广东省深圳中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含解析

深圳中学2017-2018学年第一学期期中试题 年级：高二（理科） 科目：数学（标准、实验、荣誉）考试时长：90分钟 卷面总分：100分注意事项：答案写在答题卡指定的位置上，写在试卷上无效，选择题作答必须用2B 铅笔，修改时用橡皮擦擦干净，解答题作答必须用黑色墨迹签字笔或钢笔填写，答题不得超过答题框． 一、选择题（8小题，每小题4分，共32分）1．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知π3C =，2a =，1b =，则c 等于（ ） ABCD ．12．下列结论正确的是（ ） A ．若ab bc >，则a b >B ．若88a b >，则a b >C ．若a b >，0c <，则ac bc <Da b >3．在ABC △中，若sin 2cos sin C A B =⋅，则此三角形必为（ ） A ．等腰三角形 B ．正三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ） A ．63B ．45C ．36D ．275．数列{}n a 满足112 , 0212 1 , 12n n n n n a a a a a +⎧⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩≤≤≤，若135a =，则2015a =（ ）A ．15B ．25 C ．35D ．456．已知ABC △的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若22co s s i n s i n s i n B A C B =，则（ ）A ．a ，b ，c 成等差数列 BC ．2a ，2b ，2c 成等比数列D ．2a ，2b ，2c 成等差数列7．已知函数()121f x x x =+--，则不等式()1f x >的解集为（ ） A ．2 , 23⎛⎫⎪⎝⎭B ．1 , 23⎛⎫⎪⎝⎭C ．2 , 33⎛⎫⎪⎝⎭D ．1 , 33⎛⎫⎪⎝⎭8．在直角坐标系中，定义()1*1n n nn n n x y x n y y x ++=-⎧∈⎨=+⎩N 为点() , n n n P x y 到点()111 , n n n P x y +++的一个变换：深中变换．已知()10 , 1P ，()222 , P x y ，…，() , n n n P x y ，()111 , n n n P x y +++是经过“深中变换”得到的一列点，设1n n n a P P +=，数列{}n a 的前n 项和为n S ，那么10S 的值为（ ） A．(312B．(312+C．)311D．)311二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）9． 在ABC △中，135B =︒，15C =︒，5a =，则此三角形的最大边长为________． 10．已知等比数列{}n a 的公比13q =-，则13572468a a a a a a a a ++++++等于________．11．有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的前10项之和为________． 12．已知数列{}n a 满足13a =， 121n n a a +=+，则{}n a 的通项公式为n a =________． 13．已知实数x ，y 满足2102101x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+⎩≥≤≤，则347x y +-的最大值是________．14．以()0 , m 间的整数()*1 , m m >∈N 为分子，以m 为分母组成分数集合1A ，其所有元素和为1a ；以()20 , m 间的整数()*1 , m m >∈N 为分子，以2m 为分母组成不属于集合A 的分数集合2A ，其所有元素和为2a ；……，依次类推，以()0 , n m 间的整数()*1 , m m >∈N 为分子，以n m 为分母组成不属于1A ，2A ，…，1n A -的分数集合n A ，其所有元素和为n a ，则12n a a a +++=________．三、解答题（4大题，共44分）15．（本小题满分10分）ABC △中，7BC =，3AB =，且sin 3sin 5C B =． （1）求AC 的长； （2）求A ∠的大小； （3）求ABC △的面积． 16．（本小题满分10分）某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米，池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x 米． （1）用含x 的表达式表示池壁面积S ；（2）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？ 17．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，()*12 1 , n n a S n n +=+∈N ≥，数列{}n b 满足21n nn b a -=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T ； 若数列{}n c 满足()21nn n a c a =-，且{}n c 的前n 项和为n K ，求证：3n K <．18．（本小题满分12分）设二次函数()()()24f x k x kx k =-+∈R ，对任意实数x ，有()62f x x +≤恒成立；正项数列{}n a 满足()1n n a f a +=．数列{}n b ，{}n c 分别满足12n nb b +-=，2214n n c c +=．（1）若数列{}n b ，{}n c 为递增数列，且11b =，11c =-，求{}n b ，{}n c 的通项公式； （2）在（1）的条件下，若()()()*1 , 12n b g n n n f n =∈-N ≥，求()g n 的最小值；（3）已知113a =，是否存在非零整数λ，使得对任意*n ∈N ，都有()1333312111log log log 112log 2111222n n n a a a λ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪+++>-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由．深圳中学2015-2016学年第一学期期中试题解析——叶晋飞一、选择题 1．B 2．C 3．A解析：在ABC △中，()πC A B =-+∴sin 2cos sin C A B =()sin 2cos sin A B A B ⇒+=sin cos cos sin 2cos sin sin cos cos sin 0A B A B A B A B A B ⇒+=⇒-=()sin 0A B A B ⇒-=⇒=∴ABC △为等腰三角形4．B解析：{}n a 为等差数列3S ⇒，63S S -，96S S -也或等差关系 即9，27，789a a a ++为等差数列关系78945a a a ⇒++= 5．B解析：135a =代入到递推式中得215a =，同理可得325a =，445a =，535a =；因此{}n a 为一个周期为4的一个数列．∴201545033325a a a ⨯+=== 6．D解析：222222222cos sin sin sin 222Ba cb B A C ac b a c b ac+-=⇒⋅=⇒+=由等差中项定理可得2a ，2b ，2c 或等差数列． 7．A解析：当1x ≥时，()()()1121312f x x x x x >⇒+--=-+>⇒<∴12x <≤① 当11x -<≤时，()()()211211323f x x x x x >⇒+-->⇒>⇒>∴213x <<② 当1x <-时，()()()11211314f x x x x x >⇒-++->⇒->⇒>无解③ 综上，解集为2 , 23⎛⎫⎪⎝⎭．8．C ．解析：由11n n nn n n x y x y y x ++=-⎧⎨=-⎩，()()120 , 1 1 , 1P P ⇒，()30 , 2P ，()4 2 , 2P ，()50 , 4P ，()6 4 , 4P ． 1121a PP ==，2a =3a =4a =11n n a -=⋅数列{}n a 为首项11a =公比q()()105101112131112S ⋅--===-二、填空题9． 10．3- 11．560解析：等差数列2，6，10，…，190的通项为()21442n a n n =+-⋅=-等差数列2，8，10，14，…，200的通项为()21664n b n n =+-⋅=-数列{}n a 与数列{}n b 首项112a b ==，由这两个等差数列的公共项也是一个等差数列{}n c ，首项12C =，公差为4与6的最小公倍数，12d =，∴()21121210n C n n =+-⋅=- ()()11012101021056022n n C C nS S +⋅⨯-+⨯=⇒==12．121n +- 2解析：(){}11211211n n n n n a a a a a ++=+⇒+=+⇒+为首项为114a +=，公比2q =的等比数列11114242121n n n n n a a --+⇒+=⋅⇒=⋅-=-13．1414．12n m -解析：1121m a m m m-=+++221222121m a a m m m -=+++- ()1231121n n n n n n m a a a a a m m m --=+++-++++()1231211121n n n n n n n m a a a a m m mm m-⇒++++=+++=+++-()()1231111122n nn n n m m m a a a a m -+--⇒++++==三、解答题15．（1）由正弦定理所得sin 35535sin 533C AB AC AB B AC ==⇒=⋅=⋅=（2）由余弦定理所得222957151cos 2235302AB AC BC A ABAC 22+-+--∠====-⨯⨯又∵在ABC △中∴2π3A ∠=（3）11sin 3522ABC S AB AC A =⋅⋅∠=⨯⨯=△16．（1）由题意得水池底面积为480016003=（平方米） 池壁面积160096002336S x x x x ⎛⎫=+⋅=+⎪⎝⎭（平方米） （2）设水池总造价为y ，所以960061201600150120240000297600y x x ⎛⎫=+⨯+⨯+= ⎪⎝⎭≥ 当且仅当96006x x=即40x =米时，总造价最低为297600元． 17．（1）∵12n n a S +=+①∴12n n a S -=+② 当2n ≥时①-②112n n n n n a a a a a ++-=⇒= 数列{}n a 为公比2q =的等比数列当1n =时，2124a a =+= 2124a a =⨯=也满足12n n a a += ∴111222n n n n a a q --==⋅= （2）21212n nn n n b a --== 1223135212222n nn n T b b b n T =+++-⇒=++++ ③ 231113232122222n n n n n T +--=++++ ④ ③-④：2311122221222222n n n n T +-=++++-12311211112222232n n n n T +-⎛⎫⇒=-+⋅+++ ⎪⎝⎭111122213214312212n n nnn n T -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥-+⎣⎦⇒=-+⋅=--∴3232n nnT +=-（3）由（2）所得()()()211221122121212121nn n n n n n n C --⎛⎫=<=-⨯ ⎪----⎝⎭- 123n n k C C C C =++++()2222248213721nn nk ⇒=++++-214811111122229771515312121n n n k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒<+++⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭1481111112294971515312121n n n k -⎛⎫⇒<+++⨯-+-++- ⎪--⎝⎭4221294921n n k <++-- ∵4192<，221149212n -<-∴1123322n n k k <++=⇒<证毕． 18．（1）数列{}n b 为递增数列，则112n n n n b b b b ++-=-= ∴{}n b 为公差2d =的等差数列11b =． ∴()11221n b n n =+-⨯=-（*n ∈N ） 由22211244n n nnC CC C ++=⇒= 又∵数列{}n C 为递增数列∴1122n n n nC C C C ++=⇒= ∴数列{}n C 公比2q =的等比数列，首先11C =- ∴()()11*122n n n C n --=-⋅=-∈N（2）()62f x x +≤恒成立，即()2462k x kx x -++≤恒成立()()24620k x k x ⇒-+--≤恒成立()()()224042684020k k k k k k -<<⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒=⎨⎨=-+-<-⎪⎪⎩⎩△≤ ∴()222f x x x =-+则()222f n n n =-+()()()2221422122441122112222n n n g n n n n n nn n ---====-+-----+-∴()212g n n=-为关于n 的单调递增函数，又∵1n ≥． ∴()()min 21212g n g ===-- （3）由（2）得()()22211222222f x x x x x x ⎛⎫=-+=--=--+ ⎪⎝⎭()1n n a f a +=又∵()12f x ⇒≤正项数列{}n a 满足10 , 2n a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦令12n n b a =-则()2211111222222n n nn n b a a a a ++⎛⎫=-=--+=- ⎪⎝⎭ 2111lg lg 2lg 22lg lg 22lg 22n n n n b a a b +⎛⎫⎛⎫⇒=-=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1lg lg22lg lg2n n b b +⇒+=+ 又∵1111lg lg 2lg lg 2lg 233b ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭∴112211111lg lg 2lg 2lg 2lg 3323n n n n n n b b b ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅⇒=⇒=⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭33312111log log log 111222n a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⇒+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭11222333log 23log 23log 23n -=⋅+⋅++⋅02113log 2322n n -=⋅+++()03212log 212n n -=+-3log 221n n =+-要证()133log 221112log 2n n n n λ-+->-+-⋅+恒成立即证()1212n n λ->-⋅恒成立当n 为奇数时，即12n λ-<恒成立，当且仅当1n =时，12n -有最小值为1∴1λ< 当n 为偶数时，12n x ->-恒成立，当且仅当2n =时，12n --有最大值2-∴2λ>-． 又∵λ为非零整数∴1x =-．。