【2019秋人教必修2】8.6.3第一课时平面与平面垂直的判定
8.6.3 第一课时 平面与平面垂直的判定
规律方法 确定二面角的平面角的方法： (1)定义法：在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线. (2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线， 这两条交线所成的角，即为二面角的平面角. (3)线面垂直法：该法就是利用线面垂直来寻找二面角的平面角，是最常用的也是 最好用的一种方法.由一个半平面内异于棱上的点A向另一半平面作垂线，垂足为点 B，由B点向二面角的棱作垂线，垂足为点O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面 角(或其补角).
(3)∵PA⊥平面ABCD，AB，AC⊂平面ABCD.∴AB⊥PA，AC⊥PA. ∴∠BAC为二面角B－PA－C的平面角. 又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°， 即二面角B－PA－C的平面角的度数为45°. (4)作BE⊥PC于E，连接DE，BD，且BD与AC交于点O，连 接EO，如图. 由题意知△PBC≌△PDC， 则∠BPE＝∠DPE，从而△PBE≌△PDE. ∴∠DEP＝∠BEP＝90°，且BE＝DE.
数个.
答案 C
2.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( )
A.m⊥n，m∥α，n∥β
B.m⊥n，α∩β＝m，n⊂α
C.m∥n，n⊥β，m⊂α
D.m∥n，m⊥α，n⊥β
解析 ∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m⊂α，由面面垂直的判定定理得α⊥β.
答案 C
[微思考] 1.二面角与平面几何中的角有什么区别？
1.二面角的概念 (1)定义：从一条直线出发的两__两__个__半__平__面____所组成的图形. (2)相关概念：①这条直线叫做二面角的__棱___，②这两个半平面叫做二面角的_面___. (3)画法：如图所示.
(4)记法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q.
直线与平面垂直(第1课时)(人教A版2019必修二)
D．垂直
（二）直线与平面垂直
知识点二 直线与平面垂直的判定
【探究3】如图,一块三角形纸片ABC,过△ABC的顶点A翻折纸
片.得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、
（1）文字语言：如果一条直线与一个平
DC与桌面接触)
面内的两条 相交 直线垂直，那么该直
(1)折痕AD与桌面垂直吗?
线与此平面垂直。
（二）直线与平面垂直
【思考1】若把定理中“两条相交直线”改为“两条直线”，直线与平面一定垂直吗？
【提示】当这两条直线平行时，直线可与平面平行或相交，不一定垂直.
【思考2】如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面吗？
【提示】垂直.
【辩一辩】 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
O
＝
＝
.
1 1
4
1 1 3
（四）操作演练 素养提升
1.垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是(
A．垂直
B．相交但不垂直
C．平行
)
D．不确定
2.如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是(
A．60°
B．45°
l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(
(1)如果一条直线与一个平面内无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．(
(2)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．(
【做一做】若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( C
A.平面OAB
B.平面OAC
C.平面OBC
D.平面ABC
)
)
)
答案：(1)× (2)√
8.6.3.1平面与平面垂直的判定教案2020-2021学年高一数学人教A版(2019)必修第二册
8.6.3 平面与平面垂直第1课时平面与平面垂直的判定(教师独具内容)课程标准：1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系.2.归纳出平面与平面垂直的判定定理．教学重点：二面角的概念及用平面与平面垂直的判定定理证明面面垂直、折叠问题的处理方法．教学难点：二面角的求法、面面垂直判定定理的综合应用．核心素养：1.通过从教材的实例中抽象出二面角的相关概念及平面与平面垂直的定义的过程培养数学抽象素养.2.通过利用平面与平面垂直的判定定理证明平面与平面垂直的过程提升逻辑推理素养.1．证明两个平面垂直的主要途径：(1)利用面面垂直的定义；(2)利用面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．2．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的．因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的．3．有助于判断面面垂直的结论：(1)m∥n，m⊥α，n⊂β⇒α⊥β；(2)m⊥α，n⊥β，m⊥n⇒α⊥β；(3)α∥β，γ⊥α⇒γ⊥β.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二面角的平面角的大小与其顶点在二面角棱上的位置有关．( )(2)二面角可以看成是一个半平面以其棱为轴旋转而成的．( )(3)如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β.( )2．做一做(1)在二面角α－l－β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α－l－β的平面角，则必须具有的条件是( )A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂βB．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂βD．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β(2)过一点可作____个平面与已知平面垂直．(3)若∠AOB是锐二面角α－l－β的平面角，则l与平面AOB的位置关系是____.(4)如图，空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么图中互相垂直的平面有____.题型一求二面角例1 四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.求：(1)二面角A－PD－C的平面角的度数；(2)二面角B－PA－D的平面角的度数；(3)二面角B－PA－C的平面角的度数．[跟踪训练1] 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小．题型二用定义法证明平面与平面垂直例2 如图所示，在四面体A－BCD中，BD＝2a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.求证：平面ABD⊥平面BCD.[跟踪训练2] 如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD 同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.证明：平面AEC⊥平面AFC.题型三利用判定定理证明面面垂直例3 如图，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E，G，F分别为MB，PB，PC的中点，且AD＝PD＝2MA.求证：平面EFG⊥平面PDC.[跟踪训练3] 如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．求证：平面AEC⊥平面PDB.题型四折叠问题例4 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E为BC的中点，把△ABE和△CDE分别沿AE，DE折起，使点B与点C重合于点P.(1)求证：平面PDE⊥平面PAD；(2)求二面角P－AD－E的大小．[跟踪训练4] 如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝12AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求证：平面A′BE⊥平面BCDE.1．下列命题：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个平面内作射线所成的角的最小角．其中正确的是( )A．①③B．②C．③D．①②2. 如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B－PA －C的大小为( )A．90° B．60°C．45° D．30°3．(多选) 在四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中正确的是( )A．平面PAB⊥平面PADB．平面PAB⊥平面PBCC．平面PBC⊥平面PCDD．平面PCD⊥平面PAD4. 如图所示，在三棱锥D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则平面ADC与平面BDE的关系是____.5. 在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，E为AB上的点，且AD＝AE＝DC ＝2，BE＝1，将△ADE沿DE折叠到点P，使PC＝PB.(1)求证：平面PDE⊥平面ABCD；(2)求四棱锥P－BCDE的体积．一、选择题1．从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角的平面角的大小是( ) A．60° B．120°C．60°或120° D．不确定2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( )A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝23，CC1＝2，则二面角C－BD－C的大小是( )1A．30° B．45°C．60° D．90°4. 如图，在立体图形D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列说法中正确的是( )A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDEC．平面ABD⊥平面BDCD．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE5. (多选)如图，在三棱锥P－ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下列结论中正确的是( )A．平面EFG∥平面PBCB．平面EFG⊥平面ABCC．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角二、填空题6．如图所示，一山坡的坡面与水平面成30°的二面角，坡面上有一直道AB ＝20 m，它和坡脚的水平线成30°的角，沿这山路从A走到B后升高_____m.7．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜线BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则BC＝____.8. 如图，点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下面四个结论：①三棱锥A－D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确的结论的序号是____(写出所有你认为正确结论的序号)．三、解答题9. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，∠PDC ＝90°，E为棱AP的中点，且AD⊥CE.求证：平面PAD⊥平面ABCD.10. 如图，在三棱锥S－ABC中，SC⊥平面ABC，点P，M分别是SC和SB的中点，设PM＝AC＝1，∠ACB＝90°，直线AM与直线PC所成的角为60°.(1)求证：平面MAP⊥平面SAC；(2)求二面角M－AC－B的平面角的正切值．1．将锐角A为60°，边长为a的菱形沿BD折成60°的二面角，则折叠后A 与C之间的距离为( )A．a B．1 2 aC．32a D．3a2. (多选)如图，在四面体P－ABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中一定成立的是( )A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．PD⊥AE3．已知三棱锥D－ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝3，BC＝2，则二面角D－BC－A的大小为______.4. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝90°，AD ∥BC，AB＝BC＝1，AD＝2，PA⊥底面ABCD，PD与底面成45°角，点E是PD的中点．(1)求证：BE⊥PD；(2)求二面角P－CD－A的余弦值．5．由四棱柱ABCD－A1B1C1D1截去三棱锥C1－B1CD1后得到的几何体如图所示．四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD.(1)证明：A1O∥平面B1CD1；(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.8.6.3 平面与平面垂直第1课时平面与平面垂直的判定(教师独具内容)课程标准：1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系.2.归纳出平面与平面垂直的判定定理．教学重点：二面角的概念及用平面与平面垂直的判定定理证明面面垂直、折叠问题的处理方法．教学难点：二面角的求法、面面垂直判定定理的综合应用．核心素养：1.通过从教材的实例中抽象出二面角的相关概念及平面与平面垂直的定义的过程培养数学抽象素养.2.通过利用平面与平面垂直的判定定理证明平面与平面垂直的过程提升逻辑推理素养.1．证明两个平面垂直的主要途径：(1)利用面面垂直的定义；(2)利用面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．2．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的．因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的．3．有助于判断面面垂直的结论：(1)m∥n，m⊥α，n⊂β⇒α⊥β；(2)m⊥α，n⊥β，m⊥n⇒α⊥β；(3)α∥β，γ⊥α⇒γ⊥β.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二面角的平面角的大小与其顶点在二面角棱上的位置有关．( )(2)二面角可以看成是一个半平面以其棱为轴旋转而成的．( )(3)如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β.( )答案(1)×(2)√(3)×2．做一做(1)在二面角α－l－β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α－l－β的平面角，则必须具有的条件是( )A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂βB．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂βD．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β(2)过一点可作____个平面与已知平面垂直．(3)若∠AOB是锐二面角α－l－β的平面角，则l与平面AOB的位置关系是____.(4)如图，空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么图中互相垂直的平面有____.答案(1)D (2)无数(3)l⊥平面AOB(4)平面ABD⊥平面BCD，平面ACD ⊥平面BCD题型一求二面角例1 四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.求：(1)二面角A－PD－C的平面角的度数；(2)二面角B－PA－D的平面角的度数；(3)二面角B－PA－C的平面角的度数．[解](1)∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，又四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD，∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，又CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.∴二面角A－PD－C的平面角的度数为90°.(2)∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA.∴∠BAD为二面角B－PA－D的平面角．又由题意可得∠BAD＝90°，∴二面角B－PA－D的平面角的度数为90°.(3)∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA.∴∠BAC为二面角B－PA－C的平面角．又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°.即二面角B－PA－C的平面角的度数为45°.[条件探究] 在本例中，若求二面角P－BC－D的平面角的度数又该如何解？解∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，PA⊥AB.又BC⊥AB，且AB∩AP＝A，∴BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，∴BC⊥PB.又AB⊥BC，∴∠PBA为二面角P－BC－D的平面角．在Rt△PAB中，AP＝AB.∴∠PBA＝45°.∴二面角P－BC－D的平面角的度数为45°.1．确定二面角的平面角的方法(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．2．求二面角大小的步骤(1)找出这个平面角；(2)证明这个角是二面角的平面角；(3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小．[跟踪训练1] 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小．解由已知得PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC.又BC是二面角P－BC－A的棱，∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角．由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.题型二用定义法证明平面与平面垂直例2 如图所示，在四面体A－BCD中，BD＝2a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.求证：平面ABD⊥平面BCD.[证明]∵AB＝AD＝CB＝CD＝a，∴△ABD与△BCD是等腰三角形．取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，BD⊥CE.∴∠AEC为二面角A－BD－C的平面角．在Rt△ABD中，AB＝a，BE＝12BD＝22a，∴AE＝AB2－BE2＝22a.同理CE＝22a.在△AEC中，AE＝CE＝22a，AC＝a，∴AC2＝AE2＋CE2，∴AE⊥CE，即∠AEC＝90°，即二面角A－BD－C的平面角为90°.∴平面ABD⊥平面BCD.用定义证明两个平面垂直的步骤利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两个平面垂直，判定的方法是：①找出两个相交平面的平面角；②证明这个平面角是直角；③根据定义，这两个平面互相垂直．[跟踪训练2] 如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD 同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.证明：平面AEC⊥平面AFC.证明如图，连接BD，交AC于点G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝ 3.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝3，且EG⊥AC.同理可得FG⊥AC，所以∠EGF为二面角E－AC－F的平面角，在Rt△EBG中，可得BE＝EG2－BG2＝2，故DF＝2 2.在Rt△FDG中，可得FG＝DG2＋DF2＝6 2.在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝2，DF＝22，可得EF＝322.从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.即二面角E－AC－F的平面角为90°，所以平面AEC⊥平面AFC.题型三利用判定定理证明面面垂直例3 如图，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E，G，F分别为MB，PB，PC的中点，且AD＝PD＝2MA.求证：平面EFG⊥平面PDC.[证明]∵MA⊥平面ABCD，PD∥MA，∴PD⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC.∵四边形ABCD为正方形，∴BC⊥DC.又PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC.在△PBC中，G，F分别为PB，PC的中点，∴GF∥BC，∴GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PDC.证明面面垂直的方法(1)定义法：说明两个半平面所成的二面角是直二面角．(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”．(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．[跟踪训练3] 如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．求证：平面AEC⊥平面PDB.证明∵四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BD，AC⊥PD，又PD，BD为平面PDB内两条相交直线，∴AC⊥平面PDB.又AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB.题型四折叠问题例4 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E为BC的中点，把△ABE和△CDE分别沿AE，DE折起，使点B与点C重合于点P.(1)求证：平面PDE⊥平面PAD；(2)求二面角P－AD－E的大小．[解](1)证明：由AB⊥BE，得AP⊥PE，同理，DP⊥PE.又AP∩DP＝P，∴PE⊥平面PAD.又PE⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面PAD.(2)如图所示，取AD的中点F，连接PF，EF，则易知PF⊥AD，EF⊥AD，∴∠PFE就是二面角P－AD－E的平面角．又PE⊥平面PAD，PF⊂平面PAD，∴PE⊥PF. ∵EF＝AB＝2，∴PF＝22－1＝1，∴cos∠PFE＝PFEF＝22.∴二面角P－AD－E的大小为45°.折叠问题，即由平面图形经过折叠成为立体图形，在立体图形中解决有关问题．解题过程中，一定要抓住折叠前后的变量与不变量．[跟踪训练4] 如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝12AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求证：平面A′BE⊥平面BCDE.证明如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，连接A′M，A′N，MN，则MN∥BC.∵AB＝12AD，E是AD的中点，∴AB＝AE，即A′B＝A′E.∴A′N⊥BE.∵A′C＝A′D，∴A′M⊥CD. 在四边形BCDE中，CD⊥MN，又MN∩A′M＝M，∴CD⊥平面A′MN，又A′N⊂平面A′MN，∴CD⊥A′N.∵DE∥BC且DE＝12BC，∴BE必与CD相交．又A′N⊥BE，A′N⊥CD，∴A′N⊥平面BCDE.又A′N⊂平面A′BE，∴平面A′BE⊥平面BCDE.1．下列命题：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个平面内作射线所成的角的最小角．其中正确的是( )A．①③B．②C．③D．①②答案 B解析由二面角的定义知，①错误；a，b分别垂直于两个平面，则a，b都垂直于二面角的棱，故②正确；③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③错误．故选B.2. 如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B－PA －C的大小为( )A．90° B．60°C．45° D．30°答案 A解析因为PA⊥平面ABC，BA⊂平面ABC，CA⊂平面ABC，所以BA⊥PA，CA ⊥PA.因此，∠BAC即为二面角B－PA－C的平面角，又∠BAC＝90°，所以二面角B－PA－C的平面角为90°.故选A.3．(多选) 在四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中正确的是( )A．平面PAB⊥平面PADB．平面PAB⊥平面PBCC．平面PBC⊥平面PCDD．平面PCD⊥平面PAD答案ABD解析由平面与平面垂直的判定定理知，平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面PAD，A，B，D正确．4. 如图所示，在三棱锥D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则平面ADC与平面BDE的关系是____.答案垂直解析易知BE⊥AC，DE⊥AC，∴AC⊥平面BDE.又AC⊂平面ADC，∴平面ADC⊥平面BDE.5. 在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，E为AB上的点，且AD＝AE＝DC ＝2，BE＝1，将△ADE沿DE折叠到点P，使PC＝PB.(1)求证：平面PDE⊥平面ABCD；(2)求四棱锥P－BCDE的体积．解(1)证明：如图，取BC的中点G，DE的中点H，连接PG，GH，HP.∴HG∥AB，又AB⊥BC，∴HG⊥BC.∵PB＝PC，∴PG⊥BC.又HG∩PG＝G，∴BC⊥平面PGH.又PH⊂平面PGH，∴PH⊥BC.∵PD＝PE，H为DE的中点，∴PH⊥DE.∵BE∥DC，且DC＝2BE，∴DE与BC必相交，∴PH⊥平面BCDE.而PH⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面BCDE，即平面PDE⊥平面ABCD.(2)连接EC，AH，由(1)可知，PH为四棱锥P－BCDE的高．∵DC∥AE，且AD＝AE＝DC＝2，∴四边形AECD为菱形．∴CE＝AD＝2.而EB＝1，EB⊥BC，∴BC＝CE2－EB2＝3，DE＝2.∴PH＝AH＝ 3.∴V P－BCDE＝13·PH·S梯形BCDE＝13×3×12×(1＋2)×3＝32.一、选择题1．从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角的平面角的大小是( ) A．60° B．120°C．60°或120° D．不确定答案 C解析若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( )A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β答案 C解析∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m⊂α，由平面与平面垂直的判定定理可得α⊥β.3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝23，CC1＝2，则二面角C－BD－C1的大小是( )A．30° B．45°C．60° D．90°答案 A解析如图，过点C作CE⊥BD于E，连接C1E，则∠CEC1为二面角C－BD－C1的平面角，由等面积公式得CE＝23×232×23＝6，tan∠CEC1＝CC1CE＝26＝33，因为0°≤∠CEC1≤180°，所以∠CEC1＝30°.4. 如图，在立体图形D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列说法中正确的是( )A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDEC．平面ABD⊥平面BDCD．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE答案 B解析由条件得AC⊥DE，AC⊥BE，又DE∩BE＝E，∴AC⊥平面BDE，又AC⊂平面ADC，AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面BDE，平面ADC⊥平面BDE，故选B.5. (多选)如图，在三棱锥P－ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下列结论中正确的是( )A．平面EFG∥平面PBCB．平面EFG⊥平面ABCC．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角答案ABC解析A正确，∵点E，F，G分别是所在棱的中点，∴GF∥PC，GE∥CB，∵GF∩GE＝G，PC∩CB＝C，∴平面EFG∥平面PBC；B正确，∵PC⊥BC，PC⊥AC，PC ∥GF，∴GF⊥BC，GF⊥AC，又BC∩AC＝C，∴GF⊥平面ABC，∴平面EFG⊥平面ABC；C正确，易知EF∥BP，∴∠BPC是直线EF与直线PC所成的角；D错误，∵GE与AB不垂直，∴∠FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角．故选ABC.二、填空题6．如图所示，一山坡的坡面与水平面成30°的二面角，坡面上有一直道AB ＝20 m，它和坡脚的水平线成30°的角，沿这山路从A走到B后升高_____m.答案 5解析如图，过B作BH⊥水平面，过H作HC⊥坡脚线，连接BC，则∠BAC＝30°，由BH⊥AC，HC⊥AC，BH∩HC＝H，知AC⊥平面BHC，从而BC⊥AC，所以∠BCH为坡面与水平面所成二面角的平面角，所以∠BCH＝30°，在Rt△ABC和Rt △BCH中，因为AB＝20 m，所以BC＝AB·sin30°＝10 m，所以BH＝BC·sin30°＝5 m.7．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜线BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则BC＝____.答案 1解析∵AD⊥BC，∴BD⊥AD，CD⊥AD，∴∠BDC为平面ABD与平面ACD所成二面角的平面角，∵平面ABD⊥平面ACD，∴∠BDC＝90°，又AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，∴BD＋CD＝AB2＋AC2＝2，∴BD＝CD＝22，折叠后，在Rt△BDC中，BC＝BD2＋CD2＝1.8. 如图，点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下面四个结论：①三棱锥A－D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确的结论的序号是____(写出所有你认为正确结论的序号)．答案①②④解析连接AC，A1C1，A1B，AD1，D1C.因为AA1∥CC1，AA1＝CC1，所以四边形AA1C1C是平行四边形，所以AC∥A1C1.又因为AC⊄平面A1BC1，A1C1⊂平面A1BC1，所以AC∥平面A1BC1.同理可证AD1∥平面A1BC1，又因为AC⊂平面ACD1，AD1⊂平面ACD1，且AC∩AD＝A，所以平面ACD1∥平面A1BC1.因为A1P⊂平面A1BC1，所以A1P∥平面ACD1，1故②正确．因为BC1∥AD1，所以BC1∥平面ACD1，所以点P到平面ACD1的距离不变．又因为VA－D1PC＝VP－ACD1，所以三棱锥A－D1PC的体积不变，故①正确．连接DB，DC，DP，因为DB＝DC1，所以当P为BC1的中点时才有DP⊥BC1，故③错误．因为1BB⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥BB1.又因为AC⊥BD，BB1∩BD＝B，所1以AC⊥平面BB1D1D.连接B1D，又因为B1D⊂平面BB1D1D，所以B1D⊥AC.同理可证B1D⊥AD1.又因为AC⊂平面ACD1，AD1⊂平面ACD1，AC∩AD1＝A，所以B1D⊥平面ACD1.又因为B1D⊂平面PDB1，所以平面PDB1⊥平面ACD1，故④正确．三、解答题9. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，∠PDC＝90°，E为棱AP的中点，且AD⊥CE.求证：平面PAD⊥平面ABCD.证明取AD的中点O，连接OE，OC，CA.∵∠ABC＝60°，四边形ABCD为菱形，∴△ACD为等边三角形，∴AD⊥OC.又AD⊥CE，OC∩CE＝C，OC，CE⊂平面COE，∴AD⊥平面COE.又OE⊂平面COE，∴AD⊥OE.易知OE∥PD，∴AD⊥PD.又∠PDC＝90°，∴PD⊥DC.又AD∩DC＝D，AD，DC⊂平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD.又PD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD.10. 如图，在三棱锥S－ABC中，SC⊥平面ABC，点P，M分别是SC和SB的中点，设PM＝AC＝1，∠ACB＝90°，直线AM与直线PC所成的角为60°.(1)求证：平面MAP⊥平面SAC；(2)求二面角M－AC－B的平面角的正切值．解(1)证明：∵SC⊥平面ABC，∴SC⊥BC，又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，又AC∩SC＝C，∴BC⊥平面SAC，又P，M分别是SC，SB的中点，∴PM∥BC，∴PM⊥平面SAC，又PM⊂平面MAP，∴平面MAP⊥平面SAC.(2)同(1)，可证AC⊥平面SBC，∴AC⊥CM，AC⊥CB，从而∠MCB为二面角M－AC－B的平面角，∵直线AM与直线PC所成的角为60°，∴过点M作MN⊥CB于点N，连接AN，如图所示，∴MN∥PC，则∠AMN＝60°，在Rt△CAN中，CN＝PM＝1，AC＝1，由勾股定理得AN＝ 2.在Rt△AMN中，MN＝AN tan∠AMN＝2·33＝63.在Rt△CNM中，tan∠MCN＝MNCN＝631＝63，故二面角M－AC－B的平面角的正切值为63.1．将锐角A为60°，边长为a的菱形沿BD折成60°的二面角，则折叠后A与C之间的距离为( )A．a B．1 2 aC．32a D．3a答案 C解析设折叠后点A到A1的位置，取BD的中点E，连接A1E，CE.则BD⊥CE，BD⊥A1E.于是∠A1EC为二面角A1－BD－C的平面角．故∠A1EC＝60°.因为A1E＝CE，所以△A1EC是等边三角形．所以A1E＝CE＝A1C＝32a.2. (多选)如图，在四面体P－ABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中一定成立的是( )A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．PD⊥AE答案ABC解析因为D，F分别为AB，AC的中点，则DF为△ABC的中位线，则BC∥DF，依据线面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，A成立．又E为BC的中点，且PB ＝PC，AB＝AC，则BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE.因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，B成立．又DF⊂平面PDF，则平面PDF⊥平面PAE，C成立．由题设条件不能得出PD⊥AE，所以D不一定成立．故选ABC.3．已知三棱锥D－ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝3，BC＝2，则二面角D－BC－A的大小为______.答案90°解析如图，由题意知AB＝AC＝BD＝CD＝3，BC＝AD＝2.取BC的中点E，连接DE，AE，则AE⊥BC，DE⊥BC，所以∠DEA为所求二面角的平面角．易得AE ＝DE＝2，又AD＝2，所以DE2＋AE2＝AD2，即∠DEA＝90°，即所求二面角的大小为90°.4. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝90°，AD ∥BC，AB＝BC＝1，AD＝2，PA⊥底面ABCD，PD与底面成45°角，点E是PD的中点．(1)求证：BE⊥PD；(2)求二面角P－CD－A的余弦值．解(1)证明：连接AE.因为PA⊥底面ABCD，所以∠PDA是PD与底面ABCD所成的角，所以∠PDA＝45°.所以PA＝DA.又因为点E是PD的中点，所以AE⊥PD.因为PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，所以PA⊥AB.因为∠BAD＝90°，所以BA⊥DA.又因为PA∩AD＝A，所以BA⊥平面PDA.又因为PD⊂平面PDA，所以BA⊥PD. 又因为BA∩AE＝A，所以PD⊥平面ABE.因为BE⊂平面ABE，所以BE⊥PD.(2)连接AC，在直角梯形ABCD中，因为AB＝BC＝1，AD＝2，所以AC＝CD＝ 2.因为AC2＋CD2＝AD2，所以AC⊥CD，又因为PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，所以PA⊥CD.因为AC∩PA＝A，所以CD⊥平面PAC.又因为PC⊂平面PAC，所以PC⊥CD，所以∠PCA为二面角P－CD－A的平面角．在Rt△PCA中，PC＝PA2＋AC2＝22＋22＝ 6.所以cos∠PCA＝ACPC＝26＝33.所以所求二面角的余弦值为3 3.5．由四棱柱ABCD－A1B1C1D1截去三棱锥C1－B1CD1后得到的几何体如图所示．四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD.(1)证明：A1O∥平面B1CD1；(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.证明(1)取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，由于ABCD－A1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1O∥O1C，又O1C⊂平面B1CD1，A1O⊄平面B1CD1，所以A1O∥平面B1CD1.(2)因为AC⊥BD，E，M分别为AD和OD的中点，所以EM⊥BD，又A1E⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以A1E⊥BD，因为B1D1∥BD，所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1，又A1E⊂平面A1EM，EM⊂平面A1EM，E∩EM＝E，A1所以B1D1⊥平面A1EM，又B1D1⊂平面B1CD1，所以平面A1EM⊥平面B1CD1.。
高中数学必修二 8 6 3 平面与平面垂直(第1课时)平面与平面垂直的判定 练习(含答案)
8.6.3 平面与平面垂直第1课时 平面与平面垂直的判定一、选择题1．在长方体1111ABCD A B C D -中，AB AD ==1CC ，则二面角1C BD C --的大小是（ ） A ．30º B ．45ºC ．60ºD ．90º【答案】A【解析】由题意，作出长方体1111ABCD A B C D -的图象， 取BD 中点为O ，连接CE 、1C E ，因为1CC ⊥平面ABCD ，所以C 即1C 在平面ABCD 上的投影， 又BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥，因为AB AD ==ABCD 是正方形，O 为BD 中点，所以CO BD ⊥，又1CO CC C =，所以BD ⊥平面1COC ，又1C O ⊂平面1COC ，所以1BD C O ⊥，1COC ∠即二面角1C BD C --，又1CC =，CO ==所以1tan COC ∠==130COC ∠=.故选：A2．如图，AB 是圆的直径，P A 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点(不同于A 、B )且P A ＝AC ，则二面角P －BC －A 的大小为( )A ．60︒B ．30C ．45︒D ．15︒【答案】C 【解析】由条件得：P A ⊥BC ，AC ⊥BC 又P A ∩AC ＝C ，∴BC ⊥平面P AC ，∴∠PCA 为二面角P －BC －A 的平面角．在Rt △P AC 中，由P A ＝AC 得∠PCA ＝45°，故选C ．3．如图，在三棱锥P -ABC 中，已知PC ⊥BC ，PC ⊥AC ，点E ，F ，G 分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是 ( )A ．平面EFG ∥平面PBCB ．平面EFG ⊥平面ABCC ．∠BPC 是直线EF 与直线PC 所成的角D ．∠FEG 是平面PAB 与平面ABC 所成二面角的平面角 【答案】D【解析】对于A ，因为点E ，F 分别是AB,AP 的中点， 所以EFPB ，又EF ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ， 所以EF 平面PBC ．同理EG ∥平面PBC ， 又EFEG E =,所以平面EFG ∥平面PBC ．因此A 正确． 对于B ，因为,,PC BC PC AC BC AC C ⊥⊥⋂=, 所以PC ⊥平面ABC ．又FG PB ,所以FG ⊥平面ABC ， 又FG ⊂平面FGE ，所以平面FGE ⊥平面ABC ．因此B 正确．对于C ，由于平面EFG ∥平面PBC ，且与平面PAB 交于EF ，PB ，∴EF PB所以∠BPC 是直线EF 与直线PC 所成的角．因此C 正确．对于D ，由于FE,GE 与AB 不垂直，所以∠FEG 不是平面PAB 与平面ABC 所成二面角的平面角，因此D 不正确．综上选项D 不正确．选D ．4．已知AB 是圆柱上底面的一条直径，C 是上底面圆周上异于A ，B 的一点，D 为下底面圆周上一点，且AD ⊥圆柱的底面，则必有（ ） A ．平面ABC ⊥平面BCD B ．平面BCD ⊥平面ACD C ．平面ABD ⊥平面ACD D ．平面BCD ⊥平面ABD【答案】B【解析】因为AB 是圆柱上底面的一条直径，所以AC BC ⊥，又AD ⊥圆柱的底面，所以AD BC ⊥， 因为ACAD A =，所以BC ⊥平面ACD .又BC ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面ACD . 故选：B.5．（多选题）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ︒∠=，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，则下列说法正确的是（ ）A ．在棱AD 上存在点M ，使AD ⊥平面PMB B ．异面直线AD 与PB 所成的角为90°C ．二面角P BC A --的大小为45°D ．BD ⊥平面PAC 【答案】ABC【解析】解：如图，对于A ，取AD 的中点M ，连接,PM BM ，∵侧面PAD 为正三角形，PM AD ∴⊥，又底面ABCD 是菱形，60DAB ︒∠=，ABD ∴是等边三角形， AD BM ∴⊥，又PM BM M ⋂=，PM ，BM ⊂平面PMB ，AD ∴⊥平面PBM ，故A 正确.对于B ，AD ⊥平面PBM ，AD PB ∴⊥，即异面直线AD 与PB 所成的角为90°，故B 正确.对于C ，∵平面PBC平面ABCD BC =，//BC AD ，BC ∴⊥平面PBM ，BC PB ∴⊥BC BM ⊥，PBM ∴∠是二面角P BC A --的平面角，设1AB =，则BM =，PM =， 在Rt PBM △中，tan 1PMPBM BM∠==，即45PBM ︒∠=，故二面角P BC A --的大小为45°，故C 正确.对于D ，因为BD 与PA 不垂直，所以BD 与平面PAC 不垂直，故D 错误. 故选：ABC6．（多选题）如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，AD =AB =1，AD ⊥AB ，∠BCD =45°，将ΔABD 沿对角线BD 折起.设折起后点A 的位置为A ′，并且平面A ′BD ⊥平面BCD .给出下面四个命题正确的：()A ．A ′D ⊥BCB ．三棱锥A ′−BCD 的体积为√22C ．CD ⊥平面A ′BD D ．平面A ′BC ⊥平面A ′DC【答案】CD【解析】如图所示：E 为BD 中点，连接A′EAD//BC ，AD =AB =1，AD ⊥AB 得到∠DBC =∠ADB =45° 又∠BCD =45°故ΔBCD 为等腰直角三角形平面A ′BD ⊥平面BCD ，CD ⊥BD ，所以CD ⊥平面A ′BD ，所以C 正确 E 为BD 中点，A′E ⊥BD 则A′E ⊥平面BCD 所以A ′E ⊥BC如果A ′D ⊥BC ，则可得到BC ⊥平面A ′BD ，故BC ⊥BD 与已知矛盾.故A 错误 三棱锥A ′−BCD 的体积为S =13×12×√2×√2×√22=√26 .故B 错误在直角三角形A′CD 中，A′C 2=CD 2+A′D 2∴A′C =√3在三角形A′BC 中，A′B =1,BC =2,A′C =√3 满足BC 2=A′B 2+A′C 2∴BA′⊥CA′ 又BA′⊥DA′ 所以BA′⊥平面A ′DC ，所以平面A ′BC ⊥平面A ′DC ，故D 正确 综上所述：答案为CD三、填空题7．在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA =，1AD =，则平面11BD C 与平面111A D C 所成的二面角的正弦值是_________.【解析】画出图像如下图所示，将平面11BD C 延展成平面11ABC D ，将平面111A D C 延展成平面111A B C ，平面11ABC D 与平面111A B C 相交于11C D ，且1111111,C D B C C D BC ⊥⊥，所以11BC B ∠是平面11BD C 与平面111A D C 所成的二面角.在11Rt BB C ∆中11111,2,BC BB BC ===11sin BC B ∠==.8．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD 且底面各边都相等，M 是PC 上一点， 当点M 满足 时，平面平面（只要填写一个你认为正确的条件即可）【答案】DM ⊥PC (或BM ⊥PC ) 【解析】连接，因为底面，所以,因为四边形的各边相等，所以,且，所以平面，即，要使平面平面，只需垂直于面上的与相交的直线即可，所以可填；故填．9．如图所示，正方形BCDE 的边长为a ，已知AB =，将ABE 沿BE 边折起，折起后A 点在平面BCDE 上的射影为D 点，则翻折后的几何体中有如下描述：①AB 与DE ；②AB CE ；③316B ACE V a -=；④平面ABC ⊥平面ADC ，其中正确的命题序号为___________．【答案】③④ 【解析】作出折叠后的几何体直观图如图所示：∵AB ,BE =a ,∴AE a .∴.AD a AC =∴==.∵BC ∥DE ，∴∠ABC 是异面直线AB ，DE 所成的角，在Rt △ABC 中, ACtan ABC BC∠==故①不正确； 连结BD ，CE ，则CE ⊥BD ，又AD ⊥平面BCDE ，CE ⊂平面BCDE ，∴CE ⊥AD ，又BD ∩AD =D ，BD ⊂平面ABD ，AD ⊂平面ABD ， ∴CE ⊥平面ABD ，又AB ⊂平面ABD ， ∴CE ⊥AB .故②错误．三棱锥B −ACE 的体积2311113326B ACE A BCE BCEV V S AD a a a --===⨯⨯=.故③正确．∵AD ⊥平面BCDE ，BC ⊂平面BCDE ， ∴BC ⊥AD ，又BC ⊥CD ，∴BC ⊥平面ACD ，∵BC ⊂平面ABC ， ∴平面ABC ⊥平面ACD . 故答案为③④．10．如图所示，在长方体中ABCD EFGH -，棱AB 与棱HG 的位置关系是_________，棱AD 与平面DCGH 的位置关系是__________，平面ABCD 与平面ADHE 的位置关系是_________.【答案】平行 垂直 垂直【解析】根据长方体的性质可知，棱AB 与棱HG 平行，棱AD 与DC,DH 垂直，所以棱AD 与平面DCGH 垂直，长方体的侧面与底面垂直，故平面ABCD 与平面ADHE 垂直. 三、解答题11．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，120ADC =∠︒，AD 的中点M 是顶点P 在底面ABCD 的射影，N 是PC 的中点．（1）求证：平面MPB ⊥平面PBC ；（2）若MP MC =，直线BN 与平面PMC 所成角的正弦值．【答案】(1)见解析（2 【解析】 (1)证明 ∵四边形ABCD 是菱形，∠ADC ＝120°， 且M 是AD 的中点，∴MB ⊥AD ，∴MB ⊥BC . 又∵P 在底面ABCD 的射影M 是AD 的中点， ∴PM ⊥平面ABCD ，又∵BC ⊂平面ABCD ，∴PM ⊥BC ， 而PM ∩MB ＝M ，PM ，MB ⊂平面PMB ， ∴BC ⊥平面PMB ，又BC ⊂平面PBC ， ∴平面MPB ⊥平面PBC .(2)解 过点B 作BH ⊥MC ，连接HN ，∵PM ⊥平面ABCD ，BH ⊂平面ABCD ，∴BH ⊥PM ， 又∵PM ，MC ⊂平面PMC ，PM ∩MC ＝M ， ∴BH ⊥平面PMC ，∴HN 为直线BN 在平面PMC 上的射影， ∴∠BNH 为直线BN 与平面PMC 所成的角， 在菱形ABCD 中，设AB ＝2a ，则MB ＝AB ·sin 60°＝a ，MC ＝＝a .又由(1)知MB ⊥BC ， ∴在△MBC 中，BH ＝＝a ，由(1)知BC ⊥平面PMB ，PB ⊂平面PMB ， ∴PB ⊥BC ，∴BN ＝PC ＝a ，∴sin ∠BNH ＝＝＝.12．如图在三棱锥-P ABC 中， ,,D E F 分别为棱,,PC AC AB 的中点，已知,6,8,5PA AC PA BC DF ⊥===.求证：（1）直线//PA 平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC .【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）由于,D E 分别是,PC AC 的中点，则有//PA DE ，又PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以//PA 平面DEF ．（2）由（1）//PA DE ，又PA AC ⊥，所以DE AC ⊥，又F 是AB 中点，所以132DE PA ==，142EF BC ==，又5DF =，所以222DE EF DF +=，所以DE EF ⊥，,EF AC 是平面ABC 内两条相交直线，所以DE ⊥平面ABC ，又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC ．。
8.6.3 平面与平面垂直的判定 (教案)-高中数学人教A版(2019)必修第二册
提问回答例题练习1..二面角的概念（1）半平面：平面的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做一个半平面。
（2）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．（3）二面角的画法和记法：面1－棱－面2 点1－棱－点2二面角βα--l二面角QlP--问题1：我们常说“把门开大些”，是指哪个角开大一些，我们应该怎么刻画二面角的大小？问题2：探究：用课本作模型，相邻两页书也构成二面角，活动：尝试“打开课本”为30°、90°、120°，观察是指哪个角的变化？（4）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.思考：∠AOB 的大小与点O在棱l上的位置有关吗？为什么？二面角的平面角必须满足：①角的顶点在棱上②角的两边分别在两个面内③角的边都要垂直于二面角的棱观察：教室相邻两个墙面与地面可构成几个二面角？分别指出构这些二面角的面、棱、平面角及其度数。
【答案】三个2. 平面与平面垂直的定义一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作：βα⊥图形表示：深刻二面角概念。
学生做好笔记，并理解记忆学生做好笔记，并力。
通过思考，引入二面角的平面角，提高学生分析问题、概括能力。
通过观察，由实例引入两平观察：如图，建筑工人砌墙时，如何使所砌的墙和水平面垂直？【答案】用铅锤来检测，如系有铅锤的细线紧贴墙面，认为墙面垂直与地面。
3.平面与平面垂直的判定定理如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。
图形： 符号语言：βαβα⊥⇒⊂⊥a a , 简记：线面垂直，则面面垂直。
三、巩固知识、典型讲练练习：概念辨析．判断下列说法的对错：(1)如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β.（ ）(2)如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.（ ）(3)如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β.（ ）(4)若m ⊥α , m ⊂β,则α⊥β.（ ）例 1.在正方体D C B A ABCD ''''-中，求证：平面A C AC BD A ''⊥'平面例2.如图,AB 是圆O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于A ，B 的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.练习：练．已知l⊥平面α，直线m⊂平面β.有下面四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确的两个命题是()A．①②B．③④C．②④D．①③四、课堂小结1. 平面与平面垂直的判定：(1)定义(2)判定定理2.数学思想：转化思想五、布置作业习题8.6 6,7题让学生进行小结结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
必修第二册8.6.3平面与平面垂直课件(人教版)
因为△PAD为正三角形，G为AD的中点，所以PG⊥AD.
由(1)知BG⊥AD，而PG∩BG=G，PG⊂平面PBG，BG⊂平面PBG.
所以AD⊥平面PBG.
又因为PB⊂平面PBG，
所以AD⊥PB.
解题技能(空间垂直关系的注意事项)
直线、平面之间的平行、垂直关系是重点考查的位置关系， 当已知线面、面面垂直或平行时考虑用性质定理转化，要证线 面、面面垂直或平行时要用判定定理进行论证.
例10、如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB ⊥平面PBC． 求证：BC⊥平面PAB．
证明：过点A作AE⊥PB，垂足为E． 因为平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB，
所以AE⊥平面PBC．
P
因为BC⊂平面PBC，所以AE⊥BC． 又因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以PA⊥BC．
F
A
.O
B
C
又∵AF⊥PC，AF⊂面PAC，面PBC∩面PAC=PC
∴AF⊥平面PBC
练习
1、如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，P、Q分别为线段AB、CD的 中点，EP⊥平面ABCD. (1)求证：AQ//平面CEP; (2)求证：平面AEQ⊥平面DEP. 证明：
(1)在矩形ABCD中，因为AP=PB，DQ=QC，
E
A
C
又PA∩AE＝A，所以BC⊥平面PAB．
B
变式：如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上异于A，B的任意一 点，PA⊥平面ABC，AF⊥PC于F. 求证：AF⊥平面PBC.
证明: ∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC
P
∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC
∴PA⊥BC ∵PA∩AC=A ∴BC⊥平面PAC ∵BC⊂平面PBC ∴平面PBC⊥平面PAC
平面与平面垂直说课课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
2.教学目标
1.使学生掌握二面角的平面角，两个平面互相垂直 的概念，掌握两个平面互相垂直的判定定理及简单 的应用，让学生感受“类比归纳”“转化化归”思 想在解决数学问题上的作用。 2.通过实例并类比平面中“角”的定义让学生直观 感知二面角概念的形成过程；采取平面化的思想引 入二面角的度量方法；通过实例让学生直观感知面 面垂直的判定定理。 3.在学习中，培养学生善于观察，勇于探索，独立 的意识，不断超越自我的创新品质。
教学中的三个类比
平面中“角”的定义 “二面角”的定义
“异面直线所成角”的度量 “二面角”的度量
“线线垂直”的概念 “面面垂直”的概念
7.教学过程：
问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？
设计意图： 让学生借助平面几 何中“角”的定义， 利用类比思想，引 导学生用数学语言 说出二面角的定义。 让学生直观感受平 面问题向空间问题 的类 比。
8.例题讲解
（4）给出课本例题8，证明思路有变化吗？
（5）你还能找出
图中有哪些面互相 垂直吗？解决这个
P
问题的关键是什么？
C
A
O•
B
8.例题讲解
设计意图： 上面5个问题，逐层深入，循序渐进，让学生自己体会整个 思维过程，熟练了上节课学习的线线垂直与线面垂直的相 互转化，又让学生感悟到线面垂直向面面垂直的转化。这 种转化思想是本节课的灵魂。
8.例题讲解
例题变式：
你能在图中指出二面角C-PA-B及A-BC-P的平
面角吗？
P
C
A
•O
B
学生活动: 独立思考 教师行为：启发引导学生找二面角的平面角的关键 设计意图：巩固对二面角的平面角的概念的理解
9.小结归纳，整理认识
新教材人教版高中数学必修第二册 8.6.3 第1课时 平面与平面垂直的判定 教学课件
科 目：数学
适用版本：新教材人教版
适用范围：【教师教学】
8.6.3 第1课时 平面与平面 垂直的判定
第一页，共二十二页。
新课程标准 借助长方体，通过直观感知、了解空间中平面与平面垂直的 判定定理与性质定理. 新学法解读 1.在对面面垂直判定时，既可以从平面与平面的夹角为
意义
置关系
置关系
第八页，共二十二页。
2．剖析平面与平面垂直 (1)两个平面垂直是两个平面相交的特殊情况．例如正方体 中任意相邻两个面都是互相垂直的． (2)两个平面垂直和两条直线互相垂直的共同点：都是通过 所成的角是直角定义的． 3．详解平面与平面垂直的判定定理 (1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即 线面垂直⇒面面垂直． (2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题， 进一步转化为处理线线垂直问题来解决．
第十三页，共二十二页。
知识点二 面面垂直的判定 [例 2] 如图所示，在四面体 ABCS 中，已知∠ BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又 SA＝SB＝SC. 求证：平面 ABC⊥平面 SBC. [证明] 法一：(利用定义证明) 因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC， 所以△ASB 和△ASC 是等边三角形， 则有 SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为 a， 则△ABC 和△SBC 为共底边 BC 的等腰三角形． 取 BC 的中点 D，如图所示，
第六页，共二十二页。
5.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，二面角 A-BC-A1 的平面角等于______．
解析：根据长方体中的线面位置关系可知，AB⊥BC，A1B⊥ BC ， 根 据 二 面 角 平 面 角 定 义 可 知 ， ∠ ABA1 即 为 二 面 角 A-BC-A1 的平面角. 又 AB＝AA1，且 AB⊥AA1，所以∠ABA1 ＝45°. 答案：45°
数学人教A版(2019)必修第二册8.6.3平面与平面垂直(共25张ppt)
C1
O
A1
m
n
B1
面面垂直
性质定理
性
质
定
理
若a a , b a , 则a // b.
D1
线线平行
C1
A1
Байду номын сангаасB1
N
C
D
A
B
D
A
C
M
B
4.面面垂直的性质定理
(4)面面垂直的性质定理：
两个平面垂直, 则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
①符号：a b , a b m, l b , l m l a
(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个半平
面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫做二面角
的平面角.
棱 l 上取一点O,
二面角的范围：0≤θ≤π
在半平面a 内作OA⊥l,
在半平面b 内作OB⊥l,
A
则∠AOB是二面角a-l-b 的平面角.
α
l
O
β
B
l
b
blO
BB
∵BF⊂面BCFE，∴AC ⊥BF.
三棱台中，延长AD，BE，CF相交于一点P，
∵EF∥BC，EF＝1，BC＝2，∴E, F分别是PB, PC的中点，
∴PB＝PC＝PC＝2，
∴△PBC为等边三角形，且F为CP的中点，∴BF ⊥CF.
∵CP∩AC=C，CK, AC⊂平面ACFD，∴BF⊥平面ACFD.
1.求二面角的平面角
[例]正方体ABCD-A1B1C1D1中，面C1D1AB与底面ABCD所成
A
二面角C1-AB-C的大小为_______.
8.6.3平面与平面垂直(第一课时)-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册课件
为半平面的二面角记为： 为半平面的二面角记为：
l
l
AB
B
A
课堂探究
思考3 两个相交平面有几个二面角？
课堂探究
探究 如何用平面角来表示二面角的大小？
β
BO lA
二面角-l-
α
β B
l O
A
α
引入新课 二面角的平面角
2. 思想方法
线线垂直 线面垂直 面面垂直
AO⊥a
②
a⊥平面PAO
PO 平面PAO
③
a⊥PO
P
a
Ao α
① 线面垂直
② 线线垂直
③ 线面垂直
线线垂直
线面垂直定义
判定定理
线面垂直定义
引入新课
三 PO∩α= O
垂 线 定 理
PA⊥α于A
a α
AO⊥a
a
⊥
PO
α
P Ao
a
对三垂线定理的说明：
1、三垂线定理描述了 PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系 。
的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
引入新课
小结二面角的平面角的作法：
1.定义法： 根据定义作出来.
A
l Biblioteka oB2.作垂面： 作与棱垂直的平面与两半平面 的交线得到.
o
B
A
3.应用三垂线定理：
ll
A
应用三垂线定理或其逆定理作
出来.
o
B
l
课堂小结
小结
1. 知识小结 1）二面角及其平面角 2）两个平面互相垂直
8.6.3平面与平面垂直的判定课件(人教版)(1)
角的平面角.
符号语言
O
B
空间几何平面化
OA l
OB l
AOB为二面角 - l - 的平面角
OA
OB
探究新知——二面角及其平面角
在棱上选多个点，画出多个所折二面角
的一个平面角，这些角相等吗？
P
Q
A
B C
．
B
β Q
l
A
半平面
．
P
α
直线将平面分成两
部分，每一部分叫
半平面．
探究新知——二面角
二面角的记法：
角的记法：
B
O
A
A
记作：∠AOB
P
l
平面角由射线--点--射线构成
B
Q
二面角由半平面--线--半平面构成。
记作：
二面角 l
二面角 AB
二面角P l Q
二面角P AB Q
探究新知——二面角
你能举诞生活中常见的二面角吗？
如何去衡量二面角大小？
视察探究
我们常说：“把门开大一些”，是指哪个角大一些？
B
O
A
探究新知——二面角及其平面角
二面角的平面角的定义
在二面角 l 的棱上任取一
A
点O,以点O为垂足, 在半平面 和 内
l
分别作垂直于棱 l 的射线OA和OB, 则
探索定理
实例2
一扇门在打开的过程中，门所在平
面和水平地面是否始终垂直？
你能根据这些实例归纳总结出
判定面面垂直所需的条件吗？
发现：线面垂直，则面面垂直
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1
8.6.3 平面与平面垂直
第一课时 平面与平面垂直的判定
课标要求 素养要求
1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面
与平面垂直的判定定理，并加以证明. 2.会应用平面与平面垂直的判定定理证明平面与平面垂直.
在发现、推导和应用平面与平面垂直的判定定理的过程中，发展学生的数
学抽象素养、逻辑推理素养和直观想
象素养.
教材知识探究
建筑工人砌墙时为了保证墙面与地面垂直，常常在较高处固定一
条端点系有铅锤的线，再沿着该线砌墙，如图，这样就能保证墙
面与地面垂直.
问题 (1)由上述可知当直线与平面垂直时，过此直线可作无数个平面，那么这些平面与已知平面有何关系？
(2)若要判断两平面是否垂直，根据上述问题能否得出一个方法？
提示(1)垂直关系.
(2)可以，只需在一平面内找一直线垂直于另一平面即可.
1.二面角的概念
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.
(2)相关概念：①这条直线叫做二面角的棱，②这两个半平面叫做二面角的面.
(3)画法：如图所示.
(4)记法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q.
(5)二面角的平面角平面角的大小和点O的选取无关
若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.
2
(6)二面角的平面角α的范围：0°≤α≤180°.
2.面面垂直的定义
平面与平面垂直的定义也是证明平面与平面垂直的方法
(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面α与平面β垂直，记作：α⊥β.
(2)画法：如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直.
3.两平面垂直的判定
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
教材拓展补遗
[微判断]
1.平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β.(×)
2.若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线，则α⊥β.(×)
3.应用面面垂直的判定定理的关键在于，在其中一个平面内找到或作出另一个平
3
面的垂线，即实现面面垂直向线面垂直的转化.(√)
提示 1.不一定.反例斜四棱柱中的底面和侧面.
2.不能保证直线和平面β垂直，则α⊥β就不一定成立.
[微训练]
1.已知l⊥α，则过l与α垂直的平面( )
A.有1个
B.有2个
C.有无数个
D.不存在
解析由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个.
答案 C
2.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( )
A.m⊥n，m∥α，n∥β
B.m⊥n，α∩β＝m，n⊂α
C.m∥n，n⊥β，m⊂α
D.m∥n，m⊥α，n⊥β
解析∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m⊂α，由面面垂直的判定定理得α⊥β.
答案 C
4
[微思考]
1.二面角与平面几何中的角有什么区别？
提示平面几何中的角是从一点出发的两条射线组成的图形；二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.
2.二面角的平面角的大小，与角的顶点在棱上的位置有关吗，为什么？
提示无关.如图，根据等角定理可知，∠AOB＝∠A
′
O′B′，即二面角的平面角的
大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关.
题型一二面角及其平面角的概念的理解
【例1】下列命题中：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角；
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.其中正确的是( )
A.①③
B.②④
C.③④
D.①②
5
解析由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，所以①不对，实质上它共有四个二面角；由a，b分别垂直于两个面，则a，b都垂直于二面角的棱，故②正确；③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③不对；由定义知④正确.故选B.
答案 B
规律方法 1.要注意区别二面角与两相交平面所成的角并不一致.
2.要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角面内的角的联系与区别.
3.可利用实物模型，作图帮助判断.
【训练1】若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角( )
A.相等
B.互补
C.相等或互补
D.关系无法确定
解析如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG 始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角H－DG －F的大小不确定.
6。