2或－3，故选D.(理)(2014·湖南理)执行如图所示的程序框图，如果输入的t ∈[－2,2]，则输出的S 属于( )A ．[－6，－2]B ．[－5，－1]C ．[－4,5]D ．[－3,6][答案] D[解析] 由题意知，当－2≤t <0时，得t ∈(1,9]，∴S ＝t －3∈(－2,6]；当t ∈[0,2]时，S ＝t－3，S ∈[－3，－1]，∴S ∈[－3,6]，故选D.2．(2014·云南玉溪一中期中)执行如图所示的程序框图，输出的结果是z ＝( )A ．11B ．12C ．13D ．14[答案] C[解析] 根据题意，每次循环过程中x ，y ，z 的值依次为0,1,2；1,2,3；2,3,5；3,5,8；5,8,13.此时不满足条件z ≤10，输出结果为13.[警示] 本题是一个循环结构的程序框图，如果对循环体中几个赋值语句理解不到位，容易弄乱x ，y ，z 的值而错解．3．(2014·遵义湄潭中学期末)执行如图所示的程序框图，若p ＝0.8，则输出的n ＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1[答案] A[解析] p ＝0.8，n ＝1，S ＝0；满足S <p ，S ＝12，n ＝2；满足S <p ，S ＝12＋14＝34，n ＝3；满足S <p ，S ＝34＋18＝78，n ＝4；不满足S <p ，输出的n 值为4.4．(2015·沈阳铁路实验中学期中)若按下面算法流程图运行后，输出的结果是67，则输入的N 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8[答案] B[解析] 程序运行过程依次为：k ＝1，S ＝0，S ＝0＋11×2＝11×2，k <N 成立，k ＝1＋1＝2，S ＝11×2＋12×3，k <N 成立，…，由此知，此程序是计算S ＝11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)，∴S ＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1＝n n ＋1.由于输出结果为67，∴n ＝6.因此S 中加上的最后一项为16×7，此时k ＝6，k <N 不成立，故N ＝6. 5．(2015·四川遂宁中学月考)执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为( )A ．5B ．3C ．2D ．1[答案] B[解析] 由x 2－4x ＋3≤0得1≤x ≤3，故当x ＝3时，不等式x 2－4x ＋3≤0成立，x ＝3＋1＝4，n ＝2＋1＝3，x ＝4不满足不等式x 2－4x ＋3＝0，输出n 的值3后结束，故选B.6．(文)(2014·浙江五校联考)程序框图如图所示，其输出结果是111，则判断框中所填的条件是( )A ．n ≥5B ．n ≥6C ．n ≥7D ．n ≥8[答案] B[解析] 由题意可知，第一次运行后S ＝13，n ＝2；第二次运行后S ＝15，n ＝3；第三次运行后S＝17，n＝4；第四次运行后S＝19，n＝5；第五次运行后S＝111，n＝6；此时停止运算，故判断框内应填n≥6.(理)(2013·长安一中模拟)给出15个数：1,2,4,7,11，…，(第n＋1项比第n项大n)，要计算这15个数的和，现给出解决该问题的程序框图(如图所示)，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入()A．i≤16？；p＝p＋i－1 B．i≤14？；p＝p＋i＋1C．i≤15？；p＝p＋i＋1 D．i≤15？；p＝p＋i[答案] D[解析]①处为判断条件，满足条件时循环，否则跳出循环，输出x的值，因为i初值为1，故需循环15次，因此i＝15时循环最后一次，故条件为i≤15；②处为计算数列中下一项的值，因为第n＋1项比第n项大n，故第i＋1项p的值应为第i项p的值加上i，即p＝p＋i.[点评](1)确定循环判断框中的条件时，要防止出现多一次或少一次循环的错误．执行如图所示的程序框图，如果输出的a＝341，那么判断框中可以是()A ．k <4B ．k <5C ．k <6D ．k <7[答案] C[解析] 第一次执行循环体后，a ＝4×0＋1＝1，k ＝1＋1＝2；第二次执行循环体后，a ＝4×1＋1＝5，k ＝2＋1＝3；第三次执行循环体后，a ＝4×5＋1＝21，k ＝3＋1＝4；第四次执行循环体后，a ＝4×21＋1＝85，k ＝4＋1＝5；第五次执行循环体后，a ＝4×85＋1＝341，k ＝5＋1＝6，要使输出a ＝341，应循环完第五次后，跳出循环，故判断框中可以是k <6或k ≤5，故选C.(2)周期性循环的问题要把握好循环周期，注意循环变量终值对应周期中哪一项． (2014·广东惠州一模)执行如图所示的程序框图，那么输出S 的值是________．[答案] 12[解析] 由框图可知，S 的值分别为：2，－1，12，2，－1，12，…，周期为3,2013＝3×671，故输出S 的值为12.二、填空题7．(2014·河北沧州检测)阅读程序框图(如图所示)，若输入a ＝60.7，b ＝0.76，c ＝log 0.76，则输出的数是________．[答案] 60.7[解析] 该程序框图的功能是输出a ，b ，c 中最大的数．因为a ＝60.7>1,0<b ＝0.76<1，c ＝log 0.76<0，所以输出的数为60.7.8．(文)已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是________．[答案] 12[解析] 由于i ＝1，a ＝2；i ＝2，a ＝12；i ＝3，a ＝－1；i ＝4，a ＝2；…，由此规律可知，i ＝3k ＋1，a ＝2；i ＝3k ＋2，a ＝12；i ＝3k ＋3，a ＝－1，其中，k ∈N .从而可知当i ＝20时，a＝12. (理)如图所示的程序框图输出的结果是________．[答案] 56[解析] i ＝1≤4满足，执行第一次循环后，A ＝23，i ＝2；i ＝2≤4满足，执行第二次循环后，A ＝34，i ＝3；i ＝3≤4满足，执行第三次循环后，A ＝45，i ＝4；i ＝4≤4满足，执行第四次循环后，A ＝56，i ＝5；i ＝5≤4不满足，跳出循环，输出A ＝56. 9．(2013·湖南)执行如图所示的程序框图，如果输入a ＝1，b ＝2，则输出的a 的值为________．[答案] 9[解析] a ＝1，b ＝2，第一次循环，a ＝a ＋b ＝1＋2＝3； 第二次循环，a ＝a ＋b ＝3＋2＝5； 第三次循环，a ＝a ＋b ＝5＋2＝7； 第四次循环，a ＝a ＋b ＝7＋2＝9. 因为9>8，所以输出a ＝9.10．(文)某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为x 1，…，x 4(单位：t)．根据如图所示的程序框图，若x 1，x 2，x 3，x 4分别为1,1.5,1.5,2，则输出的结果S 为__________．[答案] 32[解析] 每次循环，S 1与S 的值都在变化，但 S 1的值总是由前一次循环得到的值再加上x i 的值，S 的值却与前一次S 的值无关，只与S 1的值有关，∴四次循环后，S 1＝1＋1.5＋1.5＋2＝6，S ＝14×S 1＝14×6＝32，故输出S 的值为32.(理)(2013·揭阳模拟)如图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图甲中从左向右第一组的频数为4000.在样本中记月收入在[1000,1500)，[1500,2000)，[2000,2500)，[2500,3000)，[3000,3500)，[3500,4000]的人数依次为A 1、A 2、…、A 6.图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的程序框图，则样本的容量n ＝________；图乙输出的S ＝________.(用数字作答)[答案] 10000 6000[分析] (1)由频率分布直方图中第一组的频数可求样本容量n ，进而可求出各组的频数． (2)由程序框图可知统计的是哪几组的频数和．[解析] ∵月收入在[1000,1500)的频率为0.0008×500＝0.4，且有4000人， ∴样本的容量n ＝40000.4＝10000，由框图知，输入的是6个小组的频数．i 初值为2，终值为6，由S ＝S ＋A i ，i ＝i ＋1知，S 统计的是第2组至第6组的频数和． ∴输出的S ＝A 2＋A 3＋…＋A 6＝10000－A 1＝10000－4000＝6000.一、选择题11．(文)(2014·北京理)当m＝7，n＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为()A．7 B．42C．210 D．840[答案] C[解析]开始：m＝7，n＝3，k＝7，S＝1.第一次循环，此时m－n＋1＝7－3＋1＝5，显然k<5不成立，所以S＝1×7＝7，k＝7－1＝6.第二次循环，6<5不成立，所以S＝7×6＝42，k＝6－1＝5.第三次循环，5<5不成立，所以S＝42×5＝210，k＝5－1＝4.显然4<5成立，输出S的值，即输出210，故选C.(理)(2014·福建理)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于()A．18 B．20C．21 D．40[答案] B[解析] 该程序框图为循环结构，由S ＝0，n ＝1得S ＝0＋21＋1＝3，n ＝1＋1＝2，判断S ＝3≥15不成立，执行第二次循环，S ＝3＋22＋2＝9，n ＝2＋1＝3，判断S ＝9≥15不成立，执行第三次循环，S ＝9＋23＋3＝20，n ＝3＋1＝4，判断S ＝20≥15成立，输出S ＝20.故选B.12．(文)(2013·安徽)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A.34 B ．16C.1112 D ．2524[答案] C[解析] 第一次循环，s ＝0＋12＝12，n ＝4；第二次循环，s ＝12＋14＝34，n ＝6；第三次循环，s ＝34＋16＝1112，n ＝8.因为8<8不成立，故输出s ＝1112. (理)(2013·长春一模、武昌区联考)阅读程序框图，输出的结果s 的值为( )A ．0B ．32 C.3 D ．－32[答案] C[解析] 本题是求数列{sin n π3}前2013项的和，数列是32，32，0，－32，－32，0，32，32，0，－32，－32，0，…具有周期性，周期为6且每个周期内6项的和为0，故前2013项求和得32＋32＋0＝ 3. 13．(文)(2014·吉林省九校联合体二模)执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A ．20B ．30C ．40D ．50[答案] B[解析] 程序运行过程依次为：S ＝1，T ＝0，i ＝0，T >S 不成立→S ＝1＋6＝7，i ＝0＋3＝3，T ＝0＋3＝3，T >S 不成立→S ＝7＋6＝13，i ＝3＋3＝6，T ＝3＋6＝9，T >S 不成立→S ＝13＋6＝19，i ＝6＋3＝9，T ＝9＋9＝18，T >S 仍不成立→S ＝19＋6＝25，i ＝9＋3＝12，T ＝18＋12＝30，此时满足T >S ，输出T 的值30后结束，故选B.(理)(2014·江西赣州四所重点中学联考)已知函数f (x )＝ax 3＋12x 2在x ＝－1处取得极大值，记g (x )＝1f ′(x ).程序框图如图所示，若输出的结果S ＝20132014，则判断框中可以填入的关于n 的判断条件是( )A ．n ≤2013B ．n ≤2014C ．n >2013D ．n >2014[答案] A[解析] f ′(x )＝3ax 2＋x ，因为f (x )在x ＝－1处取得极大值，所以f ′(－1)＝0，即3a －1＝0，解得a ＝13，故f ′(x )＝x 2＋x .则g (x )＝1f ′(x )＝1x 2＋x ，g (n )＝1n 2＋n ＝1n －1n ＋1，输出的结果为S ＝g (1)＋g (2)＋g (3)＋…＋g (n )＝1－1n ＋1＝n n ＋1，由S ＝20132014，得n ＝2013，故判断框内应填的条件是n ≤2013.二、填空题14．(2013·广州调研)执行如图所示的程序框图，则输出S 的值是________．[答案] 3018[解析]由题意，a1＝1×cos π2＋1＝1，a2＝2×cos2π2＋1＝－1，a3＝3×cos3π2＋1＝1，a4＝4×cos4π2＋1＝5，a5＝5×cos5π2＋1＝1，a6＝6×cos6π2＋1＝－5，a7＝7×cos7π2＋1＝1，a8＝8×cos8π2＋1＝9，…，a2010＝－2009，a2011＝1，a2012＝2013，故输出的S＝a1＋a2＋…＋a2012＝503－(1＋5＋9＋…＋2009)＋503＋(5＋9＋13＋…＋2013)＝503－1＋503＋2013＝3018.15．(文)(2014·太原模拟)阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s值等于________．[答案]－3[解析]依据循环控制条件k<4是否满足得到循环过程如下：开始，k＝1，S＝1，(1)1<4，S＝2×1－1＝1，k＝1＋1＝2；(2)2<4，S＝2×1－2＝0，k＝2＋1＝3；(3)3<4，S＝2×0－3＝－3，k＝3＋1＝4；(4)k＝4时不满足k<4，输出S＝－3.[点评]对于程序框图要看清楚属于哪种循环，是直到型循环，还是当型循环，还要注意跳出循环时各变量的最新取值．(理)(2014·湖北理)设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a＝815，则I(a)＝158，D(a)＝851)．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b＝________.[答案] 495[解析] 不妨取a ＝815，则I (a )＝158，D (a )＝851，b ＝693；此时b ＝a 不成立，∴a ＝693，则I (a )＝369，D (a )＝963，b ＝594；此时b ＝a 不成立，∴a ＝594，则I (a )＝459，D (a )＝954，b ＝495；此时b ＝a 不成立，∴a ＝495，则I (a )＝459，D (a )＝954，b ＝495，此时满足b ＝a ， 故输出结果b ＝495.16．对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，第i 次观测得到的数据为a i ，具体如下表所示：i 1 2 3 4 5 6 7 8 a i4041434344464748在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图(其中a －是这8个数据的平均数)，则输出的S 的值是________．[答案] 7[解析] 此程序输出的是这组数据的方差．由已知得a －＝44，∴当i ＝1时，S ＝16，i ＝2，56 8＝7.S＝25；i＝3，S＝26；…；i＝8，S＝56，这时i≥8，S＝。
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 4-7解三角形应用举例课后强化作业 新人教B版
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 4-7解三角形应用举例课后强化作业 新人教B 版基础巩固强化一、选择题1．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( )A.1762n mile/hB ．346n mile/hC.1722n mile/h D ．342n mile/h[答案]A[解析]如图，△MNP 中，∠MPN ＝75°＋45°＝120°，MP ＝68，∠PNM ＝45°，设速度为x n mile/h ， 由正弦定理得，MN sin ∠MPN ＝MP sin ∠PNM ，∴4x sin120°＝68sin45°，∴x ＝1762，∴选A. 2．(文)为测量某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼顶D 处测得塔顶A 的仰角为30°，测得塔基B 的俯角为45°，那么塔AB 的高度是( )A ．20⎝⎛⎭⎫1＋33m B ．20⎝⎛⎭⎫1＋32m C ．20(1＋3)m D ．30m [答案]A [解析]如图所示，四边形CBMD 为正方形，而CB ＝20m ，所以BM ＝20m. 又在Rt △AMD 中， DM ＝20m ，∠ADM ＝30°， ∴AM ＝DM tan30°＝2033(m)，∴AB ＝AM ＋MB ＝2033＋20＝20⎝⎛⎭⎫1＋33m.(理)如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ＝( )A.32B ．2－ 3 C.3－1 D.22[答案]C[解析]在△ABC 中，由正弦定理可知，BC ＝AB ·sin ∠BAC sin ∠ACB ＝100sin15°sin (45°－15°)＝50(6－2)，在△BCD 中，sin ∠BDC ＝BC ·sin ∠CBDCD＝50(6－2)·sin45°50＝3－1.由题图知，cos θ＝sin ∠ADE ＝sin ∠BDC ＝3－1.3．(2013·北师大附中月考)一艘海轮从A 处出发，以每小时40n mile 的速度沿东偏南50°方向直线航行，30min 后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B 、C 两点间的距离是( )A ．102n mileB ．103n mileC ．202n mileD ．203n mile [答案]A[解析]如图，由条件可知△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝105°，AB ＝20，∠ACB ＝45°，由正弦定理得BC sin30°＝20sin45°，∴BC ＝102，故选A.4．(2013·某某调研)在△ABC 中，角A 、B 均为锐角，且cos A >sin B ，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 [答案]C[解析]cos A ＝sin(π2－A )>sin B ，π2－A ，B 都是锐角，则π2－A >B ，A ＋B <π2，C >π25．(2013·长安一中、高新一中、交大附中、某某中学、师大附中一模)台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区．城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为( )A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时 [答案]B[解析]以B 为圆心，30为半径作⊙B 与射线AT 交于C 、D ，作BE ⊥AT ，∵AB ＝40，∠TAB＝45°，∴BE＝202，∵BC＝30，∴CD＝2CE＝20(km)，故选B.6.如图，海岸线上有相距5n mile的两座灯塔A，B，灯塔B位于灯塔A的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°方向，与A相距32n mile的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5n mile的C处，则两艘轮船之间的距离为() A．5n mile B．23n mileC.13n mile D．32n mile[答案]C[解析]连接AC，∠ABC＝60°，BC＝AB＝5，则AC＝5.在△ACD中，AD＝32，AC＝5，∠DAC＝45°，由余弦定理得CD＝13.二、填空题7．(文)2010年11月12日某某亚运会上举行升旗仪式．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面，在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°，且座位A、B的距离为106m，则旗杆的高度为________m.[答案]30[解析]由题可知∠BAN ＝105°，∠BNA ＝30°，由正弦定理得AN sin45°＝106sin30°，解得AN ＝203，在Rt △AMN 中，MN ＝203sin60°＝30.故旗杆的高度为30m.(理)(2013·某某模拟)在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为________．[答案]4003m[解析]如图，由已知可得∠BAC ＝30°，∠CAD ＝30°，∴∠BCA ＝60°，∠ACD ＝30°，∠ADC ＝120°. 又AB ＝200m ，∴AC ＝40033m.在△ACD 中，由余弦定理得，AC 2＝2CD 2－2CD 2·cos120°＝3CD 2， ∴CD ＝13AC ＝4003(m)．8.某观测站C 在城A 的南偏西20°的方向(如图)，由城出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路上B 处有一人距C 为31km ，正沿公路向A 城走去，走了20km 后到达D 处，此时CD 间的距离为21km ，则这个人还要走________km 才能到达A 城？[答案]15[解析]在△CDB 中，212＝202＋312－2×20×31cos B ， 解得cos B ＝2331，∴sin ∠ACB ＝sin(120°－B )＝35362，设AD ＝x ，在△ABC 中，由正弦定理得， 20＋xsin ∠ACB ＝31sin60°，∴x ＝15.答：这个人还要走15km 才能达到A 城． 9.(2013·某某八市联考)如图所示，已知树顶A 离地面212m ，树上另一点B 离地面112m ，某人在离地面32m 的C 处看此树，则该人离此树________m 时，看A ，B 的视角最大．[答案]6[解析]过C 作CF ⊥AB 于点F ，设∠ACB ＝α，∠BCF ＝β，由已知得AB ＝212－112＝5(m)，BF ＝112－32＝4(m)，AF ＝212－32＝9(m)．则tan(α＋β)＝AF FC ＝9FC ，tan β＝BF FC ＝4FC，∴tan α＝[(α＋β)－β]＝tan (α＋β)－tan β1＋tan (α＋β)tan β＝9FC －4FC 1＋36FC 2＝5FC ＋36FC ≤52FC ·36FC＝512.当且仅当FC ＝36FC，即FC ＝6时，tan α取得最大值，此时α取得最大值．三、解答题10．(文)如图，一架飞机原计划从空中A 处直飞相距680km 的空中B 处，为避开直飞途中的雷雨云层，飞机在A 处沿与原飞行方向成θ角的方向飞行，在中途C 处转向与原方向线成45°角的方向直飞到达B 处．已知sin θ＝513.(1)求tan C ；(2)求新的飞行路程比原路程多多少km. (参考数据：2＝1.414，3＝1.732) [解析](1)因为sin θ＝513，θ是锐角，所以cos θ＝1213，所以tan θ＝512，tan C ＝tan[π－(θ＋45°)]＝－tan(θ＋45°) ＝－tan θ＋tan45°1－tan θ·tan45°＝－512＋11－512×1＝－177.(2)sin C ＝sin(θ＋45°)＝17226， 由正弦定理AB sin C ＝AC sin45°＝BCsin θ得，AC ＝AB sin C ×sin45°＝520，BC ＝2002，新的飞行路程比原路程多AC ＋BC －AB ＝520＋2002－680＝122.8(km)．(理)某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°、距离为10 n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h 的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．[分析] 本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t ，找出等量关系，然后解三角形．[解析]如图所示，根据题意可知AC ＝10，∠ACB ＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h ，并在B 处与渔轮相遇，则AB ＝21t ，BC ＝9t ，在△ABC 中，根据余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos120°，所以212t 2＝102＋81t 2＋2×10×9t ×12，即36t 2－9t －10＝0，解得t ＝23或t ＝－512(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23h.此时AB ＝14，BC ＝6.在△ABC 中，根据正弦定理得BC sin ∠CAB ＝AB sin120°，所以sin ∠CAB ＝6×3214＝3314，即∠CAB ≈21.8°或∠CAB ≈158.2°(舍去)． 即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.所以舰艇以66.8°的方位角航行，需23h 才能靠近渔轮.能力拓展提升一、解答题11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c . (1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin2A ，试判断△ABC 的形状．[解析](1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得a 2＋b 2－ab ＝4. 又∵△ABC 的面积为3，∴12ab sin C ＝3，∴ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin2A ， 得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ， 即2sin B cos A ＝2sin A cos A ，∴cos A ·(sin A －sin B )＝0，∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0， 当cos A ＝0时，∵0<A <π， ∴A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ，由正弦定理得a ＝b ， 即△ABC 为等腰三角形．∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 12．(文)货轮在海上自B 点以40 km/h 的速度沿方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后，船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，问货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离．[解析]在△ABC 中，BC ＝40×0.5＝20(km)， ∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝65°＋(180°－140°)＝105°， ∠BAC ＝45°，根据正弦定理，AC sin ∠ABC ＝BC sin ∠BAC ，AC ＝BC ·sin ∠ABC sin ∠BAC ＝20·sin30°sin45°＝102，货轮到达C 点时与灯塔的距离是102km. (理)如图所示，海中小岛A 周围38n mile 内有暗礁，一轮船正向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东30°，航行30n mile 后，在C 处测得小岛在船的南偏东45°.如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？[解析]在△ABC 中，BC ＝30， B ＝30°，∠ACB ＝135°， ∴∠BAC ＝15°.由正弦定理知BC sin A ＝ACsin B ，即30sin15°＝ACsin30°. AC ＝30sin30°sin15°＝60cos15°＝60cos(45°－30°)＝60(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝15(6＋2)(n mile)． 于是，A 到BC 所在直线的距离为： AC sin45°＝15(6＋2)×22＝15(3＋1)≈40.98(n mile)． 它大于38n mile ，所以船继续向南航行，没有触礁的危险．13．如图A 、B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)n mile 的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203n mile 的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30n mile/h ，该救援船到达D 点需要多长时间？[解析]由题意知AB ＝5(3＋3)n mile ，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°， 在△DAB 中，由正弦定理得， DB sin ∠DAB ＝ABsin ∠ADB∴DB ＝AB ·sin ∠DABsin ∠ADB＝5(3＋3)·sin45°sin105°＝5(3＋3)·sin45°sin45°·cos60°＋sin60°·cos45°＝53(3＋1)3＋12＝103(n mile)．又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203(n mile)，在△DBC 中，由余弦定理得， CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1200－2×103×203×12＝900，∴CD ＝30(n mile)，则需要的时间t ＝3030＝1(h)．答：救援船到达D 点需要1h.14．(文)(2013·某某)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么X 围内？[解析](1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )] ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理AB sin C ＝AC sin B ，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝12606365×45＝1040(m)．所以索道AB 的长为1040m.(2)假设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d m ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t＋50)，因0≤t ≤1040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝12606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710m 才能到达C . 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得125043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在[125043，62514](单位：m/min)X 围内．(理)(2013·某某日照市阶段训练)如图，顺达驾校拟在长为400m 的道路OP 的一侧修建一条训练道路，训练道路的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)，x ∈[0,200]的图象，且图象的最高点为S (150,1003)，训练道路的后一部分为折线段MNP ，为保证训练安全，限定∠MNP ＝120°.(1)求曲线段OSM 对应函数的解析式；(2)应如何设计，才能使折线段训练道路MNP 最长？最长为多少？ [解析](1)由题知，图象的最高点为S (150,1003)，所以A ＝1003，T4＝150，由T ＝600＝2πω，得ω＝π300.所求的解析式是y ＝1003sinπ300x (0≤x ≤200)．(2)当x ＝200时，y ＝150，所以MP ＝250，设MN ＝m ，NP ＝n (m ，n >0)， 在△MNP 中，由余弦定理，得MP 2＝2502＝MN 2＋NP 2－2MN ·NP cos120°. 即2502＝(m ＋n )2－mn .又mn ≤(m ＋n )24(m ＝n 时取等号)，所以2502＝(m ＋n )2－mn ≥(m ＋n )2－(m ＋n )24，解得0<m ＋n ≤50033.即设计折线段训练道路中MN 与NP 的长度相等时，折线段训练道路MNP 最长．最长为50033m.考纲要求能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．补充材料1．解斜三角形应用题常见题型测量距离问题、测量高度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 2．根据实际问题构造三角形是应用的关键 备选习题1．如图，在△ABC 中，tan C 2＝12，AH →·BC →＝0，AB →·(CA →＋CB →)＝0，经过点B 以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为( )A.5＋12B.5－1C.5＋1D.5－12[答案]A[解析]∵AH →·BC →＝0，∴AH ⊥BC ， ∵tan C 2＝12，∴tan C ＝2tanC21－tan 2C 2＝43＝AHCH，又∵AB →·(CA →＋CB →)＝0，∴CA ＝CB ， ∴tan B ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫180°－C 2＝cot C 2＝2＝AHBH ，设BH ＝x ，则AH ＝2x ， ∴CH ＝32x ，AB ＝5x ，由条件知双曲线中2c ＝AH ＝2x,2a ＝AB －BH ＝(5－1)x ， ∴e ＝c a ＝25－1＝5＋12，故选A.2.如图，为了解某海塔海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量．已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，则∠DEF 的余弦值为________．[答案]1665[解析]作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M .DF ＝MF 2＋DM 2＝302＋1702＝10298， DE ＝DN 2＋EN 2＝502＋1202＝130，EF ＝(BE －FC )2＋BC 2＝902＋1202＝150.在△DEF 中，由余弦定理， cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ×EF＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665.3．△ABC 的周长是20，面积是103，A ＝60°，则BC 边的长等于________． [答案]7[解析]由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝20， ①12bc sin60°＝103， ②cos60°＝b 2＋c 2－a22bc ， ③由③得b 2＋c 2－a 2＝bc ，结合①知 (20－a )2－2cb －a 2＝bc ④ 又由②得bc ＝40，代入④得a ＝7.4．在△ABC 中，B ＝π3，且BA →·BC →＝43，则△ABC 的面积是________．[答案]6[解析]由已知得BA →·BC →＝ac cos π3＝43，所以ac ＝83， 所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×83×32＝6.。
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第三章 3.1一、选择题1．掷一枚硬币，记事件A ：“出现正面”，B ：“出现反面”，则有( ) A ．A 与B 相互独立 B ．P (AB )＝P (A )·P (B ) C ．A 与B 不相互独立 D ．P (AB )＝14[答案] C[解析] ∵事件A 与事件B 是对立事件，故排除A 、B 、D ，∴应选C.2．在一个2×2列联表中，若由数据计算得χ2＝5.653，则两个变量之间有关系的可能性为( )A ．99%B ．95%C ．90%D ．85%[答案] B[解析] ∵χ2＝5.653>3.841，∴有95%的把握说两个变量之间有关系．3．在一次独立性检验中，根据计算结果，认为A 与B 无关的可能性不足1%，那么χ2的一个可能取值为( )A ．6.635B ．5.024C ．7.897D ．3.841 [答案] C[解析] 由χ2的数值与两个临界值3.841、6.635进行对比．4．调查男女学生在购买食品时是否看出厂日期，与性别有关系时用____最有说服力( ) A ．期望 B ．方差 C ．正态分布 D ．独立性检验 [答案] D[解析] 由独立性检验的应用知选D. 5．下面是一个2×2列联表则表中a ，b A ．94、96 B ．52、50 C ．52、54D ．54、52[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋21＝73a ＋2＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52b ＝54.故选C. 6．下列说法正确的个数为( )①对事件A 与B 的检验无关时，即两个事件互不影响； ②事件A 与B 关系越密切，则χ2就越大；③χ2的大小是判定事件A 与B 是否相关的唯一根据； ④若判定两事件A 与B 有关，则A 发生B 一定发生． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个[答案] A[解析] 由独立性检验知，只有②成立．故选A.7．(2013·福州文博中学高二期末)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )算得，K 2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” [答案] A[解析] 根据独立性检验的定义，由χ2≈7.8>6.635可知，有99%以上把握认为“爱好该项运动与性别有关”．8．根据下列数据，χ2＝____________.[答案] 1.779[解析]由公式可得χ2＝1.779.9．已知表中数据(单位：亩)[答案]有[解析]∵χ2≈33.185 2＞6.635，∴有明显关系．三、解答题10．(2014·安徽文，17)某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)(1)应收集多少位女生的样本数据？(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时．请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)[解析](1)300×450015000＝90，所以应收集90位女生的样本数据．(2)由频率分布直方图得1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表综合列联表可算得K 2＝300×(2250)75×225×210×90＝10021≈4.762>3.841.所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关．”一、选择题1．对于分类变量A 与B 的统计量χ2，下列说法正确的是( ) A ．χ2越大，说明“A 与B 有关系”的可信度越小 B ．χ2越大，说明“A 与B 无关”的程度越大 C ．χ2越小，说明“A 与B 有关系”的可信度越小 D ．χ2接近于0，说明“A 与B 无关”的程度越小 [答案] C[解析] 由独立性检验的定义及χ2的意义可知C 正确．2．某零件加工由两道工序完成，第一道工序的废品率为a ，第二道工序的废品率为b ，假定这两道工序是否出废品彼此无关，那么产品的合格率为( )A ．ab －a －b ＋1B ．1－a －bC ．1－abD ．1－2ab[答案] A[解析] P ＝(1－a )(1－b )＝ab －a －b ＋1.故选A.3．某调查机构调查教师工作压力大小的情况，部分数据如表：( )A ．0.01B ．0.05C ．0.10D ．0.005[答案] B[解析] χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(a ＋c )(c ＋d )(d ＋b )＝100(53×1－12×34)287×13×65×35≈4.9＞3.841，因此，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为工作压力大与不喜欢教师职业有关系． 二、填空题4．某高校《统计》课程的教师随机调查了选该课程的学生的一些情况，具体数据如下：χ2≈6.464，因为χ2>3.841，所以可判定选修统计专业与性别有关．那么这种判断出错的可能性为________．[答案] 5%5．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H 0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得χ2≈3.918.p ：有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”； q ：若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒； r ：这种血清预防感冒的有效率为95%； s ：这种血清预防感冒的有效率为5%.则下列结论中，正确结论的序号是____________．(把你认为正确的命题序号都填上) ①p ∧¬q ； ②¬p ∧q ；③(¬p ∧¬q )∧(r ∨s )； ④(p ∨¬r )∧(¬q ∨s )． [答案] ①④[解析] 由题意，得χ2≈3.918＞3.841，所以只有p 正确，即有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”，所以①、④正确．三、解答题6．为了解决初二平面几何入门难的问题，某校在初中一年级代数教学中加强概念和推理教学，并设有对照班，下表是初中二年级平面几何期中测验成绩统计表的一部分，试分析研究实验结果.[解析]∵χ2＝100×(32×38－18×12)50×50×44×56≈16.234>6.635.故有99%的把握认为“在初一加强概念和推理教学，对提高初二平面几何的测试成绩”有关系．7．为调查学生对国家大事关心与否是否与性别有关，在学生中进行随机抽样调查，结果如下表，根据统计数据作出合适的判断分析.[解析]假设Hχ2＝400×(182×24－18×176)2358×42×200×200≈0.9577，因为χ≈0.9577<2.706，所以不能拒绝H0，因此我们没有充分理由说学生是否关心国家大事与性别有关．8．(2014·合肥一六八中高二期中)某学校对手工社、摄影社两个社团招新报名的情况进行调查，得到如下的列联表：(1)(2)已知报名摄影社的6名女生中甲、乙、丙三人来自于同一个班级，其他再无任意两人同班情况．现从此6人中随机抽取2名女生参加某项活动，则被选到两人同班的概率是多少？(3)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为学生对这两个社团的选择与“性别”有关系？注：χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d).[解析] (2)所求概率为P ＝C 23C 26＝15.(3)χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝60×(12×24－6×18)230×30×18×42＝207≈2.857<3.841，所以，不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为学生对这两个社团的选择与“性别”有关系．。