2018年高考一轮北师大版数学理科 第10章 第7节 离散型随机变量及其分布列
【创新设计】高三数学一轮复习 离散型随机变量的分布列课件 北师大版
(理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对 于刻画随机现象的重要性/理解两点分布和超几何分布的意义，并能进 行简单的应用)
1．随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变 量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．
2．离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出， 这样的随机变量叫做离散型随机变量．
二项分布是常见的离散型随机变量的分布．一般地，如果能考虑的试验可 以看做是一个只有两个可能结果A和 的独立重复试验，则n次试验中 A发生的次数ξ服从二项分布．注意在实际应用中往往出现数量“较大”、 “很大”、“非常多”等字眼，这表明试验可视为独立重复试验．
【例2】甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为 ， 乙每次击中目标的概率为 . (1)记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望Eξ； (2)求乙至多击中目标2次的概率； (3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．
1
2
P
解析：由题意“任意连续取出2件”可认为两次独立重复试验，则次品数 ξ服从二项分布．即ξ～B(2,0.05)∴P(ξ＝0)＝ 0.952＝0.902 5； P(ξ＝1)＝ 0.95×0.05＝0.095；P(ξ＝2)＝ 0.052＝0.002 5. 则ξ的概率分布为
ξ
0
1
2
P
0.902 5
0.095
读者是否注意到本题中标有两个同样数字的球是否有“区别”，标准答案 中是按有“区别”进行计算的．如标有同样数字的球没有“区别”比如第 一问的正确解法应该是： P(A)＝ 孰是孰非读者自有公论，本人认为这是高考题的一大败笔.
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第七节 离散型随机变量及其分布列
【解析】 由已知得 X 的所有可能取值为 0,1， 且 P(X＝1)＝2P(X＝0)， 1 由 P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，得 P(X＝0)＝ . 3
离散型随机变量分布列的性质 设离散型随机变量X的分布列为
X P 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m
求随机变量η＝|X－1|的分布列．
解
(1)由题意，得 X 取 3,4,5,6， 1 2 C3 5 C · C 10 5 4 5 且 P(X＝3)＝ 3＝ ，P(X＝4)＝ 3 ＝ ， C9 42 C9 21 1 3 C2 · C 5 C 1 4 5 4 P(X＝5)＝ 3 ＝ ，P(X＝6)＝ 3＝ ， C9 14 C9 21
1 ．利用分布列中各概率之和为 1 可求参数的值， 此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数． 2．若 X是随机变量，则η＝|X－ 1|等仍然是随机变
量，求它的分布列可先求出相应随机变量的值，再根
据对应的概率写出分布列．
设离散型随机变量X的分布列为
X P 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m
是二项式[(1－p)＋p]n的展开式中的第k＋1项．
随机变量X服从二项分布
特点： （1）每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发 生； （2）任何一次试验中，A事件发生的概率相同，即 相互独立，互不影响试验的结果。
5． 二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系？
1．两点分布是特殊的二项分布 (1 p)
(1)由统计数据得到离散型随机变量分布列； (2)由古典概型求出离散型随机变量分布列； (3)由互斥事件、独立事件的概率求出离散型随机变 量分布列． (4)由三种分布（两点分布、超几何分布、二项分布） 求出离散型随机变量分布列。
高三数学北师大版(理)一轮复习讲义第10章 第6节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布
第六节离散型随机变量的均值与方差、正态分布[考纲传真] 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念.2.会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单实际问题.3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为P(X＝a i)＝p i(i＝1,2，…，r)．(1)均值EX＝a1p1＋a2p2＋…＋a r p r，均值EX刻画的是X取值的“中心位置”．(2)方差DX＝E(X－EX)2为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度．2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aEX＋b．(2)D(aX＋b)＝a2DX(a，b为常数)．3．两点分布与二项分布的均值、方差(1)X～N(μ，σ2)，表示X服从参数为μ和σ2的正态分布．(2)正态分布密度函数的性质：①函数图像关于直线x＝μ对称；②σ(σ＞0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦”； ③p (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝68.3%； p (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝95.4%； p (μ－3σ＜X ＜μ＋3σ)＝99.7%. [常用结论]1．均值与方差的关系：DX ＝EX 2－E 2X .2．超几何分布的均值：若X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布，则EX ＝nMN .[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的． ( ) (2)若X ～N (μ，σ2)，则μ，σ2分别表示正态分布的均值和方差． ( ) (3)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量．( )(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小.( )[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．(教材改编)已知X 的分布列为A.73 B ．4 C ．－1 D ．1 A [由概率分布列的性质可知：12＋13＋a ＝1，∴a ＝16. ∴EX ＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13. ∴EY ＝3＋2EX ＝3－23＝73.]3．已知随机变量X ＋η＝8，若X ～B (10,0.6)，则随机变量η的均值Eη及方差Dη分别是( )A ．6和2.4B ．2和2.4C ．2和5.6D ．6和5.6B [设随机变量X 的均值及方差分别为EX ，DX ，因为X ～B (10,0.6)，所以EX ＝10×0.6＝6，DX ＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，故Eη＝E (8－X )＝8－EX ＝2，Dη＝D (8－X )＝DX ＝2.4，故选B ．]4．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ＜4)＝0.8，则P (0＜ξ＜4)＝________.0.6 [由P (ξ＜4)＝0.8，得P (ξ≥4)＝0.2.又正态曲线关于x ＝2对称． 则P (ξ≤0)＝P (ξ≥4)＝0.2，∴P (0＜ξ＜4)＝1－P (ξ≤0)－P (ξ≥4)＝0.6.]5．随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝Ck (k ＋1)，k ＝1,2,3，C 为常数，则P (0.5＜X ＜2.5)＝________.89 [由P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1，得C 1×2＋C 2×3＋C 3×4＝1，解得C ＝43.所以P (0.5＜X ＜2.5)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝23＋29＝89.]求离散型随机变量的均值、方差【例1】 (1)(2017·全国卷Ⅱ改编)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则DX ＝( )A ．1.96B ．1.98C ．2D ．2.02(2)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．①求甲获胜的概率；②求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列与期望．(1)A [依题意，X ～B (100,0.02)，所以DX ＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.] (2)[解] 设A k ，B k 分别表示“甲、乙在第k 次投篮投中”， 则P (A k )＝13，P (B k )＝12，其中k ＝1,2,3.①记“甲获胜”为事件C ，由互斥事件与相互独立事件的概率计算公式知 P (C )＝P (A 1)＋P (A 1B 1A 2)＋P (A 1A 1A 2B 2A 3)＝P (A 1)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)P (A 3)＝13＋23×12×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×13＝13＋19＋127＝1327.②ξ的所有可能取值为1,2,3，且P (ξ＝1)＝P (A 1)＋P (A 1B 1)＝13＋23×12＝23， P (ξ＝2)＝P (A 1A 1A 2)＋P (A 1A 1A 2B 2)＝23×12×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝29，P (ξ＝3)＝P (A 1A 1A 2B 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝19.综上知，ξ的分布列为所以Eξ＝1×23＋2×29＋3×19＝139.个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝53，Dη＝59，求a∶b∶c.[解](1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6，故P(ξ＝2)＝3×36×6＝14，P(ξ＝3)＝2×3×26×6＝13，P(ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，P(ξ＝5)＝2×2×16×6＝19，P(ξ＝6)＝1×16×6＝136.所以ξ的分布列为(2)由题意知η的分布列为所以Eη＝aa ＋b ＋c ＋2b a ＋b ＋c ＋3c a ＋b ＋c＝53，Dη＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－532·a a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－532·b a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－532·c a ＋b ＋c ＝59，化简得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0.解得a ＝3c ，b ＝2c ，故a ∶b ∶c ＝3∶2∶1. 均值与方差在决策中的应用【例2】 根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流每年最高水位X (单位：米)的频率分布直方图如图：将河流最高水位落入各组的频率视为概率，并假设每年河流最高水位相互独立．(1)求在未来三年里，至多有一年河流最高水位X ∈[27,31)的概率(结果用分数表示)；(2)该河流对沿河A 企业影响如下：当X ∈[23,27)时，不会造成影响；当X ∈[27,31)时，损失10 000元；当X ∈[31,35]时，损失60 000元．为减少损失，现有三种应对方案：方案一：防御35米的最高水位，每年需要工程费用3 800元； 方案二：防御31米的最高水位，每年需要工程费用2 000元； 方案三：不采取措施．试比较上述三种方案，哪种方案好，并请说明理由． [解] (1)由题意得P (27≤X ＜31)＝0.25＝14.设在未来3年里，河流最高水位x ∈[27,31)发生的年数为Y ，则Y ～N ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14.设事件“在未来三年里，至多有一年河流最高水位X ∈[27,31)”为事件A ， 则P (A )＝P (Y ＝0)＋P (Y ＝1)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫343＋C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫342×14＝2732. 所以在未来三年里，至多有一年河流最高水位X ∈[27,31)的概率为2732. (2)方案二好，理由如下： 由题意得P (23≤X ＜27)＝0.74， P (31≤X ≤35)＝0.01，用X 1，X 2，X 3分别表示方案一、方案二、方案三的损失， 由题意得X 1＝3 800，X 2的分布列为所以EX 2＝62 000×0.01＋2 000×0.99＝2 600. X 3的分布列为所以EX 3＝0×0.74＋60 000×0.01＋10 000×0.25＝3 100. 因为三种方案中方案二的平均损失最小，所以采取方案二好．据以往数据统计，甲、乙两地该商品需求量(单位：件)的频率分布表如下：甲地需求量频率分布表(1)若此供货商计划将10件该商品全部配送至甲、乙两地，为保证两地不缺货(配送量≥需求量)的概率均大于0.7，问该商品的配送方案有哪几种？(2)已知甲、乙两地该商品的销售相互独立，该商品售出，供货商获利2万元/件；未售出的，供货商亏损1万元/件．在(1)的前提下，若仅考虑此供货商所获净利润，试确定最佳配送方案．[解](1)由表格可知，甲地不缺货的概率大于0.7时，至少需配货5件；乙地不缺货的概率大于0.7时，至少需配货4件．故共有两种方案：方案一是甲地配5件，乙地配5件；方案二是甲地配6件，乙地配4件．(2)方案一：甲地配5件，乙地配5件时，记甲地的利润为X1万元，乙地的利润为Y1万元，则X1，Y1的分布列分别为所以选择方案一时，此供货商净利润的期望为E(X1)＋E(Y1)＝(7×0.5＋10×0.5)＋(4×0.6＋7×0.3＋10×0.1)＝8.5＋5.5＝14(万元)．方案二：甲地配6件，乙地配4件时，记甲地的利润为X2万元，乙地的利润为Y2万元，则X2，Y2的分布列分别为所以选择方案二时，此供货商净利润的期望为E (X 2)＋E (Y 2)＝(6×0.5＋9×0.3＋12×0.2)＋(5×0.6＋8×0.4)＝8.1＋6.2＝14.3(万元)．综上，仅考虑此供货商所获净利润，选择方案二更佳． 正态分布【例3】 (2017·全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性； ②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：116(∑16i ＝1x 2i －16x 2)≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)用样本平均数x 作为μ的估计值μ，用样本标准差s 作为σ的估计值σ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ<Z＜μ＋3σ)＝99.74%,0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.[解](1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6，故X～B(16,0.002 6)．因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8.X的数学期望EX＝16×0.002 6＝0.041 6.(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．②由x＝9.97，s≈0.212，得μ的估计值为μ＝9.97，σ的估计值为σ＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115×(16×9.97－9.22)＝10.02.因此μ的估计值为10.02.∑16i＝1x2i＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134，剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为115×(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为0.008≈0.09.点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(－1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝68.3%，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝95.4%.A．1 193 B．1 355C．2 718 D．3 413(2)甲、乙两厂生产的一批零件尺寸服从N(5,0.12)，如果零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)以外，我们就有理由认为生产中可能出现了异常情况．现从甲、乙两厂各抽取10件零件检测，尺寸如茎叶图所示：则以下判断正确的是()A．甲、乙两厂生产都出现异常B．甲、乙两厂生产都正常C．甲厂生产正常，乙厂出现异常D．甲厂生产出现异常，乙厂正常(1)B(2)D[(1)对于正态分布N(－1,1)，μ＝－1，σ＝1，正态曲线关于x＝－1对称，故题图中阴影部分的面积为12×[P(－3＜X＜1)－P(－2＜X＜0)]＝12×[P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)－P(μ－σ＜X＜μ＋σ)]＝12×(95.4%－68.3%)＝0.135 5，所以点落入题图中阴影部分的概率P＝0.135 51＝0.135 5，投入10 000个点，落入阴影部分的个数约为10 000×0.135 5＝1 355.(2)由甲、乙两厂生产的一批零件尺寸服从N(5,0.12)，得μ＝5，σ＝0.1，区间(μ－3σ，μ＋3σ)，即区间(4.7,5.3)，根据茎叶图可知，甲厂生产的零件有1件尺寸超出上述区间，乙厂生产的零件尺寸均在上述区间，所以甲厂生产出现异常、乙厂生产正常．故选D．](2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0＜p＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？[解](1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝C220p2(1－p)18.因此f′(p)＝C220[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2C220p(1－p)17(1－10p)．令f′(p)＝0，得p＝0.1.当p∈(0,0.1)时，f′(p)＞0；当p∈(0.1,1)时，f′(p)＜0.所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.(2)由(1)知，p＝0.1.①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180,0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以EX＝E(40＋25Y)＝40＋25EY＝490.②如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．由于EX＞400，故应该对余下的产品作检验．。
高考理科第一轮课件(10.7离散型随机变量及其分布列)
5.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3道抢答题，比赛规
定：对于每一道题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答
正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X是
甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能 取值是＿＿＿＿＿． 【解析】甲获胜且获得最低分的情况是：甲抢到一道题并回答 错误，乙抢到两道题并且都回答错误，此时甲得－1分，故X的 所有可能取值为－1,0,1,2,3. 答案：－1,0,1,2,3
(4)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥 的.( )
(5)如果随机变量X的分布列由下表给出， X P 2 0.3 ) 5 0.7
则它服从超几何分布.(
【解析】(1)正确.离散型随机变量的分布列是所有离散型随机 变量的概率分布情况，因此该说法是正确的. (2)错误.有些离散型随机变量的概率可以用公式表示出来，但 分布列不能. (3)错误.由概率分布列的性质可知：在分布列中随机变量的概 率之和为1.
a1
a2 p2
p1
.
(2)离散型随机变量分布列的性质
> 1 ①pi__0(i=1,2,„);②p1+p2+„=__.
3.超几何分布
一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品，从中任取 n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么，
C k C n kM M N Cn P(X=k)=＿＿＿＿(其中k为非负整数).如果一个随机变量的分布 N
则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为( (A)0.28 (B)0.88 (C)0.79 (D)0.51
)
(2)一个均匀的正四面体的四个面上分别标有1,2,3,4四个数字， 现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为x1，x2，记X ＝(x1－3)2＋(x2－3)2. ①分别求出X取得最大值和最小值时的概率； ②求X的分布列．
高考数学一轮复习第10章第7讲离散型随机变量及其分布列课件理
B.3
C.4
D.12
答案 C
答案
解析 由分布列的性质得，112＋16＋13＋16＋p＝1， 解得 p＝14.
解析
(4)从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，则所选 3 人中女
生人数不超过 1 人的概率是________．
答案
4 5
解析 设所选女生人数为 x，则 x 服从超几何分布， 其中 N＝6，M＝2，n＝3，则 P(x≤1)＝P(x＝0)＋P(x＝1)＝CC20C36 34＋CC21C36 24＝45.
B．P(ξ＞1)＝45
C．P(2＜ξ＜4)＝25 D．P(ξ＜0.5)＝0
答案 C
答案
解析 由离散型随机变量 ξ 的概率分布列得， P(ξ＜3)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝110＋15＋110＋15＝35，故 A 错误；P(ξ＞1)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝15＋25＝35，故 B 错误；P(2＜ξ＜4)＝P(ξ ＝3)＝25，故 C 正确；P(ξ＜0.5)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)＝110＋15＝130，故 D 错误．
(4)若随机变量 X 的分布列由下表给出， X2 5 P 0.3 0.7
则它服从两点分布．( × )
2．小题热身
(1)已知 8 件产品中有 2 件次品，从中任取 3 件，取到次品的件数为随
机变量 ξ，那么 ξ 的可能取值为( )
A．0,1
B．1,2
C．0,1,2
D．0,1,2,3
答案 C 解析 由于只有 2 件次品，所以 ξ 的可能取值为 0,1,2.
□n
②
05 pi＝1
i＝1
.
3．常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布 若随机变量 X 服从两点分布，即其分布列为
(新课标)高三数学一轮复习 第10篇 离散型随机变量及其分布列学案 理-人教版高三全册数学学案
第六十五课时离散型随机变量及其分布列课前预习案1.会求与现实生活有密切关系的离散型随机变量的分布列；2.掌握二点分布与超几何分布的特点，并会应用．1．离散型随机变量如果随机变量X的所有可能的取值都能出来，则称X为离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列及性质(1)离散型随机变量的分布列：若离散型随机变量X所有可能取的值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1,2，…，n)的概率为p1，p2，…，p n，则表称为离散型随机变量X(2)离散型随机变量分布列的性质：①p i 0 ， (i＝1,2,3，…，n)；②p1＋p2＋…＋p n＝；③P(x i≤x≤x j)＝p i＋p i＋1＋…＋p j.3．常见离散型随机变量的分布列(1)二点分布：如果随机变量X的分布列为其中0<p<1，q＝，则称离散型随机变量p的二点分布．(2)超几何分布：设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，当X＝m时的概率为P(X＝m)＝(0≤m≤l，l为n和M 中较小的一个)，称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n 的超几何分布．1． 设随机变量X 的分布列如下：则p ＝________.2． 设某运动员投篮投中的概率为0.3，则一次投篮时投中次数X 的分布列是________．3． 在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为_____________．4． 已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝12k ，k ＝1,2，…，则P (2<X ≤4)等于( )A.316B.14C.116D.5165． 随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)等于 ( )A.16 B.13C.12D.23课堂探究案考点1 离散型随机变量的分布列的性质【典例1】设随机变量ξ的分布列为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝k 5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)，则常数a 的值为________，P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ≥35＝________.【变式1】 若离散型随机变量X 的分布列为则常数c ＝________，P (X ＝1)＝________.考点2 离散型随机变量的分布列的求法及应用【典例2】随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润(单位：万元)为ξ. (1)求ξ的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即ξ的均值)；【变式2】某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至．．．3件，否则不进货．．．，将频率视为概率． (1)求当天商店不进货．．．的概率； (2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的概率分布列和数学期望．考点3 超几何分步【典例3】一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的分布列．【变式3】2013年10月1日，为庆祝中华人民共和国成立64周年，来自北京大学和清华大学的6名大学生志愿者被随机平均分配到天安门广场运送矿泉水、打扫卫生、维持秩序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有1名北京大学志愿者的概率是35.(1)求打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各1名的概率；(2)设随机变量ξ为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数，求ξ的分布列．1．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为( )A ．1B ．1±22C ．1－22D ．1＋222． 某射手射击所得环数X 的分布列为)A ．0.28B ．0.88C ．0.79D ．0.513． 设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( )A ．0B.12 C.13 D.234． 在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)5． 设随机变量X 等可能取值为1,2,3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，那么n ＝______.课后拓展案组全员必做题1． 随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝a n (n ＋1) (n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52的值为( )A.23B.34C.45D.562．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是( )A．ξ＝4 B．ξ＝5 C．ξ＝6 D．ξ≤53．设随机变量X的概率分布列如下表所示：X 01 2P a 1316F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1,2)时，F(x)等于 ( )A.13B.16C.12D.564．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝12k－1，k＝1,2,3，…，n，则P(2<ξ≤5)＝________. 5．设随机变量X的概率分布列为X 123 4P 13m1416则P(|X－3|＝1)＝________.6.已知随机变量ξ只能取三个值：x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是________．7.从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的概率分布列为X 01 2P8.从一批含有13件正品与2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得次品数的分布列．B组提高选做题1．如图所示，A、B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ，则P(ξ≥8)＝_______.2.某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查．瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力．某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果．例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人.力为中等或中等以上的概率为25.(1)试确定a ，b 的值；(2)从40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率； (3)从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．参考答案1．【答案】 13【解析】 由分布列的性质知：所有概率之和为1，所以p ＝13.2． 【答案】30,1,2.P (η＝0)＝C 11C 11C 12C 12＝14，P (η＝1)＝C 11C 11×2C 12C 12＝12，P (η＝2)＝C 11C 11C 12C 12＝14.∴η的分布列为4．【答案】 A【解析】 P (2<X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝123＋124＝316.5． 【答案】 D【解析】 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.【典例1】【答案】115 45【解析】随机变量ξ的分布列为由a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，解得a ＝15.P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ≥35＝P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ＝35＋P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ＝45＋P (ξ＝1)＝3a ＋4a ＋5a ＝12a ＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫或P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ≥35＝1－P (ξ≤25)＝1－3a ＝45.【变式1】【答案】 13 13【解析】 由离散型随机变量分布列的性质可知： ⎩⎪⎨⎪⎧9c 2－c ＋3－8c ＝10≤9c 2－c ≤10≤3－8c ≤1，解得c ＝13.P (X ＝1)＝3－8×13＝13.【典例2】【解析】 (1)由于1件产品的利润为ξ，则ξ的所有可能取值为6,2,1，－2，由题意知P (ξ＝6)＝126200＝0.63，P (ξ＝2)＝50200＝0.25，P (ξ＝1)＝20200＝0.1，P (ξ＝－2)＝4200＝0.02.故ξ的分布列为(2)1件产品的平均利润为E 4.34(万元)． 【变式2】【解析】 (1)P (当天商店不进货)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310. (2)由题意知，X 的可能取值为2,3.P (X ＝2)＝P (当天商品销售量为1件)＝520＝14；P (X ＝3)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为2件)＋P (当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34. 所以X 的概率分布列为故X 的数学期望为E (X )＝2×14＋3×34＝114.【典例3】【解析】 (1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为x ，则P (A )＝1－C 210－x C 210＝79，得到x ＝5.故白球有5个．(2)X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝3， 其中P (X ＝k )＝C k 5C 3－k5C 310，k ＝0,1,2,3.于是可得其分布列为【变式3】【解析】(1)A ，则事件A的对立事件为“没有北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”，设有北京大学志愿者x 名，1≤x <6，那么P (A )＝1－C 26－x C 26＝35，解得x ＝2，即来自北京大学的志愿者有2名，来自清华大学的志愿者有4名．记“打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各1名”为事件B ，则P (B )＝C 12C 14C 26＝815，所以打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各1名的概率是815.(2)在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数ξ服从超几何分布， 其中N ＝6，M ＝2，n ＝2，于是 P (ξ＝k )＝C k 2C 2－k4C 26，k ＝0,1,2，∴P (ξ＝0)＝C 02C 24C 26＝25，P (ξ＝1)＝C 12C 14C 26＝815，P (ξ＝2)＝C 22C 04C 26＝115.所以ξ的分布列为1．【答案】 C【解析】 由分布列的性质得： 2211212112010q q q q ⎧+-+=⎪⎪>-≥⎨⎪-≥⎪⎩，∴q ＝1－22.故选C.2．【答案】C【解析】P (X >7)＝P (X ＝8)＋P (X ＝9)＋P (X ＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79. 3．【答案】 C 4．【答案】 C【解析】X 服从超几何分布P (X ＝k )＝C k 7C 10－k8C 1015，故k ＝4.5．【答案】 10【解析】 由于随机变量X 等可能取值为1,2,3，…，n .所以取到每个数的概率均为1n.∴P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n＝0.3，∴n ＝10.组全员必做题1．【答案】 D 【解析】 ∵P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，∴a 2＋a 6＋a 12＋a 20＝1，∴a ＝54， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝54×12＋54×16＝56.2．【答案】C【解析】“放回5个红球”表示前5次摸到黑球，第6次摸到红球，故ξ＝6. 3． 【答案】D【解析】∵a ＋13＋16＝1，∴a ＝12，∵x ∈[1,2)，∴F (x )＝P (X ≤x )＝12＋13＝56.4．【答案】716【解析】P (2<ξ≤5)＝P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＋P (ξ＝5) ＝14＋18＋116＝716. 5．【答案】512【解析】由13＋m ＋14＋16＝1，解得m ＝14，P (|X －3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝14＋16＝512.6.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 【解析】设ξ取x 1，x 2，x 3时的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，∴a ＝13，由⎩⎪⎨⎪⎧13－d ≥013＋d ≥0得－13≤d ≤13.7.【答案】0.1 0.6 0.3【解析】 P (X ＝0)＝C 22C 25＝0.1，P (X ＝1)＝C 13·C 12C 25＝610＝0.6，P (X ＝2)＝C 23C 25＝0.3.8.【解析】设随机变量ξ表示取出次品的个数，则ξ服从超几何分布，它的可能取值为0,1,2，其相应的概率为P (ξ＝0)＝C 02C 313C 315＝2235，P (ξ＝1)＝C 12C 213C 315＝1235，P (ξ＝2)＝C 22C 113C 315＝135.所以ξ的分布列为组提高选做题1． 【答案】 45【解析】 方法一 由已知，ξ的取值为7,8,9,10， ∵P (ξ＝7)＝C 22C 12C 35＝15，P (ξ＝8)＝C 22C 11＋C 22C 12C 35＝310， P (ξ＝9)＝C 12C 12C 11C 35＝25，P (ξ＝10)＝C 22C 11C 35＝110，∴ξ的分布列为∴P (ξ≥8)＝P (ξ＝8)＋P (ξ＝310＋25＋110＝45.方法二 P (ξ≥8)＝1－P (ξ＝7)＝1－C 22C 12C 35＝45.2.【解析】(1)由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有(10＋a )人．记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件A ，则P (A )＝10＋a 40＝25，解得a ＝6.所以b ＝40－(32＋a )＝40－38＝2. 答 a 的值为6，b 的值为2.(2)由表格数据可知，具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生共有8人．方法一 记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ，则“没有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ， 所以P (B )＝1－P (B )＝1－C 332C 340＝1－124247＝123247.答 从这40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为123247.方法二 记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ， 所以P (B )＝C 18C 232＋C 28C 132＋C 38C 340＝123247. 答 从这40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为123247.(3)由于从40位学生中任意抽取3人的结果数为C 340，其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人，从40位学生中任意抽取3人，其中恰有k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为C k 24C 3－k16，所以从40位学生中任意抽取3人，其中恰有k 人具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为P (ξ＝k )＝C k24C 3－k16C 340(k ＝0,1,2,3)，ξ的可能取值为0,1,2,3，因为P (ξ＝0)＝C 024C 316C 340＝14247，P (ξ＝1)＝C 124C 216C 340＝72247，P (ξ＝2)＝C 224C 116C 340＝5521 235，P (ξ＝3)＝C 324C 016C 340＝2531 235，所以ξ的分布列为。
高中数学高考高三理科一轮复习资料第10章 10.11 离散型随机变量
2．离散型随机变量的分布列的性质 (1)pi≥0，i＝1,2，„，n； (2) pi＝1.
i＝1 n
三、常见离散列为 X 0 1 P 1－p p ，其中 p＝⑥__________称为成功概率．
2．超几何分布列： 在含有 M 件次品数的 N 件产品中， 任取 n 件， 其中含有 X k n －k CM CN－M 件次品数，则事件{X＝k}发生的概率为：P(X＝k)＝ Cn (k N ＝ 0,1,2 ， „ ， m) ， 其 中 m ＝ ⑦ ____________ ， 且 ⑧ ______________，则称分布列为超几何分布列． X 0 1 m „ n－0 1 n－1 m n－m C0 · C C C C M N－M M N－M MCN－M P „ n Cn C Cn N N N
二、离散型随机变量的分布列及性质 1．一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1， x2，„，xi，„，xn，X 取每一个值 xi(i＝1,2，„，n)的概率 P ＝(X＝xi)＝pi，则表 X x1 x2 „ xi „ xn P p1 p2 „ pi „ pn 称为离散型随机变量 X 的③____________， 简称为 X 的④ ________.有时为了表达简单， 也用等式⑤____________表示 X 的分布列．
解析：由于抛掷 1 颗骰子，可能出现的点数是 1,2,3,4,5,6 这 6 种情况之一，而 X 表示抛掷 2 颗骰子所得到的点数之和， 所以 X＝4＝1＋3＝2＋2 表示的随机试验结果是：1 颗是 1 点， 另 1 颗是 3 点，或者 2 颗都是 2 点，故选 D. 答案：D
2．袋中有大小相同的 5 只钢球，分别标有 1,2,3,4,5 五个 号码，不放回地任意抽取两个球，设两个球号码之和为 X，则 X 的所有可能取值个数为( ) A．25 B．10 C．7 D．6
2018届一轮复习北师大版(理) 离散型随机变量及其分布列 教案
1．离散型随机变量的分布列(1)将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量．(2)离散型随机变量：随机变量的取值能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量．(3)设离散型随机变量X 的取值为a 1，a 2，…随机变量X 取a i 的概率为p i (i ＝1,2，…)，记作：P (X ＝a i )＝p i (i ＝1,2，…)， 或把上式列表：X ＝a i a 1 a 2 … P (X ＝a i )p 1p 2…称为离散型随机变量X (4)性质：①p i >0，i ＝1,2，…； ②p 1＋p 2＋…＝1. 2．超几何分布一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC nN(其中k 为非负整数)． 如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( √ )(2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．( √ ) (3)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X 服从两点分布．( × )(4)从4名男演员和3名女演员中选出4名演员，其中女演员的人数X 服从超几何分布．( √ ) (5)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( × ) (6)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( √ )1．(教材改编)抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X ，那么X ＝4表示的事件是( ) A ．一颗是3点，一颗是1点 B ．两颗都是2点C ．甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点D ．以上答案都不对 答案 C解析 根据抛掷两颗骰子的试验结果可知，C 正确．2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( ) A ．0 B.12 C.13 D.23答案 C解析 设X 的分布列为X 0 1 Pp2p即“X ＝0”表示试验失败，“X ＝1”表示试验成功，由p ＋2p ＝1，得p ＝13，故选C.3．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X ，那么随机变量X 可能取得的值有( )A ．17个B ．18个C ．19个D ．20个 答案 A解析 X 可能取得的值有3,4,5，…，19，共17个．4．从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，则随机变量X 的分布列为________． 答案X 0 1 2 P0.10.60.3解析 ∵X 的所有可能取值为0,1,2，∴P (X ＝0)＝C 22C 25＝0.1，P (X ＝1)＝C 13·C 12C 25＝610＝0.6，P (X ＝2)＝C 23C 25＝0.3.∴X 的分布列为X 0 1 2 P0.10.60.35.(教材改编)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为______． 答案27220解析 由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球，故P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.题型一 离散型随机变量的分布列的性质例1 (1)设X 是一个离散型随机变量，其分布列为X －1 0 1 P132－3qq 2则q 等于( ) A ．1 B.32±336 C.32－336 D.32＋336 答案 C解析 ∵13＋2－3q ＋q 2＝1，∴q 2－3q ＋43＝0，解得q ＝32±336.又由题意知0<q 2<23，∴q ＝32－336. (2)设离散型随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P0.20.10.10.3m求2X ＋1的分布列． 解 由分布列的性质知0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.首先列表为从而2X＋1的分布列为引申探究1．在本例(2)的条件下，求随机变量η＝|X－1|的分布列．解由(2)知m＝0.3，列表∴P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.故η＝|X－1|的分布列为2.若本例(2)中条件不变，求随机变量η＝X2解依题意知η的值为0,1,4,9,16.P(η＝0)＝P(X2＝0)＝P(X＝0)＝0.2，P(η＝1)＝P(X2＝1)＝P(X＝1)＝0.1，p(η＝4)＝P(X2＝4)＝P(X＝2)＝0.1，P(η＝9)＝P(X2＝9)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝16)＝P(X2＝16)＝P(X＝4)＝0.3，思维升华(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k5)＝ak (k ＝1,2,3,4,5)．(1)求a ； (2)求P (X ≥35)；(3)求P (110<X ≤710)．解 (1)由分布列的性质，得P (X ＝15)＋P (X ＝25)＋P (X ＝35)＋P (X ＝45)＋P (X ＝1)＝a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，所以a ＝115.(2)P (X ≥35)＝P (X ＝35)＋P (X ＝45)＋P (X ＝1)＝3×115＋4×115＋5×115＝45.(3)P (110<X ≤710)＝P (X ＝15)＋P (X ＝25)＋P (X ＝35)＝115＋215＋315＝615＝25.题型二 离散型随机变量的分布列的求法 命题点1 与排列、组合有关的分布列的求法例2 (2015·重庆改编)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个． (1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列．解 (1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P (A )＝C 12C 13C 15C 310＝14. (2)X 的所有可能值为0,1,2，且P (X ＝0)＝C 38C 310＝715，P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.综上知，X 的分布列为命题点2 与互斥事件有关的分布列的求法例3 (2015·安徽改编)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列．解 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，P (A )＝A 12A 13A 25＝310.(2)X 的可能取值为200,300,400. P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310，P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300) ＝1－110－310＝35.故X 的分布列为命题点3 与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法例4 (2016·蚌埠模拟)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立． (1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率； (2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列．解 用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k局乙获胜”．则P(A k)＝23，P(B k)＝13，k＝1,2,3,4,5.(1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)·P(A3)P(A4)＝⎝⎛⎭⎫232＋13×⎝⎛⎭⎫232＋23×13×⎝⎛⎭⎫232＝5681.(2)X的可能取值为2,3,4,5.P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝59，P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝29，P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)·P(B4)＝1081，P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝881.故X的分布列为X 234 5P 59291081881思维升华求离散型随机变量X的分布列的步骤：(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的分布列．求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．(2016·湖北部分重点中学第一次联考)连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i次得到的点数为a i，若存在正整数k，使a1＋a2＋…＋a k＝6，则称k为你的幸运数字．(1)求你的幸运数字为3的概率；(2)若k ＝1，则你的得分为6分；若k ＝2，则你的得分为4分；若k ＝3，则你的得分为2分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字，则记0分，求得分ξ的分布列．解 (1)设“连续抛掷3次骰子，和为6”为事件A ，则它包含事件A 1，A 2，A 3，其中A 1：三次恰好均为2；A 2：三次中恰好1,2,3各一次；A 3：三次中有两次均为1，一次为4. A 1，A 2，A 3为互斥事件，则P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝C 33(16)3＋C 13·16·C 12·16·C 11·16＋C 23(16)2·16＝5108. (2)由已知得ξ的可能取值为6,4,2,0，P (ξ＝6)＝16，P (ξ＝4)＝(16)2＋2×C 12×16×16＝536，P (ξ＝2)＝5108，P (ξ＝0)＝1－16－536－5108＝3554.故ξ的分布列为题型三 超几何分布例5 (2016·济南模拟)PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2016年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．解 (1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A ， 则P (A )＝C 13·C 27C 310＝2140.(2)依据条件，ξ服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝3，n ＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝k )＝C k 3·C 3－k 7C 310(k ＝0,1,2,3)． ∴P (ξ＝0)＝C 03C 37C 310＝724，P (ξ＝1)＝C 13C 27C 310＝2140，P (ξ＝2)＝C 23C 17C 310＝740，P (ξ＝3)＝C 33C 07C 310＝1120.故ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P72421407401120思维升华 (1)超几何分布的两个特点 ①超几何分布是不放回抽样问题； ②随机变量为抽到的某类个体的个数． (2)超几何分布的应用条件 ①两类不同的物品(或人、事)； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体．某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动．(每位同学被选到的可能性相同) (1)求选出的3名同学来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列． 解 (1)设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27＋C 03·C 37C 310＝4960.故选出的3名同学来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.P (X ＝k )＝C k 4·C 3－k 6C 310(k ＝0,1,2,3)． ∴P (X ＝0)＝C 04·C 36C 310＝16，P (X ＝1)＝C 14·C 26C 310＝12，P (X ＝2)＝C 24·C 16C 310＝310，P (X ＝3)＝C 34·C 06C 310＝130.故随机变量X 的分布列是X 0 1 2 3 P161231013017．离散型随机变量的分布列典例 某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9.如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数ξ的分布列． 错解展示现场纠错解P(ξ＝1)＝0.9，P(ξ＝2)＝0.1×0.9＝0.09，P(ξ＝3)＝0.1×0.1×0.9＝0.009，P(ξ＝4)＝0.13×0.9＝0.000 9，P(ξ＝5)＝0.14＝0.000 1.∴ξ的分布列为ξ1234 5P 0.90.090.0090.000 90.000 1纠错心得(1)随机变量的分布列，要弄清变量的取值，还要清楚变量的每个取值对应的事件及其概率．(2)验证随机变量的概率和是否为1.1．(2016·太原模拟)某射手射击所得环数X的分布列为X 45678910P 0.020.040.060.090.280.290.22则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为()A．0.28 B．0.88 C．0.79 D．0.51答案 C解析根据X的分布列知，所求概率为0.28＋0.29＋0.22＝0.79.2．(2016·岳阳模拟)设X是一个离散型随机变量，其分布列为X －10 1P 121－2q q2则q等于()A．1 B．1±22C．1－22D．1＋22答案 C解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－2q ≥0，12＋(1－2q )＋q 2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧q ≤12，2q 2－4q ＋1＝0，解得q ＝1－22.3．(2016·郑州模拟)已知随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i 2a (i ＝1,2,3,4)，则P (2<X ≤4)等于( )A.910B.710C.35D.12 答案 B解析 由分布列的性质知， 12a ＋22a ＋32a ＋42a＝1，则a ＝5， ∴P (2<X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝310＋410＝710.4．(2016·湖北孝感汉川期末)设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝i )＝a (13)i ，i ＝1,2,3，则实数a 的值为( )A ．1 B.913 C.1113 D.2713答案 D解析 ∵随机变量ξ的分布列为P (ξ＝i )＝a (13)i ，i ＝1,2,3，∴a [13＋(13)2＋(13)3]＝1，解得a ＝2713.故选D.5．(2017·武汉质检)从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出3个球，则恰好是2个白球，1个红球的概率是( ) A.435 B.635 C.1235 D.36343 答案 C解析 如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P ＝C 23C 14C 37＝1235.6．(2017·长沙质检)一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X 个白球，下列概率等于(n －m )A 2mA 3n 的是( ) A ．P (X ＝3) B ．P (X ≥2) C ．P (X ≤3) D ．P (X ＝2)答案 D解析 由超几何分布知P (X ＝2)＝(n －m )A 2mA 3n.7．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X 的所有可能取值是________． 答案 －1,0,1,2,3解析 X ＝－1，甲抢到一题但答错了，而乙抢到了两个题目都答错了，X ＝0，甲没抢到题，乙抢到题目答错至少2个题或甲抢到2题，但答时一对一错，而乙答错一个题目，X ＝1，甲抢到1题且答对，乙抢到2题且至少答错1题或甲抢到3题，且1错2对， X ＝2，甲抢到2题均答对， X ＝3，甲抢到3题均答对． 8．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|的取值范围是________． 答案 23 [－13，13]解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，∴－13≤d ≤13.9．设离散型随机变量X 的分布列为若随机变量Y ＝|X －2|答案 0.5解析 由分布列的性质，知0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，∴m ＝0.3. 由Y ＝2，即|X －2|＝2，得X ＝4或X ＝0， ∴P (Y ＝2)＝P (X ＝4或X ＝0)＝P (X ＝4)＋P (X ＝0) ＝0.3＋0.2＝0.5.10．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P (ξ≤6)＝________. 答案1335解析 P (ξ≤6)＝P (取到3只红球1只黑球)＋P (取到4只红球)＝C 34C 13C 47＋C 44C 47＝1335.11．(2015·山东改编)若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如137,359,567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分． (1)写出所有个位数字是5的“三位递增数” ； (2)若甲参加活动，求甲得分X 的分布列．解 (1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345. (2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C 39＝84， 随机变量X 的取值为0，－1,1，因此 P (X ＝0)＝C 38C 39＝23，P (X ＝－1)＝C 24C 39＝114，P (X ＝1)＝1－114－23＝1142.所以X 的分布列为P23 114 114212．某射手射击一次所得环数X 的分布列如下：X 7 8 9 10 P0.10.40.30.2现该射手进行两次射击，以两次射击中最高环数作为他的成绩，记为ξ. (1)求ξ>7的概率； (2)求ξ的分布列．解 (1)P (ξ>7)＝1－P (ξ＝7)＝1－0.1×0.1＝0.99. (2)ξ的可能取值为7,8,9,10. P (ξ＝7)＝0.12＝0.01，P (ξ＝8)＝2×0.1×0.4＋0.42＝0.24，P (ξ＝9)＝2×0.1×0.3＋2×0.4×0.3＋0.32＝0.39，P (ξ＝10)＝2×0.1×0.2＋2×0.4×0.2＋2×0.3×0.2＋0.22＝0.36. ∴ξ的分布列为ξ 7 8 9 10 P0.010.240.390.3613.(2016·长春模拟)某高校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n 位校友(n >8且n ∈N ＋)，其中女校友6位，组委会对这n 位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．(1)若随机选出的2名校友代表为“最佳组合”的概率不小于12，求n 的最大值；(2)当n ＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为ξ，求ξ的分布列． 解 (1)设选出2人为“最佳组合”记为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝C 1n －6C 16C 2n ＝12(n －6)n (n －1).依题意12(n －6)n (n －1)≥12，化简得n 2－25n ＋144≤0，∴9≤n ≤16，故n 的最大值为16.(2)由题意，ξ的可能取值为0,1,2，且ξ服从超几何分布，则P (ξ ＝k )＝C k 6C 2－k 6C 212(k ＝0,1,2)，∴P (ξ＝0)＝P (ξ＝2)＝C 06C 26C 212＝522，P (ξ＝1)＝C 16C 16C 212＝611.故ξ的分布列为。
新课标高考数学大一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布3离散型随机变量及其分布课时作业理
课时作业73 离散型随机变量及其分布一、选择题1．随机变量ξ分布列为：那么ξA．0.7 B．－1C．0 D．1解析：因为P(ξ，P(ξ，P(ξ，所以ξB.答案：B2．某射手射击所得环数X分布列为解析：P(X>7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.答案：C3．随机变量X概率分布列如下表：A.239B.2310C.139 D.1310 解析：由题意知：P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋…＋P (X ＝10)＝1⇒23＋232＋…＋239＋m ＝1⇒m ＝1－⎝⎛⎭⎪⎪⎫23＋232＋…＋239 ＝1－2×13⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1391－13＝1－⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－139＝139.答案：C4．带活动门小盒子里有采自同一巢20只工蜂与10只雄蜂，现随机地放出5只做实验，X 表示放出蜂中工蜂只数，那么X ＝2时概率是( )A.C 120C 410C 530B.C 220C 310C 530C.C 320C 210C 530D.C 420C 110C 530解析：X 服从超几何分布，P (X ＝2)＝C 220C 310C 530.答案：B5．一盒中有12个乒乓球，其中9个新，3个旧，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P (X )，那么P (X ＝4)值为( )A.1220B.2755C.27220D.2125解析：由题意取出3个球必为2个旧球1个新球，故P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.答案：C6．离散型随机变量X 可能取值为1，2，3，4，P (X ＝k )＝ak ＋b (k ＝1，2，3，4)，又E (X )＝3，那么3a ＋b ＝( )A ．10B.310 C ．5D.15解析：依题意知：E (X )＝1×(a ＋b )＋2(2a ＋b )＋3(3a ＋b )＋4(4a ＋b )＝a ＋b ＋4a ＋2b ＋9a ＋3b ＋16a ＋4b＝30a ＋10b ＝3， 所以3a ＋b ＝310.答案：B 二、填空题7．甲、乙两队在一次对抗赛某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题队伍得0分，抢到题并答复正确得1分，抢到题但答复错误扣1分(即得－1分)．假设X 是甲队在该轮比赛获胜时得分(分数高者胜)，那么X 所有可能取值是________．解析：X ＝－1，甲抢到一题但答错了．X ＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，答复时一对一错． X ＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且一错两对， X ＝2时，甲抢到2题均答对． X ＝3时，甲抢到3题均答对．答案：－1，0，1，2，38．从4名男生与2名女生中选3人参加演讲比赛，那么所选3人中女生人数不超过1人概率是________．解析：设所选女生人数为X ，那么X 服从超几何分布，其中N＝6，M ＝2，n ＝3，那么P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 02C 34C 36＋C 12C 24C 36＝45. 答案：459．随机变量ξ只能取三个值：x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，那么公差d 取值范围是________．解析：设ξ取x 1，x 2，x 3时概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，那么(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，∴a ＝13，由⎩⎪⎨⎪⎧13－d ≥013＋d ≥0得－13≤d ≤13.答案：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13，13 三、解答题10．将编号为1，2，3，4四个材质与大小都一样球，随机放入编号为1，2，3，4四个盒子中，每个盒子放一个球，ξ表示球编号与所放入盒子编号正好一样个数．(1)求1号球恰好落入1号盒子概率． (2)求ξ分布列．解：(1)设事件A 表示“1号球恰好落入1号盒子〞，P (A )＝A 33A 44＝14， 所以1号球恰好落入1号盒子概率为14.(2)ξ所有可能取值为0，1，2，4.P (ξ＝0)＝3×3A 44＝38；P (ξ＝1)＝4×2A 44＝13；P (ξ＝2)＝C 24A 44＝14；P (ξ＝4)＝1A 44＝124.所以随机变量ξ分布列为：11.A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队概率；(2)某场比赛前，从代表队6名队员中随机抽取4人参赛．设X 表示参赛男生人数，求X 分布列与数学期望．解：(1)由题意，参加集训男、女生各有6名．参赛学生全从B 中学抽取概率为C 33C 34C 36C 36＝1100.因此，A 中学至少有1名学生入选代表队概率为1－1100＝99100.(2)根据题意，X 可能取值为1，2，3.P (X ＝1)＝C 13C 33C 46＝15，P (X ＝2)＝C 23C 23C 46＝35，P (X ＝3)＝C 33C 13C 46＝15，所以X 分布列为因此，XE (X )＝1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.1．(2021 ·福建卷)某银行规定，一张银行卡假设在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡密码，但可以确认该银行卡正确密码是他常用6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进展尝试，假设密码正确，那么完毕尝试；否那么继续尝试．直至该银行卡被锁定．(1)求当天小王该银行卡被锁定概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X ，求X 分布列与数学期望．解：(1)设“当天小王该银行卡被锁定〞事件为A ，那么P (A )＝56×45×34＝12. (2)依题意得，X 所有可能取值是1，2，3.又P (X ＝1)＝16，P (X ＝2)＝56×15＝16，P (X ＝3)＝56×45×1＝23.所以X 分布列为所以E (X )＝1×16＋2×16＋3×23＝52.2．为了了解高一学生体能情况，某校随机抽取局部学生进展一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出了频率分布直方图如下图，次数在[100，110)间频数为7，次数在110以下(不含110)视为不达标，次数在[110，130)间视为达标，次数在130以上视为优秀．(1)求此次抽样样本总数为多少人？(2)在样本中，随机抽取一人调查，那么抽中不达标学生、达标学生、优秀学生概率分别是多少？(3)将抽样样本频率视为总体概率，假设优秀成绩记为15分，达标成绩记为10分，不达标成绩记为5分，现在从该校高一学生中随机抽取2人，他们分值与记为X ，求X 分布列与期望．解：(1)设样本总数为n ，由频率分布直方图可知：次数在[100，110)间频率为 0．014×10， ∴7n，解得n ＝50. (2)记抽中不达标学生事件为C ，抽中达标学生事件为B ，抽中优秀学生事件为A .P (C )＝0.006×10＋0.014×10＝0.20； P (B )＝0.028×10＋0.022×10＝0.50； P (A )＝1－P (B )－P (C )＝0.30.(3)在高一学生中随机抽取2名学生成绩与X＝10，15，20，25，30.P(X＝10)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝15)＝2×0.2×0.5＝0.2；P(X2＋2×0.2×0.3＝0.37；P(X＝25)＝2×0.3×0.5＝0.3；P(X2＝0.09.X分布列为E(X)＝＋0.3×25＋0.09×30＝21.。
2018一轮北师大版理数学教案：第10章 第7节 离散型随机变量及其分布列 含解析 精品
第七节离散型随机变量及其分布列[考纲传真] 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．1．离散型随机变量的分布列(1)将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量．(2)离散型随机变量：随机变量的取值能够一一列举出来．这样的随机变量称为离散型随机变量．(3)离散型随机变量的分布列设离散型随机变量X的取值为a1，a2，…，随机变量X取a i的概率为p i(i ＝1,2，…)，记作：P(X＝a i)＝p i(i＝1,2，…)．或把上式列成表(4)离散型随机变量分布列的性质①p i>0(i＝1,2，…)；②p1＋p2＋…＋p i＝1.2．超几何分布如果一个随机变量的分布列由P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N(其中k为非负整数，M≤N，n≤N)确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1.()(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．()(3)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．()(4)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√2．(教材改编)抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么X＝4表示的基本事件是()A．一颗是3点，一颗是1点B．两颗都是2点C．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点D．甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点D[甲是3点，乙是1点与甲是1点，乙是3点是试验的两个不同结果，故应选D.]3．设随机变量X的分布列如下：则p等于(A.16 B.13C.14D．112C[由分布列的性质，112＋16＋13＋16＋p＝1.∴p＝1－34＝14.]4．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X＜4)＝0.3，那么n＝________.【导学号：57962471】10[由于随机变量X等可能取1,2,3，…，n，∴取到每个数的概率均为1 n，∴P(X＜4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝3n＝0.3，∴n＝10.]5．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的概率分布列为________.[则P(X＝0)＝C22C25＝0.1，P(X＝1)＝C13C12C25＝0.6，P(X＝2)＝C23C25＝0.3.故X的分布列为][解]由分布列的性质，知0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3. 4分列表∴P(η＝1)P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝0.3，P(η＝3)＝0.3. 10分因此η＝|X－1|的分布列为12分[规律方法] 1.利用分布列中各概率之和为“1”可求参数的值，此时要注意检验，以保证两个概率值均为非负数．2．若X 是随机变量，则η＝|X 一1|仍然是随机变量，求它的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据互斥事件概率加法求对应的事件概率，进而写出分布列．[变式训练1] 随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 23 [由题意知⎩⎨⎧2b ＝a ＋c ，a ＋b ＋c ＝1， 所以2b ＋b ＝1，则b ＝13，因此a ＋c ＝23. 所以P (|X |＝1)＝P (X ＝－1)＋P (X ＝1)＝a ＋c ＝23.]检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列和均值(数学期望)．[解] (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，P (A )＝A 12A 13A 25＝310.5分(2)X 的可能取值为200,300,400.P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310，P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－110－310＝610＝35. 8分故X的分布列为EX＝200×110＋300×310＋400×35＝350. 12分[规律方法] 1.求随机变量的分布列的主要步骤：(1)明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；(2)求每一个随机变量取值的概率；(3)列成表格，写出分布列，其中的关键是第(2)步．2．本题在计算中注意两点：(1)充分利用排列与组合知识准确计算古典概型的概率；(2)灵活运用分布列的性质求P(X＝400)的概率，简化了计算．[变式训练2](2016·天津高考)某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．[解](1)由已知，有P(A)＝C13C14＋C23C210＝13.所以，事件A发生的概率为13. 5分(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝C23＋C23＋C24C210＝415，P(X＝1)＝C13C13＋C13C14C210＝715，P(X＝2)＝C13C14C210＝415. 8分所以，随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望EX＝0×415＋1×715＋2×415＝1. 12分不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列.(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列。
2018一轮北师大版理数学教案：第10章 第9节 离散型随机变量的均值与方差 含解析 精品
第九节离散型随机变量的均值与方差[考纲传真] 1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为P(X＝a i)＝p i(i＝1,2，…，r)．(1)均值：X的均值也称作X的数学期望(简称期望)，它是一个数，记为EX，即EX＝a1p1＋a2p2＋…＋a r p r.均值刻画的是X取值的“中心位置”．(2)方差D X＝E(X－EX)2为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度．2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aEX＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D X(a，b为常数)．3．若X～B(n，p)，则EX＝np，D X＝np(1－p)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关．()(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量．()(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小. ()(4)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是0.7.()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√2．(教材改编)已知X的分布列为设Y ＝2X ＋3，则A.73 B ．4 C ．－1D ．1A [EX ＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13， 则EY ＝2EX ＋3＝3－23＝73.]3．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝15(k ＝2,4,6,8,10)，则D ξ等于( )【导学号：57962477】A ．8B ．5C ．10D ．12A [∵Eξ＝15(2＋4＋6＋8＋10)＝6， ∴D ξ＝15[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.]4．(2016·四川高考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是________．32[同时抛掷两枚质地均匀的硬币，至少有一枚硬币正面向上的概率P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34. 又X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，34，∴成功次数X 的均值EX ＝2×34＝32.]5．若X ～B (n ，p )，且EX ＝6，D X ＝3，则P (X ＝1)＝________. 31 024[∵EX ＝np ＝6， D X ＝np (1－p )＝3，∴p＝12，n＝12，则P(X＝1)＝C112×12×⎝⎛⎭⎪⎫1211＝3×2－10＝31 024.]同外，其余均相同的20个小球，这20个小球编号的茎叶图如图10-9-1所示．图10-9-1活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取的小球编号是十位数字为1的奇数，则为一等奖，奖金100元；若抽取的小球编号是十位数字为2的奇数，则为二等奖，奖金50元；若抽取的小球是其余编号则不中奖．现某顾客有放回的抽奖两次，两次抽奖相互独立．(1)求该顾客在两次抽奖中恰有一次中奖的概率；(2)记该顾客两次抽奖后的奖金之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望和方差．[解](1)设一次抽奖抽中i等奖的概率为P i(i＝1,2)，没有中奖的概率为P0，则P1＋P2＝320＋520＝25，即中奖的概率为25，∴该顾客两次抽奖中恰有一次中奖的概率为P＝C12×25×35＝1225. 5分(2)X的可能取值为0,50,100,150,200.∵P(X＝0)＝9 25，P(X＝50)＝C12×520×35＝310，P(X＝100)＝520×520＋C12×320×35＝97400，P(X＝150)＝C12×320×520＝340，P(X＝200)＝320×320＝9400，8分∴X的分布列为∴数学期望为EX＝0×925＋50×310＋100×97400＋150×340＋200×9400＝55(元). 12分∴方差D X＝(0－55)2×925＋(50－55)2×310＋(100－55)2×97400＋(150－55)2×340＋(200－55)2×9400＝2 737.5.[规律方法] 1.求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．2．注意E(aX＋b)＝aEX＋b，D(aX＋b)＝a2D X的应用．[变式训练1](2015·陕西高考)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：(1)求T(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．[解](1)由统计结果可得T的频率分布为2分以频率估计概率得T的分布列为4分从而ET＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32(分钟). 6分(2)设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同．设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”. 8分法一：P(A)＝P(T1＋T2≤70)＝P(T1＝25，T2≤45)＋P(T1＝30，T2≤40)＋P(T1＝35，T2≤35)＋P(T1＝40，T2≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91.12分法二：P(A)＝P(T1＋T2>70)＝P(T1＝35，T2＝40)＋P(T1＝40，T2＝35)＋P(T1＝40，T2＝40)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09.故P(A)＝1－P(A)＝0.91. 12分的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列、数学期望和方差．[解](1)记事件A1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意知A1与A2相互独立，A1A2与A1A2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A1A2＋A1A2，C＝B1＋B2. 2分因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝12， 所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝25×12＝15， P (B 2)＝P (A 1A 2＋A 1A 2)＝P (A 1A 2)＋P (A 1A 2) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2) ＝P (A 1)(1－P (A 2))＋(1－P (A 1))P (A 2) ＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×12＝12.4分 故所求概率为P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝710.6分(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，15.于是P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫150⎝ ⎛⎭⎪⎫453＝64125， P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫151⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝48125， P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫152⎝ ⎛⎭⎪⎫451＝12125， P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫153⎝ ⎛⎭⎪⎫450＝1125. 8分故X 的分布列为10分X 的数学期望为EX ＝3×15＝35.随机变量X 的方差D X ＝3×15⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＝1225.12分[规律方法] 1.求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B (n ，p )，则用公式Eξ＝np ，D ξ＝np (1－p )求解，可大大减少计算量．2．有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E (aξ＋b )＝aEξ＋b 以及Eξ＝np 求出E (aξ＋b )．同样还可求出D(aξ＋b )．[变式训练2] (2017·郑州诊断)空气质量指数(Air Quali ty lnde x ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；＞300为严重污染．一环保人士记录2015年某地某月10天的AQI 的茎叶图如图10-9-2所示．图10-9-2(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI ≤100)的天数；(按这个月总共30天计算)(2)将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列、数学期望和方差．[解] (1)从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，故该样本中空气质量优良的频率为610＝35，3分 从而估计该月空气质量优良的天数为30×35＝18. 5分(2)由(1)估计某天空气质量优良的概率为35， ξ的所有可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253＝8125，P (ξ＝1)＝C 1335⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝36125，P (ξ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫35225＝54125，P (ξ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝27125.8分故ξ的分布列为显然ξ～B ⎝ ⎭⎪⎫3，35，Eξ＝3×35＝1.8，随机变量ξ的方差D ξ＝3×35⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝1825.12分下：花的质量．[解] 由题意，得E (X 甲)＝28×0.1＋29×0.15＋30×0.5＋31×0.15＋32×0.1＝30，E (X 乙)＝28×0.13＋29×0.17＋30×0.4＋31×0.17＋32×0.13＝30. 又D(X甲)＝(28－30)2×0.1＋(29－30)2×0.15＋(30－30)2×0.5＋(31－30)2×0.15＋(32－30)2×0.1＝1.1，D(X乙)＝(28－30)2×0.13＋(29－30)2×0.17＋(30－30)2×0.4＋(31－30)2×0.17＋(32－30)2×0.13＝1.38，所以E (X 甲)＝E (X 乙)，D(X 甲)＜D(X 乙)，故甲种棉花的质量较好． [规律方法] 1.依据均值与方差的定义、公式求出相应的均值与方差． 2．依据均值与方差的意义对实际问题作出决策或给出合理的解释． [变式训练3] 某投资公司在2017年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．[解]若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的分布列为2分所以E(X1)＝300×79＋(－150)×29＝200(万元). 4分若按“项目二”投资，设获利X2万元，则X2的分布列为6分所以E(X2)＝500×35＋(－300)×13＋0×115＝200(万元). 8分D(X1)＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×29＝35 000，D(X2)＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×115＝140 000. 10分所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)＜D(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．综上所述，建议该投资公司选择项目一投资. 12分[思想与方法]求离散型随机变量的均值与方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解．(2)已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值、方差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解．(3)如果所给随机变量是服从二项分布，利用均值、方差公式求解．[易错与防范]1．理解均值EX易失误，均值EX是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而EX是不变的，它描述X值的取值平均状态．2．注意E(aX＋b)＝aEX＋b，D(aX＋b)＝a2D X易错易混．3．对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差．。
2019高三数学理北师大版一轮教师用书第10章 第7节 离散型随机变量及其分布列 Word版含解析
第七节离散型随机变量及其分布列[考纲传真](教师用书独具).理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．(对应学生用书第页)[基础知识填充]．随机变量的有关概念()将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量．()离散型随机变量：随机变量的取值能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量．．离散型随机变量分布列的概念及性质()概念：若离散型随机变量可能取的不同值为，，…，，…，，取每一个值(＝，…，)的概率(＝)＝，以表格的形式表示如下：(＝)＝，＝，…，表示的分布列．()分布列的性质①≥，＝，…，；②＝.．超几何分布一般地，设有件产品，其中有(≤)件次品．从中任取(∈)件产品，用表示取出的件产品中次品的件数，那么(＝)＝(其中为非负整数)．如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称服从参数为，，的超几何分布.[基本能力自测]．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) ()离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于.( )()离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( )()如果随机变量的分布列由下表给出，则它服从两点分布．( )()．( )[答案]()×()√()×()√．袋中有个白球，个黑球，从中任取个，可以作为随机变量的是( ) ．至少取到个白球．至多取到个白球．取到白球的个数．取到的球的个数[选项、是随机事件，选项是确定的值，为，并不随机；选项是随机变量，可能取值为.]．(教材改编)设随机变量的分布列如下表所示，则的值是( )．．．[由分布列的性质，得＋＋＋＝，所以＝.]．设随机变量等可能取值，…，，如果(＜)＝，那么＝.[由于随机变量等可能取，…，，∴取到每个数的概率均为，∴(＜)＝(＝)＋(＝)＋(＝)＝＝，∴＝.]．在含有件次品的件产品中任取件，则取到次品数的分布列为．(＝)＝，＝[由题意知，服从超几何分布，其中＝，＝，＝，所以分布列为(＝)＝，＝.](对应学生用书第页)设离散型随机变量的分布列为。
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第七节离散型随机变量及其分布列[考纲传真] 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．1．离散型随机变量的分布列(1)将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量．(2)离散型随机变量：随机变量的取值能够一一列举出来．这样的随机变量称为离散型随机变量．(3)离散型随机变量的分布列设离散型随机变量X的取值为a1，a2，…，随机变量X取a i的概率为p i(i ＝1,2，…)，记作：P(X＝a i)＝p i(i＝1,2，…)．或把上式列成表(4)离散型随机变量分布列的性质①p i>0(i＝1,2，…)；②p1＋p2＋…＋p i＝1.2．超几何分布如果一个随机变量的分布列由P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N(其中k为非负整数，M≤N，n≤N)确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1.()(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．()(3)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．()(4)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√2．(教材改编)抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么X＝4表示的基本事件是()A．一颗是3点，一颗是1点B．两颗都是2点C．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点D．甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点D[甲是3点，乙是1点与甲是1点，乙是3点是试验的两个不同结果，故应选D.]3．设随机变量X的分布列如下：则p等于(A.16 B.13C.14D．112C[由分布列的性质，112＋16＋13＋16＋p＝1.∴p＝1－34＝14.]4．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X＜4)＝0.3，那么n＝________.【导学号：57962471】10[由于随机变量X等可能取1,2,3，…，n，∴取到每个数的概率均为1 n，∴P(X＜4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝3n＝0.3，∴n＝10.]5．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的概率分布列为________.[则P(X＝0)＝C22C25＝0.1，P(X＝1)＝C13C12C25＝0.6，P(X＝2)＝C23C25＝0.3.故X的分布列为][解]由分布列的性质，知0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3. 4分列表∴P(η＝1)P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝0.3，P(η＝3)＝0.3. 10分因此η＝|X－1|的分布列为12分[规律方法] 1.利用分布列中各概率之和为“1”可求参数的值，此时要注意检验，以保证两个概率值均为非负数．2．若X 是随机变量，则η＝|X 一1|仍然是随机变量，求它的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据互斥事件概率加法求对应的事件概率，进而写出分布列．[变式训练1] 随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 23 [由题意知⎩⎨⎧2b ＝a ＋c ，a ＋b ＋c ＝1， 所以2b ＋b ＝1，则b ＝13，因此a ＋c ＝23. 所以P (|X |＝1)＝P (X ＝－1)＋P (X ＝1)＝a ＋c ＝23.]检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列和均值(数学期望)．[解] (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，P (A )＝A 12A 13A 25＝310.5分(2)X 的可能取值为200,300,400.P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310，P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－110－310＝610＝35. 8分故X的分布列为EX＝200×110＋300×310＋400×35＝350. 12分[规律方法] 1.求随机变量的分布列的主要步骤：(1)明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；(2)求每一个随机变量取值的概率；(3)列成表格，写出分布列，其中的关键是第(2)步．2．本题在计算中注意两点：(1)充分利用排列与组合知识准确计算古典概型的概率；(2)灵活运用分布列的性质求P(X＝400)的概率，简化了计算．[变式训练2](2016·天津高考)某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．[解](1)由已知，有P(A)＝C13C14＋C23C210＝13.所以，事件A发生的概率为13. 5分(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝C23＋C23＋C24C210＝415，P(X＝1)＝C13C13＋C13C14C210＝715，P(X＝2)＝C13C14C210＝415. 8分所以，随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望EX＝0×415＋1×715＋2×415＝1. 12分不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列.(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列。
【导学号：57962472】[解](1)由已知，有P(A)＝C22C23＋C23C23C48＝635.所以，事件A发生的概率为635. 5分(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X＝k)＝C k5C4－k3C48(k＝1,2,3,4)．则P(X＝1)＝C15C33C48＝114，P(X＝2)＝C25C23C48＝37，P(X＝3)＝C35C13C48＝37，P(X＝4)＝C45C03C48＝114. 8分所以随机变量X的分布列为12分[规律方法] 1.超几何分布是一种特殊的概率分布，其分布列可由公式直接给出．具有两个特点：(1)是不放回抽样问题；(2)随机变量为抽到的某类个体的个数．2．超几何分布应用的条件：(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体个数ξ的概率分布，其实质是古典概型问题．[变式训练3](2015·重庆高考)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．[解](1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝C12C13C15C310＝14. 5分(2)X的所有可能值为0,1,2，且P(X＝0)＝C38C310＝715，P(X＝1)＝C12C28C310＝715，P(X＝2)＝C22C18C310＝115. 8分综上知，X的分布列为10分故EX＝0×715＋1×715＋2×115＝35(个). 12分[思想与方法]1．对于随机变量X的研究，需要了解随机变量能取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率．2．求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．[易错与防范]1．对于分布列易忽视其性质p1＋p2＋…＋p n＝1及p i≥0(i＝1,2，…，n)，其作用是求随机变量取某个值的概率或检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．2．确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的．3．分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率．。