数学期中压轴题猜想

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含答案数学中考专题：猜想与证明综合压轴题

(2)如图2，若AB＞DC，在平面内将图1中△DCE绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜120°），连接BD、AE，交于点O，连接OC，在△CDE运动过程中，猜想线段AO，OC，BO之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，将△DCE绕点C顺时针旋转30°，连接BD，点F、G为直线BD上两个动点，且FG＝，连接CF，AG．若CD＝2，AB＝ CD，求CF+FG+GA的最小值．
3．如图，以△ABC中的AB、AC为边分别向外作正方形ADEB，ACGF，连接DC、BF．（相关知识链接：正方形的四条边都相等，四个角都是直角）
(1)观察图形，利用旋转的观点说明：△ADC绕着点逆时针旋转°得到．
(2)猜想：CD与BF有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的猜想．
4．如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点E不与点B，C重合），且．
∵∠GDF=90°，
∴∠FDM=∠GDN．
∴ FDM≌ GDN．
∴DF与DG的数量关系是④．
(2)猜想论证：当∠B=30°时，如图2，试猜想DF与DG的数量关系并证明你的结论．
(3)拓展运用：若，BF=5，如图3，求BC的长．（直接写出结果不说明理由）
11．如图1，在中，，，，点，分别是边，的中点，连接．
(1)【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．
(2)【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接CP，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题．
九年级数学中考专题：猜想与证明综合压轴题

八年级上学期数学期中考试压轴题训练

八年级上学期数学期中考试压轴题训练一、选择题1、如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A．9.6B．8C．6D．4.8解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD垂直平分BC，∴BP＝CP．过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，如图所示．∵S△ABC＝BC•AD＝AC•BQ，∴BQ＝＝9.6．故选：A．2、如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝30°，D为AB的中点，P为CD上一点，E为BC延长线上一点，P A＝PE．下列结论：①∠P AB+∠PEB＝30°；②△P AE为等边三角形；③AC＝CE+DP；④S四边形AECP ＝S△ABC．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．43、如图，∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，下列结论：①GA＝GP；②S△P AC：S△P AB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④FP＝FC；其中正确的判断有（）A．只有①②B．只有③④C．只有①③④D．①②③④4、如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD，AC＝5，BC﹣AB＝2，则△ADC面积的最大值为（）A．2B．2.5C．4D．5二、填空题5、AD是△ABC中BC边上的中线，若AB＝6，AC＝10，则AD的取值范围是．6、如图，在四边形ABCD中，∠C＝70°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，则∠EAF的度数为．7、如图，∠AOB＝30°，点P为∠AOB内一点，OP＝8．点M、N分别在OA、OB上，则△PMN周长的最小值为．8、如图，在平面直角坐标系中，A（5，0），B（0，y），连接AB，过点A作AC⊥AB，若AC＝AB，x轴上的一点M（﹣1，0），连接CM，当点B在y轴上移动时，CM的最小值为．三、解答题9、如图，△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA移动（点P不与A，B重合），同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．（1）求证：PD＝QD；（2）过点P作直线BC的垂线，垂足为E，P，Q在移动过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．10、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BD平分∠ABC，AE⊥BD，垂足为E．（1）求∠EAC的度数；（2）若AE＝2，求BD的长．11、在平面面角坐标系中，A（﹣5，0），B（0，5）．点C为x轴正半轴上一动点，过点A作AD⊥BC交y轴于点E．（1）如图①，若C（4，0），求点E的坐标；（2）如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且OC＜5．其它条件不变，连接DO，求证：DO平分∠ADC；（3）若点C在x轴正半轴上运动．当OC+CD＝AD时，求∠OBC的度数．12、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，a），B（﹣b，0），且a，b满足+|a﹣2b+2|＝0．（1）求证∠OAB＝∠OBA；（2）如图1，若BC⊥AC，求∠ACO的度数；（3）如图2，若点D是AO的中点，DE∥OB，点F在AB的延长线上，∠EOF ＝45°，连接EF，试探究OE与EF的数量关系和位置关系．13、如图，平面直角坐标系中，A（0，a），B（b，0）且a、b满足|a+2b﹣6|+|a ﹣2b+2|＝0．E为线段上一动点，∠BED＝∠OAB，BD⊥EC，垂足在EC的延长线上，试求：（1）判断△OAB的形状，并说明理由；（2）如图1，当点E与点A重合时，探究线段AC与BD的数量关系，并证明你的结论；（3）如图2，当点E在线段AB（不与A、B重合）上运动时，试探究线段EC 与BD的数量关系，证明你的结论．14、等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上．（1）如图1，求证：∠BCO＝∠CAO（2）如图2，若OA＝5，OC＝2，求B点的坐标＝18．分别以（3）如图3，点C（0，3），Q、A两点均在x轴上，且S△CQA AC、CQ为腰在第一、第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，连接MN 交y轴于P点，OP的长度是否发生改变？若不变，求出OP的值；若变化，求OP的取值范围．。

最新九年级数学中考复习：猜想与证明综合压轴题含答案

2023年九年级数学中考复习：猜想与证明综合压轴题1．若四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫做这个四边形的“巧分线”，这个四边形叫“巧妙四边形”，若一个四边形有两条巧分线，则称为“绝妙四边形．（1）下列四边形一定是巧妙四边形的是．（填序号） ①平行四边形；①矩形；①菱形；①正方形．【初步应用】（2）如图，在绝妙四边形ABCD 中，AC ＝AD ，且AC 垂直平分BD ，若①BAD ＝80°，求①BCD 的度数．【深入研究】（3）在巧妙四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ，①A ＝90°，AC 是四边形ABCD 的巧分线，请直接写出①BCD 的度数．2．四边形ABCD 和四边形AMPN 有公共顶点A ，连接BM 和DN ．(1)如图1，若四边形ABCD 和四边形AMPN 都是正方形，当正方形AMPN 绕点A 旋转α角（0360α︒<<︒）时，BM 和DN 的数量关系是________，位置关系是________；(2)如图2，若四边形ABCD 和四边形AMPN 都是矩形，且AB AM AD AN =判断BM 和DN 的数量关系和位置关系，并说明理由；(3)在（2）的条件下，若21AB AM ==，，矩形AMPN 绕点A 逆时针旋转α角（0360α︒<<︒），当//MN AB 时，求线段DN 的长．3．如图1，已知正方形ABCD 在直线MN 的上方，BC 在直线MN 上，E 是BC 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG .（1）连结GD ，求证：ADG ABE ∆≅∆.（2）连结FC ，观察并猜测FCN ∠的度数，并说明理由.（3）如图2，将图1中正方形ABCD 改为矩形ABCD ，AB a ，BC b =（a 、b 为常数），E 是线段BC 上一动点（不含端点B 、C ），以AE 为边在直线MN 的上方作矩形AEFG ，使顶点G 恰好落在射线CD 上.判断当点E 由B 向C 运动时，FCN ∠的大小是否总保持不变，若FCN ∠的大小不变，请用含a 、b 的代数式表示tan FCN ∠的值；若FCN ∠的大小发生改变，请举例说明.4．请阅读，完成证明和填空.九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：（1）如图1，正三角形ABC 中，在AB 、AC 边上分别取点M 、N ，使BM AN =，连结BN 、CM ，发现BN CM =，且60NOC ∠=︒. 请证明：60NOC ∠=︒.（2）如图2，正方形ABCD 中，在AB 、BC 边上分别取点M 、N ，使AM BN =，连结AN 、DM ，那么AN =______，且DON ∠=______度.（3）如图3，正五边形ABCDE 中，在AB 、BC 边上分别取点M 、N ，使AM BN =，连结AN 、EM ，那么AN =______，且EON ∠=______度.（4）在正n 边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论. 请大胆猜测，用一句话概括你的发现：________________________________.5．（1）如图1，在Rt △ABC 中，①ABC =90°，以点B 为中心，把△ABC 逆时针旋转90°，得到△A 1BC 1；再以点C 为中心，把△ABC 顺时针旋转90°，得到△A 2B 1C ，连接C 1B 1，则C 1B 1与BC 的位置关系为；（2）如图2，当△ABC 是锐角三角形，①ABC =α（α≠60°）时，将△ABC 按照（1）中的方式旋转α，连接C 1B 1，探究C 1B 1与BC 的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；（3）如图3，在图2的基础上，连接B 1B ，若C 1B 1=23BC ，△C 1BB 1的面积为4，则△B 1BC 的面积为．6．如图，正方形ABCD 中，=45?MAN ∠，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交BC 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．(1)如图1，求证：MN BM DN =+； (2)当=6AB ，5MN =时，求CMN 的面积；(3)当MAN ∠绕点A 旋转到如图2位置时，线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．7．如图，在等腰Rt ABC 和等腰Rt CDE 中，90ACB DCE ∠=∠=︒．(1)观察猜想：如图1，点E 在BC 上，线段AE 与BD 的关系是_________；(2)探究证明：把CDE △绕直角顶点C 旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；(3)拓展延伸：把CDE △绕点C 在平面内转动一周，若10AC BC ==，5CE CD ==，AE 、BD 交于点P 时，连接CP ，直接写出BCP 最大面积_________．8．如图1，在Rt △ABC 中，①A =90°，AB =AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD =AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．(1)观察猜想：图1中，请判断线段PM 与PN 的数量关系和位置关系，并说明理由；(2)探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD =3，AB =7，请直接写出△PMN 面积的最大值．9．在ABC 中，AB AC =，D 是边BC 上一动点，连接AD ，将AD 绕点A 逆时针旋转到的AE 的位置，使得180DAE BAC ∠+∠=︒；(1)如图1，当90BAC ∠=︒，连接BE 交AC 于点F ，若BE 平分ABC ∠，2BD =，则CF =_________．(2)在（1）的条件下，求AF 的长；(3)如图2，连接BE ，取BE 的中点G ，连接AG ，猜想AG 与CD 存在的数量关系，并证明．10．阅读理解图1是边长分别为a 和b （a b >）的两个等边三角形纸片ABC 和C DE '叠放在一起（C 与C '重合）的图形．操作与证明：(1)操作：固定ABC ，将C DE '绕点C 按顺时针方向旋转30，连接AD 、BE ，如图2，在图2中，线段BE 与AD 之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；(2)若将图1中的C DE '绕点C 按顺时针方向任意旋转一个角度α，连接AD 、BE ，如图3，图3中线段BE 与AD 之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；猜想与发现：(3)根据上面的操作和思考过程，请你猜想当α为______度时，线段AD 的长度最大，当α为某个角度时，线段AD 的长度最小，最小是______．11．在Rt ABC 中，90,4,8B AB BC ∠=︒==，点D 、E 分别在AC 、BC 边上．(1)如图1，若D 、E 分别为边AC 、BC 的中点，连接DE ，则ADBE=______； (2)如图2，若D 为AC 边上任意一点，DE AB ∥，则ADBE=______； (3)如图3，在图2的基础上将DEC 绕点C 按顺时针方向旋转一定的角度，猜想ADBE的值，并证明你的结论；(4)如图4，在（3）的条件下，当将DEC 旋转，使点E 在线段AD 上时，若6CE =，请直接写出BE 的长，不必写出求解过程．12．已知ABC 中，AB AC =，60ABC ∠=︒，点P 为射线AD 上任意一点（点P 与点A 不重合）．连接CP ，将线段CP 绕点C 顺时针旋转60°得到线段CQ ，连接QB 并延长交直线AD 于点E ．(1)如图1，当90DAC ∠=︒时，试猜想BC 与QE 的位置关系，并说明理由；(2)如图2，当120DAC ∠=︒，15ACP ∠=︒时，点E 恰好与点A 重合，若6AC =，求BQ 的长．13．如图，已知①ABC 是等腰直角三角形，①BAC ＝90°，点D 是BC 的中点．作正方形DEFG ，使点A 、C 分别在边DG 和DE 上，连接AE ，BG ．(1)猜想线段BG 和AE 的数量关系是；(2)将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转α（0°＜α≤360°）．判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图（2）证明你的结论；(3)在（2）的条件下，若BC ＝DE ＝8，当AE ＝AG 时，直接写出AF ＝．14．如图，已知Rt ①ABC 中，①ABC ＝90°，BC =4，BA ＝8，点D 、E 分别为BC 、BA 的中点，作直线AE 、CD ，设它们的交点为点P ．(1)猜想：在旋转的过程中，线段AE 、CD 有怎样的数量和位置关系？答：、． (2)利用图2，证明你在（1）中的猜想．(3)当点D 恰好落在直线AE 上时，求线段PC 的长． (4)在旋转过程中，直接写出①PBC 面积的最大值．15．在①ABC 中，CA ＝CB ，①ACB ＝α．点P 是平面内不与点A ，C 重合的任意一点，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，BD ，CP ．(1)观察猜想如图1，当α＝60°时，BDCP的值是，直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是． (2)类比探究如图2，当α＝90°时，请写出BDCP，并就图2的情形说明理由． (3)解决问题当α＝90°时，若点E ，F 分别是CA ，CB 的中点，点P 在直线EF 上，请直接写出点C ，P ，D 在同一直线上时ADCP的值．16．如图1，在等腰三角形ABC 中，120A ∠=︒，AB AC =，AD AE =，连接BE ，点M 、N 、P 分别为DE 、BE 、BC 的中点．(1)观察猜想：图1中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，线段NM 、NP 的数量关系是______，MNP ∠的大小为______；(2)探究证明：把ADE 绕点A 顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP 、BD 、CE ，图1中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．17．如图1，在Rt ABC 中，90A ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．(1)观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是__________，位置关系是__________； (2)探究证明：把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN 的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若4=AD ，10AB =，请直接写出PMN 面积的最大值．18．如图1，四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形，点A 在DG 上，连接AE ，CG ．(1)求证：AE CG =；(2)猜想：AE 与CG 之间的位置关系，并证明你的猜想；(3)在其它条件不变的前提下，如果将正方形ABCD 绕着点D 按逆时针旋转任意角度（如图2）．那么（2）中结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (4)如图3，将正方形ABCD 绕着点D 旋转到某一位置时恰好使得AD EG ∥，AE GE =．当正方形DEFG ABCD 的边长．19．探究题①(1)特殊情景：如图（1），在四边形ABCD 中，AB =AD ，以点A 为顶点作一个角，角的两边分别交BC ，CD 于点E ，F ，且①EAF =12①BAD ，连接EF ，若①BAD =①B =①D =90°，探究：线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，并说明理由(2)类比猜想：类比特殊情景，在上述（1）条件下，把“①BAD =①B =①D =90°”改成一股情况“①BAD =α ， ①B +①D =180°，”如图（2），小明猜想：线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你写出结论；若不成立，请你写出成立时α的取值范围．(3)解决问题：如图（3），在①ABC 中，①BAC =90°，AB =AC =4，点D ，E 均在边BC 上，且①DAE =45°，若BD ，计算DE 的长度．20．①ABC 和①DEC 是等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，AC BC =，CD CE =．(1)【观察猜想】当①ABC 和①DEC 按如图1所示的位置摆放，连接BD 、AE ，延长BD 交AE 于点F ，猜想线段BD 和AE 有怎样的数量关系和位置关系．(2)【探究证明】如图2，将①DCE 绕着点C 顺时针旋转一定角度()090αα︒<<︒，线段BD 和线段AE 的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．(3)【拓展应用】如图3，在①ACD 中，45ADC ∠=︒，CD =，4=AD ，将AC 绕着点C 逆时针旋转90°至BC ，连接BD ，求BD 的长．参考答案：1．（1）①①；（2）①BCD＝140°；（3）①BCD的度数是45°或135°或90°．2．(1)相等；垂直；(2)数量关系：DN=；位置关系：BM①DN(3)34．（2）DM，90°;（3）EM，108°;5．（1）平行；（2）平行；（3）6．6．(1)见解析(2)6(3)DN BM MN=+，证明见解析7．(1)AE BD=，AE BD⊥；(2)结论仍成立，8．(1)PM=PN，PM①PN．(2)△PMN是等腰直角三角形．(3)S△PMN最大=25 29．(1)2(3)AG=12CD，10．(1)BE=AD，(2)BE=AD，(3)180°，a-b11．(3)AD BE =(4)BE =12．(1)BC EQ ⊥，(2)3BQ =13．(1)BG =AE(2)结论成立，(3)4或414．(1)AE ⊥CD ，AE ＝2CD15．(1)1，60°216．(1)MN NP =，60︒(2)成立，17．(1)PM PN =，PM PN ⊥(2)等腰直角三角形， (3)49218．(2)AE①CG．(3)（2）中结论仍然成立．119．(1)BE+DF＝EF(2)EF＝BE+DF成立，(3)DE=⊥20．(1)BD AE=，BD AE (2)成立(3)。

七年级下册数学期中好题必刷专题04解答题压轴题(人教版)(解析版)

专题04解答题压轴题一、解答题1．已知AM CN ∥,点B 为平面内一点,AB BC ⊥于B ． (1)如图,直接写出A ∠和C ∠之间的数量关系．(2)如图,过点B 作BD AM ⊥于点D ,求证：ABD C ∠=∠．(3)如图,在（2）问的条件下,点E ,F 在DM 上,连接BE ,BF ,CF ,BF 那平分DBC ∠,BE 平分ABD ∠,若180FCB NCF ∠+∠=︒,3BFC DBE ∠=∠,求EBC ∠的度数．【答案】(1)90A C ∠+∠=︒ (2)证明见解析 (3)105︒ 【提示】（1）根据平行线的性质及直角三角形的性质证明即可；（2）过点B 作//BG DM ,根据同角的余角相等得出ABD CBG ∠=∠,再根据平行线的性质得到C CBG ∠=∠,即可得到ABD C ∠=∠；（3）过点B 作//BG DM ,根据角平分线的定义得出ABF GBF ∠=∠,设DBE α∠=,ABF β∠=,可得3=75αβ+︒,再根据AB BC ⊥,得到290ββα++=︒,解方程得到=15ABE ∠︒,继而得出,1590105EBC ABE ABC ∠=∠+∠=︒+︒=︒． (1) 如图1,∵//AM CN , ∴C AOB ∠=∠, ∵AB BC ⊥, ∴90ABC ∠=︒,∴90A AOB ∠+∠=︒,90A C ∠+∠=︒, 故答案为：90A C ∠+∠=︒； (2)如图2,过点B 作//BG DM ,∵BD AM ⊥, ∴DB BG ⊥, ∴90∠=︒DBG , ∴90ABD ABG ∠+∠=︒, ∵AB BC ⊥,∴90CBG ABG ∠+∠=︒, ∴ABD CBG ∠=∠, ∵//AM BG ,∴C CBG ∠=∠,ABD C ∠=∠． (3)如图3,过点B 作//BG DM ,∵BF 平分DBC ∠,BE 平分ABD ∠, ∴DBF CBF ∠=∠,DBE ABE ∠=∠, 由（2）知ABD CBG ∠=∠,∴ABF GBF ∠=∠,设DBE α∠=,ABF β∠=,则ABE α∠=,2ABD CBG α∠==∠,GBF AFB β∠=∠=,33BFC DBE α∠=∠=,∴3AFC αβ∠=+∵180AFC NCF ∠+∠=︒,180FCB NCF ∠+∠=︒, ∴3FCB AFC αβ∠=∠=+,BCF △中,由180CBF BFC BCF ∠+∠+∠=︒得 233180αβααβ++++=︒,∵AB BC ⊥, ∴290ββα++=︒, ∴15α=︒, ∴15ABE ∠=︒,∴1590105EBC ABE ABC ∠=∠+∠=︒+︒=︒．【点睛】本题考查平行线的性质与应用、角平分线的性质、方程思想等知识,学会添加辅助线,掌握相关知识是解题关键．2．如图1,已知直线m ∥n ,AB 是一个平面镜,光线从直线m 上的点O 射出,在平面镜AB 上经点P 反射后,到达直线n 上的点Q ．我们称OP 为入射光线,PQ 为反射光线,镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角,即∠OP A=∠QPB ．（1）如图1,若∠OPQ=82°,求∠OP A的度数；（2）如图2,若∠AOP=43°,∠BQP=49°,求∠OP A的度数；（3）如图3,再放置3块平面镜,其中两块平面镜在直线m和n上,另一块在两直线之间,四块平面镜构成四边形ABCD,光线从点O以适当的角度射出后,其传播路径为O→P→Q→R→O→P→…试判断∠OPQ和∠ORQ的数量关系,并说明理由．【答案】（1）49°,（2）44°,（3）∠OPQ=∠ORQ【提示】（1）根据∠OP A=∠QP B．可求出∠OP A的度数；（2）由∠AOP=43°,∠BQP=49°可求出∠OPQ的度数,转化为（1）来解决问题；（3）由（2）推理可知：∠OPQ=∠AOP+∠BQP,∠ORQ=∠DOR+∠RQC,从而∠OPQ=∠ORQ．【解答】解：（1）∵∠OP A=∠QPB,∠OPQ=82°,∴∠OP A=（180°-∠OPQ）×12=（180°-82°）×12=49°,（2）作PC∥m,∵m∥n,∴m∥PC∥n,∴∠AOP=∠OPC=43°,∠BQP=∠QPC=49°,∴∠OPQ=∠OPC+∠QPC=43°+49°=92°,∴∠OP A=（180°-∠OPQ）×12=（180°-92°）×1244°,（3）∠OPQ=∠ORQ．理由如下：由（2）可知：∠OPQ=∠AOP+∠BQP,∠ORQ=∠DOR+∠RQC,∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角,∴∠AOP=∠DOR,∠BQP=∠RQC,∴∠OPQ=∠ORQ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和入射角等于反射角的规定,解决本题的关键是注意问题的设置环环相扣、前为后用的设置目的．3．如图,直线AB∥直线CD,线段EF∥CD,连接BF、CF．（1）求证：∠ABF+∠DCF＝∠BFC；（2）连接BE、CE、BC,若BE平分∠ABC,BE⊥CE,求证：CE平分∠BCD；（3）在（2）的条件下,G为EF上一点,连接BG,若∠BFC＝∠BCF,∠FBG＝2∠ECF,∠CBG＝70°,求∠FBE的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠FBE＝35°．【提示】（1）根据平行线的性质得出∠ABF＝∠BFE,∠DCF＝∠EFC,进而解答即可；（2）由（1）的结论和垂直的定义解答即可；（3）由（1）的结论和三角形的角的关系解答即可．【解答】证明：（1）∵AB∥CD,EF∥CD,∴AB∥EF,∴∠ABF＝∠BFE,∵EF∥CD,∴∠DCF＝∠EFC,∴∠BFC＝∠BFE+∠EFC＝∠ABF+∠DCF；（2）∵BE⊥EC,∴∠BEC＝90°,∴∠EBC+∠BCE＝90°,由（1）可得：∠BFC＝∠ABE+∠ECD＝90°,∴∠ABE+∠ECD＝∠EBC+∠BCE,∵BE平分∠ABC,∴∠ABE＝∠EBC,∴∠ECD＝∠BCE,∴CE平分∠BCD；（3）设∠BCE＝β,∠ECF＝γ,∵CE平分∠BCD,∴∠DCE＝∠BCE＝β,∴∠DCF＝∠DCE﹣∠ECF＝β﹣γ,∴∠EFC＝β﹣γ,∵∠BFC＝∠BCF,∴∠BFC＝∠BCE+∠ECF＝γ+β,∴∠ABF＝∠BFE＝2γ,∵∠FBG＝2∠ECF,∴∠FBG＝2γ,∴∠ABE+∠DCE＝∠BEC＝90°,∴∠ABE＝90°﹣β,∴∠GBE＝∠ABE﹣∠ABF﹣∠FBG＝90°﹣β﹣2γ﹣2γ, ∵BE平分∠ABC,∴∠CBE＝∠ABE＝90°﹣β,∴∠CBG＝∠CBE+∠GBE,∴70°＝90°﹣β+90°﹣β﹣2γ﹣2γ,整理得：2γ+β＝55°, ∴∠FBE ＝∠FBG +∠GBE ＝2γ+90°﹣β﹣2γ﹣2γ＝90°﹣（2γ+β）＝35°．【点睛】本题主要考查平行线的性质,解决本题的关键是根据平行线的性质解答． 4．已知AB //CD ．（1）如图1,E 为AB ,CD 之间一点,连接BE ,DE ,得到∠BED ．求证：∠BED ＝∠B +∠D ；（2）如图,连接AD ,BC ,BF 平分∠ABC ,DF 平分∠ADC ,且BF ,DF 所在的直线交于点F ． ①如图2,当点B 在点A 的左侧时,若∠ABC ＝50°,∠ADC ＝60°,求∠BFD 的度数．②如图3,当点B 在点A 的右侧时,设∠ABC ＝α,∠ADC ＝β,请你求出∠BFD 的度数．（用含有α,β的式子表示）【答案】（1）见解析；（2）55°；（3）1118022αβ︒-+【提示】（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；（2）①如图2,过点F 作//FE AB ,当点B 在点A 的左侧时,根据50ABC ∠=︒,60ADC ∠=︒,根据平行线的性质及角平分线的定义即可求BFD ∠的度数；②如图3,过点F 作//EF AB ,当点B 在点A 的右侧时,ABC α∠=,ADC β∠=,根据平行线的性质及角平分线的定义即可求出BFD ∠的度数．【解答】解：（1）如图1,过点E 作//EF AB ,则有BEF B ∠=∠,//AB CD ,//EF CD ∴,FED D ∴∠=∠,BED BEF FED B D ∴∠=∠+∠=∠+∠；（2）①如图2,过点F 作//FE AB ,有BFE FBA ∠=∠．//AB CD ,//EF CD ∴．EFD FDC ∴∠=∠．BFE EFD FBA FDC ∴∠+∠=∠+∠．即BFD FBA FDC ∠=∠+∠, BF 平分ABC ∠,DF 平分ADC ∠,1252FBA ABC ∴∠=∠=︒,1302FDC ADC ∠=∠=︒,55BFD FBA FDC ∴∠=∠+∠=︒．答：BFD ∠的度数为55︒； ②如图3,过点F 作//FE AB ,有180BFE FBA ∠+∠=︒．180BFE FBA ∴∠=︒-∠,//AB CD ,//EF CD ∴．EFD FDC ∴∠=∠．180BFE EFD FBA FDC ∴∠+∠=︒-∠+∠．即180BFD FBA FDC ∠=︒-∠+∠, BF 平分ABC ∠,DF 平分ADC ∠,1122FBA ABC α∴∠=∠=,1122FDC ADC β∠=∠=,1118018022BFD FBA FDC αβ∴∠=︒-∠+∠=︒-+．答：BFD ∠的度数为1118022αβ︒-+．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质,解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．5．（1）如图①,若∠B +∠D =∠E ,则直线AB 与CD 有什么位置关系？请证明（不需要注明理由）．（2）如图②中,AB //CD ,又能得出什么结论？请直接写出结论．（3）如图③,已知AB //CD ,则∠1+∠2+…+∠n -1+∠n 的度数为．【答案】（1）AB //CD ,证明见解析；（2）∠E 1+∠E 2+…∠En =∠B +∠F 1+∠F 2+…∠Fn -1+∠D ；（3）(n -1)•180° 【提示】（1）过点E 作EF //AB ,利用平行线的性质则可得出∠B =∠BEF ,再由已知及平行线的判定即可得出AB ∥CD ；（2）如图,过点E 作EM ∥AB ,过点F 作FN ∥AB ,过点G 作GH ∥AB ,根据探究（1）的证明过程及方法,可推出∠E +∠G =∠B +∠F +∠D ,则可由此得出规律,并得出∠E 1+∠E 2+…∠En =∠B +∠F 1+∠F 2+…∠Fn -1+∠D ；（3）如图,过点M 作EF ∥AB ,过点N 作GH ∥AB,则可由平行线的性质得出∠1+∠2+∠MNG =180°×2,依此即可得出此题结论．【解答】解：（1）过点E 作EF //AB ,∴∠B =∠BEF ． ∵∠BEF +∠FED =∠BED ,∴∠B +∠FED =∠BED ．∵∠B+∠D=∠E（已知）,∴∠FED=∠D．∴CD//EF（内错角相等,两直线平行）．∴AB//CD．（2）过点E作EM∥AB,过点F作FN∥AB,过点G作GH∥AB,∵AB∥CD,∴AB∥EM∥FN∥GH∥CD,∴∠B=∠BEM,∠MEF=∠EFN,∠NFG=∠FGH,∠HGD=∠D,∴∠BEF+∠FGD=∠BEM+∠MEF+∠FGH+∠HGD=∠B+∠EFN+∠NFG+∠D=∠B+∠EFG+∠D, 即∠E+∠G=∠B+∠F+∠D．由此可得：开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等,∴∠E1+∠E2+…∠En=∠B+∠F1+∠F2+…∠Fn-1+∠D．故答案为：∠E1+∠E2+…∠En=∠B+∠F1+∠F2+…∠Fn-1+∠D．（3）如图,过点M作EF∥AB,过点N作GH∥AB,∴∠APM+∠PME=180°,∵EF∥AB,GH∥AB,∴EF∥GH,∴∠EMN+∠MNG=180°,∴∠1+∠2+∠MNG =180°×2,依次类推：∠1+∠2+…+∠n-1+∠n=(n-1)•180°．故答案为：(n-1)•180°．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定,属于基础题,关键是过E 点作AB （或CD ）的平行线,把复杂的图形化归为基本图形．6．已知,AB ∥CD ,点E 为射线FG 上一点．（1）如图1,若∠EAF ＝25°,∠EDG ＝45°,则∠AED = ．（2）如图2,当点E 在FG 延长线上时,此时CD 与AE 交于点H ,则∠AE D 、∠EAF 、∠EDG 之间满足怎样的关系,请说明你的结论；（3）如图3,当点E 在FG 延长线上时,DP 平分∠EDC ,且∠EAP :∠BAP =l : 2,∠AED ＝32°,∠P ＝30°,求∠EKD 的度数．【答案】（1）70°；（2）EAF AED EDG ∠=∠+∠,证明见解析；（3）122° 【提示】（1）过E 作//EF AB ,根据平行线的性质得到25EAF AEH ∠=∠=︒,45EAG DEH ∠=∠=︒,即可求得AED ∠；（2）过过E 作//EM AB ,根据平行线的性质得到180EAF MEH ∠=︒-∠,180EDG AED MEH ∠+∠=︒-,即EAF AED EDG ∠=∠+∠；（3）设EAI x ∠=,则3BAE x ∠=,通过三角形内角和得到2EDK x ∠=-︒,由角平分线定义及//AB CD 得到33224x x =︒+-︒,求出x 的值再通过三角形内角和求EKD ∠．【解答】解：（1）过E 作//EF AB ,//AB CD ,//EF CD ∴,25EAF AEH ∴∠=∠=︒,45EAG DEH ∠=∠=︒, 70AED AEH DEH ∴∠=∠+∠=︒,故答案为：70︒；（2）EAF AED EDG ∠=∠+∠．理由如下：过E 作//EM AB ,//AB CD ,//EM CD ∴,180EAF MEH ∴∠+∠=︒,180EDG AED MEH ∠+∠+=︒, 180EAF MEH ∴∠=︒-∠,180EDG AED MEH ∠+∠=︒-,EAF AED EDG ∴∠=∠+∠；（3）:1:2EAP BAP ∠∠=, 设EAP x ∠=,则3BAE x ∠=,32302AED P ∠-∠=︒-︒=︒,DKE AKP ∠=∠,又180EDK DKE DEK ∠+∠+∠=︒,180KAP KPA AKP ∠+∠+∠=︒,22EDK EAP x ∴∠=∠-︒=-︒,DP 平分EDC ∠,224CDE EDK x ∴∠=∠=-︒,//AB CD ,EHC EAF AED EDG ∴∠=∠=∠+∠,即33224x x =︒+-︒,解得28x =︒,28226EDK ∴∠=︒-︒=︒, 1802632122EKD ∴∠=︒-︒-︒=︒．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定,正确做出辅助线是解决问题的关键．7．（1）（问题）如图1,若//AB CD ,40AEP ∠=︒,130PFD ∠=︒．求EPF ∠的度数；（2）（问题迁移）如图2,//AB CD ,点P 在AB 的上方,问PEA ∠,PFC ∠,EPF ∠之间有何数量关系？请说明理由；（3）（联想拓展）如图3所示,在（2）的条件下,已知EPF α∠=,PEA ∠的平分线和PFC ∠的平分线交于点G ,用含有α的式子表示G ∠的度数．【答案】（1）90°；（2）∠PFC =∠PEA +∠P ；（3）∠G =12α 【提示】（1）根据平行线的性质与判定可求解；（2）过P 点作PN ∥AB ,则PN ∥CD ,可得∠FPN =∠PEA +∠FPE ,进而可得∠PFC =∠PEA +∠FPE ,即可求解；（3）令AB 与PF 交点为O ,连接EF ,根据三角形的内角和定理可得∠GEF +∠GFE ＝12∠PEA +12∠PFC +∠OEF +∠OFE ,由（2）得∠PEA =∠PFC -α,由∠OFE +∠OEF =180°-∠FOE =180°-∠PFC 可求解．【解答】解：（1）如图1,过点P 作PM ∥AB , ∴∠1=∠AEP ．又∠AEP =40°, ∴∠1=40°． ∵AB ∥CD , ∴PM ∥CD , ∴∠2+∠PFD =180°． ∵∠PFD =130°, ∴∠2=180°-130°=50°． ∴∠1+∠2=40°+50°=90°．即∠EPF =90°．（2）∠PFC=∠PEA+∠P．理由：过P点作PN∥AB,则PN∥CD,∴∠PEA=∠NPE,∵∠FPN=∠NPE+∠FPE,∴∠FPN=∠PEA+∠FPE,∵PN∥CD,∴∠FPN=∠PFC,∴∠PFC=∠PEA+∠FPE,即∠PFC=∠PEA+∠P；（3）令AB与PF交点为O,连接EF,如图3．在△GFE中,∠G=180°-（∠GFE+∠GEF）,∵∠GEF＝12∠PEA+∠OEF,∠GFE＝12∠PFC+∠OFE,∴∠GEF+∠GFE＝12∠PEA+12∠PFC+∠OEF+∠OFE,∵由（2）知∠PFC=∠PEA+∠P,∴∠PEA=∠PFC-α,∵∠OFE+∠OEF=180°-∠FOE=180°-∠PFC,∴∠GEF+∠GFE＝12(∠PFC−α)+12∠PFC+180°−∠PFC＝180°−12α,∴∠G＝180°−(∠GEF+∠GFE)＝180°−180°+12α＝12α．【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定,灵活运用平行线的性质与判定是解题的关键．8．已知：如图（1）直线AB、CD被直线MN所截,∠1＝∠2．（1）求证：AB//CD；（2）如图（2）,点E在AB,CD之间的直线MN上,P、Q分别在直线AB、CD上,连接PE、EQ,PF平分∠BPE,QF平分∠EQD,则∠PEQ和∠PFQ之间有什么数量关系,请直接写出你的结论；（3）如图（3）,在（2）的条件下,过P点作PH//EQ交CD于点H,连接PQ,若PQ平分∠EPH,∠QPF：∠EQF＝1：5,求∠PHQ的度数．【答案】（1）见解析；（2）∠PEQ+2∠PFQ＝360°；（3）30°【提示】（1）首先证明∠1＝∠3,易证得AB//CD；（2）如图2中,∠PEQ+2∠PFQ＝360°．作EH//AB．理由平行线的性质即可证明；（3）如图3中,设∠QPF＝y,∠PHQ＝x．∠EPQ＝z,则∠EQF＝∠FQH＝5y,想办法构建方程即可解决问题；【解答】（1）如图1中,∵∠2＝∠3,∠1＝∠2,∴∠1＝∠3,∴AB//CD．（2）结论：如图2中,∠PEQ+2∠PFQ＝360°．理由：作EH//AB．∵AB//CD,EH//AB,∴EH//CD,∴∠1＝∠2,∠3＝∠4,∴∠2+∠3＝∠1+∠4,∴∠PEQ＝∠1+∠4,同法可证：∠PFQ＝∠BPF+∠FQD,∵∠BPE＝2∠BPF,∠EQD＝2∠FQD,∠1+∠BPE＝180°,∠4+∠EQD＝180°, ∴∠1+∠4+∠EQD+∠BPE＝2×180°,即∠PEQ+2(∠FQD+∠BPF)=360°,∴∠PEQ+2∠PFQ＝360°．（3）如图3中,设∠QPF＝y,∠PHQ＝x．∠EPQ＝z,则∠EQF＝∠FQH＝5y,∵EQ//PH,∴∠EQC＝∠PHQ＝x,∴x+10y＝180°,∵AB//CD,∴∠BPH＝∠PHQ＝x,∵PF平分∠BPE,∴∠EPQ+∠FPQ＝∠FPH+∠BPH,∴∠FPH＝y+z﹣x,∵PQ平分∠EPH,∴Z＝y+y+z﹣x,∴x＝2y,∴12y ＝180°, ∴y ＝15°, ∴x ＝30°, ∴∠PHQ ＝30°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质,角平分线的定义等知识．（2）中能正确作出辅助线是解题的关键；（3）中能熟练掌握相关性质,找到角度之间的关系是解题的关键．9．如图,以直角三角形AOC 的直角顶点О为原点,以OC 、OA 所在直线为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系,点()0,A a ,(),0C b 满足220a b b -+-=．（1）C 点的坐标为______；A 点的坐标为______．（2）如图1,已知坐标轴上有两动点P 、Q 同时出发,P 点从C 点出发沿x 轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动,Q 点从O 点出发以2个单位长度每秒的速度沿y 轴正方向移动,点Q 到达A 点整个运动随之结束．AC 的中点D 的坐标是()1,2,设运动时间为()0t t >．问：是否存在这样的t ,使ODPODQSS=？若存在,请求出t 的值：若不存在,请说明理由．（3）如图2,过O 作//OG AC ,作AOF AOG ∠=∠交AC 于点F ,点E 是线段OA 上一动点,连CE 交OF 于点H ,当点E 在线段OA 上运动的过程中,OHC ACEOEC∠+∠∠的值是否会发生变化？若不变,请求出它的值：若变化,请说明理由．【答案】（1）()2,0C ,()0,4A ；（2）1；（3）不变,值为2 【提示】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性,求得a ,b 的值,再利用中点坐标公式即可得出答案；（2）先得出CP =t ,OP =2-t ,OQ =2t ,AQ =4-2t ,再根据S △ODP =S △ODQ ,列出关于t 的方程,求得t 的值即可；（3）过H 点作AC 的平行线,交x 轴于P ,先判定OG ∥AC ,再根据角的和差关系以及平行线的性质,得出∠PHO =∠GOF =∠1+∠2,∠OHC =∠OHP +∠PHC =∠GOF +∠4=∠1+∠2+∠4,最后代入OHC ACEOEC∠+∠∠进行计算即可．【解答】解：（1）∵2a b -+|b -2|=0, ∴a -2b =0,b -2=0, 解得a =4,b =2, ∴A （0,4）,C （2,0）．（2）存在, 理由：如图1中,D （1,2）,由条件可知：P 点从C 点运动到O 点时间为2秒,Q 点从O 点运动到A 点时间为2秒, ∴0＜t ≤2时,点Q 在线段AO 上, 即 CP =t ,OP =2-t ,OQ =2t ,AQ =4-2t , ∴S △DOP =12•OP •yD =12（2-t ）×2=2-t ,S △DOQ =12•OQ •xD =12×2t ×1=t ,∵S △ODP =S △ODQ , ∴2-t =t , ∴t =1．（3）结论：OHC ACEOEC∠+∠∠的值不变,其值为2．理由如下：如图2中,∵∠2+∠3=90°, 又∵∠1=∠2,∠3=∠FCO , ∴∠GOC +∠ACO =180°, ∴OG ∥AC , ∴∠1=∠CAO ,∴∠OEC =∠CAO +∠4=∠1+∠4,如图,过H 点作AC 的平行线,交x 轴于P ,则∠4=∠PHC ,PH ∥OG , ∴∠PHO =∠GOF =∠1+∠2,∴∠OHC =∠OHP +∠PHC =∠GOF +∠4=∠1+∠2+∠4, ∴124414OHC ACE OEC ∠+∠∠+∠+∠+∠=∠∠+∠=2．【点睛】本题主要考查三角形综合题、非负数的性质、三角形的面积、平行线的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,学会用转化的思想思考问题．10．如图,直线//PQ MN ,点C 是PQ 、MN 之间（不在直线PQ ,MN 上）的一个动点．（1）如图1,若1∠与2∠都是锐角,请写出C ∠与1∠,2∠之间的数量关系并说明理由；（2）把直角三角形ABC 如图2摆放,直角顶点C 在两条平行线之间,CB 与PQ 交于点D ,CA 与MN 交于点E ,BA 与PQ 交于点F ,点G 在线段CE 上,连接DG ,有BDF GDF ∠=∠,求AENCDG∠∠的值；（3）如图3,若点D 是MN 下方一点,BC 平分PBD ∠, AM 平分CAD ∠,已知25PBC ∠=︒,求ACB ADB ∠+∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）12；（3）75° 【提示】（1）根据平行线的性质、余角和补角的性质即可求解．（2）根据平行线的性质、对顶角的性质和平角的定义解答即可．（3）根据平行线的性质和角平分线的定义以及三角形内角和解答即可．【解答】解：（1）∠C =∠1+∠2,证明：过C 作l ∥MN ,如下图所示,∵l∥MN,∴∠4=∠2（两直线平行,内错角相等）, ∵l∥MN,PQ∥MN,∴l∥PQ,∴∠3=∠1（两直线平行,内错角相等）, ∴∠3+∠4=∠1+∠2,∴∠C=∠1+∠2；（2）∵∠BDF=∠GDF,∵∠BDF=∠PDC,∴∠GDF=∠PDC,∵∠PDC+∠CDG+∠GDF=180°,∴∠CDG+2∠PDC=180°,∴∠PDC=90°-12∠CDG,由（1）可得,∠PDC+∠CEM=∠C=90°, ∴∠AEN=∠CEM,∴190(90)90122CDGAEN CEM PDCCDG CDG CDG CDG︒-︒-∠∠∠︒-∠====∠∠∠∠,（3）设BD交MN于J．∵BC平分∠PBD,AM平分∠CAD,∠PBC=25°, ∴∠PBD=2∠PBC=50°,∠CAM=∠MAD,∵PQ∥MN,∴∠BJA=∠PBD=50°,∴∠ADB =∠AJB -∠JAD =50°-∠JAD =50°-∠CAM , 由（1）可得,∠ACB =∠PBC +∠CAM ,∴∠ACB +∠ADB =∠PBC +∠CAM +50°-∠CAM =25°+50°=75°．【点睛】本题考查了平行线的性质、余角和补角的性质,解题的关键是根据平行找出角度之间的关系． 11．阅读理解：一个多位数,如果根据它的位数,可以从左到右分成左、中、右三个数位相同的整数,其中a 代表这个整数分出来的左边数,b 代表的这个整数分出来的中间数,c 代表这个整数分出来的右边数,其中a ,b ,c 数位相同,若b ﹣a ＝c ﹣b ,我们称这个多位数为等差数．例如：357分成了三个数3,5,7,并且满足：5﹣3＝7﹣5； 413223分成三个数41,32,23,并且满足：32﹣41＝23﹣32；所以：357和413223都是等差数．（1）判断：148 等差数,514335 等差数；（用“是”或“不是”填空）（2）若一个三位数是等差数,试说明它一定能被3整除；（3）若一个三位数T 是等差数,且T 是24的倍数,求该等差数T ．【答案】（1）不是,是；（2）见解析；（3）432或456或840或864或888 【提示】（1）根据等差数的定义判定即可；（2）设这个三位数是M ,10010M a b c =++,根据等差数的定义可知2a cb +=,进而得出()3352M ac =+即可．（3）根据等差数的定义以及24的倍数的数的特征可先求出a 的值,再根据是8的倍数可确定c 的值,又因为2a cb +=,所以可确定a 、c 为偶数时b 才可取整数有意义,排除不符合条件的a 、c 值,再将符合条件的a 、c 代入2a cb +=求出b 的值,即可求解．【解答】解：（1）∵4184-≠- , ∴148不是等差数, ∵435135438-=-=- , ∴514335是等差数；（2）设这个三位数是M ,10010M a b c =++, ∵b a c b -=- ,∴2a cb +=, ∵()10010105633522a cM a c a c a c +=+⨯+=+=+ , ∴这个等差数是3的倍数；（3）由（2）知()3352,2a cT a c b +=+= , ∵T 是24的倍数, ∴352a c + 是8的倍数, ∵2c 是偶数,∴只有当35a 也是偶数时352a c +才有可能是8的倍数, ∴2a =或4或6或8,当2a =时,3570a = ,此时若1c =,则35272a c += ,若5c = ,则35+280a c = ,若9c = ,则35+288a c =,大于70又是8的倍数的最小数是72,之后是80,88当35+296a c =时10c > 不符合题意；当4a =时,35140a =,此时若2c =,则352144a c +=,若6c =,则352152a c +=,（144、152是8的倍数）, 当6a =时,35210a =,此时若3c =,则352216a c +=,若7c =,则352224a c +=, （216、244是8的倍数）,当8a =时,35280a =,此时若0c ,则352280a c +=,若4c =,则352288a c +=, 若8c =,则352296a c +=,（280,288,296是8的倍数）, ∵2a cb +=, ∴若a 是偶数,则c 也是偶数时b 才有意义, ∴2a =和6a =是c 是奇数均不符合题意, 当4,2a c ==时,423,4322b T +=== , 当4,6ac ==时,465,4562b T +===, 当8,0ac ==时,804,8402b T +===, 当8,4ac ==时,846,8642b T +===, 当8,8ac ==时,888,8882b T +===, 综上,T 为432或456或840或864或888．【点睛】本题考查新定义下的实数运算、有理数混合运算,整式的加减运算,能够结合倍数的特点及熟练掌握整数的奇偶性是解题关键．12．阅读下面的文字,解答问题．对于实数a ,我们规定：用符号[a ]表示不大于a 的最大整数；用{a }表示a 减去[a ]所得的差．例如：＝1,[2.2]＝1,{2.2}＝2.2﹣2＝0.2．（1）仿照以上方法计算：]＝ {5＝；（2）若＝1,写出所有满足题意的整数x 的值：．（3）已知y 0是一个不大于280的非负数,且满足}＝0．我们规定：y 1＝],y 2＝y 3＝],…,以此类推,直到yn 第一次等于1时停止计算．当y 0是符合条件的所有数中的最大数时,此时y 0＝ ,n ＝．【答案】（1）2；32）1、2、3；（3）256,4 【提示】（1）依照定义进行计算即可；（2）由题可知,04x <<,则可得满足题意的整数的x 的值为1、2、3；（3）由0=,可知,0y 是某个整数的平方,又0y 是符合条件的所有数中最大的数,则0256y =,再依次进行计算．【解答】解：（1）由定义可得,2=,[52=,{53∴=故答案为：2；3．（2）[]1x =,2∴<,即04x <<,∴整数x 的值为1、2、3．故答案为：1、2、3．（3）0{}0y =,即0==,∴2t =,且t 是自然数,0y 是符合条件的所有数中的最大数, 0256y ∴=,1[16]16y ∴===,2[4]4y ===,3[2]2y ===,41y ===,即4n =．故答案为：256,4．【点睛】本题属于新定义类问题,主要考查估算无理数大小,无理数的整数部分和小数部分,理解定义内容是解题关键．13．对任意一个三位数n ,如果n 满足各数位上的数字互不相同,且都不为零,那么称这个数为“梦幻数”,将一个“梦幻数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三数,把这三个新三位数的和与111的商记为K （n ）,例如123n =,对调百位与十位上的数字得到213,对调百位与个位上的数字得到321,对调十位与个位上的数字得到132,这三个新三位数的和为213321132666++=,6661116÷=,所以()1236K =．（1）计算：()342K 和()658K ；（2）若x 是“梦幻数”,说明：()K x 等于x 的各数位上的数字之和；（3）若x ,y 都是“梦幻数”,且1000x y +=,猜想：()()K x K y +=________,并说明你猜想的正确性．【答案】（1）(342)9,(658)19K K ==;（2）见解析；（3）28 【提示】（1）根据K 的定义,可以直接计算得出；（2）设x abc =,得到新的三个数分别是：acb cba bac ，，,这三个新三位数的和为100()10()()111()a b c a b c a b c a b c ++++++++=++,可以得到：()K x a b c =++；（3）根据（2）中的结论,猜想：()()28K x K y +=．【解答】解：（1）已知342n =,所以新的三个数分别是：324,243,432, 这三个新三位数的和为324243342999++=, (342)9K ∴=；同样658n =,所以新的三个数分别是：685,568,856, 这三个新三位数的和为6855688562109++=, (658)19K ∴=．（2）设x abc =,得到新的三个数分别是：acb cba bac ，，,这三个新三位数的和为100()10()()111()a b c a b c a b c a b c ++++++++=++, 可得到：()K x a b c =++,即()K x 等于x 的各数位上的数字之和．（3）设,x abc y mnp ==,由（2）的结论可以得到： ()()()()K x K y a b c m n P +=+++++, 1000x y +=,100()10()()1000a m b n c p ∴+++++=,根据三位数的特点,可知必然有： 10,9,9c p b n a m +=+=+=,()()()()28K x K y a b c m n p ∴+=+++++=,故答案是：28．【点睛】此题考查了多位数的数字特征,每个数字是10以内的自然数且不为0,解题的关键是：结合新定义,可以计算出问题的解,注意把握每个数字都会出现一次的特点,区别数字与多为数的不同．14．数学中有很多的可逆的推理．如果10b n =,那么利用可逆推理,已知n 可求b 的运算,记为()b f n =,如210100=,则42(100);1010000f ==,则4(10000)f =．①根据定义,填空：(10)f =_________,()310f =__________．②若有如下运算性质：()()(),()()n f mn f m f n f f n f m m⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭．根据运算性质填空,填空：若(2)0.3010f =,则(4)f =__________；(5)f =___________； ③下表中与数x 对应的()f x 有且只有两个是错误的,请直接找出错误并改正．错误的式子是__________,_____________；分别改为__________,_____________．【答案】①1,3；②0.6020；0.6990；③f （1.5）,f （12）；f （1.5）=3a -b +c -1,f （12）=2-b -2c ．【提示】①根据定义可得：f （10b ）=b ,即可求得结论； ②根据运算性质：f （mn ）=f （m ）+f （n ）,f （nm）=f （n ）-f （m ）进行计算；③通过9=32,27=33,可以判断f （3）是否正确,同样依据5=102,假设f （5）正确,可以求得f （2）的值,即可通过f （8）,f （12）作出判断．【解答】解：①根据定义知：f （10b ）=b , ∴f （10）=1, f （103）=3．故答案为：1,3．②根据运算性质,得：f （4）=f （2×2）=f （2）+f （2）=2f （2）=0.3010×2=0.6020, f （5）=f （102）=f （10）-f （2）=1-0.3010=0.6990．故答案为：0.6020；0.6990．③若f （3）≠2a -b ,则f （9）=2f （3）≠4a -2b , f （27）=3f （3）≠6a -3b ,从而表中有三个对应的f （x ）是错误的,与题设矛盾, ∴f （3）=2a -b ；若f （5）≠a +c ,则f （2）=1-f （5）≠1-a -c , ∴f （8）=3f （2）≠3-3a -3c , f （6）=f （3）+f （2）≠1+a -b -c ,表中也有三个对应的f （x ）是错误的,与题设矛盾, ∴f （5）=a +c ,∴表中只有f （1.5）和f （12）的对应值是错误的,应改正为： f （1.5）=f （32）=f （3）-f （2）=（2a -b ）-（1-a -c ）=3a -b +c -1,f （12）=f （663⨯）=2f （6）-f （3）=2（1+a -b -c ）-（2a -b ）=2-b -2c ． ∵9=32,27=33,∴f （9）=2f （3）=2（2a -b ）=4a -2b ,f （27）=3f （3）=3（2a -b ）=6a -3b ．【点睛】本题考查了幂的应用,新定义运算等,解题的关键是深刻理解所给出的定义或规则,将它们转化为我们所熟悉的运算．15．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1,记为2i 1=-①,这个数i 叫做虚数单位,那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数,复数一般表示为i a b +（a ,b 为实数）,a 叫做这个复数的实部,b 叫做这个复数的虚部,它与整式的加法,减法,乘法运算类似．例如：解方程21x =-,解得：1i x =,2i x =-．同2i ==．读完这段文字,请你解答以下问题：（1）填空：3i =______,4i =______,2342021i i i i +++⋅⋅⋅+=______．（2）已知()()i i 13i a b ++=-,写出一个以a ,b 的值为解的一元二次方程．（3）在复数范围内解方程：2480x x -+=．【答案】（1）-i ,1,0；（2）2320x x ++=；（3）122i x =+,222i x =-．【提示】(1)根据题意21i =-,则32i i i =⋅,422()i i =,然后计算即可；(2)利用()()i i 13i a b ++=-,得到11ab -=,2ab =,3a b +=-,即可求解 (3)利用配方法求解即可．【解答】 (1)32i i ii ,4222()(1)1i i ==-=,∵2345110i i i i i i +++=--++=,∴6789423452345()1()100i i i i i i i i i i i i i +++=+++=⨯+++=⨯=, 同理：101112130i i i i +++=, 每四个为一组,和为0, 共有(20211)4505-÷=组, ∴23452021...0i i i i i +++++=, (2)∵()()i i 13i a b ++=-,∴2i i i 13i ab a b +++=-,()1i 13i ab a b -++=-, ∴11ab -=,2ab =,3a b +=-,∴以a ,b 的值为解的一元二次方程可以为：2320x x ++=． (3)2480x x -+=, 2444x x -+=-, 22(2)4x i -=,22x i -=±,∴122i x =+,222i x =-．【点睛】本题考查了实数的运算,解一元二次方程,熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．16．如图1,把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开,所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．（1）图2中A、B两点表示的数分别为___________,____________；（2）请你参照上面的方法：①把图3中51⨯的长方形进行剪裁,并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线,并在图4的正方形网a___________．（注：小正方形边长都为1,拼接不重叠格中画出拼成的大正方形,该正方形的边长=也无空隙）a-．（图中标出必要线段②在①的基础上,参照图2的画法,在数轴上分别用点M、N表示数a以及3的长）【答案】（1）222）①图见解析5②见解析【提示】（1）根据图1得到小正方形的对角线长,即可得出数轴上点A和点B表示的数（2）根据长方形的面积得正方形的面积,即可得到正方形的边长,再画出图象即可；（3）从原点开始画一个长是2,高是1的长方形,对角线长即是a,再用圆规以这个长度画弧,交数轴于点M,再把这个长方形向左平移3个单位,用同样的方法得到点N．【解答】（1）由图1知,2∴图2中点A表示的数是2-点B2故答案是：2-2（2）①长方形的面积是5,拼成的正方形的面积也应该是5, ∴正方形的边长是5, 如图所示：故答案是：5； ②如图所示：【点睛】本题考查无理数的表示方法,解题的关键是理解题意,模仿题目中给出的解题方法进行求解． 17．先阅读材料,再解答问题：我国数学家华罗庚在一次出国访问途中,看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根,华罗庚脱口而出,给出了答案,众人十分惊讶,忙问计算的奥妙,你知道华罗庚怎样迅速而准确地计算出结果吗？请你按下面的步骤也试一试：（1310001031000000100,那么,请你猜想：59319的立方根是_______位数（2）在自然数1到9这九个数字中,33311,327,5===________,37=________,39=________．猜想：59319的个位数字是9,则59319的立方根的个位数字是________．（3）如果划去59319后面的三位“319”得到数59,而3327=,3464=,由此可确定59319的立方根的十位数字是________,因此59319的立方根是________．（4）现在换一个数103823,你能按这种方法得出它的立方根吗？【答案】（1）两；（2）125,343,729,9；（3）3,39；（4）47 【提示】（1）根据夹逼法和立方根的定义进行解答；（2）先分别求得1至9中奇数的立方,然后根据末位数字是几进行判断即可；（3）先利用（2）中的方法判断出个数数字,然后再利用夹逼法判断出十位数字即可；（4）利用（3）中的方法确定出个位数字和十位数字即可．【解答】（1）∵1000＜59319＜1000000, ∴59319的立方根是两位数；（2）∵3311,327,==35=125,37=343,39=729,∴59319的个位数字是9,则59319的立方根的个位数字是9；（3）∵3327=59<<3464=,且59319的立方根是两位数, ∴59319的立方根的十位数字是3, 又∵59319的立方根的个位数字是9, ∴59319的立方根是39；（4）∵1000＜103823＜1000000, ∴103823的立方根是两位数；∵3311,327,==35=125,37=343,39=729,∴103823的个位数字是3,则103823的立方根的个位数字是7； ∵3464=3195552<<=,且103823的立方根是两位数, ∴103823的立方根的十位数字是4, 又∵103823的立方根的个位数字是7, ∴103823的立方根是47．【点睛】考查了立方根的概念和求法,解题关键是理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数．18．阅读材料：求2320192020122222++++++的值．解：设2320192020122222S =++++++①,将等式①的两边同乘以2, 得234202020212222222S =++++++②,用②－①得,2021221S S -=- 即202121S =-．即2320192020202112222221++++++=-．请仿照此法计算：（1）请直接填写231222+++的值为______；（2）求231015555+++++值；（3）请直接写出20212345201920201011010101010101011-+-+-+-+-的值．【答案】（1）15；（2）11514-；（3）111．【提示】（1）先计算乘方,即可求出答案；（2）根据题目中的运算法则进行计算,即可求出答案；（3）根据题目中的运算法则进行计算,即可求出答案；【解答】解：（1）231248125122=++++=++；故答案为：15；（2）设231015555T =+++++①,把等式①两边同时乘以5,得112310555555T =+++++②,由②-①,得：11451T =-, ∴11514T -=,∴31121015551455++=+++-；（3）设234520192020110101010101010M =-+-+-+-+①,把等式①乘以10,得：3456222019020202110101010101010101010M =-+-+-+-++②,把①+②,得：202111110M =+, ∴202110111M +=,∴23245201920002211101010101011001111-+-+-+-++=, ∴20212345201920201011010101010101011-+-+-+-+- 20212021101101111+=-111=．【点睛】本题考查了数字的变化规律,熟练掌握运算法则,熟练运用有理数乘法,以及运用消项的思想是解题的关键．19．观察下列各式,并用所得出的规律解决问题：（11.414≈14.14141.4≈,……0.1732 1.732≈17.32,……由此可见,被开方数的小数点每向右移动______位,其算术平方根的小数点向______移动______位．（2 3.873≈ 1.225≈,≈_____≈______．（31=10=100=,…… 小数点的变化规律是_______________________．（4 2.154≈0.2154≈-,则y =______．【答案】（1）两；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位,其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）-0.01 【提示】（1）观察已知等式,得到一般性规律,写出即可；（2）利用得出的规律计算即可得到结果；（3）归纳总结得到规律,写出即可；（4）利用得出的规律计算即可得到结果．【解答】解：（11.414≈14.14≈141.4,……0.1732 1.732≈17.32,……由此可见,被开方数的小数点每向右移动两位,其算术平方根的小数点向右移动一位．故答案为：两；右；一；（2 3.873≈ 1.225≈,12.250.3873≈；故答案为：12.25；0.3873；（31=10=100=,……小数点的变化规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位,其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4） 2.154≈0.2154≈-,0.2154≈,0.2154-, ∴y=-0.01．【点睛】此题考查了立方根,以及算术平方根,弄清题中的规律是解本题的关键．20．思考与探究：（1）在如图所示的计算程序中,若开始输入的数值是4,则最后输出的结果是___________．（2）在如图所示的计算程序中,若最后输出的结果是58,则开始输入的数值是___________．（3）按下面的程序计算,若开始输入的值x为正数,最后输出的结果为1621,则满足条件的x的不同值最多有多少个？【答案】（1）17；（2）6或－10；（3）6个【提示】（1）根据程序运算图可得算式4×3+5,按运算顺序进行求解即可；（2）设输入的数字为m,根据题意可得关于x的方程,解方程即可求得答案；（3）根据最后输出的结果,可计算出它前面的那个数,依此类推,可将符合题意的正数求出．【解答】（1）由题意得：4×3+5=17,故答案为：17；（2）设输入的数字为m,则有（m+2）2-6=58,解得：m=6或m=-10,故答案为：6或--10；（3）∵最后输出的数为1621,∴4[(x+5)-(-2)2]-3=1621,解得：x=405>0,又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=405,解得：x=101>0,又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=101,解得：x=25>0,又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=25,解得：x=6>0,又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=6,解得：x=54>0,又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=5 4 ,解得：x=116>0,又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=1 16,解得：x=1564-<0,（不符合题意）∴符合题意的正数最多有6个.【点睛】本题考查了程序运算,涉及了一元一次方程,利用平方根的解方程等知识,正确审题,弄清程序运算中的运算顺序,熟练掌握相关和运算法则和解题方法是解此类问题的关键．21．读一读,式子“1＋2＋3＋4＋5＋…＋100”表示从1开始的100个连续自然数的和．由于上述式子比较长,书写也不方便,为了简便起见,我们可以将“1＋2＋3＋4＋5＋…＋100”表示为1001n n=∑,这里“∑”是求和符号．例如：1＋3＋5＋7＋9＋…＋99,即从1开始的100以内的连续奇数的和,可表示为501(21)nn =-∑,又知13＋23＋33＋43＋53＋63＋73＋83＋93＋103可表示为1031nn=∑．通过对以上材料的阅读,请解答下列问题．（1）2＋4＋6＋8＋10＋…＋100(即从2开始的100以内的连续偶数的和)用求和符合可表示为_________．（2）1＋12＋13＋…＋110用求和符号可表示为_________．（3）计算6211nn=-∑()＝_________．(填写最后的计算结果)【答案】（1）5012nn =∑；（2）1011nn =∑；（3）50【提示】（1）根据题中的新定义得出结果即可；（2）根据题中的新定义得出结果即可；（3）利用题中的新定义将原式变形,计算即可得到结果．【解答】解：解：（1）根据题意得：2+4+6+8+10+ (100)5012nn =∑；（2）1＋12＋13＋…＋110=1011n n=∑；（3）原式=1-1+4-1+9-1+16-1+25-1+36-1=85．故答案为：（1）5012n n =∑；（2）1011n n=∑；（3）85．【点睛】此题考查了有理数的加法和减法运算,弄清题中的新定义是解本题的关键． 22．如图,已知点()0,0O ,()2,0A ,()1,2B -．（1）求OAB 的面积；（2）点C 是在坐标轴上异于点A 的一点,且OBC 的面积等于OAB 的面积,求满足条件的点C 的坐标；（3）若点D 的坐标为()m,2,且1m <-,连接AD 交OB 于点E ,在x 轴上有一点F ,使BDE 的面积等于BEF 的面积,请直接写出点F 的坐标__________（用含m 的式子表示）．【答案】（1）2；（2）(0,4),(0,4),(2,0)--；（3）1(1,0)F m +或2(1,0)F m -- 【提示】（1）直接利用以OA 为底,进行求面积；（2）OBC 的面积等于OAB 的面积,需要分三种情况进行分类讨论；（3）根据BDEBEFSS=推导出OBDOBFSS=,然后分两种情况进行讨论,即当F 位于x 轴负半轴上时与F 位于x 轴正半轴上时．【解答】解：（1）1122222OABB SOA y =⋅⋅=⨯⨯=．（２）作如下图形,进行分类讨论：。

7年级下数学期中压轴题训练

期中满分计划之大题压轴重难点题型总结姓名：.【题型1 平行线的判定与性质综合】【例1】（2020春•石泉县期末）已知直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点A、C，CM是∠ACD的平分线，CM交AB于点H，过点A作AG⊥AC交CM于点G．（1）如图1，点G在CH的延长线上时，若∠GAB＝36°，求∠MCD的度数；（2）如图2，点G在CH上时，试说明2∠MCD+∠GAB＝90°．【变式1-1】（2020春•中山市期末）如图，已知AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点EF，点P是射线EB上一点（与点E不重合）．FM、FN分别平分∠PFE和∠PFD，FM、FN交直线AB于点M、N，过点N 作NH⊥FM于点H．（1）若∠BEF＝64°，求∠FNH的度数；（2）猜想∠BEF和∠FNH之间有怎样的数量关系，并加以证明．【变式1-2】（2020春•邳州市期末）已知：点A在射线CE上，∠C＝∠D．（1）如图1，若AC∥BD，求证：AD∥BC．（2）如图2，若BD⊥BC，BD与CE交于点G，请探究∠DAE与∠C的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DF∥BC交射线CE于点F，当∠DFE＝8∠DAE，∠BAC＝∠BAD时，直接写出∠BAD的度数为°．【变式1-3】（2020秋•福州期末）如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM 交CD于点M，AB∥CD，且∠FEM＝∠FME．（1）当∠AEF＝70°时，∠FME＝°；（2）判断EM是否平分∠AEF，并说明理由；（3）如图2，点G是射线FD上一动点（不与点F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EGF＝α．探究当点G在运动过程中，∠MHN﹣∠FEH和α之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．【题型2 平行线的判定与性质综合（作平行线）】【例2】（2020秋•朝阳区期末）【感知】如图①，AB∥CD，∠P AB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．（提示：过点P作直线PQ∥AB）【探究】如图②，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，（1）当点P在线段AB上运动时，∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系为．（2）当点P在线段A，B两点外侧运动时（点P与点A，B，O三点不重合），直接写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系为．【变式2-1】（2020秋•内江期末）小明同学在完成七年级上册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决下．（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由；（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．BE、DE所在直线交于点E，若∠F AD＝60°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数；（3）将图2中的点B移到点A的右侧，得到图3，其他条件不变，若∠F AD＝α°，∠ABC＝β°，请你求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）．【变式2-2】（2020春•武昌区期末）如图1，AB∥CD，点E在AB上，点H在CD上，点F在直线AB，CD之间，连接EF，FH，∠AEF+∠CHF=73∠EFH．（1）直接写出∠EFH的度数为；（2）如图2，HM平分∠CHF，交FE的延长线于点M，证明：∠FHD﹣2∠FMH＝36°；（3）如图3，点P在FE的延长线上，点K在AB上，点N在∠PEB内，连NE，NK，NK∥FH，∠PEN＝2∠NEB，则2∠FHD﹣3∠ENK的值为．【变式2-3】（2020秋•道里区期末）已知，AB∥CD，点E在CD上，点G，F在AB上，点H在AB，CD之间，连接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，FE⊥HE，垂足为E．（1）如图1，求证：HG⊥HE；（2）如图2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，求证：∠GHE＝2∠GME；（3）如图3，在（2）的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度数．【题型3 平行线的判定与性质综合（含旋转）】【例3】（2020秋•金川区校级期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°）．（1）如图1，①若∠DCE＝40°，求∠ACB的度数；②若∠ACB＝150°，直接写出∠DCE的度数是度．（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE满足的数量关系是．（3）若固定△ACD，将△BCE绕点C旋转，①当旋转至BE∥AC（如图2）时，直接写出∠ACE的度数是度．②继续旋转至BC∥DA（如图3）时，求∠ACE的度数．【变式3-1】（2020秋•郑州期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图2：当角∠CAE＝60°时，BC∥DE．求其它所有可能符合条件的角∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）的度数，画出对应的图形并证明．【变式3-2】（2020秋•苏州期末）数学实践课上，小明同学将直角三角板AOB的直角顶点O放在直尺EF的边缘，将直角三角板绕着顶点O旋转．（1）若三角板AOB在EF的上方，如图1所示．在旋转过程中，小明发现∠AOE、∠BOF的大小发生了变化，但它们的和不变，即∠AOE+∠BOF＝°．（2）若OA、OB分别位于EF的上方和下方，如图2所示，则∠AOE、∠BOF之间的上述关系还成立吗？若不成立，则它们之间有怎样的数量关系？请说明你的理由；（3）射线OM、ON分别是∠AOE、∠BOE的角平分线，若三角板AOB始终在EF的上方，则旋转过程中，∠MON的度数是一个定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【变式3-3】（2020春•义乌市期末）如图，已知AB∥CD，P是直线AB，CD间的一点，PF⊥CD于点F，PE 交AB于点E，∠FPE＝120°．（1）求∠AEP的度数；（2）如图2，射线PN从PF出发，以每秒40°的速度绕P点按逆时针方向旋转，当PN垂直AB时，立刻按原速返回至PF后停止运动；射线EM从EA出发，以每秒15°的速度绕E点按逆时针方向旋转至EB后停止运动．若射线PN，射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒．①当∠MEP＝20°时，求∠EPN的度数；②当EM∥PN时，求t的值．【题型4 坐标与平移变换】【例4】（2020春•金乡县期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），线段MN的位置如图所示，其中点M的坐标为（﹣3，﹣1），点N的坐标为（3，﹣2）．（1）将线段MN平移得到线段AB，其中点M的对应点为A，点N的对应点为B．①点M平移到点A的过程可以是：先向平移个单位长度，再向平移个单位长度；②点B的坐标为；（2）在（1）的条件下，若点C的坐标为（4，0），连接AC，BC，求△ABC的面积．（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为3，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式4-1】（2020春•通山县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，6），B（4，3），将线段AB进行平移，使点A刚好落在x轴的负半轴上，点B刚好落在y轴的负半轴上，A，B的对应点分别为A'，B'，连接AA'交y轴于点C，BB'交x轴于点D．（1）线段A'B'可以由线段AB经过怎样的平移得到？并写出A'，B'的坐标；（2）求四边形AA'B'B的面积；（3）P为y轴上的一动点（不与点C重合），请探究∠PCA′与∠A'DB'的数量关系，给出结论并说明理由．【题型5 坐标与图形的性质综合】【例5】（2020春•鞍山期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（4，0），现将线段AB向右平移一个单位，向上平移4个单位，得到线段CD，点P是y轴上的动点，连接BP；（1）当点P在线段OC上时（如图一），判断∠CPB与∠PBA的数量关系；（2）当点P在OC所在的直线上时，连接DP（如图二），试判断∠DPB与∠CDP，∠PBA之间的数量关系，请直接写出结论．【变式5-1】（2020春•三门峡期末）如图所示，A（1，0）、点B在y轴上，将三角形OAB沿x轴负方向平移，平移后的图形为三角形DEC，且点C的坐标为（﹣3，2）．（1）直接写出点E的坐标；（2）在四边形ABCD中，点P从点B出发，沿“BC→CD”移动．若点P的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，回答下列问题：①当t＝秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数；②求点P在运动过程中的坐标，（用含t的式子表示，写出过程）；③当3秒＜t＜5秒时，设∠CBP＝x°，∠P AD＝y°，∠BP A＝z°，试问x，y，z之间的数量关系能否确定？若能，请用含x，y的式子表示z，写出过程；若不能，说明理由．【变式5-2】（2020春•兴国县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，0），B（b，b），C（0，b），且满足(a+8)2+√b+4=0，P点从A点出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．（1）直接写出点A的坐标，点B的坐标，AO和BC位置关系是；（2）在P、Q的运动过程中，连接PB，QB，使S△P AB＝4S△QBC，求出点P的坐标；（3）在P、Q的运动过程中，当∠CBQ＝30°时，请探究∠OPQ和∠PQB的数量关系，并说明理由．【变式5-3】（2020春•新乡期末）在平面直角坐标系中，D（0，﹣3），M（4，﹣3），直角三角形ABC的边与x轴分别相交于O、G两点，与直线DM分别交于E、F点，∠ACB＝90°．（1）将直角三角形如图1位置摆放，如果∠AOG＝46°，则∠CEF＝；（2）将直角三角形ABC如图2位置摆放，N为AC上一点，∠NED+∠CEF＝180°，请写出∠NEF与∠AOG之间的等量关系，并说明理由．（3）将直角三角形ABC如图3位置摆放，若∠GOC＝140°，延长AC交DM于点Q，点P是射线GF上一动点，探究∠POQ，∠OPQ与∠PQF的数量关系，请直接写出结论（题中的所有角都大于0°小于180°）．。

数学-2023年高考终极押题猜想(新高考专用)(解析版)

数学-2023年高考终极押题猜想（新高考专用）（解析版）引言随着新高考改革的不断推进，数学科目在高考中的重要性日益凸显。

为了帮助广大考生更好地备战2023年高考数学科目，本文将提供一份终极押题猜想，以帮助考生有针对性地进行复习。

本文将从数学的各个知识点出发，进行解析和分析，为考生提供高分答题思路和解题方法。

一、代数与函数1.1 一次函数和二次函数今年的高考数学中，一次函数和二次函数的题目出现频率较高。

根据分析，2023年高考数学中的代数与函数部分可能会继续保持相对较高的比重。

1.1.1 一次函数关于一次函数的题目，以函数的性质、图像以及解析式为主要触点进行考查。

考生在复习一次函数时，应重点掌握一次函数的性质和变化规律，能够灵活应用解析式求解相关问题。

1.1.2 二次函数二次函数是一种重要的函数类型，其在数学中的应用广泛。

考生在复习二次函数时，应重点关注二次函数的图像与性质，能够根据图像特点确定函数的相关信息。

此外，应重点掌握二次函数的顶点坐标、轴对称与零点等重要概念，以及利用配方法、因式分解和求导等方法解题的技巧。

1.2 幂函数和对数函数幂函数和对数函数也是高考中的常见考点，这两种函数之间存在一定的对应关系。

考生在复习这部分内容时，应熟悉幂函数和对数函数的性质，能够掌握幂函数和对数函数图像的基本形状和特点，理解它们之间的对应关系。

1.3 组合与复合函数组合与复合函数是数学中的重要概念，几乎每年都会在高考中出现相关题目。

考生在复习这部分内容时，应掌握组合与复合函数的定义和性质，能够理解并运用组合与复合函数的概念解决相关问题。

二、数与空间2.1 数列数列是高考中常见的考点，涉及到数列的性质、通项公式、极限及求和等知识点。

考生在复习数列时，应掌握数列的定义和常见的数列类型，能够利用通项公式、递推关系式和求和公式解决相关问题。

此外，考生还要重点关注等差数列与等比数列的性质和特点。

2.2 空间几何空间几何是数与空间模块中的重要部分，主要考察空间图形的性质、直线与平面的关系以及立体图形的计算等。

期中解答题压轴必刷常考题七年级数学下学期期中期末满分必刷常考压轴题人教版

解答题压轴必刷常考题【压轴题题必考】1．（安溪）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，AO∥BC，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣20，点B表示20，点C表示36．动点M从点A出发，以2个单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点N从点C出发，以1个单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间的速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．（1）填空：点A和点C在数轴上相距56个单位长度；（2）当t为何值时，点M与点N相遇？（3）当t为何值时，M、O两点在数轴上相距的长度与N、B两点在数轴上相距的长度相等．【答案】（1）56 （2）t＝（3）t的值为4或13或22或34【解答】解：（1）∵点A表示﹣20，点C表示36，∴点A和点C在数轴上相距36﹣（﹣20）＝56（个单位长度），故答案为：56；（2）由题意知，N从C到B需16s，M从A到O需10s，∴M、N在OB段相遇，根据题意得：20+（t﹣10）+16+2（t﹣16）＝56，解得t＝，答：t为时，点M与点N相遇；（3）分四种情况：①当点M在AO上，点N在CB上时，OM＝20﹣2t，BN＝16﹣t，∴20﹣2t＝16﹣t，解得t＝4，②当M在OB上，N在CB上时，OM＝t﹣10，BN＝16﹣t，∴t﹣10＝16﹣t，解得t＝13，③当M在OB上，N在OB上时，OM＝t﹣10，BN＝2（t﹣16），∴t﹣10＝2（t﹣16），解得t＝22，④当M在BC上，N在OA上时，20+2（t﹣30）＝20+（t﹣26），解得t＝34，综上所述，t的值为4或13或22或34时，M、O两点在数轴上相距的长度与N、B两点在数轴上相距的长度相等．2．（朝阳）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°．（1）若∠1＝25°，则∠2的度数为；（2）直接写出∠1与∠3的数量关系：；（3）直接写出∠2与∠ACB的数量关系：；（4）如图2，当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，将三角尺ACD固定不动，改变三角尺BCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？请直接写出∠ACE角度所有可能的值．【答案】（1）65°（2）∠1＝∠3；（3）∠2+∠ACB＝180°（4）30°或45°或120°或135°或165°．【解答】解：（1）∵∠1＝25°，∠ACD＝90°，∴∠2＝∠ACD﹣∠1＝65°，故答案为：65°；（2）∵∠1+∠2＝∠ACD＝90°，∠2+∠3＝∠BCE＝90°，∴∠1+∠2＝∠2+∠3，∴∠1＝∠3，故答案为：∠1＝∠3；（3）∵∠ACD＝∠BCE＝90°，∴∠ACB+∠2＝∠1+∠2+∠3+∠2＝∠ACD+∠BCE＝180°，即∠2+∠ACB＝180°，故答案为：∠2+∠ACB＝180°；（4）存在，①当BC∥AD时，∵BC∥AD，∴∠BCD＝∠D＝30°，∴∠ACB＝90°+30°＝120°，∴∠ACE＝∠ACB﹣∠BCE＝120°﹣90°＝30°；②当BE∥AC时，如图，∵BE∥AC，∴∠ACE＝∠E＝45°；③当AD∥CE时，如图，∵AD∥CE，∴∠DCE＝∠D＝30°，∴∠ACE＝90°+30°＝120°；④当BE∥CD时，如图，∵BE∥CD，∴∠DCE＝∠E＝45°，∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝135°；⑤当BE∥AD时，如图，过点C作CF∥AD，∵BE∥AD，CF∥AD，∴BE∥AD∥CF，∴∠ECF＝∠E＝45°，∠DCF＝∠D＝30°，∴∠DCE＝30°+45°＝75°，∴∠ACE＝90°+75°＝165°．综上所述：当∠ACE＝30°或45°或120°或135°或165°时，有一组边互相平行．故答案为：30°或45°或120°或135°或165°．3．（淇县）如图（1），AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由．解：猜想∠BPD+∠B+∠D＝360°理由：过点P作EF∥AB，∴∠B+∠BPE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．）∴∠EPD+∠D＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D＝360°∴∠B+∠BPD+∠D＝360°（1）依照上面的解题方法，观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．（2）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由．【答案】（1）∠BPD＝∠B+∠D（2）∠BPD＝∠B﹣∠D．【解答】解：（1）∠BPD＝∠B+∠D．理由：如图2，过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠1＝∠B，∠2＝∠D，∴∠BPD＝∠1+∠2＝∠B+∠D；（2）如图（3）：∠BPD＝∠D﹣∠B．理由：∵AB∥CD，∴∠1＝∠D，∵∠1＝∠B+∠P，∴∠D＝∠B+∠P，即∠BPD＝∠D﹣∠B；如图（4）：∠BPD＝∠B﹣∠D．理由：∵AB∥CD，∴∠1＝∠B，∵∠1＝∠D+∠P，∴∠B＝∠D+∠P，即∠BPD＝∠B﹣∠D．4．（西乡塘）如图，已知DC∥FP，∠1＝∠2，∠DEF＝30°，∠AGF＝70°，FH平分∠EFG．（1）求证：DC∥AB；（2）求∠PFH的度数．【答案】（1）略（2）∠PFH的度数为20°【解答】解：（1）∵DC∥FP，∴∠C＝∠2，又∵∠1＝∠2，∴∠C＝∠1，∴DC∥AB；（2）∵DC∥FP，DC∥AB，∠DEF＝30°，∴∠DEF＝∠EFP＝30°，AB∥FP，又∵∠AGF＝70°，∴∠AGF＝∠GFP＝70°，∴∠GFE＝∠GFP+∠EFP＝70°+30°＝100°，又∵FH平分∠EFG，∴∠GFH＝∠GFE＝50°，∴∠PFH＝∠GFP﹣∠GFH＝70°﹣50°＝20°．答：∠PFH的度数为20°．5.（海勃湾）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN 上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK＝∠HPK，作PQ 平分∠EPK，求∠HPQ的度数．【答案】（1）AB∥CD（2）PF∥GH（3）∠HPQ的度数为45°【解答】解：（1）AB∥CD，理由如下：∵∠1与∠2互补，∴∠1+∠2＝180°，又∵∠1＝∠AEF，∠2＝∠，∴∠AEF+∠CFE＝180°，∴AB∥CD；（2）由（1）知，AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD＝180°．又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，∴，∴∠EPF＝90°，即EG⊥PF．∵GH⊥EG，∴PF∥GH；（3）∵∠PHK＝∠HPK，∴∠PKG＝2∠HPK．又∵GH⊥EG，∴∠KPG＝90°﹣∠PKG＝90°﹣2∠HPK．∴∠EPK＝180°﹣∠KPG＝90°+2∠HPK．∵PQ平分∠EPK，∴．∴∠HPQ＝∠QPK﹣∠HPK＝45°．答：∠HPQ的度数为45°．6．（黔江）（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由；（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E，若∠F AD＝60°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数；（3）如图3，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E，若∠F AD＝α，∠ABC＝β，请你求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）．【答案】（1）成立（2）∠BED＝50°（3）【解答】解：（1）成立，理由：如图1中，作EF//AB，则有EF//CD，∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠DCE；（2）如图2，过点E作EH//AB，∵AB//CD，∠F AD＝60°，∴∠F AD＝∠ADC＝60°，∵DE平分∠ADC，∠ADC＝60°，∴，∵BE平分∠ABC，∠ABC＝40°，∴，∵AB//CD，∴AB//CD//EH，∴∠ABE＝∠BEH＝20°，∠CDE＝∠DEH＝30°，∴∠BED＝∠BEH+∠DEH＝50°．（3）如图3，过点E作EG//AB，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝β，∠ADC＝∠F AD＝α，∴，，∵AB//CD，∴AB//CD//EG，∴，，∴．7．（拱墅）小明同学在完成七年级下册数学第1章的线上学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下．（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由．（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E，若∠F AD＝50°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数．【答案】（1）∠AEC＝∠BAE+∠DCE．（2）∠BED＝45°【解答】解：（1）∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立，理由：过点E作EF∥AB，如图，∵EF∥AB，∴∠A＝∠AEF．∵EF∥AB，AB∥CD，∴FE∥CD．∴∠C＝∠CEF．∵∠AEC＝∠AEF+∠CEF，∴∠AEC＝∠BAE+∠DCE．（2）过点E作EH∥AB，如图，由（1）的结论可得：∠BED＝∠ABE+∠EDC，∵BE平分∠ABC，∠ABC＝40°，∴∠ABE＝∠ABC＝20°．∵∠F AD＝50°，AB∥CD，∴∠ADC＝∠F AD＝50°．∵DE平分∠ADC，∴∠EDC＝∠ADC＝25°．∴∠BED＝20°+25°＝45°．8．（宜兴）如图①，已知PQ∥MN，且∠BAM＝2∠BAN．（1）填空：∠PBA＝°；（2）如图（1）所示，射线AM绕点A开始顺时针旋转至AN便立即按原速度回转至AM 位置，射线BP绕点B开始顺时针旋转至BQ便立即按原速度回转至BP位置．若AM转动的速度是每秒2度，BP转动的速度是每秒1度，若射线BP先转动30秒，射线AM才开始转动，在射线BP到达BQ之前，射线AM转动几秒，两射线互相平行？（3）如图（2），若两射线分别绕点A，B顺时针方向同时转动，速度同题（2），在射线AM到达AN之前，若两射线交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．【答案】（1）120（2）AM转动30秒或110秒（3）∠BAC＝2∠BCD【解答】解：（1）∵∠BAM＝2∠BAN，∠BAM+∠BAN＝180°，∴∠BAM＝120°．∵PQ∥MN，∴∠PBA＝∠BAM＝120°．故答案为：120；（2）设射线AM转动t秒，两射线互相平行，当0＜t＜90时，如图，AM′和BP′为经过t秒后AM，BP旋转的位置，则∠MAM′＝2t°，∠PBP′＝（t+30）°，∵PQ∥MN，∴∠BM′A＝∠MAM′＝2t°，∵AM′∥BP′，∴∠AM′B＝∠PBP′．∴2t＝t+30．解得：t＝30；当90＜t＜150时，如图，AM′和BP′为经过t秒后AM，BP旋转的位置，则∠MAM′＝（360﹣2t）°，∠PBP′＝（t+30）°，∵PQ∥MN，∴∠BM′A＝∠MAM′＝2t°，∵AM′∥BP′，∴∠AM′B＝∠PBP′．∴360﹣2t＝t+30．解得：t＝110．综上所述，当射线AM转动30秒或110秒时，两射线互相平行．（3）∠BAC与∠BCD的数量关系不会发生变化，∠BAC＝2∠BCD．理由：设射线AM，BP转动时间为m秒，∴∠BAC＝（2m﹣120）°，∠ABC＝（120﹣t）°，∴∠ACB＝180°﹣（2m﹣120）°﹣（120﹣m）°＝（180﹣m）°．∵∠ACD＝120°，∴∠BCD＝120°﹣（180﹣m）°＝（m﹣60）°．∵2m﹣120＝2（m﹣60），∴∠BAC＝2∠BCD．∴∠BAC与∠BCD的数量关系不会发生变化，∠BAC＝2∠BCD．9．（仁寿）如图①．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于点B，过点B作BD⊥AM于点D，设∠BCN＝α．（1）若α＝30°，求∠ABD的度数；（2）如图②，若点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，使得BE平分∠ABD、BF平分∠DBC，求∠EBF的度数；（3）如图③，在（2）问的条件下，若CF平分∠BCH，且∠BFC＝3∠BCN，求∠EBC 的度数．【答案】（1）30°（2）45°（3）97.5°．【解答】解：（1）延长DB，交NC于点H，如图，∵AM∥CN，BD⊥AM，∴DH⊥NC．∴∠BHC＝90°．∵∠BCN＝α＝30°，∴∠HBC＝90°﹣∠BCN＝60°．∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°．∴∠ABD＝180°﹣∠ABC﹣∠HBC＝30°；（2）延长DB，交NC于点H，如图，∵AM∥CN，BD⊥AM，∴DH⊥NC．∴∠BHC＝90°．∵∠BCN＝α，∴∠HBC＝90°﹣α．∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°．∴∠ABD＝180°﹣∠ABC﹣∠HBC＝α．∵BE平分∠ABD，∴∠DBE＝∠ABE＝α．∵∠HBC＝90°﹣α，∴∠DBC＝180°﹣∠HBC＝90°+α．∵BF平分∠DBC，∴∠DBF＝∠CBF＝∠DBC＝45°+α．∴∠EBF＝∠DBF﹣∠DBE＝45°+α﹣α＝45°；（3）∵∠BCN＝α，∴∠HCB＝180°﹣∠BCN＝180°﹣α．∵CF平分∠BCH，∴∠BCF＝∠HCF＝∠HCB＝90°﹣α．∵AM∥CN，∴∠DFC＝∠HCF＝90°﹣α．∵∠BFC＝3∠BCN，∴∠BFC＝3α．∴∠DFB＝∠DFC﹣∠BFC＝90°﹣α．由（2）知：∠DBF＝45°+α．∵BD⊥AM，∴∠D＝90°．∴∠DBF+∠DFB＝90°．∴45°+α+90°﹣α＝90°．解得：α＝15°．∴∠FBC＝∠DBF＝45°+α＝52.5°．∴∠EBC＝∠FBC+∠EBF＝52.5°+45°＝97.5°．10．（邵东）点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离记作AB．当A、B 两点中有一点为原点时，不妨设A点在原点．如图①所示，则AB＝OB＝|b|＝|a﹣b|．当A、B两点都不在原点时：（1）如图②所示，点A、B都在原点的右边，不妨设点A在点B的左侧，则AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|b﹣a|＝|a﹣b|（2）如图③所示，点A、B都在原点的左边，不妨设点A在点B的右侧，则AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝a﹣b＝|a﹣b|（3）如图④所示，点A、B分别在原点的两边，不妨设点A在点O的右侧，则AB＝OB+OA ＝|b|+|a|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|回答下列问题：（1）综上所述，数轴上A、B两点之间的距离AB＝．（2）数轴上表示2和﹣4A和B之间的距离AB＝．（3）数轴上表示x和﹣2的两点A和B之间的距离AB＝| ，如果AB＝2，则x的值为．（4）若代数式|x+2|+|x﹣3|有最小值，则最小值为．【答案】（1）AB＝|a﹣b|（2）6 （3）0或﹣4 （4）5【解答】解：（1）综上所述，数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|；（2）数轴上表示2和﹣4的两点A和B之间的距离AB＝2﹣（﹣4）＝2+4＝6；（3）数轴上表示x和﹣2的两点A和B之间的距离AB＝|x+2|，如果AB＝2，则x的值为0或﹣4；（4）若代数式|x+2|+|x﹣3|有最小值，则最小值为5．故答案为：（1）|a﹣b|；（2）6；（3）|x+2|；0或﹣4；（4）511．（广安）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，例如：数轴上表示﹣1与﹣2的两点间的距离＝|﹣1﹣（﹣2）|＝﹣1+2＝1；而|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，所以|x+2|表示x与﹣2两点间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示﹣2和5两点之间的距离．（2）若数轴上表示点x的数满足|x﹣1|＝3，那么x＝．（3）若数轴上表示点x的数满足﹣4＜x＜2，则|x﹣2|+|x+4|＝．【答案】（1）76（2）﹣2或4（3）6【解答】解：（1）根据题意知数轴上表示﹣2和5两点之间的距离为5﹣（﹣2）＝7，故答案为：7；（2）∵|x﹣1|＝3，即在数轴上到表示1和x的点的距离为3，∴x＝﹣2或x＝4，故答案为：﹣2或4；（3）∵|x﹣2|+|x+4|表示在数轴上表示x的点到﹣4和2的点的距离之和，且x位于﹣4到2之间，∴|x﹣2|+|x+4|＝2﹣x+x+4＝6，故答案为：6．12．（兴宁）如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是3个单位长度，长方形ABCD的长AD是6个单位长度，长方形EFGH的长EH是10个单位长度，点E在数轴上表示的数是5．且E、D两点之间的距离为14．（1）填空：点H在数轴上表示的数是，点A在数轴上表示的数是．（2）若线段AD的中点为M，线段EH上一点N，EN＝EH，M以每秒4个单位的速度向右匀速运动，N以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为x秒，原点为O．当OM＝2ON时，求x的值．（3）若长方形ABCD以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形EFGH固定不动，设长方形ABCD运动的时间为t（t＞0）秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当S＝12时，求此时t的值．【答案】（1）15；﹣15（2）或．（3）t的值为9或13．【解答】解：（1）由题意可得，点H在数轴上表示的数为：5+10＝15；点A在数轴上表示的数为：5﹣14﹣6＝﹣15．故答案为：15；﹣15．（2）∵点M是线段AD的中点，∴点M表示的数为5﹣14﹣＝﹣12，又∵EN＝EH，∴点N在数轴上表示的数为：5+（15﹣5）＝，由题意可得，x秒时，点M在数轴上表示的数为：﹣12+4x，点N在数轴上表示的数为：﹣3x，∴OM＝|4x﹣12|，ON＝|3x﹣|，∵OM＝2ON，∴|4x﹣12|＝2|3x﹣|∴4x﹣12＝2（3x﹣）或4x﹣12＝﹣2（3x﹣），解得x＝或x＝．故答案为：或．（3）当CD与EF重合时，所用时间为＝7秒，由题意得：AD与EH重合的部分为＝4，如图1所示，设长方形ABCD从EF运动到AD与EH重叠部分为4时，所用的时间为t1秒，∴t1＝＝2，∴第一次重叠面积为12时，时间t为2+7＝9（秒）；当AD与EH重叠部分为4时，如图2所示，设长方形ABCD从EF运动到AD与EH重叠部分为4时，所用的时间为t2秒，∴t2＝＝6，∴第二次重叠面积S＝12时，时间t为6+7＝13（秒）；∴当长方形ABCD与长方形EFGH重叠部分的面积为12时，t的值为9或13．13．（宣化）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m．（1）实数m的值是；（2）求|m+1|+|m﹣1|的值；（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+d|与互为相反数，求2c﹣3d的平方根．【答案】（1）2﹣（2）2 （3）±4．【解答】解：（1）m＝﹣+2＝2﹣；（2）∵m＝2﹣，则m+1＞0，m﹣1＜0，∴|m+1|+|m﹣1|＝m+1+1﹣m＝2；答：|m+1|+|m﹣1|的值为2．（3）∵|2c+d|与互为相反数，∴|2c+d|+＝0，∴|2c+d|＝0，且＝0，解得：c＝﹣2，d＝4，或c＝2，d＝﹣4，①当c＝﹣2，d＝4时，所以2c﹣3d＝﹣16，无平方根．②当c＝2，d＝﹣4时，∴2c﹣3d＝16，∴2c﹣3d的平方根为±4，答：2c﹣3d的平方根为±4．14．（锦江）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a﹣b|；当A、B两点都不在原点时，如图2，点A、B都在原点的右边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；如图3，当点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；如图4，当点A、B在原点的两边，|AB|＝|OB|+|OA|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|．回答下列问题：（1）数轴上表示1和6的两点之间的距离是数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是．（2）数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是﹣4，则点A和B之间的距离是，若|AB|＝3，那么x为．（3）当x是时，代数式|x+2|+|x﹣1|＝7．（4）若点A表示的数﹣1，点B与点A的距离是10，且点B在点A的右侧，动点P、Q 同时从A、B出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒个单位长度，求运动几秒后，B、P、Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点？（请写出必要的求解过程）．【答案】（1）5，5（2）﹣1或﹣7 （3）﹣4或3 （4）运动或或5秒【解答】解：（1）数轴上表示1和6的两点之间的距离是|6﹣1|＝5，数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是|2﹣（﹣3）|＝5．（2）数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是﹣4，则点A和B之间的距离是|x+4|，若|AB|＝3，则|x+4|＝3，解得x＝﹣1或﹣7．（3）当x＞1时，|x+2|+|x﹣1|＝x+2+x﹣1＝7，2x＝6，x＝3，当x＜﹣2时，|x+2|+|x﹣1|＝﹣x﹣2+1﹣x＝7，﹣2x＝8，x＝﹣4，当﹣2≤x≤1时，|x+2|+|x﹣1|＝x+2+1﹣x＝3≠7，∴当x＝﹣4或3时，代数式|x+2|+|x﹣1|＝7．（4）设运动t秒后，有一点恰好是另两点所连线段的中点，由题意，得①点B为线段PQ中点时，，解得，②点P为线段BQ中点时，，解得，③点Q为线段BP中点时，，解得t＝5．答：运动或或5秒后，B、P、Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点．15．（宣化）阅读下面的文字，解答问题．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能完全地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答下列问题：（1）求出+2的整数部分和小数部分；（2）已知：10+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，请你求出（x﹣y）的相反数．【答案】（1）3，﹣1 （2）﹣14【解答】解：（1）∵1＜＜2，∴3＜+2＜4，∴+2的整数部分是1+2＝3，+2的小数部分是﹣1；（2）∵2＜＜3，∴12＜10+＜13，∴10+的整数部分是12，10+的小数部分是10+﹣12＝﹣2，即x＝12，y＝﹣2，∴x﹣y＝12﹣（﹣2）＝12﹣+2＝14﹣，则x﹣y的相反数是﹣14．16．（靖江）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a阶派生点”（其中a为常数，且a≠0）．例如：点P（1，4）的“2阶派生点”为点Q（2×1+4，1+2×4），即点Q（6，9）．（1）若点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3阶派生点”的坐标为；（2）若点P的“5阶派生点”的坐标为（﹣9，3），求点P的坐标；（3）若点P（c+1，2c﹣1）先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点P1．点P1的“﹣4阶派生点”P2位于坐标轴上，求点P2的坐标．【答案】（1）（2，14）（2）（﹣2，1）；（3）（0，﹣15）或（，0）．【解答】解：（1）3×（﹣1）+5＝2；﹣1+3×5＝14，∴点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3级派生点”的坐标为（2，14）．故答案为：（2，14）；（2）设点P的坐标为（a，b），由题意可知，解得：，∴点P的坐标为（﹣2，1）；（3）由题意，P1（c﹣1，2c），∴P1的“﹣4阶派生点“P2为：（﹣4（c﹣1）+2c，c﹣1﹣8c），即（﹣2c+4，﹣7c﹣1），∵P2在坐标轴上，∴﹣2c+4＝0或﹣7c﹣1＝0，∴c＝2或c＝﹣，∴P2（0，﹣15）或（，0）．17．（黄山）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．下图中的P，Q两点即为“等距点”．（1）已知点A的坐标为（﹣3，1），①在点E（0，3），F（3，﹣3），G（2，﹣5）中，为点A的“等距点”的是；②若点B的坐标为B（m，m+6），且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为；（2）若T1（﹣1，﹣k﹣3），T2（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．【答案】（1）①E、F；②（﹣3，3）；（2）1或2【解答】解：（1）①∵点A（﹣3，1）到x、y轴的距离中最大值为3，∴与A点是“等距点”的点是E、F．②当点B坐标中到x、y轴距离其中至少有一个为3的点有（3，9）、（﹣3，3）、（﹣9，﹣3），这些点中与A符合“等距点”的是（﹣3，3）．故答案为①E、F；②（﹣3，3）；（2）T1（﹣1，﹣k﹣3），T2（4，4k﹣3）两点为“等距点”，①若|4k﹣3|≤4时，则4＝﹣k﹣3或﹣4＝﹣k﹣3解得k＝﹣7（舍去）或k＝1．②若|4k﹣3|＞4时，则|4k﹣3|＝|﹣k﹣3|解得k＝2或k＝0（舍去）．根据“等距点”的定义知，k＝1或k＝2符合题意．即k的值是1或2．18．（延长）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点A（8，6）分别作x轴、y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，点P是从点B出发，沿B→A→C以2个单位长度/秒的速度向终点C运动的一个动点，运动时间为t（秒）．（1）直接写出点B和点C的坐标B（，）、C（，）；（2）当点P运动时，用含t的式子表示线段AP的长，并写出t的取值范围；（3）点D（2，0），连接PD、AD，在（2）条件下是否存在这样的t值，使S△APD＝S，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．四边形ABOC【答案】（1）0、6，8、0 （2）AP＝8﹣2t（0≤t＜4）；AP＝2t﹣8（4≤t≤7）．（3）当t为3秒和5秒时S△APD＝S四边形ABOC【解答】解：（1）B（0，6），C（8，0），故答案为：0、6，8、0；（2）当点P在线段BA上时，由A（8，6），B（0，6），C（8，0）可得：AB＝8，AC＝6∵AP＝AB﹣BP，BP＝2t，∴AP＝8﹣2t（0≤t＜4）；当点P在线段AC上时，∵AP＝点P走过的路程﹣AB＝2t﹣8（4≤t≤7）．（3）存在两个符合条件的t值，当点P在线段BA上时∵S△APD＝AP•AC S四边形ABOC＝AB•AC∴（8﹣2t）×6＝×8×6，解得：t＝3＜4，当点P在线段AC上时，∵S△APD＝AP•CD CD＝8﹣2＝6∴（2t﹣8）×6＝×8×6，解得：t＝5＜7，综上所述：当t为3秒和5秒时S△APD＝S四边形ABOC，19．（齐齐哈尔）如图①，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，AB⊥BC，AO＝OB＝2，BC＝3（1）写出点A、B、C的坐标．（2）如图②，过点B作BD∥AC交y轴于点D，求∠CAB+∠BDO的大小．（3）如图③，在图②中，作AE、DE分别平分∠CAB、∠ODB，求∠AED的度数．【答案】（1）A（﹣2，0），B（2，0），C（2，3）；（2）90°（3）45°【解答】解：（1）依题意得：A（﹣2，0），B（2，0），C（2，3）；（2）∵BD∥AC，∴∠ABD＝∠BAC，∴CAB+∠BDO＝∠ABD+∠BDO＝90°；（3）：∵BD∥AC，∴∠ABD＝∠BAC，∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，∴∠CAE+∠BDE＝（∠BAC+∠BDO）＝（∠ABD+∠BDO）＝×90°＝45°，过点E作EF∥AC，则∠CAE＝∠AEF，∠BDE＝∠DEF，∴∠AED＝∠AEF+∠DEF＝∠CAE+∠BDE＝45°．20．（随县）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（4，0），C（4，3）三点．（1）求△ABC的面积；（2）如果在第二象限内有一点P（m，1），且四边形ABOP的面积是△ABC的面积的两倍；求满足条件的P点坐标．【答案】（1）6（2）P（﹣8，1）【解答】解：（1）∵B（4，0），C（4，3），∴BC＝3，∴S△ABC＝×3×4＝6；（2）∵A（0，2）（4，0），∴OA＝2，OB＝4，∴S四边形ABOP＝S△AOB+S△AOP＝×4×2+×2（﹣m）＝4﹣m，又∵S四边形ABOP＝2S△ABC＝12，∴4﹣m＝12，解得：m＝﹣8，∴P（﹣8，1）．。

高考数学2023年高考终极押题猜想(全国通用)(解析版)

2023年高考数学终极押题猜想押题猜想一三视图 1押题猜想二函数的图像 7押题猜想三三角函数单调性求参数范围 11押题猜想四圆锥曲线 17押题猜想五数列 22押题猜想六函数切线求参问题 27押题猜想七二项式 30押题猜想八解三角形 33押题猜想九立体几何异面直线成角 38押题猜想十球 44押题猜想一三视图已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为( )A.25+22+5B.25+22+2C.83D.4【答案】B 【解析】：由三视图知该几何体是底面是边长为2的正方形，高为2的四棱锥，如图所示：S △PAD =12⋅AD ⋅PQ =12×2×2=2,S △PAB =S △PCD =12⋅AB ⋅PA =12⋅2⋅22+12=5,S△PCB=12⋅BC⋅PE=12⋅2⋅22+22=22,所以侧面积为S=25+22+2．故选：B.【押题解读】高中数学三视图主要考察学生们空间想象能力，如何通过三视图中关键点能够想象出空间图是高考常用的考查形式。

【考前秘笈】由三视图恢复空间图核心技巧“三线交汇得定点”(三线法)具体操作步骤：第一步：根据正视图，在正方体中画出正视图上的四个顶点的原像所在的线段，第二步：侧视图有三个顶点，画出他们的原像所在的线段，第三步：俯视图有三个顶点，画出他们的原像所在的线段，第四步：由一二三步画出的线段找三线交点，交点即为空间图顶点。

注意：(三线交点的个数确定后，仍不满足空间图顶点个数，则寻找二线交点进行验证)1某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.323B.8C.32D.162【答案】C【详解】由几何体的三视图可知几何体的直观图如下：图形为底面是矩形的斜棱柱，底面矩形长为4宽为2，棱柱的高为4，所以几何体的体积为V=Sh=2×4×4=32．故选：C2我国古代数学名著《九章算术》中几何模型“阳马”意指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．某“阳马”的三视图如图所示，则该四棱锥中棱长的最大值为()A.2B.5C.6D.2【答案】C【详解】解：由三视图得该几何体如图所示：2=2，2+AB=2,PB=PA=1,AB=1,ADPC2=2，2+AD2+AC=PA2=6,PD=PA故选：C3某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长的棱的长度为()A.3B.23C.6D.26【答案】C【详解】由三视图，几何体如下图示，AB=BD=3,BC=CD=1且AB⊥面BCD，所以AC=2,AD=6，显然AD=6为最长棱.故选：C4某几何体的三视图如图所示，记该几何体的体积为V 1，其外接球的体积为V 2，则V 1V 2=．【答案】827π【详解】由题可知该几何体为四棱锥S -ABCD ，如图所示：且SB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，AB =2,SB =2,BC =1，所以V 1=V S -ABCD =13×2×1×2=43，由该几何体可知它可以补全为一个长方体，如图：且SD 为该长方体的体对角线，所以四棱锥S -ABCD 外接球即为补全后长方体的外接球，半径为R =1222+12+22=32，所以V 2=43πR 3=43π×32 3=92π，所以V 1V 2=827π，故答案为：827π.5已知某几何体的三视图如图所示，若E 是AB 的中点，F 是BC 的四等分点(靠近点B )，则下列说法正确的是．(请填写所有正确答案的序号)①B 1D ⊥CD ；②EF ⎳平面B 1CD ；③sin ∠CDC 1=13；④三棱锥C 1-B 1CD 的体积为643．【答案】①②④【详解】根据三视图可知该几何体的直观图为：其中BA ，BB 1，BC 两两垂直，BC =4，BA =4，BB 1=8，AD =4，以B 为原点，以BA ,BB 1,BC 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系：则D (4,4,0)，B 1(0,8,0)，C 1(0,8,4)，C (0,0,4)，E (2,0,0)，F (0,0,1)，所以DB 1 =(-4,4,0)，CD =(4,4,-4)，所以DB 1 ⋅CD =-16+16=0，即B 1D ⊥CD ，故①正确；设平面B 1DC 的一个法向量为n =(x ,y ,z )，由n ⋅CD =4x +4y -4z =0n ⋅DB 1 =-4x +4y =0 ，取y =1，得x =1，z =2，得n =(1,1,2)，又EF =(-2,0,1)，所以EF ⋅n =-2+2=0，又EF ⊄平面B 1DC ，所以EF ⎳平面B 1DC ，故②正确；在△CDC 1中，CD =C 1D =42+42+42=43，CC 1=8，所以由余弦定理得cos ∠CDC 1=CD 2+C 1D 2-CC 212⋅CD ⋅C 1D =48+48-642×43×43=13，所以sin ∠CDC 1=1-13 2=223，故③错误；三棱锥C 1-B 1DC 的体积V C 1-B 1DC =V D -B 1C 1C =V A -B 1C 1C =13×12×8×4×4=643，故④正确.综上所述：说法正确的是①②④.故答案为：①②④押题猜想二函数的图像6函数f x =x22x-2-x的部分图像大致为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】因为f-x=-x22-x-2x=-f x ，又函数的定义域为x x≠0，故f x 为奇函数，排除AC；根据指数函数的性质，y=2x在R上单调递增，当x>0时，x>-x，故2x>2-x，则f x >0，排除D.故选：B【押题解读】高中数学已知函数表达式确定函数图形主要考察学生们灵活应变能力，如何能够找见图像中的差异点是破解此类题的关键，是高考的高频考点。

人教版八年级数学上册期中考试压轴题专题复习题(含答案)

人教版八年级数学上册期中考试压轴题专题复习题1、在△ABC中，AB=BC，△ABC≌△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点，观察并猜想线段EA1与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论．2、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．求证：（1）△ABE≌△ACD；（2）DC⊥BE．3、如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE．（1）若∠C=40°，求∠BAD的度数；（2）若AC=5，DC=4，求△ABC的周长．4、如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD=CE．求证：AB⊥AC；（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．6、如图，△ABC为等腰直角三角形，点D是边BC上一动点，以AD为直角边作等腰直角△ADE，分别过A、E点向BC边作垂线，垂足分别为F、G．连接BE．（1）证明：BG=FD；（2）求∠ABE的度数．7、如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF=90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM=ON．（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．8、如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是直线AB上的一动点（不和A、B重合），BE⊥CD于E，交直线AC于F．（1）点D在边AB上时，证明：AB=FA+BD；（2）点D在AB的延长线或反向延长线上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请画出图形并直接写出正确结论．9、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，将△ABC绕点C逆时针旋转角α．（0°＜α＜90°）得到△A1B1C1，连接BB1．设CB1交AB于D，A1B1分别交AB、AC于E、F．（1）在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以说明（△ABC 与△A1B1C1全等除外）；（2）当△BB1D是等腰三角形时，求α．10、CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE CF；（填“＞”，“＜”或“＝”）；EF，BE，AF三条线段的数量关系是：．②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想并证明．11、在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧．．作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90º，则∠BCE= º．（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请画出图形，并直接写出你的结论．12、在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC 于D；（1）如果点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°，如图1，求∠EFD的度数；（2）如果点F在线段AE上（不与点A重合），如图2，问∠EFD与∠C﹣∠B有怎样的数量关系？并说明理由．（3）如果点F在△ABC外部，如图3，此时∠EFD与∠C﹣∠B的数量关系是否会发生变化？请说明理由．13、如图，△ABC是等边三角形，AB=6，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D.（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；（2）证明：在运动过程中，点D是线段PQ的中点；（3）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．14、问题背景：如图1:在四边形ABC 中,AB=AD,∠BAD=120∘,∠B=∠ADC=90∘.E,F 分别是BC,CD 上的点。

数学-2024年中考终极押题猜想(山东青岛专用)(解析版)

（高分的秘密武器：终极密押+押题预测）目录押题猜想一二次函数与一次函数、反比例函数的图像问题.......................................1押题猜想二二次函数的图象和性质...........................................................6押题猜想三动点问题的函数图象探究........................................................17押题猜想四数字、图象的规律问题..........................................................29押题猜想五最值问题......................................................................42押题猜想六尺规作图......................................................................65押题猜想七解三角形的实际应用问题........................................................76押题猜想八二次函数的实际应用---轨迹问题.................................................92押题猜想九几何探究题...................................................................111押题猜想十动点问题---相似.. (131)押题猜想一二次函数与一次函数、反比例函数的图像问题1、二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先分析二次函数的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数的图像恒21y ax bx =++2y ax b =+21y ax bx =++2y ax b =+2、二次函数的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（）A ．B ．C ．D ．2y ax bx c =++ay x=y bx =1．已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（）A ．B ． C．D ．2y ax bx c =++y bx a c =++b ay x-=的图象经过一，二，四象限，故A 、B 、C 错误，D 正确；故选：D ．2．函数与为常数且在同一平面直角坐标系中的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．3．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．y bx a c \=++ky x=2(y kx k k =-+0)k ¹()0y ax b a =+¹()20y ax bx c a =++¹意；故选：C ．4．抛物线与双曲线的交点的横坐标为a ，则直线的图象大致是（）A ．B ．C ．D．22y x x =-1y x =2y ax a =+-∴必过一、三象限，∵抛物线与轴相交于，∴由图可知，抛物线与双曲线交点在右边，∴，∴，∴直线的图象经过一、三、四象限，故选：A ．押题猜想二二次函数的图象和性质1、称轴为直线的抛物线（为常数，且）如图所示，某同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（为任意实数），⑥当时，随的增大而增大，其中结论正确的个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的系数与图象的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，以及二次函数系数与图象的关系．2y ax a =+-x ()0,0()2,0()2,02a >20a -<2y ax a =+-1x =2y ax bx c =++a b c 、、0a ¹<0abc 24b ac >420a b c ++>30a c +>()a b m am b +£+m 1x >y x2、二次函数的y 与x 的部分对应值如下表：1>()20y ax bx c a =++¹x 013y根据表格中的信息，得到了如下的结论：①②二次函数可改写为的形式③关于x 的一元二次方程的根为④若，则⑤当时，y 有最小值是其中所有正确结论的序号是（）A ．①②④B ．②③⑤C ．①③⑤D ．②③④⑤1- 1.5-2-<0abc ²y ax bx c =++()212y a x =--2 1.5ax bx c ++=-120,2x x ==0y >3x >2x ³ 1.5-1．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与x 轴的一个交点坐标为．以下结论：①；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．根据所给函数图象可得出，，的正负，再结合抛物线的对称性和增减性依次对四个结论进行判断即可．【详解】解：由所给函数图象可知，()20y ax bx c a =++¹12x =-()2,0-0abc <0a b c ++=60a c +>()12,M y -21,2N y æöç÷èø()33,P y 123y y y <<a b c2．已知二次函数（）与x 轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若关于x 的方程有两个实数根，且满足，则，．其中正确结论的个数为（）2y ax bx c =++0a ¹()4,01x =0abc <240b ac -<930a b c ++=80a c +=21ax bx c ++=-12,x x 12x x <12x <-24x >A ．5B ．4C ．3D ．2，，即，故④正确；函数图象与x 轴的交点坐标分别为和，令，则，∴直线与抛物线的交点的横坐标分别为，∴由图象可知：，，故⑤正确；故正确的有3个，故选：C ．3．如图，直线与抛物线交于，两点，且点的横坐标是，点的横坐标是，则以下结论：①，；②当时，直线与抛物线的函数值都随着的增大而增大；③的长度可以等于；④当时，；⑤连接，，当时，）A ．5B ．4C ．3D ．22b a =-Q 440a a c \++=80a c +=(2,0)-(4,0)1y =-21ax bx c ++=-1y =-2y ax bx c =++12,x x 12x <-24x >()0y kx b k =+¹()20y ax a =¹A B A 2-B 30a >0b >0x >y kx b =+2y ax =x AB 523x -<<2ax kx b -<OA OB OA OB ^a =∵抛物线，的横坐标是∴点的纵坐标，点∴，，，∵轴，轴，当∴，()20y ax a =¹A A ()224a a =´-=2OG =3OH =4AG a =BH AG x ^BH x ^OA ^90AOG OAG Ð+Ð=°AOG Ð+4．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，是抛物线的顶点，三角形的面积等于1，则以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（）A ．②④B．①②④C ．①③④D ．①②③④，2y ax bx c =++x A B y C OA OC =M AMB 2404b aca-<10ac b -+=()3228b a -=cOA OB a×=-5．如表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值：0136下列结论：①抛物线的开口向上；②其图象的对称轴为；③当时；函数值随的增大而增大；④方程有一个根大于4．其中正确的是（）x y x¼2-¼y¼4-6-4-¼1x =32x >y x 20ax bx c ++=A ．①②B ．①③C ．①③④D ．②③④6．如下表中列出的是一个二次函数的自变量x 与函数y 的几组对应值：x …013…y…7…则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（）A ．图象开口向下B ．对称轴为直线C ．图象与x 轴的一个交点坐标为D ．有最小值为【答案】C【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，先利用待定系数法求出对应的函数解析式，再把解析式化为顶点式即可判断A 、B 、D ，求出函数值为0时自变量的值即可判断C ．3-5-8-5-32x =-()2,08-【详解】解：设二次函数解析式为，∴，∴，∴二次函数解析式为，∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线，最小值为，当时，解得或，∴图象与x 轴的一个交点坐标为，∴四个选项中只有C 选项正确，符合题意，故选：C ．故选：B ．押题猜想三动点问题的函数图象探究1、如图，四边形是边长为1的正方形，点是射线上的动点（点不与点，点重合），点在线段的延长线上，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接．设，四边形的面积为，下列图象能正确反映出与的函数关系的是（）A ．B ．2y ax bx c =++93558a b c a b c c -+=-ìï++=-íï=-î12a b =ìí=î()222819y x x x =+-=+-=1x -9-2280y x x =+-=4x=-2x =()2,0ABCD E AB E A B F DA AF AE =ED ED E 90o EG EF FB BG 、、AE x =EFBG y y xC ．D ．故选：B ．2、如图，在矩形中，，动点M 自点A 出发沿方向以每秒的速度向点B 运动，同时动点N 自点A 出发沿折线以每秒的速度运动，到达点B 时运动同时停止．设的面积为，运动时间为x （秒），则下列图象中能大致反映y 与x 之间的函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．ABCD 4cm,2cm AB AD ==AB 1cm AD DC CB －－2cm AMN V ()2cm y3、如图，在等腰直角三角形中，，是边上的中线，将沿射线方向匀速平移，平移后的三角形记为，设与重叠部分的面积为，平移距离为，当点与点重合时，停止运动，则下列图象最符合与之间函数关系的是（）A ．B ．ABC 90ABC Ð=°BD AC BCD △BA 111B C D △111B C D △ABD △y x 1B A 111B C D △y xC ．D ．，设，，当时，设交Q \AB BC =AB BC a ==\22AD CD BD a ===02ax <£11B D AC，又，为等腰三角形，2Q \145B HG ACB Ð=Ð=°Q 11145D B C Ð=°\1B GH △Q 1145AB D ABD Ð=Ð=°=Ð1．如图，矩形中，，，与交于点，是的中点．、两点沿着方向分别从点、点同时出发，并都以的速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动．在、两点运动的过程中，与的面积随时间变化的图象最接近的是（）A ．B ．C ．D ．ABCD 8cm AB =12cm AD =AC BD O M BC P Q B C D ®®B M 1cm /s Q D P Q OPQ △t2．如图，在矩形中，，，E 为矩形的边上一点，，点P从点B 出发沿折线运动到点D 停止，点Q 从点B 出发沿运动到点C 停止，它们的运动速度都是，现P ，Q 两点同时出发，设运动时间为x （s ），的面积为，则y 关于x 的函数图象为（）A ．B ．C ．D ．ABCD 6cm AD =3cm AB =ABCD AD 4cm AE =B E D --BC 0.5cm/s BPQ V 2cm y∵，∴，∴3．如图所示，直角边为2的等腰直角三角形和长为4宽为2的矩形在同一水平线上，等腰直角三角形沿该水平线从左向右匀速穿过矩形．设穿过的时间为x ，等腰直角三角形与矩形重叠部分的面积为y ，则y 与x 的函数图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】本题考查的动点变化过程中面积的变化关系．此题可分为三段求解，当或或时，列出面积随动点变化的函数关系式即可．【详解】解：由题意得的长为，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为，AD BC ∥AEB PBF Ð=Ðsin sin AB PBF AEB BE Ð=Ð=02x ££24x <<46x ££CD x ABC V DEFG y∴，当时，如图，当时，如图，，4．如图，在菱形中，已知，．动点P 从点B 出发，以每秒1cm 的速度沿折线运动到点C ，同时动点Q 从点A 出发，以相同速度沿折线运动到点D ，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设在此过程中运动时间为x 秒，的面积为y ．则下列图象中能大致反映y 与x 之间函数关系的是（）2HD AD x ==-1122(2)(2)22y x x =´´--´-24x <<46x ££EI ()221144822y x x x =-=-+y y ì=ïïABCD =60B Ð°2cm AB =BA AC ®AC CD ®APQ △A ．B ．C ．D ．函数最大值为，符合条件的有当、分别在、上运动时，5．如图，等边的边长为，点从点出发，以的速度沿向点运动，到达点停止；同时点从点出发，以的速度沿向点运动，到达点停止，设的面积为，运动时间为，则下列最能反映与之间函数关系的图象是（）11(2)sin 22y AP QH t t =´=-´34P Q AC DC ABC V 2cm P A 1cm /s AC C C Q A 2cm /s AB BC -C C APQ △()2cm y ()s x y xA ．B ．C ．D ．押题猜想四数字、图象的规律问题1、如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点P 的坐标是．【答案】【分析】本题考查了点的坐标规律探求，属于常考题型，由已知点的坐标变化找出规律是解题的关键．观察点的坐标变化发现每个点的横坐标与运动的次数相等，纵坐标是1，0，2，0，每4个数一个循环，按照此规律解答即可．【详解】解：观察点的坐标变化可知：第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，第5次接着运动到点，…按这样的运动规律，发现每个点的横坐标与运动的次数相等，纵坐标是1，0，2，0，每4个数一个循环，P ()11，()20，()32，()2023,2()1,1()2,0()3,2()4,0()5,1∵，∴经过第2023次运动后，动点P 的坐标是．故答案为：．2、如图所示，直线与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，绕点A 顺时针旋转后得到按此规律继续旋转，则第2025次旋转结束后，点的坐标为（）A ．B ．C ．D ．202345053¸=¼()2023,2()2023,2334y x =-+AOB V 90°11V AO B 2025B ()3,4()7,4()7,3()3,73、【观察思考】如图，第1个图案是由边长为1的两个等边三角形组成的1个菱形（包含两条对角线），第2个图案由2个相同的菱形组成，第3个图案由3个相同的菱形组成，以此类推．．．【规律发现】第1个图案中含有长为1的线段条数是5，含有三角形个数是8；第2个图案中含有长为1的线段条数是9，含有三角形个数是18；第3个图案中含有长为1的线段条数是13，含有三角形个数是28；……（1）第n 个图案中含有长为1的线段条数是__________，含有三角形个数是__________．（用含n 的式子表示）【规律应用】（2）结合图案中长为1的线段条数和三角形个数的规律，每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多吗？请说明理由．【答案】（1）；；（2）每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多，理由见解析【分析】本题主要考查了根据图形的变换通过归纳总结得规律：（1）结合基础图形个数进行归纳总结，寻找规律，即可；（2）结合图案中长为1的线段条数和三角形个数的规律作差比较即可．【详解】解：（1）第1个图案中含有长为1的线段条数是，含有三角形个数是；第2个图案中含有长为1的线段条数是，含有三角形个数是；第3个图案中含有长为1的线段条数是，含有三角形个数是；……第n 个图案中含有长为1的线段条数是，含有三角形个数是；故答案为：；．41n +102n -541411=+=´+81021012=-=´-981421=+=´+182021022=-=´-13121431=+=´+283021032=-=´-41n +102n -41n +102n -1．下列图形都是由同样大小的圆圈按一定规律组成，如图①中共有3个圆圈，图②中共有8个圆圈，图③中共有15个圆圈，图④中共有24个圆圈，…，按此规律排列，则图中圆圈的个数为多少（）A ．225B ．235C ．245D ．255【答案】D【分析】本题考查数字类规律探究，根据已有图形可得图中有个圆圈，进行求解即可．【详解】解：由图可知：图①中有个圆圈；图②中有个圆圈；图③中有个圆圈；∴图中有个圆圈，∴图中圆圈的个数为；故选：D ．2．如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，，将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到扫过的面积记为；；按此规律，则⑮n ()1n n n ++1123+´=2238+´=33415+´=Ln ()()212n n n n n ++=+⑮215215255+´=A y 1OA =OA O 45°1OA 1S 121^A A OA x 2A 2OA O 45°3OA 2S 343A A OA ^y 4A 4OA O 45°5OA 3S ¼2023S为（）A ．B ．C ．D ．3．在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交轴于点，做第1个正方形；延长交轴于点，做第2个正方形…，按这样的规律进行下去，第2023个正方形的面积为（）20192π20202π20212π20222πABCD A ()1,0D ()0,2CB x 1A 111A B C C 11C B x 2A 2221A B C CA ．B ．C ．D ．4046352æö´ç÷èø2003954æö´ç÷èø2022352æö´ç÷èø4044954æö´ç÷èø4．观察下列一组数：，，，……，它们按一定规律排列，第个数记为，且满足．则．21227n n a 21112n n n a a a +++=2024a =5．苯是一种有机化合物，是组成结构最简单的芳香烃，可以合成一系列衍生物．如图是某小组用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第1个图形需要9根小木棒，第2个图形需要16根小木棒，第3个图形需要23根小木棒……按此规律，第个图形需要根小木棒．（用含的代数式表示）【答案】【分析】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是总结出图形变化规律．通过观察可知：每增加一个苯环，相应的木棒增加根据此可求解．【详解】：∵第个图形中木棒的根数为：，第个图形中木棒的根数为：，第个图形中木棒的根数为：，…，∴第n 图形中木棒的根数为：，故答案为：．6．如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为，第2幅图中★的个数为，第3幅图中★的个数为，……依次规律，第幅图中★的个数为，则的值为．n n ()72n +71972=+216722=´+323732=´+72n +()72n +1a 2a 3a n n a 1212011111a a a a ++++L7．观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第4个等式：_____________________________；(2)写出第个等式：______________________________（用含的等式表示）；2122111111212x æö=++=+ç÷´èø2222111112323x æö=++=+ç÷´èø2322111113434x æö=++=+ç÷´èøn n(3)．8．阅读下列相关的两段材料，根据材料反映的规律完成后面的填空题．设n 是正整数，材料1：2024L．．．问题：（1）用含n 的代数式表示=___________________（写最简结果）材料2：=问题：（2）用含n 的代数式表示=_______（写最简结果）．（3）当n 无限增大时，接近于一个常数，这个常数是________．123411211223312112334612112344510a a a a ====+´===++´===+++´n a 111s a ==21221111111412()2()2(1)231223122333s a a =+=+=+=-+-=-=´´´31232211112()2334122334s a a a =++=++=++´´´´´111111132()2(1)12233442-+-+-=-=n s n s9．【发现问题】P 是二次函数的图像上一点，小丽描出的中点Q ．当点P 运动时，就得到一系列的中点Q ，如图所示，她发现这些中点的位置有一定的规律．【提出问题】小丽通过观察，提出猜想：所描的中点都在某二次函数的图像上．【分析问题】若，则中点（______，______）；若，则中点Q （______，______）．【解决问题】请帮助小丽验证她的猜想是否成立．【问题推广】若P 是二次函数（的常数）的图像上一点，在射线OP 上有一点Q ，满足（k 为常214y x =OP 111,4P æöç÷èø1Q 2,4m P m æöç÷èø2y ax =0a ¹1OQ kOP =数）．当点P 运动时，则点Q 也在某函数的图像上运动，请直接写出该函数解析式（用a 、k 表示）．设，则，∵，∴点在上．押题猜想五最值问题1、（将军饮马模型）如图，正方形的边长为4，点在边上，为对角线上一动点，连接，，若的最小值．()2,P m am ()2,Q km kam()2222a a kam k m km k k=×=()2,Q km kam2ay x k=ABCD E BC F BD CF EF CF EF +CE =∵正方形，∴又∵，2、（胡不归模型）如图，在中，，若D 是边上的动点，则的最小值是（）A ．6B ．8C．10D ．12ABCD 4AB BC ==Ð，BF BF =ABC V 90,60,4BAC B AB Ð=°Ð=°=BC 2AD DC +在中，∴，∵＝，3、（隐圆模型）如图，在四边形中，，，，，点在线段上运动，点在线段上，，则线段的最小值为．t R DFC △DCF Ð12DF DC =122(2AD DC AD +=+2()AD DF +ABCD 90ABC BAD Ð=Ð=°12AB =10AD =AD BC <E BC F AE ADF BAE =∠∠BF设与的交点为点，∵，∴，∵，∴，∴BO O e F ¢90ABC BAD Ð=Ð=°90DAF BAE Ð+Ð=°ADF BAE =∠∠90DAF ADF ÐÐ=+°(180AFD DAF Ð=°-Ð+Ð值．5、（四边形的性质）如图，菱形的对角线相交于点O ，点P 为边上一动点（不与点A ，B 重合），于点E ，于点F ．若，，则的最小值为（）A ．B ．C ．4D ．【答案】D【分析】连接OP ，证明四边形OEPF 是矩形，得到：，当时，OP 的值最小，利用ABCD ,AC BD AB PE OA ^PF OB ^20AC =10BD =EF EF OP =OP AB ^∵是菱形，∴，即∵，，∴四边形OEPF 是矩形，∴，当时，OP 的值最小，∵，，1．如图，正方形的边长为8，M 在上，且，N 是上一动点，则的最小值为ABCD AC BD ^AOB ÐPE OA ^PF OB ^EF OP =OP AB ^20AC =10BD =ABCD DC 2DM =AC DN MN +2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为，连接PD的最小值是（）A．4B．C．D．23y x bx=-++(3,0)C(0,1)-PC+2+32∵二次函数∴b ＝2，∴二次函数的解析式为解得x ＝﹣1或3，∴A （﹣1，0），令x ＝0，y =3，23y x bx =-++y =。

2020年浙江省台州市中考数学压轴题猜想含答案

2020年浙江省台州市中考数学压轴题猜想含答案1.如图1，在正方形ABCD中，点E是AB边上的—个动点(点E与点A，B不重合)，连接CE，过点B作BF ⊥CE于点G.交AD于点F.（1）求证:△ABF≌△BCE:（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证:DC=DG:的值. （3）如图3，在(2)的条件下，过点C作CM⊥DG于点H，分别交AD，BF于点M.N，求MNNH2.如图①，在钝角ΔABC中，∠ABC=30°，AC=4，点D为边AB中点，点E为边BC中点，将ΔBDE绕点B逆时针方向旋转α度（0≤α≤180）.（1）如图②，当0<α<180时，连接AD、CE .求证：ΔBDA∼ΔBEC；（2）如图③，直线CE、AD交于点G .在旋转过程中，∠AGC的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；（3）将ΔBDE从图①位置绕点B逆时针方向旋转180°，求点G的运动路程.3.如图，在Rt △ ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，动点P从点C出发以1cm/s的速度沿CA匀速运动，同时动点Q从点A出发以√2cm/s的速度沿AB匀速运动，当点P到达点A时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为他t(s)．（1）当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？（2）是否存在某一时刻t，使△ APQ是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）以PC为边，往CB方向作正方形CPMN，设四边形QNCP的面积为S，求S关于t的函数关系式．4.已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，如题图1，连接BC．（1）填空：∠OBC=________°；（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？5.如图所示，M为等腰三角形ABD的底边AB的中点，过D作DC∥AB，连接BC，AB=6cm，DM=3cm，DC=3- √3 cm.动点P自A点出发，在AB上匀速运动，动点Q自点B出发，在折线BC-CD上匀速运动，速度均为1cm/s，两点同时出发，当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动，设点P运动t（s）时，△MPQ 的面积为S.（1）当点P在线段AM上运动时，PM=________.（用t的代数式表示）（2）求BC的长度；（3）当点P在MB上运动时，求S与t之间的函数关系式.6.如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的一个动点，沿着AE翻折矩形，使点B落在点F处若AB＝3，BC＝√3 AB，解答下列问题：（1）在点E从点B运动到点C的过程中，求点F运动的路径长；（2）当点E是BC的中点时，试判断FC与AE的位置关系，并说明你的理由；（3）当点F在矩形ABCD内部且DF＝CD时，求BE的长.7.如图1，已知在矩形ABCD中，AD＝10，E是CD上一点，且DE＝5，点P是BC上一点，PA＝10，∠PAD ＝2∠DAE.（1）求证：∠APE＝90°；（2）求AB的长；（3）如图2，点F在BC边上且CF＝4，点Q是边BC上的一动点，且从点C向点B方向运动.连接DQ，M 是DQ的中点，将点M绕点Q逆时针旋转90°，点M的对应点是M′，在点Q的运动过程中，①判断∠M′FB是否为定值？若是说明理由.②求AM′的最小值.8.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC的中点，点P为对角线BD上的动点，设BP＝t(t＞0)，作PH⊥BC于点H，连接EP并延长至点F，使得PF＝PE，作点F关于BD的对称点G，FG交BD于点Q，连接GH，GE.（1）求证：EG∥PQ；（2）当点P运动到对角线BD中点时，求△EFG的周长；（3）在点P的运动过程中，△GEH是否可以为等腰三角形？若可以，求出t的值；若不可以，说明理由.9.在矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E.（1）若AB=9.①如图1，过E作BE的垂线，交边CD于点F.若点F恰好是CD边的中点，则BC=________；②如图2，过E作∠BED的角平分线EF与DC交于点F，若DF=2FC，求BC的长；（结果保留根号）________ （2）如图3，分别以BC、BA直线为x、y轴，建立平面直角坐标系.若点P从点B出发，以每秒√2个单位长度的速度沿射线BE方向移动；同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线BC方向移动.设移动时间为t秒.问是否存在某一时刻t，将△PQD绕某点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在经过P、Q、B三点的抛物线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.10.如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，点P从点A出发，沿折线AB﹣BC向终点C运动，在AB上以每秒5个单位长度的速度运动，在BC上以每秒3个单位长度的速度运动，点Q从点C出发，沿个单位长度的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止．设点PCA方向以每秒43运动的时间为t秒．（1）求线段AQ的长；（用含t的代数式表示）（2）连结PQ，当PQ与△ABC的一边平行时，求t的值；（3）如图②，过点P作PE⊥AC于点E，以PE，EQ为邻边作矩形PEQF．设矩形PEQF与△ABC重叠部分图形的面积为S．直接写出点P在运动过程中S与t之间的函数关系式和自变量的取值范围．11.如图（1），在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，动点P在线段AC上以5cm/s的速度从点A运动到点C，过点P作PD⊥AB于点D，将△APD绕PD的中点旋转180°得到△A′DP，设点P的运动时间为x（s）．（1）当点A′落在边BC上时，求x的值；（2）在动点P从点A运动到点C过程中，当x为何值时，△A′BC是以A′B为腰的等腰三角形；（3）如图（2），另有一动点Q与点P同时出发，在线段BC上以5cm/s的速度从点B运动到点C，过点Q 作QE⊥AB于点E，将△BQE绕QE的中点旋转180°得到△B′EQ，连结A′B′，当直线A′B′与△ABC的一边垂直时，求线段A′B′的长．12.如图，在△ABC中，已知AB=AC=10cm，BC=16cm，AD⊥BC于D，点E、F分别从B、C两点同时出发，其中点E沿BC向终点C运动，速度为4cm/s；点F沿CA、AB向终点B运动，速度为5cm/s，设它们运动的时间为x（s）．（1）求x为何值时，△EFC和△ACD相似；（2）是否存在某一时刻，使得△EFD被 AD分得的两部分面积之比为3:5，若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由；（3）若以EF为直径的圆与线段AC只有一个公共点，求出相应x的取值范围．13.在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是边AD上一点，EM⊥EC交AB于点M，点N在射线MB上，且AE 是AM和AN的比例中项.（1）如图1，求证：∠ANE＝∠DCE；（2）如图2，当点N在线段MB之间，联结AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长；（3）连接AC，如果△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似，求DE的长.14.如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝5cm，BC＝6cm，点E.F.G分别从A.B.C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动.在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F.设点E.F.G运动的时间为t（单位：s）.（1）当t等于多少s时，四边形EBFB′为正方形；（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；（3）是否存在实数t，使得点B’与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. 15.操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点c重合，点E，F分别在正方形的边CB，CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD，MN．（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；（2）猜想与发现：在(1)的条件下，请判断DM，MN的数量关系和位置关系，得出结论．结论1：DM，MN的数量关系是________；结论2：DM，MN的位置关系是________；（3）拓展与探究：如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则(2)中的两个结论还成立吗?若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．16.（1）【操作发现】如图①，在矩形ABCD中，E是BC中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G，连接FC，猜想∠GFC与∠GCF的关系，并证明你的结论；（2）【类比探究】如图②，将(1)中的矩形ABCD改为平行四边形，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由；（3）【应用】若满足(2)中条件，且∠AGD=80°，则∠FCG=________．17.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE＝1AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好3落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q.（1）求∠ABP的度数；（2）求S△PBFS△PEB的值；（3）若CD边上有且只有2个点G，使△GPD与△GFC相似，请直接写出BCAB的值.18.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F分别从点B，D同时出发沿AB延长线和射线DA以相同的速度运动，连结EF，交射线DB于点G.连结CG.（1）当BE＝2时，求BD，EG的长.（2）当点F在线段AD上时，记∠DCG为∠1，∠AFE为∠2，那么tan∠1tan∠2的值是否会变化？若不变，求出该比值；若变化，请说明理由.（3）在整个运动过程中，当△DCG为等腰三角形时，求BE长.19.定义：长宽比为√n：1(n为正整数)的矩形称为√n矩形.下面，我们通过折叠的方式折出一个√2矩形，如图a所示．操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G处，折痕为AH．操作2：过点G作CD∥AB，使点D、点C分别落在边AF，BE上.则四边形ABCD为√2矩形．（1）证明：四边形ABCD为√2矩形；（2）点M是边AB上一动点．①如图b，O是对角线AC的中点，若点N在边BC上，OM⊥ON，连接MN.求tan∠OMN的值；②连结AC，CM，当△AMC为等腰三角形时，将△CBM沿着CM翻折，点B的对称点为B’,连结AB’求S△AB′CS△AB′M的值.20.如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，cosA＝4，D是AB边的中点，E是AC边上一点，联结5DE，过点D作DF⊥DE交BC边于点F，联结EF.（1）如图1，当DE⊥AC时，求EF的长；（2）如图2，当点E在AC边上移动时，∠DFE的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持不变，请求出∠DFE的正切值；（3）如图3，联结CD交EF于点Q，当△CQF是等腰三角形时，请直接写出BF的长.答案1. （1）证明:∵BF⊥CE∴∠CGB=90°∴∠GCB+∠CBG=90°∵四边形ABCD是正方形∴∠CBE=90°=∠A，BC=AB∴∠FBA+∠CBG=90°∴∠GCB=∠FBA∴△ABF≌△BCE(ASA)（2）证明:过点D作DH⊥CE于点H.设CD=BC=2aE为AB中点，EA=EB=a.CE= √CB2+BE2=√5aRT△CEB中，根据面积相等，得:BG·CE=CB·EB∴BG= 25√5 a CG= √CB2−BG2 = 45√5 a∵∠DCE+∠BCE=90°∠CBF+∠BCE=90°∴∠DCE=∠CBF ∵CD=BC，∠CQD=∠CGB=90°∴△CQD≌△BGC(AAS)∴CQ=BG= 25√5 a GQ=CG-CH= 25√5 a=CQ ∵DQ=DQ，∠CQD=∠GQD=90°∴△DGQ≌△CDQ(SAS) ∴CD=GD（3）解:解:S△CDG= 12·CG·DQ= 12·CH·DGCH= CG·DQDG =CG2CD=45√5a·45√5a2a=85a在Rt△CHD，CD=2a，DH= √CD2−CH2=65a∵∠MDH+∠HDC=90°∠HCD+∠HDC=90°∴∠MDH=∠HCD∴△CHD ∽△DHM ∴DH:CH=DH:HM=6:8=3:4∴HM= 910a在Rt △CHG ，CG= 45√5a CH= 85a GH= √CG 2−CH 2=45a∵∠NGH+∠CGH=90° ∠HCG+∠CGH=90° ∴∠QGH=∠HCG∴△QGH ∽△GCH ∴ HN HG =HC CH∴HN= HG 2CH =45a·45a 85a =25a∴MN=HM-HN= 910 a- 25 a= 12 a∴ MN NH =12a 25a =542. （1）解：如图②中，由图①，∵点 D 为边 AB 中点，点 E 为边 BC 中点，∴ DE ∥AC ，∴ BD BA =BE BC ，∴ BD BE =BA BC ，∵ ∠DBE =∠ABC ，∴ ∠DBA =∠EBC ，∴ ΔDBA ∼ΔEBC（2）解： ∠AGC 的大小不发生变化， ∠AGC =30° .理由：如图③中，设 AB 交 CG 于点 O .∵ ΔDBA ∼ΔEBC ，∴ ∠DAB =∠ECB ，∵ ∠DAB +∠AOG +∠G =180° ， ∠ECB +∠COB +∠ABC =180°， ∠AOG =∠COB ，∴ ∠G =∠ABC =30° .（3）解：如图③﹣1中.设 AB 的中点为 K ，连接 DK ，以 AC 为边向右作等边 ΔACO ，连接 OG ， OB .以 O 为圆心， OA 为半径作 ⊙O ，∵ ∠AGC =30° ， ∠AOC =60° ，∴ ∠AGC =12∠AOC ，∴点 G 在 ⊙O 上运动，以 B 为圆心， BD 为半径作 ⊙B ，当直线与 ⊙B 相切时，BD ⊥AD ， ∴ ∠ADB =90° ，∵ BK =AK ，∴ DK =BK =AK ，∵ BD =BK ，∴ BD =DK =BK ，∴ ΔBDK 是等边三角形，∴ ∠DBK =60° ，∴ ∠DAB =30° ，∴ ∠DOG =2∠DAB =60° ，∴ BG ⏜ 的长 =60⋅π⋅4180=4π3 ，观察图象可知，点 G 的运动路程是 BG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的长的两倍 =8π33. （1）解：如图1中，连接 BP ．在RtΔACB中，∵AC=BC=4，∠C=90°，∴AB=4√2∵点B在线段PQ的垂直平分线上，∴BP=BQ，∵AQ=√2t，CP=t，∴BQ=4√2−√2t，PB2=42+t2，∴(4√2−√2t)2=16+t2，解得t=8−4√3或8+4√3（舍弃），∴t=(8−4√3)s时，点B在线段PQ的垂直平分线上．（2）解：①如图2中，当PQ=QA时，易知ΔAPQ是等腰直角三角形，∠AQP=90°．则有PA=√2AQ，∴4−t=√2·√2t，解得t=4．3②如图3中，当AP=PQ时，易知ΔAPQ是等腰直角三角形，∠APQ=90°．则有：AQ=√2AP，∴√2t=√2(4−t)，解得t=2，或2s时，ΔAPQ是以PQ为腰的等腰三角形．综上所述：t=43s（3）解：如图4中，连接QC，作QE⊥AC于E，作QF⊥BC于F．则QE=AE，QF=EC，可得QE+QF=AE+EC=AC=4．∵S=SΔQNC +SΔPCQ=12·CN·QF+12·PC·QE=12t(QE+QF)=2t(0<t<4)．4.（1）60（2）解：如图1中，∵OB=4，∠ABO=30°，∴OA= 12OB=2，AB= √3 OA=2 √3，∴S△AOC= 12•OA•AB= 12×2×2 √3 =2 √3，∵△BOC是等边三角形，∴∠OBC=60°，∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°，∴AC= √AB2+BC2 =2 √7，∴OP= 2S△AOBAC = 4√32√7= 2√217（3）解：①当0＜x≤83时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E．则NE=ON•sin60°= √32x，∴S△OMN= 12•OM•NE= 12×1.5x×√32x，∴y= 3√38x2．∴x= 83时，y有最大值，最大值= 8√33．②当83＜x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．作MH⊥OB于H．则BM=8﹣1.5x，MH=BM•sin60°= √32（8﹣1.5x），∴y= 12×ON×MH=﹣8√33x2+2 √3 x．当x= 83时，y取最大值，y＜8√33，③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，作OG⊥BC于G．MN=12﹣2.5x，OG=AB=2 √3，∴y= 12•MN•OG=12 √3﹣5√32x，当x=4时，y有最大值，最大值=2 √3，综上所述，y有最大值，最大值为8√335. （1）PM=3-t.（2）解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，如图1，∵DA=DB，AM=BM，∴DM⊥AB.∵CE⊥AB，∴∠CEB=∠DMB=90°.∴CE∥DM.∵DC∥ME，CE∥DM，∠DME=90°，∴四边形DCEM是矩形.∴CE=DM=3，ME=DC=3−√3 .∵AM=BM，AB=6，∴AM=BM=3.∴BE=BM﹣ME=3−(3−√3)=√3 .∵∠CEB=90°，CE=3，BE=√3，∴BC=√CE2+BE2=√32+(√3)2=2√3（3）解：①当3<t≤2√3时，点P在线段BM上，点Q在线段BC上，过点Q作QF⊥AB，垂足为F，如图2，∵QF⊥AB，CE⊥AB，∴∠QFB=∠CEB=90°.∴QF∥CE.∴△CBE∽△BFQ∴QFBQ =CEBC∵BQ=t，∴QF=√32t，∵PM=AP﹣AM=t﹣3，∴S=12PM•QF=12(t−3)·√32t=√34t2−3√34t②当2 √3＜t≤3+ √3时，点P在线段BM上，点Q在线段DC上，过点Q作QF⊥AB，垂足为F，如图3，此时QF=DM=3.∵PM=AP﹣AM=t﹣3，∴S=12PM•QF=12(t−3)×3= 32t−92.综上所述：当3＜t≤2 √3时，S= √34t2−3√34t；当2 √3＜t≤3+ √3时，S= 32t−926. （1）解：由翻折的性质得：AF＝AB，∠BAE＝∠EAF，∴点F运动的路径是以A为圆心，AB为半径，∠BAF为圆心角的弧长，如图1所示：当点E运动到点C时，tan∠BAE＝BCAB= √3∴∠BAE＝60°，∠BAF＝120°，∴点F的运动路径长为：120×3π180＝2π（2）解：FC 与AE 的位置关系为：FC ∥AE ；理由如下：连接BF 交AE 于点H ，如图2所示：由折叠性质得：BE ＝EF ，∵BE ＝CE ，∴BE ＝EF ＝EC ，∴∠FBE ＝∠BFE ，∠CFE ＝∠FCE ，∵∠FBE+∠BFE+∠CFE+∠FCE ＝180°，∴∠BFE+∠CFE ＝90°，即∠BFC ＝90°，由折叠的性质得：BF ⊥AE ，∴∠BHE ＝90°，∴FC ∥AE（3）解：过点F 作FM ⊥AD 于点M ，延长MF 交BC 于点N ，如图3所示：∵AB ＝3，BC ＝ √3 AB ，∴BC ＝3 √3 ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ＝3，DF ＝DC ＝3，∴AF ＝DF ，∵MF ⊥AD ，∴AM ＝ 12 AD ＝ 3√32在Rt △MAF 中，MF ＝ √AF 2−AM 2 ＝ (3√32)＝ 32 ， ∵∠BAD ＝∠B ＝90°，MF ⊥AD ，∴四边形ABNM 是矩形，∴BN＝AM＝3√32，MN＝AB＝3，∴FN＝MN﹣MF＝3﹣32＝32，设BE＝x，则EN＝3√32﹣x，由折叠的性质得：FE＝BE＝x，在Rt△EFN中，EF2﹣EN2＝FN2，即：x2﹣（3√32﹣x）2＝（32）2，解得：x＝√3，∴BE的长为√3 .7.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝10，AB＝CD，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵AD＝10，PA＝10，∠PAD＝2∠DAE，∴AP＝AD，∠PAE＝∠DAE，在△APE和△ADE中，{AP=AD∠PAE=∠DAEAE=AE，∴△APE≌△ADE（SAS），∴∠APE＝∠D＝90°；（2）解：由（1）得：△APE≌△ADE，∴PE＝DE＝5，设BP＝x，则PC＝10﹣x，∵∠B＝90°，∠APE＝90°，∴∠BAP+∠APB＝90°，∠APB+∠CPE＝90°，∴∠BAP＝∠CPE，∴△ABP∽△PCE，∴ABPC =BPCE=APPE，即AB10−x=xCE=105＝2，∴AB＝20﹣2x，CE＝12x，∵AB＝CD，∴20﹣2x＝5+ 12x，解得：x＝6，∴AB＝20﹣2x＝8（3）解：①∠M′FB为定值，理由如下：作MG⊥B于G，M'H⊥BC于H，如图2所示：则MG ∥CD ，∠H ＝∠MGQ ＝90°，∴∠QMG+∠MQG ＝90°，∵M 是DQ 的中点，∴QG ＝CG ，∴MG 是△CDQ 的中位线，∴MG ＝ 12 CD ＝ 12 AB ＝4，由旋转的性质，QM'＝QM ，∠M'QM ＝90°，∴∠HQM'+∠MQG ＝90°，∴∠HQM'＝∠QMG ，在△HQM'和△GMQ 中， {∠H =∠MGQQM ′=QM ∠HQM ′=∠QMG，∴△HQM'≌△GMQ （ASA ），∴HM'＝GQ ，QH ＝MG ＝4，设HM'＝x ，则CG ＝GQ ＝x ，∴FG ＝4﹣x ，∴QF ＝GQ ﹣FG ＝2x ﹣（4﹣x ）＝2x ﹣4，∴FH ＝QH+QF ＝2x ，∴tan ∠M ′FB ＝ HM ′FH ＝ 12 ， ∴∠M ′FB 为定值；②当AM'⊥FM'时，AM'的值最小，延长HM'交DA 延长线于N ，如图3所示：则NH ＝AB ＝8，NM'＝8﹣x ，AN ＝BH ＝HQ ﹣BQ ＝4﹣（10﹣2x ）＝2x ﹣6，同①得：△ANM'∽△M'HF ，∴ANM ′N ＝ HM ′FH ＝ 12 ，∴ 2x−68−x ＝ 12 ，解得：x ＝4， ∴AN ＝2，NM'＝4，在Rt △ANM'中，由勾股定理得：AM'＝ √42+22=2√5 . 8.（1）证明：如图1，∵F 、G 关于BD 对称，∴FG ⊥BD ，FQ ＝QG ， ∵PF ＝PE ，∴PQ 是△EFG 的中位线， ∴EG ∥PQ ；（2）解：解：∵PH ⊥BC ，DC ⊥BC ， ∴PH ∥DC ， ∴ BPPD =BH HC，当P 为BD 的中点时，即BP ＝PD ， ∴BH ＝CH ，此时E 与H 重合，如图2，∴PH =12 DC =12 AB =12× 6＝3， ∴EF ＝2PE ＝6，Rt △BCD 中，BC ＝8，CD ＝6， ∴BD ＝10，∴△BCD 的周长＝6+8+10＝24， ∵EG ∥BD ，∴∠G ＝∠PQF ＝90°＝∠C ，∵∠PFQ ＝∠CBD ， ∴△BCD ∽△FGE ， ∴ FEBD =△EFG 的周长△BCD 的周长，即 610=△EFG 的周长24，∴△EFG 的周长 =725（3）解：Rt △BPH 中，BP ＝t cos ∠PBH =BH BP=BCBD∴BH t=810，BH =45 t ∵E 是BC 的中点 ∴BE ＝CE =12 BC ＝4在点P 的运动过程中，△GEH 可以为等腰三角形，有以下三种情况： ①当EH ＝EG ＝4 −45 t 时，如图3，Rt △EMG 中，cos ∠MEG =EG EM =45 ，EM =54 EG =54 (4 −45 t)＝5﹣t ， ∴BM ＝BE ﹣EM ＝4﹣(5﹣t)＝t ﹣1，由(1)知：PQ =12 EG ＝2 −25 t ，∴BQ ＝BP ﹣PQ ＝t ﹣(2 −25 t) =75 t ﹣2， Rt △BQM 中，cos ∠QBM =BQ BM =45，即 75t−2t −1=45，t ＝2； ②当EG ＝GH 时，如图4，过G 作GK ⊥BC 于K ，∴EK ＝KG =4−45t 2= 2 −25 t ，cos ∠KEG =45=EK EG=EG ER，∴EG =54 EK ，ER =54 EG =54⋅54 EK =2516 EK =2516 (2 −25 t) =258−58t ， ∴BR ﹣4﹣ER ＝4 −258+58 t =58 t +78 ，∵PQ =12 EG =58 (2 −25 t) =54−14 t ， ∴BQ ＝BP ﹣PQ ＝t ﹣( 54−14 t) =54 t −54 ， Rt △BQR 中，cos ∠QBR =BQ BR =45，即 54t −5458t +78=45，t =135；③当EH ＝EG 时，如图5，延长FG 交BC 于K ，EH ＝EG ＝4 −45 t ， ∴PQ ＝2 −25 t ， ∴BQ ＝t+PQ ＝2 +35 t ，Rt △EGK 中，cos ∠GEK =45=EG EK ，EK =54(4−45t )= 5﹣t ， BK ＝4+5﹣t ＝9﹣t ，Rt △BQK 中，cos ∠QBK =45=BQ BK ，2+35t 9−t=45，t =267，综上，t 的值为2或 135 或 267 . 9. （1）272；如图（2）所示：过点F作MF⊥BE，边接BF，设ED的长为x，AD=BC=9+x；∵DF=2FC，AB=DC=9，∴FC=3，DF=6，又∵EF是∠BED的角平分线，DF⊥ED，MF⊥EB，∴DF=MF=6，ED=EM=x，在等腰直角三角形中，AB=AE=9，∴BE=9 √2，又BE=BM+ME，∴BM= 9√2−x，在Rt△BFM和Rt△BFC中，由勾股定理得：∴MF2+BM2=BF2， FC2+BC2=BF2，∴MF2+BM2=FC2+BC2，∴9√2−x)2+62 =（9+x）2+32，解得：x= 4√2−4，∴BC= 4√2−4+9=4√2+5（2）解：如图（3）所示：由题可知：设点D'坐标为（x，y），∵点B在原点，点P和点Q在射线BE和BC的速度为√2和2，∴三点的坐标分别为B（0，0），P（t，t），Q（2t，0），∴经过该三点二次函数解析式为：y=−1tx2+2x，∴线段PQ的中点H的坐标为(3t2,t2 )，若BC= 272时，则D点的坐标为(272,9)，∴x+2π22=3t2, y+92=t2解得：x=6t−272，y=t-9，∴D'的坐标为(6t−272,t−9)，将D'的坐标代入二次函数解析式中得：−1t (6t−272)2+2(6t−272) =t-9，整理得16t2-180t-729=0解得：t1=90+18 √61, t2=90−18√61（舍去）故存在t值为90+18 √6110.（1）解：∵∠C＝90°，∴AC＝√AB2−BC2＝√102−62＝8. ∴AQ＝AC－CQ＝8−43t .（2）解：①当PQ∥BC时，APAB ＝AQAC，∴5t10＝8−43t8，t＝1.5.②当PQ∥AB时，CPCA ＝CQCB，∴6−3(t−2)6＝43t8，t＝3.∴当t＝1.5或t＝3时，PQ与△ABC的一边平行（3）解：如图1，当0≤t≤1.5时，重叠部分是四边形PEQFS＝PE·EQ=3t·（8-4t-43t）=－16 t2＋24t；如图2，当1.5<t≤2时，重叠部分是四边形PNQES＝S四边形PEQF-S∆PFN=（16t2-24t）-12·45[5t−54(8−43t)]·35[5t−54(8−43t)]= 163t2＋8t−24；如图3，当2<t ≤3时，重叠部分是五边形MNPBQ.S ＝S 四边形PBQF-S ∆FNM=43t ·[6−3(t −2)]−12·[43t −4(t −2)]·34[43t −4(t −2)]= −203t 2＋32t −24 ；如图4，当3<t ≤4时，重叠部分是四边形PCQF ，S ＝PC ·CQ=[6−3(t −2)]·43t =－4 t 2 ＋16t.11.（1）解：如图（1）当点A ′落在边BC 上时，由题意得四边形AP A ′D 为平行四边形 ∵△APD ∽△ABC ，AP=5x ， ∴ A ′P=AD=4x ，PC=4－5x ． ∵A ′P//AB ∴△A ′PC ∽△ABC ． x ＝ 2041 ．当点A ′落在边BC 上时， x ＝ 2041（2）解：当A ′B ＝BC 时, (5−8x)2+(3x)2=32 , 解得： x =40±12√373． ∵ x ≤ 45 ， ∴ x =40−12√373 ．当A ′B ＝A ′C 时，x= 58 ．（3）解：当A ′B ′⊥AB 时,x= 514 ,A ′B ′= 514 ．当A ′B ′⊥BC 时x= 1546 ,A ′B ′= 2546 ．当A ′B ′⊥AC 时x= 2053 , A ′B ′= 2553 12.（1）解：如图1中，点F 在AC 上，点E 在BD 上时，①当 CF CE =CDAC 时，△CFE ∽△CDA ， ∴ 5t16−4t = 810 ， ∴t= 6441 ，②当 CFCE =ACCD 时，即 5t16−4t = 108 ， ∴t=2，当点F 在AB 上，点E 在CD 上时，不存在△EFC 和△ACD 相似，综上所述，t= 6441 s 或2s 时，△EFC 和△ACD 相似．（2）解：不存在．理由：如图2中，当点F 在AC 上，点E 在BD 上时，作FH ⊥BC 于H ，EF 交AD 于N ．∵CF=5t ．BE=4t ， ∴CH=CF •cosC=4t ， ∴BE=CH ，∵AB=AC ，AD ⊥BC ， ∴BD=DC ， ∴DE=DH ， ∵DN ∥FH ， ∴ EDDH =ENNF =1，∴EN=FN ， ∴S △END =S △FND ，∴△EFD 被 AD 分得的两部分面积相等，同法可证当点F 在AB 上，点E 在CD 上时，△EFD 被 AD 分得的两部分面积相等， ∴不存在某一时刻，使得△EFD 被 AD 分得的两部分面积之比为3：5．（3）解：①如图3中，当以EF 为直径的⊙O 经过点A 时，⊙O 与线段AC 有两个交点，连接AE ，则∠EAF=90°．由 AC EC =cosC= 45 ，可得 1016−4t = 45 ， ∴t= 78 ，∴0≤t ＜ 78 时，⊙O 与线段AC 只有一个交点．②如图4中，当⊙O 与AC 相切时，满足条件，此时t= 6441 ．③如图5中，当⊙O 与AB 相切时，cosB= BF BE ，即 45 =20−5t 4t，解得t= 10041 ．④如图6中，⊙O 经过点A 时，连接AE ，则∠EAF=90°．由cosB= AB AE = 45 ，即 104t = 45 ，t= 258 ， ∴ 258 ＜t ≤4时，⊙O 与线段AC 只有一个交点．综上所述，当⊙O 与线段AC 只有一个交点时，0≤t ＜ 78 或 6441 或 10041 或 258 ＜t ≤4 13. （1）解：∵AE 是AM 和AN 的比例中项 ∴ AMAE ＝AEAN ， ∵∠A ＝∠A ， ∴△AME ∽△AEN ， ∴∠AEM ＝∠ANE ， ∵∠D ＝90°，∴∠DCE ＋∠DEC ＝90°， ∵EM ⊥BC ，∴∠AEM ＋∠DEC ＝90°， ∴∠AEM ＝∠DCE ， ∴∠ANE ＝∠DCE（2）解：∵AC 与NE 互相垂直， ∴∠EAC ＋∠AEN ＝90°， ∵∠BAC ＝90°， ∴∠ANE ＋∠AEN ＝90°， ∴∠ANE ＝∠EAC ，由（1）得∠ANE ＝∠DCE ， ∴∠DCE ＝∠EAC ， ∴tan ∠DCE ＝tan ∠DAC ， ∴ DEDC ＝DCAD ， ∵DC ＝AB ＝6，AD ＝8， ∴DE ＝ 92 ， ∴AE ＝8﹣ 92 ＝ 72 ，由（1）得∠AEM＝∠DCE，∴tan∠AEM＝tan∠DCE，∴AMAE ＝DEDC，∴AM＝218，∵AMAE ＝AEAN，∴AN＝143，∴MN＝4924（3）解：∵∠NME＝∠MAE＋∠AEM，∠AEC＝∠D＋∠DCE，又∠MAE＝∠D＝90°，由（1）得∠AEM＝∠DCE，∴∠AEC＝∠NME，当△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似时①∠ENM＝∠EAC，如图2，∴∠ANE＝∠EAC，由（2）得：DE＝92；②∠ENM＝∠ECA，如图3，过点E作EH⊥AC，垂足为点H，由（1）得∠ANE＝∠DCE，∴∠ECA＝∠DCE，∴HE＝DE，又tan∠HAE＝EHAH ＝DCAD＝68，设DE＝3x，则HE＝3x，AH＝4x，AE＝5x，又AE＋DE＝AD，∴5x＋3x＝8，解得x＝1，∴DE＝3x＝3，综上所述，DE的长分别为92或314. （1）解：若四边形EBFB′为正方形，则BE＝BF，BE＝5﹣t，BF＝3t，即：5﹣t＝3t，解得t＝1.25；故答案为：1.25（2）解：分两种情况，讨论如下：①若△EBF∽△FCG，则有EBFC =BFCG，即5−t6−3t=3t1.5t，解得：t＝1.4；②若△EBF∽△GCF，则有EBCG =BFFC，即5−t1.5t=3t6−3t，解得：t＝﹣7﹣√69（不合题意，舍去）或t＝﹣7+ √69 .∴当t＝1.4s或t＝（﹣7+ √69）s时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似.（3）解：假设存在实数t，使得点B′与点O重合.如图，过点O作OM⊥BC于点M，则在Rt△OFM中，OF＝BF＝3t，FM＝12BC﹣BF＝3﹣3t，OM＝2.5，由勾股定理得：OM2+FM2＝OF2，即：2.52+（3﹣3t）2＝（3t）2解得：t＝6172；过点O作ON⊥AB于点N，则在Rt△OEN中，OE＝BE＝5﹣t，EN＝BE﹣BN＝5﹣t﹣2.5＝2.5﹣t，ON＝3，由勾股定理得：ON2+EN2＝OE2，即：32+（2.5﹣t）2＝（5﹣t）2解得：t＝3920.∵6172≠3920，∴不存在实数t，使得点B′与点O重合15.（1）证明：四边形ABCD是正方形，AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，△CEF是等腰直角三角形，∠C=90°，CE=CF。

最新九年级中考数学复习：猜想与证明压轴题

2023年九年级中考数学复习：猜想与证明压轴题1．在等边ABC 中，D 是边AC 上一动点，连接BD ，将BD 绕点D 顺时针旋转120︒，得到DE ，连接CE ．(1)如图1，连接AE ，当B 、A 、E 三点共线时，若4AB =，求AE 的长；(2)如图2，取CE 的中点F ，连接DF ，猜想AD 与DF 的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在（2）的条件下，连接BE AF 、交于G 点，若GF DF =，请直接写出CDBE的值．2．如图，在等边ABC 中，5AB =，点D 为边AB 上一点，点E 为边AC 上一点，连接DE ．(1)如图1，过点E 作EF BC ∥交AB 于点F ，延长ED 交CB 延长线于点G ，若1AE BG ==，求DB 的长；(2)如图2，将DE 绕点D 逆时针旋转60︒得到DH ，连接AH ，请猜想CE 、AH 、BD 的数量关系并证明；(3)如图3，点K 为边BC 上一点，连接DK 、EK ，在第（2）问的条件下，当DEK 周长最小时，请直接写出DEH △的面积．3．在正方形ABCD中，M是BC边上一点，且点M不与B、C重合，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90︒得到线段AQ，连接BP，DQ．(1)如图1，当点P在线段AM上时，依题意补全图1；(2)在图1的条件下，延长BP，QD交于点H，求证：90H∠=︒．(3)在图2中，当点P在线段AM的延长线上时，连接DP，若点P，Q，D恰好在同一条直线时，猜想DP，DQ，AB之间的数量关系，并证明．4．在ABC中，90=，点D为线段AC上一点，将线段BD绕点B ∠=︒，BA BCABC顺时针旋转90︒，得到线段BE，连接DE．(1)①请补全图形：CD AD ED之间的数量关系____________；①直接写出,,(2)取AD中点F，连接BF、CE，猜想CE与BF的位置关系与数量关系，并证明．5．ABC与△DCE均为等边三角形，D在边AC上，连接BE．(1)如图1，若4AB =，2CE =，求BE 的长；(2)如图2，若AB DC >，在平面内将图1中DCE △绕点C 顺时针旋转(0120)αα︒<<︒，连接BD 、AE ，交于点O ，连接OC ，在CDE △运动过程中，猜想线段AO ，OC ，BO 之间存在的数量关系，并证明你的猜想．6．（1）正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，如图1，请直接猜想并写出AO 与CD 之间的数量关系：；（2）如图2，将（1）中的BOC 绕点B 逆时针旋转得到11BO C △，连接11AO DC ，，请猜想线段1AO 与1DC 的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，矩形ABCD 和Rt BEF △有公共顶点，且9030BEF EBF ABD ∠=︒∠=∠=︒，，则AEDF= ．7．如图所示，在ABC 中，AB BC =，90ABC ∠=︒，点D 为直线BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），连接AD ，将线段AD 绕点D 按顺时针方向旋转90︒，使点A 旋转到点E ，连接EC ．操作感知：如果点D 在线段BC 上运动，过点E 作EF BC ⊥交直线BC 于F ，如图所示，从而求得DCE ∠=___________︒．猜想论证：如果点D 在线段CB 的延长线上运动，如图所示，以上结论是否依然成立，并说明理由．拓展应用：连接BE ，当点D 在直线BC 上运动时，若2AB =，则BE 的最小值为 ___________．8．如图1，在等腰三角形ABC 中，120A ∠=︒，AB AC =，AD AE =，连接BE ，点M 、N 、P 分别为DE 、BE 、BC 的中点．(1)观察猜想：图1中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，线段NM 、NP 的数量关系是______，MNP ∠的大小为______；(2)探究证明：把ADE 绕点A 顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP 、BD 、CE ，图1中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．9．综合与实践问题情境：如图①，点E 为正方形ABCD 内一点，①AEB ＝90°，将Rt ①ABE 绕点B 按顺时针方向旋转90°，得到①CBE '（点A 的对应点为点C ）．延长AE 交CE '于点F ，连接DE ．猜想证明：(1)试判断四边形BE FE '的形状，并说明理由；(2)如图①，若DA ＝DE ，请猜想线段CF 与FE '的数量关系并加以证明；解决问题：(3)如图①，若AB ＝5，CF ＝1，请直接写出DE 的长．10．如图1，四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形，点A 在DG 上，连接AE ，CG ．(1)求证：AE CG =；(2)猜想：AE 与CG 之间的位置关系，并证明你的猜想；(3)在其它条件不变的前提下，如果将正方形ABCD 绕着点D 按逆时针旋转任意角度（如图2）．那么（2）中结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (4)如图3，将正方形ABCD 绕着点D 旋转到某一位置时恰好使得AD EG ∥，AE GE =．当正方形DEFG ABCD 的边长．11．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中①C＝90°，①B ＝①E＝30°．(1)操作发现如图2，固定①ABC，使①DEC绕点C顺时针旋转．当点D恰好落在AB边上时．①线段DE与AC的位置关系是．（不需证明）①设①BDC的面积为S1，①AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是，证明你的结论；(2)猜想论证当①DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了①BDC和①AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想．12．如图，点A（a，0），B（0，b），且a、b满足（a﹣2）2+|4b﹣8|＝0．(1)如图1，求a，b的值；(2)如图2，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB①BD，且①COD＝45°，猜想线段AC、BD、CD之间的数量关系并证明你的结论；(3)如图3，若P为x轴正半轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，将线段PB绕点P 顺时针旋转90°至PE ，直线AE 交y 轴于点Q ，当P 点在x 轴上移动时，线段BE 和线段BQ 中哪一条线段长为定值，并求出该定值．13．【问题情境】如图1，点E 为正方形ABCD 内一点，①AEB ＝90°，将Rt ①ABE 绕点B 按顺时针方向旋转90°，得到CBE '△．延长AE 交CE '于点F ，连接DE ．(1)【猜想证明】试判断四边形BE FE '的形状，并说明理由；(2)如图2，若DA ＝DE ，猜想线段CF 与FE '的数量关系并加以证明； (3)【解决问题】如图1，若AB ＝13，CF ＝7，请直接写出DE 的长度．14．如图1，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．(1)观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是______，位置关系是______； (2)探究证明：把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN 的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若3AD =，5AB =，请直接写出PMN 面积的最大值______．15．如图1，已知正方形BEFG，点C在BE的延长线上，点A在GB的延长线上，且AB＝BC，过点C作AB的平行线，过点A作BC的平行线，两条平行线相交于点D．(1)证明：四边形ABCD是正方形；(2)当正方形BEFG绕点B顺时针（或逆时针）旋转一定角度，得到图2，使得点G在射线DB上，连接BD和DF，点Q是线段DF的中点，连接CQ和QE，猜想线段CQ和线段QE的关系，并说明理由；(3)将正方形BEFG绕点B旋转一周时，当①CGB等于45°时，直线AE交CG于点H，探究线段CH、EG、AH的长度关系．16．如图，在Rt△ABC中，①BAC=90°，AB=AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE．连接CE、DE，点F是DE的中点．(1)求证：BD=CE；(2)如图1所示，在点D运动的过程中，连接CF，CF的延长线与AB交于点P，连接DP ，试猜想DP 与CE 的位置关系和数量关系，并证明你猜想的结论．(3)如图2所示，在点D 运动的过程中，当BD =2CD 时，连接CF ，CF 的延长线与BA 的延长线交于点G ，求AGCE的值．17．如图1，已知△ABC 为等边三角形，点D ，E 分别在边AB 、AC 上， AD =AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．(1)观察猜想在图1中，线段PM 与PN 的数量关系是______，①MPN 的度数是______； (2)探究证明若△ABC 为直角三角形， ①BAC =90° ， AB =AC ，点DE 分别在边AB ，AC 上， AD =AE ，把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，如图2．连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．判断△PMN 的形状，并说明理由； (3)拓展延伸若△ABC 中①BAC =120°， AB =AC =13，点D ，E 分别在边AB ，AC 上， AD =AE =5 ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，如图3．①△PMN 的是______三角形．①若△PMN 面积为S ，直接利用①中的结论，求S 的取值取值范围．18．阅读材料：如图①，ABC 与DEF 都是等腰直角三角形，90ACB EDF ∠=∠=︒，且点D 在AB 边上，AB 、EF 的中点均为O ，连接BF 、CD 、CO ，显然，点C 、F 、O 在同一条直线上，可以证明BOF COD ≌，所以BF CD =．解决问题：△绕点O旋转到图①的位置，猜想此时线段BF与CD的数量关（1）将图①中的Rt DEF系，并证明你的结论．（2）如图①，若ABC与DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出BF与CD之间的数量关系．（3）如图①，若ABC与DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为O，且顶角∠=∠=，请直接写出BF与CD之间的数量关系（用含有α的式子表示出来）．ACB EDFα参考答案：1．(1)2AE =； (2)12DF AD =，(3)CD BE =2．(1)2(2)CE AH BD =+，3． (3)2222DP DQ AB +=，4．(1) 222AD CD DE +=(2)2CE BF =，CE BF ⊥，5．(1)BE =(2)BO AO CO =+，6．（1）AO =；（2）11AO ；（37．操作感知：135；猜想论证：结论不成立，；拓展应用：BE 8．(1)MN NP =，60︒(2)成立，9．(1)四边形B E 'FE 是正方形，(2)线段CF 与FE '的数量关系是CF =FE '，10． (2)AE ①CG ．(3)（2）中结论仍然成立．111．(1)①DE AC ∥，①12S S ＝12．(1)a =2,b =2(2)CD =BD +AC ．(3)BQ 是定值，4BQ =13．(1)正方形，(2)CF E F '=，14．(1)PM PN =，PM PN ⊥(2)等腰直角三角形，(3)815．(2)CQ ①QE ，CQ =QE ．(3)如图3-1中，当①CGB =45°时，结论：CH +EG =AH ．如图3-2中，当①CGB =45°时，结论：CH =EG +AH ．16． (2)PD =CE ，PD ①CE ，(3)AG CE =17．(1)PM =PN ，120°(2)①PMN 是等腰直角三角形，(3)①等边S18．（1）BF CD =；（2）不成立，BF CD =（3）tan 2BF CD α=。

期中各名校真题-压轴必刷题(50题)(原卷版)—2024-2025学年九年级数学上学期期中(人教版)

期中各名校真题-压轴必刷题（50题）范围：第一章～第四章一、单选题1．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①abc>0；②a+b+c=2；③a>1；④b<1．其中正确的结论是（）2A．①②B．②③C．②④D．③④2．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．给出如下四个结论：①∠OEF=45°；②正方形A1B1C1O绕点O旋转时，四边形OEBF的面积始终等于正方形ABCD的1；4③当正方形ABCD的边长为2时，△BEF周长的最小值为2+④AE2+CF2=2OB2．正确的结论序号有（）A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④3．如图，边长为8a的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（）a A．4a B．2a C．a D．134．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(―1,0)，顶点坐标(1,n)，与y轴的交点在；③对于任(0,2)，(0,3)之间（包含端点），则下列结论：①3a+b<0；②―1≤a≤―23意实数m，a(m2―1)+b(m―1)≤0总成立；④关于x的方程ax2+bx+c=n+1有两个相等的实数根．其中结论正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．已知一次函数y=kx+3(k≠0)，当k≤x≤m时，a≤y≤b，若a+b的最小值为2，则m的值为（）A．±2B．2C．±4D．46．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，O为BC的中点，将△ABC绕点O顺时针旋转得到△DEF，D、E分别在边AC和CA的延长线上，连接CF，若AD=3，则△OFC的面积是（）A B C D7．如图，在▱ABCD中，AB=4，∠B=60°，BC=3，E为AB上一点，且BE=1，F为BC边上的一个动点，连接EF，将其绕点E逆时针旋转30°至直线EG，使得∠EGF=120°，连接AG，则AG的最小值为（）A B．2C D8．已知二次函数y=ax2―2ax+4（其中x是自变量），当0<x<3时对应的函数值y均为正数，则a的取值范围为（）A．0<a<4B．a≤―4或a>43≤a<0或0<a<4 C．―4<a<0或0<a<4D．―439．已知抛物线y=ax2+bx与y=bx2+ax的交点为A，与x轴的交点分别为B，C，点A，B，C的横坐标分别为x1，x2，x3，且x1x2x3≠0．若a+b<0，a+2b>0，则下列说法正确的是（）A．x2<x3<x1B．x3<x2<x1C．x2<x1<x3D．x3<x1<x2 10．已知抛物线y=ax2―2x―3a的图象上有三点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(0,―3)，其中x1 <―1<x2<3，则下列说法错误的是（）A．抛物线的顶点坐标为(1,―4)B．y1>y2C．关于x的一元二次方程ax2―2x―3a―m=0（m>0）的两解为x3，x4，则x3<―1<3<x4D．方程|ax2―2x―3a|=―x+b有3个根，则b=―13411．如图，在正方形ABCD中，点A，C的坐标分别是(1,2)，(―1,―2)，点B在抛物线x2+bx+c的图象上，则b+c的值是（）y=―12A ．―32B ．32C ．―12D ．12二、填空题12．如图，O 是△ABC 内的点，AB =AC ，∠BAC =90°，∠BOC =130°，将△AOB 绕点A 按逆时针方向旋转90°，得到△ADC ，连接OD ．设∠AOB 为α，当△COD 为等腰三角形时，α为．13．图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC 呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽CD =12cm ，此时面汤最大深度EG =8cm ．（1）当面汤的深度ET 为4cm 时，汤面的直径PQ 长为；（2）如图3，把瓷碗绕点B 缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM =45°时停止，此时碗中液面宽度CH = ．14．在一副三角尺中∠BPA=45°，∠CPD=60°，∠B=∠C=90°，将它们按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器的0°刻度线重合，边AP与量角器的180°刻度线重合．将三角尺PCD绕点P以每秒3°速度逆时针旋转，同时三角尺ABP绕点P以每秒2°的速度顺时针旋转，当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动，则当运动时间t=秒时，CD与三角尺ABP的一边平行．15．如图，菱形ABCD中，AB=9，∠ABC=60°，点E在AB边上，且BE=2AE，动点P在BC 边上，连接PE，将线段PE绕点P顺时针旋转60°至线段PF，连接AF，则线段AF长的最小值为．16．如果m、n是两个不相等的实数，m2―m=3，n2―n=3，那么代数式2n2―mn+2m+2021．17．如图，点O是矩形ABCD点P，Q分别在边AD，BC上，且PQ经过点O，AB=6，AP=3，BC=8，点E是边AB上一动点．则△EPQ周长的最小值为．18．在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC．将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°<α<180°），直线CB与直线DE交于点F，点B，F间的距离记为BF，点E，F间的距离记为EF．给出下面四个结论：①BF的值一直变大；②EF的值先变小再变大；③当0°<α<90°时，BF―EF的值保持不变；④当90°<α<180°，BF―EF的值保持不变；上述结论中，所有正确结论的序号是．19．已知关于x，y的二元一次方程组4x+y=2kx―y=4―k，（k为实数）①当x与y互为相反数时，k=2；②6x―y的值与k无关；③若8x⋅4y=32，则解为k=3；④若a m=x，a n=y，且a2m―n=1(a≠0)，则x=2或x=4．以上说法正确的是（填写序号）．20．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0，c<0）经过(1,1)，(m,0)，(n,0)三点，且n≥3．下列四个结论：①b<0；②4ac―b2<4a；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=x一定有解；④当n=3时，若点(2,t)在该抛物线上，则t>1．其中正确的是（填写序号）．21．如图，AB为⊙O的直径，AD，BC分别与⊙O相切于点A，B，CD经过⊙O上一点E，AD=DE，若AB=12，BC=4，则AD的长为．三、解答题22．如图1，抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴，y轴分别交于A(―1,0)，B(4,0)，C三点．(1)试求抛物线的解析式；(2)若P点在第一象限的抛物线上，连接PC、PB，当△PCB的面积最大时，求点P的坐标．(3)点D(3,m)在第一象限的抛物线上，连接BC,BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．23．如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6cm，点D从点O出发，沿射线OM方向以1cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将线段CD绕点C逆时针方向旋转60°得到CE，连接DE、BE，设点D运动了t s，(1)点D的运动过程中，线段AD与BE的数量关系是______，请以图1情形为例（当点D在线段OA上时，点D与点A不重合），说明理由，(2)当6<t<10时，如图2，△BDE周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由．(3)当点D在射线OM上运动时，是否存在以D、B、E为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出此时t的值．24．在△ABC中AB=AC，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与∠BAC 相等的角度，得到线段AQ，连接BQ.【发现问题】（1）如图1，如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是______；【探究猜想】（2）如图2，如果点P为平面内任意一点，前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）；【拓展应用】（3）如图3，在△ABC中，AC=3，∠ACB=90°，∠ABC=30°，P是线段BC上的任意一点连接AP，将线段AP绕点A顺时针方向旋转60°，得到线段AQ，连接CQ，请直接写出线段CQ长度的最小值25．在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点P在等边△ABC内部，且PA=3，PC=4，∠APC150°，求PB的长．经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，寻找PA，PB，PC三边之间的数量关系，即可求得PB的长为______；【理解应用】如图②，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P为△ABC内一点，∠APC=135°，判断PA，PB，PC之间的数量关系，并说明理由；【类比迁移】如图③，小李家有一块三角形的空地ABC，其中AB=BC，∠ABC=90°，小李家位于空地旁的P点，通过测量PA=30m，PB=10m，∠APB=45°，请直接写出线段PC的长．26．如图，某养羊户想用29米长的围栏设计一个矩形的养牛圈，其中羊圈一边靠墙MN，另外三边用围栏围住，在BC边开个门（宽度为1米），MN的长度为15m．(1)为了让围成的羊圈（矩形ABCD）面积达到112m2，请你帮忙计算一下猪圈的长与宽分别是多少？(2)请你帮忙计算一下羊圈的长与宽分别是多少时，猪圈的面积达到最大？最大面积是多少？27．请阅读材料并填空：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=PC=1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2)，连接PP′．(1)根据李明同学的思路，进一步思考后可求得∠BPC=°，等边△ABC的边长为．(2)请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=BP=PC=1．求∠BPC度数和正方形ABCD的边长．(3)【实际应用】图4所示是一个三角形公园，其中顶点A，B，C为公园的出入口，∠A=75°，AB=，AC=4km，工人师傅准备在公园内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离最小，则PA+PB+PC的最小值是km．28．如图，矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，点P从点A出发沿AB向点B移动（不与点A、B重合），一直到达点B停止；同时，点Q从点C出发沿CD向点D移动（不与点C、D重合）．运动时间设为t秒．(1)若点P、Q均以3cm/s的速度移动，则：AP=cm；DQ=cm．△PDQ的面积为；（用含t的代数式表示）(2)若点P为3cm/s的速度移动，点Q以2cm/s的速度移动．①当t=2秒时，判断△PDQ的形状，并说明理由；②当t为何值时，△PDQ为直角三角形．29．分层探究(1)问题提出：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF．求证：EF=BE+DF，解题思路：把△ABE绕点A逆时针旋转______度至△ADG，可使AB与AD重合．由∠FDG=ADG+∠ADC=180°，则知F、D、G三点共线，从而可证△AFG≌______，从而得EF=BE+DF，阅读以上内容并填空．(2)类比引申：如图2，四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD 上，∠EAF=45°．探究：若∠B+∠D=180°，猜想EF、BE、DF的数量关系，并给出理由．(3)联想拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，点D、E均在边BC上，并且∠DAE=45°．猜想BD、CE、DE的数量关系，并给出理由．30．已知，如图抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与y轴交于点C(0,―4)，与x轴交于A(―4,0)、B(1,0)两点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．(3)点P是抛物线对称轴上一动点，点Q是直线AC上一动点，且以点A、B、Q、P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标．31．已知：如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E，F分别是AB、AD上的动点(不与菱形的顶点重合)，BE=AF．(1)求证∶△FCE是等边三角形；(2)探究四边形AECF与菱形ABCD的面积关系，并说明理由：(3)若菱形ABCD的边长为4cm，则△FEA面积的最大值是cm2(直接写出答案)．32．我们可以利用解二元一次方程组的代入消元法解形如x 2+y2=10①x+y=2②的二元二次方程组，实质是将二元二次方程组转化为一元一次方程或一元二次方程来求解．其解法如下：解：由②得：y=2―x③将③代入①得：x2+(2―x)2=10整理得：x2―2x―3=0，解得x1=―1，x2=3将x1=―1，x2=3代入③得y1=2+1=3，y2=2―3=―1∴原方程组的解为x=―1y=3或x=3y=―1．(1)请你用代入消元法解二元二次方程组：2x―y=―1y2―3x2+x―7=0；(2)若关于x，y的二元二次方程组2x―y=―1y2+ax2+x―7=0有实数解，求实数a的取值范围．33．如图1，已知Rt△ABC中，AB=BC，AC=2，把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），点C在DE上点B 在DF上．(1)求重叠部分△BCD的面积；(2)如图2，将直角三角板DEF绕D点按顺时针方向旋转30度，DE交BC于点M，DF交AB于点N，①请说明DM=DN；②在此条件下重叠部分的面积会发生变化吗？若发生变化，若不发生变化，请说明理由；(4)如图3，将直角三角板DEF绕D点按顺时针方向旋转α度（0<α<90），DE交BC于点M，DF交AB于点N，则DM=DN的结论仍成立吗？重叠部分的面积会变吗？（请直接写出结论不需说明理由）34．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=―1，且抛物线经过A (2,0)，C(0,4)两点，与x轴交于点B．(1)若直线y=mx+n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x=―1找一点M，使MA+MC的值最小，求点M的坐标；(3)设P为抛物线的对称轴x=―1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标，直接写出点P的坐标．35．如图1，在⊙O中，AB、CD是直径，弦BE⊥CD，垂足为F．(1)求证：CE=AD；(2)如图2，点G在CD上，且∠CAG=∠ABE．①求证：AG=BC；②若FG=2，BE=OG的长．36．【问题提出】（1）如图①，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C=130∘，则∠BOD的度数为；【问题探究】（2）如图②，在锐角△ABC中，AD是BC边上的高，DE是△ABD的中线，BC=6,AD=4∠C=2∠BAD，求AB的长；【问题解决】（3）如图③，现有一块四边形梯田ABCD,AB=250米，AD=CD=240米，BC=310米，∠ADC=∠C=90∘,E为CD上的一个取水点，且DE=70米，AE,BE为两条灌溉水渠，为方便观察梯田灌溉情况，工作人员计划在水渠BE上找一点G，沿DG修一条小路，并要求∠GDE=∠ABE．工作人员按照如下方法操作：①以点A，为圆心，适当长为半径画弧交BE于点M,N；MN的长为半径画弧，两弧交于点P；②分别以点M,N为圆心，大于12③连接AP交BE于点G．按照上述方法操作，找到的点G位置是否符合要求？若符合要求，请求出此时小路DG的长；若不符合要求，请说明理由．37．如图，是某景区步行街修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点M为顶点，其高为9米，宽OE为18米，以点O为原点，OE所在直线为x轴建立平面直角坐标系．矩形ABCD是安装的一个“光带”，且点A，D在抛物线上，点B，C在OE上．(1)求该抛物线的函数表达式．(2)求所需的三根“光带” AB，AD，DC的长度之和的最大值，并写出此时OB的长．38．（1）问题发现：如图1，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB 的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A逆时针旋转60°到△ACP′处，这样就可以将三条线段PA,PB,PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB的度数．请按此方法求∠APB 的度数，写出求解过程；（2）拓展研究：请利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题：①如图2，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点E，F为BC边上的点，且∠EAF=45°，判断BE,EF,CF之间的数量关系并证明；②如图3，在△ABC中，∠ABC=30°，AB=4，BC=6，在△ABC内部有一点P，连接PA,PB,PC，直接写出PA+PB+PC的最小值．39．如图1，在△ACB中，∠ACB=90°，CA=CB，点D，E分别在边CA，CB上，CD=CE，连接DE，AE，BD，过点C作CF⊥AE，垂足为H，CF与BD交于点F．(1)求证：DF=BF；(2)将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转，其他条件不变，如图2，（1）的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；(3)若CD=4，CB=6，将△CDE绕点C逆时针旋转一周，当A，E，D三点共线时，求CF 的长．40．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，将△ABC绕着C点顺时针旋转α角度（这里0°<α<180°）得到△DEC，连接AD、BE，延长BE交AD于F．(1)如图1，当E在AC上时，求证：∠ABF=∠DEF；(2)在旋转过程中，线段AF与AD有什么样的数量关系？利用图2证明你的结论；(3)如图3，当α=90°时，若AB=4，BC=3，求线段EF的长度．41．如图，AB为⊙O的直径，点C是直线AB上方的⊙O上一点，点M是△ABC的内心，连接AM，BM，CM．延长CM交⊙O于点D．(1)若AB=10，AC=6，求BC的长；(2)求∠AMB的度数；(3)当点C在直线AB上方的⊙O上运动时，求证：DM=．42．【问题提出】如图1，在矩形ABCD中，点E在BC上，且BE=4，动点F以每秒1个单位的速度从点B出发，在折线段BA―AD上运动，连接EF，当EF⊥BC时停止运动，过点E作EG⊥EF，交矩形ABCD 的边于点G，连接FG．设动点F的运动路程为x，线段FG与矩形ABCD的边围成的三角形的面积为S．【初步感知】如图2，动点F由点B向点A运动的过程中，经探究发现S是关于x的二次函数，如图2所示，抛物线顶点P的坐标为(3,t)，与y轴的交点N的坐标为(0,16)，与x轴的交点为点M．（1）求矩形ABCD的边AB和AD的长；【深入探究】（2）点F由点A向终点运动的过程中，求S关于x的函数表达式；【拓展延伸】（3）是否存在3个路程x1，x2，x3(x1<x2<x3)，当x3―x2=x2―x1时，3个路程对应的面积S均相等．43．在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．(1)如图1，若∠ADC=90°，G是EF的中点，连接AG、CG．①求证：BE=BF．②请判断△AGC的形状，并说明理由；(提示：连接BG)(2)如图2，若∠ADC=60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG，那么△AGC 又是怎样的形状．（直接写出结论）44．如图，已知抛物线y=―x2+2x+c(a≠0)上x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．A―1，0．(1)直接写出B、C两点的坐标；(2)在抛物线上是否存在点D（异于点B，且在直线AC的右侧），使B、D两点到直线AC的距离相等，求出满足条件的点D坐标；(3)抛物线上是否存在点P，使得∠CBP+∠ACO=∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．45．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E为BC的中点，连接DE．(1)求证：DE为⊙O的切线；(2)若BC=2，∠BAC=30°，求阴影部分的面积．46．已知：在钝角△ABC中，∠ABC=45°，把线段AC绕点A沿逆时针方向旋转α得到线段AD，把线段AB绕点A沿顺时针方向旋转α得到线段AE，分别连接CD，BE，BD，CE．(1)如图①，当0°<α<90°时，线段BD与CE的数量关系是（直接写出结论，不说理由）；(2)如图②，当α=90°时，①探究线段BD与CE的数量关系，并说明理由；②若AB=10，BC=4，求BD的长；(3)如图③，在四边形ACBD中，AB=10，BC=4，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，请求出线段BD的长．47．定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P(x,y)的纵坐标y与其横坐标x的差y―x称为点P 的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．(1)①点A(4,7)的“坐标差”为；②抛物线y=―x2+3x+6的“特征值”为；(2)某二次函数y=―x2+bx+c(c≠0)的“特征值”为―1，且b+c=1，求此二次函数的解析式；(3)二次函数y=―x2+px+q的图像的顶点在“坐标差”为2的一次函数的图像上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为(7,3)，点O为坐标原点，点D在x轴上，点F在y轴上，当二次函数y=―x2+px+q的图像与矩形的边只有三个交点时，求此二次函数的解析式及特征值．48．如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°．(1)【猜想】如图1，点E在BC上，点D在AC上，线段BE与AD的数量关系是____________，位置关系是____________；(2)【探究】把△DCE绕点C旋转到如图2的位置，连接AD，BE，（1）中的结论还成立吗？说明理由；(3)【拓展】把△DCE绕点C在平面内自由旋转，若AC=5，CE=A，E，D三点在同一直线上时，则AE的长是____________．49．【问题背景】数学兴趣小组利用两块大小不同的正方形卡片进行“正方形旋转”的探究活动．如图1，他们将边长为4的正方形ABCD与边长为2的正方形BEFG的一个顶点重合于点B，使边BE，BG分别落在边BC，BA上．容易发现AG=CE且AG⊥CE．【问题探究】将图1中正方形ABCD固定，将正方形BEFG绕点B顺时针方向旋转α（0°<α< 360°）．（1）如图2，连接AG，CE，试探究AG与CE的上述关系是否仍然成立？若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由．（2）小组研究发现：如图3，连接AE，在旋转过程中，存在△ABE与△CBE全等的情形，请直接写出此时旋转角α的度数．【问题拓展】将图1中正方形ABCD固定，将正方形BEFG绕点B顺时针方向旋转a（0°<α< 360°）．（3）在旋转过程中，当A，G，E三点在同一条直线上时，求线段CE的长；（4）如图4，连接DG，取DG中点H，连接FH，请直接写出线段FH长度的最大值．50．如图所示，图象G由图象G1和G2组成，其中图象G1是函数y1=x2―2x(x≤2)的图象，x2+2(x>0)的图象．图象G2是函数y2=―12(1)若点(3,p)在图象G上，求p的值；(2)已知直线l与x轴平行，且与图象G有三个不同的交点，从左至右依次为点A、B、C，若AB=1，求点C的坐标；x2 (3)当图象G上的点(x,y)满足―1≤y≤3时，记此时x的取值范围为M．设y3=―12+mx―1，若在M中总存在x0，使得y3>2，求此时实数m的取值范围．。

中考数学几何压轴题及答案及答案

中考数学几何压轴题及答案一、解答题（共30小题）1.观察猜想（1）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，点D与点A重合，点E在边BC上，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接BF，BE与BF的位置关系是，BE+BF＝；探究证明（2）在（1）中，如果将点D沿AB方向移动，使AD＝1，其余条件不变，如图②，判断BE与BF的位置关系，并求BE+BF的值，请写出你的理由或计算过程；拓展延伸（3）如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D在边BA的延长线上，BD＝n，连接DE，将线段DE绕着点D顺时针旋转，旋转角∠EDF＝α，连接BF，则BE+BF的值是多少？请用含有n，α的式子直接写出结论2.在△ABC的边BC上取B′、C′两点，使∠AB′B＝∠AC′C＝∠BAC（1）如图1中∠BAC为直角，∠BAC＝∠AB′B＝∠AC′C＝90°（点B′与点C′重合），则△ABC∽△B'BA∽△C'AC，，，进而可得AB2+AC2＝；（2）如图2中当∠BAC为锐角，图3中∠BAC为钝角时（1）中的结论还成立吗？若不成立，则AB2+AC2等于什么（用含用BC和B′C′的式子表示）？并说明理由（3）若在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝9，请你先判断出△ABC的类型，再求出B′C′的长3．（1）问题发现如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，点D是线段AB上一动点，连接BE填空：①的值为；②∠DBE的度数为．（2）类比探究如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，点D是线段AB上一动点，连接BE．请判断的值及∠DBE的度数，并说明理由；（3）拓展延伸如图3，在（2）的条件下，将点D改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE 的中点M，连接BM、CM，若AC＝2，则当△CBM是直角三角形时，线段BE的长是多少？请直接写出答案．4.（1）问题发现：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，以点D为顶点作正方形DFGE，使点A、C分别在DE和DF上，连接BE、AF．则线段BE 和AF数量关系．（2）类比探究：如图②，保持△ABC固定不动，将正方形DFGE绕点D旋转α（0°＜α≤360°），则（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）解决问题：若BC＝DF＝2，在（2）的旋转过程中，连接AE，请直接写出AE的最大值．5.如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，以点O为顶点的∠EOF的两边分别与边AB、AD交于点E、F，且∠EOF与∠BAD互补．（1）若四边形ABCD是正方形，则线段OE与OF有何数量关系？请直接写出结论；（2）若四边形ABCD是菱形，那么（1）中的结论是否成立？若成立，请画出图形并给出证明；若不成立，请说明理由；（3）若AB：AD＝m：n，探索线段OE与OF的数量关系，并证明你的结论.6.如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F.（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：的值为：（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6，GH＝2，则BC＝．7.如图1，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE.定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．探索发现：图1中，的值为；的值为．（2）拓展探完若将△CDE绕点C逆时针方向旋转一周，在旋转过程中的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△CDE旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BE的长．8.已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE，设OD＝m．（1）问题发现如图1，△CDE的形状是三角形．（2）探究证明如图2，当6＜m＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）解决问题是否存在m的值，使△DEB是直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．9.等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝4，AE＝2，其中△ABC固定，△ADE绕点A作360°旋转，点F、M、N分别为线段BE、BC、CD 的中点，连接MN、NF．问题提出：（1）如图1，当AD在线段AC上时，则∠MNF的度数为，线段MN 和线段NF的数量关系为；深入讨论：（2）如图2，当AD不在线段AC上时，请求出∠MNF的度数及线段MN和线段NF的数量关系；拓展延伸：（3）如图3，△ADE持续旋转过程中，若CE与BD交点为P，则△BCP面积的最小值为．10．四边形是我们在学习和生活中常见的图形，而对角线互相垂直的四边形也比较常见，比如筝形、菱形、图1中的四边形ABCD等．它们给我们的学习和生活带来了很多的乐趣和美感．（1）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，则AC与BD的位置关系是，请说明理由．（2）试探究图1中四边形ABCD的两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，请写出证明过程．（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．11．问题发现：如图（1）在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠A＝∠DEB＝30°，BC＝BE＝6，Rt△BDE绕点B逆时针旋转，H为CD的中点，当点C与点E重合时，BH与AE的位置关系为，BH与AE的数量关系为；问题证明：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图（2）的情形给出证明若不成立，请说明理由；拓展应用：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，当DE∥BC时，请直接写出BH2的长．12．如图1，菱形ABCD与菱形GECF的顶点C重合，点G在对角线AC上，且∠BCD＝∠ECF＝60°，（1）问题发现的值为；（2）探究与证明将菱形GECF绕点C按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：菱形GECF在旋转过程中，当点A，G，F三点在一条直线上时，如图3所示连接CG并延长，交AD于点H，若CE＝2，GH＝，则AH的长为．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，＝，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．14．如图，已知点E是射线BC上的一点，以BC、CE为边作正方形ABCD和正方形CEFG，连接AF，取AF的中点M，连接DM、MG（1）如图1，判断线段DM和GM的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，在图中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转的过程中，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？说明理由；（3）已知BC＝10，CE＝2，正方形CEFG绕点C旋转的过程中，当A、F、E共线时，直接写出△DMG的面积．15.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C（点A，B的对应点分别为A'，B′），射线CA′，CB′分别交直线m于点P，Q．（1）如图1，当P与A′重合时，求∠ACA′的度数；（2）如图2，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ的长；（3）在旋转过程中，当点P，Q分别在CA′，CB′的延长线上时，试探究四边形P A'B′Q的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形P A′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由．16.如图（1），在等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接BE，CD，点M，N，P分别是BE，CD，BC的中点，连接DE，PM，PN，MN．（1）观察猜想，图（1）中△PMN是（填特殊三角形的名称）（2）探究证明，如图（2），△ADE绕点A按逆时针方向旋转，则△PMN的形状是否发生改变？并就图（2）说明理由．（3）拓展延伸，若△ADE绕点A在平面内自由旋转，AD＝2，AB＝6，请直接写出△PMN 的周长的最大值．17.已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β，（1）如图1，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，则α＝°；β＝°.（2）如图2，若点D在线段BC上，点E在线段AC上，则α，β之间有什么关系式？说明理由．（3）是否存在不同于（2）中的α，β之间的关系式？若存在，请写出这个关系式（写出一种即可），说明理由；若不存在，请说明理由.18.问题提出：（1）如图1，在四边形ABCD中，连接AC、BD，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE，点B的对应点落在点D，点C的对应点为点E，可知点C、D、E在一条直线上，则△ACE为三角形，BC、CD、AC的数量关系为；探究发现：（2）如图2，在⊙O中，AB为直径，点C为的中点，点D为圆上一个点，连接AD、CD、AC、BC、BD，且AD＜BD，请求出CD、AD、BD间的数量关系.拓展延伸：（3）如图3，在等腰直角三角形ABC中，点P为AB的中点，若AC＝13，平面内存在一点E，且AE＝10，CE＝13，当点Q为AE中点时，PQ＝.19.已知△ABC中，CA＝CB，0°＜∠ACB≤90°，点M、N分别在边CA，CB上（不与端点重合），BN＝AM，射线AG∥BC交BM延长线于点D，点E在直线AN上，EA＝ED．（1）【观察猜想】如图1，点E在射线NA上，当∠ACB＝45°时，①线段BM与AN的数量关系是；②∠BDE的度数是；（2）【探究证明】如图2点E在射线AN上，当∠ACB＝30°时，判断并证明线段BM与AN的数量关系，求∠BDE的度数；（3）【拓展延伸】如图3，点E在直线AN上，当∠ACB＝60°时，AB＝3，点N是BC 边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F，请直接写出线段CF的长．20.如图①，在正方形ABCD和正方形AB'C'D'中，AB＝2，AB'＝，连接CC’（1）问题发现：．（2）拓展探究：将正方形AB'C'D'绕点A逆时针旋转，记旋转角为θ，连接BB'，试判断：当0°≤θ＜360°时，的值有无变化？请仅就图②中的情形给出你的证明；（3）问题解决：请直接写出在旋转过程中，当C，C′，D'三点共线时BB′的长．21.如图1，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点．（1）观察猜想将图1中的△BCD绕点O逆时针旋转至图2中△ECF的位置，连接AC，DE，则线段AC与DE的数量关系是，直线AC与DE的位置关系是．（2）类比探究将图2中的△ECF绕点O逆时针旋转至图3的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由．（3）拓展延伸将图2中的△ECF在平面内旋转，设直线AC与DE的交点为M，若AB＝4，请直接写出BM的最大值与最小值．22.如图1，点B在直线l上，过点B构建等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，且AB＝AC，过点C作CD⊥直线l于点D，连接AD．（1）小亮在研究这个图形时发现，∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D应该在以BC为直径的圆上，则∠ADB的度数为°，将射线AD顺时针旋转90°交直线l于点E，可求出线段AD，BD，CD的数量关系为；（2）小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD，BD，CD的数量关系是否变化，请说明理由；（3）在旋转过程中，若CD长为1，当△ABD面积取得最大值时，请直接写AD的长．23．如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）观察猜想：线段EF与线段EG的数量关系是；（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB＝a、BC＝b，求的值．24．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝1，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α＝0°时，＝；②当α＝180°时，＝．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．（3）问题解决当△EDC旋转至A、B、E三点共线时，直接写出线段BD的长．25.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD上一动点，设DE＝nEA，连接CE并延长，交AB于点F．（1）尝试探究如图（1），当∠BAC＝90°，∠B＝30°，DE＝EA时，BF，BA之间的数量关系是；（2）类比延伸如图（2），当△ABC为锐角三角形，DE＝EA时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展迁移如图（3），当△ABC为锐角三角形，DE＝nEA时，请直接写出BF，BA之间的数量关系．26.古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE ⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）小明在研究的过程中发现是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．27．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O 于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．①求∠AED的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．28.【性质探究】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．（1）判断△AFG的形状并说明理由．（2）求证：BF＝2OG．【迁移应用】（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当＝时，求的值．【拓展延伸】（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值．29．如图，已知AC为正方形ABCD的对角线，点P是平面内不与点A，B重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连接AE，BP，CE．（1）求证：△APE∽△ABC；（2）当线段BP与CE相交时，设交点为M，求的值以及∠BMC的度数；（3）若正方形ABCD的边长为3，AP＝1，当点P，C，E在同一直线上时，求线段BP 的长．30．如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tan C＝．点K在AC边上，点M，N 分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；（2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；（3）设点P移动的路程为x，当0≤x≤3及3＜x≤9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK＝，请直接写出点K被扫描到的总时长．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．【解答】解：（1）如图①中，∵∠EAF＝∠BAC＝90°，∴∠BAF＝∠CAE，∵AF＝AE，AB＝AC，∴△BAF≌△CAE，∴∠ABF＝∠C，BF＝CE，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°，∴∠FBE＝∠ABF+∠ABC＝90°，BC＝BE+EC＝BE+BF，故答案为：BF⊥BE，BC．（2）如图②中，作DH∥AC交BC于H．∵DH∥AC，∴∠BDH＝∠A＝90°，△DBH是等腰直角三角形，由（1）可知，BF⊥BE，BF+BE＝BH，∵AB＝AC＝3，AD＝1，∴BD＝DH＝2，∴BH＝2，∴BF+BE＝BH＝2；（3）如图③中，作DH∥AC交BC的延长线于H，作DM⊥BC于M．∵AC∥DH，∴∠ACB＝∠H，∠BDH＝∠BAC＝α，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB∴∠DBH＝∠H，∴DB＝DH，∵∠EDF＝∠BDH＝α，∴∠BDF＝∠HDE，∵DF＝DE，DB＝DH，∴△BDF≌△HDE，∴BF＝EH，∴BF+BE＝EH+BE＝BH，∵DB＝DH，DM⊥BH，∴BM＝MH，∠BDM＝∠HDM，∴BM＝MH＝BD•sin．∴BF+BE＝BH＝2n•sin．2．【解答】解：（1）如图1中，∵△ABC∽△B'BA∽△C'AC，∴＝，＝，∴AB2＝BB′×BC，AC2＝CC′×BC，∴AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC×BC＝BC2，故答案为BC2．（2）不成立．理由：如图2中当∠BAC为锐角时，BB′+CC′﹣B′C′＝BC，且△ABC∽△B'BA∽△C'AC，∴∴＝，＝，∴AB2＝BB′×BC，AC2＝CC′×BC，∴AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC2+BC•B′C′．图3中∠BAC为钝角时，BB′+CC′+B′C′＝BC．AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC2﹣BC•B′C′．（3）当AB＝5，AC＝6，BC＝9时，则AB2+AC2＜BC2，可知△ABC为钝角三角形，由图3可知：AB2+AC2＝BC2﹣BC•B′C′，∴52+62＝92﹣9B′C′，∴B′C′＝．3．【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，∴∠ABC＝∠CAB＝45°＝∠CDE＝∠CED，∴AC＝BC，CD＝CE，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD，∠CAB＝∠CBE＝45°，∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°，＝1，故答案为：1，90°（2），∠DBE＝90°理由如下：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∠CED＝∠ABC＝30°∴tan∠ABC＝tan30°＝＝∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，∴Rt△ACB∽Rt△DCE∴∴，且∠ACD＝∠BCE∴△ACD∽△BCE∴＝，∠CBE＝∠CAD＝60°∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°（3）若点D在线段AB上，如图，由（2）知：＝，∠ABE＝90°∴BE＝AD∵AC＝2，∠ACB＝90°，∠CAB＝90°∴AB＝4，BC＝2∵∠ECD＝∠ABE＝90°，且点M是DE中点，∴CM＝BM＝DE，∵△CBM是直角三角形∴CM2+BM2＝BC2＝（2）2，∴BM＝CM＝∴DE＝2∵DB2+BE2＝DE2，∴（4﹣AD）2+（AD）2＝24∴AD＝+1∴BE＝AD＝3+若点D在线段BA延长线上，如图同理可得：DE＝2，BE＝AD∵BD2+BE2＝DE2，∴（4+AD）2+（AD）2＝24，∴AD＝﹣1∴BE＝AD＝3﹣综上所述：BE的长为3+或3﹣4．【解答】解：（1）∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，∴AD＝BD＝DC，∠BDA＝90°，∵四边形DFGE是正方形，∴DE＝DF，∠EDF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF故答案为：BE＝AF；（2）成立；理由如下：当正方形DFGE在BC的上方时，如图②所示，连接AD，∵在Rt△ABC中，AB＝AC，D为斜边BC的中点，∴AD＝BD，AD⊥BC，∴∠ADE+∠EDB＝90°，∵四边形DFGE为正方形，∴DE＝DF，且∠EDF＝90°，∴∠ADE+∠ADF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF；当正方形DFGE在BC的下方时，连接AD，如图③所示：∵∠BDE＝∠BDF+90°，∠ADF＝∠BDF+90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF；综上所述，（1）中的结论BE＝AF成立；（3）在△ADE中，∵AE＜AD+DE，∴当点A、D、E共线时，AE取得最大值，最大值为AD+DE．如图④所示：则AD＝BC＝1，DE＝DF＝2，∴AE＝AD+DE＝3，即AE的最大值为3．5．【解答】解：（1）如图1，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，∴∠OME＝∠ONF＝90°，∴∠BAD+∠MON＝180°，∵∠BAD+∠EOF＝180°，∴∠MON＝∠EOF，∴∠EOM＝∠FON，∵O是正方形ABCD的对角线的交点，∴∠BAO＝∠DAO，∵OM⊥AB，ON⊥AD，∴OM＝ON，∴△OME≌△ONF（AAS）∴OE＝OF；（2）（1）的结论成立；理由：如图2，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，∴∠OME＝∠ONF＝90°，∴∠BAD+∠MON＝180°，∵∠BAD+∠EOF＝180°，∴∠MON＝∠EOF，∴∠EOM＝∠FON，∵O是菱形ABCD的对角线的交点，∴∠BAO＝∠DAO，∵OM⊥AB，ON⊥AD，∴OM＝ON，∴△OME≌△ONF（AAS）∴OE＝OF；（3）如图3，过点O作OG⊥AB于G，OH⊥AD于H，∴∠OGE＝∠OHF＝90°，∴∠BAD+∠GOH＝180°，∵∠BAD+∠EOF＝180°，∴∠GOH＝∠EOF，∴△EOG∽△FOH，∴，∵O是▱ABCD的对角线的交点，∴S△AOB＝S△AOD，∵S△AOB＝AB•OG，S△AOD＝AD•OH，∴AB•OG＝AD•OH，∴＝，∴．6．【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，∵GE⊥BC、GF⊥CD，∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，∴EG＝EC，∴四边形CEGF是正方形；②由①知四边形CEGF是正方形，∴∠CEG＝∠B＝90°，∠ECG＝45°，∴＝，GE∥AB，∴＝＝，故答案为：；（2）连接CG，由旋转性质知∠BCE＝∠ACG＝α，在Rt△CEG和Rt△CBA中，＝cos45°＝、＝cos45°＝，∴＝＝，∴△ACG∽△BCE，∴＝＝，∴线段AG与BE之间的数量关系为AG＝BE；（3）∵∠CEF＝45°，点B、E、F三点共线，∴∠BEC＝135°，∵△ACG∽△BCE，∴∠AGC＝∠BEC＝135°，∴∠AGH＝∠CAH＝45°，∵∠CHA＝∠AHG，∴△AHG∽△CHA，∴＝＝，设BC＝CD＝AD＝a，则AC＝a，则由＝得＝，∴AH＝a，则DH＝AD﹣AH＝a，CH＝＝a，∴＝得＝，解得：a＝3，即BC＝3，故答案为：3．7．【解答】解：（1）如图1，连接AE，∵AB＝AC＝2，点E分别是BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠BEC＝90°，∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，在Rt△ABE中，AE＝AB＝1，根据勾股定理得，BE＝∵点E是BC的中点，∴BC＝2BE＝2，∴＝＝，∵点D是AC的中点，∴AD＝CD＝AC＝1，∴＝＝，故答案为：，；（2）无变化，理由：由（1）知，CD＝1，CE＝BE＝，∴＝，，∴＝，由（1）知，∠ACB＝∠DCE＝30°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴，（3）当点D在线段AE上时，如图2，过点C作CF⊥AE于F，∠CDF＝180°﹣∠CDE＝60°，∴∠DCF＝30°，∴DF＝CD＝，∴CF＝DF＝，在Rt△AFC中，AC＝2，根据勾股定理得，AF＝＝，∴AD＝AF+DF＝，由（2）知，，∴BE＝AD＝当点D在线段AE的延长线上时，如图3，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于G，∵∠CDG＝60°，∴∠DCG＝30°，∴DG＝CD＝，∴CG＝DG＝，在Rt△ACG中，根据勾股定理得，AG＝，∴AD＝AG﹣DG＝，由（2）知，，∴BE＝AD＝即：线段BE的长为或．8．【解答】解：（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE＝60°，DC＝EC，∴△CDE是等边三角形；故答案为：等边；（2）存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE＝AD，∴C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE＝CD，∴C△DBE＝CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD＝2，∴△BDE的最小周长＝CD+4＝2+4；（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意，②当0≤m＜6时，由旋转可知，∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，∴∠BED＝90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB＝60°，∴∠CEB＝30°，∵∠CEB＝∠CDA，∴∠CDA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠ACD＝∠ADC＝30°，∴DA＝CA＝4，∴OD＝OA﹣DA＝6﹣4＝2，∴m＝2；③当6＜m＜10时，由∠DBE＝120°＞90°，∴此时不存在；④当m＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE＝60°，又由（1）知∠CDE＝60°，∴∠BDE＝∠CDE+∠BDC＝60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE＝90°，从而∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝4，∴OD＝14，∴m＝14，综上所述：当m＝2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．9．【解答】解：（1）如图1中，连接DB，MF，CE，延长BD交EC于H．∵AC＝AB，AE＝AD，∠BAD＝∠CAE＝90°，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝EC，∠ACE＝∠ABD，∵∠ABD+∠ADB＝90°，∠ADB＝∠CDH，∴∠ADH+∠DCH＝90°，∴∠CHD＝90°，∴EC⊥BH，∵BM＝MC，BF＝FE，∴MF∥EC，MF＝EC，∵CM＝MB，CN＝ND，∴MN∥BD，MN＝BD，∴MN＝MF，MN⊥MF，∴∠NMF＝90°，∴∠MNF＝45°，NF＝MN．故答案为：45°（2）：如图2中，连接MF，EC，BD．设EC交AB于O，BD交EC于H．∵AC＝AB，AE＝AD，∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝EC，∠ACE＝∠ABD，∵∠AOC+∠ACO＝90°，∠AOC＝∠BOH，∴∠OBH+∠BOH＝90°，∴∠BHO＝90°，∴EC⊥BD，∵BM＝MC，BF＝FE，∴MF∥EC，MF＝EC，∵CM＝MB，CN＝ND，∴MN∥BD，MN＝BD，∴MN＝MF，MN⊥MF，∴∠NMF＝90°，∴∠MNF＝45°，NF＝MN．（3）：如图3中，如图以A为圆心AD为半径作⊙A．当直线PB与⊙A相切时，此时∠CBP的值最小，点P到BC的距离最小，即△BCP的面积最小，∵AD＝AE，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠ABD，BD＝EC，∵∠ABD+∠AOB＝90°，∠AOB＝∠CPO，∴∠CPB＝90°，∵PB是⊙A的切线，∴∠ADP＝90°，∵∠DPE＝∠ADP＝∠DAE＝90°，∴四边形ADPE是矩形，∵AE＝AD，∴四边形ADPE是正方形，∴AD＝AE＝PD＝PE＝2，BD＝EC＝＝2，∴PC＝2﹣2，PB＝2+2，∴S△BCP的最小值＝×PC×PB＝（2﹣2）（2+2）＝4．10．【解答】（1）解：AC⊥BD，理由如下：连接AC、BD，如图2所示：∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，故答案为：AC⊥BD；（2）解：AD2+BC2＝AB2+CD2；理由如下：如图1，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，设BD、AC相交于E，∵AC⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）解：如图3，连接CG、BE，∵四边形ACFG和四边形ABDE是正方形，∴AC＝AG，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，根据勾股定理得，BC2＝52﹣42＝9，∵CG和BE分别是正方形ACFG和正方形ABDG的对角线，∴CG2＝42+42＝32，BE2＝52+52＝50，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝32+50﹣9＝73，∴GE＝．11．【解答】解：问题发现：如图1中，结论：AE＝2BH，AE⊥BH．理由：在Rt△ABC中，∵BC＝6，∠A＝30°，∴AE＝2BC＝12，在Rt△CDB中，∵∠DCB＝30°，∴CD＝＝4，∵CH＝DH，∴BH＝CD＝2，∴＝＝2，∴AE＝2BH．故答案为AE⊥BH，AE＝2BH．问题证明：如图2中，（1）中结论成立．理由：延长BH到F使得HF＝BH，连接CF．设AE交BF于O．∵CH＝DH，BH＝HF，∠CHF＝∠BHD，∴△CHF≌△DHB（SAS），∴BD＝CF，∠F＝∠DBH，∴CF∥BD，∵AB＝BC，BE＝BD，∴BE＝CF，∴＝＝，∵CF∥BD，∴∠BCF+∠CBD＝180°，∵∠ABC+∠DBE＝∠ABD+∠CBD+∠CBD+∠CBE＝∠CBD+∠ABE＝180°，∴∠BCF＝∠ABE，∴△ABE∽△BCF，∴∠CBF＝∠BAE，＝＝，∴AE＝BF＝2BH，∵∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠ABF+∠BAE＝90°，∴∠AOB＝90°，∴BH⊥AE．拓展应用：如图3﹣1中，当DE在BC的下方时，延长AB交DE于F．∵DE∥BC∴∠ABC＝∠BFD＝90°，由题意BC＝BE＝6，AB＝6，BD＝2，DE＝4，∵•BD•BE＝•DE•BF，∴BF＝＝3，∴EF＝BF＝3，∴AF＝6+3，∴AE2＝AF2+EF2＝（6+3）2+（3）2＝144+36．∵AE＝2BH，∴AE2＝12BH2，∴BH2＝12+3如图3﹣2中，当DE在BC的上方时，同法可得AF＝6﹣3，EF＝3，∴BH2＝＝（＝12﹣3．12．【解答】解：（1）如图1中，作EH⊥CG于H．∵四边形ECFG是菱形，∠ECF＝60°，∴∠ECH＝∠ECF＝30°，EC＝EG，∵EH⊥CG，∴GH＝CG，∴＝cos30°＝，∴＝2•＝，∵EG∥CD，AB∥CD，∴GE∥AB，∴＝＝．故答案为．（2）结论：AG＝BE．理由：如图2中，连接CG．∵四边形ABCD，四边形ECFG都是菱形，∠ECF＝∠DCB＝60°，∴∠ECG＝∠EGC＝∠BCA＝∠BAC＝30°，∴△ECG∽△BCE，∴＝，∵∠ECB＝∠GCA，∴△ECB∽△GCA，∴＝＝，∴AG＝BE．（3）如图3中，∵∠AGH＝∠CGF＝30°．∠AGH＝∠GAC+∠GCA，又∵∠DAC＝∠HAG+∠GAC＝30°，∴∠HAG＝∠ACH，∵∠AHG＝∠AHC，∴△HAG∽△HCA，∴HA：HC＝GH：HA，∴AH2＝HG•HC，∴FC＝2，CG＝CF，∴GC＝2，∵HG＝，∴AH2＝HG•HC＝•3＝9，∵AH＞0，∴AH＝3．故答案为3．13．【解答】解：（1）当m＝n时，即：BC＝AC，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴＝1，∴＝1（2）①∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴，∴②成立．如图，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，又∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE+∠CDE＝∠ADC+∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴，∴．（3）由（2）有，△ADE∽△CDF，∵＝，∴＝，∴CF＝2AE，在Rt△DEF中，DE＝2，DF＝4，∴EF＝2，①当E在线段AC上时，在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC﹣CE）＝2（﹣CE），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（﹣CE）]2＝40∴CE＝2，或CE＝﹣（舍）而AC＝＜CE，∴此种情况不存在，②当E在AC延长线上时，在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC+CE）＝2（+CE），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（+CE）]2＝40，∴CE＝，或CE＝﹣2（舍），③如图1，当点E在CA延长线上时，CF＝2AE＝2（CE﹣AC）＝2（CE﹣），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（CE﹣）]2＝40，∴CE＝2，或CE＝﹣（舍）即：CE＝2或CE＝．14．【解答】解：（1）如图1，延长GM交AD于H，∵AD∥GF，∴∠GFM＝∠HAM，在△FMG和△AMH中，，∴△FMG≌△AMH（ASA），∴HM＝GM，AH＝FG，∵AD＝CD，AH＝FG＝CG，∴DH＝DG，∵∠HDG＝90°，HM＝GM，∴DM＝MG，DM⊥MG，故答案为DM＝MG，DM⊥MG．（2）结论成立：DM＝MG，DM⊥MG，理由：如图2中，延长GM使得MH＝GM，连接AH、DH、DG，延长AD交GF的延长线于N，交CD于O．∵AM＝MF，∠AMH＝∠FMG，MH＝MG，∴△AMH≌△FMG（SAS），∴AH＝GF＝CG，∠AHM＝∠FGM，∴AH∥GN，∴∠HAD＝∠N，∵∠ODN＝∠OGC＝90°，∠DON＝∠GOC，∴∠N＝∠OCG，∴∠HAD＝∠DCG，∵AH＝CG，AD＝CD，∴△HAD≌△GCD（SAS），∴DH＝DG，∠HDA＝∠CDG，∴∠HDG＝∠ADC＝90°，∴△HDG是等腰直角三角形，∵MH＝MG，∴DM⊥GH，DM＝MH＝MG，（3）①如图3﹣1中，连接AC．在Rt△ABC中，AC＝＝10，在Rt△ACE中，AE＝＝14，∴AF＝AE＝EF＝14﹣2＝12，∴FM＝AM＝AF＝6，在Rt△MGF中，MG＝＝2，∴S△DMG＝×2×2＝20，②如图3﹣2中，连接AC．同法可得AE＝14，AF＝16，FM＝8，MG＝＝2，∴S△DMG＝×2×2＝34，综上所述，满足条件的△DMG的面积为20或34．15．【解答】解：（1）由旋转可得：AC＝A'C＝2，∵∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，∴BC＝，∵∠ACB＝90°，m∥AC，∴∠A'BC＝90°，∴cos∠A'CB＝＝，∴∠A'CB＝30°，∴∠ACA'＝60°；（2）∵M为A'B'的中点，∴∠A'CM＝∠MA'C，由旋转可得，∠MA'C＝∠A，∴∠A＝∠A'CM，∴tan∠PCB＝tan∠A＝，∴PB＝BC＝，∵∠PCQ＝∠PBC＝90°，∴∠BQC+∠BPC＝∠BCP+∠BPC＝90°，∴∠BQC＝∠BCP＝∠A，∴tan∠BQC＝tan∠A＝，∴BQ＝BC×＝2，∴PQ＝PB+BQ＝；（3）∵S四边形P A'B′Q＝S△PCQ﹣S△A'CB'＝S△PCQ﹣，∴S四边形P A'B′Q最小，即S△PCQ最小，∴S△PCQ＝PQ×BC＝PQ，法一：（几何法）取PQ的中点G，∵∠PCQ＝90°，∴CG＝PQ，即PQ＝2CG，当CG最小时，PQ最小，∴CG⊥PQ，即CG与CB重合时，CG最小，∴CG min＝，PQ min＝2，∴S△PCQ的最小值＝3，S四边形P A'B′Q＝3﹣；法二（代数法）设PB＝x，BQ＝y，由射影定理得：xy＝3，∴当PQ最小时，x+y最小，∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝x2+6+y2≥2xy+6＝12，当x＝y＝时，“＝”成立，∴PQ＝+＝2，∴S△PCQ的最小值＝3，S四边形P A'B′Q＝3﹣．16．【解答】解：（1）结论：△PMN是等边三角形．理由：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD＝AE，∴BD＝EC，∵PB＝PC，CN＝ND，BM＝EM，∴PN∥BD，PM∥EC，PN＝BD，PM＝EC，∴PM＝PN，∠NPC＝∠ABC＝60°，∠MPB＝∠ACB＝60°，∴∠MPN＝60°，∴△PMN是等边三角形，故答案为等边三角形．（2）△PMN的形状不发生改变，仍为等边三角形，理由如下：如图2中，连接BD，CE．由旋转可得∠BAD＝∠CAE，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝∠ABC＝60°又∵AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵M是BE的中点，P是BC的中点，∴PM是△BCE的中位线，∴PM＝，且PM∥CE．同理可证PN＝BD且PN∥BD，∴PM＝PN，∠MPB＝∠ECB，∠NPC＝∠DBC，∴∠MPB+∠NPC＝∠ECB+∠DBC＝（∠ACB+∠ACE）+（∠ABC﹣∠ABD）＝∠ACB+∠ABC＝120°，∴∠MPN＝60°，∴△PMN是等边三角形．（3）∵PM＝EC，∴当EC最大时，等边△PMN的周长最大，∵EC≤AE+AC，∴EC≤8，∴PM≤4，∴PM的最大值为4，∴△PMN的周长的最大值为12．17．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝60°，∵AD＝AE，∠ADE＝70°，∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE＝40°，∴α＝∠BAD＝60°﹣40°＝20°，∴∠ADC＝∠BAD+∠ABD＝60°+20°＝80°，∴β＝∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝10°，故答案为：20，10；（2）设∠ABC＝x，∠AED＝y，∴∠ACB＝x，∠AED＝y，在△DEC中，y＝β+x，在△ABD中，α+x＝y+β＝β+x+β，∴α＝2β；（3）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，如图1设∠ABC＝x，∠ADE＝y，∴∠ACB＝x，∠ACE＝y，在△ABD中，x+α＝β﹣y，在△DEC中，x+y+β＝180°，∴α＝2β﹣180°，②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，如图2，同①的方法可得α＝180°﹣2β．18．【解答】解：（1）由旋转变换的性质可知，∠CAE＝90°，AC＝AE，∴△ACE为等腰直角三角形，∴CE＝AC，∵CE＝CD+DE＝CD+BC，∴BC+CD＝AC，故答案为：等腰直角；BC+CD＝AC；（2）延长CO交⊙O于E，连接AE、BE、DE，则∠CDE＝90°，∵点C为的中点，∴点E为的中点，∴EA＝EB，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，由（1）得，DE＝（AD+BD），由勾股定理得，CD2＝CE2﹣DE2＝AD2+BD2﹣（AD+BD）2＝（AD﹣BD）2，∴CD＝（BD﹣AD）；（3）如图3，当点E在直线AC的左侧时，连接CQ、PC，∵CA＝CB，点P为AB的中点，∴CP⊥AB，∵CA＝CE，点Q为AE中点，∴CQ⊥AE，AQ＝QE＝AE＝5，∴由勾股定理得，CQ＝＝12，由（1）得，AQ+CQ＝PQ，。

数学(江苏苏州专用)-2024年中考终极押题猜想(解析版)

2024年中考数学终极押题猜想（高分的秘密武器：终极密押+押题预测）押题猜想一有理数与代数式...........................................................................................................1押题猜想二分式与二次根式...........................................................................................................3押题猜想三方程与不等式...............................................................................................................5押题猜想四统计概率.......................................................................................................................9押题猜想五反比例函数与一次函数.............................................................................................15押题猜想六三角形与四边形.........................................................................................................25押题猜想七锐角三角函数.............................................................................................................36押题猜想八圆.................................................................................................................................43押题猜想九相似.............................................................................................................................53押题猜想十二次函数 (65)押题猜想一有理数与代数式2023的相反数是（）A ．2023B ．2023-C ．12023D ．12023-【答案】B【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．【详解】解：2023的相反数是2023-，故选：B ．押题解读本部分多以选择题、填空题呈现，每年一题，以有理数、幂的运算、科学记数法、因式分解为主，难度较小．1．下列运算中，正确的是（）A ．32622a a a ⋅=B ．33a a a ÷=C ．()22439a a -=D ．()2211a a -=-【答案】C 【分析】根据单项式与单项式的乘法法则，同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式逐项分析即可．【详解】解：A ．32522a a a ⋅=，故不正确；B ．32a a a ÷=，故不正确；C ．()22439a a -=，正确；D ．()22121a a a -=-+，故不正确；故选C ．【点睛】本题考查了单项式与单项式的乘法法则，同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式，熟练掌握运算法则和公式是解答本题的关键．2．计算：1．【答案】2【分析】本题考查了算术平方根、取绝对值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先计算算术平方根，再计算有理数的减法，最后去绝对值即可．【详解】解：113=-2=-2=故答案为：2．3．2023年10月26日，神州十七号载人飞船发射取得圆满成功，江新林、汤洪波、唐胜杰3位航天员将与神州十六号航天员会师太空．空间站距离地球约为423000km ，423000用科学记数法可表示为．【答案】54.2310⨯【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <<，n 为整数，正确确定a 、n 的值是解题的关键．将423000写成10n a ⨯其中1||10a <<，n 为整数的形式即可．【详解】解：5423000 4.2310=⨯．故答案为54.2310⨯．4．分解因式：328x x -=．【答案】()()222x x x +-【分析】此题主要考查了提取公因式与公式法分解因式，熟练掌握分解因式的步骤是解题关键．首先提取公因式2x ，再利用平方差公式分解因式得出即可．【详解】解：()322824x x x x -=-()()222x x x =-+故答案为：()()222+-x x x ．押题猜想二分式与二次根式化简222x x x+--的结果是（）A ．－1B ．1C ．22x x +-D ．22x x -+【答案】A 【分析】本题主要考查分式的加减运算，熟练掌握同分母分式的运算法则是解题的关键．【详解】解：222122222x x x x x x x x -+=-==------，故选A ．押题解读本部分多以选择题、填空题呈现，每年一题，以分式、根式运算、科学记数法为主，难度较小．1．近年来我国芯片技术迅猛发展，麒麟系列芯片突破封锁，采用先进的7纳米工艺．7纳米0.000007=毫米，将数据0.000007用科学记数法表示为（）A ．6710-⨯B ．5710-⨯C ．60.710-⨯D ．50.710-⨯【答案】A【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法：将原数化为10n a -⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，n 的值等于把原数变为a 时小数点移动的位数．【详解】解：将数据0.000007用科学记数法表示为6710-⨯，故选：A ．2．在函数132y x =-中，自变量x 的取值范围是．【答案】23x ≠【分析】本题主要考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记分式的分母不为0是解题的关键．根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【详解】由题意得：320x -≠，解得：23x ≠．故答案为：23x ≠．3x 的取值范围是．【答案】4x ≥-【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，熟练掌握知识点是解题的关键．根据二次根式有意义的条件：被开方数非负，得到280x +≥，再解不等式即可．【详解】解：由题意得：280x +≥，解得：4x ≥-，故答案为：4x ≥-．4．如图，把一张大正方形按下图方式（两个小正方形分别有一边在大正方形的边上）剪去两个面积分别为8和18的小正方形，那么剩下的纸片（阴影部分）的面积是．【答案】24【分析】题目主要考查二次根式的应用，理解题意，根据正方形的面积确定大正方形的边长即可求解．【详解】解：∵两个面积分别为8和18的小正方形，+=∴大正方形的面积为：50=，∴剩余的面积为：5018824--=，∴阴影部分的面积是24，故答案为：24．押题猜想三方程与不等式某中学组织全校优秀九年级毕业生参加学校夏令营，一共有x 名学生，分成y 个学习小组、若每组10人，则还差5人；若每组9人，还余下3人，若求夏令营学生的人数所列的方程组为（）A ．10593x y x y =-⎧⎨=+⎩B ．10593x y x y =+⎧⎨=-⎩C ．10593y x y x =-⎧⎨=+⎩D ．10593y x y x =+⎧⎨=-⎩【答案】D【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找到两种分组方法得到的总人数的关系是解决本题的关键．相应的关系式为：10⨯组数5+=实际人数；9⨯组数3-=实际人数，即可列出方程．【详解】解：每组10人时，实际人数可表示为105-y ；每组9人时，实际人数可表示为93+y ；可列方程组为：10593y x y x =+⎧⎨=-⎩，故选：D ．押题解读本部分多以选择题、填空题、解答题呈现，每年1-2题，以列方程、解方程、解不等式、方程应用题为主，难度较小．1．《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙三十六石，问：各该若干？”其大意为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，甲、乙白米相差数与乙、丙白米相差数一样（甲的白米比乙多，乙的白米比丙多），只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”设乙分得白米x 石，则可列方程为．【答案】()()1818180x x x +++-=【分析】本题考查一元一次方程的应用，设乙分得白米x 石，得出甲、丙分得白米数，由甲、乙、丙三人分得之和为180石列出方程即可．找准等量关系来列方程是解题的关键．【详解】解：若设乙分得白米x 石，∵甲、乙白米相差数与乙、丙白米相差数一样，甲比丙多分三十六石，∴甲、乙白米相差数与乙、丙白米相差数都是18石，∴甲分得白米()18x +石，丙分得白米()18x -石，又∵甲、乙、丙三人来分这一百八十石，即甲、乙、丙三人分得之和为180石，∴可得方程：()()1818180x x x +++-=．故答案为：()()1818180x x x +++-=．2．（1）解方程：131122x x +=--（2）解不等式组：523(1)2213x x x x -<+⎧⎪-⎨≥-⎪⎩【答案】（1）32x =；（2）1x ≤【分析】此题考查了解分式方程，解不等式组，解题的关键是利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．（1）方程两边都乘以()21x -得出方程2223x +-=，求出方程的解，再进行检验即可；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．【详解】解：（1）方程两边都乘以()21x -得：2223x +-=，解这个方程：32x =，检验：把32x =代入()210x -≠，原方程的解为32x =；（2）()52312213x x x x ⎧-<+⎪⎨-≥-⎪⎩①②，解①，得52x <；解②，得1x ≤．∴原不等式组的解集为1x ≤．3．某中学正值100周年校庆，该校准备制作一批纪念品，经过招标比选等正规程序，该校最终找到了满意的生产厂家，今年3月初，厂家提供第一批纪念品，学校花了3300元；三月中旬，厂家提供第二批纪念品，学校花了4000元，已知厂家生产第二批纪念品时，改进了技术，降低了成本，单价随之降低，第一批纪念品的单价是第二批单价的1.1倍，且第二批纪念品比第一批纪念品多25个．(1)求第二批纪念品的单价；(2)两批纪念品送达该校后，受到该校师生的青睐，学校准备再定制一批，经和商家协商，在第二批纪念品的基础上，若每多预定10个，单价降低1元，由于成本原因，纪念品单价不得低于25元，学校经过测算，随即和厂家签订第三批纪念品的订单，共计6240元，求第三批纪念品的个数．【答案】(1)第二批纪念品的单价为44元(2)240个【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）设第二批纪念品的单价为x 元，则第一批纪念品的单价为1.1x 元，列出方程求解即可．（2）先求出第二批纪念品数量，设定制第三批纪念品的数量为y 个，则单价为10040501010y y -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭元，根据题意列出方程求解即可．【详解】（1）解：设第二批纪念品的单价为x 元，则第一批纪念品的单价为1.1x 元，根据题意，得33004000251.1x x=-，解得40x =，经检验得40x =是原方程的解，∴1.144x =，答：第二批纪念品的单价为44元；（2）解：购进第二批纪念品的数量为400040100÷=（个），设定制第三批纪念品的数量为y 个，则单价为10040501010y y -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭元，根据题意，得50624010y y ⎛⎫-= ⎝⎭，解得1240y =，2260y =，当1240y =时，50262510y -=>，符合题意，当2260y =时，50242510y -=<，不符合题意，舍去，答：定制第三批纪念品的数量为240个．4．小张周末到天府艺术公园参加销售文创产品的社会实践活动，销售A 产品5个，B 产品5个，销售金额125元；销售A 产品2个，B 产品5个，销售金额80元．(1)求A B 、两种文创产品销售单价分别是多少元？(2)若A 产品进价12元，B 产品进价8元，小张用不超过980元购进两种产品共100件，准备用销售这批产品的利润购买250元课外科普读物，请问小张的目标能实现吗？若能，请给出相应的进货方案，若不能，请说明理由．【答案】(1)A 产品的销售单价是15元，B 产品的销售单价是10元(2)假设不成立，即小张的目标不能实现【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，（1）设A 产品的销售单价是x 元，B 产品的销售单价是y 元，根据“销售A 产品5个，B 产品5个，销售金额125元；销售A 产品2个B 产品5个，销售金额80元"，可列出关于,x y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）假设小张的目标能实现，设购进m 个A 产品，则购进(100)m -个B 产品，根据“小张用不超过980元购进两种产品共100件，且全部售出后获得的总利润不少于250元”，可列出关于m 的一元一次不等式组，由该不等式组无解，可得出假设不成立，即小张的目标不能实现．【详解】（1）解：设A 产品的销售单价是x 元，B 产品的销售单价是y 元，根据题意得：551252580x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：1510x y =⎧⎨=⎩．答：A 产品的销售单价是15元，B 产品的销售单价是10元；（2）小张的目标不能实现，理由如下：假设小张的目标能实现，设购进m 个A 产品，则购进(100)m -个B 产品，根据题意得：128(100)980(1512)(108)(100)250m m m m +-≤⎧⎨-+--≥⎩，∵该不等式组无解，∴假设不成立，即小张的目标不能实现．押题猜想四统计概率为落实“减负”政策，某校开设了“诵读经典”、“形体训练”、“棋类训练”、“球类训练”等四项课外活动，每名学生只能参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校调查了参加活动的学生，并将调查结果绘制成条形统计图和扇形统计图，部分信息如图所示，则下列说法中正确的是（）A．参加活动的学生共有500人B．参加棋类训练项目的学生有80人C．参加形体训练项目所占百分比为38%D．参加棋类训练项目对应的扇形统计图的圆心角度数为108︒【答案】D【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图综合；根据诵读经典的占比与人数求得总人数，进而根据统计图逐项分析判断，即可求解．【详解】解：A.参加活动的学生共有6020%300÷=人，故该选项不正确，不符合题意；B.参加棋类训练项目的学生有300601203090---=人，故该选项不正确，不符合题意；C.参加形体训练项目所占百分比为120100%40%300⨯=，故该选项不正确，不符合题意；D.参加棋类训练项目对应的扇形统计图的圆心角度数为90360108300⨯︒=︒，故该选项正确，符合题意；故选：D．押题解读本部分多以选择题、填空题、解答题呈现，每年1-3题，以数据分析、整理、概率列举为主，难度适中．1．某兴趣小组在探究光沿直线传播时，设计制作了一个由点光源和质地均匀不透光的圆环组成的实验装置，由物理学知识，可知点光源发出的光线将圆环的部分区域照亮，其示意图如图所示．已知O 的半径为10cm ，点光源P 到圆心O 的距离为20cm ．现假设可以随意在O 上取点，则这个点取在无光圆弧部分的概率为．【答案】23【分析】此题考查了解直角三角形、切线的性质定理、几何概率等知识，求出60AOP BOP ∠=∠=︒，则120AOB ∠=︒，即可得到点取在无光圆弧部分的概率为36012023603︒-︒=︒．【详解】解：设从点O 出发的O 的两条切线分别为PA PB 、，切点分别为A 、B ，连接AO BO 、，则AO AP BO BP ⊥⊥、，∴90∠=∠=︒PAO PBO ，∵O 的半径为10cm ，点光源P 到圆心O 的距离为20cm ．∴10cm 20cmAO BO PO ===，∴1sin sin 2APO BPO ∠=∠=，∴30APO BPO ∠=∠=︒，∴60AOP BOP ∠=∠=︒，∴120AOB ∠=︒，∴点取在无光圆弧部分的概率为36012023603︒-︒=︒，故答案为：2 3．2．2024年4月13日，我国首口自主设计实施的海上超深大位移井在珠江口盆地海域投产，成为我国海上第一深井，同时创造了我国钻井水平长度纪录．某校为了解学生对我国勘探事业的知晓程度，随机抽取了该校部分九年级学生，就“勘探事业知多少”进行了问卷测试，并将测试成绩（满分为10分）整理成如下不完整的统计图表：测试成绩/分678910人数/名3472m根据统计图表中的信息，解答下列问题：(1)表中m的值为______，所抽取学生测试成绩的众数为______分，中位数为______分；(2)请计算所抽取学生测试成绩的平均数；(3)已知该校共有300名九年级学生，若对这300名九年级学生全部进行此项问卷测试，请你估计能得满分的有多少名学生？【答案】(1)4；8；8(2)8(3)60【分析】（1）由扇形统计图计算出测试成绩是7分所占的百分比，再结合测试成绩是7分的人数，即可求得调查的学生人数，进而减去其他得分的人数，即可求出测试成绩是10分的人数，即为m的值；根据众数和中位数的定义即可解答；（2）根据平均数的计算公式计算即可；（3）计算出样本中得满分的学生的比例，再乘以全校学生人数，即可解答．【详解】（1）解：由扇形统计图得到测试成绩是7分对应的扇形的圆心角为72︒，∴测试成绩是7分所占的百分比为72100%20% 360︒⨯=︒，由统计表得知测试成绩是7分的有4人，∴调查的学生人数为410%20÷=（人），∴测试成绩是10分的有2034724----=（人），即4m=；学生测试成绩中，得8分的人数最多，故众数是8；将学生测试成绩从小到大排序后，处于第10、11位的学生成绩是8，8，故中位数为888 2+=；故答案为：4；8；8（2）解：63748792104820x⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==，答：所抽取学生测试成绩的平均数为8；（3）解：调查的学生中得满分的百分比为4100%20% 20⨯=，由此估计该校得满分的学生有30020%60⨯=（名），答：估计能得满分的有60名学生．【点睛】本题考查统计图表，众数，中位数，平均数等统计量，用样本估计总体，熟练掌握各个统计量是解题的关键．3．“诗以言志，词以言情”，诗词文化源远流长，是中华民族的瑰宝，某班语文老师准备在班内举行“飞花令”比赛，测测同学们的诗词储备量！她为本班学生准备了如图所示的可自由转动的转盘，将其平均分成四个面积相等的扇形，并分别标上主题字：“春”“花”“山”“月”，每轮比赛开始前，由语文老师转动转盘，该轮参加比赛的同学以语文老师转到的字为主题字进行飞花令比赛（指针指向两个扇形的交线时无效，需重新转动转盘）．李涵和王芳分别是第一轮、第二轮参赛的选手．(1)语文老师转动转盘一次，恰好转到“春”的概率为______；(2)李涵和王芳都比较擅长“春”和“花”为主题字的诗句，请用画树状图或列表法求她们至少有一人以自己擅长的主题字进行飞花令比赛的概率．【答案】(1)1 4(2)3 4【分析】（1）根据概率的计算公式计算即可．（2）先列表格表示出所有可能出现的结果，再找出两人当中至少有任一人转到“春”或“花”的所有情况，再根据概率的计算公式计算即可．概率=所求情况数÷总情况数，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键．【详解】（1）语文老师转动转盘一次，恰好转到“春”的概率为14,故答案为14．（2）列表格如下：李涵王芳春花山月春春春春花春山春月花花春花花花山花月山山春山花山山山月月月春月花月山月月共16种结果，其中至少有一人转到“春”或“花”的有12种情况．∴她们至少有一人以自己擅长的主题字进行飞花令比赛的概率为123164=．4．为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某市为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织学生进行相关知识竞赛，从甲、乙两校各随机抽取40名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理和分析．下面给出了部分信息：收集数据：甲校成绩在7080x ≤<这一组的数据是：70，70，70，71，72，73，73，73，74，75，76，77，78整理数据：甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如下：组别5060x ≤<6070x ≤<7080x ≤<8090x ≤<90100x ≤≤甲41113102乙6315142分析数据：甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如下：统计量平均数众数中位数方差甲74.586m 47.5乙73.1847623.6根据以上信息，回答下列问题：(1)m =；若将乙校成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在7080x ≤<这一组的扇形的圆心角是度；本次测试成绩更整齐的是校（填“甲”或“乙”）；(2)在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是校的学生（填“甲”或“乙”）；(3)现在甲、乙两校要共同举行第二轮升级赛，想从两校成绩均在90100x ≤≤范围内的学生中选取两名参加比赛，请用列表法或画树状图的方法求出所选2人恰在同一学校的概率．【答案】(1)72.5；135︒；乙(2)甲(3)13【分析】本题考查频数分布表、扇形统计图、中位数、方差、用样本估计总体等知识点，灵活运用数形结合的思想是解答本题的关键．（1）根据频数分布表以及中位数的定义即可得到m 的值；根据乙校成绩在7080x ≤<这一组的频数所占比例乘以360︒即可；根据方差的意义即可解答．（2）根据这名学生的成绩74分，小于甲校样本数据的中位数76分，大于乙校样本数据的中位数72.5分即可解答．（3）画树状图展示12种等可能的结果数，再找出所选两位选手来自同一学校的结果数，然后利用概率公式求解即可．【详解】（1）解：（1）把甲校40名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是72，73，故中位数727372.52m +==．乙校成绩在7080x ≤<这一组的扇形的圆心角是1536013540︒⨯=︒．由于甲校的成绩的方差47.5>乙校的成绩的方差23.6，所以本次测试成绩更整齐的是乙校．故答案为：72.5；135︒；乙．（2）解：在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是甲校的学生．理由：甲校的中位数是72.5，乙校的中位数是7672.5>．故答案为：甲．（3）解：根由频数分布表可知：甲乙两校各有2名学生在90100x ≤≤范围内，据题意画出如下树状图由树状图可得共有12种等可能的结果数，其中所选两位选手来自同一学校的结果数为4，所以所选两位选手来自同一学校的概率为41123=．押题猜想五反比例函数与一次函数如图，在平面直角坐标系中，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上，以AB 为边作正方形ABCD ，点C 的坐标()7,3在一次函数6y kx =+上，一次函数与x 轴交于点E ，与y 轴交于点F ，将正方形ABCD 沿x 轴向左平移a 个单位长度后，点D 刚好落在直线EF 上，则a 的值是（）A ．53B ．193C ．73-D ．37-【答案】B【分析】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征．根据点C 的坐标可得出直线EF 的函数解析式367y x =-+，过点D 作DG y ⊥轴，过点C 作CH x ⊥轴，根据一线三垂直模型得出AOB BHC △≌△，从而得出3OB CH ==，734BH AO OH OB ==-=-=，同理可得3AG OB ==，4GD AO ==，从而得出点D 的坐标，再根据点的平移得出平移后点的坐标，代入到直线EF 的解析式即可得出答案．【详解】解：点C 的坐标()7,3在一次函数6y kx =+上，376k ∴=+，37k ∴=-，∴一次函数的表达式为367y x =-+上，过点D 作DG y ⊥轴，过点C 作CH x ⊥轴，90ABC ∠=︒ ，AB BC =，90ABO CBH ∴∠+∠=︒，90ABO OAB ∠+∠=︒，CBH OAB ∴∠=∠，AOB BHC ∴≌△△，3OB CH ∴==，734BH AO OH OB ==-=-=，同理可得：3AG OB ==，4GD AO ==，7OG ∴=，∴点D 的坐标为(4,7)，则点D 向左平移a 个单位长度后的坐标为()4,7a -，由已知可得，37(4)67a =--+，解得：193a =．故选：B ．押题解读本部分多以选择题、填空题、解答题呈现，每年1-3题，以一次函数、反比例函数为主，难度适中．1．如图，已知平行四边形ABCD ，边BC 在x 轴上，点D 在y 轴上，连接OA 交反比例函数2(0)y x x=-<的图象于点P ，若2AP OP =，则平行四边形ABCD 的面积为．【答案】18【分析】本题考查已知k 值，求图形的面积，相似三角形的判定和性质，过点A 作AE x ⊥轴，过点P 作PF x ⊥轴，证明AEB DOC ≌，推出平行四边形ABCD 的面积等于矩形AEOD 的面积，证明OFP OEA ∽，求出9OEA OFP S S = ，即可得出结果．【详解】解：过点A 作AE x ⊥轴，过点P 作PF x ⊥轴，则：,90AE OD AEB ODC =∠=∠=︒，AE PF ∥，∵平行四边形ABCD ，∴AB CD =，AD OB ∥，∴AD y ⊥轴，∴四边形AEOD 为矩形，∴AEB DOC ≌，∴AEB DOCS S = ∴平行四边形ABCD 的面积等于矩形AEOD 的面积，∵AE PF ∥，∴OFP OEA ∽，∵2AP OP =，∴13OP OA =，∴21:9OFP OEA OP S S OA ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，∴9OEA OFP S S = ，∵点P 在2(0)y x x=-<的图象上，∴112OFP S k == ，∴99OEA OFP S S == ，∴平行四边形ABCD 的面积等于矩形AEOD 的面积218OEA S == ；故答案为：18．2．如图，双曲线m y x=与直线y kx b =+交于点()()8,12,4A B --、，与两坐标轴分别交于点C 、D ，已知点()1,0E ，连接AE BE 、．(1)求m ，k ，b 的值；(2)求ABE 的面积；(3)结合图象，请直接写出当m kx b x>+时x 的取值范围．【答案】(1)8m =-，123k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩；(2)175.(3)80x -<<或2x >【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：（1）将点()()8124A B --，、，代入直线和双曲线，即可求得m 、k 、b 的值；（2）先求出C 的坐标，由图形可得ABE 面积为ACE △和CBE △面积的和，分别求得ACE △和CBE △的面积即可求解；（3）根据函数图象找到当一次函数图象在反比例函数图象下方时，自变量的取值范围即可得到答案．【详解】（1）解：将()()8124A B --，、，代入直线y kx b =+得：8124k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得123k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，将()81A -，代入双曲线m y x =得：18m =-，解得8m =-；（2）解：由（1）得一次函数解析式为132y x =--，将0y =代入直线132y x =--得，6x =-，即()6,0C -，()10E ， ∴7CE =，∴1722ACE A S CE y =⋅=△，1142BCE B S CE y =⋅=△∴71417.52ABE ACE BCE S S S =+=+=△△△；（3）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象下方时，自变量的取值范围为80x -<<或2x >，∴当m kx b x>+时x 的取值范围为80x -<<或2x >．3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数22y x =+的图像与y 轴交于点A ，与反比例函数()302y x x =>交于点B．(1)求点A 和点B 的坐标；(2)点C 是x 轴正半轴上一点，连接BC 交反比例函数()302y x x=>于点D ，连接AD ，若2BD CD =，求ABD △的面积；(3)在（2）的条件下，将线段BD 绕点D 顺时针旋转90︒得到线段DE ，连接EA ．点F 是反比例函数()302y x x =>的图象上一点，连接FA ，若90AED FAO ∠+∠=︒，求点F 的坐标．【答案】(1)()10,2,,32A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)1(3)31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）在22y x =+中，令0x =，可求得点A 的坐标，联立方程组可求得点B 的坐标；（2）过点B 作BG x ⊥轴于点G ，过点D 作DH x ⊥轴于点H ，设BC 交y 轴于点K ，由BG DH ∥，得BCG DCH △∽△，可得31BG CG BC DH CH DC ===，求得113DH BG ==，再求得3,12D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，进而可得()2,0C ，运用待定系数法可得直线BC 的解析式为24y x =-+，进而求得(0,4)K ，即可求得答案；（3）过点D 作HG x ∥轴，作EH HG ⊥于H ，BG HG ⊥于G ，连接AE ，先证得()AAS BDG DEH ≌，可得2DH BG ==，1EH DG ==，得出7,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，进而得出tan tan 2DH FAO DEH EH ∠=∠==，再求得直线AF 的解析式为122y x =-+，联立方程组即可求得答案．【详解】（1）解：在22y x =+中，当0x =时，2y =，()0,2A ∴，联立方程组2232y x y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：11123x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，22321x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩（舍去），1,32B ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭；（2）解：如图，过点B 作BG x ⊥轴于点G ，过点D 作DH x ⊥轴于点H ，设BC 交y 轴于点K，90BGC DHC ∠=∠=︒ ，BG DH ∴∥，BCG DCH ∴∽ ，∴31BG CG BC DH CH DC ===，113133DH BG ∴==⨯=，当1y =时，312x =，解得：32x =，∴3,12D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31122GH ∴=-=，BG DH ∥ ，∴12CH CD GH BD ==，12CH ∴=，31222OC OH CH ∴=+=+=，()2,0C ∴，设直线BC 的解析式为y kx b =+，则13220k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得：24k b =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为24y x =-+，当0x =时，4y =，()0,4K ∴，422AK ∴=-=，131********ABD ADK ABK S S S ∴=-=⨯⨯-⨯⨯= ；（3）过点D 作HG x ∥轴，作EH HG ⊥于H ，BG HG ⊥于G ，连接AE ，如图，由旋转得：BD DE =，90BDE ∠=︒，90BDG EDH ∴∠+∠=︒，90BDG DBG Ð+Ð=°，EDH DBG ∴∠=∠，H G ∠=∠ ，()AAS BDG DEH ∴ ≌，2DH BG ∴==，1EH DG ==，7,22E ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，AE x ∴∥轴，90AED FAO ∠+∠=︒ ，90AED DEH ∠+∠=︒，FAO DEH ∴∠=∠，tan tan 2DH FAO DEH EH∴∠=∠==，设直线AF 交x 轴于Q ，4OQ ∴=，∴直线AF 的解析式为122y x =-+，13222x x ∴-+=，解得：11x =，23x =，∴点F 的坐标为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，利用平行线转化三角形的面积是求点D 坐标的关键．4．直线1:l y kx b =+分别与x 轴，y 轴交于点D 、C ，与反比例函数(0)a y x x=>的图象交于点(1,3)A 、(3,)B m ．(1)求a 的值及直线1l 的解析式；(2)连接AO ，若在射线DO 上存在点E ，使ΔΔ32ACE AOC S S =，求点E 的坐标；(3)如图2，将反比例函数a y x=的图象沿直线1l 翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线2:l y x t =-+与此封闭图形有交点，请直接写出满足条件的t 的取值范围．【答案】(1)34a y x ==-+，；(2)()20E -，；(3)23t 83≤≤-【分析】（1）将A 点坐标代入反比例函数(0)a y x x=>，可得a ，进一步利用反比例函数的解析式求得点B ，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；（2）依据题意，画出图形，根据面积可以得解；（3）根据题意分析出2l 是平行于2l 的动直线，求出与3y x=切于点G ，再借助于G 、H 关于点E 对称，得到CE CF =，求出过点G 、点H 时的t 的值，即可得解．【详解】（1）解：点(1,3)A 在反比例函数a y x=，∴将点A 的坐标代入，得31a =，3a ∴=，∴反比例函数为3(0)y x x=>，又(3,)B m 在反比例函数3y x =，1m ∴=，即(3,1)B ，点(1,3)A ，(3,1)B 在直线y kx b =+上∴331k b k b +=⎧⎨+=⎩，∴直线1l 的解析式为4y x =-+；（2）解：直线1l 为4y x =-+，(0,4)C ∴． 311222ACE AOC AOC S S S OC ==⨯= ，，∴3232ACE S =⨯= ，设(,0)E d ，如图，E 在射线DO 上，此时可得E 必在x 轴负半轴，0d <，AOE ACE COE AOC S S S S ∴+=+ ．∴11()33()4222d d ⨯-⨯+=⨯-⨯+，2d ∴=-．∴()20E -，；（3）解：依据题意，直线2:l y x t =-+平行于直线1l ，且2l 与y 轴交于点E ，则()0E t ，2l 与封闭图形有交点，2l 下端与3y x=相切于点G ，上端相切于翻折后的曲线于点H ，由题意，3y x t y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩，230x tx ∴-+=．相切，∴判别式2120t =-=．t ∴=．∴此时y x =-+．与y 轴的交点E 为(0，，(0,4)C，4CE ∴=-4CF ∴=-448OF =+--∴此时8y x =-+-．与y 轴的交点F为(0,8-，∴8t ≤-【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质的应用，平行线的性质，公式法解一元二次方程，解题时需要熟练掌握并能灵活运用．押题猜想六三角形与四边形图1是第63届国际数学奥林匹克竞赛会标，图2是其主体的中间部分图案，它是一个轴对称图形．已知AE CD DE AB ∥，∥，作菱形CHFG ，使点H ，F ，G 分别在CD AB BC ，，上，且点E 在FH 上．若4BG GC ==，则整个图形的面积为（）A．B．C ．20D ．25【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，轴对称图形的定义等等，如。

2020年浙江省台州市中考数学压轴题猜想含答案

2021年浙江省中考数学压轴题最后猜想：圆

2021年浙江省中考数学压轴题最后猜想：圆1.如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，作OD ⊥AB 交 AC 于点D ，延长BC ， OD 交于点F ，过点C 作线段CE ，交DF 于点E 且EC =ED ．（1）求证：直线CE 是⊙O 的切线；（2）如果OA =4，EF =3，求弦AC 的长．2.如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，连接AC ，CE ⊥AB 于点E ，D 是直径AB 延长线上一点，且∠BCE ＝∠BCD ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AD ＝8，BECE ＝12，求CD 的长．3.如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC,BC 于点D,E ，点F 在AC 的延长线上，连接BF, ∠BAC =2∠CBF ．（1）求证：直线BF 是⊙O 的切线；（2）若OA =CF =3，求△BCF 的面积．4.如图，在△ABC中，AC＝BC ，以BC为直径的⊙O交AB于点D ，交AC的延长线于点E ，连接DE交BC于点G ，过点D作DF⊥AC ，垂足为点F ，连接OD ．（1）求证：OD∥AE ．（2）若tan∠ODE＝1，AE＝8，求CG的长．25.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OE⊥BC于点E，交CD于点F．（1）求证：∠A+∠OFC=90°；（2）若tanA=3,BC=6，求线段CF的长．26.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8,BC=6，以AB为直径的⊙O交斜边AC于点D.（1）如图1，若M是BC的中点，求证：DM是⊙O的切线；（2）如图2，设E是BC延长线上一动点，AE交⊙O于点F，BF交AC于点G，连接DF .（ⅰ）若GB=GC，求CE和DF的长；（ⅱ）求BF的最大值为▲ .（直接写出结果）AE7.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径.（1）求证：AE与⊙O相切；时，求⊙O的半径.（2）当BC＝6，cosC＝138.如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC=OB，点D是OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点E，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线：（2）点F是⊙O上一动点，连接FC，FD．若FD=2.5，求线段FC的长．9.如图，AB是半圆O的直径，D是弧AC的中点，DE⊥AB于点E，AC交DE于点F．（1）求证：∠DAF=∠ADF；（2）若CD=2√5，半圆O的半径为5，求BC的长．10.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，连接EB交OD于点F（1）求证：OD⊥BE；（2）连接AD，交BE于点G，若△AGE≌△DGF，且AB＝2，求AE的长．11.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，过点D作DM⊥AC，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N.（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）求证DN2=BN⋅(BN+AC)；，求⊙O的直径.（3）若DN=10,cosC=3512.如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足H在半径OB上，若劣弧CD沿着直线CD 翻折，点B落在OA上的点E处（点E不与点A，O重合），连接CA，CE，CB.（1）求证：∠ACE＝∠DCO.（2）延长CE交⊙O于点M，连接AM，若AM＝10，OE＝3，求∠ACE的正弦值.13.如图，AB ，CD是⊙O的两条直径，且AB⊥CD ，点E ，点F分别在半径OC ，OD上（不与点O ，点C ，点D重合），连接AE ，EB ，BF ，FA ．（1）若CE＝DF ，求证：四边形AEBF是菱形．（2）过点O作OG⊥EB ，分别交EB ，⊙O于点H ，点G ，连接BG ．①若∠COG＝∠EBG ，判断△OBG的形状，说明理由．②若点E是OC的中点，求GH的值．HO14.定义：在凸四边形中，我们把两组对边乘积的和等于对角线的乘积的四边形称为“完美四边形”.（1）在正方形、矩形、菱形中，一定是“完美四边形”的是________.，AC＝3，求线段BD的长. （2）如图1，在“完美四边形”ABCD中，AB＝AD＝CD＝2，BC＝52（3）如图2，⊙O内接四边形EFGH，GE为⊙O的直径.①求证：四边形EFGH为“完美四边形”.②若EF＝6，FG＝8，FH是否存在一个值使四边形EFGH的面积最大？若存在，求出FH的值；若不存在，请说明理由.15.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AC平分∠DAB，直线DC与AB的延长线相交于点P，AD与PC延长线垂直，垂足为点D，CE平分∠ACB，交AB于点F，交 ⊙O于点E.（1）求证：PC 与⊙O 相切；（2）求证：PC=PF ；（3）若AC=8，tan ∠ABC= 43，求线段BE 的长.16.如图，CD 为⊙O 的直径，M 是半圆CD 的中点，延长DC 到P ，使OC=CP=AC ，连结PA 、CM.（1）求证：PA 是⊙O 的切线；（2）求证：CM 2＝MN •MA ；⑶若PC ＝2，求CM 的长．17.如图1，BC 是⊙O 的直径，点A 在⊙上，点D 在CA 的延长线上，DE ⊥BC 垂足为点E ， DE 与⊙O 相交于点H ，与AB 相交于点I ，过点A 作∠DAF ＝∠ABO ，与DE 相交于点F ．（1）求证：AF 为⊙O 的切线；（2）当AB ＝AD ，且tan ∠DAF ＝12时，求ECIE的值；（3）如图2，在（2）的条件下，延长FA ， BC 相交于点G ，若CG ＝10，求线段EH 的长．18.如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，连接AC ， BC ， D 是AB 上的一点，过点D 作AB 的垂线，与线段BC 交于点E ，点F 在线段DE 的延长线上，且满足FC ＝FE ．（1）求直线CF 与⊙O 的公共点个数；（2）当点E 恰为BC 中点时，若⊙O 的半径为5，tanA ＝43，求线段CF 的长．19.如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，点E 在圆外，OE ⊥AC 于点D ，BE 交⊙O 于点F ，连接BD 、BC 、CF ，∠BFC =∠AED ．（1）求证：AE 是⊙O 的切线；（2）求证：OB 2=OD ⋅OE ；（3）设△BAD 的面积为S 1，△BDE 的面积为S 2，若tan ∠ODB =23，求S 1S 2的值．20.在⊙O 中，AB 为直径，C 为⊙O 上一点．（1）如图①，过点C 作⊙O 的切线，与AB 的延长线相交于点P ．若∠P =42°，求∠CAB 的大小；（2）如图②，D为AC上一点，且OD经过AC的中点E ，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P ，若∠CAB=10°，求∠P的大小．21.己知点A ，B ，C是⊙O上的三个点，∠AOB=120°．（1）如图①，若AC=BC．求∠C和∠CAO的大小；（2）如图②，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D ，若AC=AD，求∠CAO的大小．22.已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BD．（1）如图①，连接OC，AD．若∠ADC=56°，求∠CDB及∠COB的大小；（2）如图②，过点C作DB的垂线，交DB的延长线于点E ，连接OD．若∠ABD=2∠CDB，∠ODC=20°，求∠DCE的大小．23.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=70°，O为AB上一点．（1）如图①，AB为⊙O的直径，⊙O分别与AC、BC交于点D ，E ，F为⊙O上一点，求∠DFE的度数；（2）如图②，⊙O与AC相切于点D ，与BC的一个交点为E ，与AB的一个交点为G ，DF为⊙O的直径，求∠DEG的度数．24.如图，△ABC中，AB＝AC.以AB为直径的⊙O与BC相交于点D.与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F.（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若AC＝3AE，AH⊥AB交BC于H，求tan∠AHB的值.25.如图，Rt△ABC中，∠A=90°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，点E在⊙O上，CE=CA，AB，CE的延长线交于点F．（1）求证：CE与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为3，EF=4，求BD的长．26.如图，△ABC为⊙O的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC＝∠B，AD为⊙O的直径，过C 作CG⊥AD交AD于E，交AB于F，交⊙O于G.（1）求证：直线PA是⊙O的切线；（2）求证：AG2＝AF·AB；（3）若⊙O的直径为10，AC＝2 √5，AB＝4 √5，求△AFG的面积.答案1. （1）证明：连接OC，∵OF⊥AB，∴∠DOA=90°，∴∠A+∠ADO=90°，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA，∴∠OCA+∠ADO=90°，∵∠ADO=∠CDE，∴∠OCA+∠CDE=90°，∵EC=ED，∴∠DCE=∠EDC，∴∠OCA+∠DCE=90°，∴EC⊥OC，∴EC是⊙O的切线；（2）解：在RtΔDCF中，∠DCE+∠ECF=90°，∠DCE=∠CDE，∴∠CDE+∠ECF=90°，∵∠CDE+∠F=90°，∴∠ECF=∠F，∴EC=EF，∵EF=3，∴EC =DE =3，∴OE =√OC 2+EC 2=√42+32=5，∴OD =OE −DE =2，在Rt ΔOAD 中，AD =√AO 2+OD 2=√42+22=2√5，在Rt ΔAOD 和Rt ΔACB 中，∵∠A =∠A ，∠ACB =∠AOD ，∴Rt ΔAOD ∽Rt ΔACB ，∴OA AC =AD AB ，即4AC=2√58， ∴AC =16√55．2. （1）证明：连接OC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵CE ⊥AB ，∴∠CEB ＝90°，∴∠ECB+∠ABC ＝∠ABC+∠CAB ＝90°，∴∠A ＝∠ECB ，∵∠BCE ＝∠BCD ，∴∠A ＝∠BCD ，∵OC ＝OA ，∴∠A ＝∠ACO ，∴∠ACO ＝∠BCD ，∴∠ACO+∠BCO ＝∠BCO+∠BCD ＝90°，∴∠DCO ＝90°，∴CD 是⊙O 的切线；（2）解：∵∠A ＝∠BCE ，∴tanA ＝BC AC ＝tan ∠BCE ＝BE CE ＝12，设BC ＝k ，AC ＝2k ，∵∠D ＝∠D ，∠A ＝∠BCD ，∴△ACD ∽△CBD ，∴BC AC ＝CD AD ＝12， ∵AD ＝8，∴CD ＝4．3. （1）解：连接AE ，如图所示：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB=90°，∴∠BAE+∠ABE=90°，∵AB=AC ，∴2∠BAE=∠CAB ，∵∠BAC=2∠CBF ，∴∠BAE=∠CBF ，∴∠CBF+∠ABE=90°，即∠ABF=90°，∵AB 是⊙O 的直径，∴直线BF 是⊙O 的切线；（2）解：∵OA=CF=3，∴AC=AB=2OA=6，AF=AC+CF=9，∴CF= 13 AF ，∵∠ABF=90°，∴BF =√AF 2−AB 2=√92−62=3√5，∴△BCF 的面积= 13△ABF 的面积= 13×12×BF ×AB =13×12×3√5×6=3√5．4. （1）证明：∵OB ＝OD ，∴∠B ＝∠BDO ，∵AC ＝BC ，∴∠A ＝∠B ，∴∠A ＝∠BDO ，∴OD ∥AE ；（2）解：连接CD ，∵BC 是⊙O 的直径，∴CD ⊥AB ，∵DF ⊥AE ，∴∠CDA ＝∠DFA ＝90°，∴∠A ＋∠ADF ＝∠CDF ＋∠ADF ＝90°，∴∠CDF ＝∠A ，∵∠E ＝∠B ＝∠A ，∴AD ＝DE ，∴AF ＝EF ＝12 AE ＝12× 8＝4，∵OD ∥AE ，∴∠ODE ＝∠E ＝∠A ，∴tan ∠CDF ＝tanA ＝tan ∠ODE ＝12＝CF DF ＝DF AF ， ∵AF ＝4，∴DF ＝2，CF ＝1，EC ＝4﹣1＝3，AC ＝4＋1＝5， ∴BC ＝AC ＝5，∴OD ＝2.5，∵∠DGO ＝∠CGE ，∠ODE ＝∠E ，∴△ODG ∽△CEG ，∴OG CG ＝OD CE ＝2.53＝56， ∵OG ＋CG ＝2.5，∴CG ＝1511．5. （1）解：连接OB ，OC ，∵CD是⊙O的切线，OE⊥BC，∴OC⊥CD，∴∠1+∠2=90°，∠1+∠COE=90°，∴∠2=∠COE，∠1=∠OFC，∵OE⊥弦BC，OC=OB,∴OE垂直平分BC，OE是∠BOC的角平分线，∴∠COE=12∠BOC，∵∠CAB为弧BC所对的圆周角，∠COB为弧BC所对的圆心角，∴∠CAB=12∠BOC，∴∠COE=∠CAB，∴∠A+∠OFC=90°；（2）解：∵BC=6，OE垂直平分BC，∴CE=3，∵tanA=tan∠COE=32，∴OE=2，∵∠1=∠CFO，∠2=∠COE，∠CEF=∠CEO=90°，∴△OEC∼△CEF，∴OECE =CEEF，∴EF=92，∴OF=OE+EF=2+92=132,在Rt△COE中，OC=√OE2+CE2=√13，∵S△COF=12·OF·CE，S△COF=12OC·CF，∴OF·CE=OC·CF，∴CF=3√132．6. （1）证明：连接OD，BD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°∴∠BDC=90°若M是BC的中点，∴DM=12BC=BM∴∠BDM=∠DBM∵OD=OB∴∠OBD=∠ODB∵∠ABC=90°∴∠OBD+∠DBM=90°∴∠ODB+∠BDM=90°∴OD⊥DM∴DM是⊙O的切线（2）解：（ⅰ）∵GB=GC∴∠GBC=∠GCB∴∠BAF=∠GCB∵∠ABC =∠EBA =90°∵∠ABF +∠BAF =∠ABF +∠GBC =90°∴∠BAF =∠GBC∵∠ABC =∠EBA∴△ABC ∼△EBA∴AB EB =BC AB∴AB 2=BC ⋅EB ∴BE =323 ∴CE =323−6=143 ∵∠ADF 与∠ABF 所对的都是弧AF∵∠ADF =∠ABF,∠ABF +∠FBE =90°,∠FBE +∠E =90°∴∠ABF =∠E∴∠E =∠ADF∵∠DAF =∠CAE∴△ADF ∼△AEC∴AF AC =DF EC Rt △ABC 中，AC =√62+82=10Rt △ABE 中，AE =√82+(323)2=403∴S △ABE =12×AB ×BE =12×AE ×BF ∴12×8×323=12×403×BF ∴BF =325Rt △ABF 中AF =√82−(325)2=245∴24510=DF 143∴DF =16875 ∴CE =143，DF =16875；（ⅱ）127. （1）证明：连接OM ，∵OB=OM ，∴∠OBM=∠OMB ，∵AB=AC ，AE 是∠BAC 的平分线， ∴AE ⊥BC ，即∠AEB=90°，∵BM 平分∠ABC ，∴∠OBM=∠MBE ，即∠OMB=∠MBE ， ∴OM ∥BC ，∴∠AMO=∠AEB=90°，∴AE 与⊙O 相切（2）解：∵AB=AC ，AE 是∠BAC 的平分线， ∴BE=CE ，AE ⊥BC ，∵BC=6，cosC ＝13 =CE AC ， ∴BE=CE=3，AB=AC=9， ∵OM ∥BE ，∴△AOM ∽△ABE ，∴AO AB =OM BE ，设半径为r ，则9−r 9=r 3，解得：r= 94，即⊙O 的半径为948. （1）证明：连接OE∵点D是线段OB的中点∴OD=12OB∵BC=OB，OB=OE，∴ODOE =OEOC=OBOC=12，又∵∠DOE=∠EOC，∴△EOD∽△COE，∴∠EDO=∠CEO，∵DE⊥AB，∴∠EDO=90°，∴∠CEO=90°，∴OE⊥CE，∵CE为⊙O的半径∴CE为⊙O的切线（2）解：连接OF，∵OF=OB=BC=2OD．∴ODOF =OFOC=12，又∵∠DOF=∠FOC，∴△ODF∽△OFC，∴ODOF =OFOC=DFFC=12，∵DF=2.5，∴FC=5．答：FC的长为5.9. （1）解：连接BD，∵D为弧AC的中点，∴弧AD=弧CD，∴∠DAC=∠ABD，∵AB为半圆O的直径，且DE⊥AB，∴∠ADF+∠DAE=∠DAE+∠ABD=90°，∴∠ADF=∠ABD，∴∠DAF=∠ADF；（2）解：连接OD交AC于点H，∵弧AD=弧CD，∴OH⊥AC，AD=CD=2√5，在Rt△AOH中，AH2=OA2−OH2，在Rt△ADH中，AH2=AD2−DH2，∴OA2−OH2=AD2−DH2，即52−OH2=(2√5)2−(5−OH)2，解得OH=3，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴OH=1BC，2∴BC=2OH=6．10. （1）证明：如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∠AEB＝90°，∴AD⊥BC，AE⊥BE，∵AB＝AC，∴BD＝DC，∵BO＝OA，∴OD为△BAC的中位线，∴OD∥AC，∴OD⊥BE．（2）解：∵△AGE≌△DGF，∴AE＝DF，∵AO＝OB，FO∥AE，∴EF＝FB，∴OF＝12AE＝12DF，∵AB＝2，∴OD＝12AB＝1，∴DF＝23OD＝23，∴AE＝DF＝23．11.（1）证明：如图，连接OD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，又∵AB=AC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD，∵AO=BO，BD=CD，∴OD//AC，∵DM⊥AC，∴OD⊥MN，又∵OD是半径，∴MN是⊙O的切线（2）解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠ABC+∠BAD=90°，∠ACB+∠CDM=90°，∴∠BAD=∠CDM，∵∠BDN=∠CDM，∴∠BAD=∠BDN，又∵∠N=∠N，∴ΔBDN∽ΔDAN，∴BNDN =DNAN，∴DN2=BN⋅AN=BN⋅(BN+AB)=BN⋅(BN+AC)（3）解：∵AB =AC ，∴∠ABC =∠C ，∴cosC =35=cos ∠ABC =BD AB ，∴设AB =5x ，BD =3x ，∴AD =√AB 2−BD 2=√25x 2−9x 2=4x ，∵ΔBDN ∽ΔDAN ，∴DN AN=BN DN =BD AD =34， ∴10AN =BN 10=34， ∴AN =403，BN =152，∴AB =AN −BN =356， ∴⊙O 的直径为356 . 12. （1）证明：连接CO ，由翻折可知∠ECH ＝∠BCH ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠BCH+∠ACH ＝90°，∵CD ⊥AB ，∴∠CAO+∠ACH ＝90°，∴∠BCH ＝∠CAO ＝∠ACO ，∴∠ECH ＝∠ACO ，即∠ACE+∠ECO ＝∠DCO+∠ECO ，∴∠ACE ＝∠DCO（2）解：连接CO ，由翻折可知∠B＝∠CEB，EH＝BH，∵∠B＝∠AMC，∠CEB＝∠AEM，∴∠AMC＝∠AEM，∴AE＝AM＝10，∴OC＝OA＝13，∴3+OH＝13﹣OH，∴OH＝5，∴sin∠ACE＝sin∠DCO＝51313. （1）证明：在⊙中，OA=OB=OC=OD，∵CE=DF，∴OC-CE=OD-DF，∴OE=OF，∵AB⊥CD，即AB⊥EF，∴四边形AEBF是菱形（2）解：①△OBG是等边三角形．理由如下：∵AB⊥CD，OG⊥EB，∴∠COB=∠OHB=90°，∴∠COG=90°-∠BOH=∠EBO，∵∠COG=∠EBG，∴∠EBO=∠EBG，∵BH=BH，∠BHO=∠BHG=90°∴△BHO≌△BHG（ASA）∴OB=GB，∵OB=OG，∴OB=OG=GB，∴△OBG是等边三角形．②设⊙的半径长为2m，则OC=OG=OB=2m，∵点E是OC的中点，∴OE=m，∴.BE=√m2+(2m)2=√5m，∵∠EOH=90°-∠BOH=∠EBO，∴△OEH∽△BEO，∴HOOE =OBBE=cos∠EBO，∴HOm =√5m，∴HO=2√55m，∴GH=2m−2√55m，∴GHHO =2m−2√55m2√55m=√5−114. （1）正方形、矩形（2）解：由“完美四边形”的定义可知：2×2+2×52=3BD，∴BD=3 .（3）解：①如图，在GE上取一点M，使∠GFM=∠HFE，∵∠FGM=∠FHE（同弧所对的圆周角相等），∴ΔFGM∽ΔFHE∴FGFH =GMHE∴FG⋅HE=FH⋅GM，∵∠GFM=∠HFE，∴∠GFH=∠MFE，又∵∠GHF=∠MEF，∴ΔGHF∽ΔMEF，∴GHME =HFFE，∴GH⋅FE=FH⋅ME，∴GH⋅FE+FG⋅HE=FH⋅ME+FH⋅GM=FH⋅(ME+GM)=FH⋅GE ∴四边形EFGH为“完美四边形”.②存在；理由：如下面图①，∵GE是直径，∴∠EFG=90°，∴GE=√62+82=10，ΔGEF的面积为1×6×8=242∴要使四边形GFEH面积最大，则只需ΔGEH面积最大，作HN⊥GE，垂足为N，则HN的值最大时，ΔGEH面积就最大，因为H点到直径DE的垂线段的长最大为半径，即垂足N点在原点时最大；如下面图②，当O点与N点重合时，由GE是直径，∴∠GHE=90°，∵HN垂直平分GE，∴HG=HE，∵GE2=GH2+HE2∴HG=HE==5√2；√2由它是“完美四边形”，∴10FH=6×5√2+8×5√2∴FH=7√2，∴存在，当FH=7√2时，面积最大.15. （1）证明：连接OC，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵OA=OC，∴∠OCA=∠CAB，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，又AD⊥PD，∴OC⊥PD，∴PC与⊙O相切；（2）证明：∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，∴弧AE=弧BE，∴∠ABE=∠ECB，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°，∵∠BCP+∠OCB=90°，∴∠BCP=∠BAC，∵∠BAC=∠BEC，∴∠BCP=∠BEC，∵∠PFC=∠BEC+∠ABE，∠PCF=∠ECB+∠BCP，∴∠PFC=∠PCF，∴PC=PF；（3）解：连接AE，在Rt△ACB中，tan∠ABC= 43，AC=8，∴BC=6，由勾股定理得，AB= √AC2+BC2=√82+62=10，∵弧AE=弧BE，∴AE=BE，则△AEB为等腰直角三角形，∴BE= √22AB=5√2 .16. （1）证明：连结OA，∵OC=AC，∴∠AOC=∠CAO．同理∠P=∠PAC．∵∠P+∠PAC+∠CAO+∠AOC=180°，即2（∠PAC+∠CAO）=180°，∴∠PAC+∠CAO=90°，即：∠PAO=90°，∴PA是⊙O的切线（2）证明：∵⊙O中，M点是半圆CD的中点，∴弧CM=弧DM，∴∠CAM＝∠DCM，又∵∠CMA＝∠NMC，∴△AMC∽△CMN，∴CMMN =AMCM，即CM2＝MN•MA.⑶连结DM，∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO＝90°，又∵PC＝2，∴PC＝CO＝AC=AO=2，∴CD=4，又∵CD是直径，∴∠CMD＝90°，再∵M为半圆CD的中点，∴CM＝DM，∴△CMD是等腰直角三角形，∴在Rt△CMD中，由勾股定理得CM2+DM2＝CD2，即2CM2＝42＝16，则CM2＝8，∴CM＝2√217. （1）证明：连接OA，∵BC是直径，∴∠BAC=90°∴∠ABO+∠C=90°，∵OA=OC，∠DAF=∠ABO∴∠C=∠OAC∴∠OAC+∠DAF=90°，∴∠OAF=180°-90°=90°即OA⊥AF，∴AF是圆O的切线.（2）解：∵DE⊥BC，∠IEB＝∠IAD＝90°，∠BIE＝∠AID，∴∠D＝∠B，∵∠DAF＝∠B，∴∠D＝∠DAF，∴tan∠B＝tan∠D＝AIAD =12，∴AD＝2AI，∵AD＝AB，∴BI＝IA，∴BE＝2IE，设IE＝a，则BE＝2a，BI＝AI＝√BE2+IE2=√4a2+a2=√5a，∴AC＝12AB＝√5a，AD=2√5a.在Rt△ABC中，BC＝√AC2＋AB2=√5a2+20a2＝5a，∴EC＝BC−BE＝5a−2a＝3a，∴ECIE＝3．（3）解：连接CH、BH．∵∠GAC＝∠DAF＝∠ABG，∠G＝∠G，∴△GAC∽△GBA，∴GCGA ＝GAGB＝ACAB＝12，∵CG＝10，∴GA＝20，BG＝40，BC＝30，∴BC＝5a＝30，∴a＝6，∴BE＝12，EC＝18，∵HE⊥BC，∴∠HEB＝∠EHC＝∠BHC＝90°，∴∠HBE＋∠BHE＝90°，∠BHE＋∠CHE＝90°，∴∠CEH＝∠EBH，∴△CEH∽△HEB，∴EH2＝BE•EC＝12×18，∴EH=6√6．18. （1）解：连接OC,∵FC=FE,OC=OB,∴∠FCE=∠FEC,∠OCB=∠OBC,∵FD⊥AB,∠FEC=∠DEB,∴∠DEB+∠DBE=90°=∠FEC+∠DBE,∴∠FCE+∠OCB=90°,∴OC⊥CF,∵OC为半径，∴CF是⊙O的切线，∴CF与⊙O有一个公共点（2）解：如图，过F作FQ⊥BC于Q,∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°,∴∠B+∠A=90°,∵FD⊥AB,∴∠B+∠DEB=90°,∴∠A=∠DEB,∵⊙O的半径为5,tanA=43=tan∠DEB,∴AB=10,BCAC =43,设BC=4n,则AC=3n,∴AB=√(4n)2+(3n)2=5n=10,∴n=2,∴BC=8,AC=6,∵E为BC的中点，∴BE=CE=4,由tan∠DEB=DBDE =43,设DB=4m,则DE=3m,∴BE=√(3m)2+(4m)2=5m=4,∴m=45,DB=165,DE=125,∵FE =FC,FQ ⊥CE,∴CQ =EQ =2,而tan ∠FEQ =tan ∠DEB =43, ∴QF QE =43，∴QF =83,∴EF =√22+(83)2=103,∴CF =103. 19. （1）证明：∵∠BFC =∠AED ，∴∠BFC =∠BAC ，∴∠AED =∠BAC ，∵OE ⊥AC 于点D ，∴∠ADE =90°，∴∠AED +∠DAE =90°，∴∠BAC +∠DAE =90°，∴OA ⊥AE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴AE 是⊙O 的切线；（2）证明：∵AD ⊥OE ，∴∠OAE =∠ODA =90°，∵∠AED =∠OAD ，∴△AOD ∽△EOA ，∴OA OE =OD OA ，即OA 2=OD ×OE ，∵OB =OA ，∴OB 2=OD ×OE ；（3）证明：∵AB 是⊙O 的直径，即∠ACB =90°， ∵OE ⊥AC 于点D ，∴OE//BC ，∴∠ODB=∠DBC，∴在Rt△BCD中，tan∠ODB=tan∠DBC=DCBC =23'设CD=2k，BC=3k，∴OD=12BC=32k，AD=CD=2k，∴OB=OA=√AD2+OD2=52k，∵OB2=OD×OE，∴OBOD =OEOB，∵∠BOD=∠EOB，∴△BOD∽△EOB，∴S△OBDS△OEB =(ODOB)2=925，∵S1=2S△OBD,S2=S△OBE−S△OBD，∴S1S2=9×225−9=1816=98．20. （1）解：如图，连接OC．∵⊙O与PC相切于点C，∴OC⊥PC，即∠OCP=90°．∵∠P=42°，∴∠COB=90°−∠P=48°．在Rt△OPC中，∠CAB+∠ACO=∠COP=48°，∵OA=OC，∴∠CAB=∠ACO，∴∠CAB=24°；（2）解：∵E为AC的中点，∴OD⊥AC，即∠AEO=90°．在Rt△AOE中，由∠EAO=10°，得∠AOE=90°−∠EAO=80°．∴∠ACD=1∠AOD=40°．2∵∠ACD是△ACP的一个外角，∴∠P=∠ACD−∠CAP=30°．21. （1）解：∵∠AOB=120°，∴∠ACB=1∠AOB=60°．2如图①，连接OC，∵AC=BC，∴∠AOC=∠BOC．∵∠AOC+∠BOC+∠AOB=360°，∴∠AOC=1×(360°−120°)=120°．2∵OA=OC，∴∠CAO=∠ACO=1×(180°−120°)=30°；2（2）解：如图②，连接OC，设∠ACD=x，∵AC=AD，∴∠ADC=∠ACD=x，∴∠CAB=2x．∵∠AOB=120°,OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=1×(180°−∠AOB)=30°．2∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°．∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC．∴90°−x=2x−30°，解得x=40°．∴∠CAB=80°，∴∠CAO=∠CAB−∠OAB=50°．22. （1）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵∠ADC=56°，∴∠CDB=90°−∠ADC=90°−56°=34°．∴在⊙O中，∠COB=2∠CDB=2×34°=68°．（2）解：∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD．即∠ODC+∠CDB=∠OBD，∵∠ABD=2∠CDB,∠ODC=20°，∴20°+∠CDB=2∠CDB，∴∠CDB=20°，∵CE⊥DE，∴∠CED=90°，∴在Rt△CDE中，∠DCE=90°−∠CDE=90°−20°=70°．23.（1）解：连接AE．∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，即AE⊥BC．∵AB=AC，∴∠BAE=∠CAE=35°．∴∠DFE=∠DAE=35°．（2）解：连接FG．∵AC与⊙O相切于点D，∴AC⊥OD．即∠ODA=90°．∴∠AOD=90°−∠A=20°．∴∠FOG=∠AOD=20°．∵OF=OG，∴∠OFG=∠OGF=80°．∵四边形DFGE是圆的内接四边形，∴∠F+∠DEG=180°．∴∠DEG=100°．24. （1）证明：连接OD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠OBD＝∠C，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，点D在⊙O上，∴DF是⊙O的切线（2）解：连接BE ，∵AB 是直径，∴∠AEB ＝90°，∵AB ＝AC ，AC ＝3AE ，∴AB ＝3AE ，CE ＝4AE ，∠ABC ＝∠C ， ∴BE ＝√AB 2−AE 2＝2 √2 AE ，在Rt △BEC 中，tan ∠C ＝BE CE =2√2AE 4AE ＝√22 . ∴tan ∠ABC =√22， ∵AH ⊥AB ，∴∠BAH ＝90°，设AH ＝√2 a ，AB ＝2a ，∴tan ∠AHB ＝AB AH ＝√2a ＝√225. （1）解：连接OE ，OC ．在△OEC 与△OAC 中，{OE =OA,OC =OC,CE =CA,∴△OEC ≌△OAC ．∴∠OEC=∠OAC ．∵∠OAC=90°，∴∠OEC=90°．∴OE ⊥CF 于E ．∴CF 与⊙O 相切．（2）解：连接AD ．∵∠OEC=90°，∴∠OEF=90°．∵⊙O 的半径为3，∴OE=OA=3．在Rt △OEF 中，∠OEF=90°，OE= 3，EF= 4，∴OF=√OE2+EF2=5，tanF=OEEF =34．在Rt△FAC中，∠FAC=90°，AF=AO+OF=8，∴AC=AF⋅tanF=6．∵AB为直径，∴AB=6=AC，∠ADB=90°．∴BD= BC2．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∴BC=√AB2+AC2=6√2．∴BD= 3√2．26. （1）解：PA与⊙O相切.理由：连接CD，∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∴∠D+∠CAD=90°，∵∠B=∠D，∠PAC=∠B，∴∠PAC=∠D，∴∠PAC+∠CAD=90°，即DA⊥PA，∵点A在圆上，∴PA与⊙O相切（2）证明：如图2，连接BG，∵AD为⊙O的直径，CG⊥AD，∴弧AC=弧AG，∴∠AGF=∠ABG，∵∠GAF=∠BAG，∴△AGF∽△ABG，∴AG：AB=AF：AG，∴AG2=AF•AB（3）解：如图3，连接BD，∵AD是直径，∴∠ABD=90°，∴AG2=AF⋅AB,AG=AC=2√5,AB=4√5，∴AF=AG2AB=√5，∵CG⊥AD，∴∠AEF=∠ABD=90°，∵∠EAF=∠BAD，∴△AEF∽△ABD，∴AEAB =AFAD，即4√5=√510，解得：AE=2，∴EF=√AF2−AE2=1，∵EG=√AG2−AE2=4∴FG=EG−EF=4−1=3，∴SΔAFG=12FG⋅AE=12×3×2=3 .。

初一数学期中考试压轴题【呕心沥血整理版】

初一数学期中考试压轴题:探索类附加题【难度】★★★★☆【考点】有理数计算、分数拆分、方程思想【清华附中期中】解答题：有8个连续的正整数，其和可以表示成7个连续的正整数的和，但不能表示为3个连续的正整数的和，求这8个连续的正整数中最大数的最小值.（4分）【解析】设这八个连续正整数为：n,n+1……n+7；和为8n+28可以表示为七个连续正整数为：k，k+1……k+6;和为7k+21所以8n+28=7k+21,k=（8n+7）/7=n+1+n/7，k是整数所以n=7,14,21,28……当n=7时，八数和为84=27+28+29，不符合题意，舍当n=14时,八数和为140，符合题意【答案】最大数最小值：21【难度】★★★★★【考点】倒数的定义、有理数计算、分类讨论思想【人大附中期中】已知x，y是两个有理数,其倒数的和、差、积、商的四个结果中，有三个是相等的，(1）填空:x与y的和的倒数是；(2）说明理由。

【解析】设x，y的倒数分别为a，b（a≠0，b≠0，a+b≠a-b)，则a+b，a-b，ab，a/b中若有三个相等,ab=a/b，即b²=1,b=±1分类如下：①当a+b=ab=a/b时：如果b=1，无解；如果b=—1，解得a=0.5②当a—b=ab=a/b时：如果b=1，无解；如果b=—1，解得a=-0。

5所以x、y的倒数和为a+b=—0。

5，或-1。

5【难度】★★★★☆【考点】绝对值化简【101中学期中】将1，2，3,…，100这100个自然数，任意分成50组，每组两个数,现将每组中的两个数记为a，b，代入中〈=”" p=”” style="max—width： 100％； border： 0px；”>进行计算，求出结果，可得到50个值，则这50个值的和的最小值为____【解析】绝对值化简得:当a≥b时，原式=b；当a所以50组可得50个最小的已知自然数，即1,2,3,4 (50)【答案】1275【老杨改编】这50个值的和的最大值为____【解析】因为本质为取小运算，所以100必须和99一组，98必须和97一组,最后留下的50组结果为:1，3，5，7……99=2500 【难度】★★★★☆【考点】有理数计算【清华附中期中】在数1,2，3，4……1998，前添符号“+”或“—”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少?（6分）【解析】最小的非负数为“0”,但是1998个正数中有999个奇数，999个偶数，他们的和或者差结果必为奇数，因此不可能实现“0”可以实现的最小非负数为“1”,如果能实现结果“1”，则符合题意相邻两数差为1，所以相邻四个数可以和为零，即n-（n+1）—(n+2)+n+3=0从3,4,5，6……1998共有1996个数,可以四个连续数字一组，和为零【答案】—1+2+3—4-5+6+7……+1995—1996-1997+1998=1【老杨改编】在数1,2,3,4……n，前添符号“+”或“-”，并依次运算,所得可能的最小非负数是多少?【解析】由上面解析可知，四个数连续数一组可以实现为零如果n=4k，结果为0;(四数一组，无剩余）如果n=4k+1，结果为1;（四数一组，剩余首项1）如果n=4k+2，结果为1；(四数一组，剩余首两项-1+2=1)如果n=4k+3,结果为0;(四数一组，剩余首三项1+2—3=0）初一数学期中考试压轴题：列方程解应用题【难度】★★★☆☆【考点】表格阅读题,列一元一次方程解应用题【五中分校期中】某校初一甲、乙两班共103人(其中甲班人数多于乙班人数，每班人数均在100以内）去游该公园，如果两班都以班为单位分别购票,则一共需付486元.(1)如果两班联合起来，作为一个团体购票,则可以节约多少钱？(2）两班各有多少名学生？【解析】(1）节省=486—103＊4=74元(2)设甲班有x人，则乙班有（103—x）人103*4.5=463。

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期中压轴题猜想
1．如图①，在正方形ABCD 中，E 是AB 上的一点，F 是AD 延长线上一点，且DF ＝BE ．（1）在图①中，若G 是AD 上，∠GCE ＝45°，说明：GE ＝BE ＋GD
（2）运用（1）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图②，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC （BC ＞AD ），∠B ＝90°，AB ＝CB ＝12，E 是AB 边上的一点， ∠DCE ＝45°，BE ＝4，求DE 的长．
2.（06安徽）如图（ l ) ，凸四边形 ABCD ，如果点P 满足∠APD ＝∠APB =α。

且∠B P C ＝∠CPD ＝β，则称点P 为四边形 ABCD 的一个半等角点．
（1）在图（ 3 ）正方形 ABCD 内画一个半等角点P ，且满足α≠β。

（2）在图（ 4 ）四边形 ABCD 中画出一个半等角点P ，保留画图痕迹（不需写出画法）。

（3）若四边形 ABCD 有两个半等角点P 1 、P 2（如图（ 2 ) ) ，证明线段P 1 P 2上任一点也是它的半等角点。

图① 图② B C
A D
E
3． (2011徐州)如图，将矩形纸片ABCD 按如下顺序进行折叠：对折、展平，得折痕EF(如图①)；沿GC 折叠，使点B 落在EF 上的点B ’处(如图②)；展平，得折痕GC(如图③)；沿GH 折叠，使点C 落在DH 上的点C ’处(如图④)；沿GC ’折叠(如图⑤)；展平，得折痕GC ’、GH(如图⑥)．
（1）求图②中∠BCB ’的大小；
（2）图⑥中的△GCC ’是正三角形吗？请说明理由．
图⑤
图⑥
D
图④
图③
D
图②
D 图①
4．（2011江西）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC =θ（0°＜θ＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB ，AC 上. 活动一：
如图甲所示，从点A 1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直. （A 1A 2
为第1根小棒）
数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？答： .(填“能”或“不能”) （2）设AA 1=A 1A 2=A 2A 3=1. ①θ=_________度；
②若记小棒A 2n -1A 2n 的长度为a n （n 为正整数，如A 1A 2=a 1，A 3A 4=a 2，…），求出此时a 2，a 3的值，并直接写出a n （用含n 的式子表示）.
活动二：如图乙所示，从点A 1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A 1A 2为第一根小棒，且A 1A 2=AA 1.
A 1
A 2 A
B C
A 3
A 4
A 5
A 6 a 1
a 2
a 3 图甲
C A B E F M N
图①
C
A
B
E M
N 图②
数学思考：
（3）若已经摆放了3根小棒，则θ1 =_________，θ2=________， θ3=________；（用含θ
的式子表示）
（4）若只能．．摆放4根小棒，求θ的范围.
5．已知Rt △ABC 中，︒=∠90ACB ，CB CA =，有一个圆心角为︒45，半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，且直线CE ，CF 分别与直线AB 交于点M ，N ．
（Ⅰ）当扇形CEF 绕点C 在ACB ∠的内部旋转时，如图①，求证：222BN AM MN +=；思路点拨：考虑222BN AM MN +=符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．请你完成证明过程：
（Ⅱ）当扇形CEF 绕点C 旋转至图②的位置时，关系式222BN AM MN +=是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
A 1
A 2 A
B
C 图乙
A 3 A 4
1θ 2θ
3θ
6.如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PA PB PC ，，，以BP 为边作60PBQ ∠=
，且BQ BP =，连结CQ ．（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．（2）若::3:4:5PA PB PC =，连结PQ ，试判断PQC △的形状，并说明理由．
7.如图，A ，B 是公路l （l 为东西走向）两旁的两个村庄，A 村到公路l 的距离AC ＝1km ，B 村到公路l 的距离BD ＝2km ，B 村在A 村的南偏东45
方向上．
（1）求出A ，B 两村之间的距离；
（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P ，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P 的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．
8.如图，已知
的面积记为S ，△PAB 与△PCD 的面积分别记为S 1和S 2。

（1）如图①，点P 在边AD 上，则S 1+S 2 2
1
S （填“＜”“＞”或“=” （2）如图②，点P 在内部，则S 1+S 2 21
S
（3）如图③，点P 在外部，则S 1+S 2 2
1
S
东
Q C
P
A
B
D。

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